高一升高二暑假数学补课资料(专题三)

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第03讲充分条件与必要条件(教师版)-2023年新高一(初升高)暑期数学衔接(新人教版)

第03讲充分条件与必要条件【学习目标】1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系2.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系3.通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系【基础知识】一、“⇒”及“⇔”的含义“⇒”是推断符号,p⇒q即如果p成立,那么q一定成立,“⇔”表示“等价”,如“p⇔q”指的是“如果p,那么q”,同时有“如果q,那么p”,或者说“从p推出q”,同时可“从q 推出p”.二、充分条件与必要条件1.如果p⇒q,则p是q的充分条件,同时q是p的必要条件；2.如果p⇒q,但q⇏p,则p是q的充分不必要条件；3.如果p⇒q,且q⇒p,则p是q的充要条件；4.如果q⇒p,且p⇏q,则p是q的必要不充分条件；5.如果p⇏q,且q⇏p,则p是q的既不充分也不必要条件．6.充分条件与必要条件的理解充分条件:说条件是充分的,也就是说条件是充足的,条件是足够的,条件是足以保证的.“有之必成立,无之未必不成立”.必要条件:必要就是必须,必不可少.“有之未必成立,无之必不成立”7.从集合角度理解充分条件与必要条件若p以集合A的形式出现,q以集合B的形式出现,即A＝{x|p(x)},B＝{x|q(x)},则关于充分条件、必要条件又可以叙述为(1)若A⊆B,则p是q的充分条件；(2)若A⊇B,则p是q的必要条件；(3)若A＝B,则p是q的充要条件；(4)若A B,则p是q的充分不必要条件；(5)若A B,则p是q的必要不充分条件；(6)若A B且A⊉B,则p是q的既不充分也不必要条件．三、判断充分条件、必要条件的注意点1.明确条件与结论.2.判断若p,则q 是否成立时注意利用等价命题.3.可以用反例说明由p 推不出q,但不能用特例说明由p 可以推出q.四、充要条件一定要分清谁是条件谁是结论,注意下面两种叙述方式的区别：1.p 是q 的充分条件；2.p 的充分条件是q .五、充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：1.把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．2.要注意区间端点值的检验．六、充要条件的证明策略1.要证明一个条件p 是否是q 的充要条件,需要从充分性和必要性两个方向进行,即证明两个命题“若p,则q”为真且“若q,则p”为真.2.在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明,证明p 与q 的解集是相同的,证明前必须分清楚充分性和必要性,即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论.【基础知识】考点一：充分条件与必要条件的判断例1．(2020-2021学年广东省梅州市梅江区梅州中学高一上学期第一次段考)“三角形的某两条边相等”是“三角形为等边三角形”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】B【解析】三角形的某两条边相等则三角形是等腰三角形，不一定是等边三角形，所以充分性不成立；三角形为等边三角形则其三边相等，能得到三角形的任意两边也是相等的，所以必要性成立.故选B.考点二：与充分条件必要条件命题真假的判断例2．(多选)(2022学年广东省广州市越秀区高一上学期期末)下列四个命题中为真命题的是()A ．“2x >”是“3x <”的既不充分也不必要条件B ．“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要不充分条件C ．关于x 的方程()200++=≠ax bx c a 有实数根的充要条件是240b ac =-≥△D ．若集合A B ⊆，则x A ∈是x B ∈的充分不必要条件【答案】AC【解析】{|2}{|3}x x x x >⊄<且{|3}{|2}x x x x <⊄>，所以A 正确；正三角形一定是等腰三角形，等腰三角形不一定是正三角形，所以“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的充分不必要条件，故B 错误；一元二次方程有实根则0≥ ，反之亦然，故C 正确；当集合A =B 时，应为充要条件，故D 不正确.故选AC.考点三：根据充分条件与必要条件求参数范围例3．(2022学年上海市奉贤区致远高级中学高一上学期期中)设:13x α≤<，:x m β<，若α是β的充分条件，则实数m 的取值范围是_______.【答案】3m ≥【解析】由已知可得{}{}13x x x x m ≤<⊆<，所以，3m ≥.考点四：充分条件与必要条件的推理例4．(2022学年安徽省A10联盟高一上学期期中联考)已知p 是r 的充分不必要条件，q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，下列命题正确的是()A ．r 是q 的必要不充分条件B ．r 是s 的充要条件C ．r 是s 的充分不必要条件D ．q 是s 的充要条件【答案】BD 【解析】由题意得，p r ⇒，r p ⇒，q r ⇒，r s ⇒，s q ⇒，所以q s ⇔，s r ⇔，q r ⇔，所以r 是s 的充要条件，q 是s 的充要条件，r 是q 的充要条件，故选BD.【真题演练】1．(2020-2021学年重庆市青木关中学高一上学期12月月考)“260x x --=”是“3x =”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为260x x --=，故可得2x =-或3，若260x x --=，则不一定有3x =，故充分性不满足；若3x =，则一定有260x x --=，故必要性成立，综上所述：“260x x --=”是“3x =”的必要不充分条件.故选B .2.(2022学年安徽省蚌埠第三中学高一下学期开学测试)设P ：3x <，q ：13x -<<，则p 是q 成立的()A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件【答案】B【解析】由3x <不能推出13x -<<，例如2x =-，但13x -<<必有3x <，所以p ：3x <是q ：13x -<<的必要不充分条件.故选B.3.(2022学年辽宁省抚顺市抚顺县高中高一上学期10月月考)下列说法正确的是()A ．3x >是5x >的充分不必要条件B ．1x ≠±是1x ≠的充要条件C ．若q p ⇒，则p 是q 的充分条件D ．一个四边形是矩形的充分条件是它是平行四边形【答案】B【解析】A.由()5,+∞ ()3,+∞，所以3x >是5x >的必要不充分条件，故A 错误；B.1x ≠±时，则1x ≠，反过来也成立，所以1x ≠±是1x ≠的充要条件，故B 正确；C.q p ⇒，则p 是q 的必要条件，故C 错误；D.矩形是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形，所以一个四边形是矩形的必要条件是它是平行四边形，故D 错误.故选B4.(多选)(2022学年浙江省宁波市金兰教育合作组织高一上学期期中联考)已知集合{}3A x x =≤，集合{}1B x x m =≤+，能使A B ⊆成立的充分不必要条件有()A ．0m >B ．1m >C ．3m >D ．4m >【答案】CD 【解析】由A B ⊆得13m +≥，即2m ≥，故能使A B ⊆成立的充分不必要条件有CD.故选CD.5.(2022学年湖北省武汉市水果湖高中高一上学期10月月考)若“x k <或3x k >+”是“41x -<<”的必要不充分条件，则实数k 的值可以是()A ．8-B ．5-C ．1D ．4【答案】ACD【解析】若“x k <或3x k >+”是“41x -<<”的必要不充分条件，所以34k +≤-或1k ³，所以7k ≤-或1k ³.故选ACD6.(2022学年湖北省高一上学期期末调考)若命题p 是命题“:0q xy >”的充分不必要条件，则p 可以是___________.(写出满足题意的一个即可)【答案】0x >，0y >(答案不唯一).【解析】因为当0,0x y >>时，0xy >一定成立，而当0xy >时，可能0,0x y >>，可能0,0x y <<，所以0,0x y >>是0xy >的充分不必要条件，故答案为：0,0x y >>(答案不唯一)7.(2022学年江西省丰城市第九中学高一上学期第一次月考)给出下列命题：①已知集合{240A xx =-<∣，且}N x ∈，则集合A 的真子集个数是4；②“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件；③“1a <”是“方程20x x a ++=有一个正根和一个负根”的必要不充分条件④设,a b ∈R ，则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件其中所有正确命题的序号是__________．【答案】③④【解析】①{|22,N}{0,1}A x x x =-<<∈=，故真子集个数为2213-=个，错误；②由256(6)(1)0x x x x --=-+=，可得6x =或1x =-，故“1x =-”是“2560x x --=”的充分不必要条件，错误；③由2()f x x x a =++开口向上且对称轴为12x =-，只需(0)0f a =<即可保证原方程有一个正根和一个负根，故“1a <”是“方程20x x a ++=有一个正根和一个负根”的必要不充分条件，正确；④当0a ≠，0b =时，0ab ≠不成立；当0ab ≠时，0a ≠且0b ≠，故“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件，正确.故答案为③④8.(2022学年黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高一上学期期末)已知非空集合{}|1614P x a x a =-≤≤-，{}|25Q x x =-≤≤．(1)若3a =，求()P Q ⋂R ð；(2)若“x P ∈”是“x Q ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【解析】(1)由已知{|24}P x x =≤≤，R {|2P x x =<ð或4}x >，所以R (){|22P Q x x =-≤< ð或45}x <≤＝[)(]2,24,5- ；(2)“x P ∈”是“x Q ∈”的充分不必要条件，则1261451614a a a a -≥-⎧⎪-≤⎨⎪-≤-⎩，解得131956a ≤≤，所以a 的范围是1319,56⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【过关检测】1.(2022学年湖南省长沙市望城区金海学校高一上学期期中)“2x ＝”是“240x ﹣＝”的()A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由题，将2x ＝代入240x ﹣＝，等式成立，所以“2x ＝”是“240x ﹣＝”的充分条件；求解240x ﹣＝，得到2x ±＝，故“2x ＝”是“240x ﹣＝”的不必要条件；故选A2.使“0＜x ＜4”成立的一个必要不充分条件是()A ．x ＞0B ．x ＜0或x ＞4C ．0＜x ＜3D ．x ＜0【答案】A【解析】设p:0＜x ＜4，所求的命题为q ，则原表述可以改写为q 是p 的必要不充分条件，即q 推不出p ，但p ⇒q .，显然由:0＜x ＜4，能推出x ＞0，推不出x ＜0或x ＞4、0＜x ＜3、x ＜0，故选A3.(2022学年湖南省益阳市箴言中学高一上学期10月月考)设,x y R ∈，则“1x ≠或1y ≠”是“2x y +≠”的()A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件【答案】B【解析】若“1x ≠或1y ≠”则“2x y +≠”为真，等价于若“2x y +=”则“1x =且1y =”为真，显然该命题为假，∴“1x ≠或1y ≠”推不出“2x y +≠”，反之，若“2x y +≠”，则“1x ≠或1y ≠”为真，等价于若“1x =且1y =”则“2x y +=”为真，显然成立，∴“2x y +≠”可推出“1x ≠或1y ≠”，∴“1x ≠或1y ≠”是“2x y +≠”的必要非充分条件，故选B4.(2022学年福建省福州市闽侯县一中学高一上学期月考)在△ABC 中，AB 2+BC 2=AC 2是△ABC 为直角三角形的()条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要【答案】A 【解析】在△ABC 中，若AB 2+BC 2=AC 2，，则90B ∠=︒，即△ABC 为直角三角形，若△ABC 为直角三角形，推不出90B ∠=︒，所以AB 2+BC 2=AC 2不一定成立，综上，AB 2+BC 2=AC 2是△ABC 为直角三角形的充分不必要条件，故选A5．(多选)(2020-2021学年湖北省十堰市城区普高协作体高一上学期期中)p 是q 的必要条件的是()A ．:325,:235p x q x +>-->-B ．:2,2,:p a b q a b ><>C ．p ：四边形的两条对角线互相垂直平分，q ：四边形是正方形D ．:0p a ≠，q ：关于x 的方程1ax =有唯一解【答案】CD【解析】对于A ，:3251p x x +>⇒>，:2351q x x -->-⇒<，∴p 推不出q ，q 推不出p ，p 是q 既不充分也不必要条件；对于B ，:2,2:p a b q a b ><⇒>；当1,0a b ==时，满足a b >但q 推不出p ，故p 是q 的充分不必要条件；对于C ，若“两条对角线互相垂直平分”成立推不出“四边形是正方形”；反之，若“四边形是正方形”成立⇒“两条对角线互相垂直平分”成立，故p 是q 的必要条件；对于D ，:0:p a q ≠⇔关于x 的方程1ax =有唯一解，故p 是q 的充分必要条件.故选CD.6.(多选)设全集为U ，在下列选项中，是B A ⊆的充要条件的有()A ．A B A = B ．()U A B Ç=ÆðC ．()()U U A B Í痧D ．()U A B U È=ð【答案】BCD 【解析】由Venn 图可知，B ，C ，D 都是B A ⊆的充要条件，故选BCD ．7.(多选)已知p ，q 都是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，则()A ．p 是q 的充分条件B ．p 是s 的必要条件C ．r 是q 的必要不充分条件D ．s 是q 的充要条件【答案】AD【解析】由已知得：p r s q ⇒⇒⇒；q r s ⇒⇒.p ∴是q 的充分条件；p 是s 的充分条件；r 是q 的充要条件；s 是q 的充要条件.故选AD8.下列命题：①“2x >且3y >”是“5x y +>”的充要条件；②当0a ≠时，“240b ac -<”是“方程20ax bx c ++=有解”的充要条件；③“1x =或2x =-”是“方程220x x +-=”的充要条件．其中正确的序号为______．【答案】③【解析】①2x >且3y >时，5x y +>成立，反之不一定成立，如0x =，6y =，所以“2x >且3y >”是“5x y +>”的充分不必要条件，故①错误；②方程有解的充要条件是240b ac -≥，故②错误；③当1x =或2x =-时，方程220x x +-=一定成立，反过来，方程220x x +-=成立时，1x =或2x =-，故③正确．9．已知集合{|1A x x =<-，或{}2}|23x B x a x a >=≤≤+，，若“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，则实数a 的取值范围是___________．【答案】()(),41,-∞-+∞U 【解析】∵“x A ∈”是x B ∈”的必要条件，∴B A ⊆，当B =∅时，23a a >+，则3a >；当B ≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，由图可知3231a a a +>⎧⎨+<-⎩或3222a a a +>⎧⎨>⎩，解得4a <-或13a <£，综上可得，实数a 的取值范围为()(),41,-∞-+∞U ．10.(2022学年贵州省毕节市金沙县高一10月月考)已知集合{}13A x x =-<<，{}12B x x x x =<<，其中1x ，()212x x x <是关于x 的方程22210x x a --+=的两个不同的实数根.(1)是否存在实数a ，使得“x A ∈”是“x B ∈”的充要条件？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由.(2)若“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，求a 的取值范围.【解析】(1)假设存在满足条件的实数a ，则B A =，即11x =-，23x =.因为1x ，2x 是关于x 的方程22210x x a --+=的两个不同的实数根，所以2131a -⨯=-+，即24a =，解得2a =±，即当2a =±时，“x A ∈”是“x B ∈”的充要条件.(2)由题意可知，关于x 的方程22210x x a --+=的两根分别为1a -和1a +.因为“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，所以B A .当11a a ->+，即0a <时，{}11B x a x a =+<<-，则11,13,a a +>-⎧⎨-<⎩解得20a -<<；当11a a -<+，即0a >时，{}11B x a x a =-<<+，则11,13,a a ->-⎧⎨+<⎩解得02a <<.综上，a 的取值范围是{20a a -<<或}02a <<.。

