广东省2019届高三六校第二次联考(数学理)
2019年广东省广州市高考数学二模(理科)试题和参考答案
侧视图正视图试卷类型：A2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）2018.4本试卷共4页，21小题， 满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 参考公式：锥体的体积公式是13V Sh =,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数z 满足 i 2z =，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为A ．2-B ．2C ．2-iD ．2i2．若函数()y f x =是函数3xy =的反函数，则12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为 A ．2log 3- B ．3log 2- C ．19D3．命题“对任意x ∈R ，都有32x x >”的否定是A ．存在0x ∈R ，使得3200x x >B ．不存在0x ∈R ，使得3200x x >C ．存在0x ∈R ，使得3200x x ≤D ．对任意x ∈R ，都有32x x ≤4. 将函数()2cos2(f x x x x =+∈R )的图象向左平移6π个单位长度后得到函数 ()y g x =，则函数()y g x =A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数，也不是偶函数5．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3， 将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是A ．16 B ．13 C ．12 D ．386．设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF的中点在y 轴上，若1230PF F ︒∠=，则椭圆C 的离心率为A ．16B ．13C7．一个几何体的三视图如图1，则该几何体D CB A 的体积为A ．6π4+B ．12π4+C ．6π12+D ．12π12+ 8．将正偶数2,4,6,8,按表1的方式进行排列，记ij a 表示第i 行第j 列的数，若2014ij a =，则i j +的值为A ．257B ．256C ．254D ．253表二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．不等式2210x x --<的解集为 .10．已知312nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是第7项，则正整数n 的值为 .11．已知四边形ABCD 是边长为a 的正方形，若2,2DE EC CF FB ==，则AE AF ⋅的值为 .12．设,x y 满足约束条件 220,840,0,0.x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为8，则ab 的最大值为 .13．已知[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[][]1.52,1.51-=-=.设函数()[]f x x x ⎡⎤=⎣⎦，当[)0,(x n n ∈∈N *)时，函数()f x 的值域为集合A ，则A 中的元素个数为 .（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线,(x a t t y t=-⎧⎨=⎩为参数)与圆1cos ,(sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数)相切，切点在第一象限，则实数a 的值为 .15．（几何证明选讲选做题）在平行四边形ABCD 中，点E 在线段AB 上，且12AE EB =，连接,DE AC ，AC 与DE 相交于点F ，若△AEF 的面积为1 cm 2，则△AFD 的面积为 cm 2.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分12分）如图2，在△ABC 中，D 是边AC 的中点， 且1AB AD ==，3BD =. (1) 求cos A 的值； （2）求sin C 的值.图217．（本小题满分12分）一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为(]5,15，(]15,25，(]25,35，(]35,45，FE D CBA a 图3重量/克0.0320.02452515O 由此得到样本的重量频率分布直方图，如图3. （1）求a 的值；（2）根据样本数据，试估计盒子中小球重量的平均值；（注：设样本数据第i 组的频率为i p ，第i 组区间的中点值为i x ()1,2,3,,i n =，则样本数据的平均值为112233n n X x p x p x p x p =++++. （3）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在(]5,15内的小球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.18．（本小题满分14分） 如图4，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2 1EF =，,90FB FC BFC ︒=∠=，AE =（1）求证：AB ⊥平面BCF ； （2）求直线AE 与平面BDE 所成角的正切值.图4 19．（本小题满分14分） 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10a =，对任意n ∈N *，都有()11n n na S n n +=++.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足22log log n n a n b +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .20．（本小题满分14分）已知定点()0,1F 和直线:1l y =-，过点F 且与直线l 相切的动圆圆心为点M ，记点M 的轨迹为曲线E . (1) 求曲线E 的方程;(2) 若点A 的坐标为()2,1, 直线1:1(l y kx k =+∈R ，且0)k ≠与曲线E 相交于,B C 两 点，直线,AB AC 分别交直线l 于点,S T . 试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个定点? 若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由. 21．（本小题满分14分）已知函数()ln (,f x a x bx a b =+∈R )在点()()1,1f 处的切线方程为220x y --=. （1）求,a b 的值；（2）当1x >时，()0kf x x+<恒成立，求实数k 的取值范围； （3）证明：当n ∈N *，且2n ≥时，22111322ln 23ln 3ln 22n n n n n n--+++>+. 2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二） 数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．9．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭10．8 11．2a 12．4 13．222n n -+141 15．3三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） （1）解：在△ABD 中，1AB AD ==，3BD =， ∴222cos 2AB AD BD A AB AD +-=⋅⋅2221112113+-⎝⎭==⨯⨯. ……………4分 （2）解：由（1）知，1cos 3A =，且0A <<π，∴sin 3A==. ……………6分∵D 是边AC 的中点，∴22AC AD ==.在△ABC 中，222222121cos 22123AB AC BC BC A AB AC +-+-===⋅⋅⨯⨯，………8分 解得3BC =. ……………10分由正弦定理得，sin sin BC ABA C=， ……………11分 ∴1sin sin AB A C BC ⨯⋅===……………12分 17．（本小题满分12分）(1) 解：由题意，得()0.020.0320.018101x +++⨯=， ……………1分 解得0.03x =. ……………2分 （2）解：50个样本小球重量的平均值为0.2100.32200.3300.184024.6X =⨯+⨯+⨯+⨯=（克）. ……………3分 由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克. ……………4分M O H F E D CB A （3）解：利用样本估计总体，该盒子中小球重量在(]5,15内的概率为0.2，则13,5B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭. ……………5分 ξ的取值为0,1,2,3， ……………6分()30346405125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()2131448155125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()2231412255125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3331135125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. ……………10分 ∴ξ的分布列为：……………11分∴6448121301231251251251255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………12分 （或者13355E ξ=⨯=）18．（本小题满分14分）（1）证明：取AB 的中点M ，连接EM ，则1AM MB ==，∵EF ∥平面ABCD ，EF ⊂平面ABFE ，平面ABCD 平面ABFE AB =， ∴EF ∥AB ，即EF ∥MB . ……………1分 ∵EF =MB 1=∴四边形EMBF 是平行四边形. ……………2分 ∴EM ∥FB ，EM FB =.在Rt△BFC 中，2224FB FC BC +==，又FB FC =，得FB = ∴EM =……………3分在△AME 中，AE =1AM =，EM =∴2223AM EM AE +==，∴AM EM ⊥. ……………4分 ∴AM FB ⊥，即AB FB ⊥. ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC ⊥. ……………5分 ∵FB BC B =，FB ⊂平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，∴AB ⊥平面BCF . ……………6分 （2）证法1：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 是AC 的中点， 取BC 的中点H ，连接,OH EO ，FH ，则OH ∥AB ，112OH AB ==. 由（1）知EF ∥AB ，且12EF AB =， ∴EF ∥OH ，且EF OH =. ∴四边形EOHF 是平行四边形.∴EO ∥FH ，且1EO FH == .……………7分由（1）知AB ⊥平面BCF ，又FH ⊂平面BCF ，∴FH AB ⊥. ……………8分∵FH BC ⊥，,AB BC B AB =⊂平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴FH ⊥平面ABCD . ……………9分 ∴EO ⊥平面ABCD . ∵AO ⊂平面ABCD ，∴EO ⊥AO . ……………10分 ∵AO BD ⊥，,EO BD O EO =⊂平面EBD ，BD ⊂平面EBD ，∴AO ⊥平面EBD . ……………11分 ∴AEO ∠是直线AE 与平面BDE 所成的角. ……………12分在Rt △AOE中，tan AOAEO EO∠==……………13分 ∴直线AE 与平面BDE. ……………14分 证法2：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 取BC 的中点H ，连接,OH EO ，FH ，则OH ∥AB ，112OH AB ==.由（1）知EF ∥AB ，且12EF AB =， ∴EF ∥OH ，且EF OH =. ∴四边形EOHF 是平行四边形. ∴EO ∥FH ，且1EO FH == 由（1）知AB ⊥平面BCF ，又FH ⊂平面BCF ， ∴FH AB ⊥.∵FH BC ⊥，,AB BC B AB =⊂平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， ∴FH ⊥平面ABCD .∴EO ⊥平面ABCD . ……………8分 以H 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，OH 所在直线为y 轴，HF 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系H xyz -，则()1,2,0A -，()1,0,0B ，()1,2,0D --，()0,1,1E -. ∴()1,1,1AE =-，()2,2,0BD =--，()1,1,1BE =--. ……………9分 设平面BDE 的法向量为=n (),,x y z ，由n 0BD ⋅=，n 0BE ⋅=， 得220x y --=，0x y z --+=，得0,z x y ==-.令1x =，则平面BDE 的一个法向量为=n ()1,1,0-. ……………10分 设直线AE 与平面BDE 所成角为θ， 则sin θ=cos ,nAE⋅=n AE n AE=. ……………11分∴cos 3θ==，sin tan cos θθθ==……………13分 ∴直线AE 与平面BDE . ……………14分19．（本小题满分14分）（1）解法1：当2n ≥时，()11n n na S n n +=++，()()111n n n a S n n --=+-，……1分 两式相减得()()()11111n n n n na n a S S n n n n +---=-++--， ……………3分 即()112n n n na n a a n +--=+，得12n n a a +-=. ……………5分 当1n =时，21112a S ⨯=+⨯，即212a a -=. ……………6分 ∴数列{}n a 是以10a =为首项，公差为2的等差数列.∴()2122n a n n =-=-. ……………7分 解法2：由()11n n na S n n +=++，得()()11n n n n S S S n n +-=++， ……………1分 整理得，()()111n n nS n S n n +=+++， ……………2分 两边同除以()1n n +得，111n nS S n n+-=+. ……………3分 ∴数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以101S =为首项，公差为1的等差数列.∴011nS n n n=+-=-. ∴()1n S n n =-. ……………4分当2n ≥时，()()()111222n n n a S S n n n n n -=-=----=-. ……………5分 又10a =适合上式， ……………6分 ∴数列{}n a 的通项公式为22n a n =-. ……………7分 （2）解法1：∵22log log n n a n b +=， ∴221224na n n nb n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅，①()1231442434144n n n T n n -=+⨯+⨯++-⋅+⋅，② ……………11分①-②得0121344444n n n T n --=++++-⋅14414nnn -=-⋅-()13413n n -⋅-=.……………13分∴()131419nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分 解法2：∵22log log n n a n b +=，∴221224na n n nb n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅.由()12311n nx x x x x x x x+-++++=≠-， ……………11分两边对x 取导数得，012123n x x x nx -++++=()()12111n n nx n x x +-++-. ………12分 令4x =，得()()0122114243414431419n n nn n n --⎡⎤+⨯+⨯++-⋅+⋅=-⋅+⎣⎦. ……………13分 ∴ ()131419n n T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分 20．（本小题满分14分）（1）解法1：由题意, 点M 到点F 的距离等于它到直线l 的距离,故点M 的轨迹是以点F 为焦点, l 为准线的抛物线. ……………1分 ∴曲线E 的方程为24x y =. ……………2分解法2：设点M 的坐标为(),x y ,依题意, 得1MF y =+,1y =+, ……………1分化简得24x y =.∴曲线E 的方程为24x y =. ……………2分(2) 解法1: 设点,B C 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，依题意得，2211224,4x y x y ==.由21,4,y kx x y =+⎧⎨=⎩消去y 得2440x kx --=，解得1,22x k ==±. ∴12124,4x x k x x +==-. ……………3分直线AB 的斜率2111111124224AB x y x k x x --+===--， 故直线AB 的方程为()12124x y x +-=-. ……………4分令1y =-，得1822x x =-+，∴点S 的坐标为182,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………5分 同理可得点T 的坐标为282,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………6分 ∴()()()121212888222222x x ST x x x x -⎛⎫=---= ⎪++++⎝⎭ ()()()121212121288248x x x x x xx x x x k k---===+++. ……………7分∴2ST=()()()2221212122221614k x x x x x x k k k +-+-==. ……………8分设线段ST 的中点坐标为()0,1x -，则()()()12012124418822222222x x x x x x x ++⎛⎫=-+-=- ⎪++++⎝⎭ ()()()1212444444222248k k x x x x k k++=-=-=-+++. ……………9分∴以线段ST 为直径的圆的方程为()2222114x y ST k ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭()2241k k +=. ……………10分展开得()()22222414414k x x y k k k++++=-=. ……………11分 令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………12分∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分 解法2：由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.设直线AB 的方程为()112y k x -=-，点B 的坐标为()11,x y ，由()112,1,y k x y ⎧-=-⎨=-⎩解得122,1.x k y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴点S 的坐标为122,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. …………3分 由()1212,4,y k x x y ⎧-=-⎨=⎩消去y ，得2114840x k x k -+-=， 即()()12420x x k --+=，解得2x =或142x k =-. ……………4分∴1142x k =-，22111114414y x k k ==-+. ∴点B 的坐标为()211142,441k k k --+. ……………5分同理，设直线AC 的方程为()212y k x -=-， 则点T 的坐标为222,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点C 的坐标为()222242,441k k k --+. …………6分 ∵点,B C 在直线1:1l y kx =+上，∴()()()()()()22222211212121214414414242k k k k k k k k k k k k k -+--+---==----121k k =+-.∴121k k k +=+. ……………7分 又()211144142k k k k -+=-1+，得()21111214442412k k kk k k k k k -=-=+--，化简得122kk k =. ……………8分 设点(),P x y 是以线段ST 为直径的圆上任意一点，则0SP TP ⋅=， ……………9分得()()122222110x x y y k k ⎛⎫⎛⎫-+-++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ……………10分 整理得，()224410x x y k+-++=. ……………11分令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………12分∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分 21．（本小题满分14分）（1）解：∵()ln f x a x bx =+， ∴()af x b x'=+. ∵直线220x y --=的斜率为12，且过点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭， ……………1分∴()()11,211,2f f ⎧=-⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩即1,21,2b a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得11,2a b ==-. ……………3分（2）解法1：由（1）得()ln 2xf x x =-.当1x >时，()0k f x x +<恒成立，即ln 02x kx x-+<，等价于2ln 2x k x x <-. ……………4分令()2ln 2x g x x x =-，则()()ln 11ln g x x x x x '=-+=--. ……………5分 令()1ln h x x x =--，则()111x h x x x-'=-=.当1x >时，()0h x '>，函数()h x 在()1,+∞上单调递增，故()()10h x h >=.……………6分 从而，当1x >时，()0g x '>，即函数()g x 在()1,+∞上单调递增，故()()112g x g >=. ……………7分 因此，当1x >时，2ln 2x k x x <-恒成立，则12k ≤. ……………8分 ∴所求k 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. ……………9分解法2：由（1）得()ln 2xf x x =-.当1x >时，()0k f x x +<恒成立，即ln 02x kx x-+<恒成立. ……………4分令()ln 2x kg x x x=-+，则()222112222k x x k g x x x x -+'=--=-.方程2220x x k -+=（﹡）的判别式48k ∆=-.（ⅰ）当0∆<，即12k >时，则1x >时，2220x x k -+>，得()0g x '<，故函数()g x 在()1,+∞上单调递减.由于()()110,2ln 21022kg k g =-+>=-+>， 则当()1,2x ∈时，()0g x >，即ln 02x kx x-+>，与题设矛盾. …………5分（ⅱ）当0∆=，即12k =时，则1x >时，()()2222121022x x x g x x x --+'=-=-<. 故函数()g x 在()1,+∞上单调递减，则()()10g x g <=，符合题意. ………6分(ⅲ) 当0∆>，即12k <时，方程（﹡）的两根为1211,11x x ==>， 则()21,x x ∈时，()0g x '>，()2,x x ∈+∞时，()0g x '<.故函数()g x 在()21,x 上单调递增，在()2,x +∞上单调递减， 从而，函数()g x 在()1,+∞上的最大值为()2222ln 2x kg x x x =-+. ………7分 而()2222ln 2x k g x x x =-+2221ln 22x x x <-+， 由（ⅱ）知，当1x >时，1ln 022x x x-+<， 得2221ln 022x x x -+<，从而()20g x <. 故当1x >时，()()20g x g x ≤<，符合题意. ……………8分专业资料word 完美格式 综上所述，k 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. ……………9分 （3）证明：由（2）得，当1x >时，1ln 022x x x-+<，可化为21ln 2x x x -<， …10分 又ln 0x x >，从而，21211ln 111x x x x x >=---+. ……………11分 把2,3,4,,x n =分别代入上面不等式，并相加得，11111111111112ln 23ln 3ln 32435211n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++>-+-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭……………12分111121n n =+--+ ……………13分223222n n n n --=+. ……………14分。
