高三理科数学第一轮复习讲义第62课时空间的角
2021高考江苏版(理)数学一轮复习讲义： 附加题部分 第1章 第62课 离散型随机变量的均值与方差
第62课离散型随机变量的均值与方差[最新考纲]内容要求A B C离散型随机变量的均值与方差√1．离散型随机变量的均值与方差一般地，假设离散型随机变量X的概率分布为X x1x2…x i…x nP p1p2…p i…p n(1)均值称E(X)＝μ＝x1p1＋x2p2＋…＋x i p i＋…＋x n p n为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．(2)方差称V(X)＝σ2＝∑ni＝1(x i－E(X))2p i＝∑ni＝1x2i p i－μ2为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根σ＝V(X)为随机变量X的标准差．2．均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.(2)V(aX＋b)＝a2V(X)．(a，b为常数)3．两点分布与二项分布的均值、方差(1)假设X服从两点分布，那么E(X)＝p，V(X)＝p(1－p)．(2)假设X～B(n，p)，那么E(X)＝np，V(X)＝np(1－p)．1．(思考辨析)判断以下结论的正误．(正确的打“√〞，错误的打“×〞) (1)期望是算术平均数概念的推广，与概率无关．( ) (2)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量．( )(3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，那么偏离均值的平均程度越小. ( )(4)在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分，如果某运发动罚球命中的概率为0.7，那么他罚球1次的得分X 的均值是0.7.( )[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√ 2．(教材改编)X 的概率分布为设73 [E (X )＝－1×12＋0×13＋1×16＝－13， 那么E (Y )＝2E (X )＋3＝3－23＝73.]3．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝15(k ＝2,4,6,8,10)，那么V (ξ)等于________．8 [∵E (ξ)＝15(2＋4＋6＋8＋10)＝6， ∴V (ξ)＝15[(－4)2＋(－2)2＋02＋22＋42]＝8.]4．(2021·四川高考)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，那么在2次试验中成功次数X 的均值是________．32 [同时抛掷两枚质地均匀的硬币，至少有一枚硬币正面向上的概率P ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝34. 又X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，34，∴成功次数X 的均值E (X )＝2×34＝32.]5．假设X ～B (n ，p )，且E (X )＝6，V (X )＝3，那么P (X ＝1)＝________. 31 024[∵E (X )＝np ＝6， V (X )＝np (1－p )＝3， ∴p ＝12，n ＝12，那么P (X ＝1)＝C 112×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1211＝3×2－10＝31 024.]离散型随机变量的均值、方差设袋子中装有a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．(1)当a ＝3，b ＝2，c ＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的时机均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的概率分布；(2)从该袋子中任取(每球取到的时机均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．假设Eη＝53，Dη＝59，求a ∶b ∶c . 【导学号：62172334】[解] (1)由题意得ξ＝2,3,4,5,6. 故P (ξ＝2)＝3×36×6＝14，P (ξ＝3)＝2×3×26×6＝13，P (ξ＝4)＝2×3×1＋2×26×6＝518，P (ξ＝5)＝2×2×16×6＝19， P (ξ＝6)＝1×16×6＝136.所以ξ的概率分布为(2)由题意知η的概率分布为所以E (η)＝a a ＋b ＋c ＋2b a ＋b ＋c ＋3c a ＋b ＋c＝53，D (η)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－532·a a ＋b ＋c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－532·b a ＋b ＋c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3－532·c a ＋b ＋c ＝59，化简得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b －4c ＝0，a ＋4b －11c ＝0.解得a ＝3c ，b ＝2c ，故a ∶b ∶c ＝3∶2∶1.[规律方法] 1.求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进展计算．2．注意E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ，V (aX ＋b )＝a 2V (X )的应用．[变式训练1] (2021·苏北四市摸底)某校有甲、乙两个兴趣小组，其中甲组有2名男生、3名女生，乙组有3名男生、1名女生，学校方案从两兴趣小组中随机各选2名成员参加某项活动．(1)求选出的4名选手中恰好有一名女生的选派方法数；(2)记X 为选出的4名选手中女选手的人数，求X 的概率分布和数学期望．[解] (1)选出的4名选手中恰好有一名女生的选派方法数为C 12·C 13·C 23＋C 13＝21种．(2)X 的可能取值为0,1,2,3.P(X＝0)＝C23C25C24＝310×6＝120，P(X＝1)＝C12C13C23＋C13C25C24＝2×3×3＋310×6＝720，P(X＝3)＝C23C13C25C24＝3×310×6＝320，P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝3)＝9 20.X的概率分布为X 012 3P 120720920320E(X)＝0×120＋1×720＋2×920＋3×320＝1710.与二项分布有关的均值、方差某商场举行有奖促销活动，顾客购置一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，假设都是红球，那么获一等奖；假设只有1个红球，那么获二等奖；假设没有红球，那么不获奖．(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；(2)假设某顾客有3次抽奖时机，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的概率分布和数学期望及方差. 【导学号：62172335】[解](1)记事件A1＝{从甲箱中摸出的1个球是红球}，A2＝{从乙箱中摸出的1个球是红球}，B1＝{顾客抽奖1次获一等奖}，B2＝{顾客抽奖1次获二等奖}，C＝{顾客抽奖1次能获奖}．由题意知A1与A2相互独立，A1A2与A1A2互斥，B1与B2互斥，且B1＝A1A2，B2＝A1A2＋A1A2，C＝B1＋B2.因为P (A 1)＝410＝25，P (A 2)＝510＝12， 所以P (B 1)＝P (A 1A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝25×12＝15， P (B 2)＝P (A 1A 2＋A 1A 2)＝P (A 1A 2)＋P (A 1A 2) ＝P (A 1)P (A 2)＋P (A 1)P (A 2) ＝P (A 1)(1－P (A 2))＋(1－P (A 1))P (A 2) ＝25×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25×12＝12. 故所求概率为P (C )＝P (B 1＋B 2)＝P (B 1)＋P (B 2)＝15＋12＝710.(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，由(1)知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为15，所以X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，15. 于是P (X ＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫150⎝ ⎛⎭⎪⎫453＝64125， P (X ＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫151⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝48125， P (X ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫152⎝ ⎛⎭⎪⎫451＝12125， P (X ＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫153⎝ ⎛⎭⎪⎫450＝1125. 故X 的概率分布为X 的数学期望为E (X )＝3×15＝35.随机变量X 的方差V (X )＝3×15⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15＝1225.[规律方法]ξ的期望与方差时，可首先分析ξ是否服从二项分布，如果ξ～B (n ，p )，那么用公式E (ξ)＝np ，V (ξ)＝np (1－p )求解，可大大减少计算量．2．有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，此时，可以综合应用E (aξ＋b )＝aE (ξ)＋b 以及E (ξ)＝np 求出E (aξ＋b )．同样还可求出V (aξ＋b )．[变式训练2] 空气质量指数(Air Quality Index ，简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI 大小分为六级，0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；＞300为严重污染．一环保人士记录2021 年某地某月10天的AQI 的茎叶图如图62-1所示．图62-1(1)利用该样本估计该地本月空气质量优良(AQI ≤100)的天数；(按这个月总共30天计算)(2)将频率视为概率，从本月中随机抽取3天，记空气质量优良的天数为ξ，求ξ的概率分布列、数学期望和方差．[解] (1)从茎叶图中可发现该样本中空气质量优的天数为2，空气质量良的天数为4，故该样本中空气质量优良的频率为610＝35，从而估计该月空气质量优良的天数为30×35＝18. (2)由(1)估计某天空气质量优良的概率为35， ξ的所有可能取值为0,1,2,3.P (ξ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫253＝8125，P (ξ＝1)＝C 1335⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝36125，P (ξ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫35225＝54125，P (ξ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫353＝27125.故ξ的分布列为ξ 0 1 2 3 P8125361255412527125显然ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，35，E (ξ)＝3×35＝1.8，随机变量ξ的方差V (ξ)＝3×35⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＝1825.均值与方差在决策中的应用有甲、乙两种棉花，从中各抽取等量的样品进展质量检验，结果如下：X 甲 28 29 30 31 32 PX 乙 28 29 30 31 32 P花的质量．[解] 由题意，得E (X 甲)＝28×0.1＋29×0.15＋30×0.5＋31×0.15＋32×0.1＝30，E (X 乙)＝28×0.13＋29×0.17＋30×0.4＋31×0.17＋32×0.13＝30. 又V (X甲)＝(28－30)2×0.1＋(29－30)2×0.15＋(30－30)2×0.5＋(31－30)2×0.15＋(32－30)2×0.1＝1.1，V (X乙)＝(28－30)2×0.13＋(29－30)2×0.17＋(30－30)2×0.4＋(31－30)2×0.17＋(32－30)2×0.13＝1.38，所以E (X 甲)＝E (X 乙)，V (X 甲)＜V (X 乙)，故甲种棉花的质量较好． [规律方法] 1.