2020年新版新高二暑期衔接数学讲义(含答案)

新高二暑期衔接讲义数学新高二暑期衔接数学课程第一讲函数综合复习一知识要点1.函数研究对象：变量之间的关系2.函数定义：函数就是定义在非空数集A,B上的映射f。

此时称数集A为函数f(x)的定义域，集合C={f(x)|x∈A}为值域，且C B。

3.定义域、对应法则和值域构成了函数的三要素。

相同函数的判断方法：①定义域、值域；②对应法则。

(两点必须同时具备)4.求函数的定义域常涉及到的依据为：①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；④零指数幂的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义；⑥正切函数角的终边不在y轴上。

5.函数解析式的求法：①配凑法；②换元法：③待定系数法；④赋值法；⑤消元法等。

6.函数值域的求法：①配方法；②分离常数法；③逆求法；④换元法；⑤判别式法；⑥单调性法等。

7.函数单调性及证明方法:如果对于定义域内某个区间上的任意．．两个自变量的值x1,x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)(或f(x1)>f(x2))，那么就说f(x)在这个区间上是增函数(或减函数)。

第一步：设x1、x2是给定区间内的两个任意的值，且x1<x2；第二步：作差f(x2)-f(x1)，并对“差式”变形，主要方法是：整式——分解因式或配方；分式——通分；根式——分子有理化，等)；第三步：判断差式f(x2)-f(x1)的正负号，从而证得其增减性。

8.函数单调区间的求法：①定义法；②图象法；③同增异减原则。

9.函数的奇偶性：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x ，都有f(-x)=f(x) (或f(-x)=-f(x))，那么函数f(x)就叫做偶函数(或奇函数)。

如f(x)=x 2+2，f(x)=x 3-x 等。

10.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件，也即是说定义域不关于原点对称的函数既不是奇函数也不是偶函数。

11.判断函数奇偶性的常用形式：奇函数：f(-x)=-f(x)，f(-x)+f(x)=0(对数函数)，1)()(-=-x f x f (f(x)≠0)(指数函数)；偶函数：f(-x)=f(x)，f(-x)-f(x)=0，1)()(=-x f x f (fx)≠0)。