广东省深圳实验,珠海一中等六校2019届高三第二次联考数学理试题(解析版)
广东省六校（广州二中，深圳实验，珠海一中，中山纪念，东莞中学，惠州一中）2019届高三第二次联考试题理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知复数R)，（为虚数单位），若为纯虚数，则( )A. 1B.C. 2D.【答案】A【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用纯虚数得到答案．【详解】∵z1=2+ai（a∈R），z2=1﹣2i，∴，由为纯虚数，则，解得a=1，故选：A．【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了纯虚数的定义，是基础题．2.设全集，集合，，则A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据并集的定义求得A∪B，再根据补集的定义即可求解．【详解】∵集合A={x|﹣1＜x＜5}，集合B={x|﹣2＜x＜4}，∴A∪B={x|﹣2＜x＜5}，={x|﹣5＜x≤2}，【点睛】本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题．3.中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，请问此人第5天走的路程为（）A. 36里B. 24里C. 18里D. 12里【答案】D【解析】【分析】由题意可知，每天走的路程里数构成以为公比的等比数列，由S6=378求得首项，再由等比数列的通项公式求得该人第五天走的路程．【详解】记每天走的路程里数为{a n}，由题意知{a n}是公比的等比数列，由S6=378，得=378，解得：a1=192，∴=12（里）．故选：D．【点睛】等比数列的基本量运算问题的常见类型及解题策略：①化基本量求通项．求等比数列的两个基本元素和，通项便可求出，或利用知三求二，用方程求解．②化基本量求特定项．利用通项公式或者等比数列的性质求解．③化基本量求公比．利用等比数列的定义和性质，建立方程组求解．④化基本量求和．直接将基本量代入前项和公式求解或利用等比数列的性质求解．4.函数的单调递增区间是（）A. B.C. D.【答案】B【分析】利用正弦函数的单调性，求出相应的区间，即可得到结论．【详解】由（n∈Z），可得≤x≤（n∈Z），令n=﹣k，则可得函数y=3sin的单调递增区间是故选：B．【点睛】本题考查函数的单调性，考查学生的计算能力，正确运用正弦函数的单调区间是关键．5.下列有关命题的说法中错误的是( )A. 若为真命题，则中至少有一个为真命题.B. 命题：“若是幂函数，则的图象不经过第四象限”的否命题是假命题.C. 命题“，有且”的否定形式是“，有且”.D. 若直线和平面，满足.则“” 是“”的充分不必要条件.【答案】C【解析】【分析】A．根据复合命题真假关系进行判断即可；B．根据逆否命题的等价性判断命题的逆命题为假命题即可；C．根据全称命题的否定是特称命题进行判断；D．根据线面平行的判定定理及性质定理进行判断.【详解】对于A，若为真命题，则中至少有一个为真命题.正确；对于B，命题的逆命题是若y=f（x）的图象不经过第四象限，则y=f（x）是幂函数，错误比如函数y=2x的函数图象不经过第四象限，满足条件，但函数f（x）是指数函数，故命题的逆命题是假命题，则命题的否命题也是假命题，正确；对于C，命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是“∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0”，错误；对于D，若直线和平面，满足.则“” 是“”的充分不必要条件，正确，故选：C【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及四种命题，含有量词的命题的否定，复合命题以及充分条件和必要条件的判断，知识点较多综合性较强，但难度不大．6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体是一个半圆柱挖取一个倒立的四棱锥，∴本题选择C选项.点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．7.如图所示，在△ABC中，AD=DB，点F在线段CD上，设，,，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】用表示，由C，D，F三点共线得出x，y的关系，消去y，得到关于x的函数f（x），利用导数求出f（x）的最小值．【详解】=2x y．∵C，F，D三点共线，∴2x+y=1．即y=1﹣2x．由图可知x＞0．∴==．令f（x）=，得f′（x）=，令f′（x）=0得x=或x=﹣（舍）．当0＜x＜时，f′（x）＜0，当x时，f′（x）＞0．∴当x=时，f（x）取得最小值f（）==3+2．故选：A．【点睛】本题考查了平面向量的基本定理，函数的最值，属于中档题．8.已知是定义域为的奇函数，满足, 若，则( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意可得f（0）=0，f（x）为周期为4的函数，分别求得一个周期内的函数值，计算可得所求和．【详解】f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，可得f（﹣x）=﹣f（x），f（1﹣x）=f（1+x）即有f（x+2）=f（﹣x），即f（x+2）=﹣f（x），进而得到f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），f（x）为周期为4的函数，若f（1）=2，可得f（3）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，f（2）=f（0）=0，f（4）=f（0）=0，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+0﹣2+0=0，可得f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2018）=504×0+2+0=2．故选：B．【点睛】本题考查抽象函数的函数值的求和，注意运用函数的周期性，考查转化思想和运算能力，属于中档题．9.已知函数在区间上是增函数，且在区间上存在唯一的使得，则的取值不可能为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由f（x）=2sinωx可得[﹣，]是函数的递增区间，结合已知可得[﹣，]⊇[]，可解得0＜ω≤，又函数在区间上存在唯一的使得，根据正弦函数的性质可得0≤≤π，进而得解．【详解】f（x）=2sinωx，∴[﹣，]是函数的递增区间，且[﹣，]．又∵函数在[]上递增，∴[﹣，]⊇[]，∴得不等式组：﹣≤﹣，≤，又∵ω＞0，∴0＜ω≤，又在区间上存在唯一的使得，根据正弦函数的性质可知ωx=2kπ+，k∈Z，即函数在x=+处取得最大值，可得0≤≤π，∴ω≥，综上，可得ω∈[，]．故选：D．【点睛】本题主要考查正弦函数的图象特征，判断[﹣，]⊇[]是解题的关键，属于中档题．10.将正奇数数列依次按两项、三项分组，得到分组序列如下：,称为第1组，为第2组，依此类推，则原数列中的位于分组序列中( )A. 第组B. 第组C. 第组D. 第组【答案】A【解析】【分析】求出2019为第1010个证奇数，根据富足规则可得答案.【详解】正奇数数列1,3,5,7,9，的通项公式为则2019为第1010个奇数，因为按两项、三项分组，故按5个一组分组是有202组，故原数列中的2019位于分组序列中第404组选A.【点睛】本题考查闺女是推理，属中档题.11.定义：分子为1且分母为正整数的分数称为单位分数,我们可以把1分拆为若干个不同的单位分数之和。
广东省深圳实验等六校2019届高三第二次联考数学理---精校解析Word版
（广州二中，深圳实验，珠海一中，中山纪念，东莞中学，惠州一中）广东省六校高三第二次联考试题理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知复数R)，（为虚数单位），若为纯虚数，则( )A. 1B.C. 2D.【答案】A【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用纯虚数得到答案．【详解】∵z1=2+ai（a∈R），z2=1﹣2i，∴，由为纯虚数，则，解得a=1，故选：A．【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了纯虚数的定义，是基础题．2.设全集，集合，，则A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据并集的定义求得A∪B，再根据补集的定义即可求解．【详解】∵集合A={x|﹣1＜x＜5}，集合B={x|﹣2＜x＜4}，∴A∪B={x|﹣2＜x＜5}，={x|﹣5＜x≤2}，故选：B．【点睛】本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题．3.中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，请问此人第5天走的路程为（）A. 36里B. 24里C. 18里D. 12里【答案】D【解析】【分析】由题意可知，每天走的路程里数构成以为公比的等比数列，由S6=378求得首项，再由等比数列的通项公式求得该人第五天走的路程．【详解】记每天走的路程里数为{a n}，由题意知{a n}是公比的等比数列，由S6=378，得=378，解得：a1=192，∴=12（里）．故选：D．【点睛】等比数列的基本量运算问题的常见类型及解题策略：①化基本量求通项．求等比数列的两个基本元素和，通项便可求出，或利用知三求二，用方程求解．②化基本量求特定项．利用通项公式或者等比数列的性质求解．③化基本量求公比．利用等比数列的定义和性质，建立方程组求解．④化基本量求和．直接将基本量代入前项和公式求解或利用等比数列的性质求解．4.函数的单调递增区间是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用正弦函数的单调性，求出相应的区间，即可得到结论．【详解】由（n∈Z），可得≤x≤（n∈Z），令n=﹣k，则可得函数y=3sin的单调递增区间是故选：B．【点睛】本题考查函数的单调性，考查学生的计算能力，正确运用正弦函数的单调区间是关键．5.下列有关命题的说法中错误的是( )A. 若为真命题，则中至少有一个为真命题.B. 命题：“若是幂函数，则的图象不经过第四象限”的否命题是假命题.C. 命题“，有且”的否定形式是“，有且”.D. 若直线和平面，满足.则“” 是“”的充分不必要条件.【答案】C【解析】【分析】A．根据复合命题真假关系进行判断即可；B．根据逆否命题的等价性判断命题的逆命题为假命题即可；C．根据全称命题的否定是特称命题进行判断；D．根据线面平行的判定定理及性质定理进行判断.【详解】对于A，若为真命题，则中至少有一个为真命题.正确；对于B，命题的逆命题是若y=f（x）的图象不经过第四象限，则y=f（x）是幂函数，错误比如函数y=2x的函数图象不经过第四象限，满足条件，但函数f（x）是指数函数，故命题的逆命题是假命题，则命题的否命题也是假命题，正确；对于C，命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是“∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f （n0）＞n0”，错误；对于D，若直线和平面，满足.则“” 是“”的充分不必要条件，正确，故选：C【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及四种命题，含有量词的命题的否定，复合命题以及充分条件和必要条件的判断，知识点较多综合性较强，但难度不大．6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体是一个半圆柱挖取一个倒立的四棱锥，∴本题选择C选项.点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．7.如图所示，在△ABC中，AD=DB，点F在线段CD上，设，,，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】用表示，由C，D，F三点共线得出x，y的关系，消去y，得到关于x的函数f（x），利用导数求出f（x）的最小值．【详解】=2x y．∵C，F，D三点共线，∴2x+y=1．即y=1﹣2x．由图可知x＞0．∴==．令f（x）=，得f′（x）=，令f′（x）=0得x=或x=﹣（舍）．当0＜x＜时，f′（x）＜0，当x时，f′（x）＞0．∴当x=时，f（x）取得最小值f（）==3+2．故选：A．【点睛】本题考查了平面向量的基本定理，函数的最值，属于中档题．8.已知是定义域为的奇函数，满足,若，则( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意可得f（0）=0，f（x）为周期为4的函数，分别求得一个周期内的函数值，计算可得所求和．【详解】f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，可得f（﹣x）=﹣f（x），f（1﹣x）=f（1+x）即有f（x+2）=f（﹣x），即f（x+2）=﹣f（x），进而得到f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），f（x）为周期为4的函数，若f（1）=2，可得f（3）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，f（2）=f（0）=0，f（4）=f（0）=0，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+0﹣2+0=0，可得f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2018）=504×0+2+0=2．故选：B．【点睛】本题考查抽象函数的函数值的求和，注意运用函数的周期性，考查转化思想和运算能力，属于中档题．9.已知函数在区间上是增函数，且在区间上存在唯一的使得，则的取值不可能为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由f（x）=2sinωx可得[﹣，]是函数的递增区间，结合已知可得[﹣，]⊇[]，可解得0＜ω≤，又函数在区间上存在唯一的使得，根据正弦函数的性质可得0≤≤π，进而得解．【详解】f（x）=2sinωx，∴[﹣，]是函数的递增区间，且[﹣，]．又∵函数在[]上递增，∴[﹣，]⊇[]，∴得不等式组：﹣≤﹣，≤，又∵ω＞0，∴0＜ω≤，又在区间上存在唯一的使得，根据正弦函数的性质可知ωx=2kπ+，k∈Z，即函数在x=+处取得最大值，可得0≤≤π，∴ω≥，综上，可得ω∈[，]．故选：D．【点睛】本题主要考查正弦函数的图象特征，判断[﹣，]⊇[]是解题的关键，属于中档题．10.将正奇数数列依次按两项、三项分组，得到分组序列如下：,称为第1组，为第2组，依此类推，则原数列中的位于分组序列中( )A. 第组B. 第组C. 第组D. 第组【答案】A【解析】【分析】求出2019为第1010个证奇数，根据富足规则可得答案.【详解】正奇数数列1,3,5,7,9，的通项公式为则2019为第1010个奇数，因为按两项、三项分组，故按5个一组分组是有202组，故原数列中的2019位于分组序列中第404组选A.【点睛】本题考查闺女是推理，属中档题.11.定义：分子为1且分母为正整数的分数称为单位分数,我们可以把1分拆为若干个不同的单位分数之和。
【市级联考】广东省广州市2019届高三第二次模拟考试数学(理)试题(解析版)
2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）理科数学一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.）A. B. D.【答案】B【解析】【分析】根据复数的几何意义建立不等式关系即可.若复数在复平面内对应的点在第三象限，所以的取值范围是故选B.【点睛】该题考查的是有关复数在复平面内对应的点的问题，属于简单题目.2.）A. 或【答案】D【解析】【分析】先解分式不等式求集合A，再由补集的定义直接求解即可．【详解】解：由，则R故选：D．【点睛】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．3.的样本，若样本中8辆，则 ）A. 96B. 72C. 48D. 36【答案】B 【解析】 【分析】根据分层比例列式求解.B.【点睛】本题考查分层抽样，考查基本分析求解能力，属基础题.4.）A. 21B. 22C. 23D. 24【答案】B 【解析】试题分析：运行第一次，，，；运行第二次，，，，，停止运行，所以输出的B ．考点：程序框图．5. ）A.B.D.【答案】D 【解析】 【分析】根据对称列式求解.D.【点睛】本题考查关于直线对称点问题，考查基本分析求解能力，属基础题.6.从某班6名学生（其中男生4人，女生2人）中任选3人参加学校组织的社会实践活动.设所选3人中女）A. B. 1 D. 2【答案】B【解析】【分析】先列随机变量，再分别求解对应概率，最后根据数学期望公式求结果.，所以,选B.【点睛】本题考查数学期望，考查基本分析求解能力，属基础题.7.）A. B. D.【答案】D【解析】【分析】再根据二倍角正切公式得结果.【详解】因，且，因为，从而 D.【点睛】本题考查同角三角函数关系以及二倍角正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题.8.的左焦点，则双曲线的离心率为（）A. B. D.【答案】A【解析】【分析】再根据切线得OE.，所以PF,PF,A.【点睛】本题考查双曲线定义以及离心率，考查基本分析求解能力，属中档题.9.，且点）A. B. D.【答案】C【解析】【分析】设A（s，t），求得函数y的导数可得切线的斜率，解方程可得切点A，代入直线方程，再由基本不等式可得所求最小值．【详解】解：设A（s，t），y＝x3﹣2x2+2的导数为y′＝3x2﹣4x，可得切线的斜率为3s2﹣4s，切线方程为y＝4x﹣6，可得3s2﹣4s＝4，t＝4s﹣6，解得s＝2，t＝2或由点A在直线mx+ny﹣l＝0（其中m＞0，n＞0），可得2m+2n＝1成立，（s，2m+2n））＝2（32（当且仅当n时，取得最小值6+4，故选：C．【点睛】本题考查导数的运用：求切线斜率，以及基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于基础题．10.的图像的一条对称轴为（）A. B. D.【答案】C【解析】【分析】.,选C.【点睛】本题考查由图象求函数解析式、三角函数图象变换以及正弦函数性质，考查基本分析求解能力，属中档题.11.已知点在直线上，的中点为）A.B.D.【答案】B 【解析】【分析】.M 在直线AB,,因此的取值范围为选B.【点睛】本题考查线性规划求范围，考查基本分析求解能力，属中档题.12.的）A. B. D.【答案】D【解析】【分析】先设切点B.【详解】A为圆心，B,则在B点处切线的斜率为，选D.【点睛】本题考查利用导数求函数最值，考查综合分析求解能力，属难题.二、填空题.13.是夹角为.【答案】【解析】【分析】，；．故答案为：【点睛】考查单位向量的概念，向量的数量积运算及计算公式，向量长度的求法．14.80________.【答案】2【解析】解：（ax-1）5的展开式中x3的系数C53（ax）3•（-1）2=10a3x3=80x3，则实数a的值是2，15.秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中有己知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得，，，的对边为.1，成等差数列，则________.【解析】【分析】再根据余弦定理化简得1成等差数列，所以的最大值为.【点睛】本题考查正余弦定理以及二次函数性质，考查基本分析求解能力，属中档题.16.________.【解析】【分析】.正四面体外接球恰为圆锥内切球，所以【点睛】本题考查圆锥内切球以及正四面体外接球，考查基本分析求解能力，属中档题.三、解答题.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.17.，（1）求数列（2，求数列【答案】 (2)【解析】【分析】（1）解法1：运用等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，即可得到所求通项公式；解法2：运用等比数列的性质建立方程.（2,利用错位相减求和.