高中数学知识易错点梳理
三角函数易错点总结
三角函数易错点总结三角函数是高中数学中的重要内容，也是高考中的必考知识点。
然而，由于三角函数涉及的概念、公式较多，且运算较为复杂，同学们在学习和解题过程中常常会出现各种错误。
下面就为大家总结一下三角函数中的易错点。
一、概念理解不清1、象限角与终边相同角的概念混淆象限角是指角的终边落在哪个象限，而终边相同角是指具有相同终边的角。
例如，角α与角β的终边相同，则β ＝α ＋k×360°（k∈Z）。
很多同学在判断角所在象限时，容易忽略终边相同角的情况，导致出错。
2、弧度制与角度制的换算错误弧度制与角度制的换算公式为：180°＝π 弧度。
在进行换算时，要注意系数的转换。
有些同学容易将换算公式记错，或者在计算过程中出现粗心大意的情况。
3、三角函数的定义理解不准确三角函数的定义是在单位圆中给出的，例如正弦函数sinα ＝ y/r，余弦函数cosα ＝ x/r，正切函数tanα ＝ y/x。
在运用定义解题时，要注意坐标的正负以及 r 的取值为 1。
有些同学在计算时容易忽略这些细节，导致结果错误。
二、公式运用错误1、同角三角函数基本关系式的运用错误同角三角函数的基本关系式有：s in²α ＋cos²α ＝ 1，tanα ＝sinα/cosα。
在运用这些关系式进行化简、求值时，要注意三角函数值的正负以及分母不为零的情况。
很多同学在解题时，没有考虑到这些条件，从而得出错误的结果。
2、诱导公式的运用错误诱导公式有很多组，记忆时容易混淆。
例如，sin(π α) ＝sinα，cos(π α) ＝cosα 等。
在运用诱导公式时，要注意符号的变化以及角的变化规律。
有些同学在使用诱导公式时，没有正确判断符号，或者记错了角的变化关系，导致计算错误。
3、两角和与差的三角函数公式的运用错误两角和与差的三角函数公式有：sin(α ± β) ＝sinαcosβ ± cosαsinβ，cos(α ± β) ＝cosαcosβ ∓ sinαsinβ，tan(α ± β) ＝（tanα ± tanβ)／（1 ∓tanαtanβ)。
高中数学易错知识点整理
高中数学易错知识点整理高中数学是我们学数学以来一个更高的阶段，难度有很大的提升。
下面是小编为大家整理的关于高中数学易错知识点整理，希望对您有所帮助。
欢迎大家阅读参考学习!高中数学易错知识点整理一.集合与函数1.进行集合的交、并、补运算时，不要忘了全集和空集的特殊情况，不要忘记了借助数轴和文氏图进行求解.2.在应用条件时，易A忽略是空集的情况3.你会用补集的思想解决有关问题吗?4.简单命题与复合命题有什么区别?四种命题之间的相互关系是什么?如何判断充分与必要条件?5.你知道“否命题”与“命题的否定形式”的区别.6.求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则.7.判断函数奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于__对称.8.求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，易忽略标注该函数的定义域.9.原函数在区间[-a,a]上单调递增，则一定存在反函数，且反函数也单调递增;但一个函数存在反函数，此函数不一定单调.例如：.10.你熟练地掌握了函数单调性的证明方法吗?定义法(取值,作差,判正负)和导数法11.求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”;单调区间不能用集合或不等式表示.12.求函数的值域必须先求函数的定义域。
13.如何应用函数的单调性与奇偶性解题?①比较函数值的大小;②解抽象函数不等式;③求参数的范围(恒成立问题).这几种基本应用你掌握了吗?14.解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗?(真数大于零，底数大于零且不等于1)字母底数还需讨论15.三个二次(哪三个二次?)的关系及应用掌握了吗?如何利用二次函数求最值?16.用换元法解题时易忽略换元前后的等价性，易忽略参数的范围。
17.“实系数一元二次方程有实数解”转化时，你是否注意到：当时，“方程有解”不能转化为。
若原题中没有指出是二次方程，二次函数或二次不等式，你是否考虑到二次项系数可能为的零的情形?二.不等式18.利用均值不等式求最值时，你是否注意到：“一正;二定;三等”.19.绝对值不等式的解法及其几何意义是什么?20.解分式不等式应注意什么问题?用“根轴法”解整式(分式)不等式的注意事项是什么?21.解含参数不等式的通法是“定义域为前提，函数的单调性为基础，分类讨论是关键”，注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是……”.22.在求不等式的解集、定义域及值域时，其结果一定要用集合或区间表示;不能用不等式表示.23.两个不等式相乘时,必须注意同向同正时才能相乘,即同向同正可乘;同时要注意“同号可倒”即a>b>0，a<0.三.数列24.解决一些等比数列的前项和问题，你注意到要对公比及两种情况进行讨论了吗?25.在“已知，求”的问题中,你在利用公式时注意到了吗?(时，应有)需要验证，有些题目通项是分段函数。
高中数学易错题大汇总及其解析
【目录】一、导言二、易错题汇总及解析1. 二次函数的基本性质及应用2. 数列与数学归纳法3. 平面向量的运算及应用4. 不定积分与定积分5. 空间几何与三视图6. 概率统计及应用三、总结与展望【正文】一、导言数学作为一门基础学科，对培养学生的逻辑思维能力、数学建模能力和问题解决能力有着举足轻重的作用。
而在高中阶段，数学的难度也相应提升，很多学生容易在一些常见的易错题上犯错。
本文将对高中数学易错题进行大汇总，并给出详细的解析，希望能够帮助同学们更好地理解和掌握这些知识点。
二、易错题汇总及解析1. 二次函数的基本性质及应用（1）易错题案例：已知二次函数f(x)=ax²+bx+c的图象经过点(1,2)，且在点(2,1)处的切线斜率为3，求a、b、c的值。
解析：首先利用已知条件列方程，得到三元一次方程组。
然后利用切线的斜率性质，得到关于a和b的关系式。
最后代入已知条件解方程组即可求得a、b、c的值。
（2）易错题案例：已知函数f(x)=ax²+bx+c的图象经过点a、b、c，求a、b、c的值。
解析：利用函数过定点的性质列方程，再利用函数在定点处的斜率为求得a、b、c的值。
2. 数列与数学归纳法（1）易错题案例：已知等差数列{an}的前n项和为Sn=n²，求an。
解析：利用等差数列的前n项和公式列方程，然后利用数学归纳法求得an的表达式。
（2）易错题案例：已知{an}是等比数列，且a₁=2，a₃=18，求通项公式。
解析：利用等比数列的通项公式列方程，再利用已知条件求出通项公式的值。
3. 平面向量的运算及应用（1）易错题案例：已知向量a=3i+4j，b=5i-2j，求a与b的夹角。
解析：利用向量的夹角公式求出a与b的夹角。
（2）易错题案例：已知平面向量a=2i+j，b=i-2j，求2a-3b的模。
解析：利用向量的运算规则，先求出2a和3b，然后再求它们的差向量，最后求出差向量的模。
高中数学易错知识点总结 直线与方程
高中数学易错知识点总结直线与方程易错点1：忽略90°倾斜角的特殊情形例1：求经过点A(m，3)和B(1，2)的直线的斜率，并指出倾斜角α的取值范围。
错误解法】根据斜率公式，直线AB的斜率k为：k = (3-2)/(m-1)①当m>1时，k>0，因此直线的倾斜角α的取值范围是0°<α<90°；②当m<1时，k<0，因此直线的倾斜角α的取值范围是90°<α<180°。
错误原因分析】当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象进行分类讨论，然后对每一类分别研究，得出每一类结果，最终解决整个问题。
本题的讨论分两个层次：第一个层次是讨论斜率是否存在；第二个层次是讨论斜率的正、负。
也可以分为m=1，m>1，m<1三种情况进行讨论。
参考答案】详见试题解析。
易错点2：忽略斜率不存在的特殊情形例2：已知直线l1经过点A(3，a)和B(a-2，3-a)，直线l2经过点C(2，3)和D(-1，a-5)，若l1⊥l2，求a的值。
错误解法】由l1⊥l2⇔k1·k2=-1，所以a=0.k2 = (3-a-3)/(a-2+1) = (a-6)/(a-1)，k1不存在。
错误原因分析】只有在两条直线斜率都存在的情况下，才有l1⊥l2⇔k1·k2=-1，还有一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在的情况也要考虑。
试题解析】由题意知l2的斜率一定存在，则l2的斜率可能为0，下面对a进行讨论。
当k2=0时，a=5，此时k1不存在；当k2≠0时，由k1·k2=-1可得a=4或a=-2.因此，a的取值为4、-2或5.2.由两条直线平行或垂直求参数的值：在解这类问题时，需要先考虑斜率不存在的可能性，是否需要分情况讨论；解题后，需要检验答案的正确性，看是否出现增解或漏解。
3.两条直线的位置关系可以通过斜截式或一般式来表示。
高一数学易错点知识点汇总
高一数学易错点知识点汇总高一是学生们迈进高中阶段的关键时期，也是他们开始接触更加深入的数学知识的时候。
在这一阶段，许多学生常常会遇到一些容易出错的数学知识点。
本文将针对高一数学中一些易错点进行汇总和解析，帮助同学们更好地掌握这些知识。
1. 函数的运算和性质函数是数学中的重要概念，也是后续学习的基础。
在高一数学中，经常会涉及到函数的运算和性质。
一些易错点包括：- 误将函数的加减法运算与数的加减法运算混淆。
函数的加减法是指两个函数相加或相减，而不是直接对函数中的数进行加减运算。
- 对函数的复合运算不够熟练。
函数的复合运算是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入进行运算。
需要注意的是，函数的复合运算遵循从右往左的顺序。
- 混淆函数的定义域和值域。
函数的定义域是指输入的自变量的取值范围，而函数的值域是指函数在定义域上所有可能的输出值的集合。
2. 平面向量和向量运算平面向量作为一种重要的数学工具，在高一数学中也扮演着重要的角色。
以下是一些易错点：- 误将向量的模与方向混淆。
向量的模是指向量的长度，而向量的方向是指向量所指的方向。
- 对向量的运算规则不够熟悉。
向量的运算包括向量的加法、减法和数量乘法。
需要注意的是，向量加法和减法满足交换律和结合律，而数量乘法满足分配律。
- 混淆向量的共线和平行。
向量的共线是指两个向量在同一直线上，而向量的平行是指两个向量的方向相同或相反。
3. 三角函数三角函数是高中数学中的重要内容，对于学习高等数学和物理等学科都有重要作用。
但学生常常会出现以下易错点：- 未正确掌握三角函数的定义和基本性质。
例如，正弦函数和余弦函数的定义是以单位圆上的点坐标确定的。
- 在使用三角函数解题时，未正确将角度转化为弧度制或度数制。
需要注意的是，三角函数的定义不同于角度制和弧度制的转换。
- 对于三角函数的图像不够熟悉。
需要特别注意各个三角函数的周期、对称性以及在不同象限的取值范围。
4. 排列与组合排列与组合是离散数学中的内容，也是高一数学中的重点。
高中数学易错知识点汇总
高中数学易错知识点汇总高中数学易错知识点汇总在学习高中数学的过程中，我们常常会遇到一些易错的知识点，这些知识点往往容易被忽视或误解。
下面是一些高中数学易错知识点的汇总，希望能帮助大家避免犯错。
一、函数1. 定义域和值域定理：一个函数的定义域是什么，其值域是什么，这是函数完全由自己决定的。
当然，有时候也可以从定义域和值域来推测函数的表达式。
易错点：有时我们在求定义域或值域时，可能会忽略掉一些限制条件，导致结果计算错误。
2. 函数的奇偶性定理：奇偶函数和常规的函数一样，满足函数真值表，即满足定义域，且运算正确。
易错点：在判断奇偶性时，容易忽略绝对值符号的作用，导致判断错误。
3. 函数的求导定理：求导是函数的基本运算，它表示了函数在某一点的斜率（变化率）。
易错点：在求导时，很容易犯错。
常见的错误有：1) 没有注意链式法则的运用；2) 运用错误的导数公式；3) 对自然对数和指数函数的导数不够熟练。
二、解析几何1. 直线和平面的交点定理：两个不平行的平面必有一条直线与它们相交。
易错点：在求直线和平面的交点时，我们常常会忽略平面的方程中的某些项，导致求解错误。
2. 垂直和平行关系定理：两直线垂直的充要条件是它们的斜率之积为-1；两直线平行的充要条件是它们的斜率相等。
