大学高等教育学年学期高等数学B1期末复习题.doc
高数期末考试题及答案
高数期末考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 极限的定义中，当x趋近于a时，f(x)趋近于A，则称A为f(x)的极限。
以下哪个选项是正确的？A. 若f(x)在x=a处连续，则f(x)在x=a处的极限存在B. 若f(x)在x=a处不连续，则f(x)在x=a处的极限不存在C. 若f(x)在x=a处的极限存在，则f(x)在x=a处连续D. 若f(x)在x=a处的极限不存在，则f(x)在x=a处不连续答案：A2. 以下哪个函数是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = x^53. 以下哪个函数是偶函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = x^5答案：A4. 以下哪个函数是周期函数？A. f(x) = e^xB. f(x) = sin(x)C. f(x) = ln(x)D. f(x) = x^2答案：B5. 以下哪个函数是单调递增函数？B. f(x) = x^2C. f(x) = e^xD. f(x) = ln(x)答案：C二、填空题（每题4分，共20分）6. 函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1的导数是______。
答案：6x - 27. 函数f(x) = sin(x)的不定积分是______。
答案：-cos(x) + C8. 函数f(x) = e^x的不定积分是______。
答案：e^x + C9. 函数f(x) = x^3的不定积分是______。
答案：(1/4)x^4 + C10. 函数f(x) = ln(x)的不定积分是______。
答案：x*ln(x) - x + C三、计算题（每题10分，共30分）11. 求极限lim(x→0) [(x^2 + 1) / (x^2 + x)]。
答案：112. 求不定积分∫(3x^2 - 2x + 1)dx。
答案：(x^3 - x^2 + x) + C13. 求定积分∫(0 to 1) (x^2 - 2x + 3)dx。
高数B1B
中南民族大学试卷试卷名称：学年度第一学期期末考试 《高等数学B (一)》试卷 试卷类型： B 卷 共 8 页 适用范围： B 卷第1页共 8 页学院专业级学号姓名………………………………密………………………………封………………………………线………………………………………………………………………装………………………………订………………………………线……………………………………… B 一、填空题(每小题3分,共15分) 1、若0a >，则01lim x x a x →-= . 2、已知a 为常数,1)12(lim 2=+-+∞→ax x x x ,则=a . 3、若当0x →时,1cos x -与n kx 为等价无穷小量,则k = ,n = . 4、设)(x f 有连续的导数,0)0(=f 且b f =')0(,若函数 ⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=.0 , ,0 ,sin )()(x A x x x a x f x F 在0=x 处连续,则常数=A . 5、22cos 2sin cos xdx x x =⎰ .注意事项：1. 必须在答题纸注明的试题号处答题，否则不予计算答题得分；1. 严禁使用草稿纸,草稿可在答题纸背面书写，试卷不得拆开、撕角；2. 将考试证(学生证)及笔、计算器放在桌上备查，考试用具不得相互转借；3. 认真核对试卷页数后交卷，否则按已交试卷计分。
B 卷第2页 共 8 页B二、选择题(每小题3分,共15分)6、下列结论错误的是( )． (Ａ) 函数xx f 1sin )(=是有界函数； ( B ) 当0→x 时，函数xx f 1sin )(=的极限存在； ( C ) xx f 1sin )(=是奇函数； ( D ) 当0→x 时， xx x f 1sin )(=是无穷小量．7、函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=.0,0,0,1sin 2x x x x y 在点0=x 处是( )． (A) 不连续的； (B) 连续的,但不可导；(C) 不连续的,但可导； (D) 连续且可导的.8、当0→x 时，两无穷小x x x s in ,co s 1+=-=βα比较正确的是( )．(A) α是β的高阶无穷小；(B) α是β的低阶无穷小；(C) α是β的同阶无穷小，但不是等阶无穷小；(D) α是β的等价无穷小。
2018-2019《大学数学微积分B1》试卷及答案
保密★启用前2018-2019学年第一学期期末考试《高等数学BⅠ》考生注意事项1．答题前，考生须在试题册指定位置上填写考生教学号和考生姓名；在答题卡指定位置上填写考试科目、考生姓名和考生教学号，并涂写考生教学号信息点。
2．选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内。
超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题册上答题无效。
3．填（书）写部分必须使用黑色字迹签字笔书写，字迹工整、笔迹清楚；涂写部分必须使用2B铅笔填涂。
4．考试结束，将答题卡和试题册按规定交回。
(以下信息考生必须认真填写)考生教学号考生姓名《高等数学B Ⅰ》试题答案 第 1 页 （共 5 页）一、选择题：1～6小题，每小题3分，共18分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将答案写在答题卡上，写在试题册上无效． 1. 1lim(1)nn n →∞+=（ B ）.（A ）0 （B ）1 （C ）e （D ）1e2. 设()f x 为可导函数，且满足条件0(1)(1)lim12x f f x x→−−=−，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线的斜率等于（ C ）.（A ）2 （B ）1− （C ）2− （D ）123. 设0()()()d xF x x t f t t =−⎰ ()f x 为连续函数，且(0)=0()0f f x '>，，则()y F x =在0+∞（，）内（ A ）.（A ）单调增加且为下凸 （B ）单调增加且为上凸 （C ）单调减少且为下凸 （D ）单调减少且为上凸 4. 曲线221e 1e−−+=−x x y （ D ）.（A ）没有渐近线 （B ）仅有水平渐近线（C ）仅有铅直渐近线 （D ）既有水平渐近线又有铅直渐近线 5. 若ln ()sin f t t =，则()d ()tf t t f t '=⎰（ A ）. （A ）sin cos ++t t t C （B ）sin cos −+t t t C （C ）sin cos ++t t t t C （D ）sin +t t C6. 使不等式1sin d ln xtt x t>⎰成立的x 的范围是（ C ）. （A ）π(1,)2（B ）π(,π)2 （C ）(0,1) （D ）(π,+)∞《高等数学B Ⅰ》试题答案 第 2 页 （共 5 页）二、填空题：7～12小题，每小题3分，共18分．7. 设当0x →时，2(1cos )ln(1)x x −+是比sin n x 高阶的无穷小，而sin n x 是比2e 1x −高阶的无穷小，则正整数n 等于 3 .8．设函数()y y x =由方程2e cos()e 1x y xy +−=−所确定，求d d x yx== 2− .9. 函数()ln 12=−y x 在0=x 处的(2)n n >阶导数()(0)n f = 2(1)!n n −⋅− . 10. 221d x x x −−=⎰116． 11. 121e d x x x−∞=⎰ 1 ． 12. Oxy 平面上的椭圆22149x y +=绕x 轴旋转一周而形成的旋转曲面的方程是 222149x y z ++= . 三、解答题：13～19小题，共64分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．13.（本题满分10分）求函数3sin ()xf x x xπ=−的间断点，并判断间断点的类型. 【解】因为3sin sin ()(1)(1)x xf x x x x x x ππ==−−+，显然0,1,1x =−为间断点. 2分 于是lim ()lim(1)(1)x x xf x x x x →→π==π−+， 4分1111sin 1cos lim ()limlim 21212x x x x x f x x →−→−→−ππππ=−=−=+ 6分 1111sin 1cos lim ()limlim 21212x x x x x f x x →→→ππππ===−−， 8分 所以0,1,1x =−是第一类中的可去间断点. 10分《高等数学B Ⅰ》试题答案 第 3 页 （共 5 页）14.（本题满分10分）设cos sin ,sin cos x t t t y t t t =+⎧⎨=−⎩，求224d d t y x π=.