(完整版)高二数学不等式练习题及答案(经典)
高二数学不等式试题答案及解析
高二数学不等式试题答案及解析1.不等式的解集是（）A．B．C． R D．【答案】A【解析】因为不等式，可知其解集为，选A.2.是否存在常数c,使得不等式对任意正数x, y恒成立？试证明你的结论.【答案】存在，【解析】主要考查不等关系与基本不等式。
解：当时，由不等式可得。
下面先证。
，此不等式显然成立。
再证。
，此不等式显然成立。
综上可知，存在常熟，使对任意正数x, y恒成立。
3.不等式的解集为（）A．（0，2）B．（—2，0）∪（2，4）C．（—4，0）D．（—4，-2）∪（0，2）【答案】D【解析】不等式等价于所以,所以不等式的解集为（—4，-2）∪（0，2）.4.已知集合，，则=（）A．B．C．D．【答案】B【解析】主要考查集合的运算及一元二次不等式解法。
解：因为，所以==，故选B。
5.不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】主要考查一元二次不等式解法。
解：可化为，即，所以不等式的解集为，故选C。
6.不等式的解集为（）A．B．R C．D．【答案】D【解析】主要考查一元二次不等式解法。
解：可化为，而平方数不小于0，所以不等式的解集为，故选D。
7.不等式的解集为（）A．B．R C．D．【答案】A【解析】主要考查一元二次不等式解法。
解：因为判别式1－8<0,所以不等式的解集为，故选A。
8.已知f(x）＝（）()＋2，且是、方程f()＝0的两根，则的大小关系是（）A．a＜＜b＜B．a＜＜＜bC．＜a＜b＜D．＜a＜＜b【答案】B【解析】主要考查二次函数图象、一元二次方程的关系。
解：设g（x）=（x-a）（x-b），从条件中得到f（x）的图象可看成是由g（x）的图象向上平移2个单位得到，然后结合图象判定实数α，β、a、b的大小关系.分别画出这两个函数的图象，其中f（x）的图象可看成是由g（x）的图象向上平移2个单位得到，由图可知：a＜α＜β＜b．故选B.注：本题应首先规定a＜b ，＜。
9.为何值时，方程的两个根都是正数．【答案】0＜m≤1【解析】主要考查一元二次方程根与系数的关系及一元二次不等式解法。
高二数学不等式试题答案及解析
高二数学不等式试题答案及解析1.平面∩平面=，直线l∥，l∥，则A．∥l B．⊥l C．m与l异面D．m与l相交【答案】A【解析】，则存在有，同理可得存在有，所以，从而可得。
因为，所以，从而，故选A2.若变量满足约束条件：，则的最大值为．【答案】4【解析】约束条件为一个三角形ABC及其内部，其中,因此直线过点时取最大值4．【考点】线性规划3.（本小题满分10分）已知命题对于，不等式恒成立，命题不等式有解，若为真，且为假，求实数的取值范围．【答案】【解析】由为真，且为假，则、一真一假，先分别计算、为真时的取值范围，再分别讨论当p真q假、p假q时，m取值范围．试题解析：∵，∴．∵对于，不等式≤恒成立，可得≤2，∴p：-1≤m≤3．又命题：等式有解，∴ Δ=m2-4m>0，解得．∵ p∨q为真，且p∧q为假，∴ p与q必有一真一假．当p真q假时，有即0≤m≤3；当p假q真时，有即m<-1或m>4．综上，实数m的取值范围是．【考点】1．命题；2．逻辑联结词；3．一元二次不等式的解法；4．绝对值不等式的解法；4.已知，且，则的最小值是 .【答案】【解析】由题意，由及均值不等式可得最小值为.【考点】均值不等式.5.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知a＋b＝1，对，b∈（0，＋∞），＋≥｜2x－1｜－｜x＋1｜恒成立，（Ⅰ）求＋的最小值；（Ⅱ）求x的取值范围。
【答案】（Ⅰ）9；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）∵且，∴，当且仅当，即，时，取最小值9．（Ⅱ）因为对，使恒成立，所以，当时，不等式化为，解得；当时，不等式化为，解得；当时，不等式化为，解得；∴的取值范围为．【考点】1．基本不等式；2．绝对值不等式的解法；3．分类讨论．6.已知实数x，y满足条件，那么2x﹣y的最大值为______．【答案】1【解析】不等式组表示的平面区域为三角形ABC及其内部．可知B（0，-1）目标函数z=2x﹣y 可看作是函数y=2x-z的图像在y轴上的截距的相反数，显然，当子痫过点B时截距最小，z值最大，且最大值为1．【考点】线性规划求目标函数的最值．7.不等式x2+3x﹣4＜0的解集为（）A．x|x＜﹣1，或x＞4}B．{x|﹣4＜x＜1}C．{x|x＜﹣4，或x＞1}D．{x|﹣3＜x＜0}【答案】B【解析】x2+3x﹣4＜0，即（x-1）（x+4）<0所以，解得-4<x<1，故选B．【考点】解一元二次不等式．8.已知变量满足约束条件1≤≤4,－2≤≤2。
(完整word版)高二数学必修五不等式测试题(含答案).docx
