2016-2017学年高中数学苏教版选修2-2学业分层测评：第三章 数系的扩充与复数的引入 19 Word版含解析
2019年高二数学苏版选修2-2学业分层测评：第三章 数系的扩充与复数的引入 18
学业分层测评(十八)(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1.复数(1－)i 的实部为________.2【解析】 ∵复数(1－)i ＝0＋(1－)i ，∴实部为0.22【答案】 02.若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为________.【导学号：01580060】【解析】 Error!∴x ＝－1.【答案】 －13.若复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝b i ，a ，b 均为实数，且z 1＝z 2，则a －b ＝________.【解析】 由z 1＝z 2，得a ＝0，b ＝2，∴a －b ＝－2.【答案】 －24.以复数z ＝3i ＋2和复数z 2＝2i 2－1的实部之和为虚部，虚部之和为实部的新复数是________.【解析】 z 2＝2i 2－1＝－3，则新复数的实部为3，虚部为－1，所以新复数为3－i.【答案】 3－i5.(2014·湖南高考)复数(i 为虚数单位)的实部等于________.3＋ii2【解析】 ＝＝－3－i ，其实部为－3.3＋i i23＋i－1【答案】 －36.设m ∈R ，m 2＋m －2＋(m 2－1)i 是纯虚数，其中i 是虚数单位，则m ＝________.【解析】 复数m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数的充要条件是Error!解得Error!即m＝－2.故m＝－2时，m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数.【答案】 －27.若log2(x2－3x－2)＋ilog2(x2＋2x＋1)>1，则实数x的值为________.【解析】 Error!∴x＝－2.【答案】 －28.有下列说法：①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等；②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等；③1－a i(a∈R)是一个复数；④纯虚数的平方不小于0；⑤－1的平方根只有一个，即为－i；⑥i是方程x4－1＝0的一个根；2i是一个无理数.其中正确的有________(填序号).【解析】 若两个复数相等，则有它们的实部、虚部均相等，故①正确；若虚部不相等，则两个复数一定不相等，故②正确；因满足形如a＋b i(a，b∈R)的数均为复数，故③正确；纯虚数的平方，如i2＝－1，故④错误；－1的平方根不止一个，因为(±i)2＝－1，故⑤错误；∵i4－1＝0成立，故⑥正确；i是虚数，2而且是纯虚数，故⑦错误.综上，①②③⑥正确.【答案】 ①②③⑥二、解答题9.已知m∈R，复数z＝(2＋i)m2－3(1＋i)m－2(1－i)，(1)写出复数z的代数形式.(2)当m为何值时，z＝0？当m为何值时，z是纯虚数？【解】 (1)复数z ＝(2＋i)m 2－3(1＋i)m －2(1－i)＝(2m 2－3m －2)＋(m 2－3m ＋2)i ，即复数z 的代数形式为z ＝(2m 2－3m －2)＋(m 2－3m ＋2)i.(2)若z ＝0，则Error!解得m ＝2.若z 为纯虚数，则Error!解得Error!即m ＝－.1210.已知关于x 的方程x 2＋(k ＋2i)x ＋2＋k i ＝0有实数根，求实数k 的值.【解】 设x 0是方程的实数根，代入方程并整理得(x ＋kx 0＋2)＋(2x 0＋k )20i ＝0.由两个复数相等的充要条件得Error!解得Error!或Error!∴实数k 的值为±2.2能力提升]1.设x ，y ∈R ，且满足(x ＋y )＋(x －2y )i ＝(－x －3)＋(y －19)i ，则x ＋y ＝________.【解析】 由复数相等的充要条件得Error!解之得Error!所以x ＋y ＝1.【答案】 12.若log 2(m 2－3m －3)＋ilog 2(m －2)为纯虚数，则实数m ＝________.【解析】 由纯虚数的定义知，log 2(m 2－3m －3)＝0且log 2(m －2)≠0.∴Error!解得m ＝4.【答案】 43.已知z 1＝－4a ＋1＋(2a 2＋3a )i ，z 2＝2a ＋(a 2＋a )i ，其中a ∈R ，z 1>z 2，则a 的值为________.【导学号：01580061】【解析】 由z 1>z 2知，z 1、z 2都为实数，所以Error!解之得a ＝0.此时，z 1＝1>z 2＝0.【答案】 04.(2016·全国Ⅱ)已知z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是________.【解析】 由题意知Error!即－3＜m ＜1.故实数m 的取值范围为(－3,1).【答案】 (－3,1)5.若复数z ＝＋i(m ∈R )是虚数，则实数m 的取值范围是m －3m ＋2m 2－m ________.【解析】 ∵复数z ＝＋i(m ∈R )是虚数.m －3m ＋2m 2－m ∴Error!解得m >1或m <0且m ≠－2.故实数的取值范围是(－∞，－2)∪(－2,0)∪(1，＋∞).【答案】 (－∞，－2)∪(－2,0)∪(1，＋∞)。
2016-2017学年高中数学苏教版选修2-2章末综合测评3 含解析
章末综合测评(三)（时间120分钟,满分160分）一、填空题(本大题共14小题,每小题5分，共70分,请把答案填在题中的横线上）1。
若复数z满足z i＝1－i，则z＝________。
【解析】法一:由z i＝1－i得z＝错误!＝错误!－1＝－1－i。
法二：设z＝a＋b i（a，b∈R)，由z i＝1－i,得（a＋b i）i＝1－i,即－b＋a i＝1－i。
由复数相等的充要条件得错误!即错误!∴z＝－1－i。
【答案】－1－i2。
在复平面内，复数z＝i(1＋3i）对应的点位于第________象限。
【解析】∵z＝i（1＋3i）＝i＋3i2＝－3＋i，∴复数z对应的点为（－3，1）在第二象限.【答案】二3。
(2015·全国卷Ⅱ改编）若a为实数，且（2＋a i）(a－2i)＝－4i,则a＝________。
【解析】∵（2＋a i）（a－2i）＝－4i，∴4a＋（a2－4)i＝－4i。
∴错误!解得a＝0.【答案】04。
设z为纯虚数，且｜z－1－i｜＝1，则z＝________.【解析】设z＝b i（b∈R，b≠0),则｜z－1－i｜＝|(b－1)i－1｜，∴（b－1）2＋1＝1，∴b＝1，则z＝i。
【答案】i5.（2016·辽宁三校高二期末）复数z满足方程｜z－(－1＋i）｜＝4，那么复数z在复平面内对应的点P的轨迹方程是________。
【解析】设z＝x＋y i，由|z－（－1＋i）|＝4得|（x＋1)＋（y －1）i|＝4,即错误!＝4,则（x＋1）2＋（y－1)2＝16.【答案】(x＋1）2＋（y－1）2＝166.在复平面内,若复数（－6＋k2）－（k2－4）i所对应的点位于第三象限，则实数k的取值范围是________.【解析】由已知得错误!∴4<k2<6,∴k∈（－错误!,－2)∪(2，错误!）。
【答案】(－错误!,－2)∪(2,错误!）7。
设a，b∈R,a＋b i＝错误!（i为虚数单位）,则a＋b的值为________。
2016-2017学年高二数学苏教版选修1-2学业分层测评：第三章 数系的扩充与复数3.3 Word版含解析
学业分层测评(十二)第3章 3.3 复数的几何意义(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1.在复平面内，复数6＋5i ，-2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是________.【解析】 ∵复数6＋5i ，-2＋3i 对应点分别为A ，B ，∴点A (6,5)，B (-2,3).∴中点C (2,4)，其对应复数2＋4i.【答案】 2＋4i2.(2016·启东月考)若复数z ＝a 2-1＋(a ＋1)i.(a ∈R )是纯虚数，则|z |＝________.【解析】 由题意得Error!解得a ＝1，则z ＝2i ，故|z |＝2.【答案】 23.复数z ＝i·(1＋i)(i 为虚数单位)位于第________象限.【解析】 ∵z ＝i·(1＋i)＝-1＋i ，∴复数z 对应复平面上的点是(-1,1)，该点位于第二象限.【答案】 二4.已知复数z 1＝-1＋2i ，z 2＝1-i ，z 3＝3-2i ，它们所对应的点分别是A ，B ，C ，若＝x ＋y (x ，y ∈R )，则x ＋y 的值是________.OC → OA → OB→ 【解析】 由复数的几何意义，知3-2i ＝x (-1＋2i)＋y (1-i)，∴3-2i ＝y -x ＋(2x -y )i.根据复数相等的定义，得Error!解得Error!∴x ＋y ＝5.【答案】 55.已知i 为虚数单位，复数z ＝-＋i 的共轭复数为，则＋|z |＝________.1232z z 【解析】 ＝--i ，|z |＝1，∴＋|z |＝-i.z 1232z 1232【答案】 -i12326.已知|z -3|＝1，则|z -i|的最大值为________.【导学号：97220036】【解析】 由|z -3|＝1知z 表示以(3,0)为圆心，1为半径的圆，|z -i|表示点(0,1)到圆上的距离，则|z -i|的最大值为＋1.10【答案】＋1107.(2016·江西师大附中三模)设复数z ＝-1-i(i 是虚数单位)，z 的共轭复数为，z 则|(1-z )·|＝________.z 【解析】 ＝-1＋i ，则|(1-z )·|＝|(2＋i)·(-1＋i)|＝|-3＋i|＝.z z 10【答案】108.复数z ＝x ＋1＋(y -2)i(x ，y ∈R )，且|z |＝3，则点Z (x ，y )的轨迹是________.【解析】 ∵|z |＝3，＝3，即(x ＋1)2＋(y -2)2＝32.故点Z (x ，y )的轨迹是以(-(x ＋1)2＋(y -2)21,2)为圆心，以3为半径的圆.【答案】 以(-1,2)为圆心，以3为半径的圆二、解答题9.已知复数z ＝1＋a i(a ∈R )，ω＝cos α＋isin α，α∈(0,2π)，若z ＝＋2i ，且z |z -w |＝，求角α的值.5【解】 由题意知1＋a i ＝1＋(2-a )i ，则a ＝2-a ，即a ＝1，∴z ＝1＋i.由|z -w |＝得(1-cos α)2＋(1-sin α)2＝5，5整理得sin α＋cos α＝-1，∴sin＝-，(α＋π4)22∵0<α<2π，∴<α＋<π，π4π494∴α＋＝或α＋＝，π45π4π47π4∴α＝π或α＝.3π210.已知复数z 满足(z -2)i ＝a ＋i(a ∈R ).(1)求复数z ；(2)a 为何值时，复数z 2对应的点在第一象限.【解】 (1)由(z -2)i ＝a ＋i ，得z -2＝＝1-a i ，a ＋ii ∴z ＝3-a i.(2)由(1)得z 2＝9-a 2-6a i ，∵复数z 2对应的点在第一象限，∴Error!解得-3<a <0.故当a ∈(-3,0)时，z 2对应的点在第一象限.能力提升]1.在复平面内，O 是原点，，，对应的复数分别为-OA → OC → AB→2＋i,3＋2i,1＋5i ，那么对应的复数为________.BC→【解析】 由＝＋，知OB → OA → AB→ 对应的复数为(-2＋i)＋(1＋5i)＝-1＋6i ，OB→ 又＝-，BC → OC → OB → ∴对应的复数为(3＋2i)-(-1＋6i)＝4-4i.BC→ 【答案】 4-4i2.(2016·宜昌模拟)已知复数z 满足(1＋i)z ＝1-i ，其中i 为虚数单位，则|z |＝________.【导学号：97220037】【解析】 由(1＋i)z ＝1-i 得z ＝＝-i ，∴|z |＝1.1-i1＋i 【答案】 13.(2016·镇江二模)在复平面内，复数z ＝＋i 2 014表示的点所在的象限是i1-i ________.【解析】 z ＝＋i 2 014＝＋i 2＝-＋i ，对应点的坐标为，故i1-i i -123212(-32，12)在第二象限.【答案】 第二象限4.已知O 为坐标原点，1对应的复数为-3＋4i ，2对应的复数为OZ → OZ→2a ＋i(a ∈R ).若1与2共线，求a 的值.OZ→ OZ→ 【解】 因为1对应的复数为-3＋4i ，2对应的复数为2a ＋i ，所以OZ→ OZ→1＝(-3,4)，2＝(2a,1).因为1与2共线，所以存在实数k 使OZ → OZ → OZ → OZ→2＝k 1，即(2a,1)＝k (-3,4)＝(-3k,4k )，OZ→ OZ→所以Error!所以Error!3即a的值为-.8。
2016-2017学年高中数学苏教版选修2-2学案：章末分层突破1 Word版含解析
章末分层突破[自我校对]①导数的运算②函数的和、差、积、商的导数③单调性④极大值与极小值⑤最大值与最小值_______________________________________________ _______________________________________________ _______________________________________________ _______________________________________________常见的类型有两种，一是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，先求导，再求斜率代入直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)，再由切线过点P(x0，y0)得y0－y1＝f′(x1)(x0－x1)，①又y1＝f(x1)，②由①②求出x1，y1的值，即求出了过点P(x0，y0)的切线方程．(1)曲线y＝xe x－1在点(1,1)处切线的斜率等于________．(2)已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图1-1所示，则该函数的图象是________．(填序号)图1-1【精彩点拨】(1)曲线在点(1,1)处的切线斜率即为该点处的导数．(2)由导数值的大小变化，确定原函数的变化情况，从而得出结论．【规范解答】 (1)y ′＝e x －1＋xe x －1＝(x ＋1)e x －1，故曲线在点(1,1)处的切线斜率为y ′⎪⎪x ＝1＝2.(2)从导函数的图象可以看出，导函数值先增大后减小，x ＝0时最大，所以函数f (x )的图象的变化率也先增大后减小，在x ＝0时变化率最大．①中，在x ＝0时变化率最小，故错误；③中，变化率是越来越大的，故错误；④中，变化率是越来越小的，故错误；②正确．【答案】 (1)2 (2)② [再练一题]1．已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程； (3)求斜率为4的曲线的切线方程．【解】 (1)∵P (2,4)在曲线y ＝13x 3＋43上，且y ′＝x 2， ∴在点P (2,4)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝4.∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0. (2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝x 20.∴切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)， 即y ＝x 20·x －23x 30＋43.∵点P (2,4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43，即x 30－3x 20＋4＝0， ∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0.∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0. (3)设切点为(x 0，y 0)，则切线的斜率k ＝x 20＝4，∴x 0＝±2. ∴切点为(2,4)或⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－43. ∴斜率为4的曲线的切线方程为y －4＝4(x －2)和y ＋43＝4(x ＋2)， 即4x －y －4＝0和12x －3y ＋20＝0.几何意义在研究曲线变化规律时的一个应用，它充分体现了数形结合思想．这部分内容要注意的是f (x )为增函数⇔f ′(x )≥0且f ′(x )＝0的根有有限个，f (x )为减函数⇔f ′(x )≤0且f ′(x )＝0的根有有限个．已知函数f (x )＝x 3－ax －1.(1)若f (x )在实数集R 上单调递增，求实数a 的取值范围；(2)是否存在实数a ，使f (x )在(－1,1)内单调递减？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．【精彩点拨】 研究函数的单调性可通过判断导数的符号来解决．因为涉及参数a ，所以要分类讨论．【规范解答】 (1)由已知，得f ′(x )＝3x 2－a . 因为f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，所以f ′(x )＝3x 2－a ≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a≤3x2对x∈R恒成立．因为3x2≥0，所以只需a≤0.又因为当a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)＝x3－1在R上单调递增，所以a≤0. 故实数a的取值范围是a≤0.(2)由f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)内恒成立，得a≥3x2在x∈(－1,1)内恒成立．因为－1<x<1，所以3x2<3，所以只需a≥3.因为当a＝3时，f′(x)＝3(x2－1)，在x∈(－1,1)上，f′(x)<0，即f(x)在(－1,1)上单调递减，所以a≥3.故存在实数a≥3，使f(x)在(－1,1)内单调递减．[再练一题]2．设函数f(x)＝aln x＋x－1x＋1(a≠0)，讨论函数f(x)的单调性．【解】函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝ax＋2(x＋1)2＝ax2＋(2a＋2)x＋ax(x＋1)2.当a≥0时，f′(x)＞0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．当a＜0时，令g(x)＝ax2＋(2a＋2)x＋a，由于Δ＝(2a＋2)2－4a2＝4(2a＋1)，①当a＝－12时，Δ＝0，f′(x)＝－12(x－1)2x(x＋1)2≤0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．②当a＜－12时，Δ＜0，g(x)＜0，f′(x)＜0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．③当－12＜a ＜0时，Δ＞0.