图形计数1
四年级奥数第二讲图形的计数问题含答案
四年级奥数第⼆讲图形的计数问题含答案第⼆讲图形的计数问题⼀、知识点：⼏何图形计数问题往往没有显⽽易见的顺序，⽽且要数的对象通常是重叠交错的，要准确计数就需要⼀些智慧了．实际上，图形计数问题，通常采⽤⼀种简单原始的计数⽅法－⼀枚举法．具体⽽⾔，它是指把所要计数的对象⼀⼀列举出来，以保证枚举时⽆⼀重复、．⽆⼀遗漏，然后计算其总和．正确地解答较复杂的图形个数问题，有助于培养同学们思维的有序性和良好的学习习惯．⼆、典例剖析：例（1）数出右图中总共有多少个⾓分析：在∠AOB内有三条⾓分线OC1、OC2、OC3，∠AOB被这三条⾓分线分成4个基本⾓，那么∠AOB内总共有多少个⾓呢？⾸先有这4个基本⾓，其次是包含有2个基本⾓组成的⾓有3个（即∠AOC2、∠C1OC3、∠C2OB），然后是包含有3个基本⾓组成的⾓有2个（即∠AOC3、∠C1OB），最后是包含有4个基本⾓组成的⾓有1个（即∠AOB），所以∠AOB内总共有⾓：4＋3＋2＋1＝10（个）解：4＋3＋2＋1＝10（个）答：图中总共有10个⾓。
练⼀练：数⼀数右图中总共有多少个⾓？答案: 总共有⾓：10+9+8+…+4+3+2+1=55（个）例（2 ）数⼀数共有多少条线段？共有多少个三⾓形？分析：①要数多少条线段：先看线段AB、AD、AE、AF、AC、上各有2个分点，各分成3条基本线段，再看BC、MN、GH这3条线段上各有3个分点，各分成4条基本线段.所以图中总共有线段是：（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）.②要数有多少个三⾓形，先看在△AGH中，在GH上有3个分点，分成基本⼩三⾓形有4个.所以在△AGH中共有三⾓形4+3+2+1=10（个）.在△AMN与△ABC中，三⾓形有同样的个数，所以在△ABC中三⾓形个数总共：（4+3+2+1）×3=10×3=30（个）解：：①在△ABC中共有线段是：（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）②在△ABC中共有三⾓形是：（4+3+2+1）×3=10×3=30（个）答：在△ABC中共有线段60条，共有三⾓形30个。
五年级上册数学试题-奥数：图形定稿全国通用
2、下图的周长是
分米．
7 东 东
6东 东
17
3、下面两张图中，周长较大的是
．(在横线上填写表示图名的字母)
A
10
B
14
14
第8题
4、某校园平面图如图所示，已知线段 a ＝320 米， b ＝180 米， c ＝120 米， d ＝60 米，e＝350 米。
问这个校园的周长是多少米？
a
bc d
e
5、图中的“5”字是由 16 个大小相同的小正方形拼成的，如果这个图形的周长是 170 厘米，那么每个 小正方形的边长是多少厘米？
）；直角三角形中,一个锐角是 370,另一个
4、下图中∠1=30°, ∠2=（ ）
5、用一副学生用的三角板的内角（其中一个三角板的内角是 45º、45º、90º，另一个是 30º、60º、90º）可以画出大于 0º 且小于 176º 的不同角度的角共有多少种？
第四讲 巧求周长
封闭图形一周的长度就是这个图形的周长。 对于基本的长方形和正方形等规则图形，可以直接用公式 求出它们的周长，但对于一些不规则的比较复杂的几何图形的周长，不能生搬硬套地使用公式，我们要通 过观察、分析，合理地运用割补、分解、移位、合并、转化等方法，使不规则的图形转化为已学过的标准 图形来求解。
例 1．下图表示一块地，四周都用篱笆围起来，转弯处都是直角．已知西边篱笆长17 米，南边篱笆长 23 米．四周篱笆长多少米？
东
A
东
D
东 17
东
23 东
东 17
C
东
B
23 东
【试一试】 1、求图 1 和图 2 的周长。（单位：米）
图1
图2
13
一年级下册数学讲义-思维拓展：图形的计数(含答案PDF)全国通用
第二讲图形的计数一、平面图形1、规则图形方法：开火车①单层总数=基本线段数依次加到1②多层三角形A、边到边B、角到边2、不规则图形方法：分类数①按大小②按方向二、立体图形1、分层数2、空白=实心-空心3、分割法【例1【解析】要数清图中一共有多少个圆点点，小朋友们不妨先想一想我们有哪些观察角度。
方法一：从上到下观察，分层数，那么总数是：1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1=49（个）方法二：斜着看，有7排7列个圆点点，总数是：7+7+7+7+7+7+7=49（个）【例2】时钟1时敲1下，2时敲2下，3时敲3下，……照这样敲下去，从1时起到时钟共敲28下时，时钟显示是几时？当共敲80下的时候又是几时？【解析】注意：13点的时候指针指向1，敲击一下，敲击的次数与时钟上时针所指数字相同；记住一些常用的加和结果可以方便解题。
（1）1+2+3+4+5+6+7=28（下），所以共敲28次的时候是7时的最后一次敲击。
（2）从1时到12时一共敲了1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12=78（下）（这里小朋友要是背过常用加和结果就可以迅速发现从1加到12的结果是78了），过了12时，又会从1开始敲，78+1+1=80（下），所以敲击第80下的时候，时钟显示的是2时，此时正好敲2时的第一下。
【例3】艾迪、薇儿、加加、减减和6个士兵一起分54颗珍珠。
要求每个人都分到珍珠，但分到的珍珠颗数又不能一样多，怎么分？如果不能分，至少应该有多少颗珍珠才能够分？【解析】小朋友们一定要注意，一共有10个人，不要见到数字6就以为只有6个人啦。
每个人都分到珍珠，但颗数又不能相同，我们不知道分到珍珠最多的人可以分到多少颗，但是我们可以让分的最少的只分到1个，然后其他人依次比上一个人多拿一个，这样就能算出至少需要多少颗珍珠才够分。