【解】由题意，得4d (sin cos )cos cos sin d tan , 1.d (cos sin )sin sin cos d t y t t t t t t t yt x t t t t t t t x π='−−+===='+−++ 5分222324d d tan d 1d ,d d d cos d t y t t yx t x t t x π==⋅==π10分15.（本题满分10分）求x ． 【解】设tan ,,22x t x ππ=−<<，则2d sec d x t t =，于是 3分 原式2= 5分 2cos d sin tt t=⎰2sin dsin csc t t t C −==−+⎰ 9分C =+. 10分16．（本题满分10分）求函数3226187y x x x =−−−的极值.【解】2612186(3)(1),y x x x x '=−−=−+ 2分 令0,y '=得驻点123, 1.x x ==− 5分 又1212,(3)240,(1)240,y x y y ''''''=−=>−=−< 8分《高等数学B Ⅰ》试题答案 第 4 页 （共 5 页）所以极大值(1)3y −=，极小值(3)61y =−. 10分17.（本题满分10分）求由曲线y =1,4,0x x y ===所围成的平面图形的面积及该图形绕y 轴旋转一周所形成的立体的体积.【解】（1） 1S x =⎰2分432121433x ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦ 5分 （2） 解法1： 412y V x =π⎰ 7分4521412455x ⎡⎤π==π⎢⎥⎣⎦ 10分解法2： 24132d y V y y =π−π−π⎰ 7分1245=π 10分18.（本题满分8分）求过直线50:40x y z L x z ++=⎧⎨−+=⎩，且与平面48120x y z −−+=交成π4角的平面方程．【解1】过已知直线L 的平面束方程为(4)(5)0x z x y z λ−++++=，即(1)5(1)40x y z λλλ+++−+=. 2分 已知平面的法向量为(1,4,8)−−. 由题设条件，有πcos4=， 即2=，由此解得0λ=或43λ=−. 6分《高等数学B Ⅰ》试题答案 第 5 页 （共 5 页）将0λ=或43λ=−分别代入平面束方程，得所求平面方程为40207120x z x y z −+=++−=，. 8分 【解2】过已知直线L 的平面束方程为(4)(5)0x z x y z λ−++++=，即(1)5(1)40x y z λλλ+++−+=. 2分 已知平面的法向量为(1,4,8)−−. 由题设条件，有πcos4=即2=，由此解得34λ=−. 6分 将34λ=−分别代入平面束方程，得所求平面方程为207120x y z ++−=. 7分另外，40x z −+=也是所求平面方程. 8分19.（本题满分6分）设函数()f x 在[]0,2π上连续，在(0,2π)内可导，且(0)1,(π)3,f f ==(2π)2f =. 试证明在(0,2π)内至少存在一点ξ，使()()cos 0f f ξξξ'+=.【证】 构造函数sin ()()e x F x f x =. 2分 因为()F x 在[]0,2π上连续，在(0,2π)内可导，且(0)1,(π)3,(2π)2F F F ===. 3分因为2是介于(0)1F =与(π)3F =之间的，故由闭区间上连续函数的介值定理知，在(0,π)内存在一点c 使得()2(2π)F c F ==． 5分于是在[],2πc 上函数()F x 满足罗尔定理的条件，所以[]sin ()()()cos e 0,(,2π)(0,2π)F f f c ξξξξξξ''=+=∈⊂.则原结论成立． 6分。
高等数学大一期末试卷(B)及答案 (2)
高等数学大一期末试卷(B)及答案 (2)___高等数学A（上）测试班级：29级工科各班测试方式：闭卷一。
填空题（将正确答案填在横线上。
本大题共3小题，每小题3分，总计9分）1、f'(x)是可导函数f(x)在x点处取得极值的必要条件。
2、设确定函数，则t^2dx+y=tan(1+e)-etcottsec^2(1+et)。
3、∫dx/(x^2+2x+5)=arctan(1/x+1)+C。
二。
单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中。
本大题共3小题，每小题3分，总计9分）1、设f(x)=(4x^2+3ax+b)/(x-1)，若lim f(x)=1，则a=（B）。
A。
1.B。
2.C。
3.D。
42、下列结论正确的是（A）。
A。
初等函数必存在原函数；B。
每个不定积分都可以表示为初等函数；C。
初等函数的原函数必定是初等函数；D。
A,B,C都不对。
3、若∫f(t)dt=e^x，则f(x)=（A）。
A。
e^(-x)。
B。
-e^(-x)。
C。
e^x。
D。
-e^x三。
解答下列各题（本大题共2小题，每小题5分，总计10分）1、求极限lim(x→0) [(x-arcsin x)/sin^3 x]。
解：(3分)lim(x→0) [(x-arcsin x)/sin^3 x]lim(x→0) [(1/√(1-x^2))-1/(sin x)^2]/3lim(x→0) [(1-x^2)/(√(1-x^2)(sin x)^2)]/6lim(x→0) [(1-x^2)/(x^2)]/61/6所以，lim(x→0) [(x-arcsin x)/sin^3 x] = 1/6.(7分)2、y=ln(tan x)，求dy/dx。
解：(3分)dy/dx = d/dx[ln(tan x)]1/tan x * sec^2 xsec^2 x/sin x1+cos^2 x)/sin x1/x) * (sin x/cos x + cos x/sin x)1/x) * (1/cos x * tan x + cos x/sin x)1/x) * (1/tan x + cos^2 x/sin xcos x)1/x) * (1/tan x + cos x)1/x) * (1/sin xcos x + cos x)1/x) * (1/sin 2x + cos x) (5分)四。
高数b1大一期末试题及答案
高数b1大一期末试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 函数f(x)=x^3-3x+1在区间(-∞,+∞)上是：A. 递增函数B. 递减函数C. 先递减后递增D. 先递增后递减答案：C2. 设函数f(x)=x^2-4x+c，若f(x)在[0,2]上是增函数，则c的取值范围是：A. c≥0B. c≤0C. c≥4D. c≤4答案：C3. 极限lim(x→0) (sinx/x)的值是：A. 0B. 1C. -1D. 不存在答案：B4. 曲线y=x^2在点(1,1)处的切线斜率是：A. 2B. 1C. 0D. -1答案：A5. 设函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6，若f(x)在(1,2)内有唯一的零点，则该零点是：A. 1B. 2C. 3/2D. 1/2答案：C二、填空题（每题4分，共20分）1. 设函数f(x)=x^2-2x+3，f(1)=____。
答案：22. 函数y=ln(x)的导数是y'=____。
答案：1/x3. 设数列{an}满足a1=1，an+1=2an，则数列{an}的通项公式为an=____。
答案：2^(n-1)4. 曲线y=x^3-3x+1在x=1处的切线方程是y=____。
答案：3x-25. 设函数f(x)=x^3-3x+1，f'(x)=____。
答案：3x^2-3三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6在区间(1,2)内的零点。
答案：令f(x)=0，解得x=3/2，所以零点为3/2。
2. 求曲线y=x^3-3x+1在点(1,1)处的切线方程。
答案：首先求导数f'(x)=3x^2-3，代入x=1得到f'(1)=0。
切点为(1,1)，所以切线方程为y=1。
3. 求极限lim(x→0) (e^x-1)/x。
答案：令f(x)=(e^x-1)/x，求导得到f'(x)=e^x/x-(e^x-1)/x^2。
2017高数B期末考试题及答案
2017高数B期末考试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 已知函数f(x)=x^2+3x-4，求f(-4)的值。
A. 0B. 1C. -1D. -3答案：B2. 计算定积分∫(0,1) x^2 dx的结果。
A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2答案：B3. 求解微分方程dy/dx = 2x的通解。
A. y = x^2 + CB. y = 2x + CC. y = x^2 + 2x + CD. y = 2x^2 + C答案：A4. 判断函数f(x)=|x|在x=0处的连续性。
