中学数学解题思想方法试卷
高考数学运用数形结合的思想方法解题专项练习(含答案解析)
高考数学运用数形结合的思想方法解题专项练习（含答案解析）一、单选题1．（2023春·江苏盐城·高三盐城中学校考）若直线():40l x m y +−=与曲线x =有两个交点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．0m <<B ．0m ≤<C ．0m <≤D ．0m ≤【答案】B【解析】x =()0,0，半径为2的圆在y 轴以及右侧的部分，如图所示：直线():40l x m y +−=必过定点()0,4， 当直线l 与圆相切时，直线和圆恰有一个交点，2=，结合直线与半圆的相切可得m =当直l 的斜率不存在时，即0m =时，直线和曲线恰有两个交点， 所以要使直线和曲线有两个交点，则0m ≤故选：B.2．（2023春·湖北随州·高三随州市曾都区第一中学校考阶段练习）已知x ，y 是实数，且22410x y x +−+=，则21y x ++的最大值是（ ）A B ．116C ．336D 【答案】D【解析】方程可化为()223x y −+=，表示以()2,021y x ++的几何意义是圆上一点与点A ()1,2−−连线的斜率，设21k y x =++，即()21y k x +=+，当此直线与圆相切时，斜率最大或最小，当切线位于切线AB 时斜率最大.=k =，所以21y x ++故选：D ．3．（2023春·陕西渭南·高一统考）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当[)0,x ∈+∞时，()24f x x x =−.若函数()()()R g x f x m m =+∈，则函数()g x 的零点个数不可能是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当[)0,x ∈+∞时，()224(2)4f x x x x =−=−−,作出()f x 的图像如图：，故当0m =时，()()g x f x =有3个零点；当0m <或4m =时，()()g x f x m =+的图像与x 轴有两个交点，则函数有2个零点； 当04m <<时，()()g x f x m =+的图像与x 轴有4个交点，则函数有4个零点；由于()()g x f x m =+也为偶函数，结合()f x 图像可知，()()g x f x m =+不可能有1个零点， 故选：A4．（2023春·陕西西安·高三统考期末）已知函数()e ,03,0x x f x x x ⎧≥=⎨−<⎩， 若函数()()()g x f x f x =−−，则函数()g x 的零点个数为（ ） A ．1 B ．3 C ．4 D ．5【答案】D【解析】当0x >时，0x −<，()3f x x −=当0x <时，0x −>，()e xf x −−=()()()3e ,00,0e 3,0x x x x g x f x f x x x x −⎧−>⎪∴=−−==⎨⎪+<⎩，()()()()g x f x f x g x −=−−=−，且定义域为R ，关于原点对称，故()g x 为奇函数，所以我们求出0x >时零点个数即可，(0,)3e x g x x x =−>，()3e 0x g x '=−>，令()3e 0x g x '=−>，解得0ln3x <<，故()g x 在()0,ln 3上单调递增，在(ln3,)+∞单调递减，且(ln3)3ln330g =−>，而()226e 0g =−<，故()g x 在(ln 3,2)有1零点，1311e 03g ⎛⎫=−< ⎪⎝⎭，故()g x 在1(,ln 3)3上有1零点，图像大致如图所示：故()g x 在()0,∞+上有2个零点，又因为其为奇函数，则其在(),0∞−上也有2个零点，且()00g =，故()g x 共5个零点， 故选：D.5．（2023春·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考阶段练习）若函数()f x 的定义域为(),1f x −R 为偶函数，当1x ≥−时，()31xf x −=−，则函数()()12g x f x =−的零点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．4【答案】D【解析】令310x −−≥解得0x ≤，令310x −−<解得0x >， 所以当1x ≥−时，()11,1033111,03xxxx f x x −⎧⎛⎫−−≤≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=−=⎨⎛⎫⎪−+> ⎪⎪⎝⎭⎩， ()1f x −为偶函数，所以()1f x −的图像关于y 轴对称，所以()f x 的图像关于直线=1x −轴对称， 故作出()f x 的图像如下，令()()102g x f x =−=，即()12f x =， 由图像可知，()f x 的图像与12y =的图像共有四个交点， 所以函数()()12g x f x =−的零点个数为4个.故选:D.6．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，且(1)f x −是奇函数，当01x 剟时，有()f x =()(2021)y f x k x =−−的零点个数为5，则实数k 取值范围是（ ） A ．15<2<1kB ．16<3<1kC k k =D ．k <k 【答案】C【解析】∵偶函数()f x ，()()f x f x ∴−=，(1)f x −是奇函数，得(1)(1)f x f x −=−−−，即 ()(2)f x f x =−−−，(2)()f x f x −−−=−，得4T =，()(2021)0f x k x −−=，即()y f x =与(2021)y k x =−的图像交点的个数，因为4T =，即为()y f x =与(1)y k x =−的图像交点的个数，因为()f x =k 应该在1k 与2k 之间或为3k ，213k k k ==k k =故选：C.7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()ln2,01ln 2ln 2,12xx f x x x ⎧<<⎪=⎨−+≤<⎪⎩，若存在02a b c <<<<使得()()()f a f b f c ==，则111ab bc ca++的取值范围是（ ） A ．20,93⎛⎫⎪⎝⎭B ．20,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．∞⎫+⎪⎪⎣⎭ D ．⎫⎪⎪⎣⎭【答案】A【解析】∵()()ln 2ln2ln 22x x ⎡⎤−+=−⎣⎦，∴ln 2y x =与()ln 2ln2y x =−+的图像关于直线1x =对称，作出()f x 的大致图像如图所示，易知2b c +=，由ln2ln2a b =，即ln 2ln 2a b −=，ln 40ab =，得14ab =， ∵112b <<，∴11124a<<，得1142a <<，∴()()421621112181244a a a a b c a c ab bc ca abc a a+++++++====−−. 设81t a =−， 则()1,3t ∈，111117184t ab bc ca t ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭. 17t t+≥=t 故当()1,3t ∈时，令()1718h t t t +=+，()h t 单减，()()80136,33h h ==， 故1172018,943t t ⎛⎫⎛⎫++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：A 二、多选题8．（2023·全国·高三专题练习）已知1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x yE a b a b−=>>的左、右焦点，过1F 作倾斜角为30的直线分别交y 轴与双曲线右支于点,M P ，1PM MF =，下列判断正确的是（ ）A ．2160PF F ∠=，B ．2112MF PF =C ．ED ．E的渐近线方程为y =【答案】BCD【解析】如下图所示，因为1PM MF =，即M 为1PF 中点，O 为12F F 中点，所以2//OM PF ，因为12OM F F ⊥，所以212PF F F ⊥，所以212PF F π∠=，2112MF PF =，A 错误，B 正确； 由212PF F F ⊥知：22b PF a=，又122F F c =，1230PF F ∠=，2c =)222c a ac −=220e −，解得：e =C 正确；所以==c e a 223c a =，所以22222b c a a =−=，所以ba= 所以E 的渐近线方程为y =，D 正确．故选：BCD ．9．（2023·全国·高三专题练习）已知直线l 过抛物线2:8C y x =的焦点F l 与抛物线交于,P Q 两点（P 在第一象限），以,PF QF 为直径的圆分别与y 轴相切于,A B 两点，则下列结论正确的是（ ） A ．32||3PQ =B ．AB =C ．若M 为抛物线C 上的动点，(2,1)N ，则min (||||)4MF MN +=D ．若0(,M x 为抛物线C 上的点，则9MF = 【答案】ABC【解析】设直线PQ 的方程为：y x ﹣2），与28y x =联立整理可得：3x 2﹣20x +12=0，解得：x 23=或6，则P （6，，Q （23，；所以|PQ |=623++4323=，选项A 正确；因为F (2,0),所以PF ，QF 的中点分别为：（4，，（43，，所以A （0，，B （0，，所以|AB =， 选项B 正确；如图M 在抛物线上，ME 垂直于准线交于E ，可得|MF |=|ME |， 所以|MF |+|MN |=|ME |+|MN |≥NE =2+2=4，当N ，M ，E 三点共线时， |MF |+|MN |最小，且最小值为4，选项C 正确；对于选项D ，若0(M x 为抛物线C 上的点，则05x =，又4p =， 所以072pMF x =+=，选项D 错误. 