2020年暑期数学衔接教材高一升高二(共39页)无答案

圆锥曲线()()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧利用图形的特点②图形思想利用方程的特点①方程思想数形思想②抛物线的性质①抛物线的定义抛物线②双曲线的性质①双曲线的定义双曲线②椭圆的性质①椭圆的定义椭圆②求曲线的方程①曲线与方程的关系曲线与方程知识结构第一节：曲线与方程知识要点（1）曲线与方程数的思想⎩⎨⎧点都在曲线上。

②以方程的解为坐标的是方程的解。

①曲线上的点的坐标都形的思想⎩⎨⎧截距，距离等）②图形的性质（斜率，长①坐标可以表示线段的理解运用①曲线上的点都是方程的解，实际解题中：A 把点代入方程；B 通过解方程组求交点;C 把两条曲线的方程合并为一元二次方程，通过判别式判断两曲线的位置关系;D 用韦达定理进行求解。

②图形的性质就是涉及图形的几何特征。

例、过点且与曲线相交所得弦长为的直线方程为。

1，已知曲线C 的方程是)0(022<=+-+m my mx y x ，下列各点不可能在曲线C 上的点是（）A ．)0,0(B ．)2,0(mC ．)2,0(m -D ．)0,2(m2，直线23+=x y 被曲线221x y =所截得的线段的中点到原点的距离是（） A ．229 B ．429 C ．29 D ．293、若直线x +my =2+m 与圆x 2+y 2—2x —2y +1= 0相交，则实数m 的取值范围是4，已知直线:40l x y -+=与圆()()22:112C x y -+-=，则C 上各点到l 的距离的最小值为_______.5，点（3，1）和点（6,4-）在直线023=+-a y x 的两侧，则a 的取值范围是。

6．下列方程的曲线关于直线x y =对称的是（）A ．122=+-y x xB ．122=+xy y xC ．1=-y xD ．122=-y x第二节：求曲线方程1，求曲线方程主要有三种方法：（1）直译法（2）坐标代入法（3）参数法（4）交轨法求曲线方程的五个步骤：(1)建立适当的直角坐标系，用(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；建标(2)写出适合条件P的点M的集合P={M|P(M)}；设点(3)用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x，y)=0 列式(4)化方程f(x，y)=0为最简方程化简(5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是这条曲线上的点．除个别情况外，化简过程都是同解变形过程，步骤(5)可以不写，也可以省略步骤(2)，直接列出曲线方程．例、已知圆A：(x+2)2+y2=1与点A（-2，0），B（2，0），分别求出满足下列条件的动点P的轨迹方程.（1）△PAB的周长为10;（2）圆P与圆A外切，且点B在动圆P上（P为动圆圆心）;（3）圆P与圆A外切且与直线x=1相切（P为动圆圆心）.学以致用1，求点P （4，－2）与圆224x y +=上任一点连线的中点轨迹方程？2．已知动点M 到定点)0,9(A 的距离是M 到定点)0,1(B 的距离的3倍，求M 的轨迹方程？3、在直角△ABC 中，斜边是定长2a (0)a >，求直角顶点C 的轨迹方程。

2021-2022学年新高一数学暑期衔接讲义-第3讲不等式的进阶——一元二次不等式(解析版)

进门测试建议5min①关于x 的二次方程x 2+2(m +3)x +2m +14=0有两根，且一个大于1，一个小于1，求m 的范围； ②关于x 的二次方程x 2+2(m +3)x +2m +14=0有两根，且在内，求m 的范围；③关于x 的二次方程x 2+2(m +3)x +2m +14=0有两根，且在[1，3]之外，求m 的范围；④关于x 的二次方程mx 2+2(m +3)x +2m +14=0有两根，且一个大于4，一个小于4，求m 的范围．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)．课堂导入建议10min柯西柯西1789年8月21日生于巴黎，他的父亲路易·弗朗索瓦·柯西是法国波旁王朝的官员，在法国动荡的政治漩涡中一直担任公职．由于家庭的原因，柯西本人属于拥护波旁王朝的正统派，是一位虔诚的天主教徒．他在纯数学和应用数学的功力是相当深厚的，很多数学的定理和公式也都以他的名字来称呼，如柯西不等式、柯西积分公式...在数学写作上，他是被认为在数量上仅次于欧拉的人，他一生一共著作了789篇论文和几本书，其中有些还是经典之作，不过并不是他所有的创作质都很高，因此他还曾被人批评高产而轻率，这点倒是与数学王子相反，据说，法国科学院''会刊''创刊的时候，由于柯西的作品实在太多，以致于科学院要负担很大的印刷费用，超出科学院的预算，因此，科学院后来规定论文最长的只能够到四页，所以，柯西较长的论文只得投稿到其他地方．精讲精练214m <-2755m -<≤-214m <-19013m -<<[0,1]2=++x px【解析】由px q x+≥对于一切实数q≥①, q=-2p-26.行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离s (m)与汽车的车速(km/h)满足下列关系：s ＝n v 100＋v 2400(n 为常数，且n ∈N *)，做了两次刹车试验，有关试验数据如图所示，其中⎩⎪⎨⎪⎧6＜s 1＜814＜s 2＜17.（1）求n 的值；（2）要使刹车距离不超过12.6 m ，则行驶的最大速度是多少？【答案】（1）n=6，（2）60 km/h【解析】(1)依题意得⎩⎨⎧6＜40n 100＋1 600400＜814＜70n 100＋4 900400＜17，解得⎩⎪⎨⎪⎧5＜n ＜1052＜n ＜9514，又n ∈N *，所以n ＝6.(2)s ＝3v 50＋v 2400≤12.6⇒v 2＋24v －5 040≤0⇒－84≤v ≤60，因为v ≥0，所以0≤v ≤60，即行驶的最大速度为60 km/h.7. 设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m ＜n )．（1）若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )＞0的解集；（2）若a ＞0，且0＜x ＜m ＜n ＜1a，比较f (x )与m 的大小．【解析】（1）当a ＞0时，不等式F (x )＞0的解集为{x |x ＜－1或x ＞2}；当a ＜0时，解集为{x |－1＜x ＜2}．（2）由函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n ，得f (x )－m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)，∵a ＞0，且0＜x ＜m ＜n ＜1a ，∴x －m ＜0,1－an ＋ax ＞0.∴f (x )－m ＜0，即f (x )＜m .温故知新建议15min课后巩固1、将本节课错题进行组卷，进行二次练习，培养错题管理习惯；2、对笔记本进行复习，培养复习习惯。

高一升高二数学知识点复习

高一升高二数学知识点复习数学是一门基础学科，也是高中学业的重要组成部分。

升入高二，数学知识将更为深入和复杂。

为了帮助同学们更好地复习高一数学知识点，我将按照各个章节的内容进行梳理和总结。

1. 函数与三角函数1.1 函数的概念与性质1.2 基本初等函数图像1.3 基本初等函数的性质与运算1.4 三角函数的概念与性质1.5 三角函数的图像与性质1.6 三角函数的基本关系式与恒等变换2. 二次函数与二次方程2.1 二次函数的概念与性质2.2 二次函数的图像与性质2.3 二次函数的最值与零点2.4 二次函数的解析式与一般式 2.5 二次方程的概念与性质2.6 二次方程的解的判别2.7 二次方程解的性质与求解方法3. 三角函数的进一步研究3.1 三角函数的诱导公式3.2 和差化积与积化和差3.3 三角函数的奇偶性与周期性 3.4 三角函数解析式的展开与化简4. 数列与数列的极限4.1 数列的概念与性质4.2 等差数列与等比数列4.3 数列极限的概念与性质4.4 数列极限的判定与计算5. 空间几何5.1 空间几何基本概念5.2 空间直线与平面的位置关系 5.3 空间图形的投影与旋转5.4 空间向量的概念与运算5.5 空间向量的数量积与夹角 5.6 空间直线与平面的交线问题6. 概率与统计6.1 随机事件与概率的概念6.2 概率统计的基本规则6.3 条件概率与事件独立性6.4 排列与组合的计数原理6.5 随机变量与概率分布6.6 统计的基本方法与分析通过对高一数学各个章节的复习，同学们可以加深对知识点的理解，掌握解题的方法和技巧。

