【期末试卷】福建省厦门市2018届高三上学期期末质检数学(文)试题Word版含答案
厦门市2018-2019学年度第一学期高三年级质量检测文科数学参考答案
(2)由 cos A =
5 得 sin A = 2
5
，································································ 6 分
5
5
所以 sin B=
sin( A + π )=
sin Acos π + cos Asin π=
3 10
. ······························ 8 分
2
2
2
18．本题考查等差、等比数列与解不等式等知识；考查运算求解能力；考查方程思想，化归
与转化思想．满分 12 分．
（1）设{an} 的公差为 d ，{bn} 的公比为 q ，依题意得：
a1 a1
+ +
d =b1q2 2d =b1 +
b1q
+
b1q 2
，即
1+ d 1+ 2d
=4b1 = 7b1
4
2
3
4
二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13．1+ i ；
14． 3 2 ；
15． 17 ；
16．
1 2
e2
−1,
e
．
16． f (x) 是定义在 R 上的奇函数，在 (−∞, ∞) 为单调递增，且 f (1) = 2 .
−2 ≤
f
(ax − ex
+1) ≤
整理得 a2 + b2 − c2 =2ab .由余弦定理得： cos C =
2
， ································ 4 分
福建省厦门市2018届高三上学期期末质检数学(文)试卷word版 含答案
福建省厦门市2018届高三上学期期末质检 数学（文）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}0,1,2,3A =，{}13B x x =-≤<，则A B =I （ ） A ．{}1,2 B ．{}0,1,2 C ．{}0,1,2,3 D ．∅2．已知命题:,21xp x ∀∈>R ，命题000:,sin cos q x x x ∃∈=R ，则下列命题中的真命题为（ ）A ．q ⌝B ．p q ∧C ．p q ⌝∧D ．p q ∨⌝ 3．已知2log 0.3a =，0.32b =，20.3c =，则（ ）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．b c a >>4．已知3sin 24α=，42ππα<<，则sin cos αα-的值是（ ） A ．12 B ．12- C ．14 D ．14-5．若,x y 满足约束条件10,220,1,x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩则2z x y =+的最大值是（ ）A ．1B ．3C ．5D ．76．设,a b 表示直线，,αβ表示平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若,a b αα∥∥，则a b ∥ B ．若,a ααβ⊥⊥，则a β∥ C ．若,a b αα⊥∥，则a b ⊥ D ．若,a ααβ⊥∥，则a β⊥ 7．已知数列{}n a 满足()1112n n n a a +++-=，则其前100项和为（ ）A ．250B ．200C ．150D ．1008．函数()sin 1cos 2y x x =+在区间[]2,2-上的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点为(),0F c -，O 为坐标原点，,P Q 为双曲线的渐近线上两点，若四边形PFQO 是面积为2c 的菱形，则该渐近线方程为（ ） A ．2y x =± B ．12y x =±C ．4y x =±D ．14y x =± 10．习总书记在十九大报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛.如图，“大衍数列”：0,2,4,8,12^来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和.下图是求大衍数列前n 项和的程序框图.执行该程序框图，输入8m =，则输出的S =（ ） A ．44 B ．68 C ．100 D ．14011．在ABC ∆中，2AB =，1AC =，120BAC ∠=︒，BD BC λ=uu u r uu u r .若14AD BC ⋅=uuu r uu u r ，则实数λ的值为（ ） A ．-2 B ．14 C ．12 D ．3412．函数()2cos 0y x x π=<<和函数3tan y x =的图象相交于,A B 两点，O 为坐标原点，则OAB ∆的面积为（ ）A B C ． D 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．若复数满足2z i i ⋅=-，则z =．14．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为．15．已知函数()221,20,,0,x x x x f x e x ⎧--+-≤<⎪=⎨≥⎪⎩若函数()()g x f x ax a =-+存在零点，则实数a 的取值范围为．16．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在椭圆上，且2PF 垂直x 轴，若直线1PF三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．在ABC ∆中，D 是边BC上的点，AB AD ==，1cos 7BAD ∠=. （1）求sin B ；（2）若4AC =，求ADC ∆的面积.18．已知等差数列{}n a 的公差0d >，其前n 项和为n S ，且520S =，358,,a a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令11n n n b n a a +=+⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .19．如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAB ⊥底面ABCD ，PA PB =，24CD AB ==，CD AB ∥，90BPA BAD ∠=∠=︒.（1）求证：PB ⊥平面PAD ；（2）若三棱锥C PBD -的体积为2，求PAD ∆的面积.20．在直角坐标系xOy 中，()1,0F ，动点P 满足：以PF 为直径的圆与y 轴相切. （1）求点P 的轨迹方程； （2）设点P 的轨迹为曲线Γ，直线l过点()4,0M 且与Γ交于,A B 两点，当ABF ∆与AOF ∆的面积之和取得最小值时，求直线l的方程.21．已知函数()()22ln 12a f x a x x a x =+-+. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a >时，记函数()f x 的极小值为()g a ，若()()3212254g a b a a a <--+恒成立，求满足条件的最小整数b .请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为,sin ,x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，,A B 为C 上两点，且OA OB ⊥，设射线:OA θα=，其中02πα<<.（1）求曲线C 的极坐标方程； （2）求OA OB ⋅的最小值. 23．选修4-5：不等式选讲 函数()12f x x x a =-++.（1）当1a =时，求证：()13f x x +-≥； （2）若()f x 的最小值为2，求实数a 的值.厦门市2018届高三年级第一学期期末质检文科数学参考答案一、选择题1-5:BCDAD 6-10:CDBAC 11、12：DA 二、填空题13 14．83 15．13a ≤-或2a e ≥ 16三、解答题17．解：（1）在ABD ∆中，2222cos BD AB AD AB AD BAD =+-⋅⋅∠=1772127+-=，得BD =由1cos 7BAD ∠=，得sin BAD ∠=在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin AD BDB BAD=∠，所以sin B ==（2）因为sin B =，B 是锐角，所以cos B = 设BC x =，在ABC ∆中，2222cos AB BC AB BC B AC +-⋅⋅=即27216x x +-⋅=化简得：290x --=解得x =或x =则CD BC BD =-==由ADC ∠和ADB ∠互补，得sin sin sin ADC ADB B ∠=∠==所以ADC ∆的面积11sin 22S AD DC ADC =⋅⋅⋅∠== 18．解：（1）因为()1555202a a S +==，即158a a += 34a =即124a d +=，①因为358,,a a a 为等比数列，即2538a a a =所以()()()2111427a d a d a d +=++，化简得：12a d =② 联立①和②得：12a =，1d = 所以1n a n =+（2）因为()()11112n n n b n a a n n +=+=⋅++1112n n n n ⎛⎫+=-+ ⎪++⎝⎭所以111111123233445n T ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-++-+⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦1112n n n ⎡⎤⎛⎫++-+ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎣⎦L 1111111123344512n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L ()123n +++++L()111222n n n +⎛⎫=-+⎪+⎝⎭()()1222n n nn +=++ 19．解：（1）∵平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB I 平面ABCD AB =，AD ⊂平面ABCD ，且AD AB ⊥，∴AD ⊥平面PAB .又∵PB ⊂平面PAB ，∴PB AD ⊥. 又∵PB PA ⊥，PA AD A =I ，,PA PD ⊂平面PAD ，∴PB ⊥平面PAD .（2）取AB 中点E ，连接PE . ∵PA PB =，∴PE AB ⊥.又∵PE ⊂平面PAB ，平面PAB ⊥平面ABCD ， 平面PAB I 平面ABCD AB =， ∴PE ⊥平面ABCD .∴PE 为三棱锥P BCD -的高，且112PE AB ==. 又∵CD AB ∥，AD CD ⊥，∴122BCD S CD AD AD ∆=⋅=. ∴12233C PBD P BCD BCD V V S PE AD --∆==⋅⋅==，得3AD =. cos 45PA AB =⋅︒=又∵AD ⊥平面PAB 且PA ⊂平面PAB ，∴PA AD ⊥.∴12PAD S PA AD ∆=⋅=.20．解：（1）设点(),P x y ，圆心()00,N x y ， 圆与y 轴相切于点C ，则2PF NC =，02x =，又点N 为PF 的中点，所以012x x +=，24y x =.所以点P 的轨迹方程为：24y x =.（2）（ⅰ）当直线l的斜率不存在时，方程为：4x =，易得14ABF AOF S S ∆∆+=. （ⅱ）当直线l的斜率存在时，设方程为：()4y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，由()244y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩消去x 并整理得：24160ky y k --=， 所以124y y k+=，1216y y =-，所以1142ABF AOF AOM BFM S S S S y ∆∆∆∆+=+=⋅⋅211322y +⋅⋅≥⋅当且仅当1243y y =时等号成立，又1216y y =，所以1y =2y =或1y =-，2y =，所以124y y k +==，解得：k =±因为14≤，所以当两个三角形的面积和最小时，直线l的方程为：)4y x =±-.21．解：（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()()21a f x ax a x'=+-+=()()()2211ax a x a ax x a x x -++--= ①若0a ≤，当()0,x ∈+∞时，()0f x '≤， 故()f x 在()0,+∞单调递减， ②若0a >，由()0f x '=，得11x a=，2x a = （ⅰ）若01a <<，当1,x a a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<， 当()10,,x a a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭U 时，()0f x '>， 故()f x 在1,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在()0,a ，1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增（ⅱ）若1a =，()0f x '≥，()f x 在()0,+∞单调递增， （ⅲ）若1a >，当1,x a a ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0f x '<， 当()10,,x a a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭U 时，()0f x '>， 故()f x 在1,a a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭，(),a +∞单调递增（2）由（1）得：若1a >，()f x 在1,a a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减， 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭，(),a +∞单调递增 所以x a =时，()f x 的极小值为()()2ln 2a g a f a a a a ==-- 由()()212254g a b a a a <--+恒成立， 即2ln 24a ab a a >-+恒成立 设()()2ln 124x x h x x x x =-+>，()5ln 4h x x x '=-+ 令()()5ln 4x h x x x ϕ'==-+， 当()1,x ∈+∞时，()110x xϕ'=-<所以()h x '在()1,+∞单调递减，且()1104h '=>，()()3312ln 2ln16ln 044h e '=-=-< 所以()01,2x ∃∈，()0005ln 04h x x x '=-+=，且()01,x x ∈，()00h x '>，()0,2x x ∈，()00h x '< 所以()()200000maxln 24x x h x h x x x ==-+，因为005ln 4x x =- 得()200max 12h x x x =-其中()01,2x ∈， 因为212y x x =-在()1,2上单调递增 所以()max 1,02h x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭因为()max b h x >，b Z ∈，所以min 0b =22．解：（1）将1C的方程化为直角坐标方程为221y +=，即2212x y +=. 将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入可得()()22cos sin 12ρθρθ+= 化简得2221sin ρθ=+ （2）根据题意：射线OB 的极坐标方程为2πθα=+或2πθα=-.1OA ρ==，2OB ρ===则12OA OB ρρ⋅=⋅==22241sin 1cos 32αα≥=+++， 当且仅当22sin cos αα=，即4πα=时，取得最小值43. 故OA OB ⋅的最小值为43. 23．解：（1）依题意：()1121f x x x x +-=-++12221x x x +-=-++ ()()22213x x ≥--+=， 当且仅当()2221x x -=-+，即14x =时，等号成立. （2）①当12a >-，即2a >-时，()31,,21,1,231,1,a x a x a f x x a x x a x ⎧-+-≤-⎪⎪⎪=++-<<⎨⎪+->⎪⎪⎩则当2a x =-时，()min 112222a a a f x f ⎛⎫=-=--=+= ⎪⎝⎭，故2a =.②当12a <-，即2a <-时，()31,1,1,1,231,,2x a x a f x x a x a x a x ⎧⎪-+-≤⎪⎪=---<<-⎨⎪⎪+-≥-⎪⎩ 则当2a x =-时，()min 112222a a a f x f ⎛⎫=-=--=--= ⎪⎝⎭，故6a =-. ③当12a =-时，即2a =-时，()31f x x =-有最小值0，不符合题意，舍去.。
2018年5月厦门市高三质检数学(文)参考答案
厦门市2018届高中毕业班第二次质量检查数学（文科）参考答案及评分标准一、选择题：1~5BDCBA 6~10BCADA 11~12DC12．解：设切点是(,())P t f t ，由()1x f x e -'=+，P 处切线斜率()1tk f t e -'==+，所以P 处切线方程为()()()y f t f t x t '-=-，整理得(1)(1)t t y e x t e --=+-+，所以(1)(1)1t t t t m n e t e e --+=+-+=-，记()1t t g t e =-，所以1()tt g t e -'=，当1t <，()0g t '<；当1t >，()0g t '>；故min 1()(1)1g t g e==-.二、填空题：1314．215．)+∞16．1005-16．解：法一：因为1211,3,(,3)n n a a a a n n N n -==-=∈≥，所以可求出数列{}n a 为：1，3，6，2，7，1，8， ，观察得：{}2n a 是首项为3，公差为-1的等差数列，故20183(10091)(1)1005.a =+-⋅-=-法二：因为{}21n a -是递增数列，所以21210n n a a +-->，所以212221()()0n n n n a a a a +--+->，因为212n n +>，所以212221n n n n a a a a +-->-，所以2120(2)n n a a n +->≥，又3150a a -=>，所以2120(1)n n a a n +->≥成立。
由{}2n a 是递减数列，所以2220n n a a +-<，同理可得：22210(1)n n a a n ++-<≥，所以212222121,(22),n n n n a a n a a n +++-=+⎧⎨-=-+⎩所以2221n n a a +-=-，所以{}2n a 是首项为3，公差为-1的等差数列，故20183(10091)(1)1005.a =+-⋅-=-三、解答题：17．本题考查正弦定理、余弦定理、诱导公式、两角和与差正弦公式、三角形面积公式等基础知识；考查运算求解能力；考查函数与方程思想、化归与转化思想。
福建省福州市2018届高三上学期期末考试数学(文)试题++Word版含答案
