2020高考数学刷题首选卷考点测试62离散型随机变量及其分布列(理)(含解析)
2020年高考山东版高考理科数学 12.2 离散型随机变量及其分布列、均值与方差
评析 本题主要考查古典概型、离散型随机变量的分布列、数学期
望、方差等基础知识,考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识,
考查必然与或然思想、分类与整合思想.
∴P(X≥87)= 4 = 2 . C84 35
②由题意得ξ的可能取值为0,1,2,3,4,
P(ξ=0)=
C04C C84
4 4
= 1 ,P(ξ=1)=
70
C14C34 C84
= 8 ,
35
P(ξ=2)=
C24C C84
2 4
= 18 ,P(ξ=3)=
35
C34C14 C84
= 8 ,
如果选择(50,50,50,10)的方案,因为60元是面值之和的最小值,
所以数学期望也不可能为60元,因此可能的方案是(10,10,50,50),记为方案1.
对于面值由20元和40元组成的情况, 同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案, 所以可能的方案是(20,20,40,40),记为方案2. 以下是对两个方案的分析: 对于方案1,即方案(10,10,50,50),设顾客所获的奖励额为X1, 则X1的分布列为
35
P(ξ=4)=
C44C04 C84
= 1 ,
70
∴ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
1
8
18
8
1
P
70
35
35
35
70
1
8 18 8
1
∴E(ξ)=0× 70 +1× 35 +2× 35 +3× 35 +4× 70 =2.
考点二 离散型随机变量的均值与方差
高中数学离散型随机变量的分布列综合测试题(附答案)
高中数学离散型随机变量的分布列综合测试题（附答案）第二课时离散型随机变量的分布列2一、选择题1．下列表中可以作为离散型随机变量的分布列是()A.1 0 1P 141214B.0 1 2P －143412C.0 1 2P 152535D.－1 0 1P 141412[答案] D[解析] 本题考查分布列的概念与性质．即的取值应互不相同且P(0，i＝1,2，…，n，i＝1nP(i)＝1.A中的取值出现了重复性；B中P(＝0)＝－140，C中i＝13P(i)＝15＋25＋35＝651.2．若在甲袋内装有8个白球，4个红球，在乙袋内装有6个白球，6个红球，今从两袋里任意取出1个球，设取出的白球个数为，则下列概率中等于C18C16＋C14C16C112C112的是()A．P(＝0) B．P(2)C．P(＝1) D．P(＝2)[答案] C[解析] 即取出白球个数为1的概率．3．已知随机变量X的分布列为：P(X＝k)＝12k，k＝1、2、…，则P(2＜X4)＝()A.316B.14C.116D.516[答案] A[解析] P(2＜X4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝123＋124＝316.4．随机变量的概率分布列为P(＝k)＝ck(k＋1)，k＝1,2,3,4，其中c是常数，则P12＜＜52则值为()A.23B.34C.45D.56[答案] D[解析] c12＋c23＋c34＋c45＝c1－12＋12－13＋13－14＋14－15＝45c＝1.c＝54.P12＜＜52＝P(＝1)＋P(＝2)＝54112＋123＝56.5．一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10.现从中任取4个球，有如下几种变量：①X表示取出的最大号码；②Y表示取出的最小号码；③取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，表示取出的4个球的总得分；④表示取出的黑球个数．这四种变量中服从超几何分布的是()A．①② B．③④C．①②④ D．①②③④[答案] B[解析] 依据超几何分布的数学模型及计算公式，或用排除法．6．(2019东营)已知随机变量的分布列为P(＝i)＝i2a(i＝1,2,3)，则P(＝2)＝()A.19B.16C.13D.14[答案] C[解析] 由离散型随机变量分布列的性质知12a＋22a＋32a ＝1，62a＝1，即a＝3，P(＝2)＝1a＝13.7．袋中有10个球，其中7个是红球，3个是白球，任意取出3个，这3个都是红球的概率是()A.1120B.724C.710D.37[答案] B[解析] P＝C37C03C310＝724.8．用1、2、3、4、5组成无重复数字的五位数，这些数能被2整除的概率是()A.15B.14C.25D.35[答案] C[解析] P＝2A44A55＝25.二、填空题9．从装有3个红球、3个白球的袋中随机取出2个球，设其中有个红球，则随机变量的概率分布为：0 1 2P[答案] 15 35 1510．随机变量的分布列为：0 1 2 3 4 5P 192157458451529则为奇数的概率为________．[答案] 81511．(2019常州)从6名男同学和4名女同学中随机选出3名同学参加一项竞技测试，则在选出的3名同学中，至少有一名女同学的概率是______．[答案] 5612．一批产品分为四级，其中一级产品是二级产品的两倍，三级产品是二级产品的一半，四级产品与三级产品相等，从这批产品中随机抽取一个检验质量，其级别为随机变量，则P(＞1)＝________.[答案] 12[解析] 依题意，P(＝1)＝2P(＝2)，P(＝3)＝12P(＝2)，P(＝3)＝P(＝4)，由分布列性质得1＝P(＝1)＋P(＝2)＋P(＝3)＋P(＝4)4P(＝2)＝1，P(＝2)＝14.P(＝3)＝18.P(＞1)＝P(＝2)＋P(＝3)＋P(＝4)＝12.三、解答题13．箱中装有50个苹果，其中有40个合格品，10个是次品，从箱子中任意抽取10个苹果，其中的次品数为随机变量，求的分布列．[解析] 可能取的值为0、1、2、...、10.由题意知P(＝m) ＝Cm10C10－m40C1050(m＝0、1、2、...、10)，的分布列为0 1 ... k (10)P C010C1040C1050C110C940C1050… Ck10C10－k40C1050… C1010C040C105014.设随机变量X的分布列PX＝k5＝ak，(k＝1、2、3、4、5)．(1)求常数a的值；(2)求P(X)35；(3)求P110＜X＜710.[分析] 分布列有两条重要的性质：Pi0，i＝1、2、…；P1＋P2＋…＋Pn＝1利用这两条性质可求a的值．(2)(3)由于X的可能取值为15、25、35、45、1.所以满足X35或110710的X值，只能是在15、25、35、45、1中选取，且它们之间在一次试验中相互独立，只要求得满足条件的各概率之和即可．[解析] (1)由a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1，得a＝115. (2)因为分布列为PX＝k5＝115k (k＝1、2、3、4、5)解法一：PX35＝PX＝35＋PX＝45＋P(X＝1)＝315＋415＋515＝45；解法二：PX35＝1－PX＝15＋PX＝25＝1－115＋215＝45.(3)因为110＜X＜710，只有X＝15、25、35时满足，故P110＜X＜710＝PX＝15＋PX＝25＋PX＝35＝115＋215＋315＝25.15．(2009福建)盒子中装着标有数字1,2,3,4,5的卡片各2张，从盒子中任取3张卡片，每张卡片被取出的可能性都相等，用表示取出的3张卡片上的最大数字，求：(1)取出的3张卡片上的数字互不相同的概率；(2)随机变量的概率分布．[解析] (1)记“一次取出的3张卡片上的数字互不相同的事件”为A，则P(A)＝C35C12C12C12C310＝23.(2)由题意可能的取值为2,3,4,5，P(＝2)＝C22C12＋C12C22C310＝130，P(＝3)＝C24C12＋C14C22C310＝215，P(＝4)＝C26C12＋C16C22C310＝310，P(＝5)＝C28C12＋C18C22C310＝815.所以随机变量的概率分布为：2 3 4 5P 13021531081516.(2019福建理，16)设S是不等式x2－x－60的解集，整数m，nS.(1)记“使得m＋n＝0成立的有序数组(m，n)”为事件A，试列举A包含的基本事件；(2)设＝m2，求的分布列．[解析] 本小题主要考查概率与统计、不等式等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查分类与整合思想、必然与或然思想、化归与转化思想．解题思路是先解一元二次不等式，再在此条件下求出所有的整数解．解的组数即为基本事件个数，按照古典概型求概率分布列，注意随机变量的转换．(1)由x2－x－60得－23，即S＝{x|－23}．由于m，nZ，m，nS且m＋n＝0，所以A包含的基本事件为：(－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0)．(2)由于m的所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3，所以＝m2的所有不同取值为0,1,4,9.且有P(＝0)＝16，P(＝1)＝26＝13，P(＝4)＝26＝13，P(＝9)＝16.故的分布列为：0 1 4 9P 161313。
2020年高考数学专题复习离散型随机变量及其分布列
离散型随机变量及其分布列1．随机变量的有关概念(1)随机变量：随着试验结果的变化而变化的变量，常用字母X ，Y ，ξ，η，…表示． (2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量． 2．离散型随机变量的分布列及其性质(1)概念：一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1，2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，则下表称为离散型随机变量X 的概率分布列，简称为X 的分布列，有时为了表达简单，也用等式P (X ＝x i )＝p i ，i ＝1，2，…，n 表示X 的分布列．(2)离散型随机变量的分布列的性质 ①p i ≥0(i ＝1，2，…，n )；②∑ni ＝1p i ＝1． 3．常见的离散型随机变量分布列 (1)两点分布若随机变量X 服从两点分布，则其分布列为其中p ＝P (X ＝1)称为成功概率． (2)超几何分布一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC n N，k ＝0，1，2，…，m ，即：其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *.如果随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量X 服从超几何分布.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映射为实数．( ) (2)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．( ) (3)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．( )(4)离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．( )(5)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X 服从超几何分布．( ) (6)由下表给出的随机变量X 的分布列服从两点分布．( )答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)√ (5)√ (6)×(教材习题改编)设随机变量X 的分布列如下表所示，则p 4的值是( )A.1 B ．12 C ．14D ．18解析：选D.由分布列的性质，得12＋14＋18＋p 4＝1，所以p 4＝18.设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝k 15，k ＝1，2，3，4，5，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <52＝________．解析：P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <52＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝115＋215＝15. 答案：15在含有3件次品的10件产品中任取4件，则取到次品数X 的分布列为________． 解析：由题意知，X 服从超几何分布，其中N ＝10，M ＝3，n ＝4，所以分布列为P (X ＝k )＝C k3·C 4－k7C 410，k ＝0，1，2，3.答案：P(X ＝k )＝C k 3·C 4－k7C 410，k ＝0，1，2，3离散型随机变量的分布列的性质设离散型随机变量X 的分布列为求：(1)2X ＋1的分布列； (2)|X －1|的分布列．【解】 由分布列的性质知：0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m ＝1， 解得m ＝0.3. (1)2X ＋1的分布列为(2)|X －1|的分布列为在本例条件下，求P (1<X ≤4)． 解：由本例知，m ＝0.3，P (1<X ≤4)＝P (X ＝2)＋(X ＝3)＋P (X ＝4)＝0．1＋0.3＋0.3＝0.7.离散型随机变量分布列的性质的应用(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负值；(2)若X 为随机变量，则2X ＋1仍然为随机变量，求其分布列时可先求出相应的随机变量的值，再根据对应的概率写出分布列．1．设随机变量X 等可能地取1，2，3，…，n ，若P (X ＜4)＝0.3，则n 的值为( ) A ．3 B ．4 C ．10D ．不确定解析：选C.“X ＜4”的含义为X ＝1，2，3，所以P (X ＜4)＝3n＝0.3，所以n ＝10.2．随机变量X 的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|X |＝1)＝________，公差d 的取值范围是________． 解析：因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b ＝a ＋c . 又a ＋b ＋c ＝1，所以b ＝13，所以P (|X |＝1)＝a ＋c ＝23.又a ＝13－d ，c ＝13＋d ，根据分布列的性质，得0≤13－d ≤23，0≤13＋d ≤23，所以－13≤d≤13. 答案：23 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13离散型随机变量的分布列(高频考点)离散型随机变量的分布列是高考命题的热点，多以解答题的形式出现，试题难度不大，多为容易题或中档题．主要命题角度有：(1)用频率代替概率的离散型随机变量的分布列； (2)古典概型的离散型随机变量的分布列；(3)与独立事件(或独立重复试验)有关的分布列的求法．(下一讲内容)角度一 用频率代替概率的离散型随机变量的分布列某商店试销某种商品20天，获得如下数据：试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．(1)求当天商店不进货的概率；(2)记X 为第二天开始营业时该商品的件数，求X 的分布列． 【解】 (1)P (当天商店不进货)＝P (当天商品销售量为0件)＋P (当天商品销售量为1件)＝120＋520＝310.(2)由题意知，X 的可能取值为2，3.P (X ＝2)＝P (当天商品销售量为1件)＝520＝14；P (X ＝3)＝P (当天商品销售量为0件)＋P (当天商品销售量为2件)＋P (当天商品销售量为3件)＝120＋920＋520＝34.所以X 的分布列为角度二 古典概型的离散型随机变量的分布列(2019·浙江省名校协作体高三联考)一个盒子里装有大小均匀的6个小球，其中有红色球4个，编号分别为1，2，3，4；白色球2个，编号分别为4，5，从盒子中任取3个小球(假设取到任何一个小球的可能性相同)．(1)求取出的3个小球中，含有编号为4的小球的概率；(2)在取出的3个小球中，小球编号的最大值设为X ，求随机变量X 的分布列． 【解】 (1)“设取出的3个小球中，含有编号为4的小球”为事件A ， P (A )＝C 12C 24＋C 22C 14C 36＝45，所以取出的3个小球中，含有编号为4的小球的概率为45. (2)X 的可能取值为3，4，5.P (X ＝3)＝1C 36＝120；P (X ＝4)＝C 12C 23＋C 22C 13C 36＝920； P (X ＝5)＝C 35C 36＝12，所以随机变量X 的分布列为离散型随机变量分布列的求解步骤(1)明取值：明确随机变量的可能取值有哪些，且每一个取值所表示的意义． (2)求概率：要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率． (3)画表格：按规范要求形式写出分布列．(4)做检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确．[提醒] 求随机变量某一范围内取值的概率，要注意它在这个范围内的概率等于这个范围内各概率值的和．某校校庆，各届校友纷至沓来，某班共来了n 位校友(n >8且n ∈N *)，其中女校友6位，组委会对这n 位校友登记制作了一份校友名单，现随机从中选出2位校友代表，若选出的2位校友是一男一女，则称为“最佳组合”．(1)若随机选出的2位校友代表为“最佳组合”的概率不小于12，求n 的最大值；(2)当n ＝12时，设选出的2位校友代表中女校友人数为X ，求X 的分布列． 解：(1)由题意可知，所选2人为“最佳组合”的概率为C 1n －6C 16C 2n ＝12（n －6）n （n －1），则12（n －6）n （n －1）≥12，化简得n 2－25n ＋144≤0，解得9≤n ≤16， 故n 的最大值为16.(2)由题意得，X 的可能取值为0，1，2，则P (X ＝0)＝C 26C 212＝522，P (X ＝1)＝C 16C 16C 212＝611，P (X ＝2)＝C 26C 212＝522，X 的分布列为超几何分布一个袋中有大小相同的黑球和白球共10个．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79.(1)求白球的个数；(2)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X ，求随机变量X 的分布列． 【解】 (1)记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A ，设袋中白球的个数为x ，则P (A )＝1－C 210－x C 210＝79，得到x ＝5.故白球有5个．(2)X 服从超几何分布，其中N ＝10，M ＝5，n ＝3， P (X ＝k )＝C k 5C 3－k5C 310，k ＝0，1，2，3.于是可得其分布列为在本例条件下，若从袋中任意摸出4个球，记得到白球的个数为X ，求随机变量X 的分布列．解：X 服从超几何分布，其中N ＝10，M ＝5，n ＝4， P (X ＝k )＝C k 5C 4－k5C 410，k ＝0，1，2，3，4，于是可得其分布列为超几何分布的特点(1)对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可直接应用公式给出．(2)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数，随机变量取值的概率实质上是古典概型．为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．(1)设A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A 发生的概率；(2)设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列． 解：(1)由已知，有P (A )＝C 22C 23＋C 23C 23C 48＝635. 所以，事件A 发生的概率为635. (2)随机变量X 的所有可能取值为1，2，3，4. P (X ＝k )＝C k 5C 4－k3C 48(k ＝1，2，3，4)．所以，随机变量X 的分布列为对于随机变量X 的研究，需要了解随机变量取哪些值以及取这些值或取某一个集合内的值的概率，对于离散型随机变量，它的分布正是指出了随机变量X 的取值范围以及取这些值的概率．求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X 的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出X 取各个值的概率．易错防范(1)确定离散型随机变量的取值时，易忽视各个可能取值表示的事件是彼此互斥的． (2)对于分布列易忽视其性质p 1＋p 2＋…＋p n ＝1及p i ≥0(i ＝1，2，…，n )，其作用可用于检验所求离散型随机变量的分布列是否正确．[基础达标]1．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X 去描述1次试验的成功次数，则P (X ＝0)等于( )A ．0B ．12C ．13D ．23解析：选C.设X 的分布列为即“X ＝0”表示试验失败，“X ＝1”表示试验成功．由p ＋2p ＝1，得p ＝13，故应选C.2．(2019·绍兴调研)在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，则下列概率中等于C 47C 68C 1015的是( )A ．P (X ＝2)B ．P (X ≤2)C ．P (X ＝4)D ．P (X ≤4)解析：选C.X 服从超几何分布，P (X ＝k )＝C k 7C 10－k8C 1015，故k ＝4，故选C.3．设随机变量Y 的分布列为则“32≤Y ≤72”的概率为( )A ．14B ．12C ．34D ．23解析：选C.依题意知，14＋m ＋14＝1，则m ＝12.故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32≤Y ≤72＝P (Y ＝2)＋P (Y ＝3)＝12＋14＝34.4．设随机变量X 的概率分布列如下表所示：若F (x )＝P (X ≤x )，则当x 的取值范围是[1，2)时，F (x )等于( ) A ．13 B ．16 C ．12D ．56解析：选D.由分布列的性质，得a ＋13＋16＝1，所以a ＝12.而x ∈[1，2)，所以F (x )＝P (X ≤x )＝12＋13＝56.5．已知离散型随机变量X 的分布列为则P (X ∈Z )＝( ) A ．0.9 B ．0.8 C ．0.7D ．0.6解析：选A.由分布列性质得0.5＋1－2q ＋13q ＝1，解得q ＝0.3，所以P (X ∈Z )＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝0.5＋1－2×0.3＝0.9，故选A.6．抛掷2颗骰子，所得点数之和X 是一个随机变量，则P (X ≤4)＝________． 解析：抛掷2颗骰子有36个基本事件，其中X ＝2对应(1，1)；X ＝3对应(1，2)，(2，1)；X ＝4对应(1，3)，(2，2)，(3，1)．所以P (X ≤4)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝136＋236＋336＝16.答案：167．已知随机变量ξ只能取三个值：x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，则公差d 的取值范围是________．解析：设ξ取x 1，x 2，x 3时的概率分别为a －d ，a ，a ＋d ，则(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝1，所以a ＝13，由⎩⎪⎨⎪⎧13－d ≥0，13＋d ≥0，得－13≤d ≤13.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，138．若离散型随机变量X 的分布列为则常数c ＝________，P (X ＝1)＝________． 解析：依分布列的性质知，⎩⎪⎨⎪⎧9c 2－c ≥0，3－8c ≥0，9c 2－c ＋3－8c ＝1，解得c ＝13，故P (X ＝1)＝3－8×13＝13.答案：13 139．在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，则这两次取出白球数X 的分布列为________．解析：X 的所有可能值为0，1，2. P (X ＝0)＝C 11C 11C 12C 12＝14，P (X ＝1)＝C 11C 11×2C 12C 12＝12，P (X ＝2)＝C 11C 11C 12C 12＝14.所以X 的分布列为答案：10.(2019·温州市高考模拟)袋中有6个编号不同的黑球和3个编号不同的白球，这9个球的大小及质地都相同，现从该袋中随机摸取3个球，则这三个球中恰有两个黑球和一个白球的方法总数是________，设摸取的这三个球中所含的黑球数为X ，则P (X ＝k )取最大值时，k 的值为________．解析：袋中有6个编号不同的黑球和3个编号不同的白球，这9个球的大小及质地都相同，现从该袋中随机摸取3个球，则这三个球中恰有两个黑球和一个白球的方法总数是：n ＝C 26C 13＝45.设摸取的这三个球中所含的黑球数为X ，则X 的可能取值为0，1，2，3， P (X ＝0)＝C 33C 39＝184，P (X ＝1)＝C 16C 23C 39＝1884，C 984P (X ＝3)＝C 36C 39＝2084，所以P (X ＝k )取最大值时，k 的值为2. 答案：45 211．抛掷一枚质地均匀的硬币3次． (1)写出正面向上次数X 的分布列； (2)求至少出现两次正面向上的概率． 解：(1)X 的可能取值为0，1，2，3. P (X ＝0)＝C 0323＝18；P (X ＝1)＝C 1323＝38；P (X ＝2)＝C 2323＝38；P (X ＝3)＝C 3323＝18.所以X 的分布列为(2)至少出现两次正面向上的概率为P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝38＋18＝12. 12．(2019·台州高三质检)在一次购物活动中，假设每10张券中有一等奖券1张，可获得价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获得价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从这10张券中任取2张．(1)求该顾客中奖的概率；(2)求该顾客获得的奖品总价值X (元)的分布列． 解：(1)该顾客中奖的概率P ＝1－C 04C 26C 210＝1－1545＝23.(2)X 的所有可能取值为0，10，20，50，60，且 P (X ＝0)＝C 04C 26C 210＝13，P (X ＝10)＝C 13C 16C 210＝25，P (X ＝20)＝C 23C 210＝115，P (X ＝50)＝C 11C 16C 210＝215，C 1015故X 的分布列为[能力提升]1．(2019·浙江高中学科基础测试)一个袋子装有大小形状完全相同的9个球，其中5个红球编号分别为1，2，3，4，5；4个白球编号分别为1，2，3，4，从袋中任意取出3个球．(1)求取出的3个球编号都不相同的概率；(2)记X 为取出的3个球中编号的最小值，求X 的分布列．解：(1)设“取出的3个球编号都不相同”为事件A ，“取出的3个球中恰有两个球编号相同”为事件B ，则P (B )＝C 14C 17C 39＝2884＝13，所以P (A )＝1－P (B )＝23.(2)X 的取值为1，2，3，4，P (X ＝1)＝C 12C 27＋C 22C 17C 39＝4984，P (X ＝2)＝C 12C 25＋C 22C 15C 39＝2584， P (X ＝3)＝C 12C 23＋C 22C 13C 39＝984，P (X ＝4)＝1C 39＝184. 所以X 的分布列为2.(2019·惠州市第三次调研考试)某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列．解：(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A ，则P (A )＝C 13·C 27＋C 03·C 37C 310＝4960. 所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为4960.(2)随机变量X 的所有可能值为0，1，2，3. P (X ＝k )＝C k4·C 3－k6C 310(k ＝0，1，2，3)． 所以随机变量X 的分布列为3.小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队．游戏规则为：以O 为起点，再从A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，A 7，A 8(如图)，这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X .若X ＝0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．(1)求小波参加学校合唱团的概率； (2)求X 的分布列．解：(1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C 28＝28(种)，当X ＝0时，两向量夹角为直角，共有8种情形，所以小波参加学校合唱团的概率为P (X ＝0)＝828＝27. (2)两向量数量积X 的所有可能取值为－2，－1，0，1，X ＝－2时，有2种情形；X ＝1时，有8种情形；X ＝－1时，有10种情形．所以X 的分布列为4.袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为17.现在甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球为止，每个球在每一次被取出的机会是相等的，用X 表示终止时所需要的取球次数．(1)求袋中原有白球的个数； (2)求随机变量X 的分布列； (3)求甲取到白球的概率． 解：(1)设袋中原有n 个白球，由题意知17＝C 2nC 27＝n （n －1）27×62＝n （n －1）7×6，所以n (n －1)＝6，解得n ＝3或n ＝－2(舍去)． 即袋中原有3个白球．(2)由题意知X 的可能取值为1，2，3，4，5.P (X ＝1)＝37； P (X ＝2)＝4×37×6＝27； P (X ＝3)＝4×3×37×6×5＝635；P (X ＝4)＝4×3×2×37×6×5×4＝335；P (X ＝5)＝4×3×2×1×37×6×5×4×3＝135.所以取球次数X 的分布列为(3)因为甲先取，所以甲只可能在第1次、第3次和第5次取球． 设“甲取到白球”的事件为A ， 则P (A )＝P (X ＝1或X ＝3或X ＝5)．因为事件“X ＝1”“X ＝3”“X ＝5”两两互斥，所以P (A )＝P (X ＝1)＋P (X ＝3)＋P (X ＝5)＝37＋635＋135＝2235.。
2024-2025年北师大版数学选择性必修第一册6.2.1-2.2离散型随机变量及其分布列(带答案)
