人民教育A版选修2-1 3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示导学案导学案
人教新课标版数学高二选修2-1导学案 3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示学生版
3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示【学习目标】1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题；2.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念；3.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标．【学习过程】一、自主学习知识点一 空间向量基本定理(1)如果三个向量a ，b ，c 共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ，把{a ，b ，c }叫做空间的一个基底，a ，b ，c 叫做基向量，空间中任何三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．(2)基底选定后，空间所有向量均可由基底唯一表示，构成基底的三个向量a ，b ，c 中，没有零向量．(3)单位正交基底：如果{e 1，e 2，e 3}为单位正交基底，则这三个基向量的位置关系是两两垂直，长度为1；且向量e 1，e 2，e 3有公共的知识点二 空间向量的坐标表示(1)设e 1，e 2，e 3为有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量(我们称它们为单位正交基底)，以e 1，e 2，e 3的公共起点O 为原点，分别以e 1，e 2，e 3的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz ，那么对于空间任意一个向量p ，一定可以把它平移，使它的起点与原点O 重合，得到向量OP →＝p ，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x e 1＋y e 2＋z e 3，我们把x ，y ，z 称作向量p 在单位正交基底e 1，e 2，e 3下的坐标，记作p ＝(x ，y ，z )，此时向量p 的 恰是点P 在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标(2)向量p 的坐标是把向量p 的起点平移到坐标原点O ，则OP →的终点P 的坐标就是向量p的坐标，这样就把空间向量坐标化了.二、合作探究问题1 平面向量基本定理的内容是什么？问题2 平面向量的坐标是如何表示的？探究点1 空间向量的基底例1 若{a ，b ，c }是空间的一个基底．试判断{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }能否作为该空间的一个基底？探究点2 用基底表示向量例2 如图所示，在平行六面体ABCD-A ′B ′C ′D ′中，AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′→＝c ，P 是CA ′的中点，M 是CD ′的中点，N 是C ′D ′的中点，点Q 在CA ′上，且CQ ∶QA ′＝4∶1，用基底{a ，b ，c }表示以下向量．(1)AP →；(2)AM →；(3)AN →；(4)AQ →.探究点3 应用空间向量坐标表示解题例3 棱长为1的正方体ABCD-A ′B ′C ′D ′中，E 、F 、G 分别为棱DD ′、D ′C ′、BC 的中点，以{AB →，AD →，AA ′→}为基底，求下列向量的坐标．(1)AE →，AG →，AF →；(2)EF →，EG →，DG →.三、当堂测试1．在以下三个命题中，真命题的个数是( )①三个非零向量a 、b 、c 不能构成空间的一个基底，则a 、b 、c 共面；②若两个非零向量a 、b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a 、b 共线； ③若a 、b 是两个不共线的向量，而c ＝λa ＋μb (λ、μ∈R 且λμ≠0)，则{a ，b ，c }构成空间的一个基底．A ．0B ．1C ．2D ．32．已知A (3,4,5)，B (0,2,1)，O (0,0,0)，若OC →＝25AB →，则C 的坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫－65，－45，－85 B.⎝⎛⎭⎫65，－45，－85 C.⎝⎛⎭⎫－65，－45，85 D.⎝⎛⎭⎫65，45，853．O 、A 、B 、C 为空间四点，且向量OA →，OB →，OC →不能构成空间的一个基底，则( )A.OA →、OB →、OC →共线B.OA →、OB →共线C.OB →、OC →共线D ．O 、A 、B 、C 四点共面4．设a ，b ，c 是三个不共面向量，现从①a －b ，②a ＋b －c 中选出一个使其与a ，b 构成空间的一个基底，则可以选择的向量为________(填写代号)．5．已知点A 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(8,6,4)，其中a ＝i ＋j ，b ＝j ＋k ，c ＝k ＋i ，则点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标是________．四、课堂小结本节课我们学习过哪些知识内容?五、学后反思1、我的疑问：2、我的收获：。
高中数学 第三章 3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示学案 新人教A版选修2-1
亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……学 习 资 料 专 题3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示学习目标：1.了解空间向量基本定理及其意义． 2.掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．(难点) 3.掌握在简单问题中运用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量的方法．(重点)[自 主 预 习·探 新 知]1．空间向量基本定理如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ．其中{a ，b ，c }叫做空间的一个基底，a ，b ，c 都叫做基向量． 思考：(1)零向量能不能作为一个基向量？(2)当基底确定后，空间向量基本定理中实数组{x ，y ，z }是否唯一？[提示] (1)不能．因为0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面． (2)唯一确定．2．空间向量的正交分解及其坐标表示[基础自测]1．思考辨析(1)若{a ，b ，c }为空间一个基底，且p ＝x a ＋y b ＋z c ．若p ＝0，则x ＝y ＝z ＝0.( ) (2)若三个非零向量a ，b ，c 不能构成空间的一个基底，则a ，b ，c 共面．( ) (3)以原点O 为起点的向量OP →的坐标和点P 的坐标相同．( ) (4)若OP →＝(2,3,0)，则点P 在平面xOy 内．( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)√2．在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，可以作为空间向量一个基底的是( )A ．AB →，AC →，AD →B ．AB →，AA 1→，AB 1→C ．D 1A 1→，D 1C 1→，D 1D →D ．AC 1→，A 1C →，CC 1→C [由题意知，D 1A 1→，D 1C 1→，D 1D →不共面，可以作为空间向量的一个基底．]3．设{e 1，e 2，e 3}是空间向量的一个单位正交基底，a ＝4e 1－8e 2＋3e 3，b ＝－2e 1－3e 2＋7e 3，则a ，b 的坐标分别为________.【导学号：46342147】a ＝(4，－8,3)b ＝(－2，－3,7) [由题意知a ＝(4，－8，3)，b ＝(－2，－3,7)．][合 作 探 究·攻 重 难]列向量组：①{a ，b ，x }，②{x ，y ，z }，③{b ，c ，z }，④{x ，y ，a ＋b ＋c }．其中可以作为空间一个基底的向量组有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个(2)已知{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，且OA →＝e 1＋2e 2－e 3，OB →＝－3e 1＋e 2＋2e 3，OC →＝e 1＋e 2－e 3，试判断{OA →，OB →，OC →}能否作为空间的一个基底．[解] (1)如图所示，令a ＝AB →，b ＝AA 1→，c ＝AD →， 则x ＝AB 1→，y ＝AD 1→，z ＝AC →，a ＋b ＋c ＝AC 1.由于A ，B 1，C ，D 1四点不共面，可知向量x ，y ，z 也不共面，同理b ，c ，z 和x ，y ，a ＋b ＋c 也不共面，故选C ．[答案] C(2)设OA →＝xOB →＋yOC →，则e 1＋2e 2－e 3＝x (－3e 1＋e 2＋2e 3)＋y (e 1＋e 2－e 3)，即e 1＋2e 2－e 3＝(y －3x )e 1＋(x ＋y )e 2＋(2x －y )e 3∴⎩⎪⎨⎪⎧y －3x ＝1x ＋y ＝22x －y ＝－1此方程组无解．即不存在实数x ，y 使得OA →＝xOB →＋yOC →， 所以OA →，OB →，OC →不共面．所以{OA →，OB →，OC →}能作为空间的一个基底．1．若{a ，b ，c }是空间的一个基底，试判断{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }能否作为空间的一个基底．[解] 假设a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 共面，则存在实数λ，μ，使得a ＋b ＝λ(b ＋c )＋μ(c ＋a )，即a ＋b ＝μa ＋λb ＋(λ＋μ)C ．∵{a ，b ，c }是空间的一个基底，∴a ，b ，c 不共面． ∴⎩⎪⎨⎪⎧1＝μ，1＝λ，0＝λ＋μ，此方程组无解．即不存在实数λ，μ，使得a ＋b ＝λ(b ＋c )＋μ(c ＋a )， ∴a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 不共面．故{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }能作为空间的一个基底．如图3129，四棱锥P OABC 的底面为一矩形，PO ⊥平面OABC ，设OA →＝a ，OC →＝b ，OP →＝c ，E ，F 分别是PC ，PB 的中点，试用a ，b ，c 表示：BF →，BE →，AE →，EF →.图3129[思路探究]利用图形寻找待求向量与a ，b ，c 的关系→利用向量运算进行分拆→直至向量用a ，b ，c 表示[解] 连接BO ，则BF →＝12BP →＝12(BO →＋OP →)＝12(c －b －a )＝－12a －12b ＋12C ．BE →＝BC →＋CE →＝BC →＋12CP →＝BC →＋12(CO →＋OP →)＝－a －12b ＋12C ．AE →＝AP →＋PE →＝AO →＋OP →＋12(PO →＋OC →)＝－a ＋c ＋12(－c ＋b )＝－a ＋12b ＋12C ． EF →＝12CB →＝12OA →＝12a .2．点P 是矩形ABCD 所在平面外一点，且PA ⊥平面ABCD ，M ，N 分别是PC ，PD 上的点，且PM →＝23PC →，PN →＝ND →，则满足MN →＝xAB →＋yAD →＋zAP →的实数x ，y ，z 的值分别为( )【导学号：46342148】A ．－23，16，16B ．23，－16，16 C ．－23，16，－16D ．－23，－16，16D [如图所示，取PC 的中点E ，连接NE ，则MN →＝EN →－EM →＝12CD →－(PM →－PE →)＝12CD →－⎝ ⎛⎭⎪⎫23PC →－12PC →＝12CD →－16PC →＝－12AB →－16(－AP →＋AB →＋AD →)＝－23AB →－16AD →＋16AP →，比较知x ＝－23，y ＝－16，z ＝16，故选D ．][1．在正三棱柱ABC A 1B 1C 1中，已知△ABC 的边长为1，三棱柱的高为2，如何建立适当的空间直角坐标系？提示：分别取BC ，B 1C 1的中点D ，D 1，以D 为原点，分别以DC →，DA →，DD 1→的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示．2．若AB →＝(a ，b ，c )，则BA →的坐标是多少？ 