不等式测试题一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。
） 1. 设 a<b<0，则下列不等式中不能成立的是 ( )1 1１ 1 C ． a > b2 2A ．a >bB ．a-b ＞a D ．a >b2. 设 a, b R ，若 a | b | 0 ，则下列不等式中正确的是 ()A ． b a 0B ． a 3 b 3C ． a 2 b 2 0D ． b a 03. 如果正数 a ，b ，c ， d 满足 a b cd 4 ，那么（） A ． ab ≤ cd ，且等号成立时 a ，b ，c ， d 的取值唯一 B ． ab ≥ cd ，且等号成立时 a ，b ，c ， d 的取值唯一C ． ab ≤ cd ，且等号成立时 a ，b ，c ， d 的取值不唯一 D ． ab ≥ cd ，且等号成立时 a ，b ，c ， d 的取值不唯一 4. 已知直角三角形的周长为2，则它的最大面积为（ ）A ．3－2 2B ．3＋2 2C ．3－ 2D ．3＋ 25. 已知 a0, b 0，则112 ab 的最小值是（）a 2 b．．A ．2B ．24D 5C6. 若 0 a a ,0 b b , 且a a b b1，则下列代数式中值最大的是（）121212 12A ． ab abB ． aabbC ． ababD ．11 12 21 21 21 22 128sin 2 x 的最小值为（7. 当 0<x< 时，函数 f( x)=1cos2x）2sin 2xA.2B.2 3C.4D.4 3 8. 下列不等式中，与不等式“ x<3”同解的是（ ）A ．x( x+4) 2＜3( x+4) 2B ．x( x-4) 2＜3( x-4) 2C ．x+ x-4 ＜ 3+ x-4D ．x+ 1 ＜3+ 1x 2x 22x 1-2 x 1 9. 关于 x 的不等式 (x-2)(ax-2) ＞0 的解集为｛ x ︱x ≠2,x ∈R ｝，则 a=( )A ． 2B ．-2C ．-1D ． 1 10. 不等式∣ x 2-x-6 ∣ >∣3-x ∣的解集是（ ）A ．（3，+∞）B ．( －∞， -3) ∪（ 3，+∞）C ． ( －∞，－ 3) ∪（－ 1，+∞）D ．( －∞，－ 3) ∪（－ 1，3）∪（ 3， +∞）11. 设 y=x 2+2x+5+x 21 5 ，则此函数的最小值为（）2x1726A ． 4B ．2C． 5D ．以上均不对12. 若方程 x 2 －2x ＋ lg(2a 2－a)=0 有两异号实根，则实数 a 的取值范围是（）11 A ．(2 ，+∞) ∪( －∞， 0)B ．(0 ，2 )1 11C ．( －2 ，0) ∪( 2 ，1) D．( －1，0) ∪( 2 ，+∞) 二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
高二数学不等式试题答案及解析
高二数学不等式试题答案及解析1.解关于的不等式:＜.【答案】【解析】＜即。
所以，【考点】含参数一元二次不等式的解法。
点评：中档题，含参数一元二次不等式的求解，首先应考虑因式分解法，讨论根的大小，写出解集。
2.若、为实数，则下面一定成立的是（）A．若,则B．若,则C．若,则D．若,则【答案】C【解析】A错误。
例如：B错误。
例如：C正确。
D错误。
例如：故选C3.设的最小值是（）A．10B．C．D．【答案】D【解析】试题分析:，当且仅当时，所求最小值为，故选.【考点】基本不等式.4.设变量满足约束条件则的取值范围为（）A．[2，8]B．[0，8]C．[4，8]D．[0，4]【答案】B【解析】由约束条件画出可行域如图所示，在出取得最大值8，最小值为0，故选B。
【考点】线性规划5.给出下列四个命题：①若a<b，则a2<b2；②若a≥b>－1，则；③若正整数m和n满足m<n，则；④若x>0，且x≠1，则lnx＋≥2．其中真命题的序号是________．（请把真命题的序号都填上）【答案】②③【解析】选项①：若，则，故选项①错的；选项②：设，，所以函数在上单调递增，因为，所以，故选项②正确；选项③：，当且仅当，即时等号成立，故选项③正确；选项④：当时，，则，故选项④错误，故正确的是②③．【考点】命题的真假判断．6.设均为正实数，则三个数（）．A．都大于2B．都小于2C．至少有一个不大于2D．至少有一个不小于2【答案】D【解析】假设三个数都小于2，所以，事实上，与假设矛盾，因此假设不成立，三个数至少有一个不小于2【考点】反证法7.（本小题满分12分）（1）解关于的不等式（2）设常数，若对一切正实数成立，求的取值范围。
【答案】（1）当时，不等式的解集为,当时,不等式的解集为当时，此时不等式的解集为。
当时，不等式的解集为。
（2）【解析】（1）含参数分不等式求解，常常涉及到讨论。
一般情况，以二次项系数的正负和一元二次方程等于零时的两根大小为分类标准，对待每一种分类均可视为常数题目对待即可；（2）恒成立问题求参数范围，常常转化为最值计算问题。
高中数学不等式练习题及参考答案2023