易错点：在判断两直线垂直或平行的时候，容易出现计算错误，比如计算斜率时忘记乘以正负号，导致结果错误。
3. 点、直线和平面的位置关系定理：一个点离直线的距离是离直线上任意一点的距离的最小值；一个点离平面的距离是离平面上任意一点的距离的最小值。
易错点：在计算距离时，有时候我们容易忽略绝对值符号的作用，导致计算错误。
三、三角学1. 弧度和角度的转换定理：一个三角函数的角度和弧度是相互对应的，它们之间的转换关系是：$2\pi$ 弧度等于 $360$ 度。
易错点：在角度和弧度的转换上，我们容易混淆 $\pi$ 和$180$ 等值之间的关系，导致转换错误。
2. 正弦、余弦和正切的值范围定理：正弦和余弦函数的值范围是$[-1,1]$；正切函数的值范围是 $R$（实数集）。
■绝密30■：高中数学易混易错知识点大全
高中数学易错、易混、易忘备忘录1.在应用条件A ∪B ＝Ｂ⇔A ∩B ＝Ａ⇔ＡＢ时,易忽略Ａ是空集Φ的情况2.求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则 3 根据定义证明函数的奇偶性时,易忽略检验函数定义域是否关于原点对称 4 求反函数时,易忽略求反函数的定义域 5 单调区间不能用集合或不等式表示. 6 用基本不等式求最值时,易忽略验证“一正二定三等”这一条件7 你知道函数(0,0)b y ax a b x =+>>的单调区间吗？（该函数在(,)-∞+∞和上单调递增；在[和（0上单调递减）这可是一个应用广泛的函数！(其在第一象限的图像就象“√”,特命名为：对勾函数) 是奇函数,图像关于原点对称.8 解对数函数问题时,你注意到真数与底数的限制条件了吗？（真数大于零,底数大于零且不等于1）字母底数还需讨论呀 9 用判别式判定方程解的个数（或交点的个数）时,易忽略讨论二次项的系数是否为０ 尤其是直线与圆锥曲线相交时更易忽略 10 等差数列中的重要性质：若m+n=p+q,则m n p q a a a a +=+;（反之不成立）等比数列中的重要性质：若m+n=p+q,则m n p a a a a = （反之不成立） 11 用等比数列求和公式求和时,易忽略公比ｑ＝１的情况 12 已知n S 求n a 时, 易忽略n ＝１的情况 13 等差数列的一个性质：设n S 是数列{n a }的前n 项和, {n a }为等差数列的充要条件是：2n S an bn =+（a, b 为常数）其公差是2a 14 你知道怎样的数列求和时要用“错位相减”法吗？（若n n n c a b =其中{n a }是等差数列,{n b }是等比数列,求{n c }的前n 项的和）15 你还记得裂项求和吗？（如111(1)1n n n n =-++） 16 在解三角问题时,你注意到正切函数的定义域了吗？你注意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗？17 你还记得三角化简的通性通法吗？（ 异角化同角,异名化同名,高次化低次）18 你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗？1(||,2l r S lr α==扇形） 19 在三角中,你知道1等于什么吗？(这些统称为1的代换) 常数 “1”的种种代换有着广泛的应用20 0 与实数0有区别,0 的模为数0,它不是没有方向,而是方向不定 可以看成与任意向量平行,但与任意向量都不垂直 21 0= ,则0a b ⋅= ,但0a b ⋅= 不能得到0a = 或b = a b ⊥ 有a b ⋅=22 b = 时,有a c b c ⋅=⋅ 反之a c b c ⋅=⋅ 不能推出a b =23一般地()()a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅24 使用正弦定理时易忘比值还等于2R ::sin :sin :sin b c A B C = 25 两个不等式相乘时,必须注意同向同正时才能相乘,即同向同正可乘；同时要注意“同号可倒”即ａ＞ｂ＞ｏ11a b ⇒<,ａ＜ｂ＜ｏ1a b ⇒> 26 分式不等式的一般解题思路是什么？（移项通分、零点分段） 27 解指对数不等式应该注意什么问题？（指数函数与对数函数的单调性, 对数的真数大于零 ）28 在解含有参数的不等式时,怎样进行讨论？（特别是指数和对数的底或）讨论完之后,要写出：综上所述,原不等式的解是…… 29常用放缩技巧：211111111(1)(1)1n n n n n n n n n -=<<=-++-- k k k k k k k k k +-=+-<<++=-+1112111130用直线的点斜式、斜截式设直线的方程时, 易忽略斜率不存在的情况31直线的倾斜角、到的角、与的夹角的取值范围依次是[0,),(0,),(0,2πππ 32 函数的图象的平移、方程的平移以及点的平移公式易混：33sin sin()3x x x y x y x πππ→-=−−−−−−→=-沿轴向右平移① 22sin 2sin ,sin 2y y y y x y x y x →-=−−−−−→-==+沿轴向上平移②即 212sin sin 2x x x y x y x →=−−−−−−−→=沿轴缩短到原来的③ 1221sin sin 2x x x y x y x →=−−−−−−−→=沿轴伸长到原来的倍④ 2121sin 2sin ,sin 2y y y y x y x y x →=−−−−−−−→==沿轴缩短到原来的⑤即 1221sin sin ,2sin 2y y y y x y x y x →=−−−−−−−→==沿轴伸长到原来的倍⑥即 33 定比分点的坐标公式是什么？（起点,中点,分点以及值可要搞清）34 直线在坐标轴上的截距可正,可负,也可为0 35 处理直线与圆的位置关系有两种方法：（1）点到直线的距离；（2）直线方程与圆的方程联立,判别式 一般来说,前者更简捷 36处理圆与圆的位置关系,可用两圆的圆心距与半径之间的关系 37 在圆中,注意利用半径、半弦长、及弦心距组成的直角三角形 38 还记得圆锥曲线方程中的a,b,c,p ,ca a c 2,的意义吗？ 39 离心率的大小与曲线的形状有何关系？（圆扁程度,张口大小）等轴双曲线的离心率是多少？ 40 在用圆锥曲线与直线联立求解时,消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零？判别式的限制 （求交点,弦长,中点,斜率,对称,存在性问题都在下进行） 41 椭圆中,注意焦点、中心、短轴端点所组成的直角三角形 （a,b,c ） 42 通径是抛物线的所有焦点弦中最短的弦 （通径是过焦点,且垂直于x 轴的弦） 43 你知道椭圆、双曲线标准方程中a,b,c 之间关系的差异吗？45作出二面角的平面角主要方法是什么？（定义法、三垂线法、垂面法）三垂线法：一定平面,二作垂线,三作斜线,射影可见 46 求点到面的距离的常规方法是什么？（直接法、等体积法、换点法、向量法） 47 求多面体体积的常规方法是什么？（割补法、等积变换法） 48 两条异面直线所成的角的范围：0°<α≤90°直线与平面所成的角的范围：0o≤α≤90°二面角的平面角的取值范围：0°≤α≤180° 49 二项式()n a b +展开式的通项公式中ａ与ｂ的顺序不变 50 二项式系数与展开式某一项的系数易混, 第ｒ＋１项的二项式系数为r n C 51 二项式系数最大项与展开式中系数最大项易混 二项式系数最大项为中间一项或两项；展开式中系数最大项的求法为用解不等式组112r r r r T T T T +++≥⎧⎨≥⎩来确定ｒ 52 解排列组合问题的依据是：分类相加,分步相乘,有序排列,无序组合 53 解排列组合问题的规律是：相邻问题捆绑法；不邻问题插空法；多排问题单排法；定位问题优先法；定序问题倍缩法；多元问题分类法；有序分配问题法；选取问题先排后排法；至多至少问题间接法或看为若干个恰好 54 二项式展开式的通项公式、n 次独立重复试验中事件A 发生k 次的概率与二项分布的分布列三者易记混通项公式：1r n r r r n T C a b -+= （它是第ｒ＋１项而不是第ｒ项）事件A 发生k 次的概率：()(1)k k nn n P k C p p -=- 其中ｋ＝0,1,2,3,…,n,且0<p<1,p+q=155 常见函数的导数公式：0'=C ；1)'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；x sin )'(cos -=x x )'(ln = xx a a log 1)'(log = x x e e =)'( a a a x x ln )'(= 2();u u v uv uv u v uv v v '''-⎛⎫'''=+= ⎪⎝⎭,(())u x f u x f u '''=⋅高中数学重要基础知识记忆检查一、幂函数、指数函数和对数函数1、由n 个元素组成的集合,其非空真子集个数为 。
高中数学易错点汇总及高频做题法
高中数学易错点汇总及高频做题法1.一个重要绝对不等式∣|a|-|b|∣≤∣a±b∣≤∣a∣+∣b∣2 . 关于解决证明含ln的不等式的一种思路举例说明：证明1+1/2+1/3+…+1/n>ln(n+1)把左边看成是1/n求和，右边看成是Sn。
解：令an=1/n，令Sn=ln(n+1)，则bn=ln(n+1)-lnn，那么只需证an>bn即可，根据定积分知识画出y=1/x的图。
an=1×1/n=矩形面积>曲线下面积=bn。
当然前面要证明1>ln2。
注：仅供有能力的童鞋参考!!另外对于这种方法可以推广，就是把左边、右边看成是数列求和，证面积大小即可。
说明：前提是含ln。
3 . 简洁公式向量a在向量b上的射影是：〔向量a×向量b的数量积〕/[向量b的模]。
记忆方法：在哪投影除以哪个的模4 . 说明一个易错点若f(x+a)[a任意]为奇函数，那么得到的结论是f(x+a)=-f(-x+a)〔等式右边不是-f(-x-a)〕同理如果f(x+a)为偶函数，可得f(x+a)=f(-x+a) 牢记5 . 离心率公式e=sinA/(sinM+sinN)注：P为椭圆上一点，其中A为角F1PF2，两腰角为M，N6 . 椭圆的参数方程也是一个很好的东西，它可以解决一些最值问题。
比如x?/4+y?=1求z=x+y的最值。
解：令x=2cosay=sina再利用三角有界即可。
比你去=0不知道快多少倍!7. 仅供有能力的童鞋参考的公式1.和差化积sin?+sin?=2sin[(?+?)/2]cos[(?-?)/2]sin?-sin?=2cos[(?+?)/2]sin[ (?-?)/2]cos?+cos?=2cos[(?+?)/2]cos[(?-?)/2]cos?-cos?=-2sin[(?+ )/2]sin[(-)/2]2.积化和差sin醩in?=[cos(?-?)-cos(?+?)]/2cos醕os?=[cos(?+?)+cos(?-?)]/2sin醕os?=[sin(?+?)+sin(?-?)]/2cos醩in?=[sin(?+?)-sin(?-?)]/28 . 定理直观图的面积是原图的√2/4倍。
高中数学常考易错知识点整理
高中数学常考易错知识点整理
1. 乘法与除法的运算顺序：在一个算式中，乘法和除法的运算优先级高于加法和减法。
容易错的点在于没有按照运算顺序进行计算，导致结果错误。
2. 分式的运算：分式的运算需要注意分母不能为0的情况，同时需要注意约分的步骤，避免最终结果没有化简到最简形式。
3. 平方根的性质：平方根在运算中常常需要使用到一些性质，例如：$\\sqrt{a^2} =
a$、$\\sqrt{ab} = \\sqrt{a} \\cdot \\sqrt{b}$等。
容易错的点在于没有正确应用平方
根的性质，导致计算错误。
4. 直角三角形的勾股定理：直角三角形的勾股定理指出，直角三角形的两直角边的平
方和等于斜边的平方。
容易错的点在于直角边和斜边的位置搞反，导致计算错误。
5. 数列的继续规律：数列的继续规律是指根据已知的一部分数列成员，推出数列的下
一个成员。
容易错的点在于没有找到数列成员之间的规律，导致求解错误。
6. 因式分解：因式分解是将一个多项式表示为几个不可再约的乘积的形式。
容易错的
点在于没有找到多项式的因式或者错误地分解多项式，导致分解结果错误。
7. 函数的性质：在函数的题目中，需要注意函数的定义域、值域和图像等性质，并且
要根据题意正确应用函数的性质进行求解。
以上只是一些可能的易错知识点，具体还要根据个人的学习情况和考试内容进行整理
和准备。
建议多做一些习题和练习，熟悉常见的易错点，提高解题的准确性。
高中数学易错知识点梳理
