三角形的初步知识复习1
初中重要知识点总结(个人整理)
一、?三角形的初步知识?知识点总结一、三角形的边、角关系１、三角形的三边之间的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边应用：〔1〕判断三条线段a、b、c能否组成三角形;〔2〕确定三角形第三边的取值范围：两边之差< 第三边< 两边之和２、三角形的三个内角之间的关系：三角形的内角和为180°３、三角形的外角之间的关系：1〕、三角形的外角和为360°2〕、三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和3〕、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
二、全等三角形1、性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等2、判定：SSS、SAS、ASA、AAS。
方法总结:1、要说明两个三角形全等，要结合题目的条件和结论，选择恰当的判定方法2、全等三角形，是说明两条线段或两个角相等的重要方法之一，说明时①要观察待说明的线段或角，在哪两个可能全等的三角形中。
②分析要说明两个三角形全等，已有什么条件，还缺什么条件。
③有公共边的，公共边一般是对应边，有公共角的，公共角一般是对应角，有对顶角，对顶角一般是对应角。
④大角与大角对应，长边与长边对应。
三、线段中垂线与角平分线的性质1、线段垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。
2、角平分线的性质：角平分线上点到角两边距离相等.[线段垂直平分线、角平分线的判定]四、尺规作图1、根本作图主要有4类：〔1〕作一条线段等于线段；〔2〕作一个叫等于角；〔3〕作角的平分线；〔4〕作线段的垂直平分线。
2、尺规作图的步骤：①写出、求作；②分析图形该怎么画；③写出做法，要保存作图痕迹；④写出结果，即哪个为所求。
注意：④容易忽略，此步骤必不可少。
二、?相似三角形?知识点总结一、相似三角形1、概念：对应角相等、对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形，对应边的比叫做相似比。
注意①相似比的顺序性；②记三角形相似时注意对应顶点写在对应位置上；③全等三角形是特殊的相似三角形。
新浙教版八年级上册数学第一章《三角形的初步知识》知识点及典型例题
新浙教版八年级上册数学第一章《三角形的初步知识》知识点及典型例题本文介绍了八年级上册数学第一章《三角形的初步知识》的知识点及典型例题。
其中，三角形按角分类分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形；按边的关系可分为等腰三角形、等边三角形和普通三角形。
文章还介绍了三角形的内角和定理、角平分线、重要线段中线和高线的定义、命题和证明步骤。
此外，文章还讲解了全等三角形、尺规作图、线段垂直平分线和角平分线的性质，以及如何利用这些知识点计算角度和线段长度。
最后，文章列举了八个考点，包括判断三条线段能否组成三角形、求三角形的某一边长或周长的取值范围、证明三角形全等等。
例题部分也包括了两个问题的解答。
1、正确画出AC边上的高的是（C）。
2、工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的根据是（B）三角形具有稳定性。
3、不能唯一作出直角三角形的是（C）已知一锐角及其邻边。
4、已知AD、BE、CF是△ABC的三条中线，相交于点O，设△BDO面积为1，则S△ABC=（6）。
5、在图中，由于AB=CD。
AD=BC，所以△ABO≌△CDO，△ABO与△CDO的对应顶点分别为AO和CO，所以全等三角形的对数为1，选项A。
6、根据中线定理可知，DF=EF=BF=AF=1/2AC，所以四边形DCEF是平行四边形，面积为AC的一半，即22.5cm，选项B。
7、根据角平分线定理可知，BP/PC=AB/AC，所以BP/AB=PC/AC，由此可得△BPC与△ABC相似，所以∠BPC=2∠A，选项A。
8、由于BD是BC边上的垂直平分线，所以BD=DC=4，由勾股定理可得AD=3，所以AB=5，所以ΔABD的周长为12，选项D。
9、将三角形按照图中的方式编号，可以发现只有第3块的形状与原来的三角形相同，所以应该带第3块去。
10、以B为顶点的外角为∠ABC=180°-∠A=130°，以C为顶点的外角为∠ACB=180°-∠A=130°，由于外角和等于360°，所以两个外角的平分线的夹角为130°/2=65°，选项A。
新浙教版八上第一章三角形的初步知识
第一章 三角形的初步知识复习总目1、掌握三角形的角平分线、中线和高线2、理解三角形的两边之和大于第三边的性质3、三角形全等的判定知识点概要1、 三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.2、 三角形的分类：(1)按角分类： (2)按边分类：3、 三角形的主要线段的定义： （1）三角形的中线 （2）三角形的角平分线（3）三角形的高 4、三角形的三边关系三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边. 5、 三角形的角与角之间的关系：(1)三角形三个内角的和等于180 ; (2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； (3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. (4)直角三角形的两个锐角互余. 6、三角形的稳定性：（1）三角形具有稳定性；（2）四边形没有稳定性. 7、全等三角形（1）三角形全等的判定 （SAS ） （ASA ） （AAS ） （SSS ） （HL ）（2）全等变换：只改变图形的位置，不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。
全等变换包括一下三种：（1）平移变换 （2）对称变换（3）旋转变换中考规律盘点及预测三角形的两边之和大于第三边的性质历年来是经常考到的填空题的类型，三角形角度的计算也是考到的填空题的类型，三角形全等的判定是很重要的知识点，在考试中往往会考到。
典例分析三角形直角三象形 斜三角形锐角三角形钝角三角形三角形等腰三角形不等边三角形底边和腰不相等的等腰三角形 等边三角形例1、小华要从长度分别为5cm 、6cm 、11cm 、16cm 的四根小木棒中选出三根摆成 一个三角形，那么他选的三根木棒的长度分别是_ 6 ．___11___.____16___. 例2 如图，AD 是△ABC 的角平分线，DF ⊥AB ，垂足为F ，DE=DG ， △ADG 和△AED 的面积分别为50和39，则△EDF 的面积为（ ） 例3 如图，在下列条件中，不能证明△ABD ≌△ACD 的是（ ） A.BD=DC ，AB=AC B.∠ADB=∠ADC ，BD=DC C.∠B=∠C ，∠BAD=∠CAD D.∠B=∠C ，BD=DC例4 如图，点B 、F 、C 、E 在同一条直线上，点A 、D 在直线BE 的 两侧，AB ∥DE ，BF =CE ，请添加一个适当的条件： ， 使得AC =DF .基础练习一、精心选一选(每小题3分，共30分)1、在下列各组图形中，是全等的图形是( )A 、B 、C 、D 、 2、下列各图中，正确画出AC 边上的高的是( )A 、B 、C 、D 、 3、如图1，工人师傅砌门时，常用木条EF 固定长方形门框ABCD ，使其不变形，这样做的根据是( ) A 、两点之间的线段最短； B 、三角形具有稳定性； C 、长方形是轴对称图形； D 、长方形的四个角都是直角；4、图2中的三角形被木板遮住了一部分，被遮住的两个角不可能是( ) A 、一个锐角，一个钝角； B 、两个锐角；C 、一个锐角，一个直角；D 、一个直角，一个钝角； 5、以下不能构成三角形三边长的数组是( )A 、(1，3，2)B 、(3，4，5)C 、(23，24，25) D 、(3，4，5)6、一个三角形的两个内角分别为55°和65°，这个三角形的外角不可能是( )A A A AB B B BC C C C E E EE BA CD EF 图1图2A 、115°B 、120°C 、125°D 、130°7、小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图3所示的四块(图中所标1、2、3、4)，你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带( )去 A 、第1块； B 、第2块； C 、第3块； D 、第4块；8、如图4，在锐角△ABC 中，CD 、BE 分别是AB 、AC 边上的高，且CD 、BE 相交于一点P ，若∠A=50°，则∠BPC=( )A 、150°B 、130°C 、120°D 、100°9、用12根火柴棒(等长)拼成一个三角形，火柴棒不允许剩余、重叠和折断，则能摆出不同的三角形的个数是( )A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 10、如图5，在△ABC 中，D 、E 分别是AC 、BC 边上的 点，若△ADB ≌△EDB ≌△EDC ，则∠C 的度数为( ) A 、15° B 、20° C 、25° D 、30° 二、耐心填一填(每小题3分，共30分)11、在△ABC 中，若∠A －∠B=90°，则此三角形是________三角形；若C B A ∠=∠=∠3121，由此三角形是_______三角形；12、如图6，已知AC=BD ，要使△ABC ≌△DCB ， 只需增加的一个条件是________________； 13、设△ABC 的三边为a 、b 、c ，化简______________|b a c ||a c b ||c b a |=--+--+--14、已知三角形的两边长分别是3cm 和7cm ，第三边长是偶数，则这个三角形的周长为___________cm ； 15、如图7，在△ABC 中，已知AD=DE ，AB=BE ，∠A=80°，则∠CED=________16、如图8，把矩形ABCD 沿AM 折叠，使D 点落在N 点处，如果AD=35cm ，DM=5cm ，∠DAM=30°，则AN=_____cm ，NM=______cm ，∠BNA=_________度；17、如图9，△ABC 中，AB=AC ，BD 、CE 分别是AC 、AB 边上的高，BD 、CE 交于点O ，且AD=AE ，连结AO ，则图中共有_________对全等三角形；18、如图10，已知∠B=∠C ，AD=AE ，则AB=AC ，请说明理由(填空) 解：在△ABC 和△ACD 中， ∠B=∠______ (__________) ∠A=∠______ (________________)12 3 4图3ABCED 图5ABCDO图6D AB EC 图7 A B CD N M 图8 A B C DE O图9 ABD图10ABEAE=________ (__________) ∴△ABE ≌△ACD (______________)∴AB=AC (______________________________) 19、如图11所，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=________； 20、用一副三角板可以直接得到30°、45°、60°、90°四种角，利用一副三角板可以拼出另外一些特殊角，如75°、120°等，请你拼一拼，用一副三角板还能拼还能拼出哪些小于平角的角？这些角的度数是：____________________； 三、细心做一做(共60分)24、(8分)某产品的商标如图15所示，O 是线段AC 、DB 的交点，且AC=BD ，AB=DC ，小华认为图中的两个三角形全等，他的思考过程是： ∵AC=DB ，∠AOB=∠DOC ，AB=AC ， ∴△ABO ≌△DCO你认为小华的思考过程对吗？如果正确，指出他用 的是判别三角形全等的哪个条件，如果不正确， 写出你的思考过程。
