抛物线的定义及其标准方程,很好的一个ppt课件
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3.3.1抛物线及其标准方程(PPT)课件(人教版)
1．抛物线 y＝41x2 的准线方程是(
)
A．y＝－1 B．y＝－2
C．x＝－1 D．x＝－2
A 解析：因为 y＝41x2⇔x2＝4y，所以抛物线的准线方程是 y＝
－1.
2．顶点在原点，焦点是 F(0，3)的抛物线标准方程是( ) A．y2＝12x B．x2＝12y C．y2＝112x D．x2＝112y
解： (1)由于点 M(－6，6)在第二象限， 所以过点 M 的抛物线开口向左或开口向上． 若抛物线开口向左，焦点在 x 轴上，设其方程为 y2＝－2px(p>0)． 将点 M(－6，6)代入，可得 36＝－2p×(－6)，所以 p＝3. 所以抛物线的方程为 y2＝－6x.
若抛物线开口向上，焦点在 y 轴上，设其方程为 x2＝2py(p>0)． 将点 M(－6，6)代入，可得 36＝2p×6，所以 p＝3， 所以抛物线的方程为 x2＝6y. 综上所述，抛物线的标准方程为 y2＝－6x 或 x2＝6y.
3．已知动点 P(x，y)满足 （x－1）2＋（y－2）2＝|3x＋45y－10|， 则点 P 的轨迹是( )
A．直线 B．圆 C．椭圆 D．抛物线 D 解析：由题意知，动点 P 到定点(1，2)和定直线 3x＋4y－10 ＝0 的距离相等，又点(1，2)不在直线 3x＋4y－10＝0 上，所以点 P 的轨迹是抛物线．
1．已知抛物线 y2＝4x 的焦点是 F，点 P 是抛物线上的动点， 又有点 A(3，4)，则|PA|＋|PF|的最小值为________．
2 5 解析：由题意可知点 A(3，4)在抛物线的外部． 因为|PA|＋|PF|的最小值即为 A，F 两点间的距离，F(1，0)， 所以|PA|＋|PF|≥|AF|＝ 42＋22＝2 5， 即|PA|＋|PF|的最小值为 2 5.
《抛物线及其标准方程》教学课件PPT
x= 2
p F (0, )
2 y=- p
2
F (0, -
p )
2
p y=
2
抛物线的标准方程有何特征？
1、左边是二次项且系数是1，右边是一次项， 无常数项
2、一次项变量决定了焦点位置，一次项系 数符号决定了开口方向。
1 3、焦点的非零坐标是一次项系数的 4
二次函数 y ax2 (a 0) 的图像为什么是抛物线？
不能作为二次函数的图象来研究了．今天， 我们突破函数研究中这个限制，从更一般
意义上来研究抛物线．
思考：
平面内与一个定点F的距离和
一条定直线l的距离的比是常数e
的轨迹，当0＜e＜1时是椭圆
（ P47 例6），当e＞1时是双曲
线（ P59 例5），那么当e=1时，
它又是什么曲线？
抛物线的形成.gsp
一、定义
立直角坐标系（如下图所示），则定点F(0, 0) ，L 的方程
为x p
设动点 M (x, y)，由抛物线定义得
x2 y2 x p
y p 2
2
化简得： 2 px ( p 0)
二、标准方程的推导
y
解法三：以过F且垂直于 l 的直
M(x,y) 线为x轴,垂足为K.以F,K的中点
Ko F
O为坐标原点建立直角坐标系xoy.