至少需要的珍珠数为：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55（颗），所以54颗珍珠不够分。
图形的计数（四年级奥数秋季思维训练教程）
图形的计数（四年级奥数秋季思维训练教程）教学内容：第二讲图形的计数（四年级秋季思维训练教程）课时：第一、二课时课型：新授课教学目的：知识与技能理解并掌握数线段的两种方法：基本线段法、定端点法。
学会灵活地将数图形（三角形、正方形、长方形等）问题转化为数线段问题。
过程与方法通过引导学生复习旧知，鼓励学生总结归纳数线段的基本方法，培养学生的观察能力、抽象概括能力，增强学生探究问题的本领。
在观察、分析图形的过程中，要逐步培养学生掌握从特殊到一般的研究问题的方法。
情感态度与价值观在观察、总结归纳数线段的基本方法的过程中，体会探索新知的乐趣，养成善于思考，勇于探索，乐于交流的习惯。
在数图形个数时，要求按一定的顺序去做，做到不遗漏，不重复，提高学生的逻辑思维能力，养成严密的数学思维习惯。
教学重、难点：重点：通过观察、分析复杂图形并数出其中基本图形的个数的过程中，促进学生掌握类比转化的方法，培养学生分析和解决问题的能力。
难点：如何将复杂图形的计数问题转化为线段的计数问题教具、学具准备：教学过程：复习旧知，凝疑导入同学们，看看我左手上是什么？（粉笔）数数有几只？（三只）。
再看看老师右手上拿了什么？（纸）瞅瞅它们共有几张呢？我们两三岁时家人就开始教我们数数了，所以刚刚那两个问题对同学们来说都是小菜一碟，有没有？但是，不知，同学们还是否记得我们之前学过一种稍微复杂一点的数数问题---数线段。
下面我们来简单地复习一下：问题一：数一数下面图形中共有多少条线段？(10条)线段：有两个端点的直线组成的图形要求：不遗漏不重复展示与总结：定端点法：4+3+2+1=10（条）基本线段法：有4条基本线段由两条基本线段组成的线段：3条由三条基本线段组成的线段：2条由四条基本线段组成的线段：1条共有4+3+2+1=10（条）这道题有没有唤起同学们对以前学过知识的记忆呢？同学们应该都知道，学习是一个连续且不断发展的过程，随着我们年龄和年级的不断增加，我们会对同一个大问题进行更深入的研究，所以，理所当然，数数问题也需要我们对它进行更深一步的探究。
人教版小学四年级数学第2讲：图形计数(学生版)
第二讲图形计数几何图形计数问题往往没有显而易见的顺序，而且要数的对象通常是重叠交错的，要准确计数就需要一些智慧了．实际上，图形计数问题，通常采用一种简单原始的计数方法－一枚举法．具体而言，它是指把所要计数的对象一一列举出来，以保证枚举时无一重复、．无一遗漏，然后计算其总和．正确地解答较复杂的图形个数问题，有助于培养同学们思维的有序性和良好的学习习惯．一：简单图形计数的方法。
二：复杂图形计数的方法和找规律的方法。
例（1）数出右图中总共有多少个角例（2 ）数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？例（3）数一数图中长方形的个数例（4）数一数图中有多少个正方形（其中每个小方格都是边长为1个长度单位的正方形）.例（5）数一数图中三角形的个数例（6）数一数图中一共有多少个三角形？A一、填空题:1.右图一共有( )个长方形?2.右图一共有( )个长方形?3.右图一共有( )个长方形？4.右图一共有( )个正方形？5.右图一共有( )个长方形？6.右图一共有( )个平行四边形?7.右图一共有( )个梯形？8.右图一共有( )个正方形？9.右图一共有( )个正方形?10.右图一共有( )个正方形?二、解答题:11.下图共有几个正方形?12.下图共有几个正方形?13.在一个图案中有100个矩形、100个菱形和40个正方形,这个图案中至少有多少个平行四边形?14.三个同样的正方形框架,摆放在适当的位置,最多可以数出多少个正方形来?B一、填空题1. 下图中长方形（包括正方形）总个数是_____.2. 下图中有正方形_____个,三角形_____个,平行四边形_____个,梯形_____个.3. 下图中共出现了_____个长方形.4. 先把正方形平均分成8个三角形.再数一数,它一共有_____个大小不同的三角形.5. 图形中有_____个三角形.6．如下图,一个三角形分成36个小三角形.把每个小三角形涂上红色或蓝色,两个有公共边的小三角形要涂上不同的颜色,已知涂成红色的三角形比涂成蓝色的三角形多,那么多_____个.7. 把一条长15cm 的线段截为三段，使每条线段的长度是整数，用这三条线段可以组成多少个不同的三角形？（当且仅当两三角形的三条边可以对应相等时，我们称这两个三角形是相同的.）C1. 右图是由小立方体码放起来的,其中有一些小方体看不见.图中共有_____个小立方体.2. 下图中共有_____个正方形.3. 有九张同样大小的圆形纸片,其中标有数码“1”的有1张；标有数码“2”的有2张；标有数码“3”的有3张，标有数码“4”的也有3张。
图形计数的多种方法和总结
数线段的5种方法和拓展例1数一数图中共有多少条线段？方法一：基本线段法（把图中单个的线段看作一个基本图形）由一个基本线段组成的线段有__4___条由二个基本线段组成的线段有__3___条由三个基本线段组成的线段有__2_由四个基本线段组成的线段有___1__条所以，图中一共有线段____4+3+2+1=10_______________条方法二：端点法加法（线段都是有两个端点组成，一个起点，一个终点）以A为起点的线段有__4___条以B为起点的线段有__3___条以C为起点的线段有__2___条以D为起点的线段有__1___条所以，图中一共有线段______4+3+2+1=10_____________条方法三：端点法乘法（线段都是有两个端点组成，一个起点，一个终点）端点数×间隔÷2=总条数5×4÷2=10方法四：标数法（基本线段法的简化版，可以快速得到结果）方法五：组合法（取两个点就可以组成一条线段）10124525=⨯⨯=C上面的五种方法都适应于所有的数线段的题，其中方法二和方法三可以延伸到握手问题，线段上端点数比较多可以用方法三，方法五可以解决不在一条直线上线段数握手问题1、有5个人，每两个人都需要握手一次，请问一共需要握手多少次？2、三年级有6个班，每两个班比赛拔河一次，这样一共要组织多少场比赛？3、有红、黄、蓝、白四只气球，如果每两只气球扎成一束，共有多少种不同的扎法？端点比较多不在一条直线上1. 平面上有12个点，任意三点都不在同一直线上，这些点可以连成多少条直线？1 2 4 3 A C 1 … C 2C 102 B …… 1 2 3 4 99 100。
