06、【习题课】第1-3章

IF l=r THEN //相等 ( fmaxmax{fmax, A[l] }. fmin min{fmin, A[l] }.) ELSE ( IF r-l=1 //相差为1 THEN (fmaxmax{fmax, A[l],A[r] }. fmin min{fmin, A[l] ,A[r] }.) ELSE ( mid=(i+j)/2. left.push(l). left.push(mid+1). right.push(mid). Right.push(r).) ))

辅助空间：栈
n
n/2
n/4
… n/4
n/2
log2n
1
作业2－1
编写算法Reverse ( A[ ], n)，将顺序存储的 线性表A=( a1, a2, …, an )转换为A=( an,…, a2, a1)，要求转换过程中使用尽可能少的辅 助空间。 关键点：限制辅助空间的使用 如果没有这个限制，则可以有多种方法： 1.辅助数组； 2.双下标同时向中间移动
p2 head 2 5 p1 3 p2 p3 6
p1
1 null
4
P3 next(p2) next(P2) P1. P1 P2. P2 P3.
//反转
参考答案

算法 Reverse ( head. head)
/*将指针 head 所指向的链表倒置*/ RV1[空链表和1个节点链表] IF(next(head)=NULL) RETURN. RV2[指针初始化] //P1,P2 分别指向两个连续的节点 P1 NULL. P2 next(head).
p1
p2
RV3[反转链表] WHILE( P2 ≠ NULL ) DO ( P3 next(p2) next(P2) P1. //反转节点指针 P1 P2. P2 P3. //移动3个指针 ） RV4[head指向反转链表] next(head) P1 . ▌
作业2－11

已知线性表中的元素以data值递增有序排列，并以 单链表做存储结构。试写一高效的算法，删除表中 所有值大于mink且小于maxk的元素，同时释放被 删结点空间，并分析算法的时间复杂度。
初始：压入起始和结束下标 1和6；
循环：
弹出元素1和6；两者不相等、 相差不 为1； 取中值(1+6)/2=3；形成两 对新的下标，(1,3)和(4,6); 压入栈； 弹出4和6，两者不相等、相差不为1； 取中值(4+6)/2=5；形成两对新的 下标，(4,5)和(6,6); 压入栈内；
A=[3,9,21,15,8,19]


正确性验证： 假定n＝7，模拟执行过程，对i＝2，3，4， 5，6时，分别判断(7 mod i)的取值是否 为0。 改进：n-1？——n/2 、 n1/2

n=ab, a≥2,b≤n/2, …a,…b,… n/2 a≤n1/2,b≥n1/2, …a,…n1/2 ,…b…
分析
a1 an
1+n

a2 an-1
2+(n-1)
… an-1 an … a2 a1
… (n-1)+2 n+1

只需从线性表的第一个数据元素开始，将 第i个数据元素与第n-i+1个数据元素相 交换即可。 i的变化范围是1到 n/2。
参考答案
算法Reverse（A，n . A）
Reverse1.[元素互换] FOR i=1 TO n/2 DO
链表是有序的：找到区间 特殊情况的处理：表为空， 元素都大于maxk(第一个元素大于maxk)； 元素都小于mink(最后一个元素小于mink)。


主要思想： 找到大于mink的第一个元素，删除操作，直至元 素大于maxk。

时间复杂度：
比较为基本运算
最好：空，元素都大于maxk（找不到）//O(1)

算法f(A,i,j.fmax,fmin)
f1.[初始化]
fmaxfminA[i]. Lstack<int> left; Lstack<int> right; //存储起始和终止下标 left.push(i). right.push(j).

f2.[求最大、最小值]
While(!left.IsEmpty()) DO ( l left.pop(). r right.pop().