故选：ABC.10．（2023春·河南·高三校联考）在三棱锥A BCD −中，平面ABD ⊥平面BCD ，BD CD ⊥，2BD CD ==，ABD △为等边三角形，E 是棱AC 的中点，F 是棱AD 上一点，若异面直线DE与BF AF 的值可能为（ ） A ．23B ．1C ．43D ．53【答案】AC【解析】由ABD △为等边三角形，取BD 的中点O ，连接AO ,则AO BD ⊥ 又平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD ⋂平面BCD BD = 所以AO ⊥平面BCD ，由BD CD ⊥过O 作与CD 平行的直线为y 轴，分别以,OB OA 为,x z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为2BD CD ==，则()1,0,0B ，()()(1,0,0,1,2,0,D C A −−，所以12E ⎛− ⎝⎭．设()F a ，则12DE ⎛= ⎝⎭，()BF a =−，则28=13a =−或23a =−， 故1233AF AD ==或2433AF AD ==．故选：AC11．（2023秋·福建三明·高一福建省宁化第一中学校考阶段练习）已知G 为ABC 的重心，60BAC ∠=︒，2AB AC ⋅=，则||AG uuu r的可能取值为（ ）A ．23B ．1CD ．32【答案】CD【解析】如图，G 是ABC 的重心，记,,AB c AC b AB a ===， 则2211()()3323AG AD AB AC AB AC ==⨯+=+， 222222111()(2)(4)999AG AB AC AB AB AC AC b c =+=+⋅+=++，又1cos6022AB AC bc bc ⋅=︒==，即4bc =，所以2228b c bc +≥=，当且仅当2b c ==时等号成立，所以214(84)93AG ≥⨯+=．即233AG ≥CD 满足． 故选：CD ．12．（2023春·湖北黄冈·高三校考开学考试）已知ABC 的重心为G ，过G 点的直线与边AB ，AC 的交点分别为M ，N ，若AM MB λ=，且AMN 与ABC 的面积之比为920，则λ的可能取值为（ ）A ．43B ．32C ．53D ．3【答案】BD【解析】如图，()AM MB AB AM λλ==−，1AM AB λλ∴=+，即1AB AM λλ+=，设AC t AN =，则11()333tAG AB AC AM AN λλ+=+=+， M G N 、、三点共线，1=133t λλ+∴+，12t λ∴=−， 所以12AC AN λ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，AMN ∴与ABC 的面积之比为920，191sin sin 2202AM AN A AB AC A ∴=⨯⨯， 即112029λλλ+⎛⎫⎛⎫−=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，化简得22990λλ−+=，解得32λ=或3. 故选：BD13．（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校联考）在三维空间中，定义向量的外积：a b ⨯叫做向量a 与b 的外积，它是一个向量，满足下列两个条件：①()a a b ⊥⨯，()b a b ⊥⨯，且a ，b 和a b ⨯构成右手系（即三个向量的方向依次与右手的拇指、食指、中指的指向一致，如图所示）；②a b ⨯的模sin ,a b a b a b ⨯=，(,a b 表示向量a ，b 的夹角)． 在正方体1111ABCD A B C D −中，有以下四个结论，正确的有（ ）A ．11AB AC AD DB ⨯=⨯ B ．111AC A D ⨯与1BD 共线C ．AB AD AD AB ⨯=⨯ D ．6BC AC ⨯与正方体表面积的数值相等【答案】ABD【解析】对于A ，设正方体的棱长为1，在正方体中1,60AB AC =︒，则111sin ,2AB AC AB AC AB AC ⨯===， 因为11//BD B D ，且1160AD B ∠=︒，所以1,120AD DB =︒，所以111sin ,2AD DB AD DB AD DB ⨯=== 所以11AB AC AD DB ⨯=⨯，所以A 正确；对于B ，1111AC B D ⊥，111AC BB ⊥，1111B B B D B ⋂=，111,B B B D ⊂平面11BB D D ，11AC ⊥平面11BB D D ，因为1BD ⊂平面11BB D D ，所以111BD AC ⊥，同理可证11BD A D ⊥， 再由右手系知，111AC A D ⨯与1BD 同向，所以B 正确；对于C ，由a ，b 和a b ⨯构成右手系知，a b ⨯与b a ⨯方向相反， 又由a b ⨯模的定义知，sin ,sin ,a b a b a b b a a b b a ⨯===⨯， 所以a b ba ⨯=−⨯，则AB AD AD AB ⨯=−⨯，所以C 错误； 对于D ，正方体棱长为a ，266sin 456BC AC BC AC a a ⨯=⋅︒=⨯， 正方体表面积为26a ，所以D 对． 故选：ABD ．三、填空题14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数243,0()41,01x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨−>⎪+⎩.若关于x 的方程()()()2[]2110f x m f x m +−−+=有6个不同的实数根，则m 的取值范围___________.【答案】7,5⎛− ⎝⎭【解析】因为243,0()41,01x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨−>⎪+⎩，所以当0x ≤时，()243f x x x =++开口向上，对称轴为2x =−，()()min 21f x f =−=−，两零点为1,3x x =−=−；当0x >时，()411f x x =−+，则()f x 在()0,∞+上单调递减，零点为3x =，且()1f x >−； 由此作出()f x 的图像如图，.令()t f x =，则当13t −<<时，()t f x =有三个实数根，因为()()()2[]2110f x m f x m +−−+=有6个不同的实数根，所以()22110t m t m +−−+=必须有两个不等实根12,t t ，且()21,1,3t t ∈−，令()()2211g t t m t m =+−−+，则()()103021132Δ0g g m ⎧−>⎪>⎪⎪⎨−−<−<⎪⎪>⎪⎩，即()()()()212110932110621221410m m m m m m m ⎧−−−+>⎪+−−+>⎪⎨−<−<⎪⎪−−−+>⎩，解得75m −<<7,5m ⎛∈− ⎝⎭.故答案为：7,5⎛− ⎝⎭. 15．（2023春·全国·高一期末）已知函数241,1()log 3,1xx f x x x ⎧−⎪=⎨+>⎪⎩…集合21()2()02M x f x t f x t ⎧⎫⎛⎫=−++=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭∣，若集合M 中有3个元素，则实数t 的取值范围为________．【答案】{|0t t =或1}2t ≥【解析】令()f x m =，记21()(2)2g m m t m t =−++的零点为12,m m ，因为集合M 中有3个元素，所以()f x 的图像与直线12,y m y m ==共有三个交点，则，12001m m =⎧⎨<<⎩或12101m m =⎧⎨<<⎩或12001m m >⎧⎨<<⎩当10m =时，得0=t ，212m =，满足题意； 当11m =时，得12t =，212m =，满足题意；当12001m m >⎧⎨<<⎩时，(0)01(1)1202g t g t t =>⎧⎪⎨=−−+<⎪⎩，解得12t >. 综上，t 的取值范围为{|0t t =或1}2t ≥.故答案为：{|0t t =或1}2t ≥16．（2023秋·黑龙江绥化·高一校考期末）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知30,12=︒=A b ，若ABC 有两解，写出a 的一个可能的值为__________．【答案】7（满足(612)a ∈，均可，答案不唯一） 【解析】由于满足条件的ABC 有两个，则sin b A a b <<，即612a <<.故答案为：7（满足(612)a ∈，均可，答案不唯一）．17．（2023·海南·统考模拟预测）已知函数()314f x x m π⎛⎫=++− ⎪⎝⎭在3,04π⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上有3个零点1x ，2x ，3x ，其中123x x x <<，则1232x x x ++=______． 【答案】53π−【解析】令()0f x =314x m π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，故()314f x x m π⎛⎫++− ⎪⎝⎭的零点为函数()314g x x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭与函数y ＝m 交点的横坐标，作出函数g (x )在3,04π⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上的大致图像：令3()42x k k πππ+=+∈Z ，解得()123k x k ππ=+∈Z ， 令1k =−，得4x π=−，则由图知2322=4x x ππ⎛⎫+=⨯−− ⎪⎝⎭，令2k =−，得712x π=−，则由图知12772=126x x ππ⎛⎫+=⨯−− ⎪⎝⎭， 故123752263x x x πππ++=−−=−． 故答案为：53π−﹒18．（2023春·辽宁沈阳·高三沈阳市第一二〇中学校考阶段练习）已知双曲线22:14x y C m −=与直线2y x =无交点，则m 的取值范围是_____． 【答案】(]0,16【解析】依题意，由22:14x y C m −=可得0m >，双曲线C 的渐近线方程为y =，因为双曲线C 与直线2y x =无交点，所以直线2y x =应在两条渐近线上下两部分之间，2≤，解得016m <≤，即(]0,16m ∈. 故答案为：(]0,16..。