高中数学易错知识点梳理一、集合、简易逻辑、函数1． 研究集合必须注意集合元素的特征即三性(确定,互异,无序); 已知集合A={x,xy,lgxy},集合B={0,｜x ｜,y},且A=B,则x+y=2． 研究集合,首先必须弄清代表元素,才能理解集合的意义.（1）已知“集合M={y ｜y=x 2 ,x ∈R},N={y ｜y=x 2+1,x ∈R},求M ∩N”；与“集合M={（x,y ）｜y=x 2 ,x ∈R},N={(x,y)｜y=x 2+1,x ∈R}求M ∩N ”的区别.（2）已知集合{}{}A B ==圆，直线，则A B 中的元素个数是____个.你注意空集了吗？（3）设()f x 的定义域A 是无限集，则下列集合中必为无限集的有①{|(),}y y f x x A =∈ ②{(,)|(),}x y y f x x A =∈③{|()0,}x f x x A ≥∈ ④{|()2,}x f x x A =∈ ⑤{|()}x y f x =3． 集合 A 、B ，∅=⋂B A 时，你是否注意到“极端”情况：∅=A 或∅=B ；求集合的子集B A ⊆时是否忘记A =∅.例如：()()012222<--+-x a x a 对一切R x ∈恒成立，求a 的取植范围，你讨论了2a =的情况了吗？4． (C U A)∩( C U B) = C U (A ∪B) , (C U A)∪( C U B) = C U (A ∩B)； ,A B B B A A B B A B =⇔⊆=⇔⊆ ,对于含有n 个元素的有限集合M , 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为，n 2，12-n ，12-n .22-n如满足条件}4,3,2,1{}1{⊂⊆M 的集合M 共有多少个？（特别注意∅）5． 解集合问题的基本工具是韦恩图.某文艺小组共有10名成员,每人至少会唱歌和跳舞中的一项,其中7人会唱歌跳舞5人会,现从中选出会唱歌和会跳舞的各一人，表演一个唱歌和一个跳舞节目,问有多少种不同的选法？6． 两集合之间的关系.},14{},,12{Z k k x x N Z k k x x M ∈±==∈+==7． 命题的四种形式及其相互关系；全称命题和存在命题. （1）原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假. （2）“命题的否定”与“否命题”的区别：____________________ 练习：（1）命题“异面直线,a b 不垂直，则过a 的任一平面与b 都不垂直”，求出该命题的否命题. （2）命题“2,3x Q x ∃∈=使成立”，求该命题的否定.（3）若存在．．[13]a ∈，，使不等式2(2)20ax a x +-->，求x 的取值范围.8、你对映射的概念了解了吗？映射f ：A →B 中，A 中元素的任意性和B 中与它对应元素的唯一性，映射与函数的关系如何？例如：函数()x f y =与直线a x =的交点的个数有 个 9、函数的几个重要性质：①如果函数()x f y =对于一切R x ∈，都有()()x a f x a f -=+或f （2a-x ）=f （x ），那么函数()x f y =的图象关于直线a x =对称.②函数()x f y =与函数()x f y -=的图象关于直线0=x 对称； 函数()x f y =与函数()x f y -=的图象关于直线0=y 对称； 函数()x f y =与函数()x f y --=的图象关于坐标原点对称.③若奇函数()x f y =在区间()+∞,0上是递增函数，则()x f y =在区间()0,∞-上也是递增函数．④若偶函数()x f y =在区间()+∞,0上是递增函数，则()x f y =在区间()0,∞-上是递减函数．⑤函数()a x f y +=)0(>a 的图象是把函数()x f y =的图象沿x 轴向左平移a 个单位得到的；函数()a x f y +=()0(<a 的图象是把函数()x f y =的图象沿x 轴向右平移a 个单位得到的；函数()x f y =+a )0(>a 的图象是把函数()x f y =助图象沿y 轴向上平移a 个单位得到的;函数()x f y =+a )0(<a 的图象是把函数()x f y =助图象沿y 轴向下平移a 个单位得到的.⑥函数()y f x a =-+与函数()y f x b =+的图象关于直线2a bx -=对称 例如：（1）函数()x f y =满足()()11f x f x +=-+则关于直线 对称（2）函数()1y f x =+与()1y f x =-+关于直线 对称 （3）函数2log 1y ax =-（0a ≠）的图象关于直线2x =对称，则a=（4）函数sin 3y x =的图象可由1cos3y x =-的图象按向量a = （a最小）平移得到.10、求一个函数的解析式，你标注了该函数的定义域了吗？ 例如：（1）若(sin )cos2f x x =，则()f x = （2）若3311()f x x x x+=+，则()f x = 11、求函数的定义域的常见类型记住了吗？复合函数的定义域弄清了吗？ 例如：（1）函数y=)3lg()4(--x x x 的定义域是 ；（2）函数)(x f 的定义域是[0,1],求)(log 5.0x f 的定义域.（3）函数(2)x f 的定义域是（0,1],求2(log )f x 的定义域.函数)(x f 的定义域是[b a ,],,0>->a b 求函数)()()(x f x f x F -+=的定义域12、你知道求函数值域的常用方法有哪些吗，含参的二次函数的值域、最值要记得讨论. 例如（1）已知函数()x f y =的值域是[b a ,]，则函数()1y f x =-的值域是（2）函数y x =的值域是（3）函数y x =+的值域是（4）函数2121x x y -=+的值域是13、 判断一个函数的奇偶性时，你注意到函数的定义域是否关于原点对称．．．．．．．．．．．这个必要非充分条件了吗？ 在公共定义域内:两个奇函数的乘积是偶函数;两个偶函数的乘积是偶函数;一个奇函数与一个偶函数的乘积是奇函数;例如：（1）函数()2(0)f x x x =≥的奇偶性是（2）函数()x f y =是R 上的奇函数，且0x >时，()12xf x =+，则()f x 的表达式为14、根据定义证明函数的单调性时，规范格式是什么？(取值, 作差, 判正负.)可别忘了导数也是判定函数单调性的一种重要方法.在求函数的单调区间或求解不等式时，你知道函数的定义域要优先考虑吗？例如：（1）函数212log (23)y x x =--的单调减区间为（2）若函数212log (3)y x ax a =-+在区间[)2,+∞上是减函数，则实数a 的取值范围是（3）若定义在R 上的偶函数()f x 在区间[)0,+∞上是单调增函数，则不等式()1f ()lg f x <的解集为15、你知道钩型函数()0>+=a xax y 的单调区间吗？（该函数在(]a -∞-,和[)+∞,a 上单调递增；在[)0,a -和(]a ,0上单调递减）这可是一个应用广泛的函数！例如：函数2y =的值域为 2y =的值域为16、幂函数与指数函数有何区别？ 例如：（1）若幂函数()()()223233f x xαααα--=-+是()0,+∞上的单调减函数，则α=（2）若关于x 的方程4210x xa a +++=有解，则实数a 的取值范围是17、对数的换底公式及它的变形，你掌握了吗？（b b abb a n ac c a n log log ,log log log ==）你还记得对数恒等式吗？（b aba =log ）例如：（1）x 、y 、z ()0,∈+∞且346x y z ==，则3x 、4y 、6z 的大小关系可按从小到大的顺序排列为（2）若集合111log 2,23n A n n N ⎧⎫⎪⎪=-≤≤-∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则A 的子集有 个 18、求解对数函数问题时，注意真数与底数的限制条件！ 例如：（1）方程122log (2)x x -=+的解的个数是（2）不等式(1)(1)log (21)log (1)a a x x --->-成立的充要条件是19、“实系数一元二次方程02=++c bx ax 有实数解”转化为“042≥-=∆ac b ”，你是否注意到必须0≠a ；当a=0时，“方程有解”不能转化为042≥-=∆ac b ．若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，你是否考虑到二次项系数可能为零的情形？已知函数()()22lg 111y a x a x ⎡⎤=-+++⎣⎦（1）若函数的定义域为R ，求a 的取值范围是（2）若函数的值域为R ，求a 的取值范围是二．三角1． 三角公式记住了吗？两角和与差的公式________________； 二倍角公式:_________________解题时本着“三看”的基本原则来进行:“看角,看函数,看特征”,基本的技巧有:巧变角,公式变形使用,化切割为弦,用倍角公式将高次降次, 2． 在解三角问题时，你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗？正切函数在整个定义域内是 否为单调函数？你注意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗？ 3． 在三角中，你知道1等于什么吗？（221sin cos x x =+tan cot tansincos 0142x x ππ=⋅====这些统称为1的代换)常数 “1”的种种代换有着广泛的应用．诱导公试：奇变偶不变，符号看象限 4． 在三角的恒等变形中，要特别注意角的各种变换．（如,)(αβαβ-+=,)(αβαβ+-=⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+βαβαβα222等）5． 你还记得三角化简题的要求是什么吗？项数最少、函数种类最少、分母不含三角函数、且能求出值的式子，一定要算出值来） 6． 你还记得三角化简的通性通法吗？（切化弦、降幂公式、用三角公式转化出现特殊角. 异角化同角，异名化同名，高次化低次）；你还记得降幂公式吗？cos 2x=(1+cos2x)/2;sin 2x=(1-cos2x)/27． 你还记得某些特殊角的三角函数值吗？会求吗？41518sin ,42615cos 75sin ,42675cos 15sin -=︒+=︒=︒-=︒=︒ 练习： （1）tan (0)ba aθ=≠是cos 2sin 2a b a θθ+=的 条件.解析：sin tan sin cos sin sin cos sin cos 1cos 2sin 2cos 2sin 222b b a b a b a aa b a b aθθθθθθθθθθθθθ=⇔=⇔=⇔=-⇔=⇔+=反之，若cos 2sin 2a b a θθ+=成立，则未必有tan ,b a θ=取0,2a πθ==-即可，故为充分不必要条件易错原因：未考虑tan θ不存在的情况（2）已知34sin,cos ,2525θθ==-则θ角的终边在 解析：因为34sin ,cos ,2525θθ==-故2θ是第二象限角，即22()22k k k Z πθπππ+<<+∈，故424()k k k Z ππθππ+<<+∈，在第三或第四象限以上的结果是错误的，正确的如下： 由34sin ,cos ,2525θθ==-知322()42k k k Z πθπππ+<<+∈ 所以3424()2k k k Z ππθππ+<<+∈，故在第四象限 易错原因：角度的存在区间范围过大8． 你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗？(lr S r l 21,==扇形α) 9． 辅助角公式：()θ++=+x b a x b x a sin cos sin 22(其中θ角所在的象限由a,b 的符号确定，θ角的值由ab=θtan 确定)在求最值、化简时起着重要作用. 10. 三角函数（正弦、余弦、正切）图象的草图能迅速画出吗？能写出他们的单调区、对称轴，取最值时的x 值的集合吗？（别忘了k ∈Z ）三角函数性质要记牢.函数y=++⋅)sin(ϕωx A k 的图象及性质：振幅|A|，周期T=ωπ2, 若x=x 0为此函数的对称轴，则x 0是使y 取到最值的点，反之亦然，使y 取到最值的x 的集合为 ， 当0,0>>A ω时函数的增区间为 ，减区间为 ；当0<ω时要利用诱导公式将ω变为大于零后再用上面的结论.