A. 连续B. 间断C. 可导D. 不可导5. 计算二重积分∬(D) x*y dA，其中D是由x^2 + y^2 ≤ 1定义的圆盘。
A. π/4B. π/2C. πD. 2π答案：C6. 判断级数∑(n=1 to ∞) (-1)^n/n的收敛性。
A. 收敛B. 发散C. 条件收敛D. 绝对收敛答案：A二、填空题（每题4分，共20分）7. 函数f(x)=sin(x)的导数为______。
答案：cos(x)8. 曲线y=x^3在点(1,1)处的切线斜率为______。
答案：39. 函数y=ln(x)的不定积分为______。
答案：x*ln(x) - x + C10. 计算极限lim(x→0) (1/x - 1/tan(x))的值为______。
答案：1/211. 计算定积分∫(0,π/2) sin(x) dx的值为______。
三、解答题（每题10分，共50分）12. 求函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[0,2]上的极值点。
解：首先求导数f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0，解得x=0或x=2。
由于f''(x)=6x-6，当x=0时，f''(0)<0，为极大值点；当x=2时，f''(2)>0，为极小值点。
计算得极大值为f(0)=2，极小值为f(2)=-2。
大一高数B期末总复习题
cos x ( x x 1) sin x 2( x x 1) ( 2 x 1)
2
2
2
已知 (1)
y ln(1 x ) e
求 y
(2)
x 1) ( x 2 y sin 4 x x arcsin 3
2
2x
2
dy 4.隐函数求导：P 116.例3 （只求一阶导数： ） dy dx P 120.3( （只求 2) ） (期中试题) dx
x
1 1 x
2
x
1 x 1 x
2
2
已知 y sin x ( x x 1) , 求 y
2 2
解:
y (sin x )( x x 1) sin x[( x x 1) ]
2 2 2 2 2 2 2 2
cos x ( x x 1) sin x 2( x x 1) ( x x 1)
一、 求极限的方法 1. 代入法求极限
例2( P 57)： lim ( 2 x x 1) ( 2 x x 1) | x 2 13
x2 3 2 3 2
代入法！
lim (cos 2 x ) (cos 2 x ) |
x
3
3
x
4
0
4
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求由方程 y x ln y 所确定的隐函数 y y ( x ) 的导数 y . 解: 上式两端对 x 求导, 得
y ln y x
1 y
y 5
整理得
y
y ln y y x
大学高等教育学年学期高等数学B1期末复习题
《高等数学B1》期末复习题一、选择题1.若函数()f x 在某点0x 极限存在，则（ ）.A ．()f x 在0x 的函数值必存在且等于极限值B ．()f x 在0x 的函数值必存在，但不一定等于极限值C ．()f x 在0x 的函数值可以不存在D ．如果0()f x 存在则必等于极限值 2．若)(x f 在0x x =点处可导，则有（ ）.A ．)()()2(lim0'000x f h x f h x f h =-+→ B. )()()(lim 0'000x f h x f h x f h =--→C ．)()()(lim0'000x f h h x f x f h =--→ D. )()()(lim 0'000x f hh x f h x f h =--+→3．命题（I ）:)()(x g x f >是命题（II ）：)(')('x g x f >的（ ）.A ．必要但非充分条件 B.充分但非必要条件C ．充要条件 D.既非充分也非必要条件 4．若)(x f 是)(x g 的原函数，则（ ）.A.⎰+=C x g dx x f )()( B.⎰+=C x f dx x g )()( C.⎰+='C x g dx x g )()( D.⎰+='C x g dx x f )()(5．定积分定义∑⎰=→∆=ni i i bax f dx x f 1)(lim )(ξλ说明（ ）.A.],[b a 必须n 等分，i ξ是],[1i i x x -端点B.],[b a 可任意分法，i ξ必须是],[1i i x x -端点C.],[b a 可任意分法，0}m ax {→∆=i x λ，i ξ可在],[1i i x x -内任取D.],[b a 必须等分，0}m ax {→∆=i x λ，i ξ可在],[1i i x x -内任取6. 设 nn x 333.0= ，则=∞→n n x lim ( ) A. 1/3 B. C. D. 不存在 7. 当0→x 时，xx 1sin是（ ） A.x 的高阶无穷小量 B. x 的低阶无穷小量C.x 的同阶无穷小量D. 无穷小量，但阶数不确定8. 设函数x x x x f sin )23()(2+-=，则0)(='x f 在),0(π内根的个数为（ ） A ．0个 B. 至多1个 C. 2个 D. 至少3个 9. )(0x f '存在是函数)(x f 在点0x 取得极值的（ ）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件 10.=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰dx x dxd ba 2sin （ ） A.2sin x B. 2cos x C. 2cos 2x x D. 0 11．当0→x 时，与x tan 是等价无穷小的是 （ ）A ．x x -2B ．x cos 1-C ．x x sin 2+ D ．11-+x12．设函数)(x f 可导且下列各极限均存在，则下列各式不成立的是（ ）A.)0()0()(limf x f x f x '=-→ B.)()()2(lim 0a f ha f h a f h '=-+→C.)()()(lim0000x f x x x f x f x '=∆∆--→∆ D.)(2)()(lim 0000x f xx x f x x f x '=∆∆--∆+→∆13．下列函数在给定区间上满足罗尔定理的有（ ）A.xxey -= [0,1] B.32)1(1-x [0,2]C.652+-=x x y [2,3] D.⎩⎨⎧≥<+=5,15,1x x x y [0,5]14．如果⎰⎰=)()(x dg x df ，则下列各式不正确的是（ ）A.)()(x g x f =B.)()(x g x f '='C.)()(x dg x df =D.⎰⎰'='dx x g d dx x f d )()( 15．设⎰=ax tdt x F arcsin )( ， 则)1('F = ( )A.a C.2π D.2π-二、填空题1. 已知222lim 22x x ax bx x →++=--，则a =________，b =________.2．曲线x x f cos )(=上点)21,3(π处的切线方程__________. 3． 函数x ex f x2)(2-=在区间 上单调递增.4．若)(x f 连续，则⎰'))((dx x f ＝ .5．已知)(x f 在),(∞+-∞上连续，且2)0(=f ，且设⎰=2sin )()(x xdt t f x F ，则(0)F '= .6.=+∞→xx x sin lim=∞→nn n 2sinlim π=-→11sinln lim 1x x x 7.00,sin ,)(2>≤⎪⎩⎪⎨⎧+=x x xbx bx a x f 在0=x 连续，则常数a 与b 应满足怎样的关系8. =⎰→xx dt t t xx sin cos lim209. 设⎩⎨⎧==-tt e y e x 23，求三阶微商=33dx yd 10.=+∞→nn n n 2)1(lim __________。
高等数学B(一)2011-2012(A)
第 1 页 共 6 页上 海 海 事 大 学 试 卷2011 — 2012 学年第一学期期末考试《 高等数学B （一）》（A 卷） （本次考试不能使用计算器）班级 学号 姓名 总分 一、(本大题分4小题, 每小题2分, 共8分)1、下列极限中，极限值不为零的是 （ ）。
