n阶行列式定义(精)

其中 p1 p2 pn 为自然数 1， 2， ，n 的一个排列， t 为这个排列的逆序数．
a11 a12 a1n D a21 a22 a2 n an1 an 2 ann
p1 p2 pn t p p p 1 a1 p a2 p anp
t 312 1 1 2,
偶排列 正号
a11a 23 a 32
列标排列的逆序数为
t 132 1 0 1,
奇排列 负号,
a11 a12 a13 a21 a22 a23 ( 1)t a1 p1 a2 p2 a3 p3 . a31 a32 a33
二、n阶行列式的定义
第三节 n阶行列式定义
教学目的:理解n阶行列式的概念，会 用其定义计算或证明简单行 列式，掌握三角形与对角形 行列式的计算公式. 教学重点: n阶行列式的定义、三角形 行列式与对角形行列式. 教学难点:行列式的定义.
一、引言
三阶行列式
a11 D a 21 a 31
说明
a12 a 22 a 32
定义
由 n 2 个数组成的 n 阶行列式等于所有 取自不同行不同列的 n 个元素的乘积 的代数和
t ( 1 ) a1 p1 a2 p2 anpn .
a11 记作 D a21 a n1
a12
a1n
a22 a2 n an 2 ann
简记作det(aij ). 数 aij 称为行列式det(aij ) 的元素．
即行列式中不为零的项为a14a 23a 32a41 .
0 0 0 4 0 0 3 0 0 2 0 0 1 0 0 0
1
t 4321
1 2 3 4 24.
例 计算上三角行列式
a11 a12 a1n 0 a22 a2 n 0 0 ann
解
1 2 3 4
例3
0 4 2 1 D ? 0 0 5 6 0 0 0 8
1 2 3 4 0 4 2 1 D a11a 22a 33a44 1 4 5 8 160. 0 0 5 6 0 0 0 8
同理可得下三角行列式
a11 0 0 0 a 21 a 22 0 0 a n1 an2 a n 3 a nn
例1
计算对wk.baidu.com行列式
0 0 0 4 0 0 3 0 0 2 0 0 1 0 0 0
解 分析 展开式中项的一般形式是
a1 p1 a2 p2 a3 p3 a4 p4
若 p1 4 a1 p1 0, 所以 p1只能等于 4 ,
从而这个项为零， 同理可得 p2 3, p3 2, p4 1
a11a22 ann .
例4
证明对角行列式
1 2

12 n ;
n
1
n n1 2
2

1
12 n .
n
证明
第一式是显然的,下面证第二式.
若记
i ai ,ni 1 , 则依行列式定义
1 2

a n1 a 2 , n 1 a1n
n
1
1
t n n1 21
n n1 2
a1na2,n1 an1
证毕
12 n .
三、小结
1 、行列式是一种特定的算式，它是根据求解 方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需 要而定义的. 2、 n 阶行列式共有 n! 项，每项都是位于不同 行、不同列 的 n个元素的乘积,正负号由下标排 列的逆序数决定.
a 23 a11a22 a33 a12 a23a31 a13a21a32 a 33 a13a22 a31 a11a23a32 a12 a21a33
a13
（1）三阶行列式共有 6 项，即 3! 项． （2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的 乘积．
（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标排列． 例如 a13 a 21a 32 列标排列的逆序数为
分析
展开式中项的一般形式是
a1 p1 a2 p2 anpn .
pn n, pn1 n 1, pn 3 n 3, p2 2, p1 1,
所以不为零的项只有 a11a22 ann .
a11 a12 a1n 0 a22 a2 n 1t 12n a a a 11 22 nn 0 0 ann a11a22 ann .
1 2 n 1 2 n
说明
1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方 程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而 定义的; 2、 n 阶行列式是 n! 项的代数和;
3、 n 阶行列式的每项都是位于不同行、不同 列 n 个元素的乘积;
4、 一阶行列式 a a 不要与绝对值记号相混淆;
t a a a 1 . 5、 1 p1 2 p2 npn 的符号为