2020届福建省莆田市仙游县二中2017级高三高考最后一模考试数学试卷及答案

合集下载

福建省莆田第一中学2017届高三下学期考前模拟(最后一卷)数学(理)试题(附解析)

莆田一中2016-2017学年高三理数5月模拟试卷满分 150分考试时间 120分钟一、选择题(本大题共有12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题意)1.已知集合A={x N|x1},B={x|x2-x-20},则A B=( )A. {0,1}B. {-1,0,1}C. [-1,1]D. {1}【答案】A【解析】因为A={x N|x1},B={x|x2-x-20}，所以A B={0,1}，故选A.2.若复数z满足z2=-4,则||=( )A. B. 3 C. D. 5【答案】C【解析】因为z2=-4,所以，，故选C.3.一批产品次品率为4%,正品中一等品率为75%.现从这批产品中任取一件,恰好取到一等品的概率为( )A. 0.75B. 0.71C. 0.72D. 0.3【答案】C【解析】因为这批产品次品率为，所以正品率为，又因为正品中一等品率为，所以这批产品一等品率为，从这批产品中任取一件,恰好取到一等品的概率为.4.公差不为0的等差数列{a n}的前n项的和为S n,若a6=3a4,且S10=a4,则的值为( )A. 15B. 21C. 23D. 25【答案】D【解析】设公差为，由，且，则，解得，故选D.5.已知双曲线+=1的一条渐近线斜率大于1,则实数m的取值范围( )A. (0,4)B. (0,)C. (0,2)D. (,4)【答案】B【解析】是双曲线，，又双曲线的一条渐近线斜率大于1，，得，故选B.6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )A. 8-B. 8-C. 24-D. 24+【答案】C【解析】由已知三视图得到几何体是一个棱长为的正方体切割去半径为的个球，所以表面积为，故选C.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.7.我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺,两鼠对穿,初日各一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问几何日相逢？”现用程序框图描述,如图所示,则输出结果n=( )A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】开始，输入，则，判断，否，循环，，则，判断，否，循环，则，判断，否，循环，则，判断，是，输出，结束.故选择C.8.函数f(x)=x2-sin|x|在[-2,2]上的图象大致为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】函数在是偶函数，则，在可得，令，可得方程只有一个解，如图：可知，在由一个极值点，排除，，排除，故选B.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考察函数的解析式、定义域、值域、单调性，导数的应用以及数学化归思想，属于难题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意选项一一排除.9.函数f(x)=cos(x+)(>0)在[0,]内值域为[-1,],则的取值范围是( )A. [,]B. [,]C. [,+)D. [,]【答案】D【解析】函数，当时，，画出图形如图所示：则，解得，的取值范围是，故选D.10.已知点A(5,0),抛物线C:y2=2px(0<p<5)的准线为l,点P在C上,作PH l于H,且|PH|=|PA|,APH=120,则p=( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】设，故做，则由，则，由抛物线的定义可知：，则，则，则，将代入抛物线方程，解得的值，故选B.11.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为6,点O在BC上,且BO=OC,过点O的直线l与直线AA1,C1D1分别交于M,N两点,则MN与面ADD1A1所成角的正弦值为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】将平面延展与交于连结，并延长与延长线交于，平面交于，可知等于与成角,，由正方体的性质可知，，故选 . 12.已知直线l1:y=x+a分别与直线l2：y=2(x+1)及曲线C:y=x+ln x交于A,B两点,则A,B两点间距离的最小值为( )A. B. 3 C. D. 3【答案】D【解析】由，得，由，得，，在上递减，在上递增，，即两点间距离的最小值为，故选D.【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值，属于难题．利用导数研究函数的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数的定义域；②对求导；③令，解不等式得的范围就是递增区间；令，解不等式得的范围就是递减区间；④根据单调性求函数的极值及最值（闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小）.二、填空题(本大题共有4个小题,每题5分,共20分)13.设变量x,y满足约束条件则z=x-2y的最大值为_______【答案】【解析】不等式组表示平面区域为：且可得，则经过时，在轴上的截距最大，即，故答案为 . 【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.14.已知a=(,),|b|=1,|a+2b|=2,则b在a方向上的投影=_______【答案】【解析】，可得，即为，即有，可得在方向上的投影为，故答案为 .15.(x+3)(x+1)4展开式中不含x2项的系数之和为________【答案】42【解析】展开式中含项的系数之和为，所有项系数和为，所以展开式中不含x2项的系数之和为，故答案为 .16.数列{a n}的前n项和为S n,且S3=1,S4=-3, a n+3=2a n(n N*),则S2017=______【答案】－1【解析】,,故答案为 .三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时要求写出必要的文字说明或推演步骤. 请按照题目顺序在第Ⅱ卷各个题目的答题区域内作答.)17.如图,在ABC中,B=,D为边BC上的点,E为AD上的点,且AE=8,AC=4,CED =.(1)求CE的长(2)若CD=5,求cos DAB的值【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】试题分析：（I）在中,由余弦定理,解方程即可结果；（II）由正弦定理得，再根据同角三角函数之间的关系及两角差的余弦定理可得结果.试题解析：（Ⅰ）∵,在中,由余弦定理得,∴,∴,∴.（Ⅱ）在中,由正弦定理得,∴,∴,∵点在边上,∴,而<∴只能为钝角,∴,∴ ,．18.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1B1B为正方形,BB1C1C为菱形,B1C AC1（Ⅰ）求证：平面AA1B1B面BB1C1C；（Ⅱ）若D是CC1中点,ADB是二面角A-CC1-B的平面角,求直线AC1与平面ABC所成角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）．【解析】试题分析：（1）先证明, 从而，结合可得，进而可得结论；（2）分别以为轴建立空间直角坐标系，分别求出平面的一个法向量及直线的AC1一个方向向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果.试题解析：（1）连结,因为为菱形,所以,又,,所以,故。

2020年福建省莆田市高三一模试题

，在同一平面直角坐标系中，将曲线上的
点按坐标变换
得到曲线，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.设
点的极坐标为
3 2
，
.
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）若过点且倾斜角为的直线与曲线交于两点，求| AM | | AN | 的值. 6
23.[选修 4—5：不等式选讲]（本小题 10 分）
，将明文转换成密文，如
，即 f
变换成 p ；
那么原来的明文是（
，即 y 变换成 m ．若按上述规定，若王华收到的密文是 ukweat，
）
A．fujian
B．puxian
C．putian
D．fuxian
12．函数满足 f x f x ex , x [1 , ) ，
x
2
的取值范围为（）
A．
解得 t 8 或 t 2 ， 3
当 t 2 时， P,Q, M 三点共线（舍去），t 8 ， 3
此时
x1
x2
32 9
,
x1x2
56 27
| PQ |
1 k2
x1
x2 2
4x1x2
8 9
11
点
M
到直线
PQ
的距离 d
|
14 3
|
7
2
23
SMPQ
1 2
|
PQ
|
d
28 27
22
21．（12 分）
2 3
，1
B．[ 2 , ) 3
C．
,若
恒成立,则
D．
1 2
,
2 3
二．填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）

福建省莆田市2020届高三下学期3月模拟考试文科数学(含参考答案和评分细则)

第Ⅰ卷
一、选择题: 本大题共１２小题ꎬ 每小题５分ꎬ 共６０分 �� 在每小题给出的四个选项中ꎬ 只有
一项是符合题目要求的 ��
１�� 已知集合Ａ＝ {ｘｙ＝ｘ＋１ } ꎬ Ｂ＝ {ｘｘ２＋ｘ－２ < ０} ꎬ 则Ａ ∩ Ｂ＝
Ａ�� {ｘ－１ < ｘ < １ } Ｂ�� {ｘ－１ ≤ ｘ < １ }
角的余弦值为
１０ ꎬ １０
则ＡＡ１
＝
Ａ�� １
Ｂ�� ２
Ｃ�� １９
Ｄ�� ２２
９�� 有２个人在一座６层大楼的底层进入电梯ꎬ 假设每一个人自第二层开始在每一层离开电梯
是等可能的ꎬ 则２个人在不同层离开的概率为
１Ａ��
６
１Ｂ��
艺品ꎬ 该工艺品由两部分组成ꎬ 其上部分为一个球体ꎬ 下部分为一个正四棱柱(图２)�� 问
该工艺品体积的最大值是ｃｍ３��
1
2
文科数学试卷第３页 (共６页)
三、解答题: 共７０分 �� 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第１７ ~ ２１题为必考题ꎬ 每个试题考生都必须作答. 第２２、２３题为选考题ꎬ 考生根据要求作答.
６
１１��
已知双曲线Ｃ:
ｘ２ａ２
－
ｙ２ｂ２
＝１(ａ
>
ｂ
>
０) 的右焦点为Ｆꎬ
Ｏ为坐标原点 ��
以Ｆ为圆心ꎬ
ＯＦ

2020年莆田市高中毕业班教学质量检测理科数学试卷答案

要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。
11．BD
12．ABD
11 题选项
12 题选项
得分
全部正确
BD
ABD
5分
部分正确
B或D
A，B，D，A B，A D 或 BD
3分
11．【解析】如图，以水轮所在面为坐标平面，以水轮的轴心 O 为坐标原点， x 轴和 y 轴分别平
行和垂直于水面建立平面直角坐标系，依题意得 OP 在 t 秒内所转过的角度为 t ，
4
2
4
10．【解析】如图，设 A x1, y1 ， B x2 , y2 ，线段 AB 的中点 M xM , yM ，
x12 a2
y12 b2
1
由
x22
y22
，得
1
a2 b2
y1 y2 b2 x1 x2
b2 xM
1
x1 x2 a2 y1 y2 a2 yM
8
8b2 整理，得 yM a2 xM ……①
a2 a5
a2 a5
15．【解析】由己知可得 p 2 ，所以 C 的方程为 y2 4x ；
由对称性，不妨设 P（x0.2 x0 ) ，因为抛物线 C : y2 4x 的焦点 F (1, 0) ， A(1, 0)
| PF | x0 1，| PA | (x0 1)2 (2 x0 )2 (x0 1)2 4x0
CD 2CD
由点 C 到 A ， B 两点的距离和为10 ，可知点 C 的轨迹是以 A, B 为焦点的椭圆 E ．
设 AB 的中点为 O ，以 O 为原点， AB 所在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系，如图所示．由
x2 y2 AB 6 ，可得椭圆 E 的方程为 1 ，