A 、22sin )1(lim x x x x +∞→B 、xxx 2tan lim 0→ C 、x x x ln lim 0+→ D 、)11(lim --++∞→n n n 2、设的值为xxx cos 22lim-→（ ）A 、1B 、1-C 、1±D 、不存在3、已知()•xx f x f f x =+---='→)21()31(lim,2)1(0则A 、10B 、10-C 、5D 、5-4、(sin )(1cos )2x a t t L L t y a t π=-⎧=⎨=-⎩已知曲线的参数方程为则在处的切线方程为＿A 、)22(+=-πa y x B 、)22(-=+πa y xC 、)22(-=-πa y x D 、)22(+=+πa y x--------------------------------------------------------------------------------------装订线------------------------------------------------------------------------------------第 2 页 共 6 页二、填空题（将正确的最简答案填在横线上） (本大题分4小题, 每小题3分, 共12分)1、=-++∞→3)12(lim x x x x ⎰=++______________________________________________)1(12dx xe x x•x 、3、⎰∞++122)1(1•dx x x = 4、⎰-=+224)sin sin (ππ••dx x x x三 计算题（必须有解题过程）(本大题共10小题，每题6分，共60分)1、(本小题6分)2)12(lim 2=+-++∞→b ax x x b a x ；使得，求2、(本小题6分)已知)(lim 1x f x →存在，且满足)(lim 21)1sin()(12x f x x x x f x →+--=，试求)(x f第 3 页 共 6 页3、(本小题6分)．，是连续函数，且设211)1()()(2)1()(-⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎰⎰x dt du u f x f x f xt ϕ 试讨论)(x ϕ的间断点及类型。
高等数学b1期末试题及答案
高等数学b1期末试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 下列函数中，哪一个是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = x答案：B2. 计算定积分∫(0,1) x^2 dx 的值。
A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2答案：A3. 以下哪个选项是洛必达法则的应用？A. 计算极限lim(x→0) (sin x)/xB. 计算定积分∫(0,π) sin x dxC. 计算导数 d/dx (x^3)D. 计算不定积分∫e^x dx答案：A4. 以下哪个选项是二阶导数？A. d^2y/dx^2B. dy/dxC. d^2y/dy^2D. d^2y/dxdy答案：A5. 以下哪个选项是泰勒公式的展开式？A. f(x) = f(a) + f'(a)(x-a)B. f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2!C. f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2D. f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^3/3!答案：B6. 以下哪个选项是傅里叶级数的组成部分？A. 正弦函数B. 余弦函数C. 指数函数D. 所有选项答案：D二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数 f(x) = x^3 - 6x 在 x = 2 处的导数是 _______。
答案：-62. 微分方程 y'' - 2y' + y = 0 的通解是 _______。
答案：y = C1 * e^x + C2 * e^(-x)3. 计算极限lim(x→0) (e^x - 1)/x 的值是 _______。
答案：14. 函数 y = sin x 的不定积分是 _______。
高等数学教材b1试题及答案
高等数学教材b1试题及答案题目一：1. 计算下列极限：a) $\lim_{{n \to \infty}}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$b) $\lim_{{x \to \infty}} \frac{{\ln x}}{{x}}$c) $\lim_{{x \to 0}} \frac{{\sin x}}{{x}}$解答一：a) 根据极限的定义，当$n$趋向无穷时，$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n = e$b) 应用洛必达法则，得到$\lim_{{x \to \infty}} \frac{{\ln x}}{{x}} = \lim_{{x \to \infty}} \frac{{\frac{1}{x}}}{{1}} = 0$c) 根据极限的定义，得到$\lim_{{x \to 0}} \frac{{\sin x}}{{x}} = 1$题目二：2. 求函数$f(x) = \frac{{x^2-1}}{{x-1}}$的极限值。
解答二：当$x$趋向1时，$f(x)$的分母趋近于0，但分子并没有发散，所以我们可以尝试进行化简：$f(x) = \frac{{(x-1)(x+1)}}{{x-1}}$化简后得到：$f(x) = x + 1$所以，当$x$趋向1时，$f(x)$的极限值为2。
题目三：3. 求函数$g(x) = \lim_{{n \to \infty}} \left(1+\frac{{x^2}}{{n}}\right)^n$的极限值。
解答三：由题意可得：$g(x) = \lim_{{n \to \infty}} \left(1+\frac{{x^2}}{{n}} \right)^n$观察到这是一个形如$\left(1+\frac{a}{n}\right)^n$的极限，可以利用题目一中的结论：$g(x) = \lim_{{n \to \infty}} \left(1+\frac{{x^2}}{{n}} \right)^n =e^{x^2}$所以，函数$g(x)$的极限值为$e^{x^2}$。
高等数学B1答案(含综合练习)
高等数学〔B 〕〔1〕作业答案高等数学〔B 〕〔1〕作业1初等数学知识一、名词解释：邻域——设δ和a 是两个实数，且0>δ，满足不等式δ<-a x 的实数x 的全体，称为点a 的δ邻域。
绝对值——数轴上表示数a 的点到原点之间的距离称为数a 的绝对值。
记为a 。
区间——数轴上的一段实数。
分为开区间、闭区间、半开半闭区间、无穷区间。
数轴——规定了原点、正方向和长度单位的直线。
实数——有理数和无理数统称为实数。
二、填空题 1．绝对值的性质有0≥a 、b a ab =、)0(≠=b ba b a 、a a a ≤≤-、b a b a +≤+、b a b a -≥-。
2．开区间的表示有),(b a 、。
3．闭区间的表示有][b a ，、。
4．无穷大的记号为∞。
5．)(∞+-∞，表示全体实数，或记为+∞<<∞-x 。
6．)(b ，-∞表示小于b 的实数，或记为b x <<∞-。
7．)(∞+，a 表示大于a 的实数，或记为+∞<<x a 。
8．去心邻域是指)()(εε+-a a a a ，， 的全体。
用数轴表示即为9.MANZU9．满足不等式112-<≤-x 的数x 用区间可表示为]211(--，。
三、答复题 1．答：〔1〕开展符号意识，实现从具体数学的运算到抽象符号运算的转变。
〔2〕培养严密的思维能力，实现从具体描述到严格证明的转变。
〔3〕培养抽象思维能力，实现从具体数学到概念化数学的转变。
〔4〕树立开展变化意识，实现从常量数学到变量数学的转变。
2．答：包括整数与分数。
3．答：不对，可能有无理数。
4．答：等价于]51(，。
5．答：)2321(，。
四、计算题1．解：12020102010)2)(1(<>⇒⎩⎨⎧<-<-⎩⎨⎧>->-⇒>--x x x x x x x x 或或。
),2()1,(+∞-∞∴ 解集为。
高数b大一考试题及答案
高数b大一考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 函数f(x)=x^2+3x+2的导数为：A. 2x+3B. 2x+6C. x^2+3D. x^2+3x答案：A2. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值为：A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B3. 以下哪个函数是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = x答案：B4. 以下哪个级数是收敛的？A. 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...B. 1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + ...C. 1 + 2 + 3 + 4 + ...D. 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...答案：B5. 以下哪个积分是正确的？A. ∫x^2 dx = x^3/3 + CB. ∫x^2 dx = x^3 + CC. ∫x^2 dx = 2x^3 + CD. ∫x^2 dx = 3x^3 + C答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数f(x)=e^x的不定积分是______。