数学思维能力提升2升3-05图形计数(1)
(1)(2)第5讲图形计数（1）小朋友，你想学会数图形的方法吗？要想不重复也不遗漏地数出线段、角、三角形……那就必须要有次序、有条理地数，从中发现规律，以便得到正确的结果。
要正确数出图形的个数，关键是要从基本图形入手。
首先要弄清图形中包含的基本图形是什么，有多少个，然后再数出由基本图形组成的新的图形，并求出它们的和。
数线段的一般规律：①条数=段数+（段数—1）+（段数—2）+…2+1②条数=段数×点数÷2典型题讲解例1、数出下面线上线段的总条数。
例2、数一数：（1）（2）练习1、数一数，下图中有多少条线段？例3、数一数，下面共有多少个角？例4、数一数下图中有多少个三角形？练习2、数一数下图中有多少个三角形？例5、数一数，图中有多少个长方形？BACDEOO D C BA例6、数一数，图中一共有多少个正方形？巩固提升（训练时间： 满分：80分，训练得分： ）1.口算与速算。
（每小题2分，共10分）78-18-0= 78-12-18= 73+20+4= 3+13+23= 9+19+29=2.竖式计算（每小题5分，共10分）（1）69-18+10= （2）80-30-21=3.填空题。
（每小题10分，共40分）（1）数出下图中有（ ）个角。
（2）数出下图中有（ ）个长方形。
（3）数出下图中有（）个三角形。
（4）汽车里有41人，中途有13人上车，9人下车，车上现在还有（）人。
4.解答题（每题10分，共20分）（1）数一数，下图中一共有多少条线段？（2）数一数，图中一共有多少个长方形方形？。
一年级奥数-图形的计数
céngfǎ
层法
fāngfǎ yīcéngyīcéngshùqīngchǔ zuòhǎo jì suàn
方 法 ：一hìguānjiàn
是关 键
qǐngláojì yìxiēchángyòngdejìsuànjiéguǒ ò
都 要 分 到 糖 ，但 分 到 的 糖 块 数 又
bùnéngyíyàngduō shuíhuìfēn jiéguǒxiǎohuǒbàn
不 能 一 样 多 ， 谁 会 分 ？” 结 果 小 伙 伴
mendōubúhuìfēn wèishénmene rúguǒyàogòufēn
们 都 不 会 分 ， 为 什 么 呢？如 果 要 够 分 ，
课 堂 小结
lì tǐ túxíngshùfāngkuài cóngshàngwǎngxiàfēn
1．立体 图 形 数 方 块 ： 从 上 往 下 分
céngfǎ
层法
kǒujué shùtóudǐngjiālóushàng
口 诀：数 头 顶 加 楼 上
píngmiàntúxíng jì shùfǎ cóngshàngwǎngxiàfēn
有 一 天 小 猴 子 和 7 个 小 伙 伴 一起 出 去 玩 ，
xiǎohóuzináchūyībāotáng duìxiǎohuǒbànmenshuō
小 猴 子拿 出 一 包 糖 ， 对 小 伙 伴 们 说 ：
wǒmenláifēntángchība zhè lǐ miànyígòngyǒu kuài
“ 我 们 来 分 糖 吃 吧 ， 这 里 面 一 共 有 35 块
táng xiànzàiwǒmenyígòngyǒu gèxiǎohuǒbàn měigè
四年级奥数周周练 第17周 计数图形(一) (教师版)答案
第17周计数图形（一）一、知识要点我们已经认识了线段、角、三角形、长方形等基本图形，当这些图形重重叠叠地交错在一起时就构成了复杂的几何图形。
要想准确地计数这类图形中所包含的某一种基本图形的个数，就需要仔细地观察，灵活地运用有关的知识和思考方法，掌握数图形的规律，才能获得正确的结果。
要准确、迅速地计数图形必须注意以下几点：1.弄清被数图形的特征和变化规律。
2.要按一定的顺序数，做到不重复，不遗漏。
二、精讲精练【例题1】数出下面图中有多少条线段。
【思路导航】要正确解答这类问题，需要我们按照一定的顺序来数，做到不重复，不遗漏。
从图中可以看出：从A点出发的不同线段有3条：AB、AC、AD；从B点出发的不同线段有2条：BC、BD；从C点出发的不同线段有1条：CD。
因此，图中共有3＋2＋1＝6条线段。
练习1：数出下列图中有多少条线段。
解法一：4＋3＋2＋1＝10（条）解法二：5×（5－1）÷2＝10（条）解法一：（4＋3＋2＋1）＋（3＋2＋1）＝16（条）解法二：5×（5－1）÷2＋4×（4－1）÷2＝16（条）（2＋1）×2＋4＝10（条）【例题2】数一数下图中有多少个锐角。
【思路导航】数角的方法和数线段的方法类似，图中的五条射线相当于线段上的五个点，因此，要求图中有多少个锐角，可根据公式1＋2＋3＋…＋（总射线数－1），求得：1＋2＋3＋4＝10（个）。
练习2：下列各图中各有多少个锐角？解法一：3＋2＋1＝6（个）解法二：4×（4－1）÷2＝6（个）解法一：5＋4＋3＋2＋1＝15（个）解法二：6×（6－1）÷2＝15（个）解法一：7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝28（个）解法二：8×（8－1）÷2＝28（个）【例题3】数一数下图中共有多少个三角形。
【思路导航】图中AD边上的每一条线段与顶点O构成一个三角形，也就是说，AD边上有几条线段，就构成了几个三角形，因为AD上有4个点，共有1＋2＋3＝6条线段，所以图中有6个三角形。
