浙教版八年级数学下册特殊四边形综合提高讲义设计

特殊四边形综合提高讲义

(2020﹒龙岗区校级模拟）如图1，在正方形ABCD和正方形BEFG中，点A,B,E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG,P C．

（1）探究PG与PC的位置关系及

PG

PC的值（写出结论，不需要证明）；

（2）如图2，将原问题中的正方形ABCD和正方形BEFG换成菱形ABCD和菱形BEFG,且∠ABC＝∠BEF＝60度．探究PG与PC的位置关系及

PG

PC的值，写出你的猜想并加以证明；

（3）如图3，将图2中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的边BG恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，问题（2）中的其他条件不变．你在（2）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．

【考点】全等三角形的判定与性质；菱形的性质；正方形的性质．

【分析】（1）可通过构建全等三角形求解．延长GP 交DC 于H ，可证三角形DHP 和PGF 全等，已知的有DC ∥GF ，根据平行线间的内错角相等可得出两三角形中两组对应的角相等，又有DP=PF ，因此构成了全等三角形判定条件中的（AAS ），于是两三角形全等，那么HP=PG ，DH=GF=BG ，那么可得出CH=CG ，于是三角形CHG 就是等腰三角形且CP 是底边上的中线，根据等腰三角形三线合一的特点，即可得出CP=PG=PH ，CP ⊥PG ； （2）方法同（1），只不过三角形CHG 是个等腰三角形，且顶角为120°，可根据三角函数来得出PG 、CP 的比例关系； （3）经过（1）（2）的解题过程，我们要构建出以CP 为底边中线的等腰三角形，那么可延长GP 到H ，使PH=PG ，连接CH 、DH ，那么根据前两问的解题过程，我们要求的是三角形CHG 是个等腰三角形，关键是证三角形CDH 和CBG 全等，已知的只有CD=CB ，我们可通过其他的全等三角形来得出三角形CDH 和CBG 全等的条件．三角形DHP 和FGP 中，有一组对顶角，DP=PF ，HP=PG ，那么这两个三角形就全等，可得出DH=GF=BG ，∠HDP=∠GFP ，根据平行线间的内错角相等可得出∠CDP=∠EFD ，那么∠CDH=∠EFG=∠CBG ，由此可得出三角形CDH 和CBG 全等，然后证法同（2）． 【解答】解：（1）线段PG 与PC 的位置关系是PG ⊥PC ； PG PC =1

（2）猜想：线段PG 与PC 的位置关系是PG ⊥PC ；PG

PC

=3

证明：如图2，延长GP 交DC 于点H ， ∵P 是线段DF 的中点， ∴FP=DP ，

由题意可知DC ∥GF ， ∴∠GFP=∠HDP ，

∵∠GPF ＝∠HPD , ∴△GFP ≌△HDP , ∴GP ＝HP ,GF ＝HD ， ∵四边形ABCD 是菱形， ∴CD ＝CB ， ∴CG ＝CH ，

∴△CHG 是等腰三角形， ∴PG ⊥PC ,(三线合一） 又∵∠ABC ＝∠BEF ＝60°, ∴∠GCP ＝60°, ∴

PG

PC

＝3;

（3）在（2）中得到的两个结论仍成立．

证明：如图3，延长GP到H，使PH＝PG，

连接CH,CG,DH,

∵P是线段DF的中点，

∴FP＝DP，

∵∠GPF＝∠HPD,

∴△GFP≌△HDP,

∴GF＝HD,∠GFP＝∠HDP,

∵∠GFP＋∠PFE＝120°,∠PFE＝∠PDC,

∴∠CDH＝∠HDP＋∠PDC＝120°,

∵四边形ABCD是菱形，

∴CD＝CB,∠ADC＝∠ABC＝60°,点A、B、G又在一条直线上，∴∠GBC＝120°,

∵四边形BEFG是菱形，

∴GF＝GB，

∴HD＝GB，

∴△HDC≌△GBC,

∴CH＝CG,∠DCH＝∠BCG,

∴∠DCH＋∠HCB＝∠BCG＋∠HCB＝120°,

即∠HCG＝120°

∵CH＝CG,PH＝PG，

∴PG⊥PC,∠GCP＝∠HCP＝60°,

∴PG

PC＝3．即PG＝3PC．

【点评】本题主要考查了正方形，菱形的性质，以及全等三角形的判定等知识点，根据已知和所求的条件正确的构建出相关的全等三角形是解题的关键．

如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别为BC 、AB 上两点，且BE BF =，过点B 作AE 的垂线交AC 于点G ，过点G 作CF 的垂线交BC 于点H 延长线段AE 、GH 交于点M ．求证：AM BG GM =+．

A

D

F B C

G

E M

H A

D

F B C

G

E

M

H 3

421

连接DG ，在ABG △和ADG △中，

45AB AD DAC BAC AG AG =⎧⎪

∠=∠=︒⎨⎪=⎩

， ∴(SAS)ABG ADG △≌△， ∴BG DG =，23∠=∠， ∵BG AE ⊥，

∴290BAE ∠+∠=︒，

∵490BAD BAE ∠=∠+∠=︒， ∴234∠=∠=∠， ∵GM CF ⊥，

∴190BCF ∠+∠=︒， 又90BCF BFC ∠+∠=︒， ∴12BFC ∠=∠=∠， ∴13∠=∠，

在ADG △中，345DGC ∠=∠+︒， ∴DGC ∠也是CGH △的外角， ∴D 、G 、M 三点共线， ∵34∠=∠（已证）， ∴AM DM =，

∵DM DG GM BG GM =+=+， ∴AM BG GM =+．

如图，在菱形ABCD 中，M ，N 分别是边AB ，BC 的中点，MP AB ⊥交边CD 于点P ，连接NM ，NP ．

（1）若60B ∠=︒，这时点P 与点C 重合，则NMP ∠=_______度； （2）求证：NM NP =；

（3）当NPC △为等腰三角形时，求B ∠的度数．

A

D M B

P N

C

A

D M

B

P N

C

备用图

（1）∵MP AB ⊥交边CD 于点P ，60B ∠=︒，点P 与点C 重合， ∴30NPM ∠=︒，90BMP ∠=︒， ∵N 是BC 的中点，∴MN PN =， ∴30NMP NPM ∠=∠=︒；

（2）如图1，延长MN 交DC 的延长线于点E ， ∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥DC ， ∴BMN E ∠=∠，

∵点N 是线段BC 的中点，∴BN CN =， 在MNB △和ENC △中， BMN E MNB ENC BN CN ∠=∠⎧⎪

∠=∠⎨⎪=⎩

， ∴MNB ENC △≌△， ∴MN EN =，

即点N 是线段ME 的中点， ∵MP AB ⊥交边CD 于点P ， ∴MP DE ⊥， ∴90MPE ∠=︒，

∴1

2

PN MN ME ==；

（3）如图2

∵四边形ABCD 是菱形，∴AB BC =， 又M ，N 分别是边AB ，BC 的中点， ∴MB NB =，

∴BMN BNM ∠=∠，