答案：e^x + C2. 函数f(x)=cos(x)的不定积分是______。
答案：sin(x) + C3. 函数f(x)=ln(x)的不定积分是______。
答案：x*ln(x) - x + C4. 函数f(x)=x^3的不定积分是______。
答案：x^4/4 + C5. 函数f(x)=1/x的不定积分是______。
答案：ln|x| + C三、计算题（每题10分，共30分）1. 计算极限lim(x→∞) (x^2 - 3x + 2) / (x^3 + 5x^2 - 6x)。
答案：02. 计算定积分∫(0 to 1) x^2 dx。
答案：1/33. 计算定积分∫(-1 to 1) (x^3 - 2x^2 + 3x - 4) dx。
答案：-4四、证明题（每题10分，共20分）1. 证明函数f(x)=x^3在区间(-∞, +∞)上是单调递增的。
高等数学BII复习题(附答案版)
高数 BII 复习题
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高数 BII 复习题
3
U n >0
Vn >0 如果 lim
Un 0 则 U n 与 Vn 具有相同的敛散 其中， n V n 1 n 1 n
性。 比值判别法： U n
n 1
U lim n 1 n U n
又 n1 n2 2 4 (2) (7) 3 (2) 0 直线上一点（-2，-7,3）带入平面中不成立，故其关系为平行。
lim 4、设 f x ( x 0 , y 0 ) 存在，则 x
0
f ( x0 x , y0 ) f ( x0 x , y0 ) =（ x
n 0
复习例题如下
高数 BII 复习题
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高数 BII 复习题
4
一、单项选择题 1、由两条抛物线 y 2 x 和 y x 2 所围成的图形的面积为（
2 A、 0 ( x x )dx 1 2 B、 0 (x x )dx 1 2 C、 -1 (x x )dx 1
二、二重积分与曲线积分： ① 1dxdy D 的面积
D
② L1ds L 的长度
高数 BII 复习题
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高数 BII 复习题
2
③格林公式： L P( x, y )dx Q ( x, y )dy (
D
Q P )dxdy 其中 L 为闭曲线且取正 x y
2
解：积分区域前半部分由 y=1 和 x=2y 围成，后半部分有 1≤y≤3 和 x=3-y 围
成，总的区域面积 如图三角形部分，故其积分为 0 dx x ( x , y )dy
高等数学B1试题
高等数学B1（教改班）复习题解答一．单项选择题1.B2.B3.B D B4.D5.C 解 ()()()0lim 1sin lim 1sin 1sin b bddxx x x a x a x a x +→→+=++()0sin limlim 1sin x ab xbabxx x a x ee→→=+==6.D 解limlim 1xx x e x++→→==-7.D 解 .A 令ht 1=，+→⇒+∞→0t h ，有)()()(lima f ta f t a f t +→'=-++但不能保证)(a f -'存在，从而不能保证)(a f '存在；.B 设1()0x a f x x a≠⎧=⎨=⎩ ，有hh a f h a f h )()2(lim+-+→011lim=-=→hh但)(x f 在a x =点不连续，从而不可导。
.C 虽然h h a f h a f h 2)()(lim 0--+→存在，但不能保证是两存在极限的和。
h h a f h a f h 2)()(lim--+→ha f h a f h )()(lim(210-+=→))()(limha f h a f h ---+→如Ｂ反例01111limlimlimh h h hhh→→→-=-两极限都不存在.D 0()()()()limlim()h h f a f a h f a h f a f a hh→→----'==-8.C 解 令1x t -=，则211(1)1(1)1()1limlimlim12122x x t f x f x f t x x t→→→--===--⇒()lim1t f t t→= ⇒(0)0f =()(0)()(0)limlim1t t f t f f t f tt→→-'=== 9. 解 （ C ）0()limlim0x x y dy o x xx∆→∆→∆-∆==∆∆（ B ）0()1f x '= ⇒ 000()limlimlim1x x x y dy o x dy xxx∆→∆→∆→∆+∆===∆∆∆10.D 解 由题设知曲线()y f x =单减上凹，且0x ∆>，则0dy y <∆< 11.B 解 ()sin cos sin cos f x x x x x x x '=+-=，()cos sin f x x x x ''=-(0)0f '=，()02f π'=；(0)10f ''=>，()022f ππ''=-<12.D 1lim arctan 2x x e x π→+∞⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦⇒ 2y π=（水平渐近线） 1lim arctan 0x x e x →-∞⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦ ⇒ 0y =（水平渐近线）1lim arctan x x e x →⎡⎤+=∞⎢⎥⎣⎦⇒ 0x =（铅直渐近线）1arctan lim 0xx exa x→∞+==（无斜渐近线）13.C二．填空题 1. =z 1x y+ 2. 1/23. 解 22(sin )lim1sin x f x x→= ⇒ 2lim (sin )0x f x →= ⇒ (0)0f =2222(sin )(0sin )(0)limlim(0)1sin sin x x f x f x f f xx→→+-'===4. 解 由()()f x f x -=-，得0)0(=f ，则2222()(0)(0)(0)limlim(0)x x f x f x f F f xx→→+-'===令()0()(0)0f x x F x xf x ⎧≠⎪=⎨⎪'=⎩，则()F x 在0=x 连续5. ()n y=1(1)!(1)()nn na n axb ---+解 ay a x b'=+，22()ay ax b ''=-+，3323312(1)(2)(1)()()aay ax b ax b ⋅'''=--=-++，，()1(1)!(1)()nn n na n yax b --=-+6. 解 )(x f 在0x =可导必连续，则(0)lim 1axx f e--→==，2(0)lim (1)x f b x b ++→=-= ⇒ 1b =又0(0)1axx f e ===，则由可导的充要条件得 01(0)lim lim axx x eax f a xx---→→-'===，211(0)lim 0x x f x++→--== ⇒ 0a =7. 解 由函数连续三条件得)0()0(f F =，)0()(lim 0f x f x =-→，2lim ()x ax b b+→+= ⇒ (0)b f =由函数可导的充要条件得()(0)(0)lim (0)0x f x f F f x --→-''==-22(0)(0)lim lim 00x x ax b f ax F x x+++→→+-'===- ⇒ a 任意8. 解 由22330y x a '=-=得22x a =，切点为(,0)a ，代入方程得3203a a a b =-+ ⇒ 32b a =- ⇒ 264b a =9.⎰=x x fn d )()(()()n x Cϕ+解 ()()f x x ϕ'=，()()f x x ϕ'''=， ，()(1)()()n n f x x ϕ+=()(1)()()d ()d ()n n n fx x x x x C ϕϕ+==+⎰⎰10. ()xf x dx '=⎰ 1(ln 1)x xx x x C ++-+()()()()()()xf x dx xdf x xf x f x dx xf x F x C '==-=-+⎰⎰⎰1()(ln 1)xxx xx x x C xx x C+'=-+=+-+三．计算题1．222222221cos sin cos lim ()lim ()sin sin x x x x x xxx x x→→--=22401sin 24limx x xx→-=301sin 44lim2x x xx→-=2001cos 4sin 44lim lim 633x x x x x x →→-=== 2．2221111lim ()limlim1(1)xxxxx x x x x x e x x eexx ex----→→→++-++-+-==--1223limlim222xxx x x ee x--→→+-+===3．