10平面向量

平面向量问题的类型及其解法平面向量是课程改革的新增内容,首次出现在2000年天津、江西新课程和上海高考试题中.在课程教材中《平面向量》与《解三角形》在同一章,课标把它们分列两章.《课程标准》删去了大纲中的“线段的定比分点”和“向量平移”,增加了直线的方向向量、直线夹角公式和点到直线的距离公式,加强了向量(尤其在平面几何中)的应用.平面向量的基本理论可分为三个方面;一是自由向量:①a ∥b ∃⇔λ1,λ2,使λ1a +λ2b =0; ②a ⊥b ⇔ab =0; ③a 2=|a |2; ④ab =|a ||b |cos<a ,b >; ⑤a 在向量m 上的射影为|a|cos<a ,m >=am /|m|; ⑥向量的加、减、乘类似于多项式的加、减、乘(包括乘法公式、因式分解公式); ⑦a +b +c =0⇔a ,b ,c 三个向量首尾相连构成封闭图形⇔向量a ,b ,c 的始点重合于点G,a ,b ,c 的终点分别为A,B,C,则G 是△ABC 的重心.二是解析向量:a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2).①a ±b =(x 1±x 2,y 1±y 2);②ab =x 1x 2+y 1y 2;③a ∥b ⇔x 1:x 2=y 1:y 2;④a ⊥b ⇔ x 1x 2+y 1y 2=0;⑤|a |=2221x x +;⑥定比分点公式(包括中点坐标公式);⑦|a |=r ⇔a =(rcos α,rsin α),α∈[0,2π);三是几何向量:①己知A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则AB =(x 2-x 1,y 2-y 1);②A 、P 、B 三点共线OB OA OP βα+=⇔,其中O 不在直线AB 上,且α+β=1;③|OB OA OB OA OB OA ⊥⇔-=+|||;④⇔=++0PC PB PA P 是△ABC 的重心;⑤ PA PC PC PB PB PA ==⇔P 是△ABC 的垂心;⑥0=++PC c PB b PA a ⇔P 是△ABC 的内心;⑦⇔==222PC PB PA P 是△ABC 的外心.平面向量问题是安徽高考的重点,2006年始,自主命题的试题列举如下:1.(2010年文理第3题)设向量a =(1,0),b =(21,21),则下列结论中正确的是( ) (A)|a |=|b | (B)ab =22 (C)a -b 与b 垂直 (D)a //b [解]:(a -b )b =ab -b 2=21-21=0⇒a -b 与b 垂直,选(C).2.(2008年文第3题)若AB =(2,4),AC =(1,3),则BC =( )(A)(1,1) (B)(-1,-1) (C)(3,7) (D)(-3,-7)[解]:由BC AB AC BC ⇒-==(-1,-1).选(B).3.(2008年理第3题)在平行四边形ABCD 中,AC 为一条对角线,若AB =(2,4),AC =(1,3),则BD =( )(A)(-2,-4) (B)(-3,-5) (C)(3,5) (D)(2,4)[解]:由AB AC AB AB AC AB BC AB AD BD 2)(-=--=-=-==(-3,-5),选(B).4.(2006年文理第14题)在平行四边形ABCD 中,,3,,NC AN b AD a AB ===M 为BC 的中点,则M N = (用b a ,表示).[解]:因=+-=-=)(43BM AB AC AM AN MN 43(a +b )-(a +21b )=41-a +41b . 5.(2007年文理第13题)在四面体O-ABC 中,c OC b OB a OA ===,,,D 为BC 的中点,E 为AD 的中点,则O E = (用c b a ,,表示).[解]:由题知)](21[21)(21OC OB OA OD OA OE ++=+==21a +41(b +c ). 6.(2009年文第14题)在平行四边形ABCD 中,E 和F 分别是边CD 和BC 的中点,若AC =λAE +ηAF ,其中λ,η∈R,则λ+μ= .[解]:(法一)设AB =a ,AD =b ,则AC =a +b ,AE =21(AD +AC )=21a +b ,AF =21(AB +AC )=a +21b ⇒AE +AF =23(a +b ) =23AC ⇒AC =32AE +32AF ,所以,λ=μ=32⇒λ+μ=34.(法二)由题知2AE =AD +AC ,2AF =AB +AC ⇒2AE +2AF =AD +AB +2AC =3AC ⇒AC =32AE +32AF ,所以,λ=μ=32⇒λ+μ=34. (法三)本题隐含对任意的平行四边形ABCD,λ+μ为定值.故可取平行四边形ABCD 为边长为2的正方形,并分别以AB 、AD 边所在直线为x 、y 轴建立平面直角坐标系,则AC =(2,2),AE =(1,2),AF =(2,1),由AC =λAE +ηAF ⇒λ+2μ=2, 2λ+μ=2⇒λ+μ=34. 7.(2009年理第14题)给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ,它们的夹角为 B C1200.如图所示,点C 在以O 为圆心的圆弧BA ˆ上变功,若O C =x OA +y OB , 其中x,y ∈R,则x+y 的最大值是 .[解]:(法一)过点C 作直线CM 平行于OB,且与直线OA 交于点M,于是 O A ∠CMO=600,在△OCM 中,设∠COM=α,则0060sin 1)120sin(sin =-=ααOM CM ⇒CM=332sin α,OM=332sin(1200-α),由OC =x OA +y OB 知,x=OM=332sin(1200-α),y=CM=332sin α,所以,x+y=332sin(1200-α)+332sin α=2sin(α+300)≤2;(法二)以点O 为原点,OA 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系,则OA =(1,0),OB =(-21,23),设OC =(cos α,sin α), 由OC =x OA +y OB 得:x-21y=cos α,23y=sin α⇒x+y=3sin α+cos α=2sin(α+300)≤2; (法三)由OC =x OA +y OB 得:OC 2=(x OA +y OB )2⇒|OC |2=x 2|OA |2+y 2|OB |2+2xy||OA |OB |cos1200⇒1=x 2+y 2-xy ⇒1≥21(x+y)2-41(x+y)2⇒x+y ≤2. 平面向量问题是高考重点关注的问题,那么,高考中平面向量问题有哪些类型？如何解决平面向量问题？下面我们通过举例,解决这些问题.一.向量认识例1:(2000年新课程高考试题)设a ,b ,c 是任意的非零向量,且相互了共线,则①(ab )c -(ca )b =0;②|a |-|b |<|a -b |;③(bc )a -(ca )b 不与c 垂直;④(3a -2b )(3a +2b )=9|a |2-4|b |2.