高考数学一轮复习 第3章 三角函数解三角形 第7节 正弦定理余弦定理应用举例教师用书

第七节 正弦定理、余弦定理应用举例1．仰角和俯角 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角．(如图3­7­1①)．① ②图3­7­12．方位角和方向角(1)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α(如图3­7­1②)．(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°等．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.( )(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.( ) (3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．( )(4)如图3­7­2，为了测量隧道口AB 的长度，可测量数据a ，b ，γ进行计算．( )图3­7­2[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√2．(教材改编)海面上有A ，B ，C 三个灯塔，AB ＝10 n mile ，从A 望C 和B 成60°视角，从B 望C 和A 成75°视角，则BC 等于( )A ．10 3 n mile B.1063 n mile C ．5 2 n mileD ．5 6 n mileD [如图，在△ABC 中，AB ＝10，∠A ＝60°，∠B ＝75°，∠C ＝45°，∴BC sin 60°＝10sin 45°， ∴BC ＝5 6.]3．若点A 在点C 的北偏东30°，点B 在点C 的南偏东60°，且AC ＝BC ，则点A 在点B 的( )A ．北偏东15°B ．北偏西15°C ．北偏东10°D ．北偏西10°B [如图所示，∠ACB ＝90°，又AC ＝BC ，∴∠CBA ＝45°，而β＝30°，∴α＝90°－45°－30°＝15°，∴点A 在点B 的北偏西15°.]4．如图3­7­3，要测量底部不能到达的电视塔的高度，选择甲、乙两观测点．在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500 m ，则电视塔的高度是( )A ．100 2 mB ．400 mC ．200 3 mD ．500 m图3­7­3D [设塔高为x m ，则由已知可得BC ＝x m ，BD ＝3x m ，由余弦定理可得BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos ∠BCD ，即3x 2＝x 2＋5002＋500x ，解得x ＝500(m)．]5．如图3­7­4，已知A，B两点分别在河的两岸，某测量者在点A所在的河岸边另选定一点C，测得AC＝50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为( ) A．50 3 mB．25 3 mC．25 2 mD．50 2 m图3­7­4D[因为∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，所以∠B＝30°.由正弦定理可知ACsin B ＝ABsin C，即50sin 30°＝ABsin 45°，解得AB＝50 2 m．]如图3­7­5，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46 m，则河流的宽度BC约等于________m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，3≈1.73)图3­7­560[如图所示，过A作AD⊥CB且交CB的延长线于D.在Rt△ADC中，由AD＝46 m，∠ACB＝30°得AC＝92 m.在△ABC 中，∠BAC ＝67°－30°＝37°，∠ABC ＝180°－67°＝113°，AC ＝92 m ，由正弦定理AC sin ∠ABC ＝BCsin ∠BAC，得 92sin 113°＝BC sin 37°，即92sin 67°＝BC sin 37°， 解得BC ＝92sin 37°sin 67°≈60(m)．] [规律方法] 应用解三角形知识解决实际问题需要下列三步：(1)根据题意，画出示意图，并标出条件；(2)将所求问题归结到一个或几个三角形中(如本例借助方位角构建三角形)，通过合理运用正、余弦定理等有关知识正确求解；(3)检验解出的结果是否符合实际意义，得出正确答案．[变式训练1] 江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m. 【导学号：51062125】 10 3 [如图，OM ＝AO tan 45°＝30(m)，ON ＝AO tan 30°＝33×30＝103(m)， 在△MON 中，由余弦定理得，MN ＝900＋300－2×30×103×32＝300 ＝103(m)．]如图3­7­6，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝______m.图3­7­6 100 6 [由题意，在△ABC 中，∠BAC ＝30°，∠ABC ＝180°－75°＝105°，故∠ACB ＝45°.又AB ＝600 m ，故由正弦定理得600sin 45°＝BC sin 30°，解得BC ＝300 2 m. 在Rt △BCD 中，CD ＝BC ·tan 30°＝3002×33＝1006(m)．][规律方法] 1.在测量高度时，要准确理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角．2．分清已知条件与所求，画出示意图；明确在哪个三角形内运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，并注意综合运用方程、平面几何、立体几何等知识．[变式训练2] 如图3­7­7，从某电视塔CO 的正东方向的A 处，测得塔顶的仰角为60°，在电视塔的南偏西60°的B 处测得塔顶的仰角为45°，AB 间的距离为35米，则这个电视塔的高度为________米. 【导学号：51062126】图3­7­7521 [如图，可知∠CAO ＝60°，∠AOB ＝150°，∠OBC ＝45°，AB ＝35米．设OC ＝x 米，则OA ＝33x 米，OB ＝x 米． 在△ABO 中，由余弦定理，得AB 2＝OA 2＋OB 2－2OA ·OB ·cos ∠AOB ，即352＝x 23＋x 2－233x 2·cos 150°， 整理得x ＝521，所以此电视塔的高度是521米．]