人教B版必修4_三角函数的定义

三角函数的定义
高一备课组 2014-4-15
复习引入
1.角的概念 2.初中时，我们学习了锐角的三角函数， 思考：那时是如何定义三角函数的？
提示：在直角三角形中考虑锐角的三 角函数
A
在Rt△ABC中，∠C=90° ∠A、∠B、∠C的对边分别 为a、b、c， a 则有 sinA= c c
b
b cosA= c
则b的值是（ A ） （A）3 （B）－3 （C）±3 （D）5 解：r= b 2 16 解得b=3.
x b 3 cosα= 2 r 5 b 16
练2. 已知角α的终边上一点P(－
y≠0)，且sinα= 解：sinα=
2 y 4
3，y)(其中
，求cosα和tanα.
y y 2y r 4 3 y2
练习
4.函数y=
| sin x | sin x
cos x + | cos x |
+
| tan x | 的值域是 tan x
(C )
(A) {－1，1} (C) {－1，3}
(B) {－1，1，3} (D) {1，3}
5.已知：cos 0, tan 0.
1求角的集合；
2求角 的终边所在的象限； 2 3试判断 sin , cos , tan 的符号 2 2 2
3 csc 2
=－1，sec
3 2
3 不存在，cot 2
=0.
例3 求5 的正弦、余弦和正切值.
3
y
5 3
x
1 P( ,2 3 ) 2
O
例4已知角的终边在y=-2x上，求角的六个三角函数值？
4 例5已知角的终边经过点P -8m， -3 且cos =- , 求m的值？ 5
3 练习1. 角α的终边过点P(－b，4)， 且cosα= 5
11 （3）tan(－672º )；（4） tan( ) 3
解： （1）250º 在第三象限，所以cos250º <0.
(2) － 4 在第四象限，所以sin(－ 4 )<0.
11 (6) tan( ) + 6
(3) －672º 在第一象限，所以tan(－672º )>0. (4)
11 3
)
(C)等于0
(D)不确定
练2、若三角形的两内角，满足sincos<0， 则此三角形必为（ A. 锐角 以上三种情况都可能
练3.若α是第三象限角，则下列各式中不成 立的是（
B）
B. tansin<0 D. cotcsc<0
A. sin+cos<0 C. coscot<0
+ 二正 弦
sin
_
_
csc sec cot
tan
+ + 一正
O
x 0, y 0
sin
+
x
x 0, y 0
csc sec
cos
_ _ 三切
cot
tan
csc sec cot
cos
tan
+
_
y （ -） （+ ） o x （ +） （ - ） tan
探究点一
本 课 时 栏 目 开 关
三角函数的定义域
任意角的三角函数是在坐标系中定义的，角的范围是使函数有 意义的实数集．根据任意角三角函数的定义可知正弦函数 y＝ sin x 的定义域是 R；余弦函数 y＝cos x 的定义域是 R；正切函 π 数 y＝tan x 的定义域是{x|x∈R，且 x≠kπ＋ ，k∈Z}．在此基 2
y 3 13 r 13
cosα=
tanα=
secα=
y 3 x 2 r 13 x 2
cotα=
cscα=
x 2 13 r 13 x 2 y 3
r 13 y 3
例2. 求下列各角六个三角函数值： 3 （1）0；（2）π；（3）
2
解：（1）因为当α=0时，x=r，y=0 .所以 sin0=0，cos0=1，tan0=0， csc0不存在，sec0=1，cot0不存在.
11 在第四象限，所以tan( 3 )<0.
例1.函数
解析：
y tan(2 x ) 6

