n阶行列式定义(精)
n阶行列式的定义及性质
注 在计算行列式 中, 经常需要用初等 变换来“打洞”, 可 以看出“打洞”中 起主要作用的是性 质5.
•命题
(1) A 初 B, 则|A|与|B|要么同时为0, 要么同时不为0.
(2)设n阶方阵A满足|A|≠0, 且A经过有限次初等行变换变 成行简化阶梯矩阵R, 则R=En.
❖性质7
a2n
an1 an2 ann
简记为det(aij) 其中p1p2 pn为自然数1 2 n的一个排列 t为这个排列的逆序数 ∑表示对所有排列p1p2 pn取和.
在n阶行列式D中 数aij为行列式D的(i j)元.
特别规定一阶行列式|(a)|的值就是a.
❖三阶行列式的结构二：
a12 a1n
a11 a12 a1n a11 a12 a1n
(2) ai1 bi1 ai2 bi2 ain bin ai1 ai2 ain bi1 bi2 bin .
an1
an2 ann an1 an2 ann an1 an2 ann
1 2 3 4
1 0 7 2
例
设
A
0
7
9 1
2 4
5
,
则Hale Waihona Puke 6AT 23
9 2
1 4
1. 8
2
1
8
3
4 5 6 3
(1)A的第3列元素3,2,4,8正好是AT的第3行元素; (2)A的第3列元素的余子式
0 9 51 2 41 2 41 2 4
7 1 6,7 1 6,0 9 5,0 9 5
2 1 32 1 32 1 37 1 6
行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代
数余子式乘积之和等于零. 即
3-1 n阶行列式的概念
行列式理论是研究线性方程组的解法而产生的. 行列式理论是研究线性方程组的解法而产生的. 近代,被广泛应用于数学, 近代,被广泛应用于数学,物理以及工程技术等 许多领域. 许多领域. 在线性代数中,更是一个不可缺少的重要工具. 在线性代数中,更是一个不可缺少的重要工具. 主要介绍定义,性质,计算及克莱姆法则. 主要介绍定义,性质,计算及克莱姆法则. 定义
(a , b)
证明: 证明 (1)相邻对换
AabB → AbaB
A,B中的每一个数的逆序数都没有发生改变, 所以只需考虑a ,b的逆序数 若 a > b a的逆序数不变, b 的逆序数减少1 若
a < b a 的逆序数增加1,b 的逆序数不变, 所以, AabB, AbaB 的奇偶性不同
7
(2)一般对换
Aak1k2 kmbB → Abk1k2 kmaB
情况太复杂,改变思考角度 不是通过一次性得到结果,而是作如下过程:
(a , b)
Aak1k2 kmbB
m+1 +1次相邻对换 作m+1次相邻对换 作m次相邻对换 次相邻对换
→
由(1)知, 改变了2m+1(奇数) 次奇偶性 奇偶性当然改变.
8
→
Ak1k2 kmbaB Abk1k2 kmaB
1
第一节 n阶行列式的概念 阶行列式的概念
2
一,排列及其逆数 由n个自然数组成的一个有序数组, 定义3.1.1 定义3.1.1 称为由这n个自然数的一个全排列 全排列,简称排列 全排列 排列 记作: i1i2 in 例
自然数 1,2 1,2,3 1,2,3,4 123 1234 132 12 213 231 …… …… 312 4321 n(n-1) 321 ( -1)…321
n阶行列式的定义
0 = (-1)t a1na2,n−1 "an1
其中t为n(n-1)……21的逆序数，因此由第一节的例2
可知t＝n(n－1)/2。
例2 证明下三角行列式
a11 0 "
D
=
a21 #
a22 #
" #
0
0 #
= a11a22 "ann
an1 an2 " ann
证： 由于当j > i时，aij = 0，因此行列式的求和
对行列式中元素 ，cij第一个下标i表示元素所在
的行，称为行标；第二个下标j表示元素所在的列， 称为列标。从上述表达式可以发现三阶行列式有如下 特点：
（1）表达式共有3!＝6项求代数和。且每项均为
不同行不同列的三个元素的乘积；
（2）6项中有3项的代数符号为正，3项的代数符 号为负；
（3）如果把每一项元素的行标按1、2、3依次排 列，则每一项元素的列标排列分别为123, 231, 312以 及321, 213, 132, 恰好是1、2、3这三个数的所有可能 的排列。
d krk k +1 rk+1
0，因此
" r1,
dr2k,+"n rk+,nrk,，只有
在1, 2，…，k中选取时，该项才可能不为0。而根据
行列式的定义，当 r1, r2 ,", rk 在1, 2，…，k中选取时， rk+1, rk+2 ,", rk+n只能在k+1, k+2项可以记为
(−1)t d1r1 " dkrk d k +1 rk+1 " dk +n rk+n = (−1)t a1r1 " akrk b1 p1 "bnpn
n阶行列式的定义
(1) a a a t( p1 p2 p3 ) 1 p1 2 p2 3 p3
p1 p2 p3
其中 表示对1、2、3的所有排列求和． p1 p2 p3
二阶行列式有类似规律．下面将行列式推广到一般的情形．
二、n 阶行列式的定义
a11 a12 L a1n
D a21 a22 L MM an1 an2 L
a2n
M (1) a a L a p1 p2L pn
t ( p1 p2L pn )
1 p1 2 p2
npn
ann
简记作 det(aij)，
1. 等号的右边一共有 n! 项． 其中 aij 为行列式 D 的(i, j)元
2. 每一项都是位于不同行不同列的 n 个元素的乘积．
注意：当n = 1时，一阶行列式 |a| = a，注意不要与绝对值的
记号相混淆．例如：一阶行列式 1 1．
例：写出四阶行列式中含有因子 a11a23 的项．
解： a11a23a32a44 和 a11a23a34a42 .