设x 1，x 2(x 1＜x 2)是函数g (x )的两个零点， 则x 1＝－(a ＋1)＋2a ＋1a ，x 2＝－(a ＋1)－2a ＋1a .因为x 1＝a ＋1－2a ＋1－a＝a 2＋2a ＋1－2a ＋1－a＞0，所以，x ∈(0，x 1)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减， x ∈(x 1，x 2)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增， x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减． 综上可得，当a ≥0时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a ≤－12时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减； 当－12＜a ＜0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－(a ＋1)＋2a ＋1a ，⎝⎛⎭⎪⎫－(a ＋1)－2a ＋1a ，＋∞上单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫－(a ＋1)＋2a ＋1a ，－(a ＋1)－2a ＋1a上单调递增．求出参数的值或取值范围．另外，这部分内容可能会和恒成立问题、有解等问题联系到一起考查．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋b 的图象上一点P (1,0)，且在点P 处的切线与直线3x ＋y ＝0平行．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )在区间[0，t ](0<t <3)上的最大值和最小值；(3)在(1)的结论下，关于x 的方程f (x )＝c 在区间[1,3]上恰有两个相异的实根，求实数c 的取值范围．【精彩点拨】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝0，f ′(1)＝－3，求出a ，b 即可．(2)对t 分0<t ≤2与2<t <3两种情况求最值．(3)构造函数g (x )＝f (x )－c 转化为g (x )在[1,3]上有实根求解．【规范解答】 (1)因为f ′(x )＝3x 2＋2ax ，曲线在P (1,0)处的切线斜率为：f ′(1)＝3＋2a ，即3＋2a ＝－3，a ＝－3.又函数过(1,0)点，即－2＋b ＝0，b ＝2. 所以a ＝－3，b ＝2，f (x )＝x 3－3x 2＋2. (2)由f (x )＝x 3－3x 2＋2，得f ′(x )＝3x 2－6x . 由f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2.①当0<t ≤2时，在区间(0，t )上f ′(x )<0，f (x )在[0，t ]上是减函数，所以f (x )最大值＝f (0)＝2，f (x )最小值＝f (t )＝t3－3t 2＋2.②当2<t <3时，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：单调递减单调递增f (x )最小值＝f (2)＝－2，f (x )最大值为f (0)与f (t )中较大的一个． f (t )－f (0)＝t 3－3t 2＝t 2(t －3)<0. 所以f (x )最大值＝f (0)＝2.(3)令g (x )＝f (x )－c ＝x 3－3x 2＋2－c ， g ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)．在x ∈[1,2)上，g ′(x )<0；在x ∈(2,3]上，g ′(x )>0.要使g (x )＝0在[1,3]上恰有两个相异的实根，则⎩⎪⎨⎪⎧g (1)≥0，g (2)<0，g (3)≥0.解得－2<c ≤0.[再练一题]3．已知函数f (x )＝－x 3＋12x ＋m .(1)若x ∈R ，求函数f (x )的极大值与极小值之差； (2)若函数y ＝f (x )有三个零点，求m 的取值范围； (3)当x ∈[－1,3]时，f (x )的最小值为－2，求f (x )的最大值． 【解】 (1)f ′(x )＝－3x 2＋12. 当f ′(x )＝0时，x ＝－2或x ＝2. 当f ′(x )＞0时，－2＜x ＜2. 当f ′(x )＜0时，x ＜－2或x ＞2.∴f (x )在(－∞，－2)，(2，＋∞)上单调递减，在(－2,2)上单调递增． ∴f (x )极小值＝f (－2)＝－16＋m . f (x )极大值＝f (2)＝16＋m . ∴f (x )极大值－f (x )极小值＝32.(2)由(1)知要使函数y ＝f (x )有三个零点，必须⎩⎪⎨⎪⎧f (x )极小值＜0，f (x )极大值＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧－16＋m ＜0，16＋m ＞0，∴－16＜m ＜16.∴m的取值范围为(－16,16)．(3)当x∈[－1,3]时，由(1)知f(x)在[－1,2)上单调递增，f(x)在[2,3]上单调递减，f(x)的最大值为f(2)．又f(－1)＝－11＋m，f(3)＝m＋9，∴f(－1)＜f(3)，∴在[－1,3]上f(x)的最小值为f(－1)＝－11＋m，∴－11＋m＝－2，∴m＝9.∴当x∈[－1,3]时，f(x)的最大值为f(2)＝(－2)3＋12×2＋9＝25.尽可能选择求导和判断导数符号都比较容易的函数，如果证明f(x)＞g(x)，x∈(a，b)，可转化为证明F(x)＝f(x)－g(x)与0的关系，若F′(x)＞0，则函数F(x)在(a，b)上是增函数．若F(a)≥0，则由增函数的定义，知当x∈(a，b)时，有F(x)＞F(a)≥0，即f(x)＞g(x)成立，同理可证明f(x)＜g(x)，x∈(a，b)．设函数f(x)＝2x3＋3ax2＋3bx＋8c在x＝1及x＝2时取得极值．(1)求a，b的值；(2)若对任意的x∈[0,3]，都有f(x)<c2成立，求c的取值范围．【精彩点拨】(1)利用f′(1)＝0，f′(2)＝0，列方程组求解．(2)转化为求函数f(x)的最大值问题．【规范解答】(1)f′(x)＝6x2＋6ax＋3b.因为函数f(x)在x＝1及x＝2时取得极值，则有f ′(1)＝0，f ′(2)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 6＋6a ＋3b ＝0，24＋12a ＋3b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝4.(2)由(1)可知，f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋8c ， 则f ′(x )＝6x 2－18x ＋12＝6(x －1)(x －2)． 当x ∈[0,1)时，f ′(x )>0； 当x ∈[1,2]时，f ′(x )<0； 当x ∈(2,3]时，f ′(x )>0.所以当x ＝1时，f (x )取得极大值f (1)＝5＋8c ，当x ＝2时，f (x )取得极小值f (2)＝4＋8c ，又f (0)＝8c ，f (3)＝9＋8c .所以当x ∈[0,3]时，f (x )的最大值为f (3)＝9＋8c . 因为对于任意的x ∈[0,3]，有f (x )<c 2恒成立， 所以9＋8c <c 2，解得c <－1或c >9. 故c 的取值范围为c <－1或c >9. [再练一题]4．(2016·郑州高二检测)已知函数f (x )＝axx 2＋b，且f (x )的图象在x ＝1处与直线y ＝2相切．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若P (x 0，y 0)为f (x )图象上的任意一点，直线l 与f (x )的图象相切于P 点，求直线l 的斜率k 的取值范围．【解】 (1)对函数f (x )求导，得f ′(x )＝a (x 2＋b )－ax ·2x(x 2＋b )2＝ab －ax 2(x 2＋b )2.因为f (x )的图象在x ＝1处与直线y ＝2相切．所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝0，f (1)＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧ ab －a ＝0，1＋b ≠0，a 1＋b＝2，所以a ＝4，b ＝1， 所以f (x )＝4xx 2＋1. (2)因为f ′(x )＝4－4x 2(x 2＋1)2，所以直线l 的斜率 k ＝f ′(x 0)＝4－4 x 20(x 20＋1)2＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(x 20＋1)2－1x 20＋1，令t ＝1x 20＋1，t ∈(0,1]，则k ＝4(2t 2－t )＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142－12，所以k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，4.1．(2015·全国卷Ⅱ改编)设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是________.【导学号：01580027】【解析】 设y ＝g (x )＝f (x )x (x ≠0)，则g ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，∴g ′(x )<0，∴g (x )在(0，＋∞)上为减函数，且g (1)＝f (1)＝－f (－1)＝0.∵f (x )为奇函数，∴g (x )为偶函数，∴g (x )的图象的示意图如图所示．当x >0，g (x )>0时，f (x )>0,0<x <1，当x <0，g (x )<0时，f (x )>0，x <－1，∴使得f (x )>0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)．【答案】 (－∞，－1)∪(0,1)．2．(2015·福建高考改编)若定义在R 上的函数f (x )满足f (0)＝－1，其导函数f ′(x )满足f ′(x )>k >1，则下列结论中一定错误的是________．(填序号)①f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k <1k ； ②f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k >1k －1； ③f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1<1k －1； ④f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1>k k －1. 【解析】 令g (x )＝f (x )－kx ＋1，则g (0)＝f (0)＋1＝0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1－k ·1k －1＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1－1k －1. ∵g ′(x )＝f ′(x )－k >0，∴g (x )在[0，＋∞)上为增函数．又∵k >1，∴1k －1>0，∴g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1>g (0)＝0， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1－1k －1>0，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1>1k －1. 【答案】 ③3．(2016·全国Ⅱ)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝________.【解析】 求得(ln x ＋2)′＝1x ，[ln(x ＋1)]′＝1x ＋1. 设曲线y ＝ln x ＋2上的切点为(x 1，y 1)，曲线y ＝ln(x ＋1)上的切点为(x 2，y 2)，则k ＝1x 1＝1x 2＋1，所以x 2＋1＝x 1. 又y 1＝ln x 1＋2，y 2＝ln(x 2＋1)＝ln x 1，所以k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2， 所以x 1＝1k ＝12，y 1＝ln 12＋2＝2－ln 2，所以b ＝y 1－kx 1＝2－ln 2－1＝1－ln 2.【答案】 1－ln 24．(2016·全国Ⅲ)已知f (x )为偶函数，当x <0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是________．【解析】 先利用函数奇偶性求出x >0时f (x )的解析式，再求切线方程．因为f (x )为偶函数，所以当x >0时，f (x )＝f (－x )＝ln x －3x ，所以f ′(x )＝1x －3，则f ′(1)＝－2.所以y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程为y ＋3＝－2(x －1)，即y ＝－2x －1.【答案】 y ＝－2x －15．(2015·湖南高考)⎠⎛02(x －1)d x ＝__________. 【解析】 ⎠⎛02(x －1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－x | 20＝12×22－2＝0. 【答案】 06．(2015·陕西高考)设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x (x >0)上点P处的切线垂直，则P 的坐标为__________．【解析】 y ′＝e x ，曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线的斜率k 1＝e 0＝1，设P (m ，n)，y＝1x(x>0)的导数为y′＝－1x2(x>0)，曲线y＝1x(x>0)在点P处的切线斜率k2＝－1m2(m>0)，因为两切线垂直，所以k1k2＝－1，所以m＝1，n＝1，则点P的坐标为(1,1)．【答案】(1,1)7．(2016·江苏高考)已知函数f(x)＝a x＋b x(a>0，b>0，a≠1，b≠1)．(1)设a＝2，b＝1 2.①求方程f(x)＝2的根；②若对于任意x∈R，不等式f(2x)≥mf(x)－6恒成立，求实数m的最大值．(2)若0<a<1，b>1，函数g(x)＝f(x)－2有且只有1个零点，求ab的值.【导学号：01580028】【解】(1)因为a＝2，b＝12，所以f(x)＝2x＋2－x.①方程f(x)＝2，即2x＋2－x＝2，亦即(2x)2－2×2x＋1＝0，所以(2x－1)2＝0，即2x＝1，解得x＝0.②由条件知f(2x)＝22x＋2－2x＝(2x＋2－x)2－2＝(f(x))2－2.因为f(2x)≥mf(x)－6对于x∈R恒成立，且f(x)>0，所以m≤(f(x))2＋4f(x)对于x∈R恒成立．而(f(x))2＋4f(x)＝f(x)＋4f(x)≥2f(x)·4f(x)＝4，且(f(0))2＋4f(0)＝4，所以m≤4，故实数m的最大值为4.(2)因为函数g(x)＝f(x)－2有且只有1个零点，而g(0)＝f(0)－2＝a0＋b0－2＝0，所以0是函数g(x)的唯一零点．因为g ′(x )＝a x ln a ＋b x ln b ，又由0<a <1，b >1知ln a <0，ln b >0，所以g ′(x )＝0有唯一解x 0＝log b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－ln a ln b . 令h (x )＝g ′(x )，则h ′(x )＝(a x ln a ＋b x ln b )′＝a x (ln a )2＋b x (ln b )2，从而对任意x ∈R ，h ′(x )>0，所以g ′(x )＝h (x )是(－∞，＋∞)上的单调增函数．于是当x ∈(－∞，x 0)时，g ′(x )<g ′(x 0)＝0；当x ∈(x 0，＋∞)时，g ′(x )>g ′(x 0)＝0.因而函数g (x )在(－∞，x 0)上是单调减函数，在(x 0，＋∞)上是单调增函数． 下证x 0＝0.若x 0<0则x 0<x 02<0，于是g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02<g (0)＝0. 又g (log a 2)＝a log a 2＋b log a 2－2>a log a 2－2＝0，且函数g (x )在以x 02和log a 2为端点的闭区间上的图象不间断，所以在x 02和log a 2之间存在g (x )的零点，记为x 1.因为0<a <1，所以log a 2<0.又x 02<0，所以x 1<0，与“0是函数g (x )的唯一零点”矛盾．若x 0>0，同理可得，在x 02和log b 2之间存在g (x )的非0的零点，与“0是函数g (x )的唯一零点”矛盾．因此，x 0＝0.于是－ln a ln b ＝1，故ln a ＋ln b ＝0，所以ab ＝1.。
高中数学苏教版选修2-2学案：章末分层突破3含解析
章末分层突破[自我校对]①－1 ②a ＝c ，b ＝d ③z ＝a －bi ④Z(a ，b)⑤O Z →⑥(a ＋c)＋(b ＋d)I ⑦(a －c)＋(b －d)i______________________________________________________________________________________________ _______________________________________________数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提.两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据.求字母的范围时一定要关注实部与虚部自身有意义.复数z ＝log 3(x 2－3x －3)＋ilog 2(x －3)，当x 为何实数时，(1)z ∈R ；(2)z 为虚数.【精彩点拨】 根据复数的分类列方程求解.【规范解答】 (1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0，所以⎩⎨⎧x 2－3x －3>0， ①log 2(x －3)＝0， ②x －3>0， ③ 由②得x ＝4，经验证满足①③式. 所以当x ＝4时，z ∈R.(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0，所以⎩⎨⎧ x 2－3x －3>0，①log 2(x －3)≠0， ②x －3>0， ③由①得x>3＋212或x<3－212. 由②得x ≠4，由③得x>3.所以当x>3＋212且x ≠4时，z 为虚数. [再练一题]1.(1)复数z ＝|(3－i)i|＋i 5(i 为虚数单位)，则复数z 的共轭复数为________.(2)设z ＝11＋i＋i ，则|z|＝________. 【01580071】【解析】 (1)∵(3－i)i ＝3i ＋1，∴|(3－i)i|＝|3i ＋1|＝2 ∴z ＝2＋i 5＝2＋i ，∴复数z 的共轭复数为2－i.(2)z ＝11＋i ＋i ＝1－i 2＋i ＝12＋12i ，则|z|＝12＝22. 【答案】 (1)2－i (2)22(i 2＝－1)，除法运算注意应用共轭的性质z ·z 为实数.(1)若i(x ＋yi)＝3＋4i ，(x ，y ∈R)，则复数x ＋yi 的模是________.(2)已知(1＋2i)z ＝4＋3i ，则zz 的值为________. 【精彩点拨】 (1)先利用复数相等求x ，y ，再求模；(2)先求z ，进而求z ，再计算zz .【规范解答】 (1)法一：因为i(x ＋yi)＝3＋4i ，所以x ＋yi ＝3＋4i i＝(3＋4i )(－i )i (－i )＝4－3i ，故|x ＋yi|＝|4－3i|＝42＋(－3)2＝5. 法二：因为i(x ＋yi)＝3＋4i ，所以－y ＋xi ＝3＋4i ，所以x ＝4，y ＝－3，故|x ＋yi|＝|4－3i|＝42＋(－3)2＝5.法三：因为i(x ＋yi)＝3＋4i ，所以(－i)i(x ＋yi)＝(－i)·(3＋4i)＝4－3i ，即x ＋yi ＝4－3i ，故|x ＋yi|＝|4－3i|＝42＋(－3)2＝5.(2)因为(1＋2i)z ＝4＋3i ，所以z ＝4＋3i 1＋2i ＝(4＋3i )(1－2i )5＝2－i ，所以z ＝2＋i ，所以z z＝2＋i 2－i ＝(2＋i )25＝35＋45i. 【答案】 (1)5 (2)35＋45i [再练一题]2.(1)(2014·四川高考)复数2－2i 1＋i ＝________. (2)(2015·山东实验中学三模)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 014＝________.。