五点作图法：令ϕω+x 依次为ππππ2,23,,2求出x 与y ，依点()y x ,作图 练习：如图，摩天轮的半径为40m ，点O 距地面的高度为50m ，摩天轮做匀速转动，每3min 转一圈，摩天轮上的点P 的起始位置在最低点处，（1）试确定在时刻min t 时点P 距地面的高度；（2）摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P 距地面超过70m ?11.三角函数图像变换：（1）将函数为()y f x = 的图像向右平移4π个单位后，再作关于x 轴的对称变换，得到函数cos 2y x =的图像，则()f x =（2）()2sin()2cos 6f x x x π=+-的图像按向量m平移得到()g x 的图像，若()g x 是偶函数，求||m最小的向量m12.有关斜三角形的几个结论：在Rt ABC ∆中，222,,AC AD AB BC BD BA CD AD BD ===内切圆半径2a b cr +-=（S 为ABC ∆的面积）在ABC ∆中，①sin()sin ,cos()cos ,A B C A B C +=+=-tan tan tan tan an tan A B C A t B C ++=sin cos ,cos sin 2222A B C A B C++== ②正弦定理③余弦定理④面积公式111sin sin sin 222S ab C bc A ac B === ⑤内切圆半径2sr a b c=++13．在ABC ∆中，判断下列命题的正误（1）A B >的充要条件是cos 2cos 2A B <(2) tan tan tan 0A B C ++>,则ABC ∆是锐角三角形（3）若ABC ∆是锐角三角形，则cos sin A B <三、数列1．等差数列中的重要性质：（1）若q p n m +=+，则q p n m a a a a +=+；（2）仍成等差数列数列}{ka },{a },{n 2n 12b a n +-；仍成等差数列n 23n n 2n n S S , S S , S --数列；（3）若{n a }，{n b }是等差数列，,n n S T 分别为它们的前n 项和，则2121m m m m a S b T --=； （4）在等差数列中,求S n 的最大(小)值,其中一个思路是找出最后一正项（负项）k a ，那么max(min)()n k S S =B练习：①在等差数列{n a }中，若9418,240,30n n S S a -===，则n =②{n a }，{n b }都是等差数列，前n 项和分别为,n n S T ，且2132n n S n T n -=+，则99ab = ③若{n a }的首项为14，前n 和为n S ，点1(,)n n a a +在直线20x y --=上，那n S 最大时，n =2．等比数列中的重要性质：（1）若q p n m +=+，则q p n m a a a a ⋅=⋅； （2）k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等比数列；（3）若{n a }是等差数列，则{n ab }是等比数列，若{n a }是等比数列且0n a >，则{log n a b }是等差数列；（4）类比等差数列而得的有关结论练习：①若{n a }是等比数列，4738512,124a a a a =-+= ，公比q 为整数，则10a =②已知数列{n x }满足31212313521n n x x x x x x x x n ====++++- ，并且128n x x x +++= ，那么1x =③等差数列{n a }满足12212nn a a na b n+++=+++ ，则{n b }也是等差数列，类比等比数列{n A }满足 3．等差数列的通项，前n 项和公式的再认识：①1(1)n a a n d An B =+-=+是关于n 的一次函数， ②1()2n n n a a S n a +== 中， ③2n S An Bn =+ 等比数列呢？ 练习：等比数列{n a }中，前n 项和123n n S r -=⨯+，则r = 4．你知道 “错位相减” 求和吗？（如：求1{(21)33}n n --⋅-的前n 项和）你知道 “裂项相消” 求和吗？（如：求1{}(2)n n +的前n 项和）5．由递推关系求通项的常见方法： 练习：①{n a }中，112,21n n a a a +==-，则n a =②{n a }中，1112,22n n n a a a ++==+，则n a = （注：关系式中的2换成3呢）③{n a }满足123,2a a ==且21212n n n a a a n n++=-+-，则n a =④{n a }满足11a =且212n n n a a a +=+，则n a = ⑤{n a }满足12a =且1121()2n n a a a a +=+++ ，则n a = ，n s = 6．善于捕捉利用分项求和与放缩法使所得数列为等差等比数列再求和的机会 练习：①正项数列{n a }中，111,21n n a a a +=<+，求证：12111111112n n a a a +++>-+++ 分析：1111112112(1)121n n n n n n a a a a a a +++<+⇒+<+⇒>++ 231211111111()()()111122222n n n a a a +++>++++=-+++ ②已知{n a }中111,(2,)(1)!n a a n n N n +==≥∈-，求证：1233n a a a a ++++< 分析：11111(3)(1)!123(2)(1)(2)(1)21n a n n n n n n n n ==<=-≥------- 12311111111133223211n a a a a n n n ++++≤++-+-++-=-<---四、不等式1、同向不等式能相减，相除吗？2、不等式的解集的规范书写格式是什么？（一般要写成集合的表达式）3、分式不等式()()()0≠>a a x g x f 的一般解题思路是什么？（移项通分，分子分母分解因式，x 的系数变为正值，奇穿偶回） 4、解指对不等式应该注意什么问题？（指数函数与对数函数的单调性, 对数的真数大于零.） 5、含有两个绝对值的不等式如何去绝对值？(一般是根据定义分类讨论)6、利用重要不等式ab b a 2≥+ 以及变式22⎪⎭⎫⎝⎛+≤b a ab 等求函数的最值时，你是否注意到a ，b +∈R （或a ，b 非负），且“等号成立”时的条件，积ab 或和a ＋b 其中之一应是定值？(一正二定三相等)7、) R b , (a , ba 2ab 2222+∈+≥≥+≥+ab b a b a (当且仅当c b a ==时，取等号）； a 、b 、c ∈R ，ca bc ab c b a ++≥++222（当且仅当c b a ==时，取等号）；8、在解含有参数的不等式时，怎样进行讨论？（特别是指数和对数的底10<<a 或1>a ）讨论完之后，要写出：综上所述，原不等式的解集是……．9、解含参数的不等式的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．” 10、对于不等式恒成立问题，常用的处理方式？（转化为最值问题）五、向量1．两向量平行或共线的条件，它们两种形式表示，你还记得吗？注意λ=是向量平行的充分不必要条件.(定义及坐标表示)2．向量可以解决有关夹角、距离、平行和垂直等问题，要记住以下公式：||2=·，cos ||||a ba b θ∙==3．利用向量平行或垂直来解决解析几何中的平行和垂直问题可以不用讨论斜率不存在的情况，要注意：(1)0,(,],0,,022a b a b a b a b a b πππ∙<⇔<>∈∙=⇔<>=∙> ,[0,)2a b π⇔<>∈（2）0<∙是向量和向量夹角为钝角的必要而非充分条件.4．向量的运算要和实数运算有区别：（1）如两边不能约去一个向量，即a b a c ∙=∙推不出b c = ，（2）向量的乘法不满足结合律，即c b a c b a )()(∙≠∙，（3）两向量不能相除.5．你还记得向量基本定理的几何意义吗？它的实质就是平面内的任何向量都可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示，它的系数的含义与求法你清楚吗？6．几个重要结论：（1）已知,OA OB 不共线，OP OA OB λμ=+，则A ，P ，B 三点共线的充要条件是1λμ+=；（2）向量中点公式：若C 是AB 的中点，则1()2OC OA OB =+；（3）向量重心公式：在ABC 中，0OA OB OC ++=⇔O 是ABC 的重心.例：设F 为抛物线24y x =的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若0FA FB FC ++= ，则||||||FA FB FC ++=__________.7．向量等式OC OA OB λμ=+的常见变形方法：（1）两边同时平方；（2）两边同时乘以一个向量；（3）合并成两个新向量间的线性关系.8．一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，这是题目中的天然条件，要注意运用，对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以 一个向量，但不能两边同除以一个向量.例1．ABC 内接于以O 为圆心，1为半径的圆，且3450OA OB OC ++=，求数量积,,OA OB OB OC OC OA .例2．平面四边形ABCD 中，313,5,5,cos ,5AB AD AC DAC ===∠=12cos 13BAC ∠=，设AC xAB yAD =+ ，求,x y 的值.例3．如图，设点O 在ABC 内部，且有230OA OB OC ++=，则:A O C A B C S S =____.六、导数1．导数的几何意义即曲线在该点处的切线的斜率，学会定义的多种变形. 2．几个重要函数的导数：①0'=C ,（C 为常数） ②()'1(xx αααα-=为常数）③'()ln (0x x a a a a =>且1)a ≠ ④'1(log )(0ln a x a x a=>且1)a ≠ ⑤'()x x e e = ⑥'1(ln )x x=⑦'(sin )cos x x = ⑧'(cos )sin x x =-导数的四运算法则 ①()()()()()'''f x g x f x g x ±=±②()()''Cf x Cf x =⎡⎤⎣⎦（C 为常数）③()()()()()()()'''f x g x f x g x f x g x ⋅=⋅+⋅④()()()()()()()()'''2(0)f x f x g x f x g x g x g x g x ⎡⎤⋅-⋅=≠⎢⎥⎣⎦3． 利用导数可以证明或判断函数的单调性，注意当'()0f x ≥或'()0f x ≤，带上等号.例.已知20,a b =≠ 且关于x 的函数3211()32f x x a x a bx =+⋅+⋅在R 上有极值，则a 与b的夹角的范围为4．0()0f x '=是函数f(x)在x 0处取得极值的必要非充分条件，f(x)在x 0处取得极值的充分必要条件是什么？ 5．求函数极值的方法： （1）先找定义域，求导数()x f '；（2）求方程()x f'=0的根n x x x ,,,21 找出定义域的分界点；（3）列表，根据单调性求出极值.已知()f x 在0x 处的极值为A ，相当于给出了两个条件：①函数在此点导数值为零，②函数在此点的值为定值.6． 利用导数求最值的步骤：（1）求函数在给定区间上的极值；（2）比较区间端点所对的函数值与极值的大小,确定最大值与最小值. 7．含有参数的函数求最值的方法：看导数为0的点与定义域之间的关系. 8．利用导数证明不等式()()f x g x >的步骤：（1）作差()()()F x f x g x =-；（2）判断函数()F x 在定义域上的单调性并求它的最小值； （3）判断最小值0A ≥；（4）结论：()0F x A >≥，则()()f x g x >. 9．利用导数判断方程的解的情况..已知函数()f x 在1x =处的导数为1，则当0x →时(1)(1)2f x f x+-趋近于解析：由定义得当0x →时，'(1)(1)1(1)(1)11(1)2222f x f f x f f x x +-+∆-=⋅=⋅=∆易错原因：不会利用导数的定义来解题.例2.函数32()f x x ax bx c =+++，其中,,a b c R ∈，当230a b -<时，()f x 在R 上的增减性是解析：'2()32f x x ax b =++，则24(3)0a b ∆=-<在R 上'()0f x >，故是增函数. 