例：计算行列式
a11 0 0 0
0 D1 0
a22 0 0 a33
0 0
0 0 0 a44
a a11 22 ann
(2)
D
ann
由列标排列的奇偶性
决定符号
a1n
a2,n1 N
n( n1)
(1) 2 a1na2,n1 L an1
an1
(3) 上三角形行列式 （主对角线下侧元素都为 0）
a11 a12
0a
D
22
a1n
a 2n
a a11 22 ann
1-3 n阶行列式的定义
(1) a 23 a 31a 42 a 56 a14 a65 → a14 a 23 a 31a 42 a 56 a65 ,
431265的逆序数为 的逆序数为
t = 1 + 0 + 2 + 2 + 1 + 0 = 6,
前边应带正号. 所以 a 23 a 31a 42 a 56 a14 a65 前边应带正号
它等于所有取自不同行不同列的 n 个元素的乘积 的 代数和
∑ (−1) a
t
1 p1
a2 p2 L anpn . （其中 p1 p2 L pn 为自然数
1， L，n 的一个排列，t 为这个排列的逆序数． 2， )
a11 a12 L a1n 即：D = a21 a22 L a2n LLLLLLL an1 an 2 L ann =
λn
= ( − 1)
= ( − 1)
t [n ( n −1 )L21]
n ( n −1 ) 2
a1na2 ,n−1 Lan1
证毕
λ1λ2 Lλn .
定理2 定理2 n阶ห้องสมุดไป่ตู้列式也可定义为
D = ∑ (− 1) a p1q1 a p2 q2 L a pn qn
t
是两个n级排列,t ,t为行 其中 p1 p2 L pn , q1 q2 L qn是两个n级排列,t为行 标排列逆序数与列标排列逆序数的和. 标排列逆序数与列标排列逆序数的和. 证明 交换 a p q a p q L a p q 中 a p q 与 a 1 1 2 2 n n p q 1 1 得
λ1 λ2
O
= λ1λ2 Lλn ;
λn
λ1
n ( n −1 ) 2
λ2
n阶行列式的定义
an1 0
0
n(n1)
(1) 2 a a 1n 2(n1) an1 .
这种行列式称为副对角行列式 。
22
副上三角行列式
a11 a12 a1(n1) a1n
a21 a22 a2(n1) 0
D a31 a32 0
0
an1 0 0
0
n(n1)
(1) 2 a a 1n 2(n1) an1 .
0c00 00d 0
解 D (1)N (1423) a11a24a32a43 abcd 或 D (1)N (1342) a11a32a43a24 abcd
34
n 0 00 0
0 0 0 0 n 1
例11
求 D
0
0
0 n2 0
0 0 20 0
0 1 00 0
35
n 0 00 0
0 0 0 0 n 1
是数1,2,...,n的一个n级排列，每项前面带有符号
(1)N ( j1 j2 jn ) 即当 j1 j2 jn 是偶排列时，带正号，当
j1 j2 jn 是奇排列时，带负号，记作
15
a11 a12 a1n
D
a21
a22
a2n
(1)N ( j1 j2 jn ) a1 j1 a2 j2 anjn
a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44
所表示的代数和中有4 ! = 24项.