小学奥数第五讲：图形的计数
小学奥林匹克数学第一集：第五讲：图形的计数一、数一数小朋友，你知道中有多少个三角形吗？我们可以这样想，图中的小三角形一共有4个，大三角形有1个，所以一共有5个三角形。
在数数时，要做到有次序，有条理，不遗漏也不重复，这样才能正确地数数。
例1：数一数下图各有几条线段？分析：我们可以照下面的方法数：解：共有线段4+3+2+1=10（条）例2：图中有多少个小正方体？分析：这个图形是由小正方体组成的。
可以采用数数的方法，按顺序数。
也可以根据图形的组成规律进行计算，如果每2个一摞，一共有4摞。
解：方法一：一个一个地数出8个正方体。
方法二：2×4=8（个）答：共有8个小正方体。
例3：将9个小正方体组成如图所示的“十”字形，再将表面涂成红色，然后将小正方体分开。
问（1）2面涂成红色的有几个？（2）4面涂成红色的有几个？（3）5面涂成红色的有几个？分析：整个图形表面涂成红色。
只有“粘在一起的”面没有涂色。
中间的一个小正方体2面涂色，四端的4个小正方体都是5面涂色，剩下的四个小正方体都是4面涂色。
解：（1）2面涂成红色的小正方体只有1个。
（2）4面涂成红色的小正方体有4个。
（3）5面涂成红色的小正方体有4个。
例4：亮亮从1写到100，他一共写了多少数字“1”？分析：在1到100这100个数中，“1”可能出现在个位、十位或百位上。
应分三种情况计数：“1”在个位上的数有：1、11、21、31、41、51、61、71、81、91共10个；“1”在十位上的数有：10、11、12、13、14、15、16、17、18、19共10个；“1”在百位上的数有：100 只有1个。
解：10+10+1=21（个）答：共写21个。
例5：27个小方块堆成一个正方体。
如果将表面涂成黄色，求：（1）3面涂成黄色的小方块有几块？（2）1面涂成黄色的小方块有几块？（3）2面涂成黄色的小方块有几块？分析：涂色的有26个小方块。
3面涂色的只有顶点上的8个小方块；1面涂色的只有六个面上中间的小方块；其余的必然是2面涂色的小方块。
二年级奥数.计数.有趣的图形计数(1)
有趣的图形计数巧求周长知识框架把一些正方体堆在一起你会数吗？无论是平面图形还是几何图形，在数复杂图形的个数时，只要我们认真仔细观察图形特点，有次序地去数，不遗漏不重复，就能数得又对又快。
今天这节课我们也去闯一闯几何王国，让我们用我们的智慧去挑战这些图形吧！立体图形包括正方体、长方体等，如果把许多的正方体堆成不同的图形你会数吗？如果把一个大的长方体切成许多的小正方体你又会数吗？例题精讲【例1】下面的图形有多少个？你会数吗？（）条线段（）个长方形（）个正方形（）个三角形（）个圆【例2】数一数，图1和图2中各有多少黑方块和白方块？图1图2【例3】迪斯尼乐园里米老鼠又住上了新房子，下图是他新房子的侧面墙，你能根据这个侧面图算算砌好【例4】你喜欢下跳棋吗？你知道跳棋盘有多少个孔吗？仔细数一数。
【例5】数一数，下面的方块各有多少？【例6】下面的图形中一共有几个小方块？【例7】下面这堆木方块共有多少块？（中间打阴影部分从上到下是空心）【例9】下面是用小正方体堆成的图形，现在把这个图形的表面涂上黄色，想一想有多少个小正方形没有被涂色【例10】有一天大头儿子做手工，把一个正方体木块表面涂上绿色，然后再把它切成8个小正方体，想一想每个小正方体有几个面没有颜色？课堂检测【随练1】下面两个图形能拼成一个长方体吗？【随练2】下图是一个正方体木块，在它的表面涂上蓝色，然后沿正方体上面直线垂直切开。
切成了（）个三棱柱。
每个三棱柱没有涂颜色的面共有（）个，这些三棱柱一共有（）个面没有被涂色。
【随练3】一个大正方体的表面上都涂上绿色，然后切成27个小立方体（切线如图中虚线所示）。
在这些切成的小立方体中，问：（1）1面涂成绿色的有（）个。
（2）2面涂成绿色的有（）个。
（3）3面涂成绿色的有（）个。
（4）1个面也没有被涂成绿色的有（）个【作业1】数一数.【作业2】如图所示砖墙是由正六边形的特型砖砌成，问需要几块正六边形的砖才能把它补好？（）个正方形（）个三角形（）个三角形家庭作业【作业3】下面是用方块砌成的台阶，一共用了多少方块？【作业4】下面的图形被云彩遮住了，你能数出有多少个方块吗？（中间阴影部分是空心的）【作业5】这堆木方块共有多少块？(中间打阴影部分是空心)【作业6】如图所示为一堆砖．中央最高一摞是10块，它的左右两边各是9块，再往两边是8块、7块、6块、5块、4块、3块、2块、1块．问：这堆砖共有多少块？【作业7】下图中每个图形各由几个小正方体拼成，至少再增加几个小正方体就可以把这个图形拼成一个长方体？。
小学奥数- 几何计数(一)
7-8-1几何计数（一）教学目标1.掌握计数常用方法；2.熟记一些计数公式及其推导方法；3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数．本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想．知识要点一、几何计数在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n 条直线最多将平面分成212232)2n n n ++++=++……个部分；n 个圆最多分平面的部分数为n (n -1)+2；n 个三角形将平面最多分成3n (n -1)+2部分；n 个四边形将平面最多分成4n (n -1)+2部分……在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解．排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关．二、几何计数分类数线段：如果一条线段上有n +1个点(包括两个端点)（或含有n 个“基本线段”），那么这n +1个点把这条线段一共分成的线段总数为n +(n -1)+…+2+1条数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边．