易错原因：不善于利用导函数的""∆来判别单调性.例3.若函数3'21()(1)53f x x f x x =--⋅++，则'(1)f -= 解析：设321()53f x x ax x =-++，则'2()21f x x ax =-+.故'(1)22f a -=+.由22a a =+知2a =-.有'(1)f -=-2.易错原因：不会运用待定系数法解题.例4.3()f x x x =-，则当(0,2)x ∈时，()f x 的值域为解析：'2()31f x x =-，令'()0f x x >⇒>，()f x ∴在区间2⎤⎥⎣⎦上单调增，在区间⎡⎢⎣⎦上单调减，()f x ∴的值域为⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 易错原因：求导之后判别单调区间时概念模糊.七.概率:1.古典概型和几何概型的区别.例如:(1)任意取实数x ∈[1,100],恰好落在[50,100] (2)任意取整数x ∈[1,100],恰好落在[50,100]2事件中有一个发生的概率，利用对立事件的概率. （1）若A 、B 互斥，则P （A+B ）=P （A ）+P （B ）； （2）若A 、B 对立，则()1()P A P A =-.3.概率题的解题步骤: (1)记事件(2)交代总共结果数与A 事件中结果数(几何概率即D,d ) (3)计算 (4)作答例如.1、在等腰直角三角形ABC 中，（1）在斜边AB 上任取一点M ，求AM 小于AC 的概率；（2）过顶点C 在ACB ∠内任作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，求AM AC <的概率.2．已知在矩形ABCD 中，AB=5，AC=7，在矩形内任取一点P ，求090APB ∠>的概率.八、统计:1.抽样方法主要有简单随机抽样（抽签法、随机数表法）常常用于总体数目较少时，主要特征是从总体中逐个抽取；系统抽样，常用于总体个数较多时，主要特征是均衡分成若干部分，每部分只取一个；分层抽样，主要特征是分层按比例抽样，主要使用于总体中有明显差异。
高中数学必修一第四章指数函数与对数函数易错知识点总结(带答案)
高中数学必修一第四章指数函数与对数函数易错知识点总结单选题1、将进货价为每个80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，每涨价1元，销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，则售价a （元/个）的取值范围应是（ ）A ．90<a <100B ．90<a <110C ．100<a <110D ．80<a <100答案：A分析：首先设每个涨价x 元，涨价后的利润与原利润之差为y 元，结合条件列式，根据y >0，求x 的取值范围，即可得到a 的取值范围.设每个涨价x 元，涨价后的利润与原利润之差为y 元，则a =x +90,y =(10+x)⋅(400−20x)−10×400=−20x 2+200x .要使商家利润有所增加，则必须使y >0，即x 2−10x <0，得0<x <10,∴90<x +90<100，所以a 的取值为90<a <100.故选：A2、满足函数f (x )=ln (mx +3)在(−∞,1]上单调递减的一个充分不必要条件是（ ）A ．−4<m <−2B ．−3<m <0C ．−4<m <0D ．−3<m <−1答案：D分析：根据复合函数的单调性，求出m 的取值范围，结合充分不必要条件的定义进行求解即可． 解：若f(x)=ln(mx +3)在(−∞,1]上单调递减，则满足m <0且m +3>0，即m <0且m >−3，则−3<m <0，即f(x)在(−∞,1]上单调递减的一个充分不必要条件是−3<m <−1，故选：D ．3、已知函数f(x)={log 12x,x >0,a ⋅(13)x ,x ≤0,若关于x 的方程f[f(x)]=0有且只有一个实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(−∞,0)∪(0,1)B ．(−∞,0)∪(1,+∞)C ．(−∞,0)D ．(0,1)∪(1,+∞)答案：B分析：利用换元法设t =f (x )，则等价为f (t )=0有且只有一个实数根，分a <0,a =0,a >0 三种情况进行讨论，结合函数的图象，求出a 的取值范围.令f(x)=t ，则方程f[f(x)]=0等价于f(t)=0，当a =0时，此时当x ≤0时，f (x )=a ⋅(13)x =0，此时函数有无数个零点，不符合题意；当a ≠0，则f(x)=a ⋅(13)x≠0，所以由f(t)=log 12t =0，得t =1， 则关于x 的方程f[f(x)]=0有且只有一个实数根等价于关于x 的方程f(x)=1有且只有一个实数根，作出f(x)的图象如图：当a <0时，由图象可知直线y =1与y =f(x)的图象只有一个交点，恒满足条件；当a >0时，要使直线y =1与y =f(x)的图象只有一个交点，则只需要当x ≤0时，直线y =1与f(x)=a ⋅(13)x的图象没有交点， 因为x ≤0 时，f (x )=a ⋅(13)x ∈[a,+∞)，此时f (x ) 最小值为a ，所以a >1，综上所述，实数a 的取值范围是(−∞,0)∪(1,+∞)，故选：B.4、指数函数y =a x 的图象经过点(3,18)，则a 的值是（ ）A ．14B ．12C ．2D ．4答案：B分析：将已知点的坐标代入指数函数的表达式，求得a 的值.因为y =a x 的图象经过点(3,18)， 所以a 3=18，解得a =12， 故选：B.5、已知f (x )＝a −x (a >0，且a ≠1)，且f (－2)>f (－3)，则a 的取值范围是（ ）A ．a >0B ．a >1C ．a <1D ．0<a <1答案：D分析：把f (－2)，f (－3)代入解不等式，即可求得．因为f (－2)＝a 2， f (－3)＝a 3，f (－2)>f (－3)，即a 2>a 3，解得：0<a <1．故选：D6、已知函数f(x)=9+x 2x ，g(x)=log 2x +a ，若存在x 1∈[3,4]，对任意x 2∈[4,8]，使得f(x 1)≥g(x 2)，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(−∞,134]B ．(134,+∞)C ．(0,134)D ．（1，4） 答案：A分析：将问题化为在对应定义域内f(x 1)max ≥g(x 2)max ，结合对勾函数和对数函数性质求它们的最值，即可求参数范围.由题意知：f(x)在[3,4]上的最大值大于或等于g(x)在[4,8]上的最大值即可．当x ∈[3,4]时，f(x)=9x +x ，由对勾函数的性质得：f(x)在[3,4]上单调递增，故f(x)max =f(4)=94+4=254．当x ∈[4,8]时，g(x)=log 2x +a 单调递增，则g(x)max =g(8)=log 28+a =3+a ，所以254≥3+a ，可得a ≤134．故选：A7、已知函f (x )=log 2(√1+4x 2+2x)+3，且f (m )=−5，则f (−m )=（ ）A ．−1B ．−5C ．11D ．13答案：C分析：令g (x )=log 2(√1+4x 2+2x)，则f (x )=g (x )+3，则先判断函数g (−x )+g (x )=0，进而可得f (−x )+f (x )=6，即f (m )+f (−m )=6，结合已知条件即可求f (−m )的值.令g (x )=log 2(√1+4x 2+2x)，则f (x )=g (x )+3，因为g (x )+g (−x )=log 2(√1+4x 2+2x)+log 2(√1+4x 2−2x)=log 2(1+4x 2−4x 2)=0，所以f (−x )+f (x )=g (−x )+3+g (x )+3=6，则f (m )+f (−m )=6，又因为f (m )=−5，则f (−m )=11，故选：C.8、函数f (x )={|2x −1|,x ≤2−x +5,x >2，若函数g (x )=f (x )−t (t ∈R )有3个不同的零点a ，b ，c ，则2a +2b +2c 的取值范围是（ ）A ．[16,32)B ．[16,34)C ．(18,32]D ．(18,34)答案：D分析：作出函数y =f(x)的图象和直线y =t ，它们的交点的横坐标即为g(x)的零点，利用图象得出a,b,c 的性质、范围，从而可求得结论．作出函数y =f(x)的图象和直线y =t ，它们的交点的横坐标即为g(x)的零点，如图，则1−2a =2b −1，4<c <5，2a +2b =2，2c ∈(16,32)，所以18<2a +2b +2c <34．故选：D ．小提示：关键点点睛：本题考查函数零点问题，解题关键是把函数零点转化为函数图象与直线的交点的横坐标，从而可通过作出函数图象与直线，得出零点的性质与范围．多选题9、已知函数f(x)={|lnx|,x>0−x2+1,x≤0，若存在a<b<c，使得f(a)=f(b)=f(c)成立，则（）A．bc=1B．b+c=1C．a+b+c>1D．abc<−1答案：AC分析：采用数形结合可知−1<a≤0，1e≤b<1，1<c≤e，然后简单计算可知b+c>1，bc=1，a+b+ c>1，故可知结果.如图：可知−1<a≤0，1e≤b<1，1<c≤e，则b+c>c>1，且−lnb=lnc，所以lnb+lnc=lnbc=0，即bc=1.因为bc=1，所以abc=a∈(−1,0]，a+b+c=a+1c+c>a+2>1.故选:AC.10、(多选)某食品的保鲜时间t (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系t ＝{64,x ≤0,2kx+6,x >0,且该食品在4 ℃的保鲜时间是16小时．已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时刻的变化如图所示，则下列结论中正确的是（ ）A ．该食品在6 ℃的保鲜时间是8小时B ．当x ∈[－6，6]时，该食品的保鲜时间t 随着x 的增大而逐渐减少C ．到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内D ．到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间答案：AD分析：由题设可得k =−12即可写出解析式，再结合各选项的描述及函数图象判断正误即可. 由题设，可得24k+6=16，解得k =−12， ∴t ={64,x ≤026−x 2,x >0， ∴x =6，则t =23=8，A 正确；x ∈[−6,0]时，保鲜时间恒为64小时，x ∈(0,6]时，保鲜时间t 随x 增大而减小，B 错误；此日11时，温度超过11度，其保鲜时间不超过2小时，故到13时甲所购食品不在保鲜时间内，C 错误； 由上分析知：此日14时，甲所购食品已过保鲜时间，D 正确.故选：AD.11、已知函数f (x )={−2−x +a,x <0,2x −a,x >0.(a ∈R )，下列结论正确的是（ ） A ．f (x )是奇函数B ．若f (x )在定义域上是增函数，则a ≤1C ．若f (x )的值域为R ，则a ≥1D．当a≤1时，若f(x)+f(3x+4)>0，则x∈(−1,+∞)答案：AB分析：对于A利用函数奇偶性定义证明；对于B，由增函数定义知−2−0+a≤20−a即可求解；对于C，利用指数函数的单调性，求出分段函数每段函数上的值域，结合f(x)的值域为R，即可求解；对于D，将f(x)+ f(3x+4)>0等价于f(x)>f(−3x−4)，利用函数定义域及单调性即可求解；对于A，当x<0时，−x>0，f(x)=−2−x+a，f(−x)=2−x−a=−(−2−x+a)=−f(x)；当x>0时，−x<0，f(x)=2x−a，f(−x)=−2x+a=−(2x−a)=−f(x)，所以f(x)是奇函数，故A正确；对于B，由f(x)在定义域上是增函数，知−2−0+a≤20−a，解得a≤1，故B正确；对于C，当x<0时，f(x)=−2−x+a在区间(−∞,0)上单调递增，此时值域为(−∞,a−1)，当x>0时，f(x)=2x−a在区间(0,+∞)上单调递增，此时值域为(1−a,+∞)，要使f(x)的值域为R，则a−1>1−a，解得a>1，故C错误；对于D，当a≤1时，由于−2−0+a≤20−a，则f(x)在定义域上是增函数，f(x)+f(3x+4)>0等价于f(x)>f(−3x−4)，即{x≠0−3x−4≠0x>−3x−4，解得x∈(−1,0)∪(0,+∞)，故D错误；故选：AB填空题12、不等式log4x≤12的解集为___________.