第九章9.8曲线与方程
§9.8 曲线与方程
方程的曲线 _______________.
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要点梳理
忆一忆知识要点
2.求动点的轨迹方程的一般步骤
(1)建系——建立适当的坐标系. (2)设点——设轨迹上的任一点P(x, y).
(3)列式——列出动点P所满足的关系式.
(4)代换——依条件式的特点，选用距离公式、
斜率公式等将其转化为x, y的方程式,并化简.
(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点
轨迹方程.
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要点梳理
忆一忆知识要点
3. 两曲线的交点
(1)由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的 坐标应该是两个曲线方程的 _________ ，即两个 公共解 曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程 组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组 _______ 无 解 ，两条曲线就没有交点. 充 要 条件是它们的方 (2)两条曲线有交点的 _______ 程所组成的方程组有实数解.可见，求曲线的交点 问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实 数解问题.
即 ((x 即((－ －x x,,－ －4 4－ －2 2y y)· )· x,,－ －2) 2)＝ ＝0. 0. 12 1 2 所以曲线 所以曲线 C C 的方程为 的方程为 y y＝ ＝x x2－ －2. 2. 4 4
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x
1 22 1 2 2 1 1 1 (2) 设 P ( x ， y ) 为曲线 C ： y ＝ x － 2上一点． 上一点． (2) 设 P ((x ， y ))为曲线 C ： y ＝ － 2 2 0 0 2x 0 0 0 0 (2) 设 P x ， y 为曲线 C ： y ＝ x － 2 上一点． 0 0 4 (2)设 P (x0y ， y0)为曲线 Cy ： y＝ x2 － 2 上一点． (2)设 P(x C： ＝ x4 － 上一点． 0， 0)为曲线 4 4 4 y 1 1 1 1 1 1 1 1x 因为 y y′′ ′1 ＝1x x，所以 ，所以 ll l 的斜率为 的斜率为 x00 . 因为 ＝ .. 0 0 因为 y ＝ x ，所以 的斜率为 x 2 2 因为 y ′ ＝ x ，所以 l 的斜率为 x . 2 2 因为 y′＝ x，所以 l 的斜率为 x02 . 2 2 2 2 2 0 1 1 1 1 1 因此直线 ll l 的方程为 的方程为 y y－ －y y00 ＝2 x00 (x x－ －x x00 )， ， 因此直线 ＝ x (( )) 0 0 0 0 0 0 因此直线 的方程为 y － y ＝ x x － x ， 因此直线 l 的方程为 yy － y0＝ － x0)， 因此直线 l 的方程为 y－ x2 (x－ x 0(x 0＝ 0)， 2 2 02 2 2 2 O 2 即 x x － 2 y ＋ 2 y － x ＝ 0. 即 x x － 2 y ＋ 2 y － x ＝ 0. 2 0 0 0 2 x 0x－2y＋2y 0－ 0＝0. 0 0 0 0 即 x － 2y2 ＋ y00 － x ＝0. 即即 x0xx － 2 y＋ y02 － x ＝ 0. 0x 0 0 2 0 2 2 2 |2y y00 － x00 | |2 － || 2 1 22 1 0 0 2x 0 0 2 2 |2 y － x 1 |2 y － x | 1 |2 y － x | 0 0 1 2 所以 O 点到 l 的距离 d ＝ . 又 y ＝ x － 2 ， 所以 O 点到 ll 的距离 d ＝ . 又 y ＝ － 2 ， 0 0 0 0 2x 0 0 0 0 2 2 所以 O 点到 的距离 d ＝ . 又 y ＝ x － 2 ， 2 0 0 4 所以 O 点到 l 的距离 d＝ 2 x .又 y0＝ x02 － 2， 4 所以 O 点到 l 的距离 d＝ .又 y0＝ x0 － ， 2 x02 ＋ 4 ＋ 4 4 0 0 4 x ＋ 4 4 x0 ＋4 x0＋ 4 0 1 22 1 2 2 1 1 21x x ＋4 4 ＋ 2 0 0 0 x ＋ 4 0 4 4 2 x ＋ 4 2 2 1 2 2 1 x02 ＋ 4 0 4 2 1 4 4 x ＋ 4 ＋ 2 x ＋ 4 ＋ 2 1 2 0 2 1 0＋4＋ 0 x 2 所以 d d＝ ＝ 22 ＝ ≥2. 2. 所以 ＝ ≥ 2 2 2 0 2 2 2 所以 d ＝ ＝ ≥ 2. x ＋ 4 ＋ x ＋ 4 ＋ 0 2 所以 d ＝ ＝ ≥ 2. x ＋ 4 0 2 ＋ 4 所以 d＝ 2 x ＝ 2 ≥ 0 2x 2. 0 0 x ＋ 4 x00 ＋ 4 ＋ 4 2 0 0 0 2 x ＋ 4 x ＋ 4 2 x ＋ 4 0 x04 ＋4 0 x0＋ 当x x00 ＝0 0 时取等号，所以 时取等号，所以 O O 点到 点到 ll l 距离的最小值为 距离的最小值为 2. 2. 当 ＝ 0 0 当 x ＝ 0 时取等号，所以 O 点到 距离的最小值为 2. x0 ＝ 0 时取等号，所以 O 点到 l 距离的最小值为 当当 x0＝ 0 时取等号，所以 O 点到 l 距离的最小值为 2. 2.
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2OAB中AB边上的中线，其中O0,0，A,2,0，B,0,2；
方程x - y 0.