苏教选修22数学课时分层作业3 含解析
课时分层作业(三) (建议用时：60分钟) [基础达标练]一、选择题1．下列结论正确的是( )A ．若y ＝cos x ，则y ′＝sin xB ．若y ＝sin x ，则y ′＝－cos xC ．若y ＝1x ，则y ′＝－1x 2D ．若y ＝x ，则y ′＝x2C [∵(cos x )′＝－sin x ，∴A 不正确；∵(sin x )′＝cos x ，∴B 不正确；∵(x )′＝12x ，∴D 不正确．]2．若指数函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)满足f ′(1)＝ln 27，则f ′(－1)＝() A ．2 B ．ln 3C ．ln 33 D ．－ln 3C [f ′(x )＝a x ln a ，由f ′(1)＝a ln a ＝ln 27，解得a ＝3，则f ′(x )＝3x ln 3，故f ′(－1)＝ln 33.]3．已知f (x )＝x 2·x ，则f ′(2)＝( )A ．4 2B ．0C ． 2D ．5 2D [原函数化简得f (x )＝x ，所以f ′(x )＝52x ，所以f′(2)＝52×2＝5 2.]4．直线y＝12x＋b是曲线y＝ln x(x>0)的一条切线，则实数b的值为()A．2 B．ln 2＋1 C．ln 2－1 D．ln 2C[因为y＝ln x的导数y′＝1 x ，所以令1x ＝12，得x＝2，所以切点为(2，ln 2)．代入直线y＝12x＋b，得b＝ln 2－1.]5．若f(x)＝sin x，f′(α)＝12，则下列α的值中满足条件的是()A.π3 B.π6C.23π D.56πA[∵f(x)＝sin x，∴f′(x)＝cos x.又∵f′(α)＝cos α＝12，∴α＝2kπ±π3(k∈Z)．当k＝0时，α＝π3.]二、填空题6．已知f(x)＝1x，g(x)＝mx，且g′(2)＝1f′(2)，则m＝________.－4[∵f′(x)＝－1x2，∴f′(2)＝－14，又g′(x)＝m，∴g′(2)＝m，由g′(2)＝1f′(2)，得m＝－4.]7．已知函数y＝f(x)的图象在M(1，f(1))处的切线方程是y＝12x＋2，则f(1)＋f′(1)＝__________. 3 [依题意知，f (1)＝12×1＋2＝52，f ′(1)＝12，∴f (1)＋f ′(1)＝52＋12＝3.]8．已知函数f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2sin x ＋cos x ，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________. －2 [∵f ′(x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2cos x －sin x ， ∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2cos π2－sin π2＝－1， ∴f ′(x )＝－cos x －sin x ，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－cos π4－sin π4＝－ 2.] 三、解答题9．求下列函数的导数．(1)y ＝5x 2；(2)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2；[解] (1)(2)∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x ， ∴y ′＝(cos x )′＝－sin x .(3)∵y ＝2sin x 2cos x 2＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x .10．求证：双曲线xy ＝1上任何一点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为常数．[证明] 由xy ＝1，得y ＝1x ，从而y ′＝－1x 2.在双曲线xy ＝1上任取一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，1x 0， 则在点P 处的切线斜率k ＝－1x 20. 切线方程为y －1x 0＝－1x 20(x －x 0)， 即y ＝－1x 20x ＋2x 0. 设该切线与x 轴、y 轴分别相交于A ，B 两点，则A (2x 0,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2x 0， 故S △OAB ＝12|OA |·|OB |＝12|2x 0|·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 0＝2. 所以双曲线上任意一点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为常数．[能力提升练]1．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，则f 2 019(x )＝( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos xD [f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )＝(sin x )′＝cos x ，f 2(x )＝f 1′(x )＝(cos x )′＝－sin x ，f 3(x )＝f 2′(x )＝(－sin x )′＝－cos x ，f 4(x )＝f 3′(x )＝(－cos x )′＝sin x ，所以4为最小正周期，故f 2 019(x )＝f 3(x )＝－cos x ．]2．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( )A ．e 22B ．3e 2C ．6e 2D ．9e 2A [因为y ′＝e x ，所以切线的斜率为k ＝e 2，切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)，令x＝0得y＝－e2；令y＝0得x＝1，故围成的三角形的面积为S＝12×1×|－e2|＝e22.]3．已知f(x)＝x2，g(x)＝ln x，若f′(x)－g′(x)＝1，则x＝________.1[f′(x)＝2x，g′(x)＝1x，由f′(x)－g′(x)＝1，得2x－1x＝1，解之得x1＝－12，x2＝1.∵x>0，∴x＝1.]4．设曲线y＝x n＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为x n，令a n＝lg x n，则a1＋a2＋…＋a99的值为________．－2[∵y′＝(n＋1)x n，∴曲线在点(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0，则x n＝nn＋1.故a n＝lgnn＋1＝lg n－lg (n＋1)．所以a1＋a2＋…＋a99＝(lg 1－lg 2)＋(lg 2－lg 3)＋…＋(lg 98－lg 99)＋(lg 99－lg 100)＝lg 1－lg 100＝－2.] 5．已知曲线y＝x在点(a，a)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，求a的值．[解]因为y′＝－12x，所以曲线y＝x在点(a，a)处的切线方程为：y－a＝－12a(x－a)，由x＝0得y＝32a，由y＝0得x＝3a，所以12·32a·3a＝18，解得a＝64.。
高中数学(苏教版 选修2-2)学业分层测评17 数学归纳法 Word版含答案
学业分层测评(十七)(建议用时：分钟)[学业达标]一、填空题.设()＝＋＋＋…＋(∈*)，那么(＋)－()等于.【解析】(＋)－()＝＋＋＋…＋＋＋＋－()＝＋＋.【答案】＋＋.(·无锡高二期末)用数学归纳法证明不等式“＋＋＋…＋＞”，当＝时，不等式左边的项为：.【解析】不等式左边分子是，分母是从＋一直到＋的分数之和，当＝时，＋＝＋＝，左边项为＋＋.【答案】＋＋.用数学归纳法证明：“＞＋对于≥的正整数都成立”时，第一步证明中的起始值应取值.【导学号：】【解析】∵当＝时，＝＋；当＝时，＜＋，当＝时，＜＋；当＝时，＜＋；当≥时，＞＋恒成立.∴＝.【答案】.若()＝＋＋＋…＋()，∈*，则(＋)－()＝.【解析】()＝＋＋＋…＋()，(＋)＝＋＋＋…＋()＋(＋)＋(＋)，则(＋)－()＝(＋)＋(＋).【答案】(＋)＋(＋).已知数列{}的前项和＝(≥)，而＝，通过计算，，，猜想＝.【解析】＝＝，＝，＝，＝，猜想＝.【答案】.用数学归纳法证明≥(，是非负实数，∈*)时，假设＝命题成立之后，证明＝＋时命题也成立的关键是两边同乘以.【解析】要想办法出现＋＋＋，两边同乘以，右边也出现了要证的＋.【答案】.以下是用数学归纳法证明“∈*时，＞”的过程，证明：()当＝时，＞，不等式显然成立.()假设当＝(∈*)时不等式成立，即＞.那么，当＝＋时，＋＝×＝＋＞＋≥＋＋＝(＋).即当＝＋时不等式也成立.根据()和()，可知对任何∈*不等式都成立.其中错误的步骤为(填序号).【解析】在＋＝×＝＋＞＋≥＋＋中用了≥＋，这是一个不确定的结论.如＝时，＜＋.【答案】().用数学归纳法证明＋＋…＋(－)＋＋(－)＋…＋＋＝时，由＝的假设到证明＝＋时，等式左边应添加的式子是.【解析】当＝时，左边＝＋＋…＋(－)＋＋(－)＋…＋＋.当＝＋时，左边＝＋＋…＋＋(＋)＋＋(－)＋…＋＋，所以左边添加的式子为(＋)＋.【答案】(＋)＋二、解答题.用数学归纳法证明：当∈*时，＋＋＋…＋＜(＋).【证明】()当＝时，左边＝，右边＝＜，不等式成立.()假设当＝(∈*)时不等式成立，即＋＋＋…＋＜(＋)，那么，当＝＋时，左边＝＋＋＋…＋＋(＋)＋＜(＋)＋(＋)＋＝(＋)(＋)＜(＋)＋＝[(＋)＋]＋＝右边，即左边＜右边，即当＝＋时不等式也成立.根据()和()，可知不等式对任意∈*都成立..已知数列{}满足＋＝，＝.试猜想{}的通项公式，并用数学归纳法证明.＝，＝，得【解】由＋＝＝，＝＝，＝＝，＝＝，….归纳上述结果，可得猜想＝(＝，…).。
2016-2017学年高中数学 模块综合测评 苏教版选修2-2
模块综合测评(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把正确答案填在题中的横线上) 1.已知复数z ＝5i1＋2i(i 是虚数单位)，则|z |＝________. 【解析】 |z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪5i 1＋2i ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－5＝|i ＋2|＝ 5. 【答案】52.若f (x )＝sin α－cos x (α是常数)，则f ′(α)＝________. 【解析】 f ′(x )＝(sin α－cos x )′＝sin x ， ∴f ′(α)＝sin α. 【答案】 sin α3.(2016·重庆一中高二期末)复数z 满足z i －2i ＋1＝0(其中i 为虚数单位)，则z ＝________.【解析】 由z i －2i ＋1＝0得z ＝－1＋2i i ＝－1＋－－＝2＋i.【答案】 2＋i4.若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )>0的 解集为________. 【解析】 f ′(x )＝2x －2－4x >0，x 2－x －2x>0.∵x >0，∴(x －2)(x ＋1)>0. ∴x >2.【答案】 (2，＋∞)5.(2016·淄博质检)设复数z ＝1m ＋5＋(m 2＋2m －15)i 为实数，则实数m 的值是________.【解析】 由题意知m 2＋2m －15＝0，解之得m ＝3或m ＝－5.当m ＝－5时，1m ＋5无意义，所以m ＝3.【答案】 36.函数y ＝ln x (x >0)的图象与直线y ＝12x ＋a 相切，则a 等于________.【导学号：01580074】【解析】 y ′＝(ln x )′＝1x(x >0)，又y ＝ln x 的图象与直线y ＝12x ＋a 相切，∴1x ＝12，∴x ＝2， 因此，切点P (2，ln 2)在直线y ＝12x ＋a 上，∴ln 2＝1＋a ，∴a ＝ln 2－1. 【答案】 ln 2－17.观察下列的图形中小正方形的个数，则第10个图形中有________个小正方形.图1【解析】 第n 个图形中有小正方形1＋2＋…＋(n ＋1)＝n ＋n ＋2(个)，故第10个图形中有66个小正方形.【答案】 668.用数学归纳法证明“1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *，n >1)”时，由n ＝k (k >1，k ∈N *)不等式成立，推证n ＝k ＋1时，左边应增加的项数是________.【解析】 令f (n )＝1＋12＋13＋…＋12n －1，∴f (k ＋1)＝1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋…＋12k ＋1－1，因此应增加的项为12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1，共2k项.【答案】 2k9.(2016·天津高考)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若(1＋i)(1－b i)＝a ，则ab的值为________.【解析】 因为(1＋i)(1－b i)＝1＋b ＋(1－b )i ＝a ，又a ，b ∈R ，所以1＋b ＝a 且1－b ＝0，得a ＝2，b ＝1，所以a b＝2.【答案】 210.(2016·咸阳模拟)n ]表示不超过n 的最大整数.S 1＝1]＋2]＋3]＝3，S 2＝4]＋5]＋6]＋7]＋8]＝10，S 3＝9]＋10]＋11]＋12]＋13]＋14]＋15]＝21，……那么S n ＝________.【解析】 S 1＝12]＋12＋1]＋12＋2]＝1×3，S 2＝22]＋22＋1]＋22＋2]＋22＋3]＋22＋4]＝2×5，S 3＝32]＋32＋1]＋32＋2]＋32＋3]＋32＋4]＋32＋5]＋32＋6]＝3×7，观察式子规律，可以得出S n ＝n 2]＋n 2＋1]＋n 2＋2]＋…＋n 2＋2n ]＝n (2n ＋1). 【答案】 n (2n ＋1)11.(2014·湖南高考改编)若0<x 1<x 2<1，则下列四个结论正确的是________(填序号) ①e x 2－e x 1>ln x 2－ln x 1； ②e x 2－e x 1<ln x 2－ln x 1； ③x 2e x 1>x 1e x 2； ④x 2e x 1<x 1e x 2.【导学号：01580075】【解析】 设f (x )＝e x－ln x (0<x <1)，则f ′(x )＝e x－1x ＝x e x－1x.令f ′(x )＝0，得x e x －1＝0，根据函数y ＝e x与y ＝1x的图象可知两函数图象交点x 0∈(0,1)，因此函数f (x )在(0,1)上不是单调函数，故①②不正确.令g (x )＝exx(0<x <1)，则g ′(x )＝x e x －e x x 2＝e x x －x 2.当0<x <1时，g ′(x )<0，即g (x )在(0,1)上单调递减，∵0<x 1<x 2<1，∴g (x 2)<g (x 1)，即e x 2x 2<e x 1x 1，∴x 2e x 1>x 1e x 2.即③正确.【答案】 ③12.函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间是________.【解析】 y ′＝x －1x ＝x 2－1x＝x －x ＋x(x >0)令y ′<0，∵x >0，∴0<x <1，即函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间是(0,1).【答案】 (0,1)13.(2016·大连测试)已知函数f (x )＝e x－2x －1(其中e 为自然对数的底数)，则y ＝f (x )的图象大致为________(填序号).图2【解析】 依题意得f ′(x )＝e x－2.当x <ln 2时，f ′(x )<0，f (x )是减函数，f (x )>f (ln 2)＝1－2ln 2；当x >ln 2时，f ′(x )>0，f (x )是增函数，因此对照图象知③正确.【答案】 ③14.观察下列推理过程：∵tan 2α－1tan α＝2tan 2α－12tan α＝－2tan 2α，∴tan α－1tan α＝－2tan 2α， ∴tan 2α－1tan 2α＝－2tan 4α，∴tan 4α－1tan 4α＝－2tan 8α，…由此可化简：tan π31＋2tan 2π31＋4tan 4π31＋8tan 8π31＋16tan 16π31＝________.【解析】 由推理过程得tan α＝1tan α－2tan 2α，2tan 2α＝2tan 2α－4tan 4α，4tan 4α＝4tan 4α－8tan 8α，8tan 8α＝8tan 8α－16tan 16α，16tan 16α＝16tan 16α－32tan 32α，将这五个等式相加，得tan α＋2tan 2α＋4tan 4α＋8tan 8α＋16tan 16α＝1tan α－32tan 32α，令α＝π31，可得原式＝－31tan π31.【答案】 －31tan π31二、解答题(本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15.复数z 1＝3a ＋5＋(a 2－10)i ，z 2＝21－a＋(2a －5)i ，若z 1＋z 2是实数，求实数a 的值.