例如, a11a22a33a44 项取+ 号, a14a23a31a42 项取 - 号,
a11a24a33a44 不是 D 的项. 17
例如，四阶行列式
0001 0020 D 0300 4000
所表示的代数和中有4 ! = 24项. 考虑其一般项目为 a a a a 1 j1 2 j2 3 j3 4 j4 由于第一行除了a14外全为0，故只考虑 j1=4； 同理，只考虑j2=3，j3=2，j4=1，即行列式展 开式中不为0的项只有 a14a23a32a41 其逆序数为6，此 项前为正号.因此
§1.3_n阶行列式定义
§1.3 n阶行列式定义121.3.1、概念的引入三阶行列式333231232221131211a a a a a a a a a D =322113312312332211a a a a a a a a a ++=332112322311312213a a a a a a a a a −−−说明（1）三阶行列式共有项，即 项．6!3（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积．3（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标排列．例如322113a a a 列标排列的逆序数为(),211312N =+=322311a a a 列标排列的逆序数为(),101132N =+=偶排列奇排列正号+,负号−.)1(321321321)(N 333231232221131211∑−=∴p p p p p p a a a a a a a a a a a a41.3.2、n 阶行列式的定义nnn n nn nj j j j j j a a a a a a a a a D a a a n n n n n L M M M L L L L 21222211121121)(N 2.)1(2121=−∑记作的代数和个元素的乘积取自不同行不同列的阶行列式等于所有个数组成的由定义1.3.1).det(ij a 简记作的元素．称为行列式数)det(ij ij a a5为这个排列的逆序数．的一个排列，，，，为自然数其中N 2121n j j j n L L ()()nnj j j n nj j j j j j nnn n nna a a a a a a a a a a a D L L L L L L L L L L L L L 21212121N 2122221112111∑−==6说明1、行列式是一种特定的数值或表达式；2、阶行列式是 项的代数和;n !n 3、阶行列式的每项都是位于不同行、不同列个元素的乘积;n n 4、 一阶行列式不要与绝对值记号相混淆;a a =5、 的符号为nnj a j a j a L 2211.)21(N 1n j j j L ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−7例1 计算对角行列式4003002001000分析展开式中项的一般形式是43214321jj j j a a a a 41≠j 若,011=⇒j a 从而这个项为零，所以只能等于 , 1j 4同理可得1,2,3432===j j j 解84003002001000()()432114321N ⋅⋅⋅−=.24=即行列式中不为零的项为.a a a a 41322314例2 计算上三角行列式nnn n a a a a a a L L L L L L L L L L 000222112119分析展开式中项的一般形式是.2121n np p p a a a L ,n p n =,11−=−n p n ,1,2,3123==−=−p p n p n L 所以不为零的项只有.2211nn a a a L nnn n a a a a a a L L L L L L L L L L 00022211211∴()()nnn a a a L L 221112N 1−=.2211nn a a a L =解10例3?8000650012404321==D 443322118000650012404321a a a a D ==.1608541=⋅⋅⋅=11同理可得下三角行列式nnn n n a a a a a a a L L L L L L L L L L L 32122211100000.2211nn a a a L =12nλλλN21()().12121n n n λλλL −−=;21n λλλL =nλλλO21例4 证明对角行列式13nλλλN2111,21211N 1n a n a n a n n L L −−−=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛()().12121n n n λλλL −−=证明第一式是显然的,下面证第二式.若记,1,+−=i n i i a λ则依行列式定义11,21n n na a a N−=证毕14例5设nnn n nna a a a a a a a a D L L L L L L L L L L 2122221112111=nnn n n n nn nn a b a b a b a a b a ba b a a D L L L L L L L L L L 221122222111112112−−−−−=证明.21D D =证由行列式定义有15()()n npa p a p a n p p p n p p p nna n a n a na a a na a a D L L L L LL L L L L L L L 22112121N 12122221112111∑−==nnn n n n nn nn a b a b a b a a b a ba b a a D L L L L L L L L L L 221122222111112112−−−−−=()()()()n n nn p p p n np p p p p p p p p N ba a a +++−+++∑−=L L L L L 212121212121116由于,2121n p p p n +++=+++L L 所以()().12211212121D a a a D n nn np p p pp p p p p t =−=∑L