【详解】解法1：（1的公比为，是递增的等比数列，所以数列解法2：（1，是递增的等比数列，（2）由（1①-所以【点睛】本题考查等比数列的通项公式的运用，考查数列的错位相减求和，以及化简整理的运算能力，属于基础题．18.科研人员在对人体脂肪含量和年龄之间关系的研究中，获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据，如下表： （年龄（脂肪根据上表的数据得到如下的散点图.（1）根据上表中的样本数据及其散点图： （i（i ）计算样本相关系数（精确到0.01），并刻画它们的相关程度. （20.01），并根据回归方程估计年龄为50岁时人体的脂肪含量.【答案】(1) （ⅰ）47 （ⅱ）见解析；%．【解析】【分析】（1）（i）根据上表中的样本数据，利用平均数的公式求得结果；（ii 以推断人体脂肪含量和年龄的相关程度很强．（2结果.【详解】（1）根据上表中的样本数据及其散点图：．因为，（2．的线性回归方程为．【点睛】该题考查的是有关回归分析的问题，涉及到的知识点有平均值的计算，根据相关系数r的大小判断相关性，回归直线的性质，属于简单题目.19.（1（2.【答案】（1）见解析；（2【解析】【分析】（1）先根据计算得线线线线垂直，再根据线面垂直判定定理以及面面垂直判定定理得结论，（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角.【详解】（1为中，中，，，，所以平面（2由（1设平面的法向量为设二面角为，由于的余弦值为．【点睛】本题考查线面垂直判定定理、面面垂直判定定理以及利用空间向量求二面角，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.20.（1（2并说明理由.【答案】（1；（2）相离.【解析】【分析】（1）根据直接法求轨迹方程，（2离与半径大小进行判断.【详解】（1，整理得所以动点的轨迹的方程（2的直线为轴时，显然不合题意．因为，．的中点坐标为．到直线的距离为．与以线段为直径的圆相离．【点睛】本题考查直接法求轨迹方程以及直线与圆位置关系，考查基本分析求解能力，属中档题.21.（1）讨论函数的单调性；（2【答案】(1)见解析；(2)见证明【解析】【分析】（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x x＞0，利用分类讨论思想，结合导数性质能讨论函数f（x）的单调性．（2）先求k f（﹣2k）＝ln（﹣2k．然后证明x1+x2≥）（1+t）2＜﹣8lnt，即证8lnt+（1+t）2＜0，（t＞0）．设h（t）＝8lnt+（1+t）2，t＞1．则h（t）＝8t＞1．由此能证明x1+x2＞【详解】（1，函数．时，，，时，函数时，函数（2方法1:由（1要使函数有两个零点，首先，，则因为，所以在上单调递增，的取值范围是．方法2:，则，且：方法1:，即，即证．，所以即证，．所以．在上单调递减，．方法2:，即，需证．，所以即证所以在上单调递减，．方法3:因为，是函数，需证．只需证．，所以，所以．方法4:因为，是函数，即证明，则．所以在上单调递增，所以．，．方法5:，所以在上单调递减．在上恒成立．【点睛】本题考查函数单调性的讨论，考查不等式的性质，考查导数性质、函数的单调性、最值等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是难题．22.（.在以坐标原点为极点，.（1（2.【答案】（1；（2【解析】【分析】（1的普通方程，根据2）利用直线参数方程几何意义求解.【详解】（1，．因为（2）解法1的直角坐标方程为，可设该方程的两个根为整理得，因为，所以综上所述，直线的倾斜角为解法2，两点，且的，整理得．综上所述，直线【点睛】本题考查参数方程化普通方程、极坐标方程化直角坐标方程以及直线参数方程应用，考查综合分析求解能力，属中档题.23.[选修4-5：不等式选讲](1)时，解不等式(2)若存在实数x a的取值范围.【答案】（1；（2【解析】【分析】（1）根据绝对值定义转化为两个不等式组，解可得，（2）根据绝对值定义转化为分段函数，根据函数最值可得结果.【详解】（1综上可知，不等式的解集为（2．．所以实数的取值范围为．【点睛】本题考查含绝对值不等式，考查基本分析求解能力，属基本题.。
广东省广州市2019届高三第二次模拟考试数学(理)试卷及解析
……装…………_____姓名：_________……装…………广东省广州市2019届高三第二次模拟考试数学（理）试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.已知复数z =m(3+i)−(2+i)在复平面内对应的点在第三象限，则实数m 的取值范围是（ ）A. (−∞,1)B. (−∞,23)C. (23,1) D. (−∞,23)∪(1,+∞)2.已如集合A ={x|1−8x−2<0}，则∁R A =（ ）A. {x|x <2或x ⩾6}B. {x|x ⩽2或x ⩾6}C. {x|x<2或x ⩾10}D. {x|x⩽2或x ≥10}3.某公司生产A ，B ，C 三种不同型号的轿车，产量之比依次为2:3:4，为检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本，若样本中A 种型号的轿车比B 种型号的轿车少8辆，则n =（ ） A. 96B. 72C. 48D. 364.执行如图所示的程序框图，则输出z 的值是（ ）A. 21B. 22C. 23D. 245.已知点A 与点B(1,2)关于直线x +y +3=0对称，则点A 的坐标为（ ）A. (3,4)B. (4,5)C. (−4,−3)D. (−5,−4)6.从某班6名学生（其中男生4人，女生2人）中任选3人参加学校组织的社会实践活动.设所选3人中女生人数为ξ，则数学期望Eξ=（ ）A. 45 B. 1C. 75D. 27.已知sinα+cosα=15，其中α∈(π2,π)，则tan2α=（ ）A. −247B. −43C. 724D. 2478.过双曲线x 2a 2−y 22=1 (a >0,b >0)的左焦点F 作圆x 2+y 2=a 29的切线，切点为E ，延长FE 交双答案第2页，总21页…………订……※订※※线※※内※※答※…………订……曲线右支于点P ，若FP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =2FE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，则双曲线的离心率为（ ） A. √173 B. √176C. √105D. √1029.若曲线y =x 3−2x 2+2在点A 处的切线方程为y =4x −6，且点A 在直线mx +ny −1=0（其中m >0，n >0）上，则1m +2n的最小值为（ ）A. 4√2B. 3+2√2C. 6+4√2D. 8√210.函数f(x)=2sin(ωx +φ) (ω>0,|φ|<π)的部分图像如图所示，先把函数y =f(x)图像上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的图像向右平移π4个单位长度，得到函数y =g(x)的图像，则函数y =g(x)的图像的一条对称轴为（ ）A. x =3π4B. x =π4C. x =−π4D. x =−3π411.已知点P 在直线x +2y −1=0上，点Q 在直线x +2y +3=0上，PQ 的中点为M (x 0,y 0)，且1⩽y 0−x 0⩽7，则y0x 0的取值范围为（ ）A. [2,125]B. [−25,0]C. [−516,14]D. [−2,25]12.若点A(t,0)与曲线y =e x 上点P 的距离的最小值为2√3，则实数t 的值为（ ）A. 4−ln23B. 4−ln22C. 3+ln33D. 3+ln32第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）13.若e 1⃑⃑⃑⃑ ，e 2⃑⃑⃑⃑ 是夹角为60°的两个单位向量，向量a ⃑⃑ =2e 1⃑⃑⃑⃑ +e 2⃑⃑⃑⃑ ，则|a|=________.14..若5(1)ax 的展开式中3x 的系数是80，则实数a 的值是15.秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中有己知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平……外…………○………学校:________……内…………○………方得积.”如果把以上这段文字写成公式就是S =√14[a 2c 2−(a 2+c 2−b 22)2]，共中a ，b ，c 是△ABC的内角A ，B ，C 的对边为.若sinC =2sinAcosB ，且b 2，1，c 2成等差数列，则△ABC 面积S 的最大值为________.16.有一个底面半径为R ，轴截面为正三角形的圆锥纸盒，在该纸盒内放一个棱长均为a 的四面体，并且四面体在纸盒内可以任意转动，则a 的最大值为________.三、解答题（题型注释）17.已知{a n }是递增的等比数列，a 2+a 3=4，a 1a 4=3.（1）求数列{a n }的通项公式； （2）令b n=na n ，求数列{b n }的前n 项和S n .18.科研人员在对人体脂肪含量和年龄之间关系的研究中，获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据，如下表：根据上表的数据得到如下的散点图.（1）根据上表中的样本数据及其散点图： （i ）求x̅； （i ）计算样本相关系数（精确到0.01），并刻画它们的相关程度.答案第4页，总21页…○…………订…※装※※订※※线※※内※※答…○…………订…（2）若y 关于x 的线性回归方程为y ̂=1.56+b ̂x ，求b ̂的值（精确到0.01），并根据回归方程估计年龄为50岁时人体的脂肪含量. 附：参考数据：y ̅=27，∑x i 10i=1y i=13527.8，∑x i210i=1=23638，∑y i 210i=1=7759.6，√43≈6.56，√2935≈54.18，参考公式：相关系数r=∑(x −x̅)ni=1(y −y̅)√∑(x i −x̅)2i=1√∑(y i −y ̅)2i=1 ∑x ni=1y −nx̅y̅√∑x i i=1−n(x̅)2√∑y ii=1−n(y ̅)2回归方程y ̂=a ̂+b ̂x 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b ̂=∑(x i −x ̅)ni=1(y i −y ̅)∑(x i −x̅)2n i=1，a ̂=y ̅−b ̂x ̅. 19.如图，在四棱锥P−ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠BAD =60°，∠APD =90°，且AD =PB .（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）若AD⊥PB ，求二面角D −PB −C 的余弦值.20.在平面直角坐标系中，动点M 分别与两个定点A(−2,0)，B(2,0)的连线的斜率之积为−12. （1）求动点M 的轨迹C 的方程；（2）设过点(−1,0)的直线与轨迹C 交于P ，Q 两点，判断直线x =−52与以线段PQ 为直径的圆的位置关系，并说明理由. 21.己知函数f(x)=lnx −k x (k ∈R).（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）若函数f(x)有两个零点x 1，x 2，求k 的取值范围，并证明x 1+x 2>2√−2k .22.在直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l 的参数方程为{x =2+tcosα,y =√3+tsinα（t 为参数）.在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ2=2ρcosθ+8.（1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，且|AB|=4√2，求直线l的倾斜角.23.[选修4-5：不等式选讲]己知函数f(x)=|2x−1|−a．(1)当a=1时，解不等式f(x)>x+1；(2)若存在实数x，使得f(x)<12f(x+1)成立，求实数a的取值范围.答案第6页，总21页参数答案1.B【解析】1.根据复数的几何意义建立不等式关系即可.z =m(3+i)−(2+i)=(3m −2)+(m −1)i ，若复数在复平面内对应的点在第三象限， 则{3m −2<0m −1<0，解得m<23，所以m 的取值范围是(−∞,23)，故选B. 2.D【解析】2.先解分式不等式求集合A ，再由补集的定义直接求解即可． 解：由1−8x−2＜0，即x−10x−2＜0，即（x ﹣10）（x ﹣2）＜0解得2＜x ＜10，即A={x|2＜x ＜10}，则∁R A ＝{x|x ≤2或x ≥10}故选：D ． 3.B【解析】3.根据分层比例列式求解. 由题意得29n −39n =−8∴n =72.选B.4.A【解析】4. 运行第一次，x=1,y =2,z =3；运行第二次，x =2，y =3，z =5；运行第三次x =3,y =5,z =8；类推，直到不再符合z <20为止，输出z 即可。
广东省2019届高三六校第二次联考数学(理科)试题
广东省2019届高三六校第二次联考2019-11-2 本试卷共4页，20小题，满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则集合A．B．C．D．2．若，则下列结论不正确．．．的是A．B．C．D．3．函数，已知的两个极值点为，，则A．B．C．D．4．设，，则函数的最大值为A．B．C．D．5．函数对于任意实数满足条件，若，则A．B．C．D．6．如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，D在边AC上，已知BC＝2，CD＝1，∠ABD＝45°，则AD ＝A．2 B．5 C．4 D．17．在平面直角坐标系中，不等式组（为常数）表示的平面区域的面积是4，则的最小值为A．B．C．D．8．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则将某些数染成红色．先染1，再染2个偶数2、4；再染4后面最邻近的3个连续奇数5、7、9；再染9后面最邻近的4个连续偶数10、12、14、16；再染16后面最邻近的5个连续奇数17、19、21、23、25．按此规则一直染下去，得到一红色子数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，…．则在这个红色子数列中，由1开始的第2019个数是A．3948 B．3953 C．3955 D．3958二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．9．已知数列为等差数列，且，则____________．10．在中，角，，所对的边分别是，，，若，且，则的面积等于____________．11．方程在上有解，则的取值范围是____________．12．设曲线在点（1，1）处的切线与轴的交点的横坐标为，令，则的值为____________．13．设函数，[]表示不超过的最大整数，则函数[]的值域是____________．14．若定义在区间上的函数对上的任意个值，，…，，总满足≤，则称为上的凸函数．已知函数在区间上是“凸函数”，则在△中，的最大值是____________．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．15．（本小题满分12分）已知向量，，函数．（1）求函数的最小正周期和值域；（2）在中，分别是角的对边，且，，，且，求的值．16．（本小题满分12分）数列的前项和为，数列满足，且，．（1）求，的表达式；（2）设，求数列的前项和．17．（本小题满分14分）某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交元（）的管理费，预计当每件产品的售价为元（）时，一年的销售量为万件．（1）求分公司一年的利润（万元）与每件产品的售价的函数关系式；（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润最大，并求出的最大值．18．（本小题满分14分）已知，若在区间上的最大值为，最小值为，令．（1）求的函数表达式；（2）判断的单调性，并求出的最小值．19．（本小题满分14分）已知函数，其中，为参数，且．（1）当时，判断函数是否有极值；（2）要使函数的极小值大于零，求参数的取值范围；（3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数，函数在区间内都是增函数，求实数的取值范围．20．（本小题满分14分）已知，．（1）若恒成立，求的取值范围；（2）若广东省2019届高三六校第二次联考数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．A 2．C 3．D 4．D 5．D 6．B 7．D 8．C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．9．10．11．12．13．14．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．15．（本小题满分12分）解：（1）………………3分∴函数的最小周期,值域为………………5分（2）………………6分是三角形内角∴，∴即： (8)分∴即：………………10分将可得：解之得：∴∴，………………12分16．（本小题满分12分）解：（1）………………2分当时，，所以………………3分………………4分成等比数列,且首项,公比………………5分,………………6分（2），………………7分令，记则相减，故………………10分故………………12分17．（本小题满分14分）解：（1）分公司一年的利润（万元）与售价的函数关系式为：………………4分（2）………………5分令得或（不合题意，舍去）． (6)分，．在两侧的值由正变负．………………8分所以（a）当即时，．………………10分（b）当即时，，……12分所以………………13分答：若，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润最大，最大值（万元）；若，则当每件售价为元时，分公司一年的利润最大，最大值（万元）． (14)分18．（本小题满分14分）19．（本小题满分14分）解：（I）当时则在内是增函数，故无极值。
2019广东二模理数答案
2019年普通高等学校招生全国统一考试广东省理科数学模拟试卷(二)参考答案及评分标准评分标准:1.本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4.只给整数分数,选择题不给中间分.1.C2.D3.D4.B5.A6.A7.B8.D9.B10.C11.A12.A13.14.-15.216.17.解:(1)因为n+2,,(a1-2)n依次成等比数列,所以S=(a1-2)n(n+2)...................................................................................................................................................... 1分n当n=1时,S=a1=3(a1-2),解得a1=3,从而S n=n(n+2); ................................................................................................... 2分1当n≥2时,a=S n-S n-1=n(n+2)-(n-1)(n+1)=2n+1;............................................................................................................ 4分n当n=1时,也满足a=2n+1,故a n=2n+1........................................................................................................................ 6分n(2)因为=-, .................................................................................................................................. 8分所以T=---n=-=................................................................................................................................................ 12分评分细则:第(1)问中,没有写到当n=1时,也满足a=2n+1,而直接得出数列的通项公式为a n=2n+1,要扣1分;n第(2)问中,得出T=-,而没有得到,不扣分.n18.(1)证明:连接DE,BD.因为四边形ABCD是菱形且∠DAB=60°,E为AB的中点,所以DE⊥AB. .................................................................. 1分因为PD⊥平面ABCD,所以PD⊥AB, ........................................................................................................................... 2分又DE∩PD=D,所以AB⊥平面PDE, ............................................................................................................................. 3分则AB⊥PE....................................................................................................................................................................... 4分因为AB∥CD,所以PE⊥CD.......................................................................................................................................... 5分(2)解:以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz(其中O为AC与BD的交点),如图所示,则P(-1,0,2),A(0,-,0),E-,C(0,,0). ...................................................................................................................................... 6分设平面APE的法向量为n=(x1,y1,z1),则·n=0,·n=0,即-................................................................................................................................... 