福建省长泰一中高考数学一轮复习学案《三角函数的恒等变形》

福建省长泰一中高考数学一轮复习《三角函数的恒等变形》学案
例1．求证：2sin
sin 2cos
cos 1θθθθ+++＝θθcos 1sin - 证明：左边＝
)2cos 21(2sin )2cos 21(2cos 2sin 2cos 2sin
22cos 2cos 22θθθθθθθθ
θ
++=++ ＝θθ
θθθ
cos 1sin 2cot 2sin 2cos -==＝右边
例2．求证：)3tan 5(tan 44cos 2cos 3tan 5tan ααα
ααα-=+ 证明：左边＝α
ααααα4cos 2cos 3cos 3sin 5cos 5sin ⋅+ ＝α
ααααααααααα4cos 2cos 3cos 5cos 4cos 2cos 2sin 44cos 2cos 3cos 5cos 8sin ⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ ＝α
ααααααααααα4cos 2cos 3cos 5cos 4cos 2cos 2sin 44cos 2cos 3cos 5os 8sin ⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ ＝α
αα3cos 5cos 2sin 4⋅ 右边＝4(
αααα3cos 3sin 5cos 5sin -) ＝4·αααααα3cos 5cos 3sin 5cos 3cos 5sin ⋅⋅-⋅＝α
αα3cos 5cos 2sin 4⋅ ∴左边＝右边 即等式成立
变式训练2：已知2tanA ＝3tanB ，求证：tan (A －B)＝
B
B 2cos 52sin -． 证明：tan(A －B)＝B B B B A B A 2tan 231tan tan 23tan tan 1tan tan +-=⋅+- ＝B B B B B
B B B
B B 22222sin 3cos 2cos sin cos sin 32cos sin tan 32tan +=+=+
＝B
B B B
B B B
B 2cos 52sin sin 242sin sin 6cos 4cos sin 2222-=+=+⋅ 例3．如图所示，D 是直线三角形△AB
C 斜边上BC 上一点，AB ＝A
D ，记∠CAD=α，∠ABC=β．
（1）证明：sin α＋cos2β=0； （2）若DC AC 3=，求β的值．
解：（1）∵22)22(22π
ββππ
π
α-=--=∠-=BAD ∴βπβα2cos )2
2sin(sin -=-= 即sin α＋cos2β＝0
（2）在△ADC 中，由正弦定理得
)sin(sin βπα-=AC DC ． 即βαsin 3sin DC DC = ∴αβsin 3sin =
由（1）sin α＝－cos2β ∴)sin 21(32cos 3sin 2βββ--=-= 即03sin sin 322=--ββ 解得23sin =
β或23sin -=β 因为20πβ<<，所以23
sin =
β从而23=β 变式训练3.已知)2,0(,π
βα∈且sin β·cos α＝cos(α＋β)．
（1）求证：αα
β22sin 1cos sin tan +=；
（2）用tan β表示tan α．
解：（1）∵)cos(cos sin βααβ+=⋅ ∴βαβααβsin sin cos cos sin sin -=
∴βαβααβsin sin
cos cos sin sin 2-= ∴αααβ2sin 1cos sin tan += （2）α
ααααααβ2222tan 21tan sin cos sin cos sin tan +=++= 例4.在△ABC 中，若sinA·cos 22C ＋sinC·cos 22A ＝23sinB ，求证：sinA ＋sinC ＝2
sinB ． A
B D C
证明：∵sinA·cos 22C
＋sinC·cos 22A ＝2
3sinB ∴sinA·2cos 1C +＋sinC·2cos 1A +＝2
3sinB ∴sinA＋sinC ＋sinA·cosC＋cos Ａ·sinC＝3sinB
∴sinA＋sinC ＋sin(A ＋C)＝3sinB
∵sin(A＋C)＝sinB ∴sinA＋sinC ＝2sinB
变式训练4：已知sin θ＋cos θ＝2sin α，sin θ·cos θ＝sin 2β，求证：2cos2α＝
cos2β．
证明：(sin θ＋cos θ)2
＝1＋2sin θ·cos θ＝4sin 2α
将sin θ·cos θ＝sin 2β代入得1＋2sin 2β＝4sin 2α
∴1＋1－cos2β＝2(1－cos2α)
β
1．证明三角恒等式的基本思路，是根据等式两端的特征通过三角恒等变换，应用化繁为简，左右归一，变更命题等方法使等式两端的“异”化为“同”．
2．条件等式的证明，注意认真观察，发现已知条件和求证等式之间的关系，选择适当的途径运用条件，从已知条件出发，以求证式为目标进行代数或三角恒等变形，逐步推出求证式．
3．对于高次幂，往往采用三角公式降次，再依求证式的要求论证．。