§2离散型随机变量及其分布列2．1 随机变量2．2 离散型随机变量的分布列必备知识基础练知识点一随机变量的概念1.先后抛掷一枚质地均匀的骰子5次，那么不能作为随机变量的是( )A．出现7点的次数B．出现偶数点的次数C．出现2点的次数D．出现的点数大于2小于6的次数2．指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由．(1)白炽灯的寿命X；(2)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差X；(3)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0，29]这一范围内变化，该水位站所测水位X.知识点二随机变量表示的结果和取值3.写出下列随机变量可能的值，并说明随机变量所取的值所表示的随机试验的结果．(1)从一个装有编号为1号到10号的10个球的袋中，任取1个球，被取出的球的编号为X；(2)一个袋中装有10个红球，5个白球，从中任取4个球，其中所含红球的个数为X.4．[多选题]如果ξ是一个随机变量，则下列命题中的真命题有( )A．ξ取每一个可能值的概率都是非负数B．ξ取所有可能值的概率之和是1C．ξ的取值与自然数一一对应D．ξ的取值是实数知识点三离散型随机变量的分布列5.某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%.生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元．设生产各种产品相互独立．记X(单位：万元)为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列．6．一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片．(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；(2)X 表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X 的分布列．注：若三个数a ，b ，c 满足a≤b≤c，则称b 为这三个数的中位数．知识点四 离散型随机变量分布列的性质7.设X 是一个离散型随机变量，其分布列如下表，则q ＝( )A .1B ．1±22 8．设随机变量X 的分布列为P(X ＝i)＝i2a(i ＝1，2，3)，则P(X ≥2)＝( )A ．16B ．56C ．13D ．239．已知离散型随机变量X 的分布列P(X ＝k)＝k15，k ＝1，2，3，4，5，令Y ＝2X －2，则P(Y ＞0)＝________．关键能力综合练一、选择题1．[多选题]下列随机变量是离散型随机变量的是( )A ．从10张已编好号码的卡片(从1号到10号)中任取一张，被取出的卡片的号数B ．一个袋中装有9个正品和1个次品，从中任取3个，其中所含正品的个数C ．某林场树木最高达30 m ，则此林场中树木的高度D ．某加工厂加工的某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差2．某人进行射击训练，共有10发子弹，若击中目标或子弹打完就停止射击，记射击次数为ξ，则“ξ＝10”表示的试验结果是( )A ．第10次击中目标B ．第10次未击中目标C ．前9次均未击中目标D ．第9次击中目标3．已知随机变量X 的概率分布为P(X ＝n)＝an （n ＋1）(n ＝1，2，3，4)，其中a 是常数，则P(12 ＜X ＜52 )＝( )A ．12B ．23C ．13D ．56 4．设随机变量X 的分布列为则P(|X －3|＝1)A ．712 B ．512 C ．14 D ．16 5．[易错题]若离散型随机变量X 的分布列为则常数c 的值为( A ．23 或13 B ．23 C ．13 D ．1 二、填空题6．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ表示1次试验的成功次数，则P(ξ`＝0)＝________．7．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝ck （1＋k ），k ＝1，2，3，其中c 为常数，则P(ξ≥2)＝________．8．把3个骰子全部掷出，设出现6点的骰子个数是X ，则P(X<2)＝________． 三、解答题 9．[探究题]某乒乓球俱乐部派甲、乙、丙三名运动员参加某运动会的单打资格选拔赛，本次选拔赛只有出线和未出线两种情况．规定一名运动员出线记1分，未出线记0分．假设甲、乙、丙出线的概率分别为23 ，34 ，35，他们出线与未出线是相互独立的．(1)求在这次选拔赛中，这三名运动员至少有一名出线的概率；(2)记在这次选拔赛中，甲、乙、丙三名运动员的得分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列．学科素养升级练1.[多选题]下列说法正确的是( )A ．某网站中某歌曲一天内被点击的次数X 是离散型随机变量B ．一天内的温度X 是离散型随机变量C ．若随机变量X 服从两点分布，且P(X ＝1)＝0.2，Y ＝3X －2，则P(Y ＝－2)＝0.8D ．若离散型随机变量X 的分布列为P(X ＝k)＝m k ＋1 (k ＝0，1，2，3)，则m ＝12252．[学科素养——逻辑推理]在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6和4名女志愿者B 1，B 2，B 3，B 4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的概率； (2)用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X 的分布列．§2 离散型随机变量及其分布列2．1 随机变量2．2 离散型随机变量的分布列必备知识基础练1．解析：∵抛掷一枚骰子不可能出现7点，出现7点为不可能事件， ∴出现7点的次数不能作为随机变量． 答案：A2．解析：(1)白炽灯的寿命X 的取值是一个非负实数，而所有非负实数不能一一列出，所以X 不是离散型随机变量．(2)实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量．(3)不是离散型随机变量．因为水位在(0，29]这一范围内变化，对水位值我们不能按一定次序一一列出．3．解析：(1)X 的可能取值为1，2，3，…，10，X ＝k (k ＝1，2，…，10)表示取出第k 号球．(2)X 的可能取值为0，1，2，3，4.X ＝k 表示取出k 个红球，4－k 个白球，其中k ＝0，1，2，3，4.4．解析：根据概率性质可得ξ取每一个可能值的概率都是非负数，所以A 正确； ξ取所有可能值的概率之和是1，所以B 正确；ξ的取值是实数，不一定是自然数，所以C 错误，D 正确．故选ABD. 答案：ABD5．解析：由题设知，X 的可能取值为10，5，2，－3， 且P (X ＝10)＝0.8×0.9＝0.72，P (X ＝5)＝0.2×0.9＝0.18，P (X ＝2)＝0.8×0.1＝0.08，P (X ＝－3)＝0.2×0.1＝0.02.所以X 的分布列为6.解析：(1)由古典概型中的概率计算公式知所求概率为P ＝C 4 ＋C 33 C 39 ＝584 . (2)X 的所有可能取值为1，2，3，且P (X ＝1)＝C 24 C 15 ＋C 34 C 39 ＝1742， P (X ＝2)＝C 13 C 14 C 12 ＋C 23 C 16 ＋C 33 C 39 ＝4384 ， P (X ＝3)＝C 22 C 17 C 39 ＝112 ，故X 的分布列为7.解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧0.5＋1－2q ＋q 2＝1，0≤1－2q ≤0.5，q 2≤0.5， 解得q ＝1－22 .故选C.答案：C8．解析：由概率和为1可知，12a ＋22a ＋32a ＝1，解得a ＝3，则P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝26 ＋36 ＝56.故选B.答案：B9．解析：由已知得Y 的取值为0，2，4，6，8，且P (Y ＝0)＝115 ，P (Y ＝2)＝215 ，P (Y＝4)＝315 ，P (Y ＝6)＝415 ，P (Y ＝8)＝515.则P (Y ＞0)＝P (Y ＝2)＋P (Y ＝4)＋P (Y ＝6)＋P (Y ＝8)＝1415 .答案：1415关键能力综合练1．解析：A 项，只要取出一张，便有一个号码，因此被取出的卡片号数可以一一列出，符合离散型随机变量的定义；B 项，从10个产品中取3个产品，所得的结果有以下几种：3个正品，2个正品和1个次品，即其结果可以一一列出，符合离散型随机变量的定义；C 项，林场树木的高度是一个随机变量，它可以取(0，30]内的一切值，无法一一列举，不是离散型随机变量；D 项，实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量．答案：AB2．解析：射击次数ξ＝10，说明前9次均未击中目标，故选C. 答案：C3．解析：根据分布列的性质，得P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝a (11×2＋12×3 ＋13×4 ＋14×5 )＝1，解得a ＝54 .由12 ＜X ＜52 ，知X ＝1，2，所以P (12 ＜X ＜52)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝54 ×11×2 ＋54 ×12×3 ＝56. 答案：D4．解析：由13 ＋m ＋14 ＋16 ＝1，得m ＝14 .由|X －3|＝1，得X ＝2或X ＝4，所以P (|X－3|＝1)＝P (X ＝2)＋P (X ＝4)＝14 ＋16 ＝512.答案：B5．解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧9c 2－c ≥0，3－8c ≥0，9c 2－c ＋3－8c ＝1， ∴c ＝13 .答案：C6．解析：由题意知该分布为两点分布，又P (ξ＝1)＝2P (ξ＝0)且P (ξ＝1)＋P (ξ＝0)＝1，∴P (ξ＝0)＝13 .答案：137．解析：根据分布列中所有概率的和为1，得c 1×2 ＋c 2×3 ＋c 3×4 ＝1，解得c ＝43，即P (ξ＝k )＝43 ·1k （1＋k ） ，所以P (ξ≥2)＝P (ξ＝2)＋P (ξ＝3)＝43 ×(12×3 ＋13×4 )＝13. 答案：138．解析：P (X ＜2)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝C 15 C 15 C 15 C 16 C 16 C 16 ＋C 23 C 15 C 15 C 16 C 16 C 16 ＝200216 ＝2527 .答案：25279．解析：(1)记“甲出线”为事件A ，“乙出线”为事件B ，“丙出线”为事件C ，“甲、乙、丙至少有一名出线”为事件D ，则P (D )＝1－P (A ̅̅̅ A ̅̅̅ A ̅̅̅̅̅)＝1－(1－23 )×(1－34 )×(1－35 )＝1－13 ×14 ×25 ＝2930 .(2)由题意可得ξ的所有可能取值为0，1，2，3，∴P (ξ＝0)＝13 ×14 ×25 ＝130 ；P (ξ＝1)＝23 ×14 ×25 ＋13 ×34 ×25 ＋13 ×14 ×35 ＝1360 ；P (ξ＝2)＝23 ×34 ×25 ＋23 ×14 ×35 ＋13 ×34 ×35 ＝920 ；P (ξ＝3)＝23 ×34 ×35 ＝310. ∴ξ的分布列为学科素养升级练1．解析：A 中X 满足离散型随机变量的四个特征，而B 中一天内的温度X 变化的范围是连续的，无法逐一列出，它不是离散型随机变量，故A 正确，B 错误；因为Y ＝3X －2，所以X ＝13 (Y ＋2)，当Y ＝－2时，X ＝0，所以P (Y ＝－2)＝P (X ＝0)＝1－P (X ＝1)＝0.8，故C正确；因为离散型随机变量X 的概率分布列为P (X ＝k )＝mk ＋1(k ＝0，1，2，3)，所以m0＋1＋m1＋1＋m2＋1＋m3＋1＝1，解得m ＝1225，故D 正确．故选ACD.答案：ACD 2．解析：(1)设“接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1”为事件M ，则P (M )＝C 48 C 510 ＝518. (2)由题意知，X 的可能取值为0，1，2，3，4，则 P (X ＝0)＝C 56 C 510 ＝142 ，P (X ＝1)＝C 46 C 14 C 510 ＝521 ，P (X ＝2)＝C 36 C 24 C 510 ＝1021 ，P (X ＝3)＝C 26 C 34 C 510 ＝521 ，P (X ＝4)＝C 16 C 44 C 510 ＝142 .因此X 的分布列为。
2020新课标高考艺术生数学复习：离散型随机变量的分布列及均值与方差含解析
(2)求ξ取每个值的概率；
(3)写出ξ的分布列；
(4)由均值的定义求E(ξ)；
(5)由方差的定义求D(ξ)．
[跟踪训练]
随着网络营销和电子商务的兴起、人们的购物方式更具多样化。某调查机构随机抽取10名购物者进行采访、5名男性购物者中有3名倾向于选择网购、2名倾向于选择实体店、5名女性购物者中有2名倾向于选择网购、3名倾向于选择实体店．
(1)若从10名购物者中随机抽取2名、其中男、女各一名、求至少1名倾向于选择实体店的概率；
(2)若从这10名购物者中随机抽取3名、设X表示抽到倾向于选择网购的男性购物者的人数、求X的分布列和数学期望．
解：(1)设“随机抽取2名、其中男、女各一名、至少1名倾向于选择实体店”为事件A、则 表示事件“随机抽取2名、其中男、女各一名、都倾向于选择网购”、
[思考辨析]
判断下列说法是否正确、正确的在它后面的括号里打“√”、错误的打“×”．
(1)随机试验所有可能的结果是明确的、并且不止一个．( )
(2)离散型随机变量的所有取值有时无法一一列出．( )
(3)随机变量的均值是常数、样本的平均值是随机变量、它不确定．( )
(4)如果随机变量X的分布列由下表给出：
2020新课标高考艺术生数学复习：离散型随机变量的分布列及均值与方差含解析
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第6节 离散型随机变量的分布列及均值与方差
最新考纲
核心素养
考情聚焦
1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念、了解分布列对于刻画随机现象的重要性．
(ⅱ)设事件B为“抽取的3人中、睡眠充足的员工有1人、睡眠不足的员工有2人”；事件C为“抽取的3人中、睡眠充足的员工有2人、睡眠不足的员工有1人”、则A＝B∪C、且B与C互斥、由(ⅰ)知、P(B)＝P(X＝2)、P(C)＝P(X＝1)．故P(A)＝P(B∪C)＝P(X＝2)＋P(X＝1)＝ ＋ ＝ .
备考2020年高考数学一轮复习：63 离散型随机变量及其分布列(理科专用)
备考2020年高考数学一轮复习：63 离散型随机变量及其分布列（理科专用）一、单选题(共12题；共24分)1．（2分）设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝a( 13)i，i＝1，2，3，则a的值为()A．1B．913C．1113D．27132．（2分）离散型随机变量X的分布列中的部分数据丢失,丢失数据以x,y(x,y∈N)代替,分布列如下:则P (32<X<113)等于（）A．0.25B．0.35C．0.45D．0.553．（2分）甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分。
两人4局的得分情况如下：在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，则x的取值不可能是（）A．6B．7C．8D．94．（2分）离散型随机变量X的概率分布列如下：则c等于()A．0.1B．0.24C．0.01D．0.765．（2分）世界杯组委会预测2018俄罗斯世界杯中，巴西队获得名次可用随机变量X表示，X的概率分布规律为P(X=n)=an(n+1)，(n=1，2，3，4)，其中a为常数，则a的值为（）A．23B．45C．54D．566．（2分）已知随机变量X服从的分布列为则k的值为（）A．1B．2C．12D．37．（2分）下列随机试验的结果，不能用离散型随机变量表示的是( )A ．将一枚均匀正方体骰子掷两次，所得点数之和B ．某篮球运动员6次罚球中投进的球数C ．电视机的使用寿命D ．从含有3件次品的50件产品中，任取2件，其中抽到次品的件数8．（2分）某单位招聘员工，有200名应聘者参加笔试，随机抽查了其中20名应聘者笔试试卷，统计他们的成绩如下表：若按笔试成绩择优录取40名参加面试，由此可预测参加面试的分数线为（ ） A ．70分B ．75分C ．80分D ．85分9．（2分）某城市2016年的空气质量状况如下表所示：其中污染指数T ≤50时，空气质量为优；50＜T ≤100时，空气质量为良；100＜T ≤150时，空气质量为轻微污染．该城市2016年空气质量达到良或优的概率为( ) A ．35B ．1180C ．119D ．5910．（2分）袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量 ξ ，则 ξ 所有可能取值的个数是（ ） A ．5B ．9C ．10D ．2511．（2分）一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数 X 是一个随机变量，其分布列为 P(X) ，则 P(X =4) 的值为（ ） A ．1220B ．2755C ．27220D ．212512．（2分）随机变量 X 所有可能取值的集合是 {−2,0,3,5} ，且 P(X =−2)=14 ， P(X =3)=12,P(X =5)=112，则 P(X =0) 的值为（ ） A ．0B ．14C ．16D ．18二、填空题(共5题；共5分)13．（1分）随机变量ξ的取值为0，1，2，若P(ξ=0)=15，E(ξ)=1，则D(ξ)=.14．（1分）设随机变量ξ的概率分布列为P(ξ=k)=ck+1（k＝0，1，2，3），则P(ξ=2)=．15．（1分）已知随机变量X的分布列为P(X=i)= i2a(i=1，2，3)，则P(X=2)=. 16．（1分）已知随机变量X的分布列如下表，又随机变量Y=2X+3，则Y的均值是．17．（1分）袋内有5个白球，6个红球，从中摸出两球，记X＝{0，两球全红，1，两球非全红，则X的分布列为．三、解答题(共5题；共55分)18．（10分）从4名男生和2 名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数．（1）（5分）求X的分布列（结果用数字表示）；（2）（5分）求所选3个中最多有1名女生的概率．19．（10分）某电视台的一个智力游戏节目中，有一道将中国四大名著《三国演义》、《水浒传》、《西游记》、《红楼梦》与它们的作者连线的题目，每本名著只能与一名作者连线，每名作者也只能与一本名著连线，每连对一个得2分，连错得－1分，某观众只知道《三国演义》的作者是罗贯中，其他不知道随意连线，将他的得分记作ξ.（1）（5分）求该观众得分ξ为负数的概率；（2）（5分）求ξ的分布列．20．（10分）现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资10万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为16，12，13；已知乙项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中，价格下降的概率都是p(0<p<1)，设乙项目产品价格在一年内进行两次独立的调整.记乙项目产品价格在一年内的下降次数为X，对乙项目每投资10万元，X取0、1、2时，一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元.随机变量X1、X2分别表示对甲、乙两项目各投资10万元一年后的利润.（1）（5分）求X1，X2的概率分布和均值E(X1)，E(X2)；（2）（5分）当E(X1)<E(X2)时，求p的取值范围.21．（15分）自2016年底，共享单车日渐火爆起来，逐渐融入大家的日常生活中，某市针对18岁到80岁之间的不同年龄段的城市市民使用共享单车情况进行了抽样调查，结果如下表所示：（1）（5分）采用分层抽样的方式从年龄在[25，35)内的人中抽取10人，求其中男性、女性的使用人数各为多少？（2）（5分）在（1）中选出10人中随机抽取4人，求其中恰有2人是女性的概率；（3）（5分）用样本估计总体，在全市18岁到80岁的市民中抽4人其中男性使用的人数记为ξ，求ξ的分布列。
高考数学专题复习：离散型随机变量及其分布列
高考数学专题复习：离散型随机变量及其分布列一、单选题1．已知离散型随机变量X 的概率分布列如下：则实数a 等于（ ） A ．0.6B ．0.7C ．0.1D ．0.42．已知随机变量X 的分布列是则P(X>1)=（ ） A ．23B ．32C ．1D ．343．随机变量X 的分布列为()15kP X k ==，1k =，2，3，4，5，则(3)P X <=（ ） A ．15B ．13C ．12D ．234．随机变量X 的分布列如下表所示：则()2P X ≤=（ ） A ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.45．若随机变量η的分布列如表：则()1P η≤=（ ） A ．0.5B ．0.2C ．0.4D ．0.36．从装有2个白球、3个黑球的袋中任取2个小球，下列可以作为随机变量的是（ ） A ．至多取到1个黑球 B ．至少取到1个白球 C ．取到白球的个数D ．取到的球的个数7．已知离散型随机变量X 的分布列如表：则实数c 等于（ ） A ．0.2B ．0.3C ．0.6D ．0.78．若随机变量X 的分布列如下表所示，则a 的值为（ ）A ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.49．设随机变量x 的分布列为()(),2,3,4,51===-kP X m m m m ，其中k 为常数，则()2log 3log P X 3<<80的值为（ ）A ．23B ．34C ．45D ．5610．随机变量X 所有可能取值的集合是{}2,0,3,5-，且()()()1112,3,54212P X P X P X =-=====，则()14P X -<<的值为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．3411．若随机变量X 的分布列如下表，则(3)P X ≥=（ ）A ．14B ．13C ．34D ．11212．口袋中有5个球，编号为1，2，3，4，5，从中任意取出3个球，用X 表示取出球的最小号码，则X 的取值为（ ） A ．1B ．1，2C ．1，2，3D ．1，2，3，4二、填空题13．若随机变量ξ的分布列为则a =__________．14．设随机变量ξ的分布列为()(1)C P k k k ξ==+，1,2,3k =，其中C 为常数，则1522P ξ⎛⎫<<=⎪⎝⎭__________．15．设随机变量X 的分布列为()()1CP X k k k ==+，1k =，2，3，C 为常数，则()3P X <=____．16．一串5把外形相似的钥匙，只有一把能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止，则试验次数X 的最大可能取值为__________. 三、解答题17．在10件产品中，有8件合格品，2件次品，从这10件产品中任意抽取2件，试求： （1）取到的次品数的分布列； （2）至少取到1件次品的概率.18．某闯关游戏分为初赛和复赛两个阶段，甲、乙两人参加该闯关游戏.初赛分为三关，每关都必须参与，甲通过每关的概率均为23，乙通过每关的概率依次为311,,.423初赛三关至少通过两关才能够参加复赛，否则直接淘汰；在复赛中，甲、乙过关的概率分别为1,314.若初赛和复赛都通过，则闯关成功.甲、乙两人各关通过与否互不影响. （1）求乙在初赛阶段被淘汰的概率；（2）记甲本次闯关游戏通过的关数为X ，求X 的分布列； （3）试通过概率计算，判断甲、乙两人谁更有可能闯关成功.19．在一个不透明的盒中，装有大小，质地相同的两个小球，其中一个是黑色，一个是白色，甲、乙进行取球游戏，两人随机地从盒中各取一球，两球都取出之后再一起放回盒中，这称为一次取球，约定每次取到白球者得1分，取到黑球者得0分，一人比另一人多2分或取满6次时游戏结束，并且只有当一人比另一人多2分时，得分高者才能获得游戏奖品．（1）求甲获得游戏奖品的概率；（2）设X表示游戏结束时所进行的取球次数，求X的分布列及数学期望．20．某校高二年级举行班小组投篮比赛，小组是以班级为单位，每小组均由1名男生和2名女生组成，比赛中每人投篮1次、每个人之间投篮都是相互独立的．已知女生投篮命中的概率均为13，男生投篮命中的概率均为23．（1）求小组共投中2次的概率；（2）若三人都投中小组获得30分，投中2次小组获得20分，投中1次小组获得10分，三人都不中，小组减去60分，随机变量X表示小组总分，求随机变量X的分布列及数学期望．21．一黑色袋里装有除颜色不同外其余均相同的8个小球，其中白球与黄球各3个，红球与绿球各1个．现甲、乙两人进行摸球得分比赛，摸到白球每个记1分、黄球每个记2分、红球每个记3分、绿球每个记4分，以得分高获胜．比赛规则如下：（1）只能一个人摸球；（2）摸出的球不放回；（3）摸球的人先从袋中摸出1球：①若摸出的是绿球，则再从袋子里摸出2个球；②若摸出的不是绿球，则再从袋子里摸出3个球．他的得分为两次摸出的球的记分之和；（4）剩下的球归对方，得分为剩下的球的记分之和．（Ⅰ）若甲第一次摸出了绿球，求甲的得分不低于乙的得分的概率；（Ⅱ）如果乙先摸出了红球，求乙得分X的分布列．22．袋中有4个红球，()14,n n n N ≤≤∈个黑球，若从袋中任取3个球，恰好取出3个红球的概率为435． （1）求n 的值．（2）若从袋中任取3个球，取出一个红球得1分，取出一个黑球得3分，记取出的3个球的总得分为随机变量X ，求随机变量X 的分布列．参考答案1．D 【分析】利用分布列的性质，求a 的值. 【详解】据题意得0.20.30.11a +++=，所以0.4a =． 故选：D 2．A 【分析】直接根据离散型随机变量的分布列的性质求解即可得答案． 【详解】根据离散型随机变量的分布列的概率和为1得：113a b ++=， 所以23a b +=，所以()()()21=233P X P X P X a b >=+==+=，故选：A. 3．A 【分析】根据互斥事件的概率公式计算． 【详解】()()1231(3)121515155P X P X P X <==+==+==， 故选：A ． 4．C 【分析】利用分布列的性质求出m 的值，然后由概率的分布列求解概率即可． 【详解】解：由分布列的性质可得，0.10.321m m +++=，可得0.2m =，所以(2)(1)(2)0.10.20.3P X P X P X ==+==+=． 故选：C ． 5．C 【分析】利用分布列可求得()1P η≤的值. 【详解】由分布列可得()()()()11010.10.10.20.4P P P P ηηηη≤==-+=+==++=. 故选：C. 6．C 【分析】根据随机变量的定义，判断选项. 【详解】根据随机变量的定义可知，随机变量的结果都可以数量化，不确定的，由实验结果决定，满足条件的只有C ，取到白球的个数，可以是0，1，2. 故选：C 7．B 【分析】根据概率之和等于1，得0.10.240.361c +++=，解方程即可求出结果. 【详解】据题意，得0.10.240.361c +++=，解得0.3c =. 故选：B. 8．B 【分析】由概率和为1可得a 值． 【详解】由题意0.231a a ++=，解得0.2a =． 故选：B ． 9．D 【分析】首先利用分布列中概率之和等于1求得k 的值，再计算()()23P X P X =+=即可求解. 【详解】由分布列的性质可知：()()()()23451P X P X P X P X =+=+=+==， 即12324354k k k k+++=⨯⨯⨯，解得：54k =，所以()5228k P X ===，()53624k P X ===， ()541248k P X ===，()152016k P X ===， 所以()()()2555log 3log 238246P X P X P X 3<<80==+==+=， 故选：D. 10．C 【分析】 先求得1(0)6P X ==，再由(14)(0)(3)P X P X P X -<<==+=可得结果. 【详解】依题意可得1111(0)1(2)(3)(5)142126P X P X P X P X ==-=--=-==---=，所以112(14)(0)(3)623P X P X P X -<<==+==+=. 故选：C. 11．A 【分析】分布列中概率之和等于1可得x 的值，再计算(3)(3)(4)3P X P X P X x ≥==+==即可. 【详解】由分布列中概率的性质可知：3621x x x x +++=，可得：112x =， 所以1(3)(3)(4)34P X P X P X x ≥==+=== 故选：A. 12．C 【分析】根据题意写出随机变量的可能取值. 【详解】根据条件可知任意取出3个球，最小号码可能是1,2,3. 故选：C 13．0.25 【分析】根据概率之和等于1，即可求得答案. 【详解】解因为0.20.31,a a +++= 所以0.25a =． 故答案为：0.25. 14．89【分析】根据分布列的性质求出C ，即可解出． 【详解】因为111311223344C C ⎛⎫=⋅++= ⎪⨯⨯⨯⎝⎭．故43C =，所以15228(1)(2)22399P P P ξ⎛⎫<<=+=+= ⎪⎝⎭．故答案为：89．15．89【分析】首先根据概率和为1可得c 的值，再由()()()312P X P X P X <==+=即可得结果. 【详解】随机变量X 的分布列为()()1CP X k k k ==+，1k =，2，3，∴ 16122c c c ++=，即62 112c c c ++=，解得43c =， ∴()()()41183123269P X P X P X ⎛⎫<==+==+= ⎪⎝⎭，故答案为：89.16．4 【分析】结合题意找出试验次数X 最大的情况即可. 【详解】由题意可知，前4次都打不开锁，最后一把钥匙一定能打开锁， 故试验次数X 的最大可能取值为4. 故答案为：4.17．（1）分布列见解析；（2）1745【分析】（1）记取到的次品数为X ，则X 的可能值为0，1，2，分别计算概率，可得X 的分布列； （2）由（1）根据互斥事件的概率公式可得(1)(2)P P X P X ==+=； 【详解】解：（1）从这10件产品中任意抽取2件，共21045C =种情况；记取到的次品数为X ，取到的次品数X 值可能为0，1，2，其中282102(0845)C P X C ===；121821016(1)45C C P X C ===；222101)5(24C P X C ===；∴取到的次品数X 的分布列为：（2）由（1）得：至少取到1件次品的概率17(1)(2)45P P X P X ==+==． 18．（1）1124；（2）答案见解析；（3）甲更有可能闯关成功. 【分析】(1)乙初赛被淘汰的事件是乙初赛三关都没过的事件与恰过一关的事件和，再利用概率加法公式计算而得；(2)写出X 的可能值，计算出对应的概率即可得解； (3)分别计算出甲、乙闯关成功的概率即可作答. 【详解】（1）若乙初赛三关一关都没有通过或只通过一个，则被淘汰，于是得乙在初赛阶段被淘汰的概率：1121113121121142342342342324P =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=； （2）X 的可能取值为0,1,2,3,4，()3110()327P X ===，()1232121()339P X C ==⋅⋅=，()22321282()33327P X C ==⋅⋅⋅=，()322322211283()()3333381P X C ==⋅+⋅⋅⋅=，()32184()3381P X ==⋅=则X 的分布列为：（3）甲闯关成功的概率32232121120()()33333811P C =⋅+⋅⋅⋅=， 乙闯关成功的事件是初赛不被淘汰和复赛过关的事件积，而这两个事件相互独立，其概率22411113(1)496P =-⋅=， 显然有12P P >，所以甲更有可能闯关成功. 19．（1）716；（2）分布列见解析；期望为72．【分析】（1）甲获得游戏奖品有3种情况：①共取球2次，即第1次和第2次甲都取到白球，从而甲获奖的概为1122⨯；②共取球4次，即第4次取到白球，第3次取到白球，第1次和第2次有一次取到白球，从而甲获奖的概为4122⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭；③共取球6次，即第6次为白球，第5次取白球，若第4次取白球，则第3次取黑球，第1，2次中有1次取白球；若第4次取黑球，则第3次白球，第1，2次有一次取白球，从而甲获奖的概为6142⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭，再由互斥事件的概率公式可得答案；（2）由（1）的求解中可知，X 可能取2，4，6，用（1）的方法先分别求出X 等于2，4的概率，从而可得X 为6的概率，然后列出分布列即可，然后根据期望的概念求出结果即可.【详解】解：（1）设甲获得游戏奖品为事件A ，()641111724212226P A ⎛⎫=⨯+⨯+⨯= ⎪⎛⎫⎪⎝⎭⎝⎭．所以甲获得游戏奖品的概率为716（2）X 的可能取值为2,4,6， ()11122222P X ==⨯⨯=()41142224P X ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，()()()161244P X P X P X ==-=-==． X 的分布列为11172462442EX =⨯+⨯+⨯=20．（1）13；（2）分布列见解析；期望为409．【分析】（1）小组投中两次分为两种情况，两次都是女生投中，和一次男生一次女生投中，从而求得概率；（2）根据题意，X 的可能取值为－60，10，20，30，分别求得各取值对应的概率，列出分布列，求得期望. 【详解】解：（1）一个小组共投中2次的概率 2122211212911133333273P C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-⋅+⋅-==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）X 的可能取值为－60，10，20，30， 2214(60)113327P X ⎛⎫⎛⎫=-=--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()212212111241011133333279P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-+--== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2122112191(20)1133333273P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-+-== ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 2212(30)3327P X ⎛⎫===⎪⎝⎭， X 的分布列为所以441212040()(60)102030279327279E X =-⨯+⨯+⨯+⨯==． 21．（Ⅰ）37，（Ⅱ）分布列见解析．【分析】（Ⅰ）记甲的得分不低于乙的得分为事件A ，则事件A 发生就是甲再摸出的两个球全是黄球或一红一个其他球，由此可求得概率．（Ⅱ）如果乙先摸出了红球，得3分，则还可以从袋子中摸3个球，那么得分情况有：6分，7分，8分，9分，10分，11分．分别计算概率后可得分布列． 【详解】（Ⅰ）记甲的得分不低于乙的得分为事件A ，则事件A 发生就是甲再摸出的两个球全是黄球或一红一个其他球，所以112163273()7C C C P A C +==； （Ⅱ）如果乙先摸出了红球，则还可以从袋子中摸3个球，得分情况有：6分，7分，8分，9分，10分，11分．33371(6)35C P C ξ===，2133379(7)35C C P C ξ===；1233379(8)35C C P C ξ===；213313374(9)35C C C P C ξ+===；111331379(10)35C C C P C ξ===； 2131373(11)35C C P C ξ===．ξ的分布列如下：22．（1）3；（2）详见解析. 【分析】（1）依题意得3434C 4C 35n +=，解方程可得结果；（2）X 的可能取值为3,5,7,9，求出相应的概率可得结果. 【详解】（1）依题意得3434C 4C 35n +=，又14n ≤≤，所以3n =；（2）X 的可能取值为3,5,7,9，3X =即取出的3个球都是红球，则()3437C 43C 35P X ===； 5X =即取出的3个球中2个红球1个黑球，则()214337C C 185C 35P X ===； 7X =即取出的3个球中1个红球2个黑球，则()124337C C 127C 35P X ===；9X =即取出的3个球都是黑球，则()3337C 19C 35P X ===. 所以，随机变量X 的分布列为。
高考数学专题《离散型随机变量的分布列》习题含答案解析