三角形的初步认识知识点总结
三角形的初步认识【概念】不在同一条直线．．．．．．．上的三条线段首尾．．．．．．顺次．．相接．．所组成的图形。
用符号“△”表示。
三边：AB 、AC 、BC 。
有时也用a 、b 、c 表示，顶点A 所对应的边BC 用a 表示，顶点B 所对应的边AC 用b 表示，顶点C 所对应的边AB 用c 表示。
三个内角：∠A 、∠B 、∠C 。
【分类】三角形{三边都不相等等腰三角形{底边和腰不相等等边三角形 三角形{直角三角形斜三角形{锐角三角形钝角三角形【基本性质】1、三角形内角和为180°。
2、三边关系 文字语言数学语言理论依据应用两边之和大于第三边在△ABC 中，a+b>c ；b+c>a ；a+c>b 。
两点之间，线段最短。
1、判断是否能组成三角形。
2、已知两边，求第三边取值范围。
两边之差小于第三边在△ABC 中，|a −b |<c ；|b −c |<a ；|a −c |<b 。
3、三角形的稳定性：当三条边长确定时，三角形的形状、大小完全被确定。
4、三角形外角：由三角形一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角。
三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和。
【重要的线段】定义角平分线 一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段。
中线 连接三角形的一个顶点及其对边中点的线段。
高线从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点和垂足之间的线段。
ABabcC“三线”交点中垂线：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，简称“中垂线”。
性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
角平分线：性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。
判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角平分线上。
【全等三角形】1、定义：能够重合的两个三角形叫做全等三角形。
符号：≌（全等于）2、性质：对应边相等，对应角相等。
3、判定：（1）边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等。
8年级-上册-数学-第1章《三角形的初步知识》1.3证明(2)与三角形外角性质有关的证明
浙教版-8年级-上册-数学-第1章《三角形的初步知识》1.3证明（2）与三角形外角性质有关的证明【知识点-部分】一、三角形的内角和定理及推论：1、三角形的内角和定理：三角形三个内角的和等于180°；推论：由一个公理或定理直接推出的真命题，叫做这个公理或定理的推论；推论可以当做定理使用。
2、三角形内角和定理的推论：推论1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；推论2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
二、辅助线：1、当问题的条件不够用、不够集中时，需添加辅助线，构造新图形，形成新关系，找到已知与未知的联系，把问题转化成已经会解的情况，我们把在原图上添加的线叫做辅助线。
注：（1）辅助线通常画为虚线；（2）添加辅助线往往结合学习过的定理或概念。
【典型例题-精选部分】【例1】如图所示，∠A，∠1，∠2的从大到小关系是。
【例2】如图，AB∥CD，∠ABE＝60°，∠D＝50°，则∠E的度数为。
【例3】如图，在△ABC中，外角∠CBD和∠BCE的平分线交于点O，且∠BOC＝40°，则∠A的度数为。
【例4】将一把直尺与一块三角尺如图放置，若∠1＝45°，则∠2的度数为。
【例5】将一副三角尺如图叠放，则图中∠α＝°。
【例6】如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在外的处，折痕为DE。
如果，，，那么下列式子中正确的是（）A、B、C、D、【例7】已知：如图，∠ADE＝∠A＋∠B，求证：DE∥BC。
【例8】如图，已知四边形ABDC，求证：∠BDC＝∠A＋∠B＋∠C。
【例9】如图,∠B=36∘,∠D=50∘，AM，CM分别平分∠BAD和∠BCD，AM交BC于点R，CM交AD于点Q，BC与AD交于点P，求∠M的度数。
【例10】如图，在△ABC中，点E在AC上，∠AEB=∠ABC。
（1）图1中，作∠BAC的角平分线AD，分别交CB、BE于D、F两点，求证：∠EFD=∠ADC；（2）图2中，作△ABC的外角∠BAG的角平分线AD，分别交CB、BE的延长线于D、F两点，试探究（1）中结论是否仍成立?为什么?【例11】已知：如图一：△ABC 中，BO 平分∠ABC，CO 平分外角∠ACD。
八年级(上)培优讲义：第1讲-三角形的初步知识(1)
第1讲三角形的初步知识1（认识三角形、定义与命题、证明）一、知识建构1. 三角形按角分类：（1）锐角三角形：三角形的，这样的三角形称之为锐角三角形（2）直角三角形：三角形有，这样的三角形称之为直角三角形（3）钝角三角形：三角形有，这样的三角形称之为钝角三角形2. 三角形的角平分线：在三角形中，，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
3.三角形的中线：在三角形中，，叫做这个三角形的中线。
（1）三角形的中线的形状也是一条；（2）三角形的三条角中线.4.三角形高的定义：从三角形的一个顶点线，的线段叫做三角形的高。
5.三角形三边之间的关系为：6.能清楚地规定某一名称或术语的句子叫做该名称或术语的______．7．对某一件事情作出_______判断的句子叫做命题．•每个命题都是由______•和______两部分组成的．8.思考下列命题的条件和结论分别是什么？并判断那些命题正确? 那些命题不正确?(1)相等的角是对顶角。
(2)直角三角形两锐角互余。
(3)同位角相等。
(4)一个角的补角一定大于这个角的余角。
9. 阅读教材内容后请回答：(1)怎样判断一个命题是真命题还是假命题？(1)真命题、公理、定理三者的区别与联系各是什么？10.判断下列命题是真命题还是假命题？如果是假命题，请说明理由；如果是真命题，请用推理的方法来说明.（1）如果ab=0，那么a=b=0；（2）如图，若AC∥DE，∠1=∠2，则AB∥CD.二、经典例题例1．对于同一平面内的三条直线a，b，c，给出下列5个判断：①a∥b②b∥c；•③a⊥b；④a∥c；⑤a⊥c．请以其中两个论断为条件，一个论断为结论，组成一个你认为正确的命题（至少写两个命题）．例2.如图，△ABC中，∠ACB=90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A=22°，则∠BDC等于（）A．44°B．60°C．67°D．77°例3. 如图，已知∠AOB=α，在射线OA、OB上分别取点OA1=OB1，连接A1B1，在B1A1、B1B上分别取点A2、B2，使B1B2=B1A2，连接A2B2…按此规律下去，记∠A2B1B2=θ1，∠A3B2B3=θ2，…，∠A n+1B n B n+1=θn，则（1）θ1= , （2）θn= .例4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=α，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转后得到△EDC，此时点D在AB边上，则旋转角的大小为．图1图2DC EA B例5. 一个三角形的三条边长分别为1、2、x ，则x 的取值范围是（ ）A ．1≤x ≤3B ．1＜x ≤3C ．1≤x ＜3D ．1＜x ＜3例6. 已知实数x ，y 满足，则以x ，y 的值为两边长的等腰三角形的周长是 ．例7. 两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B C E ，，在同一条直线上，连结DC ．（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）； （2）证明：DC BE ．例8.如图，已知AB ∥CD ，直线EF 分别截AB 、CD 于 点M 、N ，MG 、NH 分别是∠EMB 与∠END 的平分线.求证：MG ∥NH . 请根据分析思路，写出证明过程.三、基础演练1.在△ABC 中，若∠A +∠B =88°，则∠C =_______，这个三角形是______ 三角形.∠EMG=12∠∠ENH=12∠END可证∠EMG=∠MNH要证MG ∥NH 只需证：∠EMB=∠END已知AB ∥CDABCDE FHMN2.直角三角形的一个锐角为42°，则另一个锐角为_________.3.在△ABC 中，若∠A =35°，∠B =68°，则与∠C 相邻的外角等于_______ °.4．若5条线段长分别为1cm ，2cm ，3cm , 4cm ，5cm ，则以其中3条线段为边长可以构成三角形的个数是___________ .5．