江苏省东海高级中学高三第三次模拟考试数学试卷及答案

高三年级第一学期第三次学分认定考试数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。

请把答案填写在答题卡相印位置上。

1.函数()12sin 4f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭＋的最小正周期是 .2．已知函数()()223f x x m x =+++是偶函数，则=m ． 3. 抛物线24x y =-的焦点坐标是 .4．=++5lg 5lg 2lg 2lg 2 5. 已知复数z 满足（1＋2i ）z ＝5(i 为虚数单位)，则z ＝_______． 6.已知3sin ,0,52παα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则tan()4πα+值为7．已知ab c b a c b a ABC =-+∆222,,且三边长分别为，求_____C ∠8．已知,x y 满足203010y x x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩，则22x y +最大值为_________．9．设等差数列{}n a 的公差d 不为0，19a d =．若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k = ．10. 与曲线1492422=+y x 共焦点并且与曲线1643622=-y x 共渐近线的双曲线方程为 . 11. 直线1+=kx y 与曲线b ax x y ++=3相切于点)3,1(A ，则b 的值为 .12.设点M （0x ,1），若在圆O:221x y +=上存在点N ，使得∠OMN=45°，则0x 的取值范围是____. 13.π为圆周率，e=2.71828为自然对数的底数.则33,,3,e e πππ，3,e e π这6个数中的最大值是 14．设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB ⋅的最大值是 。

二、解答题：本大题共6小题，共计90分。

请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15. （本题满分14分）已知函数()cos cos()2f x x x π=-+-，（1）若[]0,x π∈，求函数()f x 的最大值与最小值；（2）若0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且1sin23x =，求()f x 的值.17.(本小题满分14分)某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示的抛物线一段.已知跳水板AB长为2m,跳水板距水面CD的高BC为3m.为安全和空中姿态优美,训练时跳水曲线应在离起跳点A处水平距h m(h≥1)时达到距水面最大高度4m.规定:以CD为横轴,BC为纵轴建立直角坐标系.(1)当h=1时,求跳水曲线所在的抛物线方程;(2)若跳水运动员在区域EF内入水时才能达到比较好的训练效果,求此时h的取值范围.18. (本小题满分16分) 在直角坐标系xoy 上取两个定点12(2,0),(2,0)A A -,再取两个动点1(0,),N m 2(0,)N n ,且3mn =.(Ⅰ)求直线11A N 与22A N 交点的轨迹M 的方程;(Ⅱ)已知点(1,)A t (0t >)是轨迹M 上的定点,E,F 是轨迹M 上的两个动点,如果直线AE 的斜率AE k 与直线AF 的斜率AF k 满足0AE AF k k +=,试探究直线EF 的斜率是否是定值?若是定值,求出这个定值,若不是,说明理由.19．(本小题满分16分)设()k f n 为关于n 的k ()k ∈N 次多项式．数列{a n }的首项11a =，前n 项和为n S ．对于任意的正整数n ，()n n k a S f n +=都成立．（1）若0k =，求证：数列{a n }是等比数列；（2）试确定所有的自然数k ，使得数列{a n }能成等差数列．20.(本小题满分16分)已知函数2()ln f x a x bx =-图象上一点(2,(2))P f 处的切线方程为22ln 23++-=x y ． （Ⅰ）求b a ,的值；（Ⅱ）若方程()0f x m +=在1[,]e e内有两个不等实根，求m 的取值范围（其中e 为自然对数的底数）（Ⅲ）令()()gxf x n x =-，如果()g x 图象与x 轴交于1(,0)A x ,2(,0)B x (12x x <)，AB 中点为0(,0)C x ，求证：()g x 在0x 处的导数/0()0g x ≠．附加题1. （10分）已知矩阵1012,0206A B -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，求矩阵B A 1-．2．（10分）已知直线l 的参数方程：12x t y t=⎧⎨=+⎩（t 为参数）和圆C 的极坐标方程：)4sin(22πθρ+=．（1）将直线l 的参数方程化为普通方程，圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）判断直线l 和圆C 的位置关系．3．(10分) 如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，P 是棱BC 的中点，Q 在棱CD 上. 且DQ DC λ=，若二面角1P C Q C --求实数λ的值.4．（ 10分）已知抛物线L 的方程为()022>=p py x ，直线x y =截抛物线L 所得弦24=AB ． ⑴求p 的值；⑵抛物线L 上是否存在异于点A 、B 的点C ，使得经过A 、B 、C 三点的圆和抛物线L 在点C 处有相同的切线．若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．BD1B 1参考答案.1. 22. -23.(0,1)-4. 15. 12i -6. 77. 60 8。