2020年1月福建省高2020届高2017级高三泉州市单科质检理科数学试题答题全析解答题部分

保密★启用前泉州市2020届高中毕业班单科质量检查理科数学2020．1注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用5.0毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）如图，四棱锥ABCD P -的底面是正方形，⊥PA 平面ABCD ，AE PD ⊥．（1）证明：AE ⊥平面PCD ；（2）若AP AB =，求二面角D PC B --的余弦值．【命题意图】本小题考查线面垂直的判定与性质、二面角的求解及空间向量的坐标运算等基础知识，考查空间想象能力、逻辑推理及运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等，体现基础性、综合性与应用性，导向对发展数学抽象、逻辑推理、直观想象等核心素养的关注．【试题解析】解法一：（1）因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥．·········································································································1分又底面ABCD 是正方形，所以AD CD ⊥．·····································································2分又PA AD A = ，所以CD ⊥平面PAD ．······································································3分又AE ⊂平面PAD ，所以CD AE ⊥．···········································································4分又因为AE PD ⊥，CD PD D = ，,CD PD ⊂平面PCD ，·············································5分所以AE ⊥平面PCD ．·······························································································6分（2）因为PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，所以PA AB ⊥，PA AD ⊥，AB AD ⊥，分别以AB 、AD 、AP 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系A xyz -（如图所示）．······································································7分设1PA AB ==，则A 0,0,0（），B 1,0,0（），C 1,1,0（），D 0,1,0（），(0,0,1)P ，11(0,,)22E ，1,0,1PB =- （），1,1,1PC =- （），11(0,,22AE = ．··························································8分由（1）得11(0,,)22AE = 为平面PCD 的一个法向量．·······················································9分设平面PBC 的一个法向量为111()m x ,y ,z =．由0,0,PB m PC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得111110,0,x z x y z -=⎧⎨+-=⎩令11x =，解得11z =，10y =．所以(1,0,1)m =．·····································································································10分因此112cos ,2m AEm AE m AE⋅===⋅．·······························································11分由图可知二面角B PC D --的大小为钝角．故二面角B PC D --的余弦值为12-．·········································································12分解法二：（1）同解法一．·····································································································6分（2）过点B 作BF 垂直于PC 于点F ，连接DF 、BD ．因为PB PD =，BC CD =，PC PC =，所以PBC PDC △≌△．······························································································7分因此易得090DFC BFC ∠=∠=，BF DF =．································································8分所以BFD ∠为二面角B PC D --的平面角．···································································9分设1PA AB ==，则BD =3BF DF ==．·························································10分在BDF △中，由余弦定理，得222222)133cos 2263BF DF BDBFD BF DF+-+-∠==-⋅．故二面角B PC D --的余弦值为12-．·········································································12分18．（12分）记n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知0n a >，2634n n n S a a =+-．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设2211n n n n n a a b a a +++=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【命题意图】本小题主要考查递推数列、等差数列的通项公式与数列求和等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力等，考查化归与转化思想、特殊与一般思想等，体现基础性，导向对发展逻辑推理、数学运算等核心素养的关注．【试题解析】解：（1）当1n =时，2111634S a a =+-，所以14a =或1-（不合，舍去）．································1分因为2634n n n S a a =+-①，所以当2≥n 时，2111634n n n S a a ---=+-②，由①-②得2211633n n n n n a a a a a --=+--，······································································2分所以()()1130n n n n a a a a --+--=．················································································3分又0n a >，所以13n n a a --=．······················································································4分因此{}n a 是首项为4，公差为3的等差数列．···································································5分故()43131n a n n =+-=+．························································································6分（2）由（1）得()()()()22313433231343134n n n b n n n n +++==+-++++，········································9分所以()33333392()2477103134434n nT n n n n n =+-+-+⋅⋅⋅+-=++++．····························12分19．（12分）ABC △中，60B =︒，2AB =，ABC △的面积为（1）求AC ；（2）若D 为BC 的中点，,E F 分别为,AB AC 边上的点（不包括端点），且120EDF ∠=︒，求DEF △面积的最小值．【命题意图】本小题主要考查解三角形、三角恒等变换等基础知识，考查推理论证能力和运算求解能力等，考查数形结合思想和化归与转化思想等，体现综合性与应用性，导向对发展直观想象、逻辑推理、数学运算及数学建模等核心素养的关注．【试题解析】解法一：（1）因为60B =︒，2AB =，所以1sin 2ABC S AB BC B =⋅⋅⋅△13222BC =⨯⨯32BC =，·············································2分又ABC S =△，所以4BC =．···················································································3分由余弦定理，得2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅·······················································4分221242242=+-⨯⨯⨯12=，·························································································5分所以AC =········································································································6分（2）设BDE θ∠=，[]0,60θ∈︒︒，则60CDF θ∠=︒-．在BDE △中，由正弦定理，得sin sin BD DEBED B=∠，·························································7分即2sin(60)32θ=︒+，所以3sin(60)DE θ=︒+；···························································8分在CDF △中，由正弦定理，得sin sin CD DFCFD C=∠，由（1）可得30C =︒，即21sin(90)2DF θ=︒-，所以1cos DF θ=；·····································9分所以1sin 2DEF S DE DF EDF =⋅⋅⋅∠△34sin(60)cos θθ=︒+⋅=········································································10分=，············································································11分当15θ=︒时，sin(260)1θ+︒=，min ()6DEF S ==-△故DEF △面积的最小值为6-．············································································12分解法二：（1）同解法一．·····································································································6分（2）设CDF θ∠=，[]0,60θ∈︒︒，则60BDE θ∠=︒-．在CDF △中，由正弦定理，得sin sin CD DFCFD C=∠，························································7分由（1）可得30C =︒，即21sin(30)2DFθ=︒+，所以()1sin 30DF θ=︒+；···························8分在BDE △中，由正弦定理，得sin sin BD DEBED B=∠，即2sin(120)32θ=︒-，所以sin(120)DE θ=︒-；·························································9分所以1sin 2DEF S DE DF EDF =⋅⋅⋅∠△()334sin 30sin(120)θθ=⋅︒+⋅︒-13312222=⎝⎭⎝⎭ (10)分=······················································································11分当45θ=︒时，sin 21θ=，min ()6DEF S ==-△故DEF △面积的最小值为6-．············································································12分20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的离心率为12，点32A 在E 上．（1）求E 的方程；（2）斜率不为0的直线l 经过点1(,0)2B ，且与E 交于Q P ,两点，试问：是否存在定点C ，使得QCB PCB ∠=∠？若存在，求C 的坐标；若不存在，请说明理由．【命题意图】本小题主要考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想等，体现基础性、综合性与创新性，导向对发展逻辑推理、直观想象、数学运算、数学建模等核心素养的关注．【试题解析】解法一：（1）因为椭圆E的离心率12e a ==，所以2234a b =①，··································1分点)23,3(A 在椭圆上，所以143322=+ba ②，·······························································2分由①②解得42=a ，32=b ．························································································3分故E 的方程为13422=+y x ．··························································································4分（2）假设存在定点C ，使得PCB QCB ∠=∠．由对称性可知，点C 必在x 轴上，故可设(,0)C m ．··························································5分因为PCB QCB ∠=∠，所以直线PC 与直线QC 的倾斜角互补，因此0PC QC k k +=．·············6分设直线l 的方程为：21+=ty x ，),(11y x P ，),(22y x Q ．由221,2143x ty x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去x ，得04512)1612(22=-++ty y t ，···············································7分2222(12)4(1216)(45)144180(1216)0t t t t ∆=-⨯+⨯-=+⨯+>，所以t ∈R ，122121216t y y t +=-+，122451216y y t =-+，····································································8分因为0=+QC PC k k ，所以02211=-+-mx y m x y ，所以0)()(1221=-+-m x y m x y ，即0)21()21(1221=-++-+m ty y m ty y ．·························9分整理得121212()()02ty y m y y +-+=，所以0161212)21()161245(222=+-⨯-++-⨯t t m t t ，即01612)12)(21(902=+--+-t t m t ．·················10分所以0)21(1290=-+m t t ，即0)]21(1290[=-+t m ，对t ∈R 恒成立，即0)1296(=-t m 对t ∈R 恒成立，所以8=m ．·····························································11分所以存在定点)0,8(C ，使得QCB PCB ∠=∠．·······························································12分解法二：（1）同解法一．·····································································································4分（2）若点C 存在，当直线PQ 垂直x 轴时，点C 必在x 轴上，如果直线PQ 不垂直x 轴，由对称性可知，点C 也必在x 轴上．···········································5分假设存在点)0,(m C ，使得QCB PCB ∠=∠，即直线PC 与直线QC 的倾斜角互补，所以0=+QC PC k k ．····································································································6分设直线l 的方程为)21(-=x k y ，),(11y x P ，),(22y x Q ．由221(2143y k x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去x ，得0124)34(2222=-+-+k x k x k ，··········································7分22222(4)4(43)(12)1801440k k k k ∆=--⨯+-=+>，所以k ∈R ，2122443k x x k +=+，34122221+-=k k x x ，··············································································8分因为0=+QC PC k k ，所以02211=-+-m x y m x y ，所以0)()(1221=-+-m x y m x y ，················9分即122111()()()022k x x m k x x m --+--=．整理得0]))(21(2[2121=+++-m x x m x x k ，··································································10分所以0]34421(34242[2222=++⨯+-+-m k k m k k k ，整理得0342432=+-⨯k m k ，对任意的k ∈R 恒成立，····························································11分所以8=m ，故存在x 轴上的定点)0,8(C ，使得QCB PCB ∠=∠．····································12分21．（12分）已知函数()2()1e xf x x ax =++．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若函数()2()1e 1xg x x mx =+--在[)1,-+∞有两个零点，求m 的取值范围．【命题意图】本小题主要考查导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性、最值和零点等问题，考查抽象概括、推理论证、运算求解能力，考查应用意识与创新意识，综合考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想、有限与无限思想以及特殊与一般思想，考查数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算、数学建模等核心素养．【试题解析】。