焦点的坐标是 (2.88,0)
通过本节课的学习，你有什么收 获？
课堂小结： 1、抛物线的定义； 2、抛物线的标准方程及四种形式； 3、抛物线及其标准方程的运用。
作业：P73 A组4、7、8题
（1）y2 = 20x （3）2y2 +5x =0
（2）x2= 1 y 2
（4）x2 +8y =0
p F (0, )
2 y=- p
2
F (0, -
p )
2
p y=
2
抛物线的标准方程有何特征？
1、左边是二次项且系数是1，右边是一次项， 无常数项
2、一次项变量决定了焦点位置，一次项系 数符号决定了开口方向。
1 3、焦点的非零坐标是一次项系数的 4
二次函数 y ax2 (a 0) 的图像为什么是抛物线？
不能作为二次函数的图象来研究了．今天， 我们突破函数研究中这个限制，从更一般
意义上来研究抛物线．
思考：
平面内与一个定点F的距离和
一条定直线l的距离的比是常数e
的轨迹，当0＜e＜1时是椭圆
（ P47 例6），当e＞1时是双曲
线（ P59 例5），那么当e=1时，
它又是什么曲线？
抛物线的形成.gsp
一、定义
立直角坐标系（如下图所示），则定点F(0, 0) ，L 的方程
为x p
设动点 M (x, y)，由抛物线定义得
x2 y2 x p
y p 2
2
化简得： 2 px ( p 0)
二、标准方程的推导
y
解法三：以过F且垂直于 l 的直
M(x,y) 线为x轴,垂足为K.以F,K的中点
Ko F
O为坐标原点建立直角坐标系xoy.
焦点的坐标是 (2.88,0)
通过本节课的学习，你有什么收 获？
课堂小结： 1、抛物线的定义； 2、抛物线的标准方程及四种形式； 3、抛物线及其标准方程的运用。
作业：P73 A组4、7、8题
（1）y2 = 20x （3）2y2 +5x =0
（2）x2= 1 y 2
（4）x2 +8y =0
抛物线及其标准方程(共32张PPT)高中数学人教A版选择性必修第一册
(1)椭圆的离心率范围为0<e<1 ;(2) 双曲线的离心率的范围是e>1 ;(3)当e=1 时，它的轨迹是什么? 抛物线我们已经学习了圆、椭圆、双曲线三种圆锥曲线，今天我们类比椭圆、 双曲线的研究过程与方法，研究另一类圆锥曲线——抛物线.
情景导入
02抛物线及其标准方程 P A R T 0 N E
抛物线及其标准方程
,准线为
为F
抛物线及其标准方程 从上述过程可以看到，抛物线上任意一点的坐标(x,y)都是方程①的解，以方 程①的解为坐标的点(x,y)与抛物线的焦点 的距离和它到准线 的 距离相等，即以方程①的解为坐标的点都在抛物线上，我们把方程①叫做抛物线 的标准方程，它表示焦点在x轴正半轴上，焦点是 ,准线是 的抛物线 .
将点(一2,3)代入抛物线方程y 得
抛物线及其标准方程
∴满足条件的抛物线的标准方程为(2)直线x—y+2=0 与两坐标轴的交点为(一2,0),(0,2). 若抛物线的焦点为(一2,0),设其方程为y²=—2px(p>0).
抛物线及其标准方程
抛物线及其标准方程 在建立椭圆、双曲线的标准方程时，选择不同的坐标系我们得到了不同形 式的标准方程，抛物线的标准方程有哪些不同的形式?请探究之后填写下表. 图像 标准方程 焦点坐标 准线方程 y²=2px(p>0) F(2,0) x=-2 y²=-2px(p>0) F(-2,0) x=2 x²=2py(p>0) F(0,2) y=-2 x²=-2py(p>0) F(0,-2 y=2
抛物线及其标准方程
抛物线及其标准方程 求轨迹方程C P_ 建立直角坐标系?使方程形式足够简洁 !
设M(x,y) 是抛物线上一点，则M 到F的距离为则M到直线l的距离为所以上式两边平方，整理可得y²= 2px ①
情景导入
02抛物线及其标准方程 P A R T 0 N E
抛物线及其标准方程
,准线为
为F
抛物线及其标准方程 从上述过程可以看到，抛物线上任意一点的坐标(x,y)都是方程①的解，以方 程①的解为坐标的点(x,y)与抛物线的焦点 的距离和它到准线 的 距离相等，即以方程①的解为坐标的点都在抛物线上，我们把方程①叫做抛物线 的标准方程，它表示焦点在x轴正半轴上，焦点是 ,准线是 的抛物线 .