答案：(0,2]分析：根据对数函数的单调性解不等式即可.由题设，可得：log4x≤log4412，则0<x≤412=2，∴不等式解集为(0,2].所以答案是：(0,2].13、若log2[log3(log4x)]=0，则x=________．答案：64分析：利用对数的运算性质以及指数式与对数式的互化即可求解.log 2[log 3(log 4x )]=0⇒log 3(log 4x )=1⇒log 4x =3⇒x =43=64.所以答案是：64小提示：本题考查了对数的运算性质以及指数式与对数式的互化，考查了基本运算求解能力，属于基础题.14、方程lg (x 2−x −2)=lg (6−x −x 2)的解为 __________ .答案：x =−2分析：由题意知lg (x 2−x −2)=lg (6−x −x 2)，可求出x 的值，再结合真数大于零进行检验，从而可求出最终的解.由lg (x 2−x −2)=lg (6−x −x 2)，得x 2−x −2=6−x −x 2，所以x =±2，又因为x 2−x −2>0且6−x −x 2>0，所以x =−2；所以答案是：x =−2.解答题15、已知函数f(x)=(12)x−a −b(a,b ∈R)的图象过点(1,0)与点(0,1).（1）求a ，b 的值；（2）若g(x)=4−x −4，且f(x)=g(x)，满足条件的x 的值.答案：（1）a =1，b =1；（2）x =−log 23.分析：(1)由给定条件列出关于a ，b 的方程组，解之即得；(2)由(1)的结论列出指数方程，借助换元法即可作答.（1）由题意可得{(12)1−a −b =0(12)−a −b =1 ⇒{(12)−a −2b =0(12)−a −b =1 ⇒{b =12a =2 ，解得a =1，b =1， （2）由（1）可得f(x)=21−x −1，而g(x)=4−x −4，且f(x)=g(x)，于是有21−x −1=4−x −4，设2−x =t ，t >0，从而得t 2−2t −3=0，解得t =3，即2−x =3，解得x =−log 23，所以满足条件的x=−log23.。
高中数学易错点对数函数的陷阱与解析
高中数学易错点对数函数的陷阱与解析在高中数学的学习中，对数函数是一个重要的知识点，但同时也是同学们容易出错的地方。
本文将深入探讨对数函数中常见的陷阱，并进行详细的解析，帮助大家更准确地理解和运用对数函数。
一、对数的定义理解不清对数的定义是：如果 a^x ＝ N（a＞0 且a≠1），那么 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 x ＝logₐN。
在这个定义中，同学们容易忽略底数 a的取值范围，以及真数 N 的取值范围。
例如，logₐ0 是没有意义的，因为任何数的 0 次幂都不等于 0。
同样，logₐ(－1) 也是没有意义的，因为正数的任何次幂都是正数。
另外，对数中的底数 a 必须大于 0 且不等于 1。
如果忽略了这些限制条件，在解题时就容易陷入错误。
二、对数的运算性质使用不当对数的运算性质有：logₐ(MN) ＝logₐM ＋logₐN；logₐ(M/N) ＝logₐM logₐN；logₐMⁿ ＝nlogₐM。
在使用这些运算性质时，同学们经常会出现以下错误：1、忽略底数相同的条件例如，log₂3 ＋log₃4 不能直接运用加法运算性质，因为底数不同。
2、忽略真数大于 0 的条件在计算 log₂(x 1) ＋ log₂(x ＋ 1) 时，如果不考虑 x 1＞0 且 x ＋ 1＞0 这个条件，就可能得出错误的结果。
3、对运算性质的逆用不熟练例如，已知logₐM ＋logₐN ＝logₐ(MN)，那么当遇到logₐM ＋logₐN 的形式时，要能够想到将其转化为logₐ(MN)。
三、对数函数的定义域和值域对数函数 y ＝logₐx（a＞0 且a≠1）的定义域是 x＞0，值域是 R。
在求对数函数的定义域时，同学们容易忽略真数大于 0 这个条件。
例如，函数 y ＝ log₂(x² 1) 的定义域，需要满足 x² 1＞0，解得 x＞1 或 x＜－1。
在求对数函数的值域时，要根据对数函数的单调性来确定。
(完整版)高中数学易错重点知识点梳理
高中数学知识易错点梳理一、集合、简易逻辑、函数1． 研究集合必须注意集合元素的特征即三性(确定,互异,无序); 已知集合A={x,xy,lgxy},集合B={0,｜x ｜,y},且A=B,则x+y=2． 研究集合,首先必须弄清代表元素,才能理解集合的意义。
已知集合M={y ｜y=x 2 ,x ∈R},N={y ｜y=x 2+1,x ∈R},求M ∩N ；与集合M={（x,y ）｜y=x 2 ,x ∈R},N={(x,y)｜y=x 2+1,x∈R}求M ∩N 的区别。
3． 集合 A 、B ，∅=⋂B A 时，你是否注意到“极端”情况：∅=A 或∅=B ；求集合的子集B A ⊆时是否忘记∅. 例如：()()012222<--+-x a x a 对一切R x ∈恒成立，求a 的取植范围，你讨论了a ＝2的情况了吗？4． 对于含有n 个元素的有限集合M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为，n 2，12-n ，12-n .22-n如满足条件}4,3,2,1{}1{⊂⊆M 的集合M 共有多少个5． 解集合问题的基本工具是韦恩图; 某文艺小组共有10名成员,每人至少会唱歌和跳舞中的一项,其中7人会唱歌跳舞5人会,现从中选出会唱歌和会跳舞的各一人，表演一个唱歌和一个跳舞节目,问有多少种不同的选法？ 6． 两集合之间的关系。
},14{},,12{Z k k x x N Z k k x x M ∈±==∈+==7． (C U A)∩( C U B) = C U (A ∪B) (C U A)∪( C U B) = C U (A ∩B)；B B A = A B ⊆⇒； 8、可以判断真假的语句叫做命题. 逻辑连接词有“或”、“且”和“非”. p 、q 形式的复合命题的真值表:9、否 原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假.10、你对映射的概念了解了吗？映射f ：A →B 中，A 中元素的任意性和B 中与它对应元素的唯一性，哪几种对应能够成映射？ 11、函数的几个重要性质：①如果函数()x f y =对于一切R x ∈，都有()()x a f x a f -=+或f （2a-x ）=f （x ），那么函数()x f y =的图象关于直线a x =对称.②函数()x f y =与函数()x f y -=的图象关于直线0=x 对称； 函数()x f y =与函数()x f y -=的图象关于直线0=y 对称； 函数()x f y =与函数()x f y --=的图象关于坐标原点对称.③若奇函数()x f y =在区间()+∞,0上是递增函数，则()x f y =在区间()0,∞-上也是递增函数．④若偶函数()x f y =在区间()+∞,0上是递增函数，则()x f y =在区间()0,∞-上是递减函数．⑤函数()a x f y +=)0(>a 的图象是把函数()x f y =的图象沿x 轴向左平移a 个单位得到的；函数()a x f y +=()0(<a 的图象是把函数()x f y =的图象沿x 轴向右平移a 个单位得到的；函数()x f y =+a )0(>a 的图象是把函数()x f y =助图象沿y 轴向上平移a 个单位得到的;函数()x f y =+a )0(<a 的图象是把函数()x f y =助图象沿y 轴向下平移a 个单位得到的.12、求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，你标注了该函数的定义域了吗？ 13、求函数的定义域的常见类型记住了吗？函数y=2)3lg()4(--x x x 的定义域是 ；复合函数的定义域弄清了吗？函数)(x f 的定义域是[0,1],求)(log 5.0x f 的定义域. 函数)(x f 的定义域是[b a ,],,0>->a b 求函数)()()(x f x f x F -+=的定义域14、含参的二次函数的值域、最值要记得讨论。
高考数学易错点及重要知识点归纳
高考数学易错点及重要知识点归纳高考数学知识点总结一遗忘空集致误错因分析：由于空集是任何非空集合的真子集，因此，对于集合B高三经典纠错笔记：数学A，就有B=A，φ≠B高三经典纠错笔记：数学A，B≠φ，三种情况，在解题中如果思维不够缜密就有可能忽视了B≠φ这种情况，导致解题结果错误。
尤其是在解含有参数的集合问题时，更要充分注意当参数在某个范围内取值时所给的集合可能是空集这种情况。
空集是一个特殊的集合，由于思维定式的原因，考生往往会在解题中遗忘了这个集合，导致解题错误或是解题不全面。
高考数学知识点总结二忽视集合元素的三性致误错因分析：集合中的元素具有确定性、无序性、互异性，集合元素的三性中互异性对解题的影响最大，特别是带有字母参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求。
在解题时也可以先确定字母参数的范围后，再具体解决问题。
高考数学知识点总结三四种命题的结构不明致误错因分析：如果原命题是“若 A则B”，则这个命题的逆命题是“若B则A”，否命题是“若┐A则┐B”，逆否命题是“若┐B则┐A”。
这里面有两组等价的命题，即“原命题和它的逆否命题等价，否命题与逆命题等价”。
在解答由一个命题写出该命题的其他形式的命题时，一定要明确四种命题的结构以及它们之间的等价关系。
另外，在否定一个命题时，要注意全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。
如对“a，b都是偶数”的否定应该是“a，b不都是偶数”，而不应该是“a ，b都是奇数”。
高考数学知识点总结四充分必要条件颠倒致误错因分析：对于两个条件A，B，如果A=>B成立，则A是B的充分条件，B是A的必要条件;如果B=>A成立，则A是B 的必要条件，B是A的充分条件;如果A<=>B，则A，B互为充分必要条件。
解题时最容易出错的就是颠倒了充分性与必要性，所以在解决这类问题时一定要根据充要条件的概念作出准确的判断。
高考数学易错点逻辑联结词理解不准致误错因分析：在判断含逻辑联结词的命题时很容易因为理解不准确而出现错误，在这里我们给出一些常用的判断方法，希望对大家有所帮助：p∨q真<=>p真或q真，命题p∨q假<=>p 假且q假(概括为一真即真);命题p∧q真<=>p真且q真，p∧q假<=>p假或q假(概括为一假即假);┐p真<=>p假，┐p 假<=>p真(概括为一真一假)。
高中学霸数学错题整理汇总
中数学 中数学 中数学 中数学
正确答案：三个
学 学 学 反思：与分段函数相关的问题有作图、求值、求值域、解方程、解不等式、研究单调性及讨论奇
偶性等等。在解决此类问题时，要注意分段函数是一个函数而不是几个函数，如果自变量取值不
数 数 数 能确定，要对自变量取值进行分类讨论，同时还要关注分界点附近函数值变化情况。 中 中 中 易错点 10 误解“导数为 0”与“有极值”的逻辑关系 高 高 高 【问题】:函数 f (x) x3 ax2 bx a2 在 x=1 处有极值 10，求 a,b 的值。
中 中 中 对这些点左右两侧导函数的符号进行判断，误以为使导函数等于 0 的点就是函数的极值点。出现 高 高 高 这种错误的原因就是对导数与极值关系不清。可导函数在一点处的导函数值为 0 只是这个函数在
此点取到极值的必要条件，充要条件是 f (x0 ) 0且f (x)在x0 两侧异号。。
易错点 11 对“导数值符号”与“函数单调性”关系理解不透彻
二、函数与导数
易错点 5 判断函数奇偶性时忽视定义域
【问题】1: 判断函数 y (x 1)(x2 1) 的奇偶性。 x(x 1)
数学 数学 错解：原函数即 y x2 1 ，∴为奇函数 x 高中 高中2
高中数学
高中 高中 高中 高中 高中
中数学 中数学 中数学 中数学 中数学
剖析：只关注解析式化简，忽略定义域。
象与 x 轴在（0，1）内有且只有一个交点，∴ f (0) f (1) 0 ，解得 m 2
剖析：知识残缺，在将方程转化为函数时，应考虑到 f (1) 0 的情况。
学 学 学 正确答案： m,2
高中数 高中数 高中数 【问题】2:函数 y e|ln x| | x 1|的图象大致是（
高中数学最易失分点汇总