【福建省莆田】2017学年高考一模数学年(理科)试题

17．（1）解：由2n S n kn =+，有121(2)n n n a S S n k n -==+-≥-，又111a S k ==+， ∴21n a n k =+-．∵1a ，4a ，13a 成等比数列， ∴24113a a a =，即2(241)(211)(2131)k k k ⨯+-=⨯+-⨯+-，解得2k =．∴21n a n =-；（2）证明：∵1441(1)(3)(22)(26)(1)(3)n n n b a a n n n n +===++++++．∴111()213n b n n =-++．∴12n n T b b b =+++，1111111111111[()()()()()()]+-+-+=-+-+--+18．解：（1）由以上统计数据填写22⨯列联表，如下；计算21000(400140360100)8.772 6.635760240500500K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，对照临界值表得出，有99%的把握认为：“两个分厂生产的产品的质量有差异”；（2）计算甲厂优秀率为4000.8500=，乙厂优秀率为3600.72500=，所以甲厂的优秀品率高，计算甲厂数据的平均值为：1(301040405011560165701208045905)60500x =⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，（3）根据（2）知，60μ=，2142σ=，且甲厂产品的质量指标值X 服从正态分布X ～(60,142)N ，又11.92σ≈，则(6011.926011.92)(48.0871.92)0.6826P X P X -<<+=<<=，1(48.0871.92)10.6826(71.92)0.15870.1822P X P X -<<->===<，故不能够认为该分厂生产的产品中，质量指标值不低于71.92的产品至少占全部产品的18%． 19．证明：（1）连结11B C 、1BC ，设11BC B C M =，∵11BB CC ∥， ∴四边形11BB C C 为平行四边形， ∴M 为1BC 的中点，在1ABC △中，O 为AB 的中点， ∴1MO AC ∥，又1AC ⊄平面1B CD ，MO ⊂平面1B CD ， ∴11AC COB ∥平面．解：（2）如图，∵AB 是圆O 的直径， ∴AC BC ⊥，∵1C C ABC ⊥平面， ∴11,C C AC C C BC ⊥⊥，又60BAC ︒∠=，2AB =， ∴1AC =，BC 13AA =，以点C 为坐标原点，分别以CA ，CB ，1OC 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则(0,0,0)C ，(1,0,0)A，B ，10,(0,3)C，1(2O，1(B ，在圆O 上，C ，D 关于直线AB 对称，AOC △为正三角形，且1OA =，∴CD =30ACD ∠=，过点D 作DP x ⊥轴，DQ y ⊥轴，垂足分别为P ，Q ，则3cos 2CP CD ACD =∠=，1sin 2CQ CD ACD =∠==，∴3(2D ，∴3(2CD =，设平面1CDB 的一个法向量(,,)n x y z =，则30330nCD x n CB y z ⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩，取y =(1,3,1)n =-，平面1B BC 的一个法向量(1,0,0)n =，设二面角1D B C B --的二面角为θ，则cos ||||5||m mn n θ===．故二面角1D B C B --．20．解：（1）由题意可知：2211221x y a b +=①，2222221x y a b+=②，两式相减得：121212122()()()0)(x x x x y y y y a +-+-+=，由12x x ≠，则121211222()()()()x x x x y y y a y +-=-+-，由A ，B 在直线21y x =+，则12122y y k x x -==-，A ，B 中点横坐标为13-，则中点的纵坐标为13，∴2213223a -=-，解得：212a =，又0a>，则a （2）直线AB 的方程为y kx m =+，则2221y kx m x y a =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，222222(12)1)(0a k x kma x a m +-++=， 0∆>，即222222(241)(1)()0kma a m a k +-->，则2221m a k +<，由韦达定理可知：则2122221kma x x a k +=-+，221222(1)1a m x x a k-=+，由m n ⊥，则0m n =，212120x x a y y +=，从而222221212(10)()a k x x kma x x a m ++++=，代入并整理得22221m a k =+，由原点O 到直线AB 的距离d =，则OAB △的面积212211||1||221S d AB k x x k ==+-+，121||()2m x x =+221(1||2kma a m =-+ 222||(11m a m a k =-+ 22||2m a m m =， a =，21．解：（1）设切点(,())Q t f t ，由直线32()231f x x x -=+，求导，2()66f x x x '=-，则()f x 在Q 点的切线的斜率266k t t =-，则切线方程为2()(66)()y f t t t x t -=--，由切线过点(,4)P a -，则24()(66)()f t t t a t ---=-，整理得：32436)650(t a t at ++-=-，又由曲线恰有两条切线，即方程恰有两个不同的解，令32(()436)65H t t a t at =++--，求导2()126(612)6H t t a t a '=++-，令()0H t '=，解得：12t =，2t =，当12a =时，()0H t '≥，函数()H t 在R 上单调递增，没有两个零点，不符合题意，当12a >时，且1(,)(,)2t a ∈-∞+∞时，()0H t '>，当1(,)2t a ∈时，()0H t '<，∴()H t 在1(,)2-∞，(,)a +∞单调递增，在1(,)2a 单调递减；要使()H t 在R 上有两个零点，则1()02()H H a a ⎧=⎪⎨⎪<⎩，或1()02()0H H a ⎧>⎪⎨⎪=⎩，由113337()35()224222H a a a =--+-=-， 322(()436)65H a a a a a =++--2(1)(255)a a a -=-++ 2515(1)[2()8]4a a =-+-+，∴70210a a ⎧-=⎪⎨⎪+>⎩或70210a a ⎧->⎪⎨⎪+=⎩，则72a =，当12a <时，同理可知：10702a a +=⎧⎪⎨-<⎪⎩或10702a a +<⎧⎪⎨-=⎪⎩，则1a =-，综上可知：1a =-或72a =；（2）322()231(1)21)(f x x x xx -=+=+﹣， ∴()f x 在(0,)+∞上只有一个零点1x =，1()g x k x'=-，当0k ≤时，()0g x '<，则()g x 在(0,)+∞上单调递减，()g x 在(0,)+∞上至多只有一个零点，故0k ≤不符合题意；当0k >，1()0g x k x '=-=，解得：1x k=， ∴当1(0,)x k ∈时，()0g x '<，当1(,)x k ∈+∞时，()0g x '>，∴()g x 在1(0,)k 上单调递减，在1(,)k+∞上单调递增；∴()g x 有最小值1()2ln g k k=+，①当21e k =时，1()0g k=，()g x 只有一个零点，不满题意；②当21ek >时，1()0g k >，()g x 在(0,)+∞上无零点，不满足题意； ③当21ek <时，1()0g k <，由1()(1)(2ln )(1)0g g k k k =++<，∴()g x 在1(1,)k 上有一个零点，设为1x ，若11()(e )0k g g k<，()g x 在1(,)k +∞上有一个零点，设为2x ，易证1211e ()e k k k>>，下面证明：1(e )0k g >，令2()e x F x x =-，(2)x >，求导()e 2x F x x '=-，2()e 2e 20x F x -=>-''>，∴()(2,)F x +∞在上单调递增；∴2()(2)e 40F x F ->=>，∴22e 0x ->，即22e x >，(2)x >，现在去1e k x =，由20e k -<<， ∴2e 2x >>，则111(e )e 1lne k k k g k =+-，11e 1kk k =+-，由21e 2k >>，则121e k k >， ∴1211(e )110k g k k k>+-=>，∴12()()0g x g x ==，∴由(1)10g k =+>，1()0f x >，2()0f x >，故(1)(1)0h f >=，11()()0h x g x ==，22()()0h x g x ==，故()h x 有三个零点，22．解：（1）∵圆C 的方程为22(1)(1)2x y -+-=，∴圆C的参数方程为11x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩（α为参数），∵直线l的极坐标方程为πsin()4ρθ+=∴)ρθθ+=sin cos 40ρθρθ+-=， ∴直线l 的普通方程是40x y +-=；（2）由题意设(1,1)P αα+，∴点P 到直线l距离dπ|2sin()2|α+-=πsin()1|4α=+-，∵π1sin()14α-≤+≤，∴π0sin()1|4α≤+-≤即0d ≤≤，[选修4—5不等式选讲]23．解：（1）62,2()4||22,242|6|,4x x f x x x x x x -≤⎧⎪=-+-=<<⎨⎪-≥⎩．∴当2x ≤时，()2f x >，622x ->，解得2x <；当24x <<时，()2f x >得22>，无解；当4x ≥时，()2f x >得262x ->，解得4x >．所以不等式()2f x >的解集为(,2)(4,)-∞+∞．（2））∵4||22||x x -+-≥， ∴2M =，∵2x a M +≥的解集包含[0,1]， ∴022a +≥，122a +≥，a≥．∴1+∞．故a的取值范围为：[1,)福建省莆田市2017年高考一模数学（理科）试卷解析一、选择题1．【考点】交集及其运算．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，求出B中x的范围确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣1）（x﹣5）≤0，解得：1≤x≤5，即A=[1，5]，由B中y=log2（x﹣2），得到x﹣2＞0，解得：x＞2，即B=（2，+∞），则A∩B=（2，5]，故选：C．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的意义即可得出．【解答】解：∵（1﹣i）z=3+i，∴（1+i）（1﹣i）z=（3+i）（1+i），化为：2z=2+4i，即z=1+2i．故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义，结合直线平行的性质及判定分别进行判断即可．【解答】解：l1∥l2”得到：a2﹣1=0，解得：a=﹣1或a=1，所以应是充分不必要条件．故选：A【点评】本题考查了充分必要条件，考查直线平行的充要条件，是一道基础题．4．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】依题意首先把x＜0时，函数的解析式求出．再把x=﹣2代入函数式得出答案．【解答】解：设x＜0，因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f[﹣（﹣x）]=﹣2﹣（﹣x）∴当x＜0时，函数的解析式为f（x）=﹣2﹣x∴f（﹣2）=﹣2﹣（﹣2）=﹣4故选B．【点评】本题主要考查函数的奇偶性问题．此类问题通常先求出函数的解析式．5．【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的S，a的值，当a=40时，不满足条件a≤32，退出循环，输出S的值为81，即可得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得a=1，S=0，n=1满足条件a≤32，执行循环体，S=1，n=2，a=8满足条件a≤32，执行循环体，S=9，n=3，a=16满足条件a≤32，执行循环体，S=25，n=4，a=24满足条件a≤32，执行循环体，S=49，n=5，a=32满足条件a≤32，执行循环体，S=81，n=6，a=40不满足条件a≤32，退出循环，输出S的值为81．故选：B．【点评】本题考查了求程序框图运行结果的问题，解题时应模拟程序框图运行过程，总结规律，得出结论，属于基础题．6．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数n=24=16，再求出正面不连续出现包含的基本事件个数m=1+=8，由此能求出抛掷一枚均匀的硬币4次，正面不连续出现的概率．【解答】解：抛掷一枚均匀的硬币4次，基本事件总数n=24=16，正面不连续出现包含的基本事件个数m=1+=8，∴抛掷一枚均匀的硬币4次，正面不连续出现的概率：p==．故选：B．【点评】本题考查概率的求法，以及化简整理的运算能力，属于基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．7．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】如图所示，该几何体为：多面体DE﹣ABC．CE⊥底面ABC，DA⊥底面ABC．ADEC为矩形．△ABC 为等腰直角三角形，BC=2，AC⊥AB．连接AE，该几何体的体积V=V E﹣ABC+V B﹣ADE，即可得出．【解答】解：如图所示，该几何体为：多面体DE﹣ABC．CE⊥底面ABC，DA⊥底面ABC．ADEC为矩形．△ABC为等腰直角三角形，BC=2，AC⊥AB．连接AE，该几何体的体积V=V E﹣ABC+V B﹣ADE=+=．故选：B．【点评】本题考查了三棱锥的三视图与体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．【考点】正弦函数的单调性．【分析】由题意可得+=42，求得ω的值，再根据对称中心求得φ的值，可得函数f（x）的解析式，利用正弦函数的单调性，求得f（x）的单调递增区间．【解答】解：函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜），A（，0）为f（x）图象的对称中心，B，C是该图象上相邻的最高点和最低点，若BC=4，∴+=42，即12+=16，求得ω=．再根据•+φ=kπ，k∈Z，可得φ=﹣，∴f（x）=sin（x﹣）．令2kπ﹣≤x﹣≤2kπ+，求得4kπ﹣π≤x≤4kπ+π，故f（x）的单调递增区间为（4kπ﹣π，4kπ+π），k∈Z，故选：D．【点评】本题主要考查正弦函数的周期性、最值以及单调性，属于中档题．9．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可知：四边形PFQF1为平行四边，利用双曲线的定义及性质，求得∠OPF1=90°，在△QPF1中，利用勾股定理即可求得a和b的关系，根据双曲线的离心率公式即可求得离心率e．【解答】解：由题意可知：双曲线的右焦点F1，由P关于原点的对称点为Q，则丨OP丨=丨OQ丨，∴四边形PFQF1为平行四边，则丨PF1丨=丨FQ丨，丨PF丨=丨QF1丨，由|PF|=3|FQ|，根据椭圆的定义丨PF丨﹣丨PF1丨=2a，∴丨PF1丨=a，|OP|=b，丨OF1丨=c，∴∠OPF1=90°，在△QPF1中，丨PQ丨=2b，丨QF1丨=3a，丨PF1丨=a，∴则（2b）2+a2=（3a）2，整理得：b2=2a2，则双曲线的离心率e===，故选B．【点评】本题考查双曲线的简单几何性质简单几何性质，考查数形结合思想，属于中档题．10．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】如图建立平面直角坐标系，设AD=m，则AD=，由BE⊥DC，∴，⇒m 即可．【解答】解：如图建立平面直角坐标系，设AD=m，则AD=，∴A（0，），D（m，），C（2m，0），，=（）'∵BE⊥DC，∴，⇒m=．∴，，则的值为﹣×+02×=﹣2．故选：A．【点评】本题考查了，向量的坐标运算，属于基础题．11．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由已知得到几何体为平放的三棱柱，根据图中数据计算表面积．【解答】解：由已知得到几何体如图：三棱柱的表面积为=3+2；故答案为：3+2【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】先根据抛物线方程求出p的值，再由抛物线的性质求出AB的垂直平分线方程，可得到答案．【解答】解：∵抛物线y2=4x，∴p=2，设经过点F的直线y=k（x﹣1）与抛物线相交于A、B两点，A（x1，y1），B（x2，y2），直线y=k（x﹣1）代入y2=4x，整理可得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，∴x1+x2=2+利用抛物线定义，AB中点横坐标为x1+x2=|AB|﹣p=6﹣2=4．AB中点横坐标为2∴2+=4，∴k=±AB中点纵坐标为k，AB的垂直平分线方程为y﹣k=﹣（x﹣2），令y=0，可得x=4，∴|FM|=3．故选：D．【点评】本题主要考查了抛物线的性质．属中档题．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用，确定AB的垂直平分线方程是关键．12．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】构造函数：g（x）=，g（0）==﹣1．对任意x∈R，都有f（x）＞f'（x）+1，可得g′（x）=＜0，函数g（x）在R单调递减，利用其单调性即可得出．【解答】解：构造函数：g（x）=，g（0）==﹣1．∵对任意x∈R，都有f（x）＞f'（x）+1，∴g′（x）==＜0，∴函数g（x）在R单调递减，由f（x）+e x＜1化为：g（x）=＜﹣1=g（0），∴x＞0．∴使得f（x）+e x＜1成立的x的取值范围为（0，+∞）．故选：A．【点评】本题考查了构造函数法、利用导数研究函数的单调性极值与最值、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、填空题13．【考点】二项式定理的应用．【分析】把（x+y）5 按照二项式定理展开，可得（x﹣2y）（x+y）5的展开式中x3y3的系数．【解答】解：根据根据（x+y）5 =（•x5+•x4y+•x3y2+x2y3+•xy4+•y5），可得（2x﹣1）（x+y）5的展开式中，x3y3的系数为2=20，故答案为：20．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．14．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=x﹣2y为，由图可知，当直线过点A（2，0）时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为2．故答案为：2．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15．【考点】余弦定理．【分析】由已知整理可得：b2+c2﹣a2=bc，由余弦定理可得cosA=，结合范围A∈（0，π），可求A，由三角形内角和定理可求C=﹣B，利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得=2sin（B+），由B∈（0，），利用正弦函数的性质可求sin（B+）∈（，1]，即可得解．【解答】解：∵=，可得：（a﹣b+c）（a+b﹣c）=bc，∴整理可得：b2+c2﹣a2=bc，∴由余弦定理可得：cosA===，∵A∈（0，π），∴A=，可得：C=﹣B，∴====2sin（B+），∵B∈（0，），B+∈（，），可得：sin（B+）∈（，1]，∴=2sin（B+）∈（1，2]．故答案为：（1，2]．【点评】本题主要考查了余弦定理，三角形内角和定理，正弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．16．【考点】直线与平面所成的角．【分析】求出球半径为，根据图形找出直线C1M与平面ABD所成角，解三角形即可．【解答】解：如图所示，设O为球心，E、F分别为△ABD、△C1BD的外接圆圆心，则有OE⊥面ABD，OF⊥面C1BD，∵菱形ABCD中，∠BAD=，AB=3∴△ABD、△C1BD为等边△，故E、F分别为△ABD、△C1BD的中心．∵球O的表面积为16π，∴球半径为2．在直角△AOM中，OA=2，AE=，⇒QE=1．tan∠OME=，∵C1M⊥DB，AM⊥DB，∴DB⊥面AMC1，∴∠C1MA（或其补角）就是直线C1M与平面ABD所成角．∠C1MA=2∠OME，tan∠C1MA=tan（2∠OME）=，sin∠C1MA=，直线C1M与平面ABD所成角的正弦值为，故答案为：．【点评】本题考查了棱锥与外接球的关系，找出线面角是解题关键．属于中档题．三、解答题17．【考点】数列的求和．【分析】（1）由已知数列的前n项和求得a n=S n﹣S n﹣1=2n+k﹣1（n≥2），再求得首项，验证首项成立可得数列通项公式，结合a1，a4，a13成等比数列求得k，则通项公式可求；（2）把（1）中求得的通项公式代入，整理后利用裂项相消法求得数列{b n}的前n 项和为T n，放缩可得．【点评】本题考查数列递推式，考查了由数列的前n项和求数列的通项公式，训练了裂项相消法求数列的前n项和，属中档题．18．【考点】独立性检验．【分析】（1）根据统计数据填写2×2列联表，计算K2，对照临界值表得出结论；（2）计算甲厂、乙厂优秀率，得出甲厂优秀品率高，计算甲厂的平均值；（3）根据（2）知甲厂产品的质量指标值X～N（60，142），计算对应的概率值即可．【点评】本题主要考查了独立性检验与正态分布的特点及概率求解问题，也考查了推理与运算能力．19．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连结B1C1、BC1，设BC1∩B1C=M，推导出四边形BB1C1C为平行四边形，从而MO∥AC1，由此能证明AC1∥平面COB1．（2）以点C为坐标原点，分别以CA，CB，OC1为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D﹣B1C﹣B的二面角的余弦值．【点评】本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系及二面角、空间向量等基础知识；考查学生的空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力；考查了化归与转化及数形结合的数学思想．20．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）利用点差法求得直线的斜率公式，k==2，根据中点坐标公式，即可求得a的值；（2）设直线y=kx+m代入椭圆方程，利用韦达定理及由向量数量积的坐标运算，根据弦长公式，点到直线的距离公式，根据三角的面积公式即可求得△OAB的面积为定值．【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆位置关系，考查韦达定理，弦长公式，点到直线的距离公式，考查向量的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．21．【考点】利用导数研究函数的极值；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求导，利用导数求得f（x）在Q的切线方程，构造辅助函数，利用导数与函数单调性的关系，分类讨论即可求得a的值；（2）根据函数定义，求h（x），根据函数的单调性及函数零点的判断，采用分类讨论法，求得函数h（x）零点的个数，即可求得h（x）恰有三个零点时，实数k的取值范围．【点评】本题考查导数及其应用等基础知识，考查抽象概括能力、推理能力句函数和方程思想、分类和整合思想，是一道综合题，属于难题．22．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）由题意求出圆C的参数方程和直线l的普通方程；（2）由题意设P（，），由点到直线的距离公式表示出点P到直线l距离，利用两角和的正弦公式化简后，由正弦函数的值域求出答案．【点评】本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程法转化，点到直线的距离公式，两角和的正弦公式，以及正弦函数的值域等，考查化归与转化思想，化简、计算能力．23．【考点】绝对值不等式的解法；函数的最值及其几何意义．【分析】（1）f（x）=|x﹣4|+|x﹣2|=．分x≤2时，；2＜x＜4，x≥4，解f（x）＞2．（2））由|x﹣4|+|x﹣2|≥2，得M=2，由2x+a≥M的解集包含[0，1]，得20+a≥2，21+a≥2．【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，及恒成立问题，属于中档题．。

