高考数学一轮复习 第10章 概率 第1节 随机事件的概率教师用书 文 新人教A版

第十章概率[深研高考·备考导航]为教师授课、学生学习提供丰富备考资源[五年考情]综合近5年的全国卷高考试题，我们发现高考命题在本章呈现以下规律：1．从考查题型看：一般有1个客观题或1个解答题；从考查分值看，占5～17分，基础题主要考查对基础知识和基本方法的掌握，中档题主要考查应用意识、转化与化归思想及运算求解能力．2．从考查知识点看：主要考查随机事件的概率、古典概型、几何概型．3．从命题思路上看：(1)随机事件的概率与统计知识相结合考查．(2)概率的计算主要考查古典概型的应用．[导学心语]1．全面系统复习，深刻理解知识本质(1)深刻把握随机事件、互斥事件、对立事件、古典概型、几何概型的概念，复习时可以通过选择一些易错易混的小题进行强化．(2)重视古典概型概率公式、几何概型概率公式、互斥及对立事件概率公式的理解和应用，注意公式适用的条件．2．熟练掌握解决以下问题的方法与规律(1)随机事件的概率、互斥事件概率、对立事件概率的求法．(2)古典概型概率与几何概型概率的计算．利用强化训练，总结规律方法，提升认识．3．重视转化与化归思想的应用(1)需要将实际问题的概率计算转化为某概率类型进而求解．(2)将古典概型概率计算转化为计数问题；将几何概型概率计算转化为长度、面积的计算；将复杂事件的概率计算转化为互斥事件或对立事件的概率计算等．(3)将图表信息转化为概率计算需要的数量，进而求解，并重视与统计知识交汇渗透．第一节 随机事件的概率———————————————————————————————— [考纲传真] 1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义及频率与概率的区别.2.了解两个互斥事件的概率加法公式．1．概率和频率(1)在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例f n (A )＝n An为事件A 出现的频率．(2)对于给定的随机事件A ，由于事件A 发生的频率f n (A )随着试验次数的增加稳定于概率P (A )，因此可以用频率f n (A )来估计概率P (A )．2．事件的关系与运算(1)概率的取值范围：0≤P (A )≤1. (2)必然事件的概率P (E )＝1. (3)不可能事件的概率P (F )＝0. (4)互斥事件概率的加法公式．①如果事件A 与事件B 互斥，则P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )； ②若事件B 与事件A 互为对立事件，则P (A )＝1－P (B )．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)事件发生的频率与概率是相同的．( )(2)在大量的重复实验中，概率是频率的稳定值．( )(3)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．( )(4)6张奖券中只有一张有奖，甲、乙先后各抽取一张，则甲中奖的概率小于乙中奖的概率．( )[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×2．(教材改编)袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则①恰有1个白球和全是白球；②至少有1个白球和全是黑球；③至少有1个白球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个黑球．在上述事件中，是对立事件的为( ) A ．① B ．② C ．③D ．④B [至少有1个白球和全是黑球不同时发生，且一定有一个发生，∴②中两事件是对立事件．]3．(2016·天津高考)甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，甲获胜的概率是13，则甲不输的概率为( )A.56 B.25 C.16D.13A [事件“甲不输”包含“和棋”和“甲获胜”这两个互斥事件，所以甲不输的概率为12＋13＝56.] 4．(2017·郑州调研)集合A ＝{2,3}，B ＝{1,2,3}，从A ，B 中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是________．13[从A ，B 中各取一个数有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)共6种情况， 其中和为4的有两种情况(2,2)，(3,1)， 故所求事件的概率P ＝26＝13.]5．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是________．(填序号)①至多有一次中靶；②两次都中靶；③只有一次中靶；④两次都不中靶 ④(2017·中山模拟)从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．上述事件中，是对立事件的是( )A ．①B ．②④C ．③D ．①③C [从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数有3种情况：一奇一偶，两个奇数，两个偶数， 其中“至少有一个是奇数”包含一奇一偶或两个奇数这两种情况，它与两个都是偶数是对立事件．又①②④中的事件可以同时发生，不是对立事件．][规律方法] 1.本题中准确理解恰有两个奇数(偶数)，一奇一偶，至少有一个奇数(偶数)是求解的关键，必要时可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪些试验结果，从而断定所给事件的关系．2．准确把握互斥事件与对立事件的概念．(1)互斥事件是不可能同时发生的事件，但可以同时不发生．(2)对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件有且仅有一个发生． [变式训练1] 口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小球，从中取出2球，事件A ＝“取出的2球同色”，B ＝“取出的2球中至少有1个黄球”，C ＝“取出的2球至少有1个白球”，D ＝“取出的2球不同色”，E ＝“取出的2球中至多有1个白球”．下列判断中正确的序号为________.【导学号：31222392】①A 与D 为对立事件；②B 与C 是互斥事件；③C 与E 是对立事件；④P (C ∪E )＝1；⑤P (B )＝P (C )．①④ [当取出的2个球中一黄一白时，B 与C 都发生，②不正确．当取出的2个球中恰有一个白球时，事件C 与E 都发生，则③不正确．显然A 与D 是对立事件，①正确；C ∪E 为必然事件，④正确．由于P (B )＝45，P (C )＝35，所以⑤不正确．]人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：(2)记B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P (B )的估计值；(3)求续保人本年度平均保费的估计值．