浙教版八年级数学下册特殊四边形综合提高讲义设计

特殊四边形综合提高讲义(2020﹒龙岗区校级模拟）如图1，在正方形ABCD和正方形BEFG中，点A,B,E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG,P C．（1）探究PG与PC的位置关系及PGPC的值（写出结论，不需要证明）；（2）如图2，将原问题中的正方形ABCD和正方形BEFG换成菱形ABCD和菱形BEFG,且∠ABC＝∠BEF＝60度．探究PG与PC的位置关系及PGPC的值，写出你的猜想并加以证明；（3）如图3，将图2中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的边BG恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，问题（2）中的其他条件不变．你在（2）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．【考点】全等三角形的判定与性质；菱形的性质；正方形的性质．【分析】（1）可通过构建全等三角形求解．延长GP 交DC 于H ，可证三角形DHP 和PGF 全等，已知的有DC ∥GF ，根据平行线间的内错角相等可得出两三角形中两组对应的角相等，又有DP=PF ，因此构成了全等三角形判定条件中的（AAS ），于是两三角形全等，那么HP=PG ，DH=GF=BG ，那么可得出CH=CG ，于是三角形CHG 就是等腰三角形且CP 是底边上的中线，根据等腰三角形三线合一的特点，即可得出CP=PG=PH ，CP ⊥PG ； （2）方法同（1），只不过三角形CHG 是个等腰三角形，且顶角为120°，可根据三角函数来得出PG 、CP 的比例关系； （3）经过（1）（2）的解题过程，我们要构建出以CP 为底边中线的等腰三角形，那么可延长GP 到H ，使PH=PG ，连接CH 、DH ，那么根据前两问的解题过程，我们要求的是三角形CHG 是个等腰三角形，关键是证三角形CDH 和CBG 全等，已知的只有CD=CB ，我们可通过其他的全等三角形来得出三角形CDH 和CBG 全等的条件．三角形DHP 和FGP 中，有一组对顶角，DP=PF ，HP=PG ，那么这两个三角形就全等，可得出DH=GF=BG ，∠HDP=∠GFP ，根据平行线间的内错角相等可得出∠CDP=∠EFD ，那么∠CDH=∠EFG=∠CBG ，由此可得出三角形CDH 和CBG 全等，然后证法同（2）． 【解答】解：（1）线段PG 与PC 的位置关系是PG ⊥PC ； PG PC =1（2）猜想：线段PG 与PC 的位置关系是PG ⊥PC ；PGPC=3证明：如图2，延长GP 交DC 于点H ， ∵P 是线段DF 的中点， ∴FP=DP ，由题意可知DC ∥GF ， ∴∠GFP=∠HDP ，∵∠GPF ＝∠HPD , ∴△GFP ≌△HDP , ∴GP ＝HP ,GF ＝HD ， ∵四边形ABCD 是菱形， ∴CD ＝CB ， ∴CG ＝CH ，∴△CHG 是等腰三角形， ∴PG ⊥PC ,(三线合一） 又∵∠ABC ＝∠BEF ＝60°, ∴∠GCP ＝60°, ∴PGPC＝3;（3）在（2）中得到的两个结论仍成立．证明：如图3，延长GP到H，使PH＝PG，连接CH,CG,DH,∵P是线段DF的中点，∴FP＝DP，∵∠GPF＝∠HPD,∴△GFP≌△HDP,∴GF＝HD,∠GFP＝∠HDP,∵∠GFP＋∠PFE＝120°,∠PFE＝∠PDC,∴∠CDH＝∠HDP＋∠PDC＝120°,∵四边形ABCD是菱形，∴CD＝CB,∠ADC＝∠ABC＝60°,点A、B、G又在一条直线上，∴∠GBC＝120°,∵四边形BEFG是菱形，∴GF＝GB，∴HD＝GB，∴△HDC≌△GBC,∴CH＝CG,∠DCH＝∠BCG,∴∠DCH＋∠HCB＝∠BCG＋∠HCB＝120°,即∠HCG＝120°∵CH＝CG,PH＝PG，∴PG⊥PC,∠GCP＝∠HCP＝60°,∴PGPC＝3．即PG＝3PC．【点评】本题主要考查了正方形，菱形的性质，以及全等三角形的判定等知识点，根据已知和所求的条件正确的构建出相关的全等三角形是解题的关键．如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别为BC 、AB 上两点，且BE BF =，过点B 作AE 的垂线交AC 于点G ，过点G 作CF 的垂线交BC 于点H 延长线段AE 、GH 交于点M ．求证：AM BG GM =+．