D75平面方程32356-PPT精品文档

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苏教版七下数学第七章-平面图形的认识PPT

建筑学
平面图形在建筑设计中广泛应用，如窗户、门、屋顶的设计等。
工程制图
在工程制图中，平面图形是表达设计意图和进行施工的基础。
日常生活
在日常生活中，平面图形也随处可见，如桌子的形状、瓶盖的设计等。
02
平面图形的性质与判定
平行线的性质与判定
平行线的性质两条平行线被一条横截线所截，同位角相等。
扇形、弓形和椭圆等特殊图形的面积计算
扇形面积计算
扇形面积 = (θ/360) × πr²，其中θ为扇形的圆心角，r 为半径
弓形面积计算
弓形面积 = 扇形面积 - 三角形面积
椭圆面积计算
椭圆面积 = πab，其中a 和b分别为椭圆的长半轴和短半轴
04
平面图形的变换与对称
平移、旋转和对称的基本概念
邻补角互补。
两直线相交，邻补角互补。
角的概念与性质
01
角的概念：从一个点出发的两条射线所组成的图形称为角。
02
角的性质
03
04
角的大小与其两边的长度无关，只与两边张开的角度有关。
角可以平分，角的平分线是一条射线，它将角平分为两个相
等的部分。
三角形的基本性质与判定
在此添加您的文本17字
三角形的基本性质
平移
在平面内，将图形沿某一方向移动一定的距离，图形的大小和形状不发生变化，只是位置发生了
改变。
旋转
在平面内，将图形绕某一点转动一定的角度，图形的大小和形状不发生变化，只是位置和方向发生了改变。
对称
图形沿某条直线折叠后，两边的部分能够完全重合，这种特性称为对称。
平面图形的对称性质与判定
对称性质

高等数学同济大学课件上第75平面方程

章节副标题
点法式求解
点法式：将平面方程转化为点法式，即 Ax+By+Cz+D=0
单击添加正文，文字是您思想的提炼
求解步骤： a. 代入已知点坐标，得到关于A、B、C、D 的方程组 b. 解方程组，得到A、B、C、D的值 a. 代入已知点坐标，得到关于A、B、C、D的方程组 b. 解方程组，得到A、B、C、D的值
题型四：求平面与平面的交点解析：利用平面方程和向量法，通过联立方程组求解。解析：利用平面方程和向量法，通过联立方程组求解。
THEME TEMPLATE
感谢观看
建立坐标系：根据题意，选择合适的坐标系，如直角坐标系、极坐标系等。
设未知数：根据题意，设出未知数，如x、y、z等。
列方程：根据题意，列出与平面方程相关的方程，如直线方程、平面方程等。
解方程：根据列出的方程，求解未知数，得到答案。
检验答案：将求得的答案代入原方程，检验答案是否正确。
平面方程的解题技巧
• 求解步骤： a. 确定系数A、B、C、D的值 b. 代入公式求解
• a. 确定系数A、B、C、D的值 • b. 代入公式求解
• 特殊情况： a. 当A=0时，平面方程为By+Cz+D=0 b. 当B=0时，平面方程为Ax+Cz+D=0 c. 当C=0时，平面方程为Ax+By+D=0 d. 当D=0时，平面方程为Ax+By+Cz=0
平面方程：描述平面上点的坐标关系的方程
性质：平面方程的系数决定了平面的位置和方向
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
几何意义：平面方程表示平面上任意一点的坐标满足的方程
特点：平面方程的系数决定了平面的性质，如对称性、旋转性等

7-5平面方程

(3) A B 0, 平面平行于xoy 坐标面；
类似地可讨论 A C 0, B C 0 情形.
求平面方程：待定系数法
例 3 设平面过原点及点(6,3, 2) ，且与平面
4x y 2z 8垂直，求此平面方程.
解设平面为 Ax By Cz D 0,
平面的方程