是真命题的有( )(A)①② (B)②③ (C)③④ (D)②④ [分析解答]:①向量的乘法不满足结合律,所以,①错;②任意向量a ,b ,满足三角不等式:||a |-|b ||≤|a ±b |≤|a |+|b |;③[(bc )a -(ca )b ]c =(bc )(ac )-(ca )(bc )=0,所以c ⊥[(bc )a -(ca )b ],所以,③错;④(3a -2b )(3a +2b )=(3a )2- (2b )2=9a 2-4b 2=9|a |2-4|b |2.所以,④正确.综上,选(D). [思想方法]:掌握一些正确的结论是学习的基础,而认识一些常见的错误则是学习的提高;向量中的常见错误来自于三个方面:一是对向量的方向性和自由性的错误理解,二是把实数的运算和性质错误的移植到向量的运算中,三是没有正确理解向量运算的几何意义.[备选题库]:1.(2002年上海春招试题)若a ,b ,c 为任意向量,m ∈R,则下列等式不一定成立的是( )(A)(a +b )+c =a +(b +c ) (B)(a +b )c =ac +bc (C)m(a +b )=m a +m b (D)(ab )c =a (bc )2.(2007福建高考试题)对于向量a 、b 、c 和实数λ,下列命题中真命题是( )(A)若ab =0则a =0,或b =0 (B)若λa =0,则λ=0,或a =0 (C)若a 2=b 2,则a =b ,或a =-b (D)若ab =ac ,则b =c3.(2008年宁夏、海南高考试题)平面向量a ,b 共线的充要条件是( )(A)a,b 方向相同 (B)a,b 两向量中至少有一个为零向量 (C)∃λ∈R,b =λa (D)存在不全为零的实数λ1,λ2,λ1a +λ2b =04.(2008年陕西高考试题)关于平面向量a ,b ,c ,有下列三个命题:①若ab =a c ,则b =c ;②若a =(1,k),b =(-2,6),a ∥b ,则k=-3;③非零向量a 和b 满足|a |=|b |=|a -b |,则a 与a +b 的夹角为600;其中真命题的序号是 (写出所有真命题的序号).5.(2010年山东高考试题)定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下:对任意的a =(m,n),b =(p,q),令a ⊙b =mq-np.下面说法错误的是( )(A)若a 与b 共线,则a ⊙b ＝0 (B)a ⊙b =b ⊙a (C)对任意的λ∈R ,有(λa )⊙b =λ(a ⊙b ) (D)(a ⊙b )2+(ab )2=|a |2|b |26.(2007年湖南高考试题)若O 、E 、F 是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是( ) (A)OE CF EF += (B)OE CF EF -= (C)OE CF EF +-= (D)OE CF EF --=7.(2006年上海高考试题)如图,在平行四边形ABCD 中, D C下列结论错误的是( ) A B (A)DC AB = (B)AC AB AD =+ (C)BD AD AB =- (D)CB AD +=08.(2006年广东高考试题)如图所示,D 是△ABC 的边AB 上的中点, A则向量CD =( ) D(A)-BC +21BA (B)-BC -21BA B C (C)BC -21BA (D)BC +21BA 9.(2004年上海春招试题)在△ABC 中,有命题:①BC AC AB =-;②=0;③若)()(AC AB AC AB -⋅+=0,则△ABC 为等腰三角形;④若AB AC ⋅>0,则△ABC 为锐角三角形.上述命题正确的是( )(A)①② (B)①④ (C)②③ (D)②③④10.(2008年江西高考试题)如图.正六边形ABCDEF 中,有下列四个命题: E D①BC AF AC 2=+;②AF AB AD 22+=;③AB AD AD AC ⋅=⋅;④EF AF AD )(⋅ F C=)(EF AF AD ⋅.其中真命题的代号是 (写出所有真命题的代号). A B二.自由向量例2:(2007年辽宁高考试题)若向量a 与b 不共线,b a ⋅≠0,且b b a a a a c )()(⋅⋅-=,则向量a 与c 的夹角为( ) (A)0 (B)6π (C)3π (D)2π [分析解答]:由])()([b b a a a a a c a ⋅⋅-=⋅=)()()(b a b a a a a a ⋅⋅⋅-⋅=a a a a ⋅-⋅=0,所以,向量a 与c 的夹角为2π.故选(D).[思想方法]:关于自由向量的问题,关键是运算问题,正确掌握向量运算的性质:①向量的加、减、乘运算类似于多项式的运算;②向量的数量积:><=⋅b a b a b a ,cos ||||;③向量的模的公式:2a a =;④向量的夹角公式:cos ||||,b a b a b a ⋅>=<.基本问题有:求某向量的数量积、求向量的模和两向量的夹角,或其范围. [备选题库]:1.(2000年上海高考试题)己知向量a 和b 的夹角为1200,且|a |=2,|b |=5,则(2a -b )a = .2.(2007年上海高考试题)若向量a 、b 的夹角为600,|a |=|b |=1,则a (a -b )= .3.(2007年广东高考试题)若向量a 、b 满足|a |=|b |=1,a 与b 的夹角为1200,则aa +ab = .4.(2008年北京高考试题)己知向量a 和b 的夹角为1200,且|a |=|b |=4,则b (2a +b )的值为 .5.(2009年江苏高考试题)己知向量a 与向量b 的夹角为300,且|a |=2,|b |=3,则向量a 与向量b 的ab = .6.(2010年重庆高考试题)已知向量a ,b 满足ab =0,|a |=1,|b |=2,则|2a -b |=( )(A)0 (B)22 (C)4 (D)87.(2010年江西高考试题)已知向量a ,b 满足|a |=1,|b |=2,a 与b 的夹角为600,则|a -b |= .8.(2004年全国I 高考试题)己知a 、b 均为单位向量,它们的夹角为600,那么|a +3b |=( ) (A)7 (B)10 (C)13 (D)49.(2008年江苏高考试题)己知向量a 与b 的夹角为1200,且|a |=1,|b |=3,则|5a -b |= .10.(2010年浙江高考试题)已知平面向量α,β,|α|=1,|β|=2,α⊥(α-2β),则|2α+β|的值是 .11.(2006年湖北高考试题)己知非零向量a 、b ,若a +2b 与a -2b 互相垂直,则||||b a =( ) (A)41 (B)4 (C)21 (D)2 12.(2004年重庆高考试题)若向量a 和b 的夹角为600,|b |=4,(a +2b )(a -3b )=-72,则向量a 的模为( )(A)2 (B)4 (C)6 (D)1213.(2009年重庆高考试题)己知|a |=1,|b |=6,a (b -a )=2,则向量a 与b 的夹角是( ) (A)6π (B)4π (C)3π (D)2π 14.(2004年全国III 高考试题)向量a 、b 满足(a -b )(2a +b )=-4,且|a |=2,|b |=4,则a 与b 夹角的余弦值等于 .15.(2010年湖南高考试题)若非零向量a ,b 满足|a |=|b |,(2a +b )b =0,则a 与b 的夹角为( )(A)300 (B)600 (C)1200 (D)150016.