将点(一2,3)代入抛物线方程y 得
抛物线及其标准方程
∴满足条件的抛物线的标准方程为(2)直线x—y+2=0 与两坐标轴的交点为(一2,0),(0,2). 若抛物线的焦点为(一2,0),设其方程为y²=—2px(p>0).
抛物线及其标准方程
抛物线及其标准方程 在建立椭圆、双曲线的标准方程时，选择不同的坐标系我们得到了不同形 式的标准方程，抛物线的标准方程有哪些不同的形式?请探究之后填写下表. 图像 标准方程 焦点坐标 准线方程 y²=2px(p>0) F(2,0) x=-2 y²=-2px(p>0) F(-2,0) x=2 x²=2py(p>0) F(0,2) y=-2 x²=-2py(p>0) F(0,-2 y=2
抛物线及其标准方程
抛物线及其标准方程 求轨迹方程C P_ 建立直角坐标系?使方程形式足够简洁 !
设M(x,y) 是抛物线上一点，则M 到F的距离为则M到直线l的距离为所以上式两边平方，整理可得y²= 2px ①
3.3.1抛物线及其标准方程-课件(共26张PPT)
7
由图可知,当 ⊥ 时,|| + 最小,最小值为2.
7
即|| + ||的最小值为2 ,
此时P点纵坐标为2,代入2 = 2,得 = 2.
∴点P坐标为(2,2).
9.河上有抛物线型拱桥，当水面距拱桥顶5米时，水面宽为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露
出水面上的部分高0.75米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？
m2
设 P ( , m ) ，则点 M
2p
p
p
,m ，
2
因为焦点 F 2 , 0 ， FPM 是等边三角形，
m2 p
6
m2 27
2 p 2
.因此抛物线方程为
所以
，解得
p
3
p
p
( )2 m2 6
2 2
y2 6x .
（2）待定系数法．
若已知抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p 值即可，
若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论，
另外，焦点在 x 轴上的抛物线方程统一设成 y2＝ax (a ≠ 0) ，
焦点在 y 轴上的抛物线方程可统一设成 x2＝ay (a ≠ 0)．
跟踪训练
1.根据下列条件写出抛物线的标准方程：
5.过抛物线 y 2 2 px( p 0) 的焦点作直线交抛物线于 P( x1 ，y1 ) 、Q( x2 ，y2 ) 两点，若 x1 x2 3 p ，
则 PQ 等于（ A ）
A.4p
B.5p
C.6p
D.8p
6.与圆(x-2)2+y2=1外切,且与直线x+1=0相切的动圆圆心的轨迹方程是
由图可知,当 ⊥ 时,|| + 最小,最小值为2.
7
即|| + ||的最小值为2 ,
此时P点纵坐标为2,代入2 = 2,得 = 2.
∴点P坐标为(2,2).
9.河上有抛物线型拱桥，当水面距拱桥顶5米时，水面宽为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露
出水面上的部分高0.75米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？
m2
设 P ( , m ) ，则点 M
2p
p
p
,m ，
2
因为焦点 F 2 , 0 ， FPM 是等边三角形，
m2 p
6
m2 27
2 p 2
.因此抛物线方程为
所以
，解得
p
3
p
p
( )2 m2 6
2 2
y2 6x .