一般方程.
截距式方程.
（熟记平面的几种特殊位置的方程）
两平面的夹角.（注意两平面的位置特征）
点到平面的距离公式.
思考题
若平面 x ky 2z 0与平面 2 x 3 y z 0的夹角为，求k ?
4
思考题解答
cos
1 2 k (3) 2 1
616
化简得 1 1 1 , 令 1 1 1 t 6a b 6c 6a b 6c
a 1 , b 1, c 1 ,
6t
t
6t 代入体积式
1 1 1 1 1 6 6t t 6t
t 1, 6
a 1, b 6, c 1,
所求平面方程为 6x y 6z 6.
平面的点法式方程
平的点面的：集空合间（中轨，迹过）一定点且与一非零z向量垂直n
法向量：这垂直于平面的非零向量叫平面的法线向量．
M0 M
o
y
x
法线向量的特征：垂直于平面内的任一向量．已知 n { A, B, C}, M0( x0 , y0 , z0 ),
设平面上的任一点为 M( x, y, z) 点法式矢量方程
6、平面2x 2 y z 5 0 与xoy 面的夹角余弦为___ ________，与 yoz 面的夹角余弦为____________，与zox 面的夹角的余弦为_________；

高等数学课件D75平面方程

平面的方向向量
方向向量的定义：平面上任意两个不共线的向量方向向量的性质：方向向量的长度和方向决定了平面的方向方向向量的特点：方向向量的方向决定了平面的法向量
方向向量的应用：在空间解析几何中，方向向量可以用来表示平面的方向和位置
平面的法线方程
法线方程的定义：平面的法线方程是描述平面法线方向
添加副标题
高等数学课件D75平面方程
汇报人：
目录
CONTENTS
01 添加目录标题
02 平面方程的基本概念
03 平面方程的求解方法
04 平面方程的应用场景
05 平面方程的性质和特点
06 平面方程的特殊情况
添加章节标题
平面方程的基本概念
平面的定义
平面由两个不共线的向量确定
平面上的点满足两个向量的线性组合
直线方程为 Ax+By+Cz+D=0
平面与直线的法向量垂直
平面与直线的法向量平行
平面与直线平行的判定条件
平面方程为 Ax+By+Cz+D =0，其中A、B、 C、D为常数
直线方程为 Ax+By+Cz+D =0，其中A、B、 C、D为常数
平面与直线的法向量相同
平面与直线的法向量平行
感谢您的耐心观看
平面是三维空间中的一个二维平面
平面方程是描述平面上点的坐标与平面上向量的关系式
平面方程的表示方法
添加标题
点法式： Ax+By+Cz+D=0
添加标题
向量法式：(xx0)/a=(yy0)/b=(z-z0)/c=1
添加标题
截距式：A(xx0)+B(y-y0)+C(zz0)=0

高等数学课件D75平面方程

定义
截距式方程是利用平面与坐标轴的截距来确定平面的方程，表示为 x/a + y/b + z/c = 1。
求解步骤
1) 根据已知条件求出平面与坐标轴的截距a、b、c；2) 将截距代入截距式得到平面方程。
适用范围
适用于已知平面与坐标轴的截距的情况。
法线式求解平面方程
定义
法线式方程是利用平面上一点到原点的距离和该平面的法向量来确定平面的方程，表示为ρ = d * n（其中ρ为原点到平面的距离，d为常数，n为法向量）。
点是否在平面上判断问题
给定点的坐标和平面方程，可以判断点是否在平面上。
典型例题分析与解答
例题1
已知平面方程和点坐标，求点到平面的距离。
01
例题2
已知两个平行平面方程，求两平面间距离。
03
例题3
联立平面方程和直线方程，求平面与直线的交点坐标。
05
02
分析与解答
首先根据点到直线距离公式，将已知条件代入公式进行计算，得出点到平面的距离。
平面束的性质
平面束中的任意两个平面都互相平行，且都通过同一个定点。
平面束的表示方法
可以通过一个参数方程来表示平面束中的所有平面。
平面束在几何问题中应用
解决平行平面问题
利用平面束的概念，可以方便地解决与平行平面相关的问题，如判断两平面是否平行、求两平行平面间的距离等。
解决垂直平面问题
平面束也可以用于解决与垂直平面相关的问题，如判断两平面是否垂直、求ห้องสมุดไป่ตู้到垂直平面的距离等。
Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C不同时为零。
3
平面方程的几种特殊形式