九年级数学难题解题思路和方法
九年级数学难题解题思路和方法1.九年级数学难题解题思路和方法篇一1.规划好答题时间在考试的时候要分配好不同题型的答题时间，对于比较难的题目可以分配更多的时间，但是也不能完全把时间花在思考难题上，要在确保简单的题都能够做正确的情况下才去把时间用在难题上。
2.先易后难进行答题先解容易的题再做难题是任何考试都可以采取的方法之一，对于初三数学考试更是如此。
对于暂时不会的题目要迅速跳过，可以先把简单的题做完之后，再回过头来解答这些难题。
不能将时间耽误在很难的题目上，尤其是最开始答题的时候，遇到难题要及时跳过。
3.认真仔细审题在考试的时候最容易出现的问题不是不知道怎么答题，而是没有看清楚题目就开始答题，这是考试丢分的主要原因。
因此，在作答的时候一定要仔细认真审题，不能不看清楚题目就开始答题。
4.拿满该得的分数拿满该得的分数是考试成功的关键之一，首先要保证基础题拿满分，把这些分数先拿到。
其次是力争中档题不丢分，在有限的时间里做好基础题，然后把中档题也完成，争取争取不丢分。
最后是争取附加题能得分，附加题是最难的部分，在做完其他题目的时候，争取在附加题是得到分数。
5.做完题后仔细检查养成做完题后再仔细检查是参加任意考试必不可少的重要环节。
做初三数学题也是如此，如果有时间的话还可以把答题内容现在草稿纸上写出来，检查完毕之后再填写到试卷上。
2.九年级数学难题解题思路和方法篇二1、数形结合思想：就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系和图形巧妙和谐地结合起来，并充分利用这种结合，寻求解体思路，使问题得到解决。
2、分类讨论的思想：在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查，这种分类思考的方法，是一种重要的数学思想方法，同时也是一种重要的解题策略。
3、联系与转化的思想：事物之间是相互联系、相互制约的，是可以相互转化的。
数学学科的各部分之间也是相互联系，可以相互转化的。
初二数学试卷分析范文(热门15篇)
初二数学试卷分析范文1一、试卷分析本套试卷共6页，分值为100分。
主要考察了八年级数学第十六章分式和十七章反比例函数的内容。
其中包括：分式、分式的运算、分式的方程、反比例函数及其x质以及实际问题与反比例函数。
试卷的总体难度适宜，能坚持以纲为纲，以本为本的原则，注重考察基础知识的掌握，覆盖面较广，控制题目的烦琐程度，题目力求简洁明快，不在运算的复杂上做文章。
第一题为选择题共十个小题，学生出错率较高的题有2、3、6、8、10。
第2题涉及到分式的运算，题目难度适中，部分学生由于粗心马虎造成失分;第3题考查反比例函数x质的掌握，题目比较容易，学生对反比例函数的基本x质掌握不熟练导致出错;第6小题考查解分式方程中化分式方程为整式方程，本小题涉及到变号问题，学生做起来感觉吃力;第8和10小题涉及到实际问题，学生应用数学知识解决实际问题的能力较弱，所以出错率较高。
第二题为填空题共七个小题，学生出错率较高的题是12和16。
其中12题考查反比例函数的形式及其x质，出错的原因还是基础知识掌握不牢。
16题涉及到增根，学生出错是由于对增根的理解不到位。
第三题为解答题共七个小题。
18题考查分式的混合运算，19题考查解分式方程，题目难度较低，属于简单题。
20题是先化简再求值。
实质也是考查分式的混合运算，只是难度较18题略有提高，学生多在化简过程中出现错误。
21题主要考查用待定系数法确定反比例函数的关系式，题目简单，学生一般会拿到分数。
22题实质也是解分式方程，是对解分式方程能力的拓展和提高，有一定难度，学生出错率也较高。
23题是列分式方程解应用题，难度适中，学生出错的原因与8和10相同。
24小题考查反比例函数与实际问题，难度不大，一般都能做对。
二、学生分析我所带班级是八年级一班，学生程度参差不齐，两级分化现象严重。
学生学习氛围不太浓厚，部分学生学习态度不端正。
程度较好的学生对题目的应变能力较弱，程度一般的学生对基础知识的掌握还有欠缺，对部分概念的理解不到位。
(完整版)初中数学解题必备10大思想方法
初中数学解题必备10大思想方法1、配方法所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。
通过配方解决数学问题的方法叫配方法。
其中，用的最多的是配成完全平方式。
配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。
2、因式分解法因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。
因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。
因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。
3、换元法换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。
我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。
4、判别式法与韦达定理一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c属于R，a≠0）根的判别，△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。
韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。
5、待定系数法在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。
它是中学数学中常用的方法之一。
6、构造法在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法。
解析中学数学中常用的解题思想和解题方法
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中学数学常用 的解题思想 对 于数学题 的思想 与解答其实是一个思 维 活动 的过程 。通过理解 问题 、探索 问题 、 １ ． 教 给 方 法 ，让提 问有 方 向 可 寻 转 换问题 最终来 解决问题。因此 ，我们在解 （ １ ）抓住关键字 、词质 疑。理解 文字是 数 学题 的过程 中一定药对数学解题 的思想进 深入掌握学习内容 的基础 ，文字中的关键字 、 行 总结 ，举一反三。 词往往为就是提问的方 向标 。如教学 ０除以任 首先 ，方程 的思想 。运用方程解题是数 何不是 ０的数都得 ０这一结论时 ，可启发学生 学题 目的常用解 题方法。方程也是数学教学 抓住不是 ０质疑：不是 ０指 的是哪些数 ？删去 的重点内容。方程 的思想是 当我们面临的数 它行 吗？教学 《 分数乘整数 》时知道了计算方 学 问题 包 含 在 一 个 或 者 几个 未 知量 时 ，要 找 法是分子和整数乘 ，分母不变 。可以抓住分母 到含有未知量的方程或者方 程组，通过这种 不变 ，启发学生质疑 ：不变是什么意思？为什 方 式 来 解决 问题 。 例ｌ ：要将水 池灌满 ，用 Ａ水管需要 ｌ ５ 么是分子和整数乘 ，分母不乘 ？在做文字题 、 。 应用题时 ，学生经常会摸不着边 ，不知从哪下 分 钟 ，用 Ｂ水管 需要 ２ ０分钟 ，用 ｃ水 管需 Ｏ分钟 ，若 Ａ、Ｂ、ｃ三个水管 同时开放 ， 手，这时可鼓励学生抓住题 目的关键字、词质 要 ３ 疑，从而找到解题 的方法。如 ：题 目出现相 当 需要多长时间才能灌满水池 ？ 于、照这样计算 的关键字眼时，可以让学生将 解 ：假设 水池 总 水量 为 Ｇ，则 Ａ、Ｂ、 他们画 出来 ，问问自己这些字说明了什 么？可 ｃ水 管流 水速度 分别 为 Ｇ ／ １ ５ ，Ｇ ２０ ／ ，Ｇ ／ ３ ０ ， 以给你哪些信息？通过这样 的训练 ，学生便会 设 同时 开放三管 ，ｚ 分 钟就将水 池灌满 ，则 （ Ｇ ／ １ ５ ＋ Ｇ ／ ２ ０ ＋ Ｇ ／ ３ ０ ） Ｘ ｔ ＝ Ｇ，解 得 ｔ ＝ ２ ０ ／ ３ 。 有提 问 的方 向 。 （ ２）抓住知识 内在联 系质疑。有 比较才 通过 例 １ 我们可 以发现 ，方程解题思想 有鉴别 ，比较是思维的基础 ，是学生构建知识 是 在理解 问题 的基础上先把 问题总结为一个 不可缺少的环节 ， 有 比较才有发展。在教学 中， 或 者若 干个 未 知 量 ， 当解 答 出设 想 问 题 可 以 教师要根据知识特点 ，组织学生 比较异 同，沟 列 出的一 切关 系式，考察所列 的关系式 ，找 通知识联系 ，让学生在 比较 中观察 ，在 比较 中 出可以用 两种不 同方式来表示 同一个量 ，最 思考 ，在 比较中发现问题、提 出问题。