9.2 一阶微分方程
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常微分方程
dy y
P(
x)dx,
ln | y | P( x)dx lnC1 ,(C1为任意常数)
齐次方程的通解为 y Ce P( x)dx (C eC1 )
17
2. 线性非齐次方程 dy P( x) y Q( x) dx
线性齐次方程是线性非齐次方程的特殊情况.
线性齐次方程的通解是 Ce P( x)dx ,
（3）检验改进模型， 观察所得的解能够在多大程度或范围上反映实际问题，
用实际问题检验该模型， 如果存在问题，则需研究， 改进模型.
27
例 冷却问题 将一个温度为50º的物体，放在20º的恒温 环境中冷却，求物体温度变化的规律.
解 冷却定律：“温度为T的物体，在温度为 T0 的环境中 冷却的速率与温差T T0成正比.” 设物体的温度T与时间 t的函数关系为 T T (t),
(t2 x)dt xdx 0 一阶 z x y 一阶
x
未知函数是一元函数的方程为 常微分方程;
未知函数是多元函数的方程为 偏微分方程.
方程中所出现的导数的最高阶数称为 微分方程的阶.
一般的n阶微分方程为 F ( x, y, y,, y(n) ) 0,
或已解出最高阶导数 y(n) f ( x, y, y,, y(n1) ).
9.4 微分方程的应用问题
例 把“大气压随高度变化而降低的速率与所在高度 处的气压成正比”所含关系表示出来.
解：第一步，设未知函数：
设大气压P和高度x之间的函数关系为 P P(x),
大气压随高度变化的速率为 dP
dx
第二步，根据条件写出方程 dP P, 为比例系数，
dx
第三步，取比例系数为正：因 dP 0， 故 0，
第九章 常微分方程
高等数学(微积分)课件--§92一阶微分方程
2
两边积分, 得 1 ln 1 2u 3 ln x ln C 2 1 y 3 或 ln 1 2( ) ln x ln C . 2 x
21
课堂练习
1 求下列齐次方程的通解: x x x y y (2) (1 2e ) 2e (1 )dy 0 y x dx du 解令 u, x yu, u y , y dy dy du u 代入原方程 ， 得 (1 2e )( u y ) 2e u (1 u) 0, dy u 1 2e 1 即 du dy , u y u 2e 两边积分， 得 ln u 2e u ln y ln C
解
分离变量
dy e dx, 2x y 7e
2x
2 ln y ln(7 e 2 x ) C 1
y e
c 2x
dy e2 x dx, 两端积分 2x y 7e
7e
C 7e
2x
4
例题讲解
例 3 求解微分方程
4 xdx 3 ydy 3x 2 ydy 2 xy 2 dx的通解
dy x y 解： dx 2 xy
2
2
dy ( y x) 1 dx 2( y x)
2
y 令u , y ux x
18
例题讲解(续)
dy dux du 1 u 2 ux dx dx dx 2u dx 2u 1 1 du ( )du 2 x 1 u 1 u 1 u ~ ln x ln(1 u ) ln(1 u ) ln c
dy 2 2 例如 2 x y y dy 2 x dx , dx
4 5
9.2一阶微分方程
∫
′
=+=而()()yPxyQx
′
+=()()Pxdxd
ye
dx
∫
∴()(())PxdxeyPxy
∫
′
=+()()PxdxQxe
∫
=【微积分9-2-23】()Qxe=两边同时积分有()()()PxdxPxdxyeQxedxC
∫∫
=+∫所以非齐次方程的通解为()()()PxdxPxdxyeQxedxC???
121
11
1
P
dPPP
P
dPP
?
=?
+【微积分
9-2-18】1
22
21
P
dPP
P
+1
2,
P
u
P
=则为令方程化21
1
u
Puuu
u
?
′
+=?
+分离变量得2
2
211
()2
dP
12
uu
xuu
u
?
′
+=
?化简得22
12
duu
x
dxu
=
?分离变量有1
()
2
dx
udu
ux
?=两边积分有2
111
lnlnln
22
uuxC?=+2【微积分
9-2-17】222
1,uueCxCC?==
?=
==
=∫∫
∫∫∫∫
′
=+=而()()yPxyQx
′
+=()()Pxdxd
ye
dx
∫
∴()(())PxdxeyPxy
∫
′
=+()()PxdxQxe
∫
=【微积分9-2-23】()Qxe=两边同时积分有()()()PxdxPxdxyeQxedxC
∫∫
=+∫所以非齐次方程的通解为()()()PxdxPxdxyeQxedxC???