(2006年湖南高考试题)己知|a |=2|b |≠0,且关于x 的方程x 2+|a |x+ab =0有实根,则a 与b 夹角的范围是( ) (A)[0,6π] (B)[3π,π] (C)[3π,32π] (D)[6π,π] 17.(2007年湖南高考试题)设a 、b 是非零向量,若函数f(x)=(x a +b )(a -x b )的图象是一条直线,则必有( )(A)a ⊥b (B)a ∥b (C)|a |=|b | (D)|a |≠|b |18.(2010年北京高考试题)a 、b 是非零向量.“a ⊥b ”是“函数f(x)=(x a +b )(x b -a )为一次函数”的( )(A)充分而不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件三.几何意义例3:(2006年浙江高考试题)设向量a 、b 、c 满足:a +b +c =0,(a -b )⊥c ,a ⊥b ,若|a |=1,则|a |2+|b |2+|c |2的值是 .[分析解答]:(法一)由a +b +c =0⇒c =-(a +b ),(a -b )⊥c ⇒(a -b )c =0⇒(a -b )[--(a +b )]=0⇒a 2=b 2⇒|b |=|a |=1,又由a ⊥b ⇒ab =0⇒|c |=|-(a +b )|=|a +b |=22)(222=⋅++=+b a b a b a ⇒|a |2+|b |2+|c |2=4. (法二)由a +b +c =0,且a ⊥b 知a 、b 、c 构成直角三角形ABC,如图:延长AC 到点D,使CD=AC, A 则DB =a -b ,由(a -b )⊥c 知AB ⊥BD ⇒△ABD 是等腰直角三角形⇒△ABC 是等腰直角三角形 C B ⇒AC=BC=1⇒AB=2⇒|a |2+|b |2+|c |2=4. D (法三)由a +b +c =0知,a 、b 、c 构成如图所示的△ABC. 其中G 是△ABC 的重心,由a ⊥b 知 B GA ⊥GB,由(a -b )⊥c 知GC ⊥AB ⇒△ABG 是等腰直角三角形⇒GA=GB=1 GC=2GD=AB=2⇒ G A |a |2+|b |2+|c |2=4. C(法四)由|a |=1知可设a =(cos θ,sin θ),由a ⊥b 可得b =(ksin θ,-kcos θ),由a +b +c =0可得c =(-cos θ-ksin θ,kcos θ-sin θ),由(a -b )⊥c ⇒-cos 2θ+k 2sin 2θ-sin 2θ+k 2cos 2=0⇒k 2=1⇒|b |=1,|c |=2⇒|a |2+|b |2+|c |2=4. [思想方法]:关注向量运算的几何意义或向量的三角坐标是巧解向量问题的出发点.其中,a +b +c =0⇔向量a 、b 、c 首尾相接可构成一个三角形⇔向量a 、b 、c 共同的始点是三个终点构成的三角形的重心;对任意向量a =(|a |cos θ,|a |sin θ),θ∈[0,2π).[备选题库]:1.(2006年山东高考试题)(文)设向量a =(1,-3),b =(-2,4),若表示向量4a 、3b -2a 、c 的有向线段首尾相接能构成三角形,则向量c 为( )(A)(1,-1) (B)(-1,1) (C)(-4,6) (D)(4,-6)2.(2006年山东高考试题)(理)设向量a =(1,-3),b =(-2,4),c =(-1,-2),若表示向量4a 、4b -2c 、2(a -c )、d 的有向线段首尾相接能构成四边形,则向量d 为( )(A)(2,6) (B)(-2,6) (C)(2,-6) (D)(-2,-6)3.(2005年天津高考试题)己知|a |=2,|b |=4,a 与b 的夹角为3π,以a 、b 为邻边作平行四边形则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为 .4.(2006年全国II 高考试题)设平面向量a 1,a 2,a 3的和a 1+a 2+a 3=0.如果平面向量b 1,b 2,b 3满足|b i |=2|a i |,且a i 顺时针旋转300后与b i 同向,其中i=1,2,3,则( )(A)-b 1+b 2+b 3=0 (B)b 1-b 2+b 3=0 (C)b 1+b 2-b 3=0 (D)b 1+b 2+b 3=07.(2001年上海春招试题)若非零向量α,β满足|α+β|=|α-β|则α与β所成角的大小为 .8.(2004年福建高考试题)己知a 、b 是非零向量,且满足(a -2b )⊥a ,(b -2a )⊥b ,则a 与b 的夹角是( ) (A)6π (B)3π (C)32π (D)65π 9.(2009年全国I 高考试题)设非零向量a 、b 、c 满足|a |=|b |=|c |,a +b =c ,则<a ,b >=( )(A)1500 (B)1200 (C)600 (D)30010.(2005年北京高考试题)|a |=1,|b |=2,c =a +b ,且c ⊥a ,则向量a 与b 的夹角为( )(A)300 (B)600 (C)1200 (D)150011.(2004年全国II 高考试题)己知向量a 、b 满足:|a |=1,|b |=2,|a -b |=2,则|a +b |=( )(A)1 (B)2 (C)5 (D)612.(2006年福建高考试题)己知向量a 与b 的夹角为1200,且|a |=3,|a +b |=13,则|b |等于( )(A)5 (B)4 (C)3 (D)113.(2006年浙江高考试题)设向量a 、b 、c 满足:a +b +c =0,且a ⊥b ,|a |=1,|b |=2,则|c |2=( )(A)1 (B)2 (C)4 (D)514.(2004湖南高考试题)己知向量a =(cos θ,sin θ),向量b =(3,-1),则|2a -b |的最大值、最小值分别为( ) (A)42,0 (B)4,22 (C)16,0 (D)4,015.(2006年北京高考试题)己知a =(cos α,sin α),b =(cos β,sin β),且a ≠±b ,则a+b 与a -b 的夹角的大小是 .16.(2009年全国I 高考试题)设a ,b ,c 是单位向量,且a b =0,则(a -c )(b -c )的最小值为( )(A)-2 (B)2-2 (C)-1 (D)1-217.(2007年浙江高考试题)若非零向量a 、b 满足|a +b |=|b |,则( )(A)|2a |>|2a +b | (B)|2a |<|2a +b | (C|2b |>|a +2b | (D)|2b |<|a +2b |18.(2008年浙江高考试题)己知a 是平面内的单位向量,若向量b 满足b (a -b )=0,则|b |的取值范围是 .19.(2008年浙江高考试题)己知a ,b 是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量c 满足(a -c )(b -c )=0,则|c |的最大值是( )(A)1 (B)2 (C)2 (D)2220.(2010年江西高考试题)已知向量a ,b 满足|b |=2,a 与b 的夹角为600,则b 在a 上的投影是__________.21.