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9. 410. 191622=-x y 11. 3 12. []1,1- 13. 3π 14.515.答案：（1） ()sin cos )4f x x x x π=-=-，…………2分[]0,x π∈，，m i n ()1f x =- max ()f x ∴6分 分别在30,4x x π==时取得. …………8分 （2）0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin cos x x ∴<，()0f x <，…………11分又1sin 23x =∴222[()](sin cos )1sin 23f x x x x =-=-=， ()f x ∴=…………14分 16.解：（1）设所求直线方程为y=﹣2x+b ，即2x+y ﹣b=0，∵直线与圆相切， ∴，得，∴所求直线方程为，…………………………..6分（2）假设存在这样的点B （t ，0），使得为常数λ，则2PB =λ2PA 2，∴（x ﹣t ）2+y 2=λ2[（x+5）2+y 2]，将y 2=9﹣x 2代入得， x 2﹣2xt+t 2+9﹣x 2=λ2（x 2+10x+25+9﹣x 2），即2（5λ2+t ）x+34λ2﹣t 2﹣9=0对x ∈[﹣3，3]恒成立，∴，解得或（舍去），所以存在点对于圆C 上任一点P ，都有为常数．……………………14分则⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈34,1h ,答,此时h 的取值范围⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈34,1h .18.19.【证】（1）若0k =，则()k f n 即0()f n 为常数，不妨设0()f n c =（c 为常数）． 因为()n n k a S f n +=恒成立，所以11a S c +=，即122c a ==． 而且当2n ≥时，2n n a S +=， ① 112n n a S --+=， ② ①－②得 120(2)n n a a n n --=∈N ，≥．若a n =0，则1=0n a -，…，a 1=0，与已知矛盾，所以*0()n a n ≠∈N ． 故数列{a n }是首项为1，公比为12的等比数列……………4分（2）(i) 若k =0，由（1）知，不符题意，舍去．(ii) 若k =1，设1()f n bn c =+（b ，c 为常数）， 当2n ≥时，n n a S bn c +=+， ③ 11(1)n n a S b n c --+=-+， ④③－④得 12(2)n n a a b n n --=∈N ，≥．………………7分要使数列{a n }是公差为d （d 为常数）的等差数列，必须有n a b d =-（常数）， 而a 1=1，故{a n }只能是常数数列，通项公式为a n =1()*n ∈N ，故当k =1时，数列{a n }能成等差数列，其通项公式为a n =1()*n ∈N ，此时1()1f n n =+．…9分 (iii) 若k =2，设22()f n an bn c =++（0a ≠，a ，b ，c 是常数）， 当2n ≥时，2n n a S an bn c +=++， ⑤ 211(1)(1)n n a S a n b n c --+=-+-+， ⑥⑤－⑥得 122(2)n n a a an b a n n --=+-∈N ，≥， ……………12分 要使数列{a n }是公差为d （d 为常数）的等差数列，必须有 2n a an b a d =+--，且d =2a ，考虑到a 1=1，所以1(1)2221n a n a an a =+-⋅=-+()*n ∈N ．故当k =2时，数列{a n }能成等差数列，其通项公式为221n a an a =-+()*n ∈N ， 此时22()(1)12f n an a n a =+++-（a 为非零常数）．………………………14分(iv) 当3k ≥时，若数列{a n }能成等差数列，则n n a S +的表达式中n 的最高次数为2，故数列{a n } 不能成等差数列．综上得，当且仅当k =1或2时，数列{a n }能成等差数列． ……………16分20. 解：（Ⅰ）()2a f x bx x '=-，()242af b '=-，()2ln 24f a b =-． ∴432ab -=-，且ln 2462ln 22a b -=-++． …………………… 2分 解得2,1a b ==． …………………… 4分（Ⅱ）()22ln f x x x =-，令()2()2ln h x f x m x x m =+=-+，则()222(1)2x h x x x x-'=-=，令()0h x '=，得1x =（1x =-舍去）． 在1[,]e e 内，当1[,1)x e ∈时，()0h x '>， ∴ ()h x 是增函数； 当[1,]x e ∈时，()0h x '<， ∴ ()h x 是减函数 …………………… 5分则方程()0h x =在1[,]e e 内有两个不等实根的充要条件是1()0,(1)0,()0.h e h h e ⎧≤⎪⎪⎪>⎨⎪≤⎪⎪⎩……………7分 即2112m e <≤+． ………………………………… 8分（Ⅲ）2()2ln g x x x nx =--，2()2g x x n x'=--． 