ADF B CGE MH ADF B CGEMH 3421连接DG ，在ABG △和ADG △中，45AB AD DAC BAC AG AG =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， ∴(SAS)ABG ADG △≌△， ∴BG DG =，23∠=∠， ∵BG AE ⊥，∴290BAE ∠+∠=︒，∵490BAD BAE ∠=∠+∠=︒， ∴234∠=∠=∠， ∵GM CF ⊥，∴190BCF ∠+∠=︒， 又90BCF BFC ∠+∠=︒， ∴12BFC ∠=∠=∠， ∴13∠=∠，在ADG △中，345DGC ∠=∠+︒， ∴DGC ∠也是CGH △的外角， ∴D 、G 、M 三点共线， ∵34∠=∠（已证）， ∴AM DM =，∵DM DG GM BG GM =+=+， ∴AM BG GM =+．如图，在菱形ABCD 中，M ，N 分别是边AB ，BC 的中点，MP AB ⊥交边CD 于点P ，连接NM ，NP ．（1）若60B ∠=︒，这时点P 与点C 重合，则NMP ∠=_______度； （2）求证：NM NP =；（3）当NPC △为等腰三角形时，求B ∠的度数．AD M BP NCAD MBP NC备用图（1）∵MP AB ⊥交边CD 于点P ，60B ∠=︒，点P 与点C 重合， ∴30NPM ∠=︒，90BMP ∠=︒， ∵N 是BC 的中点，∴MN PN =， ∴30NMP NPM ∠=∠=︒；（2）如图1，延长MN 交DC 的延长线于点E ， ∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥DC ， ∴BMN E ∠=∠，∵点N 是线段BC 的中点，∴BN CN =， 在MNB △和ENC △中， BMN E MNB ENC BN CN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴MNB ENC △≌△， ∴MN EN =，即点N 是线段ME 的中点， ∵MP AB ⊥交边CD 于点P ， ∴MP DE ⊥， ∴90MPE ∠=︒，∴12PN MN ME ==；（3）如图2∵四边形ABCD 是菱形，∴AB BC =， 又M ，N 分别是边AB ，BC 的中点， ∴MB NB =，∴BMN BNM ∠=∠，由（2）知：MNB ENC △≌△， ∴BMN BNM E CNE ∠=∠=∠=∠， 又∵PN MN NE ==， ∴NPE E ∠=∠，设BMN BNM E CNE NPE x ∠=∠=∠=∠=∠=︒， 则2NCP x ∠=︒，NPC x ∠=︒，①若PN PC =，则2PNC NCP x ∠=∠=︒， 在PNC △中，22180x x x ++=， 解得：36x =，∴2363108B PNC NPC x x ∠=∠+∠=︒+︒=︒⨯=︒， ②若PC NC =，则PNC NPC x ∠=∠=︒， 在PNC △中，2180x x x ++=， 解得：45x =，∴454590B PNC NPC x x ∠=∠+∠=︒+︒=︒+︒=︒．【教师备课提示】针对变式题的例题，每一种的变式所对应的解题方法都是类似的，只要能够掌握其中的一种变式的解决思路，其他的变式的解题思路也就类似了．如图3-1，将菱形ABCD 和菱形BEFG 拼接在一起，使得点A ，B ，E 在同一条直线上，点G 在BC 边上，P 是线段DF 的中点，连接PG ，PC ．若120ABC ∠=︒. （1）求出线段PG 与PC 的位置关系及PCG ∠的大小；（2）将图3-1中的菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转，使点E 恰好落在CB 的延长线上，原问题中的其他条件不变（如图3-2）．你在（1）中得到的两个结论是否仍成立？ 写出你的猜想并加以证明．ADCPGFB EAD C P B EGF图3-1 图3-2（1）PG PC ⊥，30PCG ∠=︒； 如图①，延长GP 交DC 于点H ，∵在菱形ABCD 和菱形BEFG 中，AE //DC ，AE //GF ， ∴DC //GF ，∴PDH PFG ∠=∠，在△PDH 和△PFG 中，PDH PFG PD PF DPH FPG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴(ASA)PDH PFG △≌△，∴DH GF =，PH PG =，∵BG GF =，∴DH BG =，∵DC BC =， ∴HC GC =，∴GCH △是等腰三角形， ∴PG PC ⊥，PCG PCH ∠=∠， ∵120ABC ∠=︒， ∴60BCD ∠=︒， ∴30PCG ∠=︒； （2）（1）中两个结论仍成立；证明：如图②，延长GP 交AD 于点H ，连接CG ， ∵四边形ABCD 和BEFG 是菱形， ∴AD //BC ，BE //FG ， ∵E 在CB 的延长线上∴AD //FG ，∴HDP GFP ∠=∠，在DPH △和FPG △中，PDH PFG PD PF DPH FPG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴(ASA)DPH FPG △≌△，PH PG =，DH FG BG ==， 在CDH △和CBG △中，120DH BG HDC CBG DC BC =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴(SAS)CDH CBG △≌△，∴CH CG =，DCH BCG ∠=∠， ∴CP PG ⊥，∵60HCG HCB BCG HCB DCH DCB ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒，∴1230PCG HCG ∠=∠=︒．