2020年福建省莆田市高三3月模拟考试理科数学试题-含答案

上一关的礼品ꎬ 获得的礼品不累计ꎬ 闯关结束 �� 已知第一关通过的概率为１ ꎬ ２
１可获得价值３００元的礼品ꎻ 第二关通过的概率为３ ꎬ 可获得价值８００元的
１礼品ꎻ 第三关通过的概率为 ꎬ 可获得价值１８００元的礼品 ��
４
若参与活动的幸运者均选择礼品价值期望值较高的活动ꎬ 该公司以该期望值为
２
５
３
１２�� 设函数ｆ( ｘ) ＝ａｘ－ｘａ (ａ > １ ) 的定义域为(０ꎬ ＋ ∞ ) ꎬ 已知ｆ( ｘ) 有且只有一个零点 ��
下列四个结论:
① ａ＝ｅꎻ ② ｆ(ｘ) 在区间(１ꎬ ｅ) 单调递增ꎻ
③ ｘ＝ｅ是ｆ( ｘ) 的零点ꎻ ④ ｘ＝１是ｆ ( ｘ) 的极大值点ꎬ ｆ( ｅ) 是ｆ( ｘ) 的最小值 ��
１４��
设ｘꎬ
ｙ
ìïïｘ满足约束条件 íｘ
－＋
ｙｙ
＋－
１２
≥ ≥
０ꎬ ０ꎬ
îïïｘ ≤ ３ꎬ
则ｚ＝ｘ
ｙ＋
的最大值为２
��
{２ｘꎬ ｘ ≤ １ꎬ
１５�� 已知函数ｆ (ｘ ) ＝
且ｆ (ａ ) ＝５ꎬ 则ｆ (２－ａ ) ＝ ��
S=1,n=1
７�� 函数ｆ (ｘ ) ＝ｌｎｘ＋ａｘ３的图象在点Ｐ (１ꎬ ｆ (１ ) ) 处的切线分别交ｘ轴ꎬ ｙ轴于Ａꎬ Ｂ两点ꎬ Ｏ为坐标原点ꎬ ２Ｏ→Ｐ＝Ｏ→Ａ＋Ｏ→Ｂꎬ 则ａ＝
［］ S=S+
2n n+2

2019-2020学年福建省莆田市仙游县第二中学高三数学理模拟试卷含解析

2019-2020学年福建省莆田市仙游县第二中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设抛物线上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是（）A．4 B．6 C．8 D．12参考答案：B2. 已知向量，向量满足，则||的值为（）A． B． C．4 D．参考答案：B3. 设f（x）=x3+log2（x+），则对任意实数a，b，a+b≥0是f（a）+f（b）≥0的（）A．充分必要条件B．充分而非必要条件C．必要而非充分条件D．既非充分也非必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数单调性的性质；奇函数．【分析】由f（﹣x）=﹣x3+log2（﹣x+）=﹣x3+log2=﹣x3﹣log2（x+）=﹣f（x），知f（x）是奇函数．所以f（x）在R上是增函数，a+b≥0可得af（a）+f（b）≥0成立；若f（a）+f（b）≥0则f（a）≥﹣f（b）=f（﹣b）由函数是增函数知a+b≥0成立a+b＞=0是f（a）+f（b）＞=0的充要条件．【解答】解：f（x）=x3+log2（x+），f（x）的定义域为R∵f（﹣x）=﹣x3+log2（﹣x+）=﹣x3+log2=﹣x3﹣log2（x+）=﹣f（x）．∴f（x）是奇函数∵f（x）在（0，+∞）上是增函数∴f（x）在R上是增函数a+b≥0可得a≥﹣b∴f（a）≥f（﹣b）=﹣f（b）∴f（a）+f（b）≥0成立若f（a）+f（b）≥0则f（a）≥﹣f（b）=f（﹣b）由函数是增函数知a≥﹣b∴a+b≥0成立∴a+b≥0是f（a）+f（b）≥0的充要条件．4. 在等差数列{a n}中，a1=2，a3+a5=10，则a7=（）A．5 B．8 C．10 D．14参考答案：B【考点】等差数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由题意可得a4=5，进而可得公差d=1，可得a7=a1+6d，代值计算即可．【解答】解：∵在等差数列{a n}中a1=2，a3+a5=10，∴2a4=a3+a5=10，解得a4=5，∴公差d==1，∴a7=a1+6d=2+6=8故选：B【点评】本题考查等差数列的通项公式，属基础题．5.已知数列是公差为2的等差数列，且成等比数列，则为A B 1 C 2 D 3参考答案：答案:D6. 二项式的展开式中的常数项为（A）（B）（C）（D）参考答案：D展开式的通项为，令，得，所以常数项为，选D.7. 已知数列为等比数列，且，则的值为（）A． B．C． D．参考答案：A考点：积分的运算、等比中项.8. 已知抛物线y2=2px，O是坐标原点，F是焦点，P是抛物线上的点，使得△POF是直角三角形，则这样的点P共有（）A．0个B．2个C．4个D．6个参考答案：B【考点】抛物线的简单性质．【分析】如图所示，过焦点F作PF⊥x轴，交抛物线于点P，P′．则△OFP、△OFP′都是直角三角形．而==2＞1，可得∠POF＞45°．即∠POP′＞90°．于是△POP′不是直角三角形．即可得出符合条件的点P的个数．【解答】解：如图所示，过焦点F作PF⊥x轴，交抛物线于点P，P′．则△OFP、△OFP′都是直角三角形．而==2＞1，∴∠POF＞45°．∴∠POP′＞90°．∴△POP′不是直角三角形．综上可知：使得△POF是直角三角形的抛物线上的点P有且只有2个．故选B．9. 下列函数中，图像的一部分如右图所示的是（）A． B.C. D. 。

福建省莆田第一中学2017届高三下学期考前模拟(最后一卷)数学(理)试题(含解析)