提示：BA →＝(－a ，－b ，－c )．如图3130，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1的底面△ABC 中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M ，N 分别为A 1B 1，A 1A 的中点，试建立恰当的坐标系求向量BN →，BA 1→，A 1B →的坐标．图3130[思路探究] 以点C 为原点，分别以CA →，CB →，CC 1→的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，然后，把BN ，BA 1→，A 1B →分别用CA →，CB →，CC 1→表示出来，再写出它们的坐标．[解]法一：由题意知CC 1⊥AC ，CC 1⊥BC ，AC ⊥BC ，以点C 为原点，分别以CA ，CB ，CC 1的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系C xyz ，如图所示．∴BN →＝AN →－AB →＝12CC 1→＋CA →－CB →＝CA →－CB →＋12CC 1→，∴BN →的坐标为(1，－1,1)， 而BA 1→＝CA 1→－CB →＝CA →－CB →＋CC 1→， ∴BA 1→的坐标为(1，－1,2)．又∵A 1B →＝－BA 1→，∴A 1B →的坐标为(－1,1，－2)．法二：建系同法一，则B (0,1,0)，A (1,0,0)，A 1(1,0,2)，N (1,0,1)， ∴BN →＝(1，－1,1)，BA 1→＝(1，－1,2)，A 1B →＝(－1,1，－2)．3.已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别为棱BB 1，DC 的中点，如图3131所示建立空间直角坐标系．图3131(1)写出各顶点的坐标； (2)写出向量EF →，B 1F →，A 1E →的坐标．[解] (1)由图知A (2,0,0)，B (2,2,0)，C (0,2,0)，D (0,0,0)，A 1(2,0,2)，B 1(2,2,2)，C 1(0,2,2)，D 1(0,0,2)，(2)因为E ，F 分别为棱BB 1，DC 的中点， 由中点坐标公式，得E (2,2,1)，F (0,1,0)．所以EF →＝(－2，－1，－1)，B 1F →＝(－2，－1，－2)，A 1E →＝(0,2，－1)．[当 堂 达 标·固 双 基]1．O ，A ，B ，C 为空间四点，且向量OA →，OB →，OC →不能构成空间的一个基底，则( ) A ．OA →，OB →，OC →共线 B ．OA →，OB →共线C ．OB →，OC →共线D ．O ，A ，B ，C 四点共面D [由题意知，向量OA →，OB →，OC →共面，从而O ，A ，B ，C 四点共面．] 2．在空间直角坐标系Oxyz 中，下列说法正确的是( ) A ．向量AB →的坐标与点B 的坐标相同 B ．向量AB →的坐标与点A 的坐标相同 C ．向量AB →与向量OB →的坐标相同 D ．向量AB →与向量OB →－OA →的坐标相同D [因为A 点不一定为坐标原点，所以A ，B ，C 都不对；由于AB →＝OB →－OA →，故D 正确．] 3．设OABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上的一点，且OG ＝3GG 1，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则(x ，y ，z )为( )【导学号：46342149】A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，14，14B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫34，34，34C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，13 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，23 A [如图，由已知OG →＝34OG →1＝34(OA →＋AG 1→)＝34[OA →＋13(AB →＋AC →)] ＝34OA →＋14[(OB →－OA →)＋(OC →－OA →)] ＝14OA →＋14OB →＋14OC →， 从而x ＝y ＝z ＝14.]4．三棱锥P ABC 中，∠ABC 为直角，PB ⊥平面ABC ，AB ＝BC ＝PB ＝1，M 为PC 的中点，N 为AC 的中点，以{BA →，BC →，BP →}为基底，则MN →的坐标为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，－12 [MN →＝BN →－BM →＝12(BA →＋BC →)－12(BP →＋BC →) ＝12BA →－12BP →， 故MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，－12.]5．如图3132所示，已知平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，P 是CA 1的中点，M 是CD 1的中点．用基底{a ，b ，c }表示以下向量：图3132(1)AP →；(2)AM →.[解] 如图，在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中连接AC ，AD 1，(1)AP →＝12(AC →＋AA 1→)＝12(AB →＋AD →＋AA 1→)＝12(a ＋b ＋c )． (2)AM →＝12(AC →＋AD 1→)＝12(AB →＋2AD →＋AA 1→) ＝12a ＋b ＋12c ．。
人教版数学高二数学人教A版选修2-1学案3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
3．1.4空间向量的正交分解及其坐标表示预习课本P92～94，思考并完成以下问题1．空间向量基本定理的内容是什么？2．在空间向量中，基底的定义是什么？应满足什么条件？[新知初探]1．空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc.其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．2．空间向量的正交分解及其坐标表示(1)单位正交基底：三个有公共起点O的两两垂直的单位向量e1，e2，e3称为单位正交基底．(2)空间直角坐标系：以e1，e2，e3的公共起点O为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系O-xyz.(3)空间向量的坐标表示：对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量OP ＝p，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xe1＋ye2＋ze3.把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p＝(x，y，z)，即点P的坐标为(x，y，z)．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底()(2)向量AP的坐标与点P的坐标一致()(3)对于三个不共面向量a1，a2，a3，不存在实数组{λ1，λ2，λ3}使0＝λ1a1＋λ2a2＋λ3a3()答案：(1)× (2)× (3)×2．已知A (2,3－μ，－1＋ν)关于x 轴的对称点是A ′(λ，7，－6)，则λ，μ，ν的值为( ) A ．λ＝－2，μ＝－4，ν＝－5B ．λ＝2，μ＝－4，ν＝－5C ．λ＝－2，μ＝10，ν＝8D ．λ＝2，μ＝10，ν＝7答案：D3．已知向量a ，b ，c 是空间的一个基底，下列向量中可以与p ＝2a －b ，q ＝a ＋b 构成空间的另一个基底的是______(填序号)．①2a ；②－b ；③c ；④a ＋c 答案：③④空间向量基本定理的理解[典例] 已知{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，且OA ＝e 1＋2e 2－e 3，OB ＝－3e 1＋e 2＋2e 3，OC ＝e 1＋e 2－e 3，试判断{OA ，OB ，OC }能否作为空间的一个基底？[解] 假设OA ，OB ，OC 共面，由向量共面的充要条件知存在实数x ，y ，使OA ＝x OB ＋y OC 成立．∴e 1＋2e 2－e 3＝x (－3e 1＋e 2＋2e 3)＋y (e 1＋e 2－e 3) ＝(－3x ＋y )e 1＋(x ＋y )e 2＋(2x －y )e 3. ∵{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底， ∴e 1，e 2，e 3不共面，∴⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋y ＝1，x ＋y ＝2，2x －y ＝－1此方程组无解，即不存在实数x ，y ，使OA ＝x OB ＋y OC 成立． ∴OA ，OB ，OC 不共面．故{OA ，OB ，OC }能作为空间的一个基底．判断给出的某一向量组能否作为基底，关键是要判断它们是否共面．如果从正面难以入手，可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断．[活学活用]设x ＝a ＋b ，y ＝b ＋c ，z ＝c ＋a ，且{a ，b ，c }是空间的一个基底．给出下列向量组： ①{a ，b ，x }；②{x ，y ，z }；③{b ，c ，z }；④{x ，y ，a ＋b ＋c }． 其中可以作为空间的基底的向量组有________个．解析：如图所设a ＝AB ，b ＝AA 1，c ＝AD ，则x ＝AB 1，y ＝AD 1，z ＝AC ，a ＋b ＋c ＝AC 1.由A ，B 1，D ，C 四点不共面可知向量x ，y ，z 也不共面．同理可知b ，c ，z 和x ，y ，a ＋b ＋c 也不共面，可以作为空间的基底．因x ＝a ＋b ，故a ，b ，x 共面，故不能作为基底．答案：3空间向量基本定理的应用[典例] 如图，四棱锥P -OABC 的底面为一矩形，PO ⊥平面OABC ，设OA ＝a ，OC ＝b ，OP ＝c ，E ，F 分别是PC 和PB 的中点，试用a ，b ，c 表示：BF ，BE ，AE ，EF .[解] 连接BO ，则BF ＝12BP ＝12(BO ＋OP )＝12(c －b －a )＝－12a －12b ＋12c .BE ＝BC ＋CE ＝－a ＋12CP ＝－a ＋12(CO ＋OP )＝－a －12b ＋12c . AE ＝AP ＋PE ＝AO ＋OP ＋12(PO ＋OC )＝－a ＋c ＋12(－c ＋b )＝－a＋12b ＋12c . EF ＝12CB ＝12OA ＝12a .用基底表示向量时：(1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行．(2)若没给定基底时，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角已知或易求．[活学活用]如图，在正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，点E 是上底面A ′B ′C ′D ′的中心，求下列各式中x ，y ，z 的值．(1) BD '＝x AD ＋y AB ＋z AA '； (2) AE ＝x AD ＋y AB ＋z AA '. 解：(1)∵BD '＝BD ＋DD '＝BA ＋BC ＋DD '＝－AB ＋AD ＋AA '，又BD '＝x AD ＋y AB ＋z AA '， ∴x ＝1，y ＝－1，z ＝1.(2)∵AE ＝AA '＋A E '＝AA '＋12A C ''＝AA '＋12(A B ''＋A D '')＝AA '＋12A B ''＋12A D ''＝12AD ＋12AB ＋AA '， 又AE ＝x AD ＋y AB ＋z AA '， ∴x ＝12，y ＝12，z ＝1.空间向量的坐标表示[典例] 如图所示，PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，并且PA ＝AB ＝1.试建立适当的空间直角坐标系， 求向量MN 的坐标．[解] ∵PA ＝AB ＝AD ＝1，PA ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ， ∴AB ，AD ，AP 是两两垂直的单位向量．设AB ＝e 1，AD ＝e 2，AP ＝e 3，以{e 1，e 2，e 3}为基底建立空间直角坐标系A -xyz .法一：如图所示，∵MN ＝MA ＋AP ＋PN ＝－12AB ＋AP ＋12PC＝－12AB ＋AP ＋12(PA ＋AC )＝－12AB ＋AP ＋12(PA ＋AB ＋AD )＝12AD ＋12AP ＝12e 2＋12e 3，∴MN ＝⎝⎛⎭⎫0，12，12. 法二： 如图所示，连接AC ，BD 交于点O . 