的微积分第五章课件54平面

• A x + D =0 表示平行于 yOz 面的平面；
• B y + D = 0 表示平行于整理z课O件x 面的平面.
9
例 3 ( 1 ) 求通过 Z 轴及点 ( 3 , 1 , 2 ) 的平面方程 .
(2 )求通过点 (4 ,0 , 2 )及 (5 ,1 ,7 )且平行于 X 轴的平面方程 .
1 : A 1 x B 1 y C 1 z D 1 0 ,
2
2 : A 2 x B 2 y C 2 z D 2 0 ,
n 1 (A 1 ,B 1 ,C 1 ),
1
n 2 (A 2 ,B 2 ,C 2 ),
整理课件
12
按照两向量夹角余弦公式有
cos|n1n2|
|n1||n2|
平面的点法式方程
整理课件
3
例 1已知平面过点 M 0(3,1,7)，且垂直于 M 0与 M 1(7,1,2)的连线，求平面方程 .
例 2 求过三点 A ( 1 , 2 , 3 ) , B ( - 1 , 0 , 0 ) 和 C ( 3 , 0 , 1 ) 的平面方程 .
• 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量
n (0 ,B ,C ) i, 平面平行于 x 轴;
• A x+C z+D = 0 表示平行于 y 轴的平面;
• A x+B y+D = 0 表示平行于 z 轴的平面;
• C z + D = 0 表示平行于 xOy 面的平面;
平面由一定点和一非零向量所
z

75三元一次方程组(1)PPT课件

4
跟踪训练1
1．下列方程组中是三元一次方程组的是（ B ）
x 2 y 3,
A. x2y4,
2x y7
x2y 5,
B. 3x z 7,
2y3z 6
x y2,
C. y z 1,
zt 3
x2 y z 5,
D. x y6,
yxy 7
x2
2.思考： y 3 是三元一次方程组吗？
z 7
5
例：解三元一次方程组
三元一次方程组及其解法
1
1、什么是二元一次方程？什么是二元一次方程组？ 2、解二元一次方程组的基本思路是什么？基本方法有哪些？
2
1.了解什么是三元一次方程和三元一次方程组. 2.会用代入法或加减法解三元一次方程组.
3.体会解三元一次方程组的思想--“消元”.
3
温馨提示：1.自学课本24页
三元一次方程组
消元
二元一次方程组
消元
一元一次方程
ห้องสมุดไป่ตู้
7
跟踪训练2
x y 1
①
1.解三元一次方程x组 y z 26 ②
2x y z 18 ③
2.一个三位数，个位数字与百位数字的和等于十位数字，百位数字的7倍比个位数字与十位数字的和大2，个位数字、十位数字、和百位数字的和是14, 求这个三位数。
You Know, The More Powerful You Will Be
12
谢谢大家
荣幸这一路，与你同行
It'S An Honor To Walk With You All The Way
演讲人：XXXXXX
时间：XX年XX月XX日
13
怎样解三元一次方程组？

