中职数学第三章函数-求解析式的其他方法介绍：换元法、配凑法

第8课时 求解析式的其他方法介绍：换元法、配凑法

【目标导航】

1.初步体验这二种方法在求解析式中的作用，会利用换元法与配凑法求一些简单函数的解析式。

2.琢磨式子结构，从结构来作为解决问题的出发点，有利于问题得到解决。

3.理解利用这二种方法转换的等价性，对定义域的书写正确的作用。

【知识链接】

1.完全平方公式： 。

2.配方法的基本步骤： 。

【自主学习】

1.用换元法解方程： 2(1)5(1)60x x ---+=

换元：令 = 。代入原式子得： 。 则方程变形为： 。解得： 。 还原式子得：○1 ，解得： ；

○

2 ，解得： ； 所以原方程的解为： 。

2.利用配方法填空：

（1）22x x ++ =（ 2)；（2）212

x x -+ =（ 2) （3）221x x +-=（ 2)+（ ）；（4）222x x ++=（ 2)+（ ）；

（5）利用配方法解方程224315x x +-=

【例题精讲】

例1：（1）已知()21f x x =+求()2f x +（2）已知()225f x x +=+，求()f x

评注：已知()f g x ⎡⎤⎣⎦，

求()f x 的解析式，一般可用换元法，具体为：令()t g x =，再求出()f t 可得()f x 的解析式，特别注意换元后新元t 的范围要加以确定,以作为所求解析式的定义域。

例2：已知()212f x x -=+，求()f x 的解析式。

评注：1.形如()f g x ⎡⎤⎣⎦内的()g x 当作一个整体，在解析式的右端整理成只含()g x 的形式，再把()g x 用x 代替，从而求出()f x 的解析式。在此过程中完全平方公式的应用是关键。

2.实际上配凑法也蕴含了换元思想，值是不是首先换元，而是先把函数表达式配凑成题目当中的那种结构，在进行其整体换元。

例3：（选讲）已知)

1f x =+，求()f x （用换元法和拼凑法解）

评注：一般换元法与配凑法都可以通用，若一题用换元法求解析式，则也可以用配凑法。这二种方法一定要注意定义域的限制。

【及时训练】1.选用换元法或配凑法求下列函数解析式。

（1） 已知()13f x x +=- 求()f x

（2） 已知()2122f x x x +=++，求()f x ；()3f ；()3f x +。

【反思总结】

1.无论是换元还是配凑，一定要注意自变量变换的等价性，就是在变化过程中，“元”的范围受到的限制要弄清楚。

2.换元法与配凑法的本质就是由函数的定义可知，在函数的定义域和法则f 不变的情况下，自变量变换字母，以至于变换为其他字母的代数式，对函数本身并无影响，这二种方法主要是体现了函数的这一性质求解。

（3）换元思想在数学中应用广泛，它一化难为易，化烦为简的功能而著称，从而快速从未知向已知转化，局部换元，整体换元是我们常见的类型，应用及其广泛，同学们一定要加强练习，经常体会，理解其这种数学思想。

【达标训练】

1. 已知()23223f x x x +=+，求()f x 及()5f

2.已知215f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭

，求()f x

3.2211x x x f x x +++⎛⎫= ⎪⎝⎭

，求()f x

【拓展延伸】

1.已知)0(1)1(22>+=+x x

x x x f ，求()f x

2.若 ()()31212f x f x x -+-=，求()f x