L L ()()()()n n nn p p p n np p p p pp p p p p p p t ba a a D +++−+++∑−=L L L L L 21212121212121()()nnn np p p pp p p p p t a a a L L L 212121211∑−=故17项，中共有显然在!)1(2121n a a a D n q q q sn ∑−=L 重新排列，序中的元素按行标自然顺对n q q q sn a a a L 2121)1(−nnp p p sa a a L 2121)1(−变为nn np p p sn q q q s a a a a a a L L 21212121)1()1(−=−显然∑−=nq q q sn a a a D L 2121)1(定理定理1.3.11.3.11.3.1 n n n阶行列式也可以定义为阶行列式也可以定义为其中其中s s 是行标排列是行标排列q q 1q 2…q n 的逆序数。
n阶行列式定义
01
```
02
123
03
456
解答
• 3=0=0
解答
``` 2. 将第一行乘以-2加到第二行，得到
解答
``` 123
234
解答
• 3=0=0
解答
```
VS
3. 将第一行乘以-1加到第一行，得到
解答
01 ``` 02 0 0 0 03 2 3 4
解答
• 3=0=0
解答
```
4. 根据二阶行列式的计算公式，得到结果为：|1 2; 3 4| = -2。所以原行列式的值为：-2 * -4 * -2 = -16。
03 计算方法
三角化法
定义
三角化法是将一个n阶行列式转化为若干个3阶行列式，通 过计算这些3阶行列式来得到原n阶行列式的值。
计算步骤
首先将n阶行列式拆分成若干个3阶行列式，然后利用行列式的 性质进行化简，最后将这些3阶行列式的值相乘得到原n阶行列
式的值。
适用范围
适用于n≤3的行列式计算。
递推法
判断解的个数
行列式可以用来判断线性方程组解的个数，当系数矩阵的行列式不等于0时，方程组有唯一解；等于0 时，方程组有无穷多解或无解。
在矩阵中的应用
矩阵的逆运算
行列式是矩阵逆运算的基础，通过计算矩阵的行列式值和伴随矩阵，可以求得逆矩阵。
判断矩阵是否可逆
行列式可以用来判断一个矩阵是否可逆，当行列式不等于0时，矩阵可逆；等于0时， 矩阵不可逆。
定义
递推法是根据行列式的定义和性质，通过递推关系式计算行列式的值。
计算步骤
首先根据行列式的定义写出递推关系式，然后利用行列式的性质进行化简，最后将递推关 系式中的项相加得到原n阶行列式的值。
N阶行列式的性质汇总
N阶行列式的性质汇总行列式是线性代数中的基本概念之一，广泛应用于各个领域。
1.行列式的定义及表示：行列式是一个数，用于度量矩阵的一些性质。
对于一个n阶方阵A=[aij]，其行列式用det(A)表示，也可以用，A，表示。
n阶行列式的定义为：det(A) = Σ(±a1j1a2j2...anjn)，其中±a1j1a2j2...anjn表示n个元素的排列，并且符号取决于这个排列的逆序数。
2.行列式的性质：(1) 行列式与矩阵的转置：一个矩阵的行列式等于其转置矩阵的行列式，即det(A) = det(A^T)。
(2) 行列式与矩阵的相等：如果矩阵B可以通过对矩阵A的一些行或列进行初等行变换得到，则det(B) = det(A)。
(3) 行列式与纯量因子：如果矩阵A的其中一行或列中所有元素都乘以同一个数k，那么行列式的值也会乘以k，即det(kA) = k^n * det(A)。
(4) 行列式与矩阵的乘积：对于两个n阶矩阵A和B，其行列式的乘积等于行列式的乘积，即det(AB) = det(A) * det(B)。
(5) 行列式与逆矩阵：如果矩阵A可逆，则其逆矩阵A^(-1)的行列式等于矩阵A的行列式的倒数，即det(A^(-1)) = 1 / det(A)。
(6) 行列式与可交换性：对于任意两个n阶矩阵A和B，有det(A*B) = det(B*A)。
(7)行列式与初等变换：对于矩阵A，如果应用了一次初等行变换，其行列式的值也会发生相应的变化，具体变化规律取决于初等行变换的类型。
3.行列式的计算方法：(1)按行（列）展开法：利用行列式的定义，通过对其中一行（列）展开计算，将n阶行列式转化为n-1阶行列式的计算。
(2)初等变换法：通过一系列初等行变换，将矩阵转化为上（下）三角矩阵，此时行列式的值就是对角线上元素的乘积。
(3)行列式性质法：利用行列式的性质，对矩阵进行化简计算，如将矩阵转化为对角矩阵，或利用矩阵的行列变换得到行列式的乘积或分解。
n阶行列式的定义——线性代数
解 展开式中项的一般形式是 a a a a 1 p1 2 p2 3 p3 4 p4
若 p1 4 a1 p1 0, 从而这项为零，
所以 p1只能等于 4 , 同理可得 p2 3, p3 2, p4 1
§4 n阶行列式的定义 © 2009, Henan Polytechnic University
a31 a32 a33
t为排列 p1p2 p3 的逆系数
§4 n阶行列式的定义 © 2009, Henan Polytechnic University
33
二、n阶行列式的定义
第一章 行列式
定义 由 n2 个数组成的n阶行列式等于所有取自
不同行不同列的n个元素的乘积的代数和
(1)t a1p1a2 p2 anpn
所以不为零的项只有a11a22 ann . 即
a11 a12 0 a22
a1n
a2n
1
a a a t 12n
11 22
nn
a11a22 ann .
00
ann
§4 n阶行列式的定义 © 2009, Henan Polytechnic University
1111
同理可得下三角行列式
66
例1.证明行列式
a1 a2 a1 a1 b1 b2 b3 b4 c1 c2 0 0 d1 d2 0 0 e1 e2 0 0
a1 b5 0 0 0 0
第一章 行列式
§4 n阶行列式的定义 © 2009, Henan Polytechnic University
77
第一章 行列式
例2 计算行列式
99
例3 计算上三角行列式
线性代数 第一章 第一节 n阶行列式的定义
k
21 k 1k 1
2 k k ,
当 k 为奇数时，排列为奇排列.