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新知运用
例1 下列说法是否正确？并说明理由：
1点A0,1，B-1,0，C1,0分别为三个顶点，
边AB的中线的方程是 x 0
2曲线C：过点4,1的反比例函数图像，
方程F：y
4 x
，那么曲线C是方程F的曲线。
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课堂小结
点 曲线
一点不多 一点不少
曲线的方程 方程的曲线
解 方程
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课后作业
1.课本37页练习第2题，习题2.1A组第1题: 2.曲线C：到x轴距离等于1的点形成的轨迹， 写出C的方程．
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12
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敬请各位教师批评指正
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概念生成
你认为，“曲线的方程”和“方程的曲线”这两个概念 有没有区别？
所强调的对象不一样：“曲线的方程”对象是方程； “方程的曲线”，对象是曲线。
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自主探究
问题4 在上述每组曲线与方程中，你能否修改曲线与方程中 的一个，使得方程变成曲线的方程，曲线变成方程的 曲线？
这节课我们就来学习“曲线与方程”
情境导入
问题2 1.我们如何研究曲线与方程的关系呢？
原创2：9.8 曲线与方程
所以 y2＝λ(x＋a)(a－x)， 即 λx2＋y2＝λa2， 当 λ＝1 时，是圆的轨迹方程； 当 λ＞0 且 λ≠1 时，是椭圆的轨迹方程； 当 λ＜0 时，是双曲线的轨迹方程；
[做一做] 3．平面上有三个不同点 A(－2，y)，B(0，2y)，C(x，y)，若
A→B⊥B→C，则动点 C 的轨迹方程为__y_2_＝__8_x_(x_≠__0_)_______． 解析：A→B＝(2，－2y)，B→C＝(x，2y)，由A→B⊥B→C，得A→B·B→C ＝0， 即 2x＋(－2y)·2y＝0， ∴动点 C 的轨迹方程为 y2＝8x(x≠0)．
1)，(0，1)，且 AC，BC 所在直线的斜率之积等于 m(m≠0)．求 顶点 C 的轨迹 E 的方程，并判断轨迹 E 为何种圆锥曲线．
[解] 设顶点 C(x，y)，由题意，知y－x 1·y＋x 1＝m， 化简得－mx2＋y2＝1(x≠0)． 当 m＜－1 时，轨迹 E 表示焦点在 y 轴上的椭圆，且除去(0， 1)，(0，－1)两点； 当 m＝－1 时，轨迹 E 表示以(0，0)为圆心，半径是 1 的圆， 且除去(0，1)，(0，－1)两点； 当－1＜m＜0 时，轨迹 E 表示焦点在 x 轴上的椭圆，且除 去(0，1)，(0，－1)两点； 当 m＞0 时，轨迹 E 表示焦点在 y 轴上的双曲线，且除去(0， 1)，(0，－1)两点．
M 作直线 AB 的垂线，垂足为 N.若M→N2＝λA→N·N→B，其
中 λ 为常数，则动点 M 的轨迹不可能是( C )
A．圆
B．椭圆
C．抛物线
D．双曲线
解析：以 AB 所在直线为 x 轴，AB 的中垂线为 y 轴，建立 坐标系(图略)， 设 M(x，y)，A(－a，0)，B(a，0)，则 N(x，0)．
高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.8曲线与方程课件
题型分类 深度剖析
题型一 定义法求轨迹方程
例1 已知两个定圆O1和O2，它们的半径分别是1和2，且|O1O2|＝4.动 圆M与圆O1内切，又与圆O2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线. 解答
思维升华
应用定义法求曲线方程的关键在于由已知条件推出关于动点的等量关 系式，由等量关系结合曲线定义判断是何种曲线，再设出标准方程， 用待定系数法求解.
跟踪训练1 已知△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心
在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是
答案
解析
A.x92－1y62 ＝1
B.1x62 －y92＝1
C.x92－1y62 ＝1 (x>3)
D.x92－1y62 ＝1 (x>4)
如图，|AD|＝|AE|＝8，
|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，
C.圆
D.双曲线
答案
解析
设 C(x，y)，则O→C＝(x，y)，O→A＝(3,1)，O→B＝(－1,3)， ∵O→C＝λ1O→A＋λ2O→B， ∴x＝3λ1－λ2，
y＝λ1＋3λ2， 又λ1＋λ2＝1，∴x＋2y－5＝0，表示一条直线.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
设 Q(x，y)，则O→P＝－12O→Q＝(－2x，－2y)，
即 P 点坐标为(－2x，－2y)，又 P 在椭圆上， 则有－a22x2＋－b22y2＝1，即4xa22＋4yb22＝1.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
10.已知圆的方程为x2＋y2＝4，若抛物线过点A(－1,0)，B(1，0)且以圆 的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是__x_42_＋__y3_2_＝__1_(y_≠__0. )
9-8 曲线与方程
数学（理）
求轨迹方程的常用方法一般分为两大类，一类是已知所 求曲线的类型，求曲线方程——先根据条件设出所求曲线的 方程，再由条件确定其待定系数——待定系数法；另一类是 不知曲线类型常用的方法有： (1)直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)＝ 0； (2)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲 线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；
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课时作业
与名师对话
高考总复习 ·课标版 ·A
数学（理）
(2011年陕西)如图，设P是圆x2＋y2＝25 上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD 4 上一点，且|MD|＝ |PD|. 5 (1)求P在圆上运动时，求点M的轨迹C 的方程； 4 (2)求过点(3,0)且斜率为 的直线被C所截线段的长度． 5
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数学（理）
【解】 (1)设M的坐标为(x，y)，P的坐标为(xP，yP)， xP＝x， 由已知得 5 yP＝4y， 5 2 x2 y2 ∵P在圆上，∴x2＋(4y) ＝25，即C的方程为25＋16＝1.
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数学（理）
解：设M(x，y)，由已知得B(x，－3)．又A(0，－1)， → → → 所以MA ＝(－x，－1－y)， MB ＝(0，－3－y)，AB ＝(x， －2)． → → AB → 再由题意可知(MA＋MB)· ＝0， 即(－x，－4－2y)· (x，－2)＝0. 1 2 所以曲线C的方程为y＝4x －2.
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曲线与方程 课件(共35张PPT)
最新考纲展示
1．了解方程的曲线与 曲线的方程的对应关系．
2.了解解析几何的基本 思想和利用坐标法研究几 何问题的基本方法．
3.能够根据所给条件选 择适当的方法求曲线的轨 迹方程．
一、曲线与方程的定义 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方
程f(x，y)＝0的实数解建立如下的对应关系：
(2)证明：设 E(xE，yE)，F(xF，yF)，依题意，
y＝k1x＋3，
由y92＋x2＝1
⇒(k21＋9)x2＋6k1x＝0，①
解得 x＝0 或 x＝－k216＋k19. 所以 xE＝－k216＋k19，yE＝k1－k216＋k19＋3＝2k721－＋39k21， ∴E－k126＋k19，2k721－＋39k21. ∵k1k2＝－9，∴k2＝－k91.用 k2＝－k91替代①中的 k1， 同理可得 Fk126＋k19，3kk2121－ ＋297. 显然 E，F 关于原点对称，∴直接 EF 必过原点 O.
曲线的交点问题(师生共研)
例 2 (2015 年南京模拟)设 0<θ<π2，曲线 x2sin θ＋y2cos θ＝1 和 x2cos θ－y2sin θ＝1 有 4 个不同的交点．
(1)求θ的取值范围； (2)证明：这4个点共圆，并求圆的半径的取值范围．
解 析 (1) 两 曲 线 的 交 点 坐 标 (x ， y) 满 足 方 程 组 x2sin θ＋y2cos θ＝1， x2＝sin θ＋cos θ， x2cos θ－y2sin θ＝1， 即y2＝cos θ－sin θ.
D．以上答案都不对
(2)(2015年广州模拟)下列说法正确的是( )
A．△ABC中，已知A(1,1)，B(4,1)，C(2,3)，则AB边上的高的方
曲线与方程课件
二、教材改编
1．到点F(0，4)的距离比到直线y＝－5的距离小1的动点M的轨
迹方程为( )
A．y＝16x2
B．y＝－16x2
C．x2＝16y
D．x2＝－16y
C [由题意可知，动点 M 到点 F(0，4)的距离等于到直线 y＝
－4 的距离，故点 M 的轨迹为以点 F(0，4)为焦点，以 y＝－4 为准
O→Q＝(－3，t)，P→F＝(－1－m，－n)，O→Q·P→F＝3＋3m－tn，
O→P＝(m，n)，P→Q＝(－3－m，t－n)．
由O→P·P→Q＝1得－3m－m2＋tn－n2＝1，
又由(1)知m2＋n2＝2，故3＋3m－tn＝0.
所以O→Q·P→F＝0，即O→Q⊥P→F.