7分令x1=,得n=(,-1,1)............................................................................................................................................... 8分设平面PCE的法向量为m=(x2,y2,z2),则·m=0,·m=0,即--........................................................................................................................................ 9分令x2=3,得m=(3,1,2). ........................................................................................................................................ 10分所以cos<n,m>===, ......................................................................................................................... 11分由图可知二面角A-PE-C为钝角,故二面角A-PE-C的余弦值为-.............................................................................................................................. 12分评分细则:第(1)问中,连接BD,证得△PDA与△PDB全等,从而PA=PB,PE⊥AB,此法也可证明PE⊥CD,另外,用空间向量证明PE⊥CD,同样得分;第(2)问中,两个平面的法向量不唯一,只要与所给法向量共线即可得分.19.(1)证明:将y=kx+3代入x2=6y,得x2-6kx-18=0. ....................................................................................................... 2分设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1x2=-18, ..................................................................................................................................... 3分从而d1d2=|x1|·|x2|=|x1x2|=18为定值............................................................................................................................. 5分(2)解:存在符合题意的点,证明如下:设P(0,b)为符合题意的点,直线PM,PN的斜率分别为k1,k2.由(1)知x1+x2=6k, .......................................................... 6分从而k1+k2=-+-.................................................................................................................................................... 7分=-.................................................................................................................................................... 8分=--................................................................................................................................................................. 9分当b=-3时,有k1+k2=0,则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补, ................................................................... 11分故∠OPM=∠OPN,所以点P(0,-3)符合题意. .............................................................................................................. 12分评分细则:第(1)问中,直线方程与抛物线方程联立正确得2分,两根之和对(1)问无贡献,若第(2)问未写,而第(1)问写了,应给1分.20.解:(1)这600辆车在9:20~10:40时间段内通过该收费点的时刻的平均值为(30×0.005+50×0.015+70×0.020+90×0.010)×20=64,即10点04分........................................................................... 2分(2)结合频率分布直方图和分层抽样的方法可知:抽取的10辆车中,在10:00前通过的车辆数就是位于时间分组中在[20,60)这一区间内的车辆数,即(0.005+0.015)×20×10=4,所以X的可能取值为0,1,2,3,4......................................... 3分所以P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==,P(X=4)==, ............................................................................................................................ 6分所以X的分布列为所以E(X)=0×+1×+2×+3×+4×=. ........................................................................................................... 8分(3)由(1)可得μ=64,σ2=(30-64)2×0.1+(50-64)2×0.3+(70-64)2×0.4+(90-64)2×0.2=324,所以σ=18........................................................................................................................................................................ 9分估计在9:46~10:40这一时间段内通过的车辆数,也就是46<T≤100通过的车辆数,由T~N(μ,σ2),得P(64-18<T≤64+2×18)=-+-=0.8186, ................................................ 11分所以,估计在9:46~10:40这一时间段内通过的车辆数为1000×0.8186≈819辆........................................................ 12分评分细则:第(2)问中,若没有逐个计算每个X的概率,直接得出X的分布列,扣2分.21.(1)解:g(x)的定义域为(0,+∞), .................................................................................................................................... 1分g'=-, ............................................................................................................................................................ 2分若a≤-,因为x>1,所以ln x>0,所以g'(x)<0,所以g(x)在(1,+∞)上单调递减. .............................................................. 3分若a>-,令g'=0,得x=,当1<x<时,g'(x)>0;当x>时,g'(x)<0.所以g(x)的单调递减区间为(,+∞),单调递增区间为(1,).............................................................................. 5分(2)x2f(x)+a≥2-e,即x ln x-ax+a+e-2≥0对x∈(0,+∞)恒成立,令h(x)=x ln x-ax+a+e-2,则h'(x)=ln x+1-a,令h'(x)=0,得x=e a-1. .................................................................................. 6分当x∈(0,e a-1)时,h'(x)<0;当x∈(e a-1 ,+∞)时,h'(x)>0, ...................................................................................................... 7分所以h(x)的最小值为h(e a-1)=(a-1)e a-1+a+e-2-a e a-1=a+e-2-e a-1, ................................................................................... 8分令t(a)=a+e-2-e a-1,则t'(a)=1-e a-1,令t'(a)=0,得a=1.当a∈[0,1)时,t'(a)>0,t(a)在[0,1)上单调递增;当a∈(1,+∞)时,t'(a)<0,t(a)在(1,+∞)上单调递减........................................................................................................ 10分所以当a∈[0,1)时,h(x)的最小值为t(a)≥t(0)=e-2->0;当a∈[1,+∞)时,h(x)的最小值为t(a)=a+e-2-e a-1≥0=t(2)............................................................................................ 11分故a的取值范围是[0,2]. ............................................................................................................................................... 12分评分细则:第(1)问中,g(x)的定义域与g(x)的导数正确各得1分.22.解:(1)由ρ2-4ρcos θ-6ρsin θ+12=0,得x2+y2-4x-6y+12=0, ........................................................................................ 2分即(x-2)2+(y-3)2=1,此即为曲线C的直角坐标方程. ...................................................................................................... 3分(2)由(1)可设P的坐标为(2+cos α,3+sin α),0≤α<2π, .................................................................................................... 6分则|PM|=3+sin α, ............................................................................................................................................................. 7分又直线ρcos θ=-1的直角坐标方程为x=-1,所以|PN|=2+cos α+1=3+cos α. ..................................................................................................................................... 8分所以|PM|+|PN|=6+sin, .............................................................................................................................. 9分故当α=时,|PM|+|PN|取得最大值,且最大值为6+............................................................................................. 10分评分细则:第(2)问中,亦可设P的坐标为(2+sin α,3+cos α),|PM|=3+cos α,|PN|=3+sin α,各给1分.23.解:(1)由f(x)<0,得+-<4. ....................................................................................................................... 1分当x<-1时,-x-1+2-x<4,解得-<x<-1; ............................................................................................................................ 2分当-1≤x≤2时,x+1+2-x=3<4恒成立,则-1≤x≤2; ............................................................................................................... 3分当x>2时,x+1+x-2<4,解得2<x<. ............................................................................................................................... 4分故f(x)<0的解集为-. ........................................................................................................................................... 5分(2)因为f(x)=+--k≥|x+1+2-x|-k=3-k, ........................................................................................................ 6分所以f(x)的最小值为3-k................................................................................................................................................. 7分因为不等式f(x)≥对x∈R恒成立,所以3-k≥,k+3≥0,所以--................................................................................................................................................. 9分解得-3≤k≤1,则k的取值范围为[-3,1]........................................................................................................................... 10分评分细则:第(1)问中,先将f(x)化为三段的分段函数,得3分,再得出不等式的解集,得2分; 第(2)问中,未写3-k≥0,扣1分.。
广东省深圳实验、珠海一中等六校2019届高三数学第二次联考试题文(含解析)
广东省深圳实验、珠海一中等六校2019届高三数学第二次联考试题文（含解析）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1.设集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意得，∴．选D．2.已知复数满足，（为的共轭复数）.下列选项（选项中的为虚数单位）中（）.A. B. C. 或 D. 或【答案】C【解析】设，则，，所以，得，所以或.本题选择C选项.3.已知，则( )A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得：本题选择A选项.4.等差数列中，，则其前项和取最大值时的值为（）A. 503B. 504C. 503或504D. 505【答案】C【解析】【分析】题目所给数列为等差数列，故将所给的两个条件都转化为的形式，解方程组解出，然后利用通项大于或等于零，求得最大时的值.【详解】由于数列为等差数列，故，解得，故，当时，解得，故当或时，取得最大值.故选C.【点睛】本小题主要考查等差数列的通项公式以及前项和公式.在求解等差数列通项的过程中，首先明确题目给定的数列是等差数列还是等比数列，若是等差数列，则将已知条件转化为和的形式，若是等比数列，则将已知条件转化为和的形式，然后通过解方程组求得对应的首项和公差或者首项和公比，由此求得数列的通项公式.5.下列命题中，为真命题的是（）A. ，使得B.C. D. ，是的充分不必要条件【答案】D【解析】【分析】对于A,C两个选项，利用指数函数和幂函数的性质进行排除，对于B选项，利用基本不等式的知识进行排除.对于D选项，利用不等式的性质和充要条件的知识来说明.【详解】对于A选项，由于对任意的实数都成立，故A选项错误.对于B选项，当时，不等式不成立.当时，，故C选项错误.根据不等式的性质，当时，，反过来不一定，故D选项正确.故选D.【点睛】本小题主要考查指数函数和幂函数的图像与性质，考查基本不等式使用的条件：一正二定三相等，考查全称命题与特称命题，考查充要条件的判断以及不等式的性质等知识，属于中档题.6.四边形和均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线与所成的角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】画出图像，将两条异面直线平移到一起，然后利用三角形的知识求得两条异面直线所成的角. 【详解】画出图像如下图所示，将平移到的位置，连接，则角即是两条异面直线所成的角.由于三角形为等边三角形，故两条异面直线所成的角为.故选C.【点睛】本小题主要考查空间两条异面直线所成的角.要求空间两条异面直线所成的角，需要通过平移，将两条异面直线平移到有一个公共顶点的三角形内，然后通过解三角形求得异面直线所成的角.将异面直线平移的主要方法是通过平行四边形平移，或者通过中位线平移，或者通过面面平行来平移.7.已知满足，则的最大值为（）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】A【解析】【分析】画出可行域，通过平移到边界位置，由此求得目标函数的最大值.【详解】画出可行域如下图所示，通过平移到点的位置，此时截距取得最大值，也即目标函数取得最大值为.故选A.【点睛】本小题主要考查线性规划知识，目标函数是线性型的.画出可行域后，平移目标函数到边界位置来取得最值.属于基础题.8.已知菱形的边长为2，，点满足，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将两个向量，用表示，再根据向量数量积的运算，列方程，解方程求得的值. 【详解】依题意,.故选A.【点睛】本小题主要考查平面向量的数量积运算，考查平面向量的加法和减法的运算，还考查了化归与转化的数学思想方法.属于中档题.9.已知函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A. 函数的周期为B. 函数为偶函数C. 函数在上单调递增D. 函数的图象关于点对称【答案】C【解析】【分析】根据三角函数的最低点求得，再结合图像过和这两个点，可求得的解析式，然后对选项逐一进行判断和排除，从而得出正确选项.【详解】由于三角函数图像最小值为，故.，将点代入，解得，，再将代入，解得，故.函数的周期为，所以A选项错误. 为奇函数，故B选项错误.，故D选项错误.所以选C.【点睛】本小题主要考查利用三角函数的图像，求三角函数的解析式，并利用解析式求三角函数的最小正周期、单调区间等问题，综合性较强，属于中档题.10.已知双曲线的离心率为2，左右焦点分别为，点在双曲线上，若的周长为，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据离心率可得，根据双曲线的定义和三角形的周长，列方程组求得三角形的三条边长，然后利用勾股定理算出高，再用三角形面积公式计算出面积.【详解】根据离心率得，即，根据双曲线的定义，有，根据三角形的周长有，故，故三角形的高为，故面积为.故选B.【点睛】本小题主要考查双曲线的定义、双曲线的离心率和焦点三角形的面积.离心率在本题中的作用是将转化为的形式.在解答过程中，主要是方程的数学思想方法，利用双曲线的定义，得到一个方程，再利用题目所给的周长这个条件，又列出另一个方程，根据这两个方程可以求解出三角形的边长.11.在正方体中，点是侧面内的一动点，若点到直线与到直线的距离相等，则动点的轨迹所在的曲线是（）A. 直线B. 圆C. 双曲线D. 抛物线【答案】D【解析】【分析】由于到直线的距离，也即是的长度.由此将问题转化为到直线的距离和到点的距离相等，符合抛物线的定义.由此得出选项.【详解】画出图像如下图所示，由于到直线的距离，也即是的长度.由此将问题转化为到直线的距离和到点的距离相等，这恰好是抛物线的定义，故选D.【点睛】本小题主要考查空间点到直线的距离，考查圆锥曲线的定义，主要是抛物线的定义，属于基础题.12.设函数，直线是曲线的切线，则的最小值是（）A. B. 1 C. D.【答案】C【解析】分析：设切点是，求出切线方程，可得，利用导数研究函数的单调性，根据单调性求出的最小值即可的结果.详解：设切点是，由是切线斜率，切线方程为，整理得，，记，当，递减；当，递增；故，即的最小值是故选C.点睛：本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及利用导数研究函数的单调性与最值，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分。