【教师备课笔记】当菱形BEFG 绕B 点旋转的角度为任意角时，CP PG ⊥和30PCG ∠=︒也成立.（延长GP 到H 点使得PH PG =，连接DH ，CH 和CG ）（西川期末）在平行四边形ABCD中，BAD∠的角平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．（1）在图4-1中证明CE CF=；（2）若90ABC∠=︒，G是EF的中点（如图4-2），求BDG∠的度数；（3）若120ABC∠=︒，FG//CE，FG CE=，分别连接BD、DG（如图4-3），直接写出BDG∠的度数．A DB EG C F图4-1 图4-2 图4-3 （1）证明：如图1，∵AF平分BAD∠，∴BAF DAF∠=∠，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，AB//CD，∴DAF CEF∠=∠，BAF F∠=∠，∴CEF F∠=∠.∴CE CF=.（2）连接GC、BG，∵四边形ABCD为平行四边形，90ABC∠=︒，∴四边形ABCD为矩形，∵AF平分BAD∠，∴45DAF BAF∠=∠=︒，∵90DCB∠=︒，DF//AB，∴45DFA∠=︒，90ECF∠=︒∴ECF△为等腰直角三角形，∵G为EF中点，∴EG CG FG==，CG EF⊥，∵ABE△为等腰直角三角形，AB DC=，∴BE DC=，∵45CEF GCF∠=∠=︒，∴135BEG DCG∠=∠=︒在BEG△与DCG△中，∵EG CGBEG DCG BE DC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴(SAS)BEG DCG△△≌，∴BG DG=，∵CG EF⊥，∴90DGC DGA∠+∠=︒，又∵DGC BGA∠=∠，∴90BGA DGA∠+∠=︒，∴DGB△为等腰直角三角形，∴45BDG∠=︒.（3）证法同2，如图3．【教师备课笔记】本题就是考查利用已知条件通过辅助线构造全等三角形的知识．在菱形ABCD中，60ABC∠=︒，E是对角线AC上一点，F是线段BC延长线上一点，且CF AE=，连接BE、EF．（1）若E是线段AC的中点，如图5-1，证明：BE EF=；（2）若E是线段AC或AC延长线上的任意一点，其它条件不变，如图5-2、图5-3，线段BE、EF有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；并选择一种情况给予证明．ABDEC FABDEC FABDEC F图5-1 图5-2 图5-5（1）∵四边形ABCD为菱形，∴AB BC=，又∵60ABC∠=︒，∴ABC△是等边三角形，∵E是线段AC的中点，∴1230CBE ABC∠=∠=︒，AE CE=，∵AE CF=，∴CE CF=，∴F CEF∠=∠，∵60F CEF ACB∠+∠=∠=︒，∴30F∠=︒，∴CBE F∠=∠，∴BE EF=；（2）图2：BE EF=．图3：BE EF=．图2证明如下：过点E作EG//BC，交AB于点G，∵四边形ABCD为菱形，∴AB BC=，又∵60∠=︒，ABC∴ABC△是等边三角形，∴AB AC∠=︒，=，60ACB又∵EG//BC，∴60∠=∠=︒，AGE ABC又∵60∠=︒，BAC∴AGE△是等边三角形，∴AG AE=，∴BG CE=，又∵CF AE=，=，∴GE CF又∵120∠=∠=︒，BGE ECF∴(SAS)BGE ECF△≌△，∴BE EF=；图3证明如下：过点E作EG//BC交AB延长线于点G，∵四边形ABCD为菱形，∴AB BC=，又∵60ABC∠=︒，∴ABC△是等边三角形，∴AB AC∠=︒，ACB=，60又∵EG//BC，∴60AGE ABC∠=∠=︒，又∵60∠=︒，BAC∴AGE△是等边三角形，∴AG AE=，∴BG CE=，又∵CF AE=，=，∴GE CF又∵60∠=∠=︒，BGE ECF∴(SAS)BGE ECF△≌△，∴BE EF=．【教师备课笔记】本题就是考查辅助线构造全等三角形的知识．在菱形ABCD中，120DAB∠=︒，点E平分DC，点P在BD上，且1PE PC+=，那么边AB长的最大值是________．