【解】 z 1＋z 2＝3a ＋5＋(a 2－10)i ＋21－a＋(2a －5)i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋5＋21－a ＋(a 2－10)＋(2a －5)]i ＝a －13a ＋a －＋(a 2＋2a －15)i.∵z 1＋z 2是实数， ∴a 2＋2a －15＝0， 解得a ＝－5或a ＝3.∵a ＋5≠0，∴a ≠－5，故a ＝3.16.(本小题满分14分)已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3x ＋1. (1)当a ＝－2时，讨论f (x )的单调性；(2)若x ∈2，＋∞)时，f (x )≥0，求a 的取值范围. 【解】 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 3－32x 2＋3x ＋1，f ′(x )＝3x 2－62x ＋3.令f ′(x )＝0，得x 1＝2－1，x 2＝2＋1.当x ∈(－∞， 2－1)时，f ′(x )＞0，f (x )在(－∞，2－1)上是增函数； 当x ∈(2－1，2＋1)时，f ′(x )＜0，f (x )在(2－1, 2＋1)上是减函数； 当x ∈(2＋1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )在(2＋1，＋∞)上是增函数. (2)由f (2)≥0，得a ≥－54.当a ≥－54，x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＝3(x 2＋2ax ＋1)≥3⎝⎛⎭⎪⎫x 2－52x ＋1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(x －2)＞0，所以f (x )在(2，＋∞)上是增函数，于是当x ∈2，＋∞)时，f (x )≥f (2)≥0.综上，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－54，＋∞. 17.(本小题满分14分)设等差数列{a n }的公差为d ，S n 是{a n }中从第2n －1项开始的连续2n －1项的和，即S 1＝a 1， S 2＝a 2＋a 3， S 3＝a 4＋a 5＋a 6＋a 7，……S n ＝a 2n －1＋a 2n －1＋1＋…＋a 2n －1，……若S 1，S 2，S 3成等比数列，问：数列{S n }是否成等比数列？请说明你的理由. 【解】 ∵S 1，S 2，S 3成等比数列， ∴S 1＝a 1≠0，且S 1·S 3＝S 22，由S 1·S 3＝S 22，得a 1(a 4＋a 5＋a 6＋a 7)＝(a 2＋a 3)2， 即a 1(4a 1＋18d )＝(2a 1＋3d )2,2a 1d ＝3d 2.∴d ＝0或a 1＝32d .当d ＝0时，S n ＝2n －1a 1≠0，S n ＋1S n ＝2n a 12n －1a 1＝2(常数)，n ∈N *，{S n }成等比数列； 当a 1＝32d 时，S n ＝a 2n －1＋a 2n －1＋1＋a 2n －1＝2n －1a 2n －1＋2n －1n －1－2d＝2n －1a 1＋(2n －1－1)d ]＋2n －1n －1－2d＝2n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫32d ·2n －1＋a 1－32d ＝32d ·4n －1≠0， S n ＋1S n ＝32d ·4n32d ·4n －1＝4(常数)，n ∈N *，{S n }成等比数列. 综上所述，若S 1，S 2，S 3成等比数列，则{S n }成等比数列.18.(本小题满分16分)已知幂函数f (x )＝x －m 2＋2m ＋3(m ∈Z )为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数.(1)求函数f (x )的解析式；(2)设函数g (x )＝14f (x )＋ax 3＋92x 2－b (x ∈R )，其中a ，b ∈R ，若函数g (x )仅在x ＝0处有极值，求a 的取值范围.【解】 (1)因为f (x )在区间(0，＋∞)上是单调增函数， 所以－m 2＋2m ＋3>0，即m 2－2m －3<0， 所以－1<m <3，又m ∈Z ，所以m ＝0,1,2. 而m ＝0,2时，f (x )＝x 3不是偶函数，m ＝1时，f (x )＝x 4是偶函数，所以f (x )＝x 4.(2)由(1)知g (x )＝14x 4＋ax 3＋92x 2－b ，则g ′(x )＝x (x 2＋3ax ＋9)，显然x ＝0不是方程x 2＋3ax ＋9＝0的根. 为使g (x )仅在x ＝0处有极值， 必须x 2＋3ax ＋9≥0恒成立，即有Δ＝9a 2－36≤0，解不等式得a ∈－2,2]. 这时，g (0)＝－b 是唯一极值，所以a ∈－2,2].19.(本小题满分16分)在各项为正的数列{a n }中，数列的前n 项和S n 满足S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n .(1)求a 1，a 2，a 3；(2)由(1)猜想到数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想. 【解】 (1)由S 1＝a 1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋1a 1，得a 21＝1，因为a n >0，所以a 1＝1.由S 2＝a 1＋a 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2，得a 22＋2a 2－1＝0，所以a 2＝2－1，由S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＋1a 3，得a 23＋22a 3－1＝0，所以a 3＝3－ 2. (2)猜想a n ＝n －n －1(n ∈N *). 证明：①当n ＝1时，a 1＝1－0＝1，命题成立；②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，a k ＝k －k －1成立，则n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1a k ， 即a k ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫k －k －1＋1k －k －1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－k ，所以a 2k ＋1＋2ka k ＋1－1＝0.所以a k ＋1＝k ＋1－k ， 则n ＝k ＋1时，命题成立.则①②知，n ∈N *，a n ＝n －n －1.20.(本小题满分16分)设函数f (x )＝a e xln x ＋b e x －1x，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝e(x －1)＋2.(1)求a ，b ； (2)证明：f (x )>1.【解】 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a e x ln x ＋a x e x －b x 2e x －1＋bxe x －1.由题意可得f (1)＝2，f ′(1)＝e.故a ＝1，b ＝2. (2)证明：由(1)知，f (x )＝e xln x ＋2xe x －1，从而f (x )>1等价于x ln x >x e －x－2e .设函数g (x )＝x ln x ，则g ′(x )＝1＋ln x .所以当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，g ′(x )<0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，g ′(x )>0. 故g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增，从而g (x )在(0，＋∞)上的最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e . 设函数h (x )＝x e －x －2e ，则h ′(x )＝e －x(1－x ).所以当x ∈(0,1)时，h ′(x )>0； 当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )<0.故h (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 从而h (x )在(0，＋∞)上的最大值为h (1)＝－1e .综上，当x >0时，g (x )>h (x )，即f (x )>1.。
高中数学苏教版选修2-2第三章《数系的扩充与复数的引入》word导学案(含解析)
第 3 章 数系的扩充与复数的引入第1课时 数系的扩充教学过程随着生产和科学发展的需要数集逐步扩充,它的每一次扩充,对数学学科本身来说,也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾,分数解决了在整数集中不能整除的矛盾,负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾,无理数解决了开方开不尽的矛盾.一、 问题情境怎样将实数集进行扩充,使得x 2=-1之类方程在新的数集中有解呢?二、 数学建构问题1 怎样解决-1也能开平方的问题?解 引入虚数单位i ,规定:① i 2=-1;① 实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有加、乘运算律仍然成立.i 是-1的一个平方根.问题2 根据虚数单位的规定,得到形如a+b i (a ,b ∈R )的数,这样的新数由两部分组成,用怎样的名词定义这样的新数?解 ① 复数的定义:形如a+b i (a ,b ∈R )的数叫复数,a 叫复数的实部,b 叫复数的虚部,全体复数所成的集合叫做复数集,用字母C 表示.① 复数的代数形式:复数通常用字母z 表示,即z=a+b i (a ,b ∈R ),把复数表示成a+b i 的形式,叫做复数的代数形式.问题3 复数与实数有什么关系?解 对于复数a+b i (a ,b ∈R ),当且仅当b=0时,复数a+b i (a ,b ∈R )是实数a ;当b ≠0时,复数z=a+b i 叫做虚数;当a=0且b ≠0时,z=b i 叫做纯虚数;当且仅当a=b=0时,z 就是实数0.(图1)学生分组活动活动1 复数集C 和实数集R 之间有什么关系? 活动2 如何对复数a+b i (a ,b ∈R )进行分类? 活动3 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系,可以用韦恩图表示出来吗? 问题4 a=0是z=a+b i 为纯虚数的充分条件吗? 解 是必要不充分条件. 问题5 两个复数相等的充要条件是什么? 解 两个复数相等的定义:如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等,如果a,b,c,d∈R,那么a+b i=c+d i∈a=c,b=d.问题6:任何两个复数都能比较大小吗?解如果两个复数都是实数,就可以比较大小;当两个复数不全是实数时,不能比较大小.三、数学运用【例1】(教材第110页例1)写出复数4,2-3i,0,-+i,5+i,6i的实部与虚部,并指出哪些是实数,哪些是虚数,哪些是纯虚数.[1](见学生用书P54)[处理建议]让学生口答,根据复数的定义,学生一般能回答这个问题,指出复数由两部分组成.[规范板书]解4,2-3i,0,-+i,5+i,6i的实部分别是4,2,0,-,5,0;虚部分别是0,-3,0,, ,6.4,0是实数;2-3i,-+i,5+i,6i是虚数,其中6i是纯虚数.[题后反思]对于复数z=a+b i(a,b∈R),既要从整体的角度去认识它,把复数z看成一个整体,又要从实部与虚部的角度分解成两部分去认识它.这是解复数问题的重要思路之一.变式实数0是复数吗?i2的实部与虚部分别是什么?[规范板书]解0是复数;由i2=-1知,i2实部为-1,虚部为0.【例2】(教材第110页例2)实数m取什么值时,复数z=m(m-1)+i(m-1)是:(见学生用书P54)(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?[2][处理建议]先分析,注意字母的取值范围.由m∈R可知(m-1),m(m-1)都是实数,根据复数的分类分别确定m的值.然后让学生上黑板板书,看学生是否是先列式后求解.尤其观察学生有没有对纯虚数分实部、虚部两个方面列式.[规范板书]解(1)当m-1=0,即m=1时,复数z是实数.(2)当m-1≠0,即m≠1时,复数z是虚数.(3)当m(m-1)=0,且m-1≠0,即m=0时,复数z是纯虚数.[题后反思]判断一个含有参数的复数在什么情况下是实数、虚数、纯虚数,首先要观察参数的取值范围,然后正确列式、解方程或不等式.变式m取何实数时,复数z=+(m2-2m-15)i 是:(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?[规范板书]解(1)由解得所以当m=5时,z是实数.(2)由得所以当m≠5且m≠-3时,z是虚数.(3)由得所以当m=3或m=-2时,z是纯虚数.[题后反思]判断一个含有参数的复数在什么情况下是实数、虚数、纯虚数,首先要保证参数值有意义,如果忽略了实部是含参数的分式中的分母m+3≠0,就会酿成根本性的错误;其次对参数值的取舍,是取“并”还是“交”,非常关键,多与少都是不对的,解答后进行验算是很有必要的.【例3】(教材第111页例3)已知(x+y)+(x-2y)i=(2x-5)+(3x+y)i,求实数x,y的值.[3](见学生用书P54)[处理建议]要让学生规范表达和书写,把复数相等转化为求实数方程组的解.[规范板书]解根据两个复数相等的充要条件,可得解得[题后反思]复数问题实数化.变式已知M={1,(m2-2m)+(m2+m-2)i},P={-1,1,4i},若M∈P=P,求实数m的值.[规范板书]解因为M∈P=P,所以M∈P.①由(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1,得解得m=1.①由(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i,得解得m=2.综上可知m=1或m=2.[题后反思](1)复数相等的条件,是求复数值及在复数集内解方程的重要依据.(2)根据复数相等的定义可知,在a=c,b=d中,只要有一个不成立,那么a+b i≠c+d i.所以,一般地,两个复数只有说相等或不相等,而不能比较大小,例如,1+i和3+5i不能比较大小.*【例4】已知复数z=k2-3k+(k2-5k+6)i(k∈R),且z<0,求k的值.[4][处理建议]分析条件,由z<0知z∈R且实部为负数.[规范板书]解因为z<0,k∈R,所以所以k=2.[题后反思]只有两个复数都是实数时,才能比较大小.一般地,两个复数只有说相等或不相等,而不能比较大小,例如,2i和3i不能比较大小.四、课堂练习1.设C={x|x为复数},A={x|x为实数},B={x|x为纯虚数},全集U=C,那么下列结论正确的是①.(填序号)①A∈B=C;①∈U A=B;①A∩∈U B=∈;①B∈∈U B=C.2.已知a,b∈R,则a=b是(a-b)+(a+b)i为纯虚数的必要不充分条件.3.已知复数z=m2(1+i)-(m+i)(m∈R),若z是实数,则m的值为±1;若z是虚数,则m的取值范围是(-∞,-1)∈(-1,1)∈(1,+∞);若z是纯虚数,则m的值为0.提示z=(m2-m)+(m2-1)i.当m2-1=0,即m=±1时,复数z是实数.当m2-1≠0,即m≠±1时,复数z是虚数.当m2-m=0,且m2-1≠0,即m=0时,复数z是纯虚数.4.若实数x,y满足(x+y)+(x-y)i=2,则xy的值是1.提示由(x+y)+(x-y)i=2(x,y∈R)得所以所以xy=1.五、课堂小结1.本节课我们学习了虚数单位i及它的两条性质,复数的定义、实部、虚部及有关分类问题,复数相等的充要条件等概念.2.基本思想是:利用复数的概念,联系以前学过的实数的性质,对复数的知识形成较完整的认识,以及利用转化的思想将复数问题转化为实数问题.第2课时复数的四则运算(1)教学过程一、问题情境由(2+3x)+(1-4x)=3-x类比猜想,能否按同样的法则实施复数的加法呢?例如,(2+3i)+(1-4i)=3-i是否合理?二、数学建构问题1在复数集中两个复数如何进行加法运算?解在引入虚数单位i的过程中,规定i与实数一起可以按照实数的运算法则进行四则运算.在对复数的加法进行运算时,又作一次新的规定:规定:若z1=a+b i,z2=c+d i,则z1+z2=(a+b i)+(c+d i)=(a+c)+(b+d)i.问题2在实数范围内,两个数的加法满足哪些运算律?在复数范围内,能否也成立?问题3怎样理解复数的减法法则?解复数减法是复数加法的逆运算.设(a+b i)-(c+d i)=x+y i(x,y∈R),即复数x+y i为复数a+b i减去复数c+d i的差.由规定,得(x+y i)+(c+d i)=a+b i,依据加法法则,得(x+c)+(y+d)i=a+b i,依据复数相等定义,得即故(a+b i)-(c+d i)=(a-c)+(b-d)i.从而记z1=a+b i,z2=c+d i,得z1-z2=(a+b i)-(c+d i)=(a-c)+(b-d)i.问题4初中学习了多项式乘以多项式,你们能化简(a+b)(c+d)吗(a,b,c,d是有理数)?积还是无理数吗?若将“”换为“i”,其中i是虚数单位,能化简吗?(a,b,c,d都是实数)解(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd··=(ac+2bd)+(ad+bc).因为a,b,c,d∈Q,所以ac,2bd,ad,bc都是有理数.所以ac+2bd∈Q,ad+bc∈Q.而是无理数,当ad+bc≠0时,(a+b)(c+d)是无理数.又(a+b i)(c+d i)=ac+ad i+bc i+bd i2=(ac-bd)+(ad+bc)i.(因为i2=-1,所以才能合并)因为a,b,c,d∈R,所以ac-bd∈R,ad+bc∈R.所以(ac-bd)+(ad+bc)i是复数.这就是两个复数的代数形式的乘法运算法则,于是规定复数的乘法按照以下的法则进行:设z1=a+b i,z2=c+d i(a,b,c,d∈R)是任意两个复数,那么它们的积(a+b i)(c+d i)=(ac-bd)+(bc+ad)i.其实就是把两个复数相乘,类似两个多项式相乘,在所得的结果中把i2换成-1,并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.问题5实数的乘法满足哪些运算律?复数中能类比吗?解实数中的乘法运算满足交换律、结合律以及分配律.这些在复数集中的乘法运算也是成立的,即z1,z2,z3∈C,有(1)z1·z2=z2·z1;(2)(z1·z2)·z3=z1·(z2·z3);(3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.复数的代数式相乘,可按多项式类似的办法进行,只是在运算过程中把i2换成-1,然后把实部与虚部分别合并,不必去记公式.问题6复数z=a+b i的共轭复数是什么?特别地,实数a的共轭复数是什么?