又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直
15
直接法求曲线方程的关键就是把几何条件或等量关系翻 译为代数方程，要注意翻译的等价性，检验可从以下两个方面进 行：一是方程的化简是否是同解变形；二是是否符合题目的实际意 义．
16
已知两点 M(－1，0)，N(1，0)且点 P 使M→P·M→N，P→M·P→N， N→M·N→P成公差小于 0 的等差数列，则点 P 的轨迹9·太原模拟)已知 F1，F2 分别为椭圆 C：x42＋y32＝1
的左、右焦点，点 P 是椭圆 C 上的动点，则△PF1F2 的重心 G 的轨迹
方程为( )
A.3x62 ＋2y72 ＝1(y≠0)
B.49x2＋y2＝1(y≠0)
C.94x2＋3y2＝1(y≠0)
D.x2＋43y2＝1(y≠0)
(2)当λ＞0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的双曲线(除去 顶点)；
当－1＜λ＜0时，轨迹C为中心在原点， 焦点在x轴上的椭圆(除去长轴的两个端点)； 当λ＝－1时，轨迹C为以原点为圆心，1为半径的圆除去点(－ 1，0)，(1，0)． 当λ＜－1时，轨迹C为中心在原点，焦点在y轴上的椭圆(除去短 轴的两个端点)．
9.8 曲线与方程
3.两曲线的交点 (1)由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的 公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几 组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点. (2)两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解.可 见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解 问题.
以 OM 为直径的圆的方程为(x－2)2＋y2＝4， 它与⊙O 的交点为(1， ± 3)，
结合图形可知所求轨迹方程为(x－2)2＋y2＝4(0≤x<1).
1
2
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4
5
解析答案返回题型分类 Nhomakorabea深度剖析
题型一
定义法求轨迹方程
已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外
例1
1 1 ＝－2mn＝－ ，∴mn＝ . 2 4
解析答案
②求动点P的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？ → → → 解 设 P(x，y) (x>0)，由OP＝OA＋OB，
得(x，y)＝(m， 3m)＋(n，－ 3n)
＝(m＋n， 3m－ 3n).
x＝m＋n， ∴ y＝ 3m－ 3n，
2 y 2 整理得 x － 3 ＝4mn，
切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.求C的方程. 解 由已知得圆M的圆心为M(－1,0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1,0)， 半径r2＝3.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R. 因为圆P与圆M外切并且与圆N内切， 所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4>2＝|MN|.
解析答案
命题点2 无明确等量关系求轨迹方程
例3 x2 y2 (2014· 广东)已知椭圆 C： 2＋ 2＝1(a>b>0)的一个焦点为( 5， 0)， a b
9.8 曲线与方程
(4)当90°<α≤180°时，方程为x2＋y2cos α＝1，表示焦点在x
轴上的双曲线．
第9章 第8节
第10页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
通性通法
报
告
求轨迹的方法：直接法、定义法、相关点法．
一
课
(1)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，－1)，点B在直 时
作
线y＝－3上，点M满足
二
点，满足A→M·B→M＝－2，求点M的轨迹方程．
二
当m＝0时，曲线C2表示两条直线：x＝0与y＝0，
与曲线C1只有两个交点(0,0)和(2,0)，不符合题意；
第9章 第8节
第28页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
当m≠0时，直线x＝0与曲线C1只有一个交点(0,0)，
∴直线y＝m(x＋1)与曲线C1：x2＋y2－2x＝0有两个交点，
报 即直线y＝m(x＋1)与圆(x－1)2＋y2＝1相交，
课 时
作
∴方程x2cos θ＋y2＝1表示中心在原点，焦点在x轴上的椭 业
报 圆；
告
二
②当θ＝π2时，cos θ＝0，方程为y2＝1，得y＝±1，
表示与x轴平行的两条直线；
第9章 第8节
第22页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
报 告 一
③当π2<θ<π时，方程x2cos θ＋y2＝1可以化为
x2 1
＋y2＝1，
cos θ
课 时
作
且cos θ<0，
业
报
∴方程x2cos θ＋y2＝1表示中心在原点，焦点在y轴上的双
告
二 曲线．
第9章 第8节
2021版北师大版数学(文)大一轮复习文档：第九章 平面解析几何 9.8 课时3 Word版含答案
课时3 定点、定值、探究性问题题型一 定点问题例1 已知椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a >0，b >0)过点(0,1)，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列．直线l 与x轴正半轴和y 轴分别交于Q 、P ，与椭圆分别交于点M 、N ，各点均不重合且满足PM →＝λ1MQ →，PN →＝λ2NQ →. (1)求椭圆的标准方程；(2)若λ1＋λ2＝－3，试证明：直线l 过定点并求此定点．解 (1)设椭圆的焦距为2c ，由题意知b ＝1，且(2a )2＋(2b )2＝2(2c )2，又a 2＝b 2＋c 2，所以a 2＝3. 所以椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)由题意设P (0，m )，Q (x 0,0)，M (x 1，y 1)， N (x 2，y 2)，设l 方程为x ＝t (y －m )，由PM →＝λ1MQ →知(x 1，y 1－m )＝λ1(x 0－x 1，－y 1)， ∴y 1－m ＝－y 1λ1，由题意y 1≠0，∴λ1＝my 1－1.同理由PN →＝λ2NQ →知λ2＝m y 2－1.∵λ1＋λ2＝－3，∴y 1y 2＋m (y 1＋y 2)＝0，①联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3y 2＝3，x ＝t (y －m )得(t 2＋3)y 2－2mt 2y ＋t 2m 2－3＝0，∴由题意知Δ＝4m 2t 4－4(t 2＋3)(t 2m 2－3)>0，② 且有y 1＋y 2＝2mt 2t 2＋3，y 1y 2＝t 2m 2－3t 2＋3，③③代入①得t 2m 2－3＋2m 2t 2＝0， ∴(mt )2＝1，由题意mt <0，∴mt ＝－1，满足②，得l 方程为x ＝ty ＋1，过定点(1,0)，即Q 为定点．思维升华 圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再争辩变化的量与参数何时没有关系，找到定点．(2)特殊到一般法：依据动点或动线的特殊状况探究出定点，再证明该定点与变量无关．(2021·四川)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率是22，过点P (0,1)的动直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，当直线l 平行于x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为2 2. (1)求椭圆E 的方程；(2)在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得|QA ||QB |＝|P A ||PB |恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)由已知，点(2，1)在椭圆E 上，因此⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋1b 2＝1，a 2－b 2＝c 2，c a ＝22，解得a ＝2，b ＝2，所以椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)当直线l 与x 轴平行时，设直线l 与椭圆相交于C 、D 两点， 假如存在定点Q 满足条件，则有|QC ||QD |＝|PC ||PD |＝1，即|QC |＝|QD |，所以Q 点在y 轴上，可设Q 点的坐标为(0，y 0)．