依据均值与方差的定义、公式求出相应的均值与方差． 2．依据均值与方差的意义对实际问题作出决策或给出合理的解释．[变式训练3] (2021·扬州期末)某商场举办“迎新年摸球〞活动，主办方准备了甲、乙两个箱子，其中甲箱中有四个球、乙箱中有三个球(每个球的大小、形状完全一样)，每一个箱子中只有一个红球，其余都是黑球．假设摸中甲箱中的红球，那么可获奖金m 元，假设摸中乙箱中的红球，那么可获奖金n 元．活动规定：①参与者每个箱子只能摸一次，一次摸一个球；②可选择先摸甲箱，也可先摸乙箱；③如果在第一个箱子中摸到红球，那么可继续在第二个箱子中摸球，否那么活动终止.(1)如果参与者先在乙箱中摸球，求其恰好获得奖金n 元的概率；(2)假设要使得该参与者获奖金额的期望值较大，请你帮他设计摸箱子的顺序，并说明理由．[解] (1)设参与者先在乙箱中摸球，且恰好获得奖金n 元为事件M . 那么P (M )＝13×34＝14，即参与者先在乙箱中摸球，且恰好获得奖金n 元的概率为14.(2)参与者摸球的顺序有两种，分别讨论如下：①先在甲箱中摸球，参与者获奖金x 可取0，m ，m ＋n ， 那么P (x ＝0)＝34，P (x ＝m )＝14×23＝16，P (x ＝m ＋n )＝14×13＝112； E (X )＝0×34＋m ×16＋(m ＋n )×112＝m 4＋n12；②先在乙箱中摸球，参与者获奖金η可取0，n ，m ＋n ， 那么P (η＝0)＝23，P (η＝n )＝13 ×34＝14，P (η＝m ＋n )＝13×14＝112， E (η)＝0×23＋n ×14＋(m ＋n )×112＝m 12＋n3， E (X )－E (η)＝2m －3n12，当m n >32时，先在甲箱中摸球，再在乙箱中摸球，参与者获奖金期望值较大；当m n ＝32时，两种顺序参与者获奖金期望值相等；当m n <32时，先在乙箱中摸球，再在甲箱中摸球，参与者获奖金期望值较大． 即当m n >32时，先在甲箱中摸球，再在乙箱中摸球，参与者获奖金期望值较大；当m n ＝32时，两种顺序参与者获奖金期望值相等；当m n <32时，先在乙箱中摸球，再在甲箱中摸球，参与者获奖金期望值较大．[思想与方法] 1．均值与方差的性质(1)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ，V (aX ＋b )＝a 2V (X )(a ，b 为常数)． (2)假设X 服从两点分布，那么E (X )＝p ，V (X )＝p (1－p )．(3)假设X 服从二项分布，即X ～B (n ，p )，那么E (X )＝np ，V (X )＝np (1－p )． 2．求离散型随机变量的均值与方差的根本方法(1)随机变量的概率分布求它的均值、方差，按定义求解．(2)随机变量ξ的均值、方差，求ξ的线性函数η＝aξ＋b的均值、方差，可直接用ξ的均值、方差的性质求解．(3)如果所给随机变量是服从二项分布，利用均值、方差公式求解．[易错与防范]1．理解均值E(X)易失误，均值E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，即X作为随机变量是可变的，而E(X)是不变的，它描述X值的取值平均状态．2．注意E(aX＋b)＝aE(X)＋b，V(aX＋b)＝a2V(X)易错易混．3．对于应用问题，必须对实际问题进展具体分析，一般要将问题中的随机变量设出来，再进展分析，求出随机变量的概率分布，然后按定义计算出随机变量的均值、方差．课时分层训练(六)A组根底达标(建议用时：30分钟)1．某班从4名男生、2名女生中选出3人参加志愿者效劳，假设选出的男生人数为ξ，求ξ的方差．[解]依题意，随机变量ξ服从超几何分布，ξ可能的取值为1,2,3.P(ξ＝k)＝C k4C3－k2C36，k＝1,2,3.ξ的概率分布为E(ξ)＝1×15＋2×35＋3×15＝2.V (ξ)＝15×(1－2)2＋35×(2－2)2＋15×(3－2)2＝0.4.2．现有一游戏装置如图62-2，小球从最上方入口处投入，每次遇到黑色障碍物等可能地向左、右两边落下．游戏规那么为：假设小球最终落入A 槽，得10张奖票，假设落入B 槽，得5张奖票；假设落入C 槽，得重投一次的时机，但投球的总次数不超过3次．图62-2(1)求投球一次，小球落入B 槽的概率；(2)设玩一次游戏能获得的奖票数为随机变量X ，求X 的概率分布及均值.【导学号：62172336】[解] (1)由题意可知投一次小球，落入B 槽的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝12.(2)落入A 槽的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14，落入B 槽的概率为12， 落入C 槽的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14.X 的所有可能取值为0,5,10， P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫143＝164，P (X ＝5)＝12＋14×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫142×12＝2132.P (X ＝10)＝14＋14×14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫142×14＝2164.所以X 的概率分布为X510E (X )＝0×164＋5×2132＋10×2164＝10516.3．(2021·南通二调)一个摸球游戏，规那么如下：在一不透明的纸盒中，装有6个大小一样、颜色各异的玻璃球．参加者交费1元可玩1次游戏，从中有放回地摸球3次．参加者预先指定盒中的某一种颜色的玻璃球，然后摸球．当所指定的玻璃球不出现时，游戏费被没收；当所指定的玻璃球出现1次，2次，3次时，参加者可相应获得游戏费的0倍，1倍，k 倍的奖励(k ∈N ＋)，且游戏费仍退还给参加者．记参加者玩1次游戏的收益为X 元．(1)求概率P (X ＝0)的值；(2)为使收益X 的数学期望不小于0元，求k 的最小值．(注：概率学源于赌博，请自觉远离不正当的游戏！) 【导学号：62172337】 [解] (1)事件“X ＝0〞表示“有放回的摸球3回，所指定的玻璃球只出现1次〞，那么P (X ＝0)＝3×16×⎝ ⎛⎭⎪⎫562＝2572.(2)依题意，X 的可能值为k ，－1,1,0，且P (X ＝k )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫163＝1216，P (X ＝－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫563＝125216，P (X ＝1)＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫162×56＝572，P (X ＝0)＝2572，结合(1)知，参加游戏者的收益X 的数学期望为 E (X )＝k ×1216＋(－1)×125216＋1×572＝k －110216(元)．为使收益X 的数学期望不小于0元，所以k ≥110，即k min ＝110.4．(2021·山东高考)甲、乙两人组成“星队〞参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．在一轮活动中，如果两人都猜对，那么“星队〞得3分；如果只有一人猜对，那么“星队〞得1分；如果两人都没猜对，那么“星队〞得0分．甲每轮猜对的概率是34，乙每轮猜对的概率是23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响．假设“星队〞参加两轮活动，求：(1)“星队〞至少猜对3个成语的概率；(2)“星队〞两轮得分之和X 的概率分布和数学期望E (X )． [解] (1)记事件A ：“甲第一轮猜对〞， 记事件B ：“乙第一轮猜对〞， 记事件C ：“甲第二轮猜对〞， 记事件D ：“乙第二轮猜对〞，记事件E ：“‘星队’至少猜对3个成语〞．由题意，E ＝ABCD ＋A BCD ＋A B CD ＋AB C D ＋ABC D ， 由事件的独立性与互斥性，P (E )＝P (ABCD )＋P (A BCD )＋P (A B CD )＋P (AB C D )＋P (ABC D )＝P (A )P (B )P (C )P (D )＋P (A)P (B )P (C )P (D )＋P (A )P (B)P (C )P (D )＋P (A )P (B )P (C )P (D )＋P (A )P (B )P (C )P (D )＝34×23×34×23＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫14×23×34×23＋34×13×34×23＝23， 所以“星队〞至少猜对3个成语的概率为23. (2)由题意，随机变量X 可能的取值为0,1,2,3,4,6. 由事件的独立性与互斥性，得 P (X ＝0)＝14×13×14×13＝1144，P (X ＝1)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫34×13×14×13＋14×23×14×13＝10144＝572，P (X ＝2)＝34×13×34×13＋34×13×14×23＋14×23×34×13＋14×23×14×23＝25144， P (X ＝3)＝34×23×14×13＋14×13×34×23＝12144＝112， P (X ＝4)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫34×23×34×13＋34×23×14×23＝60144＝512，P (X ＝6)＝34×23×34×23＝36144＝14. 可得随机变量X 的概率分布为所以数学期望E (X )＝0×1144＋1×572＋2×25144＋3×112＋4×512＋6×14＝236.B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2021·南京盐城二模)甲、乙两人投篮命中的概率分别为23与12，各自相互独立．现两人做投篮游戏，共比赛3局，每局每人各投一球．(1)求比赛完毕后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率；(2)设ξ表示比赛完毕后甲、乙两人进球数的差的绝对值，求ξ的概率分布和数学期望E (ξ)．[解] (1)比赛完毕后甲的进球数比乙的进球数多1个有以下几种情况： 甲进1球，乙进0球；甲进2球，乙进1球；甲进3球，乙进2球． 所以比赛完毕后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率 P ＝C 1323⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫13C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫233C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝1136. (2)ξ的取值为0,1,2,3，所以ξ的概率分布列为所以数学期望E (ξ)＝0×724＋1×1124＋2×524＋3×124＝1.2．方案在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站．过去50年的水文资料显示，水库年入流量．．．．X (年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在40以上．其中，缺乏80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年．将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．(1)求未来4年中，至多．．有1年的年入流量超过120的概率； (2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 限制，并有如下关系：行，那么该台年亏损800万元．欲使水电站年总利润的均值到达最大，应安装发电机多少台？[解] (1)依题意，p 1＝P (40＜X ＜80)＝1050＝0.2，p 2＝P (80≤X ≤120)＝3550＝0.7，p 3＝P (X ＞120)＝550＝0.1.由二项分布知，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为 p ＝C 04(1－p 3)4＋C 14(1－p 3)3p 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9104＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫9103×⎝ ⎛⎭⎪⎫110＝0.947 7. (2)记水电站年总利润为Y (单位：万元)． ①安装1台发电机的情形．由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y ＝5 000，E (Y )＝5 000×1＝5 000.②安装2台发电机的情形．依题意知，当40＜X ＜80时，一台发电机运行，此时Y ＝5 000－800＝4 200，因此P (Y ＝4 200)＝P (40＜X ＜80)＝p 1＝0.2；当X ≥80时，两台发电机运行，此时Y ＝5 000×2＝10 000，因此P (Y ＝10 000)＝P (X ≥80)＝p 2＋p 3Y 的分布列如下：所以，E (Y )＝4 200×0.2＋10 000×0.8＝8 840. ③安装3台发电机的情形．