在高二的学业中，数学将起到更重要的作用，因此牢固掌握高一数学知识对于未来学习的顺利进行至关重要。

希望同学们能够充分利用暑假时间进行复习，为高二学习打下坚实的数学基础。

祝大家学习进步！。

高一升高二数学衔接知识点

高一升高二数学衔接知识点数学是一门科学，也是一门与生活息息相关的学科。

在学习数学的过程中，高一和高二是一个重要的转折点。

高一数学为高二做了一定的铺垫，但高二的数学内容更为复杂和深入。

为了更好地适应高二数学的学习，下面将介绍高一升高二数学衔接的知识点。

一、集合在高一阶段，我们已经学习了集合的基本概念和运算，包括交集、并集、差集等。

在高二数学中，我们将更深入地学习集合的性质和应用。

1. 子集与真子集：高二数学中，我们需要掌握子集和真子集的概念。

一个集合A的所有元素都属于另一个集合B，则称集合A 为集合B的子集。

如果集合A是集合B的子集，并且集合B中还有不属于A的元素，则称集合A为集合B的真子集。

2. 并集与交集：高二数学中，我们需要熟练运用并集和交集的性质进行问题的求解。

并集可以用来表示两个集合的所有元素，交集可以用来表示两个集合共有的元素。

二、函数函数是高中数学中的重要概念，高一阶段我们已经初步学习了函数的定义和性质。

在高二数学中，我们将进一步学习函数的图像、性质和应用。

1. 图像的平移和伸缩：高二数学中，我们需要掌握函数图像的平移和伸缩。

函数图像的平移可以通过改变函数的自变量或因变量来实现，而伸缩则可以通过改变函数的系数来实现。

2. 函数的性质与应用：高二数学中，我们将学习更多关于函数的性质，如奇偶性、周期性等。

同时，我们还将学习如何应用函数解决实际问题，如函数的最值、函数的增减性等。

三、微积分微积分是高中数学的核心内容，高一阶段我们已经初步学习了导数的定义、求法和性质。

在高二数学中，我们将进一步学习积分的概念和应用。

1. 积分的定义和计算：高二数学中，我们需要熟练掌握积分的定义和计算方法，包括不定积分和定积分。

同时，我们还需学会利用积分解决实际问题，如面积计算、曲线长度计算等。

2. 微分方程的应用：高二数学中，我们还将学习微分方程的应用。

微分方程是数学与自然科学紧密联系的桥梁，通过微分方程我们可以描述自然界的变化规律，如物理运动、生物种群的增长等。

高一升二暑假数学讲义

循环结构
定义
由若干个依次执行的步骤组成，这是任何一个算法都离不开的基本结构
算法的流程根据条件是否成立有不同的流向，条件结构就是处理这种过程的结构
从某处开始，按照一定的条件反复执行某些步骤的结构，反复执行的步骤称为循环体
程序框图
3.算法语句
(1)输入语句、输出语句、赋值语句的格式与功能
∵8≤3 不成立，
∴进入第二次循环执行条件语句，此时 N＝8,8 不能被 3 整除，则 N＝8－1＝7.
∵7≤3 不成立，
∴进入第三次循环执行条件语句，此时 N＝7,7 不能被 3 整除，则 N＝7－1＝6.
∵6≤3 不成立，
∴进入第四次循环执行条件语句，此时 N＝6,6 能被 3 整除，则 N＝6÷3＝2.
2 第二次执行循环体：n＝1＋1＝2，x＝0＋2－1＝1，y＝2×1＝2，x2＋y2<36；
22 第三次执行循环体：n＝2＋1＝3，x＝1＋3－1＝3，y＝3×2＝6，满足 x2＋y2≥36，
222 故退出循环，输出 x＝3，y＝6，满足 y＝4x，故选 C.
2 思维升华 (1)高考对算法初步的考查主要是对程序框图含义的理解与运用，重点应放在读懂框图上，尤其是条件结构、循环结构．特别要注意条件结构的条件，对于循环结构要搞清进入或退出循环的条件、循环的次数，是解题的关键． (2)解决程序框图问题要注意几个常用变量： ①计数变量：用来记录某个事件发生的次数，如 i＝i＋1. ②累加变量：用来计算数据之和，如 S＝S＋i. ③累乘变量：用来计算数据之积，如 p＝p×i.
故选 B.
-5-
常为而不置，故为者常成；常行而不休，故行者常至。 (2)(2017·山东)执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的 x 的值为 7，第二次输入的 x 的值为 9，则第一次、第

高一升高二暑假数学补课资料专题三)

专题三、函数的单调性与最值一、基础知识1、单调函数的定义若函数y ＝f (x )在区间D 上是或，则称函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫作函数y ＝f (x )的单调区间。

3、函数的最值4、注意事项：（1）函数的单调性是局部性质函数的单调性，从定义上看，是指函数在定义域的某个子区间上的单调性，是局部的特征．在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调。

（2）函数的单调区间的求法函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域．对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二次函数、对数函数、指数函数等；如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间．（3）单调区间的表示单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．二、典例讲解题型一函数单调性的判断例1 试讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性．探究提高证明函数的单调性用定义法的步骤：取值—作差—变形—确定符号—下结论．变式1：(1)已知a >0，函数f (x )＝x ＋a x(x >0)，证明函数f (x )在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数；(2)求函数y ＝x 2＋x －6的单调区间．题型二利用函数单调性求参数例2 若函数f (x )＝ax －1x ＋1在(－∞，－1)上是减函数，求实数a 的取值范围．思维启迪：利用函数的单调性求参数的取值范围，解题思路为视参数为已知数，依据函数的图像或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参．探究提高已知函数的单调性确定参数的值或范围，可以通过解不等式或转化为不等式恒成立问题求解；需注意的是，若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．变式2： (1)若函数f (x )＝(2a －1)x ＋b 是R 上的减函数，则a 的取值范围为____________．(2)函数y ＝x －5x －a －2在(－1，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是( )A ．a ＝－3B ．a <3C ．a ≤－3D ．a ≥－3题型三利用函数的单调性求最值例3 已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－23.(1)求证：f (x )在R 上是减函数； (2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值．思维启迪：问题(1)对于抽象函数的问题要根据题设及所求的结论来适当取特殊值，证明f (x )为单调减函数的首选方法是用单调性的定义来证．问题(2)用函数的单调性即可求最值．探究提高对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意x 1，x 2在所给区间内比较f (x 1)－f (x 2)与0的大小，或f x 1f x 2与1的大小．有时根据需要，需作适当的变形：如x 1＝x 2·x 1x 2或x 1＝x 2＋x 1－x 2等；利用函数单调性可以求函数最值．变式3：已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0. (1)求f (1)的值； (2)判断f (x )的单调性； (3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值．典例4：求函数y ＝log 13(x 2－3x )的单调区间．温馨提醒函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域．如果是复合函数，应该根据复合函数单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，根据同增异减的法则求解函数的单调区间．由于思维定势的原因，容易忽视定义域。

高一升高二数学(暑假)-第3讲-解斜三角形

高一升高二数学（暑假）辅导教案学员姓名：学科教师：年级：辅导科目：授课日期 ××年××月××日时间A /B /C /D /E /F 段主题解斜三角形教学内容1. 熟练掌握正弦定理、余弦定理和面积公式；2. 会判断三角形形状及解的个数；3. 能利用内角和定理实现三内角之间的转换．（以提问的形式回顾）1. 正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===，其中R 是ABC ∆的外接圆半径． 2. 余弦定理2222cos a b c bc A =+-；2222cos b a c ac B =+-；2222cos c a b ab C =+-或 222cos 2b c a A bc +-=； 222cos 2a c b B ac +-=； 222cos 2a b c C ab+-=．3. 任意三角形的面积公式：111sin sin sin 222ABC S ab C bc A ac B ∆===．4. 正余弦定理应用【下图可以让学生先梳理．】5. 常见基本结论（1） A B C π++=——变量代换的基础．【由此关系可以推得sin sin(+);cos cos()A B C A B C ==-+，从而实现角的代换.】（2）大边对大角，大角对大边——判断三角形解的个数的重要依据．【证明：sin sin 22a bA B a b A B R R=>=⇔>⇔>．】（采用教师引导，学生轮流回答的形式）例1. 在ABC △中，角A B C ，，对边的边长分别是a b c ，，，已知2c =，3C π=．（1）若ABC △的面积等于3，求a b ，；（2）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC △的面积．【第（1）问根据三角形的面积公式和余弦定理列出关于a ，b 的方程，通过方程组求解；第(2)问根据sin C ＋sin (B －A )＝2sin 2A 进行三角恒等变换，将角的关系转换为边的关系，求出边a ，b 的值即可解决问题】解：（1）由余弦定理及已知条件得，224a b ab +-=，又因为三角形的面积等于3，所以1sin 32ab C =，得4ab =．联立方程组{2244a b ab ab +-==解得2,2a b == （2）由题意得sin()sin()4sin cos B A B A A A ++-=，即sin cos 2sin cos B A A A =，当cos 0A =时，4323,,,2633A B a b ππ====试一试：在某海滨城市附近海面有一台风，据检测，当前台风中心位于城市O (如图)的东偏南2(cos )10θθ=方向300 km 的海面P 处，并以20 km / h 的速度向西偏北ο45的方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km ，并以10 km / h 的速度不断增加，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？持续多长时间？解：设在时刻t (h )台风中心为Q ,此时台风侵袭的圆形区域半径为10t +60(km )若在时刻t 城市O 受到台风的侵袭,则1060OQ t ≤+ 由余弦定理知2222cos OQ PQ PO PQ PO OPQ =+-⋅∠ 由于PO =300,PQ =20t()4cos cos 455OPQ θ∠=-=o 故2222203009600OQ t t =+-()21060t ≤+即2362880t t -+≤ 解得 1224t ≤≤答：12小时后该城市受到台风的侵袭，侵袭的时间将持续12小时．（学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解）1. 在ABC ∆中，“cos cos c C b B =”是“ABC ∆是等腰三角形”的（）条件A 充分不必要B 必要不充分C 充要D 既不充分也不必要解： D ．2. 在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边，且32sin a c A =，则角C 的大小为 . 解：3π和23π3. 已知三角形三边是三个连续自然数，若最大角是最小角的两倍，求三边长．本节课主要知识点：正弦定理和余弦定理的应用。