当直线l 与x 轴垂直时，设直线l 与椭圆相交于M ，N 两点，则M ，N 的坐标分别为(0，2)，(0，－2)，由|QM ||QN |＝|PM ||PN |，有|y 0－2||y 0＋2|＝2－12＋1，解得y 0＝1或y 0＝2， 所以，若存在不同于点P 的定点Q 满足条件， 则Q 点坐标只可能为(0,2)，下面证明：对任意直线l ，均有|QA ||QB |＝|P A ||PB |，当直线l 的斜率不存在时，由上可知，结论成立，当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝kx ＋1，得(2k 2＋1)x 2＋4kx －2＝0，其判别式Δ＝(4k )2＋8(2k 2＋1)＞0，所以x 1＋x 2＝－4k2k 2＋1，x 1x 2＝－22k 2＋1，因此1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝2k ，易知，点B 关于y 轴对称的点B ′的坐标为(－x 2，y 2)， 又k QA ＝y 1－2x 1＝kx 1－1x 1＝k －1x 1，k QB ′＝y 2－2－x 2＝kx 2－1－x 2＝－k ＋1x 2＝k －1x 1，所以k QA ＝k QB ′，即Q ，A ，B ′三点共线， 所以|QA ||QB |＝|QA ||QB ′|＝|x 1||x 2|＝|P A ||PB |，故存在与P 不同的定点Q (0,2)，使得|QA ||QB |＝|P A ||PB |恒成立．题型二 定值问题例2 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的离心率是12，其左，右顶点分别为A 1，A 2，B 为短轴的一个端点，△A 1BA 2的面积为2 3. (1)求椭圆C 的方程；(2)直线l ：x ＝22与x 轴交于D ，P 是椭圆C 上异于A 1，A 2的动点，直线A 1P ，A 2P 分别交直线l 于E ，F 两点，求证：|DE |·|DF |为定值．(1)解 由已知，可得⎩⎪⎨⎪⎧e ＝c a ＝12，ab ＝23，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝ 3.故所求椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明 由题意可得A 1(－2,0)，A 2(2,0)． 设P (x 0，y 0)，由题意可得－2<x 0<2，∴直线A 1P 的方程为y ＝y 0x 0＋2(x ＋2)，令x ＝22得y ＝(22＋2)y 0x 0＋2，即|DE |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪(22＋2)y 0x 0＋2，同理，直线A 2P的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)，令x ＝22，得y ＝(22－2)y 0x 0－2，即|DF |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪(22－2)y 0x 0－2，所以|DE |·|DF |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪(22＋2)y 0x 0＋2×⎪⎪⎪⎪⎪⎪(22－2)y 0x 0－2＝4y 20|x 20－4|＝4y 204－x 20， 将y 20＝3(4－x 20)4代入上式，得|DE |·|DF |＝3， 故|DE |·|DF |为定值3.思维升华 圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值．依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值；(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得； (3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点F (12，0)，直线l ：x ＝－12，点P 在直线l 上移动，R 是线段PF 与y 轴的交点，RQ ⊥FP ，PQ ⊥l .(1)求动点Q 的轨迹C 的方程；(2)设圆M 过A (1,0)，且圆心M 在曲线C 上，TS 是圆M 在y 轴上截得的弦，当M 运动时，弦长|TS |是否为定值？请说明理由．解 (1)依题意知，点R 是线段FP 的中点，且RQ ⊥FP ， ∴RQ 是线段FP 的垂直平分线．∵点Q 在线段FP 的垂直平分线上，∴|PQ |＝|QF |， 又|PQ |是点Q 到直线l 的距离，故动点Q 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线，其方程为y 2＝2x (x >0)． (2)弦长|TS |为定值．理由如下：取曲线C 上点M (x 0，y 0)，M 到y 轴的距离为d ＝|x 0|＝x 0，圆的半径r ＝|MA |＝(x 0－1)2＋y 20，则|TS |＝2r 2－d 2＝2y 20－2x 0＋1，由于点M 在曲线C 上，所以x 0＝y 202，所以|TS |＝2y 20－y 20＋1＝2，是定值．题型三 探究性问题例3 (2021·湖北)一种画椭圆的工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处的铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且DN ＝ON ＝1，MN ＝3.当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动N 绕O 转动，M 处的笔尖画出的椭圆记为C .以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系． (1) 求椭圆C 的方程；(2) 设动直线l 与两定直线l 1：x －2y ＝0和l 2：x ＋2y ＝0分别交于P ，Q 两点．若直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，摸索究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．解 (1)由于|OM |≤|MN |＋|NO |＝3＋1＝4，当M ，N 在x 轴上时，等号成立； 同理|OM |≥|MN |－|NO |＝3－1＝2，当D ，O 重合，即MN ⊥x 轴时，等号成立． 所以椭圆C 的中心为原点O ，长半轴长为4，短半轴长为2，其方程为x 216＋y 24＝1.(2)①当直线l 的斜率不存在时，直线l 为x ＝4或x ＝－4，都有S △OPQ ＝12×4×4＝8.②当直线l 的斜率存在时，设直线l ：y ＝kx ＋m ⎝⎛⎭⎫k ≠±12，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝16，消去y ，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0.由于直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，所以Δ＝64k 2m 2－4(1＋4k 2)(4m 2－16)＝0， 即m 2＝16k 2＋4.①又由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x －2y ＝0，可得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 1－2k ，m 1－2k ；同理可得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m 1＋2k ，m 1＋2k .由原点O 到直线PQ 的距离为d ＝|m |1＋k 2和|PQ |＝1＋k 2|x P －x Q |，可得S △OPQ ＝12|PQ |·d ＝12|m ||x P －x Q |＝12·|m |·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2m 1－2k ＋2m 1＋2k ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2m 21－4k 2.② 将①代入②得，S △OPQ ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2m 21－4k 2＝8|4k 2＋1||4k 2－1|. 当k 2>14时，S △OPQ ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋14k 2－1＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋24k 2－1>8；当0≤k 2<14时，S △OPQ ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋11－4k 2＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋21－4k 2. 因0≤k 2<14，则0<1－4k 2≤1，21－4k 2≥2，所以S △OPQ ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋21－4k 2≥8， 当且仅当k ＝0时取等号．所以当k ＝0时，S △OPQ 的最小值为8.综合①②可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，△OPQ 的面积取得最小值8. 