福州市2018届高三上学期期末考试文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合()(){}610A x x x =-+<，{}10B x x =->，则A B ⋂=（ ）A ．()1,6-B ．()1,1-C ．()1,6D ．∅2.若复数11a z i=++为纯虚数，则实数a =（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．23.已知()()1,2,1,1a b ==-，2c a b =-，则c =（ ）A 26．32106234sin 15cos15︒-︒︒= （ ） A ．12B 2C ．1D 25.已知双曲线C 的两个焦点12,F F 都在x 3若点M 在C上，且12MF MF ⊥，M 3C 的方程为（ ） A ．22148x y -= B ．22148y x -= C ．2212y x -= D ．2212x y -= 6.已知圆柱的高为23个球的表面积等于（ ）A ．4πB ．163πC ．323π D ．16π 7. 如图的程序框图的算法思路源于我国古代著名的《孙子剩余定理》.图中的(),Mod N m n =表示正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，例如()10,31Mod =.执行该程序框图，则输出的i 等于（ ）A ．23B ．38C ．44D ．588. 将函数2sin cos y x x =+的图象向右平移12个周期后，所得图象对应的函数为（ ） A ．sin 2cos y x x =- B ．2sin cos y x x =-C ．sin 2cos y x x =-+D ．2sin cos y x x =-- 9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）A ．24223+B ．22243+C ．263+．842+10.已知函数()22log ,0,41,0.x x a x f x x -+>⎧⎪=⎨-≤⎪⎩若()3f a =，则()2f a -=（ ） A ．1516- B ．3 C ． 6364-或3 D ．1516-或3 11.过椭圆()2222:10x y C a ba b =>>+的右焦点作x 轴的垂线，交C 于,A B 两点，直线l 过C 的左焦点和上顶点.若以AB 为直径的圆与l 存在公共点，则C 的离心率的取值范围是（ ）A ．⎛ ⎝⎦B ．⎫⎪⎪⎣⎭C ．⎛ ⎝⎦D ．⎫⎪⎪⎣⎭12.已知函数()2x x f x e e -=+，若关于x 的不等式()()20f x af x -≤⎡⎤⎣⎦恰有3个整数解，则实数a 的最小值为（ ） A ．1 B ．2e C ．21e + D ．331e e + 第Ⅱ卷（共90分）13、 填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 某商店随机将三幅分别印有福州三宝（脱胎漆器、角梳、纸伞）的宣传画并排贴在同一面墙上，则角梳与纸伞的宣传画相邻的概率是 ．14.曲线3222y x x x =-+在1x =处的切线方程为 ．15.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，)cos cos ,60a C c A b B -==︒，则A 的大小为 ．16.某工厂制作仿古的桌子和椅子，需要木工和漆工两道工序.已知生产一把椅子需要木工4个工作时，漆工2个工作时；生产一张桌子需要木工8个工作时，漆工1个工作时.生产一把椅子的利润为1500元，生产一张桌子的利润为2000元.该厂每个月木工最多完成8000个工作时、漆工最多完成1300个工作时.根据以上条件，该厂安排生产每个月所能获得的最大利润是 元.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且21n n S a =-.（1）证明数列{}n a 是等比数列；（2）设()21n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .18.随着“互联网+交通”模式的迅猛发展，“共享自行车”在很多城市相继出现.某运营公司为了了解某地区用户对其所提供的服务的满意度，随机调查了40个用户，得到用户的满意度评分如下：用系统抽样法从40名用户中抽取容量为10的样本，且在第一分段里随机抽到的评分数据为92.（1）请你列出抽到的10个样本的评分数据；（2）计算所抽到的10个样本的均值x 和方差2s ；（3）在（2）条件下，若用户的满意度评分在(),x s x s -+之间，则满意度等级为“A 级”.试应用样本估计总体的思想，估计该地区满意度等级为“A 级”的用户所占的百分比是多少？（精确到0.1%)参考数据：30 5.48,33 5.74,35 5.92≈≈≈.19.如图，在四棱锥E ABCD -中，//,90AB CD ABC ∠=︒,224CD AB CE ===，点F 为棱DE 的中点.（1）证明：//AF 平面BCE ；（2）若4,120,25BC BCE DE =∠=︒=，求三棱锥B CEF -的体积.20.抛物线2:24C y x x a =-+与两坐标轴有三个交点，其中与y 轴的交点为P .（1）若点() 14,()Q x y x <<在C 上，求直线PQ 斜率的取值范围；（2）证明：经过这三个交点的圆E 过定点.21.已知函数()()ln f x e x ax a R =-∈.（1）讨论()f x 的单调性；（2）当a e =时，证明：()20x xf x e ex -+≤.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线cos ,:sin x t C y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，0t >）.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线:cos 4l πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. （1）若l 与曲线C 没有公共点，求t 的取值范围；（2）若曲线C 上存在点到l t 的值. 23.选修4-5：不等式选讲设函数()1,f x x x R =-∈.（1）求不等式()()31f x f x ≤--的解集；（2）已知关于x 的不等式()()1f x f x x a ≤+--的解集为M ，若31,2M ⎛⎫⊆ ⎪⎝⎭，求 实数a 的取值范围.参考答案一、选择题1-5: CABDC 6-10: DADAA 11、12：AC二、填空题 13. 2314. y x = 15. 75︒ 16. 2100000 三、解答题17. 解：（1）当1n =时，11121a S a ==-，所以11a =，当2n ≥时，()()112121n n n n n a S S a a --=-=---，所以12n n a a -=，所以数列{}n a 是以11a =为首项，以2为公比的等比数列.（2）由（1）知，12n n a -=，所以()1212n n b n -=-，所以()()22113252232212n n n T n n --=+⨯+⨯++-⋅+-⋅ （1） ()()2121232232212n n n T n n -=⨯+⨯++-⋅+-⋅（2）（1）-（2）得：()()12112222212n n n T n --=++++--⋅()12221221212n n n --⨯=+⨯--- ()3223n n =--，所以()2323n n T n =-+.18.解：（1）由题意得，通过系统抽样分别抽取编号为4,8,12,16,20,24,28,32,36,40的评分数据为样本，则样本的评分数据为92,84,86,78,89,74,83,78,77,89.（2）由（1）中的样本评分数据可得()1928486788974837877898310x =+++++++++=， 则有 ()()()()()()()222222221[928384838683788389837483838310s =-+-+-+-+-+-+-+ ()()()222788377838983]33-+-+-=（3）由题意知评分在(83之间，即()77.26,88.74之间，由（1）中容量为10的样本评分在()77.26,88.74之间有5人，则该地区满意度等级为“A 级”的用户所占的百分比约为5100%50.0%10⨯=.另解：由题意知评分在(83，即()77.26,88.74之间，，从调查的40名用户评分数据中在()77.26,88.74共有21人，则该地区满意度等级为“A 级”的用户所占的百分比约为21100%52.5%40⨯=. 19.解法一：（1）证明：取CE 的中点M ，连接,FM BM .因为点F 为棱DE 的中点，所以//FM CD 且122FM CD ==， 因为//AB CD 且 2AB =，所以//FM AB 且FM AB =，所以四边形ABMF 为平行四边形，所以//AF BM ，因为AF ⊄平面BCE ，BM ⊂平面BCE ，所以//AF 平面BCE .（2）因为 //90AB CD ABC ∠=︒,，所以CD BC ⊥. 因为,254,2CD CE DE ===222 C D CE DE +=， 所以CD CE ⊥，因为BC CE C ⋂=,BC ⊂平面BCE ，CE ⊂平面BCE , 所以CD ⊥平面BCE .因为点F 为棱DE 的中点，且4CD =， 所以点F 到平面BCE 的距离为2.11sin 42sin1202322BCE S BC CE BCE ∆=⋅∠=⨯⨯︒=三棱锥B CEF -的体积123B CEF F BCE BCE V V S --∆==⨯1432323=⨯. 解法二：（1）证明：在平面ABCD 内，分别延长,CB DA ，交于点N . 因为//,2AB CD CD AB =，所以A 为DN 中点.又因为F 为DE 的中点，所以//AF EN .因为EN ⊂平面BCE ，AF ⊄平面BCE ， 所以//AF 平面BCE .（2）同解法一.解法三：（1）证明：取棱CD的中点G，连接,AG GF，因为点F为棱DE的中点，所以//FG CE，因为FG⊄平面BCE，CE⊂平面BCE，所以//FG平面BCE；因为//,2==，AB CD AB CG所以四边形ABCG是平行四边形，所以//AG BC，因为AG⊄平面BCE，BC⊂平面BCE，所以//AG平面BCE；又因为FG AG G⋂=,FG⊂平面AFG，AG⊂平面AFG，所以平面//AFG平面BCE；因为AF⊂平面AFG，所以//AF平面BCE.（2）同解法一.20.解法一：（1）由题意得()()()()20,0,,2414P a a Q x x x a x ≠-+<<. 故224PQ x x a k x-+= 24x =-()2,4∈-（2）由（1）知，点P 坐标为()()0,0a a ≠. 令2240x x a -+=，解得1x =±，故1,1A B ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故可设圆E 的圆心为()1,M t ， 由22MP MA =得，()22221t a t +-=+⎝⎭， 解得124a t =+，则圆E的半径为r MP =所以圆E 的方程为()22211112442a a x y ⎛⎫⎛⎫-+--=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以圆E 的一般方程为2212022a x y x a y ⎛⎫+--++= ⎪⎝⎭， 即22112022x y x y a y ⎛⎫⎛⎫+--+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 由22120,210,2x y x y y ⎧+--=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 得012x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或212x y =⎧⎪⎨=⎪⎩， 故E 都过定点110,,2,22⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 解法二：（1）同解法一.（2）由（1）知，点P 坐标为()()0,0a a ≠，设抛物线C 与x 轴两交点分别为()()12,0,,0A x B x . 设圆E 的一般方程为：220x y Dx Fy G ++++=，则21122220,0,0.x Dx G x Dx G a Fa G ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩因为抛物线C 与x 轴交于()()12,0,,0A x B x ，所以12,x x 是方程2240x x a -+=，即2202a x x -+=的两根， 所以2,2a D G =-=， 所以212G a F a a --⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭， 所以圆E 的一般方程为2212022a x y x a y ⎛⎫+--++= ⎪⎝⎭， 即22112022x y x y a y ⎛⎫⎛⎫+--+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 由22120,210,2x y x y y ⎧+--=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 得012x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或212x y =⎧⎪⎨=⎪⎩， 故E 都过定点110,,2,22⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 21.解：（1）()()0e f x a x x'=->， ①若0a ≤，则()0f x '>，()f x 在()0,+∞上为増函数；②若0a >，则当e x a <时，()0f x '>；当e x a>时，()0f x '<. 故在0,e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上，()f x 为増函数；在,e a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，()f x 为减函数.（2）因为0x >，所以只需证()2xe f x e x≤-， 由（1）知，当a e =时，()f x 在()0,1上为增函数，在()1,+∞上为减函数， 所以()()max 1f x f e ==-.记()()20xe g x e x x =->，则()()21xx e g x x -'=， 所以，当1x <<0时，()0g x '<，()g x 为减函数；当1x >时，()0g x '>，()g x 为增函数， 所以()()min 1g x g e ==-.所以当 0x >时，()()f x g x ≤，即()2xe f x e x≤-，即()20x xf x e ex -+≤.解法二：（1）同解法一.（2）由题意知，即证2ln 20x ex x ex e ex --+≤， 从而等价于ln 2xe x x ex-+≤. 设函数()ln 2g x x x =-+，则()11g x x'=-. 所以当()0,1x ∈)时，()0g x '>；当()1,x ∈+∞时，()0g x '<， 故()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减.从而()g x 在()0,+∞上的最大值为()11g =.设函数()xe h x ex=，则()()21x e x h x ex -'=. 所以当()0,1x ∈)时，()0h x '<；当()1,x ∈+∞时，()0h x '>. 故()h x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递増.从而()h x 在()0,+∞上的最小值为()11h =.综上，当0x >时，()()g x h x <，即()20x xf x e ex -+≤.22. 解：（1）因为直线l的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos sin 2ρθρθ+=， 所以直线l 的直角坐标方程为2x y +=；因为cos ,sin x t y αα=⎧⎨=⎩（α参数，0t >） 所以曲线C 的普通方程为2221x y t+=， 由2222,1,x y x y t +=⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 得，()2221440t y y t +-+-=， 所以()()22016414t t ∆-+-<=，解得 0t <<， 故t的取值范围为(.（2）由（1）知直线l 的直角坐标方程为20x y +-=，故曲线C 上的点()cos ,sin t αα到l 的距离d =，故d=解得t =又因为0t >，所以t =.23.解：（1）因为()()31f x f x ≤--，所以132x x -≤--， 123x x ⇔-+-≤，1,323,x x <⎧⇔⎨-≤⎩或12,13,x ≤≤⎧⎨≤⎩或2,233x x >⎧⎨-≤⎩解得01x ≤<或12x ≤≤或23x <≤，所以03x ≤≤， 故不等式()()31f x f x ≤--的解集为[]0,3.（2）因为31,2M ⎛⎫⊆ ⎪⎝⎭， 所以当31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()1f x f x x a ≤+--恒成立， 而()()1f x f x x a ≤+--101x x x a x a x x ⇔--+-≤⇔-≤--， 因为31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以1x a -≤，即11x a x -≤≤+， 由题意，知11x a x -≤≤+对于31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立， 所以122a ≤≤，故实数a 的取值范围1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.。
2018年福建省厦门市第二十七中学高三数学文上学期期末试题
故选：A．
【点睛】本题考查复数代数形式的运算，是基础题．
8. 大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文
化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总
和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其规律是：偶数项是序号平方
11. 二项式 参考答案：
的展开式中 的系数为 60，则正实数 __________
12. 已知 满
是定义在 上的增函数，且
足不等式
，则
参考答案：
[16,36]
的图象关于点 对称，若实数 的取值范围是______________.
13. 已知
展开式中所有项的二项式系数和为 ，则其展开式中的常数项
为
．
点： 专 直线与圆． 题： 分 设 BC 的中点为 D，设点 A 和 C 的坐标，根据圆心 Γ（0，5）到直线 AB 的距离等 析： 于半径 5 求出 AB 的斜率 k 的值．再由斜率公式
以及 ΓD⊥BC，求出 C 的坐标，再利用三角形的重心公式求得 A 的坐标．
解 解：设 BC 的中点为 D，设点 A（x1，y1 ）、C（x2，y2），则由题意可得 答：
故答案为 （0，15）或（﹣8，﹣1）． 点 本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式、斜率公式、三角 评： 形的重心公式，属于中档题．
16. 在正三角形 ABC 中，D 是 BC 上的点，AB＝3，BD＝1，则 参考答案：
＝＿＿＿
.