如 ，在 终得 出含 有未 知量的方 程及方程组 ，解答方 教学 《圆柱体积》时 ，学生 明确了可以把 圆柱 程或者方程组 ，得到问题的解 。 其次 ，函数思想 。函数是 中学数学学习 转化成长方体计算体积时 ， 可让学生通过知识 的内在联系 ，讨论 、对 比，提 出对研究 圆柱体 的内容 ， 通过幂函数 、指数 函数、对数函数 、 积有实质性的问题 ，如拼成 的长方体与原来的 三角 函数 等解决数学问题。 例２ ： 已知 ａ ，ｂ∈Ｒ，求证 ≥ａ ＋ ｂ １ 圆柱面积有什 么关系？圆柱 的底面积与长方体 的底面积有什 么联系？高有什么变化？等 。教 解： 将 此 不 等 式 转 化 为 ａ 一 师 在 此 时 不必 要 将 答 案 告诉 学 生 ，只要 继 续 组 （ ａ ｂ ＋ 日 ＋ ｂ － １ ） ≥０ 为 此 得 出关 于 ａ的 二 次 函 数，ｆ （ ａ ） ＝ ａ ２ 一 织学生对这几个 问题的探究 ，学生 自然摸索出 １ ＋ ｂ ） ａ ＋ （ ｂ ２ 一 ｂ ＋ １ ） ，因此 只 要证 明 ｆ （ ａ ） ≥ ０即可 。 圆柱体积计算方法 。这样，既搞清楚 了圆柱与 （ 第三 ，转化思想。在解数学题时 ，根据 长方体的内在联 系，促进了学生的认知建构 ， 同时 也 累 积 了提 问 的经 验 。 数学 问题 间的某种联 系，将陌生难解 的问题 ２ ． 及 时 引导 ，为提 问保 驾 护航 转 化为 曾经解决 过的问题 ，通过转化问题进 行解题。 由于学生的个人习惯和水平程度的差异 ， 例３ ：解方程 ５ ｘ ４ ＋ ７ ｘ ３ — ３ ６ ｘ ２ — ７ ｘ＋ ５ ＝ ０。 学生会提出各式各样的问题 ，特别是一些后进 生。他们提问，有的问题是为了吸引老师的注 设用一定的方法把方程两边同时除以 Ｘ 。 ， ｘ ２ ＋ ７ ｘ 一 ３ ６ － ７ ／ ｘ ＋ ５ ／ ｘ ２ － ０ 意 ，根 本 与本 节 课 毫无 关 系 。这 时 ，老 师 一 定 可 得 ：５ 要明确地告诉他 ，能站起来 回答问题证 明你非 通过 换元 ，令 ｙ ＝ ｘ 一 １ ／ ｘ我们可 以得 出常 常勇敢 ，老师看到了 ，但老师更欣赏能 围绕主 见 的方程 ｙ ２ ＋ ７ ｙ － ２ ６ ＝ ０，将此方程带人可得原 要 内容 进 行思 考 后 提 出 的 问题 。有 的 问题 只 是 方 程 的解 。 浮于表面 ，老师可以建议他听听其他 同学提的 二 、中学数 学中常用的解 题方 法 第一 ，消元法。通过有限次的变换消去 问题 ，比较下区别在哪 ， 相信经过几次的练习、 题 目中由许多关 系式联 系着 的某些元素 ，来 借鉴 ，他再看到问题一定有提 问的方向。 总之，要在适宜的土壤 中运用适 当的方法 解决问题 。消元法解题的基本原则是逐步消 去培养小学生的数学问题意识 。 学生愿意提问， 元 。通过对所要消元 的元素逐个消元 ，使得 那么课 堂中就会呈现他们思维的火花 ，学生知 解题表达形式更加单一化 ， 达到解题 的 目的。 道如何 提问，那么有一定价值的问题便会 “ 不 常 用 的消 元 法 ：代 人 消 元 法 、加 减 消 元 法 、 尽长江滚滚来 ”！它促使学生主动地 、创造性 比较消元法 、参数 消元法。 地学习 ，从而发展学生思维 ，增强学生能力 ， 例４ 问ａ 为何值时 ， 方程组１ ＋ ＋ … 提高学生的学 习效果 ，而问题导学在数学课堂 有唯一实数解 ，并求出这组解。 中的 魅力 也 能 真 正发 挥 。 解 ：ｘ ＋ ｙ ＋ ｚ ＝ ａ 作为待消方程，把此方程代 人ｘ ２ ＋ ｙ ２ ＝ ｚ 中 ，得 ｘ ＋ ｙ ＋ ｘ ＋ ＝ ａ 。 只有 当 ａ ＝ － ｌ ／ ２方程 才 有唯 一 解 因此 将 即
初中数学教师解题比赛试题及答案
青年教师基本功大赛试题一、选择题（10×2=20分,单选或多选）1.现实中传递着大量的数学信息，如反映人民生活水平的“恩格尔系数”、预测天气情况的“降雨概率”、表示空气污染程度的“空气指数”、表示儿童智能状况的“智商”等，这表明数学术语日趋（）（A）人本化（B）生活化（C）科学化（D）社会化2. 导入新课应遵循（）（A）导入新课的方法应能激发学生的学习兴趣、学习动机，造成悬念，达到激发情感，提出疑问的作用（B）要以生动的语言、有趣的问题或已学过的知识，引入新知识、新概念（C）导入时间应掌握得当，安排紧凑（D）要尽快呈现新的教学内容3.下列关于课堂教学的改进，理念正确的是（）（A）把学生看作教育的主体，学习内容和学习方法由学生作主（B）促进学生的自主学习，激发学生的学习动机（C）教学方法的选用改为完全由教学目标来决定（D）尽可能多的提供学生有效参与的机会，让学生自己去发现规律，进而认识规律4．为了了解某地区初一年级7000名学生的体重情况，从中抽取了500名学生的体重，就这个问题来说，下面说法中正确的是（）（A ）7000名学生是总体（B）每个学生是个体（C ）500名学生是所抽取的一个样本（D）样本容量是5005. 一个几何体的三视图如图2所示，则这个几何体是（）主视图左视图俯视图图2 （A）（B）（C）（D）6．如图1，点A(m,n)是一次函数y=2x 的图象上的任意一点，AB 垂直于x 轴，垂足为B ，那么三角形ABO 的面积Ｓ关于m 的函数关系的图象大致为（ ）7．有三条绳子穿过一片木板，姊妹两人分别站在木板的左、右两边，各选该边的一条绳子。
若每边每条绳子被选中的机会相等，则两人选到同一条绳子的概率为（ ） (A)21 (B) 31 (C) 61 (D) 918．一次数学课上，老师让大家在一张长12cm 、宽5cm 的矩形纸片内，折出一个菱形。
甲同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH （见方案一），乙同学沿矩形的对角线AC 折出∠CAE ＝∠DAC ，∠ACF ＝∠ACB 的方法得到菱形AECF （见方案二），请你通过计算，比较这两种折法中，菱形面积较大的是( )（A ）甲 （B ）乙 （C ）甲乙相等 （D ） 无法判断9．迄今为止，人类已借助“网格计算”技术找到了630万位的最大质数。
平实中见方法 细微处蕴思想——浙江省绍兴市中考数学试卷亮点赏析.doc
平实中见方法细微处蕴思想——2016年浙江省绍兴市中考数学试卷亮点赏析绍兴市柯桥区实验中学 xxx摘要：2016年浙江省绍兴市中考数学试题在继续保持前几年中考命题所形成的清新风格的基础上,以创新的手法进行精心设计,与生活结合紧密,创新气息浓郁,考查层次丰富,体现数学的实用价值.尤其在当前严格规范办学行为,切实减轻学生过重学业负担,全面推进素质教育的背景之下, 试题特别重视基础的考查,能力立意，关注过程应用,渗透思想方法. 为学生水平发挥提供了广阔的空间,有利于甄别学生的思维层次和数学素养,具有较高的信度、较好的效度和恰当的区分度.这不仅有利于高一级学校选拔合格的新生,而且对初中数学教学和减轻学生的课业负担都具有良好的导向作用。
关键词：中考创新试卷评析2016年浙江省绍兴市中考数学试题在继承前几年中考命题整体思路的基础上，坚持立足基础，关注过程，渗透思想，突出能力，重视应用，注重创新的命题原则，突出对基础知识，基本技能和基本数学思想方法的考查，关注学生的数学基础知识和能力、数学学习过程和数学应用与创新意识，涌现出大量新颖别致的特色亮点题，试题尽显新课标教学理念，对今后日常教学必将产生深远的影响。
一、创新考查角度，落实“三基”要求数学基础知识和基本技能是学好数学的基石，在不同的环境中灵活运用它们是学好数学的反映，试卷在关注对基础知识和基本技能考查的同时，特别注意让考察方式的多样化和考查角度的新颖性。
例1（第8题）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A、D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是（）A．312B．36C．33D．32【评析】此题运用选择题型，巧妙考察尺规作图的同时，进一步考察直角三角形性质和锐角三角函数概念的应用，要求学生在理解题意的基础上作出正确的图形，否者要顺利选出正确答案是有一定难度的，由于结合图形进行考察，这为进行抽象思维提供了方便，在一定程度上降低了考查内容的难度，就考察形式而言，如此设计，考题更具新颖性。
2019年高考数学复习之名师解题系列“中学数学解题思想方法”消元法
消元法山西省寿阳县第一中学校 李建军一、内容概述消元法是指将许多关系式中的若干个元素，通过有限次地变换消去其中的某些元素，从而使问题获得解决的一种解题方法.消元法属于化归（转化）思想的范畴，是实施化归思想的重要方式和策略，广泛应用在函数与方程、不等式、数列、三角与向量、解析几何等数学问题的解决过程中。
学习和掌握消元法，不但对巩固基础知识、提高解题能力有重要作用，而且有利于培养思维能力、积淀数学素养. 中学阶段常用的消元法有三类：一类是直接消元。
比如运算消元法、公式消元法等；第二类是间接消元。
比如参数（换元）消元法等。
第三类是综合消元。
本专题分三讲，毎讲通过几个例题的解决，体验这类消元法在解题中的具体应用，进一步体会该方法对转化思想的完美诠释,增强解题的方向性和有效性。
二、例题讲解直接消元法在高中数学解题的过程中，和谐统一是化归的大方向。
所以将条件和结论中诸多不同的元，通过加减乘除等运算方式或者已有的公式直接消元，达到化简和计算的结果。
请看下面的题目：例1．（必修四P ）已知,2tan =α求ααααcos sin cos sin +-的值。
解：（方法一）由同角三角函数关系得：2cos sin tan ==ααα，所以ααcos 2sin =.所以31cos 3cos cos cos 2cos cos 2cos sin cos sin ==+-=+-αααααααααα。