依题意，当40＜X ＜80时，一台发电机运行，此时Y ＝5 000－1 600＝3 400，因此P (Y ＝3 400)＝P (40＜X ＜80)＝p 1＝0.2；当80≤X ≤120时，两台发电机运行，此时Y ＝5 000×2－800＝9 200，因此P (Y ＝9 200)＝P (80≤X ≤120)＝p 2＝0.7；当X ＞120时，三台发电机运行，此时Y ＝5 000×3＝15 000，因此P (Y ＝15 000)＝P (X ＞120)＝p 3＝0.1，由此得Y 的分布列如下：所以，E (Y )＝3 4008 620. 综上，欲使水电站年总利润的均值到达最大，应安装发电机2台． 3．(2021·南通模拟)一位网民在网上光临某网店，经过一番浏览后，对该店铺中的A ，B ，C 三种商品有购置意向．该网民购置A 种商品的概率为34，购置B 种商品的概率为23，购置C 种商品的概率为12.假设该网民是否购置这三种商品相互独立．(1)求该网民至少购置2种商品的概率；(2)用随机变量h 表示该网民购置商品的种数，求h 的概率分布和数学期望． [解] (1)记“该网民购置i 种商品〞为事件A i ，i ＝2,3，那么：P (A 3)＝34×23×12＝14，P (A 2)＝34×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×23×12＝1124，所以该网民至少购置2种商品的概率为P (A 3)＋P (A 2)＝14＋1124＝1724. 该网民至少购置2种商品的概率为1724. (2)随机变量h 的可能取值为0,1,2,3， P (h ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝124，又P (h ＝2)＝P (A 2)＝1124，P (h ＝3)＝P (A 3)＝14，所以P (h ＝1)＝1－124－1124－14＝14.所以随机变量h 的概率分布为：故数学期望E (h )＝0×124＋1×14＋2×1124＋3×14＝2312.4．(2021·苏州市期中)某公司对新招聘的员工张某进展综合能力测式，共设置了A ，B ，C 三个测试工程．假定张某通过工程A 的概率为12，通过工程B ，C 的概率均为a (0<a <1)，且这三个测试工程能否通过相互独立．(1)用随机变量X 表示张某在测试中通过的工程个数，求X 的概率分布和数学期望E (X )(用a 表示)；(2)假设张某通过一个工程的概率最大，求实数a 的取值范围． [解] (1)随机变量X 的可能取值为0,1,2,3. P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12C 02(1－a )2＝12(1－a )2；P (X ＝1)＝12C 02(1－a )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12C 12a (1－a )＝12(1－a 2)；P (X ＝2)＝12C 12a (1－a )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12C 22a 2＝12(2a －a 2)； P (X ＝3)＝12C 22a 2＝12a 2. 从而X 的概率分布为X 的数学期望为E (X )＝0×12(1－a )2＋1×12(1－a 2)＋2×12(2a －a 2)＋3×a 22＝4a ＋12. (2)P (X ＝1)－P (X ＝0)＝12[(1－a 2)－(1－a )2]＝a (1－a )， P (X ＝1)－P (X ＝2)＝12[(1－a 2)－(2a －a 2)]＝1－2a 2， P (X ＝1)－P (X ＝3)＝12[(1－a 2)－a 2]＝1－2a 22.由⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a (1－a )≥0，1－2a2≥0，1－2a22≥0，得0<a ≤12，即a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12.。
空间角问题高三数学知识点
空间角问题高三数学知识点空间角问题是高三数学中的重要知识点之一。
在解决空间角问题时，我们需要熟练掌握一系列概念、定理和计算方法。
本文将系统介绍空间角问题的相关内容，包括空间角的定义、分类和性质，以及求解空间角问题的具体方法和技巧。
一、空间角的定义和分类1.1 空间角的定义空间角是在三维空间中由两条射线形成的角。
它可以看作是平面角在立体空间中的推广。
通常用小写的希腊字母表示空间角，如α、β、γ等。
1.2 空间角的分类根据空间角的大小和位置关系，空间角可以分为以下几种类型：1) 零角：两条射线重合，形成的角为零角。
2) 锐角：两条射线夹角小于90度，形成的角为锐角。
3) 直角：两条射线夹角等于90度，形成的角为直角。
4) 钝角：两条射线夹角大于90度但小于180度，形成的角为钝角。
5) 平角：两条射线夹角等于180度，形成的角为平角。
二、空间角的性质空间角具有一系列重要的性质，掌握这些性质有助于我们解决空间角问题。
2.1 垂直性质若两个空间角互为互补角，则它们所对的两条射线垂直。
2.2 同位角性质若两个空间角由相同的两条射线所形成（其中一条射线相互重合），则这两个空间角互为同位角。
同位角具有以下性质：1) 同位角相等：若两个同位角中的一个角为α，则另一个角也为α。
2) 同位角的补角关系：若两个同位角中的一个角为α，则另一个角为180度减α的补角。
2.3 对顶角性质若两个空间角互为对顶角，则它们所对的两条射线互相重合。
三、求解空间角问题的方法和技巧3.1 判断空间角的类型在解决空间角问题时，首先要能够准确地判断空间角的类型。
可以通过观察两条射线的位置关系和夹角的大小来判断空间角是锐角、直角、钝角还是平角。
3.2 应用对顶角和同位角的性质对顶角和同位角的性质在求解空间角问题时经常被应用。
通过利用对顶角和同位角的性质，可以得到空间角的相关信息，进而解决问题。
3.3 运用向量方法在空间角问题的求解中，向量方法也是一种重要的技巧。
高三数学第一轮复习教案：第62课时——空间向量的坐标运算
高三数学第一轮复习讲义（62）空间向量的坐标运算一．复习目标：向量的坐标运算和建系意识．二．主要知识：，1．；；；；2．；；3．；．4．。
三．基础训练：1．已知，则向量与的夹角是（）2．已知，则的最小值是（）DC()()A()B()3．已知为平行四边形，且，则点的坐标为_____.4．设向量，若，则，。
5．已知向量与向量共线，且满足，，则，。
四．例题分析：例1．棱长为的正方体中，分别为的中点，试在棱上找一点，使得平面。
例2．已知，为坐标原点，（1）写出一个非零向量，使得平面；（2）求线段中点M及的重心的坐标；的面积。
（3）求AOB例3．如图，两个边长为1的正方形ABCD与相交于AB，分别是上的点，且，（1）求证：平面；（2）求长度的最小值。
MD五．课后作业：班级学号姓名1．若向量夹角的余弦值为，则= （）()A1 ()B()C()D2．已知点，则点A关于轴的对称点的坐标为（）D()A()B()C()3．已知四面体ABCD中，两两互相垂直，则下列结论中，不一定成立的是（）()A()BD()C()4．若，且与b的夹角为钝角，则x的取值范围是（）C()D()A()B()5．设，则与a平行的单位向量的坐标为，同时垂直于的单位向量.6．设向量，计算及a与b的夹角，并确定当满足什么关系时，使与轴垂直.7．矩形ABCD中，已知面积，若边上存在唯一点，使得，（1）求的值；（2）M是上的一点，M在平面上的射影恰好是的重心，求M到平面的距离。
8.直三棱柱，，分别是的中点，（1）求的长；（2）求的值；（3）求证：。
内容总结（1）高三数学第一轮复习讲义（62）空间向量的坐标运算一．复习目标：向量的坐标运算和建系意识．二．主要知识：，1．。
高中数学空间的角的计算
面-线-面
0，2
语言叙述
二面角 半平面-线-半平面
0，
语言叙述或符号表示
要点三：直线和平面的夹角 1. 有关概念 斜线：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫作平面的斜．线．，斜 线和平面的交点叫作斜．足．. 射影：过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫作斜线在这个平 面上的射影. 斜线与平面的夹角：平面的一条斜线与它在该平面内的射影的夹角叫作该直线与此平面 的夹角. 如图， l 是平面 的一条斜线，斜足为 O ， OA 是 l 在平面 内的射影， POA 就是直 线 l 与平面 的夹角.
3. “平面间的夹角”不同于“二面角” （1）二面角的有关概念 半平面：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫半平面. 二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角. 如图，可记作二面角 -a- 或 - AB - .
2
（2）区别： 构成 范围
表示法
平面间的夹角
2
5
举一反三：
【变式 1】 如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧棱 PD ⊥底面 ABCD ， PD DC ，点 E 是 PC 的中点，作 EF ⊥ PB 交 PB 于点 F ．
（1）求证： PB ⊥平面 EFD ；
（2）求平面 与平面 的夹角的大小．
【变式 2】在四棱锥 P ABCD 中，侧面 PCD ⊥底面 ABCD ，PD ⊥ CD ，E 为 PC 中点， 底面 ABCD 是直角梯形， AB ∥ CD ， ADC=90 ， AB AD PD 1， CD 2 . 设 Q 为侧
11
一、选择题
S
C
B
D
A
空间中的角复习课
授课内容：空间的角授课教师：孟向波课件制作：孟向波E-mail:sxmxbo@高三数学复习课复习内容：空间中的角复习要求：理解空间三种角的概念并掌握其求法空间的角的概念及其计算，是立体几何的基本内容，也是其重点和难点。
求空间角的一般步骤是：空间中的角有：异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角。
1、异面直线所成的角根据异面直线所成角的定义，求异面直线所成角,就是要将其变换成相交直线所成有角。
其一般方法有：（1）平移法：即根据定义，以“运动”的观点，用“平移转化”的方法，使之成为相交直线所成的角。
(1)找出或作出有关的图形；(2)证明它符合定义；(3)计算。
[即：要求先证，要证先作。
]具体地讲是选择“特殊点”作异面直线的平行线，构作含异面直线所成(或其补角)的角的三角形，再求之。
B 例1：长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1，AB =AA 1=2 cm ，AD =1cm ，求异面直线A 1C 1与BD 1所成的角。
如图，连B 1D 1与A 1C 1 交于O 1，O 1M ,512221=+=M A ,23212212122211=++==BD M O ,2512212211=+=O A 由余弦定理得,55cos 11-=∠M O A ∴A 1C 1与BD 1所成的角为.55arccos 取B B 1的中点M ，连O 1M ，则O 1M //D 1B ，于是∠A 1O 1M 就是异面直线A 1C 1与BD 1所成的角（或其补角），连A 1M ，在∆A 1O 1M 中（2）补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体等，其目的在于易于发现两条异面直线的关系。
D B 1A 1D 1C 1A C 解法一（平移法）：3,52,51111===E C E A C A 在∆A 1C 1E 中，由余弦定理得55cos 11-=∠E C A ∴A 1C 1与BD 1所成的角为说明：异面直线所成角的范围是（0º，90º]，在把异面直线所成的角平移转化为平面三角形中的角，常用余弦定理求其大小，当余弦值为负值时，其对应角为钝角，这不符合两条异面直线所成角的定义，故其补角为所求的角，这一点要注意。
2025届高考数学一轮复习讲义立体几何与空间向量之 空间角和空间距离
形，则在正四棱柱 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1中，异面直线 AK 和 LM 所成的角的大小为
(
D )
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
[解析] 根据题意还原正四棱柱的直观图，如图所示，取 AA 1的中点 G ，连接 KG ，
则有 KG ∥ LM ，所以∠ AKG 或其补角为异面直线 AK 和 LM 所成的角.由题知 AG ＝
A 1 C 1＝5， BC 1＝4 2 ，所以 cos
52 ＋52 −(4 2）2
9
1
∠ BA 1 C 1＝
＝ ＜ ，所以60°＜
2×5×5
25
2
∠ BA 1 C 1＜90°，则过点 D 1作直线 l ，与直线 A 1 B ， AC 所成的角均为60°，即过一
点作直线，使之与同一平面上夹角大于60°的锐角的两边所在直线所成的角均成
2 z －1＝0的交线，试写出直线 l 的一个方向向量 (2，2，1)
的余弦值为
65
9
.
，直线 l 与平面α所成角
[解析] 由平面α的方程为 x ＋2 y －2 z ＋1＝0，可得平面α的一个法向量为 n ＝(1，
⑫ [0， ] ，二面角的
2
n1，n2＞｜.
范围是⑬
[0，π] .
易错警示
1. 线面角θ与向量夹角＜ a ， n ＞的关系
π
2
π
2
如图1(1)，θ＝＜ a ， n ＞－ ；如图1(2)，θ＝ －＜ a ， n ＞.
图1
2. 二面角θ与两平面法向量夹角＜ n 1， n 2＞的关系
图2(2)(4)中θ＝π－＜ n 1， n 2＞；图2(1)(3)中θ＝＜ n 1， n 2＞.