新高一数学暑期衔接教材含习题

新高一数学衔接教材学生姓名：第一部分，如何做好高、初中数学的衔接● 第一讲如何学好高中数学●初中生经过中考的奋力拼搏，刚跨入高中，都有十足的信心、旺盛的求知欲，都有把高中课程学好的愿望。

但经过一段时间，他们普遍感觉高中数学并非想象中那么简单易学，而是太枯燥、乏味、抽象、晦涩，有些章节如听天书。

在做习题、课外练习时，又是磕磕碰碰、跌跌撞撞，常常感到茫然一片，不知从何下手。

相当部分学生进入数学学习的“困难期”，数学成绩出现严重的滑坡现象。

渐渐地他们认为数学神秘莫测，从而产生畏惧感，动摇了学好数学的信心，甚至失去了学习数学的兴趣。

造成这种现象的原因是多方面的，但最主要的根源还在于初、高中数学教学上的衔接问题。

下面就对造成这种现象的一些原因加以分析、总结。

希望同学们认真吸取前人的经验教训，搞好自己的数学学习。

一高中数学与初中数学特点的变化1 数学语言在抽象程度上突变。

不少学生反映，集合、映射等概念难以理解，觉得离生活很远，似乎很“玄”。

确实，初、高中的数学语言有着显著的区别。

初中的数学主要是以形象、通俗的语言方式进行表达。

而高一数学一下子就触及抽象的集合语言、逻辑运算语言以及以后要学习到的函数语言、空间立体几何等。

2 思维方法向理性层次跃迁。

高中数学思维方法与初中阶段大不相同。

初中阶段，很多老师为学生将各种题建立了统一的思维模式，如解分式方程分几步；因式分解先看什么，再看什么。

即使是思维非常灵活的平面几何问题，也对线段相等、角相等,分别确定了各自的思维套路。

因此，初中学习中习惯于这种机械的、便于操作的定势方式。

高中数学在思维形式上产生了很大的变化，数学语言的抽象化对思维能力提出了高要求。

当然，能力的发展是渐进的，不是一朝一夕的。

这种能力要求的突变使很多高一新生感到不适应，故而导致成绩下降。

高一新生一定要能从经验型抽象思维向理论型抽象思维过渡，最后还需初步形成辩证型思维。

3 知识内容的整体数量剧增。

高中数学在知识内容的“量”上急剧增加了。

高一升高二数学暑假衔接班讲义第1讲(学)

第1讲空间点、直线、平面之间的位置关系（一）热点透析考查目标 1.考查点、线、面的位置关系，考查逻辑推理能力与空间想象能力；2.考查公理、定理的应用，证明点共线、线共点、线共面的问题；3.运用公理、定理和结论证明或判断一些空间图形的位置关系．达成目标 1.理解、熟记平面的性质公理，灵活运用并判断直线与平面的位置关系；2.异面直线位置关系的判定是本节难点，可以结合实物、图形思考．（二）知识回顾1．平面的基本性质公理1：如果一条直线上的在一个平面内，那么这条直线在此平面内．公理2：过上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有过该点的公共直线．2．直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类⎩⎨⎧ 共面直线⎩⎪⎨⎪⎧ 平行相交异面直线：不同在任何一个平面内(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a ，b 所成的角(或夹角)．②范围：⎝⎛⎦⎥⎤0，π2. 3．直线与平面的位置关系有、、三种情况．4．平面与平面的位置关系有、两种情况．5．公理4 平行于的两条直线互相平行．6．定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角．[难点正本疑点清源]1．公理的作用公理1的作用是判断直线是否在某个平面内；公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法；公理3的作用是如何寻找两相交平面的交线以及证明“线共点”的理论依据；公理4是对初中平行线的传递性在空间中的推广．2．正确理解异面直线的定义：异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点．不能错误地理解为不在某一个平面内的两条直线就是异面直线．附件：当堂过手训练（快练五分钟，稳准建奇功！）1．在下列命题中，所有正确命题的序号是________．①平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点；②经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；③经过两条相交直线，有且只有一个平面；④如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合；⑤四边形确定一个平面．2．正方体各面所在平面将空间分成________部分．3．空间四边形ABCD中，各边长均为1，若BD＝1，则AC的取值范围是________．4．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b( )A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线5．已知A、B表示不同的点，l表示直线，α、β表示不同的平面，则下列推理错误的是( ) A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂αB．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝ABC．l⊄α，A∈l⇒A∉αD．A∈α，A∈l，l⊄α⇒l∩α＝A二、高频考点专题链接题型一平面基本性质的应用例1在正方体ABCD—A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC，BD交于点M，求证：点C1，O，M共线．探究提高(1)证明若干点共线也可以公理3为依据，找出两个平面的交线，然后证明各个点都是这两平面的公共点．(2)利用类似方法也可证明线共点问题．(1)E、C、D1、F四点共面；(2)CE、D1F、DA三线共点．题型二异面直线的判定的中点．问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．探究提高(1)证明直线异面通常用反证法；(2)证明直线相交，通常用平面的基本性质，平面图形的性质等．已知空间四边形ABCD中，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD的中点．求证：(1)BC与AD是异面直线；(2)EG与FH相交．题型三异面直线所成的角例3正方体ABCD—A1B1C1D1中，(1)求AC与A1D所成角的大小；(2)若E、F分别为AB、AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．.探究提高求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行.直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于( )A．30°B．45°C．60°D．90°反思总结点、直线、平面位置关系考虑不全面致误典例：(5分)l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是() A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面易错分析由于空间点、直线、平面的位置关系是在空间考虑，这与在平面上考虑点、线的位置关系相比复杂了很多，特别是当直线和平面的个数较多时，各种位置关系错综复杂、相互交织，如果考虑不全面就会导致一些错误的判断．温馨提醒(1)平面几何中的一些定理和结论在空间中不一定成立，如“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”在空间中不成立，所以在用一些平面几何中的定理和结论时，必须说明涉及的元素都在某个平面内．(2)解决点、线、面位置关系问题的基本思路：一是逐个判断，利用空间线面关系证明正确的结论，寻找反例否定错误的结论；二是结合长方体模型或实际空间位置(如课桌、教室)作出判断，但要注意定理应用要准确、考虑问题要全面细致．构造衬托平面研究直线相交问题典例：(4分)在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD 都相交的直线有________条．审题视角找三条异面直线都相交的直线，可以转化成在一个平面内，作与三条直线都相交的直线．因而可考虑过一条直线及另外一条直线上的一点作平面．进而研究公共交线问题．温馨提醒(1)本题难度不大，但比较灵活．对平面的基本性质、空间两条直线的位置关系的考查，难度一般都不会太大．(2)误区警示：本题解法较多，但关键在于构造平面，但不少学生不会构造平面，因此失分较多．这说明学生还是缺少空间想象能力，缺少对空间直线位置关系的理解.方法与技巧1．主要题型的解题方法(1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内(即“纳入法”)．(2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上，因此共线．2．判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点B的直线是异面直线．(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．3．求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决．根据空间等角定理及推论可知，异面直线所成角的大小与顶点位置无关，往往可以选在其中一条直线上(线面的端点或中点)利用三角形求解．失误与防范1．全面考虑点、线、面位置关系的情形，可以借助常见几何模型．2．异面直线所成的角范围是(0°，90°]．巩固练习 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的( ) A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件2．下列命题正确的个数为 ( )①经过三点确定一个平面②梯形可以确定一个平面③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．A．0 B．1 C．2 D．33．设P表示一个点，a、b表示两条直线，α、β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是( )①P∈a，P∈α⇒a⊂α②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈bA．①②B．②③C．①④D．③④4. 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，过顶点A1与正方体其他顶点的连线与直线BC1成60°角的条数为( )A．1 B．2C．3 D．4二、填空题(每小题5分，共15分)5．平面α、β相交，在α、β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定________个平面．6．下列命题中不．正确的是________．(填序号)①没有公共点的两条直线是异面直线；②分别和两条异面直线都相交的两直线异面；③一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线不可能平行；④一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面．7． (2011·大纲全国)已知正方体ABCD －A 1 B 1 C 1 D 1中，E 为C 1D 1的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为______．三、解答题(共22分)8． (10分) 如图所示，四边形ABEF 和ABCD 都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB ＝90°，BC 綊12AD ，BE 綊12FA ，G 、H 分别为FA 、FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形；(2)C 、D 、F 、E 四点是否共面？为什么？9． (12分)如图，在四面体ABCD 中作截面PQR ，若PQ 、CB 的延长线交于M，RQ、DB的延长线交于N，RP、DC的延长线交于K，求证：M、N、K三点共线．拓展训练(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1. 如图，α∩β＝l，A、B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过 ( )A．点AB．点BC．点C但不过点MD．点C和点M2．已知空间中有三条线段AB、BC和CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是( )A．AB∥CDB．AB与CD异面C．AB与CD相交D．AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交3．以下四个命题中①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则点A、B、C、D、E共面；③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．正确命题的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题(每小题5分，共15分)4．在图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)5. 如图是正四面体的平面展开图，G 、H 、M 、N 分别为DE 、BE 、EF 、EC 的中点，在这个正四面体中，①GH 与EF 平行；②BD 与MN 为异面直线；③GH 与MN 成60°角；④DE 与MN 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．6． (2012·四川)如图，在正方体ABCD －A1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱CD 、CC 1的中点，则异面直线A 1M 与DN 所成的角的大小是________．三、解答题7． (13分)如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 为正方形ABCD 的中心，H 为直线B 1D 与平面ACD 1的交点．求证：D 1、H 、O 三点共线．。