莆田一中2016-2017学年高三理数5月模拟试卷满分 150分考试时间 120分钟一、选择题(本大题共有12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题意)1.已知集合A={x N|x1},B={x|x2-x-20},则A B=( )A. {0,1}B. {-1,0,1}C. [-1,1]D. {1}【答案】A【解析】因为A={x N|x1},B={x|x2-x-20}，所以A B={0,1}，故选A.2.若复数z满足z2=-4,则||=( )A. B. 3 C. D. 5【答案】C【解析】因为z2=-4,所以，，故选C.3.一批产品次品率为4%,正品中一等品率为75%.现从这批产品中任取一件,恰好取到一等品的概率为( )A. 0.75B. 0.71C. 0.72D. 0.3【答案】C【解析】因为这批产品次品率为，所以正品率为，又因为正品中一等品率为，所以这批产品一等品率为，从这批产品中任取一件,恰好取到一等品的概率为.4.公差不为0的等差数列{a n}的前n项的和为S n,若a6=3a4,且S10=a4,则的值为( )A. 15B. 21C. 23D. 25【答案】D【解析】设公差为，由，且，则，解得，故选D.5.已知双曲线+=1的一条渐近线斜率大于1,则实数m的取值范围( )A. (0,4)B. (0,)C. (0,2)D. (,4)【答案】B【解析】是双曲线，，又双曲线的一条渐近线斜率大于1，，得，故选B.6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )A. 8-B. 8-C. 24-D. 24+【答案】C【解析】由已知三视图得到几何体是一个棱长为的正方体切割去半径为的个球，所以表面积为，故选C.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.7.我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺,两鼠对穿,初日各一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问几何日相逢？”现用程序框图描述,如图所示,则输出结果n=( )A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】开始，输入，则，判断，否，循环，，则，判断，否，循环，则，判断，否，循环，则，判断，是，输出，结束.故选择C.8.函数f(x)=x2-sin|x|在[-2,2]上的图象大致为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】函数在是偶函数，则，在可得，令，可得方程只有一个解，如图：可知，在由一个极值点，排除，，排除，故选B.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考察函数的解析式、定义域、值域、单调性，导数的应用以及数学化归思想，属于难题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意选项一一排除.9.函数f(x)=cos(x+)(>0)在[0,]内值域为[-1,],则的取值范围是( )A. [,]B. [,]C. [,+)D. [,]【答案】D【解析】函数，当时，，画出图形如图所示：则，解得，的取值范围是，故选D.10.已知点A(5,0),抛物线C:y2=2px(0<p<5)的准线为l,点P在C上,作PH l于H,且|PH|=|PA|,APH=120,则p=( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】设，故做，则由，则，由抛物线的定义可知：，则，则，则，将代入抛物线方程，解得的值，故选B.11.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为6,点O在BC上,且BO=OC,过点O的直线l与直线AA1,C1D1分别交于M,N两点,则MN与面ADD1A1所成角的正弦值为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】将平面延展与交于连结，并延长与延长线交于，平面交于，可知等于与成角,，由正方体的性质可知，，故选 .12.已知直线l1:y=x+a分别与直线l2：y=2(x+1)及曲线C:y=x+ln x交于A,B两点,则A,B两点间距离的最小值为( )A. B. 3 C. D. 3【答案】D【解析】由，得，由，得，，在上递减，在上递增，，即两点间距离的最小值为，故选D.【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值，属于难题．利用导数研究函数的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数的定义域；②对求导；③令，解不等式得的范围就是递增区间；令，解不等式得的范围就是递减区间；④根据单调性求函数的极值及最值（闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小）.二、填空题(本大题共有4个小题,每题5分,共20分)13.设变量x,y满足约束条件则z=x-2y的最大值为_______【答案】【解析】不等式组表示平面区域为：且可得，则经过时，在轴上的截距最大，即，故答案为 . 【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.14.已知a=(,),|b|=1,|a+2b|=2,则b在a方向上的投影=_______【答案】【解析】，可得，即为，即有，可得在方向上的投影为，故答案为 .15.(x+3)(x+1)4展开式中不含x2项的系数之和为________【答案】42【解析】展开式中含项的系数之和为，所有项系数和为，所以展开式中不含x2项的系数之和为，故答案为 .16.数列{a n}的前n项和为S n,且S3=1,S4=-3, a n+3=2a n(n N*),则S2017=______【答案】－1【解析】,,故答案为 .三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时要求写出必要的文字说明或推演步骤. 请按照题目顺序在第Ⅱ卷各个题目的答题区域内作答.)17.如图,在ABC中,B=,D为边BC上的点,E为AD上的点,且AE=8,AC=4,CED =.(1)求CE的长(2)若CD=5,求cos DAB的值【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】试题分析：（I）在中,由余弦定理,解方程即可结果；（II）由正弦定理得，再根据同角三角函数之间的关系及两角差的余弦定理可得结果.试题解析：（Ⅰ）∵,在中,由余弦定理得,∴,∴,∴.（Ⅱ）在中,由正弦定理得,∴,∴,∵点在边上,∴,而<∴只能为钝角,∴,∴ ,．18.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1B1B为正方形,BB1C1C为菱形,B1C AC1（Ⅰ）求证：平面AA1B1B面BB1C1C；（Ⅱ）若D是CC1中点,ADB是二面角A-CC1-B的平面角,求直线AC1与平面ABC所成角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）．【解析】试题分析：（1）先证明, 从而，结合可得，进而可得结论；（2）分别以为轴建立空间直角坐标系，分别求出平面的一个法向量及直线的AC1一个方向向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果.试题解析：（1）连结,因为为菱形,所以,又,,所以,故。

2020届福建省莆田市仙游二中高三毕业班下学期高考考前最后一模数学试题及答案

绝密★启用前福建省莆田市仙游二中2020届高三毕业班下学期高考考前最后一模数学(文)试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}{}2360,16M x x N x x =-≥=<则MN = A ．(4,)+∞－ B ．[2,4)C ．[2,4)-D ．(4,2]- 2.已知sin 2cos 0αα-=，则sin 3cos sin ααα=- A ．15- B.12- C ．15 D ．23.“2a =”是“直线20x y -+=与圆22(2)()2x y a -+-=相切”的A ．充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C ．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4．若,x y 满足约束条件20,20,2,x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩则3z x y =-的最大值为A. 10-B.6-C.2D.不存在5.如图,网络纸的各小格都是边长为1的正方形,粗线画出的是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为A. 3B. 4C. 5D.116.若0.2log 0.3,a = 0.3log 0.2,b = 0.3log 2c =,则下列结论正确的是A.c a b <<B.a b c <<C.c b a <<D.b c a <<7.数列{}n a 是公差为2的等差数列,设n S 是数列{}n a 的前n 项和,若25818a a a ++=,则5S ＝A ． 5B ．10C ．20D ．308.已知双曲线22116x y m-=的一个焦点在直线5x y +=上,则双曲线的渐近线方程为 A. 34y x =± B. 43y x =± C. 23y x =± D. 32y x = 9.从装有大小相同的3个白球和2个红球（所有的球除颜色不同外,其余均相同）的不透明袋中,随机抽取2个球,则抽出两个球的颜色相同的概率为 A.35 B.25 C.720 D.31010.中国古代数学名著《周髀算经》曾记载有“勾股各自乘, 并而开方除之”,用现代数学符号表示是222a b c +=,可见当时就已经知道勾股定理,如果正整数,,a b c 满足222a b c +=,我们就把正整数,,a b c 叫做勾股数,下面依次给出前3组勾股数:3,4,5; 5,12,13;7,24,25.按照此规律,编写如右图所示的程序框图,则输出的勾股数是A.11,60,61B.13,84,85C.15,74,75D.17,85,8611.已知三棱锥P ABC -中,PA ABC ⊥平面,且23PA BC ＝，＝,23BAC π∠＝,则该三棱锥外接球的表面积为A ．823B.4πC.8πD.16π。