高中数学不等式练习题及参考答案2023不等式是高中数学中重要的概念之一，也是很多考试中必考的内容。
为帮助大家复习巩固，本文整理了十道高中数学不等式练习题及参考答案，供大家练习参考。
1. 已知 $x>0$，求证：$\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}>1$【参考答案】$\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}=\frac{1}{1+x}+\frac{x}{x+1}=\frac{x+1}{x+1}=1$。
2. 解不等式 $\frac{2-x}{x+1}\geq 1$。
【参考答案】$\frac{2-x}{x+1}\geq 1$，移项得 $\frac{1-x}{x+1}\geq 0$，即$\frac{x-1}{x+1}\leq 0$。
因此，$x\in(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)$。
3. 解不等式 $\log_{\frac{1}{2}}(x^2-3x+2)<2$。
【参考答案】$\log_{\frac{1}{2}}(x^2-3x+2)<2$，移项得 $x^2-3x+2>4$。
解得 $x\in(-\infty,1)\cup(3,+\infty)$。
4. 已知 $a+b=1$，$a>0$，$b>0$，求证：$a\cdot\log_{\frac{1}{a}}+b\cdot\log_{\frac{1}{b}}>2$。
【参考答案】By Jensen 不等式，$\frac{1}{2}(a\cdot\log_{\frac{1}{a}}+b\cdot\log_{\frac{1}{b}}) \geq\log_{\frac{1}{2}}(\frac{1}{2}(a+b))=\log_{\frac{1}{2}}\frac{1}{ 2} =1$。
所以，$a\cdot\log_{\frac{1}{a}}+b\cdot\log_{\frac{1}{b}}>2$。
高中数学不等式习题及详细答案
第三章 不等式一、选择题1．已知x ≥25，则f (x )＝4－25＋4－2x x x 有( )．A ．最大值45B ．最小值45C ．最大值1D ．最小值12．若x ＞0，y ＞0，则221＋)(y x ＋221＋)(xy 的最小值是( )．A ．3B ．27 C ．4 D ．29 3．设a ＞0，b ＞0 则下列不等式中不成立的是( )． A ．a ＋b ＋ab1≥22B ．(a ＋b )(a 1＋b1)≥4 C22≥a ＋bD ．ba ab+2≥ab 4．已知奇函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，且f (1)＝0，则不等式xx f x f )()(－－＜0的解集为( )．A ．(－1，0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0，1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1，0)∪(0，1)5．当0＜x ＜2π时，函数f (x )＝x xx 2sin sin 8＋2cos ＋12的最小值为( )．A ．2B ．32C ．4D ．346．若实数a ，b 满足a ＋b ＝2，则3a ＋3b 的最小值是( )． A ．18B ．6C ．23D ．2437．若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧4≤ 34 ≥30 ≥y x y x x ＋＋，所表示的平面区域被直线y ＝k x ＋34分为面积相等的两部分，则k 的值是( )．A ．73B ．37C ．43D ．348．直线x ＋2y ＋3＝0上的点P 在x －y ＝1的上方，且P 到直线2x ＋y －6＝0的距离为35，则点P 的坐标是( )．A ．(－5，1)B ．(－1，5)C ．(－7，2)D ．(2，－7)9．已知平面区域如图所示，z ＝mx ＋y (m ＞0)在平面区域内取得最优解(最大值)有无数多个，则m 的值为( )．A ．－207B ．207 C ．21D ．不存在10．当x ＞1时，不等式x ＋11-x ≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是( )．A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[3，＋∞)D ．(－∞，3]二、填空题11．不等式组⎩⎨⎧ 所表示的平面区域的面积是 ．12．设变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧ 若目标函数z ＝ax ＋y (a ＞0)仅在点(3，0)处取得最大值，则a 的取值范围是 ．13．