121
11
1
P
dPPP
P
dPP
?
=?
+【微积分
9-2-18】1
22
21
P
dPP
P
+1
2,
P
u
P
=则为令方程化21
1
u
Puuu
u
?
′
+=?
+分离变量得2
2
211
()2
dP
12
uu
xuu
u
?
′
+=
?化简得22
12
duu
x
dxu
=
?分离变量有1
()
2
dx
udu
ux
?=两边积分有2
111
lnlnln
22
uuxC?=+2【微积分
9-2-17】222
1,uueCxCC?==
?=
==
=∫∫
∫∫∫∫
922一阶线性微分方程
例3.有一质量为m的质点,从液面由静止状态开始垂直下 降,设在沉降过程中质点所受的阻力与沉降速度v成正比, 比例系数为k(k>0),试求质点下沉速度v及位置x与沉降时 间t的关系.
解：由牛顿第二定律： m dv m g kv ， v(0) 0 dt
dv
k
v
g, 通解： v
mg
k t
方程通解
例1 求方程 y 1 y sin x 的通解. xx
解 P( x) 1 , Q( x) sin x ,
x
x
y
e
1 x
dx
sin x
x
e
1 x
dx
dx
C
e
ln
x
si
n x
x
eln
xdx
C
1 x
si
n
xdx
C
积分得 u( x) Q( x)e P( x)dxdx C ,
一阶线性非齐次微分方程的通解为:
y [ Q( x)e P( x)dxdx C ]e P( x)dx
Ce P( x)dx e P( x)dx Q( x)e P( x)dxdx
对应齐次
非齐次方程特解
Ce m
dt m
k
由 v(0) 0 得 C m g ， k
特解为
v
mg
(1
k t
em)
k
续解：
dx
v
一阶微分方程解法
解法概述
01
一阶微分方程的解法主要包括分离变量法、常数变易法、积分因子法 等。
02
分离变量法适用于可以将方程改写为$frac{dy}{dx} = f(x)g(y)$形式的 方程。
03
常数变易法适用于形如$frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$的线性方程， 通过设定一个合适的常数变易，将方程转化为易于求解的形式。
06
可降阶的高阶微分方程解法
可降阶的高阶微分方程的概念
定义
可降阶的高阶微分方程是指可以通过适当的变换，将其化为较低阶的微分方程进行求解的一类高阶微 分方程。
分类
可降阶的高阶微分方程主要包括y''=f(x)型、y''=f(x,y')型和y''=f(y,y')型三种类型。
可降阶的高阶微分方程的解法
01
y''=f(x)型的解法
通过积分将二阶微分方程化为一阶微分方程进行求解。
02
y''=f(x,y')型的解法
通过适当的变量代换，将原方程化为关于新变量的一阶微分方程进行求
解。
03
y''=f(y,y')型的解法
令y'=p，将原方程化为关于y和p的一阶微分方程组进行求解。
可降阶的高阶微分方程的应用举例
常数变易法的步骤
第一步
观察原方程，确定需要变易的常数及其形式。
第二步
引入新的变量，将原方程中的常数替换为相应的函数，得到新方程。
第三步
求解新方程，得到通解或特解。
第四步
将通解或特解中的新变量还原为原方程的常数，得到原方程的解。
ch9-2-1-2一阶微分方程103 共34页
(x)
代入公式，
y(1x)Q(x)(x)dx C 其中 C， C1
因此，计算中绝对值符号可省略。
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9
例 9求微分 xyy 方 co x 程 s 的通解
解 方程变形为 y1 ycosx xx
则 P(x) 1，Q(x) cosx，
x
x
所以通解为
dx
当Q(x)0 时称，为一阶线性非齐次方程 .
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2
1. 解一阶线性齐次方程 dyP(x)y0
dx
分离变量，得 dy P(x)dx
y
两边积分
dy y
P(x)dx，
得 ln y P (x )d xln C
所以通解为 yCeP(x)dx
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分离变量得 两边积分
(11)dudx
u
x
(11)du dx
u
x
得u ln u C ln x ， 即ln x uuC ，
所以所给方程的通解为
lny y C．
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x
15
例 3求(x 方 2 y 2 )d 程 y 2 xd y x 0 满 y (0 ) 足 1 的特
§9.2 一阶微分方程
可分离变量的方程 一阶线性微分方程 齐次型方程 伯努里方程
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1
§9.2 一阶微分方程
二. 一阶线性微分方程
形如 dyP(x)yQ(x) 的方程，一 称阶 为线性， 方 dx
其中P(x)、Q(x) 是连续 Q(的 x) 称， 为自由项．
当Q(x)0 时d， yP(x)y0 称为一阶线性齐次方程 ;
代入公式，
y(1x)Q(x)(x)dx C 其中 C， C1
因此，计算中绝对值符号可省略。
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9
例 9求微分 xyy 方 co x 程 s 的通解
解 方程变形为 y1 ycosx xx
则 P(x) 1，Q(x) cosx，
x
x
所以通解为
dx
当Q(x)0 时称，为一阶线性非齐次方程 .