（2）待定系数法．
若已知抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p 值即可，
若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论，
另外，焦点在 x 轴上的抛物线方程统一设成 y2＝ax (a ≠ 0) ，
焦点在 y 轴上的抛物线方程可统一设成 x2＝ay (a ≠ 0)．
跟踪训练
1.根据下列条件写出抛物线的标准方程：
5.过抛物线 y 2 2 px( p 0) 的焦点作直线交抛物线于 P( x1 ，y1 ) 、Q( x2 ，y2 ) 两点，若 x1 x2 3 p ，
则 PQ 等于（ A ）
A.4p
B.5p
C.6p
D.8p
6.与圆(x-2)2+y2=1外切,且与直线x+1=0相切的动圆圆心的轨迹方程是
抛物线的定义与标准方程.ppt
y2=2px(p>0)
方程 y2 = 2px（p＞0）叫做抛物线的标 准方程。其中p为正常数,表示焦点在x轴 正半轴上.
焦点坐标是( p , 0) 准线: x p
2
2
P的几何意义是:
焦点到准线的距离
y
想一想? y
K
0
x
y2=2px（P>0）
方程是 什么?
x 0
x2 2 py( p 0)
例1、（1）已知抛物线的标准方程是y2 = 6x，
求它的焦点坐标和准线方程；
（2）已知抛物线的方程是y = －ax2， 求它的焦点坐标和准线方程；
（3）已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2）， 求它的标准方程。
例2 求以原点为顶点,坐标轴为对称轴,并且过
点A（-3，2）的抛物线的标准方程。
解 (1)当抛物线的焦点在y轴 的正半轴上时，把A（-3，2）
K 0F
x
L 1.建立坐标系 2.设动点坐标
3.列方程
4.化简,整理
以过F且垂直于L的直线为x
轴,垂足为K.以F,K的中点为
坐标原点建立直角坐标系.
设M(x,y), |FK|=P,则F ( p , 0)
准线L:
p x .
2
则
2
(x p )2 y2 | x p |
2
2
两边平方,整理得
抛
物
线
的
定莆
义 与
田 二 中
标 准
蔡 海 涛
方
程
思考：
与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是 常数e的点的轨迹是 椭圆? 双曲线?
(1) o<e<1,是椭圆 (2) e>1, 是双曲线
抛物线的定义及标准方程PPT共20页
1、根据下列条件写出抛物线的标准方程： （1）焦点是F（3,0）；
y2=12x （2）准线方程是x=－ 1 ；
4 y2=x
（3）焦点到准线的距离是2； y2=4x , y2=－4x , x2=4y , x2=－4y
已知抛物线的方程是x2 +4y=0，
求它的焦点坐标和准线方程. 解:
把 抛物线的方程x2 +4y=0化为标准方程，
x2 =-4y． 所以p=2,
焦点坐标是(0,-1),
准)y2 20x; F(5,0),x=-5 (2)x2 1 y;
2 (3)2y25x0;
(4)x28y0; F(0 , -2) , y=2 ;
1 . 选择题: (1) 准线方程为x=2的抛物线的标准方程是( B )
(A) y2 = - 4x
(B) y2 = - 8x
(C) y2 = 4x
(D) y2 = 8x
(2) 抛物线x2 +y=0 的焦点位于 ( C )
(A) x轴的负半轴上 (B) x轴的正半轴上 (C) y轴的负半轴上 (D) y轴的正半轴上
2 . 填空题: (1) 焦点在直线3x－4y－12＝0上的抛物线 的标准方程为 y2 = 16x 或 x2 = -12x
抛物线的定义及标准方程
31、园日涉以成趣，门虽设而常关。 32、鼓腹无所思。朝起暮归眠。 33、倾壶绝余沥，窥灶不见烟。
34、春秋满四泽，夏云多奇峰，秋月 扬明辉 ，冬岭 秀孤松 。 35、丈夫志四海，我愿不知老。
抛物线定义及其标准方程
高州一中 冯祖光
方程 y2 = 2px（p＞0）叫做
抛物线的标准方程
其中 p 为正常数，它的几何意义是:
焦点到准线的距离
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飞机的空中操练-----抛物线状
小结:
(1)掌握抛物线的定义; (2)熟练掌握抛物线的四个标准方程; 并且能够求抛 物线的标准方程;(搞清楚焦点的位置对抛物线的影 响.) (3)能在现实生活中找到抛物线的例子,去发现与 欣赏生活中存在的数学的美.