则O 为AC ，BD 的中点， 连接MO ，ON ，∴MO ＝12BC ＝12AD ，ON ＝12AP ，∴MN ＝MO ＋ON ＝12AD ＋12AP ＝12e 2＋12e 3.∴MN ＝⎝⎛⎭⎫0，12，12.用坐标表示空间向量的方法步骤[活学活用]在直三棱柱ABO -A 1B 1O 1中，∠AOB ＝π2，AO ＝4，BO ＝2，AA 1＝4，D 为A 1B 1的中点．在如图所示的空间直角坐标系中，求DO ，A B 1的坐标．解：(1)∵DO ＝－OD ＝－(OO 1＋O D 1) ＝－⎣⎡⎦⎤OO 1＋12()OA ＋OB＝－OO 1－12OA －12OB＝－4e 3－12×4e 1－12×2e 2＝－2e 1－e 2－4e 3， ∴DO ＝(－2，－1，－4)．(2)∵A B 1＝OB －OA 1＝OB －(OA ＋AA 1) ＝－OA ＋OB －AA 1＝－4e 1＋2e 2－4e 3， ∴A B 1＝(－4,2，－4)．层级一 学业水平达标1．已知A (3,2，－3)，则点A 关于y 轴的对称点的坐标是( ) A ．(－3，－2,3) B ．(－3,2，－3) C ．(－3,2,3)D ．(－3，－2，－3)解析：选C 由对称定义知．2．设p ：a ，b ，c 是三个非零向量；q ：{a ，b ，c }为空间的一个基底，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：选B 当非零向量a ，b ，c 不共面时，{a ，b ，c }可以当基底，否则不能当基底．当{a ，b ，c }为基底时，一定有a ，b ，c 为非零向量．因此p ⇒/ q ，q ⇒p .3．在空间直角坐标系O -xyz 中，下列说法正确的是( ) A ．向量AB 的坐标与点B 的坐标相同 B ．向量AB 的坐标与点A 的坐标相同 C ．向量AB 与向量OB 的坐标相同 D ．向量AB 与向量OB －OA 的坐标相同解析：选D 因为A 点不一定为坐标原点，所以A 不正确；同理B ，C 都不正确；由于AB ＝OB －OA ，所以D 正确．4．已知空间四边形OABC ，其对角线为AC ，OB ，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，点G 是MN 的中点，则OG 等于( )A.16 OA ＋13OB ＋13OCB.14( OA ＋OB ＋OC ) C.13( OA ＋OB ＋OC ) D.16 OB ＋13OA ＋13OC解析：选B 如图，OG ＝12(OM ＋ON )＝12OM ＋12×12(OB ＋OC ) ＝14OA ＋14OB ＋14OC ＝14(OA ＋OB ＋OC )． 5．空间四边形OABC 中，OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 中点，则MN 为( )A.12a －23b ＋12c B ．－23a ＋12b ＋12cC.12a ＋12b －23cD.23a ＋23b －12c 解析：选B MN ＝MA ＋AB ＋BN ＝13OA ＋OB －OA ＋12(OC －OB ) ＝－23OA ＋12OB ＋12OC＝－23a ＋12b ＋12c .6．设{e 1，e 2，e 3}是空间向量的一个单位正交基底，a ＝4e 1－8e 2＋3e 3，b ＝－2e 1－3e 2＋7e 3，则a ，b 的坐标分别为________．解析：由于{e 1，e 2，e 3}是空间向量的一个单位正交基底， 所以a ＝(4，－8,3)，b ＝(－2，－3,7)． 答案：a ＝(4，－8,3)，b ＝(－2，－3,7)7．已知空间的一个基底{a ，b ，c }，m ＝a －b ＋c ，n ＝xa ＋yb ＋2c ，若m 与n 共线，则x ＝________，y ＝________.解析：因为m 与n 共线，所以存在实数λ，使m ＝λn ，即a －b ＋c ＝λxa ＋λyb ＋2λc ， 于是有⎩⎪⎨⎪⎧1＝λx ，－1＝λy ，1＝2λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2.答案：2 －28．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是底面A 1C 1和侧面CD 1的中心，若EF ＋λA D 1＝0(λ∈R)，则λ＝________.解析：如图，连接A 1C 1，C 1D ， 则E 在A 1C 1上，F 在C 1D 上， 易知EF 綊12A 1D ，∴EF ＝12A D 1，即EF －12A D 1＝0，∴λ＝－12.答案：－129．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设AB ＝a ，AD ＝b ，AA 1＝c ，E ，F 分别是AD 1，BD 的中点．(1)用向量a ，b ，c 表示D B 1，EF ；(2)若D F 1＝xa ＋yb ＋zc ，求实数x ，y ，z 的值．解：(1)如图，D B 1＝D D 1＋DB ＝－AA 1＋AB －AD ＝a －b －c ，EF ＝EA ＋AF ＝12D A 1＋12AC ＝－12(AA 1＋AD )＋12(AB＋AD )＝12(a －c )．(2) D F 1＝12(D D 1＋D B 1)＝12(－AA 1＋D B 1) ＝12(－c ＋a －b －c ) ＝12a －12b －c ， ∴x ＝12，y ＝－12，z ＝－1.10．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，D 1B 1的中点，求证：EF ⊥AB 1.证明：设AB＝a，AA1＝b，AD＝c，则EF＝EB1＋B F1＝12(BB1＋B D11)＝12(AA1＋BD)＝12(AA1＋AD－AB)＝12(－a＋b＋c)，AB1＝AB＋BB1＝AB＋AA1＝a＋b.∴EF·AB1＝12(－a＋b＋c)·(a＋b)＝12(|b|2－|a|2)＝0.∴EF⊥AB1，即EF⊥AB1.层级二应试能力达标1．已知M，A，B，C四点互不重合且无三点共线，则能使向量MA，MB，MC成为空间的一个基底的关系是()A．OM＝13OA＋13OB＋13OCB．MA＝MB＋MCC．OM＝OA＋OB＋OCD．MA＝2MB－MC解析：选C对于选项A，由OM＝x OA＋y OB＋z OC(x＋y＋z＝1)⇒M，A，B，C四点共面，知MA，MB，MC共面；对于选项B，D，易知MA，MB，MC共面，故选C.2．给出下列命题：①若{a，b，c}可以作为空间的一个基底，d与c共线，d≠0，则{a，b，d}也可以作为空间的一个基底；②已知向量a∥b，则a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底；③A，B，M，N是空间四点，若BA，BM，BN不能构成空间的一个基底，则A，B，M，N四点共面；④已知{a，b，c}是空间的一个基底，若m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间的一个基底．其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选D 根据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底．显然②正确．③中由BA ，BM ，BN 不能构成空间的一个基底，知BA ，BM ，BN 共面．又BA ，BM ，BN 过相同点B ，知A ，B ，M ，N 四点共面．下面证明①④正确：假设d 与a ，b 共面，则存在实数λ，μ，使得d ＝λa ＋μb ，∵d 与c 共线，c ≠0，∴存在实数k ，使得d ＝kc .∵d ≠0，∴k ≠0，从而c ＝λk a ＋μk b ，∴c 与a ，b 共面，与条件矛盾，∴d 与a ，b 不共面．同理可证④也是正确的．于是①②③④四个命题都正确，故选D.3．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，若AB ＝3i ，AD ＝2j ，AA 1＝5k ，则向量AC 1在基底{i ，j ，k }下的坐标是( )A ．(1,1,1) B.⎝⎛⎭⎫13，12，15 C ．(3,2,5)D ．(3,2，－5)解析：选C AC 1＝AB ＋BC ＋CC 1＝AB ＋AD ＋AA 1＝3i ＋2j ＋5k ，∴向量AC 1在基底{i ，j ，k }下的坐标是(3,2,5)，故选C.4．已知向量OA 和OB 在基底{a ，b ，c }下的坐标分别为(3,4,5)和(0,2,1)，若OC ＝25AB ，则向量OC 在基底{a ，b ，c }下的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫－65，－45，－85 B.⎝⎛⎭⎫65，－45，－85 C.⎝⎛⎭⎫－65，－45，85 D.⎝⎛⎭⎫65，45，85解析：选A ∵AB ＝OB －OA ＝(2b ＋c )－(3a ＋4b ＋5c )＝－3a －2b －4c ，∴OC ＝25AB ＝－65a －45b －85c ，∴向量OC 在基底{a ，b ，c }下的坐标是⎝⎛⎭⎫－65，－45，－85，故选A. 5．若{a ，b ，c }是空间的一个基底，且存在实数x ，y ，z ，使得xa ＋yb ＋zc ＝0，则x ，y ，z 满足的条件是________．解析：若x ≠0，则a ＝－y x b －zx c ，即a 与b ，c 共面．由{a ，b ，c }是空间的一个基底知a ，b ，c 不共面，故x ＝0，同理y ＝z ＝0.答案：x ＝y ＝z ＝06．若a ＝e 1＋e 2，b ＝e 2＋e 3，c ＝e 1＋e 3，d ＝e 1＋2e 2＋3e 3，若e 1，e 2，e 3不共面，当d ＝α a ＋β b ＋γ c 时，α＋β＋γ＝________.解析：由已知d ＝(α＋γ)e 1＋(α＋β)e 2＋(γ＋β)e 3.所以⎩⎪⎨⎪⎧ α＋γ＝1，α＋β＝2，γ＋β＝3，故有α＋β＋γ＝3. 答案：37．设A ，B ，C 及A 1，B 1，C 1分别是异面直线l 1，l 2上的三点，且M ，N ，P ，Q 分别是线段AA 1，BA 1，BB 1，CC 1的中点．求证：M ，N ，P ，Q 四点共面．证明：依题意，有BA ＝2 NM ，A B 11＝2 NP . PQ ＝PB 1＋B C 11＋C Q 1＝12BB 1＋B C 11＋12C C 1＝12(BC ＋CC 1＋C B 11)＋B C 11＋12C C 1＝12(BC ＋B C 11)． (*)∵A ，B ，C 及A 1，B 1，C 1分别共线，∴存在λ，ω∈R ，使得BC ＝λBA ＝2λNM ，B C 11＝ωA B 11＝2ωNP .代入(*)式，得PQ ＝12(2λNM ＋2ωNP )＝λNM ＋ωNP ， ∴PQ ，NM ，NP 共面．∴M ，N ，P ，Q 四点共面．8．已知空间四边形OABC 中，M 为BC 的中点，N 为AC 的中点，P 为OA 的中点，Q 为OB 的中点，若AB ＝OC ，求证：PM ⊥QN .证明：如图，取向量OA ，OB ，OC 为空间基底，则OM ＝12(OB ＋OC )， ON ＝12(OA ＋OC )．∴PM ＝OM －OP ＝12(OB ＋OC ) －12OA ＝12(OB ＋OC －OA )， QN ＝ON －OQ ＝12(OA ＋OC )－12OB＝12(OA ＋OC －OB )． 又∵AB ＝OB －OA ，∴PM＝12(AB＋OC)，QN＝12(OC－AB)，∴PM·QN＝12(AB＋OC)·12(OC－AB)＝14(|OC|2－|AB|2)，又∵|AB|＝|OC|，∴PM·QN＝0，即PM⊥QN.。
高二数学选修2-1_《空间向量的正交分解及其坐标表示》参考教案2
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示一、教学目标1、知识与技能：掌握空间向量的标准正交分解及其坐标表示，理解空间向量的投影的定义，会求空间向量的投影。
2、过程与方法：从向量的几何表示到坐标表示，体会向量的几何和代数的双重特点；通过向量的正交分解的相关运算提高学生的运算能力；通过例题与练习提高学生动手能力、分析问题解决问题的能力以及其知识迁移能力。
3、情感、态度与价值观：经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。
二、教学重点和难点重点：空间向量的正交分解与坐标表示。