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1. 解一阶线性齐次方程 dyP(x)y0
dx
分离变量，得 dy P(x)dx
y
两边积分
dy y
P(x)dx，
得 ln y P (x )d xln C
所以通解为 yCeP(x)dx
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分离变量得 两边积分
(11)dudx
u
x
(11)du dx
u
x
得u ln u C ln x ， 即ln x uuC ，
所以所给方程的通解为
lny y C．
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x
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例 3求(x 方 2 y 2 )d 程 y 2 xd y x 0 满 y (0 ) 足 1 的特
§9.2 一阶微分方程
可分离变量的方程 一阶线性微分方程 齐次型方程 伯努里方程
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§9.2 一阶微分方程
二. 一阶线性微分方程
形如 dyP(x)yQ(x) 的方程，一 称阶 为线性， 方 dx
其中P(x)、Q(x) 是连续 Q(的 x) 称， 为自由项．
当Q(x)0 时d， yP(x)y0 称为一阶线性齐次方程 ;
经济数学基础微积分课件 常微分方程
例2 验证函数 y e x e x 是不是方程
y 2 y y 0的解.
解 求 y e x e x 的导数，得 y e x e x , y e x e x
将y、y及y 代入原方程的左边，有
e x e x 2e x 2e x e x e x 0 即函数 y e x e x 不满足原方程，
前页 后页 结束
M1(x) N1(x)
d
x
N2(y) M 2( y)
d
y
0
将（9.2.3）式两边积分后，
（9.2.3）
M1(x) N1(x)
d
x
N2(y) M 2( y)
d
y
C
（C为任意常数）
可验证，此结果即用隐式给出的方程（9.2.3）的通解．
约定:
在微分方程这一章中不定积分式表示被积函数的一
y e p(x)d x q(x)e p(x)d x d x C
即为所求（9.3.1）的通解．
前页 后页 结束
例1 求微分方程 dy 2xy 2xe x2 的通解． dx
解 p(x) 2x, q(x) 2xex2
代入公式
y e2xd x 2xex2 e2xd x d x C
常微分方程
9.1 常微分方程的基本概念 9.2 可分离变量的微分方程 9.3 一阶微分方程与可降阶
的高阶微分方程 9.4 二阶常系数微分方程 9.5 常微分方程的应用举例
结束
9.1 常微分方程的基本概念
定义一 含有未知函数的导数（或微分）的方程称为 微分方程。
常微分方程：未知函数是一元函数的微分方程 偏微分方程：未知函数是多元函数的微分方程 定义二 在微分方程中，所出现的未知函数的最高阶
一阶微分方程
(91)5
的微,分 当 c 方 c 1 程 0 时 , 为齐次方程.
解
分离变量,
dy adx y(N y)
即有
1 1 dyaN dx y Ny
两边积分, 得
ln y aNxlnClnCeaNx Ny
由于y 0, 整理得通解 Ny
y
CNC 1,
4
3
于是所求特解为
y 3NeeNNaaxx.
例4 某公 t年司 净W 资 (t)(单 产 :百 位 有 万 ),并且元 资产本身以 5%每 的年 速度连续 ,同时增该长 公司每 年要以30百万元的数额连续支付职工工资. (1)给出描述 W(净 t)的资 微产 分 ; 方程 (2)求解方 ,这 程时假设初始W 净 0; 资产为 (3)讨论 W 05在 0 ,600 ,700 三 0 种,W 情 (t)的 况 变 化特 . 点
当 W060百 0 万,元 公司时 将收支平衡, 净资产保持
在600百万元不变; 当 W 070百 0 万,公 元司 时净 将按指数不断增长.
二、齐次微分方程
1. 齐次微分方程
形如
d d x yf x y
(9 1)2
的一阶微分方程, 称为齐次微分方程, 简称齐次方程.