23:10 24
小结
1 n 个不同的元素的所有排列种数为 n!.
2 排列具有奇偶性.
3 计算排列逆序数常用的方法有2 种. 4 n 阶全排列逆序数的范围: 最小的逆序总数: 最大的逆序总数:
23:10 23
3 2k 12k 122k 232k 3k 1k
解
2k 1 2k 1 2 2k 2 3 2k 3k 1 k
0 1
1
2
2
t 0 1 1 2 2 k 1 k 1 k
计算物理教研室201831811n阶行列式的定义111二三阶行列式的定义112n阶行列式的定义12行列式的主要性质13行列式按行列展开131按一行列展开行列式132拉普拉斯定理第一章行列式2018318一内容提要行列式是研究线性代数的一个重要工具近代被广泛运用到理工科各个领域特别在工程技术和科学研究中有很多问题需要用到行列式这个数学工具
2 2 3 1 D2 3 2 1 (1) 7, 1 2
二元一次方程组的解为：
23:10
1 2 5 2 8,
D1 8 x1 D 11 ; D 7 x2 2 . D 11
9
类似地，为了得出关于三元线性方程组：
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 a x a x a x b 3 31 1 32 2 33 3
a 21 b2
n阶行列式的定义
总结规律: (1) n阶行列式共有 n!项. (2)每项都是位于不同行不同列的n个元素的 乘积. (3)每项的正负号都取决于位于不同行不同 列的n个元素的下标排列.
§3
例
λ1
0 0 0
n 阶行列式的定义
λ2
0 0 a11 0 0 = λn 0 0 a 22 0 0 0 a nn
n 阶行列式的定义
n阶行列式共有 项,每项都是位于不同行, 阶行列式共有n!项 每项都是位于不同行, 阶行列式共有 个元素的乘积, 不同列 的 n 个元素的乘积,正负号由下标 排列的逆序数决定. 排列的逆序数决定.
�
§3
n 阶行列式的定义
主要内容: 主要内容: 一,二阶,三阶行列式的结构 二阶, 二, n 阶行列式的定义
§3
二阶行列式
n 阶行列式的定义
总结规律: (1)二阶行列式共有 2 项,即2!项. (2)每项都是位于不同行不同列的二个元素的乘积. (3)每项的正负号都取决于位于不同行不同列的二个元素 的下标排列.
§3
n 阶行列式的定义
例 上三角行列式
a1 1 a1 2 a1 n 0 a 22 a 2 n 0 0 a nn
= a1 1 a 2 2 a n n
§3
例
1 0 0 0 3 2 0 0
n 阶行列式的定义
D=
2 1 3 0
4 0 100 4
= 1 × 2 × 3 × 4 = 24
§3
总结
= ( 1) t (1 2 n ) a 1 1 a 2 2 a n n = λ1λ 2 λ n
§3
例
0 0 0 0
n 阶行列式的定义
λ1
0
0 0
a 2 ,n 1
线性代数第1章行列式n阶行列式的定义
行列式中如果有两行（ 列）元素成比例，则此 行列式等于零。
把行列式的某一列（行 ）的各元素乘以同一数 然后加到另一列（行） 对应的元素上去，行列 式不变。
行列式的计算
80%
直接计算法
按照定义直接计算，适用于低阶 行列式。
100%
降阶法
利用性质将高阶行列式降为低阶 行列式计算，适用于高阶行列式 。
80%
将深入讲解特征值与特征向量的定义、性质以及 计算方法等。
向量与线性方程组
将探讨向量的概念、向量的线性组合与线性方程 组的关系等内容。
二次型与正定矩阵
将介绍二次型的概念、正定矩阵的判定以及二次 型的标准化等内容。
学习建议与要求
熟练掌握行列式的定义、性 质和计算方法，能够灵活运 用所学知识解决相关问题。
线性代数第1章行列式n阶行列 式的定义
目
CONTENCT
录
• 引言 • n阶行列式的定义 • 行列式的性质与计算 • 克莱姆法则 • 行列式的应用 • 总结与展望
01
引言
线性代数的重要性
02
01
03
是数学的一个分支，研究线性方程组、向量空间、矩 阵等概念和性质。
在计算机科学、物理学、工程学等领域有广泛应用， 如计算机图形学、量子力学、电路分析等。
本章内容与目标
01
掌握n阶行列式的定义和性质，理解行列式与矩阵的关系。
02
学会计算低阶行列式，了解高阶行列式的计算方法和技巧。
03
了解克拉默法则及其在线性方程组中的应用，理解行列式在 解决实际问题中的意义和作用。
02
n阶行列式的定义
行列式的概念
行列式是数学中的一个基本概念，表示一个方阵的 数值特征。
1.3n阶行列式的定义
1 2 3 4
例3
0 4 2 1 D ? 0 0 5 6 0 0 0 8
1 2 3 4 0 4 2 1 D a11a 22a 33a44 1 4 5 8 160. 0 0 5 6 0 0 0 8
同理可得下三角行列式
a11 0 0 0 a 21 a 22 0 0 a n1 an2 a n 3 a nn
a11 记作 D a21 a n1
a12
a1n
a22 a2 n an 2 ann
简记作 det(aij ). 数 aij 称为行列式 det(aij ) 的元素．
其中 p1 p2 pn 为自然数 1， 2， ，n 的一个排列， t 为这个排列的逆序数．
a11 a12 a1n D a21 a22 a2 n an1 an 2 ann
p1 p2 pn t p p p 1 a1 p a2 p anp
1 2 n 1 2 n
说明 1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方 程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而 定义的; 2、 n 阶行列式是 n! 项的代数和;
3、 n 阶行列式的每项都是位于不同行、不同 列 n 个元素的乘积; 4、 一阶行列式 a a 不要与绝对值记号相混淆;
（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的 乘积．