解=a-b i;实数的共轭复数是它本身.三、数学运用【例1】(教材第114页例1)计算:(1-3i)-(2+5i)+(-4+9i).[1](见学生用书P55)[处理建议]类比多项式合并同类项法则,把实部与虚部分别相加减.[规范板书]解原式=(1-2-4)+(-3-5+9)i=-5+i.[题后反思]不要省略步骤,提高运算的正确率.变式计算(1-2i)+(-2+3i)+(3-4i)+(-4+5i)+…+(-2019+2019i)+(2019-2019i).[规范板书]解法一原式=(1-2+3-4+...-2019+2019)+(-2+3-4+5+ (2019)2019)i=(2019-1001)+(1001-2019)i=1002-1003i.解法二因为(1-2i)+(-2+3i)=-1+i,(3-4i)+(-4+5i)=-1+i,…(2019-2019i)+(-2019+2019i)=-1+i,相加得(共有1001个式子):原式=1001(-1+i)+(2019-2019i)=(2019-1001)+(1001-2019)i=1002-1003i.【例2】(教材第114页例2)计算(-2-i)(3-2i)(-1+3i).[2](见学生用书P56)[处理建议]3个复数相乘,先计算其中两个复数的积,再与第3个复数相乘.[规范板书]解原式=(-8+i)(-1+3i)=5-25i.[题后反思]也可以计算后两个复数的积,再与第1个复数相乘,从而验证复数乘法满足结合律.【例3】(教材第114页例3)计算(a+b i)(a-b i).[3](见学生用书P56)[处理建议]类比多项式平方差公式,要记得把i2换成-1.[规范板书]解原式=a2-(b i)2=a2+b2.[题后反思]在复数集内,两个实数的平方和也能分解因式.变式在复数范围内分解因式:(1)x2+4;(2)x4-4.[规范板书]解(1)x2+4=(x+2i)(x-2i).(2)x4-4=(x2+2)(x2-2)=(x+i)(x-i)(x+)(x-).*【例4】已知z=(3i-1)i,则=-3+i.[4][处理建议]先进行乘法运算,然后根据共轭复数的定义求出结果.[规范板书]解z=(3i-1)i=-3-i,所以=-3+i.[题后反思]认清符号表示z的共轭复数.*【例5】已知z-3i=1+3i,求复数z.[5][处理建议]这是一道复数方程,利用复数相等的充要条件把复数方程转化为实数方程组.[规范板书]解设z=a+b i(a,b∈R),则a2+b2-3i(a-b i)=1+3i,所以有a2+b2-3b=1且-3a=3,解得a=-1,b=0或b=3,故z=-1或z=-1+3i.[题后反思]待定系数法解复数方程.四、课堂练习1.计算:(6+6i)+(3-i)-(5-3i)=4+8i.提示(6+6i)+(3-i)-(5-3i)=(6+3-5)+(6-1+3)i=4+8i.2.复数z=i2(1+i)的虚部为-1.提示z=i2(1+i)=(-1)·(1+i)=-1-i,所以虚部为-1.3.若复数z=-1+2i,则复数的虚部是-2.提示因为z=-1+2i,所以=-1-2i,所以虚部为-2.4.把复数z的共轭复数记作,i为虚数单位,若z=1+i,则(1+z)·=3-i.提示(1+z)·=(2+i)(1-i)=3-i.5.(教材第115页练习6)求满足下列条件的复数z:(1)z+i-3=3-i;(2)+(3-4i)=1;(3)(3-i)z=4+2i;(4)(-i)z=+i.解(1)z=6-2i.(2)=-2+4i,z=-2-4i.(3)z===1+i.(4)z===+i.五、课堂小结1.这节课我们学习了复数代数形式的加、减法运算及乘法运算.2.基本思想是:类比多项式的运算,理解复数的相关运算.[6]第3课时复数的四则运算(2)教学过程一、问题情境在实数中,除法运算是乘法的逆运算.类似地,可以怎样定义复数的除法运算?二、数学建构问题1复数的除法法则是什么?解设复数a+b i(a,b∈R)除以c+d i(c,d∈R),其商为x+y i(x,y∈R),其中c+d i≠0,即(a+b i)÷(c+d i)=x+y i.因为(x+y i)(c+d i)=(cx-dy)+(dx+cy)i,所以(cx-dy)+(dx+cy)i=a+b i.由复数相等的定义可知解这个方程组,得于是有(a+b i)÷(c+d i)=+i.由于c+d i≠0,所以c2+d2≠0,可见两个复数的商仍是一个复数.利用待定系数法和等价转化的思想来推导除法法则,最后再利用两个复数相等的定义解.问题2初中我们学习的化简无理分式时,采用的分母有理化的思想方法,而c+d i的共轭复数是c-d i,能否模仿分母有理化的方法对复数商的形式进行分母实数化?解====+i.所以(a+b i)÷(c+d i)=+i.三、数学运用【例1】i+i2+i3+…+i2 010+i2 011+i2 012.[1](见学生用书P57)[处理建议]i n是周期出现的,i n+i n+1+i n+2+i n+3=0(n∈N*).[规范板书]解原式=(i+i2+i3+i4)+(i5+i6+i7+i8)+…+(i2 009+i2 010+i2 011+i2 012)=0.[题后反思]可能有学生考虑用等比数列求和公式.原式==0,这个方法也很好.变式计算i+2i2+3i3+…+1 997i1 997.[规范板书]解原式=(i-2-3i+4)+(5i-6-7i+8)+(9i-10-11i+12)+…+(1993i-1994-1995i+1996)+1 997i=499·(2-2i)+1 997i=998+999i.【例2】(教材第116页例4)设ω=-+i,求证:(1) 1+ω+ω2=0;(2)ω3=1;(3)ω2=,=ω.[2](见学生用书P57)[处理建议]先计算ω2,再做加法.[规范板书]证明(1) 1+ω+ω2=1++=+i+-2××i+=+i+-i-=0.(2)ω3==+3··i+3··+=-+i+-i=+i=1.(3)ω=1,由(2)知ω2===,同理=ω.[题后反思]对于第(2)小题,也可以这样做,要证ω3=1,只要证ω3-1=0即可.由ω3-1=(ω-1)·(ω2+ω+1)=(ω-1)·0=0,由此可知,1有3个立方根:1,ω,.变式设z=+i,求证:(1) 1-z+z2=0;(2)z3=1;(3)z2=-.[规范板书]解由例2知z=+i=-,所以=-ω.(1) 1-z+z2=1++(-)2=1++ω=0.(2)z3=(-)3=1.(3)z2=(-)2=ω=-.【例3】计算:(1+2i)÷(3-4i).[3](见学生用书P58)[处理建议]用两种方法做复数的除法运算.[规范板书]解法一设(1+2i)÷(3-4i)=x+y i,所以1+2i=(3-4i)(x+y i),1+2i=(3x+4y)+(3y-4x)i.所以3x+4y=1且3y-4x=2.所以x=-,y=.所以(1+2i)÷(3-4i)=-+i.解法二(1+2i)÷(3-4i)=====-+i.[题后反思]解法一根据复数相等的充要条件应用待定系数法求复数,是常用的方法之一;解法二体现了复数问题实数化的基本思想.变式计算.解原式======1-i.*【例4】计算+.[4][处理建议]先计算=-i,再利用i n的周期性;对于,不易发现分子与分母的关系,可先启发寻找a+b i与b-a i之间的关系.[规范板书]解原式=+=-i+(-i)1997=-2i.[题后反思]在学习过程中积累一些常用结论,可以更有效地简化计算,提高计算速度.又如(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i,=-i,===i.变式计算:i2 007+(+i)8-+.解原式=i4×501+3+[2(1+i)2]4-+=i3+(4i)4-+i=-i+256++i=256+=256-i.*【例5】已知z2=8+6i,求复数f(z)=z3-16z-的值.[5][处理建议]利用待定系数法,求出z,再代入求f(z).[规范板书]解设z=x+y i(x,y∈R),所以由①得y=,代入①得x2-=8,所以x4-8x2-9=0,所以x2=9或x2=-1(舍去).所以x=±3.当x=3时,y=1;当x=-3时,y=-1.所以z=±(3+i).当z=3+i时,f(3+i)=(3+i)3-16(3+i)-=33+3·32·i+3·3·i2+i3-48-16i-=27+27i-9-i-48-16i-30+10i=-60+20i.当z=-3-i时,f(-3-i)=(-3-i)3-16(-3-i)-=-(27+27i-9-i)+48+16i+=60-20i.[题后反思]通过此例,会求任意一个复数的平方根,会在复数范围内求函数式的值.四、课堂练习1.复数-i+=-2i .提示-i+=-i-i=-2i.2.计算:(1);(2).解(1)===-i.(2)解法一====i.解法二===i.3.=-i.解=i2 011=i3=-i.4.在复数范围内写出方程x4=1的根.解x4-1=(x2-1)(x2+1)=(x+1)(x-1)(x+i)(x-i),所以方程x4=1的根为1,-1,i,-i.五、课堂小结1.在进行复数四则运算时,我们既要做到会做,会解,更要做到快速解答.在学习过程中积累一些常用结论,可以更有效地简化计算,提高计算速度,例如:(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i,=i,=-i;若ω=-+i,则1+ω+ω2=0,ω3=1;===i.2.在进行复数的四则运算时,容易出现的错误有:(1)由于对i的性质掌握不准确致误.如“i2=1”“i4=-1”等在计算中是常见的错误.事实上,i2=-1,i4=1.(2)在计算除法运算时出错.因为复数的除法运算是四则运算中最麻烦的一种,常会出现一些计算上的错误.第4课时复数的几何意义教学过程一、问题情境实数可以用数轴上的点来表示.实数数轴上的点.类比实数的表示,复数能否也用点来表示?二、数学建构问题1怎样用平面内的点表示复数?怎样理解复平面、实轴、虚轴?解复数z=a+b i(a,b∈R)与有序实数对(a,b)是一一对应关系,而有序实数对(a,b)与平面直角坐标系中的点Z(a,b)是一一对应的,复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系.复数z=a+b i(a,b∈R)可用点Z(a,b)表示,这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,也叫高斯平面,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数.因为原点对应的有序实数对为(0,0),它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数.故除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数.问题2复数与从原点出发的向量是如何对应的?解复数z=a+b i(a,b∈R)的对应向量是以原点O为起点的,否则就谈不上一一对应.问题3我们知道任何一个实数都有绝对值,它表示数轴上与这个实数对应的点到原点的距离;那么我们可以给出复数的绝对值的概念吗?复数可以用向量表示,任何一个向量都有模(或绝对值),它表示向量的长度,那么复数的模与向量的模有什么联系?复数的模的几何意义是什么?解|z|==||,表示复平面内该点到原点的距离.问题4既然复数可以用向量表示,那么复数的加法有什么几何意义呢?[1]问题5复数减法是复数加法的逆运算,怎样利用向量减法的几何意义来认识复数减法的几何意义?两个复数差的模有什么几何意义?[2]解|z1-z2|表示复平面内与这两个复数对应的两点间的距离.通过该部分内容的学习,认识到复数加、减法的法则与平面向量加、减法的坐标形式是完全一致的,将数学不同知识之间建立起了联系.三、数学运用【例1】(教材第121页例1)在复平面内,分别用点和向量表示下列复数:4,2+i,-i,-1+3i,3-2i.[3](见学生用书P59)[处理建议]让学生上黑板画图,体会复数z=a+b i(a,b∈R)可用点Z(a,b)表示,也可以用原点O为起点的向量表示.[规范板书]如图,点A,B,C,D,E分别表示复数4,2+i,-i,-1+3i,3-2i.(例1)与之对应的向量可用,,,,来表示.[题后反思]了解复数的两种几何表示,常把复数z=a+b i说成点Z或向量.变式1在复平面内分别用点表示复数2-3i,5i,-3,-5+3i及其共轭复数.[规范板书]解复数2-3i,5i,-3,-5+3i表示的点分别为A,B,C,D,其对应的共轭复数表示的点分别为A',B',C',D'.作图如下:(变式)[题后反思]z,在复平面内对应的点关于x轴对称.变式2已知z=(x+1)+(y-1)i 在复平面所对应的点在第二象限,求x与y的取值范围.[规范板书]解由题得所以【例2】(教材第121页例2)已知复数z1=3+4i,z2=-1+5i,试比较它们模的大小.[4](见学生用书P60)[处理建议]要求学生口答复数模的计算公式.思考:z1,z2不能比较大小,为什么它们的模可以比较大小?[规范板书]解因为|z 1|==5,|z2|==,所以|z1|<|z2|.[题后反思]正确记忆复数模的计算公式,防止出现|z|=a2+b2;任意两个复数,它们的模都可以比较大小,但是两个复数,只要其中有一个不是实数,它们就不能比较大小.从自然数集逐步扩展到实数集,顺序性始终都是保持着的,但是在复数集中这一性质失去了.变式1已知复数z=(x-1)+(2x-1)i的模小于,那么实数x的取值范围是.提示由题意知(x-1)2+(2x-1)2<10,解得-<x<2.变式2已知复数z1=a+b i,z2=1+a i(a,b∈R),若|z1|<z2,则b的取值范围是(-1,1).提示因为|z1|<z2,所以z2为实数,故a=0,所以<1,即|b|<1,-1<b<1,所以b的取值范围是(-1,1).【例3】(教材第121页例3)设z∈C,满足下列条件的点Z的集合是什么图形?[5](1)|z|=2;(2) 2<|z|<3.(见学生用书P60)[处理建议]区分关于复数模的等式与不等式的几何意义.[规范板书](1)因为|z|=2,即||=2,所以满足|z|=2的点Z的集合是以原点为圆心、以2为半径的圆,如图(1).(例3(1))(例3(2))(2)不等式2<|z|<3可化为不等式组,不等式|z|>2的解集是圆|z|=2外部所有点组成的集合,不等式|z|<3的解集是圆|z|=3内部所有点组成的集合,这两个集合的交集就是上述不等式组的解集.因此,满是条件2<|z|<3的点Z的集合是以原点为圆心、分别以2和3为半径的两个圆所夹的圆环,但不包括圆环的边界,如图(2).[题后反思]了解复数模的几何意义,|z|表示复平面内该点到原点的距离.关于复数模的不等式组的几何意义是圆环(要区分是否包括边界).变式已知复数z满足条件z=x+y i,x<0,y>0,且x2+y2<9,求此复数在复平面内表示的图形.[规范板书]解如图所示,所求图形是以原点O为圆心的半径为3个单位长度的扇形OAB的内部,不包括边界和半径OA,OB.(变式)*【例4】设全集U=C,A={z|||z|-1|=1-|z|,z∈C},B={z||z|<1,z∈C},若z∈A∩(∈U B),求复数z 在复平面内对应的点的轨迹.[6][处理建议]求复数z在复平面内对应的点的轨迹,由复数模的几何意义可知,只需求出|z|所满足的条件即可.而这由z∈A∩(∈U B)及集合的运算即可得出.[规范板书]解因为z∈C,所以|z|∈R,所以1-|z|∈R,由||z|-1|=1-|z|,得1-|z|≥0,即|z|≤1,所以A={z||z|≤1,z∈C}.又因为B={z||z|<1,z∈C},所以∈U B={z||z|≥1,z∈C}.因为z∈A∩(∈U B)等价于z∈A 且z∈∈U B,所以成立,则有|z|=1,由复数模的几何意义知,复数z在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心、以1为半径的圆.[题后反思]对于复数的模,可以从以下两个方面进行理解:一是任何复数的模都表示一个非负的实数;二是复数的模表示该复数在复平面内对应的点到原点的距离.所以复数的模是实数的绝对值概念由一维空间向二维空间的一种推广.四、课堂练习1.下面给出4个不等式,其中正确的是①.(填序号)①3i>2i;①|2+3i|>|1-4i|;①|2-i|>2i4;①i2>-i.提示由两个复数如果不都是实数就不能比较大小可知①①错误.又因为|2+3i|=== ,|1-4i|==,所以|2+3i|<|1-4i|,故①错误.|2-i|=>2i4=2,故①正确.2.复数z=(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在的象限为第四象限.提示因为z===-i,所以复数z对应的点的坐标为,在第四象限.3.若复数3-5i,1-i和-2+a i在复平面上对应的点在同一条直线上,则实数a的值为5.提示复数3-5i,1-i和-2+a i在复平面内对应的点分别为(3,-5),(1,-1),(-2,a),所以由三点共线的条件可得=,解得a=5.4.已知z1,z2为复数,且|z1|=1,若z1+z2=2i,则|z1-z2|的最大值是4.提示由z1+z2=2i得z1=2i-z2,代入|z1|=1得|2i-z2|=1,所以|z2-2i|=1,即z2轨迹是以(0,2)为圆心、以1为半径的圆(如图).又z1轨迹为以原点为圆心、以1为半径的圆,故|z1-z2|为两圆上点的距离,最大值为4.(第4题)五、课堂小结1.复数z=a+b i(a,b∈R)的对应点的坐标为(a,b),而不是(a,b i).2.复数z=a+b i(a,b∈R)的对应向量是以原点O为起点的,否则就谈不上一一对应.3.|z|==||.4.复数z=a+b i、点Z(a,b)和向量之间的关系如下图所示.正因如此,常把复数z=a+b i说成点Z或向量.这种对应关系架起了联系复数与解析几何之间的桥梁,使得复数问题可以用几何方法解决,而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法),这增加了解决复数问题的途径.(图1)。
【苏教版】高二数学(选修2-2)阶段质量检测(三) 数系的扩充与复数的引入 (含答案)