难点：空间向量的正交分解与坐标表示；空间向量的投影的定义及运算三、教学设计创设情境—感知概念（一）问题情境我们学习过平面向量的标准正交分解和坐标表示.在空间中，向量的坐标又是怎样定义的？向量的投影又是怎样定义的？（二） 课前练习1、在给定的空间直角坐标系中，,i j k ，分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向上的-单位向量把,i j k ，叫作 2、标准正交分解：若,i j k ，是标准正交基，对空间任意向量a ，存在三元有序实数（x ，y ，z ），使=a xi y j zk ++叫作a 的3、坐标的意义(1)坐标的意义：向量的坐标等于(2)投影的定义：一般地，若0b 为b 的单位向量，称0cos ,a b a a b =为向量a 在向量b 方向上的（三）新课讲解1、空间向量标准正交分解的过程在给定的空间直角坐标系中，,i j k ，为x 轴，y 轴，z 轴正方向上的单位向量，a 是空间中的任意向量2、空间向量标准正交分解及坐标的定义在给定的空间直角坐标系中，,i j k ，为x 轴，y 轴，z 轴正方向上的单位向量，对于空间中的任意向量a ，存在唯一 一组三元有序实数（x ，y ，z ），使得=a xi y j zk ++我们把=a xi y j zk ++叫作a 的标准正交分解，把,i j k ，叫作标准正交基 （x ，y ，z ）叫作空间向量的坐标.记作(,,)a x y z =.(,,)a x y z =叫作向量的坐标表示.在空间直角坐标系中，点p 的坐标为（x ，y ，z ），向量的坐标也是（x ，y ，z ）注：当a 的起点在坐标原点时，a 的终点的坐标为（x ，y ，z ）(,,)a x i y j z k a x y z ⇔=++⇔=Oi jk例1在空间直角坐标系中有长方体1111ABCD A B C D -2,AB =3,BC =1 5.AA =(1)写出1C 的坐标，给出1AC 关于,i j k ，的分解式 (2)求1BD 的坐标解：(1)因为1235AB BC AA ===，，，所以 (2)因为点1(3,0,5),(0,2,0)D B 所以1(3,2,5)BD =-3、空间向量的坐标意义设a xi y j zk =++，那么a i ⋅()xi y j zk i =++⋅xi i y j i zk i =⋅+⋅+⋅由于2||1i i i ⋅==，而i j ⊥，0i j ⋅=，同理0k i ⋅=所以a i x ⋅=，同理,a j y a k z ⋅=⋅=我们把,,a i x a j y a k z ⋅=⋅=⋅=分别称为向量a 在x 轴，y 轴，z 轴正方向上的投影。
人教版高中数学选修2-1空间向量的正交分解及其坐标表示导学案
3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示【学习目标】1.掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示；2.掌握空间向量的坐标运算的规律；【要点难点】空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示【学习过程】一、自主预习（预习教材P92-96找出迷惑之处）复习 1：平面向量基本定理：对平面上的随意一个向量a,b是平面上两个向量，老是存在实数对x, y ，P ，使得向量 P 能够用 a,b 来表示，表达式为，此中 a ,b 叫做. 若a b ，则称向量 P 正交分解 .复习 2：平面向量的坐标表示：平面直角坐标系中，分别取x 轴和 y 轴上的向量i, j作为基底，对平面上随意愿量 a ，有且只有一对实数x，y，使得 a xi y j ，，则称有序对x, y 为向量 a 的，即a＝.二、合作研究概括展现研究任务一：空间向量的正交分解问题：对空间的随意愿量 a ，可否用空间的几个向量独一表示？假如能，那需要几个向量？这几个向量有何地点关系？三、议论沟通点拨提高新知：⑴空间向量的正交分解：空间的随意愿量 a ，均可分解为不共面的三个向量 1 a1、 2 a2、3 a3 ，使a 1 a1 2 a2 3 a3. 假如 a1 , a2 , a3两两，这类分解就是空间向量的正交分解 .(2) 空间向量基本定理：假如三个向量 a ,b, c，对空间任一直量p ，存在有序实数组{ x, y, z} ，使得 p xa yb zc . 把的一个基底， a, b, c 都叫做基向量 .反省：空间随意一个向量的基底有个.⑶单位正交分解：假如空间一个基底的三个基向量相互，长度都为做单位正交基底，往常用｛i,j,k｝表示.⑷空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系O-xyz 和向量a，且设轴、 z 轴正方向的单位向量，则存在有序实数组{ x, y, z} ，使得 a xi y j 数组 { x, y, z} 为向量a的坐标，记住p.，则这个基底叫i、j、 k 为x轴、y zk ，则称有序实⑸设 A (x1 , y1 , z1 ) ， B ( x2 , y2 , z2 ) ，则 AB ＝.⑹向量的直角坐标运算：设 a＝(a1,a2, a3)， b＝(b1,b2,b3)，则⑴a＋ b＝(a1b1, a2b2 ,a3b3 ) ；⑵a－ b＝(a1b1 , a2b2 , a3b3 ) ；⑶λa＝( a1,a2 , a3 ) (R) ；⑷a· b＝a1b1a2 b2a3 b3 .试一试：1.设 a 2i j3k ，则向量 a 的坐标为.2.若 A (1,0,2) ， B (3,1, 1)，则AB＝.3.已知 a＝(2,3,5) ，b＝( 3,1, 4) ，求a＋b，a－b， 8a，a·b四、学能展现讲堂闯关例 1 已知向量 a ,b, c 是空间的一个基底，从向量 a ,b, c 中选哪一个向量，必定能够与向量p a b, q a b 组成空间的另一个基底？变式：已知 O,A,B,C 为空间四点，且向量 OA, OB,OC 不组成空间的一个基底，那么点 O,A,B,C 能否共面？小结：判断空间三个向量能否组成空间的一个基底的方法是：这三个向量必定不共面.例 2 如图，M,N分别是四周体QABC 的边OA,BC 的中点， P,Q 是 MN 的三平分点，用OA,OB,OC表示 OP和OQ.变式：已知平行六面体ABCD A' B' C' D'，点G 是侧面 BB'C 'C 的中心，且OA a ，OC b,OO ' c ，试用向量 a,b, c 表示以下向量 :⑴ OB', BA' ,CA' ;⑵ OG.※ 着手试一试练 1.已知a2, 3,1 , b2,0,3, c0,0,2 ，求：⑴ a b c；⑵ a6b8c .练 2. 正方体ABCD A 'B 'C ' D ' 的棱长为2，以 A 为坐标原点，以 AB,AD,AA '为 x 轴、y 轴、z轴正方向成立空间直角坐标系，则点D1，AC,AC'的坐标分别是，，.五、学后反省1.空间向量的正交分解及空间向量基本定理；2.空间向量坐标表示及其运算※ 知识拓展成立空间直角坐标系前，必定要考证三条轴的垂直关系，若图中没有建系的环境，则依据已知条件，经过作协助线来创建建系的图形.【课后作业】：1. 已知 A3,5, 7 , B2,4,3 ,求 AB, BA, 线段 AB 的中点坐标及线段AB 的长度 .2. 已知a,b, c 是空间的一个正交基底，向量 a b,a b,c 是另一组基底，若 p 在 a,b, c 的坐标是 1,2,3，求 p 在 a b,a b,c 的坐标 .。
高中数学选修2-1优质学案1：3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示【学习目标】⒈了解空间向量基本定理及其推论；⒉理解空间向量的基底、基向量的概念．理解空间任一向量可用空间不共面的三个已知向量唯一线性表示【对点讲练】 知识点一向量基底的判断 已知向量{a ，b ，c }是空间的一个基底，那么向量a ＋b ，a －b ，c 能构成空间的一个基底吗？为什么？解∵a ＋b ，a －b ，c 不共面，能构成空间一个基底．假设a ＋b ，a －b ，c 共面，则存在x ，y ，使c ＝x (a ＋b )＋y (a －b )，∴c ＝(x ＋y )a ＋(x －y )b .从而由共面向量定理知，c 与a ，b 共面．这与a 、b 、c 不共面矛盾．∴a ＋b ，a －b ，c 不共面．【反思感悟】解有关基底的题，关键是正确理解概念，只有空间中三个不共面的向量才能构成空间向量的一个基底．以下四个命题中正确的是( )A ．空间的任何一个向量都可用其它三个向量表示B ．若{a ，b ，c }为空间向量的一组基底，则a ，b ，c 全不是零向量C ．△ABC 为直角三角形的充要条件是AB u u u r ·AC →＝0D ．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底[答案] B[解析]使用排除法．因为空间中的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量来表示，故A不正确；△ABC 为直角三角形并不一定是AB u u u r ·AC →＝0，可能是BC →·BA →＝0，也可能是CA →·CB →＝0，故C 不正确；空间向量基底是由三个不共面的向量组成的，故D 不正确，故选B. 知识点二用基底表示向量在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，－*6]·OC →＝a ，AD →＝b ，AA ′→＝c ，P 是CA ′的中点，M 是CD ′的中点，N 是C ′D ′的中点，点Q 是CA ′上的点，且CQ ∶QA ′＝4∶1，用基底{a ，b ，c }表示以下向量：（1）AP u u u r ； (2)AM →；(3) AN u u u r ； (4)AQ →.解连结AC 、AD ′. （1）AP u u u r = 1(')2AC AA +u u u r u u u r = 1(')2AB AD AA ++u u u r u u u r u u u r ＝12(a ＋b ＋c )； (2)AM →＝12(AC →＋'AD u u u u r ) = 1(2')2AB AD AA ++u u u r u u u r u u u r ＝12a ＋b ＋12c ； (3) AN u u u r = 12(AC ′→＋AD ′→)＝12[( 'AB AD AA ++u u u r u u u r u u u r ) ＋(AD →＋AA ′→)] ＝12(2AB u u u r ＋2AD →＋2AA ′→)＝12a ＋b ＋c ； (4) AQ uuu r ＝AC →＋CQ →＝AC →＋45(AA ′→－AC →)＝15AB u u u r ＋15AD →＋45AA ′→＝15a ＋15b ＋45c . 【反思感悟】利用空间的一个基底{a ，b ，c }可以表示出所有向量．注意结合图形，灵活应用三角形法则、平行四边形法则．已知三棱锥A —BCD .(1)化简12(AB u u u r ＋AC →－AD →)并标出化简结果的向量； (2)设G 为△BCD 的重心，试用AB u u u r ，AC →，AD →表示向量AG →.解 (1)设AB ，AC ，AD 中点为E ，F ，H ，BC 中点为P.1(2AB u u u r ＋AC →－AD →)＝AE →＋AF u u u r = AP u u u r －AH →＝HP →. （2）AG u u u r ＝AP →＋PG → = AP →＋13PD →= AP →＋13(AD →－AP →)＝23AP →＋13AD →＝23·12(AB u u u r ＋AC →)＋13AD → ＝13( AB u u u r ＋AC →＋AD →)． 知识点三求空间向量的坐标已知P A 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M 、N 分别是AB ，PC 的三等分点且PN＝2NC ，AM ＝2MB ，P A ＝AB ＝1，求MN u u u u r 的坐标．解∵PA=AB=AD=1，且PA 垂直于平面ABCD ，AD ⊥AB ，∴可设AD u u u r ＝i ，AB →＝i ，AD u u u r ＝j ，AP →＝k .以i ，j ，k 为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系．∵MN u u u u r ＝MA →＋AP →＋PN u u u r ＝－23AB u u u r ＋AP →＋23PC →＝－23AB u u u r ＋AP →＋23(－AP →＋AD →＋AB u u u r ) = 13AP u u u r ＋23AD →＝13k ＋23AD →＝23i ＋13k ， ∴MN u u u u r ＝⎝⎛⎭⎫23，0，13. 【反思感悟】空间直角坐标系的建立必须寻求三条两两垂直的直线．在空间体中不具备此条件时，建系后要注意坐标轴与空间体中相关直线的夹角．在直三棱柱ABO —A 1B 1O 1中，∠AOB= 2π，|AO| = 4，|BO|= 2， |AA 1| = 4，D 为A 1B 1的中点，则在如图所示的空间直角坐标系中，求1,DO A B u u u r u u u u r 的坐标. 解∵11(),DO OD OO O D =-=-+u u u r u u u r u u u u r u u u u r 11111[()]222OO OA OB OO OA OB =-++=---u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r 又1||OO u u u u r = 4，|OA →|＝4，|OA →|＝4，|OB →|＝2，∴DO →＝(－2，－1，－4)，∴1A B u u u u r ＝ (－4,2，－4)．课堂小结：1．空间的一个基底是空间任意三个不共面的向量，空间的基底可以有无穷多个．一个基底是不共面的三个向量构成的一个向量组，一个基向量指一个基底的某一个向量．2．对于OP uuu r ＝(1－t )OA →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，当且仅当x ＋y ＋z ＝1时，P 、A 、B 、C 四点共面．3．对于基底{a ，b ，c }除了应知道a ，b ，c 不共面，还应明确：(1)空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底，基底选定以后，空间的所有向量均可由基底惟一表示．(2)由于0可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面，就隐含着它们都不是0.。