思维升华 解决探究性问题的留意事项探究性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在． (1)当条件和结论不唯一时要分类争辩；(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要开放思维，实行另外合适的方法．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)以抛物线y 2＝8x 的焦点为顶点，且离心率为12.(1)求椭圆E 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆E 相交于A ，B 两点，与直线x ＝－4相交于Q 点，P 是椭圆E 上一点且满足OP→＝OA →＋OB →(其中O 为坐标原点)，试问在x 轴上是否存在一点T ，使得OP →·TQ →为定值？若存在，求出点T 的坐标及OP →·TQ →的值；若不存在，请说明理由．解 (1)抛物线y 2＝8x 的焦点为椭圆E 的顶点，即a ＝2.又c a ＝12，故c ＝1，b ＝ 3.∴椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵OP →＝OA →＋OB →，∴P (x 1＋x 2，y 1＋y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，3x 2＋4y 2＝12，得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0.由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋3，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝6m 4k 2＋3.将P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8km 4k 2＋3，6m 4k 2＋3代入椭圆E 的方程，得64k 2m 24(4k 2＋3)2＋36m 23(4k 2＋3)2＝1，整理，得4m 2＝4k 2＋3. 设T (t,0)，Q (－4，m －4k )，∴TQ →＝(－4－t ，m －4k )，OP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－8km 4k 2＋3，6m 4k 2＋3.即OP →·TQ →＝32km ＋8kmt 4k 2＋3＋6m (m －4k )4k 2＋3＝6m 2＋8km ＋8kmt4k 2＋3.∵4k 2＋3＝4m 2，∴OP →·TQ →＝6m 2＋8km ＋8kmt 4m 2＝32＋2k (1＋t )m.要使OP →·TQ →为定值，只需⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k (1＋t )m 2＝4k 2(1＋t )2m 2＝(4m 2－3)(1＋t )2m 2为定值，则1＋t ＝0，∴t ＝－1， ∴在x 轴上存在一点T (－1,0)，使得OP →·TQ →为定值32.19．设而不求，整体代换典例 (12分)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，离心率为32，过F 1且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1. (1)求椭圆C 的方程；(2)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，连接PF 1，PF 2，设∠F 1PF 2的角平分线PM 交C 的长轴于点M (m,0)，求m 的取值范围；(3)在(2)的条件下，过点P 作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点，设直线PF 1、PF 2的斜率分别为k 1、k 2，若k 2≠0，证明1kk 1＋1kk 2为定值，并求出这个定值．思维点拨 第(3)问，可设P 点坐标为(x 0，y 0)，写出直线l 的方程；联立方程组消去y 得关于x 的一元二次方程，则Δ＝0；变为1k ⎝⎛⎭⎫1k 1＋1k 2，把k 与1k 1＋1k 2均用x 0，y 0表示后可消去． 规范解答 解 (1)由于c 2＝a 2－b 2，将x ＝－c 代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a .由题意知2b 2a＝1，即a ＝2b 2.又e ＝c a ＝32，所以a ＝2，b ＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.[3分](2)设P (x 0，y 0) (y 0≠0)，又F 1(－3，0)，F 2(3，0)， 所以直线PF 1，PF 2的方程分别为 lPF 1：y 0x －(x 0＋3)y ＋3y 0＝0， lPF 2：y 0x －(x 0－3)y －3y 0＝0. 由题意知|my 0＋3y 0|y 20＋(x 0＋3)2＝|my 0－3y 0|y 20＋(x 0－3)2.由于点P 在椭圆上，所以x 204＋y 20＝1.[6分] 所以|m ＋3|⎝⎛⎭⎫32x 0＋22＝|m －3|⎝⎛⎭⎫32x 0－22.由于－3<m <3，－2<x 0<2， 可得m ＋332x 0＋2＝3－m 2－32x 0，所以m ＝34x 0.因此－32<m <32.[8分](3)设P (x 0，y 0) (y 0≠0)，则直线l 的方程为y －y 0＝k (x －x 0)． 联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y －y 0＝k (x －x 0).整理得(1＋4k 2)x 2＋8(ky 0－k 2x 0)x ＋4(y 20－2kx 0y 0＋k 2x 20－1)＝0.[9分] 由题意Δ＝0，即(4－x 20)k 2＋2x 0y 0k ＋1－y 20＝0. 又x 24＋y 20＝1， 所以16y 20k 2＋8x 0y 0k ＋x 20＝0，故k ＝－x 04y 0. 由(2)知1k 1＋1k 2＝x 0＋3y 0＋x 0－3y 0＝2x 0y 0，所以1kk 1＋1kk 2＝1k ⎝⎛⎭⎫1k 1＋1k 2＝⎝⎛⎭⎫－4y 0x 0·2x 0y 0＝－8，因此1kk 1＋1kk 2为定值，这个定值为－8.[12分]温馨提示 对题目涉及的变量奇妙地引进参数(如设动点坐标、动直线方程等)，利用题目的条件和圆锥曲线方程组成二元二次方程组，再化为一元二次方程，从而利用根与系数的关系进行整体代换，达到“设而不求，削减计算”的效果，直接得定值．[方法与技巧]1．求定值问题常见的方法有两种(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 2．定点的探究与证明问题(1)探究直线过定点时，可设出直线方程为y ＝kx ＋b ，然后利用条件建立b 、k 等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点．(2)从特殊状况入手，先探求定点，再证明与变量无关． [失误与防范]1．在解决直线与抛物线的位置关系时，要特殊留意直线与抛物线的对称轴平行的特殊状况． 2．中点弦问题，可以利用“点差法”，但不要遗忘验证Δ>0或说明中点在曲线内部． 3．解打算值、定点问题，不要遗忘特值法．(时间：70分钟)1．(2021·四川)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率是22，点P (0，1)在短轴CD 上，且PC →·PD →＝－1.(1)求椭圆E 的方程；(2)设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A ，B 两点．是否存在常数λ，使得OA →·OB →＋λP A →·PB →为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．解 (1)由已知，点C ，D 的坐标分别为(0，－b )，(0，b )， 又点P 的坐标为(0,1)， 且PC →·PD →＝－1， 于是⎩⎪⎨⎪⎧1－b 2＝－1，c a ＝22，a 2－b 2＝c 2，解得a ＝2，b ＝2，所以椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝kx ＋1，得(2k 2＋1)x 2＋4kx －2＝0，其判别式Δ＝(4k )2＋8(2k 2＋1)＞0， 所以x 1＋x 2＝－4k 2k 2＋1，x 1x 2＝－22k 2＋1，从而，OA →·OB →＋λP A →·PB →＝x 1x 2＋y 1y 2＋λ[x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)]＝(1＋λ)(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1 ＝(－2λ－4)k 2＋(－2λ－1)2k 2＋1＝－λ－12k 2＋1－λ－2.所以当λ＝1时，－λ－12k 2＋1－λ－2＝－3，此时OA →·OB →＋λP A →·PB →＝－3为定值．当直线AB 斜率不存在时，直线AB 即为直线CD ， 此时，OA →·OB →＋λP A →·PB →＝OC →·OD →＋PC →·PD →＝－2－1＝－3.