数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE 上有15条线段，每条线段的两端点与点A 相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC 上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形．数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n 条线段，纵边上共有m 条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn 个．例题精讲模块一、简单的几何计数【例1】七个同样的圆如右图放置，它有_______条对称轴．【例2】下面的表情图片中：，没有对称轴的个数为（）（A ）3(B )4(C )5(D )6【巩固】中心对称图形是：绕某一点旋转180°后能和原来的图形重合的图形，轴对称图形是：沿着一条直线对折后两部分完全重合的图形，图的4个图形中，既是中心对称图形又是的轴对称图形的有个。
五年级上册数学试题-奥数：图形定稿(无答案)全国通用
目录第一讲图形的计数（一） (2)第二讲图形的计数（二） (7)第三讲角的计算 (11)第四讲巧求周长 (14)第五讲图形的分与合 (20)能力测试（一） (25)第六讲割补 (28)第七讲平移、旋转、对称 (33)第八讲添辅助线 (38)第九讲等积变形 (43)第十讲格点与面积 (48)能力测试（二） (53)第一讲图形的计数（一）图形的计数问题，实际上就是数几何图形中线段、角、三角形、四边形等的个数问题。
在对图形计数时，通常采用的是枚举法，即把所要计数的对象一一列举出来，然后计算它的总和。
用枚举法计数时需注意：（1）弄清被数图形的特性与变化规律；（2）要按一定的顺序去数，做到不遗漏、不重复。
例1．下图中有多少条线段？【试一试】下图中各有多少条线段？（1）（2）例2．下面图形中有几个角？【试一试】下图中各有多少个角？（1） （2）例3．下图中共有多少个三角形？【试一试】数一数图中共有多少个三角形？A B C D EOD C B AA B ED C A B C DE FA B C D E F F G HI A B C DAB CA E DBC OE F D A B C O例4．右图中有多少个三角形？【试一试】数一数,图中有多少个三角形？（1）例5．下图中各有多少个长方形？【试一试】下图中各有多少个长方形？（1）（2）例6．如图，从甲地到乙地有2条路可走，从乙地到丙地有3条路可走；从甲地到丁地有4条路可走，从丁地到丙地有2条路可去。
从甲地到丙地共有多少种不同的走法？（2【试一试】1、如果线段AB 上共有8个点（包括A 、B 两点），那么，共有多少条线段？2、联结A 、B 、C 、D 四个城市的道路如图所示：（1）从A 城经B 城到C 城的不同走共有多少种？（2）从A 城到C 城的不同走法共有多少种？当堂测试1、数一数下图中各有多少条线段？2、数一数下图中有多少个锐角？3、数一数下图中各有多少个三角形。
【引流课讲义】四年级第1讲-图形的计数
第一讲图形的计数一.图形的计数——利用公式计数1.数线段：如果线段上有n个点，可数出线段条数：n×(n－1)÷22.数角：类似数线段，可数出角个数：射线条数×(射线条数－1)÷23.数三角形：如图1所示，三角形的个数：n×(n－1)÷2（其中，n为BC上的点的个数）如图2所示，三角形的个数：n×(n－1)÷2×m图1图2其中，n为BC上的顶点数，m为两端点分别在AB和AC上的线段的数量。
4.数长方形：长方形的个数＝长上线段条数×宽上线段条数25.数正方形：如图1，由相同的m ×m 个小方格组成的的正方形，所含的正方形总个数：1×1＋2×2＋…＋m ×m如图2，由相同的m×n （m ＜n ）个小方格组成的的正方形，所含的正方形总个数：m ×n ＋(m －1)×(n －1)＋…＋1×[n －(m －1)]图1图2考法1：数线段和角1.数一数，图中包含多少条线段？2.数一数，图中包含多少个角？考法2：数三角形1.数一数，下面图中各包含多少个三角形？2.数一数，下面图中包含多少个三角形？考法3：数长方形数一数图中包含多少个长方形？考法4：数正方形下面的5×5和6×4的图中各包含多少个正方形？二.图形的计数——分类计数在几何图形计数中，会出现如下组合图形：a.由一个图形分割成多个三角形的组合图形；b.由等面积的小正三角形组成的三角形、梯形、平行四边形；c.由等面积的小正方形组成的含“☆”的矩形；此类图形计数——分类：从最单一的小图形出发开始计数；②按照图形组合需要的个数来进行分类。
4考法1：数三角形1.数一数图中有多少个三角形？2.数一数图中有多少个三角形？考法2：数平行四边形数一数图中包含多少个平行四边形？考法3：数梯形下图是由9个小等边三角形构成的大三角形，其中包含多少个等腰梯形？考法4：数包含“★”的矩形图中含有“★”的矩形总共有多少个？1.如图，由小正方形构成的长方形网格中共有线段多少条？2.图中共包含多少个三角形？3.图中共包含多少个矩形？其中正方形有多少个？4.数一数图中有多少个三角形？5.下图是由9个小等边三角形构成的大三角形，其中包含多少个平行四边形？6.图中含有“☆”的正方形共有多少个？6。
四上第六讲 图形的个数(一)——有序思考
第六讲图形的个数（一）——有序思考
一、知识要点
图形计数主要是指对满足一定条件的某种图形中所包含的某一种（或几种）几何图形的个数注意地数出来，或者用某一规律性的方法直接计算出来的数学问题。
一般常用的方法：（1）枚举法——通过由小到大的顺序对图形的数量进行计数。
（2）运用“线段总条数=点数×（点数-1）÷2”可以对一些常见的几何平面图形进行计数。
二、自我探究