（方法二）将式子ααααcos sin cos sin +-的分子、分母同除以αcos 得1tan 1tan 1cos sin 1cos sin cos sin cos sin +-=+-=+-αααααααααα，将2tan =α代入可得：原式=31。
评析：本题涉及三个元：αααtan cos sin 、、,方法一利用同角三角函数关系将切化为弦，消去一个元，再用代入消元的方法消去另一个元，最后用约分(除法)消去第三个元，从而使问题得到解决。
(完整版)初中数学解题必备10大思想方法
初中数学解题必备10 大思想方法1、配方法所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。
经过配方解决数学问题的方法叫配方法。
其中，用的最多的是配成完满平方式。
配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分特别广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。
2、因式分解法因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。
因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起重视要的作用。
因式分解的方法有好多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还如同利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。
3、换元法换元法是数学中一个特别重要而且应用十分广泛的解题方法。
我们平时把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。
4、鉴识式法与韦达定理一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c 属于R，a≠0）根的鉴识，△=b2-4ac，不但用来判断根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数以致几何、三角运算中都有特别广泛的应用。
韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以够求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些相关二次曲线的问题等，都有特别广泛的应用。
5、待定系数法在解数学问题时，若先判断所求的结果拥有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，此后依照题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，进而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。
它是中学数学中常用的方法之一。
6、构造法在解题时，我们经常会采用这样的方法，经过对条件和结论的解析，构造辅助元素，它能够是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，进而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法。
2019年高考数学复习之名师解题系列“中学数学解题思想方法”作差法
作差法1 内容概述作差法常指作差比较法，它是一种常用的比较两个数（式）大小的方法，其理论基础是a >b ⇔a －b >0，a <b ⇔a －b <0，a =b ⇔a －b =0，其步骤是：（1）作差；（2）变形；（3）定号，得出结论. 其中变形是关键，变形的目的是为了判断差值的符号。
这里面蕴含着化归与转化思想，但是其实作差法还是一种常见的消元方法，比如初中学过的解二元一次方程组就常用作差法进行消元。
而在数列问题中我们也常常用到作差法，当我们遇到与前n 项和有关问题时，可以将和式少写或者多写1项，再将二者整体相减，只剩下第n 项或n +1项，这样就得到相应的递推关系式，从而问题转化为已知递推关系求数列通项问题,这就是我们熟悉的和通公式。
2 例题示范例1 （人教A 版必修3 P75B 组第一题（3））比较大小(x ²+y ²+1)与2(x +y -1)的大小 解：(x ²+y ²+1)-2(x +y -1)=(x ²-2x +1)+(y ²-2y +1)+1=( x -1)²+( y -1)²+1≥1＞0所以(x ²+ y ²+1)-2(x + y -1)＞0即 x ²+ y ²+1＞2(x + y -1)评析：在利用作差法比较两个数（式）的大小时，关键是将作差后的式子转化成能应用已知条件判断符号的因式. 转化的方法一般为因式分解法和配方法. 转化的结果常常为：①常数；②常数和几个平方和的形式；③几个因式的积.例2 （人教A 版选修1-1P99B 组题改编）证明：1+x e x ≥解：设f (x )=e x -(1+x ),则f (0)=0,且f '(x )=e x -1当x ＞0时，f '(x )＞0，f (x )在区间[0,＋∞)上单调递增.当x ＜0时，f '(x )＜0,从而f (x )在区间（－∞,0]上单调递减，所以f (x )＞f (0)=0,即f (x )=e x -(1+x )≥0，即 1+x e x ≥评析：证明函数不等式通常要把不等式恒成立问题，通过构造差函数，转化为利用导数求函数最值或值域问题．例3：已知数列{n a }的前n 项和为n S ，1a =1，0n a ≠，11n n n a a S λ+=-，其中λ为常数.证明：2n n a a λ+-=；解：由题设，11211,1n n n n n n a a S a a S λλ++++=-=-两式相减得121()n n n n a a a a λ+++-=，而10n a +≠，2n n a a λ+∴-=评析：当题目的已知条件是n S 与i a 之间的递推关系时，宜采用作差法．该方法实质上是公式11n n n a S S n -=->（）的变形应用，但就是这种小小的变形，却使我们解题时更加简捷、方便、实用．当遇到含有前ｎ项和Ｓｎ或若干项和的数列题目时，我们经常通过例4：已知数列的通项公式为65n a n =+，的通项公式为13+=n b n .令.求数列的前n 项和. 解： +1+16631233n n n n (n )c (n )(n )+==+⋅+， 又n n c c c c T +⋅⋅⋅+++=321，即]2)1(242322[31432+++⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯=n n n T ，34522322324212n n T (n )+= [⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++]，以上两式两边相减得2341232222212n n n T (n )++-=[⨯+++⋅⋅⋅+-+]。
中学数学中常用的解题思想和解题方法
（ ） 察列 出的关 系式 ， 找能 用 两种 不 同方 ３考 寻
式表 示 同一个量 ， 而得 到含有 未知量 的方 程或方 从
程组 ．
１ 中 学数 学 常 用 的解 题 思 想
２ ０世 纪 ５ ０年 代 ， 国著 名数 学 家 和数 学 教育 美 家波利 亚从 事数 学方法 的研 究 ， 研究 成果 汇集 在 其
王 林 科
（中山 纪 念 中学 ， 东 中 山 ５ ８ ５ 广 ２ ４ ４）
摘 要 ： 阐述 了 中学 数 学 中几 种 常 用 的 解 题 思 想 ： 程 的 思 想 、 方 函数 思 想 、 化 思 想 、 类 讨 论 思 想 、 形 结 合 思 想 等． 转 分 数 同时 分析 了几 种 常 用 的 解题 方 法 ： 元 法 、 换 消元 法 、 数 法 、 推 法 、 造 法 ． 参 递 构
念． 是一个 简单 的二元 一 次方程 组． 这
们要解 决的数 学 问题 包 含 在 一个 或 若 干 个 未知 量
收 稿 日期 ：０ １ ｌ一１ ２ １ 一Ｏ ８
作者 简 介 ： 林 科 （ ９６一） 河 南 南 阳人 ， 教 一 级 ， 王 １７ ， 中 主要 从 事 中学 数 学 教 学 与 研 究
第ｌ ０卷 第 ６期
２０１１年 ６月
南 阳师 范学 院学报
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｎ ａ ｇ Ｎｏｍａ ｉｅ ｓｔ ｏ ｒ ａ ｆＮａ ｙ ｎ ｒ ｌＵｎ ｖ ｒ ｉ ｙ
Ｖｏ ． ０ ＮＯ ６ １１ ． Ｊ ｎ． ２ １ ｕ ０１
中学 数 学 中 常 用 的 解 题 思 想 和 解 题 方 法
家波利 亚说过 ： 一 位 好 的数 学 老 师或 学 生 应 努力 “ 保持解 题 的好 胃 口． 这 是 因为 ， 题 是 深 刻 理 解 ” 解 和熟 练掌握 数学 理论 和方法 的必要 手段 ； 题是培 解 养 分 析 问 题 、 决 问 题 能 力 和 创 造 能 力 的 有 效 解
2024-2025学年云南省昆明市第三中学八年级上学期期中数学试卷