高考数学一轮复习---利用空间向量求空间角
利用空间向量求空间角一、基础知识1．异面直线所成角设异面直线a ，b 所成的角为θ，则cos θ＝|a ·b ||a ||b |❶， 其中a ，b 分别是直线a ，b 的方向向量． 2．直线与平面所成角如图所示，设l 为平面α的斜线，l ∩α＝A ，a 为l 的方向向量，n 为平面α的法向量，φ为l 与α所成的角，则sin φ＝|cos 〈a ，n 〉|＝|a ·n ||a ||n |❷.3．二面角(1)若AB ，CD 分别是二面角αl β的两个平面内与棱l 垂直的异面直线，则二面角(或其补角)的大小就是向量AB ―→与CD ―→的夹角，如图(1)．(2)平面α与β相交于直线l ，平面α的法向量为n 1，平面β的法向量为n 2，〈n 1，n 2〉＝θ，则二面角α l β为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则|cos φ|＝|cos θ|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|❸，如图(2)(3)．二、常用结论解空间角最值问题时往往会用到最小角定理cos θ＝cos θ1cos θ2.如图，若OA 为平面α的一条斜线，O 为斜足，OB 为OA 在平面α内的射影，OC 为平面α内的一条直线，其中θ为OA 与OC 所成的角，θ1为OA 与OB 所成的角，即线面角，θ2为OB 与OC 所成的角，那么cos θ＝cos θ1cos θ2.三、考点解析考点一异面直线所成的角例、如图，在三棱锥PABC中，P A⊥底面ABC，∠BAC＝90°.点D，E，N分别为棱P A，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，P A＝AC＝4，AB＝2.(1)求证：MN∥平面BDE；(2)已知点H在棱P A上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为721，求线段AH的长．[解题技法]用向量法求异面直线所成角的一般步骤(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；(2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量；(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；(4)两异面直线所成角的余弦等于两向量夹角余弦值的绝对值．[跟踪训练1.如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是()A．30°B．45°C．60°D．90°2.如图，在四棱锥PABCD中，P A⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°.(1)求证：BD⊥平面P AC；(2)若P A＝AB，求PB与AC所成角的余弦值．考点二 直线与平面所成的角例、如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，BF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ，BF ＝DE ，M 为棱AE 的中点．(1)求证：平面BDM ∥平面EFC ；(2)若DE ＝2AB ，求直线AE 与平面BDM 所成角的正弦值．[解题技法]利用向量求线面角的2种方法(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)．(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线与平面所成的角．跟踪训练1．在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BC ＝AA 1＝1，则D 1C 1与平面A 1BC 1所成角的正弦值为________．2.如图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，BA ＝BC ＝5，AC ＝8，D 为线段AC 的中点．(1)求证：BD ⊥A 1D ；(2)若直线A 1D 与平面BC 1D 所成角的正弦值为45，求AA 1的长．考点三 二面角例、如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB ＝5，AC ＝6，点E ，F 分别在AD ，CD 上，AE＝CF ＝54，EF 交BD 于点H .将△DEF 沿EF 折到△D ′EF 位置，OD ′＝10. (1)证明：D ′H ⊥平面ABCD ；(2)求二面角B D ′A C 的余弦值．[解题技法](1)利用法向量求二面角的大小时，由于法向量的方向不同，两个法向量的夹角与二面角的大小可能相等，也可能互补．所以，两个法向量的夹角的余弦值与二面角的余弦值可能存在正负号的差异．(2)有时用观察法难以判定二面角是钝角还是锐角，为了保证解题结果准确无误，我们给出一种万无一失的方法：就是在两个半平面和二面角的棱上各取1个向量，要求这三个向量必须起点相同，在利用行列式计算法向量时，棱对应的向量必须排前面，即口诀“起点同，棱排前”，这样求出的两个法向量的夹角一定与二面角的大小相等．跟踪训练如图所示，四棱锥P ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，△DAB ≌△DCB ，E 为线段BD 上的一点，且EB ＝ED ＝EC ＝BC ，连接CE 并延长交AD 于F .(1)若G 为PD 的中点，求证：平面P AD ⊥平面CGF ；(2)若BC ＝2，P A ＝3，求二面角B CP D 的余弦值．课后作业1.如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，已知M ，N 分别是BD 和AD 的中点，则B 1M 与D 1N 所成角的余弦值为( ) A.3030 B.3015 C.3010 D.15152、已知长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝3，E 为线段AB 上一点，且AE ＝13AB ，则DC 1与平面D 1EC 所成角的正弦值为( )A.33535B.277C.33D.243．在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AA 1＝2，二面角B AA 1C 1的大小为60°，点B 到平面ACC 1A 1的距离为3，点C 到平面ABB 1A 1的距离为23，则直线BC 1与直线AB 1所成角的正切值为( )A.7B.6C.5 D ．2 4.如图，正三棱柱ABC A 1B 1C 1的所有棱长都相等，E ，F ，G 分别为AB ，AA 1，A 1C 1的中点，则B 1F 与平面GEF 所成角的正弦值为( )A.35B.56C.3310D.36105．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为( )A.12B.23C.33D.226．如图，菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，AC 与BD 相交于点O ，AE ⊥平面ABCD ，CF ∥AE ，AB ＝2，CF ＝3.若直线OF 与平面BED 所成的角为45°，则AE ＝________.7.如图，已知四棱锥P ABCD 的底面ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，且AC ⊥BD ，AC 与BD 交于O ，PO ⊥底面ABCD ，PO ＝2，AB ＝22，E ，F 分别是AB ，AP 的中点，则二面角F OE A 的余弦值为________．8．如图，边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧C D 所在平面垂直，M 是C D 上异于C ，D 的点．(1)证明：平面AMD ⊥平面BMC ；(2)当三棱锥M ABC 体积最大时，求平面MAB 与平面MCD 所成二面角的正弦值．9．如图，在三棱锥P ABC 中，AB ＝BC ＝22，P A ＝PB ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点．(1)证明：PO ⊥平面ABC ；(2)若点M 在棱BC 上，且二面角M P A C 为30°，求PC 与平面P AM 所成角的正弦值提高练习1．如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形，AC∩BD＝O，A1O⊥底面ABCD，AB＝2，AA1＝3.(1)证明：平面A1CO⊥平面BB1D1D；(2)若∠BAD＝60°，求二面角BOB1C的余弦值．2．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠ADC＝90°，AB∥CD，AB＝2CD.平面P AD⊥平面ABCD，P A＝PD，点E在PC上，DE⊥平面P AC.(1)求证：P A⊥平面PCD；(2)设AD＝2，若平面PBC与平面P AD所成的二面角为45°，求DE的长．3．如图，在三棱锥PABC中，平面P AB⊥平面ABC，AB＝6，BC＝23，AC＝26，D，E分别为线段AB，BC上的点，且AD＝2DB，CE＝2EB，PD⊥AC.(1)求证：PD⊥平面ABC；(2)若直线P A与平面ABC所成的角为45°，求平面P AC与平面PDE所成的锐二面角大小．。
空间角的范围
空间角的范围什么是空间角空间角是物体之间相对位置的一种度量，用于描述在三维空间中两个向量之间的夹角。
它是向量的方向性特征的量化表示。
在数学上，空间角可以通过向量的点积和模长来计算。
给定两个向量A和B，它们的空间角θ可以通过以下公式计算：θ = arccos(A·B / |A|·|B|)其中，A·B表示向量A和向量B的点积，|A|和|B|分别表示向量A和向量B的模长。
空间角的范围空间角的范围是从0到π之间的实数。
这是因为点积的值范围是从-1到1之间，而空间角θ的取值范围是从0到π之间。
当两个向量的方向相同时，它们的空间角为0。
当两个向量的方向完全相反时，它们的空间角为π。
当两个向量的方向相互垂直时，它们的空间角为π/2。
在实际应用中，空间角的范围可以用于描述物体之间的相对位置关系。
例如，在机器人技术中，空间角可以用于判断机器人的朝向和目标位置之间的夹角，从而实现精确的导航和定位。
空间角的应用空间角在物理学、工程学和计算机图形学等领域中具有广泛的应用。
在物理学中，空间角被用于描述光线的传播方向和反射方向之间的夹角。
通过测量空间角，可以计算出光线的折射角和反射角，从而研究光的传播规律和光学器件的设计。
在工程学中，空间角被用于描述机械零件之间的相对位置关系。
通过测量空间角，可以确定机械零件的装配方式和运动轨迹，从而实现机械系统的设计和优化。
在计算机图形学中，空间角被用于描述三维模型之间的相对位置关系。
通过计算空间角，可以确定三维模型的旋转角度和投影方向，从而实现计算机图形的渲染和动画效果。
总结空间角是一种用于描述物体之间相对位置的度量，可以通过向量的点积和模长来计算。
空间角的范围是从0到π之间的实数，用于表示两个向量之间的夹角。
空间角在物理学、工程学和计算机图形学等领域中具有广泛的应用，可以用于研究光的传播规律、机械系统的设计和优化，以及计算机图形的渲染和动画效果等方面。
通过深入理解空间角的概念和应用，我们可以更好地理解和应用三维空间中的向量和位置关系。
高考数学一轮复习必备(第62课时)：第八章 圆锥曲线方程-双曲线
高考数学一轮复习必备（第62课时）：第八章圆锥曲线方程-双曲线一、选择题（共5小题，每小题5分，满分25分）1．（5分）平面内有两个定点F1，F2和一动点M，设命题甲，||MF1|﹣|MF2||是定值，命题乙：点M的轨迹是双曲=1 =1．D4．（5分）双曲线的渐进线方程为，且焦距为10，则双曲线方程为（）．或5．（5分）双曲线的离心率e∈（1，2），则k的取值范围是（）二、填空题（共7小题，每小题4分，满分28分）6．（4分）双曲线上一点P的两条焦半径夹角为60°，F1，F2为焦点，则△PF1F2的面积为_________．7．（4分）与圆（x+3）2+y2=1及圆（x﹣3）2+y2=9都外切的圆的圆心轨迹方程为_________．8．（4分）过点（0，3）作直线l，如果它与双曲线有且只有一个公共点，则直线l的条数是_________．9．（4分）6件产品中，有2件次品，任取两件都是次品的概率是_________．10．（4分）过双曲线的一个焦点F1且垂直于实轴的弦PQ，若F2为另一个焦点，且有∠PF2Q=90°，则此双曲线的离心率为_________．11．（4分）已知，P是曲线x2﹣y2=1（x＞0）上一点，当取最小值时，P的坐标是_________，最小值是_________．12．（4分）如果F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，AB是双曲线左支上过点F1的弦，且|AB|=6，则△ABF2的周长是_________．三、解答题（共6小题，满分0分）13．已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，左准线为l，能否在双曲线的左支上求一点P，使|PF1|是P 到l的距离d与|PF2|的等比中项？若能，求出P的坐标，若不能，说明理由．14．过双曲线的右焦点F作双曲线在第一、第三象限的渐近线的垂线l，垂足为P，l与双曲线的左、右支的交点分别为A，B．（1）求证：P在双曲线的右准线上；（2）求双曲线离心率的取值范围．15．是否同时存在满足下列条件的双曲线，若存在，求出其方程，若不存在，说明理由．（1）渐近线方程为x+2y=0，x﹣2y=0；（2）点A（5，0）到双曲线上动点P的距离最小值为．16．一椭圆其中心在原点，焦点在同一坐标轴上，焦距为，一双曲线和这椭圆有公共焦点，且双曲线的半实轴比椭圆的长半轴长小4，且双曲线的离心率与椭圆的离心率之比为7：3，求椭圆和双曲线的方程．17．设双曲线两焦点F1（﹣c，0），F2（c，0），点P为双曲线右支上除顶点外的任一点，∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，求证：．