例如, ( x y y 2 ) d x ( x 2 2 x ) d y y 0 ,
解 (1) 利用平衡法, 即由
净资产增长速度= 资产本身增长速度 职工工资支付速度
得到方程 dW0.05W30 dt
(2) 分离变量, 得 dW 0.05dt W600
积分, 得 lW n 6 0 0 .0 0 t 5 lC n(C为正常数)
于是
W 600 C e0.0t5
或 W 6 0 A e 0 0 .0t5(A C )
一阶微分方程解法
一阶微分方程解法在数学的领域中，一阶微分方程是一个重要的研究对象，它在物理学、工程学、经济学等众多学科中都有着广泛的应用。
那么，什么是一阶微分方程呢？简单来说，一阶微分方程就是指方程中只含有一阶导数的微分方程。
一阶微分方程的一般形式可以表示为：＄y' ＋ P(x)y ＝ Q(x)＄，其中$y'＄表示$y$对$x$的一阶导数，＄P(x)＄和$Q(x)＄是关于$x$的已知函数。
接下来，我们就来探讨一下一阶微分方程的常见解法。
一、可分离变量的一阶微分方程如果一阶微分方程可以写成$g(y)y' ＝ f(x)＄的形式，那么我们就称它为可分离变量的一阶微分方程。
对于这种类型的方程，我们可以通过将变量分离，然后两边积分来求解。
具体的求解步骤如下：首先，将方程变形为$＼frac{g(y)｝｛y'｝＝ f(x)＄。
然后，将两边分别积分：＄＼int ＼frac{g(y)｝｛y'｝dx ＝＼intf(x)dx$。
最后，经过积分运算，求出$y$的表达式。
例如，对于方程$y' ＝ 2xy$，我们可以将其变形为$＼frac{dy}｛y} ＝ 2xdx$，然后两边积分得到$＼ln|y| ＝ x^2 ＋ C$，进而得到$y ＝ Ce^｛x^2}＄（其中$C$为常数）。
二、一阶线性微分方程一阶线性微分方程是形如$y' ＋ P(x)y ＝ Q(x)＄的方程。
对于这种类型的方程，我们可以使用积分因子法来求解。
首先，求出积分因子$＼mu(x) ＝ e^｛＼int P(x)dx}＄。
然后，将原方程两边同时乘以积分因子$＼mu(x)＄，得到：＄e^｛＼int P(x)dx}y' ＋ P(x)e^｛＼int P(x)dx}y ＝ Q(x)e^｛＼intP(x)dx}＄此时，左边可以变形为$（ye^｛＼int P(x)dx}）＇＄。
于是，原方程就变成了$（ye^｛＼int P(x)dx}）＇＝ Q(x)e^｛＼int P(x)dx}＄。
一阶微分方程解法
= e∫
cot ydy
cot ydy [ ∫ sin 2 ye ∫ dy + c ]
13
ln sin y [ sin 2 y e ln sin y dy c ] =e + ∫
1 dy + c ] = sin y[ ∫ sin y sin y
2
= sin y[ cos y + c ]
将初始条件 x = 1, y = π/2 代入上式, 得 c = 1 故满足初始条件的特解为 x = siny(1-cosy) -
4
两边积分,得
即
p = c1
1 Q2 e 2
又将初始条件Q = 0 时, p = 100代入上式, 得 c 1=100 故需求函数为
p=
1 Q2 100e 2
二. 可化为变量可分离的方程 1. 齐次方程
y y ' = f ( ) 的一阶方程，称为齐次微分方程, 简称 形如 x
齐次方程.
y u= , 即 引入新的变换 x y = ux
1 x2
=
1 2 3 2 y + y 2 4
19
于是
u = ln x + c
将u =
y 代入上式, 并化简得方程的通解为 x
y = x (ln x + c )2
例6 求方程 x 解
dy = y(ln y ln x ) 的通解. dx
将方程恒等变形 为
dy y y = ln dx x x
y 令 u= , 即 x
dy du y = ux 则得 = x +u dx dx
= y 2 [ ∫ ( 2 y ) y 2 dy + c ]
= y 2 [ 1 4 1 y + c ] = y 2 + cy 2 2 2
9.2一阶微分方程
将 W (0) W0 代入 , 有W0 600 A 所以方程通解: W 600 (W0 600)e0.05t
上式推导过程中W 600,
当W 600 时,
dW 0, dt
可知 W 600 W0 ,
通常称为平衡解, 仍包含在通解表达式中.