高中数学最易失分点汇总01.遗忘空集致误由于空集是任何非空集合的真子集，因此B＝？时也满足B?A.解含有参数的集合问题时，要专门注意当参数在某个范畴内取值时所给的集合可能是空集这种情形。
02.忽视集合元素的三性致误集合中的元素具有确定性、无序性、互异性，集合元素的三性中互异性对解题的阻碍最大，专门是带有字母参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求。
03.混淆命题的否定与否命题命题的“否定”与命题的“否命题”是两个不同的概念，命题p的否定是否定命题所作的判定，而“否命题”是对“若p，则q”形式的命题而言，既要否定条件也要否定结论。
04.充分条件、必要条件颠倒致误关于两个条件A，B，假如A?B成立，则A是B的充分条件，B是A 的必要条件；假如B?A成立，则A是B的必要条件，B是A的充分条件；假如A?B，则A，B互为充分必要条件。
解题时最容易出错的确实是颠倒了充分性与必要性，因此在解决这类问题时一定要依照充分条件和必要条件的概念作出准确的判定。
05.“或”“且”“非”明白得不准致误命题p∨q真？p真或q真，命题p∨q假？p假且q假（概括为一真即真）；命题p∧q真？p真且q真，命题p∧q假？p假或q假（概括为一假即假）；绨p真？p假，绨p假？p真（概括为一真一假）。
求参数取值范畴的题目，也能够把“或”“且”“非”与集合的“并”“交”“补”对应起来进行明白得，通过集合的运算求解。
06.函数的单调区间明白得不准致误在研究函数问题时要时时刻刻想到“函数的图像”，学会从函数图像上去分析问题、查找解决问题的方法。
关于函数的几个不同的单调递增（减）区间，切忌使用并集，只要指明这几个区间是该函数的单调递增（减）区间即可。
07.判定函数奇偶性忽略定义域致误判定函数的奇偶性，第一要考虑函数的定义域，一个函数具备奇偶性的必要条件是那个函数的定义域关于原点对称，假如不具备那个条件，函数一定是非奇非偶函数。
08.函数零点定理使用不当致误假如函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图像是一条连续的曲线，同时有f（a）f（b）＜0，那么，函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，但f（a）f（b）＞0时，不能否定函数y＝f（x）在（a，b）内有零点。
高中数学必修一第一章集合与常用逻辑用语易错知识点总结(带答案)
高中数学必修一第一章集合与常用逻辑用语易错知识点总结单选题1、设集合M={x|0<x<4},N={x|13≤x≤5}，则M∩N=（）A．{x|0<x≤13}B．{x|13≤x<4}C．{x|4≤x<5}D．{x|0<x≤5}答案：B分析：根据交集定义运算即可因为M={x|0<x<4},N={x|13≤x≤5}，所以M∩N={x|13≤x<4},故选：B.小提示：本题考查集合的运算，属基础题，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的基本概念即可求解.2、下列各式中关系符号运用正确的是（）A．1⊆{0,1,2}B．∅⊄{0,1,2}C．∅⊆{2,0,1}D．{1}∈{0,1,2}答案：C分析：根据元素和集合的关系，集合与集合的关系，空集的性质判断即可.根据元素和集合的关系是属于和不属于，所以选项A错误；根据集合与集合的关系是包含或不包含，所以选项D错误；根据空集是任何集合的子集，所以选项B错误，故选项C正确.故选：C.3、对与任意集合A，下列各式①∅∈{∅}，②A∩A=A，③A∪∅=A，④N∈R，正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4答案：C分析：根据集合中元素与集合的关系，集合与集合的关系及交并运算可判断.易知①∅∈{∅}，②A∩A=A，③A∪∅=A，正确④N∈R，不正确，应该是N⊆R故选：C.4、已知集合M={x|x=m−56,m∈Z}，N={x|x=n2−13,n∈Z}，P={x|x=p2+16,p∈Z}，则集合M，N，P的关系为（）A．M=N=P B．M⊆N=PC．M⊆N⊈P D．M⊆N，N∩P=∅答案：B分析：对集合M,N,P中的元素通项进行通分，注意3n-2与3p+1都是表示同一类数，6m-5表示的数的集合是前者表示的数的集合的子集，即可得到结果.对于集合M={x|x=m-56,m∈Z}，x=m-56=6m-56=6(m-1)+16，对于集合N={x|x=n2-13,n∈Z}，x=n2-13=3n-26=3(n-1)+16，对于集合P={x|x=p2+16,p∈Z}，x=p2+16=3p+16，由于集合M,N,P中元素的分母一样，只需要比较其分子即可，且m,n,p∈Z，注意到3(n-1)+1与3p+1表示的数都是3的倍数加1，6(m-1)+1表示的数是6的倍数加1，所以6(m-1)+1表示的数的集合是前者表示的数的集合的子集，所以M∈N=P.故选：B.5、已知集合M={−1,0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M∩N，则P的真子集共有（）A．2个B．3个C．4个D．8个答案：B分析：根据交集运算得集合P，再根据集合P中的元素个数，确定其真子集个数即可. 解：∵M={−1,0,1,2,3,4},N={1,3,5}∴P={1，3}，P的真子集是{1},{3},∅共3个.故选：B.6、已知集合A={x|−1<x≤2}，B={−2,−1,0,2,4}，则(∁R A)∩B=（）A．∅B．{−1,2}C．{−2,4}D．{−2,−1,4}答案：D分析：利用补集定义求出∁R A，利用交集定义能求出(∁R A)∩B．解：集合A={x|−1<x≤2}，B={−2,−1,0,2,4}，则∁R A={x|x≤−1或x>2}，∴(∁R A)∩B={−2,−1,4}．故选：D7、设全集U={−2,−1,0,1,2,3}，集合A={−1,2},B={x∣x2−4x+3=0}，则∁U(A∪B)=（）A．{1,3}B．{0,3}C．{−2,1}D．{−2,0}答案：D分析：解方程求出集合B,再由集合的运算即可得解.由题意，B={x|x2−4x+3=0}={1,3}，所以A∪B={−1,1,2,3},所以∁U(A∪B)={−2,0}.故选：D.8、已知集合A={−1,1,2,4},B={x||x−1|≤1}，则A∩B=（）A．{−1,2}B．{1,2}C．{1,4}D．{−1,4}答案：B分析：方法一：求出集合B后可求A∩B.[方法一]：直接法因为B={x|0≤x≤2}，故A∩B={1,2}，故选：B.[方法二]：【最优解】代入排除法x=−1代入集合B={x||x−1|≤1}，可得2≤1，不满足，排除A、D；x=4代入集合B={x||x−1|≤1}，可得3≤1，不满足，排除C.故选：B.【整体点评】方法一：直接解不等式，利用交集运算求出，是通性通法；方法二：根据选择题特征，利用特殊值代入验证，是该题的最优解．多选题9、定义：若集合A 非空，且是集合B 的真子集，就称集合A 是集合B 的孙子集.下列集合是集合B ={1,2,3}的孙子集的是（ ）A ．∅B ．{1}C ．{1,2}D ．{1,2,3}答案：BC分析：根据孙子集的定义，结合各选项集合与集合B 的关系，即可确定正确选项.A ：∅为集合B 的真子集，当不是非空集，不合要求；B ：{1}为集合B 的真子集，且为非空集，符合要求；C ：{1,2}为集合B 的真子集，且为非空集，符合要求；D ：{1,2,3}为集合B 的子集，但不是真子集，不合要求.故选：BC10、已知p ：x 2+x −6=0；q ：ax +1=0.若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的值可以是（）A ．﹣2B ．−12C ．13D ．−13答案：BC解析：根据集合关系将条件进行化简，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论.由题意得p:A ={−3，2}，当a =0时，q ：B =∅，当a ≠0时，q ：B ={−1a }，因为p 是q 的必要不充分条件，所以B A ，所以a =0时满足题意，当−1a =−3或−1a =2时，也满足题意，解得a =13或a =−12，故选：BC.小提示：本题考查利用集合间的关系判断命题间充分必要条件，属于中档题.11、命题“∃x ∈[1,2],x 2≤a ”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）A ．a ≥1B ．a ≥4C ．a ≥−2D ．a =4答案：BD分析：求出给定命题为真命题的a的取值集合，再确定A，B，C，D各选项所对集合哪些真包含于这个集合而得解.命题“∃x∈[1,2],x2≤a"等价于a≥1，即命题“∃x∈[1,2],x2≤a”为真命题所对集合为[1,+∞)，所求的一个充分不必要条件的选项所对的集合真包含于[1,+∞)，显然只有[4,+∞)[1,+∞)，{4}[1,+∞),所以选项AC不符合要求，选项BD正确.故选：BD填空题12、含有三个实数的集合可表示为{a,b,1}，也可以示为{a2,a+b,0}，则a2013+b2014的值为____.a答案：−1分析：根据集合相等的定义及集合中元素的互异性即可求解.解：由题意，若a=a2，则a=0或1，检验可知不满足集合中元素的互异性，所以a=a+b，则b=0，所以a2=1，则a=−1，故a2013+b2014=−1.所以答案是：−1.13、非空有限数集S满足：若a，b∈S，则必有a2，b2，ab∈S．则满足条件且含有两个元素的数集S=______．（写出一个即可）答案：{0,1}（或{−1,1}）分析：设S={a,b}，结合题意与集合的性质分析即可.不妨设S={a,b}，根据题意有a2，ab，b2∈S所以a2，b2，ab中必有两个是相等的．若a2=b2，则a=−b，故ab=−a2，又a2=a或a2=b=−a，所以a=0（舍去）或a=1或a=−1，此时S={−1,1}．若a2=ab，则a=0，此时b2=b，故b=1，此时S={0,1}．若b2=ab，则b=0，此时a2=a，故a=1，此时S={0,1}．综上，S ={0,1}或S ={−1,1}．所以答案是：{0,1}（或{−1,1}）14、若“x >3”是“x >a “的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是_____.答案：a <3解析：根据充分不必要条件的含义，即可求出结果.因为“x >3”是“x >a ”的充分不必要条件， ∴a <3．所以答案是：a <3．小提示：本题考查了不等式的意义、充分、必要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 解答题15、已知a ∈R ，集合A ={x ∈R |ax 2−3x +2=0}.(1)若A 是空集，求实数a 的取值范围；(2)若集合A 中只有一个元素，求集合A ；(3)若集合A 中至少有一个元素，求实数a 的取值范围.答案：(1)(98,+∞)；(2)当a =0时，A ={23}；当a =98时，A ={43}；(3)(−∞,98].分析：（1）根据空集，结合一元二次方程的判别式求参数范围；（2）（3）讨论a =0、a ≠0，结合集合元素个数及一元二次方程判别式求集合或参数范围.（1）若A 是空集，则关于x 的方程ax 2−3x +2=0无解，此时a ≠0，且Δ=9−8a <0，所以a >98，即实数a 的取值范围是(98,+∞).（2）当a =0时，A ={23}，符合题意；当a ≠0时，关于x 的方程ax 2−3x +2=0应有两个相等的实数根，则Δ=9−8a =0，得a =98，此时A ={43}，符合题意. 综上，当a =0时A ={23}；当a =98时A ={43}. （3）当a =0时，A ={23}，符合题意；当a ≠0时，要使关于x 的方程ax 2−3x +2=0有实数根，则Δ=9−8a ≥0，得a ≤98. 综上，若集合A 中至少有一个元素，则实数a 的取值范围为(−∞,98].。
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高中数学易错点一、集合、简易逻辑、函数1． 研究集合必须注意集合元素的特征即三性(确定,互异,无序); 已知集合A={x,xy,lgxy},集合B={0,｜x ｜,y},且A=B,则x+y=2． 研究集合,首先必须弄清代表元素,才能理解集合的意义。
已知集合M={y ｜y=x 2 ,x ∈R},N={y ｜y=x 2+1,x ∈R},求M ∩N ；与集合M={（x,y ）｜y=x 2 ,x ∈R},N={(x,y)｜y=x 2+1,x∈R}求M ∩N 的区别。