(2009年浙江高考试题)己知向量a ,b 满足|a |=3,|b |=4,ab =0,以a ,b ,a -b 的模为边长构成三角形,则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为( )(A)3 (B)4 (C)5 (D)622.(2005年浙江高考试题)己知向量a ≠e ,|e |=1满足:对任意t ∈R,恒有|a -t e |≥|a -e |,则(A)a ⊥e (B)a ⊥(a -e ) (C)e ⊥(a -e ) (D)(a +e )⊥(a -e )23.(2010年浙江高考试题)已知平面向量α,β,(α≠0,α≠β),满足|β|=1,且α与β-α的夹角为1200,则|α|的取值范围是 .24.(2009年福建高考试题)设a ,b ,c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量,且满足a 与b 不共线,a ⊥c ,|a |=|c |,则|b c |的值一定等于( )(A)以a ,b 为两边的三角形的面积 (B)以b ,c 为两边的三角形的面积(C)以a ,b 为邻边的平行四边形的面积 (D)以b ,c 为邻边的平行四边形的面积四.解析向量例4:(2007年重庆高考试题)己知向量OA =(4,6),OB =(3,5),且OC ⊥OA ,AC ∥OB ,则向量OC =( ) (A)(-73,72) (B)(-72,214) (C)(73,-72) (D)(72,-214) [分析解答]:由OA =(4,6),且OC ⊥OA ,可设OC =(3k,-2k)⇒AC =OC -OA =(3k-4,-2k-6),又由AC ∥OB ⇒(3k- 4):(-2k-6)=3:5⇒k=212⇒OC =(72,-214).故选(D). [思想方法]:对于解析向量,首先应关注于运算法则:若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则①a ±b =(x 1±x 2,y 1±y 2);②λa =(λx 1,λy 1);③ab =x 1x 2+y 1y 2;其次是基本结论:若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则①a ∥b ⇔x 1:x 2=y 1:y 2;②a ⊥b ⇔x 1x 2+y 1:y 2=0;③cos<a , b >=222221212121y x y x y y x x +++;最后应特别注意:若A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则AB =(x 2-x 1,y 2-y 1),及几何向量的运算法则. [备选题库]:1.(2001年新课程高考试题)若向量a =(3,2),b =(0,-1),则向量2b -a 的坐标是( )(A)(3,-4) (B)(-3,4) (C)(3,4) (D)(-3,-4)2.(2005年重庆高考试题)设向量a =(-1,2),b =(2,-1),则(ab )(a +b )等于( )(A)(1,1) (B)(-4,-4) (C)-4 (D)(-2,-2)3.(2008年湖北高考试题)设a =(1,-2),b =(-3,4),c =(3,2),则(a +2b )c =( )(A)(-15,12) (B)0 (C)-3 (D)-114.(2008年天津高考试题)己知平面向量a =(2,4),b =(-1,2),若c =a -(ab )b ,则|c |= .5.(2005年广东高考试题)己知向量a =(2,4),b =(x,6),且a ∥b ,则x= .6.(2010年重庆高考试题)若向量a =(3,m),b =(2,-1),ab =0,则实数m 的值为( ) (A)-23 (B)23 (C)2 (D)6 7.(2008年广东高考试题)己知平面向量a =(1,2),b =(-2,-m),且a ∥b ,则2a +3b =( )(A)(-2,-4) (B)(-3,-6) (C)(-4,-8) (D)(-5,-10)8.(2009年广东高考试题)己知平面向量a =(x,1),b =(-x,x 2),则a +b ( )(A)平行于y 轴 (B)平行第一、三象限的角平分线 (C)平行于x 轴 (D)平行第二、四象限的角平分线9.(2009年重庆高考试题)己知向量a =(1,1),b =(2,x).若a +b 与4b -2a 平行,则实数x 的值是( )(A)-2 (B)0 (C)1 (D)210.(2004年浙江高考试题)己知向量a =(3,4),b =(sin α,cos α),且a ∥b ,则tan α等于( ) (A)43 (B)-43 (C)34 (D)-3411.(2008年全国I 高考试题)设a =(1,2),b =(2,3).若向量λa +b 与向量c =(-4,-7)共线,则λ= .12.(2009年北京高考试题)己知向量a =(1,0),b =(0,1),c =k a +b (k ∈R),d =a -b .如果c ∥d ,那么( )(A)k=1,且c 与d 同向 (B)k=1,且c 与d 反向 (C)k=-1,且c 与d 同向 (D)k=-1,且c 与d 反向13.(2006年湖南高考试题)己知向量a =(2,t),b =(1,2),若t=t 1时,a ∥b ;t=t 2时,a ⊥b ,则( )(A)t 1=-4,t 2=-1 (B)t 1=-4,t 2=1 (C)t 1=4,t 2=-1 (D)t 1=4,t 2=114.(2010年陕西高考试题)已知向量a =(2,-1),b =(-1,m),c =(-1,2),若(a +b )∥c ,则m= .15.(2004年广东高考试题)若平面向量a =(3,1),b =(x,-3),且a ⊥b ,则x=( )(A)3 (B)1 (C)-1 (D)-316.(2009年江西高考试题)己知向量a =(3,1),b =(1,3),c =(k,2),若(a -c )⊥b ,则k= .17.(2007年山东高考试题)己知向量a =(1,n),b =(-1,n),若2a -b 与b 垂直,则|a |=( )(A)1 (B)2 (C)2 (D)418.(2005年浙江高考试题)己知向量a =(x-5,3),b =(2,x),且a ⊥b ,则由x 的值构成的集合是( )(A){2,3} (B){-1,6} (C){2} (D){6}19.(2004年天津高考试题)己知向量a =(1,1),b =(2,-3),若k a -2b 与a 垂直,则实数k 等于 .20.(2008年宁夏、海南高考试题)己知平面向量a =(1,-3),b =(4,-2),λa +b 与a 垂直,则λ=( )(A)-1 (B)1 (C)-2 (D)221.(2007年北京高考试题)己知向量a =(2,4),b =(1,1).若向量b ⊥(a +λb ),则实数λ的值是 .22.(2009年宁夏、海南高考试题)己知向量a =(-3,2),b =(-1,0),向量λa +b 与a -2b 垂直,则实数λ的值为( ) (A)-71 (B)71 (C)-61 (D)6123.(2009年辽宁高考试题)己知平面向量a 与b 的夹角为600,a =(2,0),|b |=1,则|a +2b |=( )(A)3 (B)23 (C)4 (D)1224.(2005年湖北高考试题)己知向量a =(-2,2),b =(5,k),若|a +b |不超过5,则k 的取值范围是 .25.