一木工师傅有两根70，100长的木条，他要选择第三根木条，将它们钉成三角形木架，则第三根木条取值范围_____________ ，木架周长的取值范围_____________ . 6. 如图所示，下面的推理中正确的是 ( ) A ．∵∠1＝∠2，∴AB ∥CDB ．∵∠ABC ＋∠BCD ＝180°，∴AD ∥BC C ．∵AD ∥BC ，∴∠3＝∠4D ．∵∠ABC ＋∠DAB ＝180°，∴AD ∥BC 7.命题“若a b >，则1ab>”是真命题还是假命题？请说明理由.8．若等腰三角形腰长为6,则底边x 的取值范围是 （ ） A . 6<x <12 B . 0<x <6 C . 0<x <12 D . 无法确定9. 如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）A .锐角三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .锐角三角形 10.如图所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，过点D 作DE ∥BC •交AB 于点E ，过点D 作DF ⊥AB 于点F .求证：BC ＝DE ＋EF .四、直击中考1. （2013广西）一个三角形的周长是36cm ，则以这个三角形各边中点为顶点的三角形的周长是（ ）A ．6cmB ．12cmC ．18cmD ．36cm2．（2013衡阳）如图，∠1=100°，∠C =70°，则∠A 的大小是（ ）A ．10°B ．20°C ．30°D ．80°3241D CBA B CE DF A3．（2013鄂州）一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是（ ）A ．165°B ．120°C ．150°D ．135°4.（2013黔东南州）在△ABC 中，三个内角∠A 、∠B 、∠C 满足∠B ﹣∠A =∠C ﹣∠B ，则∠B = 度．5.（2013温州）如图，直线a ，b 被直线c 所截，若a ∥b ，∠1=40°，∠2=70°，则∠3= 度．6.（2013雅安）若（a ﹣1）2+|b ﹣2|=0，则以a 、b 为边长的等腰三角形的周长为 ．7．（2013东城）.如图，∠ACD 是△ABC 的外角，ABC ∠的平分线与ACD ∠的平分线交于点1A ，1A BC ∠的平分线与1A CD ∠的平分线交于点2A ，…，1n A BC -∠的平分线与1n A CD -∠的平分线交于点n A . 设A θ∠=,则1A ∠＝ ；n A ∠＝ 8.(2014杭州)下列命题中，正确的是（ ）A .梯形的对角线相等B . 菱形的对角线不相等C . 矩形的对角线不能互相垂直D . 平行四边想的对角线可以互相垂直五、能力拓展1.如图，OB 、OC 是∠AOD 的任意两条射线，OM 平分∠AOB ，ON 平分∠DOC ，若∠MON =α，∠BOC =β，则∠AOD 可表示为（ ）A . 2α－βB . α－βC . α+βD . 2α2.如图，在锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC上的高，•且CD、BE交于一点P，若∠A=50°，则∠BPC的度数是（）A．150°B．130°C．120°D．1003.已知等腰三角形的周长为14cm，底边与腰的比为3：2，求各边长.4. 已知a,b,c是一个三角形的三条边长,则化简|a+b－c|－|b－a－c|的结果是多少?5.如图所示，已知等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，直线L经过点C，•AD•⊥L，BE⊥L，垂足分别为D，E．（1）证明：△ACD≌△CBE；（2）求证：DE=AD+BE；（3）当直线L经过△ABC内部时，其他条件不变，（2）中的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，猜想这时DE，AD，BE有什么关系？证明你的猜想．六、挑战竞赛1. 在△ABC中,∠A= 50°, 高BE，CF所在的直线相交于点Ｏ，求∠BOC.FEC AB2.△ABC 中,已知∠ABC = 74°, ∠A = 56°, BE 是AC 边上的高,CF 是△ ABC 的角平分线,求∠ACF 和∠BFC .4.如图，在△ABC 中，D 、E 分别是BC 、AD 的中点，S △ABC =4cm 2，求S △ABE ．5．如图，45AOB ∠=，过OA 上到点O 的距离分别为1，4，7，10，13，16，…的点作OA 的垂线与OB 相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为,,,321s s s …，观察图中的规律，第4个黑色梯形的面积=4S ，第n (n 为正整数)个黑色梯形的面积=n S ．6.在△ABC 中，AC AB =,D 是底边BC 上一点，E 是线段AD 上一点,且∠BAC CED BED ∠=∠=2．(1) 如图1,若∠︒=90BAC ,猜想DB 与DC 的数量关系为 ； (2) 如图2,若∠︒=60BAC ，猜想DB 与DC 的数量关系，并证明你的结论； （3）若∠︒=αBAC ，请直接写出DB 与DC 的数量关系.OA BCDEA EBCD图1 图2。
浙教版8年级上册《三角形初步知识》复习
D CB A《三角形的初步认识》复习讲义知识点1：认识三角形。
1、三角形：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2、三角形的顶点：三个顶点。
3、三角形的边：组成三角形的三条线段。
4、三角形的内角：每两条边所组成的角（简称三角形的角）。
三角形的顶点、边和角为三角形的三要素。
【例1】（1）如图1，点D在△ABC中，写出图中所有三角形：；（2）如图1，线段BC是△和△的边；（3）如图1，△ABD的3个内角是，三条边是。
【例2】如图2，D是△ABC的边BC上的一点，则在△ABC中∠C所对的边是，在△ACD中∠C所对的边是，在△ABD中边AD所对的角是，在△ACD中边AD所对的角是。
知识点2：三角形三边的关系：三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边【例3】判断：哪组线段首尾相接可以组成三角形？① 3cm ,4cm，5cm ② 8cm，7cm ,15cm ③ 12cm ,12cm，20cm ④ 5cm，5cm ,11cm知识点3、三角形内角和 :定理：三角形内角和等于180°。
【例4】一个三角形的三个内角分别为x，x-10，x+10（x>10°），•则这个三角形三个内角的度数分别为多少？【例5】在△ABC中，∠A：∠B=5：7，∠C-∠A=10°，则∠C=________ DBA知识点4、三角形外角定理：1、一般地，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。
2、三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角。
【例6】如图中有四条互相不平行的直线L1、L2、L3、L4所截出的七个角．关于这七个角的度数关系，下列正确的有（）①∠5=∠1+∠4 ②∠3=∠1+∠6 ③∠1+∠4+∠6=180°④∠2+∠3+∠5=360°⑤∠3=∠1+∠7 ⑥∠2+∠3+∠7=360°⑦∠2=∠4+∠6 ⑧∠2=∠4+∠7第6题图第7题图第8题图【例7】如图，∠1、∠2、∠3的大小关系为（）【例8】如图，∠BDC=98°，∠C=38°，∠B=23°，∠A的度数是（）【学生练习题1】1、如图，在△ABC中，∠C=30°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于 .2、有四条线段，它们的长分别是2cm、3cm、4cm、5cm，以其中的三条线段为边长，共可组成几种不同的三角形.3、在长方形ABCD 中，如图，E 为AB 上一点，连结DE 、EC ，∠ADE=40°，∠BCE=60°，求∠1、∠2、∠3的度数.知识点6：三角形角平分线、中线和高的概念 1、三角形中的三条线段的概念：三角形中的量重要线段概念图形表示法三角形的角平分线 在三角形中，一个内角的角平分线与它对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段。
三角形初步知识点
三角形初步知识点三角形是几何学中一个常见的形状，具有广泛的应用领域。
本文将介绍三角形的基本定义、性质和分类。
一、三角形的定义和基本性质1. 定义：三角形是由三条线段组成的图形，其中每两条线段之间都连接在一起，形成了三个内角和三个外角。
三角形的三个线段称为边，三个内角称为内角，三个外角则包围整个三角形。
2. 内角和：任意三角形的内角和等于180度。
即∠A + ∠B + ∠C = 180°，其中∠A、∠B、∠C分别表示三角形的三个内角。
3. 外角和：任意三角形的外角和等于360度。
即∠A' + ∠B' + ∠C'= 360°，其中∠A'、∠B'、∠C'表示三角形每个内角对应的外角。
4. 三条边的关系：三角形任意两边之和大于第三边，且任意两边之差小于第三边。
即对于三角形ABC，AB + BC > AC，AC + BC > AB，AB + AC > BC。
二、三角形的分类根据三角形的边长和角度的大小，可以将三角形分为以下几种常见类型：1. 根据边长分类：a) 等边三角形：三条边长相等的三角形，记作△ABC，其中AB = BC = AC。
b) 等腰三角形：两条边长相等的三角形，记作△ABC，其中AB= AC或BC = AC或AB = BC。
c) 普通三角形：三条边长都不相等的三角形，记作△ABC，其中AB ≠ BC ≠ AC。
2. 根据角度大小分类：a) 直角三角形：其中一个内角为直角（90度），记作△ABC，其中∠C = 90°。
b) 钝角三角形：最大的内角大于90度，记作△ABC，其中∠C > 90°。
c) 锐角三角形：三个内角都小于90度，记作△ABC，其中∠A、∠B、∠C均小于90°。
关于三角形的分类，还有一些特殊的组合，如：等边且等角的三角形是正三角形，有一个角为直角的等腰三角形是等腰直角三角形等。
数学八上第一章知识点总结
数学八上第一章知识点总结一、三角形的初步知识。
1. 三角形的有关概念。
- 三角形：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
- 三角形的边：组成三角形的线段叫做三角形的边。
- 三角形的顶点：相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点。