广东省六校2019届高三第二次联考数学理试题
广东省六校2019届高三第二次联考试题理科数学本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知复数R)，（为虚数单位），若为纯虚数，则( )A. 1B.C. 2D.【答案】A【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用纯虚数得到答案．【详解】∵z1=2+ai（a∈R），z2=1﹣2i，∴，由为纯虚数，则，解得a=1，故选：A．【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了纯虚数的定义，是基础题．2.设全集，集合，，则A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据并集的定义求得A∪B，再根据补集的定义即可求解．【详解】∵集合A={x|﹣1＜x＜5}，集合B={x|﹣2＜x＜4}，∴A∪B={x|﹣2＜x＜5}，={x|﹣5＜x≤2}，故选：B．【点睛】本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题．3.中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，请问此人第5天走的路程为（）A. 36里B. 24里C. 18里D. 12里【答案】D【解析】【分析】由题意可知，每天走的路程里数构成以为公比的等比数列，由S6=378求得首项，再由等比数列的通项公式求得该人第五天走的路程．【详解】记每天走的路程里数为{a n}，由题意知{a n}是公比的等比数列，由S6=378，得=378，解得：a1=192，∴=12（里）．故选：D．【点睛】等比数列的基本量运算问题的常见类型及解题策略：①化基本量求通项．求等比数列的两个基本元素和，通项便可求出，或利用知三求二，用方程求解．②化基本量求特定项．利用通项公式或者等比数列的性质求解．③化基本量求公比．利用等比数列的定义和性质，建立方程组求解．④化基本量求和．直接将基本量代入前项和公式求解或利用等比数列的性质求解．4.函数的单调递增区间是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用正弦函数的单调性，求出相应的区间，即可得到结论．【详解】由（n∈Z），可得≤x≤（n∈Z），令n=﹣k，则可得函数y=3sin的单调递增区间是故选：B．【点睛】本题考查函数的单调性，考查学生的计算能力，正确运用正弦函数的单调区间是关键．5.下列有关命题的说法中错误的是( )A. 若为真命题，则中至少有一个为真命题.B. 命题：“若是幂函数，则的图象不经过第四象限”的否命题是假命题.C. 命题“，有且”的否定形式是“，有且”.D. 若直线和平面，满足.则“” 是“”的充分不必要条件.【答案】C【解析】【分析】A．根据复合命题真假关系进行判断即可；B．根据逆否命题的等价性判断命题的逆命题为假命题即可；C．根据全称命题的否定是特称命题进行判断；D．根据线面平行的判定定理及性质定理进行判断.【详解】对于A，若为真命题，则中至少有一个为真命题.正确；对于B，命题的逆命题是若y=f（x）的图象不经过第四象限，则y=f（x）是幂函数，错误比如函数y=2x的函数图象不经过第四象限，满足条件，但函数f（x）是指数函数，故命题的逆命题是假命题，则命题的否命题也是假命题，正确；对于C，命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是“∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f （n0）＞n0”，错误；对于D，若直线和平面，满足.则“” 是“”的充分不必要条件，正确，故选：C【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及四种命题，含有量词的命题的否定，复合命题以及充分条件和必要条件的判断，知识点较多综合性较强，但难度不大．6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体是一个半圆柱挖取一个倒立的四棱锥，∴本题选择C选项.点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．7.如图所示，在△ABC中，AD=DB，点F在线段CD上，设，,，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】用表示，由C，D，F三点共线得出x，y的关系，消去y，得到关于x的函数f（x），利用导数求出f（x）的最小值．【详解】=2x y．∵C，F，D三点共线，∴2x+y=1．即y=1﹣2x．由图可知x＞0．∴==．令f（x）=，得f′（x）=，令f′（x）=0得x=或x=﹣（舍）．当0＜x＜时，f′（x）＜0，当x时，f′（x）＞0．∴当x=时，f（x）取得最小值f（）==3+2．故选：A．【点睛】本题考查了平面向量的基本定理，函数的最值，属于中档题．8.已知是定义域为的奇函数，满足,若，则( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意可得f（0）=0，f（x）为周期为4的函数，分别求得一个周期内的函数值，计算可得所求和．【详解】f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，可得f（﹣x）=﹣f（x），f（1﹣x）=f（1+x）即有f（x+2）=f（﹣x），即f（x+2）=﹣f（x），进而得到f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），f（x）为周期为4的函数，若f（1）=2，可得f（3）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，f（2）=f（0）=0，f（4）=f（0）=0，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+0﹣2+0=0，可得f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2018）=504×0+2+0=2．故选：B．【点睛】本题考查抽象函数的函数值的求和，注意运用函数的周期性，考查转化思想和运算能力，属于中档题．9.已知函数在区间上是增函数，且在区间上存在唯一的使得，则的取值不可能为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由f（x）=2sinωx可得[﹣，]是函数的递增区间，结合已知可得[﹣，]⊇[]，可解得0＜ω≤，又函数在区间上存在唯一的使得，根据正弦函数的性质可得0≤≤π，进而得解．【详解】f（x）=2sinωx，∴[﹣，]是函数的递增区间，且[﹣，]．又∵函数在[]上递增，∴[﹣，]⊇[]，∴得不等式组：﹣≤﹣，≤，又∵ω＞0，∴0＜ω≤，又在区间上存在唯一的使得，根据正弦函数的性质可知ωx=2kπ+，k∈Z，即函数在x=+处取得最大值，可得0≤≤π，∴ω≥，综上，可得ω∈[，]．故选：D．【点睛】本题主要考查正弦函数的图象特征，判断[﹣，]⊇[]是解题的关键，属于中档题．10.将正奇数数列依次按两项、三项分组，得到分组序列如下：,称为第1组，为第2组，依此类推，则原数列中的位于分组序列中( )A. 第组B. 第组C. 第组D. 第组【答案】A【解析】【分析】求出2019为第1010个证奇数，根据富足规则可得答案.【详解】正奇数数列1,3,5,7,9，的通项公式为则2019为第1010个奇数，因为按两项、三项分组，故按5个一组分组是有202组，故原数列中的2019位于分组序列中第404组选A.【点睛】本题考查闺女是推理，属中档题.11.定义：分子为1且分母为正整数的分数称为单位分数,我们可以把1分拆为若干个不同的单位分数之和。
广东省2019届高三理数第二次联考试卷
第1页，总23页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………广东省六校（广州二中，深圳实验，珠海一中，中山纪念，东莞中学，惠州一中）2019届高三理数第二次联考试卷考试时间：**分钟 满分：**分姓名：____________班级：____________学号：___________题号 一 二 三 总分 核分人 得分注意事项：1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写2、提前 15 分钟收取答题卡第Ⅰ卷 客观题第Ⅰ卷的注释评卷人 得分一、单选题（共12题)1. 已知复数 R )，（ 为虚数单位），若 为纯虚数，则 ( )A . 1B .C . 2D .2. 设全集，集合 ，集合 ，则（ ）A . [4,5)B . （-5,-2]C . （-5，-2）D . （4,5）3. 中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，请问此人第5天走的路程为（ ）A . 36里B . 24里C . 18里D . 12里 4. 函数的单调递增区间是（ ）A .B .C .答案第2页，总23页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………D .5. 下列有关命题的说法中错误的是( ) A . 若为真命题，则中至少有一个为真命题.B . 命题：“若 是幂函数，则 的图象不经过第四象限”的否命题是假命题.C . 命题“，有且”的否定形式是“，有且”.D . 若直线和平面，满足 .则“ ” 是“ ”的充分不必要条件.6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A .B .C .D .7. 如图所示，在△ABC 中，AD=DB ，点F 在线段CD 上， 设 ， , ，则的最小值为（ ）。
2019年广东省广州市高考数学二模(理科)试题及参考答案
试卷类型： A2019 年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）2018.4本试卷共 4 页，21 小题， 满分 150 分. 考试用时 120 分钟 .注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上 . 用 2B 铅笔将试卷类型（ A ）填涂在答题卡相应位置上 . 2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上 .3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液 . 不按以上要求作答的答案无效 . 4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答. 漏涂、错涂、多涂的，答案无效 .5．考生必须保持答题卡的整洁. 考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.参考公式：锥体的体积公式是1VSh , 其中 S 是锥体的底面积 , h 是锥体的高 . 3一、选择题：本大题共8 小题，每小题 5 分，满分 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若复数 z 满足 i z 2 ，其中 i 为虚数单位，则 z 的虚部为 A ． 2 B ．2 C ． 2 i D．2 ix2．若函数yf x 是函数 y 3 的反函数，则1f的值为2A ．log 3B．log 3 2C ．21 9D ．33．命题“对任意 xR ，都有32x x ”的否定是A ．存在 xR ，使得 03 2x xB ．不存在 x 0R ，使得 0 0 32xx0 0C．存在 x 0R ，使得3 2x xD．对任意 xR ，都有32x x4.将函数 f x 3sin 2x cos2 x(x R ) 的图象向左平移个单位长度后得到函数6y g x，则函数 y g xA ．是奇函数B．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数，也不是偶函数 5．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字 0 与1，另一张的正反面分别写着数字2 与3，将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是 A ． 1 6 B ． 1 3 C ． 1 2 D ．3 86．设 F 1, F 2 分别是椭圆2 2xyC :1 a b 022ab的左、右焦点，点 P 在椭圆 C 上，线段 PF 1的中点在 y 轴上，若P F F，则椭圆 C 的离心率为1 230A ．1 6B．13333 3C ．D ．6 3 7．一个几何体的三视图如图1，则该几何体的体积为4 2 2正视图侧视图2A ．6 4B ．12 42C ．6 12D ．12 12 8．将正偶数2, 4,6,8, 按表1的方式进行排列，记a表示第i 行第j 列的数，若ija 2014，则i j 的值为ijA ．257B ．256C ．254D ．253第1 列第2 列第3 列第4 列第5 列第1 行 2 4 6 8 第2 行16 14 12 10第3 行18 20 22 24 第4 行32 30 28 26第5 34 36 38 40行⋯⋯⋯⋯⋯⋯表1二、填空题：本大题共7小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分30 分．（一）必做题（9～13 题）9．不等式 22x x 1 0的解集为.3 12xxn10．已知的展开式的常数项是第7 项，则正整数n的值为.11．已知四边形ABCD 是边长为a的正方形，若DE 2EC,CF 2FB ，则AE AF 的值为.2x y 2 0,12．设x, y 满足约束条件若目标函数z ax by a 0,b 0 的最大值8x y 4 0,x 0, y 0.为8，则ab 的最大值为.13．已知x 表示不超过x 的最大整数，例如 1.5 2, 1.5 1. 设函数 f x x x ，* )时，函数 f x 的值域为集合A，则A 中的元素个数为. 当x 0,n (n N （二）选做题（14～15 题，考生从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线x a t,y t(t 为参数) 与x 圆y 1cos ,sin(为参数) 相切，切点在第一象限，则实数 a 的值为.15．（几何证明选讲选做题）在平行四边形ABCD 中，点 E 在线段A B 上，且1AE EB ，连接D E , AC ，AC 与DE 相交于点 F ，若△AEF 的面积为1 cm22 ，则△AFD 的面积为cm 2 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．2018.5 （本小题满分12 分）如图2，在△ABC 中，D 是边AC 的中点，B 2 3且AB AD 1，BD .3 (1) 求cos A的值；（2）求sin C 的值.17．（本小题满分12 分）A 图2D C一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为5,15 ，15,25 ，25,35 ，35,45 ，由此得到样本的重量频率分布直方图，如图3 . （1）求a的值；（2）根据样本数据，试估计盒子中小球重量的平均值；（注：设样本数据第i 组的频率为p ，第i 组区间的中点值为x i i 1,2,3, ,n ，i值为X x p x p x p x p . ）则样本数据的平均频率1 12 23 3 n n（3）从盒子中随机抽取 3 个小球，其中重量在5,15 内组距的小球个数为，求的分布列和数学期望.18．（本小题满分14 分）如图4 ，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为 2 的正方形，EF ∥平面ABCD ，EF ，F B FC, BFC 90 ，A E 3 .1（1）求证：AB 平面BCF ；（2）求直线AE 与平面BDE 所成角的正切值.E FD C图4A B19．（本小题满分14 分）* 已知数列{a } 的前n项和为S n ，且a1 0，对任意n Nn ，都有n a 1 S n n 1 .n n（1）求数列a的通项公式；n（2）若数列b满足a n log2 n log2 b n ，求数列b n 的前n项和T n .n20．（本小题满分14 分）已知定点F 0,1 和直线l : y 1，过点 F 且与直线l 相切的动圆圆心为点M ，记点M 的轨迹为曲线 E .(1) 求曲线 E 的方程;(2) 若点A 的坐标为2,1 , 直线l1 : y kx 1(k R，且k 0) 与曲线 E 相交于B,C 两点，直线AB, AC 分别交直线l 于点S,T . 试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个定点? 若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由.21．（本小题满分14 分）已知函数f x aln x bx( a, b R) 在点1,f 1 处的切线方程为x 2y 2 0 .（1）求a,b的值；k（2）当x 1时，f xx恒成立，求实数k 的取值范围；* （3）证明：当n N21 1 1 3n n2 ，且n 2时，22ln 2 3ln 3 nln n 2n 2n 2019 年广州市普通高中毕业班综合测试（二）.数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2 ．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3 ．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 A B C B C D A C二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题 5 分，满分30 分．其中14~15 题是选做题，考生只能选做一题．9．12,1 10 ．8 11 ． 2 a 12 ．4 13 ．2 2n n214． 2 1 15 ．3三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）（1）解：在△ABD 中，AB AD 1， 2 3BD ，322 2 2 31 12 2 23 1AB AD BD∴cosA2 AB AD 2 1 13 .⋯⋯⋯⋯⋯4 分（2）解：由（1）知，cos1A ，且0 A ，32 2 2∴sin A 1 cos A . ⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分3 ∵D 是边A C 的中点，∴AC 2AD 2 .在△ABC 中，cos A2 2 2 12 22 2 1AB AC BC BC2 AB AC 2 1 2 3，⋯⋯⋯8分解得33BC . ⋯⋯⋯⋯⋯10 分3由正弦定理得，BC ABsin A sin C，⋯⋯⋯⋯⋯11 分∴sin C2 21AB Asin 3 2 66BC 33 333.⋯⋯⋯⋯⋯12 分17．（本小题满分12 分）(1) 解：由题意，得0.02 0.032 x 0.018 10 1，⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分解得x 0.03 . ⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分（2）解：50 个样本小球重量的平均值为X 0.2 10 0.32 20 0.3 30 0.18 40 24.6（克）. ⋯⋯⋯⋯⋯ 3分由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为24.6 克. ⋯⋯⋯⋯⋯4 分（3）解：利用样本估计总体，该盒子中小球重量在5,15 内的概率为0.2 ，则1 B 3, .5⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分的取值为0,1, 2,3 ，⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分34 64P 0 C ，35 12521 4 481P 1 C ，35 5 12521 4 122P 2 C ，35 5 12531 13P 3 C . ⋯⋯⋯⋯⋯10 分35 125∴的分布列为：0 1 2 3P 64 48 12 1125 125 125 125⋯⋯⋯⋯⋯11 分∴64 48 12 1 3E 0 1 2 3 . ⋯⋯⋯⋯⋯12 分125 125 125 125 5（或者1 3E 3 ）5 518．（本小题满分14 分）（1）证明：取AB 的中点M ，连接E M ，则AM MB 1，∵EF ∥平面ABCD ，EF 平面ABFE ，平面ABCD 平面ABFE AB ，∴EF∥AB ，即EF ∥MB . ⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分∵EF MB 1∴四边形EMBF 是平行四边形. ⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分∴EM ∥FB ，EM FB .在Rt△BFC 中， 2 2 2 4FB FC BC ，又FB FC ，得FB 2 .∴EM 2. ⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分在△AME 中，AE 3，AM 1，EM 2 ，∴ 2 2 3 2AM EM AE ，∴AM EM . ⋯⋯⋯⋯⋯4 分∴AM FB ，即AB FB . ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC . ⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分∵FB BC B ，FB 平面BCF ，BC 平面BCF ，∴AB 平面BCF . ⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分（2）证法1：连接A C ，AC 与BD 相交于点O ，则点O是AC 的中点，取BC 的中点H ，连接O H ,EO ，FH ，则OH ∥AB ，1OH AB 1.2E F1D C 由（1）知EF ∥AB ，且EF AB ，2 ∴EF ∥OH ，且EF OH .O H∴四边形EOHF 是平行四边形.∴EO ∥FH ，且EO FH 1 . M ⋯⋯⋯⋯⋯7 分A B由（1）知AB 平面BCF ，又FH 平面BCF ，∴FH AB . ⋯⋯⋯⋯⋯8 分∵FH BC ，AB BC B, AB 平面ABCD ，BC 平面ABCD ，∴FH 平面ABCD . ⋯⋯⋯⋯⋯9 分∴EO 平面ABCD .∵AO 平面ABCD ，∴EO AO . ⋯⋯⋯⋯⋯10 分∵AO BD ，EO BD O, EO 平面EBD ，BD 平面EBD ，∴AO 平面EBD . ⋯⋯⋯⋯⋯11 分∴AEO 是直线A E 与平面BDE 所成的角. ⋯⋯⋯⋯⋯12 分AO在Rt△AOE 中，tan 2AEOEO . ⋯⋯⋯⋯⋯13 分∴直线A E 与平面BDE 所成角的正切值为2 . ⋯⋯⋯⋯⋯14 分证法2：连接A C ，AC 与BD 相交于点O，则点O 是AC 的中点，z 取BC 的中点H ，连接O H ,EO ，FH ，EF 1则OH ∥AB ，OH AB 1.21D C 由（1）知EF ∥AB ，且EF AB ，2y O H∴EF ∥OH ，且EF OH .∴四边形EOHF 是平行四边形.B AM∴EO ∥FH ，且EO FH 1. ⋯⋯⋯⋯x⋯7 分由（1）知AB 平面BCF ，又FH 平面BCF ，∴FH AB .