在海岸A 处，发现北偏东45°方向、距离A 处(3－1)海里的B 处有一艘走私船；在A 处北偏西75°方向、距离A 处2海里的C 处的缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船．同时，走私船正以10海里/小时的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？最少要花多长时间？[解] 设缉私船t 小时后在D 处追上走私船，则有CD ＝103t ，BD ＝10t .在△ABC 中，AB ＝3－1，AC ＝2，∠BAC ＝120°.4分 根据余弦定理，可得BC ＝3－2＋22－3－＝6， 由正弦定理，得sin ∠ABC ＝AC BC sin ∠BAC ＝26×32＝22，∴∠ABC ＝45°，因此BC 与正北方向垂直.8分 于是∠CBD ＝120°.在△BCD 中，由正弦定理，得 sin ∠BCD ＝BD sin ∠CBD CD ＝10t ·sin 120°103t＝12， ∴∠BCD ＝30°，又CD sin 120°＝BC sin 30°， 即103t3＝6，得t ＝610.∴当缉私船沿北偏东60°的方向能最快追上走私船，最少要花610小时.14分 [规律方法] 解决测量角度问题的注意事项(1)首先应明确方位角或方向角的含义．(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步．(3)将实际问题转化为解三角形的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用．[变式训练3] 如图3­7­8，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B 处救援，求cos θ的值．图3­7­8[解] 在△ABC 中，AB ＝40，AC ＝20，∠BAC ＝120°，由余弦定理得，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 120°＝2 800⇒BC ＝207.4分 由正弦定理，得AB sin ∠ACB ＝BC sin ∠BAC ⇒sin ∠ACB ＝AB BC ·sin∠BAC ＝217.8分 由∠BAC ＝120°，知∠ACB 为锐角，则cos ∠ACB ＝277. 由θ＝∠ACB ＋30°，得cos θ＝cos(∠ACB ＋30°)＝cos ∠ACB cos 30°－sin ∠ACB sin 30°＝2114.14分[思想与方法]解三角形应用题的两种情形(1)已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．[易错与防范]1．“方位角”与“方向角”的区别：方位角大小的范围是[0,2π)，方向角大小的范围一般是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2. 2．在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易出现错误．课时分层训练(二十一)正弦定理、余弦定理应用举例A 组 基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．如图3­7­9所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( )图3­7­9A ．a km B.3a km C.2a km D ．2a kmB [在△ABC 中，AC ＝BC ＝a ，∠ACB ＝120°，∴AB 2＝a 2＋a 2－2a 2cos 120°＝3a 2，AB ＝3a .]2．如图3­7­10，两座灯塔A 和B 与海岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站南偏西40°，灯塔B 在观察站南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )【导学号：51062127】A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东80°D ．南偏西80°D [由条件及题图可知，∠A ＝∠B ＝40°，又∠BCD ＝60°，所以∠CBD ＝30°，所以∠DBA ＝10°，因此灯塔A 在灯塔B 南偏西80°.]3．一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是( )A ．102海里B ．103海里C ．203海里D ．202海里A [如图所示，易知，在△ABC 中，AB ＝20海里，∠CAB ＝30°，∠ACB ＝45°，根据正弦定理得BC sin 30°＝AB sin 45°， 解得BC ＝102(海里)．]4．如图3­7­11，一条河的两岸平行，河的宽度d ＝0.6 km ，一艘客船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头B .已知AB ＝1 km ，水的流速为2 km/h ，若客船从码头A 驶到码头B 所用的最短时间为6 min ，则客船在静水中的速度为 ( )图3­7­11A ．8 km/hB ．6 2 km/hC ．234 km/hD ．10 km/hB [设AB 与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v km/h ，由题意知，sin θ＝0.61＝35，从而cos θ＝45，所以由余弦定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫110v 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110×22＋12－2×110×2×1×45，解得v ＝6 2.]5．如图3­7­12，两座相距60 m 的建筑物AB ，CD 的高度分别为20 m 、50 m ，BD 为水平面，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角为 ( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°B [依题意可得AD ＝2010(m)，AC ＝305(m)，又CD ＝50(m)，所以在△ACD 中，由余弦定理得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD＝52＋102－5022×305×2010＝ 6 0006 0002＝22， 又0°<∠CAD <180°，所以∠CAD ＝45°，所以从顶端A 看建筑物CD 的张角为45°.]