假设结论成立，则有21112222120002ln 0, 2ln 0, 2, 220. x x nx x x nx x x x x n x ⎧--=⎪--=⎪⎪⎨+=⎪⎪--=⎪⎩①②③④ ………………………… 12分 ①－②，得221121222ln ()()0x x x n x x x ----=． ∴12012ln22x x n x x x =--． ……………………………………………………………… 10分 由④得0022n x x =-， ∴12120ln1x x x x x =-．即121212ln 2x x x x x x =-+． 即11212222ln 1x x x x x x -=+．⑤ …………………………………………………… 11分 令12x t x =，22()ln 1t u t t t -=-+（01t <<)， …………………………………… 12分 则22(1)()(1)t u t t t -'=+＞0．∴()u t 在01t <<上增函数， ∴()(1)0u t u <=， ∴⑤式不成立，与假设矛盾．∴()00g x '≠． ………………………………………… 16分附加题1.解：设矩阵A 的逆矩阵为ab c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则1002-⎡⎤⎢⎥⎣⎦a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即22a b c d --⎡⎤⎢⎥⎣⎦=1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故1a =-，b=0，c=0，d=21…………….6分 从而A 的逆矩阵为110102A --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦∴B A 1-=10102-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦1206⎡⎤⎢⎥⎣⎦=1203--⎡⎤⎢⎥⎣⎦．………10分 2．解：（1）消去参数t ，得直线l 的普通方程为12+=x y ；-----------------------2分)4(sin 22πθρ+=即)cos (sin 2θθρ+=， 两边同乘以ρ得)cos sin (22θρθρρ+=，消去参数θ，得⊙C 的直角坐标方程为：2)1()1(22=-+-x x --------------------------------------------------------------6分（2）圆心C 到直线l 的距离255212|112|22<=++-=d ， 所以直线l 和⊙C 相交．---------------------------------------10分3.解：以1,,AB AD AA 为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，设正方体的棱长为4，则各点的坐标分别为(0,0,0)A ，(4,0,0)B ，(4,4,0)C ，(0,4,0)D ；1(0,0,4)A ，1(4,0,4)B ，1(4,4,4)C ，1(0,4,4)D ，(4,2,0)P ，(4,4,0)Q λ ----------------------------------------2分设平面1C PQ 法向量为(1,,)n b c =，而1(0,2,4)PC =， (44,2,0)PQ λ=-，所以240(44)20b c b λ+=⎧⎨-+=⎩，可得一个法向量 (,,)n a b c ==(1,2(1),(1))λλ---，------------6分设面1C PQ 的一个法向量为(0,1,0)u =，则cos ,n u <>== -----------------------------------8分 即：21(1)9λ-=，又因为点Q 在棱CD 上，所以23λ=.--------------------------------10分解：⑴由⎩⎨⎧==pyx x y 22解得)2,2(),0,0(p p B A ∴p p p AB 22442422=+==，∴2=p (4)⑵由⑴得)4,4(),0,0(,42B A y x =假设抛物线L 上存在异于点A 、B 的点C )4,0()4,(2≠≠t t t t ，使得经过A 、B 、C 三点的圆和抛物线L 在点C 处有相同的切线令圆的圆心为),(b a N ，则由⎩⎨⎧==NC NA NB NA 得⎪⎩⎪⎨⎧-+-=+-+-=+222222222)4()()4()4(t b t a b a b a b a 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+83248481244222t t b t t a t t tb a b a …………………………………………6 ∵抛物线L 在点C 处的切线斜率)0(2|≠='==t t y k t x 又该切线与NC 垂直， ∴0412212432=--+⇒-=⋅--t t bt a t t a t b ∴08204128324)84(223322=--⇒=--++⋅++-⋅t t t t t t t t t t ……………………8 ∵4,0≠≠t t ，∴2-=t故存在点C 且坐标为（-2,1） (10)。