高中数学《3.1.4 空间向量的正交分解》导学案 新人教A版选修2-1
§3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示 学习目标1 掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示；2 掌握空间向量的坐标运算的规律；学习过程一、课前准备（预习教材P ,a b (),x y P ,a b ,a b a b ⊥P ,i j a a xi y j =+(),x y a a a a 11a λ22a λ33a λ112233a a a a λλλ=++123,,a a a ,,a b c p {,,}x y z p xa yb zc =++,,a b c {,,}x y z a xi y j zk =++{,,}x y z p =111(,,)x y z 222(,,)x y z AB 123(,,)a a a 123(,,)b b b 112233(,,)a b a b a b +++112233(,,)a b a b a b ---123(,,)a a a λλλ()R λ∈112233a b a b a b ++23a i j k =-+a (1,0,2)(3,1,1)-AB (2,3,5)-(3,1,4)--8a ,,a bc ,,a b c ,p a b =+q a b =-,,OA OB OC ,N 分别是四面体QABC 的边OA,BC 的中点，N 的三等分点，用,,OA OB OC表示OP 和OQ变式：已知平行六面体''''ABCD A B C D -，点G是侧面''BB C C 的中心，且OA a =，',OC b OO c ==，试用向量,,a b c 表示下列向量: ⑴''',,;OB BA CA ⑵ OG※ 动手试试练1 已知()()()2,3,1,2,0,3,0,0,2a b c =-==，求： ⑴()a b c •+； ⑵68a b c +-练2 正方体''''ABCD A B C D -的棱长为2，以A 为坐标原点，以'AB,AD,AA 为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系，则点1D ，',AC AC 的坐标分别是 ， ，三、总结提升※ 学习小结1 空间向量的正交分解及空间向量基本定理；2 空间向量坐标表示及其运算※ 知识拓展建立空间直角坐标系前，一定要验证三条轴的垂直关系，若图中没有建系的环境，则根据已）A 很好B 较好C 一般D 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1 若{}a,,b c 为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成基底的是（ ）A ,,a a b a b +-B ,,b a b a b +-C ,,c a b a b +-D 2,,a b a b a b ++-2 设i 、、为空间直角坐标系O -中轴、轴、轴正方向的单位向量，且AB i j k =-+-，则点B 的坐标是3 在三棱锥OABC 中，G 是ABC ∆的重心（三条中线的交点），选取,,OA OB OC 为基底，试用基底表示OG ＝4 正方体''''ABCD A B C D -的棱长为2，以A 为坐标原点，以'AB,AD,AA 为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系，E 为BB 1中点，则E 的坐标是5 已知关于的方程()222350x t x t t --+++=有两个实根，c a tb =+，且()()1,1,3,1,0,2a b =-=-，当t ＝ 时，c 的模取得最大值1 已知()()3,5,7,2,4,3A B =-=-,求,,AB BA 线段AB 的中点坐标及线段AB 的长度2 已知,,a b c 是空间的一个正交基底，向量,,a b a b c +-是另一组基底，若p 在,,a b c 的坐标是()1,2,3，求p 在,,a b a b c +-的坐标。
高中数学《空间向量的正交分解及其坐标表示》导学案
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示1．空间向量基本定理(1)定理条件如果三个向量a，b，c□01不共面，那么对空间任一向量p结论存在□02唯一的有序实数组{x，y，z}，使得p＝x a＋y b＋z c□03如果三个向量a，b，c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是{p|p＝x a＋y b＋z c，x，y，z∈R}，这个集合可看作是由向量a，b，c生成的，我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，□04a，b，c都叫做基向量．2．空间向量的正交分解及其坐标表示(1)单位正交基底□05三个有公共起点O的两两垂直的单位向量e，e2，e3称为单位正交基底，1用□06{e1，e2，e3}表示．(2)空间直角坐标系以e1，e2，e3的□07公共起点O为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴、y 轴、z轴的□08正方向建立空间直角坐标系□09Oxyz.(3)空间向量的坐标表示对于空间任意一个向量p，一定可以把它□10平移，使它的□11起点与原点O 重合，得到向量OP→＝p，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝□12x e1＋y e2＋z e3.把□13x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p＝□14(x，y，z)．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底．()(2)向量AP→的坐标与点P的坐标一致．()(3)对于三个不共面向量a1，a2，a3，不存在实数组{λ1，λ2，λ3}使0＝λ1a1＋λ2 a2＋λ3a3.()答案(1)×(2)×(3)×2．做一做(1)(教材改编P94T1)如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则()A．a与b共线B．a与b同向C．a与b反向D．a与b共面(2)若向量i，j，k为空间直角坐标系上对应x轴，y轴，z轴正方向的单位向量，且设a＝2i－j＋3k，则向量a的坐标为________．(3)设a，b，c是三个不共面向量，现从①a－b，②a＋b－c中选出一个使其与a，b构成空间的一个基底，则可以选择的向量为________(填写代号)．(4)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中建立空间直角坐标系．已知AB＝AD ＝2，BB1＝1，则AD1→的坐标为________，AC1→的坐标为________．答案(1)A(2)(2，－1,3)(3)②(4)(0,2,1)(2,2,1)探究1基底的概念例1若{a，b，c}是空间的一个基底，判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为该空间的一个基底．[解] 假设a＋b，b＋c，c＋a共面，则存在实数λ，μ使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，所以a＋b＝λb＋μa＋(λ＋μ)c.∵{a，b，c}为空间的一个基底，∴a，b，c不共面，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＝μ，1＝λ，0＝λ＋μ，此方程组无解．∴a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 不共面．∴{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }可以作为空间的一个基底． 拓展提升基底判断的基本思路及方法(1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底．(2)方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，不能构成基底．②假设a ＝λb ＋μc ，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底．【跟踪训练1】 设x ＝a ＋b ，y ＝b ＋c ，z ＝c ＋a ，且{a ，b ，c }是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a ，b ，x }，②{x ，y ，z }，③{b ，c ，z }，④{x ，y ，a ＋b ＋c }，其中可以作为空间的基底的向量组有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 答案 C解析 解法一：由空间向量共面的充要条件知： 若x ＝a ＋b ，则x ，a ，b 共面．故①不能作为基底． 若②中，假设x ，y ，z 共面，则z ＝λx ＋μy ， 即：c ＋a ＝λ(a ＋b )＋μ(b ＋c )，则⎩⎨⎧λ＝1，λ＋μ＝0，μ＝1，此方程组无解．∴x ，y ，z 不共面，故②能作为基底． 同理，③能作为基底．对④，若x ，y ，a ＋b ＋c 共面，则存在实数λ，μ，使a ＋b ＋c ＝λx ＋μy ＝λ(a＋b )＋μ(b ＋c )即⎩⎨⎧λ＝1，λ＋μ＝1，μ＝1，此方程组无解．∴x ，y ，a ＋b ＋c 不共面，故④能作为基底． 解法二：如图所示，设a ＝AB →，b ＝AA 1→，c ＝AD →， 则x ＝AB 1→，y ＝AD 1→， z ＝AC →，a ＋b ＋c ＝AC 1→， 由A ，B 1，C ，D 1四点不共面， 可知向量x ，y ，z 也不共面，同理可知b ，c ，z 和x ，y ，a ＋b ＋c 也不共面． 探究2 用基底表示向量例2 如下图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是CA 1的中点，M 是CD 1的中点，N 是C 1D 1的中点，点Q 是CA 1上的点，且CQ ∶QA 1＝4∶1，AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，用基底{a ，b ，c }表示以下向量：(1)AP →；(2)AM →；(3)AN →；(4)AQ →.[解] 连接AC ，AC 1.(1)AP →＝12(AC →＋AA 1→)＝12(AB →＋AD →＋AA 1→)＝12(a ＋b ＋c )＝12a ＋12b ＋12c . (2)AM →＝12(AC →＋AD 1→)＝12(AB →＋2AD →＋AA 1→)＝12(a ＋2b ＋c )＝12a ＋b ＋12c .(3)AN →＝12(AC 1→＋AD 1→)＝12[(AB →＋AD →＋AA 1→)＋(AD →＋AA 1→)]＝12a ＋b ＋c . (4)AQ →＝AC →＋CQ →＝AC →＋45(AA 1→－AC →)＝15AC →＋45AA 1→＝15AB →＋15AD →＋45AA 1→＝15a ＋15b ＋45c . [结论探究] 如果把例2中要表示的向量改为A 1C →，BM →，BQ →，怎样解答呢？解 A 1C →＝AC →－AA 1→＝(AB →＋AD →)－AA 1→＝a ＋b －c .BM →＝BC →＋CM →＝AD →＋12CD 1→＝AD →＋12(CD →＋DD 1→)＝AD →＋12(BA →＋AA 1→)＝AD →＋12(－AB →＋AA 1→)＝b ＋12(－a ＋c )＝－12a ＋b ＋12c .BQ →＝BA →＋AQ →＝－AB →＋AQ →＝－a ＋15a ＋15b ＋45c ＝－45a ＋15b ＋45c . 拓展提升用基底表示向量的步骤(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底． (2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果．(3)下结论：利用空间向量的一个基底{a ，b ，c }可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有a ，b ，c ，不能含有其他形式的向量．【跟踪训练2】 下图，四棱锥P －OABC 的底面为一矩形，PO ⊥面OABC ，设OA →＝a ，OC →＝b ，OP →＝c ，E ，F 分别为PC 和PB 的中点，试用a ，b ，c 表示BF →，BE →，AE →，EF →.解 连接OB ，OE ，则BF →＝12BP →＝12(OP →－OB →) ＝12[OP →－(OA →＋OC →]＝12c －12a －12b . BE →＝BC →＋CE →＝－OA →＋12CP → ＝－a ＋12(OP →－OC →)＝－a ＋12c －12b .AE →＝AO →＋OE →＝－a ＋12(OP →＋OC →) ＝－a ＋12c ＋12b .