福建省莆田市高考一模数学(文科)试卷有答案

A B=（A121B81C74D4925π50π75π100π1AB C α平面ADD β平面所成角的余弦值为（）B ．12 3(0,2π)在上i 23i z =+，则满足约束条件x x ⎧⎪⎨90，AD ∥若DE 1EC =，BE ⊥则DA DC =________、解答题：本大题共17．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n kn =+，其中k 为常数，613a =．（1）求k 的值及数列{}n a 的通项公式；18．为了响应我市“创建宜居港城，建设美丽莆田”，某环保部门开展以“关爱木兰溪，保护母亲河”为主题的环保宣传活动，经木兰溪流经河段分成10段，并组织青年干部职工对每一段的南、北两岸进行环保综合测评，得到分值数据如表：（1）记评分在80以上（包括80）为优良，从中任取一段，求在同一段中两岸环保评分均为优良的概率；（2）根据表中的数据完成茎叶图：（3）分别估计两岸分值的中位数，并计算它们的平均数，试从计算结果分析两岸环保情况，哪边保护更好？19．如图，在四棱锥S ABCD -中，四边形为ABCD 矩形，E 为SA 的中点，SA SB =，AB =，3BC =．（1）证明：SC BDE ∥平面；（2）若BC SB ⊥，求三棱锥C BDE -的体积．20．已知点(0,2)P -，点A ，B 分别为椭圆22221(0)x yE a b a b+=>>:的左右顶点，直线BP 交E 于点Q ，ABP△是等腰直角三角形，且32PQ QB =．（1）求E 的方程；（2）设过点的动直线l 与E 相交于M ，N 两点，当坐标原点O 位于MN 以为直径的圆外时，求直线l 斜率的取值范围．21．已知函数3()231f x x x -=+，()1ln g x kx x =+-．（1）设函数(),1()(),1f x x h x g x x <⎧=⎨≥⎩，当0k <时，讨论()h x 零点的个数；（2）若过点(,4)P a -恰有三条直线与曲线()y f x =相切，求a 的取值范围． [选修4—4坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(1)(1)2x y -+-=，在以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为πsin()4ρθ+=（1）写出圆C 的参数方程和直线l 的普通方程；（2）设点P 为圆C 上的任一点，求点P 到直线l 距离的取值范围． [选修4—5不等式选讲]23．已知函数()4|+|2||f x x x =--．（1）求不等式()2f x >的解集；（2）设()f x 的最小值为M ，若2x a M +≥的解集包含[0,1]，求a 的取值范围．三、解答题17．解：（1）∵2n S n kn =+，2n ≥时，2211)(1)21[(]n n n a S S n kn n k n n k --==+--+-=-+．∴6n =时，61113a k =+=，解得2k =． ∴2n ≥时，21221n a n n =-+=+．当1n =时，11123a S ==+=，上式也成立． ∴21n a n =+．（2）22111(1)(22)(1)1n n b n a n n n n n n ====-++++，数列{}n b 的前n 项和111(1)()2211()13n T n n ⋯++---+=+1111n n n =--++． 18．解：（1）从10段中任取一段的基本事件有10个，分别为：(77,72)，(92,87)，(84,78)，(86,83)，(74,83)， (76,85)，(81,75)，(71,89)，(85,90)，(87,95)，这些基本事件是等可能的，用A 表示“在同一段中两岸环保评分均为优良”的事件，则A 包含的基本事件为：(92,87)，(86,83)，(85,90)，(87,95)，共4个，∴42()105P A ==．（2）根据表中数据，完成下列茎叶图：（3）南岸10段的分值数据的中位数为：1818482.52z +==，南岸10段分值数据的平均数为：1(7041467)(80514567)9281.310x ⨯+++++⨯++++++==，北岸10段分值数据的中位数为：28385842z +==，北岸10段分值数据的平均数：2(703258)(80533579)(90205)83.710x ⨯++++⨯++++++⨯++==，由12z z <，12x x <，可以看出北岸保护更好． 19．（1）证明：连接AC ，设AC BD O =，∵四边形ABCD 为矩形，则O 为AC 的中点，在ASC △中，E 为AS 的中点， ∴SC OE ∥，又OE BDE ⊂平面，SC BDE ⊄平面， ∴SC BDE ∥平面；（2）解：过E EH AB ⊥作，垂足为H ， ∵BC AB ⊥，且BC SB ⊥，AB SB B =，∴BC SAB ⊥平面， ∵EH ABS ⊂平面，∴EH BC EF AB AB BC B ⊥⊥=，又，，∴EH ABCD ⊥平面，在SAB △中，取AB 中点M ，连接SM ，则SM AB ⊥， ∴1SM =． ∵EH SM ∥，1122EH SM ==．∴132BCD S =⨯⨯=△∴111332C BDE E BCD BCD V V S EH --===⨯=△．∴三棱锥C BDE -．20．解：（1）由题意ABP △是等腰直角三角形，2a =，(2,0)B ，设00)(,Q x y ，由32PQ QB =，则006545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，代入椭圆方程，解得21b =，∴椭圆方程为2214x y +=；（2）由题意可知，直线l 的斜率存在，方程为2y kx =-，11)(,M x y ，22)(,N x y ，则22214y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得：22)(1416120k x kx -++=，由直线l 与E 有两个不同的交点，则0∆>，即22(16)412(140k k -⨯⨯+->)，解得：234k >，由韦达定理可知：1221614k x x k +=+，1221214x x k=+，由坐标原点O 位于MN 为直径的圆外，则0OM ON >，即12120x x y y +>，则12121212(2)(2)x x y y x x kx kx +=+--21212(12())4k x x k x x =+⨯++-22216(12412)04411k k k k -=⨯++++＞，解得：24k <，综上可知：2344k <<2k <<或2k -<<，直线l斜率的取值范围3(2,(,2)-．21．解：（1）2()(21)(1)0f x x x '=+-=，112x =-或，∴12x =-是()h x 的零点； ∵1()g x k x'=-，0k <，()0g x '<，()g x 在[1,)+∞上单调递减，()g x 的最大值为(1)1g k =+．1k <-，(1)0g <，()g x 在[1,)+∞上无零点； 1k =-，(1)0g =，()g x 在[1,)+∞上有1个零点；10k -<<，(1)0g >，11(e e 0)k k g k k --=+<，()g x 在[1,)+∞上有1个零点；综上所述，1k <-时，()h x 有1个零点；10k -≤<时，()h x 有两个零点；（2）设切点(,())t f t ，2()66f x x x '=-，∴切线斜率2()66f t t t '=-，∴切线方程为2()(66)()y f t t t x t -=--，∵切线过(,4)P a -，∴24()(66)()f t t t a t ---=-，∴322436650t t t a ta +--=-① 由题意，方程①有3个不同的解．令322()43665H t t t t a ta --=+-，则2()1261260H t t t at a =-+-'=．12t a =或． 12a =时，()0H t '≥，()H t 在定义域内单调递增，()H t 不可能有两个零点，方程①不可能有两个解，不满足题意；12a >时，在1(,),()2a -∞+∞，上，()0H t '>，函数单调递增，在1(,)2a 上，()0H t '<，函数单调递减，()H t 的极大值为1()2H ，极小值为()H a ；12a <时，在(,)a -∞，1(,2+∞）上，()0H t '>，函数单调递增，在1(,)2a 上，()0H t '<，函数单调递减，()H t 的极大值为()H a ，极小值为1()2H ；要使方程①有三个不同解，则1()()02H H a <，即2(27)(1)(2550a a a a -++->）， ∴712a a ><-或．[选修4—4坐标系与参数方程]22．解：（1）∵圆C 的方程为22(1)(1)2x y -+-=，∴圆C的参数方程为11x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），∵直线l的极坐标方程为πsin()4ρθ+=∴()22ρθθ+=sin cos 40ρθρθ+-=， ∴直线l 的普通方程是40x y +-=；（2）由题意设(1,1)P αα++，∴点P 到直线l距离d =，π|2sin()2|α+-=，πsin()1|4α=+-，∵π1sin()14α-≤+≤，∴π0sin()1|4α≤+-≤[选修4—5不等式选讲]23．解：（1）62,2()4|+|22,|4|226,4x x f x x x x x x -≤⎧⎪=--=<<⎨⎪-≥⎩．∴当2x ≤时，()2f x >，622x ->，解得2x <；当24x <<时，()2f x >得22>，无解；当4x ≥时，()2f x >得262x ->，解得4x >．所以不等式()2f x >的解集为(,2)(4,)-∞+∞．（2））∵4||22||x x -+-≥， ∴2M =，∵2x a M +≥的解集包含[0,1]， ∴022a +≥，122a +≥， ∴1a ≥．故a 的取值范围为：[1,)+∞．福建省莆田市2017年高考一模数学（文科）试卷解析一、选择题1．【考点】交集及其运算．【分析】求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣1）（x﹣2）≤0，解得：1≤x≤2，即A=[1，2]，由B中不等式解得：x＞，即B=（，+∞），则A∩B=（，2]，故选：C．2．【考点】二倍角的余弦．【分析】由已知利用诱导公式可求cosα得值，进而利用二倍角的余弦函数公式即可计算求值得解．【解答】解：∵，∴cosα=，∴cos2α=2cos2α﹣1=2×（）2﹣1=﹣．故选：B．3．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义，结合直线平行的性质及判定分别进行判断即可．【解答】解：l1∥l2”得到：a2﹣1=0，解得：a=﹣1或a=1，所以应是充分不必要条件．故选：A．4．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】依题意首先把x＜0时，函数的解析式求出．再把x=﹣2代入函数式得出答案．【解答】解：设x＜0，因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f[﹣（﹣x）]=﹣2﹣（﹣x）∴当x＜0时，函数的解析式为f（x）=﹣2﹣x∴f（﹣2）=﹣2﹣（﹣2）=﹣4故选B．5．【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的S，a的值，当a=40时，不满足条件a≤32，退出循环，输出S的值为81，即可得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得a=1，S=0，n=1满足条件a≤32，执行循环体，S=1，n=2，a=8满足条件a≤32，执行循环体，S=9，n=3，a=16满足条件a≤32，执行循环体，S=25，n=4，a=24满足条件a≤32，执行循环体，S=49，n=5，a=32满足条件a≤32，执行循环体，S=81，n=6，a=40不满足条件a≤32，退出循环，输出S的值为81．故选：B．6．【考点】几何概型．【分析】根据几何概型的概率公式即可得到结论．【解答】解：设两个直角边长为a，b，则由条件可知，则斜边长不大于1的事件为，a2+b2≤1，则由几何概型的概率可知所求的概率P==，故选B．7．【考点】球的体积和表面积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱锥，其外接球相当于一个长，宽，高分别为：5，4，3的长方体的外接球．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱锥，其外接球相当于一个长，宽，高分别为：5，4，3的长方体的外接球，故球O的半径R满足：4R2=32+42+52=50，故球O的表面积S=50π，故选：B．8．【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】先设出A的坐标，根据抛物线的定义可知该点到准线的距离与其到焦点的距离相等，进而利用点到直线的距离求得x的值，代入抛物线方程求得y．然后求解直线的斜率，得到直线FA的倾斜角．【解答】解：设该A坐标为（x，y），抛物线C：y2=3x的焦点为F（，0），根据抛物线定义可知x+=3，解得x=，代入抛物线方程求得y=±，故A坐标为：（，），AF的斜率为：=，则直线FA的倾斜角为：或．故选：C．9．【考点】正弦函数的单调性．【分析】由题意可得+=42，求得ω的值，再根据对称中心求得φ的值，可得函数f（x）的解析式，利用正弦函数的单调性，求得f（x）的单调递增区间．【解答】解：函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜），A（，0）为f（x）图象的对称中心，B，C是该图象上相邻的最高点和最低点，若BC=4，∴+=42，即12+=16，求得ω=．再根据•+φ=kπ，k∈Z，可得φ=﹣，∴f（x）=sin（x﹣）．令2kπ﹣≤x﹣≤2kπ+，求得4kπ﹣π≤x≤4kπ+π，故f（x）的单调递增区间为（4kπ﹣π，4kπ+π），k∈Z，故选：D10．【考点】圆与圆锥曲线的综合．【分析】求得圆的圆心和半径，双曲线的一条渐近线方程，运用直线和圆相交的弦长公式，可得圆心到渐近线的距离为1，再由点到直线的距离公式和离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：由圆C：（x﹣1）2+（y﹣3）2=9可得圆心（1，3），半径为3，双曲线E，的一条渐近线方程为bx﹣ay=0，渐近线被圆C：（x﹣1）2+（y﹣3）2=9所截得的弦长等于4，圆心到直线的距离为：由弦长公式可得2=，可得，解得，即c=a或c=a，即e==或e=，故选：D．11．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】如图所示，BD1⊥平面AB1C，平面α过直线BD，α⊥平面AB1C，可得平面α即为平面DBB1D1．设AC∩BD=O．可得α∩平面AB1C=m为OB1．同理可得：平面A1C1D即为平面β．又A1D∥B1C，可得m，n所成角为∠OB1C，根据△AB1C为正三角形，即可得出．【解答】解：如图所示，∵BD1⊥平面AB1C，平面α过直线BD，α⊥平面AB1C，∴平面α即为平面DBB1D1．设AC∩BD=O．∴α∩平面AB1C=m为OB1．∵平面A1C1D过直线A1C1，与平面AB1C平行，而平面β过直线A1C1，β∥平面AB1C，∴平面A1C1D即为平面β．β∩平面ADD1A1=A1D=n，又A1D∥B1C，∴m，n所成角为∠OB1C，由△AB1C为正三角形，则cos∠OB1C=cos=．故选：D．12．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出函数的对称轴，令g（x）=f（x）cosx，根据函数的单调性判断函数值的大小即可．【解答】解：由f（x）=f（2π﹣x），得函数f（x）的图象关于直线x=π对称，当0＜x＜π时，若f（x）sinx﹣f′（x）cosx＜0，令g（x）=f（x）cosx，则g′（x）=f′（x）cosx﹣f（x）sinx＞0，当0＜x＜π时，g（x）在（0，π）递增，在（π，2π）递减，故g（）＜g（）＜g（）=g（），即a＜b＜c，故选：A．二、填空题13．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由z•i=2+3i，得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z得答案．【解答】解：由z•i=2+3i，得=．故答案为：3﹣2i．14．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，再由的几何意义，即可行域内的动点与原点连线的斜率求解．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（，）．的几何意义为可行域内的动点与原点连线的斜率，则的最大值为．故答案为：3．15．【考点】余弦定理．【分析】由已知化简可得：b2+c2﹣a2=bc，由余弦定理可求cosA=，结合范围A∈（0，π），可求A=，由余弦定理，基本不等式可求bc≤4，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：∵，可得：b2+c2﹣a2=bc，∴cosA===，∵A∈（0，π），∴A=，∵a=2，∴由余弦定理可得：4=b2+c2﹣bc，∴4=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc=bc，即：bc≤4，当且仅当b=c等号成立，∴S△ABC=bcsinA≤=，当且仅当b=c等号成立，则△ABC面积的最大值为．故答案为：．16．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】建立平面直角坐标系，设出D，求解相关的坐标，利用向量的数量积求解D的坐标，然后求解即可．【解答】解：如图，建立平面直角坐标系，设D（0，a），△ABD面积为1，可得B（，0），则C（，2a），=，则E（.），BE⊥CD，可得：（，a）（，）=0，解得a2=，=（0，﹣a），=（，a），•=﹣a2=﹣．给答案为：﹣．三、解答题17．【考点】数列的求和．【分析】（1），n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1．n=6时，a6=13，解得k．进而得出．（2）===，利用“裂项求和”方法即可得出．18．【考点】极差、方差与标准差；茎叶图．【分析】（1）利用列举法求出从10段中任取一段的基本事件有10个，用A表示“在同一段中两岸环保评分均为优良”的事件，利用列法求出A包含的基本事件个数，由此能求出在同一段中两岸环保评分均为优良的概率．（2）根据表中数据，能完成茎叶图．（3）分别求出南岸10段的分值数据的中位数、平均数和北岸10段分值数据的中位数、平均数，由此看出北岸保护更好．19．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）连接AC，设AC∩BD=O，由题意可得O为AC的中点，又E为AS的中点，由三角形中位线定理可得SC∥OE，再由线面平行的判定可得SC∥平面BDE；（2）过E作EH⊥AB，垂足为H，由线面垂直的判定可得BC⊥平面SAB，则EH⊥BC，又EF⊥AB，得到EH ⊥平面ABCD，在△SAB中，取AB中点M，连接SM，则SM⊥AB，求得SM=1．进一步可得EH=．再求出三角形BCD的面积利用等体积法求得三棱锥C﹣BDE的体积．20．【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）由向量共线定理求得Q点坐标，由a=2，将Q代入椭圆方程，即可求得b，求得椭圆方程；（2）将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理及△＞0，向量数量积的坐标运算•＞0，即可求得k的取值范围．21．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；根的存在性及根的个数判断．【分析】（1）分类讨论，求导数，切点函数的单调性，即可讨论h（x）零点的个数；（2）设出切点，由切线方程，化简得三次函数，将题目条件化为函数有三个零点，即可求a的取值范围．22．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）由题意求出圆C的参数方程和直线l的普通方程；（2）由题意设P（，），由点到直线的距离公式表示出点P到直线l距离，利用两角和的正弦公式化简后，由正弦函数的值域求出答案．23．【考点】绝对值不等式的解法；函数的最值及其几何意义．【分析】（1）f（x）=|x﹣4|+|x﹣2|=．分x≤2时，；2＜x＜4，x≥4，解f（x）＞2．（2））由|x﹣4|+|x﹣2|≥2，得M=2，由2x+a≥M的解集包含[0，1]，得20+a≥2，21+a≥2．。