[解] (1)事件A 发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为60＋50200＝0.55，故P (A )的估计值为0.55.4分(2)事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为30＋30200＝0.3，故P (B )的估计值为0.3.8分 (3)由所给数据得分调查的200名续保人的平均保费为0.85a ×0.30＋a ×0.25＋1.25a ×0.15＋1.5a ×0.15＋1.75a ×0.10＋2a ×0.05＝1.192 5a .因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a .12分[规律方法] 1.解题的关键是根据统计图表分析满足条件的事件发生的频数，计算频率，用频率估计概率．2．频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数(概率)，因此有时也用频率来作为随机事件概率的估计值．[变式训练2] (2017·西安质检)随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：．．．(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天．．开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率．[解] (1)由4月份天气统计表知，在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，2分 以频率估计概率，在4月份任选一天，西安市不下雨的概率为2630＝1315.5分(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如，1日与2日，2日与3日等)．这样，在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率f ＝1416＝78.10分以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为78.12分超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.(1)确定x ，y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；【导学号：31222393】(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率)．[解] (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧25＋y ＋10＝100×55%，x ＋30＝45，解得x ＝15，且y ＝20.2分该超市所有顾客一次性购物的结算时间组成一个总体，100位顾客一次购物的结算时间视为总体的一个容量为100的简单随机抽样，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计．又x ＝1×15＋1.5×30＋2×25＋20×2.5＋10×3100＝1.9，∴估计顾客一次购物的结算时间的平均值为1.9分钟.5分(2)设B ，C 分别表示事件“一位顾客一次购物的结算时间分别为2.5分钟、3分钟”．设A 表示事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．”7分将频率视为概率，得P (B )＝20100＝15，P (C )＝10100＝110. ∵B ，C 互斥，且A ＝B ＋C ，∴P (A )＝P (B ＋C )＝P (B )＋P (C )＝15＋110＝310，10分因此P (A )＝1－P (A )＝1－310＝710，∴一位顾客一次购物结算时间不超过2分钟的概率为0.7.12分[规律方法] 1.(1)求解本题的关键是正确判断各事件的关系，以及把所求事件用已知概率的事件表示出来．(2)结算时间不超过2分钟的事件，包括结算时间为2分钟的情形，否则会计算错误． 2．求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率再求和；二是间接法，先求该事件的对立事件的概率，再由P (A )＝1－P (A )求解．当题目涉及“至多”“至少”型问题，多考虑间接法．[变式训练3] 某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A ，B ，C ，求：(1)P (A )，P (B )，P (C )； (2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率． [解] (1)P (A )＝11 000，P (B )＝101 000＝1100，2分 P (C )＝501 000＝120. 故事件A ，B ，C 的概率分别为11 000，1100，120.5分 (2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M ，则M ＝A ∪B ∪C .∵A ，B ，C 两两互斥，∴P (M )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C ) ＝1＋10＋501 000＝611 000，8分故1张奖券的中奖概率约为611 000.(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N ，则事件N 与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，∴P (N )＝1－P (A ∪B )＝1－⎝⎛⎭⎪⎫11 000＋1100＝9891 000，故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891 000.12分[思想与方法]1．对于给定的随机事件A ，由于事件A 发生的频率f n (A )随着试验次数的增加稳定于概率P (A )，因此可以用频率f n (A )来估计概率P (A )．2．对立事件不仅两个事件不能同时发生，而且二者必有一个发生． 3．求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：(1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算．(2)间接法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式P (A )＝1－P (A )，即运用逆向思维(正难则反)．[易错与防范]1．易将概率与频率混淆，频率随着试验次数变化而变化，而概率是一个常数． 2．正确认识互斥事件与对立事件的关系：对立事件是特殊的互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．3．需准确理解题意，特别留心“至多……”“至少……”“不少于……”等语句的含义．课时分层训练(六十一) 随机事件的概率A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向．事件“甲向南”与事件“乙向南”是( )A ．互斥但非对立事件B ．对立事件C ．相互独立事件D ．以上都不对A [由于每人一个方向，故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但不是对立事件．]2．