阶段质量检测(三) 数系的扩充与复数的引入 [考试时间：120分钟 试卷总分：160分]一、填空题(本大题共14个小题，每小题5分，共70分，把答案填在题中横线上) 1．(新课标全国卷Ⅱ改编)设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2＝________.2．(山东高考改编)若a －i 与2＋b i 互为共轭复数，则(a ＋b i)2＝________. 3．若复数z 满足 (3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为________．4．已知m1＋i ＝1－n i ，其中m ，n 是实数，i 是虚数单位，则m ＋n i 等于________．5．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，则满足条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z z i ＝4＋2i 的复数z 为________． 6．在复平面内，复数2－i1＋i 对应的点位于第________象限．7.5(4＋i )2i (2＋i )＝________. 8．设a 是实数，且a1＋i＋1＋i 2是实数，则a 等于________．9．复数z 满足方程⎪⎪⎪⎪z ＋21＋i ＝4，那么复数z 的对应点P 组成图形为________． 10．已知集合M ＝{1,2，z i}，i 为虚数单位，N ＝{3,4}，M ∩N ＝{4}，则复数z ＝________. 11．若复数z 满足|z |－z ＝101－2i，则z ＝________. 12．若u u r OA ＝3i ＋4，u u u r OB ＝－1－i ，i 是虚数单位，则u u u rAB ＝________.(用复数代数形式表示)13．复数z 满足|z ＋1|＋|z －1|＝2，则|z ＋i ＋1|的最小值是________．14．已知关于x 的方程x 2＋(1＋2i)x －(3m －1)＝0有实根，则纯虚数m 的值是________． 二、解答题(本大题共6个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)计算： (1)(2＋i )(1－i )21－2i ；(2)4＋5i (5－4i )(1－i ).16．(本小题满分14分)求实数k 为何值时，复数(1＋i)k 2－(3＋5i)k －2(2＋3i)分别是： (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)零．17．(本小题满分14分)已知复数z 满足|z |＝1＋3i －z ，求(1＋i )2(3＋4i )22z 的值．18．(本小题满分16分)已知ω＝－12＋32i.(1)求ω2及ω2＋ω＋1的值；(2)若等比数列{a n }的首项为a 1＝1，公比q ＝ω，求数列{a n }的前n 项和S n .19.(本小题满分16分)已知z ＝a －i1－i (a ∈R 且a ＞0)，复数ω＝z (z ＋i)的虚部减去它的实部所得的差等于32，求复数ω的模．20．(本小题满分16分)已知复数z 满足|z |＝2，z 2的虚部为2. (1)求复数z ；(2)设z ，z 2，z －z 2在复平面内对应的点分别为A ，B ，C ，求△ABC 的面积．答 案1.解析：∵z 1＝2＋i 复平面内对应点(2,1)，又z 1与z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称， 则z 2的对应点为(－2,1)，则z 2＝－2＋i ， ∴z 1z 2＝(2＋i)(－2＋i)＝i 2－4＝－5. 答案：－52．解析：根据已知得a ＝2，b ＝1，所以(a ＋b i)2＝(2＋i)2＝3＋4i. 答案：3＋4i3．解析：∵(3－4i)z ＝|4＋3i|，∴z ＝|4＋3i|3－4i ＝5(3＋4i )(3－4i )(3＋4i )＝3＋4i 5＝35＋45i ，∴z 的虚部是45.答案：454．解析：m1＋i＝1－n i ，所以m ＝(1＋n )＋(1－n )i ，因为m ，n ∈R ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1－n ＝0，1＋n ＝m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧n ＝1，m ＝2，即m ＋n i ＝2＋i. 答案：2＋i5．解析：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z z i ＝z i ＋z ，设z ＝x ＋y i ，∴z i ＋z ＝x i －y ＋x ＋y i ＝x －y ＋(x ＋y )i ＝4＋2i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝4，x ＋y ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1.∴z ＝3－i. 答案：3－i6．解析：2－i 1＋i ＝(2－i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝1－3i 12＋12＝12－32i ，对应的点位于第四象限． 答案：四7．解析：5(4＋i )2i (2＋i )＝5(15＋8i )－1＋2i ＝5(15＋8i )(－1－2i )(－1)2＋22＝1－38i.答案：1－38i8．解析：∵a1＋i ＋1＋i 2＝a (1－i )2＋1＋i 2＝⎝⎛⎭⎫a 2＋12＋(1－a )2i 是实数，∴1－a2＝0，即a ＝1.答案：19．解析：⎪⎪⎪⎪⎪⎪z ＋21＋i ＝|z ＋(1－i)|＝|z －(－1＋i)|＝4.设－1＋i 对应的点为C (－1,1)，则|PC |＝4，因此动点P 的轨迹是以C (－1,1)为圆心，4为半径的圆．答案：以(－1,1)为圆心，以4为半径的圆 10．解析：由M ∩N ＝{4}，知4∈M ， 故z i ＝4，∴z ＝4i ＝－4i.答案：－4i11．解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， ∴|z |－z ＝a 2＋b 2－(a －b i)＝a 2＋b 2－a ＋b i ，101－2i ＝10(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝10(1＋2i )12＋22＝2＋4i ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－a ＝2，b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝4.∴z ＝3＋4i. 答案：3＋4i12．解析：由于u u r OA ＝3i ＋4，u u u rOB ＝－1－i ，i 是虚数单位， 所以u u u r AB ＝u uu r OB －u u r OA ＝(－1－i)－(3i ＋4)＝－5－4i.答案：－5－4i13．解析：由|z ＋1|＋|z －1|＝2，根据复数减法的几何意义可知，复数z 对应的点到两点(－1,0)和(1,0)的距离和为2，说明该点在线段y ＝0(x ∈[－1,1])上，而|z ＋i ＋1|为该点到点(－1，－1)的距离，其最小值为1.答案：114．解析：方程有实根，不妨设其一根为x 0，设m ＝a i 代入方程得x 20＋(1＋2i)x 0－(3a i －1)i ＝0，化简得，(2x 0＋1)i ＋x 20＋x 0＋3a ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x 0＋1＝0，x 20＋x 0＋3a ＝0，解得a ＝112，∴m ＝112i.答案：112i15．解：(1)(2＋i )(1－i )21－2i ＝(2＋i )(－2i )1－2i ＝2(1－2i )1－2i ＝2.(2)4＋5i (5－4i )(1－i )＝(5－4i )i(5－4i )(1－i ) ＝i1－i ＝i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝i －12＝－12＋12i.16．解：由z ＝(1＋i)k 2－(3＋5i)k －2(2＋3i)＝(k 2－3k －4)＋(k 2－5k －6)i. (1)当k 2－5k －6＝0时，z ∈R ， ∴k ＝6或k ＝－1.(2)当k 2－5k －6≠0时，z 是虚数，即k ≠6且k ≠－1.(3)当⎩⎪⎨⎪⎧ k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6≠0时，z 是纯虚数，∴k ＝4.(4)当⎩⎪⎨⎪⎧k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6＝0时，z ＝0，解得k ＝－1.综上，当k ＝6或k ＝－1时，z ∈R . 当k ≠6且k ≠－1时，z 是虚数．当k ＝4时，z 是纯虚数，当k ＝－1时，z ＝0. 17．解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由|z |＝1＋3i －z ， 得a 2＋b 2－1－3i ＋a ＋b i ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＋a －1＝0，b －3＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝3，所以z ＝－4＋3i.则(1＋i )2(3＋4i )22z ＝2i (3＋4i )22(－4＋3i )＝2(－4＋3i )(3＋4i )2(－4＋3i )＝3＋4i.18．解：(1)ω2＝⎝⎛⎭⎫－12＋32i 2＝14－32i －34＝－12－32i.ω2＋ω＋1＝⎝⎛⎭⎫－12－32i ＋⎝⎛⎭⎫－12＋32i ＋1＝0.(2)由于ω2＋ω＋1＝0，∴ωk ＋2＋ωk ＋1＋ωk ＝ωk (ω2＋ω＋1)＝0，k ∈Z .∴S n ＝1＋ω＋ω2＋…＋ωn －1＝⎩⎪⎨⎪⎧0， n ＝3k ，1， n ＝3k ＋1，1＋ω， n ＝3k ＋2，∴S n＝⎩⎪⎨⎪⎧0， n ＝3k (k ∈Z )，1， n ＝3k ＋1(k ∈Z )，12＋32i ， n ＝3k ＋2(k ∈Z ).19．解：把z ＝a －i1－i (a ＞0)代入ω中，得ω＝a －i 1－i ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －i 1－i ＋i ＝a ＋12＋a (a ＋1)2i.由a (a ＋1)2－a ＋12＝32，得a 2＝4.又a ＞0，所以a ＝2. 所以|ω|＝|32＋3i|＝325.20．解：(1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由已知条件得：a 2＋b 2＝2，z 2＝a 2－b 2＋2ab i ， 所以2ab ＝2.所以a＝b＝1或a＝b＝－1，即z＝1＋i或z＝－1－i.(2)当z＝1＋i时，z2＝(1＋i)2＝2i，z－z2＝1－i，所以点A(1,1)，B(0,2)，C(1，－1)，所以S△ABC＝12|AC|×1＝12×2×1＝1；当z＝－1－i时，z2＝(－1－i)2＝2i，z－z2＝－1－3i. 所以点A(－1，－1)，B(0,2)，C(－1，－3)，所以S△ABC＝12|AC|×1＝12×2×1＝1.即△ABC的面积为1.。
高中数学选修2-2第三章数系的扩充与复数的引入
第三章数系的扩充与复数的引入目录§3.1.1 数系的扩充与复数的概念（新授课）§3.1.2 复数的几何意义（新授课）§3.2.1 复数的代数形式的加减运算及其几何意义（新授课）§3.2.2 复数的代数形式的乘除运算（新授课）第三章数系的扩充与复数的引入小结与复习（复习课）选修 2-2 第三章复数基础练习（一）选修 2-2 第三章复数基础练习（一）答案选修 2-2 第三章复数基础练习（二）选修 2-2 第三章复数基础练习（二）答案第三章数系的扩充与复数的引入一、课程目标：本章学习的主要内容是数系的扩充与复数的概念，复数代数形式的四则运算。
复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充，这不仅可以使学生对于数的概念有一个初步的、完整的认识，也为进一步学习数学打下了基础。
通过本章学习，要使学生在问题情景中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性，学习复数得一些基本知识，体会人类理性思维在数系扩充中的作用。
二、学习目标：（1）、在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。
（2）、理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件。
（3）、了解复数的代数表示法及其几何意义。
（4）、能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。
三、本章知识结构：数系扩充复数引入复数的概念复数代数形式的四则运算四、课时安排：本章教学时间约 4 课时，具体分配如下：3.1数系的扩充与复数的概念3.2复数代数形式的四则运算约 2课时约 2课时§3.1.1数系的扩充与复数的概念（新授课）一、教学目标:知识与技能：了解数系的扩充过程，理解复数及其有关概念。
理解数系的扩充是与生活密切相关的，明白复数及其相关概念。
过程与方法：采取“阅读、质疑、探究”的过程，让学生体验数系的扩充过程。
情感、态度与价值观：让学生在“发现问题，解决问题”中增长技能，充分认识人类理性思维的能动性，使学生在掌握知识的同时增强战胜困难的信心和技能。
2016-2017学年高中数学苏教版选修2-2学业分层测评3 常见函数的导数 Word版含解析
学业分层测评(三)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．已知f (x )＝x 2，则f ′(－2)＝________.【解析】 f ′(x )＝2x ，∴f ′(－2)＝2×(－2)＝－4.【答案】 －42．若函数f (x )＝3x ，则f ′(8)＝________.【解析】 f ′(x )＝(x 13)′＝13x －23，则f ′(8)＝13×(23)－23＝13×2－2＝112.【答案】 1123．已知f (x )＝x z (z 为常数)，若f ′(－1)＝－4，则z 的值是________．【解析】 f ′(x )＝zx z －1，由f ′(－1)＝－4，得z ·(－1)z －1＝－4，所以z ＝4.【答案】 44．点P 在曲线y ＝4x 2上，曲线在该点处的切线倾斜角为135°，则点P 的坐标为________．【解析】 y ′＝(4x －2)′＝－8x －3，设点P (x 0，y 0)，依题意得－8x －30＝tan 135°＝－1，∴x 0＝2.又P (x 0，y 0)在曲线y ＝4x 2上，∴y 0＝1.【答案】 (2,1)5．曲线y ＝12x 2的平行于直线x －y ＋1＝0的切线方程为________．【解析】 ∵y ′＝x ，设切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，12x 20， ∴x 0＝1，则y 0＝12，切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，切线的斜率为1， ∴切线方程为：y －12＝x －1，即x －y －12＝0.【答案】x－y－12＝06．已知f(x)＝1x，g(x)＝mx，且g′(2)＝1f′(2)，则m＝________.【解析】∵f′(x)＝－1x2，∴f′(2)＝－14，又g′(x)＝m，∴g′(2)＝m，由g′(2)＝1f′(2)，∴m＝－4.【答案】－47．函数y＝x2(x>0)的图象在点(a k，a2k)处的切线与x轴的交点的横坐标为a k ＋1，其中k∈N*，若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是________．【解析】由y＝x2(x>0)得，y′＝2x，∴函数y＝x2(x>0)在点(a k，a2k)处的切线方程为：y－a2k＝2a k(x－a k)，令y＝0，得x＝a k2，即a k＋1＝a k2，∴a1＋a3＋a5＝16＋4＋1＝21.【答案】218．(2016·南京高二检测)已知函数y＝f(x)的图象在M(1，f(1))处的切线方程是y＝12x＋2，则f(1)＋f′(1)＝__________.【解析】依题意知，f(1)＝12×1＋2＝52，f′(1)＝12，∴f(1)＋f′(1)＝52＋12＝3.【答案】 3二、解答题9．求下列函数的导数(1)y＝5x2；(2)y＝sin⎝⎛⎭⎪⎫x＋π2；(3)y＝2sin x2cosx2；(4)y＝log12x2－log12x.【解】 (1)y ′＝(5x 2)′＝(x 25)′＝25x＝25x .(2)∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x ， ∴y ′＝(cos x )′＝－sin x .(3)∵y ＝2sin x 2cos x 2＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x .(4)∵y ＝log 12x 2－log 12x ＝log 12x ， ∴y ′＝(log 12x )′＝1x ln 12＝－1x ln 2.10．求证：双曲线xy ＝1上任何一点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为常数．【证明】 由xy ＝1，得y ＝1x ，从而y ′＝－1x 2.在双曲线xy ＝1上任取一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，1x 0， 则在点P 处的切线斜率k ＝－1x 20. 切线方程为y －1x 0＝－1x 20(x －x 0)， 即y ＝－1x 20x ＋2x 0. 设该切线与x 轴、y 轴分别相交于A ，B 两点，则A (2x 0,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2x 0， 故S △OAB ＝12|OA |·|OB |＝12|2x 0|·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 0＝2. 所以双曲线上任意一点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为常数．[能力提升]1．已知f (x )＝x 2，g (x )＝ln x ，若f ′(x )－g ′(x )＝1，则x ＝________.【导学号：01580008】【解析】 f ′(x )＝2x ，g ′(x )＝1x ，由f ′(x )－g ′(x )＝1，得2x －1x ＝1，解之得x 1＝－12，x 2＝1.∵x >0，∴x ＝1.【答案】 12．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N ，则f 2 016(x )＝________.【解析】 由题意f 1(x )＝cos x ，f 2(x )＝－sin x ，f 3(x )＝－cos x ，f 4(x )＝sin x ，f 5(x )＝cos x ，…，则可知周期为4.从而f 2 016(x )＝f 4(x )＝sin x .【答案】 sin x3．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n ＝lg x n ，则a 1＋a 2＋…＋a 99的值为________．【解析】 ∵y ′＝(n ＋1)x n ，∴曲线在点(1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0，则x n ＝n n ＋1.故a n ＝lg n n ＋1＝lg n －lg (n ＋1)．所以a 1＋a 2＋…＋a 99＝(lg 1－lg 2)＋(lg 2－lg 3)＋…＋(lg 98－lg 99)＋(lg 99－lg 100)＝lg 1－lg 100＝－2.【答案】 －24．已知曲线C ：y ＝x 2－2x ＋3，直线l ：x －y －4＝0，在曲线C 上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最短，并求出最短距离．【解】 设与直线l ：x －y －4＝0平行，且与曲线C ：y ＝x 2－2x ＋3相切的直线为x －y ＋k ＝0设P (x 0，y 0)，y ′＝2x －2∴2x 0－2＝1，解得x 0＝32y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322－2×32＋3＝94，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，94 ∴k ＝94－32＝34∴d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪34＋42＝1928 综上所述，点P 为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，94，最短距离为d ＝1928.。