(2006年天津高考试题)己知向量a 和b 的夹角为θ,且a =(3,3),2b -a =(-1,1),则cos θ= .26.(2006年湖北高考试题)己知向量a =(3,1),b 是不平行于x 轴的单位向量,且ab =3,则b =( ) (A)(23,21) (B)(21,23) (C)(433,41) (D)(1,0) 27.(2009年全国II 高考试题)己知向量a =(2,1),ab =10,|a +b |=52,则|b |=( ) (A)5 (B)10 (C)5 (D)2528.(2004年江苏高考试题)平面向量a 、b 中,己知a =(4,-3),|b |=1,且ab =5,则向量b = .29.(2004年天津高考试题)若平面向量b 与向量a =(1,-2)的夹角为1800,且|b |=35,则b =( )(A)(-3,6) (B)(3,-6) (C)(6,-3) (D)(-6,3)30.(2009年广东高考试题)己知平面向量a 、b 满足|a +b|=1,a +b 平行于x 轴,b =(2,-1),则a = .31.(2009年浙江高考试题)己知向量a =(1,2),b =(2,-3).若向量c 满足:(c +a )∥b ,c ⊥(a +b ),则c =( ) (A)(97,37) (B)(-37,-97) (C)(37,97) (D)(-97,-37) 32.(2005年江西高考试题)己知向量a =(1,2),b =(-2,-4),|c |=5,若(a +b )c =25,则a 与c 的夹角为( ) (A)300 (B)600 (C)1200 (D)150033.(2010年广东高考试题)若向量a =(1,1),b =(2,5),c =(3,x)满足条件(8a -b )c =30,则x=( )(A)6 (B)5 (C)4 (D)334.(2000年上海高考试题)己知向量OA =(-1,2),OB =(3,m),若OA ⊥AB ,则m= .35.(2005年福建高考试题)在△ABC 中,∠C=900,AB =(k,1),AC =(2,3),则k 的值是( )(A)5 (B)-5 (C)23 (D)-2336.(2007年上海高考试题)直角坐标系xOy 中,i 、j 分别是与x 、y 轴正方向同向的单位向量.在直角三角形ABC 中,若AB =2i +j ,AC =3i +k j ,则k 的可能值的个数是( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)437.(2006年重庆高考试题)己知三点A(2,3),B(-1,-1),C(6,k),其中k 为常数,若|AB |=|AC |,则AB 与AC 的夹角的余弦值为( )(A)-2524 (B)0,2524 (C)2524 (D)0,-2524 38.(2005年重庆高考试题)A(3,1),B(6,1),C(4,3),D 线段BC 的中点,则向量AC 与DA 的夹角的余弦值为( ) (A)54 (B)-54 (C)53 (D)-53 39.(2008年辽宁高考试题)己知四边形ABCD 的三个顶点A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且AD BC 2=,则顶点D 的坐标为( ) (A)(2,27) (B)(2,-21) (C)(3,2) (D)(1,3) 40.(2004年上海高考试题)己知点A(1,-2),若向量AB 与a =(2,3)同向,|AB |=213,则点B 的坐标为 .41.(2008年江西高考试题)直角坐标平面内三点A(1,2)、B(3,-2)、C(9,7),若E 、F 为线段BC 的三等分点,则AF AE ⋅= .42.(2007年江西高考试题)在平面直角坐标系中,正方形OABC 的对角线OB 的两端点分别为O(0,0)、B(1,1),则AC AB ⋅= .43.(2008年天津高考试题)如图,在平行四边形ABCD 中,AC =(1,2),BD =(-3,2), D C 则AC AD ⋅= . A B五.几何向量例5:(2007年山东高考试题)在直角△ABC 中,CD 是斜边AB 上的高,则下列等式不成立的是( )(A)AB AC AC ⋅=2|| (B)BC BA BC ⋅=2|| (C)CD AC AB ⋅=2|| (D)22||)()(||AB BC BA AB AC CD ⋅⨯⋅=[分析解答]:(法一)因2||cos ||||AC A AB AC AB AC =⋅=⋅,所以,(A)正确;同理可得:(B)正确;因直角△ABC 中,||||CD AB ⋅ =||||BC AC ⋅22222||))((||||||||AB BC BA AB AC AB BC AC CD ⋅⋅=⋅=⇒,所以,(D)正确;故选(C).(法二)设A(1,0),B(0,3),C(0,0)⇒D(43,43)⇒AC =(-1,0),AB =(-1,3),BC =(0,-3),CD =(43,43),代入验证知,(C)错误,故选(C). [思想方法]:对于几何向量首先应灵活掌握向量的三角形和平行四边形运算法则,并充分认识向量与它的始点的位置无关,从而掌握相等向量的含义;其次是掌握基本结论:①首尾相连且构成封闭图形的所有向量的和为零向量;②向量和为零的所有向量的公共始点是各向量终点构成的多边形的重心;③在△ABC 中AC AB ⋅=bccosA;AC AB ⋅=21(b 2+c 2-a 2); AC AB ⋅=2cotA.S △ABC ;④点P 是AB 的中点)(21OB OA OP +=⇔. [备选题库]:1.(2009年湖南高考试题)如图,D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点,则( ) A(A)CF BE AD ++=0 (B)DF CF BD +-=0 D F(C)CF CE AD -+=0 (D)FC BE BD --=0 B E C2.(2008年湖南高考试题)设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点,且FB AF EA CE BD DC 2,2,2===,则CF BE AD ++与BC ( )(A)反向平行 (B)同向平行 (C)互相垂直 (D)既不平行也不垂直3.(2009年广东高考试题)一质点受到平面上的三个力F 1,F 2,F 3(单位:牛顿)的作用而处于平衡状态.己知F 1,F 2,成600角,且F 1,F 2,的大小分别为2和4,则F 3的大小为( )(A)6 (B)2 (C)25 (D)274.(2004年浙江高考试题)(文)己知平面上三点A 、B 、C 满足,3||,1||,2||===CA BC AB 则AB CA CA BC BC AB ++= .5.(2004年浙江高考试题)(理)己知平面上三点A 、B 、C 满足,5||,4||,3||===CA BC AB 则AB CA CA BC BC AB ++= .6.(2008年湖南高考试题)在△ABC 中,AB=3,AC=2,BC=10,则AC AB ⋅=( ) (A)-23 (B)-32 (C)32 (D)23 7.(2007年天津高考试题)(文)在△ABC 中,AB=2,AC=3,D 是边BC 的中点,则BC AD ⋅= .8.(2007年天津高考试题)如图,在△ABC 中,∠BAC=1200,AB=2,AC=1, A D 是边BC 上一点,DC=2BD,则BC AD ⋅= . B D C9.