- 三角形的内角：三角形相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。
- 三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”。
2. 三角形的分类。
- 按角分类：- 锐角三角形：三个角都是锐角的三角形。
- 直角三角形：有一个角是直角的三角形，直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角所对的边叫做斜边，夹直角的两条边叫做直角边。
- 钝角三角形：有一个角是钝角的三角形。
- 按边分类：- 不等边三角形：三边都不相等的三角形。
- 等腰三角形：有两条边相等的三角形，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。
- 等边三角形：三边都相等的三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，它的三个角都相等，并且每个角都等于60°。
3. 三角形的三边关系。
- 三角形任意两边之和大于第三边。
- 三角形任意两边之差小于第三边。
- 判断三条线段能否组成三角形的简便方法：只要判断较短的两条线段之和是否大于最长的线段即可。
4. 三角形的高、中线与角平分线。
- 三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
三角形的三条高所在的直线相交于一点。
- 三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线。
三角形的三条中线相交于一点，这点叫做三角形的重心。
- 三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
三角形的三条角平分线相交于一点。
5. 三角形的稳定性。
- 三角形具有稳定性，而四边形具有不稳定性。
人教版八年级上册数学各单元知识点归纳总结
人教版八年级上册数学各单元知识点归纳总结
第一章：三角形的初步知识
1. 三角形的基本性质：稳定性、内角和定理（三角形内角和为180度）。
2. 三角形的分类：等腰三角形、等边三角形、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形。
3. 三角形的边与角的关系：边长与角度的关系，如a:b:c=sinA:sinB:sinC。
第二章：全等三角形
1. 全等三角形的定义及性质。
2. 全等三角形的判定方法：SSS（三边全等）、SAS（两边及夹角全等）、ASA（两角及夹边全等）、AAS（两角及非夹边全等）、HL（直角边斜边公理）。
3. 全等三角形的证明方法。
第三章：轴对称与中心对称
1. 轴对称与中心对称的基本性质。
2. 轴对称与中心对称图形的识别与证明。
3. 图形变换的基本方法。
第四章：四边形
1. 四边形的性质：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形等的基本性质。
2. 四边形的判定方法。
3. 四边形的面积计算。
第五章：一次函数
1. 函数的基本概念：自变量、因变量、常数。
2. 一次函数的定义及性质。
3. 一次函数的图象表示方法。
4. 一次函数的解析式及求法。
5. 一次函数的应用：求最值、求交点等。
第六章：一元一次不等式
1. 不等式的基本性质。
2. 一元一次不等式的解法：去分母、去括号、移项合并同类项等。
3. 一元一次不等式的应用：比较大小、求解最值等。
三角形的初步知识
第1章 三角形的初步知识1．1 认识三角形①一、参考答案 【学习准备】1．三角形，长方形，圆等． 2．三角形三个内角的和等于180°等． 【课本导学】 『思考一』1.不在同一直线上，首尾顺次．2. AD 是△ABD 、△ADE 、 △ADC 的边 C ∠是△ABC 、△ADC 、△EDC 的角． 『练习』第4页做一做．(1)△ABD ,边：,,AB AD BD ；角：,,A ABD ADB ∠∠∠；△ABC ,边：,,AB AC BC ；角：,,A ABC C ∠∠∠； △DBC ,边：,,DC DB BC ；角：,,CDB DBC C ∠∠∠． (2)∠ABC =80°.第6页作业题1．(1)有5个．分别是△ABC 、△BCD ．△ABD 、△BCE 、△DCE . (2) ∠A =55°.『归纳』通常先固定一个顶点，变换另两个顶点，这样就能做到不重不漏． 『思考二』还可以按边的大小进行分类．『练习』第5页课内练习1 ．锐角三角形：△ADE ；直角三角形：△ACD ；钝角三角形：△ACB ， △CDB ．『归纳』．锐角三角形，直角三角形，钝角三角形． 『思考三』1．（1）,B C ；（2）,A B ；（3）,A C ．2．因为三条线段的长度都已给出，且a b c <<，则显然,a c b b c a +>+>，故只需验证a b c +>． 3．方案一：（作图法）任画一个三角形，先利用直尺和圆规画出任意两边之差，再把这个差与第三边作比较．方案二：（度量法）任画一个三角形，先用刻度尺度量三边的长度，再计算任意两边之差，并把这个差与第三边作比较．结论：三角形任何两边的差小于第三边． 『练习』第5页课内练习2 ．(1) 最长线段是3.5cm ，而12 3.5+<，∴这三条线段不能组成三角形； (2) 最长线段是9cm ，而459+=，∴这三条线段不能组成三角形； (3)最长线段是13cm ，而6813+>，∴这三条线段能组成三角形． 第6页课内练习3．(1)<（三角形任何两边之和大于第三边）；(2)>（三角形任何两边之和大于第三边）．第6页作业题2． (1)最长线段是20cm ，而15820+>，∴这三条线段能组成三角形；(2) 最长线段是15cm ，而7815+=，∴这三条线段不能组成三角形； (3)最长线段是15cm ，而5815+<，∴这三条线段不能组成三角形．作业题3．能．先利用直尺和圆规画出线段AB =a +c ，比较AB 与b ，可知a c b +>，即a 、b 、c 能组成三角形．（也可用刻度尺度量） 『归纳』．1．大于，小于．2．(1)比较三条线段的长度，确定最长的一条．如果三条线段等长，那么其中任何一条都可以看做最长的一条；(2)把最长的一条线段与另外两条线段的和作比较，如果大于，则可以组成三角形，否则不能组成． 【学习检测】1．D ． 2．4，6，0． 3．C ．4．5个．1,6,6;2,5,63,4,63,5,54,4,5；；；． 【拓展提高】 1．21+3+5+7++21)n n -=（．2．如图1，P 即为所求作的点．理由：如图2，在直线a 上任取一点'P (不与P 点重合)，连结'',P M P N ， 则有：''PM PN MN P M P N -=+＞， 即PM PN -最大．二、《学习导航》使用建议“学习准备”和“思考一”可以安排在课前完成，课堂上针对“学习准备” 和“思考一”自主学习中所形成的共识、产生的困惑和疑问开展交流讨论，“思考二”和“思考三”可先让学生独立思考、再交流讨论，最后由老师引导小结，相应的练习配置及检测部分可视课堂进展灵活处理． 三、课堂小结建议结合本节课教学内容和教学目标，引导学生从以下方面进行归纳总结： 1．知识技能方面（1）三角形的基本概念．（2）三角形按内角大小的分类．（3）三角形三边的关系． 2．思想方法方面数三角形的个数，将三角形按内角大小进行分类，从多条线段中任选三条拼接三角形，这些活动都体现了数学分类思想方法．3．本课学习中获得的经验和需要注意的问题、困惑等． 在进行分类讨论时，要遵循的基本原则：不重不漏．4．需要进一步研究的问题：直角三角形是一种很特殊的三角形，它具有哪些独特的性质？三角形如果按边的大小进行分类，又该如何分类？1．1 认识三角形②一、参考答案【学习准备】1．略． 2．略． 【课本导学】 『思考一』1．三角形的角平分线和角的平分线均将已知角二等分，但三角形的角平分线为线段而角的平分线为射线．2．垂线段，垂线段，距离． 3．(1)EC ，12，12S ，等底同高的三角形面积相等； (2) FC ，12，14S ； (3) 14S ，14S ，14S ．『练习』课本第7页做一做．1．发现三条角平分线相交于三角形内部一点．课本第7页做一做．2．发现三条中线相交于三角形内部一点．课本第7页做一做．3．(1)略；(2)锐角三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角形斜边上的高在三角形的内部，某一条直角边上的高即另一条直角边；钝角三角形钝角所对边上的高在三角形的内部，其他两条边上的高都在三角形的外部． 课本第8页课内练习1．(1)略，(2)略．课本第8页课内练习2．(1) 有；(2)相等，因为等底同高的三角形面积相等． 课本第9页作业题1．,DC BC ；,BCE ACB ∠∠．课本第9页作业题3．发现：△ABD 和△ACD 的公共边AD 上的高相等．理由：分别以BD 和DC 为底，易知△ABD 和△ACD 等底同高，所以△ABD 和△ACD 面积相等.以公共边AD 为底，则由面积相等易知公共边AD 上的高相等.『归纳』．1．锐角，直角，钝角． 2．相等．『思考二』1．(1)略， (2) ①01402EAC EAB BAC ∠=∠=∠=，三角形角平分线的性质； ②090ADC ADB ∠=∠=，三角形高的性质；③DAE DAC EAC ∠=∠-∠或DAE BAE BAD ∠=∠-∠． 2．由∠DAE =∠BA E －∠BAD 亦可求解． 『练习』课本第9页作业题2．0045,15． 『归纳』．(1) 角平分线；(2) 直角；(3)内角和为180°；（4）和差．【学习检测】1．025． 2．3． 3．如下左图． 4．如下右图．HEDCBA【拓展提高】1．111111,,81622n n ++⎛⎫=⎪⎭⎝． 2．答案：如右图，连结BD ，,E F 分别为,AD BC 的中点，ABE DBE S S ∆∆∴=，BDF CDF S S ∆∆∴=1122S S ∴==四边形DEBF 四边形ABCD ．二、《学习导航》使用建议“学习准备”和“思考一”的内容可以安排在课前完成，课堂上针对“学习准备” 和“思考一”自主学习中所形成的共识、产生的困惑和疑问开展交流讨论，以及“思考二”的学习和讨论，检测部分可视课堂进展灵活处理．三、课堂小结建议 结合本节课教学内容和教学目标，引导学生从以下方面进行归纳总结： 1．知识技能方面（1）三角形的角平分线、中线和高的概念．（2）三角形的角平分线、中线和高的性质及其相关计算． 2．思想方法方面将三角形的角平分线与角的平分线，三角形的中线与线段的中垂线，三角形的高和垂线进行类比，这体现了类比的数学思想方法．