2016-2017学年高中数学人教B版选修2-2学业分层测评 第
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．(2016·泰安高二检测)－(2－2i)的虚部是()A．－2B．－ 2C. 2 D．2【解析】∵－(2－2i)＝－2＋2i，∴其虚部是 2.【答案】 C2．如果C，R，I分别表示复数集，实数集和纯虚数集，其中C为全集，则() A．C＝R∪I B．R∪I＝{0}C．R＝C∩I D．R∩I＝∅【解析】复数包括实数与虚数，所以实数集与纯虚数集无交集．∴R∩I＝∅，故选D.【答案】 D3．(2016·肇庆高二检测)若x i－i2＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋y i＝()【导学号：05410061】A．－2＋i B．2＋iC．1－2i D．1＋2i【解析】由i2＝－1，得x i－i2＝1＋x i，则由题意得1＋x i＝y＋2i，根据复数相等的充要条件得x＝2，y＝1，故x＋y i＝2＋i.【答案】 B4．下列命题中，正确命题的个数是()①若x，y∈C，则x＋y i＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；②若a，b∈R且a>b，则a＋i>b＋i；③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0.A．0B．1C ．2D ．3【解析】 对于①，由于x ，y ∈C ，所以x ，y 不一定是x ＋y i 的实部和虚部，故①是假命题；对于②，由于两个虚数不能比较大小，故②是假命题； ③是假命题，如12＋i 2＝0，但1≠0，i ≠0. 【答案】 A5．复数i －2的虚部是( ) A ．i B ．－2 C ．1D ．2【解析】 i －2＝－2＋i ，因此虚部是1. 【答案】 C 二、填空题6．设i 为虚数单位，若复数z ＝(m 2＋2m －3)＋(m －1)i 是纯虚数，则实数m ＝__________.【解析】 依题意有⎩⎨⎧m 2＋2m －3＝0，m －1≠0，解得m ＝－3.【答案】 －37．以3i －2的虚部为实部，以3i 2＋2i 的实部为虚部的复数是__________． 【解析】 3i －2的虚部为3,3i 2＋2i ＝－3＋2i 的实部为－3，所以所求的复数是3－3i.【答案】 3－3i 8．有下列说法：①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等； ②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等； ③1－a i(a ∈R )是一个复数； ④纯虚数的平方不小于0；⑤－1的平方根只有一个，即为－i ； ⑥i 是方程x 4－1＝0的一个根； ⑦2i 是一个无理数．其中正确的有________(填序号)．【解析】 若两个复数相等，则有它们的实部、虚部均相等，故①正确；若虚部不相等，则两个复数一定不相等，故②正确；因满足形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数均为复数，故③正确；纯虚数的平方，如i 2＝－1，故④错误；－1的平方根不止一个，因为(±i)2＝－1，故⑤错误；∵i 4－1＝0成立，故⑥正确；2i 是虚数，而且是纯虚数，故⑦错误．综上，①②③⑥正确．【答案】 ①②③⑥ 三、解答题9．已知复数z ＝(m 2＋3m ＋2)＋(m 2－m －6)i ，则当实数m 为何值时，复数z (1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数． 【解】 z ＝(m 2＋3m ＋2)＋(m 2－m －6)i.(1)令m 2－m －6＝0⇒m ＝3或m ＝－2，即m ＝3或m ＝－2时，z 为实数． (2)令m 2－m －6≠0，解得m ≠－2且m ≠3，所以m ≠－2且m ≠3时，z 是虚数．(3)由⎩⎨⎧m 2＋3m ＋2＝0，m 2－m －6≠0，解得m ＝－1，所以m ＝－1时，z 是纯虚数．10．已知M ＝{1，(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i}，P ＝{－1,1，4i}，若M ∪P ＝P ，求实数m 的值．【解】 ∵M ∪P ＝P ，∴M ⊆P ，即(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1或(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i. 由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1，得⎩⎨⎧ m 2－2m ＝－1，m 2＋m －2＝0，解得m ＝1； 由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i ，得⎩⎨⎧m 2－2m ＝0，m 2＋m －2＝4，解得m ＝2. 综上可知，m ＝1或m ＝2.[能力提升]1．若复数z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ－35＋⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ－45i 是纯虚数，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4的值为( )A ．－7B ．－17 C ．7D ．－7或－17【解析】 ∵复数z 是纯虚数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧sin θ－35＝0，cos θ－45≠0，∴sin θ＝35且cos θ≠45，∴cos θ＝－45.∴tan θ＝sin θcos θ＝－34. ∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan θ－11＋tan θ＝－34－11－34＝－7，故选A.【答案】 A2．已知关于x 的方程x 2＋(m ＋2i)x ＋2＋2i ＝0(m ∈R )有实根n ，且z ＝m ＋n i ，则复数z ＝( )A ．3＋iB ．3－iC ．－3－iD ．－3＋i【解析】 由题意，知n 2＋(m ＋2i)n ＋2＋2i ＝0， 即n 2＋mn ＋2＋(2n ＋2)i ＝0，所以⎩⎨⎧ n 2＋mn ＋2＝0，2n ＋2＝0，解得⎩⎨⎧m ＝3，n ＝－1，所以z ＝3－i. 【答案】 B3．设复数z ＝1m ＋5＋(m 2＋2m －15)i 为实数，则实数m 的值是__________.【导学号：05410062】【解析】 依题意有⎩⎨⎧m 2＋2m －15＝0，m ＋5≠0，解得m ＝3. 【答案】 34．如果log 12(m ＋n )－(m 2－3m )i>－1，求自然数m ，n 的值．【解】 因为log 12(m ＋n )－(m 2－3m )i>－1，所以log 12(m ＋n )－(m 2－3m )i 是实数，从而有⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－3m ＝0，log 12(m ＋n )>－1，①②由①得m ＝0或m ＝3，当m ＝0时，代入②得n <2，又m ＋n >0，所以n ＝1； 当m ＝3时，代入②得n <－1，与n 是自然数矛盾． 综上可得，m ＝0，n ＝1.。
高中数学苏教版选修2-2学业分层测评：第三章 数系的扩充与复数的引入 20含解析
学业分层测评(二十)(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1.(2016·盐城期末)设复数z 满足iz ＝－3＋i(i 为虚数单位)，则z 的实部为________.【解析】 由iz ＝－3＋i 得，z ＝－3＋i i＝1＋3i ，则z 的实部为1. 【答案】 12.(2016·吉林一中高二期末)复数52i －1的共轭复数是________. 【解析】 ∵52i －1＝5(2i ＋1)(2i －1)(2i ＋1)＝－1－2i. ∴52i －1的共轭复数是－1＋2i. 【答案】 －1＋2i3.复数1－3i (3＋i )2＝________.【解析】 原式＝1－3i 2(1＋3i )＝(1－3i )22(1＋3i )(1－3i )＝－14－34i. 【答案】 －14－34i 4.设i 是虚数单位，则i 3(i ＋1)i －1等于________.【解析】 (1)∵i ＋1i －1＝－(1＋i )2(1－i )(1＋i )＝2i－2＝－i ，∴i 3(i ＋1)i －1＝i 3·(－i)＝－i 4＝－1. 【答案】 －15.(2015·全国卷Ⅰ改编)设复数z 满足1＋z 1－z ＝i ，则|z|＝________. 【解析】 由1＋z 1－z ＝i ，得z ＝－1＋i 1＋i ＝(－1＋i )(1－i )2＝2i 2＝i ，所以|z|＝|i|＝1.【答案】 16.(2014·北京高考)若(x ＋i)i ＝－1＋2i ，(x ∈R)，则x ＝________.【解析】 由(x ＋i)i ＝－1＋2i ，得x ＝－1＋2i i －i ＝－i ＋2i 2i 2－i ＝2. 【答案】 27.设i 是虚数单位，复数1＋ai 2－i为纯虚数，则实数a 的值是________. 【解析】 1＋ai 2－i ＝(1＋ai )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝(2－a )＋(1＋2a )i 5，由纯虚数定义，则2－a ＝0，∴a ＝2.【答案】 28.已知a ＋2i i＝b ＋i(a ，b ∈R)，其中i 为虚数单位，则a ＋b ＝__________. 【解析】 ∵a ＋2i i＝b ＋i ，∴a ＋2i ＝(b ＋i)i ＝－1＋bi ， ∴a ＝－1，b ＝2，∴a ＋b ＝1.【答案】 1二、解答题9.计算：(1)3＋2i 2－3i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32－i 26； (2)－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫21＋i 2＋(4－8i )2－(－4＋8i )24＋3i . 【解】 (1)原式＝i (2－3i )2－3i ＋i 6⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12－32i 6 ＝i ＋i 2＝i －1.(2)原式＝i (23i ＋1)1＋23i ＋22i ＋(4－8i )2－[－(4－8i )]24＋3i ＝i ＋1i ＋(4－8i )2－(4－8i )24＋3i ＝i ＋(－i)＋0＝0.10.(1)若2＋ai1＋2i ＝－2i ，求实数a 的值.(2)若复数z ＝2i 1－i，求z ＋3i. 【解】 (1)依题意，得2＋ai ＝－2i(1＋2i)＝2－2i ， ∴a ＝－2，。
高中数学选修2-2分层测评 第三章 数系的扩充与复数 3.2.2、3.2.3 含答案
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．i 为虚数单位，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2＝( ) A ．－1B ．1C ．－iD ．i【解析】 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－i 1＋i 2＝(1－i )2(1＋i )2＝－2i 2i ＝－1.【答案】 A2．如图3-2-3，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( )图3-2-3A ．AB ．BC ．CD ．D【解析】 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，且a <0，b >0，则z 的共轭复数为a －b i ，其中a <0，－b <0，故应为B 点．【答案】 B3．复数z ＝32－a i ，a ∈R ，且z 2＝12－32i ，则a 的值为( )【导学号：05410074】A ．1B ．2 C.12 D.14【解析】 由z ＝32－a i ，a ∈R ，得z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322－2×32×a i ＋(a i)2＝34－a 2－3a i ，因为z 2＝12－32i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 34－a 2＝12，－3a ＝－32，解得a ＝12.【答案】 C4．已知复数z ＝3＋i(1－3i )2，z 是z 的共轭复数，则z ·z 等于()A.14 B.12C ．1D ．2【解析】 ∵z ＝3＋i (1－3i )2＝－3i 2＋i (1－3i )2＝i (1－3i )(1－3i )2＝i1－3i ＝i (1＋3i )4＝－34＋i4，∴z ＝－34－i4，∴z ·z ＝14.【答案】 A5．已知复数z ＝2－i ，则z ·z 的值为( )A ．5 B. 5C ．3 D. 3【解析】 z ·z ＝(2－i)(2＋i)＝22－i 2＝4＋1＝5，故选A.【答案】 A二、填空题6．复数(1＋2i )23－4i 的值是________ .【解析】 (1＋2i )23－4i ＝－3＋4i3－4i ＝－1.【答案】 －17．设复数z 1＝1＋i ，z 2＝x ＋2i(x ∈R )，若z 1z 2∈R ，则x 等于________．【解析】 ∵z 1＝1＋i ，z 2＝x ＋2i(x ∈R )，∴z 1z 2＝(1＋i)(x ＋2i)＝(x －2)＋(x ＋2)i.∵z 1z 2∈R ，∴x ＋2＝0，即x ＝－2.【答案】 －28．已知a ＋2i i ＝b ＋i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b ＝__________.【解析】 ∵a ＋2i i ＝b ＋i ，∴a ＋2i ＝(b ＋i)i ＝－1＋b i ，∴a ＝－1，b ＝2，∴a ＋b ＝1.【答案】 1三、解答题9．计算：(1)(1－i)(－1＋i)＋(－1＋i)；(2)(1＋i)⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i . 【解】 (1)原式＝－1＋i ＋i －i 2－1＋i ＝－1＋3i.(2)原式＝(1＋i)⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋34＝1＋i. 10．已知复数z 满足z ＝(－1＋3i)(1－i)－4.(1)求复数z 的共轭复数；(2)若w ＝z ＋a i ，且复数w 对应向量的模不大于复数z 所对应向量的模，求实数a 的取值范围．【解】 (1)z ＝－1＋i ＋3i ＋3－4＝－2＋4i ，所以复数z 的共轭复数为－2－4i.(2)w ＝－2＋(4＋a )i ，复数w 对应向量为(－2,4＋a )，其模为4＋(4＋a )2＝20＋8a ＋a 2.又复数z 所对应向量为(－2,4)，其模为2 5.由复数w 对应向量的模不大于复数z 所对应向量的模，得20＋8a ＋a 2≤20，a 2＋8a ≤0，a (a ＋8)≤0，所以实数a 的取值范围是－8≤a ≤0.[能力提升]1．(2016·宁夏练习)设z 1，z 2是复数，则下列命题中的假．命题是( ) A ．若|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2B ．若z 1＝z 2，则z 1＝z 2C ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z 1＝z 2·z 2D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 21＝z 22 【解析】 A ，|z 1－z 2|＝0⇒z 1－z 2＝0⇒z 1＝z 2⇒z 1＝z 2，真命题； B ，z 1＝z 2⇒z 1＝z 2＝z 2，真命题；C ，|z 1|＝|z 2|⇒|z 1|2＝|z 2|2⇒z 1·z 1＝z 2·z 2，真命题；D ，当|z 1|＝|z 2|时，可取z 1＝1，z 2＝i ，显然z 21＝1，z 22＝－1，即z 21≠z 22，假命题．【答案】 D2．已知3－3i ＝z ·(－23i)，那么复数z 在复平面内对应的点应位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【解析】 ∵3－3i ＝z ·(－23i)，∴z ＝3－3i－23i ＝(3－3i )(23i )(－23i )(23i )＝6＋63i 12＝12＋32i. ∴其对应点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，在第一象限．【答案】 A3．若复数z ＝7＋a i 2－i的实部为3，则z 的虚部为__________________________． 【导学号：05410075】【解析】 z ＝7＋a i 2－i ＝(7＋a i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝(14－a )＋(7＋2a )i 5＝14－a 5＋7＋2a 5i.由题意知14－a 5＝3，∴a ＝－1，∴z ＝3＋i.∴z 的虚部为1.【答案】 14．已知z 为复数，z －1i 为实数，z 1－i为纯虚数，求复数z . 【解】 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －1i ＝a －1＋b i i＝(a －1＋b i)·(－i)＝b －(a －1)i. 因为z －1i 为实数，所以a －1＝0，即a ＝1.又因为z1－i ＝(a ＋b i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝(a －b )＋(a ＋b )i 2为纯虚数， 所以a －b ＝0，且a ＋b ≠0，所以b ＝1.故复数z ＝1＋i.。
高中数学(苏教版 选修2-2)学业分层测评3 常见函数的导数 Word版含答案
学业分层测评(三)(建议用时：分钟)[学业达标]一、填空题．已知()＝，则′(－)＝.【解析】′()＝，∴′(－)＝×(－)＝－.【答案】－．若函数()＝，则′()＝.【解析】′()＝()′＝－，则′()＝×()－＝×－＝.【答案】．已知()＝(为常数)，若′(－)＝－，则的值是．【解析】′()＝－，由′(－)＝－，得·(－)－＝－，所以＝.【答案】．点在曲线＝上，曲线在该点处的切线倾斜角为°，则点的坐标为．【解析】′＝(－)′＝－－，设点(，)，依题意得－＝°＝－，∴＝.又(，)在曲线＝上，∴＝.【答案】()．曲线＝的平行于直线－＋＝的切线方程为．【解析】∵′＝，设切点坐标为，∴＝，则＝，切点为，切线的斜率为，∴切线方程为：－＝－，即－－＝.【答案】－－＝．已知()＝，()＝，且′()＝，则＝.【解析】∵′()＝－，∴′()＝－，又′()＝，∴′()＝，由′()＝，∴＝－.【答案】－．函数＝(>)的图象在点(，)处的切线与轴的交点的横坐标为＋，其中∈*，若＝，则＋＋的值是．【解析】由＝(>)得，′＝，∴函数＝(>)在点(，)处的切线方程为：－＝(－)，＝，令＝，得＝，即＋∴＋＋＝＋＋＝.【答案】．已知函数＝()的图象在(，())处的切线方程是＝＋，则()＋′()＝.【解析】依题意知，()＝×＋＝，′()＝，∴()＋′()＝＋＝.【答案】二、解答题．求下列函数的导数()＝；()＝；()＝；()＝－.【解】()′＝()′＝()′＝＝.()∵＝＝，∴′＝( )′＝－.()∵＝＝，∴′＝( )′＝.()∵＝－＝，∴′＝()′＝())＝－).．求证：双曲线＝上任何一点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为常数．【证明】由＝，得＝，从而′＝－.在双曲线＝上任取一点，则在点处的切线斜率＝－.切线方程为－＝－(－)，即＝－＋.。