又∵E ，F 分别为PC ，PB 的中点， ∴EF →＝12CB →＝12OA →＝12a .探究3 空间向量的坐标表示例3 已知P A 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，并且P A ＝AD ＝1.在如图所示的空间直角坐标系中，求向量MN →的坐标．[解] 因为P A ＝AD ＝AB ＝1， 所以可设AB →＝e 1，AD →＝e 2，AP →＝e 3.因为MN →＝MA →＋AP →＋PN →＝MA →＋AP →＋12PC →＝MA →＋AP →＋12(PA →＋AD →＋DC →)＝－12AB →＋AP →＋12(－AP →＋AD →＋AB →)＝12AP →＋12AD →＝12e 3＋12e 2.所以MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12.[结论探究] 其他条件不变，上例问法改为：求向量ND →的坐标． 解 因为P A ＝AD ＝AB ， 设AB →＝e 1，AD →＝e 2，AP →＝e 3，因为ND →＝MD →－MN →＝AD →－AM →－⎝ ⎛⎭⎪⎫12AP →＋12AD →＝12AD →－12AB →－12AP →＝－12e 1＋12e 2－12e 3，所以ND →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，－12. [条件探究] 其他条件同例3，空间直角坐标系的建立不同于例3.建立如图所示的空间直角坐标系，求MN →，DC →的坐标．解 因为P A ＝AD ＝AB ，且P A ⊥平面ABCD ，AD ⊥AB ，所以可设DA →＝e 1，AB →＝e 2，AP →＝e 3.分别以e 1，e 2，e 3为单位正交基底建立空间直角坐标系Axyz ，如题图所示，DC →＝AB →＝e 2，所以DC →＝(0,1,0)，MN →＝MA →＋AP →＋PN → ＝MA →＋AP →＋12PC →＝MA →＋AP →＋12(PA →＋AD →＋DC →) ＝－12e 2＋e 3＋12(－e 3－e 1＋e 2)＝－12e 1＋12e 3， 从而可知MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，12. 拓展提升1.建立空间直角坐标系，必须牢牢抓住相交于同一点的两两垂直的三条直线，要在题目中找出或构造出这样的三条直线，因此要充分利用题目中所给的垂直关系，即线线垂直、线面垂直、面面垂直，要使尽可能多的点落在坐标轴上，尽可能多的线段平行于坐标轴，有直角的把直角边放在坐标轴上．2．求空间向量坐标的一般步骤(1)建系：根据图形特征建立空间直角坐标系； (2)运算：综合利用向量的加减及数乘运算；(3)定结果：将所求向量用已知的基底向量表示出来确定坐标．3．适当的坐标系有时不是唯一的，在不同坐标系下，同一向量的坐标一般不同．【跟踪训练3】 已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为2的正方体，E ，F 分别为BB1和DC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出DB1→，DE→，DF→的坐标．解设x，y，z轴的单位向量分别为e1，e2，e3，其方向与各轴上的正方向相同，则DB1→＝DA→＋AB→＋BB1→＝2e1＋2e2＋2e3，∴DB1→＝(2,2,2)．∵DE→＝DA→＋AB→＋BE→＝2e1＋2e2＋e3，∴DE→＝(2,2,1)．又∵DF→＝e2，∴DF→＝(0,1,0)．1.正确理解基底的概念基底中不能有零向量．因零向量与任意一个非零向量都为共线向量，与任意两个非零向量都共面，所以三个向量为基底隐含着三个向量一定为非零向量.2.求空间向量坐标的方法空间几何体中，欲得到有关点的坐标时，先建立适当的坐标系，一般选择两两垂直的三条线段为坐标轴，然后选择基向量，根据已知条件和图形关系将所求向量用基向量表示，即得所求向量的坐标.3.用基底表示向量的方法用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则，及加法的平行四边形法则，加法、减法的三角形法则．逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示.1．若O，A，B，C为空间四点，且向量OA→，OB→，OC→不能构成空间的一个基底，则()A.OA→，OB→，OC→共线B.OA→，OB→共线C.OB →，OC →共线 D ．O ，A ，B ，C 四点共面答案 D解析 由OA →，OB →，OC →不能构成基底，知OA →，OB →，OC →三向量共面，所以O ，A ，B ，C 四点共面．2．在空间直角坐标系Oxyz 中，下列说法中正确的是( ) A ．向量AB →的坐标与点B 的坐标相同 B ．向量AB →的坐标与点A 的坐标相同 C ．向量AB →的坐标与向量OB →的坐标相同 D ．向量AB →的坐标与OB →－OA →的坐标相同 答案 D解析 在空间直角坐标系中，从原点出发的向量的坐标等于终点的坐标，不从原点出发的向量AB →的坐标等于终点的坐标减去始点的坐标，所以AB →＝OB →－OA →.3．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是上底面A 1B 1C 1D 1的中心，则AC 1与CE 的位置关系是( )A ．重合B ．垂直C ．平行D ．无法确定 答案 B解析 连接C 1E ，则AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→，CE →＝CC 1→＋C 1E →＝AA 1→－12(AB →＋AD →)．设正方体的棱长为1，于是AC 1→·CE →＝(AB →＋AD →＋AA 1→)·⎝ ⎛⎭⎪⎫AA 1→－12AB →－12AD →＝0－12－0＋0－0－12＋1－0－0＝0，故AC 1→⊥CE →，即AC 1与CE 垂直．4．已知{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，若λe 1＋μe 2＋v e 3＝0，则λ2＋μ2＋v 2＝________.答案 0解析 因为{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，λe 1＋μe 2＋v e 3＝0，所以由空间向量基本定理可知，λ＝μ＝v ＝0，所以λ2＋μ2＋v 2＝0.5．如图所示，在三棱锥O －ABC 中，OA ，OB ，OC 两两垂直，OA ＝1，OB＝2，OC ＝3，E ，F 分别为AC ，BC 的中点，建立以OA →，OB →，OC →方向上的单位向量为正交基底的空间直角坐标系Oxyz .求EF 中点P 的坐标．解 令Ox ，Oy ，Oz 轴方向上的单位向量分别为i ，j ，k .∵OP →＝OE →＋EP →＝12(OA →＋OC →)＋12EF →＝12(OA →＋OC →)＋12×12AB →＝12(OA →＋OC →)＋14(OB →－OA →)＝14OA →＋14OB →＋12OC →＝14i ＋14×2j ＋12×3k ＝14i ＋12j ＋32k .∴P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12，32.A 级：基础巩固练一、选择题1．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若AB →＝3i ，AD →＝2j ，AA 1→＝5k ，则向量AC 1→在基底{i ，j ，k }下的坐标是( )A ．(1,1,1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12，15C ．(3,2,5)D ．(3,2，－5) 答案 C解析 ∵AC 1→＝AB →＋BC →＋CC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→＝3i ＋2j ＋5k ，∴向量AC 1→在基底{i ，j ，k }下的坐标是(3,2,5)．故选C.2．在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 是面BB 1C 1C 的中心，且AA 1→＝a ，AB →＝b ，AC →＝c ，则A 1D →＝( )A.12a ＋12b ＋12cB.12a －12b ＋12c C.12a ＋12b －12c D ．－12a ＋12b ＋12c 答案 D解析 如图，连接C 1D ，则 A 1D →＝A 1C 1→＋C 1D → ＝A 1C 1→＋12(C 1B 1→＋C 1C →) ＝A 1C 1→＋12(A 1B 1→－A 1C 1→＋C 1C →) ＝c ＋12(b －c －a ) ＝－12a ＋12b ＋12c .3.已知点A 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(8,6,4)，其中a ＝i ＋j ，b ＝j ＋k ，c ＝k ＋i ，则点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标是( )A ．(12,14,10)B ．(10,12,14)C ．(14,12,10)D ．(4,3,2) 答案 A解析 由题意，OA →＝8a ＋6b ＋4c ＝8(i ＋j )＋6(j ＋k )＋4(k ＋i )＝12i ＋14j ＋10k ， 所以点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标是(12,14,10)．4．若a ＝e 1＋e 2＋e 3，b ＝e 1＋e 2－e 3，c ＝e 1－e 2＋e 3，d ＝e 1＋2e 2＋3e 3，又d ＝α a ＋β b ＋γ c ，则α，β，γ分别为( )A.52，－1，－12B.52，1，12 C ．－52，1，－12 D.52，1，－12答案 A解析 由d ＝αa ＋β b ＋γ c ，得d ＝(α＋β＋γ)e 1＋(α＋β－γ)e 2＋(α－β＋γ)e 3， 又d ＝e 1＋2e 2＋3e 3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＋γ＝1，α＋β－γ＝2，α－β＋γ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧α＝52，β＝－1，γ＝－12.5．设命题p ：a ，b ，c 是三个非零向量，命题q ：{a ，b ，c }为空间的一个基底，则命题p 是命题q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 当三个非零向量a ，b ，c 共面时，a ，b ，c 不能构成空间的一个基底，但是当{a ，b ，c }为空间的一个基底时，必有a ，b ，c 都是非零向量，因此p ⇒/ q ，而q ⇒p ，故命题p 是命题q 的必要不充分条件．6．正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，O 1，O 2，O 3分别是AC ，AB ′，AD ′的中点，以{AO1→，AO2→，AO3→}为基底，AC′→＝x AO1→＋y AO2→＋z AO3→，则x，y，z的值是() A．x＝y＝z＝1 B．x＝y＝z＝12C．x＝y＝z＝22D．x＝y＝z＝2答案A解析如图，AC′→＝AB→＋AD→＋AA′→＝12(AB→＋AD→)＋12(AA′→＋AB→)＋12(AD→＋AA′→)＝AO1→＋AO2→＋AO3→，又AC′→＝x AO1→＋y AO2→＋z AO3→，∴x＝y＝z＝1.二、填空题7．已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝x a＋y b＋c，若m与n 共线，则x＝________，y＝________.答案1－1解析因为m与n共线，所以存在实数λ，使m＝λn，即a－b＋c＝λx a＋λy b ＋λc，于是有⎩⎪⎨⎪⎧1＝λx，－1＝λy，1＝λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x＝1，y＝－1.8．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是底面A1C1和侧面CD1的中心，若EF→＋λA1D→＝0(λ∈R)，则λ＝________.答案－12解析如图，连接A 1C 1，C 1D ，则E 在A 1C 1上，F 在C 1D 上，易知EF 綊12A 1D ， ∴EF →＝12A 1D →，即EF →－12A 1D →＝0，又∵EF →＋λA 1D →＝0. ∴λ＝－12.9．已知在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 为底面A 1B 1C 1D 1的中心，a ＝12AA 1→，b ＝12AB →，c ＝13AD →，AE →＝x a ＋y b ＋z c ，则x ＝________，y ＝________，z ＝________.答案 2 1 32 解析 如图，AE →＝AA 1→＋A 1E →＝AA 1→＋12(AB →＋AD →)＝2a ＋b ＋32c ＝x a ＋y b ＋z c . 