（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标排列． 例如 a13 a 21a 32
列标排列的逆序数为
偶排列 正号
t 312 1 1 2,
a11a 23 a 32
列标排列的逆序数为 奇排列 负号,
t 132 1 0 1,
从而这个项为零， 同理可得 p2 3, p3 2, p4 1
n阶行列式的定义
§1·2 n 阶行列式的定义1、二、三阶行列式定义对二元线性方程组:11112212112222a x a xb a x a x b +=⎧⎨+=⎩11221122221222112122122212a a x a a xb a a a x a a x b a +=⎧⇒⎨+=⎩122221121122211)(a b a b x a a a a −=−⇒112212210a a a a −≠若:11112212112222,a x a b a a b +=⎧⎨+=⎩对122212111221221211121211221221b a b a x a a a a b a b a x a a a a −⎧=⎪−⎪⎨−⎪=⎪−⎩则：112212210a a a a −≠若211222111222211a a a a a b a b x −−=22211211a a a a =222121a b a b 令：211222112111122,a a a a a b a b x −−22211211a a a a =221111b a b adc ba 二阶行列式＋－bc ad −=3213−如11=1112112111112212211221221121212122222212,,a ab a a b a a a a ba a b a b ba a a b a a b =−=−=−例1, 求方程组的解。
12122233x x x x +=⎧⎨+=⎩解: 因为0121313211≠=×−×=所以方程组有唯一解：121333311123x ===212231111123x −===−⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111ba x a x ab a x a x a b x a x a a 同理，对三元线性方程组：111213212223313233a a a a a a a a a 三阶行列式112233122331132132132231122133112332a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++−−−仿照二阶行列式，引入三阶行列式：112233122331132132112332122133132231a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++−−−＋－333231232221131211a a a a a a a a a ＋＋－－aa aD 111111=问：（1）当a 为何值时，D ≠0（2）当a 为何值时，D =0【例1】设：解:aa aD 111111=311a a a a=++−−−显然：当a ≠1且a ≠-2时，D ≠0当a =1或a =-2时，D =0332a a =−+2(1)(2)a a =−+⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bx a x a x a bx a x a x a b x a x a x a 对三元线性方程组：0333231232221131211≠a a a a a a a a a 若：则方程组有唯一解，且唯一解为：333231232221131211332312222111211333323123222113121133331232211311123332312322211312113332323222131211,,a a a a a a a a a b a a b a a b a a x a a a a a a a a a a b a a b a a b a x a a a a a a a a a a a b a a b a a b x ===2、n 阶行列式nnn n n n a a a a a a a a a """""""212222111211称为n 阶行列式.a ij ———位于行列式中第i 行第j 列的元素.例如, a 32 ——位于行列式中第3行第2列的元素.定义：由n 2个数a ij (i , j =1、2、3…n )组成的符号二阶行列式其中{}{}211221=j j 为两项的代数和，每一项是行列式中不同行不同列的两个元素的乘积1112112212212122a a a a a a a a =−121212()12(1)j j j jj j a a τ=−∑121212()1122211212(1)j j j j j j a a a a a a τ=−=−∑112233122331132132132231122133112332a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++−−−111213212223313233a a a a a a a a a {}{123123,231,312,321,213,132j j j =三阶行列式六项的代数和，每一项是行列式中不同行不同列的三个元素的乘积123123123()123(1)j j j j j j j j j a a a τ=−∑123123123()123(1)j j j j j j j j j a a a τ=−∑{}123123123111213()212223123313233(1)j j j j j j j j j a a a a a a a a a a a a τ=−∑=不同行不同列的两个元素的乘积=不同行不同列的三个元素的乘积2！3！11122122a a a a {}121212()12(1)j j j j j j a a τ=−∑()()121212111212122212121n nnn j j j nj j nj j j j n n nna a a a a a a a a a a a τ=−∑""""""""""nj j j "21n 级排列(由1、2…n 组成，共n!个))(21n j j j "τn 级排列的逆序数n j j j "21nnj j j a a a "2121行列式中n 个不同行不同列的元素的乘积=n!项的代数和，每一项是行列式中不同行不同列的n 个元素的乘积nn nj j j j j j a a a ""212121)()1(τ−行列式的一般项：一般我们称()()nn nnj j j j j j j j j a a a """212121211τ∑−nnn n nna a a a a a a a a """""""212222111211为n 阶行列式的展开式。