高中数学苏教版高二选修2-2学业分层测评：第三章_数系的扩充与复数的引入_19
学业分层测评(十九)(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1.已知i 是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)＝________.【解析】 (－1＋i)(2－i)＝－2＋3i －i 2＝－1＋3i.【答案】 －1＋3i2.复数z ＝1＋i ，z 为z 的共轭复数，则z ·z －z －1＝________.【导学号：01580063】【解析】 ∵z ＝1＋i ，∴z ＝1－i ，∴z ·z ＝(1＋i)(1－i)＝2，∴z ·z －z －1＝2－(1＋i)－1＝－i.【答案】 －i3.设复数z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i(x ，y ∈R )，若z 1＋z 2＝5－6i ，则z 1－z 2＝________.【解析】 ∵z 1＋z 2＝x ＋2i ＋(3－y i)＝(x ＋3)＋(2－y )i ，∴(x ＋3)＋(2－y )i ＝5－6i(x ，y ∈R )，由复数相等定义，得x ＝2且y ＝8，∴z 1－z 2＝2＋2i －(3－8i)＝－1＋10i.【答案】 －1＋10i4.复数z ＝i(i ＋1)(i 为虚数单位)的共轭复数是________.【解析】 ∵z ＝i(i ＋1)＝i 2＋i ＝－1＋i ，∴z ＝－1－i.【答案】 －1－i5.复数z ＝32－a i ，a ∈R ，且z 2＝12－32i ，则a 的值为_____________.【解析】 ∵z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32－a i 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34－a 2－3a i ， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫34－a 2－3a i ＝12－32i ；(a ∈R )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 34－a 2＝12，3a ＝32，∴a ＝12.【答案】 126.(2016·苏北四市质检)设复数z 1＝2－i ，z 2＝m ＋i(m ∈R ，i 为虚数单位)，若z 1·z 2为实数，则m 的值为________.【解析】 z 1·z 2＝(2－i)(m ＋i)＝(2m ＋1)＋(2－m )i.∵z 1·z 2是实数，∴m ＝2.【答案】 27.(2016·南京盐城一模)若复数z ＝(1＋i)(3－a i)(i 为虚数单位)为纯虚数，则实数a ＝________.【解析】 (1＋i)(3－a i)＝(a ＋3)＋(3－a )i ，∵z 为纯虚数，∴a ＝－3.【答案】 －38.设复数z 1＝1＋i ，z 2＝x ＋2i(x ∈R )，若z 1z 2∈R ，则x 等于________.【解析】 ∵z 1＝1＋i ，z 2＝x ＋2i(x ∈R )，∴z 1z 2＝(1＋i)(x ＋2i)＝(x －2)＋(x ＋2)i.∵z 1z 2∈R ，∴x ＋2＝0，即x ＝－2.【答案】 －2二、解答题9.计算：(1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12i (1＋i). 【解】 (1)原式＝1－i 2＋(－1)＋i ＝1＋i.(2)原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋34i 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34－14i (1＋i) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋12i (1＋i) ＝－32－32i ＋12i －12＝－1＋32＋1－32i.10.已知复数z ＝(1－i)2＋1＋3i ，若z 2＋az ＋b ＝1－i(a ，b ∈R )，求b ＋a i 的共轭复数.【导学号：01580064】【解】 z ＝(1－i)2＋1＋3i ＝－2i ＋1＋3i ＝1＋i ，由z 2＋az ＋b ＝1－i ，得(1＋i)2＋a (1＋i)＋b ＝1－i ，∴a ＋b ＋i(a ＋2)＝1－i(a ，b ∈R )，∴⎩⎨⎧ a ＋b ＝1，a ＋2＝－1，解之得⎩⎨⎧ a ＝－3，b ＝4，则b ＋a i ＝4－3i则b ＋a i 的共轭复数是4＋3i.能力提升]1.(2014·江苏高考)已知复数z ＝(5＋2i)2(i 为虚数单位)，则z 的实部为________.【解析】 z ＝(5＋2i)2＝21＋20i ，故z 的实部为21.【答案】 212.已知z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t ＝________.【解析】 z 2＝t －i ，z 1·z 2＝(3＋4i)(t －i)＝(3t ＋4)＋(4t －3)i 是实数，∴4t －3＝0，∴t ＝34.【答案】 343.已知－1＋i 是关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0的一个根，则复数z ＝p ＋q i(p ，q ∈R )等于________.【解析】 (－1＋i)2＋p (－1＋i)＋q ＝0，整理得(q －p )＋(p －2)i ＝0，∴⎩⎨⎧q －p ＝0，p －2＝0，∴p ＝q ＝2.故z ＝p ＋q i ＝2＋2i.【答案】 2＋2i4.已知z 1＝(3x ＋y )＋(y －4x )i(x ，y ∈R )，z 2＝(4y －2x )－(5x ＋3y )i(x ，y ∈R ).设z ＝z 1－z 2，且z ＝13－2i ，则z 1＝__________，z 2＝__________.【解析】 z ＝z 1－z 2＝[](3x ＋y )＋(y －4x )i －[](4y －2x )－(5x ＋3y )i＝(5x －3y )＋(x ＋4y )i ＝13－2i ，∴⎩⎨⎧ 5x －3y ＝13，x ＋4y ＝－2，解得⎩⎨⎧ x ＝2，y ＝－1， ∴z 1＝5－9i ，z 2＝－8－7i.【答案】 5－9i －8－7i5.z 是z 的共轭复数.若z ＋z ＝2，(z －z )i ＝2(i 为虚数单位)，求z .【解】 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，∵z ＋z ＝2a ＝2，∴a ＝1.又(z －z )i ＝2b i 2＝－2b ＝2.∴b ＝－1.故z ＝1－i.。
2019年高二数学苏教版选修2-2学业分层测评：第三章 数系的扩充与复数的引入 21
学业分层测评(二十一)(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1.在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是________.【解析】 ∵复数6＋5i ，－2＋3i 对应点分别为A ，B ，∴点A (6,5)，B (－2,3).∴中点C (2,4)，其对应复数2＋4i.【答案】 2＋4i2.(2016·启东月考)若复数z ＝a 2－1＋(a ＋1)i.(a ∈R )是纯虚数，则|z |＝________.【解析】 由题意得Error!解得a ＝1，则z ＝2i ，故|z |＝2.【答案】 23.复数z ＝i·(1＋i)(i 为虚数单位)位于第________象限.【解析】 ∵z ＝i·(1＋i)＝－1＋i ，∴复数z 对应复平面上的点是(－1,1)，该点位于第二象限.【答案】 二4.已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－2i ，它们所对应的点分别是A ，B ，C ，若＝x ＋y (x ，y ∈R )，则x ＋y 的值是________.OC → OA → OB→ 【导学号：01580070】【解析】 由复数的几何意义，知3－2i ＝x (－1＋2i)＋y (1－i)，∴3－2i ＝y －x ＋(2x －y )i.根据复数相等的定义，得Error!解得Error!∴x ＋y ＝5.【答案】 55.已知i 为虚数单位，复数z ＝－＋i 的共轭复数为，则1232z ＋|z |＝________.z 【解析】 ＝－－i ，|z |＝1，∴＋|z |＝－i.z 1232z 1232【答案】 －i12326.已知|z －3|＝1，则|z －i|的最大值为________.【解析】 由|z －3|＝1知z 表示以(3,0)为圆心，1为半径的圆，|z －i|表示点(0,1)到圆上的距离，则|z －i|的最大值为＋1.10【答案】＋1107.(2016·江西师大附中三模)设复数z ＝－1－i(i 是虚数单位)，z 的共轭复数为，则|(1－z )·|＝________.z z 【解析】 ＝－1＋i ，则|(1－z )·|＝|(2＋i)·(－1＋i)|＝|－3＋i|＝.z z 10【答案】108.复数z ＝x ＋1＋(y －2)i(x ，y ∈R )，且|z |＝3，则点Z (x ，y )的轨迹是________.【解析】 ∵|z |＝3，∴＝3，即(x ＋1)2＋(y －2)2＝32.故点Z (x ，y )的轨迹是以(x ＋1)2＋(y －2)2(－1,2)为圆心，以3为半径的圆.【答案】 以(－1,2)为圆心，以3为半径的圆二、解答题9.已知复数z ＝1＋a i(a ∈R )，ω＝cos α＋isin α，α∈(0,2π)，若z ＝＋2i ，且z |z －w |＝，求角α的值.5【解】 由题意知1＋a i ＝1＋(2－a )i ，则a ＝2－a ，即a ＝1，∴z ＝1＋i.由|z －w |＝得(1－cos α)2＋(1－sin α)2＝5，5整理得sin α＋cos α＝－1，∴sin＝－，(α＋π4)22∵0<α<2π，∴<α＋<π，π4π494∴α＋＝或α＋＝，π45π4π47π4∴α＝π或α＝.3π210.已知复数z 满足(z －2)i ＝a ＋i(a ∈R ).(1)求复数z ；(2)a 为何值时，复数z 2对应的点在第一象限.【解】 (1)由(z －2)i ＝a ＋i ，得z －2＝＝1－a i ，a ＋ii ∴z ＝3－a i.(2)由(1)得z 2＝9－a 2－6a i ，∵复数z 2对应的点在第一象限，∴Error!解得－3<a <0.故当a ∈(－3,0)时，z 2对应的点在第一象限.能力提升]1.在复平面内，O 是原点，，，对应的复数分别为OA → OC → AB→－2＋i,3＋2i,1＋5i ，那么对应的复数为________.BC→【解析】 由＝＋，知OB → OA → AB→ 对应的复数为(－2＋i)＋(1＋5i)＝－1＋6i ，OB→ 又＝－，BC → OC → OB → ∴对应的复数为(3＋2i)－(－1＋6i)＝4－4i.BC→ 【答案】 4－4i2.(2016·宜昌模拟)已知复数z 满足(1＋i)z ＝1－i ，其中i 为虚数单位，则|z |＝________.【解析】 由(1＋i)z ＝1－i 得z ＝＝－i ，∴|z |＝1.1－i1＋i 【答案】 13.(2016·镇江二模)在复平面内，复数z ＝＋i 2 014表示的点所在的象限是i1－i ________.【解析】 z ＝＋i 2 014＝＋i 2＝－＋i ，对应点的坐标为，i1－i i －123212(－32，12)故在第二象限.【答案】 第二象限4.已知O 为坐标原点，O 1对应的复数为－3＋4i ，O 2对应的复数为Z → Z → 2a ＋i(a ∈R ).若O 1与O 2共线，求a 的值.Z → Z →【解】 因为O 1对应的复数为－3＋4i ，O 2对应的复数为2a ＋i ，所以Z → Z → O 1＝(－3,4)，O 2＝(2a,1).因为O 1与O 2共线，所以存在实数k 使Z → Z → Z → Z→O 2＝k 1，即(2a,1)＝k (－3,4)＝(－3k,4k )，Z → OZ→ 所以Error!所以Error!3即a的值为－.8。
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学业分层测评(十九)
(建议用时：45分钟)
学业达标]
一、填空题
1.已知i 是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)＝________.
【解析】 (－1＋i)(2－i)＝－2＋3i －i 2＝－1＋3i.
【答案】 －1＋3i
2.复数z ＝1＋i ，z 为z 的共轭复数，则z ·z －z －1＝________.
【导学号：01580063】
【解析】 ∵z ＝1＋i ，∴z ＝1－i ，
∴z ·z ＝(1＋i)(1－i)＝2，
∴z ·z －z －1＝2－(1＋i)－1＝－i.
【答案】 －i
3.设复数z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i(x ，y ∈R )，若z 1＋z 2＝5－6i ，则z 1－z 2＝________.
【解析】 ∵z 1＋z 2＝x ＋2i ＋(3－y i)＝(x ＋3)＋(2－y )i ，∴(x ＋3)＋(2－y )i ＝5－6i(x ，y ∈R )，由复数相等定义，得x ＝2且y ＝8，
∴z 1－z 2＝2＋2i －(3－8i)＝－1＋10i.
【答案】 －1＋10i
4.复数z ＝i(i ＋1)(i 为虚数单位)的共轭复数是________.
【解析】 ∵z ＝i(i ＋1)＝i 2＋i ＝－1＋i ，
∴z ＝－1－i.
【答案】 －1－i
5.复数z ＝32－a i ，a ∈R ，且z 2＝12－32i ，则a 的值为_____________.
【解析】 ∵z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32－a i 2＝⎝
⎛⎭⎪⎫34－a 2－3a i ，
∴⎝ ⎛⎭
⎪⎫34－a 2－3a i ＝12－32i ；(a ∈R )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 34－a 2＝12，3a ＝32，
∴a ＝12.
【答案】 12 6.(2016·苏北四市质检)设复数z 1＝2－i ，z 2＝m ＋i(m ∈R ，i 为虚数单位)，若z 1·z 2为实数，则m 的值为________.
【解析】 z 1·z 2＝(2－i)(m ＋i)＝(2m ＋1)＋(2－m )i.∵z 1·z 2是实数，∴m ＝2.
【答案】 2
7.(2016·南京盐城一模)若复数z ＝(1＋i)(3－a i)(i 为虚数单位)为纯虚数，则实数a ＝________.
【解析】 (1＋i)(3－a i)＝(a ＋3)＋(3－a )i ，
∵z 为纯虚数，∴a ＝－3.
【答案】 －3
8.设复数z 1＝1＋i ，z 2＝x ＋2i(x ∈R )，若z 1z 2∈R ，则x 等于________.
【解析】 ∵z 1＝1＋i ，z 2＝x ＋2i(x ∈R )，
∴z 1z 2＝(1＋i)(x ＋2i)＝(x －2)＋(x ＋2)i.
∵z 1z 2∈R ，∴x ＋2＝0，即x ＝－2.
【答案】 －2
二、解答题
9.计算：(1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)；
(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ⎝ ⎛⎭
⎪⎫32＋12i (1＋i). 【解】 (1)原式＝1－i 2＋(－1)＋i ＝1＋i.
(2)原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－34
＋34i 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34－14i (1＋i) ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－32＋12i (1＋i) ＝－32－32i ＋12i －12
＝－1＋32＋1－32i.
10.已知复数z ＝(1－i)2＋1＋3i ，若z 2＋az ＋b ＝1－i(a ，b ∈R )，求b ＋a i 的共轭复数.
【导学号：01580064】
【解】 z ＝(1－i)2＋1＋3i ＝－2i ＋1＋3i ＝1＋i ，
由z 2＋az ＋b ＝1－i ，得
(1＋i)2＋a (1＋i)＋b ＝1－i ，
∴a ＋b ＋i(a ＋2)＝1－i(a ，b ∈R )，
∴⎩⎨⎧ a ＋b ＝1，a ＋2＝－1，
解之得⎩⎨⎧ a ＝－3，b ＝4，
则b ＋a i ＝4－3i
则b ＋a i 的共轭复数是4＋3i.
能力提升]
1.(2014·江苏高考)已知复数z ＝(5＋2i)2(i 为虚数单位)，则z 的实部为________.
【解析】 z ＝(5＋2i)2＝21＋20i ，故z 的实部为21.
【答案】 21
2.已知z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t ＝________.
【解析】 z 2＝t －i ，z 1·z 2＝(3＋4i)(t －i)＝(3t ＋4)＋(4t －3)i 是实数，∴4t
－3＝0，∴t ＝34.
【答案】 34
3.已知－1＋i 是关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0的一个根，则复数z ＝p ＋q i(p ，q ∈R )等于________.
【解析】 (－1＋i)2＋p (－1＋i)＋q ＝0，整理得(q －p )＋(p －2)i ＝0， ∴⎩⎨⎧
q －p ＝0，p －2＝0，
∴p ＝q ＝2.
故z ＝p ＋q i ＝2＋2i.
【答案】 2＋2i
4.已知z 1＝(3x ＋y )＋(y －4x )i(x ，y ∈R )，z 2＝(4y －2x )－(5x ＋3y )i(x ，y ∈R ).设z ＝z 1－z 2，且z ＝13－2i ，则z 1＝__________，z 2＝__________.
【解析】 z ＝z 1－z 2
＝[](3x ＋y )＋(y －4x )i －[](4y －2x )－(5x ＋3y )i
＝(5x －3y )＋(x ＋4y )i ＝13－2i ，
∴⎩⎨⎧ 5x －3y ＝13，x ＋4y ＝－2，解得⎩⎨⎧ x ＝2，
y ＝－1，
∴z 1＝5－9i ，z 2＝－8－7i.
【答案】 5－9i －8－7i
5.z 是z 的共轭复数.若z ＋z ＝2，(z －z )i ＝2(i 为虚数单位)，求z .
【解】 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，
∵z ＋z ＝2a ＝2，∴a ＝1.
又(z －z )i ＝2b i 2＝－2b ＝2.
∴b ＝－1.
故z ＝1－i.。