∵FH BC ，AB BC B, AB 平面ABCD ，BC 平面ABCD ，∴FH 平面ABCD .∴EO 平面ABCD . ⋯⋯⋯⋯⋯8 分以H 为坐标原点，BC 所在直线为x轴，OH 所在直线为y 轴，HF 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系H xyz ，则A 1,2,0 ，B 1,0,0 ，D 1, 2,0 ，E 0, 1,1 .∴AE 1,1,1 ，BD 2, 2,0 ，BE 1, 1,1 . ⋯⋯⋯⋯⋯9 分设平面BDE 的法向量为n x, y, z ，由n BD 0，n BE 0 ，得2x 2y 0 ，x y z 0 ，得z 0, x y .令x 1，则平面BDE 的一个法向量为n1, 1,0 . ⋯⋯⋯⋯⋯10 分设直线A E 与平面BDE 所成角为，则sin cos n,AE n AEn AE63. ⋯⋯⋯⋯⋯11 分∴ 2 3cos 1 sin3 ，sintan 2cos. ⋯⋯⋯⋯⋯13 分∴直线A E 与平面BDE 所成角的正切值为 2 . ⋯⋯⋯⋯⋯14 分19．（本小题满分14 分）（1）解法1：当n 2 时，na 1 S n n 1 ，n 1 a n S n 1 n n 1 ，⋯⋯ 1分n n两式相减得n a 1 n 1 a S S 1 n n 1 n n 1 ，⋯⋯⋯⋯⋯3 分n n n n即na 1 n 1 a a 2n，得a n 1 a n 2. ⋯⋯⋯⋯⋯5 分n n n当n 1时，1 a S 1 2，即a2 a1 2. ⋯⋯⋯⋯⋯6 分2 1∴数列a是以a1 0为首项，公差为2的等差数列.n∴a 2 n 1 2n 2. ⋯⋯⋯⋯⋯7 分n解法2：由na n 1 S n n n 1 ，得n S n 1 S n S n n n 1 ，⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分整理得，n S 1 n 1 S n n 1 ，⋯⋯⋯⋯⋯2 分n n两边同除以n n 1 得，S Sn n1 1n 1 n. ⋯⋯⋯⋯⋯3 分∴数列S nnS是以 1 01为首项，公差为1的等差数列.∴S n 0 n 1 n 1. n∴S n n 1 . ⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分n当n 2时，a S S 1 n n 1 n 1 n 2 2n 2 . ⋯⋯⋯⋯⋯5 分n n n又a1 0适合上式，⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分∴数列a的通项公式为a n 2n 2 . ⋯⋯⋯⋯⋯7 分n（2）解法1：∵a log n log b ，n 2 2 n∴ a 2n 2 n 1b n 2 n 2 n 4 . ⋯⋯⋯⋯⋯9 分nn∴T b b b b bn 1 2 3 n 1 n0 1 2 n 2 n 14 2 4 3 4 n 1 4 n 4 ，①1 2 3 n 1 n4T 4 2 4 3 4 n 1 4 n 4 ，②⋯⋯⋯⋯⋯11 分n①②得0 1 2 n 1 n3T 4 4 4 4 n 4nn1 41 4n n4n1 3n 4 13.⋯⋯⋯⋯⋯13 分∴1nT 3n 1 4 1 . ⋯⋯⋯⋯⋯14 分n9解法2：∵a log n log b ，n 2 2 n∴ a 2n 2 n 1b n 2 n 2 n 4 . ⋯⋯⋯⋯⋯9 分nn∴T b b b b bn 1 2 3 n 1 n0 1 2 n 2 n 1 4 2 4 3 4 n 1 4 n 4 .由n 12 3 1n x xx x x x x1 x，⋯⋯⋯⋯⋯11 分两边对x 取导数得，0 2 1 3 2 n 1x x x nxn 1 nnx n 1 x 121 x. ⋯⋯⋯12分令x 4，得0 1 2 2 1 1n n n4 2 4 3 4 n 1 4 n 4 3n 1 41.9⋯⋯⋯⋯⋯13 分∴1nT 3n 1 4 1 . ⋯⋯⋯⋯⋯14 分n920．（本小题满分14 分）（1）解法1：由题意, 点M 到点F 的距离等于它到直线l 的距离,故点M 的轨迹是以点 F 为焦点, l 为准线的抛物线. ⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分∴曲线 E 的方程为 2 4x y . ⋯⋯⋯⋯⋯2 分解法2：设点M 的坐标为x, y , 依题意, 得MF y 1 ,即 22 1 1x y y , ⋯⋯⋯⋯⋯1 分化简得 2 4x y .∴曲线E 的方程为 2 4x y. ⋯⋯⋯⋯⋯2 分(2) 解法1: 设点B,C 的坐标分别为x1, y1 , x2, y2 ，依题意得， 2 2x1 4y1, x2 4y2 .由y kx 1,消去y 得2x 4y,2 4 4 0x kx ，解得24k 4 k 12x 2k 2 k 1 . 1,22∴x1 x2 4k, x1 x2 4 . ⋯⋯⋯⋯⋯3 分直线AB 的斜率kAB2x11y x1 42 1 1x 2 x 2 41 1，x 2故直线AB 的方程为 1y 1 x 2 . ⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分4令y 1，得x 2x1 82，∴点S 的坐标为82 , 1x 21. ⋯⋯⋯⋯⋯5 分同理可得点T 的坐标为82 , 1x 22. ⋯⋯⋯⋯⋯6 分∴ST8 x x8 81 22 2x 2 x 2 x 2 x 21 2 1 28 x x 8 x x x x1 2 1 2 1 2x x 2 x x 4 8k k1 2 1 2. ⋯⋯⋯⋯⋯7 分∴ST22 2 24 k 161 x x x x x x x xxxx x12121 22 22kkk . ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯8 分设线段S T 的中点坐标为x，, 1则x1 884 xx4 122 22 2x 2x2 x 2 x2 12124 4k 4 4 4k 4 2 22 x x2 xx48kk1 212. ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯9 分∴以线段S T 为直径的圆的方程为221 2xy 1STk4224 k1 2k.⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 10 分24 k14422展开得 xx y14.⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 11 分22kkk2令 x 0，得y 14，解得 y 1或 y3.⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 12 分∴以线段S T 为直径的圆恒过两个定点 0,1 , 0, 3 . ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 14 分解法 2：由（ 1）得抛物线 E 的方程为 x 24y .设直线 AB 的方程为 y 1 k x 2 ，点 B 的坐标为1x y ，1, 1由y 1 k x 2 , 1y 1, 解得x y 2 2 , k1 2018.6∴点 S 的坐标为 2 2 , 1 k 1. ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 3 分 由 y 1 k x 2 , 12x 4y,消去 y ，得 2x 4k x 8k 4 0 ， 1 1即 x 2 x 4k 2 0，解得 x 2或 x 4k 1 2. ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯4 分1∴x 1 4k 1 2，122yx4k4k 1.111 14∴点 B 的坐标为24k2, 4k4k 1 .⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯5 分111同理，设直线 AC 的方程为 y 1 k x 2，2则点 T 的坐标为2 2, 1 k2，点 C 的坐标为24k2, 4k4k1 . ⋯ ⋯ ⋯ ⋯6 分222∵点 B,C 在直线 l 1 : ykx 1上，∴k2 2 2 24k 4k 1 4k 4k 1 k k k k2 2 1 1 2 1 2 14k 2 4k 2 k k2 1 2 1k1 k2 1 .∴k1 k2 k 1. ⋯⋯⋯⋯⋯7 分又 24k 4k 1 k 4k 2 1，得1 1 124k 4k 4kk 2k 4 k k 1 k 2k ，1 1 1 12 1化简得kk k . ⋯⋯⋯⋯⋯8 分1 2 2设点P x, y 是以线段S T 为直径的圆上任意一点，则SP TP 0，⋯⋯⋯⋯⋯9 分得2 2x 2 x 2 y 1 y 1 0k k1 2，⋯⋯⋯⋯⋯10 分2 42整理得，x x y4 1 0. ⋯⋯⋯⋯⋯11 分k2令x 0，得y 1 4 ，解得y 1或y 3 . ⋯⋯⋯⋯⋯12 分∴以线段S T 为直径的圆恒过两个定点0,1 , 0, 3 . ⋯⋯⋯⋯⋯14 分21．（本小题满分14 分）（1）解：∵ f x aln x bx，∴af x bx. 1∵直线x2y 2 0 的斜率为2 ，且过点1,12，⋯⋯⋯⋯⋯1 分∴ff11 ,211 ,2即ba b12,12,解得1a 1,b . ⋯⋯⋯⋯⋯3 分2x（2）解法1：由（1）得lnf x x .2k 当x 1时，f xxx k恒成立，即ln x 0，等价于2 x2xk x ln x .2⋯⋯⋯⋯⋯4 分令2xg x xln x ，则g x x ln x 1 x 1 ln x. ⋯⋯⋯⋯⋯5 分2令h x x 1 ln x，则h x 1 1 x 1x x .当x 1时，h x 0 ，函数h x 在1, 上单调递增，故h x h 1 0 .⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分从而，当x 1时，g x 0 ，即函数g x 在1, 上单调递增，故1g x g 1 . ⋯⋯⋯⋯⋯7 分2因此，当x 1时，2xk x ln x 恒成立，则21k . ⋯⋯⋯⋯⋯8 分2∴所求k 的取值范围是, 12. ⋯⋯⋯⋯⋯9 分x 解法2：由（1）得lnf x x .2k 当x 1时，f xxx k恒成立，即ln x 0恒成立. ⋯⋯⋯⋯⋯4 分2 x令lng x x x k2 x，则g x21 1 k x 2x 2k2 2x 2 x 2x.方程 2 2 2 0x x k （﹡）的判别式 4 8k .（ⅰ）当0，即 1k 时，则x 1时，2故函数g x 在1, 上单调递减.2 2 2 0x x k ，得g x 0，由于1kg 1k 0,g 2 ln 2 10， 22x k则当 x 1,2 时， g x 0，即 lnx2 x，与题设矛盾. ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 5 分1 k时，则 x 1时， 2gx2x 1x2x 1222x2x2（ⅱ）当0，即.故函数g x 在 1,上单调递减，则g x g 1 0，符合题意. ⋯ ⋯ ⋯ 6 分( ⅲ) 当0 ，即1k时，方程（﹡）的两根为x 11 1 2k 1, x2 11 2k 1，2则 x1,x 时， g x 0 ， x x 2,时， gx 0.2故函数g x 在1, x 上单调递增，在2x2, 上单调递减，x k 从而，函数g x 在1, 上的最大值为2g x ln x2 22 x2 . ⋯⋯⋯7 分而g x ln x2 2 x k22 x2ln x2x122 2x2，由（ⅱ）知，当x 1时，x 1ln x 02 2x，得x 12ln x 022 2x2，从而g x2 0 .故当x 1时，g x g x2 0，符合题意.⋯⋯⋯⋯⋯8 分综上所述，k 的取值范围是, 12. ⋯⋯⋯⋯⋯9 分（3）证明：由（2）得，当x 1时，又xln x 0，x 1ln x 02 2x2 1x，可化为xln x ，⋯10分21 2 1 1从而，. ⋯⋯⋯⋯⋯11 分2xln x x 1 x 1 x 1把x 2,3,4, , n 分别代入上面不等式，并相加得，1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 112ln 2 3ln 3 nln n 3 2 4 3 5 n 2 n n 1 n 1⋯⋯⋯⋯⋯12 分1 1 1 12 n n 1⋯⋯⋯⋯⋯13 分23n n 222n 2n . ⋯⋯⋯⋯⋯14 分。
2019年广东省广州市高考数学二模(理科)试题及参考答案
侧视图正视图试卷类型：A2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）2018.4 本试卷共4页，21小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.参考公式：锥体的体积公式是13V Sh=,其中S是锥体的底面积,h是锥体的高.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若复数z满足 i2z=，其中i为虚数单位，则z的虚部为A．2- B．2 C．2-i D．2i2．若函数()y f x=是函数3xy=的反函数，则12f⎛⎫⎪⎝⎭的值为A．2log3- B．3log2- C．19D3．命题“对任意x∈R，都有32x x>”的否定是A．存在x∈R，使得3200x x> B．不存在x∈R，使得3200x x>C．存在x∈R，使得3200x x≤ D．对任意x∈R，都有32x x≤4. 将函数()2cos2(f x x x x=+∈R)的图象向左平移6π个单位长度后得到函数()y g x=，则函数()y g x=A．是奇函数 B．是偶函数C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数，也不是偶函数5．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3，将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是A．16B．13C．12D．386．设12,F F分别是椭圆()2222:10x yC a ba b+=>>的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段1PF的中点在y轴上，若1230PF F︒∠=，则椭圆C的离心率为A．16B．13C7．一个几何体的三视图如图1，则该几何体的体积为A．6π4+ B．12π4+D CB AC ．6π12+D ．12π12+ 8．将正偶数2,4,6,8,按表1的方式进行排列，记ij a 表示第i 行第j 列的数，若2014ij a =，则i j +的值为A ．257B ．256C ．254D ．253表二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．不等式2210x x --<的解集为 .10．已知312nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是第7项，则正整数n 的值为 .11．已知四边形ABCD 是边长为a 的正方形，若2,2DE EC CF FB ==，则AE AF ⋅的值为 .12．设,x y 满足约束条件 220,840,0,0.x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为8，则ab 的最大值为 .13．已知[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[][]1.52,1.51-=-=.设函数()[]f x x x ⎡⎤=⎣⎦，当[)0,(x n n ∈∈N *)时，函数()f x 的值域为集合A ，则A 中的元素个数为 .（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线,(x a t t y t =-⎧⎨=⎩为参数)与圆1cos ,(sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数)相切，切点在第一象限，则实数a 的值为 .15．（几何证明选讲选做题）在平行四边形ABCD 中，点E 在线段AB 上，且12AE EB =，连接,DE AC ，AC 与DE 相交于点F ，若△AEF 的面积为1 cm 2，则△AFD 的面积为 cm 2.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分12分）如图2，在△ABC 中，D 是边AC 的中点， 且1AB AD ==，3BD =. (1) 求cos A 的值； （2）求sin C 的值.图217．（本小题满分12分）一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样 本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为(]5,15，(]15,25，(]25,35，(]35,45，由此得到样本的重量频率分布直方图，如图3. （1）求a 的值；（2）根据样本数据，试估计盒子中小球重量的平均值；（注：设样本数据第i 组的频率为i p ，第i 组区间的中点值为i x ()1,2,3,,i n =，则样本数据的平均值为112233n n X x p x p x p x p =++++. （3）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在(]5,15内FE D CBA 的小球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.18．（本小题满分14分）如图4，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，EF ∥平面ABCD ， 1EF =，,90FB FC BFC ︒=∠=，AE =（1）求证：AB ⊥平面BCF ；（2）求直线AE 与平面BDE 所成角的正切值.图4 19．（本小题满分14分） 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10a =，对任意n ∈N *，都有()11n n na S n n +=++.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足22log log n n a n b +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .20．（本小题满分14分）已知定点()0,1F 和直线:1l y =-，过点F 且与直线l 相切的动圆圆心为点M ，记点M 的轨迹为曲线E . (1) 求曲线E 的方程;(2) 若点A 的坐标为()2,1, 直线1:1(l y kx k =+∈R ，且0)k ≠与曲线E 相交于,B C 两 点，直线,AB AC 分别交直线l 于点,S T . 试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个定点? 若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由. 21．（本小题满分14分）已知函数()ln (,f x a x bx a b =+∈R )在点()()1,1f 处的切线方程为220x y --=. （1）求,a b 的值；（2）当1x >时，()0kf x x+<恒成立，求实数k 的取值范围； （3）证明：当n ∈N *，且2n ≥时，22111322ln 23ln 3ln 22n n n n n n--+++>+. 2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二） 数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．9．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭10．8 11．2a 12．4 13．222n n -+141 15．3三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） （1）解：在△ABD 中，1AB AD ==，BD =， ∴222cos 2AB AD BD A AB AD +-=⋅⋅2221112113+-⎝⎭==⨯⨯. ……………4分（2）解：由（1）知，1cos 3A =，且0A <<π，∴sin 3A ==. ……………6分∵D 是边AC 的中点，∴22AC AD ==.在△ABC 中，222222121cos 22123AB AC BC BC A AB AC +-+-===⋅⋅⨯⨯，………8分解得BC =……………10分由正弦定理得，sin sin BC ABA C=， ……………11分∴1sin sin 33AB A C BC ⨯⋅===……………12分 17．（本小题满分12分）(1) 解：由题意，得()0.020.0320.018101x +++⨯=， ……………1分 解得0.03x =. ……………2分 （2）解：50个样本小球重量的平均值为0.2100.32200.3300.184024.6X =⨯+⨯+⨯+⨯=（克）. ……………3分 由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克. ……………4分（3）解：利用样本估计总体，该盒子中小球重量在(]5,15内的概率为0.2，则13,5B ξ⎛⎫⎪⎝⎭.……………5分 ξ的取值为0,1,2,3， ……………6分()30346405125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()2131448155125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()2231412255125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3331135125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. ……………10分 ∴ξ的分布列为：……………11分M O H F E D CBA ∴6448121301231251251251255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………12分 （或者13355E ξ=⨯=）18．（本小题满分14分）（1）证明：取AB 的中点M ，连接EM ，则1AM MB ==，∵EF ∥平面ABCD ，EF ⊂平面ABFE ，平面ABCD 平面ABFE AB =， ∴EF ∥AB ，即EF ∥MB . ……………1分 ∵EF =MB 1=∴四边形EMBF 是平行四边形. ……………2分 ∴EM ∥FB ，EM FB =.在Rt△BFC 中，2224FB FC BC +==，又FB FC =，得FB =∴EM =……………3分在△AME中，AE =1AM =，EM =∴2223AM EM AE +==，∴AM EM ⊥. ……………4分 ∴AM FB ⊥，即AB FB ⊥. ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC ⊥. ……………5分 ∵FB BC B =，FB ⊂平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，∴AB ⊥平面BCF . ……………6分 （2）证法1：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 是AC 的中点， 取BC 的中点H ，连接,OH EO ，FH ，则OH ∥AB ，112OH AB ==. 由（1）知EF ∥AB ，且12EF AB =， ∴EF ∥OH ，且EF OH =. ∴四边形EOHF 是平行四边形.∴EO ∥FH ，且1EO FH == .