二、填空题6．在地上画一个∠BDA ＝60°，某人从角的顶点D 出发，沿角的一边DA 行走10米后，拐弯往另一方向行走14米正好到达∠BDA 的另一边BD 上的一点，我们将该点记为点B ，则B 与D 之间的距离为________米. 【导学号：51062128】16 [如图所示，设BD ＝x m ，则142＝102＋x 2－2×10×x ×cos 60°，整理得x 2－10x －96＝0，x ＝－6(舍去)，x ＝16，∴x ＝16(米)．]7．如图3­7­13，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10米到位置D ，测得∠BDC ＝45°，则塔AB 的高是________米. 【导学号：51062129】图3­7­1310 6 [在△BCD 中，CD ＝10，∠BDC ＝45°，∠BCD ＝15°＋90°＝105°，∠DBC ＝30°，BC sin 45°＝CD sin 30°，BC ＝CD sin 45°sin 30°＝10 2.在Rt △ABC 中，tan 60°＝AB BC，AB ＝BC tan 60°＝106(米)．]8．如图3­7­14所示，一艘海轮从A 处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15°方向，与海轮相距20海里的B 处，海轮按北偏西60°的方向航行了30分钟后到达C 处，又测得灯塔在海轮的北偏东75°的方向，则海轮的速度为________海里/分钟．图3­7­14 63[由已知得∠ACB ＝45°，∠B ＝60°， 由正弦定理得AC sin B ＝AB sin ∠ACB， 所以AC ＝AB ·sin B sin ∠ACB ＝20×sin 60°sin 45°＝106， 所以海轮航行的速度为10630＝63(海里/分钟)．] 三、解答题9．某航模兴趣小组的同学，为了测定在湖面上航模航行的速度，采用如下办法：在岸边设置两个观察点A ，B ，且AB 长为80米，当航模在C 处时，测得∠ABC ＝105°和∠BAC ＝30°，经过20秒后，航模直线航行到D 处，测得∠BAD＝90°和∠ABD ＝45°.请你根据以上条件求出航模的速度．(答案可保留根号)图3­7­15[解] 在△ABD 中，∵∠BAD ＝90°，∠ABD ＝45°，∴∠ADB ＝45°，∴AD ＝AB ＝80，∴BD ＝80 2.4分在△ABC 中，BC sin 30°＝ABsin 45°， ∴BC ＝AB sin 30°sin 45°＝80×1222＝40 2.8分 在△DBC 中，DC 2＝DB 2＋BC 2－2DB ·BC cos 60°＝(802)2＋(402)2－2×802×402×12＝9 600. ∴DC ＝406，航模的速度v ＝40620＝26米/秒. 14分10．如图3­7­16，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60°方向的B 处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．图3­7­16(1)求渔船甲的速度；(2)求sin α的值. 【导学号：51062130】[解] (1)依题意知，∠BAC ＝120°，AB ＝12，AC ＝10×2＝20，∠BCA ＝α.4分 在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784，解得BC ＝28.所以渔船甲的速度为BC 2＝14海里/小时.8分 (2)在△ABC 中，因为AB ＝12，∠BAC ＝120°，BC ＝28，∠BCA ＝α，由正弦定理，得AB sin α＝BC sin 120°，10分 即sin α＝AB sin 120°BC ＝12×3228＝3314.14分 B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A 向北偏东30°前进100 m 到达点B ，在B 点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是 ( )A ．50 mB ．100 mC ．120 mD ．150 mA [设水柱高度是h m ，水柱底端为C ，则在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝h ，AB ＝100，BC ＝3h ，根据余弦定理得，(3h )2＝h 2＋1002－2·h ·100·cos 60°，即h 2＋50h －5 000＝0，即(h －50)(h ＋100)＝0，即h ＝50，故水柱的高度是50 m ．]2．如图3­7­17，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°；从C 点测得∠MCA ＝60°.已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝________m.图3­7­17150 [根据图示，AC ＝100 2 m.在△MAC 中，∠CMA ＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理得AC sin 45°＝AM sin 60°⇒AM ＝100 3 m. 在△AMN 中，MN AM＝sin 60°，∴MN ＝1003×32＝150(m)．] 3．如图3­7­18已知在东西方向上有M ，N 两座小山，山顶各有一个发射塔A ，B ，塔顶A ，B 的海拔高度分别为AM ＝100米和BN ＝200米，一测量车在小山M 的正南方向的点P 处测得发射塔顶A 的仰角为30°，该测量车向北偏西60°方向行驶了1003米后到达点Q ，在点Q 处测得发射塔顶B 处的仰角为θ，且∠BQA ＝θ，经测量tan θ＝2，求两发射塔顶A ，B 之间的距离．图3­7­18[解] 在Rt △AMP 中，∠APM ＝30°，AM ＝100，∴PM ＝1003，连接QM (图略)，在△PQM 中，∠QPM ＝60°，4分又PQ ＝1003，∴△PQM 为等边三角形，∴QM ＝100 3.8分在Rt △AMQ 中，由AQ 2＝AM 2＋QM 2，得AQ ＝200.在Rt △BNQ 中，tan θ＝2，BN ＝200，∴BQ ＝1005，cos θ＝55.12分 在△BQA 中，BA 2＝BQ 2＋AQ 2－2BQ ·AQ cos θ＝(1005)2，∴BA＝100 5.即两发射塔顶A，B之间的距离是1005米.14分。