的定义域

2 k , k Z｝
y tan x的定义域为｛x x
依题，则有
2x

6


2
k (k Z )
k 可得x , (k Z ) 3 2
该函数的定义域为｛x x
OMP
∽
OM P
一、任意角的三角函数定义
P (x,y)
r α
x y
M
定义： y
P(x,y)
y
1)比值 r 叫做α 的正弦， y 记作sinα ,即sinα = r ;
α x
1 cos 1 sin
x 2)比值 r 叫做α 的余弦， x 4)角α的正割: secα= 记作cosα ,即cosα = ; r 5)角α的余割：cscα=


k , k Z｝ 3 2
例3.设sinθ<0且tanθ>0，确定θ是第几象限的 角。 解：因为sinθ<0，所以θ可能是第三、四象限 的角，又tanθ>0，θ可能是第一、三象限的角， 综上所述，θ是第三象限的角。
练习1. sin2· cos3· tan4的值 ( B (A)大于0 (B)小于0
π {x|x∈R 且 x≠kπ＋ ， (1)函数 y＝sin x＋tan x 的定义域为________________________ 2 k∈Z} ． ________
础上，可以求一些简单的三角函数的定义域．例如：
{x|2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z} ． (2)函数 y＝ sin x的定义域为_______________________
本 课 时 栏 目 开 关
π π {x|2kπ－2<x<2kπ＋2，k∈Z} ． (3)函数 y＝lg cos x 的定义域为__________________________
9 例2. 确定下列三角函数值的符号: (5) cos ; + 4 （1）cos250º ; （2） sin( 4 )
3)比值 叫做α 的正切， y 记作tanα ,即tanα= x ;
y x
1 6)角α的余切：cotα= tan
终边相同的角，三角函数值分别相等。
它们只依赖于α的大小，与点P在α终边上的位置无关。
例1.已知角α的终边过点P（2，－3），求α的 六个三角函数值。 解：因为x=2，y=－3，所以 r 13 sinα=
6 4
15 3
15 3
解得y2=5，y= 5 当y= 5 时，cosα= ,tanα=
6 4 ,tanα=
当y=－ 5 时，cosα=
二、三角函数的定义域
三角函数 定义域
r>0 r>0 x≠0
≠
sinα x cosα r y tanα x
y r
x y
R R
{α∣α≠kπ+

2
,k Z}
+ 四余 弦
_
探
究
1.根据三角函数的定义，确定它们的定义域 （弧度制）
三角函数 定义域
cos tan
sin
R
k ( k Z ) 2
R
2.确定三角函数值在各象限的符号
y （+） + o x （ - ）（ - ）
sin
y （ - ）（ + ） o x （ - ）（ + ） cos
(2) π； 解：（2）因为当α=π时，x=－r，y=0 .所以 sinπ=0，cosπ=－1，tanπ=0， Cscπ不存在，secπ=－1，cotπ不存在.
(3)
3 2
3 解：（3）因为当α= 2 时，x=0，y=－r .所以 3 3 3 sin 2 =－1，cos =0，tan 2 不存在， 2
a tanA= b
C
a
B
cotA= b a
新知探索：
将锐角α置于直角坐标系内 y
N
P(x,y)
r α
O X M
y
x
α为锐角
记∠MOP=α,P(x,y)是角α终边上不 同于原点的任意一点，MP⊥Ox于点M，则 OM=x,MP=y, r=OP=
x 2 y 2 ＞0
根据锐角三角函数的定义可知， sinα=
小结
1.任意角的三角函数的定义（六个） 2.各个三角函数的定义域
3.三角函数在各象限中的符号
作业
1.教材P17-18课后习题 2.名师一号对应习题 3.预习 ＊1.2.2 单位圆与三角函数线
P r y O x M
思考：
y r
cosα= x r 在终边上移动点 P y tanα= 的位置,这三个比值 x
会改变吗?
诱思探究 如果改变点Ｐ在终边上的位置，这三个比值会改变吗？
y
P
P(a,b)
﹒
M

O
M
x
M P MP sin OP OP OM OM cos OP OP MP M P tan OM OM
GO
cotα y 0 r secα x x 0 r cscα y y 0
≠ ≠
} {α∣α≠kπ,k Z
{α∣α≠kπ+

,k 2
Z}
} {α∣α≠kπ,k Z