所以x ＝2，y ＝1，z ＝32. 三、解答题10．如图所示，M ，N 分别是四面体O －ABC 的边OA ，BC 的中点，P ，Q 是MN 的三等分点，用向量OA →，OB →，OC →表示向量OP →和OQ →.解 OP →＝OM →＋MP →＝12OA →＋23MN →＝12OA →＋23(ON →－OM →)＝12OA →＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫ON →－12OA →＝16OA →＋23×12(OB →＋OC →)＝16OA →＋13OB →＋13OC →；OQ →＝OM →＋MQ →＝12OA →＋13MN →＝12OA →＋13(ON →－OM →)＝12OA →＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫ON →－12OA →＝13OA →＋13×12(OB →＋OC →)＝13OA →＋16OB →＋16OC →.B 级：能力提升练1．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 是上底面A 1B 1C 1D 1的中心，求下列各式中的x ，y ，z 的值．(1)BD 1→＝x AD →＋y AB →＋z AA 1→；(2)AE →＝x AD →＋y AB →＋z AA 1→. 解 (1)因为BD 1→＝BD →＋DD 1→＝BA →＋BC →＋DD 1→＝－AB →＋AD →＋AA 1→，且BD 1→＝x AD →＋y AB →＋z AA 1→，所以x ＝1，y ＝－1，z ＝1. (2)因为AE →＝AA 1→＋A 1E →＝AA 1→＋12A 1C 1→＝AA 1→＋12(A 1B 1→＋A 1D 1→)＝AA 1→＋12A 1B 1→＋12A 1D 1→＝12AD →＋12AB →＋AA 1→， 且AE →＝x AD →＋y AB →＋z AA 1→，所以x ＝12，y ＝12，z ＝1.2．如下图，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在B 1B 和D 1D 上，且BE ＝13BB 1，DF ＝23DD 1.(1)证明：A ，E ，C 1，F 四点共面； (2)若EF →＝ x AB →＋y AD →＋z AA 1→，求x ＋y ＋z .解 (1)证明：连接AC 1，∵AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→＝AB →＋AD →＋13AA 1→＋23AA 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋13AA 1→＋⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋23AA 1→ ＝AB →＋BE →＋AD →＋DF →＝AE →＋AF →， ∴A ，E ，C 1，F 四点共面． (2)∵EF →＝AF →－AE →＝AD →＋DF →－(AB →＋BE →) ＝AD →＋23DD 1→－AB →－13BB 1→＝－AB →＋AD →＋13AA 1→， ∴x ＝－1，y ＝1，z ＝13， ∴x ＋y ＋z ＝13.。
高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示学案新人教A版选修2-1(
（浙江专版）2018-2019高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示学案新人教A版选修2-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（浙江专版）2018-2019高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示学案新人教A版选修2-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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3.1。
4 空间向量的正交分解及其坐标表示学习目标1。
了解空间向量基本定理。
2.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念.3。
掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标．知识点一空间向量基本定理思考1 平面向量基本定理的内容是什么?答案如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中，不共线的e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．思考2 平面向量的基底唯一确定吗？答案不唯一．梳理（1)空间向量基本定理条件三个不共面的向量a,b，c和空间任一向量p结论存在有序实数组｛x,y，z｝，使得p＝x a＋y b＋z c（2)基底条件:三个向量a,b，c不共面．结论：｛a,b,c｝叫做空间的一个基底．基向量：基底中的向量a，b，c都叫做基向量．知识点二空间向量的坐标表示思考平面向量的坐标是如何表示的？答案在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x，y，使a＝x i＋y j，这样,平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定,我们把有序实数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝（x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标．设错误!＝x i＋y j，则向量错误!的坐标（x,y)就是点A的坐标，即若错误!＝(x，y)，则A点坐标为（x，y)，反之亦成立(O是坐标原点)．梳理空间向量的正交分解及其坐标表示单位正交基底有公共起点O的三个两两垂直的单位向量,记作e1,e2,e3空间直角坐标系以e1，e2，e3的公共起点O为原点，分别以e1，e2,e3的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz空间向量的坐标表示对于空间任意一个向量p，存在有序实数组{x，y,z｝,使得p＝x e1＋y e2＋z e3，则把x,y,z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p＝（x,y,z）（1）空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示．(×）(2)若{a，b，c｝为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量．（√)（3)如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与b共线．（√）（4）任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底．(×）类型一基底的判断例1 (1）下列能使向量错误!，错误!，错误!成为空间的一个基底的关系式是（)A。
高中数学 空间向量及其运算 3_1_4 空间向量的正交分解及其坐标表示教学案(无答案)新人教A版
解析:由于{a,b,c}是空间的一个基底,所以 a,b,c 不共面,在四个 选项中,只有选项 D 与 p,q 不共面,因此,2a+5c 与 p,q 能构成基底, 故选 D. 如图,四棱锥 P OABC 的底面为一矩形,PO⊥平面 OABC,设 【例 2】 OA =a, OC =b, OP =c,E,F 分别是 PC 和 PB 的中点,试用 a,b,c 表 示: BF , BE , AE , EF .
五、教学重点及难点
①重点：1.理解空间向量基本定理,并能用基本定理解决一些几何问题。 ②难点：理解基底、基向量及向量的线性组合的概念。 六、教学过程 教师活动 学生活动 1.理解空间向量基本定理,并能用基本定理解决一些几何问题. 让学生明 2.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念. 目标解读 3.掌握空间向量的坐标表示 ,能在适当的坐标系中写出向量的 的学习目标 坐标. 1、如果向量 e1 和 e2 是一平面内的两个不平行的向量，那么， 该平面内的任一向量 a 与 e1, e2 有什么关系? 2、平面向量基本定理 复习旧知 如果 e1 和 e2 是一平面内的两个不平行的向量，那么，该平面 预习反馈 内的任一向量 a，存在惟一的一对实数 a1，a2，使 a＝ a1 e1 ＋ 识 a2 e2 识，引出新知 确目标这节课 设计意图
1.空间向量基本定理 如果三个向量 a,b,c 不共面,那么对空间任一向量 p,存在有序 实数组{x,y,z},使得 p= 其中{a,b,c}叫做空间的一个 . ,a,b,c 都叫做 .
2.空间向量的正交分解及其坐标表示 (1)单位正交基底 有公共起点的三个 单位正交基底. (2)空间直角坐标系 以 e1,e2,e3 的公共起点 O 为原点,分别以 e1,e2,e3 的方向为 知识梳理 x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空间直角坐标系 Oxyz.
2020-2021人教版数学2-1学案：3
2020-2021学年人教A版数学选修2-1学案：3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示含解析3。
1。
4空间向量的正交分解及其坐标表示[目标］1.了解空间向量的正交分解的含义.2。
掌握空间向量的基本定理，并能用空间向量基本定理解决一些简单问题.3。
掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标．［重点] 空间向量基本定理的应用．［难点] 应用空间向量基本定理解决问题．知识点一空间向量基本定理［填一填]1．定理：条件：三个向量a，b，c不共面．结论：对空间任一向量p,存在有序实数组{x,y,z},使得p＝x a＋y b＋z c。
2．基底：空间中任何不共面的三个向量a，b，c都可以构成空间的一个基底，即{a，b，c}．3．基向量：空间的一个基底｛a,b，c｝中的向量a，b,c都叫做基向量．[答一答］1．（1)空间中怎样的向量能构成基底？（2)基底与基向量的概念有什么不同？提示:（1)空间任意三个“不共面”的向量都可以作为空间向量的一个基底．（2)一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量,二者是相关联的不同概念．2．空间的基底唯一吗？提示：不唯一，只要是三个向量不共面，这三个向量就可以组成空间的一个基底．3．为什么空间向量基本定理中x，y,z是唯一的？提示：平移向量a,b，c，p使它们共起点，如图所示，以p为体对角线，在a，b，c方向上作平行六面体，易知这个平行六面体是唯一的，因此p在a，b,c方向上的分解是唯一的，即x，y，z 是唯一的．知识点二空间向量的正交分解及其坐标表示[填一填]1．单位正交基底:有公共起点O的三个两两垂直的单位向量e1，e2，e3称为单位正交基底．2．空间直角坐标系：以e1，e2,e3的公共起点O为原点,分别以e1，e2,e3的方向为x 轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz。
3．空间向量的坐标表示：对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移,使它的起点与原点O重合，得到向量错误!＝p，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组｛x，y,z｝，使得p＝x e1＋y e2＋z e3。
人教A版数学选修2-1教学课件3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示 探究导学课型精选ppt课件
【解析】(1)选B.当三个向量a，b，c共面时，a，b，c不能构成空间 向量的一个基底，但是当{a，b，c}为空间向量的一个基底时必有a， b，c为非零向量.因此命题p是命题q的必要不充分条件. (2)假设a+b，b+c，c+a共面，则存在实数λ，μ使得a+b=λ(b+c) +μ(c+a)，所以a+b=λb+μa+(λ+μ)c. 因为{a，b，c}为基底.所以a，b，c不共面.
CN＝CC1＋C1D1＋D1N
【解析】选取 {CB ， CD ， CC1}
作为空间向量的一个基底，
设
则 C B ＝ a ， C D ＝ b ， C C 1 ＝ c ， C M ＝ C C 1 ＋ C 1 M ＝ C C 1 ＋ 1 2 (C 1 B 1 ＋ C 1 D 1 )
＝ 1 2 (C B ＋ C D )＋ C C 1 ＝ 1 2 a ＋ 1 2 b ＋ c ，
3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
【阅读教材】 根据下面的知识结构图阅读教材，并理解空间向量基本定理，初 步了解空间向量的坐标表示.