专题11.5 离散型随机变量的分布列1．（2021·全国·高二课时练习）某商店购进一批西瓜，预计晴天西瓜畅销，可获利1000元；阴天销路一般，可获利500元；下雨天西瓜滞销，会亏损500元，根据天气预报，未来数日晴天的概率为0.4，阴天的概率为0.2，下雨的概率为0.4，试写出销售这批西瓜获利的分布列．【答案】答案见解析．【分析】根据已知数据列表格．【详解】用X 表示获利，则X 的取值分别是1000，500，－500，分布列如下表：X1000500－500P0.40.20.42．（2021·全国·高二课时练习）已知离散型随机变量X 的分布列如下表所示，求a 的值．X 123P0.3a0.5【答案】0.2【分析】由分布列中所有概率和为1计算．【详解】由题意0.30.51a ++=，解得0.2a =3．（2021·全国·高二课时练习）抛一枚均匀的硬币，设1,,0,,X ⎧=⎨⎩出现正面出现反面写出X 的分布列．【答案】答案见解析．【分析】X 的值分别为0，1，求出概率后得分布列．【详解】抛一枚均匀的硬币，有两种可能，正面向上或反面向上，两种情况的可能性相同，X 0=或1，1(0)(1)2P X P X ====，分布列如下：练基础X1P12124．（2021·全国·高二课时练习）若随机变量ξ只能取两个值0，1，又知ξ取0的概率是取1的概率的3倍，写出ξ的分布列.【答案】答案见解析【分析】根据概率之和为1可求出.【详解】由题意及分布列满足的条件知P (ξ＝0)＋P (ξ＝1)＝3P (ξ＝1)＋P (ξ＝1)＝1，所以()114P ξ==，故()314P ξ==.所以ξ的分布列为ξ01P34145．（2021·全国·高二课时练习）已知离散型随机变量ξ的分布列如下，求k 的值．ξ12…n Pk2k…2n －1·k【答案】121nk =-【分析】根据离散型随机变量ξ的概率性质即可求解参数．【详解】因为1＝k ＋2k ＋…＋2n －1k ＝k (1＋2＋…＋2n －1)＝k ·1212n--＝(2n －1)k ，所以121nk =-．6．（2021·全国·高二课时练习）某射击运动员射击一次所得环数的分布列如下表所示．ξ45678910P0.030.050.070.080.26a0.23（1）求常数a 的值；（2）求(6)P ξ>．【答案】（1）0.28（2）0.85【分析】（1）由分布列中所有概率和为1计算；（2）计算(7)(8)(9)(10)P P P P ξξξξ=+=+=+=即可 ．（1）由题意0.030.050.070.080.260.231a ++++++=，解得0.28a =；（2）(6)P ξ>=(7)(8)(9)(10)P P P P ξξξξ=+=+=+=＝0.080.260.280.230.85+++=．7．（2021·全国·高二课时练习）从装有6个白球和4个红球的口袋中任取1个球，用X 表示取得的白球数，求X 的分布列．【答案】答案见解析．【分析】确定X 的可能值，计算出概率后得分布列．【详解】X 的所有可能值是0，1．42(0)105P X ===，63(1)105P X ===，所以X 的分布列如下：X01P25358．（2021·全国·高二课时练习）已知X 服从参数为0.3的两点分布．（1）求()0P X =；（2）若21Y X =+，写出Y 的分布列．【答案】（1）0.7（2）答案见解析．【分析】（1）根据二项分布的概念求解；（2）求出Y 的可能值，写出分布列即可．（1）(0)10.30.7P X ==-=．（2）X 0=时，1Y =，1X =时，3Y =，所以Y 的分布列为：Y13P0.70.39．（2021·全国·高二课时练习）分别判断下列表格是否可能是随机变量X 的分布列，并说明理由：（1）X 1-0123P0.20.20.20.20.3（2）X 012345P0.10.2-0.30.40.20.2【答案】（1）不是，理由见解析．（2）不是，理由见解析．【分析】（1）根据分布列中所有概率和为1说明；（2）由概率的范围说明．（1）由于0.20.20.20.20.3 1.11++++=>，因此此表格不是随机变量X 的分布列（2）表格中事件1X =的概率是0.2-，这是不可能的，概率在[0,1]范围内．因此此表格不是随机变量的分布列．10．（2021·全国·高二单元测试）设离散型随机变量X 的分布列为X 01234P0.20.10.10.3m求：（1）21Y X =+的分布列；（2）()39P Y <≤的值．【答案】（1）分布列见解析；（2）0.7.【分析】(1)先由分布列的性质解出m ，然后按步骤写出分布列即可；（2）根据（1）中的分布列可计算出答案.【详解】由分布列的性质知，0.20.10.10.31m ++++=，解得0.3m =．（1）由题意可知，()()21100.2P X P X +====，()()21310.1P X P X +====，()()21520.1P X P X +====，()()21730.3P X P X +====，()()21940.3P X P X +====，所以21Y X =+的分布列为：21Y X =+13579P0.20.10.10.30.3（2）()()()()395790.10.30.30.7P Y P Y P Y P Y <≤==+=+==++=.1．（2022·江苏·高三专题练习）设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1，则随机变量ξ的取值对应的概率正确的是（ ）．A ．P (ξ＝0)＝411B ．P (ξ＝111C ．P (ξ＝1)＝611D ．P (ξ＝122【答案】ABC【分析】根据题设，结合正方体的性质求两条棱相交、平行、异面的可能情况数，再写出对应ξ＝0、ξ＝1、ξ.【详解】由题设，ξ的可能取值为0，1．若两条棱相交，交点必在正方体的顶点处，过任意一个顶点的棱有3条，则P (ξ＝0)＝232128C C ＝411，若两条棱平行，它们的距离为16对，∴P (ξ＝2126C ＝111，故P (ξ＝1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ)＝1－411－111＝611，练提升ξ分布列如下：故选：ABC2．（2021·全国·高二课时练习）若随机变量X的分布列如下表所示：X0123P 14a14b则a2＋b2的最小值为________．【答案】1 8【分析】首先根据分布列的性质得到12a b+=，再利用基本不等式的性质求解即可.【详解】由分布列的性质，知11144a b+++=，即12a b+=.因为()222128a ba b++≥=，当且仅当14a b==时取等号.所以22a b+的最小值为1 8 .故答案为：1 83．（2021·全国·高二课时练习）将3个小球任意地放入4个大玻璃杯中，一个杯子中球的最多个数记为X，则X的分布列是________.【答案】X123P38916116【分析】将3个小球任意地放入4个玻璃杯中，杯子中球的个数最多为3个，那么对于各种情况下的概率值进行计算得到分布列．由题意知X 的可能取值为1，2，3()3433=148A P X ==； ()223439=2416C A P X ==；()1431=3416A P X ==故答案为：X 123P389161164.（2017课标3，理18选）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X （单位：瓶）的分布列；【答案】(1)见解析.【解析】（1）由题意知，所有的可能取值为200,300,500，由表格数据知，，.因此的分布列为0.20.40.45.（2021·全国·高二课时练习）抛一枚均匀的硬币2次，设正面朝上的次数为X ．（1）说明1X =表示的是什么事件，并求出(1)P X =；（2）求X 的分布列．【答案】（1）事件见解析，1(1)2P X ==；（2）分布列见解析．X ()2162000.290P X +===()363000.490P X ===()25745000.490P X ++===X X200300500P（1）根据X表示的意义确定事件，并计算概率．（2）X的可能值为0，1，2，求出各概率后得分布列．（1）1X=表示正面向上的次数为1的事件，1221 (1)22CP X===．（2）X的可能值为0，1，2，则221(0)24CP X===，2221(2)24CP X===，X的分布列如下：X012P 1412146．（2021·全国·高二课时练习）某射击运动员在一次射击训练中，共有5发子弹，如果命中就停止射击，否则一直到子弹用尽．若已知每次射击命中的概率均为0.9，求该运动员这次训练耗用的子弹数X的分布列．【答案】答案见详解.【分析】X的可能取值为1,2,3,4,5，分别求出相应的概率，由此能求出耗用的子弹数X的分布列.【详解】根据题意1,2,3,4,5X=，()10.9P X==，()20.10.90.09P X==⨯=，()30.10.10.90.009P X==⨯⨯=，()40.10.10.10.90.0009P X==⨯⨯⨯=，()50.10.10.10.10.10.10.10.10.10.90.0001P X==⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=.∴X的分布列为：X12345P0.90.090.0090.00090.0001 7.（2021·全国·高二课时练习）某商店试销某种商品20天，获得如下数据：日销售量(件)0123频数1595试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率.（1）求当天商店不进货的概率；（2）记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列.【答案】（1）310；（2）答案见解析.【分析】（1）由古典概型概率公式与互斥事件的概率公式求解即可；（2）求出X的可能取值，再用古典概型概率公式与互斥事件的概率公式求出概率，即可求解【详解】（1）记“当天商品销售量为0件”为事件A，“当天商品销售量为1件”为事件B，“当天商店不进货”为事件C，则()()()153 202010P C P A P B=+=+=；（2）由题意知，X的可能取值为2，3.P(X＝2) ＝P(当天商品销售量为1件)＝51 204=；P(X＝3)＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为2件)＋P(当天商品销售量为3件)＝1953 2020204++=，故X的分布列为：X23P 14348．（2021·全国·高二课时练习）从集合{}1,2,3,4,5的所有非空子集中，随机地取出一个.（1）求所取出的非空子集中所有元素之和为10的概率；（2）记所取出的非空子集中的元素个数为X，求X的分布列.【答案】（1）331；（2）答案见解析.【分析】（1）计算基本事件总数和满足条件的基本事件数，利用古典概型的概率公式即得解；（2）X 的所有可能取值为1，2，3，4，5，计算对应的概率，列出分布列即可.【详解】（1）记“所取出的非空子集中所有元素之和为10”为事件A .基本事件总数1234555555C C C C C 31n =++++=，事件A 包含的基本事件有{}1,4,5，{}2,3,5，{}1,2,3,4，共3个，故()331P A =.（2）依题意，X 的所有可能取值为1，2，3，4，5.()151131C 53P X ===，()2510231C 13P X ===，()3510331C 13P X ===，()454131C 53P X ===，()555131C 13P X ===.故X 的分布列为X12345P531103110315311319．（2021·全国·高二课时练习）同时掷两个均匀的骰子，设所得点数之和为X ．（1）写出X 的分布列；（2）求(5)P X <；（3）求“点数和大于9”的概率．【答案】（1）答案见解析（2）16（3）16．【分析】（1）X 的可能值为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，分别计算出概率后可得分布列；（2）由(2)(3)(4)P X P X P X =+=+=可得；（3）由(10)(11)(12)P X P X P X =+=+=可得．（1）由题意X 的可能值依次为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，两枚骰子的点数和列表如下（第一行是一个骰子的点数，第一列是另一个骰子的点数，其他格子中为两个骰子点数和，共36个：123456123456723456783456789456789105678910116789101112由表可得1(2)(12)36P X P X ====，21(3)(11)3618P X P X =====，31(4)(10)3612P X P X =====，41(5)(9)369P X P X =====，5(6)(8)36P X P X ====，61(7)366P X ===，X 的分布列如下：X23456789101112P136118112195361653619112118136（2）1111231(5)(2)(3)(4)361812366P X P X P X P X ++<==+=+==++==；（3）1111(9)(10)(11)(12)1218366P X P X P X P X >==+=+==++=．10.（2021·全国·高二单元测试）某市高考模拟考试数学试卷解答题的网上评卷采用“双评+仲裁”的方式：两名老师独立评分，称为一评和二评，当两者所评分数之差的绝对值小于或等于1分时，取两者平均分为该题得分；当两者所评分数之差的绝对值大于1分时，再由第三位老师评分，称之为仲裁，取仲裁分数和一、二评中与之接近的分数的平均分为该题得分；当一、二评分数和仲裁分数差值的绝对值相同时，取仲裁分数和一、二评中较高的分数的平均分为该题得分．有的学生考试中会做的题目答完后却得不了满分，原因多为答题不规范，比如：语言不规范、缺少必要文字说明、卷面字迹不清、得分要点缺失等等，把这样的解答称为“缺憾解答”．该市教育研训部门通过大数据统计发现，满分为12分的题目，这样的“缺憾解答”，阅卷老师所评分数及各分数所占比例如表：老师评分11109分数所占比例141214将这个表中的分数所占比例视为老师对满分为12分题目的“缺憾解答”所评分数的概率，且一、二评与仲裁三位老师评分互不影响．已知一个同学的某道满分为12分题目的解答属于“缺憾解答”．（1）求该同学这个题目需要仲裁的概率；（2）求该同学这个题目得分X 的分布列．【答案】（1）18；（2）分布列见解析.【分析】（1）记A 表示事件：" 该同学这个解答题需要仲裁 " ，设—评、二评所打分数分别为 , ,x y 由题设知事件A 的所有可能情况有：119x y =⎧⎨=⎩ 或 911x y =⎧⎨=⎩由此能求出该同学这个题目需要仲裁的概率；（2）随机事件X 的可能取值为9 , 9 . 5 , 10 , 10 . 5 , 11 , 分别求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列.【详解】（1）设事件A 表示“该同学这个题目需要仲裁”，一评、二评所打分数分别为x ，y ，由题意知事件A 的所有可能情况有119x y =⎧⎨=⎩或911x y =⎧⎨=⎩，∴()1191111191144448x x P A P P y y ⎛⎫⎛⎫==⎧⎧=+=⨯+⨯= ⎨⎪ ⎨⎪==⎩⎩⎝⎭⎝⎭．（2）随机事件X 的取值范围为{}9,9.5,10,10.5,11，设仲裁所打分数为z ，则()911911111111391199444444443299x x x P X P P y P y y z z ⎛⎫⎛⎫==⎧⎧⎛⎫=⎧ ⎪ ⎪⎪⎪==+=+==⨯+⨯⨯+⨯⨯= ⎨⎪⎨⎨ ⎪ ⎪=⎩⎝⎭⎪⎪ ⎪ ⎪==⎩⎩⎝⎭⎝⎭，()910111119.510942244x x P X P P y y ⎛⎫⎛⎫==⎧⎧==+=⨯+⨯= ⎨⎪ ⎨⎪==⎩⎩⎝⎭⎝⎭，()101111010224x P X P y ⎛⎫=⎧===⨯= ⎨⎪=⎩⎝⎭，()911101110.511911101010x x x x P X P P P y P y y y z z ⎛⎫⎛⎫==⎧⎧⎛⎫⎛⎫==⎧⎧ ⎪ ⎪⎪⎪==++=+= ⎨⎪ ⎨⎪⎨⎨ ⎪ ⎪==⎩⎩⎝⎭⎝⎭⎪⎪ ⎪ ⎪==⎩⎩⎝⎭⎝⎭11111111115244244244216=⨯+⨯+⨯⨯+⨯⨯=，()11911111111113119111144444444321111x x x P X P P P y y y z z ⎛⎫⎛⎫==⎧⎧⎛⎫=⎧ ⎪⎪ ⎪⎪==++=⨯+⨯⨯+⨯⨯=== ⎨⎪⎨⎨ ⎪ ⎪=⎩⎝⎭⎪⎪ ⎪ ⎪==⎩⎩⎝⎭⎝⎭，∴X 的分布列为：1．（2021·湖南·高考真题）端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有6个粽子，其中肉粽1个，蛋黄粽2个，豆沙粽3个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取2个.（1）用ξ表示取到的豆沙粽的个数，求ξ的分布列；（2）求选取的2个中至少有1个豆沙粽的概率.【答案】（1）分布列见解析；（2）45.【分析】（1）首先求随机变量0,1,2ξ=，再利用古典概型求概率；（2）根据（1）的结果求概率.【详解】（1）由条件可知0,1,2ξ=，()2326105C P C ξ===，()113326315C C P C ξ===，()2326125C P C ξ===，所以ξ的分布列，如下表，ξ12P153515（2）选取的2个中至少有1个豆沙粽的对立事件是一个都没有，则选取的2个中至少有1个豆沙粽的概率14155P =-=.2.（2019年高考北京卷理选）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A ，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A ，B 两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A 和仅使用B 的学生的支付金额分布情况如下：支付金额（元）支付方式（0，1000]（1000，2000]大于2000仅使用A18人9人3人仅使用B 10人14人1人（1）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A ，B 两种支付方式都使用的概率；（2）从样本仅使用A 和仅使用B 的学生中各随机抽取1人，以X 表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X 的分布列；（3）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A 的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．【答案】（1）0.4；（2）分布列见解析，E （X ）=1；（3）见解析．【解析】（1）由题意知，样本中仅使用A 的学生有18+9+3=30人，仅使用B 的学生有10+14+1=25人，A ，B 两种支付方式都不使用的学生有5人．故样本中A ，B 两种支付方式都使用的学生有100−30−25−5=40人．所以从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月A ，B 两种支付方式都使用的概率估计为．（2）X 的所有可能值为0，1，2．记事件C 为“从样本仅使用A 的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”，事件D 为“从样本仅使用B 的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”．由题设知，事件C ，D 相互独立，且．所以，，．所以X 的分布列为X 012P0.240.520.24（3）记事件E 为“从样本仅使用A 的学生中随机抽查3人，他们本月的支付金额都大于2000元”．假设样本仅使用A 的学生中，本月支付金额大于2000元的人数没有变化，则由上个月的样本数据得．400.4100=93141()0.4,()0.63025P C P D ++====(2)()()()0.24P X P CD P C P D ====(1)()P X P CD CD == ()()(()P C P D P C P D =+0.4(10.6)(10.4)0.6=⨯-+-⨯0.52=(0)((()0.24P X P CD P C P D ====33011()C 4060P E ==答案示例1：可以认为有变化．理由如下：P （E ）比较小，概率比较小的事件一般不容易发生．一旦发生，就有理由认为本月的支付金额大于2000元的人数发生了变化，所以可以认为有变化．答案示例2：无法确定有没有变化．理由如下：事件E 是随机事件，P （E ）比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的，所以无法确定有没有变化．3.（2018年理数天津卷选）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.（I ）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（II ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.（i ）用X 表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X 的分布列；（ii ）设A 为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A 发生的概率.【答案】（Ⅰ）从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i ）答案见解析；（ii ）67．【解析】（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i ）随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3．P （X =k ）=C k4⋅C 3−k3C 37（k =0，1，2，3）．所以，随机变量X 的分布列为X 0123P13512351835435（ii ）设事件B 为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C 为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A =B ∪C ，且B 与C 互斥，由（i ）知，P (B )=P (X =2)，P (C )=P (X =1)，故P (A )=P (B ∪C )=P (X =2)+P (X =1)=67．所以，事件A 发生的概率为67．4.（2017山东，理18选）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6和4名女志愿者B 1，B 2，B 3，B 4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.（I ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含的频率.（II ）用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X 的分布列.【答案】（I ）(II)X 的分布列为X 01234P 【解析】因此X 的分布列为X 01234P5．（2017北京，理17选）为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标x 和y 的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者.1B 5.1814252110215211421425211021521142（Ⅰ）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y 的值小于60的概率；（Ⅱ）从图中A ，B ，C ，D 四人中随机选出两人，记为选出的两人中指标x 的值大于1.7的人数，求的分布列.【答案】（Ⅰ）0.3. （Ⅱ）见解析.【解析】（Ⅰ）由图知，在服药的50名患者中，指标y 的值小于60的有15人，所以从服药的50名患者中随机选出一人，指标y 的值小于60的有15人，所以从概率为.（Ⅱ）由图知，A,B,C,D 四人中，指标的值大于1.7的有2人：A 和C.所以的所有可能取值为0,1,2..所以的分布列为0126．（2017·天津高考真题（理））从甲地到乙地要经过个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，．（）设表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量的分布列和均值．（）若有辆车独立地从甲地到乙地，求这辆车共遇到个红灯的概率．【答案】(1)见解析；（2）.【解析】（Ⅰ）解：随机变量的所有可能取值为0,1,2,3.ξξ150.350=x ξ21122222222444C C C C 121(0),(1),(2)C 6C 3C 6P P P ξξξ=========ξξP 16231631213141X X 222111()()48P A P B +=X，，，.所以，随机变量的分布列为0123随机变量的数学期望.（Ⅱ）解：设表示第一辆车遇到红灯的个数，表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为.所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为.()111101112344P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()11111111111111111123423423424P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()111111111121112342342344P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1111323424P X ==⨯⨯=X XP14112414124X ()1111113012342442412E X =⨯+⨯+⨯+⨯=Y Z ()()()()()()()10,11,00110P Y Z P Y Z P Y Z P Y P Z P Y P Z +====+=====+==1111111142424448=⨯+⨯=1148。
高考数学选修知识讲解离散型随机变量及其分布列（理）
离散型随机变量及其分布列编稿：赵雷 审稿：李霞【学习目标】1．了解离散型随机变量的概念．2．理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念．3．掌握离散型随机变量的分布列的两个基本性质，并会用它来解决一些简单问题．4. 理解两个特殊的分布列：“两点分布”和“超几何分布”。
【要点梳理】要点一、随机变量和离散型随机变量1. “随机试验”的概念一般地，一个试验如果满足下列条件：a ．试验可以在相同的情形下重复进行．B ．试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个．c ．每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．这种试验就是一个随机试验，为了方便起见，也简称试验．2．随机变量的定义一般地，如果随机试验的结果，可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量．通常用大写拉丁字母X ，Y ，Z （或小写希腊字母ξ，η，ζ）等表示。
要点诠释:（1）所谓随机变量，即是随机试验的试验结果和实数之间的一个对应关系，这种对应关系是人为建立起来的，但又是客观存在的。
例如，任意掷一枚硬币，可能出现正面向上、反面向上这两种结果，虽然这个随机试验的结果不具有数量性质，但仍可以用数量来表示它，比如，我们用ξ来表示这个随机试验中出现正面向上的次数，则ξ=0，表示试验结果为反面向上，ξ=1，表示试验结果为正面向上。
（2）随机变量实质是将随机试验的结果数量化 。
3．离散型随机变量的定义如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量。
离散型随机变量的例子很多．例如某人射击一次可能命中的环数 X 是一个离散型随机变量，它的所有可能取值为0，1，…，10；某网页在24小时内被浏览的次数Y 也是一个离散型随机变量，它的所有可能取值为0, 1,2，….4. 随机变量的分类随机变量有以下两种：(1)离散型随机变量:(2)连续型随机变量: 如果随机变量可以取其一区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量．要点诠释:离散型随机变量和连续型随机变量的区别：离散型随机变量，它所可能取的值为有限个或至多可列个，或者说能将它的可能取值按一定次序一一列出.连续性随机变量可取某一区间内的一切值，我们无法将其中的值一一列举．例如，抛掷一枚骰子，可能出现的点数就是一个离散型随机变量；某人早晨在出租车站等出租车的时间（单位：秒）就不是一个离散型随机变量．5. 若是随机变量，其中a,b 是常数，则也是随机变量，并且不改变其属性（离散型、连续型）。
高中数学选修2-3离散型随机变量的分布列精选题目(附答案)
高中数学选修2-3离散型随机变量的分布列精选题目（附答案）(1)离散型随机变量的分布列的定义及性质①一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，x i，…，x n，X取每一个值x i(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝x i)＝p i，以表格形式表示为：表示为P(X＝x i)＝p i，i＝1,2，…，n，离散型随机变量分布列还可以用图象表示．(2)特殊分布①两点分布X的分布列为两点分布，就称X服从两点分布，并称p＝P(X＝1)为成功概率．②超几何分布一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝C k M C n－kN－MC n N，k＝0,1,2，…，m，即其中m＝如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布．一、离散型随机变量的分布列1．一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3个球，以X表示取出球的最大号码．(1)求X的分布列；(2)求X的取值不小于4的概率．解：(1)随机变量X的可能取值为3,4,5,6，P(X＝3)＝C33C36＝120，P(X＝4)＝C11C23C36＝320，P(X＝5)＝C11C24C36＝310，P(X＝6)＝C11C25C36＝12，所以随机变量X的分布列为(2)X的取值不小于P(X≥4)＝P(X＝4)＋P(X＝5)＋P(X＝6)＝320＋310＋12＝1920.注：求离散型随机变量分布列的一般步骤：(1)确定X的所有可能取值x i(i＝1,2，…)以及每个取值所表示的意义；(2)利用概率的相关知识，求出每个取值相应的概率P(X＝x i)＝p i(i＝1,2，…)；(3)写出分布列；(4)根据分布列的性质对结果进行检验．2．一袋中装有5个球，编号分别为1,2,3,4,5.在袋中同时取3个球，以X表示取出3个球中的最小号码，写出随机变量X的分布列．解：随机变量X的可能取值为1,2,3.当X＝1时，即取出的3个球中最小号码为1，则其他2个球只能在编号为2,3,4,5的4个球中取，故有P(X＝1)＝C24C35＝610＝35；当X＝2时，即取出的3个球中最小号码为2，则其他2个球只能在编号为3,4,5的3个球中取，故有P(X＝2)＝C23C35＝310；当X＝3时，即取出的3个球中最小号码为3，则其他2个球只能是编号为4,5的2个球，故有P (X ＝3)＝C 22C 35＝110.因此，X 的分布列为3．若随机变量X则当P (X <a ) A ．(－∞，2] B ．[1,2] C ．(1,2] D ．(1,2)解析：选C 随机变量X 的分布列，知P (X <－1)＝0.1，P (X <0)＝0.3，P (X <1)＝0.5，P (X <2)＝0.8，则当P (X <a )＝0.8时，实数a 的取值范围是(1,2]．故选C.4．若随机变量X 的分布列如下表所示，则a 2＋b 2的最小值为( )A.124B.116C.18D.14解析：选C 由分布列性质可知a ＋b ＝12，而a 2＋b 2≥(a ＋b )22＝18.故选C. 5．已知随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝a (11－2k )，k ＝1,2,3,4,5，其中a 为常数，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<ξ<235＝( )A.35B.1325C.45D.825解析：选D 由a (9＋7＋5＋3＋1)＝1可得a ＝125，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<ξ<235＝P (ξ＝3)＋P (ξ＝4)＝525＋325＝825，故选D.6．已知随机变量X 所有可能取值的集合为{－2,0,3,5}，且P (X ＝－2)＝14，P (X ＝3)＝12，P (X ＝5)＝112，则P (X ＝0)的值为( )A ．0 B.14 C.16 D.18解析：选C 由分布列的性质可知，P (X ＝0)＝1－P (X ＝－2)－P (X ＝3)－P (X ＝5)＝16. 7．已知随机变量ξ的分布列为设η＝ξ2－2ξ解析：由题意，可知P (η＝3)＝P (ξ＝－1)＋P (ξ＝3)＝14＋112＝13. 答案：13二、离散型随机变量分布列的性质1．设随机变量X 的分布列为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝k 5＝ak (k ＝1,2,3,4,5)．(1)求常数a 的值； (2)求P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ≥35；(3)求P ⎝ ⎛⎭⎪⎫110＜X ＜710.解： 题目所给随机变量X 的分布列为(1)由a ＋2a ＋3a 得a ＝115.(2)法一：P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ≥35＝P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝35＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝45＋P (X ＝1)＝15＋415＋13＝45.法二：P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ≥35＝1－P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ≤25＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫115＋215＝45.(3)因为110＜X ＜710，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫110＜X ＜710＝P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝15＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝25＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝35＝115＋215＋15＝25.注：(1)利用离散型随机变量的分布列的两个性质可以求与概率有关的参数的取值或范围，还可以检验所求分布列是否正确．(2)一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．2．设X 是一个离散型随机变量，其分布列为：(1)求q 的值；(2)求P (X ＜0)，P (X ≤0)的值． 解：(1)由分布列的性质得 ⎩⎪⎨⎪⎧1－2q ≥0，q 2≥0，12＋(1－2q )＋q 2＝1，解得q ＝1－22.(2)P (X ＜0)＝P (X ＝－1)＝12；P (X ≤0)＝P (X ＝－1)＋P (X ＝0)＝12＋1－2⎝⎛⎭⎪⎫1－22＝2－12.三、两点分布及超几何分布1．在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X 的分布列； (2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张， ①求顾客乙中奖的概率；②设顾客乙获得的奖品总价值为Y 元，求Y 的分布列．解： (1)从10张奖券中任意抽取1张，只有中奖与不中奖两种情况，X 的取值只有1和0，故属于两点分布．(2)从10张奖券中任意抽取2张，属于超几何分布．(1)抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X 的取值只有0和1两种情况．P (X ＝1)＝C 14C 110＝410＝25，则P (X ＝0)＝1－P (X ＝1)＝1－25＝35. 因此X 的分布列为(2)2张奖券中有1张中奖或2张都中奖．故所求概率P ＝C 14C 16＋C 24C 06C 210＝3045＝23.②Y 的所有可能取值为0,10,20,50,60，且P (Y ＝0)＝C 04C 26C 210＝1545＝13，P (Y ＝10)＝C 13C 16C 210＝1845＝25，P (Y ＝20)＝C 23C 06C 210＝345＝115，P (Y ＝50)＝C 11C 16C 210＝645＝215，P (Y ＝60)＝C 11C 13C 210＝345＝115，因此随机变量Y 的分布列为注：(1)由于在两点分布中，只有两个对立结果，求出其中的一个概率，便可求出另一个概率．