2020年福建省莆田市高考数学一模试卷(文科)(有解析)

2020年福建省莆田市高考数学一模试卷(文科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={−1,0，1，2，3}，B ={x|x =n 2,n ∈A}，则A ∩B =( )A. {0,1}B. {2,3}C. {4,1}D. {0,9}2. |1+2i 2−i |=( )A. 35B. 1C. 53D. 23. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10=5，a 7=1，则a 1=( )A. −12B. −1C. 12D. 144. 函数y =1x −ln(x +1)的图象大致为( )A. B. C. D.5. 已知a =2,b =log 132,c =log 1215，则( )A. a >b >cB. a >c >bC. c >a >bD. c >b >a6. 阅读程序框图，则输出的S 等于( )A. 14B. 20C. 30D. 557. 已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，A 、B ，为抛物线上两点，若AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，O 为坐标原点，则△AOB 的面积为( )A. √33B. 4√33C. 8√33D. 2√338. 长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =1，AD =2，AA 1=3，则异面直线AC 1与CD 1所成角的余弦值为( )A. √35B. −√35C. 4√35D. −4√359. 设x ，y ∈N ∗，x +y =15，则xy >36的概率是 ( )A. 13B. 59C. 47D. 7910. 已知函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0)的图象如图所示，则f(5π6)=( )A. −√22B. √22C. √32D. −√3211. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，过双曲线C 的右顶点作x轴的垂线与其渐近线交于A ，B 两点，若|AB|=2√55|F 1F 2|，则双曲线C 的离心率为( )A. √2B. √3C. √5D. √612. 已知函数f(x)={x +2(x ≤−1)x 2(−1<x <2)2x(x ≥2)，若f(x)=9，则x 的值是( )A. 7B. 3或−3或7C. 1，45或±3D. 45二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量a ⃗ =(1,1)，b ⃗ =(2,x)，若a ⃗ +b ⃗ 与3a ⃗ −b ⃗ 平行，则实数x 的值是______． 14. 设x ，y 满足约束条件{y ≥0x −y +1≥0x +y −3≤0，则z =2x −y 的最小值为______．15. 在数列{a n }中，a 1=2，a n+1=2ann+1−1，则a 3= ______ ． 16. 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为2，这个球的表面积为12π，则这个正四棱柱的体积为．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.手机厂商推出一款6寸大屏手机，现对500名该手机使用者(200名女性，300名男性)进行调查，对手机进行评分，评分的频数分布表如下：分值区间[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]女性用户频数2040805010分值区间[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]男性用户频数4575906030(Ⅰ)完成下列频率分布直方图，计算女性用户评分的平均值，并比较女性用户和男性用户评分的波动大小(不计算具体值，给出结论即可)；(Ⅱ)把评分不低于70分的用户称为“评分良好用户”，能否有90%的把握认为“评分良好用户”与性别有关？参考附表：P(K2≥k0)0.100.0500.0100.001k0 2.706 3.841 6.63510.828，其中n=a+b+c+d参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)18.已知a,b,c分别为内角A,B,C的对边，．(1)求A．(2)已知点D在边BC上，DC=2BD=2,AC=√3，求AD．19.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q，M分别为AD，PC的中点，PA=PD=2，BC=12AD=1，CD=√3．(Ⅰ)求证：平面PBC⊥平面PQB；(Ⅱ)求三棱锥P−QMB的体积．20.已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，其上顶点B与左焦点F所在的直线的倾斜角为π3，O为坐标原点OBF，三角形的周长为3+√3．(1)求椭圆E的方程；(2)设椭圆E的右顶点为A，不过点A的直线l与椭圆E相交于P、Q两点，若以PQ为直径的圆经过点A，求证：直线l过定点，并求出该定点坐标．21. 已知函数f(x)=(x 2−2x −5)e 2x−1，求函数f(x)的极值．22. 选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =4cosϕy =2sinϕ，(φ为参数)，在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线ι的极坐标方程为ρcos (θ−π4)=m ．(1)把曲线C 的参数方程化为普通方程，直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)已知曲线C 与直线ι交于A ，B 两点，若∠AOB =90°，求m 的值．23. 已知函数f(x)=|x +a|+|x +1|．(1)若a=−1，求不等式f(x)≤3的解集；(2)已知关于x的不等式f(x)+|x+2|≤x+6在x∈[−1,1]上恒成立，求实数a的取值范围．【答案与解析】1.答案：A解析：本题考查了交集的定义与运算问题，属于基础题．根据题意化简集合B，再计算A∩B．解：集合A={−1,0，1，2，3}，B={x|x=n2,n∈A}={0,1，4，9}，则A∩B={0,1}．故选：A．2.答案：B解析：解：因为1+2i2−i =(1+2i)(2+i)(2−i)(2+i)=i，所以|1+2i2−i|=1，故选：B．化简代数式，根据复数模的定义，求出复数的模即可．本题考查了复数的化简问题，考查复数求模，是一道基础题．3.答案：B解析：本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是基础题．设该等差数列的公差为d，则根据通项公式和前n项和公式列出关于a1、d的方程组，通过解方程组即可得到答案．解：设等差数列{a n}的公差为d，则{a1+6d=110a1+10×92d=5，解得{a1=−1 d=13．故选：B．解析：本题考查了函数的图象与性质的应用，属于基础题．根据函数的单调性排除B，D，根据函数值，排除C．解：函数定义域为(−1,0)∪(0,+∞)，由于y′=−1x2−1x+1=−x+1+x2x2(x+1)<0，所以函数y=1x−ln(x+1)在(−1,0)，(0,+∞)单调递减，故排除B，D，当x=1时，y=1−ln2>0，故排除C，故选A．5.答案：C解析：本题主要考查对数函数图像与性质的应用，属于基础题．解：由题意得：b=log132<log131=0，c=log1215>log1214=2=a，则c>a>b．故选C．6.答案：C解析：本题考查程序框图循环结构的应用，属于基础题．直接运行计算即可．解：由题意知：S=12+22+⋯+i2，当i=5时，循环程序终止，故S=12+22+32+42=30．故选C．解析：解：如图所示，根据抛物线的定义，不难求出，|AB|=2|AE|，由抛物线的对称性，不妨设直线的斜率为正，所以直线AB 的倾斜角为60°，直线AB 的方程为y =√3(x −1)，联立直线AB 与抛物线的方程可得A(3,2√3)，B(13,−2√33)，所以|AB|=√(3−13)2+(2√3+2√33)2=163，而原点到直线AB 的距离为d =√32，所以S △AOB =12×163×√32=4√33，当直线AB 的倾斜角为120°时，同理可求．故选B ．根据抛物线的定义，不难求出，|AB|=2|AE|，由抛物线的对称性，不妨设直线的斜率为正，所以直线AB 的倾斜角为60°，可得直线AB 的方程，与抛物线的方程联立，求出A ，B 的坐标，即可求出△AOB 的面积．本题考查抛物线的简单几何性质，考查直线与抛物线的相交问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．8.答案：C解析：解：如图，以D 为原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则A(2,0，0)，C 1(0,1，3)，C(0,1，0)，D 1(0,0，3)，则AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1,3)，CD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,3)，则cos <AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|CD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√14×√10=√35．∴异面直线AC 1与CD 1所成角的余弦值为35．故选：C ．以D 为原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，求出AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 所成角的余弦值得答案．本题考查利用空间向量求解异面直线所成角，是基础题．9.答案：C解析：本题考查等可能事件的判断与概率计算，由x +y =15，列举出所有结果，满足xy >36的有8种，求出概率即可.属于基础题．解：∵x ，y ∈N ∗，x +y =15，则(x,y)为(1,14)，(2,13)，…，(13,2)，(14,1)共14种情况，由xy =x(15−x)>36，解得：3<x <12，又x ∈N ∗，故满足条件的(x,y)为 (4,11)，(5,10)，(6,9)，(7,8)，(8,7)，(9,6)，(10,5)，(11,4)共8个，则所求概率为47．故选C ．10.答案：B解析：解：由图象可知：T =2×2π3=2πω，解得ω=32．且f(2π3)=sin(32×2π3+φ)=1，取φ=−π2．∴f(x)=sin(3π2x −π2)， ∴f(5π6)=sin(3π2×5π6−π2)=sin3π4=√22．故选：B ．由图象可知：T =2×2π3=2πω，解得ω=32.且f(2π3)=sin(32×2π3+φ)=1，取φ=−π2.即可得出．本题考查了三角函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.答案：C解析：求得A 点坐标，即可得到|AB|，即可求得a 和c 的关系，即可求得双曲线的离心率．本题考查双曲线的性质，双曲线的离心率及渐近线方程的应用，考查转化思想，属于中档题．解：双曲线C 的渐近线方程为y =±ba x ，右顶点为(a,0)，∴A(a,b)，则|AB|=2b ，又焦距|F 1F 2|=2c ，|AB|=2√55|F 1F 2|，∴2b =2√55×2c ，则b 2=45c 2，a 2=c 2−b 2=15c 2， ∴双曲线的离心率e =ca =√5，故选C ．12.答案：D解析：解：根据题意，函数f(x)={x +2(x ≤−1)x 2(−1<x <2)2x(x ≥2)，分3种情况讨论：①，当x ≤−1时，f(x)=x +2，若f(x)=9，即x +2=9，解可得x =7，又由x ≤−1，x =7不符合题意， ②，当−1<x <2时，f(x)=x 2，若f(x)=9，即x 2=9，解可得x =±3，又由−1<x <2，x =±3均不符合题意；③，当x≥2时，f(x)=2x，若f(x)=9，即2x=9，解可得x=4.5，又由x≥2，x=4.5符合题意；综合可得：x=4.5；故选：D．根据题意，按x的取值范围分3种情况讨论，分析f(x)的解析式，求出x的值，综合三种情况即可得答案．本题考查分段函数的性质，注意函数解析式的形式，属于基础题．13.答案：2解析：本题考查了平面向量的坐标运算与共线定理的应用问题，是基础题．根据平面向量的坐标运算与共线定理，列方程求出x的值．解：向量a⃗=(1,1)，b⃗ =(2,x)，则a⃗+b⃗ =(3,1+x)，3a⃗−b⃗ =(1,3−x)，又a⃗+b⃗ 与3a⃗−b⃗ 平行，则3(3−x)−(1+x)=0，解得x=2．故答案为2．14.答案：−2解析：解：由z =2x −y ，得y =2x −z ，作出不等式对应的可行域(阴影部分)，平移直线y =2x −z ，由平移可知当直线y =2x −z ，经过点A 时，直线y =2x −z 的截距最大，此时z 取得最小值，由{y =0x −y +1=0，解得x =−1，y =0，即A(−1,0)，代入z =−2，即目标函数z =2x −y 的最小值为−2，故答案为：−2．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数z =2x −y 的最小值．本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．15.答案：−13解析：解：在数列{a n }中，a 1=2，a n+1=2ann+1−1，则a 2=2a 12−1=1，a 3=2a 23−1=−13．故答案为：−13．利用数列的首项以及递推关系式逐步求解即可．本题考查数列的递推关系式的应用，考查计算能力，是基础题．16.答案：8解析：由球的表面积求出球的直径，根据正四棱柱的对角线长等于球的直径，求正四棱柱的底面边长，再求其体积．本题考查四棱柱的体积，球的表面积计算公式，考查学生的空间想象能力，容易疏忽的地方是几何体的体对角线是外接球的直径．解：由球的表面积为12π，得4πR2=12π⇒R=√3，设正四棱柱底面正方形边长为a∵正四棱柱的对角线长等于球的直径，即：2R=√2a2+22，∴2√3=√2a2+4，得a=2，∴正四棱柱的体积为V=a2×2=8．故答案是8．17.答案：解：(Ⅰ)女性用户和男性用户的频率分布表分别如下左、右图：由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大．…(4分)(Ⅱ)2×2列联表如下图：女性用户男性用户合计“认可”手机140180320“不认可”手机60120180合计200300500≈5.208>2.706，K2=500(140×120−180×60)2200×300×320×180所以有95%的把握认为性别和对手机的“认可”有关．解析：(Ⅰ)利用所给数据，可得频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的波动大小；(Ⅱ)求出K2，与临界值比较，即可得出结论．本题考查频率分布直方图的作法及应用，考查独立检验的应用，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.答案：解：(1)在△ABC中，由余弦定理得：，化简得a2=b2+c2+bc，所以，又A∈(0,π)，所以A=2π3．(2)依题意BC=BD+DC=3，在△ABC中，由正弦定理可得，即，解得，又B∈(0,π)，故B=π6或5π6，又因为A=2π3，故B=π6，从而C=π6，所以AB=AC=√3，在△ABD中，由余弦定理，，即√32=22√3×1，解得AD2=1，又因为AD>0，故AD=1．解析：本题主要考查正余弦定理的应用，属于中档题．(1)利用余弦定理有，化简得a2=b2+c2+bc，根据余弦定理即可求解；(2)根据题意有BC=BD+DC=3，根据正弦定理可求得，又A=2π3，结合B的范围即可求得B=π6，则C=π6，则AB=AC=√3，根据余弦定理即可求解．19.答案：(Ⅰ)证明：∵AD//BC，Q为AD的中点，BC=12AD，∴BC=QD，∴四边形BCDQ为平行四边形，∵∠ADC=90°，∴BC⊥BQ，∵PA=PD，AQ=QD，∴PQ⊥AD，又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PQ⊥平面ABCD，又BC⊂平面ABCD，则PQ⊥BC，又∵PQ∩BQ=Q，PQ∩BQ⊂平面PQB，∴BC⊥平面PQB，∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PQB；(Ⅱ)解：∵在Rt△PQB中，PQ=√PA2−AQ2=√3，BQ=CD=√3，∴S△PQB=12PQ×QB=32，由(Ⅰ)知，BC⊥平面PQB，∴V C−PQB=13S△PQB×BC=13×32×1=12，又∵M是线段PC得中点，∴V P−QMB=V M−PQB=12V C−PQB=12×12=14，∴三棱锥P−QMB的体积是14．解析：本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，考查了利用等积法求多面体的体积，属于中档题．(Ⅰ)由已知可得四边形BCDQ为平行四边形，结合∠ADC=90°，得BC⊥BQ，再由已知证明PQ⊥平面ABCD，得到PQ⊥BC，结合线面垂直的判定可得BC⊥平面PQB，则平面PBC⊥平面PQB；(Ⅱ)在Rt△PQB中，求得PQ，BQ，得到三角形PQB的面积，由(Ⅰ)知，BC⊥平面PQB，可得棱锥C−PQB的体积，再由等积法即可求得三棱锥P−QMB的体积．20.答案：解：(1)由题意可得：bc =tanπ3，a+b+c=3+√3，又a2=b2+c2，联立解得：a=2，b=√3，c=1．∴椭圆E 的方程为x 24+y 23=1．(2)证明：A(2,0)．设直线l 的方程为：my +t =x ，P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2).联立{my +t =x x 24+y 23=1，化为：(3m 2+4)y 2+6mty +3t 2−12=0，∴y 1+y 2=−6mt3m 2+4，y 1⋅y 2=3t 2−123m 2+4，(∗)∵以PQ 为直径的圆经过点A ，∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴(x 1−2)(x 2−2)+y 1y 2=0，即(my 1+t −2)(my 2+t −2)+y 1y 2=0，化为：(m 2+1)y 1y 2+(mt −2m)(y 1+y 2)+(t −2)2=0，把(∗)代入可得：(m 2+1)⋅3t 2−123m 2+4+(mt −2m)⋅−6mt3m 2+4+(t −2)2=0，化简可得：t =2或27． t =2舍去．代入直线l 的方程：my +t =x ，可得：my +27=x ．可得直线l 经过定点：(27,0)．解析：(1)由题意可得：bc =tan π3，a +b +c =3+√3，又a 2=b 2+c 2，联立解出即可得出． (2)A(2,0).设直线l 的方程为：my +t =x ，P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2).与椭圆方程联立化为：(3m 2+4)y 2+6mty +3t 2−12=0.以PQ 为直径的圆经过点A ，可得(x 1−2)(x 2−2)+y 1y 2=0，把根与系数的关系代入化简可得：t.即可得出．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、圆的性质、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21.答案：解：∵f ′(x)=(2x −2)e 2x−1+2(x 2−2x −5)e 2x−1=2(x 2−x −6)e 2x−1．令f ′(x)=0，解得：x =−2或x =3． 1°当x <−2时，f ′(x)>0，∴f(x)单调递增； 2°当−2<x <3时，f ′(x)<0，∴f(x)单调递减； 3°当x >3时，f ′(x)>0，∴f(x)单调递增．∴当x =−2时，f(x)取得极大值等于3e −5；当x =3时，f(x)取得极小值等于−2e 5．解析：本题考查了利用导数研究函数的极值，属于基础题．直接求导，利用导数研究单调性即可得出极值．22.答案：解：(1)曲线C 的普通方程为x 216+y 24=1，直线l 的直角坐标方程为x +y −√2m =0． (2)由直线ι：代入椭圆极坐标方程ρ2(cos 2θ+4sin 2θ)=16，得，整理得(4m 2−8)tan 2θ−16tanθ+m 2−8=0. 由且m 2≠2.由∠AOB =90°，可得tanθ1·tanθ2=−1，即m 2−84m 2−8=−1⇒m =±4√55，满足条件．解析：本题主要考查曲线的参数方程、直角坐标方程，关键是掌握相关知识，逐一分析解答即可． (1)曲线C 的普通方程为x 216+y 24=1，直线l 的直角坐标方程为x +y −√2m =0．(2)由直线ι：代入椭圆极坐标方程ρ2(cos 2θ+4sin 2θ)=16，得，求m 的值．23.答案：解：(I)a =−1时，f(x)=|x −1|+|x +1|={−2x,x <−12,−1≤x ≤12x,x >1，所以f(x)≤3等价于{x <−1−2x ≤3，或{−1≤x ≤12≤3，或{x >12x ≤3；即−32≤x ≤32，所以不等式f(x)≤3的解集为{x|−32≤x ≤32};(II)由题知问题等价于不等式|x +a|+|x +1|+|x +2|≤x +6在x ∈[−1,1]上恒成立，且当x ∈[−1,1]时，|x +1|=x +1，|x +2|=x +2，所以不等式等价于|x +a|≤3−x ，解得x −3≤a +x ≤3−x ，即−3≤a≤3−2x，又函数y=3−2x在x∈[−1,1]上的最小值为1，所以−3≤a≤1，即a的取值范围是[−3,1]．解析：(I)a=−1时利用分段讨论法求出不等式f(x)≤3的解集，再求并集即可；(II)把问题等价于不等式|x+a|+|x+1|+|x+2|≤x+6在x∈[−1,1]上恒成立，由x∈[−1,1]时去掉绝对值，得出|x+a|≤3−x，从而求得a的取值范围．本题考查了求含有绝对值的不等式解集问题，也考查了不等式恒成立问题，是中档题．。