2024-2025学年云南省昆明三中初二年级上学期期中考试数学试卷一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分）1．下面“修”“己”“安”“人”四个字形属于轴对称图形的有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．下列计算正确的是（ ）A ．235a a a +=B ．()22ab ab =C ．235a a a ⋅=D ．()326a a −=3．在平面直角坐标系中，点()2,4A −关于x 轴对称的点B 的坐标是（ ）A ．()2,4−B ．()2,4−−C ．()2,4−D ．()2,4 4．若()021x −有意义，则x 的取值范围是（ ）A ．2x =−B ．0x ≠C ．12x ≠D ．12x = 5．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为42°，则这个等腰三角形的顶角是（ ）A ．42°或138°B ．42°或132°C ．48°或138°D ．48°或132°6．计算()20242024122⎛⎫−⨯−= ⎪⎝⎭（ ） A ．1 B ．-2 C ．12 D ．12− 7．“廊桥凌水，楼阁傲天，状元故里状元桥，绶溪桥上看绶溪”其中“状元阁”的建筑风格堪称“咫尺之内再造乾坤”，如图“状元阁”的顶端可看作等腰三角形ABC ，AB AC =，D 是边BC 上的一点．下列条件不能说明AD 是ABC △的角平分线的是（ ）A ．ADB ADC ∠=∠ B ．BD CD = C ．2BC AD = D ．ABC ACD S S =△△8．若()()229x x x px q −+=++，那么p ，q 的值是（ ） A ．7p =，18q = B ．7p =，18q =−C ．7p =−，18q =D ．7p =−，18q =−9．若63x =，616y =，则6x y −的值为（ ）A ．316B ．-13C ．38D ．1910．定义：三角表示13abc ，x w y z 表示xz wy −，则23212n m ⨯的结果为（ ） A ．223m n mn −B ．323m n mn +C ．223m n mn +D ．323m n mn − 11．如图，等边ABC △的边长为1cm ，D 、E 分别AB 、AC 是上的点，将ADE △沿直线DE 折叠，点A 落在点A '处，且点A '在ABC △外部，则阴影部分的周长为（ ）cm第11题图A ．1B ．2C ．3D ．412．如图，C 是ABE △的边BE 上一点，点F 在AE 上，点D 是BC 的中点，且AB AC CE ==，对于下列结论：①AD BC ⊥；②CF AE ⊥；③12∠=∠；④AB BD DE +=．其中正确的结论有（ ）第12题图A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个13．如图在第1个1A BC △中，40B ∠=︒，1A B BC =，在边1A B 上任取一点D ，延长1CA 到2A ，使121A A A D =，得到第2个12A A D △，再在边2A D 上任取一点E ，延长12A A 到3A ，使232A A A E =，得到第3个23A A E △……依此类推，可得到第n 个等腰三角形，则第n 个等腰三角形中，以n A 为顶点的内角的度数为（ ）第13题图A ．1402n ⎛⎫⋅︒ ⎪⎝⎭B ．11402n −⎛⎫⋅︒ ⎪⎝⎭C ．1702n ⎛⎫⋅︒ ⎪⎝⎭D ．11702n −⎛⎫⋅︒ ⎪⎝⎭14．如图，在ABC △中，AB AC =，4BC =，面积是16，AC 的垂直平分线EF 分别交AC ，AB 边于E ，F 点，若点D 为BC 边的中点，点M 为线段EF 上一动点，则CDM △周长的最小值为（ ）第14题图A ．10B ．8C ．6D ．1215．诚诚同学在课外实践活动中，利用大小不等的两个正方形纸板A ，B 进行拼接重组探究，已知纸板A 与B 的面积之和为52．如图所示，现将纸板B 按甲方式放在纸板A 的内部，阴影部分的面积为9．若将纸板A ，B 按乙方式并列放置后，构造新的正方形，则阴影部分的面积为（ ）第15题图A ．40B ．41C ．42D ．43二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分）16．224x y −因式分解的结果为______．17．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，边AB 的垂直平分线DE 交AB 于点E ，交BC 于点D ，AD 平分BAC ∠，3CD =，则BC 的长为______．第17题18．一个等腰三角形三边长分别为21x −、1x +、32x −，则该等腰三角形的周长是______19．如图，在长为a 、宽为b 的长方形场地中，横向有两条宽均为n 的长方形草坪，斜向有一条平行四边形的草坪，且其中一边长为m ，则图中空地面积用含有a 、b 、m 、n 的代数式表示是______．第19题三、解答题（本大题共8小题，共62分）20．计算：（1）()2232x y xy xy xy −+÷；（2）()()22a b c a b c +−−+． 21．如图，AB AC =，AB 的垂直平分线交AC 于D ，交AB 于E ．（1）若40A ∠=︒，求DBC ∠的度数；（2）若5AE =，BCD △的周长17，求ABC △的周长．22．小红准备计算题目：(2x ▅)2x +()2x x −，发现第一个因式的一次项系数被墨水遮挡住了，已知这个题目的正确答案是不含三次项的，请计算求出原题中被遮住的一次项系数．23．如图，ABC △三个顶点的坐标分别是()1,1A ，()4,2B ，()3,4C ．（1）请画出ABC △关于y 轴对称的图形111A B C △．（2）画出点C 关于直线l 的对称点C ，并写出点C 的坐标．（3）在x 轴上求一点P ，使PAB △的周长最小，请画出PAB △，并通过画图直接写出点P 的坐标．24．先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若2222690m mn n n ++−+=求m 和n 的值．解：∵2222690m mn n n ++−+=，∴2222690m mn n n n +++−+=，∴()()2230m n n ++−=，∴0m n +=，30n −=，∴3m =−，3n =（1）若2222440x y xy y +−++=，求y x 的值．（2）已知a 、b 、c 是ABC △的三边长且各边不相等，其中2210841a b a b +=+−，c 是ABC △中最长的边，求c 的取值范围．25．某综合实践小组设计了一个简易发射器，如图1所示，发射杆AP 始终平分同一平面内两条固定轴所成的角是BAC ∠，其中120BAC ∠=︒，10AE AF ==cm ，发射中心D 能沿着发射杆滑动，DE 、DF 为橡皮筋．（1）证明：DE DF =；（2）当ADE △由图2中的等边1AED △变成直角2AED △时，求发射中心D 向下滑动的距离12D D 的长度．26．整体思想是数学解题中常用的一种思想方法：下面是某同学对多项式()()2234361x x x x −+−++进行因式分解的过程．解：令23x x m −= 原式()()461m m =+++ 第一步21025m m =++第二步()25m =+第三步 ()2235x x =−+ 第四步回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的方法是______．A ．提取公因式B ．公式法（2）请你类比以上方法尝试对多项式()()2242464a a a a −+−++进行因式分解．27．某学习小组遇到了如下的数学题目：“在等边ABC △中，点E 在边AB 上，点D 在CB 的延长线上，且ED EC =，试确定线段AE 与DB 的大小关系，并说明理由．”学习小组进行了如下探究：（1）特殊情况，探索结论：如图1，当点E 为AB 的中点时，确定线段AE 与DB 的大小关系．请你直接写出结论：AE ______DB （填“>”或“<”或“=”）；（2）特例启发，解答题目：当点E 不是边AB 的中点时，如图2，可过点E 作EF BC ∥，交AC 于点F ， 构造等边三角形和全等三角形，通过转化思想解决问题．请你判断AE 与DB 大小关系，并完成解答过程；（3）总结方法，解决新题：在等边ABC △中，点E 在直线AB 上，2AE =，点D 在直线BC 上（且不与B 、C 两点重合），且ED EC =，若ABC △的边长为1，直接写出CD 的长．。
初中数学精品试题：初中数学原创题 3
初中数学原创题一、选择题10.已知在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形（用阴影表示），点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x轴上．若正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3，则点A3到x轴的距离是：（）A．316+B．216+C．339+D．336+（1）考点分析：此题主要考查了正方形的性质以及解直角三角形的知识。
（2）命题的思路意图：近些年来，全国多数地市的中招考试都有找规律的题目，人们开始逐渐重视这一类数学题，研究发现数学规律题的解题思想，不但能够提高学生的考试成绩，而且更有助于创新型人才的培养。
在众多几何图形中，最基本的图形是三角形，许多复杂的图形都是通过添加辅助线转化为三角形进行求解的，其中最特殊的要数直角三角形，它的边和角都具有特殊的性质。
而本题就是寻找正方形的图形规律和直接三角形特点相结合的题型。
（3）解答过程：解：如图，∵B1C1∥B2C2∥B3C3，∴∠B3C3O=∠B2C2O=∠B1C1O=60°，∵正方形A1B1C1D1的边长为1，∴OC1=12×1=12C1E=32×1=32E1E2=12×1=12E2C2=12×33=36C2E3=E2B2=1 2E3E4=12×33=36E4C3=36×33=16∴B3C3=2E4C3=2×16=13过点A3延长正方形的边交x轴于M，过点A3作A3N⊥x轴于N，则A3M=13+13×33=339+A3N=339+×32=136+∴点A3到x轴的距离是：31 6 +故答案为：A二、填空题16.如图，直线l：y=-x-2与坐标轴交于A，C两点，过A，O，C三点作⊙O1，点E为劣弧AO上一点，连接EC，EA，EO，当点E在劣弧AO上运动时（不与A，O两点重合），ECEO-EA=_________。