3．本课学习中获得的经验和需要注意的问题、困惑等．经历三角形的角平分线、中线和高等概念的形成过程，积累一定的数学活动经验．困惑：在1.1的第一课时，无论从教学内容，还是从课后的习题配备，编写教材的人似乎都在回避三角形内角和的性质，但在1.1的第二课时的例2和课后的习题中，似乎又默认了三角形内角和的性质，这着实让人有些费解．1．2 定义与命题（一）一、参考答案 【学习准备】1．角平分线：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线；三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线．相同点：把一个角分成相等的两部分；不同点：角的平分线是一条射线，三角形的角平分线是一条线段． F ABCDE如图，射线AD 是∠BAC 的平分线，线段AD 是△ABC 的一条角平分线． 2.∠B =∠B ′，∠B +∠B′=180º如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补. 【课本导学】 『思考一』1． 北约、华约、卓越联盟.2．举例：①一元一次方程：只含有一个未知数，未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程．②角：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角．③单项式：t 100，p 8.0，mn ，h a 2，n 这些式子都是数或字母的积，像这样的式子叫做单项式． 定义的一般形式为：前半部分为描述部分，能清楚地规定某一名称或术语的意义，后半部分一般为固定模式，定义的形式为：“……的 ……叫做××”． [练习]课本第10页“做一做”（1）无理数：像2这种无限不循环小数叫做无理数；（2）直角三角形：有一个内角是直角的三角形叫做直角三角形；(3)角平分线：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线(4)抽样调查：人们在研究某个自然现象或社会现象时，往往会遇到不方便、不可能或不必要对所有的对象作调查的情况，于是从中抽取一部分对象作调查分析，这种调查方法叫做抽样调查． 课本第11页课内练习1：（1）三角形：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形；（2）平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形； （3）梯形：一组对边平行，而另一组对边不平行的四边形叫做梯形． 课本第12页作业题1：剪切力，张力，压力，地壳应力. 课本第12页作业题2：略.『归纳』要学会找定义中的关键字词，掌握它们的属性以及相互之间的联系，避免出现概念混淆，要学会区分某些相近的概念，如角平分线与三角形的角平分线，三角形的高线与垂线的等概念之间的联系．『思考二』1.命题由条件和结论两部分组成，条件是已知事项，结论是由已知事项得到的事项．一般地，把命题统一改写成“如果……那么……”的形式，其中以“如果”开头的部分是条件，“那么”后面的部分是结论．2.讲解定义、命题的含义时，要突出语句的作用．句子根据其作用分为判断、陈述、疑问、祈使四个类别．定义属于陈述句，是对一个名称或术语的意义的规定．而命题属于判断句或陈述句，且都对一件事情作出判断，跟判断的正确与否没有关系． [练习]课本第11-12页课内练习2：（2）（3）是 命题，（1）（4）不是命题； 课本第11-12页课本练习3：（1）如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等； （2）如果两个角是直角三角形的两个锐角，那么它们互余． 课本第11-12页课内练习4：略 课本第12页作业题3：（3）、（4）是命题，（1）、（2）不是命题. 课本第12页作业题4：略.『归纳』可以将命题改写成“如果．．．，那么．．．”的形式，并注意命题的语句要符合语言的表达习惯与逻辑． 【学习检测】1.像问题中的逃逸塔、助推器、一二级、整流罩等名词的含义必须有明确的规定，即需要给出定义． 2．（1）（2）（4）（6）是命题，（3）（5）不是命题．3. (1)条件：有两个角是同一个角的余角，结论：这两个角相等 如果两个角是同一个角的余角，那么它们相等.(2)条件：一个点在线段的垂直平分线上，结论：这个点到线段的两个端点距离相等 如果一个点在线段的垂直平分线上，那么它到线段的两个端点距离相等. 4．特征：这些整数都能被2整除偶数：能被2整除的整数叫做偶数． 【巩固提高】 1．（1）①③是奇异三角形，②不是；（2）设三边为a ，b ，c ，且c b a <<，则满足2222b c a =+即可.2．（1）2012a 的差倒数2013a = 4 ；（2）差倒数数列是一组循环的数，每三个数为一循环，分别是11,,434-. 二、《学习导航》使用建议“学习准备”和“思考一”可以安排在课前完成，课堂上针对“学习准备” 和“思考一”自主学习中所形成的共识、产生的困惑和疑问开展交流讨论，“思考二”可先让学生独立思考、尝试完成后，再由老师引导小结，挖掘拓展.相应的练习和作业题及检测部分可视课堂进展灵活处理．三、课堂小结建议结合本节课教学内容和教学目标，引导学生从以下方面进行归纳总结： 1．知识技能方面（1）定义和命题的概念和意义． （2）命题的基本构成． 2．思想方法方面学会数学语言的转化思想，引导规范化的几何语言描述，加强文字语言与结合图形的数学语言的互译.3．本课学习中获得的经验和需要注意的问题、困惑等．（1）提高分析能力，学会寻找数学名词的定义中的关键字词；（2）困惑：学生对文字语言的理解、表述和句式的变换（简单句变换为复合句）感到困难，应加强训练学生克服文字语言与结合图形的符号语言之间的转化能力.4．需要进一步研究的问题：找出命题的条件和结论是本节课的难点，因为命题在叙述时要求通顺和简练，把命题中的有些词或句子省略了，在改写时注意要把省略的词或句子添加上去．1．2 定义与命题（二）一、参考答案【学习准备】 1.条件：直线a ,b 被c 所截，∠1=∠2结论：a ∥b 2．（1）不正确，举例说明：33-≠，但33-=（2）不正确．因为线段可以度量，而射线和直线不可度量，所以它们不能比较． （3）正确．如图，a ⊥b ，c ⊥b ，可以说明直线a ∥c ． ac 12a b理由：由已知a ⊥b ，c ⊥b ，根据垂直的意义，得∠1=∠2=90º ∴a ∥c （同位角相等，两直线平行）【课本导学】 『思考一』1.判定一个命题是真命题，常用推理的方式，根据已知事实来判断未知事实；也有一些经过长期实践公认为正确的命题；判断假命题，常用举反例的方法． 2.（1）假命题，反例：若两个角为30 º，45 º，但30 º+45 º<90º （2）钝角的一半是锐角．真命题.理由：设钝角为α，则︒<<︒18090α，则︒<<︒90245α[练习]课本第15页课内练习1：略；课本第15页作业题3：略.『思考二』1. 反例要符合命题的条件，但不满足命题的结论．假命题的反例不一定唯一. 假命题：（1）对于任何实数ｘ，0>x ；（2）a a >2（1）的反例是唯一的，只有0=x ；（2）的反例是：满足0a ≤的所有实数 2.0a ≥ [练习]课本第14页做一做：（1）真.可由度量或观察得到.（2）真.是人类经过长期实践后公认为正确的命题.（3）真.根据同位角相等，两直线平行可以判断.（4）假.反例：蝙蝠会飞，但不是鸟类. 课本第15页作业题1：（1）是真命题；（2）（3）（4）是假命题.理由略. 课本第15页作业题2：是假命题，理由：当3=x 时，原方程无意义『归纳』判断一个命题是假命题，通常用举反例的方法，说明一个命题是真命题，需要严密的逻辑推理．『思考三』1.基本事实和定理都是真命题，都可以作为判断其他命题的依据．定理是用推理的 方法判断为正确的命题，基本事实是经过长期实践公认为正确的命题， 已经学过的几个基本事实： （1）两点确定一条直线； （2）两点之间线段最短；（3）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（4）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．已经学过的定理：三角形任何两边的和大于第三边.2.课本里只选择部分最基本、最常用的命题作为定理，用它们为依据来推证其他命题.3.区别：性质定理是根据两条直线平行，去证角的相等或互补，判定定理是根据两角相等或互补，去证两条直线平行．联系：它们都是以两条直线被第三条直线所截为前提；它们的条件和结论是互逆的． [练习]课本第15页课内练习2：理由如下：∵∠2+∠3=180º，又∵∠1+∠2=180º∴∠1=∠3 ∴a ∥b 课本第15页作业题4：∵∠1=∠2，∴1l ∥2l∴∠3=∠4『归纳』略.【学习检测】1．C 2．0=x ．3．（1）假命题；反例：如图，点M 在线段AB（2）真命题4．解：DE ∥BC .理由如下：∵BD ⊥AC ，FG ⊥AC ，∴BD ∥FG , ∴∠1＝∠DBC ∵∠1＝∠2∴∠2＝∠DBC ，∴DE ∥BC . 【巩固提高】1. ∠B =∠C . 理由如下：∵AD ∥BC ，∴∠EAD ＝∠B , ∠DAC ＝∠C ∵AD 平分∠EAC , ∴∠EAD ＝∠DAC ∴∠B ＝∠C2．真命题：①②⇒④理由：∵BD 是∠ABC 的平分线；∴∠DBC ＝21∠ABC ∵CE 是∠ACB 的平分线；∴∠EC B ＝21∠ACB∵∠A +∠ABC +∠ACB ＝180º， ∴12(∠A +∠ABC +∠ACB )＝90º，即∠DBC +∠ECB =90º－12∠A 又∵∠BFC +∠DBC +∠ECB ＝180º ∴∠BFC =180º －（90º－12∠A ）=2190+︒∠A∵∠A =α ∴∠BFC =α2190+︒真命题：①③⇒⑤理由：∵BD 、CE 是ΔABC 的两条高 ∴∠ADB =∠BEC =90º ∴∠A +∠ABD =90º，∠EFB +∠ABD =90º ∵∠EFB =∠A =α ∴∠BFC =α-︒180.二、《学习导航》使用建议“学习准备”和“思考一”可以安排在课前完成，课堂上针对“学习准备” 和“思考一”自主学习中所形成的共识、产生的困惑和疑问开展交流讨论，“思考二”可先让学生独立思考、尝试完成后，再由老师引导小结，挖掘拓展，相应的练习配置及检测部分可视课堂进展灵活处理．三、课堂小结建议结合本节课教学内容和教学目标，引导学生从以下方面进行归纳总结：A1．知识技能方面（1）理解真命题、假命题和定理的概念；（2）会在简单情况下判断一个命题的真假，会区分基本事实、定理和命题； （3）理解反例的意义和作用，掌握在简单情况下利用反例说明一个命题是错误的 2．