17. 已知函数
,若
互不相等，且
,则
的取值范围是__________．
再除以 2，奇数项是序号平方减 1 再除以 2，其前 10 项依次是 0，2，4，8，12，18，24，
2018年3月厦门市高三质检数学(文)参考答案
厦门市2018届高中毕业班第一次质量检查参考答案文科数学一、选择题：DBBCCDAABC CA 二、填空题：13．1414．34-15．m ≤16．三、解答题：17．本题主要考查等差数列的基本量运算，考查分组求和法及等差和等比数列的求和运算；考查运算求解能力；考查函数与方程思想、分类与整合思想等。
满分12分。
解：（1）由条件可得：11111133()()2254225102a a d a a d a d a d ⎧+=⎧⎪+=⎪⎪⇒⎨⎨⨯⎪⎪+=+=⎩⎪⎩-----------------------------------------------------2分消去d 得：211230a a +-=，解得11a =或13a =-（舍），所以12d =--------------------------------4分所以1n n a +=．-----------------------------------------------------------------------------------------------------6分（2）由（1）得：122,1,2nn n b n n +⎧⎪=⎨+⎪⎩为奇数为偶数，---------------------------------------------------------------------------------7分所以数列{}n b 的前21n +项和为：212112342213521222222n n n n n T b b b b b b ++++=++++++=++++++ ---------------------------------8分23135721(2222)()2222n n ++=+++++++++ ---------------------------------------------------10分1223212(12)222221222n n n n n n ++++-+=+⋅=+------------------------------------------------------------12分18．本小题主要考查样本的数字特征，等高条形图和2⨯2列联表等基础知识；考查数据处理能力，运算求解能力；考查统计概率思想。
2018年3月厦门市高三质检数学(文)试题_
厦门市2018届高中毕业班第一次质量检查数学（文科）试题满分150分考试时间120分钟考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}11<<-=x x A ，{}1,0,1-=B ，则A ．AB B = B ．A B A= C ．A B φ= D ．{}11A B x x =-≤≤ 2．已知i 为虚数单位，,a b ∈R ，若2i i 2i a b +=+（），则=+b a A ．2-B ．0C ．2D ．43．甲乙两名同学分别从“象棋”、“文学”、“摄影”三个社团中随机选取一个社团加入，则这两名同学加入同一个社团的概率是A ．14B ．13C ．12D ．234．已知双曲线的渐近线方程为12y x =±，焦距为25，则该双曲线的标准方程是A ．2214x y -=B ．2214y x -=C ．2214x y -=或2214x y -=D ．2214y x -=或2214y x -=5．若x ,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≥+,0,1,1x y x y x 则y x z +=2的最小值为A ．1-B ．0C ．1D ．26．把函数()sin 23cos2f x x x =+的图象向右平移ϕ个单位，再把所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()2sin g x x =的图象，则ϕ的一个可能值为A ．3π-B ．3πC ．6π-D ．6π7．已知函数()f x 的图象如图所示，则该函数的解析式可能是A ．ln ()x x f x =B ．()e ln xf x x=C ．ln ()x f x =D ．()(1)ln f x x x=-8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积是A ．8πB ．9πC ．163πD ．283π9．已知0.31()2a =，12log 0.3b =，bc a =，则,,a b c 的大小关系是A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．b c a<<10．公元263年左右，我国魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法，所谓割圆术，就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率近似值的方法．右图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，若输出n 的值为24，则判断框中填入的条件可以为（参考数据：732.13≈，sin150.2588︒≈，sin 7.50.1305︒≈）A ．?10.3≤S B ．?11.3≤S C ．?10.3≥S D ．?11.3≥S 11．矩形ABCD 中，2BC ，E 为BC 中点，将ABD ∆沿BD 所在直线翻折，在翻折过程中，给出下列结论：①存在某个位置，BD AE ⊥；②存在某个位置，BC AD ⊥；③存在某个位置，AB CD ⊥；④存在某个位置，BD AC ⊥．其中正确的是A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④12．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若1b =，223sin a c A =，则c 的最大值为A ．23+B 23C ．3D ．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
福建省厦门市2018届高三上学期期末质检理数试题【解析版】
福建省厦门市2018届高三上学期期末质检数学（理）试题全析全解1．B【解析】由题意得{}{}{}10,101A x x x B x x x x =-=-≥=≥或， ∴{}1A B x x ⋂=≥．选B ． 2．C【解析】由特称命题的否定可得，所给命题的否定为“32R,10x x x ∀∈-+>”．选C ． 3．B综上选B ． 4．D【解析】选项A 中， m 与α的关系是m α 或m α⊂，故A 不正确．选项B 中， n 与α的关系是n α⊥或n 与α相交但不垂直或n α ．故B 不正确．选项C 中，α与β之间的关系是αβ 或相交．故C 不正确．选项D 中，由线面平行的性质可得正确． 选D ． 5．C【解析】画出不等式组表示的可行域（如图阴影部分所示），由2z x y =+可得2y x z =-+，平移直线2y x z =-+，由图形得，当直线2y x z =-+经过可行域内的点A 时，直线在y 轴上的截距最大，此时z 取得最大值． 由题意得点A 的坐标为（1,0）， ∴max 2102z =⨯+=．选C ． 6．A7．C【解析】根据题意建立如图所示的平面直角坐标系，则()()1,1,2,2O C ，设()()2,02P t t ≤≤，则()()1,1,0,2OP t CP t =-=-，∴()()2231123224OP CP t t t t t ⎛⎫⋅=--=-+=-- ⎪⎝⎭ ，∴当32t =时， OP CP ⋅ 有最小值14-．选C ．8．A【解析】∵()()()22cos()cos 11x x x xf x f x x x ---==-=-+-+， ∴函数()f x 为奇函数，故排除D ． 又()()cos12cos210,2025f f =>=<，故排除B,C ． 选A ．点睛：已知函数的解析式判断函数图象的形状时，主要是按照排除法进行求解，可按照以下步骤进行： （1）求出函数的定义域，对图象进行排除； （2）判断函数的奇偶性、单调性，对图象进行排除； （3）根据函数图象的变化趋势判断；（4）当以上方法还不能判断出图象时，再选取一些特殊点，根据特殊点处的函数值进行判断． 9．D10．C【解析】由题意得，当输入10m =时，程序的功能是计算并输出2222221123149110222222S ---=++++++ ．学科网计算可得()()118244880416366410019022S =++++++++=．选C ． 11．B【解析】∵sin cos 4πϕϕϕ⎛⎫-=-=⎪⎝⎭，∴1sin 42πϕ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 又444πππϕ-<-<，∴46ππϕ-=， 512πϕ=． ∴()2515151sin 1cos 2cos 21226262f x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 由5222,6k x k k Z ππππ≤+≤+∈， 得5,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈， ∴函数的单调增区间为5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦．选B ．点睛：求正（余）弦型函数单调区间的注意点（1）将所给的函数化为形如()()sin f x A x ωϕ=+或()()cos f x A x ωϕ=+的形式，然后把x ωϕ+看作一个整体，并结合正（余）弦函数的单调区间求解．（2）解题时注意,A ω的符号对所求的单调区间的影响，特别是当A 或ω为负数时，要把x ωϕ+代入正（余）弦函数相对的单调区间内求解． 12．D【解析】画出函数()y f x =的图象（图中黑色部分），则函数()y f x =的图象向左平移12个长度单位，得到函数12y f x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象（图中红色部分），设两图象交于点,A B ，且横坐标分别为12,a a ．由图象可得满足()12f a f a ⎛⎫≥+⎪⎝⎭的实数a 的取值范围为][1270,,2a a ⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭．对于1a ，由21211log log 2a a ⎛⎫-=+⎪⎝⎭，解得11112a a =+，所以211220a a --=，解得1a =或1a =． 对于2a ，由22221log log 42a a ⎡⎤⎛⎫=-+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，解得274a =． 综上可得实数a的取值范围为[77,42⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭．选D ． 点睛：解答本题的技巧在于借助于数形结合增强了解题的直观性，利用图象的平移，将解不等式的问题转化为两函数图象的相对位置关系来处理，然后根据函数图象的交点情况，通过解方程的方法求得所求范围的端点值，最后根据图象写出不等式成立时参数的范围。
2018年福建省厦门市科技中学高三数学文上学期期末试题含解析
2018年福建省厦门市科技中学高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知，则下列不等式一定成立的是A、 B、 C、 D、参考答案：B2.设是定义在R上的奇函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数t的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）参考答案：答案：A3. 能够把圆:的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆的“和谐函数”,下列函数不是圆的“和谐函数”的是（）A． B．C． D．参考答案：D略4. 设是的重心，且，则的大小为A．45° B．60° C．30° D．15°参考答案：B解析：由重心满足知，同时由正弦定理，，故可令三边长取，则，借助余弦定理求得．5. 若函数对于函数参考答案：C6. 执行如图的程序框图，若输出的，则输入整数的最小值是( )A. 15B. 14C. 7D. 8参考答案：C略7. 设甲、乙两地的距离为，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数的图象为参考答案：D8. 若直角坐标系中有两点满足条件：（1）分别在函数、的图象上，（2）关于点（1，0）对称，则称是一个“和谐点对”。
函数的图象与函数的图象中“和谐点对”的个数是（）A．4 B．6 C．8D．10参考答案：A9. “x＞1”是“x2＞1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】直接利用充要条件的判断方法判断即可．【解答】解：因为“x＞1”?“x2＞1”，而“x2＞1”推不出“x＞1”，所以“x＞1”是“x2＞1”充分不必要条件．故选A．10. 已知集合A={x|log2x＜1}，B={y|y=2x，x≥0}，则A∩B=（）A．? B．{x|1＜x＜2} C．{x|1≤x＜2} D．{x|1＜x≤2}参考答案：C【考点】交集及其运算．【分析】先分别求出集合A和B，由此能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x|log2x＜1}={x|0＜x＜2}，B={y|y=2x，x≥0}={y|y≥1}，∴A∩B={x|1≤x＜2}．故选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 球为棱长为的正方体的内切球，为球的球面上动点，为中点，,则点的轨迹周长为．参考答案：12. 如图，B是AC的中点，，P是平行四边形BCDE内（含边界）的一点，且+．有以下结论：①当x=0时，y∈[2，3]；②当P是线段CE的中点时，；③若x+y为定值1，则在平面直角坐标系中，点P的轨迹是一条线段；④x﹣y的最大值为﹣1；其中你认为正确的所有结论的序号为．参考答案：②③④【考点】平面向量数量积坐标表示的应用．【专题】计算题．【分析】利用向量共线的充要条件判断出①错，③对；利用向量的运算法则求出，求出x，y判断出②对．【解答】解：对于①当，据共线向量的充要条件得到P在线段BE上，故1≤y≤3，故①错对于②当当P是线段CE的中点时，==故②对对于③x+y为定值1时，A，B，P三点共线，又P是平行四边形BCDE内（含边界）的一点，故P的轨迹是线段，故③对故答案为②③④【点评】本题考查向量的运算法则、向量共线的充要条件．13. 已知函数有零点，则的取值范围是。
福建省福州市2018届高三上学期期末质检数学(文)试题 Word版含解析
已知集合，，则（B. C. D.,,若复数为纯虚数，则实数B. C. 1 D. 2为纯虚数，所以,故选A.3. 已知，则B. C. D.【解析】，故选（）B. C. 1 D.【答案】【解析】，故选5. 已知双曲线的两个焦点都在轴上，对称中心为原点，离心率为若点在到原点的距离为B. C. D.【解析】由直角三角形的性质可得，又的方程为，故选，底面半径为，若该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上，则这B. C. D.【解析】设球半径为该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上，可得，球的表面积为，故选7. 如图的程序框图的算法思路源于我国古代著名的《孙子剩余定理》图中的表示正整数除以正整数后的余数为，例如执行该程序框图，则输出的等于，故选将函数的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（B.D.【解析】函数的周期为向右平移，故选B. C. D.【解析】由三视图可知，该多面体是如图所示的三棱锥，其中三棱锥的高为三角形，直角边长为，表面积为，故选A.已知函数若，则B. 3C. 或3D.【答案】【解析】若，得，不合题意，，故选过椭圆的右焦点作轴的垂线，交于两点，直线过若以为直径的圆与存在公共点，则B. C. D.【答案】的方程为半径为与圆有公共点，，，故选【方法点晴】本题主要考查利用椭圆的简单性质及求椭圆的离心率范围，属于难题. 求解与的不等式，从而求出的不等式，最后解出已知函数，若关于的不等式则实数C. D.【解析】，等价于，即个整数解，有个整数解，，时，不等式无解，个整数解，排除选项，当时，由可得在递减，由可得递增，，合题意，时，不等式无解；，合题意，，合题意，当，不等式无解；故个整数解，又的最小值为方法点睛】本题主要考查分段函数的解析式、排除法解选择题，属于难题）解方程、求解析式、求通项、求前【答案】【解析】福州三宝的全排列共有种排法，角梳与纸伞相邻的排法，有种排法，根据古典概型概率公式可得，角梳与纸伞的宣传画相邻的概率是，故答案为曲线【答案】由，所以切线斜率为坐标为，由点斜式得切线方程为，即的内角的对边分别为，已知，则【答案】【解析】由，根据正弦定理得，即，，，故答案为.16. 某工厂制作仿古的桌子和椅子，需要木工和漆工两道工序【解析】【方法点晴】本题主要考查利用线性规划解决现实生活中的最佳方案及最大利润问题，属于难题题. 求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列前项和为，且.是等比数列；）设，求数列的前.）数列是以）当，可得以以数列为首项，以）知，，可得，利用错位相减法可得数列的前项和试题解析：（1）当，所以时，，所以数列是以）知，，（（1）-（2）得：，.方法点睛】本题主要考查等比数列的通项公式与求和公式以及错位相减法求数列的的前是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列”与“确写出“”的表达式随着“互联网个样本的均值和方差）条件下，若用户的满意度评分在之间，则满意度等级为“)参考数据：）,））由第一分段里随机抽到的评分数据为的编号为，根据系统抽样方个样本的均值由题意知评分在之间，即之间，根据表格数据可得容量为之间有级”的用户所占的百分比约为）由题意得，通过系统抽样分别抽取编号为4,8,12,16,20,24,28,32,36,40）中的样本评分数据可得）由题意知评分在之间，即之间，之间有则该地区满意度等级为“.，即之间，共有19. 如图，在四棱锥中，,，为棱）证明：平面；）若，求三棱锥））取的中点，连接，根据三角形中位线定理可得从而可得四边形为平行四边形，平面；由得，，从而得平面，到的距离为，利用三角形面积公式求出底面积，根据等积变换及棱锥的体积公式可得.试题解析：（1）取的中点，连接因为点为棱的中点，且且，且所以四边形为平行四边形，平面，平面，平面.）因为，.，所以，,平面，平面平面因为点为棱的中点，且，所以点到平面的距离为三棱锥的体积.【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、利用等积变换求三棱锥体积，属于中档题抛物线与两坐标轴有三个交点，其中与轴的交点为）若点在上，求直线过定点（）由.）设圆的圆心为都过定点.试题解析：（1）由题意得.2）由（1）知，点坐标为，解得，.故可设圆的圆心为，得，，则圆的半径为.所以圆的方程为，所以圆的一般方程为.或都过定点.21. 已知函数.）讨论）当时，证明：2）见解析）对两种情况讨论，分别令求得增区间，求得的减区间；）因为，结合（）可得，利用导数研究函数调性，可得以，所以，即，即.），则，在，则当时，；当时，.上，为増函数；在上，为减函数）因为，所以只需证）知，当时，在上为增函数，在.，则所以，当时，，为减函数；当时，为增函数，.所以当，即，即两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分中，曲线为参数，在以为极点，的极坐标系中，直线.）若与曲线没有公共点，求的取值范围；）若曲线上存在点到距离的最大值为，求的值）利用三角函数求出点到直线的距离表达式，结合题目求得结果的极坐标方程为，即所以直线的直角坐标方程为；（参数，）所以曲线，消去得，所以，，的取值范围为）知直线的直角坐标方程为故曲线到的距离，的最大值为由题设得.又因为，所以设函数的解集；的不等式的解集为，若实数（）根据题目进行分类讨论的化简利用不等式求解，再根据条件计算出实数）因为，所以或解得或或，故不等式的解集为）因为所以当时，恒成立，，所以，即由题意，知对于恒成立，，故实数的取值范围。