(2)可用超几何分布解决的题目涉及的背景多数是生活、生产实践中的问题，如产品中的正品和次品，盒中的白球和黑球，同学中的男生和女生等，往往由差异明显的两部分组成．2．某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列．解：(1)由题意知，参加集训的男生、女生各有6人．代表队中的学生全从B中学抽取的概率为C33C34C36C36＝1100，因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－1100＝99100.(2)根据题意，X的所有可能取值为1,2,3.P(X＝1)＝C13C33C46＝15，P(X＝2)＝C23C23C46＝35，P(X＝3)＝C33C13C46＝15.所以X的分布列为3ξ去描述1次试验的成功次数，则P(ξ＝0)等于()A．0 B.12 C.13 D.23解析：选C设失败率为p，则成功率为2p，ξ的分布列为即“ξ＝0”表示试验失败，“ξ＝1”表示试验成功，由p＋2p＝1，得p＝1 3，所以P (ξ＝0)＝13.故选C.4．已知10名同学中有a 名女生，若从这10名同学中随机抽取2名作为学生代表，恰好抽到1名女生的概率是1645，则a ＝( )A ．1B ．2或8C ．2D ．8解析：选B 设抽取的女生人数为X ，则X 服从超几何分布，P (X ＝1)＝C 1a C 110－aC 210＝a (10－a )45＝1645，解得a ＝2或a ＝8，故选B.5．生产方提供一批50箱的产品，其中有2箱不合格产品．采购方接收该批产品的准则是：从该批产品中任取5箱产品进行检测，若至多有1箱不合格产品，便接收该批产品，则该批产品被接收的概率为________．解析：以50箱为一批产品，从中随机抽取5箱，用X 表示“5箱中不合格产品的箱数”，则X 服从参数为N ＝50，M ＝2，n ＝5的超几何分布，这批产品被接收的条件是5箱中没有不合格的或只有1箱不合格的，所以被接收的概率为P (X ≤1)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝C 02C 548C 550＋C 12C 448C 550＝243245.故该批产品被接收的概率是243245.答案：2432456．在8个大小相同的球中，有2个黑球，6个白球，现从中取3个球，求取出的球中白球个数X 的分布列．解：X 的可能取值是1,2,3，P (X ＝1)＝C 16·C 22C 38＝328；P (X ＝2)＝C 26·C 12C 38＝1528；P (X ＝3)＝C 36·C 02C 38＝514.故X 的分布列为7.老师要从102篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求：(1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列； (2)他能及格的概率．解：(1)设抽到他能背诵的课文的数量为X ，则X 的所有可能取值为0,1,2,3.P (X ＝0)＝C 06C 34C 310＝130，P (X ＝1)＝C 16C 24C 310＝310，P (X ＝2)＝C 26C 14C 310＝12，P (X ＝3)＝C 36C 04C 310＝16.所以X 的分布列为(2)他能及格的概率为P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝12＋16＝23.巩固练习：1．设随机变量X 等可能地取值为1,2,3,4，…，10.又设随机变量Y ＝2X －1，则P (Y ＜10)的值为( )A ．0.3B ．0.5C ．0.1D ．0.2解析：选B Y ＜10，即2X －1＜10，解得X ＜5.5，即X ＝1,2,3,4,5，所以P (Y ＜10)＝0.5.2．离散型随机变量X 的分布列中部分数据丢失，丢失数据以“x ”“y ”(x ，y ∈N )代替，其表如下：则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＜X ＜113等于( )A ．0.25B ．0.35C ．0.45D ．0.55解析：选B 根据分布列的性质可知，随机变量的所有取值的概率和为1，得x ＝2，y ＝5.故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＜X ＜113＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝0.35.3．一个盒子里装有大小相同的黑球10个，红球12个，白球4个，从中任取2个，其中白球的个数记为X ，则下列概率中等于C 122C 14＋C 222C 226的是( )A ．P (0<X ≤2)B ．P (X ≤1)C ．P (X ＝2)D ．P (X ＝1)解析：选B 由已知，得X 的所有可能取值为0,1,2.P (X ＝0)＝C 222C 226，P (X ＝1)＝C 122C 14C 226，P (X ＝2)＝C 24C 226，∴P (X ≤1)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝C 122C 14＋C 222C 226.4．设随机变量X 的分布如下表，则P (|X －3|＝1)＝( )A.712B.512C.14D.16解析：选B 因为|X －3|＝1，所以X ＝2或X ＝4，所以P (|X －3|＝1)＝P (X ＝2)＋P (X ＝4)＝1－13－14＝512.5．设X 是一个离散型随机变量，其分布列为则q ＝________.解析：由离散型随机变量分布列的性质，可知⎩⎪⎨⎪⎧12＋(1－2q )＋q 2＝1，0≤1－2q ≤1，0≤q 2≤1，故q＝1－22.答案：1－226．袋中有4个红球3个黑球，从袋中任取4个球，取到1个红球得1分，取到1个黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P (ξ≤6)＝________.解析：取出的4个球红球个数可能为4,3,2,1，黑球相应个数为0,1,2,3，其分值为ξ＝4,6,8,10分．P (ξ≤6)＝P (ξ＝4)＋P (ξ＝6)＝C 44C 03C 47＋C 34C 13C 47＝1335.答案：13 357．某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图，其中成绩分组区间是：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．(1)求图中x的值；(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为ξ，求ξ的分布列．解：(1)由(0.006×3＋0.01＋0.054＋x)×10＝1，解得x＝0.018.(2)分数在[80,90)，[90,100]的人数分别是50×0.018×10＝9(人)，50×0.006×10＝3(人)．所以ξ的可能取值为0,1,2，其服从参数为N＝12，M＝3，n＝2的超几何分布．则P(ξ＝0)＝C03C29C212＝3666＝611，P(ξ＝1)＝C13C19C212＝2766＝922，P(ξ＝2)＝C23C09C212＝366＝122.所以随机变量ξ的分布列为ξ01 2P 6119221228．某班50名同学参加智力答题活动，每人回答3个问题，答对题目的个数及对应的人数如下表：答对题目的个数012 3人数5102015(1)从50名同学中任取2名，求答对题目的个数之和为4或5的概率；(2)从50名同学中任选2名，设随机变量ξ为这2名同学答对题目的个数之差的绝对值，求ξ的分布列．解：(1)记“从50名同学中任选2名，答对题目的个数之和为4或5”为事件A，从50名同学中任选2名，基本事件总数为C250，事件A所包含的基本事件分为三类：第一类，从答对1个问题及答对3个问题的同学中各选1人，共有C110C115种选法；第二类，从答对2个问题及答对3个问题的同学中各选1人，共有C120C115种选法；第三类，从答对2个问题的同学中选2人，共有C220种选法．由古典概型的概率计算公式，可得P(A)＝C110C115＋C120C115＋C220C250＝128245.(2)ξ的所有可能取值0,1,2,3.P(ξ＝0)＝C25＋C210＋C220＋C215C250＝27，P(ξ＝1)＝C15C110＋C110C120＋C120C115C250＝2249，P(ξ＝2)＝C15C120＋C110C115C250＝1049，P(ξ＝3)＝C15C115C250＝349.所以ξ的分布列为。
2020年新高考数题型详解：8.1离散型随机变量及分布列(学生版)人教选修
8.1离散型随机变量及分布列题型一概念辨析【例1】(1)（2019·林芝市第二高级中学高二期末（理））先后抛掷一枚质地均匀的骰子5次,那么不能作为随机变量的是 ()A．出现7点的次数B．出现偶数点的次数C．出现2点的次数D．出现的点数大于2小于6的次数(2)（2020·全国高三专题练习）袋中有3个白球、5个黑球,从中任取2个,可以作为离散型随机变量的是（）A．至少取到1个白球B．至多取到1个白球C．取到白球的个数D．取到的球的个数(3)（2017·湖北省松滋市第一中学高二课时练习）从标1～10的10支竹签中任取2支,设所得2支竹签上的数字之和为ξ,那么随机变量ξ可能取的值有（）A．17个B．18个C．19个D．20个【举一反三】1．（2018·海林市朝鲜族中学高二课时练习）10件产品中有3件次品,从中任取2件,可作为随机变量的是（）A．取到产品的件数B．取到正品的概率C．取到次品的件数D．取到次品的概率2．（2019·江西南昌二中高二期末）下列随机试验的结果,不能用离散型随机变量表示的是( )A．将一枚均匀正方体骰子掷两次,所得点数之和B．某篮球运动员6次罚球中投进的球数C．电视机的使用寿命D．从含有3件次品的50件产品中,任取2件,其中抽到次品的件数3.写出下列随机变量可能取的值,并说明这些值所表示的随机试验的结果．(1)袋中有大小相同的红球10个,白球5个,从袋中每次任取1个球,取后不放回,直到取出的球是白球为止,所需要的取球次数；(2)一个袋中装有8个红球,3个白球,从中任取5个球,其中所含白球的个数为X.题型二两点分布【例2】袋中有红球10个,白球5个,从中摸出2个球,如果只关心摸出两个红球的情形,问如何定义随机变量X,才能使X满足两点分布,并求分布列．【举一反三】1.已知一批100件的待出厂产品中,有1件不合格品,现从中任意抽取2件进行检查,若用随机变量X表示抽取的2件产品中的次品数,求X的分布列．题型三超几何分布【例3】（2020·浙江高三专题练习）袋中装有10个除颜色外完全一样的黑球和白球,已知从袋中任意摸出2个球,至少得到1个白球的概率是79.（1）求白球的个数；（2）从袋中任意摸出3个球,记得到白球的个数为X,求随机变量X的分布列. 【举一反三】1.（2020·浙江高三专题练习）四川省阆中中学某部根据运动场地的影响,但为尽大可能让学生都参与到运动会中来,在2018春季运动会中设置了五个项目,其中属于跑步类的两项,分别是200米和400米,另外三项分别为跳绳、跳远、跳高.学校要求每位学生必须参加,且只参加其中一项,学校780名同学参加各运动项目人数统计如下条形图：其中参加跑步类的人数所占频率为713,为了了解学生身体健康与参加运动项目之间的关系,用分层抽样的方法从这780名学生中抽取13人进行分析．（1）求条形图中m和n的值以及抽取的13人中参加200米的学生人数；（2）现从抽取的参加400米和跳绳两个项目中随机抽取4人,记其中参加400米跑的学生人数为X,求离散型随机变量X的分布列．题型四 分布列性质【例4-1】（2020·浙江高三专题练习）设随机变量X 的概率分布列为则()31P X -==（ ）A ．712B ．16C ．14D ．512【例4-2】（2020·浙江高三专题练习）已知离散型随机变量X 的概率分布列如下：则实数c 等于( ) A ．0.5B ．0.24C ．0.1D ．0.76【例4-3】（2020·浙江高三专题练习）已知离散型随机变量X 的分布列如图,则常数c 为（ ）A ．3B ．3C ．13或23D ．14【举一反三】1．（2020·浙江高三专题练习）若离散型随机变量X 的分布列如下,则a =__________.2．（2020·浙江高三专题练习）设随机变量X 的分布列1()2kP X k a ⎛⎫== ⎪⎝⎭（其中123k =，，）,则a =___． 3．（2020·浙江高三专题练习）邮局工作人员整理邮件,从一个信箱中任取一封信,记一封信的质量为X (单位：克),如果()100.3P X <=,()10300.4P X ≤≤=,那么()30P X >等于_________. 4．（2020·全国高三专题练习）随机变量X 的概率分布列规律为()(1,2,3,4),(1)aP X n n n n ===+其中a为常数,则15()22P X <<的值为 （ ）. A ．23B ．34C ．45D ．561．（2019·宁夏银川一中高二期中（理））袋中有大小相同的5只钢球,分别标有1,2,3,4,5五个号码,有放回地依次取出2个球,设两个球号码之和为随机变量X ,则X 所有可能值的个数是（ ） A ．25B ．10C ．9D ．52．（2018·海林市朝鲜族中学高三课时练习）先后抛掷一枚质地均匀的骰子5次,那么不能作为随机变量的是 ( )A ．出现2点的次数B ．出现偶数点的次数C ．出现7点的次数D ．出现的点数大于2小于6的次数3．（2020·浙江高三专题练习）袋中有大小相同的红球6个,白球5个,从袋中每次任意取出一个球,直到取出的球是白色为止,所需要的取球次数为随机变量X ,则X 的可能取值为( ) A ．1,2,…,6 B ．1,2,…,7 C ．1,2,…,11 D ．1,2,3…4．（2019·江苏高二期末（理））引入随机变量后,下列说法正确的有：__________（填写出所有正确的序号）.①随机事件个数与随机变量一一对应； ②随机变量与自然数一一对应； ③随机变量的取值是实数.5．（2020·浙江高三专题练习）随机变量ξ服从两点分布,且P(ξ=1)=0.8,η=3ξ-2,则P(η=-2)=_________. 6．（2011·江苏高二期中（理））在01-分布中,设()103P X ==,则()E X =______. 7．（2020·全国高三专题练习）随机变量X 的分布列如下：其中a,b,c成等差数列,则P(|X|＝1)＝________,公差d的取值范围是________.8．（2017·湖北省松滋市第一中学高二课时练习）甲、乙两队员进行乒乓球单打比赛,规定采用“七局四胜制”．用ξ表示需要比赛的局数,写出“ξ＝6”时表示的试验结果．9．（2017·湖北省松滋市第一中学高二课时练习）写出下列随机变量可能取的值,并说明随机变量取值所表示的随机试验的结果．(1)在10件产品中有2件是次品,8件是正品,任取三件,取到正品的个数ξ；(2)在10件产品中有2件次品,8件正品,每次取一件,取后不放回,直到取到两件次品为止,抽取的次数ξ；(3)在10件产品中有8件正品,2件次品,每次取一件,取后放回,直到取到两件次品为止,抽取的次数ξ；(4)在10件产品中有8件正品,2件次品,每次取一件,取后放回,共取5次,取到正品的件数ξ.10．（2020·浙江高三专题练习）在10件产品中,有3件一等品,4件二等品,3件三等品．从这10件产品中任取3件．求：（1）取出的3件产品中一等品件数X的分布列；（2）取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．11．（2020·浙江高三专题练习）在心理学研究中,常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响,具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示,另一组接受乙种心理暗示,通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,从中随机抽取5人接受甲种心理暗示,另5人接受乙种心理暗示.(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数,求X的分布列.12．（2020·全国高三专题练习）某项大型赛事,需要从高校选拔青年志愿者,某大学学生实践中心积极参与,从8名学生会干部(其中男生5名,女生3名)中选3名参加志愿者服务活动.若所选3名学生中的女生人数为X,求X的分布列.13．（2020·天津高三期末）每年的12月4日为我国“法制宣传日”.天津市某高中团委在2019年12月4日开展了以“学法、遵法、守法”为主题的学习活动.已知该学校高一、高二、高三的学生人数分别是480人、360人、360人.为检查该学校组织学生学习的效果,现采用分层抽样的方法从该校全体学生中选取10名学生进行问卷测试.具体要求：每位被选中的学生要从10个有关法律、法规的问题中随机抽出4个问题进行作答,所抽取的4个问题全部答对的学生将在全校给予表彰.⑴求各个年级应选取的学生人数；⑵若从被选取的10名学生中任选3人,求这3名学生分别来自三个年级的概率；⑶若被选取的10人中的某学生能答对10道题中的7道题,另外3道题回答不对,记X表示该名学生答对问题的个数,求随机变量X的分布列及数学期望.14．（2019·辽宁高二期末（理））某高校在2018年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩,折合成标准分后,最高分是10分．按成绩共分成五组：第一组[0,2）,第二组[2,4）,第三组[4,6）,第四组[6,8）,第五组[8,10）,得到的频率分布直方图如图所示：（1）分别求第三,四,五组的频率；（2）该学校在第三,四,五组中用分层抽样的方法抽取6名同学．①已知甲同学和乙同学均在第三组,求甲、乙同时被选中的概率②若在这6名同学中随机抽取2名,设第4组中有X名同学,求X的分布列和数学期望．15．（2019·四川高三（理））某校为提高课堂教学效果,最近立项了市级课题《高效课堂教学模式及其运用》,其中王老师是该课题的主研人之一,为获得第一手数据,她分别在甲、乙两个平行班采用“传统教学”和“高效课堂”两种不同的教学模式进行教学实验.为了解教改实效,期中考试后,分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计,作出如图所示的茎叶图,成绩大于70分为“成绩优良”.（1）由以上统计数据填写下面22⨯列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”？（2）从甲、乙两班40个样本中,成绩在60分以下（不含60分）的学生中任意选取2人,记来自甲班的人数为X,求X的分布列.附：()()()()()22n da bcKa cb d a bc d-=++++（其中n a b c d=+++）。
高考数学复习考点知识与结论专题讲解61 随机变量分布列、期望与方差
高考数学复习考点知识与结论专题讲解 第61讲 随机变量分布列随机变量分布列、、期望与方差【知识通关】通关一、离散型随机变量分布离散型随机变量分布列列1. 离散型随机变量的分布列的表示一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为12,,,n x x x ，X 取每一个值()12,,,i x n 的概率12,i i P X x p i n === （）,,，则下表称为随机变量X 的概率分布列，简称为x 的分布列.X 1x 2x i x n x P1p2pi pn p为了简单起见，也可以用等式12,i i P X x p i n === （）,,，表示X 的分布列. 2. 离散型随机变量的分布列的性质根据概率的性质，离散型随机变量的分布列具有如下性质： （1）012,,,i P i n ≥= ，； （2）121i n p p p p +++++= ；（3）1i j i i j Px x x P P P +≤≤=+++ （）（*,i j i j N <∈且）. 通关二通关二、、离散型随机变量的均值与方差1. 期望与方差的表示一般地，若离散型随水变量X 的概率分布列为：则称1122i i n n E X x P x P x p x p =+++++ （）为随机变量X 的均值或数学期望，它反映了高散型随机变量取值的平均水平；称()21ni i i D x x E X p = =− ∑（）为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X与其均值E （Xx 的标准差. 2. 均值的性质若y aX b =+，其中a b ，是常数，X 是随机变量，则均值的性质：（1）Ek k =（）（k 为常效）； （2）EaX b aB X b +=+（）（）； （3）1212E X X E X E X +=+（）（）（）； （4）若12,X X 相互独立，则1212·E X X E X E X ⋅=（）（）（）. 3. 方差的性质（1）0Dk =（）（k 为常数）； （2）2D aX b a D X +=（）（）；（3）22[]D X E X E X =−（）（）（）.X 1x 2x i x n x P1p2pi pn p通关三通关三、、正态分布曲缆及特点我们把画数224()(),(,)k n nn x x ϕ−−−==−∞+∞（其中u 是样本均值，σ是样本标准差）的图像称为正态分布密度曲线，简称正态曲线.（1）曲线位手x 轴上方，与x 轴不相交； （2）曲线是单峰的，它关于直线x µ=对称；（3）曲线在x µ=（4）曲线与x 轴之间的面积为1；（5）当σ一定时，曲线的位置由u 确定，曲线随着u 的变化而沿x 轴平移；（6）当u 一定时，曲线的形状由σ确定；σ越小，曲线越“瘦”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散. 【结论第讲】结论一结论一、、求解离散型随机变量X 的分布到的步的分布到的步骤骤1. 理解X 的意义，写出X 可能取的全部值；2. 求X 取每个值的概率；3. 写出X 的分布列；4. 根据分布列的性质对结果进行检验.【例1】甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都投球3次时投篮结束. 设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，且各次投篮互不影响，（1）求甲获胜的概率；（2）求投篮结束时甲的投球次数ξ的分布列.【解析】设,k k A B 分别表示“甲、乙在第k 次投篮投中”，则()()()1112233,,,,k k P A P B k ===.（1）记“甲获胜”为事件C ，由互斥事件与相互独立事件的概率计算公式知1112112231122111()()()()()()()()()()()P C P A P A B A P A B A B A P A P A P B P A P A P B P A =++=++32221211211111133323323392727()()()().P B P A +×+=++==××× （2）ξ的所有可能取值为1，2，3且111121213323()()()P P A P A B ξ×==+=+=；1222221112921121232332()()()(( =)P P A B A P A B A B ξ+==+=×××11223()()P P A B A B ξ==22211329()(×==, 综上ξ的分布列为：【变式】在一个选拔项目中，每个选手都需要进行4轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰. 已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为2，4，2，且各轮问题能否正确回答互不影响.（1）求该选手进人第三轮才被淘汰的概率； （2）求该选手至多进人第三轮考核的概率；（3）该选手在选拔过程中回答过的问题的个数记为X ，求随机变量X 的分布列.【解析】设事件i A （1234i =，，，）表示“该选手能正确回答第i 轮问题”，由已知234154316543(),(),(),()P A P A P A P A ==== （1）设事件B 表示“该选手进入第三轮被淘汰”，则123123543116546()()()()()()P B P A A A P A P A P A ===××−= （2）设事件C 表示“该选手至多进入第三轮考核”，则112123112123P ( C ) = P ( ++ )=P ( )+P ()+P ( )A A A A A A A A A A A A 1515431665654()××=++×−12=（3）x 的可能取值为1，2，3，4.1231211541541213665665()();()()();()(P X P A P X P A A P X A P A A =======×−===×12331553114466442(;()()P X P A A A −===×=××=所以，x 的分布列为：结论二结论二、、期望与方差的一般计算步骤1. 理解X 的意义，写出X 的所有可能取的值；2. 求X 取各个值的概率，写出分布列；3. 根据分布列，正确运用期望与方差的定义或公式进行计算.【例2】某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完. 根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关. 如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：最高气温 [10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30， 35） [35，40）天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率，（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X （单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y （单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n （单位：瓶）为多少时，Y 的数学期望达到最大值？【解析】（1）由题意知X 的可能取值为200，300，500，P （X=200）=2160290.+=36257430004500049090().,().P X P X ++====== 所以X 的分布列为：X 200 300 500 P0. 20. 40. 4（2）由题意知这种酸奶一天的需求量至多为500瓶，至少为200瓶，所以只需考虑200≤n ≤500. 当300≤n ≤500时，若最高气温不低于25，则Y=6n -4n =2n ；若最高气温位于区间[20，25），则Y=6×300+2（n -300）-4n =1200-2n ； 若最高气温低于20，则Y=6×200+2(n -200）-4n =800-2n ； 所以F(Y ）=2n ×0. 4+(1200-2n )×0. 4+(800-2n )×0. 2=640-0. 4n . 当200≤n ≤300时，若最高气温不低于20，则Y=6n-4n=2n ； 若最高气温低于20，则Y=6×200+2（m -200）-4n =800-2n ；所以E(Y ）=2n×(0. 4+0. 4)+(800-2m )×0. 2=160+1. 2n .综上，当n=300时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为520元【变式】为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛，竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签的方式决定出场顺序，通过预赛，选拔出甲、乙等五支队伍参加决赛.（1）求决赛中甲乙两支队伍恰好排在前两位的概率；（2）若决赛中甲队和乙队之间间隔的队伍数记为X ，求X 的分布列和数学期望.【解析】（1）设事件A 为“甲乙排在前两位”，则232355110()()A A n A P A n Q A ⋅===（）. （2）X 的可能取值为0,1,2,3，则232323235555432301510();(),A A A A P X P X A A ⋅⋅⋅⋅======23332323555211123510();()A A A B P X P X A A ⋅⋅⋅⋅======. 所以x 的分布列为：结论三结论三、、二项分布一般地，在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，则事件A 恰好发生次的概率为1k k n k n P X k C p p −==−（）（）"，k=0，1，2…，n ，则称随机变量X 服从二项分布，记作x ~B （n ，p ）.X1nP001nn C p p −（） 1111n n C p p −−（）1n n n C p p −（）要点诠释：1E X np D X np p ==−（），（）（）. 【例】3为保护水资源，宣传节约用水，某校4. 名志愿者准备去附近的甲、乙、两三个公园进行宣传活动，每名志愿者都可以从三个公园中随机选择一个，且每人的选择相互独立.（1）求4人恰好选择了同一个公园的概率；（2）设选择甲公园的志愿者的人数为X ，试求X 的分布列及期望.【解析】（1）设“4人恰好选择了同一个公园”为事件A. 每名志愿者都有3种选择，4名志愿者的选择共有3’种等可能的情况，事件A 所包含的等可能事件的个数为3，所以431273P A ==（）,故4人恰好选择了同一个公园的概率为127（2）设“一名志愿者选择甲公园”为事件C ，则13P C =（）. 4人中选择甲公园的人数X 可看作4次独立重复试验中事件C 发生的次数. 因此，随机变量X 服从二项分布X 可取的值为0，1，2，3，4.4141233()()()i i P X i C −==，i=0，1，2，3，4.X 的分布列为：X 的期望为14433()E X np ==×=【变式】一家面包房根据以往某种将日销售量落入各组的频率视为概（1）求在未来连续3天里，有的概率；（2）用X 表示在未来3天里日方差D(X ）.【解析】（1）设1A 表示事件“日销件“在未来连续3天里，有连续2天的1000600040002...P A =++（）（）2000350015..P A P =×==（），（（2）X 的可能取值为0，1131061.P X C ==−（）（）（3333060216..P X C ===（）（）. 随机变量X 的分布列为：X P往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直视为概率，并假设每天的销售量相互独立.里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量x 的分布日销售量不低于100个”，2A 表示事件“日销售量低于天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低5006.×=，060601520108....B ×××=）.1，2，3，相应的概率为：03010P X C ==−（）（222130602882061060432.....P X C ===−=）；（）（）（）0 1 2 30064. 0288. 0432. 0216.分布直方图，如图所示. 天的日销售量低于50个的分布列、期望E(X ）及量低于50个”，B 表示事售量低于50个”，因此360064..=）； ；因为X~B （3，0. 6），所以期望30618..E X np ==×=（），方1306106072...D X p p =−=××−=（）（）（）.结论四结论四、、超几何分布一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有x 件次品，则012,,,,,,k n kN NMM nC P X k k m C C −−==== （）其中min{,},m M n =且*,,,,n N M N n M N N ≤≤∈. 要点诠释：21()()(),()()nM nM N M N n E X D X N N N −−==− 【例】4某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4. 现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.（1）设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率；（2）设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望.【解析】（1）由已知得11234321013C C C P C ⋅+==,所以事件A 发生的概率为13. （2）随机变量X 的所有可能取值为0，1，2.222111111334333434222101010474012151515 ();();()C C C C C C C C C P X P X P X C C C +++========= 所以，随机变量x 的分布列为：随机变量X 的数学期望4740121151515()E X =×+×+×=.【变式】为了提高我市的教育教学水平，市教育局打算从红塔区某学校推荐的10名教师中任选3人去参加支教活动. 这10名教师中，语文教师3人，数学教师4人，英语教师3人.（1）求选出的语文教师人数多于数学教师人数的概率； （2）求选出的3人中，语文教师人数X 的分布列和数学期望.【解析】设事件i A 为“3人中有i 名语文教师”，j B 为“3人中有j 名数学教师”，事件A 为“语文教师人数多于数学教师人数”，所以3213412213333310021333331010101099121120C C C C C C C P A P A B P A B P A B P A C C C C ++++++==+++=（）（）（₂）（）（）31120=. （2）语文教师人数X 可取的值为0，1，2，3，依题意可得x~H （10，3，3），所以2217713331301310031211356301212020120,(),(),C C C P C C C C X P X P X C =========（）3331031201()C P X C ===. 所以X 的分布列为：所以356321*********12012012010()E X =×+×+×+×=.结论五结论五、、利用期望与方差进行决策若我们希望实际的平均水平较理想时，一般先求随机变量12,ξξ的期望，若12()()E E ξξ=时，则用12(),()D D ξξ来比较这两个随机变量的偏离程度. 若1()E ξ与2()E ξ比较接近，且期望较大者的方差校小，显然该变量更好；若1()E ξ与2()E ξ比较接近且方差相差不大时，应根据不同选择给出不同的结论，是选择较理想的平均水平还是选择较稳定.【例5】改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变. 近年来，移动支付已成为主要支付方式之一为了解某校学生上个月A ，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中，A ，B 两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A 和仅使用B 的学生的支付金额分布情况如下；支付方式支付金额（元）（0，1000]（1000，2000]大于2000 仅使用A |18人 9人 3人 仅使用B10人14人1人（1）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A ，B 两种支付方式都使用的概率； （2）从样本仅使用A 和仅使用B 的学生中各随机抽取1人，以X 表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X 的分布列和数学期望；（3）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化. 现从样本仅使用A 的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元. 根据抽查结果，能否认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由.【解析】（1）由题意得：从全校所有学生中随机抽取的100人中，A ，B 两种支付方式都不使用的有5人，仅使用A 的有30人，仅使用B 的有25人，所以A ，B 两种支付方式都使用的人数有：100-5-30-25=40. 从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A ，B 两种支付方式都使用的概率4004100.p ==.（2）从样本仅使用A 和仅使用B 的学生中各随机抽取1人，以X 表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，则X 的可能取值为0，1，2. 样本仅使用A 的学生有30人，其中支付金额在（0，1000]的有l8人，超过1000元的有12人，样本仅使用B 的学生有25人，其中支付金额在（0. 1000]的有10人，超过1000元的有15人.所以1810180618151239013013025750253025307525;();P X P X ××+========（）121518023025750256()P X ====×. 所以x 的分布列为：数学期望61360121252525()E X =×+×+×=.（3）不能认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化，理由如下：样本中仅使用A 的学生有30人，其中27人月支付金额不大于2000元，有3人月支付金额大于2000元，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元的概率为3333014060C p C ==,虽然概率较小，但发生的可能性为14060,故不能认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化.。
