第29课时2.3.2平面向量基本定理、平面向量的正交分解及坐标表示212.3.13

1 2
uu v e2
A
uv e1
M
e2
a
平移 共同起点
e 1
B
a = OA + OB
a
A
OA = λ1 e1 OB = λ2 e2
分解
e2
O
⇒ a =λ e +λ e
1 1
2 2
e 1
r ur uu r a = λ1 e1 + λ 2 e 2
这就是说平面内任 r 一向量 a都可以表示 ur uu r 成 λ1 e1 + λ2 e2的形式
r uuu 6、已知B的坐 标是 ( m,n ) ,AB 的坐标为(i,j),则点A 的坐标为(i,j),则点A (i,j),则点 A 的坐标为
A、7,1) (
B、-7， ) C、-7,1) D、7， ) ( -1 ( ( -1
A、(m-i,n-j) (m-i,nC、(m+i,n+j)
B、(i-m,jB、(i-m,j-n) D、 D、(m+n,i+j)
三、平面向量的坐标表示
y
r a
A
y
r j
r r r a = xi +y j
uuu r r r OA = xi +y j
x
O r
i
x
当向量的起点在坐标原点时， 当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标 就是向量终点的坐标. 向量终点的坐标.
r 向量 a
一一对应
坐标(x,y) 坐标
两个向量相等，利用坐标如何表示？ 两个向量相等，利用坐标如何表示？
小结
1.平面向量基本定理: 1.平面向量基本定理: a = λ1 e1 + λ2 e2 平面向量基本定理 2.向量的夹角: 2.向量的夹角: (0 ≤ θ ≤ 180 ) 向量的夹角
o o
r r r 3.平面向量的坐标表示 平面向量的坐标表示: 3.平面向量的坐标表示: a = xi +y j uuu r uuu r uuu r
a
∴ b = −2i + 3 j = (−2,3)
c = −2i − 3 j = (−2,−3)
j O c i
A
A1
x
d = 2i − 3 j = (2,−3)
d
a = AB = (4,5) − (2,2) = (2,3)
分别表示向量a,b,c,d,并求出它们的坐标 并求出它们的坐标. 例.用基底 i , j 分别表示向量 用基底 并求出它们的坐标 r r r y uuu r r r b = − 2i + 3 j 5 B r AB = 2i + 3 j 4 b = ( − 2, 3) r = (2,3) a 3
4、基底给定时，分解形式唯一. 、基底给定时，分解形式唯一
练习：下列说法是否正确？ 练习：下列说法是否正确？ 1.在平面内只有一对基底 × 在平面内只有一对基底. 在平面内只有一对基底
2.在平面内有无数对基底 在平面内有无数对基底. 在平面内有无数对基底 3.零向量不可作为基底 零向量不可作为基底. 零向量不可作为基底 4.平面内不共线的任意一 平面内不共线的任意一 对向量,都可作为基底 对向量 都可作为基底. 都可作为基底
a = λ1 e1 + λ2 e2
说明： 说明： ur uu r 1、把不共线的非零向量 e1 , e2 叫做表示 、 不共线的 基底. 这一平面内所有向量的一组基底 这一平面内所有向量的一组基底 2、基底不唯一，关键是不共线 、基底不唯一，关键是不共线. 不共线
r 3、由定理可将任一向量 a 在给出基底 、 ur uu r 的条件下进行分解. e1 , e2 的条件下进行分解
2 1 r A 2 3 4
x
r r r c = −2i + ( −3) j = (−2, −3)
-4 -3
-2
-1
r i1 -1
O
j
r c
-2
u r d
u r r r d = 2i + ( −3) j = (2, −3)
随堂练习 r r r r 1、 ( 4,6 ) ,且a=2b,那么b的坐标是 B a= B、 C、 3,D、 2,A、(3,2) B、(2,3) C、(-3,-2) D、(-2,-3) r r 2、若向量 a= ( x-2,3 ) 与向量 b= (1,y+2 ) 相等，那么 B A、x=1,y=3 B、 B、x=3,y=1 D、x=5,y=C、x=1,y=-3 x=1,y=D、x=5,y=-1 uuu r uuu r 3、已知AB= ( x,y ) , B的坐标是 ( -2,1) ,那么OA的坐标为 C (xB、(x+2,yA、(x-2,y+1) B、(x+2,y-1) x,1C、(-2-x,1-y) D、 D、(x+2,y+1)
O
o
A
B r b θ r a O A
θ = 180
θ = 90
o