(2009年山东高考试题)设P 是△ABC 所在平面内一点,BP BA BC 2=+,则( )(A)PB PA +=0 (B)PC PB +=0 (C)PA PC +=0 (D)PC PB PA ++=010.(2008年辽宁高考试题)己知O,A,B 是平面上的三个点,直线AB 上有一点C,满足2CB AC +=0,则OC =( ) (A)2OB OA - (B)OB OA 2+- (C)OB OA 3132- (D)OB OA 3231+- 11.(2007年北京高考试题)己知O 是△ABC 所在平面内一点,D 为边BC 中点,且2OC OB OA ++=0,那么( )(A)OD AO = (B)OD AO 2= (C)OD AO 3= (D)2OD AO =12.(2009年陕西高考试题)在△ABC 中,M 是BC 的中点,AM=1,点P 在AM 上,且满足PM AP 2=,则)(PC PB AP +⋅等于( )(A)94 (B)34 (C)-34 (D)-94 13.(2005年江苏高考试题)在△ABC 中,O 为中线AM 上的一个动点,若AM=2,则)(OC OB OA +⋅的最小值是 .14.(2006年四川高考试题)如图,己知正六边形P 1P 2P 3P 4P 5P 6, P 5 P 4下列向量的数量积最大的是( ) P 6 P 3(A)3121P P P P ⋅ (B)4121P P P P ⋅(C)5121P P P P ⋅ (D)6121P P P P ⋅ P 1 P 2 A15.(2010年天津高考试题)如图,在△ABC 中,AD ⊥AB,BD BC 3=,|AD |=1,则AD AC ⋅= . B D C16.(2007年重庆高考试题)如图,在四边形ABCD 中,DC BD BD AB DC BD BD AB DC BD AB ⋅=⋅=⋅+⋅=++,4||||||||,4|||||| =0,则AC DC AB ⋅+)(的值为( ) D C(A)2 (B)22(C)4 (D)42 A B六.基本定理例6:(2009年天津高考试题)在四边形ABCD 中,DC AB ==(1,1),BD BD BC BC BA BA ||3||1||1=+,则四边形ABCD 的面积为 . [分析解答]:因向量BA BA ||1是与BA 同向的单位向量,向量BC BC ||1是与BC 同向的单位向量⇔向BA BA ||1+BCBC ||1是∠ABC 的角平分线上的向量,如图: C D又由DC AB ==(1,1)知四边形ABCD 是边长为2的菱形,且BD=6⇒ B A∠C=1200⇒四边形ABCD 的面积=2×2sin1200=3.[思想方法]:基本定理包括:①向量基本定理:如果a 、b 是平面M 内的不共线向量,则平面M 内的任意向量p 都可唯一表示为p =x a +y b ;②平行向量定理:如果a 、b 是平面M 内的不共线向量,且p =x 1a +y 1b ,q =x 2a +y 2b ,则p ∥q ⇔x 1:x 2=y 1:y 2;③三点共线定理:A 、P 、B 三点共线OB OA OP βα+=⇔,其中O 不在直线AB 上,且α+β=1;④向量射影公式:如果p =(x,y),a =(a,b),则向量p 在向量a 上的射影为|p |cos<p ,a >=22||b a by ax a ap ++=⋅;⑤向量分解定理:如果a 、b 是平面M 内的不共线向量,且p =x a +y b ,AB =x a ,AD =y b ,AC =p ,则四边形ABCD 是平行四边形;⑥线性表示定理:如果OP =m OA +n OB ⇔(m+n)AD =n AB ,且OP =(m+n)OD .[备选题库]:1.(2001年新课程高考试题)若向量a =(1,1),b =(1,-1),c =(-1,2),则c =( ) (A)-21a +23b (B)21a -23b (C)23a -21b (D)-23a +21b 2.(2009年湖北高考试题)若向量a =(1,1),b =(-1,1),c =(4,2),则c =( )(A)3a +b (B)3a -b (C)-a+3b (D)a +3b3.(2009年北京高考试题)己知向量a 、b 不共线,c =k a +b (k ∈R),d =a -b .如果c ∥d ,那么( )(A)k=1,且c 与d 同向 (B)k=1,且c 与d 反向 (C)k=-1,且c 与d 同向 (D)k=-1,且c 与d 反向4.(2008年广东高考试题)在平行四边形ABCD 中,AC 与BD 交于点O,E 是线段OD 的中点,AE 的延长线与CD 交于点F,若AC =a ,BD =b ,则AF =( ) (A)41a +21b (B)32a +31b (C)21a +41b (D)31a +32b5.(2008年全国I 高考试题)在△ABC 中,AB =c ,AC =b ,若点D 满足DC BD 2=,则AD =( ) (A)32b +31c (B)35b -32c (C)32b -31c (D)31b +32c 6.(2010年全国II 高考试题)△ABC 中,点D 在AB 上,CD 平分∠ACB.若CB =a ,CA =b ,|a |=1,|b |=2,则CD =( ) (A)31a +32b (B)32a +31b (C)53a +54b (D)54a +53b 7.(2005年全国III 高考试题)己知向量OA =(k,12),OB =(4,5),OC =(-k,10),且A 、B 、C 三点共线,则k= .8.(2005年山东高考试题)己知向量a 、b ,且AB =a +2b ,BC =-5a +6b ,CD =7a -2b ,则一定共线的三点是( )(A)A 、B 、D (B)A 、B 、C (C)B 、C 、D (D)A 、C 、D9.(2002年新课程高考试题)平面直角坐标系中,O 为坐标原点,己知两点A(3,1),B(-1,3),若点C 满足OB OA OC βα+=, 其中α、β∈R,且α+β=1,则点C 的轨迹方程为( )(A)3x+2y-11=0 (B)(x-1)2+(y-1)2=5 (C)2x-y=0 (D)x+2y-5=010.(2006年江西高考试题)己知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若OC a OA a OB 2001+=,且A 、B 、C 三点共线(该直线不过点O),则S 200等于( )(A)100 (B)101 (C)200 (D)20111.(2004年安徽春招试题)己知向量集合M={a |a =(1,2)+λ(3,4),λ∈R},N={a |a =(-2,-2)+λ(4,5),λ∈R},则M ∩N=( )(A){(1,1)} (B){(1,1),(-2,-2)} (C){(-2,-2)} (D)∅12.(2009年湖北高考试题)己知P={a |a =(1,0)+m(0,1),m ∈R},Q={b |b =(1,1)+n(-1,1),n ∈R}是两个向量集合,则P ∩Q=( )(A){(1,1)} (B){(-1,1)} (C){(1,0)} (D){(0,1)}13.