高一升高二高中生数学暑假衔接教材

1．直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角α的范围是0°≤α<180°.(2)k ＝⎩⎪⎨⎪⎧存在，α≠90°，不存在，α＝90°. (3)斜率的求法：①依据倾斜角；②依据直线方程；③依据两点的坐标． 2．直线方程的几种形式的转化3．两条直线的位置关系设l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则 (1)平行⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0； (2)相交⇔A 1B 2－A 2B 1≠0；(3)重合⇔A 1＝λA 2，B 1＝λB 2，C 1＝λC 2(λ≠0)或A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2(A 2B 2C 2≠0)．4．距离公式(1)两点间的距离公式．已知点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(2)点到直线的距离公式．①点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2；②两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.【例1】在平面直角坐标系中，已知△ABC 顶点A (0,1)，B (3,2)． (1)若C 点坐标为(1,0)，求AB 边上的高所在的直线方程； (2)若点M (1,1)为边AC 的中点，求边BC 所在的直线方程．【训练1】已知△ABC 的顶点A (6,1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0.求：(1)顶点C 的坐标； (2)直线BC 的方程．【例2】 (1)当a ＝________时，直线l 1：y ＝－x ＋2a 与直线l 2：y ＝(a 2－2)x ＋2平行； (2)当a ＝________时，直线l 1：y ＝(2a －1)x ＋3与直线l 2：y ＝4x －3垂直．【训练2】 (1)已知直线l 1：ax －3y ＋1＝0，l 2：2x ＋(a ＋1)y ＋1＝0.若l 1⊥l 2，则实数a 的值等于________．(2)已知直角三角形ABC 的直角顶点C (1,1)，点A (－2,3)，B (0，y )，则y ＝________. 【例3】直线l 在两坐标轴上的截距相等，且P (4,3)到直线l 的距离为32，求直线l 的方程．【训练3】求在两坐标轴上截距相等，且到点A (3,1)的距离为2的直线的方程．【例4】已知直线l：y＝3x＋3，求：(1)点P(4,5)关于l的对称点坐标；(2)直线y＝x－2关于l的对称直线的方程；(3)直线l关于点A(3,2)的对称直线的方程．【训练4】已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；(3)直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程．核心归纳1．圆的方程(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，其中圆心是C(a，b)，半径长是r.特别地，圆心在原点的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．(2)由于圆的方程均含有三个参变量(a，b，r或D，E，F)，而确定这三个参数必须有三个独立的条件，因此，三个独立的条件可以确定一个圆．(3)求圆的方程常用待定系数法，此时要善于根据已知条件的特征来选择圆的方程．如果已知圆心或半径长，或圆心到直线的距离，通常可用圆的标准方程；如果已知圆经过某些点，通常可用圆的一般方程．2．点与圆的位置关系(1)点在圆上①如果一个点的坐标满足圆的方程，那么该点在圆上．②如果点到圆心的距离等于半径，那么点在圆上．(2)点不在圆上①若点的坐标满足F(x，y)>0，则该点在圆外；若满足F(x，y)<0，则该点在圆内．②点到圆心的距离大于半径则点在圆外；点到圆心的距离小于半径则点在圆内．注意：若P点是圆C外一定点，则该点与圆上的点的最大距离：d max＝|PC|＋r；最小距离：d min＝|PC|－r.3．直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种：相交、相离、相切，其判断方法有两种：代数法(通过解直线方程与圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断)、几何法(由圆心到直线的距离d 与半径长r的大小关系来判断)．(1)当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为d＋r，最小距离为d－r，其中d 为圆心到直线的距离．(2)当直线与圆相交时，圆的半径长、弦心距、弦长的一半构成直角三角形．(3)当直线与圆相切时，经常涉及圆的切线．①若切线所过点(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2上，则切线方程为x0x＋y0y＝r2；若点(x0，y0)在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上，则切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.②若切线所过点(x0，y0)在圆外，则切线有两条．此时解题时若用到直线的斜率，则要注意斜率不存在的情况也可能符合题意．(4)过直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)与圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)的交点的圆系方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0，λ是待定的系数．4．圆与圆的位置关系两个不相等的圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含，其判断方法有两种：代数法(通过解两圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断)、几何法(由两圆的圆心距d与半径长r，R的大小关系来判断)．(1)求相交两圆的弦长时，可先求出两圆公共弦所在直线的方程，再利用相交两圆的几何性质和勾股定理来求弦长．(2)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.5．空间直角坐标系(1)建立的空间直角坐标系要遵循右手法则，空间上的任意一点都与有序实数组(x，y，z)一一对应．(2)空间中P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)之间的距离|P1P2|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＋(z1－z2)2.(3)可利用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”的方法来求空间直角坐标系下的对称点．【例1】一个圆和已知圆x2＋y2－2x＝0相外切，并与直线l：x＋3y＝0相切于M(3，－3)点，求该圆的方程。

2015年人教版高一升高二暑期数学衔接班讲义专题三三角函数

专题三三角函数一、知识要点（1）任意角的三角函数：（2）弧长公式：Ra l = R 为圆弧的半径，a 为圆心角弧度数，l 为弧长。

（3）扇形的面积公式：lR S 21=R 为圆弧的半径，l 为弧长。

（4）同角三角函数关系式：①倒数关系： 1cot tan =a a ②商数关系：a a a cos sin tan =， aaa s i n c o s c o t =③平方关系：1cos sin 22=+a a（5）诱导公式：（奇变偶不变，符号看象限）k ·/2+所谓奇偶指的是整数k 的奇偶性2.（1）两角和与差公式：βββαsin sin cos cos )cos(a a =± βββs i n c o s c o s s i n )s i n (a a a ±=±βββtan tan 1tan tan )(tan a a a a ±=± 注：公式的逆用或者变形．．．．．．．．．（2）二倍角公式：a a a cos sin 22sin = 1cos 2sin 21sin cos 2cos 2222-=-=-=a a a a a aaa 2tan 1tan 22tan -=从二倍角的余弦公式里面可得出降幂公式：22cos 1cos 2a a += ， 22cos 1sin 2a a -=（3）半角公式（可由降幂公式推导出）：2cos 12sinaa -±=，2cos 12cos a a +±= ，aa a a a a a sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12tan -=+=+-±=4.函数)sin(ϕω+=x A y 的图像与性质：（本节知识考察一般能化成形如)sin(ϕω+=x A y 图像及性质）（1）函数)sin(ϕω+=x A y 和)cos(ϕω+=x A y 的周期都是ωπ2=T（2）函数)tan(ϕω+=x A y 和)cot(ϕω+=x A y 的周期都是ωπ=T （3）五点法作)sin(ϕω+=x A y 的简图，设ϕω+=x t ，取0、2π、π、23π、π2来求相应x 的值以及对应的y 值再描点作图。