……………7分由（1）知AB ⊥平面BCF ，又FH ⊂平面BCF ，∴FH AB ⊥. ……………8分 ∵FH BC ⊥，,AB BC B AB =⊂平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴FH ⊥平面ABCD . ……………9分 ∴EO ⊥平面ABCD . ∵AO ⊂平面ABCD ，∴EO ⊥AO . ……………10分 ∵AO BD ⊥，,EO BD O EO =⊂平面EBD ，BD ⊂平面EBD ，∴AO ⊥平面EBD . ……………11分 ∴AEO ∠是直线AE 与平面BDE 所成的角. ……………12分在Rt △AOE中，tan AOAEO EO∠==……………13分 ∴直线AE 与平面BDE. ……………14分 证法2：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 取BC 的中点H ，连接,OH EO ，FH ，则OH ∥AB ，112OH AB ==.由（1）知EF ∥AB ，且12EF AB =， ∴EF ∥OH ，且EF OH =. ∴四边形EOHF 是平行四边形. ∴EO ∥FH ，且1EO FH ==由（1）知AB ⊥平面BCF ，又FH ⊂平面BCF ， ∴FH AB ⊥.∵FH BC ⊥，,AB BC B AB =⊂平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴FH ⊥平面ABCD .∴EO ⊥平面ABCD . ……………8分 以H 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，OH 所在直线为y 轴，HF 所在直线为z 轴， 建立空间直角坐标系H xyz -，则()1,2,0A -，()1,0,0B ，()1,2,0D --，()0,1,1E -. ∴()1,1,1AE =-，()2,2,0BD =--，()1,1,1BE =--. ……………9分 设平面BDE 的法向量为=n (),,x y z ，由n 0BD ⋅=，n 0BE ⋅=， 得220x y --=，0x y z --+=，得0,z x y ==-.令1x =，则平面BDE 的一个法向量为=n ()1,1,0-. ……………10分 设直线AE 与平面BDE 所成角为θ， 则sin θ=cos ,nAE⋅=n AE n AE=. ……………11分∴cos 3θ==，sin tan cos θθθ==……………13分 ∴直线AE 与平面BDE . ……………14分19．（本小题满分14分）（1）解法1：当2n ≥时，()11n n na S n n +=++，()()111n n n a S n n --=+-，……1分 两式相减得()()()11111n n n n na n a S S n n n n +---=-++--， ……………3分 即()112n n n na n a a n +--=+，得12n n a a +-=. ……………5分 当1n =时，21112a S ⨯=+⨯，即212a a -=. ……………6分 ∴数列{}n a 是以10a =为首项，公差为2的等差数列.∴()2122n a n n =-=-. ……………7分 解法2：由()11n n na S n n +=++，得()()11n n n n S S S n n +-=++， ……………1分 整理得，()()111n n nS n S n n +=+++， ……………2分 两边同除以()1n n +得，111n nS S n n+-=+. ……………3分 ∴数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以101S =为首项，公差为1的等差数列. ∴011nS n n n=+-=-. ∴()1n S n n =-. ……………4分当2n ≥时，()()()111222n n n a S S n n n n n -=-=----=-. ……………5分 又10a =适合上式， ……………6分 ∴数列{}n a 的通项公式为22n a n =-. ……………7分 （2）解法1：∵22log log n n a n b +=， ∴221224na n n nb n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅，①()1231442434144n n n T n n -=+⨯+⨯++-⋅+⋅，② ……………11分①-②得0121344444n nn T n --=++++-⋅14414n nn -=-⋅-()13413n n -⋅-=.……………13分∴()131419n n T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分 解法2：∵22log log n n a n b +=，∴221224na n n nb n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅.由()12311n nx x x x x x x x+-++++=≠-， ……………11分两边对x 取导数得，012123n x x x nx -++++=()()12111n n nx n x x +-++-. ………12分 令4x =，得()()0122114243414431419n n n n n n --⎡⎤+⨯+⨯++-⋅+⋅=-⋅+⎣⎦. ……………13分 ∴ ()131419nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分 20．（本小题满分14分）（1）解法1：由题意, 点M 到点F 的距离等于它到直线l 的距离,故点M 的轨迹是以点F 为焦点, l 为准线的抛物线. ……………1分 ∴曲线E 的方程为24x y =. ……………2分解法2：设点M 的坐标为(),x y ,依题意, 得1MF y =+,1y =+, ……………1分化简得24x y =.∴曲线E 的方程为24x y =. ……………2分(2) 解法1: 设点,B C 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，依题意得，2211224,4x y x y ==.由21,4,y kx x y =+⎧⎨=⎩消去y 得2440x kx --=， 解得1,22x k ==±. ∴12124,4x x k x x +==-. ……………3分直线AB 的斜率2111111124224AB x y x k x x --+===--， 故直线AB 的方程为()12124x y x +-=-. ……………4分令1y =-，得1822x x =-+，∴点S 的坐标为182,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………5分 同理可得点T 的坐标为282,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………6分 ∴()()()121212888222222x x ST x x x x -⎛⎫=---= ⎪++++⎝⎭ ()()()121212121288248x x x x x xx x x x k k---===+++. ……………7分∴2ST=()()()2221212122221614k x x x x x x kkk+-+-==. ……………8分设线段ST 的中点坐标为()0,1x -，则()()()12012124418822222222x x x x x x x ++⎛⎫=-+-=- ⎪++++⎝⎭ ()()()1212444444222248k k x x x x k k++=-=-=-+++. ……………9分∴以线段ST 为直径的圆的方程为()2222114x y ST k ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭()2241k k+=.……………10分展开得()()22222414414k x x y k k k++++=-=. ……………11分令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………12分∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分 解法2：由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.设直线AB 的方程为()112y k x -=-，点B 的坐标为()11,x y ，由()112,1,y k x y ⎧-=-⎨=-⎩解得122,1.x k y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴点S 的坐标为122,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. …………3分 由()1212,4,y k x x y ⎧-=-⎨=⎩消去y ，得2114840x k x k -+-=， 即()()12420x x k --+=，解得2x =或142x k =-. ……………4分∴1142x k =-，22111114414y x k k ==-+. ∴点B 的坐标为()211142,441k k k --+. ……………5分同理，设直线AC 的方程为()212y k x -=-， 则点T 的坐标为222,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点C 的坐标为()222242,441k k k --+. …………6分 ∵点,B C 在直线1:1l y kx =+上，∴()()()()()()22222211212121214414414242k k k k kk k k k k k k k -+--+---==----121k k =+-.∴121k k k +=+. ……………7分 又()211144142k k k k -+=-1+，得()21111214442412k k kk k k k k k -=-=+--，化简得122kk k =. ……………8分 设点(),P x y 是以线段ST 为直径的圆上任意一点，则0SP TP ⋅=， ……………9分得()()122222110x x y y k k ⎛⎫⎛⎫-+-++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ……………10分整理得，()224410x x y k+-++=. ……………11分令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………12分∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分21．（本小题满分14分）（1）解：∵()ln f x a x bx =+， ∴()af x b x'=+. ∵直线220x y --=的斜率为12，且过点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭， ……………1分∴()()11,211,2f f ⎧=-⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩即1,21,2b a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得11,2a b ==-. ……………3分（2）解法1：由（1）得()ln 2xf x x =-.当1x >时，()0k f x x +<恒成立，即ln 02x kx x-+<，等价于2ln 2x k x x <-. ……………4分令()2ln 2x g x x x =-，则()()ln 11ln g x x x x x '=-+=--. ……………5分 令()1ln h x x x =--，则()111x h x x x-'=-=.当1x >时，()0h x '>，函数()h x 在()1,+∞上单调递增，故()()10h x h >=.……………6分 从而，当1x >时，()0g x '>，即函数()g x 在()1,+∞上单调递增，故()()112g x g >=. ……………7分 因此，当1x >时，2ln 2x k x x <-恒成立，则12k ≤. ……………8分 ∴所求k 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. ……………9分解法2：由（1）得()ln 2xf x x =-.当1x >时，()0k f x x +<恒成立，即ln 02x kx x-+<恒成立. ……………4分令()ln 2x kg x x x=-+，则()222112222k x x k g x x x x -+'=--=-. 方程2220x x k -+=（﹡）的判别式48k ∆=-.（ⅰ）当0∆<，即12k >时，则1x >时，2220x x k -+>，得()0g x '<，故函数()g x 在()1,+∞上单调递减.由于()()110,2ln 21022kg k g =-+>=-+>， 则当()1,2x ∈时，()0g x >，即ln 02x kx x-+>，与题设矛盾. …………5分（ⅱ）当0∆=，即12k =时，则1x >时，()()2222121022x x x g x x x --+'=-=-<. 故函数()g x 在()1,+∞上单调递减，则()()10g x g <=，符合题意. ………6分(ⅲ) 当0∆>，即12k <时，方程（﹡）的两根为1211,11x x ==>， 则()21,x x ∈时，()0g x '>，()2,x x ∈+∞时，()0g x '<.故函数()g x 在()21,x 上单调递增，在()2,x +∞上单调递减， 从而，函数()g x 在()1,+∞上的最大值为()2222ln 2x kg x x x =-+. ………7分 而()2222ln 2x k g x x x =-+2221ln 22x x x <-+， 由（ⅱ）知，当1x >时，1ln 022x x x-+<，得2221ln 022x x x -+<，从而()20g x <. 故当1x >时，()()20g x g x ≤<，符合题意. ……………8分 综上所述，k 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. ……………9分（3）证明：由（2）得，当1x >时，1ln 022x x x-+<，可化为21ln 2x x x -<， …10分 又ln 0x x >，从而，21211ln 111x x x x x >=---+. ……………11分 把2,3,4,,x n =分别代入上面不等式，并相加得， 11111111111112ln 23ln 3ln 32435211n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++>-+-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭……………12分111121n n =+--+ ……………13分 223222n n n n--=+. ……………14分。
广东省深圳实验、珠海一中等六校2019届高三第二次联考 数学理试题(含详细答案)
广东省六校（广州二中，深圳实验，珠海一中，中山纪念，东莞中学，惠州一中）2019届高三第二次联考试题理科数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。
2．作答选择题时，选出每个小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。
3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.（1）已知复数∈+=a ai z (21R )，i z 212-=（i 为虚数单位），若21z z 为纯虚数，则a =( ) A.1 B ．5 C ．2 D ．3（2）设全集{}55U x x =-<<，集合{}2450A x x x =--<，集合{}B 24x x =-<<，则(A B)UC ⋃=（ ） A. B. C. D.（3）中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，请问此人第5天走的路程为（ ）A ．36里 B.24里 C.18里 D. 12里（4）函数3sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调递增区间是（ ） A ．2,2,22k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ B ． 511,,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦C ．5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ D ．32,2,22k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ (5) 下列有关命题的说法中错误的是( )A ．若p q ∨为真命题，则,p q 中至少有一个为真命题.B.命题：“若()y f x =是幂函数，则()y f x =的图象不经过第四象限”的否命题是假命题.C ．命题“n N *∀∈，有()f n N *∈且()f n n ≤”的否定形式是“0n N *∃∈，有0()f n N *∈ 且00()f n n >”.D ．若直线,m n 和平面α，满足,m n αα⊄⊂.则“//m n ” 是“//m α”的充分不必要条件.(6)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A.32163π- B.16163π- C.3283π- D.1683π-(7)如图所示，在△ABC 中，AD=DB ，点F 在线段CD 上，设=，=,AF xa yb =+u u u r r r，则错误！未找到引用源。
广东省深圳实验、珠海一中等六校2019届高三数学第二次联考试题文(含解析)
广东省深圳实验、珠海一中等六校2019届高三数学第二次联考试题文（含解析）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1.设集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意得，∴．选D．2.已知复数满足，（为的共轭复数）.下列选项（选项中的为虚数单位）中（）.A. B. C. 或 D. 或【答案】C【解析】设，则，，所以，得，所以或.本题选择C选项.3.已知，则( )A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得：本题选择A选项.4.等差数列中，，则其前项和取最大值时的值为（）A. 503B. 504C. 503或504D. 505【答案】C【解析】【分析】题目所给数列为等差数列，故将所给的两个条件都转化为的形式，解方程组解出，然后利用通项大于或等于零，求得最大时的值.【详解】由于数列为等差数列，故，解得，故，当时，解得，故当或时，取得最大值.故选C.【点睛】本小题主要考查等差数列的通项公式以及前项和公式.在求解等差数列通项的过程中，首先明确题目给定的数列是等差数列还是等比数列，若是等差数列，则将已知条件转化为和的形式，若是等比数列，则将已知条件转化为和的形式，然后通过解方程组求得对应的首项和公差或者首项和公比，由此求得数列的通项公式.5.下列命题中，为真命题的是（）A. ，使得B.C. D. ，是的充分不必要条件【答案】D【解析】【分析】对于A,C两个选项，利用指数函数和幂函数的性质进行排除，对于B选项，利用基本不等式的知识进行排除.对于D选项，利用不等式的性质和充要条件的知识来说明.【详解】对于A选项，由于对任意的实数都成立，故A选项错误.对于B选项，当时，不等式不成立.当时，，故C选项错误.根据不等式的性质，当时，，反过来不一定，故D选项正确.故选D.【点睛】本小题主要考查指数函数和幂函数的图像与性质，考查基本不等式使用的条件：一正二定三相等，考查全称命题与特称命题，考查充要条件的判断以及不等式的性质等知识，属于中档题.6.四边形和均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线与所成的角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】画出图像，将两条异面直线平移到一起，然后利用三角形的知识求得两条异面直线所成的角. 【详解】画出图像如下图所示，将平移到的位置，连接，则角即是两条异面直线所成的角.由于三角形为等边三角形，故两条异面直线所成的角为.故选C.【点睛】本小题主要考查空间两条异面直线所成的角.要求空间两条异面直线所成的角，需要通过平移，将两条异面直线平移到有一个公共顶点的三角形内，然后通过解三角形求得异面直线所成的角.将异面直线平移的主要方法是通过平行四边形平移，或者通过中位线平移，或者通过面面平行来平移.7.已知满足，则的最大值为（）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】A【解析】【分析】画出可行域，通过平移到边界位置，由此求得目标函数的最大值.【详解】画出可行域如下图所示，通过平移到点的位置，此时截距取得最大值，也即目标函数取得最大值为.故选A.【点睛】本小题主要考查线性规划知识，目标函数是线性型的.画出可行域后，平移目标函数到边界位置来取得最值.属于基础题.8.已知菱形的边长为2，，点满足，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将两个向量，用表示，再根据向量数量积的运算，列方程，解方程求得的值.【详解】依题意,.故选A.【点睛】本小题主要考查平面向量的数量积运算，考查平面向量的加法和减法的运算，还考查了化归与转化的数学思想方法.属于中档题.9.已知函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A. 函数的周期为B. 函数为偶函数C. 函数在上单调递增D. 函数的图象关于点对称【答案】C【解析】【分析】根据三角函数的最低点求得，再结合图像过和这两个点，可求得的解析式，然后对选项逐一进行判断和排除，从而得出正确选项.【详解】由于三角函数图像最小值为，故.，将点代入，解得，，再将代入，解得，故.函数的周期为，所以A选项错误. 为奇函数，故B选项错误.，故D选项错误.所以选C.【点睛】本小题主要考查利用三角函数的图像，求三角函数的解析式，并利用解析式求三角函数的最小正周期、单调区间等问题，综合性较强，属于中档题.10.已知双曲线的离心率为2，左右焦点分别为，点在双曲线上，若的周长为，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据离心率可得，根据双曲线的定义和三角形的周长，列方程组求得三角形的三条边长，然后利用勾股定理算出高，再用三角形面积公式计算出面积.【详解】根据离心率得，即，根据双曲线的定义，有，根据三角形的周长有，故，故三角形的高为，故面积为.故选B.【点睛】本小题主要考查双曲线的定义、双曲线的离心率和焦点三角形的面积.离心率在本题中的作用是将转化为的形式.在解答过程中，主要是方程的数学思想方法，利用双曲线的定义，得到一个方程，再利用题目所给的周长这个条件，又列出另一个方程，根据这两个方程可以求解出三角形的边长.11.在正方体中，点是侧面内的一动点，若点到直线与到直线的距离相等，则动点的轨迹所在的曲线是（）A. 直线B. 圆C. 双曲线D. 抛物线【答案】D【解析】【分析】由于到直线的距离，也即是的长度.由此将问题转化为到直线的距离和到点的距离相等，符合抛物线的定义.由此得出选项.【详解】画出图像如下图所示，由于到直线的距离，也即是的长度.由此将问题转化为到直线的距离和到点的距离相等，这恰好是抛物线的定义，故选D.【点睛】本小题主要考查空间点到直线的距离，考查圆锥曲线的定义，主要是抛物线的定义，属于基础题.12.设函数，直线是曲线的切线，则的最小值是（）A. B. 1 C. D.【答案】C【解析】分析：设切点是，求出切线方程，可得，利用导数研究函数的单调性，根据单调性求出的最小值即可的结果.详解：设切点是，由是切线斜率，切线方程为，整理得，，记，当，递减；当，递增；故，即的最小值是故选C.点睛：本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及利用导数研究函数的单调性与最值，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分。