【例1】共有( )条线段。
【例2】共有( )个角。
共有( )个角。
【例3】三角形个数。
（1）每增加一条线段，三角形的个数是怎样变化的？
图形
三角形个数
在三角形中增加15条线段后得到的图形中，一共有多少个三角形？
（2）每增加一条横线，三角形的个数是怎样变化的？图形
三角形
个数
6
如果画6条横线，图中有几个三角形？
如果三角形是78个，图中应有几条横线？
【例4】数一数右图中有多少个长方形？
三、自我挑战
第一关：
1.一共有（）条线段
C D
B A
2.一共有（）个角
3. 下图一共有多少个三角形？
4.下图中各有三角形多少个？
第二关：
1.右图一共有多少条线段？
2.右图中有多少个长方形？
(1)
3. 数一数下图中有多少个正方形？
第三关：
1. 求下列图中线段长度的总和。
（单位：厘米）
3241
2. 下图一共有多少条线段？。
图形计数一
图形计数（一）一、品质目标图形的故事夜晚，小主人睡觉了，作业本上的四个基本图形可活跃起来了。
它们闲着无聊，开始了谈天说地。
圆形首先打破了沉默：“我认为我们图形中应该竞选出一名‘总统’，带领大家干点实事，否则我们整天无所事事，太没趣了!”“那么，谁能胜任这个职位呢？”方形饶有兴趣地问道。
“那还用问吗？当然是我——圆了。
你瞧瞧，我家族的成员多得是：乒乓球是圆的，硬币是圆的，车胎是圆的，足球是圆的，象棋是圆的，瓶盖是圆的，光盘是圆的，西瓜也是圆的！”方形不服气了：“怎么，我的兄弟才是随处可见呢。
你看：书本是方的，课桌是方的，纸巾是方的，电脑是方的，床是方的，军棋是方的，汉字是方的，楼房也是方的。
我不比你好就奇怪了！”“国徽、太阳是我的祖先！” 圆形扯着嗓子喊。
方形也不甘示弱:“国旗、天安门广场是我的后裔！”它俩喋喋不休地争吵着，丝毫没有停下来的意思。
这时，三角形站了起来：“你们的争吵究竟是为了什么？我不明白，我们图形中为什么非得有总统！你们圆有圆的好处，方有方的优点，大家一起自由自在地生活不是很好吗？”听了三角的话，圆和方都惭愧地低下了头。
过了一会儿，圆开口了：“你也很出名啊！埃及神秘的金字塔不就是根据你设计的吗？”三角形笑了。
它对圆说：“谢谢你的褒奖。
”“其实，梯形也有用武之地呀，如果没有梯子，那些建筑也不容易建成啊。
”方形说道。
梯形也笑了笑：“大家不用相互夸奖了，我们再也不要计较个人的利益了，我们齐心协力，一起帮助小主人学习吧！”图形们都赞同这个建议，他们决定明天开始行动。
小主人似乎听到了他们的谈话，当晚就做了个好梦。
二、成功秘诀：1、有规律的图形计数。
这一讲我们研究怎样数线段、角、三角形的个数2、掌握最常用的方法分类数。
王牌例题1 数一数，下图中有多少条线段。
王牌例题2 数一数，下图中有多少个三角形？王牌例题3 数一数，下图中有多少个角？王牌例题4 数一数，下图中有多少个三角形？（1）（2）ABCDABCABCDABCCD王牌例题5先想一想，再连一连，数一数，共有几条线段？······王牌例题6数一数图中有多少条线段。
奥数-05图形计数+答案
（ ）个
（ ）个
4
（ ）个
【例 7】
下图中各有多少个三角形？
分层法： 上 层： 下 层： 上下层： 总 数：
下图中，有多少个正方形？
解析：利用开小火车法： 火车头为最小正
5
练习一 下图中，有多少个正方形？
1、
2、
3、
（ ）个
（ ）个
（ ）个
【例 2】
下图形中，长方形有多少个？ 解析，先将<格 1>与<格 2>隐去，剩下的
练习一
2
【例 2】 数出右图中共有多少条线段。 解析：(加法原理)从基本图形(只包含
最短线段)的个数出发，按序递增，依次数 出它们的个数，并求出它们的和是多少。最 小线段(基础线段)的数量为火车头，有 3
条，由两条基础线段拼成的线段有 2 条，由三条基础线段拼成的线段有 1 条，共有 3＋2＋1＝6(条)。
练习七 下列图形中各有多少个三角形？
按分类加法原理
4＋3＋2＋1＝10(个) 4(个) 4＋3＋2＋1＝10(个) 10＋4＋10＝24(个)
【例 8】 下图中有多少个三角形？ 解析：假设每一个最小三角形的边长为 1。按边
的长度来分类计算三角形的个数。 边长为 1 的三角形，从上到下一层一层地数，有
一、图形计数方法——分类计数法
它是指先把所要计数的对象按性质、特点进行分类，统计出每一类的个数，再求 各类之和。分类计数的理论基础是“加法原理”。
运用加法原理的关键问题：确定分类的方法。 举例：下图中共有多少个图形？ 可以分成圆、正方形、三角形和长方形 4 类，统计出各类的个数，再相加。也可 以按位置分上、中、下分别统计，再求和。
第七讲 图形规律及计数
第七讲：图形规律及计数图形规律对于孩子来说，学习起来并不算困难，重点注意观察。
在图形计数当中，要牢记基础型的公式，熟练运用，遇到复杂的图形，孩子很容易漏数或者多数。
一定要先仔细观察，分类清晰，注意有序性，切记“不重不漏”。
一、图形规律1、规律出发点小结（1）数量如 ● ●● ●●● ●●●●（2）图形（形状、颜色、大小等）如 △ ☆☆ △ ☆☆ △ ☆☆（3）位置/方向（顺逆时针、前后、左右、上下等等）如（4）组合即把数量、图形、位置等组合起来形成规律，解决方法就是把它们分开看，分别找出其规律即可。
比如 ●△ △●● ●●●△ △●●●● ●●●●●△□ ■ □ ■ □2、典型例题例 找规律画图解析：方法一 田字格中的四个图形整体是按照顺时针方向在旋转，同时每个图形自己也在旋转。
圆形按顺时针每次自转90度，方块、三角形、半圆形按逆时针每次自转90度。
方法二 在这种田字格图形中，可以运用“缺啥补啥”（即排除法），很快得到答案。
比如，左上角出现过圆、半圆、三角形，还“缺”正方形，所以左上角画正方形。
同时，正方形的阴影已经出现过左、下、右，就“缺”上。
所以左上角画阴影在上的正方形。
同理可画出其他三个格子的图形。
答案如下：例 如图，根据图中已知3个方格表中阴影的规律，画出第4个方格表，并计算第（10）个方格表中阴影部分的小正方形内的几个数之和。