故存在常数λ＝1，使得OA →·OB →＋λP A →·PB →为定值－3.2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)的两焦点在x 轴上，且两焦点与短轴的一个顶点的连线构成斜边长为2的等腰直角三角形． (1)求椭圆的方程；(2)过点S ⎝⎛⎭⎫0，－13的动直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点Q ，使得以线段AB 为直径的圆恒过点Q ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)∵椭圆两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，∴b ＝c .又斜边长为2，即2c ＝2，故c ＝b ＝1，a ＝2，椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)当l 与x 轴平行时，以线段AB 为直径的圆的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋132＝169； 当l 与y 轴平行时，以线段AB 为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1. 由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋132＝169，x 2＋y 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，故若存在定点Q ，则Q 的坐标只可能为Q (0,1)． 下面证明Q (0,1)为所求：若直线l 的斜率不存在，上述已经证明． 若直线l 的斜率存在，设直线l ：y ＝kx －13，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －13，x 2＋2y 2－2＝0，得(9＋18k 2)x 2－12kx －16＝0， Δ＝144k 2＋64(9＋18k 2)>0， x 1＋x 2＝12k18k 2＋9，x 1x 2＝－1618k 2＋9，QA →＝(x 1，y 1－1)，QB →＝(x 2，y 2－1)， QA →·QB →＝x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1) ＝(1＋k 2)x 1x 2－4k 3(x 1＋x 2)＋169＝(1＋k 2)·－169＋18k 2－4k 3·12k 9＋18k 2＋169＝0，∴QA →⊥QB →，即以线段AB 为直径的圆恒过点Q (0,1)．3．如图，在平面直角坐标系xOy 中，离心率为22的椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的左顶点为A ，过原点O 的直线(与坐标轴不重合)与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线P A ，QA 分别与y 轴交于M ，N 两点．若直线PQ 的斜率为22时，PQ ＝2 3.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)试问以MN 为直径的圆是否经过定点(与直线PQ 的斜率无关)？请证明你的结论． 解 (1)设P ⎝⎛⎭⎫x 0，22x 0. 由于直线PQ 的斜率为22时，PQ ＝23， 所以x 20＋⎝⎛⎭⎫22x 02＝3，所以x 20＝2. 所以2a 2＋1b 2＝1.由于e ＝ca＝a 2－b 2a ＝22，所以a 2＝4，b 2＝2. 所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 22＝1.(2)设P (x ，y )，Q (－x ，－y )，又A (－2,0)，则k AP ·k AQ ＝y x ＋2·y x －2＝2⎝⎛⎭⎫1－x24x 2－4＝－12.设直线AP 的斜率为k ，则直线AQ 的斜率为－12k ，则直线AP 的方程为y ＝k (x ＋2)． 令x ＝0，得y ＝2k ，所以M (0,2k )． 同理N ⎝⎛⎭⎫0，－1k . 则以MN 为直径的圆的方程为x 2＋(y －2k )⎝⎛⎭⎫y ＋1k ＝0，即x 2＋y 2＋⎝⎛⎭⎫1k －2k y －2＝0.令y ＝0，解得x ＝±2，所以以MN 为直径的圆过定点(±2，0)． 4．已知直线l ：y ＝x ＋6，圆O ：x 2＋y 2＝5，椭圆E ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝33，直线l 被圆O 截得的弦长与椭圆的短轴长相等． (1)求椭圆E 的方程；(2)过圆O 上任意一点P 作椭圆E 的两条切线，若切线都存在斜率，求证两切线斜率之积为定值． (1)解 设椭圆半焦距为c ， 圆心O 到l 的距离d ＝61＋1＝3，则l 被圆O 截得的弦长为22，所以b ＝ 2. 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝33，a 2＝b 2＋c 2，又b ＝2，∴a 2＝3，b 2＝2. ∴椭圆E 的方程为y 23＋x 22＝1.(2)证明 设点P (x 0，y 0)，过点P 的椭圆E 的切线l 0的方程为y －y 0＝k (x －x 0)整理得y ＝kx ＋y 0－kx 0， 联立直线l 0与椭圆E 的方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋y 0－kx 0，y 23＋x 22＝1， 消去y ，得2[kx ＋(y 0－kx 0)]2＋3x 2－6＝0，整理得(3＋2k 2)x 2＋4k (y 0－kx 0)x ＋2(kx 0－y 0)2－6＝0， ∵l 0与椭圆E 相切，∴Δ＝[4k (y 0－kx 0)]2－4(3＋2k 2)[2(kx 0－y 0)2－6]＝0，整理得(2－x 20)k 2＋2x 0y 0k －(y 20－3)＝0，设满足题意的椭圆E 的两条切线的斜率分别为k 1，k 2， 则k 1k 2＝－y 20－32－x 20. ∵点P 在圆O 上，∴x 20＋y 20＝5，∴k 1k 2＝－5－x 20－32－x 20＝－1.∴两条切线斜率之积为常数－1.5．(2022·福建)已知曲线Γ上的点到点F (0,1)的距离比它到直线y ＝－3的距离小2. (1)求曲线Γ的方程；(2)曲线Γ在点P 处的切线l 与x 轴交于点A ，直线y ＝3分别与直线l 及y 轴交于点M ，N .以MN 为直径作圆C ，过点A 作圆C 的切线，切点为B .摸索究：当点P 在曲线Γ上运动(点P 与原点不重合)时，线段AB 的长度是否发生变化？证明你的结论．解 方法一 (1)设S (x ，y )为曲线Γ上任意一点，依题意，点S 到F (0,1)的距离与它到直线y ＝－1的距离相等，所以曲线Γ是以点F (0,1)为焦点、直线y ＝－1为准线的抛物线，所以曲线Γ的方程为x 2＝4y .(2)当点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变．证明如下： 由(1)知抛物线Γ的方程为y ＝14x 2，设P (x 0，y 0)(x 0≠0)，则y 0＝14x 20，由y ′＝12x ，得切线l 的斜率 k ＝y ′|x ＝x 0＝12x 0，所以切线l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14x 20.由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝12x 0x －14x 20，y ＝0得A (12x 0,0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －14x 20，y ＝3 得M (12x 0＋6x 0，3)．又N (0,3)，所以圆心C (14x 0＋3x 0，3)，半径r ＝12|MN |＝|14x 0＋3x 0|，|AB |＝|AC |2－r 2＝[12x 0－(14x 0＋3x 0)]2＋32－(14x 0＋3x 0)2＝ 6. 所以点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变． 方法二 (1)设S (x ，y )为曲线Γ上任意一点， 则|y －(－3)|－(x －0)2＋(y －1)2＝2，依题意，点S (x ，y )只能在直线y ＝－3的上方， 所以y >－3， 所以(x －0)2＋(y －1)2＝y ＋1，化简，得曲线Γ的方程为x 2＝4y . (2)同方法一．。
曲线与方程 课件
类型 一 曲线的方程与方程的曲线的概念 【典型例题】 1.设方程f(x,y)=0的解集非空,如果命题“坐标满足方程 f(x,y)=0的点都在曲线C上”是不正确的,则下面命题中正确 的是( ) A.坐标满足f(x,y)=0的点都不在曲线C上 B.曲线C上的点的坐标不满足f(x,y)=0 C.坐标满足f(x,y)=0的点有些在曲线C上,有些不在曲线C上 D.一定有不在曲线C上的点,其坐标满足f(x,y)=0
x x
y 或1 者0, 30
-1=x0,也3 就是x+y-1=0(x≥3)或x=4.
故方程表示一条射线和一条直线.
【拓展提升】
1.曲线与方程的判定技巧 (1)若方程f(x,y)=0无实数解,则与之对应的曲线是不存在的. 反之曲线不存在,则方程f(x,y)=0无实数解. (2)判断点是否在曲线上,其实质就是判断点的坐标是否适合曲 线的方程. (3)判定方程是否是曲线的方程或判定曲线是否是方程的曲线, 只要一一检验定义中的“两条性质”是否都满足,并作出相应 的回答即可.这是解决“曲线”与“方程”问题的关键.