中学数学解题思想方法--割补法(1)
中学数学解题思想方法--割补法（1）1内容概述普通高中《数学课程标准》中指出：学生能从空间几何体的整体观察入手，认识空间图形，了解一些简单几何体体积的计算方法.割补法就是在求简单几何体的体积中常用的解题方法.立体几何中的割补法的运用一般是通过将复杂的、不规则的、不易认识的几何体，通过“分割”或者“补形”转化为简单的、规则的、易于认识的几何体，从而解决问题的一种解题方法.通过几何体的割补能发现未知几何体与已知几何体的内在联系，提高空间想象能力.割补法的运用蕴含了一种构造的思想方法，反映了对立、统一的辩证思想.本专题将从“补形”、“分割”和 “割补的灵活应用”三个方面进行阐述.本讲着重从前两个方面进行讲解.2例题示范例1 已知如图1-1所示，三棱锥ABC P -的每相对的两条棱相等，棱长分别为13105、、，求三棱锥ABC P -的体积.解：设补成的长方体的三度分别为c b a ,,，则abc V =长方体，补出的四个三棱锥的体积相等，都等于abc 61，且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+222222222)13()10()5(a c c b b a ，解得213a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩23213131614=⨯⨯⨯==⨯-=∴-abc abc abc V ABC P .评析：一般地如果按常规求法需要求出三棱锥的底面积和对应的高，而本例中高很难求出，因此需要我们重新审视条件寻找其他解决问题的途径.由已知三组相对的棱相等这一特点，联想长方体对面不平行的对角线恰好组成对棱相等的三棱锥，可以把三棱锥ABC P -补成长方体，如图1-2所示，长方体可以看成由三棱锥ABC P -和四个相同体积的易于计算的三棱锥组成.本题所采取的解题方法为补形法.难点在于如何利用“对棱相等”这一特点，不拘泥于在所给几何体求体积，联想长方体大胆构造，通过将对棱相等的三棱锥补形成长方体，匠心独具，极大地降低了计算量.类似地，可以将正四面体补形成正方体，将三条棱互相垂直的三棱锥补形成长方体或正方体求三棱锥的体积.例2 如图2-1,在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且BCF ADE ∆∆,均为正三角形，AB EF //,2=EF ,则该多面体的体积为______.解：将多面体ABCDEF ,分割成如图2-2所示的直三棱柱BCH ADG -和三棱锥ADG E -和三棱锥BCH F -，因此BCH F ADG E BCH ADG ABCDEF V V V V ---++=多面体FH S EG S AB S BCH ADG ADG ⋅+⋅+⋅=∆∆∆3131FH S EG S AB S ADG ADG ADG ⋅+⋅+⋅=∆∆∆3131ADG ADG S FH EG AB S ∆∆=++⋅=34)3131(322212134=⨯⨯⨯=. 评析：多面体ABCDEF 是一个不规则多面体，一般我们可以考虑把这类问题转化为用规则的几何体之和差来求解.考虑到题目中给出ABCD 为正方形，因此我们可以考虑在图中截成如图2-2所示的一个直三棱柱BCH ADG -，三棱锥ADG E -和三棱锥BCH F -，从而借助常用的三棱柱和三棱锥的体积计算.本题所采取的解题方法称为分割法.我们通过从几何体外部进行分割入手，将所给不规则的几何体分割成规则的几何体--三棱柱和两个三棱锥，从而达到分割求和的目的.例3 求棱长为a 的正四面体内切球的半径.解：设正四面体内切球的球心为O ，内切球的半径为r ，连结OA ，OB ，OC ，OD ，如图3-2所示，则=4O BCD V V -正四面体， 设顶点A 到底面的高为AF ，因此1=3BCD V S AF ∆⋅正四面体，1=3O BCD BCD V S r-∆⋅14r AF ∴=，容易知道63AF a =, 16=.412r AF ∴=A 1A DBC评析：要想求出棱长为a 的正四面体的内切球的半径，必须知道球心的位置，而球心的位置比较难找.我们不妨假设球心为O ，连结OA ，OB ，OC ，OD ，这样我们就把正四面体分割成四个全等的三棱锥如图3-2所示，而且O 到正四面体各个面的距离就是内切球的半径.因此=4O BCD V V -正四面体.不难看出正四面体和三棱锥O BCD -共底面BCD ，所以我们只要求出正四面体的高，它的14即为内切球的半径.本题所采取的解题方法为分割法.分割的点在几何体内部，这也是本题的难点所在.分割后主要利用部分与整体的关系来解决问题.实际并没有分割几何体，只是利用了分割的方法.3配套练习1.如图4-1所示，已知底面半径为r 的圆柱被一个平面所截，剩下部分的母线长最小值为a ，最大值为b ，求这个几何体的体积.2.棱长为2的正四面体内切球的体积为______.3.如图，在四棱锥1A ABCD -中，1A A ⊥平面ABCD ，ABCD 为矩形, 1222AD AB AA ===,D C B A A ,,,,1是球O 表面上的五个点，求球O 的体积________.DA答案：1.解：补上一个相同的几何体如图4-2所示，可得底面半径为r，高为a b+的圆柱，=2VV∴圆柱几何体，又2=r()V a bπ+圆柱，因此这个几何体的体积为21()2r a bπ+.6. 6π.。
初中数学考试答题技巧及数学学习方法
初中数学考试答题技巧及数学学习方法一、整卷答题技巧1.按照“三先三后”的顺序作答：(1)先易后难，通常是按照从前往后的顺序做，先做容易题，后做复杂题；(2)先熟后生，即先做那些内容已经熟练掌握，题型结构又比较熟悉的题目，后做生疏题；(3)先高分后低分，特别是在考试的后半段，要特别注意时间效益，如果都能解决的问题，先解决分值较高的再解决分值比较低的。
2.合理分配答题时间，最好能预留一定的时间来检查；下表是合理分配答题时间的一些建议（仅供参考）：3.审题奥义，这三种情况都要审：(1)解题前要仔细审题（这是做题的条件）；(2)解题过程中碰到困难时要审题（看看有哪些条件未用，哪些条件背后隐含着条件等）；(3)解题结束时要审题，防止出现答非所问的现象；4.做标记：在做题中学会做标记，将不确定答案的题号标记出来（用铅笔或在草稿纸上标出来），到检查时着重检查，不在已经确定的题目中浪费时间；5.检查时，应注意以下几点：(1)查整份试卷中有没有漏做的题目，尤其是一题多问的题目，或文字与图表均有的题目；(2)查填空题或解答题是否漏写单位，解答题是否漏答，多解题是否漏解；(3)查计算时是否按照给出的参考数据进行计算，结果是否按题目要求取近似数等；(4)最后重点检查标记出来的不确定或者是不会做的题目，可以变换思维，转换角度，多层面、多方法挖掘已知条件与隐含条件间的内在联系，争取有全新的认识并计算出正确答案。
二、选择、填空题的答题技巧解答选择、填空题时要熟练、准确、灵活、快速，要“多想一点、少算一点”，尽量减少计算过程，要“小题小做”，不要“小题大做”。
解答选填题可参考以下的答题方法：(2)三大函数的图象与性质可选用数形结合法；(3)阴影部分面积的计算题可选用转化构造法；(4)概率计算题选用图解法（列表或画树状图）；(5)针对需要空间想象的几何图形操作题，如展开与折叠、平移与旋转等变换的试题，仅凭“大脑”的想象，有时候很难完成一个完整的图象，因此，可以借助于草稿纸按照题目要求进行折叠实践，得出直观的图形，使得问题得以快速解决。
高三数学试卷分析
高三数学试卷分析一、试题的整体评价这次试卷题的难易设计从试卷卷面可看出，各个题的难易普遍比较平和，本次试卷，能以大纲为本，以教材为基准，基本覆盖了平时所学的知识点，试卷不仅有基础题，也有一定的灵活*的题目，能考查学生对知识的掌握情况，实现体现了新课标的新理念，试卷注重了对学生的思维能力、运算能力、计算能力、解决问题能力的考查，且难度也不大，在出题方面应该是一份很成功的试卷。
对高三后期复习起到指导作用，具体分析如下：1、注重基础知识、基本技能的考查，符合高考命题的趋势和学生的实际。
让所有肯学、努力学的学生都能感受到成功的喜悦，考出积极*。
本次试卷注重基础知识的考查，22道题中大部分题目得分率较高，这样的考试让所有同学对数学学习有了更强的信心。
2、注重能力考查，较多试题是以综合题的形式出现，在考查学生基础知识的同时，能考查学生的能力。
二、各题的解答状况选择题第3题，学生对数列掌握的不好，三角函数求值不准确。
第7题，对向量的几何运算理解能力很差。
第12题，处理复杂问题的能力不够，分类讨论能力欠缺。
填空题第14题，这个题的失分，反映出学生对最基本的导数的几何意义知识没掌握住，这是前段复习的失败。
第16题，这个题得分率很低，反映出学生的想象力还待有很大提高。
解答题第17题：三角函数题考察三角函数基本关系式及*质的处理方法，学生得分率比较高，答题情况较好，部分学生的错误(1)一角一次一函数化错.(2)计算错误，部分学生计算能力仍然有待提高，眼高手低.在以后复习中要在以上方面注意加强!第18题：立体几何题出现的问题：1.缺少必要的推导过程。
2.条件不充分。
3.推导逻辑错误。
下一步教学中应注意的问题：1.进一步规范*格式：高考是见点得分，不写什么，必须写什么，如何规范准确表达都是立体几何的复习中必须强调的问题。
2.强化对判定、*质定理的掌握：从学生的做题中反映出学生在由什么条件可推什么结论中想当然严重，其原因还是对各种位置关系的判定及*质定理掌握不够，应在下面的复习中予以重视，增加训练。
有理数中的解题思想方法
初中数学教与学
如图 1, 一个点从数轴上的原点开
始, 先向右移 动 3 个 单位 长度, 再 向左 移动 5 个单位长度. 可以看出, 终点表示的数是 - 2.