(3) 由通解表达式可知, 当W0 500 百万元时, 净资产额单调递减, 公司将在第36年破产;
y(0) 1 N 的特解, 式中a 0, N y 0. 4
解
分离变量,
dy adx y(N y)
即有
1 1 dy aNdx y N y
两边积分, 得
ln y aNx lnC lnCeaNx Ny
由于 y 0, 整理得通解 Ny
y
CNe Nax 1 CeNax
(C为正常数)
P ( x )dx
Q(
x)e
P
(
x )dxdx
C
.
(9 19)
这种利用因子e P( x)dx 求解方程的方法叫积分因子法,
e P( x)dx 称为积分因子.
下面介绍解方程（9 16)的常用方法，步骤如下：
求出方程（9 16) 对应的齐次方程（9 17) 的通解
y Ce P( x)dx , 将 C 换成待定函数 C( x), 即令方程（9 16) 的通解为
P2
e P1 CP1P2
其中C 为任意正的常数.
三、一阶线性微分方程
形如
y P( x) y Q( x)
(9 16)
的一阶微分方程, 称为一阶线性微分方程, 其中,
若 Q( x) 0, 方程变为 y P( x) y 0
(9 17)
则称方程(9-17)为一阶齐次线性方程,
总结一阶微分方程的类型及其解法概要
总结一阶微分方程的类型及其解法概要一阶微分方程是指仅包含一个未知函数及其导数的方程。
它们在物理学、工程学、经济学等各个领域中有着广泛的应用。
本文将总结一阶微分方程的不同类型及其解法概要。
1.可分离变量微分方程：可分离变量微分方程的形式为 dy/dx = f(x)g(y)，其中f(x)和g(y)是x和y的函数。
解这类方程的一般步骤如下：1) 将方程变换为 g(y)dy = f(x)dx；2) 对方程两边同时积分，得到∫g(y)dy = ∫f(x)dx；3)求出不定积分后，得到方程的解。
2.齐次方程：齐次方程的形式为 dy/dx = f(x,y)，其中f(x,y)是x和y的函数。
解这类方程的一般步骤如下：1) 将方程变换为 dy/dx = F(x,y)，其中 F(x,y) = f(x,y)/y；2) 设v = y/x作为新的未知函数，将原方程转化为 dv/dx + v/x = F(x,v)；3)使用变量分离法或者常数变异法解得v=v(x)，再由v=y/x求出y(x)。
3.线性方程：线性方程的形式为 dy/dx + P(x)y = Q(x)，其中P(x)和Q(x)是x的函数。
解这类方程的一般步骤如下：1)设想解的形式为y=u(x)v(x)，其中u(x)是x的函数，v(x)是正常的待定函数。
2)将y=u(x)v(x)代入原方程，化简得到v(x)的方程。
3)求解得到v(x)的表达式，然后再解出u(x)的方程。
4)将u(x)和v(x)的表达式代入y=u(x)v(x)，得到方程的解。
4. Bernoulli方程：Bernoulli方程的形式为 dy/dx + P(x)y = Q(x)y^n，其中P(x)、Q(x)是x的函数，n是常数（不等于0和1）。
解这类方程的一般步骤如下：1)假设解的形式为y=u(x)^m，其中u(x)是x的函数。
2)将y=u(x)^m代入原方程，将原方程转化为关于u(x)的方程。
3)使用变量分离法或常数变异法解得u(x)的表达式。
大学高等数学上册：9.2.2 一阶线性微分方程
3、 dy dx
1 x sin2 ( xy)
y. x
六、已知微分方程 y y g( x),其中
g( x)
2 0
, ,
0 x
x 0
1,试求一连续函数y
y( x) ,满
足条件 y(0) 0 ,且在区间[0 , ) 满足上述方程 .
练习题答案
一、1、 y ( x C )esin x ；
2、2x ln y ln2 y C ；
y
dy
C
cos
yC
2 cos
y.
三、设有一质量为 m 的 质点作直线运动从速度等于零
的时刻起,有一个与运动方向一致,大小与时间成正 比(比例系数为 k1 )的力作用于它,此外还受 一与速度成正比(比例系数为 k2 )的阻力作用,求质
点运动的速度与时间的函数关系 .