福建省福州市2018届高三上学期期末质检数学(文)试题 Word版含解析
福建省福州市2018届高三上学期期末质检试题文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为,,所以，故选C.2. 若复数为纯虚数，则实数（）A. B. C. 1 D. 2【答案】A【解析】复数为纯虚数，所以,故选A.3. 已知，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，，故选B.4. （）A. B. C. 1 D.【答案】D【解析】，故选D.5. 已知双曲线的两个焦点都在轴上，对称中心为原点，离心率为.若点在上，且，到原点的距离为，则的方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由直角三角形的性质可得，又，的方程为，故选C.6. 已知圆柱的高为2，底面半径为，若该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的表面积等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设球半径为该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上，可得，球的表面积为，故选D.7. 如图的程序框图的算法思路源于我国古代著名的《孙子剩余定理》.图中的表示正整数除以正整数后的余数为，例如.执行该程序框图，则输出的等于（）A. 23B. 38C. 44D. 58【答案】A【解析】本题框图计算过程要求找出一个数除以3余数为2；除以5余数为3；除以7余数为2，那么这个数首先是23，故选8. 将函数的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】函数的周期为函数向右平移个周期后，得到，故选D.9. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由三视图可知，该多面体是如图所示的三棱锥，其中三棱锥的高为，底面为等腰直角三角形，直角边长为，表面积为，故选A.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查棱锥的体积公式、棱锥的表面积以及学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题. 三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.10. 已知函数若，则（）A. B. 3 C. 或3 D. 或3【答案】A【解析】若，得，若，不合题意，，故选A.11. 过椭圆的右焦点作轴的垂线，交于两点，直线过的左焦点和上顶点.若以为直径的圆与存在公共点，则的离心率的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】直线的方程为，圆心坐标为，半径为与圆有公共点，，可得，，，故选A.【方法点晴】本题主要考查利用椭圆的简单性质及求椭圆的离心率范围，属于难题. 求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率范围问题应先将用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的不等式，从而求出的范围 . 本题是利用点到直线的距离小于圆半径构造出关于的不等式，最后解出的范围.12. 已知函数，若关于的不等式恰有3个整数解，则实数的最小值为（）A. 1B.C.D.【答案】C【解析】，等价于，即恰有个整数解，即有个整数解，，时，不等式无解，时，不等式只有一个整数解，排除选项，当时，由可得在递减，由可得在递增，，合题意，时，，不等式无解；，合题意，，合题意，当时，，不等式无解；故时，有且只有个整数解，又的最小值为，故选C.【方法点睛】本题主要考查分段函数的解析式、排除法解选择题，属于难题. 用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型:(1)求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除）；（4）解方程、求解析式、求通项、求前项和公式问题等等.第Ⅱ卷（共90分）二.填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 某商店随机将三幅分别印有福州三宝（脱胎漆器、角梳、纸伞）的宣传画并排贴在同一面墙上，则角梳与纸伞的宣传画相邻的概率是__________．【答案】【解析】福州三宝的全排列共有种排法，角梳与纸伞相邻的排法，有种排法，根据古典概型概率公式可得，角梳与纸伞的宣传画相邻的概率是，故答案为.14. 曲线在处的切线方程为__________．【答案】【解析】由，得，所以切线斜率为，切点坐标为，由点斜式得切线方程为，即，故答案为.15. 的内角的对边分别为，已知，则的大小为__________．【答案】【解析】由，根据正弦定理得，即，，又，，故答案为.16. 某工厂制作仿古的桌子和椅子，需要木工和漆工两道工序.已知生产一把椅子需要木工4个工作时，漆工2个工作时；生产一张桌子需要木工8个工作时，漆工1个工作时.生产一把椅子的利润为1500元，生产一张桌子的利润为2000元.该厂每个月木工最多完成8000个工作时、漆工最多完成1300个工作时.根据以上条件，该厂安排生产每个月所能获得的最大利润是__________元.【答案】2100000【解析】【方法点晴】本题主要考查利用线性规划解决现实生活中的最佳方案及最大利润问题，属于难题题. 求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列前项和为，且.（1）证明数列是等比数列；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）数列是以为首项，以2为公比的等比数列. （2）【解析】试题分析：（1）当时，，可得以，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列；（2）由（1）知，，可得，利用错位相减法可得数列的前项和.试题解析：（1）当时，，所以，当时，，所以，所以数列是以为首项，以2为公比的等比数列.（2）由（1）知，，所以，所以（1）（2）（1）-（2）得：，所以.【方法点睛】本题主要考查等比数列的通项公式与求和公式以及错位相减法求数列的的前项和，属于中档题.一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解, 在写出“”与“” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式.18. 随着“互联网+交通”模式的迅猛发展，“共享自行车”在很多城市相继出现.某运营公司为了了解某地区用户对其所提供的服务的满意度，随机调查了40个用户，得到用户的满意度评分如下：用系统抽样法从40名用户中抽取容量为10的样本，且在第一分段里随机抽到的评分数据为92.（1）请你列出抽到的10个样本的评分数据；（2）计算所抽到的10个样本的均值和方差；（3）在（2）条件下，若用户的满意度评分在之间，则满意度等级为“级”.试应用样本估计总体的思想，估计该地区满意度等级为“级”的用户所占的百分比是多少？（精确到)参考数据：.【答案】（1）样本的评分数据为92,84,86,78,89,74,83,78,77,89. （2）,=33（3）【解析】试题分析：（1）由第一分段里随机抽到的评分数据为的编号为，根据系统抽样方法先抽取样本的编号，再对应抽取评分数据即可；（2）先根据样本平均值公式直接求出抽到的个样本的均值，再根据方差公式求出方差即可；（3）由题意知评分在之间，即之间，根据表格数据可得容量为的样本评分在之间有人，则该地区满意度等级为“级”的用户所占的百分比约为.试题解析：（1）由题意得，通过系统抽样分别抽取编号为4,8,12,16,20,24,28,32,36,40的评分数据为样本，则样本的评分数据为92,84,86,78,89,74,83,78,77,89.（2）由（1）中的样本评分数据可得，则有（3）由题意知评分在之间，即之间，由（1）中容量为10的样本评分在之间有5人，则该地区满意度等级为“级”的用户所占的百分比约为.另解：由题意知评分在，即之间，，从调查的40名用户评分数据中在共有21人，则该地区满意度等级为“级”的用户所占的百分比约为.19. 如图，在四棱锥中，,，点为棱的中点.（1）证明：平面；（2）若，求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）取的中点，连接，根据三角形中位线定理可得，从而可得四边形为平行四边形，，利用线面平行的判定定理可得平面；（2）由得，由勾股定理可得，从而得平面，到平面的距离为，利用三角形面积公式求出底面积，根据等积变换及棱锥的体积公式可得.试题解析：（1）取的中点，连接.因为点为棱的中点，所以且，因为且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面.（2）因为，所以.因为，所以，所以，因为,平面，平面,所以平面.因为点为棱的中点，且，所以点到平面的距离为2..三棱锥的体积.【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、利用等积变换求三棱锥体积，属于中档题. 证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.20. 抛物线与两坐标轴有三个交点，其中与轴的交点为.（1）若点在上，求直线斜率的取值范围；（2）证明：经过这三个交点的圆过定点.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）由. 可得；（2）设圆的圆心为，都过定点.试题解析：（1）由题意得.故（2）由（1）知，点坐标为.令，解得，故.故可设圆的圆心为，由得，，解得，则圆的半径为.所以圆的方程为，所以圆的一般方程为，即.由得或，故都过定点.21. 已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，证明：.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）对分两种情况讨论，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2））因为，所以原不等式等价于，结合（1）可得，利用导数研究函数的单调性，可得以，所以，即，即.试题解析：（1），①若，则，在上为増函数；②若，则当时，；当时，.故在上，为増函数；在上，为减函数.（2）因为，所以只需证，由（1）知，当时，在上为增函数，在上为减函数，所以.记，则，所以，当时，，为减函数；当时，，为增函数，所以.所以当时，，即，即.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线（为参数，）.在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线.（1）若与曲线没有公共点，求的取值范围；（2）若曲线上存在点到距离的最大值为，求的值.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）将曲线与直线转为直角坐标系方程，然后联立直线与方程组求得结果（2）利用三角函数求出点到直线的距离表达式，结合题目求得结果解析：（1）因为直线的极坐标方程为，即，所以直线的直角坐标方程为；因为（参数，）所以曲线的普通方程为，由消去得，，所以，解得，故的取值范围为.（2）由（1）知直线的直角坐标方程为，故曲线上的点到的距离，故的最大值为由题设得，解得.又因为，所以.点睛：本题考查了参数方程的知识点，先将参数方程或者极坐标方程转化为直角坐标系的方程，然后根据在直角坐标系的方法求得结果，在计算点到线的距离时，由三角函数的方法在计算中更为简单23. 选修4-5：不等式选讲设函数.（1）求不等式的解集；（2）已知关于的不等式的解集为，若，求实数的取值范围. 【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）根据题目进行分类讨论的化简，继而算出结果（2）利用不等式求解，再根据条件计算出实数的取值范围解析：（1）因为，所以，，或或解得或或，所以，故不等式的解集为.（2）因为，所以当时，恒成立，而，因为，所以，即，由题意，知对于恒成立，所以，故实数的取值范围.。
[精编]福建省2018届高三上学期期末考试数学(文)有答案
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泉港一中2017-2018学年上学期期末质量检测高三数学（文科）试题（考试时间：120分钟 总分：150分）第Ⅰ卷（选择题 60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.函数y =ln(2)y x =-的定义域分别为M 、N ，则M N =（ ）A ．(1,2]B ．[1,2)C ．(,1](2,)-∞+∞D ．(2,)+∞2.若2iz i=+，则复数z 对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．设D 、E 、F 分别为△ABC 三边BC 、CA 、AB 的中点，则++=（ ）A ．B ．C ．D ．4.从编号为1,2,…，79,80的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量为5的样本，若编号为10的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为（ ） A ．72B ．73C ．74D ．755.已知角α（0360α︒≤<︒）终边上一点的坐标为(sin150,cos150)︒︒，则α=（ ） A ．150︒ B ．135︒C ．300︒D ．60︒6.函数ln ||()||x x f x x =的大致图象是（ ）7．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升．问，米几何？”如图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S=1.5（单位：升），则输入k 的值为（ ）A．6 B．4.5 C．7.5 D．98.某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A．34πB．24π+C．12π+D．324π+9.实数x，y满足1|1|12x y x+≤≤-+时，目标函数z mx y=+的最大值等于5，则实数m的值为（）A．1-B．12-C．2D．510.三棱锥S ABC -中，侧棱SA ⊥底面ABC ，5AB =，8BC =，60B ∠=︒，SA =，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ） A ．643π B ．2563π C ．4363π D11.已知动点P 在椭圆2213627x y +=上，若点A 的坐标为(3,0)，点M 满足||1AM =，0PM AM ⋅=，则||PM 的最小值是（ ） ABC．D ．312.已知函数()[]()cos ,1,1lg 2,1x x f x x x π⎧∈-⎪⎨>⎪⎩，关于x 的方程()f x a =的五个实根由小到大依次为12345,,,,x x x x x ，则345x x x +的取值范围是（ ） A. 2,15⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.1,15⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 1,25⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.1,110⎛⎫ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.观察下列式子：213122+<，221151233++<，222111712344+++<，…，根据上述规律，第n 个不等式可能为 ．14.已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>，0ϕπ<<）的图象如图所示，则(0)f 的值为 ．15.双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）上一点M 关于渐进线的对称点恰为右焦点2F ，则该双曲线的离心率为 ．16.在希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式，利用三角形的三条边长求三角形面积，若三角形的三边长为a ，b ，c，其面积S =，这里1()2p a b c =++．