(2017·湖南衡阳模拟)从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A ＝{抽到一等品}，事件B ＝{抽到二等品}，事件C ＝{抽到三等品}，且已知P (A )＝0.65，P (B )＝0.2，P (C )＝0.1，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为( )A ．0.7B ．0.65C ．0.35D ．0.3C [∵事件A ＝{抽到一等品}，且P (A )＝0.65，∴事件“抽到的产品不是一等品”的概率为P ＝1－P (A )＝1－0.65＝0.35.]3．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为17，都是白子的概率是1235，则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( )【导学号：31222394】A.17B.1235C.1735D ．1C [设“从中取出2粒都是黑子”为事件A ，“从中取出2粒都是白子”为事件B ，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C ，则C ＝A ∪B ，且事件A 与B 互斥，故P (C )＝P (A )＋P (B )＝17＋1235＝1735.]4．某袋中有编号为1,2,3,4,5,6的6个球(小球除编号外完全相同)，甲先从袋中摸出一个球，记下编号后放回，乙再从袋中摸出一个球，记下编号，则甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是( )A.15B.16C.56D.3536C [设a ，b 分别为甲、乙摸出球的编号．由题意，摸球试验共有n ＝6×6＝36种不同结果，满足a ＝b 的基本事件共有6种，所以摸出编号不同的概率P ＝1－636＝56.]5.如图10­1­1所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是( )图10­1­1A.25B.710C.45D.910C [设被污损的数字为x ，则x 甲＝15(88＋89＋90＋91＋92)＝90， x 乙＝15(83＋83＋87＋99＋90＋x )，若x 甲＝x 乙，则x ＝8.若x 甲>x 乙，则x 可以为0,1,2,3,4,5,6,7， 故P ＝810＝45.]二、填空题6．给出下列三个命题，其中正确命题有________个．①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是37；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率．【导学号：31222395】0 [①错，不一定是10件次品；②错，37是频率而非概率；③错，频率不等于概率，这是两个不同的概念．]7．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________.【导学号：31222396】14[20组随机数中，恰有两次命中的有5组，因此该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为P ＝520＝14.]8．抛掷一枚均匀的正方体骰子(各面分别标有数字1,2,3,4,5,6)，事件A 表示“朝上一面的数是奇数”，事件B 表示“朝上一面的数不超过2”，则P (A ＋B )＝________.23 [将事件A ＋B 分为：事件C “朝上一面的数为1,2”与事件D “朝上一面的数为3,5”．则C ，D 互斥， 且P (C )＝13，P (D )＝13，∴P (A ＋B )＝P (C ＋D )＝P (C )＋P (D )＝23.]三、解答题9．(2015·北京高考节选)某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.(1)(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率．[解] (1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的频率为2001 000＝0.2.5分(2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100＋2001 000＝0.3.12分10．某班选派5人，参加学校举行的数学竞赛，获奖的人数及其概率如下：(1)(2)若获奖人数最多4人的概率为0.96，最少3人的概率为0.44，求y ，z 的值． [解] 记事件“在竞赛中，有k 人获奖”为A k (k ∈N ，k ≤5)，则事件A k 彼此互斥.1分 (1)∵获奖人数不超过2人的概率为0.56， ∴P (A 0)＋P (A 1)＋P (A 2)＝0.1＋0.16＋x ＝0.56， 解得x ＝0.3.5分(2)由获奖人数最多4人的概率为0.96，得P (A 5)＝1－0.96＝0.04，即z ＝0.04.8分由获奖人数最少3人的概率为0.44，得P (A 3)＋P (A 4)＋P (A 5)＝0.44， 即y ＋0.2＋0.04＝0.44， 解得y ＝0.2.12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．掷一个骰子的试验，事件A 表示“出现小于5的偶数点”，事件B 表示“出现小于5的点数”，若B 表示B 的对立事件，则一次试验中，事件A ＋B 发生的概率为( )A.13B.12C.23D.56C [掷一个骰子的试验有6种可能结果．依题意P (A )＝26＝13，P (B )＝46＝23，∴P (B )＝1－P (B )＝1－23＝13.∵B 表示“出现5点或6点”的事件， 因此事件A 与B 互斥，从而P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝13＋13＝23.]2．某城市2017年的空气质量状况如表所示：100<T ≤150时，空气质量为轻微污染，则该城市2017年空气质量达到良或优的概率为________．35 [由题意可知2017年空气质量达到良或优的概率为P ＝110＋16＋13＝35.] 3．(2017·贵阳质检)某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：(1) (2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．[解] (1)设A 表示事件“赔付金额为3 000元”，B 表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得P (A )＝1501 000＝0.15，P (B )＝1201 000＝0.12.2分由表格知，赔付金额大于投保金额即事件A ＋B 发生， 且A ，B 互斥，所以P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝0.15＋0.12＝0.27， 故赔付金额大于投保金额的概率为0.27.5分(2)设C 表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000＝100(辆)，而赔付金额为 4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)，10分所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为24100＝0.24，因此，由频率估计概率得P(C)＝0.24.12分。