《D84平面及其方程》课件

坐标系：笛卡尔坐标系、极坐标系等
变换与坐标系的关系：变换在坐标系中的表示和计算
工程设计：用于机械设计、建筑设计等领域
计算机图形学：用于三维建模和渲染
数学研究：用于研究几何学、拓扑学等数学领域
物理研究：用于研究粒子物理、量子力学等物理领域
汇报人：
立体几何：D84平面在立体几何中也有广泛的应用，可以用来描述立体空间中的点、线、面之间的关系。
解析几何：D84平面在解析几何中也有重要的应用，可以用来描述解析几何中的点、线、面之间的关系。
向量几何：D84平面在向量几何中也有重要的应用，可以用来描述向量几何中的点、线、面之间的关系。
描述粒子的运动轨迹研究粒子的相互作用模拟粒子的散射和碰撞计算粒子的动量和能量
D84平面的性质：D84平面是四维空间中的一个平面，具有四维空间的性质。
D84平面的定理：D84平面的定理是四维空间中的一个定理，描述了D84平面的性质和特征。
D84平面的应用：D84平面在四维空间中的应用广泛，如四维空间中的几何、代数、物理等领域。
变换矩阵：描述变换的矩阵形式
变换类型：旋转、平移、缩放等
工程设计：用于建筑、机械、电子等领域的设计和优化
科学研究：用于物理、化学、生物等领域的研究和实验
教育领域：用于数学、物理、化学等学科的教学和研究
商业领域：用于市场营销、数据分析、决策支持等领的应用
PART SIX
D84平面的定义：D84平面是四维空间中的一个平面，由四个坐标轴组成。
确定D84平面方程的一般形式理解D84平面方程中的参数含义利用代数方法求解D84平面方程验证求解结果是否满足D84平面方程
确保方程的完整性和准确性

7-5平面及方程

n{4,1,2},
4A B 2C 0
A B 2C, 3
所求平面方程为 2x 2 y 3z 0.
例 4 设平面与 x, y, z三轴分别交于P(a,0,0)、 Q(0,b,0)、R(0,0,c)（其中a 0，b 0，c 0），
求此平面方程.
M(1,1,0) 1 M(1,1,0) 2
两平面平行但不重合．
(3) 2 1 1 , 两平面平行 4 2 2
M(1,1,0) 1 M(1,1,0) 2
两平面重合.
例8 一平面过点 M1(1,1,1), M2(0,3,1)且垂直于平面 x y z 1 0 求其方程
Hale Waihona Puke 解 (1) cos | 1 0 2 1 1 3 |
(1)2 22 (1)2 12 32
cos
1 60
两平面相交，夹角 arccos
1. 60
(2)
n1

{2,1,1},
n2 {4,2,2}
2 1 1 , 两平面平行 4 2 2
AC {2, 3,1} 取 n AB AC {14, 9,1}, 所求平面方程为 14( x 2) 9( y 1) (z 4) 0,
化简得 14x 9 y z 15 0.
一般地
过不共线的三点
M1( x1, y1, z1 ) M2( x2 , y2 , z2 ) M3( x3 , y3 , z3 )
先介绍平面的点法式方程
一、平面的点法式方程 z
n
如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做
M0 M
该平面的法线向量．

7-5平面及其方程

10( x 1) 15( y 1) 5(z 1) 0,
化简得 2x 3 y z 6 0.
二、平面的一般方程
由平面的点法式方程
A( x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0 Ax By Cz ( Ax0 By0 Cz0 ) 0
解 (1) cos | 1 0 2 1 1 3 |
(1)2 22 (1)2 12 32
cos
1 60
两平面相交，夹角
arccos
1. 60
(2)
n1

{2,1,1},
n2 {4,2,2}
2 1 1 , 两平面平行 4 2 2
A B 2C, 3
所求平面方程为 2x 2 y 3z 0.
例 4 设平面与 x, y, z三轴分别交于P(a,0,0)、 Q(0,b,0)、R(0,0,c)（其中a 0，b 0，c 0），
求此平面方程.
解设平面为 Ax By Cz D 0,
类似地可讨论 A C 0, B C 0 情形.
例 3 设平面过原点及点(6,3, 2)，且与平面 4x y 2z 8垂直，求此平面方程.
解设平面为 Ax By Cz D 0, 由平面过原点知 D 0,
由平面过点(6,3, 2)知 6A 3B 2C 0 n{4,1,2}, 4A B 2C 0
外一点，求 P0 到平面的距离.
解 P1( x1, y1, z1 ) d | Pr jnP1P0 |
n P0
Pr jn P1P0 P1P0 n0
P1
N