2020年高考数学复习题：离散型随机变量的期望、方差、正态分布
离散型随机变量的期望、方差、正态分布[基础训练]1．已知随机变量X 服从正态分布N (3，σ2)，且P (X <5)＝0.8，则P (1<X <3)＝ ( )A ．0.6B ．0.4C ．0.3D ．0.2答案：C 解析：由正态曲线的对称性可知，P (X <3)＝P (X >3)＝0.5， 故P (X >1)＝P (X <5)＝0.8， 所以P (X ≤1)＝1－P (X >1)＝0.2，P (1<X <3)＝P (X <3)－P (X ≤1)＝0.5－0.2＝0.3.2．有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，若X 表示取到次品的个数，则E (X )＝( )A.35B.815C.1415 D ．1答案：A 解析：离散型随机变量X 服从N ＝10，M ＝3，n ＝2的超几何分布，E (X )＝nM N ＝2×310＝35.3．某班有14名学生数学成绩优秀，如果从该班随机找出5名学生，其中数学成绩优秀的学生数X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，14，则E (2X ＋1)＝( )A.54 B.52 C ．3D.72答案：D 解析：因为X ～B ⎝⎛⎭⎪⎫5，14，所以E (X )＝54， 所以E (2X ＋1)＝2E (X )＋1＝2×54＋1＝72.4．[2019山东淄博一模]设每天从甲地去乙地的旅客人数为随机变量X ，且X ～N (800,502)，则一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为( )(参考数据：若X ～N (μ，σ2)，有P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954 4，P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.997 4)A ．0.977 2B ．0.682 6C ．0.997 4D ．0.954 4答案：A 解析：P (X ≤900)＝P (X ≤700)＋P (700<X ≤900)＝12×(1－0.954 4)＋0.954 4＝0.977 2.5．已知离散型随机变量X 的分布列为则E (X )A.23 B.43 C ．2 D.83答案：C 解析：由13＋2－3q3＋q 2＝1，得 3q 2－3q ＝0，解得q ＝33或q ＝0(舍去)，故X 的分布列为E (X )＝1×13＋2×13＋3×3＝2.6．[2019新乡模拟]某人从家乘车到单位，途中有3个交通岗亭，假设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人上班途中遇红灯的次数的数学期望为 ( )A ．0.4B ．1.2C ．0.43D ．0.6答案：B 解析：因为途中遇到红灯的次数X 服从二项分布，即X ～B (3,0.4)，所以E (X )＝3×0.4＝1.2.7．[2019安徽合肥第一次教学质量检测]已知5件产品中有2件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品，记检测的次数为ξ，则E (ξ)＝( )A ．3 B.72 C.185D ．4答案：B 解析：由题意知，ξ的所有可能取值为2,3,4， 若将5件产品看作两类相同的元素(3个相同的白球，2个相同的黑球)，则P (ξ＝2)＝C 22C 25＝110，P (ξ＝3)＝C 33＋C 12C 25＝310，P (ξ＝4)＝C 13C 12C 25＝35，∴E (ξ)＝2×110＋3×310＋4×35＝72. 故选B.8．[2019山东济南期末]在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N (0，σ2)，若ξ在(－∞，－1)内取值的概率为0.1，则ξ在(0,1)内取值的概率为 ( )A ．0.8B ．0.4C ．0.2D ．0.1答案：B 解析：∵ξ服从正态分布N (0，σ2)，∴曲线的对称轴是直线x ＝0. ∵P (ξ<－1)＝0.1，∴P (ξ>1)＝0.1，∴ξ在(0,1)内取值的概率为0.5－0.1＝0.4，故选B.9．[2019江西高安中学等3月联考]在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N (－1,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )附：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<X <μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<X <μ＋2σ)＝0.954 4.A ．1 193B ．1 359C ．2 718D ．3 413答案：B 解析：对于正态分布N (－1,1)可知，μ＝－1，σ＝1， 正态曲线关于直线x ＝－1对称， 故题图中阴影部分的面积为 12×[P (－3<X <1)－P (－2<X <0)]＝12×[P (μ－2σ<X <μ＋2σ)－P (μ－σ<X <μ＋σ)] ＝12×(0.954 4－0.682 6) ＝0.135 9，所以点落入题图中阴影部分的概率 P ＝0.135 91＝0.135 9，投入10 000个点，落入阴影部分的个数约为10 000×0.135 9＝1 359.故选B.10．一射击测试每人射击三次，每击中目标一次记10分，没有击中记0分．某人每次击中目标的概率为23，则此人得分的均值与方差分别为________．答案：20，2003 解析：记此人三次射击击中目标X 次，得分为Y分，则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，23，Y ＝10X ，∴E (Y )＝10E (X )＝10×3×23＝20， D (Y )＝100D (X )＝100×3×23×13＝2003.11．[2019中山模拟]已知随机变量X 服从二项分布B (n ，p )．若E (X )＝30，D (X )＝20，则p ＝________.答案：13 解析：由于X ～B (n ，p )，且E (X )＝30，D (X )＝20，所以⎩⎪⎨⎪⎧np ＝30，np (1－p )＝20，解得p ＝13.[强化训练]1．某射击运动员在一次射击比赛中所得环数X 的分布列如下：已知X A ．1.38 B ．1.41 C ．1.42D ．1.56答案：B 解析：由题意知，x ＋0.1＋0.3＋y ＝1， 又E (X )＝3x ＋4×0.1＋5×0.3＋6y ＝4.3， 两式联立解得x ＝0.4，y ＝0.2.所以D (X )＝(3－4.3)2×0.4＋(4－4.3)2×0.1＋(5－ 4．3)2×0.3＋(6－4.3)2×0.2 ＝0.676＋0.009＋0.147＋0.578 ＝1.41.2．[2019福州模拟]甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数X 的期望E (X )为( )A.24181B.26681C.27481D.670243答案：B 解析：依题意知，X 的所有可能值为2,4,6，设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝59.若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分， 此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响． 从而有P (X ＝2)＝59， P (X ＝4)＝49×59＝2081，P (X ＝6)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫492＝1681，故E (X )＝2×59＋4×2081＋6×1681＝26681.3.[2019安徽合肥一模]已知某公司生产的一种产品的质量X (单位：克)服从正态分布N (100,4)，现从该产品的生产线上随机抽取10 000件产品，其中质量在[98,104]内的产品估计有( )(附：若X 服从N (μ，σ2)，则P (μ－σ<X <μ＋σ) ＝0.682 7，P (μ－2σ<X <μ＋2σ)＝0.954 5)A ．4 093件B ．4 772件C ．6 827件D ．8 186件答案：D 解析：由题意可得，该正态分布的对称轴为x ＝100，且σ＝2，则质量在[96,104]内的产品的概率为P (μ－2σ<X <μ＋2σ)＝0.954 5，而质量在[98,102]内的产品的概率为P (μ－σ<X <μ＋σ)＝0.682 7.结合对称性可知，质量在[98,104]内的产品的概率为0．682 7＋0.954 5－0.682 72＝0.818 6. 据此估计质量在[98,104]内的产品的数量为 10 000×0.818 6＝8 186(件)．4．[2019河北石家庄一模]设X ～N (1，σ2)，其正态分布密度曲线如图所示，且P (X ≥3)＝0.022 8，那么向正方形OABC 中随机投掷20 000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为( )附：随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)，则P (μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.954 4.A ．12 076B ．13 174C ．14 056D ．7 539答案：B 解析：由题意，得 P (X ≤－1)＝P (X ≥3)＝0.022 8.∴P (－1<X <3)＝1－0.022 8×2＝0.954 4. ∵P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.954 4， ∴1－2σ＝－1，故σ＝1，∴P (0<X <1)＝12P (0<X <2)＝0.341 3，故估计落入阴影部分的点的个数为20 000×(1－0.341 3)＝13 174.故选B.5．[2019吉林长春质检]据统计，某城市的火车站春运期间日接送旅客人数X (单位：万)服从正态分布X ～N (6,0.82)，则日接送人数在6万到6.8万之间的概率为(P (|X －μ|<σ)＝0.682 6，P (|X －μ|<2σ)＝0.954 4，P (|X －μ|<3σ)＝0.997 4)( )A ．0.682 6B ．0.954 4C ．0.997 4D ．0.341 3答案：D 解析：因为μ＝6，σ＝0.8， 所以P (6<X <6.8)＝P (5.2<X <6.8)2＝0.682 62 ＝0.341 3. 故选D.6．[2019河南洛阳联考]已知随机变量X ～B (2，p )，Y ～N (2，σ2)，若P (X ≥1)＝0.64，P (0<Y <2)＝p ，则P (Y >4)＝________.答案：0.1 解析：因为随机变量X ～B (2，p )，Y ～N (2，σ2)，P (X ≥1)＝0.64，所以P (X ≥1)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝C 12p (1－p )＋C 22p 2＝0.64，解得p ＝0.4或p ＝1.6(舍去)， 所以P (0<Y <2)＝p ＝0.4， P (Y >4)＝12×(1－0.4×2)＝0.1.7．[2019湖北鄂南高中期末]设随机变量X 的概率分布列为则P (|X －3|＝1)＝答案：512 解析：由13＋m ＋14＋16＝1， 解得m ＝14，P (|X －3|＝3)＝P (X ＝2)＋P (X ＝4)＝14＋16＝512.8．为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：①顾客所获的奖励额为60元的概率； ②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或由标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励总额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．解：(1)设顾客所获的奖励额为X .①依题意，得P (X ＝60)＝C 11C 13C 24＝12.即顾客所获的奖励额为60元的概率为12. ②依题意，得X 的所有可能取值为20,60. P (X ＝60)＝12，P (X ＝20)＝C 23C 24＝12，故X 的分布列为E (X )＝20×12＋60×12＝40(元)．(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元． 所以，先寻找期望为60元的可能方案．对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10,10,10,50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；如果选择(50,50,50,10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10,10,50,50)，记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40)，记为方案2.以下是对两个方案的分析：对于方案1，即方案(10,10,50,50)，设顾客所获的奖励额为X 1，则X 1的分布列为X 1的期望为E (X 1)＝20×16＋60×23＋100×16＝60，X 1的方差为D (X 1)＝(20－60)2×16＋(60－60)2×23＋(100－60)2×16＝1 6003.对于方案2，即方案(20,20,40,40)，设顾客所获的奖励额为X 2，则X 2的分布列为X 2的期望为E (X 2)＝40×6＋60×3＋80×16＝60，X 2的方差为D (X 2)＝(40－60)2×16＋(60－60)2×23＋(80－60)2×16＝4003.由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.。
2020版高考数学大一轮精准复习精练---离散型随机变量及其分布列、均值与方差Word版含解析
2020版高考数学大一轮精准复习精练11.2 离散型随机变量及其分布列、均值与方差挖命题【考情探究】分析解读 1.会求简单的离散型随机变量的分布列,理解超几何分布的概念.2.理解数学期望与方差的概念,熟练掌握期望与方差的求解方法.3.分布列、期望及方差均为高考的必考内容.本节在高考中一般以解答题的形式出现,分值约为13分,属于中高档题.破考点【考点集训】考点一离散型随机变量及其分布列1.(2015重庆,17,13分)端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有10个粽子,其中豆沙粽2个,肉粽3个,白粽5个,这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取3个.(1)求三种粽子各取到1个的概率;(2)设X表示取到的豆沙粽个数,求X的分布列与数学期望.解析(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”,则由古典概型的概率计算公式有P(A)==.(2)X的所有可能值为0,1,2,且P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==.综上知,X的分布列为故E(X)=0×+1×+2×=(个).2.春节期间,受烟花爆竹集中燃放的影响,我国多数城市空气中PM2.5浓度快速上升,特别是在大气扩散条件不利的情况下,空气质量在短时间内会迅速恶化.2017年除夕18时和初一2时,国家环保部门对8个城市空气中PM2.5浓度监测的数据如下表(单位:微克/立方米):(1)求这8个城市除夕18时空气中PM2.5浓度的平均值;(2)环保部门发现:除夕18时到初一2时空气中PM2.5浓度上升不超过100的城市都是“禁止燃放烟花爆竹”的城市,浓度上升超过100的城市都未禁止燃放烟花爆竹.从以上8个城市中随机选取3个城市组织专家进行调研,记选到“禁止燃放烟花爆竹”的城市个数为X,求随机变量X的分布列和数学期望.解析(1)8个城市除夕18时空气中PM2.5浓度的平均值为=70微克/立方米.(2)8个城市中“禁止燃放烟花爆竹”的有太原,上海,南京,杭州4个城市,随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,则P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==.所以X的分布列为X的数学期望EX=0×+1×+2×+3×==.考点二离散型随机变量的均值与方差3.已知离散型随机变量X的分布列为则X的数学期望E(X)=( )A. B.2 C. D.3答案A4.(2014浙江,12,4分)随机变量ξ的取值为0,1,2.若P(ξ=0)=,E(ξ)=1,则D(ξ)= .答案炼技法【方法集训】方法1离散型随机变量分布列的求法1.某次有600人参加的数学测试,其成绩的频数分布表如下,规定85分及其以上为优秀.(1)现用分层抽样的方法从这600人中抽取20人进行成绩分析,求其中成绩为优秀的学生人数;(2)在(1)中抽取的20名学生中,要随机选取2名学生参加活动,记“其中成绩为优秀的人数”为X,求X的分布列与数学期望.解析(1)设其中成绩为优秀的学生人数为x,则=,解得x=15.所以其中成绩为优秀的学生人数为15.(2)依题意,随机变量X所有可能的取值为0,1,2.P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==.所以X的分布列为所以数学期望E(X)=0×+1×+2×=.2.(2015福建,16,13分)某银行规定,一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误,该银行卡将被锁定.小王到该银行取钱时,发现自己忘记了银行卡的密码,但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一,小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确,则结束尝试;否则继续尝试,直至该银行卡被锁定.(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率;(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X,求X的分布列和数学期望.解析(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A,则P(A)=××=.(2)依题意得,X所有可能的取值是1,2,3.P(X=1)=,P(X=2)=×=,P(X=3)=××1=,所以X的分布列为所以E(X)=1×+2×+3×=.方法2求离散型随机变量ξ的期望与方差的方法3.(2018浙江,7,4分)设0<p<1,随机变量ξ的分布列是则当p在(0,1)内增大时,( )A.D(ξ)减小B.D(ξ)增大C.D(ξ)先减小后增大D.D(ξ)先增大后减小答案D4.(2014重庆,18,13分)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片,其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片.(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率;(2)X表示所取3张卡片上的数字的中位数,求X的分布列与数学期望.(注:若三个数a,b,c 满足a≤b≤c,则称b为这三个数的中位数)解析(1)由古典概型的概率计算公式知所求概率为P==.(2)X的所有可能值为1,2,3,且P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==,故X的分布列为从而E(X)=1×+2×+3×=.评析本题考查概率的计算,随机变量的分布列及数学期望.其中概率的计算要求较高,不过整体难度不大,属中等偏易题.过专题【五年高考】A组自主命题·天津卷题组1.(2018天津,16,13分)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查.(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.(i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X的分布列与数学期望;(ii)设A为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件A发生的概率.解析本题主要考查随机抽样、离散型随机变量的分布列与数学期望、互斥事件的概率加法公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.(1)由已知,甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2,由于采用分层抽样的方法从中抽取7人,因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人,2人,2人.(2)(i)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X=k)=(k=0,1,2,3).所以,随机变量X的分布列为随机变量X的数学期望E(X)=0×+1×+2×+3×=.(ii)设事件B为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有1人,睡眠不足的员工有2人”;事件C为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有2人,睡眠不足的员工有1人”,则A=B∪C,且B与C互斥.由(i)知,P(B)=P(X=2),P(C)=P(X=1),故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=.所以,事件A发生的概率为.导师点睛超几何分布描述的是不放回抽样问题,随机变量为抽到某类个体的个数.超几何分布的特点:(1)考察对象分两类;(2)已知各类对象的个数;(3)从中抽取若干个个体,考察某类个体个数X的概率分布.超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型,其实质是古典概型.2.(2017天津,16,13分)从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为,,.(1)记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量X的分布列和数学期望;(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地,求这2辆车共遇到1个红灯的概率.解析本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望,事件的相互独立性,互斥事件的概率加法公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.(1)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X=0)=××=,P(X=1)=×1-×1-+1-××1-+××=,P(X=2)=××+××+××=,P(X=3)=××=.所以,随机变量X的分布列为随机变量X的数学期望E(X)=0×+1×+2×+3×=.(2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数,Z表示第二辆车遇到红灯的个数,则所求事件的概率为P(Y+Z=1)=P(Y=0,Z=1)+P(Y=1,Z=0)=P(Y=0)P(Z=1)+P(Y=1)P(Z=0)=×+×=.所以,这2辆车共遇到1个红灯的概率为.技巧点拨解决随机变量分布列问题的关键是正确求出随机变量可以取哪些值以及取各个值时对应的概率,只有正确理解随机变量取值的意义才能解决这个问题.3.(2016天津,16,13分)某小组共10人,利用假期参加义工活动,已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”,求事件A发生的概率;(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量X的分布列和数学期望.解析(1)由已知,有P(A)==.所以,事件A发生的概率为.(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==.所以,随机变量X的分布列为随机变量X的数学期望E(X)=0×+1×+2×=1.4.(2015天津,16,13分)为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名,其中种子选手2名;乙协会的运动员5名,其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手,且这2名种子选手来自同一个协会”,求事件A发生的概率;(2)设X为选出的4人中种子选手的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.解析(1)由已知,有P(A)==.所以,事件A发生的概率为.(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.P(X=k)=(k=1,2,3,4).所以,随机变量X的分布列为随机变量X的数学期望E(X)=1×+2×+3×+4×=.评析本题主要考查古典概型及其概率计算公式,离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.属中等难度题.5.(2014天津,16,13分)某大学志愿者协会有6名男同学,4名女同学.在这10名同学中,3名同学来自数学学院,其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同).(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率;(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.解析(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A,则P(A)==.所以选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率为.(2)随机变量X的所有可能值为0,1,2,3.P(X=k)=(k=0,1,2,3).所以随机变量X的分布列是随机变量X的数学期望E(X)=0×+1×+2×+3×=.B组统一命题、省(区、市)卷题组考点一离散型随机变量及其分布列1.(2017课标Ⅲ,18,12分)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:瓶)的分布列;(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元).当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位:瓶)为多少时,Y的数学期望达到最大值?解析本题考查随机变量的分布列,数学期望.(1)由题意知,X所有可能取值为200,300,500,由表格数据知P(X=200)==0.2,P(X=300)==0.4,P(X=500)==0.4.因此X的分布列为(2)由题意知,这种酸奶一天的需求量至多为500瓶,至少为200瓶,因此只需考虑200≤n≤500.当300≤n≤500时,若最高气温不低于25,则Y=6n-4n=2n;若最高气温位于区间[20,25),则Y=6×300+2(n-300)-4n=1200-2n;若最高气温低于20,则Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n.因此EY=2n×0.4+(1200-2n)×0.4+(800-2n)×0.2=640-0.4n.当200≤n<300时,若最高气温不低于20,则Y=6n-4n=2n;若最高气温低于20,则Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n.因此EY=2n×(0.4+0.4)+(800-2n)×0.2=160+1.2n.所以n=300时,Y的数学期望达到最大值,最大值为520元.名师点拨求离散型随机变量的分布列、均值与方差需过四关:①“题目的理解关”.要抓住题中关键字句,尽可能转化为自己熟悉的模型.②“随机变量的取值关”.准确无误地找出随机变量的所有可能取值.③“事件的类型关”.概率问题中的事件涉及等可能事件、互斥事件、对立事件、相互独立事件等,在计算相应的概率前要先确定事件的类型.④“概率的运算关”.运用公式P(A)=,P(A+B)=P(A)+P(B),P(A·B)=P(A)·P(B),P(ξ=k)=p k(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n)时,要注意准确无误.2.(2017山东,18,12分)在心理学研究中,常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响,具体方法如下:将参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示,另一组接受乙种心理暗示,通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,从中随机抽取5人接受甲种心理暗示,另5人接受乙种心理暗示.(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率;(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数,求X的分布列与数学期望EX.解析本题考查离散型随机变量的分布列,期望.(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M,则P(M)==.(2)由题意知X可取的值为0,1,2,3,4,则P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==,P(X=4)==.因此X的分布列为X的数学期望是EX=0×P(X=0)+1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)+4×P(X=4)=0+1×+2×+3×+4×=2.解后反思(1)求离散型随机变量X的分布列的步骤:①理解X的含义,写出X所有可能的取值;②求X取每个值时的概率;③写出X的分布列.(2)求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量取各个值时对应的概率,在求解时,要注意应用计数原理、古典概型概率公式等知识.3.(2014陕西,19,12分)在一块耕地上种植一种作物,每季种植成本为1000元,此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性,且互不影响,其具体情况如下表:(1)设X表示在这块地上种植1季此作物的利润,求X的分布列;(2)若在这块地上连续3季种植此作物,求这3季中至少有2季的利润不少于．．．2000元的概率.解析(1)设A表示事件“作物产量为300kg”,B表示事件“作物市场价格为6元/kg”,由题设知P(A)=0.5,P(B)=0.4,∵利润=产量×市场价格-成本,∴X所有可能的取值为500×10-1000=4000,500×6-1000=2000,300×10-1000=2000,300×6-1000=800.P(X=4000)=P()P()=(1-0.5)×(1-0.4)=0.3,P(X=2000)=P()P(B)+P(A)P()=(1-0.5)×0.4+0.5×(1-0.4)=0.5,P(X=800)=P(A)P(B)=0.5×0.4=0.2,所以X的分布列为(2)设C i表示事件“第i季利润不少于2000元”(i=1,2,3),由题意知C1,C2,C3相互独立,由(1)知,P(C i)=P(X=4000)+P(X=2000)=0.3+0.5=0.8(i=1,2,3),3季的利润均不少于2000元的概率为P(C1C2C3)=P(C1)P(C2)P(C3)=0.83=0.512;3季中有2季利润不少于2000元的概率为P(C2C3)+P(C1C3)+P(C1C2)=3×0.82×0.2=0.384,所以,这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为0.512+0.384=0.896.评析本题考查了离散型随机变量的分布列,相互独立事件,二项分布等知识;考查应用意识,分类讨论的意识、运算求解的能力.考点二离散型随机变量的均值与方差1.(2017浙江,8,4分)已知随机变量ξi满足P(ξi=1)=p i,P(ξi=0)=1-p i,i=1,2.若0<p1<p2<,则( )A.E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2)B.E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)C.