已知在ABC ∆中，6BC =，2AB AC =，则ABC ∆面积的最大值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知数列{}n a 满足1122(1)22n n a a na n ++++=-+…，*n N ∈． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若2211log log n n n b a a +=⋅，12n n T b b b =+++…，求证：对任意的*n N ∈，1n T <.18.在如图所示的多面体ABCDEF 中，ABCD 为直角梯形，//AB CD ，90DAB ∠=︒，四边形ADEF 为等腰梯形，//EF AD ，已知AE EC ⊥，2AB AF EF ===，4AD CD ==．（Ⅰ）求证：CD ⊥平面ADEF ； （Ⅱ）求多面体ABCDEF 的体积.19.天气预报是气象专家根据预测的气象资料和专家们的实际经验，经过分析推断得到的，在现实的生产生活中有着重要的意义.某快餐企业的营销部门经过对数据分析发现，企业经营情况与降雨天数和降雨量的大小有关.（Ⅰ）天气预报说，在今后的三天中，每一天降雨的概率均为40%，该营销部门通过设计模拟实验的方法研究三天中恰有两天降雨的概率，利用计算机产生0到9之间取整数值的随机数，并用1,2,3,4,表示下雨，其余6个数字表示不下雨，产生了20组随机数： 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 求由随机模拟的方法得到的概率值；（Ⅱ）经过数据分析，一天内降雨量的大小x （单位：毫米）与其出售的快餐份数y 成线性相关关系，该营销部门统计了降雨量与出售的快餐份数的数据如下：降雨量（毫米） 12345快餐数（份）5085115140160试建立y 关于x 的回归方程，为尽量满足顾客要求又不造成过多浪费，预测降雨量为6毫米时需要准备的快餐份数．（结果四舍五入保留整数）附注：回归方程y bx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，a y bx =-20．已知点P 是圆F 1：（x ﹣1）2+y 2=8上任意一点，点F2与点F 1关于原点对称，线段PF 2的垂直平分线分别与PF 1，PF 2交于M ，N 两点． （1）求点M 的轨迹C 的方程； （2）过点的动直线l 与点M 的轨迹C 交于A ，B 两点，在y 轴上是否存在定点Q ，使以AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．21.已知函数1()(1)1xax f x a x e +=-+-，其中0a ≥． （Ⅰ）若1a =，求函数()y f x =的图象在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）若0x ≥，()0f x ≤恒成立，求a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0απ≤<）以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，并取相同的长度单位，建立极坐标系．曲线1:1C ρ=．（I ）若直线l 与曲线1C 相交于点(),,1,1A B M ，证明：MA MB ⋅为定值； （II ）将曲线1C 上的任意点(),y x 作伸缩变换''x y y ⎧=⎪⎨=⎪⎩后，得到曲线2C 上的点()',y'x ，求曲线2C 的内接矩形ABCD 最长的最大值．23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()2|1||1|f x x x =+--.（Ⅰ）求函数()f x 的图象与直线1y =围成的封闭图形的面积m ；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若正数a 、b 满足2a b abm +=，求2a b +的最小值.泉港一中2017-2018学年上学期期末质量检测高三数学（文科）试题答案一、选择题1-5BAACC 6-10BADBB 11、C 12： B 二、填空题13.22211121123(1)1n n n +++++<++…12三、解答题17. 解：（Ⅰ）当1n >时，1121212(1)222-1)(2)22n n nn a a na n a a n a n +-+++=-++++=-+①（②①-②得1(1)2(2)22n n n n na n n n +=---=⋅,2n n a =，当1n =时，12a =，所以2,*n n a n N =∈． （Ⅱ）因为2n n a =，2211111log log (1)1n n n b a a n n n n +===-⋅++.因此1111112231n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭111n =-+， 所以n T 1<.18.（Ⅰ）证明：取AD 中点M ，连接EM ，AF=EF=DE=2，AD=4，可知EM=12AD ，∴AE ⊥DE ， 又AE ⊥EC ，DEEC E = ∴AE ⊥平面CDE ，∵CD CDE ⊂平面 ，∴AE ⊥CD ，又CD ⊥AD ，ADAE A = ,∴CD⊥平面ADEF ．（Ⅱ）由(1)知 CD ⊥平面ADEF ，CD ⊂ 平面ABCD ， ∴平面ABCD ⊥平面ADEF ；作EO ⊥AD ，∴EO ⊥平面ABCD ，， 连接AC ，则ABCDEF C-ADEF F ABC V V V -=+111(24)4332C-ADEF ADEF V S CD ==⨯⨯+=111243323F-ABC ABC V S OE ==⨯⨯⨯=△， ∴ABCDEF V ==．19.解：（Ⅰ）上述20组随机数中恰好含有1，2，3，4中的两个数的有191 271 932 812 393 ，共5个，所以三天中恰有两天下雨的概率的近似值为51==204P . （Ⅱ）由题意可知1234535x ++++==，50+85+115+140+160=1105y =，51521()()275==27.510()iii ii x x y y b x x ==--=-∑∑， ==27.5a y bx -所以，y 关于x 的回归方程为：ˆ27.527.5yx=+． 将降雨量6x =代入回归方程得：ˆ27.5627.5192.5193y=⨯+=≈.所以预测当降雨量为6毫米时需要准备的快餐份数为193份． 20.【解答】解：（1）由题意得，∴点M 的轨迹C 为以F 1，F 2为焦点的椭圆∵，∴点M 的轨迹C 的方程为．（2）直线l 的方程可设为，设A（x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立可得9（1+2k 2）x2+12kx ﹣16=0．由求根公式化简整理得，假设在y 轴上是否存在定点Q （0，m ），使以AB 为直径的圆恒过这个点，则即．∵，===．∴求得m=﹣1．因此，在y轴上存在定点Q（0，﹣1），使以AB为直径的圆恒过这个点．21. 解：（Ⅰ）当1=a时，xexxf-+-=)1(1)(，当1=x时，exf21)(-=，1'(1)fe=，所以所求切线方程为：131y xe e=+-．（Ⅱ）首先xeaaxaxf--++-=)1()1()('，令其为)(xg，则xeaaxxg--+-=)12()('．1）当12≤a即210≤≤a时，,0)('≤xg)(xg单调递减，即)('xf单调递减，)('≤xf，)(xf单调递减，0)(≤xf，所以210≤≤a成立；2）当21>a时，0)12()('=-+-=-xeaaxxg解得：ax12-=，当)12,0(ax-∈时，,0)('>xg)(xg单调递增，即)('xf单调递增，)('>xf，)(xf单调递增，0)(>xf，所以21>a不成立．综上所述：210≤≤a．22. 22.（I）曲线221:1C x y+=．()2221cos1sin2cos sin101x ty t t tx yαααα=+⎧⎪=+⇒+++=⎨⎪+=⎩，121MA MB t t⋅=⋅=．（II）伸缩变换后得222:13xC y+=．其参数方程为：sinxyθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩．不妨设点(),A m n在第一象限，由对称性知：周长为())4,4sinm nθθ=+8sin 83πθ⎛⎫=+≤ ⎪⎝⎭，（6πθ=时取等号）周长最大为8． 23. 解：（Ⅰ）函数3,1,()21131,11,3, 1.x x f x x x x x x x --≤-⎧⎪=+--=+-<<⎨⎪+≥⎩它的图象如图所示：函数)(x f 的图象与直线1=y 的交点为(4,1)-、(0,1)，故函数)(x f 的图象和直线1=y 围成的封闭图形的面积14362m =⨯⨯=．（Ⅱ）ab b a 62=+ ,621=+∴ab844244)21)(2(=+≥++=++abb a a b b a ，当且仅当abb a 4=， 可得31,32==b a 时等号成立，b a 2+∴的最小值是34。
2018-2019学年福建省厦门市高三(上)期末数学试卷(文科)
2018-2019学年福建省厦门市高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x|x≤3}，则A∩B＝（）A．{3}B．{1，2}C．{2，3}D．{1，2，3} 2．（5分）已知命题p：若a＞b，则a2＞b2；命题q：∀x＞0，x+≥2．则以下为真命题的是（）A．p∨q B．p∧q C．p∨（￢q）D．p∧（￢q）3．（5分）已知函数f（x）＝，则f（f（1））＝（）A．0B．C．1D．24．（5分）若x，y满足约束条件，则x＝x+2y的最大值为（）A．﹣11B．1C．5D．115．（5分）已知锐角α满足cos（）＝，则sin（2）＝（）A．B．C．D．6．（5分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点A在C上，AF的中点坐标为（2，2），则C的方程为（）A．y2＝4x B．y2＝8x C．y2＝10x D．y2＝16x7．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝1，AA1＝1，E，F分别为棱A1B1，C1D1的中点，则异面直线AF与BE所成角的余弦值为（）A．0B．C．D．8．（5分）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，D是边BC的中点，则值为（）A．1B．C．﹣1D．9．（5分）函数f（x）＝log3（3﹣x）﹣log3（3+x）+x的部分图象大致为（）A．B．C．D．10．（5分）数列{a n}满足a1＝2，a n+1＝a n+2n+2，则＝（）A．B．C．D．11．（5分）双曲线E：＝1（a＞0，b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，过F1作一条直线与两条渐近线分别相交于A，B两点，若＝2，|F1F2|＝2|OB|，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．312．（5分）函数f（x）＝2sin（2x+φ）+1（|φ|≤），当x∈（0，）时，f（x）＞0，则f（）的最小值是（）A．1B．2C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）复数z＝的共轭复数是．14．（5分）直线x﹣y﹣1＝0与圆x2+y2＝5交于A，B两点，则|AB|＝．15．（5分）《九章算术》将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”．如图所示，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某一阳马的正视图和侧视图，则该阳马中，最长的棱的长度为．16．（5分）函数f（x）＝x3+x，对于x∈[0，2]，都有|f（ax﹣e x+1）|≤2，则实数a的取值范围是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin2A+sin2B﹣sin A sin B ＝sin2C．（1）求角C；（2）若cos A＝，b＝3，求△ABC的面积．18．（12分）已知{a n}是首项为1的等差数列，{b n}是公比为2的等比数列，且a2＝b3，a3＝b1+b2+b3．（1）求{a n}，{b n}的通项公式；（2）记{a n}的前n项和为S n，{b n}的前n项和为T n，求满足T n≤S5的最大正整数n的值．19．（12分）如图，在△ABC中，BC⊥AC，D，E分别为AB，AC的中点，将△ADE沿DE 折起到△PDE的位置．（1）证明：BC⊥平面PEC；（2）若BP＝2，BC＝CD，直线BP与平面PEC所成的角为45°，求四棱锥P﹣BCED 的体积．20．（12分）在平面直角坐标系中，点M（﹣2，0），N（2，0），P是平面内一点，直线PM，PN的斜率之积为．（1）求点P的轨迹方程；（2）设点P的轨迹为曲线Γ，过点E（﹣1，0）的直线l与Γ相交于A，B两点，以线段AB为直径的圆过点F（1，0），求直线l的方程．21．（12分）已知函数f（x）＝2lnx﹣ax．（1）求f（x）的极值；（2）当x≥1时，f（x）≤，求a的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在同一直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线x′2+y′2＝1，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为ρsin （θ﹣）＝．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）过点P（1，0）作l的垂线交C于A，B两点，点A在x轴上方，求．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．函数f（x）＝|ax+2|，不等式f（x）≤a的解集为{x|﹣2≤x≤0}．（1）求a的值；（2）求证：对任意x∈R，存在m＞1，使得不等式f（x﹣2）+f（2x）≥m+成立．2018-2019学年福建省厦门市高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：∵A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x|x≤3}；∴A∩B＝{1，2，3}．故选：D．2．【解答】解：命题p：若a＞b，则a2＞b2；为假命题，例：a＝﹣2，b＝0，命题q：∀x＞0，x+≥2．为真命题，因为：由均值不等式有：∀x＞0，x+≥2＝2．即p∨q为真命题，故选：A．3．【解答】解：∵函数f（x）＝，∴f（1）＝1﹣2＝﹣1，f（f（1））＝f（﹣1）＝2﹣1＝．故选：B．4．【解答】解：先根据x，y满足约束条件画出可行域，设z＝x+2y．解得A（﹣3，4）将z的值转化为直线z＝x+2y在y轴上的截距的一半，当直线z＝x+2y经过点A（﹣3，4）时，z最大，最大值为：5．故选：C．5．【解答】解：∵锐角α满足cos（）＝，∴α+为锐角，∴sin（α+）＝＝，则sin（2）＝2sin（α+）cos（）＝2••＝，故选：C．6．【解答】解：抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F（，0），点A在C上，AF的中点坐标为（2，2），可得A（4，4），可得：16＝2p（4﹣），解得：p＝4．则C的方程为：y2＝8x．故选：B．7．【解答】解：如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），B（1，2，0），E（0，1，1），F（1，1，1），∴，．∴cos＜＞＝．∴异面直线AF与BE所成角的余弦值为0．故选：A．8．【解答】解：由题意可得＝（+）•（﹣）＝（）＝（22﹣32）＝故选：D．9．【解答】解：由，得﹣3＜x＜3．∴函数f（x）的定义域为（﹣3，3），又f（﹣x）＝log3（3+x）﹣log3（3﹣x）﹣x＝﹣[log3（3﹣x）﹣log3（3+x）+x]＝﹣f（x），∴f（x）为奇函数，由此排除A，D；又f（1）＝log32﹣log34+1＝＞0，由此排除B．故选：C．10．【解答】解：数列{a n}满足a1＝2，a n+1＝a n+2n+2，当n≥2时，a n＝a n﹣1+2n，故：a n﹣a n﹣1＝2n，①a n﹣1﹣a n﹣2＝2（n﹣1），②…，a2﹣a1＝2•2，（n﹣1）①+②+…+（n﹣1）得：所以：a n﹣a1＝2（2+3+…+n），则：a n＝2（1+2+3+…+n）＝＝n（n+1）．所以：，＝＝，则＝，故选：D．11．【解答】解：如下图所示，连接F2B，由于|F1F2|＝2|OB|，且O为F1F2的中点，所以，∠F1BF2＝90°，∵，所以，A为线段F1B的中点，又由于O为线段F1F2的中点，所以，OA∥F2B，所以，OA⊥F1B，∴∠AOF1＝∠AOB，由于直线OA和OB是双曲线的两条渐近线，则∠AOF1＝∠BOF2，所以，∠BOF2＝60°，则，所以，双曲线的离心率为，故选：C．12．【解答】解：∵f（x）＝2sin（2x+φ）+1＞0，∴sin（2x+φ）＞，∴，k∈z，解可得，φ+kπ＜x＜kφ，k∈z，当k＝0时，φ＜x＜，∵当x∈（0，）时，f（x）＞0，∴，解可得，∴，则f（）＝2sin（φ）+1＝2cosφ+1∈[2，3]，即最小值2，故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．【解答】解：∵z＝＝，∴．故答案为：1+i．14．【解答】解：根据题意，圆x2+y2＝5的圆心为（0，0），半径r＝，圆心到直线x﹣y﹣1＝0的距离d＝＝，则|AB|＝2＝3，故答案为：3．15．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为四棱锥，侧棱P A⊥底面ABCD，底面ABCD为长方形，则该“阳马”最长的棱长为＝．故答案为：16．【解答】解：由f（x）＝x3+x，可得：f（x）＝x3+x为奇函数且为增函数，又f（﹣1）＝﹣2，f（1）＝2，则对于x∈[0，2]，都有|f（ax﹣e x+1）|≤2，等价于对于x∈[0，2]，﹣2≤f（ax﹣e x+1）≤2，等价于对于x∈[0，2]，﹣1≤ax﹣e x+1≤1，又x＝0时上不等式恒成立，即等价于对于x∈（0，2]，﹣1≤ax﹣e x+1≤1，即等价于对于x∈（0，2]，，设g（x）＝，h（x）＝，则g′（x）＝＞0，h′（x）＝，易得：y＝g（x）在[0，2]为增函数，y＝h（x）在（0，1）为增函数，在（1，2）为减函数，所以g（x）max＝g（2）＝，h（x）min＝h（1）＝e，即实数a的取值范围是：，故答案为：[]．