四、求下列伯努利方程的通解:
1、 y
P(
x)dx,
两边积分
ln
y
Q( x)dx y
P( x)dx,
设
Q( x)dx为v( y
x
),
ln y v( x) P( x)dx,
即 y e e v( x) P( x)dx . 非齐次方程通解形式
与齐次方程通解相比: C u( x)
常数变易法 把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. 实质: 未知函数的变量代换. 新未知函数 u( x) 原未知函数 y( x),
y
x
sin
y
的通解.
思考题解答
dx cos y sin 2 y x sin y sin 2 y x tan y,
dy
cos y
dx tan y x sin 2 y,
微积分课件（高教社版朱来义编）——第九章9-1
第9章微分方程初步§9.1 微分方程的基本概念§9.2 一阶微分方程§9.3 二阶常系数线性微分方程§9.4 微分方程在经济学中的应用§9.1 微分方程的基本概念一、问题的提出例1 一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点),(y x M 处的切线的斜率为x 2,求这曲线的方程.解)(x y y =设所求曲线为x dxdy 2=∫=xdx y 2(1)2y =且,2C x y +=,1=C 求得.12+=x y 所求曲线方程为(1)2y =由条件⇒⇒⇒#例2 列车在平直的线路上以20米/秒的速度行驶,当制动时列车获得加速度4.0−米/秒2,问开始制动后多少时间列车才能停住？以及列车在这段时间内行驶了多少路程？解)(,t s s s t =米秒钟行驶设制动后4.022−=dtsd ,20,0,0====dt ds v s t 时14.0C t dtdsv +−==2122.0C t C t s ++−=代入条件v(0)=20120C ⇒=,202.02t t s +−=,204.0+−==t dtdsv ),(504.020秒==t 列车在这段时间内行驶了).(5005020502.02米=×+×−=s 开始制动到列车完全停住共需代入条件s(0)=020C ⇒=#含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程。
例,xy y =′,0)(2=++xdx dt x t ,32x e y y y =−′+′′,y x xz+=∂∂二、微分方程的定义联系自变量、未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)的关系式：()(,,,,)0n F x y y y ′= 微分方程的实质：微分方程的阶:分类1: 常微分方程& 偏微分方程。
,0),,(=′y y x F );,(y x f y =′,0),,,,()(=′n y y y x F ).,,,,()1()(−′=n n y y y x f y 分类2: 一阶微分方程& 高阶(n阶)微分方程。
第二节一阶微分方程-精选文档28页
P (x )d x six d n x co x , s
由通解公式即可得到方程的通解为
y Cecosx.
例 7 求方程 (y - 2xy) dx + x2dy = 0 满足初始
条件 y|x=1 = e 的特解. 解 将所给方程化为如下形式：
ddxy1x22xy0,
这是一个线性齐次方程， 且P(x)1x22x,
y eC1 1 , x
令 C 2 eC 1,则 yC 21 x,C 20.
另外，y = 0 也是方程的解，所以yC2 x
中的 C2 可以为 0， 因此 C2 为任意常数．
这样，方程的通解是
y C . x
求解过程可简化为：
分离变量得 两边积分得 即通解为
dy dx , yx
ddxy1y22 y x1, 这是一个关于未知函数 x = x(y) 的一阶线性非齐次 方程， 其中 P(y)1y22 y, 它的自由项 Q(y) = 1.
代入一阶线性非齐次方程的通解公式，有
xe1y22ydyC
12ydy e y2 dy
1
1
1
y2ey(Cey)y2(1Cey),
1.一阶线性齐次方程的解法
一阶线性齐次方程
yP(x)y0
是可分离变量方程. 分离变量，得
两边积分，得
dy P(x)dx, y
ln yP (x)d xln C ,
所以，方程的通解公式为
yCeP(x)dx.
例 6 求方程 y + (sin x)y = 0 的通解. 解 所给方程是一阶线性齐次方程，且 P(x) = sin x， 则
解 分离变量得
dy kdx, y(ya)
即
由通解公式即可得到方程的通解为
y Cecosx.
例 7 求方程 (y - 2xy) dx + x2dy = 0 满足初始
条件 y|x=1 = e 的特解. 解 将所给方程化为如下形式：
ddxy1x22xy0,
这是一个线性齐次方程， 且P(x)1x22x,
y eC1 1 , x
令 C 2 eC 1,则 yC 21 x,C 20.
另外，y = 0 也是方程的解，所以yC2 x
中的 C2 可以为 0， 因此 C2 为任意常数．
这样，方程的通解是
y C . x
求解过程可简化为：
分离变量得 两边积分得 即通解为
dy dx , yx
ddxy1y22 y x1, 这是一个关于未知函数 x = x(y) 的一阶线性非齐次 方程， 其中 P(y)1y22 y, 它的自由项 Q(y) = 1.