333arcsin arcsin arcsin limlimlimln (1sin )sin x x x x x x x x xx xx→→→---==+22011()12limlimlim336x x x x xx→→→--====4．lim lim 1)1)1)n n n x →∞→∞⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦ 解2/1k n=222111(1)2nnk k k n n knnn==+==∑∑，故222k kk≤≤ ⇒11n n n x ++≤≤1lim4n →∞=，1lim4n →∞=⇒ 1lim 4n n x →∞=5．若lim ()n f x →∞存在，且2()(12lim ()n f x n f x →∞=-+，求()f x解 设lim ()n f x A →∞=，则2lim (12n A n A →∞=-+22222211lim (1lim sin()222n n x nx A n nx nn →∞→∞=--===22()(1f x n x =-+6. 2()a x x y f x a x =++，求dy解 12[ln (ln 1)]a x x dy f f ax a a x x dx -'=⋅⋅+++ 7. ln (ln )y x x y =，求y '解 ln ln ln ln y x x y =，ln ln ln ln ln x y x y y y y xy y''+=+ln ln ln ln (ln ln ln )ln (ln ln )ln y y y y x y y x y x xx y x y x y y y--'==--8．设()ln x f e x =，求[]{}')(x f f解 令x e t =，则()ln ln f t t =，1()ln f t t t'=[]{}[]()()()f f x f f x f x '''=111ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln x x x xx x x x==9．设21()1x y f x -=+，1()ln 3f x x '=，求d y d x解 设211x u x -=+，则()y f u =，1()ln 3f u u '=2221ln 3121()()()ln13(1)(1)1dy x u x f u u f u dx x x x x --''''====++++10．x xxedx e e -+⎰解 22222111ln(1)1212xxxxxxxxeedx dx deeC e eee-===+++++⎰⎰⎰11．⎰解x-==-⎰⎰⎰1arcsin arccosxxe C Ce-=-+=+12．32(1)x f x dx ''+⎰解 322222211(1)(1)(1)(1)22x f x dx x f x d x x df x '''''+=++=+⎰⎰⎰222211(1)(1)(1)22x f x f x d x ''=+-++⎰22211(1)(1)22x f x f x C'=+-++13．(sin cos )x e x x dx +⎰解 (sin cos )(sin cos )x x e x x dx x x de +=+⎰⎰(sin cos )(cos sin )xxe x x e x x dx =+--⎰(sin cos )(cos sin )x xe x x x x de=+--⎰(sin cos )(cos sin )(sin cos )xxxe x x e x x e x x dx=+---+⎰sin xe x C+移项14．设()f x 满足()ax f ax b axe '+=，且(1)0f =，求()f x解 令t ax b =+，则()()t b f t t b e -'=-()()()(1)t bt bt bt bf t t b edt t b eedt t b eC ----=-=--=--+⎰⎰由(1)0f =，得1b C be -=，故1()(1)t b b f t t b e be --=--+15．设222(1)ln2xf x x -=-，且[]()ln f x x ϕ=，求()x dx ϕ⎰解 令21t x =-，1()ln1t f t t +=-，则[]()1()lnln ()1x f x x x ϕϕϕ+==- ⇒ 1()1x x x ϕ+=-12()(1)2ln 111x x dx dx dx x x C x x ϕ+==+=+-+--⎰⎰⎰四．应用题1．解 将r e θ=化为参数方程cos sin x e y e θθθθ⎧=⎨=⎩，则 (sin cos )sin cos (cos sin )cos sin y dy e dxx e θθθθθθθθθθθθ'++==='-- ⇒ 21dy k dxπθ===-切点为 20cos2x e ππ==，220sin2y e e πππ==，故切线方程为2y x e π+=2. 解 22222()ln 2x x x x ax b xax x ====⎧+=⎪⎨=-⎪⎩ ⇒ 4ln 242a b a +=⎧⎨=-⎩ ⇒12ln 22a b ⎧=-⎪⎨⎪=+⎩3. 解 ()1,-∞-下凹，()1,1-上凹，()+∞,1下凹，拐点()()2ln ,1,2ln ,1-4. 解 1()n f x nx --'=-，切线的斜率(1)f n '=-，切线方程为1(1)y n x -=--当n x ξ=时，0y =代入得11n nξ=+，则1()(1)n n f nξ-=+11lim ()lim (1)nn n n f enξ--→∞→∞=+=5. 解 由(1)0f '=，(2)0f '=得210l402a b a b ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩ ⇒ 1432a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 故213()ln 42f x x x x =-+，131()22f x x x'=-+，211()2f x x''=-由 ()1111022f ''=-=-< 得极大值 5(1)4f =-由 111(2)0244f ''=-=> 得极小值 (2)ln 22f =-6. 解 设曲线为32y ax bx cx d =+++，则(1)2(0)0(1)0(0)0y y y y ⎧=⎪=⎪⎨'=⎪⎪''=⎩⇒ 2032020a b c d d a b c b +++=⎧⎪=⎪⎨++=⎪⎪=⎩ ⇒ 1030a b c d =-⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩ 故曲线方程为 x x y 33+-=7. 解（1）10005400L Qp C Q C =-=-210014002400Q Q =-+-获利条件：2100140024000L Q Q =-+-> ⇒ 212Q <<（2）令20014000L Q '=-+=，得唯一驻点7Q =，且2000L ''=-<，故2max 7(7)(10014002400)2500Q L L Q Q ===-+-=（元）8. 解 设需求关系为 Q a bp =+，则1005120 4.8a ba b=+⎧⎨=+⎩ ⇒ 600100a b =⎧⎨=-⎩ ⇒ 600100Q p =-239001001800L pQ Q p p =-=--，900200L p'=-令0L '=，得唯一驻点 4.5p =，且2000L ''=-<，故max (4.5)225L L ==元五．证明题1. 证法1 )(x f 在[]b a ,上连续，必有 ()m f x M ≤≤，则()pm pf c pM≤≤，()qm qf d qM ≤≤ ()()()()p q m pf c qf d p q M+≤+≤+ ⇒ ()()p f c q f d m M p q+≤≤+由介质定理，至少存在一点(,)a b ξ∈，使得)()()(ξf qp d qf c pf =++证法2 令)()()()()(d qf c pf x f q p x F --+=，显然()F x 在[]b a ,上连续，且[])()()()()()()(d f c f q d qf c pf c f q p c F -=--+= [])()()()()()()(c f d f p d qf c pf d f q p d F -=--+=当)()(d f c f =时，取c =ξ或d =ξ，命题成立；当)()(d f c f ≠时，[]0)()()()(2<--=d f c f pq d F c F ，由零点定理有0)(=ξF ⇒)()()()(ξf q p d qf c pf +=+，),(),(b a d c ⊂∈ξ2．证明当0x >时，(1)x x e ξ+=，11x ξ<<+ 证 即证l n (1)1xxξ+=，设()l n f t t =，显然()f t 在[1,1]x +上满足拉格朗日定理条件，必有ln(1)ln 1ln(1)111x x x xξ+-+==+-，11x ξ<<+3. 证法1 即证22()()()()2()f b f a f x f x b axg x ''-=='-设2()g x x =，则)(x f ，)(x g 在[]b a ,上可导，且()0g x '≠，由柯西定理在(,)a b 内至少存在一点x ，使得222()()()()()2f b f a f x f x b ax x''-=='-，(,)x a b ∈证法2 即证 []222()()()()0x f b f a b a f x '---=设[]222()()()()()F x x f b f a b a f x =---，显然()F x 在[]b a ,上可导，且22()()()()F a F b a f b b f a ==-，由罗尔定理必有()0F x '=，(,)x a b ∈，即[]222()()()()x f b f a b a f x '-=-4. 证 即证()()1()()f f b f f ξξξξη'+=-'' ⇒[]()1()()f b f f ξξξη'=-''由于)(x f 在[],a b 上连续，且()0f a =，()2f b =，由介质定理必有()1f c =，a c b<<。
