小专题(九) 构造基本图形解直角三角形的实际问题

类型 4 与梯形有关的解直角三角形
6．如图，梯形 ABCD 是拦水坝的横断面图，斜面坡度 i＝1∶ 3是指坡面的铅
直高度 DE 与水平宽度 CE 的比，∠B＝60°，AB＝6，AD＝4，求拦水坝的横断
面 ABCD 的面积．(结果保留小数点后一位．参考数据： 3≈1.732， 2≈1.414) 过点 A 作 AF⊥BC，垂足为点 F.
AD 在 Rt△ACD 中，tan∠ACD＝CD， 则 AD＝x·tan42°.
BD 在 Rt△BCD 中，tan∠BCD＝CD， 则 BD＝x·tan55°. ∵AB＝80 海里，∴AD＋BD＝80 海里， ∴x·tan42°＋x·tan55°＝80. 解得 x≈34.4. 答：海轮在航行过程中与灯塔 C 的最短距离是 34.4 海里．
A 处观察灯塔 P 在北偏东 60°方向，该海轮向正东方向航行 8 海里到达点 B 处，
这时观察灯塔 P 恰好在北偏东 45°方向．如果海轮继续向正东方向航行，会有触
礁的危险吗？试说明理由．(参考数据： 3≈1.73) 没有触礁的危险．理由如下： 作 PC⊥AB 于 C，∠PAC＝30°，∠PBC＝45°，AB＝8， 设 PC＝x， 在 Rt△PBC 中，∵∠PBC＝45°， ∴△PBC 为等腰直角三角形． ∴BC＝PC＝x.
小专题(九) 构造基本图形 解直角三角形的实际问题
类型 1 构造单一直角三角形 1．平放在地面上的直角三角形铁板 ABC 的一部分被沙堆掩埋，其示意图如 图所示．量得∠A 为 54°，斜边 AB 的长为 2.1 m，BC 边上露出部分的长为 0.9 m．求铁板 BC 边被掩埋部分 CD 的长．(结果精确到 0.1 m，参考数据： sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38)

5．如图，一艘海轮在 A 点时测得灯塔 C 在它的北偏东 42°方向上，它沿正东方 向航行 80 海里后到达 B 处，此时灯塔 C 在它的北偏西 55°方向上． (1)求海轮在航行过程中与灯塔 C 的最短距离(结果精确到 0.1)；
过 C 作 CD⊥AB 于点 D. 根据题意得：∠ACD＝42°，∠BCD＝55°. 设 CD 的长为 x 海里，
过点 D 作 DF⊥ME 于点 F，分别延长 AD、EM 相交于点 P， ∵坡面 DE＝20 米，山坡的坡度 i＝1∶ 3，即 tan∠DEM＝1∶ 3， ∴在 Rt△DFE 中，由勾股定理求得 DF＝10 米，EF＝10 3米． 在 Rt△DFP 中， ∵∠P＝30°， ∴PF＝10 3米，即 PN＝PF＋FE＋EC＋CN＝(20 3＋30)米．
类型 3 背靠背三角形 4．(宜宾中考)如图，某市对位于笔直公路 AC 上两个小区 A、B 的供水路线进行 优化改造．供水站 M 在笔直公路 AD 上，测得供水站 M 在小区 A 的南偏东 60° 方向，在小区 B 的西南方向，小区 A、B 之间距离为 300( 3＋1)米．求供水站 M 分别到小区 A、B 的距离．(结果可保留根号)
AN 在 Rt△PNA 中，∵tan∠APF＝PN， ∴AN＝PN·tan∠APF＝(20 3＋30)·tan30°＝(20＋10 3)米． 在 Rt△BCN 中，∠BNC＝90°，∠BCN＝45°，∴CN＝BN＝20 米． ∵AB＝AN－BN，∴AB＝20＋10 3－20＝10 3≈17.3＝17(米)． 答：条幅的长度约为 17 米．
在 Rt△ABF 中，∠B＝60°，AB＝6，
∴AF＝ABsinB＝6sin60°＝3 3， BF＝ABcosB＝6cos60°＝3.
∵AD∥BC，AF⊥BC，DE⊥BC，
作 ME⊥AB，垂足为 E.设 ME＝x 米． 在 Rt△AME 中，∠MAE＝90°－60°＝30°，
ME ∴AM＝2ME＝2x, AE＝tan30°＝ 3x. 在 Rt△BME 中，∠MBE＝90°－45°＝45°， ∴ME＝EB＝x，MB＝ 2x. ∴AE＋BE＝AB＝300( 3＋1)，即 3x＋ x＝300( 3＋1)，解得 x＝300. ∴AM＝2ME＝2x＝600， MB＝ 2x＝300 2. 答：供水站 M 分别到小区 A、B 的距离分别是 600 米、300 2米．
PC 在 Rt△PAC 中，∵tan∠PAC＝AC，
PC
x
∴AC＝tan30°，即 8＋x＝
， 3
3
解得 x≈10.92， 即 PC≈10.92. ∵10.92>10， ∴海轮继续向正东方向航行，没有触礁的危险．
3．(铁岭中考)如图，大楼 AN 上悬挂一条幅 AB，小颖在坡面 D 处测得条幅顶部 A 的仰角为 30°，沿坡面向下走到坡脚 E 处，然后向大楼方向继续行走 10 米来 到 C 处，测得条幅的底部 B 的仰角为 45°，此时小颖距大楼底端 N 处 20 米，已 知坡面 DE＝20 米，山坡的坡度 i＝1∶ 3(即 tan∠DEM＝1∶ 3)，且 D、M、 E、C、N、B、A 在同平面内，E、C、N 在同一直线上，求条幅的长度(结果精确 到 1 米)．(参考数据： 3≈1.73， 2≈1.41)
由题意，得∠C＝180°－∠B－∠A＝180°－36°－54°＝90°. BC
在 Rt△ABC 中，sin A＝AB， 则 BC＝AB·sinA＝2.1sin54°≈2.1×0.81＝1.701， 则 CD＝BC－BD＝1.701－0.9＝0.801≈0.8(m)．
类型 2 母子三角形
2．(宿迁中考)如图，大海中某灯塔 P 周围 10 海里范围内有暗礁，一艘海轮在点
(2)求海轮在 B 处时与灯塔 C 的距离(结果保留整数)． (参考数据：sin55°≈0.819，cos55°≈0.574，tan55°≈1.428，tan42°≈0.900， tan35°≈0.700，tan48°≈1.111)
CD 在 Rt△BCD 中，cos55°＝BC，
CD ∴BC＝cos55°≈60(海里)． 答：海轮在 B 处时与灯塔 C 的距离是 60 海里．