18．已知双曲线C的两个焦点为F1，F2，实半轴长与虚半轴长的乘积为，直线l过点F2，且与线段F1F2的夹角为α，，直线l与线段F1F2的垂直平分线的交点为P，线段PF2与双曲线的交点为Q，且，求双曲线方程．高考数学一轮复习必备（第62课时）：第八章圆锥曲线方程-双曲线参考答案与试题解析一、选择题（共5小题，每小题5分，满分25分）1．（5分）平面内有两个定点F1，F2和一动点M，设命题甲，||MF1|﹣|MF2||是定值，命题乙：点M的轨迹是双曲=1 =1解：∵∴．D．4．（5分）双曲线的渐进线方程为，且焦距为10，则双曲线方程为（）．或轴上时，渐近线方程为所以此时有a=2所以双曲线方程为所以此时有a=b=2所以双曲线方程为5．（5分）双曲线的离心率e∈（1，2），则k的取值范围是（）双曲线的离心率双曲线标准方程为：﹣＜二、填空题（共7小题，每小题4分，满分28分）6．（4分）双曲线上一点P的两条焦半径夹角为60°，F1，F2为焦点，则△PF1F2的面积为16．双曲线上一点=16167．（4分）与圆（x+3）2+y2=1及圆（x﹣3）2+y2=9都外切的圆的圆心轨迹方程为（x＜0）．b=2点的轨迹方程为（（8．（4分）过点（0，3）作直线l，如果它与双曲线有且只有一个公共点，则直线l的条数是4．或±±9．（4分）6件产品中，有2件次品，任取两件都是次品的概率是．所以概率是．10．（4分）过双曲线的一个焦点F1且垂直于实轴的弦PQ，若F2为另一个焦点，且有∠PF2Q=90°，则此双曲线的离心率为1+．|PQ|=，∴∴或（舍去）∴11．（4分）已知，P是曲线x2﹣y2=1（x＞0）上一点，当取最小值时，P的坐标是，最小值是2﹣．，根据双曲线的第二定义可知，，∴∴．由此可以求出当的坐标和c=，∴，准线方程为∴，∴双曲线的准线时，）得当由题设条件可知，﹣；12．（4分）如果F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，AB是双曲线左支上过点F1的弦，且|AB|=6，则△ABF2的周长是28．三、解答题（共6小题，满分0分）13．已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，左准线为l，能否在双曲线的左支上求一点P，使|PF1|是P 到l的距离d与|PF2|的等比中项？若能，求出P的坐标，若不能，说明理由．，故点﹣，又=•，＞14．过双曲线的右焦点F作双曲线在第一、第三象限的渐近线的垂线l，垂足为P，l与双曲线的左、右支的交点分别为A，B．（1）求证：P在双曲线的右准线上；（2）求双曲线离心率的取值范围．＞（，即在右准线上．＞，即e=＞15．是否同时存在满足下列条件的双曲线，若存在，求出其方程，若不存在，说明理由．（1）渐近线方程为x+2y=0，x﹣2y=0；（2）点A（5，0）到双曲线上动点P的距离最小值为．，转化为双曲线与半径为的圆，说明双曲线与半径为=1，，双曲线方程为：﹣即可，反之，如此题设双曲线方程为16．一椭圆其中心在原点，焦点在同一坐标轴上，焦距为，一双曲线和这椭圆有公共焦点，且双曲线的半实轴比椭圆的长半轴长小4，且双曲线的离心率与椭圆的离心率之比为7：3，求椭圆和双曲线的方程．、由题意得和；轴上的椭圆、双曲线的标准方程分别为和．17．设双曲线两焦点F1（﹣c，0），F2（c，0），点P为双曲线右支上除顶点外的任一点，∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，求证：．，所以，由此能够．中，∴∴∴∴18．已知双曲线C的两个焦点为F1，F2，实半轴长与虚半轴长的乘积为，直线l过点F2，且与线段F1F2的夹角为α，，直线l与线段F1F2的垂直平分线的交点为P，线段PF2与双曲线的交点为Q，且，求双曲线方程．c=x，进而根据的方程，求得的值，进而根据解：双曲线方程为c=x，=y=（代入方程，﹣﹣（负舍）=3ab=，﹣。
高考数学一轮复习讲义 第62课时 用样本估计总体 理
课题：用样本估计总体考纲要求：①了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点.②理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差. ③能从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并作出合理的解释.④会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想.⑤会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想，解决一些简单的实际问题 教材复习 总体估计①在数理统计中，通常把被研究的对象的全体叫做总体.②样本中所有数据（或数据组）的频数和样本容量的比，就是该数据的频率.所有数据（或数据组）的频率的分布变化规律叫做样本的频率分布.反映频率分布的图表有样本频率表、样本频率分布条形图或频率分布直方图、频率折线图、茎叶图等.③样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率． ④方差和标准差都是刻画数据波动大小的数字特征. 基本知识方法1.关注统计中数据的收集、表示、分析过程.2.在频率分布直方图中 ①小矩形的面积=组距⨯频率组距=频率. ②众数最高矩形的中点的横坐标.③中位数的左边与右边的直方图的面积相等，可以由此估计中位数的值. 典例分析：考点一 图表信息题问题1．()1(2012江西) 小波一星期的总开支分布图如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为.A 30% .B 10% .C 3% .D 不能确定()2（2012安徽文）甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则.A 甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数.B 甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 .C 甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 .D 甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差3（2012湖北文）容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：则样本数据落在区间[10,40)的频率为.A 0.35 .B 0.45 .C 0.55 .D 0.65考点二 茎叶图问题3．()1(2013重庆) 以下茎叶图记录了甲．乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则,x y 的值分别为.A 2,5 .B 5,5 .C 5,8 .D 8,8()2 (2012陕西) 从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计 数据用茎叶图表示（如图所示），设甲乙两组数据的 平均数分别为x 甲，x 乙，中位数分别为m 甲，m 乙，则.A x x <甲乙，m 甲>m 乙.B x x <甲乙，m 甲<m 乙.C x x >甲乙，m 甲>m 乙 .D x x >甲乙，m 甲<m 乙考点三 用样本的数字特征估计总体的数字特征问题3．()1（2013江苏）抽样统计甲、乙两位设计运动员的5此训练成绩（单位：环），结果如下：则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为()2（2012湖南）如图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为考点四 频率分布直方图问题2．()1 (2013福建) 某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分为6组：[)40,50， [)50,60，[)60,70，[)70,80 ，[)80,90，[)90,100加以08910352图统计，得到如图所示的频率分布直方图， 已知高一年级共有学生600名，据此估计， 该模块测试成绩不少于60分的学生人数为 .A 588 .B 480 .C 450 .D 120()2(2013湖北) 从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50到350度之间，频率分布直方图所示. ()1直方图中x 的值为 ；()2在这些用户中，用电量落在区间[)100,250内的户数为 .()3（2012广东文）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[)50,60、[)60,70、[)70,80、[)80,90、[]90,100.()1求图中a的值；()2根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；()3若100这名学生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之50,90之外的人数。
空间角的求法方法归纳
空间角的求法方法归纳
空间角的求法方法归纳
在数学和物理学中，空间角是一种非常重要的概念。
物体在空间中的角度关系经常被用到各种计算和分析中。
因此，求解空间角的方法也变得尤为重要。
本文将按类划分，总结空间角的求法方法。
立体角的求法
立体角是三维空间中用来描述四面体的角度大小的量，并且与其各个顶点相对应。
求解四面体的立体角可以通过以下公式进行计算：
V5 = 1/3(arccos(A1) + arccos(A2) + arccos(A3) - π )
其中V5指四面体的立体角，A1、A2、A3为三个向量的夹角余弦，pi 为圆周率。
平面角的求法
平面角是在二维平面中两个射线之间的角度大小，于是端点重合，两条射线叫做角的顶点，并记为O。
平面角的计算公式如下：
cosθ = a·b / |a||b|
其中，a和b分别表示两个向量，|a|和|b|表示向量的模，lala和lblb都为0，则cosθ没有定义。
球面角的求法
球面角是指在球面上相互靠近的两条弧（或线）之间的角度大小。
求解球面角需要先计算其对应的球面扇形的面积，然后进行换算即可，具体公式如下：
S = R²θ
其中R表示球体半径，θ表示对应的球面角。
总结
空间角的求法方法主要包括立体角、平面角和球面角三种。
其中立体角的求解需要根据四面体的三个向量夹角余弦值计算，平面角的计算需要先计算两个向量的点积并除以其模，而球面角的求解则需要先计算出对应的球面扇形面积。
这些空间角的求法方法可以帮助我们更准确地分析并解决各类问题。
高考数学理一轮复习空间的角精品课件
∵△ABE是等腰三角形，且∠BAE＝120°，
∴∠ABC＝90°.
以A为原点，AB、AS所成直线分别为x轴、z 轴，平面ABC内垂直于AB的直线为y轴建立 空间直角坐标系，
题型二 求直线和平面所成的角
思维提 示
①先作垂线找射影得到线面 角，再解直角三角形求得
②向量法
例3 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝ 90°，AC＝2BC，A1B⊥B1C.求B1C与侧面 A1ABB1所成角的正弦值．
[分析] (1)寻找线面平行的条件利用判定定理 证明；
[规律总结] 求异面直线所成角分四步：作， 证，求，答．“作”即过空间一点作两条异面 直线的平行线，而空间一点一般取在两条异 面直线中的一条上，特别是某些特殊点处， 例如“端点”或“中点”处；“证”即证明所作角符 合异面直线所成角的定义；“求”是通过解三 角形，计算出所作角的大小；“答”即最后指 明结论．
求异面直线所成的角要注意以下两点：①当 两条异面直线互相垂直时，欲求它们所成的 角，实际上是要通过证明来实现；②当利用 解斜三角形有关知识求出的角为钝角时，应 取其补角作为异面直线所成角的大小.
备选例题1 本例已知条件不变，求异面直 线AD1和OC1所成的角．
例2 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面 ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB＝ ， BC＝1，PA＝2，E为PD的中点．求直线AC 与PB所成角的余弦值．
(2)根据分割原理，将研究的二面角看成是其 他二面角的和或差，而且这其他的二面角大 小又易求得.
备选例题4 如图，在长方体ABCD－ A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝BB1＝1，E为 D1C1的中点，求二面角E－BD－C的正切 值．
2025年高考数学一轮复习 第三章-第六节 空间角的计算【课件】
4.在长方体 − 1 1 1 1 中, = 2, = 1 = 1,则1 1 与平面1 1 所成角的
1
正弦值为__.
3
[解析] 建立如图所示的空间直角坐标系 − ,因为 = ,
= = ,所以 , , , , , , , , , , , ,
1
− ,则直线
2
与平面 所成的角为( A )
A.30∘
B.60∘
C.120∘
D.150∘
[解析] 因为⟨,⟩ = − ,所以⟨,⟩ = ∘ ,所以直线与平面 所成的角为∘ .
2.已知直线1 的方向向量1 = 1,0,1 与直线2 的方向向量2 = −1,2, −2 ,则直线1 和2
第六节 空间向量在立体几何中的应用
第2课时 空间角的计算
1
1 强基础 知识回归
2
2 研考点 题型突破
课标解 能用向量法解决异面直线、直线与平面、二面角问题,并能描述解决这一类问题的
读
程序,体会向量法在研究空间角问题中的作用.
01
强基础 知识回归
知识梳理
一、异面直线所成的角
1.设两条异面直线,的方向向量分别为,,其夹角为 ,则cos = cos
上,且 = ,
所以 = ,于是 , , − , = , − , − .
又 = , −, , =
−, − ,
.
→
− = ,
⋅ = ,
设 = , , 为平面的法向量,则ቐ
可得ቐ
→
− − + = .
1
D.