代入一阶线性非齐次方程的通解公式，有
xe1y22ydyC
12ydy e y2 dy
1
1
1
y2ey(Cey)y2(1Cey),
1.一阶线性齐次方程的解法
一阶线性齐次方程
yP(x)y0
是可分离变量方程. 分离变量，得
两边积分，得
dy P(x)dx, y
ln yP (x)d xln C ,
所以，方程的通解公式为
yCeP(x)dx.
例 6 求方程 y + (sin x)y = 0 的通解. 解 所给方程是一阶线性齐次方程，且 P(x) = sin x， 则
解 分离变量得
dy kdx, y(ya)
即
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ln W 600 0.05 t ln C
(C为正常数 )
W 600 Ce0.05t
W 600 Ae0.05t ( A C )
将 W (0) W0 代入 , 有W0 600 A 所以方程通解:
W 600 (W0 600)e
0.05t
上式推导过程中W 600,
ye
P ( x ) dx
Q( x )e P ( x )dx dx C .
这种通过将齐次方程通解中任意常数变易为待 定函数的方法称为常数变易法.
常数变异法求解y P( x ) y Q( x )的步骤：
（ 1）求对应的齐次方程y P( x ) y 0的解，得到 P ( x ) dx y Ce
下面介绍解方程 （9 16) 的常用方法，步骤如下：
求出方程 （ 9 16) 对应的齐次方程 （ 9 17) 的通解
y Ce
P ( x ) dx
,
将 C 换成待定函数 C ( x ) , 即令方程 （ 9 16) 的通解为
y C ( x )e
P ( x ) dx
( 3) 讨论在 W0 500, 600, 700 三种情况下 , W ( t ) 的变 化特点.
解 (1) 利用平衡法, 即由
净资产增长速度= 资产本身增长速度 职工工资支付速度
dW 0.05W 30 得到方程 dt dW (2) 分离变量, 得 0.05 dt W 600
积分, 得 于是 或
例9
解
求方程 x 2 y xy 1 的通解 .
方法一、由方程对应的齐次方程 2 x y xy 0
分离变量, 得
1 1 dy dx y x
二、齐次微分方程
1. 齐次微分方程 形如
dy y f dx x
2 2
(9 12)
的一阶微分方程, 称为齐次微分方程, 简称齐次方程. 例如,
( xy y )dx ( x 2 xy )dy 0 ,
2
y y 2 dy xy y x x 2 . dx x 2 xy y 1 2 x 所以该方程是齐次方程.
所给方程为齐次方程, 整理得 p1 1 dP1 P2 P1 dP2 1 P1 P2 P2 P1 1 u 令 u , 则有 P2 u u u P2 1 u 解
分离变量, 得
dP2 1 1 2 du 2 P2 u u
1 ln u ln P22 ln C 积分, 得 u
P1 将 u 回代, 于是有通解 P2
e
P2 P1
CP1 P2
其中 C 为任意正的常数.
三、一阶线性微分方程
形如
y P ( x ) y Q ( x ) (9 16)
的一阶微分方程, 称为一阶线性微分方程, 其中,
若 Q( x ) 0 , 方程变为 y P ( x ) y 0
P ( x ) dx P ( x ) dx e ( y P ( x ) y ) e Q( x )
P ( x ) dx P ( x ) dx d P ( x ) dx y e ( y P ( x ) y ) Q( x )e , e dx
于是所求特解为
Ne y Nax . 3e
Nax
例4 某公司t 年净资产有 W (t ) (单位 : 百万元) , 并且
资产本身以每年 5% 的速度连续增长 , 同时该公司每
年要以30百万元的数额连续支付职工工资.
(1) 给出描述净资产 W (t ) 的微分方程;
(2) 求解方程 , 这时假设初始净资产为W0 ;
,
(9 Q( x )，得
C ( x )e P ( x )dx P ( x )C ( x )e P ( x )dx Q( x )
C ( x )e
P ( x ) dx
C ( x ) P ( x )e
2 即得通解 arctan y ( x 1)3 C ( C为任意常数 ) 3
例2 解
求方程 4 xdx 3 ydy 3 x 2 ydy 的通解 .