曲线与方程
曲线的方程和方程的曲线的定义
一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看作点的集 前提 合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元
方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系: 条件 ①曲线上点的坐标都是_这__个__方__程__的__解__;
②以这个方程的解为坐标的点都是_曲__线__上__的__点__ 这个方程就叫做曲线的方程;这条曲线就叫做方程 结论 的曲线
判断:(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线上,那么方程 f(x,y)=0就是曲线的方程.( ) (2)如果f(x,y)=0是某曲线C的方程,则曲线上的点的坐标都适 合方程.( ) (3)x2+y2=1(x>0)表示的曲线是单位圆.( )
曲线与方程 课件
题型四 几何法求曲线方程 例4 过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴 于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程．
解 解法1：设点M的坐标为(x，y)． ∵M为线段AB的中点， ∴A的坐标为(2x,0)，B的坐标为(0,2y)． ∵l1⊥l2，且l1，l2过点P(2,4)， ∴PA⊥PB，kPA·kPB＝－1. 而kPA＝24－－20x(x≠1)，kPB＝42－－20y， ∴1－2 x·2－1 y＝－1(x≠1)． 整理得x＋2y－5＝0(x≠1)．
等．第二步是求方程的重要一环，应仔细分析曲线特征，注 意揭示隐含条件，抓住与曲线上任意点M有关的等量关系， 列出几何等式．第三步，将几何条件转化为代数方程的过程 中，常用到一些基本公式．如两点间的距离公式、点到直线 的距离公式等．第四步在化简过程中， 注意运算的合理性 和准确性，尽量避免“失解”和“增解”．对于第五步“证 明”，从理论上讲是必要的，但在实际处理上常被省略掉，
题型三 代入法求曲线方程 例3 点A(3,0)为圆x2＋y2＝1外一点，P为圆上任意一 点，若AP的中点为M，当P在圆上运动时，求点M的轨迹方 程． 分析 利用中点坐标公式，把P点的坐标用M的坐标表 示，利用代入法，代入圆的方程即可．
解 由题意，设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0， y0)，则
规律技巧 在平面直角坐标系中，遇到垂直问题，常利 用斜率之积等于－1解题，但需注意斜率是否存在，即往往 需要讨论，如解法1.求轨迹方程有时标系．△ABC的外心即 为三边的中垂线的交点．若设△ABC的外心P(x，y)．则有 |PA|＝|PB|，代入点的坐标，化简可得轨迹方程．
解 解法1(直接法)：建立平面直角坐标系，使x轴与l重 合，A点在y轴上(如图所示)，则A(0,3)．设外心P(x，y)，
曲线与方程 课件(人教版)
即xy11＝＝22yx.，
又因为 x12＋(y1－3)2＝9， 所以 4x2＋4(y－32)2＝9， 即 x2＋(y－32)2＝94(去掉原点)． [一点通] 求曲线的方程的常用方法及特点
动点满足的几何条件本身就是几何量的等量关 直接法 系，只需把这种关系“翻译”成含x，y的等式
就得到曲线的轨迹方程 动点满足已知曲线的定义，可先设定方程，再 定义法 确定其中的基本量
所以 x2＋(y－32)2＝94(去掉原点)．
法二：(定义法) 如图所示，因为 Q 是 OP 的中 点，所以∠OQC＝90°，则 Q 在以 OC 为直径的圆上，故 Q 点的轨迹方
程为 x2＋(y－32)2＝94(去掉原点)． 法三：(代入法) 设 P(x1，y1)，Q(x，y)，由题意，
得x＝x21， y＝y21，
则点M(2,1)
()
A．在直线l上，但不在曲线C上
B．在直线l上，也在曲线C上
C．不在直线l上，也不在曲线C上
D．不在直线l上，但在曲线C上
解析：将M点的坐标代入直线l、曲线C的方程验证可知
点M在直线l上，也在曲线C上．
答案：B
4．如果曲线 ax2＋by2＝4 过 A(0，－2)，B(12， 3)，则 a＝ ________，b＝________. 解析：曲线过 A(0，－2)，B(12， 3)两点， ∴A(0，－2)，B(12， 3)的坐标就是方程的解．
[例1] 分析下列曲线上的点与相应方程的关系： (1)过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|＝2之间的关 系； (2)与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间 的关系； (3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点与方程x＋y＝ 0之间的关系． [思路点拨] 按照曲线的方程与方程的曲线的定义进 行分析．
曲线与方程 课件
自主解答：∵曲线 y2－xy＋2x＋k＝0 过点(a，－a)， ∴a2＋a2＋2a＋k＝0. ∴k＝－2a2－2a ＝－2a＋122＋12. ∴k≤12. ∴k 的取值范围是－∞，12.
(1)点在曲线上，点的坐标就是曲线方程的解，满足方程， 代入后，对参数讨论求解．
(2)注意所给曲线方程中两个变量的范围以防所求参数不 正确．
把点 M2(－ 3，1)的坐标代入方程 x2＋y2＝4，左右两边相 等，所以点 M2 在这个圆上．
题型2 曲线和方程关系的应用 例2：若曲线 y2－xy＋2x＋k＝0 过点(a，－a)(a∈R)，求 k
的取值Байду номын сангаас围．
思维突破： 点a，－a在曲线上 → a，－a适合方程 → 分离参数k → 求值域，得k的范围
曲线与方程
1．在直角坐标系中，如果某曲线 C(看作点的集合或适合 某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程 f(x，y)＝0 的实数 解之间建立了如下的关系：
(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解． (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 那么，这个方程叫做____曲__线__的__方__程____ ；这条曲线叫做 __方__程__的__曲__线____． 2．如果曲线 C 的方程是 f(x，y)＝0，那么点 P0(x0，y0)在曲 线 C 上的充要条件是_ _f_(_x_0，__y_0_)＝__0___．
【要点1】如何理解曲线的方程与方程的曲线？ 【剖析】“曲线的方程”概念强调的是图形所满足的数量 关系，而“方程的曲线”所强调的是数量关系表示的图形，它 们的概念不同，侧重点也不同． 【要点2】如何证明—曲线 C 的方程为 F(x，y)＝0? 【剖析】①以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线 C 上； ②曲线 C 上的坐标都是方程 F(x，y)＝0 的解．
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题型三
【例 3】
相关点法求轨迹方程
思维启迪 解析
设 F(1,0)，M 点在 x → 轴上，P 点在 y 轴上，且MN＝ → → → 2MP，PM⊥PF，当点 P 在 y 轴 上运动时，求点 N 的轨迹方程．
. 5 8 5 ∴点 Q 与 l 的距离的最小值为 5 . l′和 l 的距离的最小值为
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题型一
【例 1】
抛物线的定义及应用
思维启迪 解析 探究提高
已知 M(4,0)，N(1,0)， → MP → → 若动点 P 满足MN· ＝6|NP|. (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程； (2)设 Q 是曲线 C 上任意一点， 求 Q 到直线 l：x＋2y－12＝0 的 距离的最小值．
0 0
解
上运动时，求点 N 的轨迹方程． (1，－y0)，
∴(x0，－y0)· (1，－y0)＝0，
∴x0＋y2＝0. 0 → → 由MN＝2MP得(x－x0， y)＝2(－x0，
y0)， x0＝－x x－x ＝－2x 0 0 ∴ ，即 . 1 y＝2y0 y0＝2y
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题型一
【例 1】
抛物线的定义及应用
思维启迪 解析 探究提高
已知 M(4,0)，N(1,0)， → MP → → 若动点 P 满足MN· ＝6|NP|. (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程； (2)设 Q 是曲线 C 上任意一点， 求 Q 到直线 l：x＋2y－12＝0 的 距离的最小值．
(2)由几何性质意义知， 与平行 l 于 l 的椭圆 C 的切线 l′的距离 等于 Q 与 l 的距离的最小值． 设 l′：x＋2y＋D＝0.将其代入椭 圆方程消去 x，化简得：16y2 ＋12Dy＋3(D2－4)＝0. ∴Δ ＝ 144D2 － 192(D2 － 4) ＝ 0 ⇒D＝± 4， |12－4|
题型一
【例 1】
直接法求轨迹方程
思维启迪 解析 探究提高
已知 M(4,0)，N(1,0)， → MP → → 若动点 P 满足MN· ＝6|NP|. (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程； (2)设 Q 是曲线 C 上任意一点， 求 Q 到直线 l：x＋2y－12＝0 的 距离的最小值．
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∴点 M 的轨迹是以 O1、O2 为焦 点， 实轴长为 3 的双曲线的左支． 3 7 2 2 2 ∴a＝2，c＝2，∴b ＝c －a ＝4. 4x2 4y2 ∴点 M 的轨迹方程为 9 － 7 ＝1 3 (x≤－2)． 动画展示
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题型二 定义法求轨迹方程
题型二 定义法求轨迹方程
思维启迪 解析 探究提高
【例 2】 已知两个定圆 O1 和 O2，它 们的半径分别是 1 和 2，且|O1O2| ＝4.动圆 M 与圆 O1 内切，又与圆 O2 外切，建立适当的坐标系，求动 圆圆心 M 的轨迹方程， 并说明轨迹 是何种曲线．
由动圆 M 与圆 O2 外切，有|MO2| ＝r＋2. ∴|MO2|－|MO1|＝3.