7
规律方法
用向量法求异面直线所成角的步骤
高考数学第一轮复习 第62课时 空间向量的坐标运算学案 新人教A版
【高考A 计划】2014高考数学第一轮复习 第62课时 空间向量的坐标运算学案 新人教A 版课题一：空间向量的坐标运算一．复习目标：向量的坐标运算和建系意识．二．主要知识：111222(,,),(,,)a x y z b x y z ==，333444(,,),(,,)A x y z B x y z1．a b += ； a b -= ；b λ= ；a b ⋅= ；2．//a b ⇔ ；a b ⊥⇔ ；3．cos ,a b <>= ；||a = ．4．AB = 。
三．基础训练：1． 已知(cos ,1,sin ),(sin ,1,cos )a b θθθθ==，则向量a b +与a b -的夹角是 （ ）()A 90 ()B 60 ()C 30 ()D 02．已知(1,1,),(2,,)a t t t b t t =--=，则||a b -的最小值是 （ ）()A ()B ()C ()D 1153．已知ABCD 为平行四边形，且(4,1,3),(2,5,1),(3,7,5)A B C --，则点D 的坐标为_____.4．设向量(1,3,2),(4,6,2),(3,12,)a b c t =-=-=-，若c ma nb =+，则t = ，m n += 。
5．已知向量b 与向量(2,1,2)a =-共线，且满足18a b ⋅=，()()ka b ka b +⊥-， 则b = ， k = 。
四．例题分析：例1．棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为,AB BC 的中点，试在棱1B B 上找一点M ，使得1D M ⊥平面1EFB 。
例2．已知(3,2,1),(1,1,1)A B -，O 为坐标原点，（1）写出一个非零向量c ，使得c ⊥平面AOB ；（2）求线段AB 中点M 及AOB ∆的重心G 的坐标；（3）求AOB ∆的面积。
例3．如图，两个边长为1的正方形ABCD 与ABEF 相交于AB ，90,,EBC M N ∠=分别是,BD AE 上的点，且AN DM =，（1）求证：//MN 平面EBC ；（2）求MN 长度的最小值。
高三数学空间角
天王殿简陋，殿前守门的却是典型的非洲雄狮，形态威武凶猛。狮子为百兽之王，佛法中，狮子一吼，百兽脑裂，会使迷者惊醒。它是文殊菩萨坐骑，能震慑魔怨，可祛一切邪恶和负面能量，还人 内心一片清宁。
寺的东北方向，矗立着一座白色石砌舍利塔。束腰须弥座的塔底，敦厚稳重，上置莲花宝座，承托着瓮形覆钵，方形石质刹座上，是十三相轮刹身、宝盖，刹顶由小型喇嘛塔组成，塔身细瘦，顶部 修长。把舍利塔融进台顶的美景中，显示了设计者深厚的佛教审美观。
台顶东侧伸出悬崖的巨石，状似牛心，被称为牛心石。西台顶同样草肥水美，不过，少了中台飘逸的马，西台多得是温顺的牛。随意地卧在草丛中，不慌不忙地反刍着多汁的嫩草，挂月峰的牛悠然 自得。不止是安逸，挂月峰的牛还聪明。草青的季节多雷雨，牛就会跑到牛心石下避雨。不过，牛心石下是台顶雷电区，雷鸣之前，闪电如火蛇般穿过牛心石下的空凹处，有时会将避雨的牛击倒。
2025年高考数学一轮复习-3.6-空间角的计算-导学案
6.3.3空间角的计算学习目标 1.会用向量法求线线角、线面角、二面角.2.能正确区分向量夹角与所求线线角、线面角的关系.3.能正确区分平面法向量所成的角与二面角的平面角的关系．导语地球绕太阳公转的轨道平面称为“黄道面”，黄道面与地球赤道面交角(二面角的平面角)为23°26′.黄道面与地球相交的大圆为“黄道”．黄道及其附近的南北宽9°以内的区域称为黄道带，太阳及大多数行星在天球上的位置常在黄道带内．黄道带内有十二个星座，称为“黄道十二宫”．从春分(节气)点起，每30°便是一宫，并冠以星座名，如白羊座、狮子座、双子座等等，这便是星座的由来．一、两条异面直线所成的角知识梳理(1)设两条异面直线所成的角为θ，它们的方向向量为a ，b ，则cos θ＝|cos 〈a ，b 〉|＝|a ·b ||a ||b |.(2)，π2.注意点：，π2，两条异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系．例1如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E ，F 分别是棱AB ，BB 1的中点，试求直线EF 和BC 1所成的角．解分别以直线BA ，BC ，BB 1为x ，y ，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．设AB ＝1，则B (0,0,0)，0，，0C 1(0,1,1)，所以EF →－12，0BC 1→＝(0,1,1)．于是cos 〈BC 1→，EF →〉＝BC 1→·EF →|BC 1→||EF →|＝1222×2＝12，所以直线EF 和BC 1所成角的大小为60°.反思感悟运用向量法常有两种途径(1)基底法：在一些不适合建立坐标系的题型中，经常采用取定基底的方法，在由公式cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |求向量a ，b 的夹角时，关键是求出a·b 及|a |与|b |，一般是把a ，b 用基向量表示出来，再求有关的量．(2)坐标法：根据题目条件建立恰当的空间直角坐标系，写出相关各点的坐标，利用坐标法求线线角，避免了传统找角或作角的步骤，使过程变得简单．跟踪训练1已知四棱锥S －ABCD 的底面是正方形且侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE ，SD 所成的角的余弦值为()A.13 B.23 C.33 D.23答案C 解连接AC ，BD 交于点O ，以O 为坐标原点，分别以OB ，OC ，OS 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系如图所示，设四棱锥S －ABCD 的棱长为2，则A (0，－1,0)，B (1,0,0)，S (0,0,1)，D (－1,0,0)，∴EAE →1SD →＝(－1,0，－1)，∴cos 〈AE →，SD →〉＝AE →·SD →|AE →||SD →|＝－162×2＝－33，故异面直线AE ，SD 所成角的余弦值为33.二、直线与平面所成的角问题直线的方向向量与平面的法向量所成的角是否是直线与平面所成的角？提示不是．知识梳理设直线AB 与平面α所成的角为θ，直线AB 的方向向量为e ，平面α的法向量为n ，则sin θ＝|cos 〈e ，n 〉|＝|e ·n ||e ||n |.注意点：(1)直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角．(2)线面角的范围为0，π2.(3)直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角．例2如图所示，在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，PA ＝AC ＝12AB ，N 为AB 上一点，AB ＝4AN ，M ，S 分别为PB ，BC 的中点．(1)证明：CM ⊥SN ；(2)求SN 与平面CMN 所成角的大小．(1)证明设PA ＝1，以A 为原点，射线AB ，AC ，AP 分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系(如图)．则P (0,0,1)，C (0,1,0)，B (2,0,0)，又AN ＝14AB ，M ，S 分别为PB ，BC 的中点，∴0，，0，12，CM →，－1SN →－12，－12，∴CM →·SN →，－1－12，－12，0，∴CM →⊥SN →，∴CM ⊥SN .(2)解由(1)知，NC →－12，1，SN →－12，－12，设a ＝(x ，y ，z )为平面CMN 的一个法向量，∴CM →·a ＝0，NC →·a ＝0.－y ＋12z ＝0，－12x ＋y ＝0.＝2y ，＝－2y .取y ＝1，得a ＝(2,1，－2)．设SN 与平面CMN 所成的角为θ，∵sin θ＝|cos 〈a ，SN →〉|＝|a ·SN →||a ||SN →|＝|－1－12|3×22＝22.∴SN与平面CMN 所成角的大小为π4.反思感悟若直线l 与平面α的夹角为θ，利用法向量计算θ的步骤如下：跟踪训练2如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝AA 1＝2，∠BAC ＝90°，E ，F 依次为C 1C ，BC 的中点．求A 1B 与平面AEF 所成角的正弦值．解以A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，A 1(0,0,2)，B (2,0,0)，E (0,2,1)，F (1,1,0)，所以A 1B →＝(2,0，－2)，AE →＝(0,2,1)，AF →＝(1,1,0)．设平面AEF 的一个法向量为n ＝(a ，b ，c )，n ·AE →＝0，n ·AF →＝0，2b ＋c ＝0，a ＋b ＝0，令a ＝1可得n ＝(1，－1,2)．设A 1B 与平面AEF 所成的角为θ，所以sin θ＝|cos 〈n ，A 1B →〉|＝|n ·A 1B →||n ||A 1B →|＝36，即A 1B 与平面AEF 所成角的正弦值为36.三、二面角知识梳理将二面角转化为二面角的两个面的法向量的夹角，如图，向量n 1⊥α，n 2⊥β，则二面角α－l －β的大小为〈n 1，n 2〉或π－〈n 1，n 2〉，若二面角α－l －β的大小为θ(0≤θ≤π)，则|cos θ|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|.注意点：(1)求二面角问题转化为两个平面法向量的夹角问题．(2)二面角的范围是[0，π]．例3如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的所有棱长都相等，AC ∩BD ＝O ，A 1C 1∩B 1D 1＝O 1，四边形ACC 1A 1和四边形BDD 1B 1均为矩形．(1)证明：O 1O ⊥平面ABCD ；(2)若∠CBA ＝60°，求二面角C 1－OB 1－D 的余弦值．(1)证明因为四边形ACC 1A 1和四边形BDD 1B 1均为矩形，所以CC 1⊥AC ，DD 1⊥BD ，又CC 1∥DD 1∥OO 1，所以OO 1⊥AC ，OO 1⊥BD ，因为AC ∩BD ＝O ，AC ，BD ⊂平面ABCD ，所以O 1O ⊥平面ABCD .(2)解因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形ABCD 为菱形，AC ⊥BD ，又O 1O ⊥平面ABCD ，所以OB ，OC ，OO 1两两垂直．如图，以O 为原点，OB ，OC ，OO 1所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系．设棱长为2，因为∠CBA ＝60°，所以OB ＝3，OC ＝1，所以O (0,0,0)，B 1(3，0,2)，C 1(0,1,2)，平面BDD 1B 1的一个法向量为n ＝(0,1,0)，设平面OC 1B 1的法向量为m ＝(x ，y ，z )，由m ⊥OB 1→，m ⊥OC 1→，得3x ＋2z ＝0，y ＋2z ＝0，取z ＝－3，则x ＝2，y ＝23，所以m ＝(2,23，－3)，所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝2319＝25719.因为二面角C 1－OB 1－D 为锐二面角，所以二面角C 1－OB 1－D 的余弦值为25719.反思感悟利用向量法求二面角的步骤(1)建立空间直角坐标系．(2)分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量．(3)求两个法向量的夹角．(4)判断所求二面角的平面角是锐角还是钝角．(5)确定二面角的大小．跟踪训练3如图，在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥CD ，且∠BAP ＝∠CDP ＝90°.(1)证明：平面PAB ⊥平面PAD ；(2)若PA ＝PD ＝AB ＝DC ，∠APD ＝90°，求二面角A －PB －C 的余弦值．(1)证明由已知∠BAP ＝∠CDP ＝90°，得AB ⊥AP ，CD ⊥PD .因为AB ∥CD ，所以AB ⊥PD .又AP ∩PD ＝P ，AP ，PD ⊂平面PAD ，所以AB ⊥平面PAD .因为AB ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD .(2)解在平面PAD 内作PF ⊥AD ，垂足为点F .由(1)可知，AB ⊥平面PAD ，PF ⊂平面PAD ，故AB ⊥PF ，又AD ∩AB ＝A ，AD ，AB ⊂平面ABCD ，可得PF ⊥平面ABCD .以F 为坐标原点，FA →的方向为x 轴正方向，|AB →|为单位长度建立如图所示的空间直角坐标系F －xyz .由(1)及已知可得0，，01，－22，1，PC →－22，1CB →＝(2，0,0)，PA →0AB →＝(0,1,0)．设n ＝(x 1，y 1，z 1)是平面PCB 的一个法向量，·PC →＝0，·CB →＝0，1＋y 1－22z 1＝0，0.所以可取n ＝(0，－1，－2)．设m ＝(x 2，y 2，z 2)是平面PAB 的一个法向量，·PA →＝0，·AB →＝0，2－22z 2＝0，0.所以可取m ＝(1,0,1)，则cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝－23×2＝－33.因为二面角A －PB －C 为钝二面角，所以二面角A －PB －C 的余弦值为－33.1．