n=3 时， T(3)=T(1)+T(2)+2=3，53/3-2=3，命题成立。

假设n<=k时命题成立，需证明n=k+1时成立。
当k≥3时，有(k+1)> (k+1)/2 ≥ (k+1)/2 ， 即k≥ (k+1)/2 ≥ (k+1)/2 所以：T((k+1)/2 )≤5((k+1)/2)/3-2 , (1) T((k+1)/2 )≤5((k+1)/2 )/3-2 (2)
BS算法
算法BS（A ，i ，j . fmax ，fmin） // 在数组A的第i个元素到第j个元素之间寻找最大和最 //小元素，已知i j 。 BS1 [递归出口] IF i = j THEN （ fmax←fmin←A[i]. RETURN. ） IF i = j 1 THEN （ IF A[i] < A[j] THEN（fmax←A[j].fmin←A[i]）. ELSE（fmax←A[i]. fmin←A[j]）. RETURN）.
综上，命题得证。
作业1－12

给出算法BS的非递归算法，并说明算法最 多需要多大的辅助空间。
算法SM(A,n . max,min) SM1[初始化] max←min←A[1]. SM2[比较] FOR I=2 TO n DO //求最大和最小元素 ( IF A[I]> max THEN max←A[I]. IF A[I]< min THEN min←A[I]). ▌
A[i] ←→ A[n-i+1].▌
作业2-8

在单链表类SLIST中添加一个成员函数，将单 链表中元素的次序完全颠倒。
① ② ③
利用堆栈； 从表头删除，插入表尾；(不推荐) 换数据域的取值，p1和p2向中间移动，更换 数据域的取值。
head
p1 …
p2
方法4

思想：从左向右，依次更换邻近结点的指针方向。 初始设置，第一个元素需要被放到表尾，指向空指 针，p1=null，p2=next(head)//第一个元素
最坏：元素都小于mink（找不到）， 元素都小于maxk，O(n)；
算法 LD ( L, mink,maxk)
p LD1.[特殊情况] prev IF mink maxk THEN (RETURN.) LD2.[初始化] head p←head. prev←p. p ←next(p) P LD3.[找] WHILE(pNULL AND data(p)<maxk) DO (IF(data(p)mink) THEN (prev ←p. p ←next(p)) //向后移动 p ELSE( next(prev) ←next(p). q ←p. p ←next(p). AVAILq.))//删除q prev RETURN.
T(k+1)= T((k+1)/2 )+T((k+1)/2)+2
≤ [5((k+1)/2)/3-2]＋[5((k+1)/2 )/3-2]+2 = 5((k+1)/2 + (k+1)/2 )/3-2 //k＋1= (k+1)/2 + (k+1)/2
= 5(k+1)/3-2
参考答案

证明：对于所有的n≥1，有： A(n)= i=0,…,maini ≤i=0,…,m|ai|ni
≤ nmi=0,…,m|ai|ni-m
≤ nmi=0,…,m|ai|
令C＝i=0,…,m|ai|，有A(n) ≤ Cnm
所以， A(n)= O(nm)。
作业1－11
证明对正整数n≥3，算法BS的元素比较 次数T(n)≤5n/3-2。 已知： 0 n=1 T(n) = 1 n=2 T( n/2 )+T( n/2 )+2 n>2
作业1-8

若A(n)=amnm+…+a1n+a0是关于n的m次多项式， 证明A(n)=O(nm)。

设f(n)和g(n)是正整数集到正实数集的函数，称f(n)
是O(g(n))当且仅当存在正常数C和n0，使得对任 意的n n0，有f(n)Cg(n)。

完成情况：令n0＝1，C＝ am+…+a1+a0， amnm+…+a1n+a0 Cnm 注意：当ai 0时，aini ainm不一定成立。

方法4

基本思想：

创建两个栈，一个存放起始元素的下标，一 个存放终止元素的下标。 每次从栈中弹出一对下标，若两者相等或相 差为1，则找到最大最小值，否则找到中间 下标，形成两对新的下标，压入栈内。

示例

数组A=[3,9,21,15,8,19]
1
4 1 6 4 1 6 6 3 6 5 3
BS2 [取中值] mid← (i+j)/2 BS3 [递归调用] BS（A，i，mid. gmax，gmin） BS（A，mid+1，j. hmax，hmin）. BS4 [合并] fmax←max{gmax，hmax}. fmin←min{gmin，hmin}. ■
完成情况
①