3． 集合 A 、B ，∅=⋂B A 时，你是否注意到“极端”情况：∅=A 或∅=B ；求集合的子集B A ⊆时是否忘记∅. 例如：()()012222<--+-x a x a 对一切R x ∈恒成立，求a 的取植范围，你讨论了a ＝2的情况了吗？4． 对于含有n 个元素的有限集合M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为，n2，12-n ，12-n .22-n如满足条件}4,3,2,1{}1{⊂⊆M 的集合M 共有多少个5． 解集合问题的基本工具是韦恩图; 某文艺小组共有10名成员,每人至少会唱歌和跳舞中的一项,其中7人会唱歌跳舞5人会,现从中选出会唱歌和会跳舞的各一人，表演一个唱歌和一个跳舞节目,问有多少种不同的选法？ 6． 两集合之间的关系。
},14{},,12{Z k k x x N Z k k x x M ∈±==∈+==7． (C U A)∩( C U B) = C U (A ∪B) (C U A)∪( C U B) = C U (A ∩B)；B B A = A B ⊆⇒； 8、可以判断真假的语句叫做命题. 逻辑连接词有“或”、“且”和“非”. p 、q 形式的复合命题的真值表:p q P 且q P 或q 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 假 真 假假假假9、 命题的四种形式及其相互关系原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假.10、你对映射的概念了解了吗？映射f ：A →B 中，A 中元素的任意性和B 中与它对应元素的唯一性，哪几种对应能够成映射？ 11、函数的几个重要性质：①如果函数()x f y =对于一切R x ∈，原命题 若p 则q 逆命题 若q 则p否命题 若﹃ｐ则逆否命题 若﹃ｑ则﹃都有()()x a f x a f -=+或f （2a-x ）=f （x ），那么函数()x f y =的图象关于直线a x =对称.②函数()x f y =与函数()x f y -=的图象关于直线0=x 对称； 函数()x f y =与函数()x f y -=的图象关于直线0=y 对称； 函数()x f y =与函数()x f y --=的图象关于坐标原点对称.③若奇函数()x f y =在区间()+∞,0上是递增函数，则()x f y =在区间()0,∞-上也是递增函数． ④若偶函数()x f y =在区间()+∞,0上是递增函数，则()x f y =在区间()0,∞-上是递减函数． ⑤函数()a x f y +=)0(>a 的图象是把函数()x f y =的图象沿x 轴向左平移a 个单位得到的； 函数()a x f y +=()0(<a 的图象是把函数()x f y =的图象沿x 轴向右平移a 个单位得到的； 函数()x f y =+a )0(>a 的图象是把函数()x f y =助图象沿y 轴向上平移a 个单位得到的;函数()x f y =+a )0(<a 的图象是把函数()x f y =助图象沿y 轴向下平移a 个单位得到的. 12、求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，你标注了该函数的定义域了吗？ 13、求函数的定义域的常见类型记住了吗？函数y=2)3lg()4(--x x x 的定义域是 ；复合函数的定义域弄清了吗？函数)(x f 的定义域是[0,1],求)(log 5.0x f 的定义域. 函数)(x f 的定义域是[b a ,],,0>->a b 求函数)()()(x f x f x F -+=的定义域14、含参的二次函数的值域、最值要记得讨论。
若函数y =a sin 2x +2cos x -a -2(a ∈R )的最小值为m , 求m 的表达15、函数与其反函数之间的一个有用的结论：设函数y=f(x)的定义域为A,值域为C,则 ①若a ∈A,则a=f -1 [f(a)]; 若b ∈C,则b=f[f -1 (b)]; ②若p ∈C,求f -1 (p)就是令p=f(x),求x.(x ∈A) 即()().b f 1a b a f =⇔=-互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x 对称,16、互为反函数的两个函数具有相同的单调性;原函数()x f y =在区间[]a a ,-上单调递增，则一定存在反函数，且反函数()x fy 1-=也单调递增；但一个函数存在反函数，此函数不一定单调．17、 判断一个函数的奇偶性时，你注意到函数的定义域是否关于原点对称这个必要非充分条件了吗？ 在公共定义域内:两个奇函数的乘积是偶函数;两个偶函数的乘积是偶函数;一个奇函数与一个偶函数的乘积是奇函数;18、根据定义证明函数的单调性时，规范格式是什么？(取值, 作差, 判正负.)可别忘了导数也是判定函数单调性的一种重要方法。
19、你知道函数()0>+=a xa x y 的单调区间吗？（该函数在(]a -∞-,和[)+∞,a 上单调递增；在[)0,a -和(]a ,0上单调递减）这可是一个应用广泛的函数！20、解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗？（真数大于零，底数大于零且不等于1）字母底数还需讨论呀. 21、对数的换底公式及它的变形，你掌握了吗？（b b abb a n ac c a n log log ,log log log ==） 22、你还记得对数恒等式吗？（b aba =log ）23、 “实系数一元二次方程02=++c bx ax 有实数解”转化为“042≥-=∆ac b ”，你是否注意到必须0≠a ；当a=0时，“方程有解”不能转化为042≥-=∆ac b ．若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，你是否考虑到二次项系数可能为零的情形？二、三角、不等式 24、 三角公式记住了吗？两角和与差的公式________________； 二倍角公式:_________________ ; 万能公式 : ______________;正切半角公式:____________________；解题时本着“三看”的基本原则来进行:“看角,看函数,看特征”,基本的技巧有:巧变角,公式变形使用,化切割为弦,用倍角公式将高次降次, 25、 在解三角问题时，你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗？正切函数在整个定义域内是否为单调函数？你注意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗？ 26、在三角中，你知道1等于什么吗？（x x x x 2222tan sec cos sin 1-=+=====⋅=0cos 2sin4tancot tan ππx x 这些统称为1的代换) 常数 “1”的种种代换有着广泛的应用．（还有同角关系公式：商的关系，倒数关系，平方关系；诱导公试：奇变偶不变，符号看象限） 27、 在三角的恒等变形中，要特别注意角的各种变换． （如,)(αβαβ-+=,)(αβαβ+-=⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+βαβαβα222等）28、 你还记得三角化简题的要求是什么吗？项数最少、函数种类最少、分母不含三角函数、且能求出值的式子，一定要算出值来） 29、 你还记得三角化简的通性通法吗？（切割化弦、降幂公式、用三角公式转化出现特殊角. 异角化同角，异名化同名，高次化低次）；你还记得降幂公式吗？cos 2x=(1+cos2x)/2;sin 2x=(1-cos2x)/2 30、 你还记得某些特殊角的三角函数值吗？（41518sin ,42615cos 75sin ,42675cos 15sin -=︒+=︒=︒-=︒=︒） 31、 你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗？(lr S r l 21,==扇形α) 32、辅助角公式：()θ++=+x b a x b x a sin cos sin 22(其中θ角所在的象限由a,b 的符号确定，θ角的值由ab=θtan 确定)在求最值、化简时起着重要作用. 33、 三角函数（正弦、余弦、正切）图象的草图能迅速画出吗？能写出他们的单调区、对称轴，取最值时的x 值的集合吗？（别忘了k ∈Z ） 三角函数性质要记牢。
函数y=++⋅)sin(ϕωx A k 的图象及性质：振幅|A|，周期T=ωπ2, 若x=x 0为此函数的对称轴，则x 0是使y 取到最值的点，反之亦然，使y 取到最值的x 的集合为——————————， 当0,0>>A ω时函数的增区间为————— ，减区间为—————；当0<ω时要利用诱导公式将ω变为大于零后再用上面的结论。
五点作图法：令ϕω+x 依次为ππππ2,23,,2求出x 与y ，依点()y x ,作图 34、三角函数图像变换还记得吗？平移公式 （1）如果点 P （x ，y ）按向量()k h a ,=→平移至P ′（x ′，y ′），则⎪⎩⎪⎨⎧+=+=.,''k y y h x x （2） 曲线f （x ，y ）=0沿向量()k h a ,=→平移后的方程为f （x-h ，y-k ）=035、 有关斜三角形的几个结论：(1) 正弦定理: (2) 余弦定理: (3)面积公式36、 在用反三角函数表示直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等时，你是否注意到它们各自的取值范围及意义？①异面直线所成的角、直线与平面所成的角、向量的夹角的取值范围依次是],0[],2,0[,2,0πππ⎥⎦⎤⎝⎛.②直线的倾斜角、1l 到2l 的角、1l 与2l 的夹角的取值范围依次是]2,0(),,0[),,0[πππ．③反正弦、反余弦、反正切函数的取值范围分别是)2,2(],,0[],2,2[πππππ--．37、同向不等式能相减，相除吗？38、 不等式的解集的规范书写格式是什么？（一般要写成集合的表达式） 39、分式不等式()()()0≠>a a x g x f 的一般解题思路是什么？（移项通分，分子分母分解因式，x 的系数变为正值，奇穿偶回） 40、 解指对不等式应该注意什么问题？（指数函数与对数函数的单调性, 对数的真数大于零.） 41、 含有两个绝对值的不等式如何去绝对值？(一般是根据定义分类讨论) 42、利用重要不等式ab b a 2≥+ 以及变式22⎪⎭⎫⎝⎛+≤b a ab 等求函数的最值时，你是否注意到a ，b +∈R （或a ，b 非负），且“等号成立”时的条件，积ab 或和a ＋b 其中之一应是定值？(一正二定三相等) 43、) R b , (a , ba 2ab2222+∈+≥≥+≥+ab b a b a (当且仅当c b a ==时，取等号）； a 、b 、c ∈R ，ca bc ab c b a ++≥++222（当且仅当c b a ==时，取等号）；44、 在解含有参数的不等式时，怎样进行讨论？（特别是指数和对数的底10<<a 或1>a ）讨论完之后，要写出：综上所述，原不等式的解集是……． 45、 解含参数的不等式的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．” 46、 对于不等式恒成立问题，常用的处理方式？（转化为最值问题） 三、数列 47、等差数列中的重要性质：（1）若q p n m +=+，则q p n m a a a a +=+；（2）仍成等差数列数列}{ka },{a },{n 2n 12b a n +-；仍成等差数列n 23n n 2n n S S , S S , S --（3）若三数成等差数列，则可设为a-d 、a 、a+d ；若为四数则可设为a-d 23、a-d 21、a+d 21、a+d 23；（4）在等差数列中,求S n 的最大(小)值,其思路是找出某一项,使这项及它前面的项皆取正(负)值或0,而它后面各项皆取负(正)值,则从第一项起到该项的各项的和为最大(小).即:当a 1 >0,d<0,解不等式组 a n ≥0 a n+1 ≤0 可得S n 达最大值时的n 的值;当a 1 <0,d>0,解不等式组 a n ≤0 a n+1 ≥0 可得S n 达最小值时的n 的值;（5）．若a n ,b n 是等差数列,S n ,T n 分别为a n ,b n 的前n 项和,则1m 21m 2m m T S b a --=。