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2)D.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)答案A2.(2018课标Ⅰ,20,12分)某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p(0<p<1),且各件产品是不是不合格品相互独立.(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大值点p0;(2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以(1)中确定的p0作为p的值.已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.(i)若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求EX; (ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验?解析(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)=p2(1-p)18.因此f'(p)=[2p(1-p)18-18p2(1-p)17]=2p(1-p)17(1-10p).令f'(p)=0,得p=0.1,当p∈(0,0.1)时,f'(p)>0;当p∈(0.1,1)时,f'(p)<0.所以f(p)的最大值点为p0=0.1.(2)由(1)知,p=0.1,(i)令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数,依题意知Y~B(180,0.1),X=20×2+25Y,即X=40+25Y,所以EX=E(40+25Y)=40+25EY=490.(ii)如果对余下的产品作检验,则这一箱产品所需要的检验费为400元.由于EX>400,故应该对余下的产品作检验.3.(2015湖南,18,12分)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中,各随机摸出1个球.在摸出的2个球中,若都是红球,则获一等奖;若只有1个红球,则获二等奖;若没有红球,则不获奖.(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率;(2)若某顾客有3次抽奖机会,记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X,求X的分布列和数学期望.解析(1)记事件A1={从甲箱中摸出的1个球是红球},A2={从乙箱中摸出的1个球是红球},B1={顾客抽奖1次获一等奖},B2={顾客抽奖1次获二等奖},C={顾客抽奖1次能获奖}.由题意,得A1与A2相互独立,A1与A2互斥,B1与B2互斥,且B1=A1A2,B2=A1+A2,C=B1+B2.因为P(A1)==,P(A2)==,所以P(B1)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)=×=,P(B2)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=P(A1)P()+P()P(A2)=P(A1)[1-P(A2)]+[1-P(A1)]P(A2)=×+×=.故所求概率为P(C)=P(B1+B2)=P(B1)+P(B2)=+=.(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验,由(1)知,顾客抽奖1次获一等奖的概率为,所以X~B.于是P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==.故X的分布列为X的数学期望为E(X)=3×=.C组教师专用题组考点一离散型随机变量及其分布列1.(2013课标Ⅰ,19,12分)一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中优质品的件数记为n.如果n=3,再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果n=4,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50%,即取出的每件产品是优质品的概率都为,且各件产品是不是优质品相互独立.(1)求这批产品通过检验的概率;(2)已知每件产品的检验费用为100元,且抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位:元),求X的分布列及数学期望.解析(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1,第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2,第二次取出的4件产品都是优质品为事件B1,第二次取出的1件产品是优质品为事件B2,这批产品通过检验为事件A,依题意有A=(A1B1)∪(A2B2),且A1B1与A2B2互斥,所以P(A)=P(A1B1)+P(A2B2)=P(A1)P(B1|A1)+P(A2)P(B2|A2)=×+×=.(2)X可能的取值为400,500,800,并且P(X=400)=1--=,P(X=500)=,P(X=800)=.所以X的分布列为EX=400×+500×+800×=506.25.思路分析(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1,第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2,第二次取出的4件全是优质品为事件B1,第二次取出的1件是优质品为事件B2,这批产品通过检验为事件A,依题意有A=(A1B1)∪(A2B2)且A1B1与A2B2互斥,进而求解.(2)X可能的取值为400,500,800,分别求其对应的概率,进而可得分布列、期望.2.(2013课标Ⅱ,19,12分)经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1t该产品获利润500元,未售出的产品,每1t亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如下图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品,以X(单位:t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量,T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.(1)将T表示为X的函数;(2)根据直方图估计利润T不少于57000元的概率;(3)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若需求量X∈[100,110),则取X=105,且X=105的概率等于需求量落入[100,110)的频率),求T的数学期望.解析(1)当X∈[100,130)时,T=500X-300(130-X)=800X-39000,当X∈[130,150]时,T=500×130=65000.所以T=(2)由(1)知利润T不少于57000元当且仅当120≤X≤150.由直方图知需求量X∈[120,150]的频率为0.7,所以下一个销售季度内的利润T不少于57 000元的概率的估计值为0.7.(3)依题意可得T的分布列为所以ET=45000×0.1+53000×0.2+61000×0.3+65000×0.4=59400.思路分析(1)经分段讨论(分X∈[100,130)和X∈[130,150])得函数解析式.(2)先求出利润T不少于57000元时X的范围,然后根据直方图得到概率的估计值.(3)T可能的取值是45000,53000,61000,65000,由此结合题意列出分布列,进而得期望. 3.(2013山东,19,12分)甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜3局者获得比赛的胜利,比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是外,其余每局比赛甲队获胜的概率都是.假设各局比赛结果相互独立.(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率;(2)若比赛结果为3∶0或3∶1,则胜利方得3分、对方得0分;若比赛结果为3∶2,则胜利方得2分、对方得1分.求乙队得分X的分布列及数学期望.解析(1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A1,“甲队以3∶1胜利”为事件A2,“甲队以3∶2胜利”为事件A3,由题意,各局比赛结果相互独立,故P(A1)==,P(A2)=×=,P(A3)=×=.所以,甲队以3∶0胜利、以3∶1胜利的概率都为,以3∶2胜利的概率为.(2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A4,由题意,各局比赛结果相互独立,所以P(A4)=××=.由题意,随机变量X的所有可能的取值为0,1,2,3.P(X=0)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=.又P(X=1)=P(A3)=,P(X=2)=P(A4)=,P(X=3)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)=,故X的分布列为所以EX=0×+1×+2×+3×=.4.(2013陕西,19,12分)在一场娱乐晚会上,有5位民间歌手(1至5号)登台演唱,由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手,其中观众甲是1号歌手的歌迷,他必选1号,不选2号,另在3至5号中随机选2名.观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱,因此在1至5号中随机选3名歌手.(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率;(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,求X的分布列及数学期望.解析(1)设A表示事件“观众甲选中3号歌手”,B表示事件“观众乙选中3号歌手”,则P(A)==,P(B)==.∵事件A与B相互独立,∴观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为P(A)=P(A)·P()=P(A)·[1-P(B)]=×=.(2)设C表示事件“观众丙选中3号歌手”,则P(C)==,∵X可能的取值为0,1,2,3,且取这些值的概率分别为P(X=0)=P()=××=,P(X=1)=P(A)+P(B)+P(C)=××+××+××=,P(X=2)=P(AB)+P(A C)+P(BC)=××+××+××=,P(X=3)=P(ABC)=××=,∴X的分布列为∴X的数学期望EX=0×+1×+2×+3×==.考点二离散型随机变量的均值与方差1.(2014浙江,9,5分)已知甲盒中仅有1个球且为红球,乙盒中有m个红球和n个蓝球(m≥3,n≥3),从乙盒中随机抽取i(i=1,2)个球放入甲盒中.(a)放入i个球后,甲盒中含有红球的个数记为ξi(i=1,2);(b)放入i个球后,从甲盒中取1个球是红球的概率记为p i(i=1,2).则( )A.p1>p2,E(ξ1)<E(ξ2)B.p1<p2,E(ξ1)>E(ξ2)C.p1>p2,E(ξ1)>E(ξ2)D.p1<p2,E(ξ1)<E(ξ2)答案A2.(2017江苏,23,10分)已知一个口袋中有m个白球,n个黑球(m,n∈N*,n≥2),这些球除颜色外完全相同.现将口袋中的球随机地逐个取出,并放入如图所示的编号为1,2,3,…,m+n的抽屉内,其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉(k=1,2,3,…,m+n).(1)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率P;(2)随机变量X表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数,E(X)是X的数学期望,证明:E(X)<.解析本小题主要考查古典概率、随机变量及其分布、数学期望等基础知识,考查组合数及其性质,考查运算求解能力和推理论证能力.(1)编号为2的抽屉内放的是黑球的概率P==.(2)随机变量X的概率分布为随机变量X的期望为E(X)=·=·.所以E(X)<==(1+++…+)=(+++…+)=(++…+)=…=(+)==,即E(X)<.3.(2013浙江,19,14分)设袋子中装有a个红球,b个黄球,c个蓝球,且规定:取出一个红球得1分,取出一个黄球得2分,取出一个蓝球得3分.(1)当a=3,b=2,c=1时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2个球,记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和,求ξ的分布列;(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球,记随机变量η为取出此球所得分数.若Eη=,Dη=,求a∶b∶c.解析(1)由题意得ξ=2,3,4,5,6.P(ξ=2)==,P(ξ=3)==,P(ξ=4)==,P(ξ=5)==,P(ξ=6)==.所以ξ的分布列为(2)由题意知η的分布列为所以E(η)=++=,D(η)=·+·+·=,化简得解得a=3c,b=2c,故a∶b∶c=3∶2∶1.4.(2014福建,18,13分)为回馈顾客,某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励,规定:每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球,球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元,其余3个均为10元,求:(i)顾客所获的奖励额为60元的概率;(ii)顾客所获的奖励额的分布列及数学期望;(2)商场对奖励总额的预算是60000元,并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成,或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡,请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计,并说明理由.解析(1)设顾客所获的奖励额为X元.(i)依题意,得P(X=60)==,即顾客所获的奖励额为60元的概率为.(ii)依题意,得X的所有可能取值为20,60.P(X=60)=,P(X=20)==,即X的分布列为所以顾客所获的奖励额的期望为E(X)=20×0.5+60×0.5=40(元).(2)根据商场的预算,每个顾客的平均奖励额为60元.所以,先寻找期望为60元的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况,如果选择(10,10,10,50)的方案,因为60元是面值之和的最大值,所以期望不可能为60元;如果选择(50,50,50,10)的方案,因为60元是面值之和的最小值,所以期望也不可能为60元,因此可能的方案是(10,10,50,50),记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况,同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案,所以可能的方案是(20,20,40,40),记为方案2.以下是对两个方案的分析:对于方案1,即方案(10,10,50,50),设顾客所获的奖励额为X1元,则X1的分布列为。
2020届高考数学(理)一轮必刷题 专题62 离散型随机变量均值与方差、正态分布(解析版)
考点62 离散型随机变量均值与方差、正态分布1．（广东省潮州市2019届高三第二次模拟考试数学理）一试验田某种作物一株生长果个数x 服从正态分布()290,N σ，且()700.2P x <=，从试验田中随机抽取10株，果实个数在[]90,110的株数记作随机变量X ，且X 服从二项分布，则X 的方差为（ ）A ．3B ．2.1C ．0.3D ．0.21【答案】B 【解析】∵290(),x N δ～，且()700.2P x <=，所以()1100.2P x >=∴()901100.50.20.3P x <<=-=， ∴()10,0.3X B ～，X 的方差为()100.310.3 2.1⨯⨯-=．故选B ．2．（湖北省钟祥市2019届高三高考第一次模拟考试理）某班有50名学生，一次数学考试的成绩ξ服从正态分布N （105，102），已知P （95≤ξ≤105）=0.32，估计该班学生数学成绩在115分以上的人数为（ ）A ．10B ．9C ．8D ．7【答案】B 【解析】∵考试的成绩ξ服从正态分布N （105，102）． ∴考试的成绩ξ关于ξ=105对称， ∵P （95≤ξ≤105）=0.32， ∴P （ξ≥115）=12（1-0.64）=0.18， ∴该班数学成绩在115分以上的人数为0.18×50=9 故选：B ．3．（辽宁省丹东市2019届高三总复习质量测试理）某种种子每粒发芽的概率都为0.85，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望()E X =_______． 【答案】300【解析】设没有发芽的种子数为Y ,则有2X Y =,由题意可知Y 服从二项分布，即Y(1000,0.15)B ,()10000.15150E Y =⨯=,()2()300E X E Y ==.4．（河北省石家庄市2019届高三毕业班模拟考试一A 卷理）已知随机变量X 服从正态分布()2,1N ，若()()223P X a P X a ≤-=≥+，则a =__________．【答案】1 【解析】由正态分布的性质可得正态分布的图像对称轴为2X =， 结合题意有：()()2232,12a a a -++=⇒=.故答案为：1．5．（湖南省益阳市2019届高三4月模拟考试数学理）某市高三年级26000名学生参加了2019年3月模拟考试，已知数学考试成绩2(100,)XN σ.统计结果显示数学考试成绩X 在80分到120分之间的人数约为总人数的34，则数学成绩不低于120分的学生人数约为__________． 【答案】3250 【解析】因为成绩()2100,X N σ~，所以正态分布曲线关于100X =对称，又成绩在80分到120分之间的人数约占总人数的34，由对称性知：成绩不低于120分的学生约为总人数的1311248⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭，所以此次考试成绩不低于120分的学生约有12600032508⨯=.6．（2019届湘赣十四校高三联考第二次考试理）我国2019年新年贺岁大片《流浪地球》自上映以来引发了社会的广泛关注，受到了观众的普遍好评.假设男性观众认为《流浪地球》好看的概率为23，女性观众认为《流浪地球》好看的概率为12.某机构就《流浪地球》是否好看的问题随机采访了4名观众（其中2男2女）. （1）求这4名观众中女性认为好看的人数比男性认为好看的人数多的概率；（2）设ξ表示这4名观众中认为《流浪地球》好看的人数，求ξ的分布列与数学期望. 【答案】（1）736（2）见解析【解析】设X 表示2名女性观众中认为好看的人数，Y 表示2名男性观众中认为好看的人数， 则12,2X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，22,3Y B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭. （1）设事件A 表示“这4名观众中女性认为好看的人数比男性认为好看的人数多”，则()()()()2,12,01,0P A P X Y P X Y P X Y ===+==+==,222212022221211123323C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 21022111722336C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. （2）ξ的可能取值为0，1，2，3，4，()()00,0P P X Y ξ==== 2200221112336C C ⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()()()11,00,1P P X Y P X Y ξ====+==，= 2210012222111121223233C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅+⋅ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭16=， ()()()()22,01,10,2P P X Y P X Y P X Y ξ====+==+==,2220112222111121232233C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 22022*********C C ⎛⎫⎛⎫+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()()()31,22,1P P X Y P X Y ξ====+==,2212212222112*********C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭13=， ()()42,2P P X Y ξ==== 222222121239C C ⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴ξ的分布列为∴11131170123436636393E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 7．（天津市耀华中学2019届高三第一次模拟考试数学理）在盒子里有大小相同，仅颜色不同的乒乓球共10个，其中红球4个，白球3个，蓝球3个。
2020年高考数学(理)复习【离散型随机变量的分布列、期望、方差】小题精练卷附答案解析
2020年高考数学（理）复习【离散型随机变量的分布列、期望、方差】小题精练卷刷题增分练○38一、选择题1．[2019·虎林月考]随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝ck (k ＋1)，c 为常数，k ＝1,2,3,4，则P 12<X <52的值为()A.45B.56C.23D.34答案：B解析：由已知，c 2＋c 6＋c 12＋c 20＝1，解得c ＝54，∴P 12<X <52＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝c 2＋c 6＝56.2．[2019·浙江宁波模拟]口袋中有5个形状和大小完全相同的小球，编号分别为0,1,2,3,4，从中任取3个球，用ξ表示取出的球的最小号码，则E (ξ)＝()A ．0.45B ．0.5C ．0.55D ．0.6答案：B解析：ξ的所有可能取值为0,1,2，P (ξ＝0)＝C 24C 35＝35，P (ξ＝1)＝C 23C 35＝310，P (ξ＝2)＝1C 35＝110，∴E (ξ)＝0×35＋1×310＋2×110＝12.3．[2019·大庆模拟]已知ξ～B 4，13，并且η＝2ξ＋3，则方差D (η)＝()A.329B.89C.439D.599答案：A解析：由题意知，D (ξ)＝4×13×1－13＝89，∵η＝2ξ＋3，∴D (η)＝4D (ξ)＝4×89＝329.4．已知随机变量ξ的分布列为ξ－112Px1316y若E (ξ)＝13，则D (ξ)＝()A ．1 B.119 C.23D ．2答案：B解析：∵E (ξ)＝13，∴由随机变量ξ的分布列知，x ＋13＋16＋y ＝1，－x ＋16＋2y ＝13，∴x ＝518，y ＝29，则D (ξ)＝－1－132×518＋0－132×13＋1－132×16＋2－132×29＝119.5．[2019·西安质检]已知5件产品中有2件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为ξ，则E (ξ)＝()A ．3 B.72C.185D ．4答案：C解析：由题意知ξ的可能取值为2,3,4，P (ξ＝2)＝25×14＝110，P (ξ＝3)＝25×34＋35×24×13＝15，P (ξ＝4)＝1－P (ξ＝2)－P (ξ＝3)＝1－110－15＝710，∴E (ξ)＝2×110＋3×15＋4×710＝185.故选C.6．[2019·四川凉山州诊断]设袋中有两个红球一个黑球，除颜色不同，其他均相同，现有放回地抽取，每次抽取一个，记下颜色后放回袋中，连续摸三次，X 表示三次中红球被摸中的次数，每个小球被抽取的几率相同，每次抽取相对独立，则方差D (X )＝()A ．2B ．1C.23D.34答案：C解析：每次取球时，取到红球的概率为23、黑球的概率为13，所以取出红球的概率服从二项分布，即X ～B 3，23，所以D (X )＝3×23×1－23＝23，故选C.7．[2019·潍坊统考]某篮球队对队员进行考核，规则是：①每人进行3个轮次的投篮；②每个轮次每人投篮2次，若至少投中1次，则本轮通过，否则不通过．已知队员甲投篮1次投中的概率为23，如果甲各次投篮投中与否互不影响，那么甲3个轮次通过的次数X 的期望是()A ．3 B.83C ．2 D.53答案：B解析：每个轮次甲不能通过的概率为13×13＝19，通过的概率为1－19＝89，因为甲3个轮次通过的次数X 服从二项分布B 3，89，所以X 的数学期望为3×89＝83.8．已知0<a <12，随机变量ξ的分布列如下：ξ－202Pa12－a 12当a 增大时，则()A ．E (ξ)增大，D (ξ)增大B ．E (ξ)减小，D (ξ)增大C ．E (ξ)增大，D (ξ)减小D ．E (ξ)减小，D (ξ)减小答案：B解析：由题意知，E (ξ)＝－2×a ＋0×12－a ＋2×12＝1－2a ，D (ξ)＝(2a －3)2×a ＋(2a －1)2×12－a ＋(1＋2a )2×12＝－4a 2＋8a ＋1＝－4(a －1)2＋5.因为0<a <12，所以当a 增大时，E (ξ)减小，D (ξ)增大.故选B.二、非选择题9．给出下列四个随机变量：①高速公路上某收费站一小时内经过的车辆数X 1；②一个沿直线y ＝x 进行随机运动的质点，它在该直线上的位置X 2；③某城市在一天内发生的火警次数X 3；④某市一天内的气温X 4.其中是离散型随机变量的是________(写出所有满足条件的序号)．答案：①③解析：①中经过的车辆数和③中火警次数都能列举出来，而②④中的随机变量的取值都不能一一列举出来，所以①③中的随机变量是离散型随机变量．10．设ξ是离散型随机变量，P (ξ＝x 1)＝23，P (ξ＝x 2)＝13，且x 1<x 2，若E (ξ)＝43，D (ξ)＝29，则x 1＋x 2的值为________．答案：3解析：∵E (ξ)＝43，D (ξ)＝29，P (ξ＝x 1)＝23，P (ξ＝x 2)＝13，∴23×x 1＋13×x 2＝43①，x 1－432×23＋x 2－432×13＝29②，由①②可得x 1＝1，x 2＝2，则x 1＋x 2＝3.11．已知随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝ak ，其中k ＝1,2,3,4,5,6，则a ＝________，E (ξ)＝________.答案：204912049解析：根据题意可知P (ξ＝1)＝a 1，P (ξ＝2)＝a 2，P (ξ＝3)＝a 3，P (ξ＝4)＝a 4，P (ξ＝5)＝a 5，P (ξ＝6)＝a6，∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝1，∴a ＝2049，E (ξ)＝6a ＝12049.12．[2019·河北邯郸质检]随机掷一枚质地均匀的骰子，记向上的点数为m ，已知向量AB →＝(m,1)，BC→＝(2－m ，－4)，设X ＝AB →·AC →，则X 的数学期望E (X )＝________.答案：4解析：∵AC →＝AB →＋BC →＝(2，－3)，∴X ＝AB →·AC →＝2m －3，∴X 的分布列为X －113579P161616161616∴E (X )＝16×(－1＋1＋3＋5＋7＋9)＝4.刷题课时增分练○38一、选择题1．设随机变量X 等可能取值1,2,3，…，n ，如果P (X <4)＝0.3，那么()A ．n ＝6B ．n ＝4C ．n ＝10D ．n ＝9答案：C解析：由题意知，P (X <4)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝1n ＋1n ＋1n ＝3n＝0.3，故n ＝10.2．[2019·合肥模拟]已知袋中有3个白球，2个红球，现从中随机取出3个球，其中每个白球计1分，每个红球计2分，记X 为取出3个球的总分值，则E (X )＝()A.185B.215C ．4D.245答案：B解析：由题意知，X 的所有可能取值为3,4,5，且P (X ＝3)＝C 33C 35＝110，P (X ＝4)＝C 23·C 12C 35＝35，P (X ＝5)＝C 13·C 22C 35＝310，所以E (X )＝3×110＋4×35＋5×310＝215.3．[2019·浙江嘉兴一中质检]随机变量X 的分布列如下表，且E (X )＝2，则D (2X －3)＝()X 02a P16p13A.2B ．3C ．4D ．5答案：C解析：p ＝1－16－13＝12，E (X )＝0×16＋2×12＋a ×13＝2⇒a ＝3，所以D (X )＝(0－2)2×16＋(2－2)2×12＋(3－2)2×13＝1，所以D (2X －3)＝22D (X )＝4，故选C.4．[2019·福建省高中毕业班质量检测]已知5台机器中有2台存在故障，现需要通过逐台检测直至区分出2台故障机器为止．若检测一台机器的费用为1000元，则所需检测费的均值为()A ．3200元B ．3400元C ．3500元D ．3600元答案：C解析：通解设被检测机器的台数为X ，则X 的所有可能取值为2,3,4.因为P (X ＝2)＝A 22A 25＝110，P (X＝3)＝C 12C 13A 22＋A 33A 35＝310，P (X ＝4)＝C 12A 13A 23C 12A 45＝35，所以E (X )＝2×110＋3×310＋4×35＝72，所以所需检测费的均值为1000×72＝3500(元)，故选C.优解设所需检测费为Y 元，则Y 的所有可能取值为2000,3000,4000.因为P (Y ＝2000)＝A 22A 25＝110，P (Y ＝3000)＝C 12C 13A 22＋A 33A 35＝310，P (Y ＝4000)＝C 12A 13A 23C 12A 45＝35，所以所需检测费的均值E (Y )＝2000×110＋3000×310＋4000×35＝3500(元)，故选C.5．[2019·银川质检]若随机变量ξ的分布列如表所示，E (ξ)＝1.6，则a －b ＝()ξ0123P0.1ab0.1A.0.2B ．－0.2C ．0.8D ．－0.8答案：B解析：易知a ，b ∈[0,1]，由0.1＋a ＋b ＋0.1＝1，得a ＋b ＝0.8，由E (ξ)＝0×0.1＋1×a ＋2×b ＋3×0.1＝1.6，得a ＋2b ＝1.3，所以a ＝0.3，b ＝0.5，则a －b ＝－0.2.6．[2019·广东普宁二中模拟]体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设某学生一次发球成功的概率为p (p >0)，发球次数为X ，若X 的数学期望E (X )>1.75，则p 的取值范围是()A.0，712 B.712，1 C.0，12 D.12，1答案：C解析：发球次数X 的所有可能取值为1,2,3.P (X ＝1)＝p ，P (X ＝2)＝(1－p )p ，P (X ＝3)＝(1－p )2，∴E (X )＝p ＋2(1－p )p ＋3(1－p )2>1.75，即4p 2－12p ＋5>0，解得p <12或p >52，又0<p <1，故0<p <12.7．[2019·广西名校联考]设整数m 是从不等式x 2－2x －8≤0的整数解的集合S 中随机抽取的一个元素，记随机变量ξ＝m 2，则ξ的数学期望E (ξ)＝()A ．1B ．5C ．2D.167答案：B解析：由x 2－2x －8≤0得－2≤x ≤4，∴S ＝{－2，－1,0,1,2,3,4}，∵ξ＝m 2，∴ξ可取的值分别为0,1,4,9,16，相应的概率分别为17，27，27，17，17，∴ξ的数学期望E (ξ)＝0×17＋1×27＋4×27＋9×17＋16×17＝5.故选B.8．[2019·天津月考]甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止，设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望E (ξ)为()A.24181B.26681 C.27481D.670243答案：B解析：由已知，ξ的可能取值是2,4,6.设每两局比赛为一轮，则该轮比赛停止的概率为232＋132＝59.若该轮结束时比赛还要继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下一轮比赛是否停止没有影响．所以P (ξ＝2)＝59，P (ξ＝4)＝59×49＝2081，P (ξ＝6)＝492＝1681，所以E (ξ)＝2×59＋4×2081＋6×1681＝26681.故选B.二、非选择题9．[2019·湖北鄂南高中检测]设随机变量X 的概率分布列为X 1234P13m1416则P (|X －3|＝1)＝________.答案：512解析：由13＋m ＋14＋16＝1，解得m ＝14，P (|X －3|＝1)＝P (X ＝2)＋P (X ＝4)＝14＋16＝512.10．[2019·广州模拟]某保险公司针对企业职工推出一款意外险产品，每年每人只要交少量保费，发生意外后可一次性获赔50万元．保险公司把职工从事的工作共分为A ，B ，C 三类工种，根据历史数据统计出这三类工种的每年赔付频率如表所示，并以此估计赔付概率.工种类别A B C 赔付频率110521051104若规定该产品各工种保单的期望利润都不得超过保费的20%，则A ，B ，C 三类工种每份保单保费的上限之和为________元．答案：81.25解析：设工种A 的每份保单保费为a 元，保险公司每份保单的利润为随机变量X ，则X 的分布列为X a a －5×105P 1－11051105保险公司期望利润E (X )＝a 1－1105＋(a －5×105)×1105＝(a －5)(元)，根据规定知，a －5≤0.2a ，解得a ≤6.25.设工种B 的每份保单保费为b 元，同理可得保险公司期望利润为(b －10)元，根据规定知，b －10≤0.2b ，解得b ≤12.5，设工种C 的每份保单保费为c 元，同理可得保险公司期望利润为(c －50)元，根据规定知，c －50≤0.2c ，解得c ≤62.5.则A ，B ，C 三类工种每份保单保费的上限之和为6.25＋12.5＋62.5＝81.25(元)．11．[2019·安徽皖南八校模拟]已知由甲、乙两名男生和丙、丁两种女生组成的四人冲关小组，参加由安徽卫视推出的大型户外竞技类活动《男生女生向前冲》，活动共有四关，设男生闯过第一至第四关的概率依次是56，45，34，23，女生闯过第一至第四关的概率依次是45，34，23，12.(1)求男生闯过四关的概率；(2)设X 表示四人冲关小组闯过四关的人数，求随机变量X 的分布列和期望．解析：(1)记男生四关都闯过为事件A ，则P (A )＝56×45×34×23＝13.(2)记女生四关都闯过为事件B ，则P (B )＝45×34×23×12＝15，又随机变量X 的取值为0,1,2,3,4.因为P(X＝0)＝232452＝64225，P(X＝1)＝C12·13·23·452＋C12·15·45·232＝96225，P(X＝2)＝C22132452＋C22152232＋C12·13·23·C12·15·45＝52225，P(X＝3)＝C12·13·23·152＋C12·15·45·132＝12225.P(X＝4)＝132152＝1225.所以X的分布列如下：X01234P642259622552225122251225E(X)＝0×64225＋1×96225＋2×52225＋3×12225＋4×1225＝240225＝1615.。