福建省莆田市中学2020年高三数学理模拟试题含解析

福建省莆田市中学2020年高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. “”是“”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件参考答案：A略2. 若三棱锥的所有顶点都在球的球面上，⊥平面，，，，则球的表面积为（）A． B． C． D．参考答案：B3. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A. B. C. D.参考答案：D4. 设不等式组，表示的平面区域为Ω，在区域Ω内任取一点P（x，y），则P 点的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为（）A．B．C．D．参考答案：A5. 已知命题p：?x∈R，使；命题q：?x∈R，都有．下列结论中正确的是（）A．命题“p∧q”是真命题B．命题“p∧”是真命题命题“∧q”是真命题命题“”是假命题C6. 已知二次函数y=kx2-7x-7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（）A．[-,+∞) B．[-,0)∪(0,+∞)C． [-,+∞) D．(-,0)∪(0,+∞)参考答案：B7. 若△PAD所在平面与矩形ABCD所在平面互相垂直，PA=PD=AB=2，∠APD=60°，若点P，A，B，C，D都在同一个球面上，则此球的表面积为（）A．πB．πC．πD．π参考答案：B【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】设球心为O，求出AD=2，BD=2，设AC∩BD=E，则BE=，OP=OB=R，设OE=x，则OB2=BE2+OE2=2+x2，过O作线段OH⊥平面PAD于H点，H是垂足，PO2=OH2+PH2=1+（﹣x）2，由此能求出球半径R，由此能求出此球的表面积．【解答】解：设球心为O，如图，∵△PAD所在平面与矩形ABCD所在平面互相垂直，PA=PD=AB=2，∠APD=60°，∴AD=2，BD==2，设AC∩BD=E，则BE=，∵点P，A，B，C，D都在同一个球面上，∴OP=OB=R，设OE=x，在Rt△BOE中，OB2=BE2+OE2=2+x2，过O作线段OH⊥平面PAD于H点，H是垂足，∵O点到面PAD的距离与点E到平面PAD的距离相等，∴OH=1，∴在Rt△POH中，PO2=OH2+PH2=1+（﹣x）2=x2﹣2+4，∴2+x2=x2﹣2+4，解得x=，∴R=，∴此球的表面积S=4πR2=4π×=．故选：B．8. 函数的值域是（）A．R B．（-∞，0） C．（-∞，1） D．（0，+∞）参考答案：D9. 如图直角坐标系中，角、角的终边分别交单位圆于A、B两点，若B点的纵坐标为，且满足，则的值A. B. C. D.参考答案：B10. 已知函数，，若在区间内，函数与轴有3个不同的交点，则实数的取值范围是（）A、B、 C、D、参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知F1 ,F2分别是双曲线的左、右焦点,过F1的直线与双曲线的左、右两支分别交于A、B两点.若ΔABF2是等边三角形,则该双曲线的离心率为参考答案：略12. 若等比数列{a n}满足，且公比，则_____.参考答案：20【分析】利用等比数列的通项公式及其性质即可得出．【详解】，故答案为：20．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于容易题．13. 设,,则的值是▲.参考答案：【知识点】二倍角的正弦；同角三角函数间的基本关系；二倍角的正切．C2 C6【答案解析】解析：∵sin2α=2sinαcosα=﹣sinα，α∈（，π），∴cosα=﹣，sinα==，∴tanα=﹣，则tan2α===．故答案为：【思路点拨】已知等式左边利用二倍角的正弦函数公式化简，根据sinα不为0求出cosα的值，由α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值，进而求出tanα的值，所求式子利用二倍角的正切函数公式化简后，将tanα的值代入计算即可求出值．14. 若函数f（x）=a x﹣x﹣a（a＞0，且a≠1）有两个零点，则实数a的取值范围是．参考答案：（1，+∞）【考点】函数的零点．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据题设条件，分别作出令g（x）=a x（a＞0，且a≠1），h（x）=x+a，分0＜a ＜1，a＞1两种情况的图象，结合图象的交点坐标进行求解．【解答】解：令g（x）=a x（a＞0，且a≠1），h（x）=x+a，分0＜a＜1，a＞1两种情况．在同一坐标系中画出两个函数的图象，如图，若函数f（x）=a x﹣x﹣a有两个不同的零点，则函数g（x），h（x）的图象有两个不同的交点．根据画出的图象只有当a＞1时符合题目要求．故答案为：（1，+∞）【点评】作出图象，数形结合，事半功倍．15. 已知函数满足对任意的都有成立，则＝．参考答案：7略16. 已知函数f(x)的定义域为A，若其值域也为A，则称区间A为f(x)的保值区间．若的保值区间是[e,+∞) ，则m的值为．参考答案：①②17. 若展开式的第项为，则__________．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。