如图， 例1:如图，等边三角形中，求 如图 等边三角形中， (1)AB与AC的夹角； 与 的夹角 的夹角； (2)AB与BC的夹角。 与 的夹角 的夹角。
'
C
C
注意:同起点 注意 同起点
120
A
0
60
o
B
已知向量e 求作向量-2.5e1+3e2 例2.已知向量 1,e2，求作向量 已知向量
一个向量的坐标等于表示此向量的有向 线段的终点的坐标减去起点的坐标 线段的终点的坐标减去起点的坐标. 终点的坐标减去起点的坐标
r r r 图 用 底 j 别 示 量 例 . 如 ， 基 i ，分 表 向 a、 5 r r r b、 、 ,并 出 们 坐 . c d 求 它 的 标 y 解： = AA1 + AA2 = 2i + 3 j a A2 B r b ∴ a = (2,3)
2.2.3平面向量的正交分解及坐标表示. 2.2.3平面向量的正交分解及坐标表示. 平面向量的正交分解及坐标表示
物理背景: 物理背景: 向量的 正交分解
平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量， 把一个向量分解为两个互相垂直的向量， 叫作把向量正交分解
三、平面向量的坐标表示
y
yj
j
r r r r 4、若向量 a= (1, 1) ,b= (1, -1) ,c= ( -1, 2 ) ,那么c等于 B 1r 3r 1r 3r 3r 1r 3r 1r A、 a+ b B、 a- b C、 a- b D、 a+ b 2 r 2 2 r 2r 2 2 r2 2 5、已知a= ( 3,-1) ,b= ( -1,2 ) ,那么-3a-2b等于 B
作法:1、任取一点 作 作法 、任取一点O,作 OA = − 2 .5 e 1 , OB = 3 e 2 . 2、作 、 OACB.
A
3、 OC 就是求作的向量 、
ur − 2.5e1
O
uu r 3e2
B
C
e2
e1
一个重要结论
图 、 共 , 3 例 . 如 , OA OB不 线 且AP = t AB (t ∈R), 用OA OB表 OP. , 示
复习:共线向量基本定理： 复习:共线向量基本定理：
r r r 向量 b 与向量 a ( a ≠ 0) 共线 当且仅当有唯一一个实数 λ 使得
b = λa
λ >0 λ<0
rb a b b
探究：给定平面内两个向量 euur 、euur ，平面内
任一向量是否都可以在这两向量方向上分解呢？ 任一向量是否都可以在这两向量方向上分解呢？ N B
一、平面向量基本定理: 平面向量基本定理
如果 e1、2 是同一平面内的两个不共线 e 是同一平面内的两个不共线 向量， 向量，那么对于这一平面内的任一向 有且只有一对实数 量 a 有且只有一对实数 λ1、λ2 ,使 使
ur uu r 其中e1， 2 叫做表示这一平面内 e 所有向量的 一组基底 .
O
基底 a 我们把(x,y)叫做向量 a 的 我们把 叫做向量 (直角 坐标，记作 直角)坐标 直角 坐标，
i xi
x
r r r 正交单位 xi +y j a=
r a = ( x, y )
其中， 叫做 轴上的坐标， 其中，x叫做 a 在x轴上的坐标， 轴上的坐标 y叫做 a 在y轴上的坐标， 叫做 轴上的坐标， 轴上的坐标 (x,y)叫做向量的坐标表示 叫做向量的坐标表示. 叫做向量的坐标表示
√ √ √
二、向量的夹角: 向量的夹角 r r 两个非零向量 a， b
→
B
θ → ∠AOB = θ 叫做向量 r 注意:同起点 注意
b
r O b B
夹角的范围： 夹角的范围：(0o ≤ θ ≤ 180o ) r r a a
A
o
θ =0
r B b
a = b ⇔ x1 = x2且y1 = y2
uuu r 的坐标. 例4:已知 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ，求 AB 的坐标 已知
uuu uuu uuu r r r 解： AB = OB − OA
y A B O x
= ( x2 , y2 ) − ( x1 , y1 )
= ( x2 − x1 , y2 − y1 )
OP = (1 − t )OA + t OB
结论： 已 O A B 点 共 ， 结论： 知 、 、 三 不 线
点 若 P 在 线AB上 直 ， P O B 则O = m A+ nO , 且m+ n =1.
P B A
O
三、平面向量的坐标表示
思考？ 思考？ 在平面里直角坐标系中， 在平面里直角坐标系中，每 一个点都可用一对有序实数（ 一个点都可用一对有序实数（它 的坐标）表示。 的坐标）表示。对直角坐标平面 内的每一个向量，如何表示呢？ 内的每一个向量，如何表示呢？