2020-2021学年高考数学(理)考点：离散型随机变量的分布列、均值与方差
1考点11.4 离散型随机变量的分布列、均值与方差1．离散型随机变量的分布列(1)随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变量．(2)一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，则称表X x 1 x 2 … x i … x n Pp 1p 2…p i…p n为离散型随机变量X 的概率分布列，简称为X 的分布列，具有如下性质： ①p i ≥0，i ＝1,2，…，n ； ② i ＝1np i ＝1.离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和． 2．两点分布如果随机变量X 的分布列为X 0 1 P1－pp其中0<p <1，则称离散型随机变量X 服从两点分布． 其中p ＝P (X ＝1)称为成功概率． 3．离散型随机变量的均值与方差 一般地，若离散型随机变量X 的分布列为X x 1 x 2 … x i … x n Pp 1p 2…p i…p n(1)均值称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．2(2)方差称D (X )＝∑i ＝1n(x i －E (X ))2p i 为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度，并称其算术平方根D (X )为随机变量X 的标准差． 4．均值与方差的性质 (1)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b .(2)D (aX ＋b )＝a 2D (X )．(a ，b 为常数) 5．超几何分布一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有x 件次品，则P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC n N(k＝0,1,2，…，m )，即X 01… mPC 0M C n －N －MC n NC 1M C n －1N －MC n N…C m M C n －mN －MC nN其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *.如果一个随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量X 服从超几何分布．1．（2019•浙江）设0＜a ＜1．随机变量X 的分布列是X 0 a 1 P131313则当a 在（0，1）内增大时，（ ） A ．D （X ）增大 B ．D （X ）减小C ．D （X ）先增大后减小 D ．D （X ）先减小后增大【答案】D【解析】E （X ）＝0×13+a ×13+1×13=a+13，D （X ）＝（a+13）2×13+（a −a+13）2×13+（1−a+13）2×13=127[（a +1）2+（2a ﹣1）2+（a ﹣2）2]=29（a 2﹣a +1）=29（a −12）2+16 ∵0＜a ＜1，∴D （X ）先减小后增大32．（2018•浙江）设0＜p ＜1，随机变量ξ的分布列是ξ 0 1 2 P1−p212p 2则当p 在（0，1）内增大时，（ ） A ．D （ξ）减小 B ．D （ξ）增大 C ．D （ξ）先减小后增大 D ．D （ξ）先增大后减小【答案】D【解析】设0＜p ＜1，随机变量ξ的分布列是 E （ξ）＝0×1−p2+1×12+2×p2=p +12； 方差是D （ξ）=(0−p −12)2×1−p 2+(1−p −12)2×12+(2−p −12)2×p2＝﹣p 2+p +14 =−(p −12)2+12，∴p ∈（0，12）时，D （ξ）单调递增；p ∈（12，1）时，D （ξ）单调递减；∴D （ξ）先增大后减小． 故选D ．3．（2018•新课标Ⅲ）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立．设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX ＝2.4，P （X ＝4）＜P （X ＝6），则p ＝（ ） A ．0.7 B ．0.6 C ．0.4 D ．0.3【答案】B【解析】某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，看做是独立重复事件，满足X ～B （10，p ），P （x ＝4）＜P （X ＝6），可得C 104p 4(1−p)6＜C 106p 6(1−p)4，可得1﹣2p ＜0．即p ＞12．因为DX ＝2.4，可得10p （1﹣p ）＝2.4，解得p ＝0.6或p ＝0.4（舍去）．44．（2017•浙江）已知随机变量ξi 满足P （ξi ＝1）＝p i ，P （ξi ＝0）＝1﹣p i ，i ＝1，2．若0＜p 1＜p 2＜12，则（ ）A ．E （ξ1）＜E （ξ2），D （ξ1）＜D （ξ2）B ．E （ξ1）＜E （ξ2），D （ξ1）＞D （ξ2）C ．E （ξ1）＞E （ξ2），D （ξ1）＜D （ξ2） D ．E （ξ1）＞E （ξ2），D （ξ1）＞D （ξ2） 【答案】A【解析】∵随机变量ξi 满足P （ξi ＝1）＝p i ，P （ξi ＝0）＝1﹣p i ，i ＝1，2，…， 0＜p 1＜p 2＜12，∴12＜1﹣p 2＜1﹣p 1＜1，E （ξ1）＝1×p 1+0×（1﹣p 1）＝p 1， E （ξ2）＝1×p 2+0×（1﹣p 2）＝p 2，D （ξ1）＝（1﹣p 1）2p 1+（0﹣p 1）2（1﹣p 1）=p 1−p 12， D （ξ2）＝（1﹣p 2）2p 2+（0﹣p 2）2（1﹣p 2）=p 2−p 22，D （ξ1）﹣D （ξ2）＝p 1﹣p 12﹣（p 2−p 22）＝（p 2﹣p 1）（p 1+p 2﹣1）＜0， ∴E （ξ1）＜E （ξ2），D （ξ1）＜D （ξ2）． 故选A ．5．（2020•浙江）盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球．从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止．设此过程中取到黄球的个数为ξ，则P （ξ＝0）＝__________，E （ξ）＝__________． 【答案】13，1【解析】由题意知，随机变量ξ的可能取值为0，1，2； 计算P （ξ＝0）=C 11C 41+C 11⋅C 11C 41⋅C 31=13； P （ξ＝1）=C 21⋅C 11A 42+C 21C 11A 22C 11A 43=13； P （ξ＝2）=A 22⋅C 11A 43+C 22⋅C 11⋅A 33⋅C 11A 44=13；5所以E （ξ）＝0×13+1×13+2×13=1． 故答案为：13，1．6．（2017•新课标Ⅱ）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次．X 表示抽到的二等品件数，则DX ＝__________． 【答案】1.96【解析】由题意可知，该事件满足独立重复试验，是一个二项分布模型，其中，p ＝0.02，n ＝100， 则DX ＝npq ＝np （1﹣p ）＝100×0.02×0.98＝1.96． 故答案为：1.96．7．（2020•江苏）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X n ，恰有2个黑球的概率为p n ，恰有1个黑球的概率为q n ． （1）求p 1，q 1和p 2，q 2；（2）求2p n +q n 与2p n ﹣1+q n ﹣1的递推关系式和X n 的数学期望E （X n ）（用n 表示）． 【解析】（1）由题意可知：p 1=13，q 1=23，则p 2=13p 1+23×13q 1=727； q 2=23p 1+(23×23+13×13)q 1=1627． （2）由题意可知：p n+1=13p n +23×13q n =13p n +29q n ， q n+1=23p n +(23×23+13×13)q n +23(1−p n −q n )=−19q n +23， 两式相加可得2p n +1+q n +1=23p n +13q n +23=13(2p n +q n )+23， 则：2p n +q n =13(2p n−1+q n−1)+23， 所以，2p n +q n ﹣1=13(2p n−1+q n−1−1)，因为2p 1+q 1−1=13，数列{2p n +q n ﹣1}是首项为13，公比为13的等比数列，所以2p n +q n ﹣1=(13)n ， 即2p n +q n =(13)n +1，所以E （X n ）＝2p n +q n +0×（1﹣p n ﹣q n ）=(13)n +1．68．（2019•天津）设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为23．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．（Ⅰ）用X 表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X 的分布列和数学期望；（Ⅱ）设M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M 发生的概率．【解析】（I ）甲上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为23，故X ～B （3，23），从而P （X ＝k ）=C 3k(23)k (13)3−k ，k ＝0，1，2，3．所以，随机变量X 的分布列为：X 0 1 2 3 P1272949827随机变量X 的期望E （X ）＝3×23=2．（II ）设乙同学上学期间的三天中7：30到校的天数为Y ，则Y ～B （3，23），且M ＝{X ＝3，Y ＝1}∪{X ＝2，Y ＝0}，由题意知{X ＝3，Y ＝1}与{X ＝2，Y ＝0}互斥，且{X ＝3}与{Y ＝1}，{X ＝2}与{Y ＝0}相互独立，由（I ）知，P （M ）＝P （{X ＝3，Y ＝1}∪{X ＝2，Y ＝0}＝P （{X ＝3，Y ＝1}+P {X ＝2，Y ＝0} ＝P （X ＝3）P （Y ＝1）+P （X ＝2）P （Y ＝0）=827×29+49×127=202439．（2019•北京）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A ，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A ，B 两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A 和仅使用B 的学生的支付金额分布情况如下：（0，1000]（1000，2000]大于2000仅使用A18人9人3人7仅使用B 10人 14人 1人（Ⅰ）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A ，B 两种支付方式都使用的概率； （Ⅱ）从样本仅使用A 和仅使用B 的学生中各随机抽取1人，以X 表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A 的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由． 【解析】（Ⅰ）由题意得：从全校所有学生中随机抽取的100人中， A ，B 两种支付方式都不使用的有5人， 仅使用A 的有30人，仅使用B 的有25人，∴A ，B 两种支付方式都使用的人数有：100﹣5﹣30﹣25＝40，∴从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A ，B 两种支付方式都使用的概率p =40100=0.4． （Ⅱ）从样本仅使用A 和仅使用B 的学生中各随机抽取1人，以X 表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数， 则X 的可能取值为0，1，2，样本仅使用A 的学生有30人，其中支付金额在（0，1000]的有18人，超过1000元的有12人， 样本仅使用B 的学生有25人，其中支付金额在（0，1000]的有10人，超过1000元的有15人， P （X ＝0）=1830×1025=180750=625， P （X ＝1）=1830×1525+1230×1025=390750=1325， P （X ＝2）=1230×1525=180750=625， ∴X 的分布列为：X 0 1 2P6251325 625数学期望E （X ）=0×625+1×1325+2×625=1．（Ⅲ）不能认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化，从样本仅使用A的学生有30人，其中27人月支付金额不大于2000元，有3人月支付金额大于2000元，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元的概率为p=C33C303=14060，虽然概率较小，但发生的可能性为14060．故不能认为认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化．10．（2018•天津）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（Ⅱ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率．【解析】（Ⅰ）单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．人数比为：3：2：2，从中抽取7人现，应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3，2，2人．（Ⅱ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，随机变量X的取值为：0，1，2，3，P(X=k)=C4k⋅C33−kC73，k＝0，1，2，3．所以随机变量的分布列为：X0123P 13512351835435随机变量X的数学期望E（X）=0×135+1×1235+2×1835+3×435=127；（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，设事件B为：抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人，事件C为抽取89睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人，则：A ＝B ∪C ，且P （B ）＝P （X ＝2），P （C ）＝P （X ＝1）， 故P （A ）＝P （B ∪C ）＝P （X ＝2）+P （X ＝1）=67． 所以事件A 发生的概率：67．11．（2018•北京）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 电影部数 140 50 300 200 800 510 好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值． 假设所有电影是否获得好评相互独立．（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率； （Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率； （Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等．用“ξk ＝1”表示第k 类电影得到人们喜欢．“ξk ＝0”表示第k 类电影没有得到人们喜欢（k ＝1，2，3，4，5，6）．写出方差D ξ1，D ξ2，D ξ3，D ξ4，D ξ5，D ξ6的大小关系．【解析】（Ⅰ）设事件A 表示“从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影”，总的电影部数为140+50+300+200+800+510＝2000部， 第四类电影中获得好评的电影有：200×0.25＝50部，∴从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的频率为： P （A ）=502000=0.025．（Ⅱ）设事件B 表示“从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，恰有1部获得好评”， 第四类获得好评的有：200×0.25＝50部， 第五类获得好评的有：800×0.2＝160部，则从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率： P （B ）=50×(800−160)+(200−50)×160200×800=0.35．10（Ⅲ）由题意知，定义随机变量如下： ξk ={0，第k 类电影没有得到人们喜欢1，第k 类电影得到人们喜欢，则ξk 服从两点分布，则六类电影的分布列及方差计算如下： 第一类电影：ξ1 1 0 P0.40.6E （ξ1）＝1×0.4+0×0.6＝0.4，D （ξ1）＝（1﹣0.4）2×0.4+（0﹣0.4）2×0.6＝0.24． 第二类电影：ξ2 1 0 P0.20.8E （ξ2）＝1×0.2+0×0.8＝0.2，D （ξ2）＝（1﹣0.2）2×0.2+（0﹣0.2）2×0.8＝0.16． 第三类电影：ξ3 1 0 P0.150.85E （ξ3）＝1×0.15+0×0.85＝0.15，D （ξ3）＝（1﹣0.15）2×0.15+（0﹣0.15）2×0.85＝0.1275． 第四类电影：ξ4 1 0 P0.250.75E （ξ4）＝1×0.25+0×0.75＝0.15，D （ξ4）＝（1﹣0.25）2×0.25+（0﹣0.25）2×0.75＝0.1875． 第五类电影：ξ5 1 0 P0.20.8E （ξ5）＝1×0.2+0×0.8＝0.2，11D （ξ5）＝（1﹣0.2）2×0.2+（0﹣0.2）2×0.8＝0.16． 第六类电影：ξ6 1 0 P0.10.9E （ξ6）＝1×0.1+0×0.9＝0.1，D （ξ5）＝（1﹣0.1）2×0.1+（0﹣0.1）2×0.9＝0.09． ∴方差D ξ1，D ξ2，D ξ3，D ξ4，D ξ5，D ξ6的大小关系为： D ξ6＜D ξ3＜D ξ2＝D ξ5＜D ξ4＜D ξ1．12．（2017•天津）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14．（Ⅰ）设X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望； （Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率． 【解析】（Ⅰ）随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3； 则P （X ＝0）＝（1−12）×（1−13）（1−14）=14， P （X ＝1）=12×（1−13）×（1−14）+（1−12）×13×（1−14）+（1−12）×（1−13）×14=1124， P （X ＝2）＝（1−12）×13×14+12×（1−13）×14+12×13×（1−14）=14， P （X ＝3）=12×13×14=124； 所以，随机变量X 的分布列为X 0 1 2 3 P14112414124随机变量X 的数学期望为E （X ）＝0×14+1×1124+2×14+3×124=1312； （Ⅱ）设Y 表示第一辆车遇到红灯的个数，Z 表示第二辆车遇到红灯的个数， 则所求事件的概率为P （Y +Z ＝1）＝P （Y ＝0，Z ＝1）+P （Y ＝1，Z ＝0） ＝P （Y ＝0）•P （Z ＝1）+P （Y ＝1）•P （Z ＝0）=14×1124+1124×1412=1148；所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148．13．（2017•山东）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6和4名女志愿者B 1，B 2，B 3，B 4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．（Ⅰ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的概率．（Ⅱ）用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X 的分布列与数学期望EX ． 【解析】（I ）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的事件为M ， 则P （M ）=C 84C 105=518． （II ）X 的可能取值为：0，1，2，3，4， ∴P （X ＝0）=C 65C 105=142， P （X ＝1）=C 64C 41C 105=521，P （X ＝2）=C 63C 42C 105=1021，P （X ＝3）=C 62C 43C 105=521，P （X ＝4）=C 61C 44C 105=142．∴X 的分布列为X 0 1 2 3 4 P1425211021521142X 的数学期望EX ＝0×142+1×521+2×1021+3×521+4×142=2．14．（2017•江苏）已知一个口袋有m 个白球，n 个黑球（m ，n ∈N *，n ≥2），这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，…，m +n 的抽屉内，13其中第k 次取出的球放入编号为k 的抽屉（k ＝1，2，3，…，m +n ）．123…m +n（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p ；（2）随机变量x 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E （X ）是X 的数学期望，证明E （X ）＜n(m+n)(n−1)．【解析】（1）设事件A i 表示编号为i 的抽屉里放的是黑球， 则p ＝p （A 2）＝P （A 2|A 1）P （A 1）+P （A 2|A 1）P （A 1）=n −1m +n −1×n m +n +n m +n −1×mm +n=n 2−n+mn (m+n)(m+n−1)=n m+n． 证明：（2）∵X 的所有可能取值为1n，1n+1，…，1n+m，P （x =1k ）=C k−1n−1C m+nn ，k ＝n ，n +1，n +2，…，n +m ，∴E （X ）=∑n+m k=n（1k ⋅C k−1n−1C n+mn ）=1C n+mn⋅∑n+m k=nC k−1n−1k=1C n+mn⋅∑n+mk=nC k−1n−1k ＜1C n+mn ⋅∑n+mk=n C k−1n−1k −1=1C n+mn ⋅∑n+mk=nC k−2n−2n −1=1(n−1)C n+mn•（C n−2n−2+C n−1n−2+⋯+C n+m−2n−2） =1(n−1)C m+nn⋅C m+n−1n−1=n (m+n)(n−1)， ∴E （X ）＜n(m+n)(n−1)．15．（2017•新课标Ⅲ）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温 [10，15） [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40）天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率． （1）求六月份这种酸奶一天的需求量X （单位：瓶）的分布列；14（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y （单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n （单位：瓶）为多少时，Y 的数学期望达到最大值？【解析】（1）由题意知X 的可能取值为200，300，500， P （X ＝200）=2+1690=0.2， P （X ＝300）=3690=0.4， P （X ＝500）=25+7+490=0.4， ∴X 的分布列为：X 200 300 500 P0.20.40.4（2）由题意知这种酸奶一天的需求量至多为500瓶，至少为200瓶， ∴只需考虑200≤n ≤500， 当300≤n ≤500时，若最高气温不低于25，则Y ＝6n ﹣4n ＝2n ；若最高气温位于区间[20，25），则Y ＝6×300+2（n ﹣300）﹣4n ＝1200﹣2n ； 若最高气温低于20，则Y ＝6×200+2（n ﹣200）﹣4n ＝800﹣2n ， ∴EY ＝2n ×0.4+（1200﹣2n ）×0.4+（800﹣2n ）×0.2＝640﹣0.4n ， 当200≤n ≤300时，若最高气温不低于20，则Y ＝6n ﹣4n ＝2n ，若最高气温低于20，则Y ＝6×200+2（n ﹣200）﹣4n ＝800﹣2n ， ∴EY ＝2n ×（0.4+0.4）+（800﹣2n ）×0.2＝160+1.2n ． ∴n ＝300时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为520元．1．（2020•浙江模拟）设1a <<，随机变量X 的分布列为 X 2- 1-1 215P13a13a - 13则当a 在1(0,)3增大时，( )A ．()D X 增大B ．()D X 减小C ．()D X 先增大后减小 D ．()D X 先减小后增大【答案】C【解析】由题意可得，随机变量X 的数学期望1111211()223333EX a a a =-⨯-⨯+⨯-+⨯=-，随机变量2X 的数学期望22222111(2)(1)1()23333EX a a =-⨯+-⨯+⨯-+⨯=，∴随机变量X 的方差22221111()()(2)4()3363D X EX EX a a =-=--=--+， ∴当a 在1(0,)3增大时，()D X 先增大后减小，故选C ．2．（2020•下城区校级模拟）已知随机变量ξ的分布列如表：ξ 0 1 2Pb a -ba则当a 在1(0,)2内增大时( )A ．D ξ增大B ．D ξ减小C ．D ξ先增大后减小 D ．D ξ先减小后增大【答案】C【解析】由随机变量ξ的分布列的性质得： 0101011b a b a b a b a -⎧⎪⎪⎨⎪⎪-++=⎩，解得0.5b =，00.5a ， 0.52E a ξ=+，2222(00.52)(0.5)(10.52)0.5(20.52)420.25D a a a a a a a ξ=---+--⨯+--=-++，∴当a 在1(0,)2内增大时，D ξ先增大后减小．故选C ．163．（2020•丹东模拟）同时抛掷2枚质地均匀的硬币4次，设2枚硬币均正面向上的次数为X ，则X 的数学方差是( ) A ．12B ．34C ．1D ．32【答案】B【解析】同时抛掷2枚质地均匀的硬币， 恰好出现两枚正面向上的概率111224P =⨯=，2∴枚硬币均正面向上的次数1~(4,)4X B ，X ∴的方差133()4444D X =⨯⨯=，故选B ．4．（2020•浙江模拟）已知随机变量X 的分布列如表：X 1-0 1Pabc其中a ，b ，0c >．若X 的方差13DX 对所有(0,1)a b ∈-都成立，则( ) A ．13bB ．23bC ．13bD ．23b【答案】D【解析】依题意，1a b c ++=，故1c a b =--，当(0,1)a b ∈-时，故12EX a c b a =-+=--，22222()()()[()4]4()()4[1]DX E X E X a c c a a c c a ac ac a c a c a b a =-=+--=+--++=+-++--2(1)(1)4[1]b b a b a =---+--， 令1b t -=，则(0,1)t ∈ 214()3DX t t a t a =-+-，(0,)a t ∈， 故2214403a at t t -+-+，在(0,)a t ∈时恒成立， 当2t a =时DX 有最小值，故2214()40223t t t t t -⨯+-+， 故13t，即113b --，所以23b ，故选D ．5．（2020•镇海区校级模拟）某射手射击所得环数ξ的分布列如下：17ξ 78 9 10Px0.10.3y已知ξ的数学期望()8.9E ξ=，则y 的值为( ) A ．0.8 B ．0.6 C ．0.4 D ．0.2【答案】C【解析】由表格可知：0.10.31x y +++=， 780.190.3108.9x y +⨯+⨯+⨯=解得0.4y =． 故选C ．6．（2020•柯桥区二模）已知随机变量i ξ满足1(2)2i i p P ξ-==，1(1)2i P ξ==，(0)2i i p P ξ==，1i =，2若12102p p <<<，21i i ηξ=+则( ) A ．12()()E E ηη>，12()()D D ηη> B ．12()()E E ηη<，12()()D D ηη> C ．12()()E E ηη>，12()()D D ηη< D ．12()()E E ηη<，12()()D D ηη<【答案】C【解析】由数学期望与方差的性质可知：()()E a b aE b ξξ+=+，2()()D a b a D ξξ+=，则(21)2()1i i E E ξξ+=+，(21)4()i i D D ξξ+=， 因为11(2),(1),(0),1,2222i i i i i p p P P P i ξξξ-=======， 所以1113()012122222i i i i i p p E p p ξ-=⨯+⨯+⨯=+-=-， 22213313()(0)(1)(2)222222i i i i i i p p D p p p ξ-=-+⨯+-+⨯+-+⨯22291111(3)()()()4242422i i i i i i i i p p p p p p p p =+-⨯++-⨯+++⨯- 3222329311282282282282i i i i i i i i i i p p p p p p p p p p =+-++-+++---22111()422i i i p p p =-++=--+，所以3()2i i E p ξ=- 在1(0,)2i p ∈ 上单调递减，1811()()22i i D p ξ=--+ 在1(0,)2i p ∈ 上单调递增，又因为0 1212p p <<<， 所以12()()E E ξξ>，12()()D D ξξ<， 则122()12()1E E ξξ+>+，124()4()D D ξξ<， 所以12(21)(21)E E ξξ+>+，12(21)(21)D D ξξ+<+ 因为21(1,2)i i i ηξ=+=所以12()()E E ηη>，12()()D D ηη<， 故选C ．7．（2020•海曙区校级模拟）盒中有5个小球，其中3个白球，2个黑球，从中任取(1,2)i i =个球，在取出的球中，黑球放回，白球涂黑后放回，此时盒中黑球的个数记为(1,2)i X i =，则( ) A ．12(2)(2)P X P X =>=，12()()E X E X > B ．12(2)(2)P X P X =<=，12()()E X E X > C ．12(2)(2)P X P X =>=，12()()E X E X <D ．12(2)(2)P X P X =<=，12()()E X E X < 【答案】C【解析】12X =表示取出的为一个黑球，121152(2)5C P X C ∴===，131153(3)5C P X C ===，12313()23555E X =⨯+⨯=，22X =表示取出2个球为黑球，222251(2)10C P X C ∴===， 23X =表示取出2个球为一黑一白，11232253(3)5C C P X C ===，24X =表示取出2个白球，232253(4)10C P X C ===，19213316()234105105E X =⨯+⨯+⨯=， 12(2)(2)P X P X ∴=>=，12()()E X E X <．故选C ．8．（2020•柯城区校级模拟）已知某7个数的期望为6，方差为4，现又加入一个新数据6，此时这8个数的期望为记为()E X ，方差记为()D X ，则( ) A ．()6E X =，()4D X > B ．()6E X =，()4D X < C ．()6E X <，()4D X > D ．()6E X <，()4D X <【答案】B【解析】1()(766)68E X =⨯+=，217()[74(66)]482D X =⨯+-=<．故选B ．9．（2020•永康市模拟）随机变量ξ的分布列如表，则P 在(0,0.5)增加时，()D ξ的变化是( )ξ 1 2 3 4Pp0.5p -0.5p -pA ．一直增加B ．一直减小C ．先增加后减小D ．先减小后增加【答案】A【解析】由随机变量ξ的分布列的性质得： 12 1.534 2.5E p p p p ξ=+-+-+=，2222(1 2.5)(2 2.5)(0.5)(3 2.5)(0.5)(4 2.5)40.25D p p p p p ξ=-⨯+-⨯-+--+-=+，P ∴在(0,0.5)增加时，()D ξ的变化是递增的．故选A ．10．（2020•东阳市模拟）已知随机变量X ，Y 满足：~(2,)X B p ，21Y X =+，且5(1)9P X =，则()(D Y = )A ．49B ．73C ．169D ．179【答案】C【解析】随机变量X 满足：~(2,)X B p ，且5(1)9P X =，20224(0)1(1)(1)9P X P X C p ∴==-=-=， 解得13p =，1~(2,)3X B ∴，114()2(1)339D X ∴=-=， 21Y X =+，216()2()9D Y D X ==． 故选C ．11．（2020•浙江模拟）现有4个人通过掷一枚质地均匀的骰子去参加篮球和乒乓球的体育活动，掷出点数为1或2的人去打篮球，掷出点数大于2的人去打乒乓球．用X ，Y 分别表示这4个人中去打篮球和乒乓球的人数，记||X Y ξ=-，求随机变量ξ的数学期望E ξ为( ) A ．12881B ．13581C ．14081D ．14881【答案】D【解析】依题意，这4个人中，每个人去打篮球的概率为13，去打乒乓球的概率为23，设“这4个人中恰有i 人去打篮球”为事件(0i A i =，1，2，3，4)，则4412()()()33i i ii PP A C -=，ξ的所有可能取值为0，2，4．