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．【解答】解：（1）∵sin2A+sin2B﹣sin A sin B＝sin2C，∴由正弦定理可得：a2+b2﹣ab＝c2，可得：a2+b2﹣c2＝ab，∴由余弦定理可得：cos C＝＝＝，∵C∈（0，π），∴C＝．（2）∵cos A＝，可得：sin A＝＝，∴sin B＝sin（A+C）＝sin A cos C+cos A sin C＝，又∵b＝3，∴由正弦定理可得：a＝＝＝2，∴S△ABC＝ab sin C＝＝3．18．【解答】解：（1）{a n}是首项为1，公差为d的等差数列，{b n}是公比q为2的等比数列，且a2＝b3，a3＝b1+b2+b3，即有1+d＝4b1，1+2d＝b1+2b1+4b1＝7b1，解得d＝3，b1＝1，则a n＝1+3（n﹣1）＝3n﹣2；b n＝2n﹣1，n∈N*；（2）{a n}的前n项和为S n＝n（3n﹣1），{b n}的前n项和为T n＝＝2n﹣1，T n≤S5即为2n﹣1≤35，可得n≤5，即n的最大值为5．19．【解答】（1）证明：∵D，E分别为AB，AC的中点，∴DE∥BC，∵BC⊥AC，∴DE⊥AE，DE⊥EC，即DE⊥⊥PE，DE⊥EC，又PE∩EC＝E，∴DE⊥平面PEC，∵DE∥BC，∴BC⊥平面PEC；（2）解：由（1）知，BC⊥平面PEC，则∠BPC为直线BP与平面PEC所成的角为45°，又BP＝2，BC＝CD，∴BC＝CD＝PC＝2，则AB＝4，∴AC＝，则PE＝EC＝，在△PEC中，由PE＝EC＝，PC＝2，得cos∠PEC＝，则sin∠PEC＝，∴P到EC的距离d＝PE•sin∠PEC＝．即P到平面BCED的距离为．∴四棱锥P﹣BCED的体积V＝＝．20．【解答】解：（1）设P（x，y），由题知：…（2分）化简得：（y≠0）…（4分）（2）依题意可知直线l的斜率不为0，则设直线l的方程为：x＝my﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得（3m2+4）y2﹣6my﹣9＝0，则△＞0恒成立，y1y2＝﹣，y1+y2＝，则x1x2＝（my1﹣1）（my2﹣1）＝，x1+x2＝m（y1+y2）﹣2＝．由题意可得：•＝0，即x1x2﹣（x1+x2）+1+y1y2＝0，∴7﹣9m2＝0，解得：m＝﹣或m＝﹣．∴直线l的方程为：3x+1＝0．21．【解答】解：（1）f′（x）＝﹣a．（x＞0）．a≤0时，f′（x）≥0，此时函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，此时，函数f（x）无极值．a＞0时，f′（x）＝，可得x＝时，函数f（x）取得极大值，为＝﹣2，无极小值．（2）当x＝1时，f（x）＝2lnx﹣ax＝﹣a≤＝﹣a，恒成立．当x＞1时，f（x）≤，化为：≥，令g（x）＝，x＞1．g′（x）＝＝．令u（x）＝﹣x2lnx﹣lnx+x2﹣1，x＞1．u（1）＝0．u′（x）＝﹣2xlnx+2x﹣＝．令v（x）＝﹣2x2lnx+x2﹣1，v（1）＝0．v′（x）＝﹣4xlnx﹣2x＜0．∴函数v（x）在（1，+∞）上单调递减，∴v（x）＜v（1）＝0，即u′（x）＜0．∴函数u（x）在（1，+∞）上单调递减，∴u（x）＜u（1）＝0，即g′（x）＜0．∴函数g（x）在（1，+∞）上单调递减，x→1时，g（x）→→．∴g（x）＜．∴≥，解得a≥1．综上可得：a≥1．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．【解答】（1）∵在同一直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线x′2+y′2＝1，∴C的轨迹方程是，∵直线的极坐标方程为ρsin（θ﹣）＝，即ρsinθ﹣ρcosθ＝，∴直线的直角坐标方程是y﹣x＝，即y﹣x＝2；（2）由上解之l的斜率是，故其倾斜角是60°，所以其垂线的倾斜角是150°故直线l的垂线的方程可设为，将其代入整理得7t2﹣4t﹣12＝0∴t1t2＝﹣，t1+t2＝，由题意，点A在x轴上方，故可令|P A|＝t1＞0，|PB|＝﹣t2＞0，∴＝＝．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．【解答】解：（1）f（x）≤a⇔|ax+2|≤a⇔﹣a≤ax+2≤a⇔﹣1﹣≤x≤1﹣，∴﹣1﹣＝﹣2，a＝2（2）证明：由（1）得f（x）＝|2x+2|，∴f（x﹣2）+f（2x）＝|2x﹣2|+|4x+2|＝2|x﹣1|+2|2x+1|＝∴f（x）min＝3，当m＝2时，m+＝3，所以对任意x∈R，存在m＝2＞1，使得不等式f（x﹣2）+f（2x）≥m+＝3成立。
2018届福建省厦门市高三上学期期末质检数学理卷Word版 含答案
厦门市2018届高三年级第一学期期末质检理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合(){}10A x x x =+>，{B x y ==，则A B =I （ ）A ．{}0x x > B ．{}1x x ≥ C ．{}01x x <≤ D ．R2．命题“32000,10x x x ∃∈-+≤R ”的否定是（ ）A ．32000,10x x x ∃∈-+<RB ．32000,10x x x ∃∈-+≥RC ．32,10x x x ∀∈-+>RD ．32,10x x x ∀∈-+≤R 3．实数,x y 满足0x y >>，则（ ）A ．11x y > BC ．1122x y⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．2x xy <4．若,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若,m αββ⊥⊥，则m α∥ B ．若,m n m α⊥∥，则n α⊥C ．若,,,m n m n ααββ⊂⊂∥∥，则αβ∥D ．若,,m m n βααβ⊂=∥I ，则m n ∥5．已知实数,x y 满足1,20,21,x y x x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩则目标函数2z x y =+的最大值等于（ ）A ．-7B ．52-C ．2D ．3 6．如图所示，函数26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的部分图象与坐标轴分别交于点,,D E F ，则DEF ∆的面积等于（ ）A ．4π B ．2πC ．πD ．2π 7．已知正方形ABCD 的边长为2，对角线相交于点O ，P 是线段BC 上一点，则OP CP⋅uu u r uu r 的最小值为（ ）A ．-2B ．12-C ．14- D ．2 8．函数()[]()2cos 2,21x xf x x x =∈-+的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．9．ABC ∆中，23B π∠=，,A B 是双曲线E 的左、右焦点，点C 在E 上，若()0BA BC AC +⋅=uu r uu u r uuu r，则E 的离心率为（ ）A 1B 1C 10．习总书记在十九大报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛.如图，“大衍数列”：0,2,4,8,12…来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和.下图是求大衍数列前n 项和的程序框图.执行该程序框图，输入10m =，则输出的S =（ ） A ．100 B ．140 C ．190D ．25011．若锐角ϕ满足sin cos ϕϕ-=，则函数()()2sin f x x ϕ=+的单调增区间为（ ） A ．()52,21212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z B ．()5,1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z C ．()72,21212k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z D ．()7,1212k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z 12．已知函数()()22log ,02,log 4,24,x x f x x x ⎧<≤⎪=⎨-<<⎪⎩若()12f a f a ⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭，则a 的取值范围是（ ）A ．170,2,22⎛⎤⎡⎫ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U B ．1770,,242⎛⎤⎡⎫ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭UC．72,2⎛⎡⎫ ⎪⎢ ⎣⎭⎝⎦U D．77,42⎛⎡⎫ ⎪⎢ ⎣⎭⎝⎦U 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．复数z 满足()1i 2i z -=，则z = ．14．设等比数列{}n a 满足11a =，356a a +=，则579a a a ++= ． 15．直线()1y k x =-与抛物线24y x =交于,A B 两点，若163AB =，则k = ． 16．某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．如图，单位圆O 与,x y 轴正半轴的交点分别为,A D ，圆O 上的点C 在第一象限.（1）若点C 的坐标为12⎫⎪⎪⎝⎭，延长CD 至点B ，使得2DB =，求OB 的长； （2）圆O 上的点E 在第二象限，若23EOC π∠=，求四边形OCDE 面积的最大值.18．如图，直角梯形BDFE 中，EF BD ∥，BE BD ⊥，EF =等腰梯形ABCD 中，AB CD ∥，AC BD ⊥，24AB CD ==，且平面BDFE ⊥平面ABCD .（1）求证：AC ⊥平面BDFE ； （2）若BF 与平面ABCD 所成角为4π，求二面角B DF C --的余弦值.19．数列{}n a 满足122311111n n na a a a a a n ++++=+L . （1）若数列{}n a 为公差大于0的等差数列，求{}n a 的通项公式； （2）若()11nn n n b a a +=-，求数列{}n b 的前2n 项和2n S . 20．已知点()1F，圆(222:16F x y +=，点M 是圆上一动点，1MF 的垂直平分线与2MF 交于点N . （1）求点N 的轨迹方程；（2）设点N 的轨迹为曲线E ，过点()0,1P 且斜率不为0的直线l 与E 交于,A B 两点，点B 关于y 轴的对称点为B '，证明直线AB '过定点，并求PAB '∆面积的最大值.21．已知函数()()()2xf x ax x a e a -=++∈R .（1）若0a ≥，函数()f x 的极大值为3e，求实数a 的值； （2）若对任意的0a ≤，()()ln 1f x b x ≤+在[)0,x ∈+∞上恒成立，求实数b 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为,sin ,x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，,A B 为C 上两点，且OA OB ⊥，设射线:OA θα=，其中02πα<<.（1）求曲线C 的极坐标方程； （2）求OA OB ⋅的最小值. 23．选修4-5：不等式选讲函数()12f x x x a =-++.（1）当1a =时，求证：()13f x x +-≥； （2）若()f x 的最小值为2，求实数a 的值.厦门市2018届高三年级第一学期期末质检理科数学试题参考答案及评分标准 一、选择题1-5:BCBDC 6-10:ACADC 11、12：BD二、填空题13．28 15．．1003π三、解答题17．解：（1）由点12C ⎫⎪⎪⎝⎭在单位圆上，可知30AOC ∠=︒，由图象可得60COD ∠=︒；在CDB ∆中，1OD =，120CDB ∠=︒，2DB =； 由余弦定理得2222cos120OB OD DB OD DB =+-⋅⋅︒；解得OB =； （2）设62COD ππθθ⎛⎫∠=<<⎪⎝⎭，23DOE πθ∠=- 1sin 2COD S θ∆=，12sin 23EOD S πθ∆⎛⎫=- ⎪⎝⎭四边形OCDE 的面积()112sin sin 22362EOD COD S S S πππθθθθ∆∆⎛⎫⎛⎫=+=+-<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭113sin sin sin cos 22244θθθθθ⎡⎤=++=+⎢⎥⎣⎦26πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ∵62ππθ<<，∴2363πππθ<+<；当62ππθ+=，即3πθ=时，四边形OCDE 的面积S 18．证明：（1）∵平面BDFE ⊥平面ABCD ，BE BD ⊥，平面BDFE I 平面ABCD BD = ∴BE ⊥平面ABCD ，又AC ⊂平面ABCD ，∴AC BE ⊥， 又∵AC BD ⊥，且BE BD B =I ， ∴AC ⊥平面BDFE .解：（2）设A C B D O =I ，∵四边形ABCD 为等腰梯形，2DOC π∠=，24AB CD ==，∴OD OC ==OB OA ==∵FE OB ∥，∴四边形BOFE 为平行四边形， ∴OF BE ∥，又∵BE ⊥平面ABCD ，∴OF ⊥平面ABCD ， ∴FBO ∠为BF 与平面ABCD 所成的角， ∴4FBO π∠=，又∵2FOB π∠=，∴OF OB ==以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OF 为z 轴，建立空间直角坐标系，则()B，()0,D，(0,0,F，()C，()A(DF =uuu r，)CD =uu u r ，∵AC ⊥平面BDFE ，∴平面BDF 的法向量为()1,0,0，设平面DFC 的一个法向量为(),,n x y z =r，由0,0,DF n CD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uuu r r uu u r r得0,0,+=-= 令2x =得，()2,2,1n =-r，2cos ,3n AC ==r uuu r . ∴二面角B DF C --的余弦值为23. 19．解：（1）由已知：122311111n n na a a a a a n ++++=+L 当1n =时，12112a a =①，即122a a = 当2n =时，12231123a a a a +=② ②-①，得23116a a =；即236a a = 设等差数列{}n a 公差为d ，由122326a a a a =⎧⎨=⎩，有()()222226a d a a d a -=⎧⎪⎨+=⎪⎩因为0d >，解得221a d =⎧⎨=⎩，则()22n a a n d n =+-= （2）由已知：122311111n n na a a a a a n ++++=+L ③ 当2n ≥时，122311111n n n a a a a a a n--+++=L ④ ③-④得：当2n ≥时，111n n na a n +=+，即()11n n a a n n +=⋅+， 结合122a a =，得：()()11n n a a n n n +=⋅+∈*N()()()1111n nn n n b a a n n +=-⋅=-+()()()2121212221n n b b n n n n -+=-⋅-⋅+⋅+()221214n n n n =+-+= ()()()21234212n n n S b b b b b b -=++++++L 484n =+++L()()44212n n n n +==+20．解：（1）由已知得：1NF NM =，所以1224NF NF MN NF +=+=又12F F =N 的轨迹是以12,F F 为焦点，长轴长等于4的椭圆，所以点N 的轨迹方程是22142x y +=. （2）设直线():10AB y kx k =+≠，()11,A x y ，()22,B x y ，则()22,B x y '-，联立直线AB 与椭圆得22241x y y kx ⎧+=⎨=+⎩，得()2212420k x kx ++-=，∴()21221228140,4,12212k k x x k x x k ⎧∆=+>⎪⎪-⎪+=⎨+⎪-⎪=⎪+⎩∴1212AB y y k x x '-=+，所以直线()121112:y y AB y y x x x x -'-=-+，所以令0x =，得122112x y x y y x x +=+，()()122112121211212x kx x kx kx x x x x x +++==+=++，所以直线AB '过定点()0,2Q ， 所以PAB '∆的面积12221212PQB PQA k S S S x x k'∆∆=-=+=+2122k k=≤+，当且仅当2k =±时，等号成立.所以PAB '∆面积的最大值是2. 21．解：（1）由题意，()()()221x xf x ax e ax x a e --'=+-++ ()2121x e ax a x a -⎡⎤=-+-+-⎣⎦()()11xe x ax a -=--+-. （ⅰ）当0a =时，()()1xf x e x -'=--，令()0f x '>，得1x <；()0f x '<，得1x >， 所以()f x 在(),1-∞单调递增，()1,+∞单调递减. 所以()f x 的极大值为()131f e e=≠，不合题意. （ⅱ）当0a >时，111a-<， 令()0f x '>，得111x a -<<；()0f x '<，得11x a<-或1x >，所以()f x 在11,1a ⎛⎫-⎪⎝⎭单调递增，1,1a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，()1,+∞单调递减. 所以()f x 的极大值为()2131a f e e+==，得1a =. 综上所述1a =. （2）令()()2xx g a exx a xe --=++，(],0a ∈-∞，当[)0,x ∈+∞时，()20xex x -+≥，则()()ln 1g a b x ≤+对(],0a ∀∈-∞恒成立等价于()()()0ln 1g a g b x ≤≤+， 即()ln 1xxeb x -≤+，对[)0,x ∈+∞恒成立.