…（1） （2） （3） （10）解析：画出第4个方格表对于孩子来说不难，不同的孩子有不同的观察方法。
仅给两种以供参考。
方法一：把每个方格表分行来看，每行都有一个阴影，且阴影每次往左移动一格，当移到最左边的时候，便回到最右一格重新开始循环（分列来看是一样的）；方法二：把每个方格表最左边的一列移到最右边即得到下一个方格表。
画出第4个方格表如下：根据方格表的规律可得出，方格表在循环变化，4个方格表为一个周期。
10÷4=2（组）……2（个），那么第10个方格表与第2个方格表相同，相应的阴影所在数字之和为1+2+5+9=17。
二年级思维拓展-图形计数(一)
图形计数数图形是一类很有趣的数学题。
但要数得正确还真不容易。
要做到不重复不遗漏，又快又准地数出图形的个数，不但需要具备一定的观察能力和概括能力，还需要掌握一定的知识和一些特殊的方法。
1、“”这叫什么?这叫“点”。
用笔在纸上画一个“点”，可以画大些，也可以画小些，点在纸上占一个位置。
2、“・心”这叫什么？这叫“线段”。
沿着直尺把两点连接起来，就能画出一条线段。
图上的这两点就是线段的端点，线段有两个端点。
3、“-”这叫什么？这叫射线，从一点出发，沿着直尺画出去，就能画出一条射线，图上的这一点叫做射线的端点。
射线有一个端点，另一边可以无限延长，没有尽头。
在认识了这些图形的基础上，我们一起来看看它们是否也可以根据一些规律数出来呢？下面就来试试看。
b精选例题6【例1】数一数，下图共有多少个点？思路点拨：首先观察这幅图中点的排列有什么特点，找出其排列的规律，就容易解决了。
⑥标准答案：在数点时，可以有多种数法：方法一：从上往下一层一层的数，如下图。
第一层1个，第二层2个，第三层3个，第四层4个，第五层5个，第六层4个，第七层3个，第八层2个，第九层1个。
1+2+3+4+5+4+3+2+1=25（个）方法二：斜着一排一排数，如下图。
第一排5个，第二排5个，第三排5个，第四排5个，第五排5个。
5+5+5+5+5=25（个）或5x5=25（个）方法三：从上往下，沿折线一层一层数，如下图。
1+3+5+7+9=25（个）扇活学巧用1.小红在纸上画了一个点子图，你能数出一共有多少个点吗?2.数一数，下图共有多少个点?【例2】：数一数，下图中有多少条线段？ARCD丄——.―一■一一■恋思路点拨：我们已经知道，两点间的直线部分是一条线段。
方法一：以A点出发的线段有AB，AC,AD共3条，以B点出发的线段有BC，BD共2条，以C点出发的线段只有CD这一条。
方法二：这幅图中的基本线段数有AB，BC，CD，共3条，由2条基本线段合成的线段数有AC,BD,共2条，由3条基本线段合成的线段数只有AD这1条。
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图形的计数问题一、知识点：几何图形计数问题往往没有显而易见的顺序，而且要数的对象通常是重叠交错的，要准确计数就需要一些智慧了．实际上，图形计数问题，通常采用一种简单原始的计数方法－一枚举法．具体而言，它是指把所要计数的对象一一列举出来，以保证枚举时无一重复、．无一遗漏，然后计算其总和．正确地解答较复杂的图形个数问题，有助于培养同学们思维的有序性和良好的学习习惯．二、典例剖析：例（1）数出右图中总共有多少个角分析：在∠AOB内有三条角分线OC1、OC2、OC3，∠AOB被这三条角分线分成4个基本角，那么∠AOB内总共有多少个角呢？首先有这4个基本角，其次是包含有2个基本角组成的角有3个（即∠AOC2、∠C1OC3、∠C2OB），然后是包含有3个基本角组成的角有2个（即∠AOC3、∠C1OB），最后是包含有4个基本角组成的角有1个（即∠AOB），所以∠AOB内总共有角：4＋3＋2＋1＝10（个）解：4＋3＋2＋1＝10（个）答：图中总共有10个角。
练一练：数一数右图中总共有多少个角？答案: 总共有角：10+9+8+…+4+3+2+1=55（个）例（2 ）数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？分析：①要数多少条线段：先看线段AB、AD、AE、AF、AC、上各有2个分点，各分成3条基本线段，再看BC、MN、GH这3条线段上各有3个分点，各分成4条基本线段.所以图中总共有线段是：（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）.②要数有多少个三角形，先看在△AGH中，在GH上有3个分点，分成基本小三角形有4个.所以在△AGH中共有三角形4+3+2+1=10（个）.在△AMN与△ABC中，三角形有同样的个数，所以在△ABC中三角形个数总共：（4+3+2+1）×3=10×3=30（个）解：：①在△ABC中共有线段是：（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）②在△ABC中共有三角形是：（4+3+2+1）×3=10×3=30（个）答：在△ABC中共有线段60条，共有三角形30个。
练一练：共有多少个三角形？答案: 18例（3）数一数图中长方形的个数分析： AB 边上分成的线段有：5+4+3+2+1=15.BC 边上分成的线段有： 3+2+1=6. 解： 共有长方形：（5+4+3+2+1）×（3+2+1）= 15×6 = 90（个）答：共有长方形90个。