分析 得简便. 解
直接 运算, 太繁琐, 而 且易出 错;
已知 A 、 B 是数轴上的点, 则 ( 1) 如果点 A 表示数 - 2, 则与点 A 的距离 是 4个单位长度的点所表示的数是 ; ( 2) 如果将点 B 向右移动 3个单位长度, 再向左移动 5个单位长度, 终点表示的数是 0, 那么点 B 表示的数是 分析 解 . 可结合数轴确定. ( 1) 如图 2, 与点 A 的距离是 4 个单
1 2007
解
设 1+
1 1 + + 2 3 + 1 = b, 2006
+
1 = a, 2006
1 1 + + 2 3 则 a - b = 1. 原式 = b+ 1 2007
a-
a+
值的意义, 先去掉 绝对值, 然后 把互 为相反 数 的两个数结合. 解 原式 1 1 + 29 30 = 1 1 1 1 1 = + + 20 21 21 22 22 1 = + 20 + 1 1 + + 21 21 1 1 1 + 30 29 29 1 + 030 = ab +
2006 2005
( - 5)
2005
原式 =
8
2006
= 1 + 1 + 1 = 3; ( 2 ) 当 x、 y、 z 一正两负时, 不妨设 x > 0, y < 0, z < 0, 则 x - y - z 原式 = + + x y z = 1 - 1 - 1 = - 1. 故原式的值为 3或 - 1. 注 当 被研 究 的 问题 包 含 多种 可 能 情 形, 不能一概而论 时, 就 要按可 能出 现的所 有 情形分别讨论, 得出各 种情况 下相 应的结 论;
湖南省衡阳市船山实验中学2024-2025学年上学期第一次月考八年级数学试题
湖南省衡阳市船山实验中学2024-2025学年上学期第一次月考八年级数学试题一、单选题1．64的立方根是（ ）A ．4B ．±4C ．8D ．±82．在实数 3.1415926，0，2π227，0.1616616661…（两个l 之间依次多一个6）中，无理数的个数是（ ）A ．5B ．4C ．3D ．23．下列计算正确的是（ ）A ．22321a a -=B ．32(0)a a a a ÷=≠C ．236a a a ⋅=D ．()3326a a =41的值（ ）A ．在1和2之间B ．在2和3之间C ．在3和4之间D ．在4和5之间 5．下列多项式中不能用公式法分解因式的是（）A ．214a a ++ B ．222ab a b ++ C ．225a -+ D ．24b --6．若长方形面积是2339a ab a -+，一边长为3a ，则这个长方形的宽是（ ） A ．826a b -+ B ．226a b -+ C ．3a b ++ D ．3a b -+ 7．若215x kx +-能分解为()()53x x +-，则k 的值是（ ）A ．2-B ．2C ．8-D ．88．要使多项式()()22x p x +-不含x 的一次项，则p 的值为（ ）A ．4-B ．4C ．1-D ．19．设有边长分别为a 和()b a b >的A 类和B 类正方形纸片、长为a 宽为b 的C 类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为a b +的正方形，需要1张A 类纸片、1张B 类纸片和2张C 类纸片．若要拼一个长为3a b +、宽为2+a b 的长方形，则需要C 类纸片的张数为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．910．若方程22160x kx -+=的左边可以写成一个完全平方式，则k 的值为（ ）A ．8B ．4±C ．4-D ．8±二、填空题1112．计算（﹣2）100×9912⎛⎫ ⎪⎝⎭的结果是．13．若m ，n 为实数，且()240m +，则()2m n +的值为．14．已知某正实数的平方根是2a +和72a -，那么这个正实数是．15．已知52a b ab +==，，则代数式223a ab b -+的值为 ．16．若35a =，32b =，则233a b -的值为．17．小聪在学习完乘法公式后，发现完全平方公式经过适当的变形或数形结合，可以解决很多数学问题．如图摆放两个正方形卡片，A M B 、、在同一直线上．若5AB =，且两个正方形面积之和为13，则阴影部分的面积为．18．大家一定熟知杨辉三角（Ⅰ）,它可以解释二项式和的乘方规律，观察下列等式（Ⅱ）根据前面各式规律，则6()a b +的展开式中第4项是．三、解答题19．计算()202412-+-(2)()()323233a a a -÷⋅．20．因式分解(1)3a a -(2)3212123x x x -+-．21．先化简，再求值：22(3)()()2(2)x y x y x y y x ⎡⎤--+--÷-⎣⎦，其中31x y ==-，．22．计算：(1)若3230a b z ++-=，求3279a b z ⨯⨯的值；(2)若223x =，求()231422x x +-的值．23．如图，某市有一块长为（3a+b ）米、宽为（2a+b ）米的长方形地，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座边长为（a+b ）米的正方形雕像．（1）试用含a 、b 的式子表示绿化部分的面积（结果要化简）．（2）若a=3，b=2，请求出绿化部分的面积．24．如果n x y =，那么我们规定(],x y n =．例如：因为2416=，所以(]4,162=．(1)(]2,16-=____________；若(]2,6y =，则y =____________；(2)已知(]4,12a =，(]4,5b =，(]4,y c =，若a b c +=，求y 的值；(3)若(]5,10a =，(]2,10b =，求2516ab 的值 25．“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解如下．请在他们解法的启发下解答下列各题．(1)分解因式229616x xy y -+-．(2)若a ，b ，c 分别为ABC V 三边的长．①若满足若2220ac bc a ab b -+-+=，请判断ABC V 的形状，并说明理由．②若满足2212852a b a b +=+-，求c 的范围．26．在学习完全平方公式：()2222a b a ab b ±=±+后，我们对公式的运用进一步探讨．(1)若30ab =，10a b +=，求22a b +的值．(2)阅读以下解法，并解决相应问题．“若y 满足()()402050y y --=，求()()224020y y -+-的值”． 解：设40y a -=，20y b -=，则()()402020a b y y +=-+-=，()()()402050ab y y =--=，()()402050ab y y =--=这样就可以利用（1）的方法进行求值了．①若x 满足()()50402x x --=，则()()225040x x -+-=___________． ②若x 满足()()224321169x x ++-=，求()()2321x x +⋅-的值； ③如图，在长方形ABCD 中，10AB =，6BC =，E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且BE DF x ==，分别以FC ，CE 为边在长方形ABCD 外侧作正方形CFGH 和正方形CEMN ，若长方形CEPF的面积为45，求图中阴影部分的面积．27．先阅读下列材料，再解答下列问题：材料：因式分解：()()221x y x y ++++．解：将“x y +”看成整体，设x y A +=，则，原式()22211A A A =++=+．再将“A ”还原，得原式()21x y =++．上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：(1)因式分解：()()44a b a b ++-+；(2)求证：若n 为正整数，则式子()()()21231n n n n ++++的值一定是某一个整数的平方．。
李玉玲高中数学思想方法与解题 (2)
高中数学思想方法与解题杜桥中学李玉玲摘要：学习数学，离不开解题，数学思想方法是解题的根本，沿着“看，学，熟，变”的阶梯攀登，通过多层次的观察能力和丰富的联想，解题能力会迅速提高。
关键词：数学思想方法，数学思维方法，解题能力，灵活运用，“看，学，熟，变”的阶梯，多层次的观察，联想能力。
数学学习的过程少不了解题环节，其目的就是提高解题能力，但是并不是所有的同学通过做题解题都能提高自己的解题能力，究其原因主要是方法不对，基础不牢，对数学解题思想方法的理解掌握运用不够灵活，总习惯用熟悉的题型去“套”，这只是满足于解出来，我们只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。
再加上高考试题十分重视对数学思想方法的考查，特别是突出考察能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法，我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题，形成能力，提高数学素质。
高中常用到的数学思想方法有：1常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法，消去法等；2数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等；3数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳和演绎等：4常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想等。
数学思想方法比数学基础知识有较高的地位和层次，数学基础知识是教学内容，可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记。
而数学思想方法则是数学意识，只能领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理、和解决。
掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘了数学思想方法也还是对你起作用的。
那怎样才能在数学思想方法基础上更好的解题？1、沿着“看、学、熟、变”的阶梯去攀登。
解题能力的提高，要经历一个渐变过程，从简单模仿开始，用老师或教科书的示范去解决一些识记性的问题，在此基础上，做变式训练，迈出主动实践的一步，通过变化方式或添加次数而增强效果、巩固记忆、熟练技能。
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广西师范大学漓江学院试卷
（2008—2009学年第一学期）
专业、班级：2005级数学与应用数学
考核方式：开卷 考试时间：2009年1月4日
（特别注意：开卷考试，但要求学生独立完成。
若两份试卷中有一题以上的答案文字完全相同，或全卷3个段落以上完全相同者被视为雷同试卷，均记零分）
一、研究方程的解（20分）
仔细阅读下面问题：假定u 为正奇数，问方程22224w z y x u
+++=有多少组
x ，y ，z ，w 的正奇数解？
（1）取u 分别为1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25时，考察符合条件的方程的解及解的个数，将解的个数列表显示结果。
（6分）
（2）考察u 与符合条件的方程解的个数的关系，找出一般规律，将其表述为一个数学命题。
（6分）
学 号： 姓 名： 所属院系： 年 级： 专 业： 装订密封线 考生答题不得出现红色字迹，除画图外，不能使用铅笔答题；答题留空不足时，可写到试卷背面；请注意保持试卷完整。
（3）回答下列问题
从上述活动中可以总结出一种研究问题的一般方法，如何具体表述这种方法？它有什么特点？
若将这种方法用在你的教学中，将会对教学效果产生哪些影响？（8分）
二、划分空间（20分）
（1）利用三角形和四面体的类比，求出空间中4张平面最多将空间成几部分（过程和步骤均须完整且详细，只有结果无过程计零分）。
（8分）
（2）运用类比法得出的结论的可靠性依赖于哪些因素？类比法有哪些特点？（6分）
（3）求5张平面分空间的最大个数问题与4张平面情形相比较，有那些困难？请你运用课本第一部分的数学思想方法分析，应该怎样解决5张平面分空间的最大个数问题？（6分）
三、抛物线的反射性质（30分）
仔细阅读下面材料
费马原理：光从P点出发遇到镜子反射出来到Q点，是沿着一条使光从P点走到Q 点所用时间最少的路线。
假设光在光学性能一致的介质中传播，镜子的表面是一条曲线)
y=。
f
(x （1）利用函数的思想方法将反射问题转换为一个数学问题（即数学建模）。
（5分）
2=，光源P在焦点F（2，0）上，Q（4，（2）如果镜子的表面是一条抛物线x
y8
2），光从P点出发遇到镜子反射出来到Q点，请用“正难则反”的思维方法求出这一条使光从P点走到Q点总距离最小的路线及最小总距离。
（10分）
（3）你的学生提问“你是怎样想到你所使用的巧妙方法的？”你将如何告诉他。
（5分）
2=，光源P还是在焦点F（2，0）上，（4）如果镜子的表面还是一条抛物线x
y8
而，而Q点分别是Q（1，3）或Q（3，1），或Q（4，0），请你用相同的方法在同一个坐标系中画出这些使光从P点走到Q点总距离最小的路线的草图。
观察并归纳出抛物线的一些反射性质。
（6分）
2=，光源P不在焦点F（2，0）（5）拓展：如果镜子的表面还是一条抛物线x
y8
上，如光源P在P（1，0），或P（1，1），P（2，3），而Q点是Q（4，2），请你用相同的方法在同一个坐标系中画出这些使光从P点走到Q点总距离最小的路线的草图。
观察并归纳出抛物线的一些反射性质。
（4分）
四、中学数学解题思想方法教学设计（30分）
例8：求7
6tan 75tan 74tan 73tan 72tan 7tan ππππππ
的值。
（1）请你设计一个这道习题教学的微格教学教案：（共24分）
涉及到的知识点和数学思想方法分析（5分）：。
教学重点（3分）： 。
教学难点（3分）： 。
解题关键（3分）： 。
教学过程（10分）：
（2）教学反思或教学说明（6分）。