（ⅰ）当0b ≤时，()0,x ∀∈+∞，()ln 10b x +<，0xxe ->，此时()ln 1xxeb x ->+，不合题意.（ⅱ）当0b >时，令()()ln 1xh x b x xe -=+-，[)0,x ∈+∞，则()()()2111x x xxb be x h x e xe x x e--+-'=--=++，其中()10x x e +>，[)0,x ∀∈+∞， 令()[)21,0,xp x be x x =+-∈+∞，则()h x 在区间[)0,+∞上单调递增，①1b ≥时，()()010p x p b ≥=-≥，所以对[)0,x ∀∈+∞，()0h x '≥，从而()h x 在[)0,+∞上单调递增， 所以对任意[)0,x ∈+∞，()()00h x h ≥=， 即不等式()ln 1xb x xe -+≥在[)0,+∞上恒成立.②01b <<时，由()010p b =-<，()10p be =>及()p x 在区间[)0,+∞上单调递增， 所以存在唯一的()00,1x ∈使得()00p x =，且()00,x x ∈时，()00p x <. 从而()00,x x ∈时，()0h x '<，所以()h x 在区间()00,x 上单调递减， 则()00,x x ∈时，()()00h x h <=，即()ln 1xb x xe -+<，不符合题意.综上所述，1b ≥.22．解：（1）将1C的方程化为直角坐标方程为221y +=，即2212x y +=.将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入可得()()22cos sin 12ρθρθ+=化简得2221sin ρθ=+（2）根据题意：射线OB 的极坐标方程为2πθα=+或2πθα=-.1OA ρ==2OB ρ===则12OA OB ρρ⋅=⋅==22241sin 1cos 32αα≥=+++，当且仅当22sin cos αα=，即4πα=时，取得最小值43. 故OA OB ⋅的最小值为43. 23．解：（1）依题意：()1121f x x x x +-=-++12221x x x +-=-++()()22213x x ≥--+=，当且仅当()2221x x -=-+，即14x =时，等号成立. （2）①当12a >-，即2a >-时，()31,,21,1,231,1,a x a x a f x x a x x a x ⎧-+-≤-⎪⎪⎪=++-<<⎨⎪+->⎪⎪⎩则当2a x =-时，()min 112222a a a f x f ⎛⎫=-=--=+= ⎪⎝⎭，故2a =.②当12a <-，即2a <-时，()31,1,1,1,231,,2x a x a f x x a x a x a x ⎧⎪-+-≤⎪⎪=---<<-⎨⎪⎪+-≥-⎪⎩则当2a x =-时，()min 112222a a a f x f ⎛⎫=-=--=--= ⎪⎝⎭，故6a =-. ③当12a=-时，即2a =-时，()31f x x =-有最小值0，不符合题意，舍去.。
厦门2018届高三上期末质检文科数学
厦门2018届高三第一学期期末质检文科数学一、选择题：1．已知集合{}0,1,2,3A =，{}13B x x =-≤<，则A B =I （ ） A ．{}1,2 B ．{}0,1,2 C ．{}0,1,2,3 D ．∅2．已知命题:,21xp x ∀∈>R ，命题000:,sin cos q x x x ∃∈=R ，则下列命题中的真命题为（ ）A ．q ⌝B ．p q ∧C ．p q ⌝∧D ．p q ∨⌝ 3．已知2log 0.3a =，0.32b =，20.3c =，则（ ）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．b c a >>4．已知3sin 24α=，42ππα<<，则sin cos αα-的值是（ ） A ．12 B ．12- C ．14 D ．14-5．若,x y 满足约束条件10,220,1,x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩则2z x y =+的最大值是（ ）A ．1B ．3C ．5D ．76．设,a b 表示直线，,αβ表示平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若,a b αα∥∥，则a b ∥ B ．若,a ααβ⊥⊥，则a β∥ C ．若,a b αα⊥∥，则a b ⊥ D ．若,a ααβ⊥∥，则a β⊥ 7．已知数列{}n a 满足()1112n n n a a +++-=，则其前100项和为（ ）A ．250B ．200C ．150D ．1008．函数()sin 1cos2y x x =+在区间[]2,2-上的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点为(),0F c -，O 为坐标原点，,P Q 为双曲线的渐近线上两点，若四边形PFQO 是面积为2c 的菱形，则该渐近线方程为（ ） A ．2y x =± B ．12y x =±C ．4y x =±D ．14y x =± 10．习总书记在十九大报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛.如图，“大衍数列”：0,2,4,8,12^来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和.下图是求大衍数列前n 项和的程序框图.执行该程序框图，输入8m =，则输出的S =（ ） A ．44 B ．68 C ．100 D ．14011．在ABC ∆中，2AB =，1AC =，120BAC ∠=︒，BD BC λ=uu u r uu u r .若14AD BC ⋅=uuu r uu u r ，则实数λ的值为（ ） A ．-2 B ．14 C ．12 D ．3412．函数()2cos 0y x x π=<<和函数3tan y x =的图象相交于,A B 两点，O 为坐标原点，则OAB ∆的面积为（ ）A B C D 二、填空题13．若复数z 满足2z i i ⋅=-，则z = ．14．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为 ．15．已知函数()221,20,,0,x x x x f x e x ⎧--+-≤<⎪=⎨≥⎪⎩若函数()()g x f x ax a =-+存在零点，则实数a 的取值范围为 ．16．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在椭圆上，且2PF 垂直x 轴，若直线1PF的斜率为3，则该椭圆的离心率为 ． 三、解答题17．在ABC ∆中，D 是边BC上的点，AB AD ==1cos 7BAD ∠=. （1）求sin B ；（2）若4AC =，求ADC ∆的面积.18．已知等差数列{}n a 的公差0d >，其前n 项和为n S ，且520S =，358,,a a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令11n n n b n a a +=+⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .19．如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAB ⊥底面ABCD ，PA PB =，24CD AB ==，CD AB ∥，90BPA BAD ∠=∠=︒.（1）求证：PB ⊥平面PAD ；（2）若三棱锥C PBD -的体积为2，求PAD ∆的面积.20．在直角坐标系xOy 中，()1,0F ，动点P 满足：以PF 为直径的圆与y 轴相切. （1）求点P 的轨迹方程；（2）设点P 的轨迹为曲线Γ，直线l 过点()4,0M 且与Γ交于,A B 两点，当ABF ∆与AOF ∆的面积之和取得最小值时，求直线l 的方程. 21．已知函数()()22ln 12a f x a x x a x =+-+. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a >时，记函数()f x 的极小值为()g a ，若()()3212254g a b a a a <--+恒成立，求满足条件的最小整数b . 22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为,sin ,x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，,A B 为C 上两点，且OA OB ⊥，设射线:OA θα=，其中02πα<<.（1）求曲线C 的极坐标方程； （2）求OA OB ⋅的最小值. 23．选修4-5：不等式选讲函数()12f x x x a =-++.（1）当1a =时，求证：()13f x x +-≥； （2）若()f x 的最小值为2，求实数a 的值.厦门2018届高三第一学期期末质检文科数学参考答案一、选择题1-5:BCDAD 6-10:CDBAC 11、12：DA 二、填空题13．83 15．13a ≤-或2a e ≥ 16三、解答题17．解：（1）在ABD ∆中，2222cos BD AB AD AB AD BAD =+-⋅⋅∠=1772127+-=，得BD =由1cos 7BAD ∠=，得sin BAD ∠=在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin AD BDB BAD=∠，所以sin B ==（2）因为sin 7B =，B 是锐角，所以cos 7B = 设BC x =，在ABC ∆中，2222cos AB BC AB BC B AC +-⋅⋅=即272167x x +-⋅=化简得：290x --=解得x =或x =则CD BC BD =-==由ADC ∠和ADB ∠互补，得sin sin sin ADC ADB B ∠=∠==所以ADC ∆的面积11sin 22S AD DC ADC =⋅⋅⋅∠==18．解：（1）因为()1555202a a S +==，即158a a += 34a =即124a d +=，①因为358,,a a a 为等比数列，即2538a a a =所以()()()2111427a d a d a d +=++，化简得：12a d =②联立①和②得：12a =，1d = 所以1n a n =+ （2）因为()()11112n n n b n a a n n +=+=⋅++1112n n n n ⎛⎫+=-+ ⎪++⎝⎭所以111111123233445n T ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-++-+⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦1112n n n ⎡⎤⎛⎫++-+ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎣⎦L 1111111123344512n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L ()123n +++++L()111222n n n +⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭()()1222n n nn +=++ 19．解：（1）∵平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB I 平面ABCD AB =，AD ⊂平面ABCD ，且AD AB ⊥，∴AD ⊥平面PAB .又∵PB ⊂平面PAB ，∴PB AD ⊥. 又∵PB PA ⊥，PA AD A =I ，,PA PD ⊂平面PAD ，∴PB ⊥平面PAD .（2）取AB 中点E ，连接PE . ∵PA PB =，∴PE AB ⊥.又∵PE ⊂平面PAB ，平面PAB ⊥平面ABCD ， 平面PAB I 平面ABCD AB =， ∴PE ⊥平面ABCD .∴PE 为三棱锥P BCD -的高，且112PE AB ==. 又∵CD AB ∥，AD CD ⊥，∴122BCD S CD AD AD ∆=⋅=. ∴12233C PBD P BCD BCD V V S PE AD --∆==⋅⋅==，得3AD =.cos 45PA AB =⋅︒=又∵AD ⊥平面PAB 且PA ⊂平面PAB ，∴PA AD ⊥.∴12PAD S PA AD ∆=⋅=.20．解：（1）设点(),P x y ，圆心()00,N x y ， 圆与y 轴相切于点C ，则2PF NC =，02x =，又点N 为PF 的中点，所以012x x +=，1x =+，整理得：24y x =.所以点P 的轨迹方程为：24y x =.（2）（ⅰ）当直线l 的斜率不存在时，方程为：4x =， 易得14ABF AOF S S ∆∆+=.（ⅱ）当直线l 的斜率存在时，设方程为：()4y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，由()244y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩消去x 并整理得：24160ky y k --=， 所以124y y k+=，1216y y =-，所以1142ABF AOF AOM BFM S S S S y ∆∆∆∆+=+=⋅⋅211322y +⋅⋅≥⋅= 当且仅当1243y y =时等号成立，又1216y y =，所以1y =2y =或1y =-2y =，所以1243y y k +==±，解得：k =±因为14≤，所以当两个三角形的面积和最小时，直线l 的方程为：)4y x =±-. 21．解：（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()()21a f x ax a x '=+-+=()()()2211ax a x a ax x a x x-++--=①若0a ≤，当()0,x ∈+∞时，()0f x '≤， 故()f x 在()0,+∞单调递减， ②若0a >，由()0f x '=，得11x a=，2x a = （ⅰ）若01a <<，当1,x a a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<， 当()10,,x a a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭U 时，()0f x '>， 故()f x 在1,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在()0,a ，1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增（ⅱ）若1a =，()0f x '≥，()f x 在()0,+∞单调递增， （ⅲ）若1a >，当1,x a a ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0f x '<， 当()10,,x a a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭U 时，()0f x '>， 故()f x 在1,a a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭，(),a +∞单调递增 （2）由（1）得：若1a >，()f x 在1,a a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减， 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭，(),a +∞单调递增 所以x a =时，()f x 的极小值为()()2ln 2a g a f a a a a ==-- 由()()212254g a b a a a <--+恒成立， 即2ln 24a ab a a >-+恒成立 设()()2ln 124x x h x x x x =-+>，()5ln 4h x x x '=-+令()()5ln 4x h x x x ϕ'==-+， 当()1,x ∈+∞时，()110x xϕ'=-<所以()h x '在()1,+∞单调递减，且()1104h '=>，()()3312ln 2ln16ln 044h e '=-=-< 所以()01,2x ∃∈，()0005ln 04h x x x '=-+=，且()01,x x ∈，()00h x '>，()0,2x x ∈，()00h x '< 所以()()200000maxln 24x x h x h x x x ==-+，因为005ln 4x x =- 得()200max 12h x x x =-其中()01,2x ∈， 因为212y x x =-在()1,2上单调递增 所以()max 1,02h x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭因为()max b h x >，b Z ∈，所以min 0b =22．解：（1）将1C的方程化为直角坐标方程为221y +=，即2212x y +=.将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入可得()()22cos sin 12ρθρθ+=化简得2221sin ρθ=+（2）根据题意：射线OB 的极坐标方程为2πθα=+或2πθα=-.1OA ρ==2OB ρ===则12OA OB ρρ⋅=⋅==22241sin 1cos 32αα≥=+++，当且仅当22sincos αα=，即4πα=时，取得最小值43. 故OA OB ⋅的最小值为43. 23．解：（1）依题意：()1121f x x x x +-=-++12221x x x +-=-++()()22213x x ≥--+=，当且仅当()2221x x -=-+，即14x =时，等号成立. （2）①当12a >-，即2a >-时，()31,,21,1,231,1,a x a x a f x x a x x a x ⎧-+-≤-⎪⎪⎪=++-<<⎨⎪+->⎪⎪⎩则当2a x =-时，()min 112222a a a f x f ⎛⎫=-=--=+= ⎪⎝⎭，故2a =.②当12a <-，即2a <-时，()31,1,1,1,231,,2x a x a f x x a x a x a x ⎧⎪-+-≤⎪⎪=---<<-⎨⎪⎪+-≥-⎪⎩则当2a x =-时，()min 112222a a a f x f ⎛⎫=-=--=--= ⎪⎝⎭，故6a =-.③当12a=-时，即2a =-时，()31f x x =-有最小值0，不符合题意，舍去.。
最新-福建省厦门市2018届高三数学上学期期末检查试题