第1节 n阶行列式的定义(全)
第一章行列式§1 n阶行列式的定义§2 行列式的性质§3 行列式按行(列)展开§4 克拉默法则§1n阶行列式的定义●二阶与三阶行列式●排列与逆序●n阶行列式的定义一、二阶与三阶行列式二元线性方程组11112212112222a x a xb a x a x b +=⎧⎨+=⎩由消元法，得211211221122211)(a b b a x a a a a -=-212221*********)(b a a b x a a a a -=-当时，该方程组有唯一解021122211≠-a a a a 211222112122211a a a a b a a b x --=211222112112112a a a a a b b a x --=1.二阶行列式求解公式为11112212112222a x a xb a x a x b +=⎧⎨+=⎩122122111221221112121211221221b a a b x a a a a a b b a x a a a a -⎧=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩二元线性方程组请观察，此公式有何特点？ 分母相同，由方程组的四个系数确定. 分子、分母都是四个数分成两对相乘再相减而得.其求解公式为11112212112222a x a xb a x a x b +=⎧⎨+=⎩122122111221221112121211221221b a a b x a a a a a b b a x a a a a -⎧=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩二元线性方程组我们引进新的符号来表示“四个数分成两对相乘再相减”.1112112212212122a a D a a a a a a ==-11122122a a a a 记号11122122a a a a 数表表达式称为由该数表所确定的二阶行列式，即11221221a a a a -其中，称为元素.(1,2;1,2)ij a i j ==i 为行标，表明元素位于第i 行；j 为列标，表明元素位于第j 列.二元线性方程组11112212112222a x a x b a x a x b +=⎧⎨+=⎩若令11122122a a D a a =1211222b b a D a =1221121b a D a b =(方程组的系数行列式)则上述二元线性方程组的解可表示为1122122*********D D b a a b x a a a a =-=-1121212211221221a b b a D x a a a a D-==-2.三阶行列式定义对于有9个元素排成3行3列的式子记称为三阶行列式.111213212223313233a a a a a a a a a =112233122331132132132231122133112332a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++---111213212223313233a a a a a a a a a 主对角线副对角线ij a三阶行列式的计算——对角线法则111213212223313233a a a D a a a a a a =132132a a a +112233a a a =122331a a a +132231a a a -122133a a a -112332a a a -注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.实线上的三个元素的乘积冠正号，虚线上的三个元素的乘积冠负号.3232-344-52D =例1计算行列式解按对角线法则，有=D 3(3)2⨯-⨯3(3)4-⨯-⨯183********=--+++-72=244+⨯⨯2(5)3+⨯-⨯222-⨯⨯34(5)-⨯⨯-方程左端解由得2111120.64x x=例2求解方程22264124D x x x x=++---228,x x =+-2280x x +-=2 4.x x ==-或二、排列与逆序定义1,2,,n 由正整数组成的一个没有重复数字的n 元有序数组，称为一个n 级排列，简称排列，记为。
n阶行列式的三种等价定义
n阶行列式的三种等价定义
1、行列式有很多等价定义。
等价定义就是你可以拿其中一个作为定义，而另外的就是他的充分必要条件。
我可以举出三个。
2、第一个应该是大部分国内教材用的。
用a{i，j}表示行列式第i行j列元素，p=（p1，p2…pn）表示1到n的排列，tp代表排列p的逆序数。
n阶行列式的值等于对全部的排列p，（-1）
^tp*a{1，p1}*a{2，p2}*。
*a{n，pn}的和。
3、第二个是递归定义，一阶行列式｜a｜=a，高阶行列式按第一行展开，即行列式等于a｛1，k｝*A｛1，k｝对全部k=1，2，。
，n求和。
其中A｛1，k｝为a｛1，k｝的代数余子式。
可以证明这种定义可以推广成按任意行或列展开且展开的值相等。
0101n阶行列式的概念
= a11 Dn−1
= a11a22 L an−1n−1 D1 = a11a22 L ann .