知识清单：(1)异面直线所成的角．(2)直线与平面所成的角．(3)二面角．2．方法归纳：转化与化归．3．常见误区：混淆两个向量的夹角和空间角的关系，不能正确理解空间角的概念，把握空间角的范围．1．已知向量m ，n 分别是直线l 的方向向量和平面α的法向量，若cos 〈m ，n 〉＝－12，则l 与α所成的角为()A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°答案A 解析设l 与α所成的角为θ且0°≤θ≤90°，则sin θ＝|cos 〈m ，n 〉|＝12.∴θ＝30°.2．(多选)已知二面角α－l －β的两个半平面α与β的法向量分别为a ，b ，若〈a ，b 〉＝π3，则二面角α－l －β的大小可能为()A.π3 B.2π3 C.π6 D.5π6答案AB 解析由于二面角的范围是[0，π]，而二面角的两个半平面α与β的法向量都有两个方向，因此二面角α－l －β的大小为π3或2π3，故选AB.3．已知在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是DC 的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，则AB 1与ED 1所成角的余弦值为()A.1010 B.105C ．－1010D ．－105答案A 解析因为A (2,2,0)，B 1(2,0,2)，E (0,1,0)，D 1(0,2,2)，所以AB 1→＝(0，－2,2)，ED 1→＝(0,1,2)，所以|AB 1→|＝22，|ED 1→|＝5，AB 1→·ED 1→＝0－2＋4＝2，所以cos 〈AB 1→，ED 1→〉＝AB 1→·ED 1→|AB 1→||ED 1→|＝222×5＝1010，所以AB 1与ED 1所成角的余弦值为1010.4．在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为(0，－1,3)，(2,2,4)，则这个二面角的余弦值为________．答案±156解析设a ＝(0，－1,3)，b ＝(2,2,4)，则cos 〈a ，b 〉＝a·b |a ||b |＝1010×24＝156，又因为两向量的夹角与二面角相等或互补，所以这个二面角的余弦值为±156.课时对点练1．若异面直线l 1的方向向量与l 2的方向向量的夹角为150°，则l 1与l 2所成的角为()A.π6 B.5π6C.π6或5π6D ．以上均不对答案A解析l 1与l 2，π2，故选A.2．若二面角α－l －β的大小为120°，则平面α与平面β的法向量的夹角为()A ．120°B ．60°C ．120°或60°D ．30°或150°答案C 解析二面角为120°时，其法向量的夹角可能是60°，也可能是120°.3．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为()A.55 B.53C.255 D.35答案A解析不妨设CA ＝CC 1＝2CB ＝2，则AB 1→＝(－2,2,1)，C 1B →＝(0，－2,1)，所以cos 〈AB 1→，C 1B →〉＝AB 1→·C 1B →|AB 1→||C 1B →|＝(－2)×0＋2×(－2)＋1×19×5＝－55.因为直线BC 1与直线AB 1的夹角为锐角，所以所求角的余弦值为55.4．在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BB 1＝4，则BB 1与平面ACD 1所成角的正弦值为()A.13 B.33C.63D.223答案A 解析如图所示，建立空间直角坐标系．则D (0,0,0)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，D 1(0,0,4)，B (2,2,0)，B 1(2,2,4)，AC →＝(－2,2,0)，AD 1→＝(－2,0,4)，BB 1→＝(0,0,4)．设平面ACD 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，·AC →＝0，·AD 1→＝0，2x ＋2y ＝0，2x ＋4z ＝0，取n ＝(2,2,1)，设BB 1与平面ACD 1所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，BB 1→〉|＝|n ·BB 1→||n ||BB 1→|＝49×4＝13.5．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为AD ，C 1D 1的中点，O 为侧面BCC 1B 1的中心，则异面直线MN 与OD 1所成角的余弦值为()A.16B.14C ．－16D ．－14答案A解析如图，以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为2，则M (1,0,0)，N (0,1,2)，O (1,2,1)，D 1(0,0,2)，∴MN →＝(－1,1,2)，OD 1→＝(－1，－2,1)．则cos 〈MN →，OD 1→〉＝MN →·OD 1→|MN →||OD 1→|＝16×6＝16.∴异面直线MN 与OD 1所成角的余弦值为16，故选A.6．正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都相等，则AC 1与平面BB 1C 1C 所成角的余弦值为()A.104 B.102 C.55 D.510答案A解析设三棱柱的棱长为1，以B 为原点建立空间直角坐标系，如图，则C 1(0,1,1)，，12，则AC 1→，12，易知平面BB 1C 1C 的一个法向量n ＝(1,0,0)，设AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，AC 1→〉＝|AC 1→·n ||AC 1→||n |＝64，所以cos θ＝1－sin 2θ＝104.7．在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则直线CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于________．答案23解析以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图．设AA 1＝2AB ＝2，则D (0,0,0)，C (0,1,0)，B (1,1,0)，C 1(0,1,2)，则DC →＝(0,1,0)，DB →＝(1,1,0)，DC 1→＝(0,1,2)．设平面BDC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ⊥DB →，n ⊥DC 1→，＋y ＝0，＋2z ＝0，令y ＝－2，得平面BDC 1的一个法向量为n ＝(2，－2,1)．设直线CD 与平面BDC 1所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，DC →〉|＝|n ·DC →||n ||DC →|＝23.8.如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝BC ＝AB ＝2，AB ⊥BC ，则二面角B 1－A 1C －C 1的大小为________．答案π3解析如图所示，建立空间直角坐标系，则由题意可知B (0,0,0)，C (0,2,0)，A 1(2,0,2)，B 1(0,0,2)，设AC 的中点为M ，连接BM ，则BM ⊥AC ，又由题意知BM ⊥CC 1，又AC ∩CC 1＝C ，所以BM ⊥平面A 1C 1C ，即BM →＝(1,1,0)是平面A 1C 1C 的一个法向量．设平面A 1B 1C 的法向量是n ＝(x ，y ，z )．A 1C →＝(－2,2，－2)，A 1B 1—→＝(－2,0,0)，n ·A 1B 1—→＝－2x ＝0，n ·A 1C →＝－2x ＋2y －2z ＝0，令z ＝1，可得n ＝(0,1,1)．设法向量n 与BM →的夹角为φ，二面角B 1－A 1C －C 1的大小为θ，显然θ为锐角．所以cos θ＝|cos φ|＝|n ·BM →||n ||BM →|＝12，解得θ＝π3，所以二面角B 1－A 1C －C 1的大小为π3.9．如图，直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 为平行四边形，其中AB ＝2，BD ＝BC ＝1，AA 1＝2，E 为DC 的中点，F 是棱DD 1上的动点．(1)求异面直线AD 1与BE 所成角的正切值；(2)当DF 为何值时，EF 与BC 1所成的角为90°？解由BC 2＋BD 2＝DC 2可知BD ⊥BC ，分别以BC ，BD ，BB 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图，则B (0,0,0)，A (－1,1,0)，D (0,1,0)，D 1(0,1,2)，C (1,0,0)，C 1(1,0,2)，，12，(1)因为AD 1→＝(1,0,2)，BE →，12，所以cos 〈AD 1→，BE →〉＝AD 1→·BE →|AD 1→||BE →|＝125×22＝1010，所以sin 〈AD 1→，BE →〉＝31010，所以tan 〈AD 1→，BE →〉＝3，即AD 1与BE 所成角的正切值为 3.(2)设F (0,1，q )，则EF →－12，12，又BC 1→＝(1,0,2)，由EF →·BC 1→1＋0×12＋q ·2＝0，得q ＝14，即DF ＝14时，EF ⊥BC 1.10.如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD (及其内部)以AB 边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G 是DF 的中点．(1)设P 是CE 上的一点，且AP ⊥BE ，求∠CBP 的大小；(2)当AB ＝3，AD ＝2时，求二面角E －AG －C 的大小．解(1)因为AP ⊥BE ，AB ⊥BE ，AB ，AP ⊂平面ABP ，AB ∩AP ＝A ，所以BE ⊥平面ABP .又BP ⊂平面ABP ，所以BE ⊥BP ，即∠EBP ＝90°，又∠EBC ＝120°，所以∠CBP ＝30°.(2)以B 为坐标原点，分别以BE ，BP ，BA 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．由题意得A (0,0,3)，E (2,0,0)，G (1，3，3)，C (－1，3，0)，故AE →＝(2,0，－3)，AG →＝(1，3，0)，CG →＝(2,0,3)．设m ＝(x 1，y 1，z 1)是平面AEG 的一个法向量，·AE →＝0，·AG →＝0，x 1－3z 1＝0，1＋3y 1＝0.取z 1＝2，可得平面AEG 的一个法向量m ＝(3，－3，2)．设n ＝(x 2，y 2，z 2)是平面ACG 的一个法向量，·AG →＝0，·CG →＝0，2＋3y 2＝0，x 2＋3z 2＝0.取z 2＝－2，可得平面ACG 的一个法向量n ＝(3，－3，－2)．所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝12.因为二面角E －AG －C 为锐二面角，故所求二面角E －AG －C 的大小为60°.11.如图所示，已知两个正四棱锥P －ABCD 与Q －ABCD 的高分别为1和2，AB ＝4，则异面直线AQ 与PB 所成角的余弦值为()A.33 B.36C.39 D.34答案C解析由题设知，四边形ABCD 是正方形，连接AC ，BD ，交于点O ，则AC ⊥BD .连接PQ ，则PQ 过点O .由正四棱锥的性质知，PQ ⊥平面ABCD ，故以O 为原点，以CA ，DB ，QP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则P (0,0,1)，A (22，0,0)，Q (0,0，－2)，B (0,22，0)，∴AQ →＝(－22，0，－2)，PB →＝(0,22，－1)．则cos 〈AQ →，PB →〉＝AQ →·PB →|AQ →||PB →|＝39，∴异面直线AQ 与PB 所成角的余弦值为39.12．(多选)将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，下列结论正确的是()A ．AC ⊥BDB ．AB ，CD 所成角为π3C ．△ADC 为等边三角形D ．AB 与平面BCD 所成角为60°答案ABC解析如图，取BD 的中点O ，连接AO ，CO ，易知BD ⊥平面AOC ，故BD ⊥AC .如图，建立空间直角坐标系，设正方形边长为a ，则，0，，－22a ，故AB →－22a ，－22a ，，0，22a ，22a ，故CD →，22a ，－22a 由两向量夹角公式得cos 〈CD →，AB →〉＝－12，故两异面直线所成的角为π3.在Rt △AOC 中，由AO ＝CO ＝22a ，AO ⊥CO ，所以AC ＝2AO ＝a ，故△ADC 为等边三角形．易知∠ABO 即为直线AB 与平面BCD 所成的角，可求得∠ABO ＝45°，故D 错．13.如图，正三角形ABC 与正三角形BCD 所在的平面互相垂直，则直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值为____．答案155解析如图，取BC的中点O ，连接AO ，DO ，建立如图所示的空间直角坐标系．设BC ＝1，则A 0，0，32，B 0，－12，0，C 0，12，0，D 32，0，0，所以BA →＝0，12，32，BD →＝32，12，0CD →＝32，－12，0.设平面ABD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，n ·BA →＝0，n ·BD →＝0，12y ＋32z ＝0，32x ＋12y ＝0.