思想方法方面通过对真假命题的判断，培养学生科学严谨的学习方法. 3．本课学习中获得的经验和需要注意的问题、困惑等．（1）让学生理解真命题常常通过推理的方式即根据已知事实来推断未知事实，也有一些命题是人们经过长期实践后而公认为正确的命题；（2）困惑：反例有助于加深学生对命题的条件和结论之间关系的认识，但是构造反例是困难的. 4．需要进一步研究的问题： 进一步学会用推理的方法来判断真命题的成立.1.3 证明（1） 【学习准备】1. 图1、图2中的直线看上去并不平行，而实际上是互相平行的.2. 视觉上是左边的小圆小于右边的小圆.【课本导学】『思考一』1.可以用推平行线法或利用平行线的判定方法找相等的同位角或内错角、互补的 同旁内角 ．2.如：n =6时，代数式的值是25，不是质数．『练习』第16页“合作学习”：2. “对于自然数n ，代数式237n n -+的值都是质数”是个假命题.如：n =6时，代数式的值是25，不是质数.『归纳』1.说明一个命题是真命题，我们往往需要进行证明．说明一个命题不是真命题，我们只需要举出相应的反例即可.2. 在以往的学习中，我们已经学习过简单的说理过程.比如学习平行线性质运用的时候. 『思考二』1．说明∠1=∠2的过程中∠E 起着桥梁作用.2．要想证明BE 平分∠ABC ，只要证明∠1=∠2.而已知∠1=∠E ，由DE ∥BC 可知 ∠2=∠E ，从而∠1=∠2可证.从而原命题可证. 『练习』课本第17页课内练习1： 证明：∵∠1=∠2 （已知），∴DE ∥BC （内错角相等，两直线平行）， ∴∠ADE =∠B （两直线平行，同位角相等）. 课本第17页课内练习2：证明：∵CE 平分∠ACD （已知），∴∠ACD =2∠ECD （角平分线的意义）. 又∵∠ACD =2∠B （已知）， ∴∠ECD =∠B （等量代换），∴CE ∥AB （同位角相等，两直线平行）. 课本第18页作业题2：∠B+∠C1802A-∠1802A-∠同角（等角）的余角（补角）性质等.『思考三』1．例2的结论还可以有：∠EPF=90°，EP⊥FP.命题：两直线平行，同旁内角的角平分线互相垂直.2. 由平行线性质，将同旁内角之间的位置关系转化为“和为180°”这个数量关系；由角平分线转化为两角相等.『练习』第17页作业题1 ：已知，GH，180°，两直线平行同旁内角互补，垂直的意义，垂直的定义．『归纳』1．两直线平行同旁内角互补．2．对顶角相等；若两直线相交成90度角，那么这两条直线互相垂直；若两线垂直，则相交成90度；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；同（等）角的余（补）角相等；角平分线分得的角相等；三角形内角和为180度；等等．【学习检测】1．70°.2．证明：∵a∥b，∠1=50°（已知），∴∠3=50°（两直线平行，内错角相等），∵c∥d（已知），∴∠4=∠3=50°（两直线平行，内错角相等）.∴∠2=180°－∠4=130°.3．证明：∵AB∥DC（已知），∴∠A+∠D=180°（两直线平行，同旁内角互补），∵AD∥BC（已知），∴∠C+∠D=180°（两直线平行，同旁内角互补），∴∠A=∠C（同角的补角相等）.4．证明：∵AB∥DE（已知），∴∠AGF=∠E（两直线平行，同位角相等），∵BC∥EF（已知），∴∠AGF=∠B（两直线平行，同位角相等）∴∠B=∠E（等量代换）.【巩固提高】1.可得到结论：∠ABC=∠DEF，AB∥ED.ab c21d34第2题A BCE F D GH证明：∵AC ∥FD （已知），∴∠C =∠F （两直线平行，内错角相等），∵∠A =∠D （已知），∠ABC =180°－∠A －∠C ，∠DEF =180°－∠D －∠F (三角形内角和为180°）， ∴∠ABC=∠DEF∴AD ∥BC （内错角相等，两直线平行）.2．不是真命题.223n n ++=(2)3n n ++，当n 为正整数时，n 与(2)n +同奇或同偶，(2)n n +的结果可奇可偶，那么加上3，结果也是可奇可偶.当n 为偶数时，223n n ++都是奇数.二、《学习导航》使用建议“学习准备”和“思考1”及练习的学习可以在课前进行，使学生自主回顾已学习的相关知识.课堂上进行“思考2、3”的学习和讨论．各部分相应设置的课本中练习可以酌情选做.本节课的关键在于使学生学会分析证明思路和书写简单的证明过程，在书写过程中强调步步有依据.三、课堂小结建议结合本节课教学内容和教学目标，引导学生从以下方面进行归纳总结： 1．知识技能方面（1）学会简单的证明过程的书写，掌握书写格式. （2）知道用举反例的方法说明一个命题是假命题． （3）学会简单的分析方法，并能口述分析问题的思路.2．思想方法方面在证明过程中体会数与形的互相转化，渗透转化思想；在分析和书写过程中，加强逻辑性、条理性的训练，提高学生的思维能力；在解题后的反思中，引导学生归纳几何中常见的方法和模型.3．本课学习中获得的经验和需要注意的问题、困惑等：经验有：证明角相等的方法归类；数形互相转化的途径等．困惑的地方有：第18页作业题2中必须用到三角形内角和的性质，这里的理由书写是否直接沿用小学的知识就可以了.1.3 证明（2） 【学习准备】如图，将∠A 沿过AB 、AC 中点的直线EF 对折，则点A 恰好落在边BC 的点D 上.根据对折知AE =ED ，AF =FD .从而有BE =ED ，DF =CF ，所以沿EG 、FH 对折，可以得到B 、D 两点重合，C 、D 两点重合.因此，∠BAC +∠B +∠C =∠BDE +∠EDF +∠FDH =180°.【课本导学】『思考一』1．（1）都是将原三角形的三个内角拼成一个平角来验证. （2）有.如图所示：图3ABCED图1ABCE图2DA BFE2.(1)三角形外角的性质，描述的是三个角之间的关系，并且是将一个大角写成了两个较小的角的和.这种形式，是以往的定理中没有出现过的.（2）∠B=55°.『练习』(1) 课本第20页作业题1：已知，高线的意义，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．课本第20页作业题3：解：∵∠3=∠1+∠2=100°，∴∠1=∠2=50°．（2）课本第19页课内练习1：证明：在△ACD中，∠CAD=180°－90°－72°=28°.又∠DAB=∠CDA－∠B=72°－54°=28°.∴∠CAD=∠DAB，即AD平分∠BAC.课本第20页作业题2：证明：∵∠BDC=∠A+∠ABD，∠BDC=75°，∠A=40°,∴∠ABD=35°，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠DBC=35°，∠ABC=70°.∴在△BCD中，∠C=180°－35°－75°=70°.『归纳』1.最后一步“∠BOC=∠BEC+∠AC F”的理由是“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”．2. 运用了三角形的内角和定理、三角形外角的性质定理、角平分线的性质与判定.『思考二』1．内错角相等，两直线平行.同位角相等，两直线平行.同旁内角互补，两直线平行.∴∠BOC=∠BOD +∠COD=（∠BAO+∠1）+（∠CAO+∠2）=∠BAC+∠1+∠2.『归纳』1.都构造了三角形的外角．2.三角形外角的性质可以将一个角转化为两个角的和；可以已知两个角，求第三个角．【学习检测】1．31°. 2．55°，80°. 3．C .4．证明：∵∠EAC=∠B+∠C，∠EAC=∠EAD+∠DAC又AD平分外角∠EAC，∠B=∠C，∴∠EAC =2∠EAD =2∠B，∴∠EAD =∠B，∴AD∥BC.【巩固提高】1．80°.2.（1）∠A +∠ACD +∠D =360°. 证明：连结AD ， ∵A B ∥DE ，∴∠BAD +∠ADE =180°(两直线平行，同旁内角互补)， ∵∠CAD +∠ACD +∠CDA =180°（三角形的内角和为180°），∴∠BAD +∠ADE +∠CAD +∠ACD +∠CDA =∠BAC +∠ACD +∠CDE =360°. (2) ∠ACD =∠BAC +∠CDE . 证明：连结AD ， ∵A B ∥DE ，∴∠BAD +∠ADE =180°(两直线平行，同旁内角互补)， ∵∠CAD +∠ACD +∠CDA =180°（三角形的内角和为180°）， ∴∠BAD +∠ADE =∠CAD +∠ACD +∠CDA ，即（∠BAC +∠CAD ）+（∠CDA +∠CDE ）=∠CAD +∠ACD +∠CDA ， ∴∠ACD =∠BAC +∠CDE .或延长AC 交DE 于点F ，应用三角形外角性质也可推得结论.二、《学习导航》使用建议“学习准备”的自主学习可以在课前进行，作为对小学知识的回顾.课堂上对“思考1”进行分段自主学习，先讨论三角形内角和定理的证明思路和方法，然后学习三角形外角性质.“思考2”的学习和讨论，侧重于对辅助线添法的交流探讨.三、课堂小结建议结合本节课教学内容和教学目标，引导学生从以下方面进行归纳总结： 1．知识技能方面（1）掌握三角形内角和定理和三角形外角性质的证明方法. （2）进一步规范证明的表述格式. （3）初步体会辅助线的添加思路. 2．思想方法方面通过例3、例4中辅助线的添加方法探讨，体会数学中的构造思想和转化思想；通过辅助线的多样添加方法，体会数学解决问题策略的多样化.3．本课学习中获得的经验和需要注意的问题、困惑等：辅助线的添加思路是要将条件密集，构造出需要的图形，便于转化未知为已知.1.4 全等三角形 【学习准备】 图案标记略.【课本导学】 『思考一』1．从形状和大小两个方面进行考虑.C A2. 生活中常见的全等图形有：国旗上的小五角星；相同的邮票、照片等等.3. 半径相等的圆，等等.图形略.[练习]课本第22页做一做．1.（1）是全等图形.大小形状都一样.（2）不是.形状相同，大小不等. 课本第22页２．是全等图形.可以叠合图形，看是否重合.课本第24页作业题2.（1）（2）正确.因为图形的形状大小相同.（4）正确.因为全等三角形大小相等，所以面积相等.（3）不正确.因为面积相等的三角形形状不一定相同.『归纳』1.叠合时可以将三角形的三个顶点逐一叠合；或将对应的角或边叠合.2.需要两个条件：形状相同，大小相等.『思考二』填空：完全重合；≌.1. 用符号“≌”表示两个三角形全等，书写时要注意对应顶点的字母写在对应的位置上.2. 若已知两个全等三角形的对应顶点，以对应顶点为顶点的三角形内角即所找的对应角，对应点连结的线段即对应边；知道对应角，则对应角的顶点即对应顶点，对应角所对的边即对应边，或对应顶点连结而成的线段即对应边；知道对应边，则对应边所对的角即对应角，对应角的顶点即对应顶点.[练习]课本第24页课内练习1 ：是全等图形；因为这样的两个圆大小相等，能够互相重合.课本第24页课内练习2：对应边：AO和DO，OC和OB，AC和DB；对应角：∠A和∠D，∠C和∠B，∠AOC和∠BOD.课本第24页作业题1：对应角：∠D和∠C，∠AOD和∠BOC；对应边：AO和BO，OD和OC，AD和BC；△OAD≌△OBC.『归纳』1. 全等三角形的对应顶点、对应角、对应边之间的联系：对应角的顶点是对应顶点；对应角所对的边是对应边；两组对应边所夹的角是对应角，两组对应角所夹的边是对应边.2. 用符号“≌”连接的一对全等三角形，在找对应顶点、对应边、对应角的过程中，对应位置上的两个字母表示的是对应顶点，字母对应两两组合成的字母对表示对应的边，字母三三组合成的字母组合表示对应的角.『思考三』1. 例2 中判断两个三角形全等的依据是图形全等的定义.2. 关键是判断点B和点C是否重合.分两个步骤进行：先判断两点所在的射线AB、AC对折后能重合，然后判断由线段相等判断射线上的点B和点C能重合.3. BD=CD，∠B=∠C，也可以直接应用“全等图形”的定义进行判断.题中已经说明了将图形沿AD对折后，点B、点C可以互相重合，因此线段DB、DC可以互相重合，所以BD=CD.而∠B与∠C的顶点及其两边分别可以重合，所以∠B=∠C.[练习]课本第24页作业题3：∠ADC，重合，C，重合，≌，全等三角形的对应角相等.『归纳』1. 本节课学习的全等图形的判定依据是全等图形的定义：能够互相重合的图形叫全等图形.。