求轨迹方程的常用方法
(1)直接法：直接利用条件 建立 x，y 之间的关系 F(x， y)＝0； (2)待定系数法：已知所求 曲线的类型，求曲线方程 ——先根据条件设出所求 曲线的方程， 再由条件确定 其待定系数；
的解
．
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(2)以这个方程的解为坐标的点都是
坐标之间的关系不易直接 找到， 也没有相关动点可用 时，可考虑将 x，y 均用一 中间变量(参数)表示，得参 数方程， 再消去参数得普通 方程．
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题号
1 2 3 4
5
答案
y2＝x
解析
4π
D
D D
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数学
浙（理）
§9.8 曲线与方程
第九章 解析几何
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1．曲线与方程 一般地，在平面直角坐标系中，如果 某曲线 C(看作点的集合或适合某种 条件的点的轨迹)上的点与一个ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ元 方程 f(x，y)＝0 的实数解建立了如下 关系： (1)曲线上点的坐标都是 这个方程
难点正本 疑点清源
(1) 用 直 接法 求 轨 迹方 程 的 步 骤： 建系， 设点， 列方程化简． 其 关键是根据条件列出方程来． (2)求轨迹方程时，最后要注意 它的完备性与纯粹性， 多余的点 要去掉，遗漏的点要补上．
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变式训练 1 如图所示， 过点 P(2,4)作互相垂直的直线
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3．两曲线的交点
难点正本 疑点清源
(5)参数法：当动点 P(x，y)
(1)由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的 坐标应该是两个曲线方程的公共解，即两个 曲线方程组成的方程组的实数解；反过来， 方程组有几组解，两条曲线就有几个交点； 方程组无解，两条曲线就没有交点． (2)两条曲线有交点的充要条件是它们的方程 所组成的方程组有实数解．可见，求曲线的 交点问题，就是求由它们的方程所组成的方 程组的实数解问题．
设动点坐标，列式化简即可．
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【例 1】
抛物线的定义及应用
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已知 M(4,0)，N(1,0)， → MP → → 若动点 P 满足MN· ＝6|NP|. (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程； (2)设 Q 是曲线 C 上任意一点， 求 Q 到直线 l：x＋2y－12＝0 的 距离的最小值．
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【例 1】
抛物线的定义及应用
思维启迪 解析 探究提高
已知 M(4,0)，N(1,0)， → MP → → 若动点 P 满足MN· ＝6|NP|. (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程； (2)设 Q 是曲线 C 上任意一点， 求 Q 到直线 l：x＋2y－12＝0 的 距离的最小值．
解 (1)设动点 P(x，y)， → → 则MP＝(x－4，y)，MN＝ → (－3,0)，PN＝(1－x，－y)，
由 已 知 得 － 3(x － 4) ＝ 6 1－x2＋－y2， x2 y2 化简得 3x2＋4y2＝12，即 4 ＋ 3 ＝1. x2 ∴点 P 的轨迹方程是椭圆 C： 4
y2 ＋ 3 ＝1.
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【例 2】 已知两个定圆 O1 和 O2，它 们的半径分别是 1 和 2，且|O1O2| ＝4.动圆 M 与圆 O1 内切，又与圆 O2 外切，建立适当的坐标系，求动 圆圆心 M 的轨迹方程， 并说明轨迹 是何种曲线．
求曲线的轨迹方程时，应尽量地 利用几何条件探求轨迹的曲线 类型，从而再用待定系数法求出 轨迹的方程，这样可以减少运算 量，提高解题速度与质量．
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要点梳理
(4)代换——依条件式的特点， 选用距 离公式、斜率公式等将其转化为 x， y 的方程式，并化简． (5)证明——证明所求方程即为符合 条件的动点轨迹方程．
难点正本 疑点清源
(4)代入法(相关点法)： 动点 P(x ， y) 依 赖 于 另 一 动 点 Q(x0，y0)的变化而变化，并 且 Q(x0，y0)又在某已知曲 线上，则可先用 x，y 的代 数式表示 x0，y0，再将 x0， y0 代入已知曲线得要求的 轨迹方程；
即 x＋2y－5＝0.
∴线段 AB 中点 M 的轨迹方程为 x＋2y－5＝0.
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题型二 定义法求轨迹方程
思维启迪 解析 探究提高
【例 2】 已知两个定圆 O1 和 O2，它 们的半径分别是 1 和 2，且|O1O2| ＝4.动圆 M 与圆 O1 内切，又与圆 O2 外切，建立适当的坐标系，求动 圆圆心 M 的轨迹方程， 并说明轨迹 是何种曲线．
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题型三
【例 3】
相关点法求轨迹方程
思维启迪 解析
设 F(1,0)，M 点在 x → 轴上，P 点在 y 轴上，且MN＝ → → → 2MP，PM⊥PF，当点 P 在 y 轴
探究提高
点 N 的运动依赖于点 P，可以通过 P、M、N 三点坐标关系探求点 N
上运动时，求点 N 的轨迹方程． 的轨迹方程．
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变式训练 2 已知点
1 F4，0，直线
1 l：x＝－ ，点 B 是 l 上的动点．若 4 ( D )
过 B 垂直于 y 轴的直线与线段 BF 的垂直平分线交于点 M，则点 M 的轨迹是 A．双曲线
解析
B．椭圆
C．圆
D．抛物线
由已知：|MF|＝|MB|.由抛物线定义知，点 M 的轨迹是以
解