2019年广东省珠海一中等六校高三第二次联考数学理试题
高考数学精品复习资料2019.5启用前：绝密广东六校联盟第二次联考试题数学（理科）（满分150分） 考试时间：120分钟一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题只有一个正确答案，请把正确答案填涂在答题卡相应位置）1．已知集合1{|()1}2xA x =<,{|1}B x x =<,则AB =A. ΦB. RC. (0，1)D. (-∞，1) 2． 命题：“x ∃∈R ，0x ≤”的否定是A. x ∃∈R ，||0x >B. x ∀∈R ，||0x >C. x ∃∈R ，0x <D. x ∀∈R ，||0x <3．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知7S =49，则26,a a 的等差中项是 A.492 B. 7 C. 7± D. 724．函数2()x f x e =在点(0，1)处的切线的斜率是A. 2eB. eC. 2D. 1 5. 已知等边ABC ∆的边长为1，则=⋅A ．21-B ．23-C ．21D ．236. 已知角α终边上一点P 的坐标是)3cos 2,3sin 2(--，则=αsinA. cos3-B. cos3C. sin 3-D. sin 37．数列}{n a 中，d qa a p a n n +==+11,(n ∈N *，d q p ,,是常数)，则0=d 是数列}{n a 成等比数列的A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.不充分也不必要条件8. 已知向量,OA OB 不共线，向量=OC xOA yOB +，则下列命题正确的是 A. 若y x +为定值，则C B A 、、三点共线.B. 若y x =，则点C 在AOB ∠的平分线所在直线上.C. 若点C 为AOB ∆的重心，则1=3x y +.D. 若点C 在AOB ∆的内部（不含边界），则01011x y x y <<⎧⎪<<⎨⎪+<⎩.二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共计30分.）9．已知函数()=2ln sin f x x x +，则()2f π'＝ ．10. 已知函数3()=2f x x m +-是定义在[,4]n n +上的奇函数，则m n +11. 右图是函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象，则 12．0-=⎰.13. 已知1a b c >>>，且a b c ，，依次成等比数列，设=log log log a b c m b n c p a ==，，，则m n p ，，这三个数的大小关系为 .14.给出下列命题：(1)设21e e 、是两个单位向量，它们的夹角是60，则=+-⋅-)23()2(2121e e e e 29-； (2)已知函数22log (1)()+1 (1)x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩，若函数()y f x m =-有3个零点，则0<m <1；(3)已知函数()12-=xx f 的定义域和值域都是[]()a b b a >,，则a b +＝1；(4)定义在R 上的函数()f x 满足(2)[1()]1()(1)2f x f x f x f +⋅-=+-=，2f . 其中，正确命题的序号为 .参考答案1、C ；2、B ；3、B ；4、C ；5、A ；6、A ；7、D ；8、D9、4π；10、0；11、6π；123π；13、p m n >>；14、(1)(2)(3) 三、解答题（本大题共六个小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤）15.（本小题满分12分）在ABC ∆中，设角C B A ，，的对边分别为c b a ，，，且2cos 2a C b c =-． （1）求角A 的大小；（2）若a ，4b =，求边c 的大小．解：(1)因为2cos 2a C b c =-，所以 C B C A s i n s i n 2c o s s i n 2-= ()C C A sin sin 2-+=C C A C A sin )sin cos cos (sin 2-+= ………………………………4分即C A C sin cos 2sin =，又因为π<<C 0，所以0sin ≠C ， 所以21cos =A ， 又因为π<<A 0 所以3π=A ． ………………………………8分(2) 因为A bc c b a cos 2222-+=，即221164c c =+-所以2450c c --=，解得1c =-（舍），5c =． ………………………………12分16.（本小题满分12分）已知正项等比数列}{n a 中，11=a ，且2313,,2a a a 成等差数列. (1)求数列}{n a 的通项公式；(2)设n n a n b ⋅-=)12(，求数列}{n b 的前n 项和n T . 解：设等比数列{}n a 的公比为q ，由2313,,2a a a 成等差数列知，321232a a a =+，∴02322=--q q ∵0>n a ∴2=q ………………………………4分(1)∵11=a ∴*)(21N n a n n ∈=- ………………………………6分 (2)∵n n a n b ⋅-=)12(，*)(21N n a n n ∈=-∴.2)12(2523112-⨯-++⨯+⨯+=n n n T∴.2)12(2)32(2523212132nn n n n T ⨯-+⨯-++⨯+⨯+⨯=- ……………8分 ∴.2)12()2222(21132nn n n T ⨯--+++++=--.32)32(2)12(322)12(21)21(22111-⨯--=⨯---=⨯----⋅+=+-n nn nn n n n∴*).(32)32(N n n T nn ∈+⨯-= ………………………………12分17．（本小题满分14分） 已知函数1sin 2)62sin()62sin()(2-+-++=x x x x f ππ．（1）求()3f π的值；（2）求函数()f x 的最小正周期和单调增区间；（3）说明()y f x =的图像是如何由函数sin y x =的图像变换所得. 17．解： ∵1sin 2)62sin()62sin()(2-+-++=x x x x f ππx x x 2cos )62sin()62sin(--++=ππ x x 2cos 2sin 3-= )62sin(2π-=x ………………………4分（1） ()=2sin232f ππ= ………………………6分（2） ()f x 的最小正周期为22ππ= ………………………8分 当222262k x k πππππ-≤-≤+(k ∈Z )，即63k x k ππππ-≤≤+(k ∈Z )时，函数()f x 单调递增，故所求单调增区间为每一个[,]63k k ππππ-+(k ∈Z ). ………………………11分 （3）解法1：把函数sin y x =的图像上每一点的向右平移6π个单位， 再把所得图像上的每一点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)， 再把所得图像上的每一点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，就得到函数()y f x =的图像. .………………………14分 解法2：把函数sin y x =的图像上每一点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)， 再把所得图像上的每一点的向右平移12π个单位， 再把所得图像上的每一点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，就得到函数()y f x =的图像. .………………………14分18.（本小题满分14分）已知数列{}n a 的首项1a a =，其前n 和为n S ，且满足21)1(3+=++n S S n n (n ∈N *)．(1)用a 表示2a 的值； (2)求数列{}n a 的通项公式；(3)对任意的n ∈N *，1n n a a +>，求实数a 的取值范围．解析：(1)由条件1=n 得12121=++a a a ， a a 2122-=. ………………………2分(2)由条件21)1(3+=++n S S n n 得，213(2)n n S S n n -+=≥ ………………………3分两式相减得361+=++n a a n n (2)n ≥， 解法1：故9612+=+++n a a n n ，两式再相减得62=-+n n a a (2)n ≥，，，，642a a a ∴构成以2a 为首项，公差为6的等差数列；，，，753a a a 构成以3a 为首项，公差为6的等差数列；………………………………5分 由(1)得a n a n 2662-+=；由条件2=n 得2721321=++++a a a a a ，得a a 233+=， 从而a n a n 23612+-=+，∴,13(62)(1)2n na n a n a n =⎧=⎨+--≥⎩， ………………………………9分 解法2：设1(1)()n n a x n y a xn y ++++=-++，即122n n a a xn y x +=----则263230x x y x y -==-⎧⎧⇒⎨⎨--==⎩⎩∴有13(1)(3)n n a n a n +-+=--∴2n ≥时，223(6)(1)n n a n a --=-⋅-，即23(62)(1)n n a n a -=+-⋅-∴2,13(62)(1)2n n a n a n a n -=⎧=⎨+--≥⎩， ………………………………9分(3)对任意的n ∈N*，1n n a a +>，当1n =时，由21a a >，有32(62)a a ⨯+->得4a <………①； 当2n ≥时，由1n n a a +>，有123(1)(62)(1)3(62)(1)n n n a n a --++-⋅->+-⋅-，即123(62)(1)(62)(1)n n a a --+-⋅->-⋅-若n 为偶数，则3(62)62a a -->-得94a >………②；若n 为奇数，则3(62)(62)a a +->--得154a <………③.由①、②、③得 41549<<a . …………………………………………14分19.（本小题满分14分）已知函数d cx bx x x f ++-=2331)(，设曲线)(x f y =过点(30)，，且在点(30)，处的切线的斜率等于4，)(x f y '=为)(x f 的导函数，满足)()2(x f x f '=-'．（1）求)(x f ； （2）设)()(x f xx g '=，0m >，求函数)(x g 在]0[m ，上的最大值；（3）设t x x f x h )12()()(++'=，若4)(<x h 对[0,1]t ∈恒成立，求实数x 的取值范围． 解：（1）求导可得c bx x x f +-='2)(2 ………………………………………1分 ∵)()2(x f x f '=-'， ∴)(x f '的图像关于直线1=x 对称，∴1=b ……………2分 又由已知有：4)3('0)3(==f f ，∴31-==d c ， ………………………………4分∴331)(23-+-=x x x x f ………………………………………5分 （2）22()21(1)f x x x x '=-+=-，22,1,()1, 1.x x x g x x x x x x ⎧-≥⎪==-=⎨-<⎪⎩ ………………………………………7分 其图像如图所示． 当214x x -=时，12x ±=，根据图像得： （ⅰ）当102m <≤时，()g x 最大值为2m m -；（ⅱ）当12m <≤()g x 最大值为14；（ⅲ）当12m >时，()g x 最大值为2m m -．（3）t x x t x x f x h )12()1()12()()(2++-=++'=，记4)1()12()(2--++=x t x t g ，有 …………………………………………11分 当[0,1]t ∈时，4)(<x h ⇔04)1()12()(2<--++=x t x t g ，∴只要21223104)1(1204)1(0)1(0)0(22<<-⇔⎩⎨⎧<<-<<-⇔⎪⎩⎪⎨⎧<--++<--⇔⎩⎨⎧<<x x x x x x g g ， ∴实数x的取值范围为1x -<< …………………………………………14分20.（本小题满分14分）设函数2()ln (,f x a x x bx a b =++∈R ,0)a ≠，且1x =为()f x 的极值点． （1）当1a =时，求()f x 的单调递减区间； （2）若()0f x =恰有两解，试求实数a 的取值范围；（3）在（1）的条件下，设2()(1)2g x f x x x =+-++，证明：2*1135(N )()(1)(2)nk n nn g k n n =+>∈++∑． 解：由已知求导得：()2af x x b x '=++，1x =为()f x 的极值点，(1)0f '∴=， 20a b ++=． ………………2分 （1）当1a =时，3b =-，进而21231(21)(1)()23x x x x f x x x x x-+--'=+-==， 函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()f x ∴的单调减区间为1(,1)2． ………………………………4分（2）由20a b ++=，得2b a =--，则2()ln (2)f x a x x a x =+-+ ，(0)x >，(2)(1)()2(2)a x a x f x x a x x--'=+-+=，(0)x >， （ⅰ）当0a <时，()f x 在(0,1)递减，在(1,)+∞递增，则()f x 的极小值为(1)f ，ln 1x x ≤-，22()(1)(2)2f x a x x a x x x a ∴≥-+-+=--，则当x →+∞时，()f x →+∞，又当0x +→时，()f x →+∞， ∴要使()0f x =恰有两解，须(1)0f <，即1a >-． 因此，当10a -<<时，()0f x =恰有两解．（ⅱ）当02a <<时，()f x 在(0,)2a 、(1,)+∞递增，在(,1)2a递减，则()f x 的极大值为()2af ，()f x 的极小值为(1)f ．2222()ln ()(1)()(8)22422424a a a a a a a af a a a a a =+-+≤-+-+=-， ∴当02a <<时，()02af <，此时()0f x =不可能恰有两解．（ⅲ）当2a >时，()f x 在(0,1)、(,)2a+∞递增，在(1,)2a 递减，则()f x 的极大值为(1)f ，()f x 的极小值为()2af ．(1)10f a =--<，∴当2a >时，()0f x =不可能恰有两解．（ⅳ）当2a =时，()f x 在(0,)+∞单调递增，()0f x =不可能恰有两解．综合可得，若()0f x =恰有两解，则实数a 的取值范围是10a -<<． ………………9分 （3）当1a =时，2()(1)2ln(1)g x f x x x x =+-++=+，即证：21135ln(1)(1)(2)nk n nk n n =+>+++∑．（方法一）先证明：当2x ≥时，21ln (1)4x x <-．设21()ln (1)4h x x x =--， 212()22x x h x x x -'=-=，当2x ≥时，()0h x '<，则()h x 在(2,)+∞递减，()(2)h x h ≤，316e >，3ln164ln2∴>=，即3ln 24<， 3(2)ln 204h ∴=-<，()0h x ∴<，即21ln (1)4x x <-．14112()ln (1)(1)11x x x x x ∴>=--+-+． 令1x k =+，得1112()ln(1)2k k k >-++， 则211111111352()2(1)ln(1)2212(1)(2)nnk k n nk k k n n n n ==+>-=+--=++++++∑∑． …………14分（方法二）数学归纳法：1.当1n =时，左边=1ln 2，右边=43，316e >，3ln164ln2∴>=， 14ln 23∴>，即1n =时，命题成立． 2.设n k =时，命题成立，即211135ln 2ln 3ln(1)(1)(2)k k k k k ++++>+++． 当1n k =+时，左边=21111351ln 2ln3ln(1)ln(2)(1)(2)ln(2)k k k k k k k +++++>++++++ 右边=223(1)5(1)3118(2)(3)(2)(3)k k k k k k k k +++++=++++，要证223513118(1)(2)ln(2)(2)(3)k k k k k k k k k ++++>+++++，即证221311835ln(2)(2)(3)(1)(2)k k k kk k k k k +++>-+++++，即证14ln(2)(1)(3)k k k >+++，也即证1ln(2)(1)(3)4k k k +<++．令2k x +=，即证：21ln (1)4x x <-，（证法见方法一）因此，由数学归纳法可得命题成立． …………………………………………14分。
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广东省2019届高三六校第二次联考
数学（理科）
命题：广州二中高三数学备课组
2018-11-2
本试卷共4页，20小题，满分150分．考试用时120分钟．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则集合
A．B．C．D．
2．若，则下列结论不．正确
．．的是
A．B．C．D．
3．函数，已知的两个极值点为，，则
A．B．C．D．
4．设，，则函数的最大值为A．B．C．D．
5．函数对于任意实数满足条件，若，则
A．B．C．D．
6．如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，D在边AC上，已知BC＝2，CD＝1，∠ABD＝45°，则AD＝A．2 B．5 C．4 D．1
7．在平面直角坐标系中，不等式组（为常数）表示的平面区域的面积是4，则的最小值为
A．B．C．D．
8．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则将某些数染成红色．先染1，再染2个偶数2、4；再染4后面最邻近的3个连续奇数5、7、9；再染9后面最邻近的4个连续偶数10、
12、14、16；再染16后面最邻近的5个连续奇数17、19、21、23、25．按此规则一直染
下去，得到一红色子数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，…．则在这个红色子数列中，由1开始的第2019个数是
A．3948 B．3953 C．3955 D．3958
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．
9．已知数列为等差数列，且，则____________．
10．在中，角，，所对的边分别是，，，若，且，则的面积等于____________．
11．方程在上有解，则的取值范围是____________．
12．设曲线在点（1，1）处的切线与轴的交点的横坐标为，令，则的值为____________．
13．设函数，[]表示不超过的最大整数，则函数[]的值域是____________．
14．若定义在区间上的函数对上的任意个值，，…，，总满足
≤，则称为上的凸函数．已知函数在区间上是“凸函数”，则在△中，的最大值是____________．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．15．（本小题满分12分）
已知向量，，函数．
（1）求函数的最小正周期和值域；
（2）在中，分别是角的对边，且，，，且，求的值．
16．（本小题满分12分）
数列的前项和为，数列满足，且，．（1）求，的表达式；
（2）设，求数列的前项和．
17．（本小题满分14分）
某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交元（）的管理费，预计当每件产品的售价为元（）时，一年的销售量为
万件．
（1）求分公司一年的利润（万元）与每件产品的售价的函数关系式；
（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润最大，并求出的最大值．
18．（本小题满分14分）
已知，若在区间上的最大值为，最小值为
，令．
（1）求的函数表达式；
（2）判断的单调性，并求出的最小值．
19．（本小题满分14分）
已知函数，其中，为参数，且．（1）当时，判断函数是否有极值；
（2）要使函数的极小值大于零，求参数的取值范围；
（3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数，函数在区间内都是增函数，求实数的取值范围．
20．（本小题满分14分）
已知，．
（1）若恒成立，求的取值范围；
（2）若，且，求证：．
广东省2019届高三六校第二次联考
数学（理科）参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．A 2．C 3．D 4．D 5．D 6．B 7．D 8．C
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．
9．10．11．
12．13．14．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．15．（本小题满分12分）
解：（1）
………………3分∴函数的最小周期,值域为………………5分
（2）………………6分
是三角形内角
∴，∴即：………………8分∴即：………………10分
将可得：解之得：
∴
∴，………………12分16．（本小题满分12分）
解：（1）………………2分
当时，，所以………………3分
………………4分
成等比数列,且首项,公比………………5分
,………………6分（2），………………7分令，
记
则
相减，故
………………10分
故………………12分17．（本小题满分14分）
解：（1）分公司一年的利润（万元）与售价的函数关系式为：
………………4分（2）
………………5分令得或（不合题意，舍去）．………………6分
，．
在两侧的值由正变负．………………8分
所以（a）当即时，
．………………10分（b）当即时，
，……12分
所以………………13分
答：若，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润最大，最大值
（万元）；若，则当每件售价为元时，分公司一年的利润最大，最大值（万元）．………………14分18．（本小题满分14分）
19．（本小题满分14分）
解：（I）当时则在内是增函数，故无极值。
(2分)
（II）
令得4分由及（I），只需考虑的情况。
当变化时，的符号及的变化情况如下表：
6分
因此，函数在处取得极小值且
要使必有可得所以8分（III）解：由（II）知，函数在区间与内都是增函数。
由题设，函数在内是增函数，则须满足不等式组
或12分由（II），参数时，要使不等式关于参数恒成立，必有
综上，解得或所以的取值范围是14分20．（本小题满分14分）
(2)解法二（用数学归纳法证明）：
i) 当n=2时，
ii) 假设n=k(k>1)时，不等式成立，即
成立则n=k+1时，不等式左边＝
（只需证<0即）。