合并同类项, 得
4 xdx 3 y(1 x 2 )dy 4x 分离变量, 得 2 dx 3 ydy 1 x 4x 2x 3 两边积分, 得 d x 3 ydy d x yd y 2 2 1 x 1 x 2 3 2 d(1 x 2 ) 3 2 ydy ln(1 x ) y ln C . 2 4 1 x 2
即有通解 1 x 2 e
3 2 y ln C 4
Ce
3 2 y 4
( C 为正常数 )
dy 例3 求解逻辑斯蒂方程 ay( N y ) 的通解 , 以及 dx 1 y(0) N 的特解 , 式中 a 0 , N y 0 . 4 dy 解 分离变量, adx y( N y )
对应的齐次线性方程的通解为
y Ce
P ( x )dx
.
(9 18)
其中 C 为任意常数.
2. 一阶非齐次线性方程的解法
y Ce
P ( x ) dx
将方程 （9 17) 的通解变形为
P ( x ) dx ye C,
P ( x ) dx d P ( x )dx y e ( y P ( x ) y ) 0, 两边求导，得 e dx P ( x ) dx 将方程 (9 16) 两端同乘 e , 利用上面的等式 , 得
均为可分离变量方程. 将微分方程化为分离变量形式求解方程的方法， 称为分离变量法.
dy 2( x 1)2 (1 y 2 ) 的通解 . 例1 求方程 dx
解
分离变量, 得
1 2 d y 2 ( x 1 ) dx 2 1 y
两边积分, 得
1 2 d y 2 ( x 1 ) dx 1 y2
dW 0, 可知 W 600 W0 , 当W 600 时 , dt 通常称为平衡解, 仍包含在通解表达式中.
(3) 由通解表达式可知, 当W0 500 百万元时 ,
净资产额单调递减, 公司将在第36年破产;
当W0 600 百万元时 , 公司将收支平衡, 净资产保持
在600百万元不变; 当W0 700百万元时, 公司净资产 将按指数不断增长.
则称方程(9-17)为一阶齐次线性方程,
(9 17)
若 Q( x ) 不恒等于零 ,
则称方程 ( 9 16 ) 为一阶非齐次线性方程.
1. 一阶齐次线性方程的解法
dy P ( x ) y 0. dx
可分离变量的方程
dy 分离变量，得 P ( x )dx , y
两端积分，得 ln y P ( x )dx ln C ,
1 1 2 ~ ln u u ln x ln C 2 2
积分, 得
即 ue
u2
2 Cx 2 , C C
y 将 u 回代, 得方程通解 x
ye
y2 2 x
Cx 3
其中 C 为任意常数 .
例7 设商品 A 和商品 B 的售价分别为 P1 , P2 , 已知
价格 P1 与 P2 相关 , 且价格 P1 相对于 P2 的弹性为 P2dP1 P2 P1 , 求 P1 与 P2 的函数关系式 . P1dP2 P2 P1
dy y 齐次方程 f 的解法： dx x y 令 u 或 y xu x 其中 u 是新的未知函数 u u( x ) ,
y xu u
(9 13)
代入方程 ( 9 12 ) ，得 xu u f (u)
du 即x f ( u) u dx
的一阶微分方程, 称为可分离变量方程.
对（9-10）两边积分, 得通解
f ( x ) d x g( y ) d y C
例如 dy ( x )h( y ) , dx
(9 11)
M 1 ( x ) M 2 ( y )dy N 1 ( x ) N 2 ( y )dx 0 .
(2)对上面的解常数变异,即令y C ( x )e
P ( x ) dx
.
(3)将上述表达式代入原方程, 解得
P ( x ) dx C ( x ) Q( x )e dx C
(4)将C ( x)的表达式代回（2）中表达式得到通解：
ye
P ( x ) dx
Q( x )e P ( x ) dx dx C .
ln sin u ln x ln C ln xC
y 即 sin u Cx 将 u 代入上式 , 即得方程通解 x y sin Cx ( y x arcsin Cx ) 其中 C 为任意常数 . x
例6 求方程 ( x 3 2 xy2 )dy (2 y 3 3 yx 2 )dx 0 的通解 .
解
将方程改写为齐次方程
y y 2 3 dy x x 2 dx y 1 2 x
y 3u 2u 3 令 u , 则有 xu u 2 , x 1 2u
3
即
du 2u x dx 1 2 u 2
dx 1 分离变量, 得 u du x 2u
P ( x ) dx
P ( x )C ( x )e
P ( x ) dx
Q( x ) ,
即得 C ( x ) Q( x )e
P ( x ) dx
, 两边积分得
P ( x ) dx C ( x ) Q( x )e dx C ,