暑假数学培训资料(函数)(高二升高三学生)

例 6、当 x (0,2] 时,函数 f (x) ax 2 4(a 1)x 3 在 x 2 时取得最大值，则 a 的取值范围是______．
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高二升高三
2．换元法――通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，如
2．特别提醒：求单调区间时，一是勿忘定义域，如例 27、若函数 f (x) loga (x2 ax 3) 在区间 (, a2] 上为减函数，求 a 的取值范围（答： (1, 2 3) ）；
（2）已知 f (x) 是奇函数， g(x) 是偶函数，且 f (x) + g(x) =
x
1 1
,则
f
(x)
=
．
九．函数的奇偶性。 1．具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时，务必先判
定函数定义域是否关于原点对称。如例 18、若函数 f (x) 2sin(3x ) ， x [2 5 ,3 ] 为奇函数，其中 (0, 2 ) ，则的值是．
提醒：（1）求函数的定义域、值域时,你按要求写成集合形式了吗？（2）函数的最值与值域之间有何关系？六．分段函数的概念。分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函
数，它是一类较特殊的函数。在求分段函数的值 f (x0 ) 时，一定首先要判断 x0 属于定义域的哪个子集，然后再代相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集。如
求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。如
例
12、设 x, a1, a2 , y

高一升高二数学知识点

高一升高二数学知识点高一到高二是一个关键的学习阶段，学生们在这个阶段需要系统地学习和掌握更深入的数学知识点。

本文将为你介绍高一升高二数学中的重要知识点，帮助你更好地准备和应对高二的学习。

1. 平面向量在高二数学中，平面向量是一个重要的概念。

平面向量具有大小和方向，可以用有序数对 (x, y) 来表示。

常见的运算包括向量加法、向量减法、数乘和向量的数量积等。

此外，还可以通过向量的模长和方向角来描述向量。

2. 三角函数进阶在高一学习的基础上，高二数学会继续深入研究三角函数。

这包括正弦函数、余弦函数、正切函数等的性质和图像变换问题。

此外，还会学习三角函数的复合、反函数和在实际问题中的应用。

3. 不等式与绝对值不等式是数学中常见的问题，高二数学会更深入地研究不等式的性质和解法。

包括一元一次不等式、一元二次不等式、绝对值不等式等等。

通过掌握不等式的解题方法，可以更好地解决实际问题。

4. 高次方程高二数学还会继续研究高次方程的解法。

包括二次方程、三次方程和四次方程的求解方法。

通过学习高次方程的解法，可以更好地理解和应用代数中的基本概念和方法。

5. 导数与微分导数是微积分的重要概念，高二数学会系统地学习导数的定义、性质和求导法则。

同时，还会学习函数的导数与函数的性质、最值等的关系，以及导数在实际问题中的应用。

6. 数列与数列的极限数列是一系列有序的数按照一定规律排列而成，高二数学会学习数列的概念、常用数列的性质和递推关系，以及数列的极限概念和性质。

数列与极限的理解对于理解和应用微积分、数学分析等领域非常重要。

7. 概率与统计高二数学还会介绍概率与统计的基本知识。

包括概率的基本概念、概率计算、事件的独立性等内容。

此外，还会学习统计的基本概念、统计数据的收集和整理，以及统计分析和推断等内容。

总结起来，高一升高二数学知识点的学习需要全面掌握，这些知识将为高校的数学学习打下坚实的基础。

除了这些重要的知识点，还需要培养良好的数学思维能力和解题技巧，以便在高二数学的学习中取得更好的成绩。

初高中衔接暑期暑期辅导(三)

初高中衔接暑期暑期辅导（三）今日要点：根与系数的关系（韦达定理）、一元二次函数应用内容：一元二次方程对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有（1）当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根 x 1，22a（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝－2b a；（3）当Δ＜0时，方程没有实数根．韦达定理如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a-，x 1·x 2＝ca．这一关系被称为韦达定理。

若x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），则| x 1－x 2|||a Δ＝b 2－4ac ）。

一元二次函数应用一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；顶点式：y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)，其中顶点坐标是(－h ，k )．交点式：y ＝a (x －x 1) (x －x 2) (a ≠0)， x 1，x 2是二次函数图象与x 轴交点的横坐标已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函数的表达式高中入门函数的三大性质单调性周期性奇偶性习题1．填空（1）方程kx2＋4x－1＝0的两根之和为－2，则k＝．（2）方程2x2－x－4＝0的两根为α，β，则α2＋β2＝．（3）已知关于x的方程x2－ax－3a＝0的一个根是－2，则它的另一个根是．（4）方程2x2＋2x－1＝0的两根为x1和x2，则| x1－x2|＝．（5）已知二次函数的图象经过与x轴交于点(－1，0)和(2，0)，则该二次函数的解析式可设为y＝a(a≠0) ．（6）二次函数y＝－x2+23x＋1的函数图象与x轴两交点之间的距离为．2．选择题:（1）函数y＝－x2＋x－1图象与x轴的交点个数是（）（A）0个（B）1个（C）2个（D）无法确定（2）函数y＝－12(x＋1)2＋2的顶点坐标是（）（A）(1，2) （B）(1，－2) （C）(－1，2) （D）(－1，－2) 3．根据下列条件，求二次函数的解析式．（1）图象经过点(1，－2)，(0，－3)，(－1，－6)；（2）当x＝3时，函数有最小值5，且经过点(1，11)；（3）函数图象与x轴交于两点(1－2，0)和(1＋2，0)，并与y轴交于(0，－2)．2009年浙江省高等职业技术教育招生考试数学试卷16..用">"或"<"填空：当a<b<0时，a+b_____05317.()8,(2)10(2)________f x x ax bx f f=++--==已知函数且，则。

新高一数学暑假提升讲义03 有意义的根式和分式及相关计算(解析版)

新高一数学暑假提升讲义03 有意义的根式和分式及相关计算【基础内容与方法】1.分式有意义的条件对于分式，分母不能为0，故分式有意义的条件是分母不为0，当分母为0时，分式无意义。