福建省厦门市2018届高三（上）期末质量检查数 学 试 题（理）注意事项：1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卡指定位置上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、考号、姓名。
2．本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考 试时间120分钟。
参考公式：柱体体积公式：V 、Sh ，其中S 为底面面积，h 为高。
锥体体积公式：1,3V Sh =其中S 为底面面积，h 为高。
第Ⅰ卷 （选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合||0|,{|(1)(2)0},A x x B x x x =>=-->⋃则A B= （ ）A ．{|01}x x <<B ．{|12}x x x <>或C ．{|12}x x <<D ．R2．已知命题：p ：函数()sin cos f x x x =的最小正周期为π；命题q ：函数()sin()2g x x π=+的图象关于原点对称，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．p q ∨C ．p ⌝D ．()p q ⌝∨3．已知α、β是两个不同的平面，m 、n 是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ） A ．若//,//m n m n αα⊂则 B ．若//,,mm a n αβ=则m//nC ．若,//m m αβαβ⊥⊥则D ．若,,//m m βαβα⊥⊥则4．当01a a >≠且时，函数()()zf x ag x ax a ==+和的图象只可能是 （ ）5．已知双曲线2221x y a-=的一个焦点坐标为(，则其渐近线方程为（ ）A ．y =B ．2y x =±C ．2y x =±D ．12y x =±6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．πB ．2π+C ．2πD ．π+7．函数3()f x x ax =-在R 上增函数的一个充分不必要条件 是 （ ） A ．0a ≤ B ．0a < C ．0a ≥ D ．0a >8．如图，BC 、DE 是半径为1的圆O 的两条直径，2BF FO =，则FD FE ⋅的值是 （ ）A ．34-B ．89-C ．14-D ．49-9．函数3()log (2)sin 2x x x =--的零点个数是 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．设函数()f x 的定义域为D ，若存在非零实数h 使得对于任意()x M M D ∈⊆，有x h D +⊆，且()()f x h f x +≥，则称()f x 为M 上的“h 阶高调函数”。
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厦门市2018届高三年级第一学期期末质检文科数学 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}0,1,2,3A =，{}13B x x =-≤<，则A B =I （ ） A ．{}1,2 B ．{}0,1,2 C ．{}0,1,2,3 D ．∅2．已知命题:,21xp x ∀∈>R ，命题000:,sin cos q x x x ∃∈=R ，则下列命题中的真命题为（ ）A ．q ⌝B ．p q ∧C ．p q ⌝∧D ．p q ∨⌝ 3．已知2log 0.3a =，0.32b =，20.3c =，则（ ）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．b c a >>4．已知3sin 24α=，42ππα<<，则sin cos αα-的值是（ ） A ．12 B ．12- C ．14 D ．14-5．若,x y 满足约束条件10,220,1,x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩则2z x y =+的最大值是（ ）A ．1B ．3C ．5D ．76．设,a b 表示直线，,αβ表示平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若,a b αα∥∥，则a b ∥ B ．若,a ααβ⊥⊥，则a β∥ C ．若,a b αα⊥∥，则a b ⊥ D ．若,a ααβ⊥∥，则a β⊥ 7．已知数列{}n a 满足()1112n n n a a +++-=，则其前100项和为（ ）A ．250B ．200C ．150D ．1008．函数()sin 1cos 2y x x =+在区间[]2,2-上的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点为(),0F c -，O 为坐标原点，,P Q 为双曲线的渐近线上两点，若四边形PFQO 是面积为2c 的菱形，则该渐近线方程为（ ） A ．2y x =± B ．12y x =±C ．4y x =±D ．14y x =± 10．习总书记在十九大报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛.如图，“大衍数列”：0,2,4,8,12^来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和.下图是求大衍数列前n 项和的程序框图.执行该程序框图，输入8m =，则输出的S =（ ） A ．44 B ．68 C ．100 D ．14011．在ABC ∆中，2AB =，1AC =，120BAC ∠=︒，BD BC λ=uu u r uu u r .若14AD BC ⋅=uuu r uu u r ，则实数λ的值为（ ） A ．-2 B ．14 C ．12 D ．3412．函数()2cos 0y x x π=<<和函数3tan y x =的图象相交于,A B 两点，O 为坐标原点，则OAB ∆的面积为（ ）A B C ． D 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若复数z 满足2z i i ⋅=-14．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为 ．15．已知函数()221,20,,0,x x x x f x e x ⎧--+-≤<⎪=⎨≥⎪⎩若函数()()g x f x ax a =-+存在零点，则实数a 的取值范围为 ．16．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在椭圆上，且2PF 垂直x 轴，若直线1PF，则该椭圆的离心率为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．在ABC ∆中，D 是边BC上的点，AB AD ==，1cos 7BAD ∠=. （1）求sin B ；（2）若4AC =，求ADC ∆的面积.18．已知等差数列{}n a 的公差0d >，其前n 项和为n S ，且520S =，358,,a a a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令11n n n b n a a +=+⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .19．如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAB ⊥底面ABCD ，PA PB =，24CD AB ==，CD AB ∥，90BPA BAD ∠=∠=︒.（1）求证：PB ⊥平面PAD ；（2）若三棱锥C PBD -的体积为2，求PAD ∆的面积.20．在直角坐标系xOy 中，()1,0F ，动点P 满足：以PF 为直径的圆与y 轴相切. （1）求点P 的轨迹方程； （2）设点P 的轨迹为曲线Γ，直线l过点()4,0M 且与Γ交于,A B 两点，当ABF ∆与AOF ∆的面积之和取得最小值时，求直线l的方程.21．已知函数()()22ln 12a f x a x x a x =+-+.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a >时，记函数()f x 的极小值为()g a ，若()()3212254g a b a a a <--+恒成立，求满足条件的最小整数b .请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为,sin ,x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，,A B 为C 上两点，且OA OB ⊥，设射线:OA θα=，其中02πα<<.（1）求曲线C 的极坐标方程； （2）求OA OB ⋅的最小值. 23．选修4-5：不等式选讲 函数()12f x x x a =-++.（1）当1a =时，求证：()13f x x +-≥； （2）若()f x 的最小值为2，求实数a 的值.厦门市2018届高三年级第一学期期末质检文科数学参考答案一、选择题1-5:BCDAD 6-10:CDBAC 11、12：DA 二、填空题13．83 15．13a ≤-或2a e ≥ 16三、解答题17．解：（1）在ABD ∆中，2222cos BD AB AD AB AD BAD =+-⋅⋅∠=1772127+-=，得BD =由1cos 7BAD ∠=，得sin BAD ∠=在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin AD BDB BAD=∠，所以sin B ==（2）因为sin B =，B 是锐角，所以cos B =设BC x =，在ABC ∆中，2222cos AB BC AB BC B AC +-⋅⋅=即27216x x +-⋅=化简得：290x --=解得x =或x =（舍去）则CD BC BD =-=-=由ADC ∠和ADB ∠互补，得sin sin sin ADC ADB B ∠=∠==所以ADC ∆的面积11sin 22S AD DC ADC =⋅⋅⋅∠== 18．解：（1）因为()1555202a a S +==，即158a a += 34a =即124a d +=，①因为358,,a a a 为等比数列，即2538a a a =所以()()()2111427a d a d a d +=++，化简得：12a d =② 联立①和②得：12a =，1d = 所以1n a n =+ （2）因为()()11112n n n b n a a n n +=+=⋅++1112n n n n ⎛⎫+=-+ ⎪++⎝⎭所以111111123233445n T ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-++-+⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦1112n n n ⎡⎤⎛⎫++-+ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎣⎦L 1111111123344512n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L ()123n +++++L()111222n n n +⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭()()1222n n nn +=++ 19．解：（1）∵平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB I 平面ABCD AB =，AD ⊂平面ABCD ，且AD AB ⊥，∴AD ⊥平面PAB .又∵PB ⊂平面PAB ，∴PB AD ⊥. 又∵PB PA ⊥，PA AD A =I ，,PA PD ⊂平面PAD ，∴PB ⊥平面PAD .（2）取AB 中点E ，连接PE . ∵PA PB =，∴PE AB ⊥.又∵PE ⊂平面PAB ，平面PAB ⊥平面ABCD ， 平面PAB I 平面ABCD AB =， ∴PE ⊥平面ABCD .∴PE 为三棱锥P BCD -的高，且112PE AB ==. 又∵CD AB ∥，AD CD ⊥，∴122BCD S CD AD AD ∆=⋅=. ∴12233C PBD P BCD BCD V V S PE AD --∆==⋅⋅==，得3AD =.cos 45PA AB =⋅︒=又∵AD ⊥平面PAB 且PA ⊂平面PAB ，∴PA AD ⊥.∴12PAD S PA AD ∆=⋅=.20．解：（1）设点(),P x y ，圆心()00,N x y ， 圆与y 轴相切于点C ，则2PF NC =，02x =，又点N 为PF 的中点，所以012x x +=，24y x =.所以点P 的轨迹方程为：24y x =.（2）（ⅰ）当直线l的斜率不存在时，方程为：4x =，易得14ABF AOF S S ∆∆+=. （ⅱ）当直线l的斜率存在时，设方程为：()4y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，由()244y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩消去x 并整理得：24160ky y k --=， 所以124y y k+=，1216y y =-，所以1142ABF AOF AOM BFM S S S S y ∆∆∆∆+=+=⋅⋅211322y +⋅⋅≥⋅ 当且仅当1243y y =时等号成立，又1216y y =，所以1y =2y =或1y =-，2y =，所以124y y k +==k =±因为14≤，所以当两个三角形的面积和最小时，直线l的方程为：)4y x =±-.21．解：（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()()21a f x ax a x'=+-+=()()()2211ax a x a ax x a x x -++--= ①若0a ≤，当()0,x ∈+∞时，()0f x '≤， 故()f x 在()0,+∞单调递减，②若0a >，由()0f x '=，得11x a=，2x a = （ⅰ）若01a <<，当1,x a a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<， 当()10,,x a a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭U 时，()0f x '>， 故()f x 在1,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在()0,a ，1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增（ⅱ）若1a =，()0f x '≥，()f x 在()0,+∞单调递增， （ⅲ）若1a >，当1,x a a ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0f x '<， 当()10,,x a a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭U 时，()0f x '>， 故()f x 在1,a a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭，(),a +∞单调递增 （2）由（1）得：若1a >，()f x 在1,a a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减， 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭，(),a +∞单调递增 所以x a =时，()f x 的极小值为()()2ln 2a g a f a a a a ==--由()()212254g a b a a a <--+恒成立， 即2ln 24a ab a a >-+恒成立设()()2ln 124x x h x x x x =-+>，()5ln 4h x x x '=-+ 令()()5ln 4x h x x x ϕ'==-+， 当()1,x ∈+∞时，()110x xϕ'=-<所以()h x '在()1,+∞单调递减，且()1104h '=>，()()3312ln 2ln16ln 044h e '=-=-< 所以()01,2x ∃∈，()0005ln 04h x x x '=-+=，且()01,x x ∈，()00h x '>，()0,2x x ∈，()00h x '< 所以()()200000maxln 24x x h x h x x x ==-+，因为005ln 4x x =- 得()200max 12h x x x =-其中()01,2x ∈， 因为212y x x =-在()1,2上单调递增 所以()max 1,02h x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭因为()max b h x >，b Z ∈，所以min 0b =22．解：（1）将1C的方程化为直角坐标方程为221y +=，即2212x y +=.将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入可得()()22cos sin 12ρθρθ+=化简得2221sin ρθ=+（2）根据题意：射线OB 的极坐标方程为2πθα=+或2πθα=-.1OA ρ==，2OB ρ===则12OA OB ρρ⋅=⋅==22241sin 1cos 32αα≥=+++，当且仅当22sin cos αα=，即4πα=时，取得最小值43.故OA OB ⋅的最小值为43. 23．解：（1）依题意：()1121f x x x x +-=-++12221x x x +-=-++()()22213x x ≥--+=，当且仅当()2221x x -=-+，即14x =时，等号成立. （2）①当12a >-，即2a >-时，()31,,21,1,231,1,a x a x a f x x a x x a x ⎧-+-≤-⎪⎪⎪=++-<<⎨⎪+->⎪⎪⎩则当2a x =-时，()min 112222a a a f x f ⎛⎫=-=--=+= ⎪⎝⎭，故2a =. ②当12a <-，即2a <-时，()31,1,1,1,231,,2x a x a f x x a x a x a x 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