取x ＝1，则y ＝－3，z ＝1，所以n ＝(1，－3，1)，所以cos 〈n ，CD →〉＝155，因此直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值为155.14.如图所示，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝2π3，线段AD ，BD 的中点分别为E ，F .现将△ABD 沿对角线BD 翻折，当二面角A －BD －C 的余弦值为13时，异面直线BE 与CF 所成角的正弦值是________．答案356解析如图所示，过点E 作EH ⊥BD ，交BD 于H 点，设异面直线BE 与CF 所成的角为θ，则θ，π2，记二面角A －BD －C 的大小为α，CF →·BE →＝CF →·(BH →＋HE →)＝CF →·HE →，即CF →·BE →＝|CF →|·|HE →|cos(π－α)，即|CF →|·|BE →|cos 〈CF →，BE →〉＝12|CF →|·|BE →∴cos 〈CF →，BE →〉＝－16，∴cos θ＝16，即sin θ＝356.15．三棱柱OAB －O 1A 1B 1中，平面OBB 1O 1⊥平面OAB ，且∠O 1OB ＝60°，∠AOB ＝90°，OB ＝OO 1＝2，OA ＝3，求异面直线A 1B 与O 1A 所成角的余弦值为________．答案17解析以O 为坐标原点，OA ，OB 所在直线分别为x 轴、y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (3，0,0)，B (0,2,0)，A 1(3，1，3)，O 1(0,1，3)，所以A 1B →＝(－3，1，－3)，O 1A →＝(3，－1，－3)．设所求的角为α，则cos α＝|A 1B →·O 1A →||A 1B →||O 1A →|＝|－3－1＋3|7×7＝17，即异面直线A 1B 与O 1A 所成角的余弦值为1716．如图，已知长方形ABCD 中，AB ＝22，AD ＝2，M 为DC 的中点．将△ADM 沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM .(1)求证：AD ⊥BM ；(2)若点E 是线段DB 上的一动点，问点E 在何位置时，二面角E －AM －D 的余弦值为55.(1)证明∵在长方形ABCD 中，AB ＝22，AD ＝2，M 为DC 的中点，∴AM ＝BM ＝2，∴BM ⊥AM .∵平面ADM ⊥平面ABCM ，平面ADM ∩平面ABCM ＝AM ，BM ⊂平面ABCM ，∴BM ⊥平面ADM ，∵AD ⊂平面ADM ，∴AD ⊥BM .(2)解取AM 的中点O ，则OD ⊥AM ，又平面ADM ⊥平面ABCM ，所以OD ⊥平面ABCM ，以O 为原点，OA ，ON ，OD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (1,0,0)，M (－1,0,0)，D (0,0,1)，B (－1,2,0)，MD →＝(1,0,1)，DB →＝(－1,2，－1)，AM →＝(－2,0,0)，设DE →＝λDB →(0<λ<1)，ME →＝MD →＋λDB →＝(1－λ，2λ，1－λ)，设平面AME 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )，m ·AM →＝0，m ·ME →＝0，－2x ＝0，(－λ)x ＋2λy ＋(1－λ)z ＝0，取y ＝1，得x ＝0，y ＝1，z ＝2λλ－1，所以m ＝0，1，2λλ－1平面AMD 的一个法向量为n ＝(0,1,0)，因为cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝55，解得λ＝12，所以E 为BD 的中点．。
高中补习班数学第一轮复习教案——空间的角(2020-2021)含答案解析 (2)
高中补习班数学第一轮复习教案——空间的角（2020-2021）第62 讲空间的角1.空间角的计算步骤 .2.异面直线所成角：（1）范围： ；（2）计算方法:①平移法：②向量法：设,a b 分别为异面直线,a b 的方向向量,则两异面直线所成的角α= ；③补形法；④证明两条异面直线垂直,即所成角为90︒. 3直线与平面所成的角：①定义： 若垂直于平面，所成角 .②范围 ；③最小角定理：斜线和平面所成的角，是斜线 直线所成的角中最小的角.⑤斜线与平面所成角的计算：（1）直接法：关键是 ，找射影（2）通过等体积法求出斜线任一点到平面的 ，计算这点与斜足之间的线段长l ，则sin d lθ=.（3） 公式： . （4）向量法：设l 是斜线l 的方向向量，n 是平面α的法向量，则斜线l 与平面α所成的角θ= .4.二面角：①定义： .②确定二面角的方法：（1）定义法；（2） ；（3） ；（4）射影面积法：cos θ=（），（ 5）向量法：法一、在α内a l ⊥，在β内b l ⊥，则二面角l αβ-- 的平面角α ；或法二、设1n ,2n 是二面角l αβ--的两个半平面的法向量，其方向一个指向内侧，另一个指向外侧（同等异补），则二面角l αβ--的平面角α课前练习1.正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱C 1C 与BC 的中点，则直线EF 与直线D 1C 所成角的大小是 （ ） A.45°B.60°C.75°D.90° 2.一副三角板如图拼接，使两个三角板所在的平面互相垂直.如果公共边AC=a ，则异面直线AB 与CD 的距离是（ ） A.2a B.a C.a 22 D.a 6303.AB ⊥平面BCD ，DC ⊥CB ，AD 与平面BCD 所成的角为30°，且AB=BC.求AD 与平面ABC 所成角的大小.例1如图所示，过正方形ABCD 的顶点A 作PA ⊥平面ABCD ，设PA=AB=a ，求:（1）二面角B —PC —D 的大小；（2）平面PAB 和平面PCD 所成二面角的大小.例2（2021·重庆理，19）如图所示，在△ABC 中，B=90°,AC=215,D 、E 两点分别在AB 、AC 上，使ECAE DB AD =2， DE=3.现将△ABC 沿DE 折成直二面角.求：（1）异面直线AD 与BC 的距离；（2）二面角A —EC —B 的大小。
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课题：空间的角
教学目标：掌握直线与平面所成角、二面角的计算方法，掌握三垂线定理及其逆定理，
并能熟练解决有关问题,进一步掌握异面直线所成角的求解方法，熟练解决有关问题. 教学重点：直线与平面所成的角，二面角的求解.
（一） 主要知识及主要方法：
1.三垂线定理(课本30P )：在平面内的一条直线，如果和
这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直. 2.三垂线的逆定理(课本31P )
：在平面内的一条直线，如果和 这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直. 3. 空间角的计算步骤 一作、二证、三算.
4.异面直线所成角：()1范围：(]0,90︒︒；()2计算方法:
①平移法：一般情况下应用平行四边形的对边、梯形的平行对边、三角形的中位线进行平
移.②向量法：设a 、b 分别为异面直线a 、b 的方向向量, 则两异面直线所成的角α=arccos
a b a b
；③补体法；
④证明两条异面直线垂直,即所成角为90︒.
5.直线与平面所成的角：①定义：
（课本29P ）平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角；一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角.②范围 []0,90︒︒；③最小角定理：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角.⑤斜线与平面所成角的计算：()1直接法：关键是作垂线，找射影 可利用面面垂直的性质； ()2平移法：通过三角形的中位线或平行四边形的对边平移，计算其平行线与平面所成的角.也可平移平面()3通过等体积法求出
斜线任一点到平面的距离d ()4应用结论：如右图所示，PO α⊥，O AB αÔ，AP 与平面α所成的角为1θ，BAO ∠PAB θ∠=，则12cos cos cos θθθ=.
()5向量法：设l 是斜线l 的方向向量，n 是平面的法向量，则斜线l 与平面α所成的角θl n l n
=.
6.二面角：①定义：平面内的一条直线把平面分为两部分，
其中的每一部分叫做半平面.从一条直线出发的两个半平面
所组成的图形叫做二面角棱，
每个半平面叫做二面角的面.二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角，叫做这个二面角的平面角.规
α A
P
O a
a
b
α
l
定：二面角的两个半平面重合时，二面角为0，当两个半平面合成一个平面时，二面角为
π，因此，二面角的大小范围为[]0,π.②确定二面角的方法：()1定义法；()2三垂线定
理及其逆定理法；()3垂面法；()4射影面积法：cos S S θ=
射影多边形原多边形
，此方法常用于无棱
二面角大小的计算；无棱二面角也可以先根据线面性质恢复二面角的棱，然后再用方法
()1、()2计算大小；()5向量法：法一、在α内a l ⊥，在β内b l ⊥，其方向如左图，
则二面角l αβ-- 的平面角
αarccos
a b a b
=；其方向如右图，
则二面角l αβ--的平面角
α=arccos
a b a b
π-（同等异补）
法二、设1n ,2n 是二面角l α
β--
的法向量，其方向一个指向内侧，另一个指向 外侧（同等异补），则二面角l α
β--的平面角
α12
12arccos
||||
n n n n =
（二）典例分析： 问题1．（07全国Ⅰ）四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，
侧面SBC ⊥底面．已知45=︒∠，
2AB =，BC =SA SB == ()1证明：SA BC ⊥；
()2求直线SD 与平面SAB 所成角的大小．
（本小题要求用多种方法解答,包括向量法）.
S
B
C
D
A
1n 2n
S
B
C
问题2． （07届高三湖北、荆州、宜昌4
月模拟）
边长为1的正方体1111ABCD A B C D 中，P 是棱1CC
B
C
1A
1B
1C
1D
P S
B C D
A
上任一点，CP m =（01m <<）.
()
1若12
m =时，求证：面1BPD ⊥面11BDD B ； ()2试确定m 值，使直线AP 与平面11BDD B 所成的角
的正切值为
问题3．（07四川）如图，PCBM 是直角梯形，90PCB ∠=︒，PM ∥BC ，
1PM =，2BC =，又1AC =，120ACB ∠=︒， AB PC ⊥，直线AM 与直线PC 所成的角为60︒.
B
C
M
P
()1求证：平面PAC ⊥平面ABC ； ()2求二面角B AC M --的大小; ()3求三棱锥P MAC -的体积.
(要求第()2小题用多种方法解答,包括向量法）.
问题4．（07陕西）如图，在底面为直角梯形的四棱锥P ABCD -中，
AD BC ∥，90ABC ∠=°，PA ⊥平面ABCD ．4PA =，2AD =
，AB =6BC =
()1求证：BD ⊥平面PAC （此小题这里略去不做）
；()2求二面角A PC D --的大小． A B
C M P
(要求第()2小题用多种方法解答,包括向量法）.
（三）课后作业：
1.如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中， O 是底面ABCD 的中心，E ，F 分别是1CC ，AD 的 中点.那么异面直线OE 和1FD 所成角的余弦值等于
P
C B
A D
E
P
C B
A
D
E
O
C
D 1A 1B
1C 1D
E F
2.(05浙江文)在三棱锥P ABC -中，1
,2
AB BC AB BC PA ⊥==
， 点O 、D 分别是AC 、PC 的中点，OP ⊥底面ABC .
()1求证：OD ∥平面PAB ；
()2求直线PA 与平面PBC 所成角的大小
3.如图，ABC △的边长为2，AD ，1BB ，1CC 都垂直于平面ABC ，且112BB CC ==， 1AD =，点E 为1DB 的中点，求直线
1C E 与平面ABC 所成的角.
（四）走向高考：
4.（07浙江）
在如图所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，且2AC BC BD AE ===，M 是AB 的中点．
()1求证：CM EM ⊥； ()2求CM 与平面CDE 所成的角．
E D C
A
C
A B
1A
1B
1C
D
E
F A
P
C
B
D
O
E F
5.(07北京)如图，在Rt AOB
△中，
π
6
OAB
∠=，斜边4
AB=．
Rt AOC
△可以通过Rt AOB
△以直线AO为轴旋转得到，且二面角B AO C
--是直二面角．动点D的斜边AB上．()1求证：平面COD⊥平面AOB；A
D
()2当D 为AB 的中点时，求异面直线AO 与CD 所成角的大小； ()3求CD 与平面AOB 所成角的最大值．
v
6.（07福建）如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，D 为1CC 中点．
()1求证：1AB ⊥平面1A BD （此小题这里略去不做）； ()2求二面角1A A D B --的大小；
()3求点C 到平面1A BD 的距离．
A
B
C
D
1A 1
C
1
B。