【知识链接】 1.平面向量的基本定理：如果e1，e2是同一平面的两个不共线向量， 那么对于这一平面的任意向量a有且只有一对实数λ 1，λ 2，使 a=λ 1e1+λ 2e2. 2.平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量. 3.平面向量的坐标表示：在直角坐标平面内每一个向量可以表示为 a=xi+yj(其中i，j分别为与x轴，y轴方向相同的单位向量)，记作a=(x， y).
提示：由于i,j是平面xOy内的两个不共线向量，由平面向量基本定理
知可用向量i,j表示向量 ，即有 =xi+yj.
(新课程)高中数学《3.1.4 空间向量的正交分解》导学案 新人教a版选修2-1
§3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示1. 掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示；2. 掌握空间向量的坐标运算的规律；92-96复习1：平面向量基本定理： 对平面上的任意一个向量P ，,a b 是平面上两个 向量，总 是存在 实数对(),x y ，使得向量P 可以用,a b 来表示，表达式为 ，其中,a b 叫做 . 若a b ⊥，则称向量P 正交分解.复习2：平面向量的坐标表示：平面直角坐标系中，分别取x 轴和y 轴上的 向量,i j 作为基底，对平面上任意向量a ，有且只有一对实数x ，y ，使得a xi y j =+，，则称有序对(),x y为向量a 的 ，即a ＝ .二、新课导学※ 学习探究 探究任务一：空间向量的正交分解问题：对空间的任意向量a ，能否用空间的几个向量唯一表示？如果能，那需要几个向量？这几个向量有何位置关系？新知：⑴ 空间向量的正交分解：空间的任意向量a ，均可分解为不共面的三个向量11a λ、22a λ、33a λ，使112233a a a a λλλ=++. 如果123,,a a a 两两 ，这种分解就是空间向量的正交分解.(2)空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c ，对空间任一向量p ，存在有序实数组{,,}x y z ，使得p xa yb zc =++. 把 的一个基底，,,a b c 都叫做基向量.反思：空间任意一个向量的基底有 个.⑶单位正交分解：如果空间一个基底的三个基向量互相 ，长度都为 ，则这个基底叫做单位正交基底，通常用｛i ,j ,k ｝表示.⑷空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系O -xyz 和向量a ，且设i 、j 、k 为 x 轴、y 轴、z 轴正方向的单位向量，则存在有序实数组{,,}x y z ，使得a xi y j zk =++，则称有序实数组{,,}x y z 为向量a 的坐标，记着p = .⑸设A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则AB ＝ .⑹向量的直角坐标运算：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则⑴a ＋b ＝112233(,,)a b a b a b +++；⑵a －b ＝112233(,,)a b a b a b ---；⑶λa ＝123(,,)a a a λλλ()R λ∈；⑷a ·b ＝112233a b a b a b ++.试试：1. 设23a i j k =-+，则向量a 的坐标为 .2. 若A (1,0,2)，B (3,1,1)-，则AB ＝ .3. 已知a ＝(2,3,5)-，b ＝(3,1,4)--，求a ＋b ，a －b ，8a ，a ·b※ 典型例题例1 已知向量,,a b c 是空间的一个基底，从向量,,a b c 中选哪一个向量，一定可以与向量,p a b =+ q a b =-构成空间的另一个基底？变式：已知O,A,B,C 为空间四点，且向量,,OA OB OC 不构成空间的一个基底，那么点O,A,B,C 是否共面？小结：判定空间三个向量是否构成空间的一个基底的方法是：这三个向量一定不共面.例2 如图，M,N 分别是四面体QABC 的边OA,BC 的中点，P ,Q 是MN 的三等分点，用,,OA OB OC 表示OP 和OQ .变式：已知平行六面体''''ABCD A B C D -，点G是侧面''BB C C 的中心，且OA a =，',OC b OO c ==，试用向量,,a b c 表示下列向量: ⑴''',,;OB BA CA ⑵ OG .※ 动手试试练1. 已知()()()2,3,1,2,0,3,0,0,2a b c =-==，求： ⑴()a b c ∙+； ⑵68a b c +-.练2. 正方体''''ABCD A B C D -的棱长为2，以A 为坐标原点，以'AB,AD,AA 为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系，则点1D ，',AC AC 的坐标分别是 ， ， .三、总结提升※ 学习小结1. 空间向量的正交分解及空间向量基本定理；2. 空间向量坐标表示及其运算※ 知识拓展建立空间直角坐标系前，一定要验证三条轴的垂直关系，若图中没有建系的环境，则根据已.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 若{}a,,b c 为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成基底的是（ ）A.,,a a b a b +-B. ,,b a b a b +-C. ,,c a b a b +-D. 2,,a b a b a b ++-2. 设i 、j 、k 为空间直角坐标系O -xyz 中x 轴、y 轴、z 轴正方向的单位向量，且AB i j k =-+-，则点B 的坐标是3. 在三棱锥OABC 中，G 是ABC ∆的重心（三条中线的交点），选取,,OA OB OC 为基底，试用基底表示OG ＝4. 正方体''''ABCD A B C D -的棱长为2，以A 为坐标原点，以'AB,AD,AA 为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系，E 为BB 1中点，则E 的坐标是 .5. 已知关于x 的方程()222350x t x t t --+++=有两个实根，c a tb =+，且()()1,1,3,1,0,2a b =-=-， 当t ＝ 时，c 的模取得最大值.1. 已知()()3,5,7,2,4,3A B =-=-,求,,AB BA 线段AB 的中点坐标及线段AB 的长度.2. 已知,,a b c 是空间的一个正交基底，向量,,a b a b c +-是另一组基底，若p 在,,a b c 的坐标是()1,2,3，求p 在,,a b a b c +-的坐标.。
高中数学 3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示(四)学案 新人教A版选修2-1
§3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示（四）学习目标：了解空间向量基本定理；理解空间向量的基底、基向量概念；理解空间直角坐标系中的坐标表示。
一、主要知识：1、空间向量基本定理：2、空间向量的正交分解及其坐标表示：（1）单位正交基底：（2）空间直角坐标系：（3）空间向量的坐标表示：二、典例分析：〖例1〗：已知空间四边形OABC ，其对角线,OB AC ，,M N 分别是对边,OA BC 的中点，点G 在线段MN 上，且2MG GN =，用基底向量,,OA OB OC 表示向量OG 。
〖例2〗：已知向量p 在基底{},,a b c 下的坐标是{}2,3,1-，求p 在基底{},,a a b a b c +++下的坐标。
〖例3〗：空间四边形OABC 中，,G H 分别是,ABC OBC ∆∆的重心，设,,OA a OB b OC c ===。
试用向量,,a b c 表示向量OG 和GH 。
〖例4〗：已知PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面，,M N 分别是,AB PC 的中点，并且1PA AD ==，试建立适当的空间直角坐标系，求,MN DC 的坐标。
A BC O M N G三、课后作业：1、以下四个命题中正确的是（ ）A 、空间的任何一个向量都可以用其他三个向量表示B 、ABC ∆为直角三角形的充要条件是0AB AC ⋅= C 、若{},,a b c 为空间向量的一个基底，则{},,a b b c c a +++构成空间向量的另一组基底D 、任何三个不共线的向量都可以构成空间向量的一组基底 2、平行六面体1111ABCD A BC D -中，M 为AC 与BD 的交点，若1,,AB a AD b AA c ===，则下列向量中与1B M 相等的向量是（ ）A 、1122a b c -++B 、1122a b c ++C 、1122a b c -+D 、1122a b c --+ 3、空间四边形OABC 中，G 是ABC ∆的重心，若,,OA a OB b OC c ===，则OG =（ ）A 、111333a b c ++B 、111222a b c ++ C 、a b c ++ D 、333a b c ++ 4、已知{}123,,e e e 为空间的一个基底，若123a e e e =++，123b e e e =+-，123c e e e =-+，12323d e e e =++，又d a b c αβγ=++，则,,αβγ分别为（ ）A 、51,1,22--B 、51,1,22C 、51,1,22--D 、51,1,22- 5、已知点A 在基底{},,a b c 的坐标为()8,6,4，其中a i j =+，b j k =+，c k j =+，则点A 在{},,i j k 下的坐标为（ ）A 、{}12,24,10B 、{}10,12,14C 、{}14,12,10D 、{}4,3,26、点()1,3,4M --在坐标平面,,xOy xOz yOz 内的射影分别是（ ）A 、()()()1,3,0,1,0,4,0,3,4----B 、()()()0,3,4,1,3,0,1,0,4----C 、()()()1,3,0,1,3,4,0,3,4----D 、()()()0,0,4,1,0,0,0,3,0--7、若{},,a b c 为空间向量的一个基底，且存在实数,,x y z ，使0xa yb zc ++=，则,,x y z 满足的条件是 。
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《空间向量的正交分解及其坐标表示》导学案
制作人王维审核高二数学组 2016-03-01 【学习目标】
1、理解空间向量的正交分解及其坐标表示；
2、运用类比的思想，类比平面向量的正交分解及其坐标表示，学习空间向量的正交分解及其坐标表示
【学习重点】
空间向量的正交分解及其坐标表示
【学习难点】
空间向量的正交分解及其坐标表示的运用
【预习导航】
1、复习回顾：共线向量定理、共面向量定理以及平面向量的正交分解及其坐标表示
2、如何进行空间向量的正交分解？【问题探究】
探究活动一：何谓空间向量基本定理？
探究活动二：如何建立空间直角坐标系？
探究活动三：怎样进行空间向量的正交分解？
【思考】如何运用空间向量的正交分解处理有关问题？
【应用训练】
1、设b a x +=，+=，a c z +=，且a ，b ，c 是空间的一个基底,给出下列向量组：
① ，， ② ， ，z ③ ，， ④ ， y ，++ 其中可以作为空间的基底的向量组有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D.4个
2、 如图，M ,N 分别是四面体OABC 的棱OA ，BC 的中点，
P ，Q 是MN
的三等分点，用向量OA ,OB ,OC 表示OP 与.
【练习题】
1、空间四边形OABC 中，=，=，=，点M 在
OA 上，且MA OM 2=,N 为BC 的中点，则=( )
A. 213221+-
B. 21
2132++-
C. c b a 322121-+
D. c b a 2
1
3232-+
2、已知向量p 在基底{}c
b a ,,下的坐标为），（13,2-，求
p 在基
底{}
+++,,下的坐标.
【总结概括】
本节课的收获：
【分层作业】 必做题：教材第98页习题 第3,4题 选做题：同步练习册课后作业提升习题
B
A
N
C
O
M Q
P。