(2007年四川高考试题)设A(a,1),B(2,b),C(4,5)为坐标平面上三点,O 为坐标原点,若OA 与OB 在OC 方向上的投影相同,则a 与b 满足的关系式为( )(A)4a-5b=3 (B)5a-4b=3 (C)4a+5b=14 (D)5a+4b=14平面向量问题的类型及其解法 1114.(2007年湖北高考试题)设a =(4,3),a 在b 上的投影为225,b 在x 轴上的投影为2,且|b |≤14,则b 为( ) (A)(2,14) (B)(2,-72) (C)(-2,72) (D)(2,8) 15.(2006年湖南高考试题)(文)如图,OM ∥AB,点P 在由射线OM 、线段OB 及AB M B 的延长线围成的阴影区域内(不含边界).且OB y OA x OP +=,则实数对(x,y)可以是( )(A)(41,43) (B)(-32,32) (C)(-41,43) (D)(-57,51) O A 16.(2006年湖南高考试题)(理)如图,OM,AB,点P 在由射线OM 、线段OB 及AB 的 M B 延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动.且OB y OA x OP +=,则x 的取值范围是 ;当x=-21时,y 的取值范围是 . O A 17.(2006年福建高考试题)己知||O A =1,3||=OB ,OB OA ⋅=0点C 在∠AOB 内,且∠AOC=300,若OB n OA m OC += (m,n ∈R),则n m=( )(A)31 (B)3 (C)33(D)318.(2007年陕西高考试题)如图,平面内有三个向量OA 、OB 、OC , C 其中OA 与OB 的夹角为1200,OA 与OC 的夹角为300,且||O A =||O B =1, B32||=OC ,若OC =λOA +μOB (λ,μ∈R),则λ+μ的值为 . O A 19.(2009年湖南高考试题)如图,两块斜边长相等的直角三角板拼在一起, C D若AC y AB x AD +=,则x= ;y= . E(注:图中,AC ⊥AB,BC ⊥BD,BC=DE,∠ACB=450,∠BED=600) A B20.(2004年全国II 高考试题)己知平面上直线L 的方向向量e =(-53,54),点O(0,0)和A(1,-2)在L 上的射影分别是O 1和A 1,则11A O =λe ,其中λ=( ) (A)511 (B)-511 (C)2 (D)-2 21.(2007年江西高考试题)如图,在△ABC 中,点O 是BC 的中点, A过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N,若AB N=m AM ,AC =n AN ,则m+n 的值为 . B O CM22.(2009年天津高考试题)若等边△ABC 的边长为23,平面内一点M 满足CA CB CM 3261+=,则MB MA ⋅= . 七.三角形问题例7:(2009年宁夏、海南高考试题)己知点O 、N 、P 在△ABC 所在的平面内,且||||||OC OB OA ==,NC NB NA ++=0,12 平面向量问题的类型及其解法 PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅,则点O 、N 、P 依次是的( )(A)重心、外心、垂心 (B)重心、外心、内心 (C)外心、重心、垂心 (D)外心、重心、内心[分析解答]:由||||||OC OB OA ==⇔点O 到△ABC 的三顶点的距离相等⇔点O 是△ABC 的外心;NC NB NA ++=0⇔存在BC 的中点D,使得)(21NC NB ND +=,且ND NA 2+=0⇔点N 是△ABC 的重心;PC PB PB PA ⋅=⋅⇔)(PC PA PB -=0⇔CA PB ⋅=0⇔PB ⊥AC,同理可得PA ⊥BC,PC ⊥AB,所以,点P 是△ABC 的垂心.综上选(C).[思想方法]:三角形中的向量问题包括三角形形状的判定和三角形四心问题.判断三角形的形状,有两种类型的问题:一是由三角形的边所在的向量关系,判断三角形的形状.解决此类问题的方法是,对己知向量关系进行变形、化简,直到得出边与边的度量关系,或分析己知向量关系的几何意义,由此判断三角形形状; 二是由三角形四心的向量关系,判断三角形形状.解决此类问题的方法是,掌握特殊三角形的四心位置:①直角三角形的外心在斜边的中点上,垂心在直角顶点上;②三角形是等腰三角形⇔三角形底边上的高、中线、顶角的平分线,其中两线合一;③三角形为正三角形⇔三角形的重心、垂心、内心和外心中,其中两心重合.三角形四心的向量表示,有两种形式:一种是静态的向量表示,见上面“知识方法”;另一种是动态的向量表示:①动点P 满足⇔++=)(AC AB OA OP λP 过△ABC 的重心;②动点P 满足 )cos ||cos ||(C AC AC B AB ABOA OP ++=λ⇔P 过△ABC 的垂心;③动点P 满足⇔++=)||||(AC AC AB AB OA OP λP 过△ABC 的内心; ④动点P 满足)cos ||cos ||()(21C AC AC B AB AB OC OB OP +++=λ⇔P 过△ABC 的外心.[备选题库]:1.(2006年陕西高考试题)己知非零向量AB 与AC 满足BC AC AC AB AB)||||(+=0,且21||.||=AC AC AB AB ,则△ABC 为( )(A)等边三角形 (B)直角三角形 (C)等腰非等边三角形 (D)三边均不相等的三角形2.(2005年湖南高考试题)P 是△ABC 所在平面上一点,若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅,则P 是△ABC 的( )(A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心3.(2005年全国I 高考试题)点O 是三角形ABC 所在平面内的一点,满足OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅,则点O 是△ABC 的( )(A)三个内角的角平分线的交点 (B)三条边的垂直平分线的交点 (C)三条中线的交点 (D)三条高的交点4.(2003年新课程高考试题)O 是平面上一定点,A 、B 、C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足)||||(AC AC AB AB OA OP ++=λ,则P 的轨迹一定通过△ABC 的( )(A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心5.(2010年四川高考试题)设点M 是线段BC 的中点,点A 在直线BC 外,BC 2=16,|AC AB +|=|AC AB -|,则|AM |=( )(A)8 (B)4 (C)2 (D)16.(2010年湖北高考试题)已知△ABC 和点M 满足MC MB MA ++=0.若存在实数m 使得AC AB +=m AM 成立,则m=( )(A)2 (B)3 (C)4 (D)57.(2005年全国I 高考试题)△ABC 的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H,)(OC OB OA m OH ++=,则实数 m= . 八.