同理：对角形行列式 同理：对角形行列式
λ1
Dn =
0
0
λ2
L L
0 0
L L L L 0 0 L λn
= λ1λ2 L λn 。
0 0 例 4. 计算行列式 Dn = L a n1
L 0 L a 2 n −1 L L L ann−1
a11 L
L
a1 j −1 L
a1 j +1 L
L
a1n L
M ij =
ai −11 L ai −1 j −1 ai +11 L ai +1 j −1 L an1 L L anj −1
ai −1 j +1 L ai −1n a i +1 j + 1 L a i + 1 n L anj +1 L L ann
aij 在D中的代数余子式记为Aij = ( −1)
M ij
a11 a12 a13 a 1+ 1 22 例如： 例如：三阶行列式 a21 a22 a23 中， A11 = ( −1) a32 a31 a32 a33
a23 a33
，
A12 = ( −1)
1+ 2
a21 a31
a23 a33
,
A13 = ( −1)
1+ 3
a21 a31
a22 a32
a11 可证： a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 = a11 A11 + a12 A12 + a13 A13 a33
说明：三阶行列式的值等于其第一行元素a11，a12，a13 与其对应的代数余子式 A11，A12，A13 的和.
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a 23 a11a22 a33 a12 a23a31 a13a21a32 a 33 a13a22 a31 a11a23a32 a12 a21a33
a13
（1）三阶行列式共有 6 项，即 3! 项． （2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的同行不同列 的三个元素的下标排列． 例如 a13 a 21a 32 列标排列的逆序数为
第三节 n阶行列式定义
教学目的:理解n阶行列式的概念，会 用其定义计算或证明简单行 列式，掌握三角形与对角形 行列式的计算公式. 教学重点: n阶行列式的定义、三角形 行列式与对角形行列式. 教学难点:行列式的定义.
一、引言
三阶行列式
a11 D a 21 a 31
说明
a12 a 22 a 32
分析
展开式中项的一般形式是
a1 p1 a2 p2 anpn .
pn n, pn1 n 1, pn 3 n 3, p2 2, p1 1,
所以不为零的项只有 a11a22 ann .
a11 a12 a1n 0 a22 a2 n 1t 12n a a a 11 22 nn 0 0 ann a11a22 ann .
即行列式中不为零的项为a14a 23a 32a41 .
0 0 0 4 0 0 3 0 0 2 0 0 1 0 0 0
1
t 4321
1 2 3 4 24.
例 计算上三角行列式
a11 a12 a1n 0 a22 a2 n 0 0 ann
解
例1
计算对角行列式
0 0 0 4 0 0 3 0 0 2 0 0 1 0 0 0
解 分析 展开式中项的一般形式是
a1 p1 a2 p2 a3 p3 a4 p4
若 p1 4 a1 p1 0, 所以 p1只能等于 4 ,
从而这个项为零， 同理可得 p2 3, p3 2, p4 1
1 2 n 1 2 n
说明
1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方 程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而 定义的; 2、 n 阶行列式是 n! 项的代数和;
3、 n 阶行列式的每项都是位于不同行、不同 列 n 个元素的乘积;
4、 一阶行列式 a a 不要与绝对值记号相混淆;
t a a a 1 . 5、 1 p1 2 p2 npn 的符号为
a11a22 ann .
例4
证明对角行列式
1 2
12 n ;
n
1
n n1 2
2
1
12 n .
n
证明
第一式是显然的,下面证第二式.
若记
i ai ,ni 1 , 则依行列式定义
1 2
a n1 a 2 , n 1 a1n
t 312 1 1 2,
偶排列 正号
a11a 23 a 32
列标排列的逆序数为
t 132 1 0 1,
奇排列 负号,
a11 a12 a13 a21 a22 a23 ( 1)t a1 p1 a2 p2 a3 p3 . a31 a32 a33
二、n阶行列式的定义
1 2 3 4
例3
0 4 2 1 D ? 0 0 5 6 0 0 0 8
1 2 3 4 0 4 2 1 D a11a 22a 33a44 1 4 5 8 160. 0 0 5 6 0 0 0 8
同理可得下三角行列式
a11 0 0 0 a 21 a 22 0 0 a n1 an2 a n 3 a nn
定义
由 n 2 个数组成的 n 阶行列式等于所有 取自不同行不同列的 n 个元素的乘积 的代数和
t ( 1 ) a1 p1 a2 p2 anpn .
a11 记作 D a21 a n1
a12
a1n
a22 a2 n an 2 ann
简记作det(aij ). 数 aij 称为行列式det(aij ) 的元素．
n
1
1
t n n1 21
n n1 2
a1na2,n1 an1
证毕
12 n .
三、小结
1 、行列式是一种特定的算式，它是根据求解 方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需 要而定义的. 2、 n 阶行列式共有 n! 项，每项都是位于不同 行、不同列 的 n个元素的乘积,正负号由下标排 列的逆序数决定.
其中 p1 p2 pn 为自然数 1， 2， ，n 的一个排列， t 为这个排列的逆序数．
a11 a12 a1n D a21 a22 a2 n an1 an 2 ann
p1 p2 pn t p p p 1 a1 p a2 p anp