即若0B ≠,式子A B 有意义；若0B =，则式子A B无意义；若A=0且0B ≠，则0A B=，即分式的值为0的条件．2.0a ≥．考点一：二次根式的概念例1：在式子，（x ＞0），，（y ＝﹣2），（x ＞0），，，x +y 中，二次根式有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【分析】根据二次根式的定义作答．【解答】解：（x ＞0），，符合二次根式的定义．（y ＝﹣2），（x ＞0）无意义，不是二次根式．属于三次根式． x +y 不是根式．故选：B ．【点评】本题考查了二次根式的定义．一般形如（a ≥0）的代数式叫做二次根式．当a≥0时，表示a的算术平方根；当a小于0时，非二次根式（在一元二次方程中，若根号下为负数，则无实数根）．考点练习：1．在式子①②③x2④⑤（x≤1）中，二次根式有 3 个．【分析】根据二次根式的定义填空即可．【解答】解：因为形如（a≥0）叫二次根式，所以①②⑤都符合要求，而③二次根号，④中的被开方数小于0，即二次根式有3个，故答案为3．【点评】本题考查了二次根式的定义，比较简单．考点二：二次根式有意义的条件例2：（1）当x满足x＞0 时，代数式有意义；【分析】根据二次根式有意义：被开方数为非负数，分式有意义的条件：分母不等于零可得x＞0．【解答】解：由题意得：x＞0，故答案为：x＞0．【点评】此题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．（2）要使式子有意义，则x的取值范围是x≥﹣2，且x≠﹣1 ．【分析】首先保证被开方数x+2≥0，再保证分母x+1≠0，解出不等式即可．【解答】解：∵式子有意义，∴x+2≥0，且x+1≠0，解得：x≥﹣2，且x≠﹣1．故答案为：x≥﹣2，且x≠﹣1．【点评】此题主要考查了分式，二次根式有意义的条件，关键是把握：①二次根式中的被开方数是非负数；②分母≠0．考点练习：1.二次根式有意义，则x应满足的条件是（）A．B．C．D．【分析】根据二次根式中的被开方数必须是非负数，即可列出不等式求解．【解答】解：根据题意得：1﹣2x≥0，解得：x≤．故选：B．【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．2.若二次根式有意义，则m的取值范围是（）A．m≥﹣2B．m＞﹣2C．m≥﹣2且m≠﹣1D．m≤﹣2且m≠1【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出m的范围．【解答】解：由题意得，m+2≥0且m+1≠0，解得m≥﹣2且m≠﹣1．故选：C．【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．3.代数式有意义，则x的取值范围是x．【分析】根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件即可求出答案．【解答】解：由题意可知：∴x≤且x≠2，∴x的取值范围为：x≤故答案为：x【点评】本题考查二次根式的有意义的条件，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．考点三：与二次根式有关的计算类型（一）1．已知a＝3+2，b＝3﹣2，求a2b﹣ab2的值．【分析】先计算出a﹣b和ab的值，再分解因式得到∴a2b﹣ab2＝ab（a﹣b），然后利用整体代入的方法计算；【解答】解：∵a＝3+2，b＝3﹣2，∴a﹣b＝4，ab＝9﹣8＝1，∴a2b﹣ab2＝ab（a﹣b）＝1×4＝4；【点评】本题考查了整体代入的思想．2．已知a＝+2，b＝2﹣，则a2020b2019的值为（）A．﹣﹣2B．﹣+2C．1D．﹣1【分析】由积的乘方与同底数幂的乘法，可得a2016b2015＝（ab）2015•a，然后由平方差公式求解即可求得答案．【解答】解：∵a＝+2，b＝2﹣，∴a2020b2019＝（ab）2019•a＝[（+2）（2﹣）]2019•（+2）＝﹣（+2）＝﹣﹣2．故选：A．【点评】此题考查了二次根式的乘法以及积的乘方与同底数幂的乘法．注意掌握积的乘方与同底数幂的乘法公式的逆用．类型（二）阅读下列材料，然后回答问题：在进行类似于二次根式的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简：方法一：＝＝＝方法二：＝＝＝＝（1）请用两种不同的方法化简：；（2）化简：．【分析】（1）利用分母有理化和平方差公式计算；（2）先分母有理化，然后合并即可．【解答】解：（1）方法一：原式＝＝﹣；方法二：原式＝＝﹣；（2）原式＝（﹣+﹣+…+﹣）＝（﹣）＝﹣．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．类型（三）先阅读然后解答问题：化简解：原式＝根据上面所得到的启迪，完成下面的问题：（1）化简：（2）化简：．【分析】（1）把4写成2，把9写成4+5，根据完全平方公式配方即可求解；（2）把算式平方然后再求算术平方根即可得解．【解答】解：（1），＝，＝，＝﹣2；（2）∵（）2，＝4++2+4﹣，＝8+2，＝10，∴＝．【点评】本题考查了二次根式的化简，读懂并理解题目信息，根据完全平方公式把被开方数整理成完全平方的形式是解题的关键，难度较大．考点四：分式的意义例3：若分式的值为0，则x的取值为（）A．x≠1B．x≠﹣1C．x＝1D．x＝﹣1【分析】根据分式值为零的条件可得x2﹣1＝0，且x+1≠0，再解即可．【解答】解：由题意得：x2﹣1＝0，且x+1≠0，解得：x＝1，故选：C．[来源:Z§xx§]【点评】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．考点练习：1．若分式的值为零，则x的值是（）A．2或﹣2B．2C．﹣2D．4【分析】分式的值是0的条件是：分子为0，分母不为0．【解答】解：由x2﹣4＝0，得x＝±2．当x＝2时，x2﹣x﹣2＝22﹣2﹣2＝0，故x＝2不合题意；当x＝﹣2时，x2﹣x﹣2＝（﹣2）2﹣（﹣2）﹣2＝4≠0．所以x＝﹣2时分式的值为0．故选：C．【点评】分式是0的条件中特别需要注意的是分母不能是0，这是经常考查的知识点．2．分式与都有意义的条件是（）A．x B．x≠﹣1C．x且x≠﹣1D．以上都不对【分析】根据分式的分母不能为零分式有意义，可得答案．【解答】解：由分式与都有意义，得2x﹣3≠0且x+1≠0，解得x≠，x≠1，[来源:]故选：C．【点评】本题考查了分式有意义的条件，分式的分母不等于零是分式有意义的条件．3．当x＝9 时，分式的值等于零．【分析】分式的值是0的条件是：分子为0，分母不为0．【解答】解：∵|x|﹣9＝0，∴x＝±9，当x＝9时，x+9≠0，当x＝﹣9时，x+9＝0，∴当x＝9时分式的值是0．[来源:Z#xx#]故答案为9．【点评】分式是0的条件中特别需要注意的是分母不能是0，这是经常考查的知识点．考点五：分式的计算例4：先化简，再求值：，其中x＝1+，y＝1﹣．【分析】（2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x、y的值代入计算可得．【解答】解：（2）原式＝•＝，当x＝1+，y＝1﹣时，原式＝＝＝．【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及解分式方程的步骤．考点练习：1．已知a+＝1+，求a2+的值．【分析】根据题目中的式子，两边平方整理化简即可求得所求式子的值．【解答】解：∵a+＝1+，∴∴∴a2+＝9+2．【点评】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．。

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典例5：函数f (x )对任意的m 、n ∈R ，都有f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )－1，并且x >0时，恒有f (x )>1. (1)求证：f (x )在R 上是增函数； (2)若f (3)＝4，解不等式f (a 2＋a －5)<2. 审题视角 (1)对于抽象函数的单调性的证明，只能用定义．应该构造出f (x 2)－f (x 1)并与0比较大小．(2)将函数不等式中的抽象函数符号“f ”运用单调性“去掉”是本小题的切入点．要构造出f (M )<f (N )的形式．解函数不等式问题的一般步骤：第一步：确定函数f (x )在给定区间上的单调性；第二步：将函数不等式转化为f (M )<f (N )的形式；第三步：运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f ”，转化成一般的不等式或不等式组；第四步：解不等式或不等式组确定解集；第五步：反思回顾．查看关键点，易错点及解题规范．温馨提醒本题对函数的单调性的判断是一个关键点．不会运用条件x >0时，f (x )>1.构造不出f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)－1的形式，找不到问题的突破口．第二个关键应该是将不等式化为f (M )<f (N )的形式．解决此类问题的易错点：忽视M 、N 的取值范围，即忽视f (x )所在的单调区间的约束.三、专项练习A 组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．下列函数中，在(－∞，0)上为增函数的是( )A ．y ＝1－x 2B ．y ＝x 2＋2x C ．y ＝11＋xD ．y ＝xx －12．已知函数f (x )＝2ax 2＋4(a －3)x ＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34 3．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x x ，⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2x ＋x 是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．[4,8)C ．(4,8)D ．(1,8)4．给定函数①y ＝x 12，②y ＝log 12(x ＋1)，③y ＝|x －1|，④y ＝2x ＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是 ( ) A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④二、填空题(每小题5分，共15分)5． f (x )＝x 2－2x (x ∈[－2,4])的单调增区间为__________；f (x )max ＝________. 6．函数f (x )＝ln(4＋3x －x 2)的单调递减区间是__________．7．若函数f (x )＝a |x －b |＋2在[0，＋∞)上为增函数，则实数a 、b 的取值范围是_________．三、解答题(共22分)8．(10分)已知函数f (x )＝1a －1x(a >0，x >0)，(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是单调递增函数；(2)若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求a 的值．9．(12分)已知函数f (x )＝x 2＋a x(x ≠0，a ∈R )．(1)判断函数f (x )的奇偶性；(2)若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围．B 组专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f xx在区间(1，＋∞)上一定 ( )A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数2．已知定义在R 上的增函数f (x )，满足f (－x )＋f (x )＝0，x 1，x 2，x 3∈R ，且x 1＋x 2>0，x 2＋x 3>0，x 3＋x 1>0，则f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)的值 ( )A ．一定大于0B ．一定小于0C ．等于0D ．正负都有可能3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ， x ≥0，4x －x 2， x <0，若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,2)B ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)二、填空题(每小题5分，共15分) 4．设函数f (x )＝ax ＋1x ＋2a在区间(－2，＋∞)上是增函数，那么a 的取值范围是__________． 5．已知f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x<f (1)的实数x 的取值范围是______________． 6．设x 1，x 2为y ＝f (x )的定义域内的任意两个变量，有以下几个命题：①(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0；②(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0；③f x 1－f x 2x 1－x 2>0；④f x 1－f x 2x 1－x 2<0.其中能推出函数y ＝f (x )为增函数的命题为________．(填序号) 三、解答题7． (13分)已知f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，且f (1)＝1，若a ，b ∈[－1,1]，a ＋b ≠0时，有f a ＋f ba ＋b>0成立．(1)判断f (x )在[－1,1]上的单调性，并证明它； (2)解不等式：f (x ＋12)<f (1x －1)；(3)若f (x )≤m 2－2am ＋1对所有的a ∈[－1,1]恒成立，求实数m 的取值范围．。