综合问题例8:(2007年天津高考试题)设两个向量a =(λ+2,λ2-cos 2α)和b =(m,2m +sin α),其中λ,m,α为实数,若a =2b ,则mλ的取值范围是( )(A)[-6,1] (B)[4,8] (C)(-6,1] (D)[-1,6][分析解答]:由a =2b ⇔⎩⎨⎧+=-=+ααλλsin 2cos 2222m m ⇔⎪⎩⎪⎨⎧++=-+=αλαλλλsin 42cos 222122m ⇔⎪⎩⎪⎨⎧+--=-+=6)1(sin 222122αλλλλm ⇔⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-+=622212λλλλm平面向量问题的类型及其解法 13 ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-+-=223242λλλm ⇔m λ∈[-6,1].故选(A). [思想方法]:向量的综合问题是高考的又一热点问题.常见的向量综合问题有:与解析几何、三角、不等式、平面区域、图象平移等综合.[备选题库]:1.(2004年辽宁高考试题)己知点A(-2,0)、B(3,0),动点P(x,y)满足PB PA ⋅=x 2,则点P 的轨迹是( )(A)圆 (B)椭圆 (C)双曲线 (D)抛物线2.(2005年上海高考试题)直角坐标系xOy 中,若定点A(1,2)与动点P(x,y)满足:OA OP ⋅=4,则点P 的轨迹方程是 .3.(2006年江苏高考试题)己知两点M(-2,0)、N(2,0),点P 为坐标平面内的动点,满足|NP MN MP MN ⋅+⋅|||=0,则动点P(x,y)的轨迹方程为( )(A)y 2=8x (B)y 2=-8x (C)y 2=4x (D)y 2=-4x4.(2006年湖北高考试题)设过点P(x,y)的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点,点Q 与点P 关于y 轴对称,O 为坐标原点,若PA BP 2=,且AB OQ ⋅=1,则P 点的轨迹方程是( )(A)3x 2+23y 2=1(x>0,y>0) (B)3x 2-23y 2=1(x>0,y>0) (C)23x 2-3y 2=1(x>0,y>0) (D)23x 2+3y 2=1(x>0,y>0) 5.(2005年天津高考试题)在直角坐标系xOy 中,己知点A(0,1)和点B(-3,4),若点C 在∠AOB 的平分线上,且|OC |=2,则OC = .6.(2006年重庆高考试题)与向量a =(27,21),b =(21,-27)的夹角相等,且模为1的向量是( ) (A)(54,-53) (B)(54,-53),或(-54,53) (C)(322,-31) (D)(322,-31),或(-322,31) 7.(2005年全国高考试题)己知点A(3,1)<B(0,0),C(3,0).设∠BAC 的平分线AE 与BC 相交于E,那么有CE BC λ=,其中λ等于( )(A)2 (B)21 (C)-3 (D)-31 8.(2006年江西高考试题)己知向量a =(1,sin θ),b =(1,cos θ),则|a -b |的最大值为 .9.(2006年辽宁高考试题)△ABC 的三内角A 、B 、C 所对边的边长分别为a 、b 、c.设向量p =(a+c,b),q =(b-a,c-a),若p ∥q ,则角C 的大小为( ) (A)6π (B)3π (C)2π (D)32π 10.(2008年山东高考试题)己知a,b,c 为△ABC 的三个内角A,B,C 的对边,向量m =(3,-1),n =(cosA,sinA),若m ⊥n ,且acosB+bcosA=csinC,则角B= .11.(2009年重庆高考试题)设△ABC 的三内角为A 、B 、C,向量m =(3sinA,sinB),n =(cosB,3cosA),若mn =1+cos(A+B),则C=( ) (A)6π (B)3π (C)32π (D)65π 12.(2006年辽宁高考试题)设O(0,0),A(1,0),B(0,1),点P 是线段AB 上的一个动点,AB AP λ=.若PB PA AB OP ⋅≥⋅,则实数λ的取值范围是( )(A)21≤λ≤1 (B)1-22≤λ≤1 (C)21≤λ≤1+22 (D)1-22≤λ≤1+22 14 平面向量问题的类型及其解法平面向量问题的类型及其解法 1516 平面向量问题的类型及其解法12.(2007年湖北高考试题)连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n,记向量a =(m,n)与向量b =(1,-1)的夹角为θ,则θ∈[0,2π]的概率是( ) (A)125 (B)21 (C)127 (D)65 13.(2008年辽宁高考试题)将函数y=2x +1的图象按a 平移得到函数y=2x+1的图象,则( )(A)a =(-1,-1) (B)a =(1,-1) (C)a =(1,1) (D)a =(-1,1)14.(2009年四川高考试题)(文)设V 是己知平面M 上所有向量的集合.对于映射f:V →V ,a ∈V ,记a 的象为f(a ),若映射f:V →V 满足:对所有a 、b ∈V 及任意实数λ、μ都有f(λa +μb )=λf(a )+μf(b ),则称f 为平面M 上的线性变换.现有下列命题:①设f 是平面M 上的线性变换,a 、b ∈V ,则f(a +b )=f(a )+f(b );②设e 是平面M 上的单位向量,对a ∈V ,设f(a )=a +e ,则f 是平面M 上的线性变换;③对a ∈V 设f(a )=-a ,则f 是平面M 上的线性变换;④设f 是平面M 上的线性变换,a ∈V ,对任意实数k 均有f(k a )=kf(a ).其中的真命题是 (写出所有真命题的编号).15.(2009年四川高考试题)(理)设V 是己知平面M 上所有向量的集合.对于映射f:V →V ,a ∈V ,记a 的象为f(a ),若映射f:V →V 满足:对所有a 、b ∈V 及任意实数λ、μ都有f(λa +μb )=λf(a )+μf(b ),则称f 为平面M 上的线性变换.现有下列命题:①设f 是平面M 上的线性变换,则f(0)=0;②对a ∈V 设f(a )=2a ,则f 是平面M 上的线性变换;③设e 是平面M 上的单位向量,对a ∈V ,设f(a )=a -e ,则f 是平面M 上的线性变换;④设f 是平面M 上的线性变换,a 、b ∈V ,若a 、b 共线,则f(a )、f(b )也共线.其中的真命题是 (写出所有真命题的编号).4.(2010年浙江高考试题) 在平行四边形ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点，P ，Q ，M ，N 分别是线段OA 、OB 、OC 、OD 的中点.在A ，P ，M ，C 中任取一点记为E ，在B ，Q ，N ，D 中任取一点记为F .设G 为满足向量OG OE OF =+ 的点，则在上述的点G 组成的集合中的点，落在平行四边形ABCD外（不含边界）的概率为 .25.(2010年全国I 高考试题)已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PA ·PB 的最小值为（A ）-4+2 （B ）-3+2 （C ）-4+22 （D ）-3+22。