D75平面方程33784

分析:利用三点式
xa y z a b 0 0
a 0 c 按第一行展开得 (xa)bcy(a)czab0
即 bc axc a b y zabc
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二、平面的一般方程
设有三元一次方程
A x B y C z D 0 (A 2B2C 20) ② 任取一组满足上述方程的数 x0,y0,z0,则
例6. 设 P 0(x0,y0,z0)是平面 A x B y C z D 0
外一点,求 P0 到平面的距离d . 解:设平面法向量为 n(A ,B ,C ),在平面上取一点
P 1(x1,y1,z1),则P0 到平面的距离为
dPrnjP1P0
P1P0 n n
n P0
A (x 0 x 1 ) B (y 0 y 1 ) C (z0 z1 )
的平面的方程.
解: 取该平面的法向量为
n
nM 1M 2M 1M 3
i jk 3 4 6
2 3 1
M1
M3

M2
(1,4 9,1)
又 M1,利用点法式得平面的方程 1 ( x 2 4 ) 9 ( y 1 ) ( z 4 ) 0
即
1x 4 9 y z 1 0 5
三点式
xx1 yy1 zz1 x2x1 y2y1 z2z1 0 x3x1 y3y1 z3z1
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2.平面与平面之间的关系
平面 1 :A 1 x B 1 y C 1 z D 1 0 ,n1(A 1,B 1,C 1) 平面 2 : A 2 x B 2 y C 2 z D 2 0 ,n 2 (A 2 ,B 2 ,C 2 )

六年级下册数学课件2.《平面图形的认识(2)》苏教版PPT课件

4 . 初步形成宽容他人的良好品质。 5 . 通过具体事例体验宽容对己对人带来的慰藉。 6. 传统的节日也应有时代的价值，不符合时代需要的，应该淘汰。 7. 生活中，伴随着我们成长有许多风俗，其中不少体现了尊老的传统美德。
亲爱的同学们，再见！
周长的计量单位：厘米分米米…（长度单位）
面积的计量单位：平方厘米平方分米平方米…（面积单位）
六年级下册数学课件2.《平面图形的认识（2 ）》苏教版PP T课件
我们学过哪些平面图形的面积公式？这些公式各是怎样推导的？根据推导的过程进行整理，并与同学交流。
六年级下册数学课件2.《平面图形的认识（2 ）》苏教版PP T课件
六年级下册数学课件2.《平面图形的认识（2 ）》苏教版PP T课件
六年级下册数学课件2.《平面图形的认识（2 ）》苏教版PP T课件
6. 求下面各图形中涂色部分的面积。（单位：cm）（4＋9）×6÷2 =39（平方厘米） 4×6÷2 =12（平方厘米） 39－12 = 27（平方厘米）
六年级下册数学课件2.《平面图形的认识（2 ）》苏教版PP T课件
深
度
思
考
3、如图，正方形的面积是12平方厘米，求图中外面和里面两个圆的面积。
内圆半径r的平方=12 ÷4=3
内圆的面积是： 3.14×3=9.42 （平方厘米)
六年级下册数学课件2.《平面图形的认识（2 ）》苏教版PP T课件
六年级下册数学课件2.《平面图形的认识（2 ）》苏教版PP T课件
怎样计算长方形、正方形和圆的周长？
六年级下册数学课件2.《平面图形的认识（2 ）》苏教版PP T课件