1 2 • y 2 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程: P64.2 20 x x y
p y 2 px ( p 0) ( , 0) 2
2
p x 2
p y 2
x 2 2 py ( p 0)
p (0, ) 2
x 2 py ( p 0)
2
p (0, ) 2
p y 2
–:
y 2 2 px ( p 0) y 2 2 px ( p 0) x 2 2 py ( p 0) x 2 2 py ( p 0)
• 归纳
• • • • • • •
1.抛物线的开口是向着焦点所在的位置; 2.焦点在正半轴,那么准线肯定与负半轴相交; 焦点在负半轴,那么准线肯定与正半轴相交; 3.焦点在x轴上,则x的指数为一次; 焦点在y轴上,则y的指数为一次; 4.焦点在正半轴,则标准方程取正号 焦点在负半轴,则标准方程取负号
(2) 因为抛物线的焦点在
y
轴的负半轴上,
p 2 且 2
p4
所以,所求抛物线的标准方程是
x 2 8 y
那么求抛物线的标准方程关键就是求 p与知道焦点的位置.
例2 一种卫星接收天线的轴截面如图所示.卫星波 束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线, 经反射聚集到焦点处.已知接收天线的口径(直径)为 4.8m,深度为0.5m,求抛物线的标准方程和焦点坐标.
• 我们把平面内与一个定点F和一条定直 线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.
•
点F叫做抛物线的焦点,直线 l 叫做抛物 线的准线.
课件 03.gsp
在建立椭圆,双曲线的标准方程时,选择不 同的坐标系 得到了不同形式的标准方程.那么,抛 物线的标准方程有哪 些不同的形式?请探究之后 填写下表. 件04.gsp 课
2
B. y
2
8 x
C. y 2 4 x
D. y 2 8 x
例1 (1)已知抛物线的标准方程是 y 6 x ,求它的焦 点坐标和准线方程; (2)已知抛物线的焦点是F(0,-2),求它的标准方程
2
解: (1) 因为 3 x 2
pห้องสมุดไป่ตู้ 3,
3 ( , 0) ,准线方程是 所以抛物线的焦点坐标是 2
经典太空图片——“亚特兰提斯”号升空 ,航天飞机 在离开发射中心向太空攀升的过程中，由于地球曲率， 形成一条美丽的抛物线。
。
飞机的空中操练-----抛物线状
•
2.3.1 抛物线及其标准方程
授课者:丁凤仙 5005. 12. 8
抛物运动.gsp
复习.gsp 课件02.gsp
我们刚才把那条曲线叫抛物线，那么， 你能否根据生成这条曲线的过程给出抛物线 的定义呢？
• (1) (2) (4)
2
(3)
2 y 5x 0
2
x2 8y 0
x 5
(1)焦点坐标(5,0).准线方程是:
1 (2)焦点坐标是(0, 8),准线方程是:
1 y 8
那么求抛物线的标准方程关键就是求 p与知道焦点 的位置.
• 解: 如图,在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐 标系,使接收天线的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合. y 2 2 px, • 设抛物线的标准方程是 • 由已知条件可得,点A的坐标是 (0.5 , 2.4), • 代入方程, 得p=5.76 所以, • 所求抛物线的标准方程是, y 2 11.52 x • 焦点坐标是(2.88 , 0)
y 2 2 px ( p 0)
x 2 py ( p 0)
2
选择题: 1.焦点是(5,0)的抛物线的标准方程是(B ) A. y 20 x
2
y 2 20 x B.
x 20 y D. x 2 20 y C.
2
2.准线方程为x=2的抛物线方程是(B ) A. y 4 x