由于1A 与3A 互斥，0A 与4A 互斥，故28(0)()27P P A ξ===， 1340(2)()()81P P A P A ξ==+=， 0417(4)()()81P P A P A ξ==+=． 所以ξ的分布列是ξ 2 2 4 P82740811781随机变量ξ的数学期望84017148024********E ξ=⨯+⨯+⨯=． 故选D ．12．（2020•浙江模拟）设10a <<，随机变量X 的分布列是： X 1- 1221P12a - 122a + 2a 则当()D X 最大时的a 的值是( ) A ．14B ．316 C ．15D ．325【答案】D【解析】由随机变量X 的分布列知： 115()1()1()222222a a aE X a =-⨯-+⨯++⨯=， 2113()1()1()4122222a a E X a a =⨯-+⨯++⨯=+，2222325253109()()()1()24425100a D X E X E X a a =-=+-=--+， 102a <<，∴当()D X 最大时的a 的值是325．故选D ．13．（2020•浙江模拟）随机变量X 的分布列如表：X 12 3Pabc已知1(2)2p X =，则当b 在1(0,)2内增大时( )A ．()E X 递减，()D X 递减B ．()E X 递增，()D X 递减C ．()E X 递减，()D X 递增 D ．()E X 递增，()D X 递增【答案】B【解析】由题，1(2)2p X =，即12a b +=，则11122c =-=，12a b =-，113()12322222E X a b b b b =⨯+⨯+⨯=-++=+， 222232221115()(12)(22)(32)()(1)(1)1()2224D X a b b b c b b b b b b b b =--+--+--=-+++-=--+=-++，所以当b 在1(0,)2内增大时，()E X 递增，根据二次函数图象和性质，可知()D X 递减． 故选B ．14．（2020•鹿城区校级模拟）袋中有3个白球和i 个黑球，有放回的摸取3次，每次摸取一球，设摸22得黑球的个数为i ξ，其中1i =，2，则( ) A ．12()()E E ξξ<，12()()D D ξξ< B ．12()()E E ξξ<，12()()D D ξξ> C ．12()()E E ξξ>，12()()D D ξξ< D ．12()()E E ξξ>，12()()D D ξξ>【答案】A【解析】袋中有3个白球和i 个黑球，有放回的摸取3次， 每次摸取一球，设摸得黑球的个数为i ξ，其中1i =，2， 则11~(3,)4B ξ，113()344E ξ=⨯=，1119()3(1)4416D ξ=⨯⨯-=，22~(3,)5B ξ，226()355E ξ=⨯=，22218()3(1)5525D ξ=⨯⨯-=， 12()()E E ξξ∴<，12()()D D ξξ<．故选A ．15．（2020•平湖市模拟）已知10a <<，随机变量ξ的分布如表： ξ 1-0 1P1212a - a当a 在1(0,)2内增大时，( )A ．()E ξ减小，()D ξ减小B ．()E ξ减小，()D ξ增大C ．()E ξ增大，()D ξ减小 D ．()E ξ增大，()D ξ增大【答案】D【解析】由题意可得：1()2E a ξ=-+，当a 在1(0,)2内增大时，()E ξ增大；222221111115()(1)()(0)(1)2(1)2222244D a a a a a a a a ξ=-+-+-+-++-=+-=--，a 在1(0,)2内增大时，()D ξ增大．故选D ．16．（2020•武汉模拟）某几位大学生自主创业创办了一个服务公司提供A 、B 两种民生消费产品（人们购买时每次只买其中一种）服务，他们经过统计分析发现：第一次购买产品的人购买A 的概率为23，购买B 的概率为13，而前一次购买A 产品的人下一次来购买A 产品的概率为14，购买B 产23品的概率为34，前一次购买B 产品的人下一次来购买A 产品的概率为12、购买B 产品的概率也是12，如此往复．记某人第n 次来购买A 产品的概率为n P ． （1）求2P ，并证明数列25n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）记第二次来公司购买产品的3个人中有X 个人购买A 产品，求X 的分布列并求()E X ； （3）经过一段时间的经营每天来购买产品的人稳定在800人，假定这800人都已购买过很多次该两款产品，那么公司每天应至少准备A 、B 产品各多少份．（直接写结论、不必说明理由）． 【解析】（1）22111134323P =⨯+⨯=，由题意可知11111(1)4242n n n n P P P P +=⨯+⨯-=-+，1212()545n n P P +∴-=--， 又1222453515P -=-=， ∴数列2{}5n P -是首项为415，公比为14-的等比数列． （2）X 的可能取值有0，1，2，3，且3312()()()33k kk P X k C -==，故328(0)()327P X ===，123124(1)()339P X C ===，223122(2)()339P X C ===，311(3)()327P X ===， 故X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 82749291278421()01231279927E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． （3）由（1）知1241()5154n n P --=-，故1412()1545n n P -=-+， ∴当n →+∞时，25n P →， 故准备A 产品28003205⨯=份，准备B 产品38004805⨯=份． 17．（2020•湖北模拟）在赌场内，甲乙进行一场游戏．游戏规则如下：初始时甲乙各从携带的总财产中押出一定金额并进行游戏，当一方获胜时将赢得对方所押以及赢得的所有财产，败方则需要24重新押出他失去的等额的押金．如甲先押100元并从乙的身上赢得50元，当再次进行游戏且乙获胜时，他将获得150元，并且甲需要重新押150元．直到一方输掉全部财产或他的剩余财产无法支持他继续支付押金时游戏结束．若甲共有1000元财产，乙共有300元财产，甲乙获胜的概率都是0.5，初始时甲乙各押100元．（1）求出现决胜局（甲乙均抵押出全部财产）的概率（结果保留2位小数） （2）求乙赢钱的分布列及均值（结果可用2的幂表示）【解析】（1）由题目意思可知，押金不可半途取出，且当甲或乙输钱后，输了多少， 则要重新押多少，而赢则赢的为增加自己的押金， 直到另一个输掉全部财产或无法支付排金时游戏结束．∴出现决胜局（甲乙均抵押出全部财产）时，甲、乙的全部财产都在游戏中，身上无钱， ∴最初甲有1000元财产，乙有300元财产，初始甲、乙各押100元，对于乙来说，乙最后身上无钱的情况分为两种， ①乙连输2把，则身上剩下300100100100--=元， ②乙赢一把再输一把，则身上剩300100200200+-=元，∴决胜局肯定在①②两种情况的基础上发生．①乙连输2把，则第三把开始时，乙扣金为100元，剩0元，甲押金为100100100300++= 元，剩1000100900-= 元 9003003÷= 为整数，故可出现决胜局，此时10.50.50.50.50.50.03P =⨯⨯⨯⨯≈， ②乙赢一把再输一把，则第三把开始时，乙扣金为100100200+=元，剩0元， 甲押金为1001002300+⨯= 元，剩1000100100800--=元， 88003003÷= 不为整数，故不会出现决胜局10.03P P ∴=≈．（2）所求为乙赢钱的分布列和均值，故思考乙赢钱的可能性即可． 开始时乙共有300元财产，且乙甲100元，∴乙要赢钱分成三大种情况：①乙一直赢，②乙输一把，③乙输两把，25①乙一直赢，则第一把开始时，乙押金100元，剩300100200-=元， 甲押金100元，剩1000100900-=元， 9001009÷= 为整数，故甲输光，所以此次乙赢1000元， 1921010.52P +==， ②乙输一把，因乙有300元，所以此情况分两小类，乙输第一把和乙输第二把． 乙输第一把，则第二把开始时，乙押金100元，剩300100100100--=元， 甲押金100100200+= 元，剩1000100900-= 元， 9002004100÷=⋯，故甲最后剩100元，所以此次乙赢1000100900-=元，243610.52P +==， 乙输第两把，则第三把开始时，乙押金100100200+=元，剩 3001002000--= 元甲押金100200300+= 元，剩1000100100800--= 元 8003002200÷=⋯，故甲最后剩200元，所以此次乙赢1000200800-=元， 324510.52P +==， ③乙输两把，因乙有300元，且第一次押100元，故此为乙连输两把， 则第三次开始时，乙押金100元，剩3001001001000---=元， 甲押金100100100300++= 元，剩1000100900-= 元 9003003÷=，故甲输光，所以乙此次赢1000元，335610.52P +==，26∴乙赢钱的概率为：623451010216522P P P P P +=+++==，由上述知乙赢钱ξ的可能取值有800，900，1000， 432(800)65P P P ξ===316(900)65P P P ξ===2517(1000)65P P P P ξ+===， ∴ 乙赢钱的分布列如下表：ξ800 900 1000 P32651665176532161711400()800900100065656513E ξ=++=． 18．（2020•庐阳区校级模拟）某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满500元的顾客，可以获得一次抽奖机会，有两种方案．方案一：在抽奖的盒子中有除颜色外完全相同的2个黑球，3个白球，顾客一次性摸出2个球，规定摸到2个黑球奖励50元，1个黑球奖励20元，没有摸到黑球奖励15元．方案二：在抽奖的盒子中有除颜色外完全相同的2个黑球，3个白球，顾客不放回地每次摸出一个球，直到将所有黑球摸出则停止摸奖，规定2次摸出所有黑球奖励50元，3次摸出所有黑球奖励30元，4次摸出所有黑球奖励20元，5次摸出所有黑球奖励10元． （1）记X 为1名顾客选择方案一时摸出黑球的个数，求随机变量X 的数学期望； （2）若你为一名要摸奖的顾客，请问你选择哪种方案进行抽奖，说明理由． 【解析】（1）易知X 符合超几何分布，2~(2,)5X H ，故22()0.85E X ⨯==．另解：22221(2)10C P X C ===，11232563(1)105C C P X C ====，0223253(0)10C C P X C ===， ∴133()2100.810510E X =⨯+⨯+⨯=． （2）方案一：记ξ为1名顾客选择方案一进行摸奖获得的奖金数额，则ξ可取50，20，2222115.(50)10C P X C ===，2711232563(20)105C C P X C ====，0223253(15)10C C P X C ===，∴133()50201521.510510E X =⨯+⨯+⨯=． 方案二：记η为1名顾客选择方案二进行摸奖获得的奖金数额，则η可取50，30，20，2222110.(50)10A P A η===，112232351(30)5C C A P A η===，123233453(20)10C C A P A η===，1424542(10)5C A P A η===． ∴1132()5030201021105105E η=⨯+⨯+⨯+⨯=． 因此，我会选择方案一进行摸奖．19．（2020•七星区校级模拟）“一带一路”为世界经济增长开辟了新空间，为国际贸易投资搭建了新平台，为完善全球经济治理拓展了新实践．某企业为抓住机遇，计划在某地建立猕猴桃饮品基地，进行饮品A ，B ，C 的开发．（1）在对三种饮品市场投放的前期调研中，对100名试饮人员进行抽样调查，得到对三种饮品选择情况的条形图．若饮品A 的百件利润为400元，饮品B 的百件利润为300元，饮品C 的百件利润为700元，请估计三种饮品的平均百件利润；（2）为进一步提高企业利润，企业决定对饮品C 进行加工工艺的改进和饮品D 的研发．已知工艺改进成功的概率为45，开发新饮品成功的概率为13，且工艺改进与饮品研发相互独立；（一)求工艺改进和新品研发恰有一项成功的概率；（二)若工艺改进成功则可为企业获利80万元，不成功则亏损30万元，若饮品研发成功则获利150万元，不成功则亏损70万元，求该企业获利ξ的数学期望．28【解析】（1）根据样本的条形图可得顾客选择饮品A 的频率为0.35； 选择饮品B 的频率为0.45，选择饮品C 的频率为0.20；可用频率代替概率，则可以得到总体的百件利润平均值为4000.353000.457000.20415⨯+⨯+⨯=． （2）（一)设饮品工艺改进成功为事件A ，新品研发成功为事件B ， 依题意可知事件A 与事件B 互相独立， 事件M 为工艺改进和新品研发恰有一项成功， 则(P M 11423)()()53535P AB P AB =+=⨯+⨯=．（二)由题意知企业获利ξ的取值为100-，10，120，230，所以ξ的分布列为ξ100-10 120 230 P215815115415所以2814184()10010120230151515153E ξ=-⨯+⨯+⨯+⨯=． 20．（2020•鼓楼区校级模拟）已知6名某疾病病毒密切接触者中有1名感染病毒，其余5名健康，需要通过化验血液来确定感染者．血液化验结果呈阳性的即为感染者，呈阴性即为健康． （1）若从这6名密切接触者中随机抽取3名，求抽到感染者的概率；（2）血液化验确定感染者的方法有：①逐一化验；②分组混合化验：先将血液分成若干组，对组内血液混合化验，若化验结果呈阴性，则该组血液不含病毒；若化验结果呈阳性，则对该组的备份血液逐一化验，直至确定感染者．()i 采取逐一化验，求所需检验次数ξ的数学期望；()ii 采取平均分组混合化验（每组血液份数相同），依据所需化验总次数的期望，选择合理的平均分组方案．【解析】（1）6名某疾病病毒密切接触者中有1名感染病毒，其余5名健康，从这6名密切接触者中随机抽取3名，抽到感染者的概率：253612C P C ==．（2）()i ξ的可能取值是1，2，3，4，5，且分布列如下：ξ 1 2 3 4 5 P16 1616161310()3E ξ=．。
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考点测试62 离散型随机变量及其分布列高考概览高考在本考点的常考题型为解答题，分值为12分，中等难度 考纲研读1．理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性2．理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用一、基础小题1．已知离散型随机变量X 的分布列为：则k 的值为( ) A ．12 B ．1 C ．2 D ．3 答案 B解析 由分布列的性质知k ＝1．2．袋中装有10个红球，5个黑球，每次随机抽取一个球，若取得黑球，则另换一个红球放回袋中，直到取到红球为止，若抽取的次数为X ，则表示“放回5个球”的事件为( )A ．X ＝4B ．X ＝5C ．X ＝6D ．X ≤4 答案 C解析 第一次取到黑球，则放回1个球，第二次取到黑球，则共放回2个球，……，共放了五回，第六次取到了红球，试验终止，故X ＝6．3．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X 去描述1次试验的成功次数，则P (X ＝0)等于( )A ．0B ．12C ．13D ．23答案 C解析 设失败率为p ，则成功率为2p ． ∴X 的分布列为：则“X ＝0”表示试验失败，“X ＝1”表示试验成功， ∴由p ＋2p ＝1，得p ＝13，即P (X ＝0)＝13．故选C ．4．某人在打电话时忘了号码的最后四位数字，只记得最后四位数字两两不同且都大于5，于是他随机拨最后四位数字，设他拨到所要号码时已拨的次数为ξ，则随机变量ξ的所有可能取值的种数为( )A ．24B ．20C ．18D ．4 答案 A解析 由于后四位数字两两不同，且都大于5，即是6，7，8，9四位数字的不同排列，则有A 44＝24种．5．从装有3个白球、4个红球的箱子中，随机取出了3个球，恰好是2个白球、1个红球的概率是( )A ．435B ．635C ．1235D ．36343 答案 C解析 如果将白球视为合格品，红球视为不合格品，则这是一个超几何分布问题，故所求概率为P ＝C 23C 14C 37＝1235．6．随机变量ξ的所有可能的取值为1，2，3，…，10，且P (ξ＝k )＝ak (k ＝1，2，…，10)，则a 的值为( )A ．1110B ．155 C ．110 D ．55 答案 B解析 ∵随机变量ξ的所有可能的取值为1，2，3，…，10，且P (ξ＝k )＝ak (k ＝1，2，…，10)，∴a ＋2a ＋3a ＋…＋10a ＝1，∴55a ＝1，∴a ＝155．7．15个村庄有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于C 47C 68C 1015的是( )A ．P (X ＝2)B ．P (X ≤2)C ．P (X ＝4)D ．P (X ≤4) 答案 C解析 X 服从超几何分布，故P (X ＝k )＝C k 7C 10－k 8C 1015，k ＝4．8．已知随机变量X 的分布列为：P (X ＝k )＝12k ，k ＝1，2，…，则P (2<X ≤4)等于( )A ．316B ．14C ．116D ．516 答案 A解析 P (2<X ≤4)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝123＋124＝316．故选A ．9．老师计划在晚修19：00～20：00解答同学甲、乙的问题，预计解答完一个学生的问题需要20分钟．若甲、乙两人在晚修内的任意时刻去问问题是相互独立的，则两人独自去时不需要等待的概率为( )A ．29B ．49C ．59D ．79 答案 B解析 设19：00～20：00对应时刻[0，60]，甲、乙问问题的时刻为x ，y ，则x ，y ∈[0，60]，两人独自去时不需要等待满足|x －y |≥20， 概率为12×(60－20)2×260×60＝49．故选B ．10．甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)；若X 是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X 的所有可能取值是________．答案 －1，0，1，2，3解析 X ＝－1，甲抢到1题但答错了，而乙抢到了2题且都答错了；X ＝0，甲没抢到题，乙抢到3题且答错至少2题，或甲抢到2题，但答时1对1错，而乙答错1题；X ＝1时，甲抢到1题且答对，乙抢到2题且至少答错1题，或甲抢到3题，且1错2对；X ＝2时，甲抢到2题均答对； X ＝3时，甲抢到3题均答对．二、高考小题本考点在近三年高考中未涉及此题型． 三、模拟小题11．(2018·孝感一模)已知随机变量ξ的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，则函数f (x )＝x 2＋2x ＋ξ有且只有一个零点的概率为( ) A ．16 B ．13 C ．12 D ．56 答案 B解析 由题意知a ，b ，c ∈[0，1]，且⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝a ＋c ，a ＋b ＋c ＝1，解得b ＝13，又函数f (x )＝x2＋2x ＋ξ有且只有一个零点，故对于方程x 2＋2x ＋ξ＝0，Δ＝4－4ξ＝0，解得ξ＝1，所以P (ξ＝1)＝13．故选B ．12．(2018·云南师大附中月考)随机变量X 的概率分布规律为P (X ＝n )＝an (n ＋1)(n ＝1，2，3，4)，其中a 是常数，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <52的值为( ) A ．23 B ．34 C ．45 D ．56 答案 D解析 ∵P (X ＝n )＝an (n ＋1)(n ＝1，2，3，4)，∴a 2＋a 6＋a 12＋a 20＝1，∴a ＝54，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <52＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝54×12＋54×16＝56．故选D ．13．(2018·石家庄质检)如图所示，A ，B 两点5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2，3，4，3，2．现记从中任取三条线且在单位时间内都通过的最大信息总量为ξ，则P (ξ≥8)＝________．答案 45解析 解法一：由已知得ξ的可能取值为7，8，9，10， ∵P (ξ＝7)＝C 22C 12C 35＝15，P (ξ＝8)＝C 22C 11＋C 22C 12C 35＝310， P (ξ＝9)＝C 12C 12C 11C 35＝25，P (ξ＝10)＝C 22C 11C 35＝110，∴ξ的概率分布列为：∴P (ξ≥8)＝P (ξ＝8)＋P (ξ＝9)＋P (ξ＝10)＝310＋25＋110＝45．解法二：P (ξ≥8)＝1－P (ξ＝7)＝1－C 22C 12C 35＝45．一、高考大题1．(2018·天津高考)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16，现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．①用X 表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X 的分布列与数学期望； ②设A 为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A 发生的概率．解 (1)由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．(2)①随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3． P (X ＝k )＝C k4·C 3－k3C 37(k ＝0，1，2，3)． 所以，随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望E (X )＝0×135＋1×1235＋2×1835＋3×435＝127．②设事件B 为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C 为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A ＝B ∪C ，且B 与C 互斥．由①知，P (B )＝P (X ＝2)，P (C )＝P (X ＝1)，故P (A )＝P (B ∪C )＝P (X ＝2)＋P (X ＝1)＝67．所以，事件A 发生的概率为67．2．(2017·全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率． (1)求六月份这种酸奶一天的需求量X (单位：瓶)的分布列；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量n (单位：瓶)为多少时，Y 的数学期望达到最大值？解 (1)由题意知，X 所有可能取值为200，300，500，由表格数据知P (X ＝200)＝2＋1690＝0．2，P (X ＝300)＝3690＝0．4，P (X ＝500)＝25＋7＋490＝0．4．因此X 的分布列为(2)由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑200≤n ≤500．当300≤n ≤500时，若最高气温不低于25，则Y ＝6n －4n ＝2n ；若最高气温位于区间[20，25)，则Y ＝6×300＋2(n －300)－4n ＝1200－2n ；若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n．因此E(Y)＝2n×0．4＋(1200－2n)×0．4＋(800－2n)×0．2＝640－0．4n．当200≤n＜300时，若最高气温不低于20，则Y＝6n－4n＝2n；若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n，因此E(Y)＝2n×(0．4＋0．4)＋(800－2n)×0．2＝160＋1．2n．所以n＝300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元．3．(2016·全国卷Ⅰ)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．(1)求X的分布列；(2)若要求P(X≤n)≥0．5，确定n的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？解(1)由柱状图并以频率代替概率可得：1台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0．2，0．4，0．2，0．2，从而P(X＝16)＝0．2×0．2＝0．04；P(X＝17)＝2×0．2×0．4＝0．16；P (X ＝18)＝2×0．2×0．2＋0．4×0．4＝0．24； P (X ＝19)＝2×0．2×0．2＋2×0．4×0．2＝0．24； P (X ＝20)＝2×0．2×0．4＋0．2×0．2＝0．2； P (X ＝21)＝2×0．2×0．2＝0．08； P (X ＝22)＝0．2×0．2＝0．04．所以X 的分布列为(2)由(1)知P (X ≤18)＝0．44，P (X ≤19)＝0．68，故n 的最小值为19． (3)记Y 表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)． 当n ＝19时，E (Y )＝19×200×0．68＋(19×200＋500)×0．2＋(19×200＋2×500)×0．08＋(19×200＋3×500)×0．04＝4040(元)．当n ＝20时，E (Y )＝20×200×0．88＋(20×200＋500)×0．08＋(20×200＋2×500)×0．04＝4080(元)．可知当n ＝19时所需费用的期望值小于n ＝20时所需费用的期望值．故应选n ＝19． 4．(2017·天津高考)从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14．(1)记X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望； (2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率． 解 (1)随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3．P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－12×⎝⎛⎭⎪⎫1－13×⎝⎛⎭⎪⎫1－14＝14，P (X ＝1)＝12×⎝⎛⎭⎪⎫1－13×⎝⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×13×⎝⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝⎛⎭⎪⎫1－12×⎝⎛⎭⎪⎫1－13×14＝1124，P (X ＝2)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－12×13×14＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×14＋12×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝14，P (X ＝3)＝12×13×14＝124．所以，随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望E (X )＝0×14＋1×1124＋2×14＋3×124＝1312．(2)设Y 表示第一辆车遇到红灯的个数，Z 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为P (Y ＋Z ＝1)＝P (Y ＝0，Z ＝1)＋P (Y ＝1，Z ＝0)＝P (Y ＝0)P (Z ＝1)＋P (Y ＝1)P (Z ＝0) ＝14×1124＋1124×14＝1148． 所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148．二、模拟大题5．(2018·山东潍坊一模)某公司新上一条生产线，为保证新的生产线正常工作，需对该生产线进行检测．现从该生产线上随机抽取100件产品，测量产品数据，用统计方法得到样本的平均数μ＝14，标准差σ＝2，绘制如图所示的频率分布直方图．以频率值作为概率估计值．(1)从该生产线加工的产品中任意抽取一件，记其数据为X ，依据以下不等式评判(P 表示对应事件的概率)：①P (μ－σ<X <μ＋σ)≥0．6826； ②P (μ－2σ<X <μ＋2σ)≥0．9544； ③P (μ－3σ<X <μ＋3σ)≥0．9974．评判规则：若至少满足以上两个不等式，则生产状况为优，无需检修；否则需检修生产线，试判断该生产线是否需要检修；(2)将数据不在(μ－2σ，μ＋2σ)内的产品视为次品，从该生产线加工的产品中任意抽取2件，次品数记为Y ，求Y 的分布列与数学期望E (Y )．解 (1)由题意知，μ＝14，σ＝2，由频率分布直方图得P (μ－σ<X <μ＋σ)＝P (12<X <16)＝(0．29＋0．11)×2＝0．8>0．6826，P (μ－2σ<X <μ＋2σ)＝P (10<X <18)＝(0．04＋0．29＋0．11＋0．03)×2＝0．94<0．9544， P (μ－3σ<X <μ＋3σ)＝P (8<X <20)＝(0．005＋0．04＋0．29＋0．11＋0．03＋0．015)×2＝0．98<0．9974，∵不满足至少两个不等式成立， ∴该生产线需要检修．(2)由(1)知P (μ－2σ<X <μ＋2σ)＝0．94＝4750，∴任取1次是次品的概率为0．06＝350，∵任取2件产品得到的次品数Y 的可能取值为0，1，2， 则P (Y ＝0)＝47502＝22092500；P (Y ＝1)＝C 12×4750×350＝1411250；P (Y ＝2)＝3502＝92500． ∴Y 的分布列为∴E (Y )＝0×22092500＋1×1411250＋2×92500＝325．或E (Y )＝np ＝2×350＝3256．(2018·湖南湘潭三模)某饭店从某水产养殖厂购进一批生蚝，并随机抽取了40只统计质量，得到结果如表所示：(1)若购进这批生蚝500 kg ，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批生蚝的数量(所得结果保留整数)；(2)以频率估计概率，若在本次购买的生蚝中随机挑选4个，记质量在[5，25)间的生蚝的个数为X ，求X 的分布列及数学期望．解 (1)由表中的数据可以估算一只生蚝的质量为140×(6×10＋10×20＋12×30＋8×40＋4×50)＝28．5(g)， 所以购进500 kg 生蚝，其数量为500000÷28．5≈17544(只)． (2)由表中数据知，任意挑选一只生蚝，质量在[5，25)间的概率为25，由题意知X 的可能取值为0，1，2，3，4，P (X ＝0)＝354＝81625， P (X ＝1)＝C 14251353＝216625， P (X ＝2)＝C 24252352＝216625， P (X ＝3)＝C 34253351＝96625， P (X ＝4)＝254＝16625． ∴X 的分布列为∴E (X )＝0×81625＋1×216625＋2×216625＋3×96625＋4×16625＝85．7．(2018·河南安阳一模)某公司为了准确把握市场，做好产品计划，特对某产品做了市场调查：先销售该产品50天，统计发现每天的销售量x 分布在[50，100)内，且销售量x 的分布频率f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧n 10－0.5，10n ≤x <10(n ＋1)，n 为偶数，n20－a ，10n ≤x <10(n ＋1)，n 为奇数.(1)求a 的值并估计销售量的平均数；(2)若销售量大于或等于70，则称该日畅销，其余为滞销．在畅销日中用分层抽样的方法随机抽取8天，再从这8天中随机抽取3天进行统计，设这3天来自X 个组，求随机变量X 的分布列及数学期望(将频率视为概率)．解 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧10n ≥50，10(n ＋1)≤100，解得5≤n ≤9，n 可取5，6，7，8，9，结合f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧n10－0.5，10n ≤x <10(n ＋1)，n 为偶数，n20－a ，10n ≤x <10(n ＋1)，n 为奇数，得610－0．5＋810－0．5＋520－a ＋720－a ＋920－a ＝1，则a ＝0．15． 可知销售量分布在[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100)内的频率分别是0．1，0．1，0．2，0．3，0．3，∴销售量的平均数为55×0．1＋65×0．1＋75×0．2＋85×0．3＋95×0．3＝81． (2)销售量分布在[70，80)，[80，90)，[90，100)内的频率之比为2∶3∶3，所以在各组抽取的天数分别为2，3，3．X 的所有可能取值为1，2，3， P (X ＝1)＝2C 38＝256＝128， P (X ＝3)＝2×3×3C 38＝1856＝928， P (X ＝2)＝1－128－928＝914． X 的分布列为数学期望E (X )＝1×128＋2×914＋3×928＝167．8．(2018·湖南益阳调研)某工厂有两条相互不影响的生产线分别生产甲、乙两种产品，产品出厂前需要对产品进行性能检测．检测得分低于80的为不合格品，只能报废回收；得分不低于80的为合格品，可以出厂．现随机抽取这两种产品各60件进行检测，检测结果统计如下：(1)试分别估计甲，乙两种产品下生产线时为合格品的概率；(2)生产一件甲种产品，若是合格品，可盈利100元，若是不合格品，则亏损20元；生产一件乙种产品，若是合格品，可盈利90元，若是不合格品，则亏损15元．在(1)的前提下：①记X 为生产1件甲种产品和1件乙种产品所获得的总利润，求随机变量X 的分布列和数学期望；②求生产5件乙种产品所获得的利润不少于300元的概率． 解 (1)甲种产品为合格品的概率约为4560＝34，乙种产品为合格品的概率约为4060＝23．(2)①随机变量X 的所有可能取值为190，85，70，－35， 且P (X ＝190)＝34×23＝12，P (X ＝85)＝34×13＝14， P (X ＝70)＝14×23＝16， P (X ＝－35)＝14×13＝112．所以随机变量X 的分布列为所以E (X )＝1902＋854＋706－3512＝125．②设生产的5件乙种产品中合格品有n 件，则不合格品有(5－n )件， 依题意得，90n －15(5－n )≥300，解得n ≥257，又因为0≤n ≤5，且n 为整数，所以n ＝4或n ＝5，设“生产5件乙种产品所获得的利润不少于300元”为事件A ，则P (A )＝C 45234131＋235＝112243．。