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3 2
的平面方程为
4 3
6 0 1
( x , y , z ) ( k 1 , 2 , 3 ) 一般情况 : 过三点 M k k k k
xx yy zz 1 1 1 x x z 0 2 1 y 2 y 1 z 2 1 x x z 3 1 y 3y 1 z 3 1
2019/3/9 阜师院数科院
2019/3/9 阜师院数科院
n2
n1
2
1
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和M ( 1 ,1 ,1 ) ( 0 , 1 , 1 ) , 例4. 一平面通过两点 M 且 1 2 垂直于平面∏: x + y + z = 0, 求其方程 .
显然方程②与此点法式方程等价,因此方程②的图形是
的平面, 此方程称为平面的一般法向量为 n ( A , B , C ) 方程.
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( A B C 0 ) Ax By Cz D 0
2 2 2
特殊情形 • 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示通过原点的平面; • 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量
第五节平面及其方程
一、平面的点法式方程二、平面的一般方程
第七章
三、两平面的夹角
2019/3/9
阜师院数科院
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一、平面的点法式方程
设一平面通过已知点 M ( x ,y ,z )且垂直于非零向 0 0 0 0 量n ( A , B , C ) , 求该平面的方程.
分析:利用三点式
x
x ay z a b 0 0
a 0 c z a b 0 y ( a ) c x a ) bc 按第一行展开得 (
2019/3/9
即
bcx acy a bz abc
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二、平面的一般方程
设有三元一次方程
n ( 0 , B , C ) i , 平面平行于 x 轴;
• A x+C z+D = 0 表示平行于 y 轴的平面;
• A x+B y+D = 0 表示平行于 z 轴的平面; • C z + D = 0 表示平行于 xoy 面的平面; • A x + D =0 表示平行于 yoz 面的平面； • B y + D =0 表示平行于 zox 面的平面.
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例2. 求通过 x 轴和点( 4, – 3, – 1) 的平面方程. 解: 因平面通过 x 轴 , 故 A D 0
设所求平面方程为
B y C z 0
代入已知点 ( 4 , 3 , 1 ) 得C 3 B
化简,得所求平面方程
则有任取点 M ( x , y , z ) ,
M M n 0
z
o x
M
n
M0
故
M M n 0 0
y
x x , y y , z z ) M M ( 0 0 0 0
① A ( x x ) B ( y y ) C ( z z ) 0 0 0 0
特别有下列结论：
n 1 n 2 cos :n ( A ,B ,C ) n 2 2 2 2 2 1 n 2
n2
n 1n 2
1
( 1 ) 1 2
A A B B C C 0 1 2 1 2 1 2
2
n1
( 2 ) // 1 2
n 1 // n 2
A B C 1 1 1 A B C 2 2 2
又 M ,利用点法式得平面的方程 1 14 ( x 2 ) 9 ( y 1 ) ( z 4 ) 0 即 14 x 9 y z 15 0
2019/3/9 阜师院数科院
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说明: 此平面的三点式方程也可写成
x 2 y 1 z 4
2 2 2 ( A B C 0 ) ② A x B yx ,y ,z ,则 0 0 0
A x B y C z D 0 0 0 0
以上两式相减 , 得平面的点法式方程
A ( x x ) B ( y y ) C ( z z ) 0 0 0 0
n1
n2
2
即
n 1 n 2 cos n 1 n 2
A A B B C C 1 2 1 2 1 2
2 2 2 A B C 1 1 1

1
cos
2019/3/9
2 2 2 A B C 2 2 2
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阜师院数科院
:n ( A ,B ,C ) 1 1 1 1 1
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z 特别,当平面与三坐标轴的交点分别为 R P ( a , 0 , 0 ) , Q ( 0 , b , 0 ) , R ( 0 , 0 , c ) 时, 平面方程为 o Qy x y z a , b , c 0 ) 1 ( a b c P
此式称为平面的截距式方程.
法向量. 称①式为平面的点法式方程, 称 n 为平面的
2019/3/9 阜师院数科院
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M ( 0 ,2 , 3 ) 例1.求过三点 M ( 2 , 1 , 4 ), M ( 1 , 3 , 2 ), 3 1 2 的平面的方程. n 解: 取该平面的法向量为 n M M M M 1 2 1 3 M1 M3 i j k 3 4 6 M2 2 3 1 ( 14 , 9 , 1 )
y 3 z 0
例3.用平面的一般式方程导出平面的截距式方程.
(P327 例4 , 自己练习)
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三、两平面的夹角
两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角. 设平面∏1的法向量为 n ( A , B , C ) 1 1 1 1 平面∏2的法向量为 n ( A , B , C ) 2 2 2 2 则两平面夹角的余弦为