练一练：数一数图中长方形的个数答案: 90例（4）数一数图中有多少个正方形（其中每个小方格都是边长为1个长度单位的正方形）.分析： 为叙述方便，我们规定最小正方形的边长为1个长度单位，又称为基本线段，图中共有五类正方形.①以一条基本线段为边的正方形个数共有： 6×5=30（个）.②以二条基本线段为边的正方形个数共有： 5×4=20（个）.③以三条基本线段为边的正方形个数共有：4×3=12（个）.④以四条基本线段为边的正方形个数共有：3×2=6（个）.⑤以五条基本线段为边的正方形个数共有：2×1=2（个）.解：正方形总数为：6×5+5×4+4×3+3×2+2×1=30+20+12+6+2=70（个）答：Array练一练：下图共有几个正方形?答案: 10例（5）数一数图中三角形的个数分析：这样的图形只能分类数，可以采用类似数正方形的方法，从边长为一条基本线段的最小三角形开始.Ⅰ.以一条基本线段为边的三角形：①尖朝上的三角形共有四层，它们的总数为：W①上=1+2+3+4=10（个）.②尖朝下的三角形共有三层，它们的总数为：W①下=1+2+3=6（个）.Ⅱ.以两条基本线段为边的三角形：①尖朝上的三角形共有三层，它们的总数为：W②上=1+2+3=6（个）.②尖朝下的三角形只有一个，记为W②下=1（个）.Ⅲ.以三条基本线段为边的三角形：①尖朝上的三角形共有二层，它们的总数为：W③上=1+2=3（个）.②尖朝下的三角形零个，记为W③下=0（个）.Ⅳ.以四条基本线段为边的三角形，只有一个，记为：W④上=1（个）.解：所以三角形的总数是10+6+6+1+3+1=27（个）.答：三角形的总数是个。
练一练：数一数图中三角形的个数答案： 24 例（6）数一数图中一共有多少个三角形？分析：分析这是个对称图形，我们可按如下三步顺序来数：第一步：大矩形ABCD可分为四个相同的小矩形：AEOH、EBFO、OFCG、HOGD，每个小矩形内所包含的三角形个数是相同的.第二步：每两个小矩形组合成的图形共有四个，如：ABFH、EBCG、HFCD、AEGD，每一个这样的图形中所包含的三角形个数是相同的.第三步：每三个小矩形占据的部分图形共有四个：如△ABD、△ADC、△ABC、△DBC，每一个这样的图形中所包含的三角形个数是相同的.最后把每一步中每个图形所包含三角形个数求出相加再乘以4就是整个图形中所包含的三角形的个数.解：：Ⅰ.在小矩形AEOH中：①由一个三角形构成的有8个.②由两个三角形构成的三角形有5个.③由三个或三个以上三角形构成的三角形有5个.这样在一个小矩形内有17个三角形.Ⅱ.在由两个小矩形组合成的图形中，如矩形AEGD，共有5个三角形.Ⅲ.由三个小矩形占据的部分图形中，如△ABC，共有2个三角形.所以整个图形共有三角形个数是：（8+5+5+5+2）×=25×4=100（个）答：图中一共有100个三角形。
练一练：数一数图中一共有多答案：35 个模拟测试（ 2 ）一、填空题（每小题5分）1、.下列图形各有几条线段( )条( )条( )条2、一条直线上共有50个点,可以数出( )条线段.3、数一数下图共有( )条线段.( )条. ( )条.4、下图中各有（）个三角形.5、数一数下图有（）个长方形.6、右图一共有( )个长方形?7、右图一共有( )个正方形？8、下图共有( )个平行四边形.9、一共有( )个梯形.10、下图共有( )个三角形.二、简答题(每小题10分)1、右图的图形中一共有多少个三角形?2、下图共有几个正方形?3、下图共有多少个长方形?4、下图中一共有多少个三角形?5、下图共有几个三角形?.模拟测试（ 2 ）解答一、填空题1、a有10条, b有15条, c有21条.2、50⨯49÷2=1225(条).3、36; 27.4. 33;5、30个.图中AB边上共有线段4+3+2+1=10条.BC边上共有线段: 2+1=3(条),把AB 上的每一条线段作为长, BC边上每一条线段作为宽,每一个长配一个宽,就组成一个长方形,所以图中共有长方形为:(4+3+2+1)⨯(2+1)=10⨯3=30(个).6、一共有64个.7、一共有18个.解:分三类计算,边长是1的正方形有2+4=13(个),边长为2的正方形有4(个),边长为3 的正方形有1个.因此,图中共有正方形13+4+1=18(个).8、315个÷=⨯7(=⨯⨯(个)÷⨯563152115)26()29、45个最好的办法是先数出长方形和梯形的总数,再减去长方形的个数.长方形和梯形的总数为:(1+2+3+4+5+6)×(1+2)=63(个)长方形的个数为:(1+2+3)×(1+2)=18(个)梯形的总数为:63-18=45(个)10、 126个Ⅰ.尖朝上的三角形有五种:=8+7+6+5+4=30(1)W①上=7+6+5+4=22(2)W②上(3)W=6+5+4=15③上=5+4=9(4)W④上=4(5)W⑤上∴尖朝上的三角形共有:30+22+15+9+4=80(个)Ⅱ.尖朝下的三角形有四种:=3+4+5+6+7=25(1) W①下=2+3+4+5=14(2)W②下(3)W=1+2+3=6③下=1(4)W④下尖朝下的三角形共有25+14+6+1=46(个)∴80+46=126个.二、简答题1、解：①单个三角形有6个.②两个图形组成的有4个.③三个图形组成的有1个.④四个图形组成的有2个.⑤八个图形组成的有1个.答：一共有: 6+4+1+2+1=14个.2、解：一共有正方形52+42+32+22+12=25+16+9+4+1=55(个).答：一共有正方形55个。
3、解：①在大长方形中共有长方形:(4+3+2+1)×(3+2+1)=60(个);②在小长方形中共有长方形:(4+3+2+1)×(3+2+1)=60(个);③在①与②中重复的长方形有:1+2=3(个);④两个长方形共同组成的长方形有:(1+2)×(2+2)+1×(2+2)=16(个).⑤图中共有长方形:60+60-3+16=133(个).答：共有长方形有133个。
4、解：①基本的三角形有:4×9=36(个②由两个基本的三角形组成的三角形有:4×9=36(个).:4×3×2=24(个④由九个基本的三角形组成的三角形:4×2=8(个⑤由八个基本的三角形组成的三角形:4×4=16(个⑥由十八个基本的三角形组成的三角形:4(个).答：共有三角形:36+36+24+8+16+4=124(个).5、解：①一个三角形构成的有12个.②两个三角形构成的有12个.③三个三角形构成的有6个.④四个三角形构成的有6个.⑤六个三角形构成的有1个.答：一共有: 12+12+6+6+1=37(个).。