浙教版八年级上册数学第一章《三角形的初步知识》知识点及典型例题
浙教版⼋年级上册数学第⼀章《三⾓形的初步知识》知识点及典型例题浙教版⼋年级上册数学第⼀章《三⾓形的初步知识》知识点及典型例题考点⼀、判断三条线段能否组成三⾓形考点⼆、求三⾓形的某⼀边长或周长的取值范围考点三、判断⼀句话是否为命题，以及改成“如果……那么……”的形式考点四、利⽤⾓平分线、垂线（90°⾓）、三⾓形的外⾓、内⾓和、全等三⾓形来计算⾓度考点五、利⽤垂直平分线的性质、⾓平分线的性质、全等三⾓形来计算线段长度考点六、证明三⾓形全等，以及在三⾓形全等的基础之上进⼀步证明线段、⾓度之间的数量关系考点七、画三⾓形的⾼线、中线、⾓平分线，以及基本图形的尺规作图法考点⼋、⽅案设计题，求河宽等问题例1、已知两条线段的长分别是3cm 、8cm ，要想拼成⼀个三⾓形，且第三条线段a 的长为奇数，问第三条线段应取多少厘⽶？1、某⼀三⾓形的两边长分别是3和5，则该三⾓形的周长的取值范围为（） A 、10≤a ＜16 B 、10＜a ≤16 C 、10＜a ＜16 D 、2＜a ＜82、能把⼀个三⾓形分成⾯积相等的两部分是三⾓形的（）A 、中线B 、⾼线C 、⾓平分线D 、过⼀边的中点且和这条边垂直的直线 3、已知⼀个三⾓形的三条⾼的交点不在这个三⾓形的内部，则这个三⾓形（）A. 必定是钝⾓三⾓形B. 必定是直⾓三⾓形C. 必定是锐⾓三⾓形D. 不可能是锐⾓三⾓4、△ABC 的三个不相邻外⾓的⽐为2：3：4，则△ABC 的三个内⾓的度数分别为。
例2、如图，已知△ABC 中，BE 和CD 分别为∠ABC 和∠ACB 的平分线，且BD=C E ，∠1=∠2。
说明BE=CD 的理由。
【设计意图】本例主要考察了⾓平分线和三⾓形全等的条件和性质，要说明两条线段相等的⽅法可以通过说明三⾓形全等来解决。
例3、已知AE ，AD 分别为△ABC 中BC 边上的中线和⾼线，且AB=7cm ，AC=5cm ，则△ACE 和△ABE 的周长之差为多少厘⽶？△ACE 和△ABE 的⾯积之⽐为多少？【设计意图】本例主要考察了三⾓形中线、⾼线的性质，重在格式的书写上。
浙教版-8年级-上册-数学-第1章《三角形的初步知识》-分节知识点
这样的推理过程叫做证明。
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2、证明表述格式 1、证明几何命题时，表述格式一般如下： （1）按题意画出图形； （2）分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论； （3）在“证明”中写出推理过程。 要点诠释： 1、在解决几何问题时，有时需要添加辅助线，添辅助线的过程要写入证明中，辅助线通常要画出虚线。
△ABC 与△DEF 全等，记作△ABC≌△DEF，其中点 A 和点 D，点 B 和点 E，点 C 和点 F 是对应顶点；AB 和 DE， BC 和 EF，AC 和 DF 是对应边；∠A 和∠D，∠B 和∠E，∠C 和∠F 是对应角。
1、按角分类：
要点诠释： ① 锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ② 钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形。 要点四、三角形的三边关系 1、定理：三角形任意两边之和大于第三边. 要点诠释： （1）理论依据：两点之间线段最短；
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（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，
浙教版 8 年级上册数学第 1 章《三角形的初步知识》-分节知识点
一、认识三角形
要点一、三角形的定义 1、由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 要点诠释： （1）三角形的基本元素： ① 三角形的边：即组成三角形的线段； ② 三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③ 三角形的顶点：即相邻两边的公共端点。 （2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”； （3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为 A、B、C 的三角形记作“△ABC”，读作“三角形 ABC”，
初二上册数学第一章 单元复习
第一部分 单元复习与检测第1章 三角形的初步知识单元复习1.了解三角形的有关概念，理解三角形的三边关系，理解三角形的内角和等于180°及外角的性质.2.了解全等三角形的概念，掌握三角形全等的判定方法，会证明两个三角形全等，掌握全等三角形的性质.3.理解三角形是最简单的几何图形，能在复杂的几何图形中找到三角形，并运用三角形的边角关系以及三角形的全等等知识解决问题.考点一：三角形的三边关系例1 （玉环市）如果三角形的两边长分别是5cm,7cm ，那么这个三角形第三边的长可能是( )A.12cmB.10cmC.2cmD.1cm例2 （杭州市江干区）一根长为1的绳子恰好围成一个三角形，则这个三角形的最长边x 的取值范围是 .1.三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边,三角形的两边之差小于第三边.2.在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验.检验时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形.1.（天台县）下列长度的三条线段，能组成三角形的是( )A.4，5，9B.8，8，15C.5，5，10D.6，7，142.（宁波市海曙区）若4，5，x 是一个三角形的三边，则x 的值可能是 .（写一个即可） 考点二：三角形的内角和与外角的性质例3 （杭州市西湖区）在△ABC 中，△A ，△C 与△B 的外角度数如图所示，则x 的值是( )A.60B.65C.70D.80例4 （金华市）将如图所示的一把直角三角尺放置在△ABC 上，使三角尺的两条直角边DE,EF 分别经过点B,C ，若△A ＝70°，则△ABE+△ACE ＝ .例5 如图所示，△MON ＝90°，点A,B 分别在OM,ON 上运动（不与点O 重合）.（1）如图1所示，BC 是△ABN 的平分线，BC 的反向延长线与△BAO 的平分线交于点D.①若△BAO ＝60°，则△D 的大小为 .②猜想：△D 的度数是否随点A,B 的移动发生变化？请说明理由.（2）如图2所示，若△ABC=13△ABN ，△BAD=13△BAO ，则△D 的大小为 ；若△ABC=1n △ABN ，△BAD=1n △BAO ，则△D 的大小为 （用含n 的代数式表示）.图1图21.三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.2.三角形的外角性质：①三角形的外角和为360°；②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.3.三角形内角和定理主要应用在求三角形中角的度数：①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角.运用时注意结合三角形角平分线、高线的定义.3.（杭州市萧山区）如图所示，在△ABC 中，AD 是高，AE 是角平分线，若△B ＝72°，△DAE ＝16°，则△C ＝ .(第3题） (第5题）4.（嘉善县）在△ABC 中，若△A=12△B=13△C ，则△A ＝ ，△ABC 是 三角形.5.如图所示，在△ABC 中，AE 是△CAB 的平分线，D 是AB 上的点，AE,CD 相交于点F.（1）若△ACB ＝△CDB ＝90°，求证：△CFE ＝△CEF.（2）若△ACB ＝△CDB ＝m （0°＜m ＜180°）.①求△CEF -△CFE 的值（用含m 的代数式表示）；②是否存在m ，使△CEF 小于△CFE ？如果存在，求出m 的取值范围；如果不存在，请说明理由.考点三：命题与证明及简单的几何作图例6 （杭州市萧山区）判断下列命题的真假，若是假命题，请举出反例；若是真命题，请给出证明.（1）若a ＞b ，则a 2＞b 2.（2）三个角对应相等的两个三角形全等.例7 （杭州市西湖区）如图所示，已知线段a ，b 和△1，用直尺和圆规作△ABC ，使AB ＝a ，AC ＝b ，△A ＝△1.（不写作法，保留作图痕迹）1.命题的“真”“假”是就命题的内容而言.任何一个命题非真即假.要说明一个命题是真命题，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可.2.尺规作图指只用圆规和直尺（无刻度）作出几何图形，主要依据几何图形的基本性质或判定定理作图，常见的尺规作图有作线段的中垂线、作一个角等于已知角和作角的平分线等，其作图原理大多与全等三角形有关.6.（绍兴市柯桥区）下列选项中，可以用来证明命题“若|a|＞0，则a＞0”是假命题的反例的是()A.a＝-1B.a＝0C.a＝1D.a＝27.