高等数学B1
(二)主要定理 1.闭区间上连续函数的性质定理：
(1)零点定理;(2)有界性定理;(3)介值定理。 2.微分中值定理：
(1)罗尔定理;(2)拉格朗日定理 ;(3)柯西定理 。 3.函数单调性与凹凸性判定定理。 4.函数拐点存在的必要条件 。
14
5.函数极值存在的充分条件一、二和必要条件。 6.定积分性质定理：
'
(
x0
)存在，则
lim
h0
f
( x0
h)
h
f
( x0
h)
。
3sin x x2 sin 1
(2)(4分)lim
x 。
x０ (1 sin x)x
x x et2 dt
(3)(8分)求极限 lim
0
x0 x tan 2x ln(1 x) 19
3、(2006级期末)： 1)计算(每题5分):
高等数学B1
期末考试复习辅导
一、考试说明 二、主要试题类型 三、主要知识系统 四、重要知识考点 五、考题分类选讲
1
二、主要试题类型 1、选择题 2、填空题(选择与填空题不超过20%） 3、计算题(重点) 4、证明题 5、作图题(一般不考)
2
三、主要知识系统
基本初等函数
复合函数
函数 的定义
初等函数 反函数 隐函数
h0
2)计算(每题７分):
h
f ' (x0 )
(1) lim ３x-2
x１ x 1
x
( , (2) lim
x0
x et2 dt)2
0
x te2t2 dt
,
(3) lim(tanx x)arcsinx
0
2020-2021大学《高等代数》期末课程考试试卷B1(含答案)
2020-2021《高等代数》期末课程考试试卷B1专业： 考试日期： 所需时间：120分钟 总分：100分 闭卷一、选择题（5分×5）1设A 为型矩阵，B 为型矩阵，E 为m 阶单位矩阵，若AB=E ，则（ ）AA 、秩r(A)=m, 秩r(B)=mB 、秩r(A)=m, 秩r(B)=nC 、秩r(A)=n, 秩r(B)=mD 、秩r(A)=n, 秩r(B)=n2设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是（A ）.（A ） 122331,,αααααα---； （B ） 122331,,αααααα+++； （C ） 1223312,2,2αααααα---； （D ） 1223312,2,2αααααα+++.3线性方程组Ax b =的系数矩阵式45⨯矩阵，且A 的行向量线性无关，则错误的命题是（ D ）.(A) 齐次方程组0TA x =只有零解； （B ）齐次方程组0T A Ax =必有非零解； (C) 对任意的b ，方程组Ax b =必有无穷多解； (D) 对任意的b ，方程组TA x b =必有唯一解.4 设102011101A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，矩阵B 满足2AB A B E =--，则()B E -=.B（A ）17；（B ）97-；（C ）97；（D ）1-.5 设,A B 是满足0AB =的任意两个非零矩阵，则（ A ）. （A ）A 的列向量组线性相关，B 的行向量组必线性相关； （B ）A 的列向量组线性相关，B 的列向量组必线性相关； （C ）A 的行向量组线性相关，B 的行向量组必线性相关； （D ）A 的行向量组线性相关，B 的行向量组必线性相关.二、填空题 （5分×5）6 设A 为3阶矩阵，2A =-，把A 按行分块为123A A A A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则行列式312123___.A A A A -= ——67设1231212011311042025kA ⎛⎫⎪- ⎪⎪=⎪- ⎪ ⎪⎝⎭，且A 得秩为3，k =___1___.8 设()1,,(1,,,)Ti i in a a i r r n α==<是n 维实向量，且1,,r αα线性无关，已知()1,,T n b b β=是线性方程组11110n r rn a a x a a ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭的非零解，判断向量组1,,,r ααβ的线性相关性.___________【解】根据定义来判断.设()1,,,0r s ααβ=，这里()11,,Tr s s s +=.由题意，0T i αβ=，则0T i βα=.由()1,,,0r s ααβ=得()1110T r r r s s s βααβ++++=，即()1110T T T r r r s s s βαβαββ++++=.所以10T r s ββ+=，10r s +=.又因为1,,r αα线性无关，10r s s ===.所以向量组1,,,r ααβ的线性无相关.院系：—————— 专业班级：——————— 姓名：——————— 学号：——————装 订 线9 判断二次型()222123123121323,,55484f x x x x x x x x x x x x =+++--是否正定_______.【解】f 所对应的矩阵为524212425-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭，它的顺序主子式5245250,0,2120.21425->>->--所以 f 正定.10已知平面上三条不同直线的方程分别为230,230,ax by c bx cy a ++=++=230,cx ay b ++=试证明这三条直线交于一点的充要条件是0a b c ++=.三、解答题. （10分×5）11设n 元线性方程组Ax b =，其中2222212121212a a a a a A a a a a ⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭，12n x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，100x b ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．（1） 证明行列式(1)nA n a =+；（2） 当a 为何值时，该方程组有唯一解，并求1x ； （3） 当a 为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解．【解】（1） 方法一：数学归纳法证明(1)nn D n a =+．1k =时，12D a =，假设1k n ≤-时，(1)kk D n a =+．则当k n =时，21221222(1)(1).n n n n n n D aD a D ana a n a n a ----=-=--=+方法二：递推法．由2122n n n D aD a D --=-，得到211212222321()()().n n n n n n n nn n D aD aD a D a D aD a D aD aD aD a ---------=-=-=-==-=所以，()122221212(2)(1)(1).n n n n n n nn n n nD a a a aD a a D n a aD n a aD n a -----=++=+==-+=-+=+（2） 当0a ≠时，0n D ≠，方程组有唯一解．11(1)(1)n nna nx n a n a-==++． （3） 当0a =时，()1r A n =-，(|)1r A b n =-，所以方程组有无穷多解，通解为01100000x k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．12246123__4812n A A -⎛⎫⎪=-= ⎪ ⎪-⎝⎭已知，则.【解】()()()()212123422212312381238444(8)n n A A A A A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-1，故111，所以。
高数B1复习资料
(B)-1； (D)不存在.
xn 存在是数列 { xn } 有界的（
）
(A)必要而非充分条件； (C)充要条件 ；
(B)充分而非必要条件； (D)既非充分又非必要条件.