如图，连接AP，AE，AC根据四边形ABCD是菱形，∴AD CD=，AP CP=，∴1PE PC PE PA+=+=，∵120DAB∠=︒，∴60ADE∠=︒，AD CD=，∴ADC△是等边三角形，∵DE CE=，∴90AED∠=︒，30DAE∠=︒，∴33122AE AD AB==≤，所以233AB≤即AB长的最大值是233．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连接BF交AC于点M，连接DE，BO．若60COB∠=︒，FO FC=，则下列结论：①FB OC⊥，OM CM=；②EOB CMB△≌△；③四边形EBFD是菱形；④:3:2MB OE=．其中正确结论为_____________．①③④；连接OD即可．A BDEF CMO已知：矩形ABCD 中AD AB >，O 是对角线的交点，过O 任作一直线分别交BC 、AD 于点M 、N （如图3-1）． （1）求证：BM DN =；（2）如图3-2，四边形AMNE 是由四边形CMND 沿MN 翻折得到的，连接CN ，求证：四边形AMCN 是菱形；（3）在（2）的条件下，若CDN △的面积与CMN △的面积比为1:3，求MNDN的值．ABN D OMCAB N DOMC E图3-1 图3-2（1）连接BD ，则BD 过点O ， ∵AD //BC ，∴OBM ODN ∠=∠，又OB OD =，BOM DON ∠=∠， ∴OBM ODN △≌△， ∴BM DN =；（2）∵矩形ABCD ， ∴AD //BC ，AD BC =， 又BM DN =， ∴AN CM =，∴四边形AMCN 是平行四边形， 由翻折得，AM CM =， ∴四边形AMCN 是菱形；（3）∵12CDN S DN CD =⋅△，12CMN S CM CD =⋅△，又1:3CDN CMN S S =△△:，∴:1:3DN CM =，设DN k =，则3CN CM k ==， 过N 作NG MC ⊥于点G ，则CG DN k ==，2MG CM CG k =-=， 2222922CN CG N k G k k -=-==∴22224823M M G N G N k k k =+=+= ∴2323MN k DN ==．已知：在ABC△中，90BAC∠=︒，AB AC=，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）．以AD为边作正方形ADEF，连接CF．（1）如图4-1，当点D在线段BC上时，求证：①BD CF⊥．②CF BC CD=-．（2）如图4-2，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系；（3）如图4-3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其它条件不变：①请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系．②若连接正方形对角线AE、DF，交点为O，连接OC，探究AOC△的形状，并说明理由．FAB D CEFAB C DEADB CFOE图4-1 图4-2 图4-3（1）证明：①∵90BAC∠=︒，AB AC=，∴45ABC ACB∠=∠=︒，∵四边形ADEF是正方形，∴AD AF=，90DAF∠=︒，∵90BAC BAD DAC∠=∠+∠=︒，90DAF CAF DAC∠=∠+∠=︒，∴BAD CAF∠=∠，在BAD△和CAF△中，AB ACBAD CAFAD AF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴(SAS)BAD CAF△≌△，∴45ACF ABD∠=∠=︒，∴90ACF ACB∠+∠=︒，∴BD CF⊥；②由①BAD CAF△≌△可得BD CF=，∵BD BC CD=-，∴CF BC CD=-；（2）与（1）同理可得BD CF=，所以，CF BC CD=+；（3）①与（1）同理可得，BD CF =， 所以，CF CD BC =-；②∵90BAC ∠=︒，AB AC =， ∴45ABC ACB ∠=∠=︒， 则18045135ABD ∠=︒-︒=︒， ∵四边形ADEF 是正方形， ∴AD AF =，90DAF ∠=︒，∵90BAC BAF CAF ∠=∠+∠=︒， 90DAF BAD BAF ∠=∠+∠=︒， ∴BAD CAF ∠=∠，在BAD △和CAF △中，AB AC BAD CAF AD AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴(SAS)BAD CAF △≌△，∴18045135ACF ABD ∠=∠=︒-︒=︒， ∴90FCD ACF ACB ∠=∠-∠=︒， 则FCD △为直角三角形，∵正方形ADEF 中，O 为DF 中点，∴12OC DF =，∵在正方形ADEF 中，12OA AE =，AE DF =，∴OC OA =，∴AOC △是等腰三角形．。