（杭州市江干区）如图所示，P是△ABC内一点.用直尺和圆规作图：（1）过点P作BC的垂线，垂足为D；过点P作AB的垂线，垂足为E.（2）在射线BC上取一点F，使BF＝2BD-PE.考点四：全等三角形的判定例8 （杭州市江干区）如图所示，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在AB，AC上，BE，CD相交于点P，PB＝PC.求证：AD＝AE.例9 （宁波市北仑区）如图所示，点E在△ABC的外部，点D在边BC上，DE交AC于点F，若△1＝△2＝△3，AB＝AD，求证：（1）△E＝△C.（2）△ABC△△ADE.全等三角形的判定：（1）判定定理1：SSS——三条边分别对应相等的两个三角形全等.（2）判定定理2：SAS——两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等.（3）判定定理3：ASA——两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等.（4）判定定理4：AAS——两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.（5）判定定理5：HL——斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等.8.如图所示，点E，F在BC上，BE＝CF，△A＝△D，△B＝△C，AF与DE交于点O.（1）求证：△ABF△△DCE.（2）若△AOE＝80°，求△OEF的度数.9.（天台县）如图所示，△ACB＝90°，AC＝BC，AD△CE，BE△CE，垂足分别为D，E，若AD＝a，DE＝b.图1 图2（1）如图1所示，求BE的长，并写出求解过程.（用含a，b的式子表示）（2）如图2所示，当点D在△ABC内部时，直接写出BE的长：.（用含a，b的式子表示）考点五：全等三角形的性质与应用例10 （嘉兴市）用尺规作图作△BAC的平分线AD，痕迹如图所示，则此作图的依据是()A.SASB.SSSC.ASAD.AAS例11 （绍兴市柯桥区）观察发现：如图1所示，OP平分△MON，在OM，ON上分别取OA，OB，使OA＝OB，再在OP上任取一点D，连结AD，BD.请你猜想AD与BD之间的数量关系，并说明理由.拓展应用：如图2所示，在△ABC中，△ACB是直角，△B＝60°，AD，CE分别是△BAC，△BCA的平分线，AD，CE相交于点F，请你猜想FE与FD之间的数量关系，并说明理由.图1 图21.性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等.2.①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等；②全等三角形的周长相等，面积相等；③平移、翻折、旋转前后的图形全等.3.要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地，对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角.10.（杭州市拱墅区）如图所示，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK，若△MKN＝43°，则△P的度数为11.（临海市）如图1所示，为测量池塘宽度AB，可在池塘外的空地上取任意一点O，连结AO，BO，并分别延长至点C，D，使OC＝OA，OD＝OB，连结CD.（1）求证：AB＝CD.（2）如图2所示，受地形条件的影响，采取以下措施：延长AO至点C，使OC＝OA，过点C作AB的平行线CE，延长BO至点F，连结EF，测得△CEF＝140°，△OFE＝110°，CE＝11m，EF＝10m，请直接写出池塘宽度AB.图1 图2 备用图(第11题）本章主要易错点1.利用三角形的三边关系判断三条线段能否构成三角形时，要注意三边中的任意两边之和都要大于第三边，而习惯上我们一般把较小两条线段的和与最长的线段作比较，当已知三角形两边求第三边的取值范围时既要考虑两边之和大于第三边，又要考虑两边之差小于第三边.2.三角形的三条中线、三条角平分线都在三角形的内部，但高线不一定在三角形的内部，因此在解决涉及到三角形高线的问题时要注意图形的不确定性.3.判定全等有五个定理：SSS,SAS,ASA ，AAS 和HL ，注意“SSA”是一个假命题，证明时注意选用正确的判定定理.4.几何命题的证明过程中，要注意思维清晰、推理严谨，要保证推理过程完整并合理.练习1.（绍兴市柯桥区）在△ABC 中，△A 是钝角，下图中作BC 边上的高线正确的是( )A. B. C. D.2.（金华市婺城区）对于命题“若a 2＞b 2，则a ＞b”，下面四组关于a ，b 的值中，能说明这个命题是假命题的是( )A.a ＝3，b ＝-2B.a ＝-2，b ＝3C.a ＝2，b ＝-3D.a ＝-3，b ＝23.（嵊州市）如图所示，已知△ABC△△EDF ，点F ，A ，D 在同一条直线上，AD 是△BAC 的平分线，△EDA ＝30°，△E ＝70°，则△ADC 的度数是 .(第3题） (第5题）4.（嘉兴市）当三角形中有一个内角α是另一个内角β的2倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中β称为“特征角”.若一个“特征三角形”是锐角三角形，则其“特征角”β的取值范围是 .5.如图所示，点B,C,E 在同一条直线上，AC ＝BC ，CD ＝CE ，△ACB ＝△DCE ＝60°.现有下列结论：①△ACE△△BCD ；②CG ＝CF ；③若连结GF ，则GF△BE ；④△ADB△△CEA.其中一定成立的有 (填序号).6.（嘉兴市）如图所示，在△ABC 中，AB ＝2AC ，AD 平分△BAC ，且AD ＝BD.求证：CD△AC.(第6题）。
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体验型课堂”学习方案数学（七年级下册）班级：姓名：
三角形的初步知识复习1
【学习导言】
再认三角形的有关概念，理解三角形的角平分线、中线和高线，再认全等三角形的性质与判定，再认线段中垂线与角平分线的性质。
课前学习：尝试体验（对话课本，记下问题，尝试练习）
【对话课本】阅读课本P2～P27
【再认概念】
1.三角形三边关系：三角形的和大于第三边；
2.三角形三角关系：三角形三个内角的和等于；
3.三角形的一个外角等于的两个内角的和；
4．在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的
叫做三角形的角平分线。
5．在三角形中，连结一个顶点与它对边叫做这个三角形的中线。
6．从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，叫做三角形的高。
7. 全等三角形的性质：；8．一般地，有的两个三角形全等（简写成“SSS”）
9．一般地，有的两个三角形全等（简写成“SAS”）
10．一般地，有的两个三角形全等（简写成“ASA”）
11．一般地，有的两个三角形全等（简写成“AAS”）
12．中垂线性质：的距离相等
13．角平分线性质：的距离相等
【记下问题】
【尝试练习】
1．如图，点E在AC上，∠ACB是的内角，∠AED是
的外角。
2．下列各组数据不可能是一个三角形的边长的是（）
（A） 5，12，13 （B） 5，7，7
（C） 5，7，12 （D） 101，102，103
3．如图，两根竹杆AB和BD斜靠在墙CF上，量得∠CAB，∠CDB的度数分别为α，β，求∠DBF和∠ABD的度数。
4．已知ΔABC（如图）
⑴用刻度尺画AC边上的中线；
⑵用量角器画∠B的平分线；
⑶用三角尺画BC边上的高。
5．如图，∠BAD=∠CAE，AB=AD，AC=AE，则ΔABC≌ΔADE，请说明理由（填空）解：∵∠BAD= （已知）
∴∠BAD+∠DAC= +
即 = ，
在ΔABC和ΔADE中，
AB=
（已知）
∠BAC= ，
AC=AE
∴ΔABC ΔADE（）
课内学习：合作体验（检评预习，审视问题，独立练习，纠错反审）
【检评预习】同桌交换学案，检查评价
批语：
【审视问题】思考提出的问题
问题1:三角形的内角与外角有怎样的结论?它们之间又有怎样的关系?
问题2:三角形的角平分线、中线与高线分别有什么结论?
问题3：三角形全等的判定定理应如何选择？
问题4：有哪些基本尺规作图？
【尝试例题】
例1 如图，在ΔABC中，AD是BC边上的高，CE是一条角平分线，它们相交于点P，已知∠APE=550，∠AEP=800，求ΔABC的各个内角的度数。
分析:
1.有已知条件可以求出哪一个角的度数?
2.如何求出∠PCD的度数?
例2 如图，AP平分∠BAC，PC⊥AC于C，PB⊥AB于B，写出图中相等的线段，并说明理由。
分析:
1.角平分线有何性质?
2.图中有何全等?
【独立练习】
A组
1．在ΔABC中,∠A=350,∠B=650,则∠C= ;
2.如图,在ΔABC中,∠A=350,∠C=450,则∠B相邻的外角的度数
是 ;
3．根据下列条件，判断ΔABC是哪一类三角形：
⑴有一个角是直角； ( )
⑵有一个外角是锐角； ( )
⑶三个内角的度数之比为3∶4∶5 ( )
⑷三条高都在ΔABC内； ( )
⑸有两条高分别与三角形的两边重合； ( )
⑹有两条高在三角形的外部。
( )
3．如图，L是线段AB的垂直平分线，与AB交于点C，P是L
上一点，写出图中相等的线段，并说明理由。
4.如图，已知线段a，c和∠α，作直尺和圆规作ΔABC，使∠ABC=∠α，AB=c，BC=a。
课后学习：反审体验（审查错误原因，检查练习）
【反思审查】再仔细审查学案，用红笔作出示意。
【独立作业】
A.组1.已知线段a=2cm,b=4cm,则下列长度的线段中,能与a,b组成三角形的是( )
A.2cm
B.4cm
C.6cm
D.8cm
2.如图,已知AE=AD,请你添加一个条件: ,使ΔABE≌ΔACD(图形中不再增加其它字母)
3.如图,在ΔABC中, AB的垂直平分线交AC于点D,已知AC=10cm,BD=7cm,则CD的长为 cm;
4.如图，直线L表示一条公路，点A，B表示两个村庄，现要在公路L上造一个加油站，并使加油站到两村庄A，B的距离相等，问加油站应建在何处？用尺规作出作出此点，
5.如图,在ΔABC中,∠C=900,∠CAB=2∠B,AD平分∠CAB,求∠ADB的度数
B组
6.如图,B,C,D在同一直线上,∠ACB=∠ECD=600,AC=BC,EC=CD,连结BE,AD,分别交AC,CE于M,N.⑴请说明ΔACD≌ΔBCE的理由;⑵请说明CM=CN的理由。