7、数列
2 3 4 5 ，，，， 的极限是( 3 4 5 6
(B)1； (D) 不存在
)
(A)0 ； n 1 (C) ； n2
A. f ( x)在点x0处连续 ; C. f ( x)在点x0处可微且df ( x0 ) adx
5、设 y f (sin x) ，则 dy (
A. f (sin x)dx ; B. f (cos x)dx ;
) ; C. f ( s i x n) c o s xdx
D. f (cos x) sin xdx
2 2 2
)。
9、已知曲线方程为： x3 y3 a3 ，则在 ( ( )。
2 3 2 3 2 3
2 2 a， a ) 处 的 切 线 方 程 为 ： 4 4
10 、 已 知 曲线 方 程为： x y a ， 则 在 ( (
2 2 a， a ) 处 的 法 线 方程 为 ： 4 4
1 11、曲线 y cos x 在 ( ， ) 处的切线方程为：( 3 2 1 12、曲线 y cos x 在 ( ， ) 处的法线方程为：( 3 2
1
3
x2
(2)、 y
x3 4 x3 x
x5 x 1 x3
(3)、 y
(4)、 y x 2 (2 x ) (5)、 y 3 ln x
2 x
(6)、 y x 2 cos x sin
2
(7)、 y x tan x 2 sec x (8)、 y
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《高等数学Bl 》期末复习题
一、选择题
1. 若函数/（X ）在某点兀（）极限存在，则（ ）・
A. /（%）在兀。
的函数值必存在且等于极限值
B. /（无）在兀的函数值必存在，但不一定等于极限值
C. /（尢）在勺的函数值可以不存在
D. 如果/（观）存在则必等于极限值 2. 若/（X ）在兀二兀。
点处可导，则有（
A. lin
/g+2〃)-/g )*g )
力T O 1
|im /(x 0-/z)-/(x 0) = /.(%J
力 一》0
1
lim /U o+A)-/(x ()-/O^.(Xo )
力T O
1
3. 命题(I) : f(x) > g(x)是命题(II)：
A. 必要但非充分条件 C.充要条件
B. 充分但非必要条件 D.既非充分也非必要条件
4. 若/（x ）是gCr ）的原函数,
5. 定积分定义p f(x)dx = Um)Ax z 说明(
).
/=]
A. ［a.h ］必须斤等分，&是［£_］,£ ］端点
B. ［a,b ］可任意分法，纟必须是［兀1，无］端点
C. ［a.b ］可任意分法，A = max{A.v z .） T O,纟可在［兀一心］内任取
B.
C.]加)”-叽八) "T O
1
D.
f(x)>g\x)的().
A. 打(x )6^ = g(x) + C
B. jg(x )6^ = /(x) + C
C. j g\x)dx = g(x) + C
D- j f\x)dx = g(x) + C
D.［a,b］必须等分，A = max{Ar z} 0 ,乙可在［兀一,x z］内任取
6. 设七=0.33…3 ,贝ijlimx =（
）
ll
\ __
J
U
-- V
/I —>©o
n
A. 1/3
B. 0.3
C. 0.34
D.不存在
7. 当兀一>0时，xsin 丄是（
）
x
A. x 的高阶无穷小量
B. x 的低阶无穷小量
C.
兀的同阶无穷小量 D.无穷小量，但阶数不确定
8.设函数/（x ） = （x 2-3x + 2）sinx,则f\x ） = 0在（0,龙）内根的个数为（ ）
A. 0个
B.至多1个
C. 2个
D.至少3个 9. 门兀°）存在是函数/（兀）在点％取得极值的（
A.充分条件
B.必要条件
C.充要条件
11-当兀T O 时，与tanx 是等价无穷小的是 （ ）
A. x 2 -x
B. l-cosx
C. x 2 +sinx 设函数/（兀）可导且下列各极限均存在，则下列各式不成立的是（ ）
13.
下列函数在给定区间上满足罗尔定理
的有（ ）
）
D.既非充分也非必要条件
C.lim 心-心心)=八心)D .nm 5 + 心)- /(兀。
- Ax-) Ar->0 ▲ ▲ •右 A. sin x 2
B. cosx 2
C. 2xcosx 2
D.O
12.
A.lim /。
)— /®) =/'(0)
兀TO
B.护坦上型”）
Ax Ar->0 2 Ar
—f （x o ）
A. y = xe^x
[0,1]
B. .
1
[0,2]
Vu-D 2
C. y —
— 5x + 6 [2,3] D. y =
x 4-1, x < 5 l,x > 5
[0,5]
b 10.
14.如果J df(x) = ^dg(x),则下列各式不正确的是（
A. /(x) = g(x)
C.df(x) = dg(x)
D.dj f\x)dx = cl^ g\x)dx
15.设F(x) = J arcsintdt ,
则F(l)=( )
X
二、填空题
F +处 + /? c … ,
1-己知hm — --------------- = 2,则a 二 ___________ , b= ________ .
^2 X
2
-X _2
rr 1
2. 曲线/(%) = cosx 上点(一,一)处的切线方程 ____________ ・
3 2 3. 函数.f (切=穴一2兀在区|'可 ___________ 上单调递增. 4. 若/(兀)连续，则(j f(x)dxY = ____________ .
5 .已知/(%)在(一oo,+ oo)上连续，且/(0) = 2 ,且设F(x) =「f ⑴山,则
Jsin x
F(0)= ___________ .
9•设::阶微商詩 ----------------- 10. lim(—^—)2" = ___________
” * n + J
11. ______________________________________ 函数/(x) = r
的刃阶导数/(n)(x)=
12. ------------------------------ 设/(x)= ,则x = l 是 f(x)的
x —3兀 + 2
A.Q
B.O
7t
c.T
71 D.——
2
limwsin —
〃T8
2/1
limln xsin -------
XTI x-1
7j(x) = <
a + fex 2,x <0
sin bx ------- ,x > 0 x
在兀=0连续, 则常数a 与b 应满足怎样的关系 _______________ 8. lim
XT O
xsin x
问断点。
(填具体类型)
13.曲线y = _______________ 的单调递增区间是 ______ ；凸区间是；拐点是
1.求极限lim
sinx-sin^z
e x -1
2.求极限lim ---------
XT° X
3.求极限lim亙壬五
XT1 X一1
4./(劝=亠 + ¥，求f(0)和f(2).
5-x 5
5.求由方程y = l + JtR所确定的隐函数的2阶导数耳dx2
6.求y = arcsin Vl -x2的微分
7.求f ----- ------- dx.
1 x
2 +5x^-6
8.计算定积分J3\x2-2x-?\dx
10.臥吨+厂
XT-8 Ind+ 2”)
11. lim— -----------
go x ln(l + x)
三、计算题
1 2
7?2+1 + 7?2+2 ++ —,求lim x n
n + n” TOO
设兀“12
.
14. 设 y = y(x)由方程x- + arctan y = 0 所确定，求 y'
15.
26. 设连续函数/(兀)满足f(x-t)dt = e~2x -1,求定积分^ f(x)dx. 27. 计算定积分^x 2^cr-x 2dx 28. 计算广义积分Ce x cos 皿
J —OO
四、综合题
1. 某工厂每批生产某商品％台的费用为C(x) = 5x + 200 (万元)，得到的收入为
25.计算 j arcsin
16. dx
计算不定积分匚+牡+ 3
17.
dx
19.已知函数 f(x) = x(x-l)(x-2)• • • (x -1000),求广(0)
20.求 f(x) = «
1 sin ------
x +1
0, sin x
9
X <-1
x = 0 的间断点，并指出它们的类型. 0<|x|<l
X > 1
21.已知丿=JxlnxJl-sin 工,求心
22.己知y = >Jx-a 与丿=呢"在兀=1点相切，求a ，b. 23•求极限 lim esc 2 x-
XT O
/?（%） = !Ox-0.0lx2（万元）。
问每批生产多少台，才能使利润最大?
2.若函数/⑴在闭区间［0,1］上连续，证明：長/（sin兀）么寸汀（cos兀皿；
3.设曲线y = ax2（a>09x>0）与y = 1 —兀？相交于点A,过坐标原点O与点A的直线与曲线y = ax2围成一个平面图形.问：a为何值时该图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积最大？
4.证明：当x # 0时，有不等式e x > 1 + x成立。
5.设由直线y = 与曲线y = x2所围成图形的面积为S「它们与直线x = l所围成图形的而积为S2,并且0 VQV1,试确定G的值，使得达到最小，并求出最小值。