若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是 ． 14．设a ，b 均为正的常数且x ＞0，y ＞0，xa＋y b ＝1，则x ＋y 的最小值为 ．15．函数y ＝log a (x ＋3)－1(a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn ＞0，则m 1＋n2的最小值为 ． 16．某工厂的年产值第二年比第一年增长的百分率为p 1，第三年比第二年增长的百分率为p 2，若p 1＋p 2为定值，则年平均增长的百分率p 的最大值为 ．(x －y ＋5)(x ＋y )≥00≤x ≤3 x ＋2y －3≤0 x ＋3y －3≥0， y －1≤0(第9题)三、解答题17．求函数y ＝1＋10＋7＋2x x x (x ＞－1)的最小值．18．已知直线l 经过点P (3，2)，且与x 轴、y 轴正半轴分别交于A ，B 两点，当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程．(第18题)19．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨，B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨，B 原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，销售每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨.那么该企业可获得最大利润是多少？20．(1)已知x ＜45，求函数y ＝4x －1＋5－41x 的最大值； (2)已知x ，y ∈R ＊(正实数集)，且x1＋y 9＝1，求x ＋y 的最小值；(3)已知a ＞0，b ＞0，且a 2＋22b ＝1，求2＋1b a 的最大值．参考答案1．D解析：由已知f (x )＝4－25＋4－2x x x ＝)()(2－21＋2－2x x ＝21⎥⎦⎤⎢⎣⎡2－1＋2－x x )(， ∵ x ≥25，x －2＞0， ∴21⎥⎦⎤⎢⎣⎡2－1＋2－x x )(≥21·2－12－2x x ⋅)(＝1， 当且仅当x －2＝2－1x ，即x ＝3时取等号． 2．C 解析：221＋)(y x ＋221＋)(xy ＝x 2＋22241＋＋＋41＋x x y y yy x ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛2241＋x x ＋⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2241＋y y ＋⎪⎪⎭⎫⎝⎛x y y x ＋． ∵ x 2＋241x ≥22241x x ⋅＝1，当且仅当x 2＝241x ，x ＝22时取等号；41＋22y y ≥22241y y ⋅＝1，当且仅当y 2＝241y ，y ＝22时取等号； x yy x ＋≥2x y y x ⋅＝2(x ＞0，y ＞0)，当且仅当y x ＝xy，y 2＝x 2时取等号． ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛2241＋x x ＋⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2241＋y y ＋⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x y y x ＋≥1＋1＋2＝4，前三个不等式的等号同时成立时，原式取最小值，故当且仅当x ＝y ＝22时原式取最小值4． 3．D 解析：方法一：特值法，如取a ＝4，b ＝1，代入各选项中的不等式，易判断只有ba ab+2≥ab 不成立．方法二：可逐项使用均值不等式判断 A ：a ＋b ＋ab1≥2ab ＋ab1≥2abab 12⋅＝22，不等式成立．B ：∵ a ＋b ≥2ab >0，a 1＋b 1≥2ab 1>0，相乘得 (a ＋b )( a 1＋b1)≥4成立．C ：∵ a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ≥(a ＋b )2－222⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a ＝222⎪⎭⎫⎝⎛+b a ，又ab ≤2b a +⇒ab1≥b a +222≥a ＋b 成立． D ：∵ a ＋b ≥2ab ⇒b a +1≤ab 21，∴b a ab +2≤ab ab 22＝ab ，即ba ab+2≥ab 不成立．4．D解析: 因为f (x )是奇函数，则f (－x )＝－f (x )，x x f x f )()(－－＜0x x f )(2⇔＜0⇔xf (x )＜0，满足x 与f (x )异号的x 的集合为所求．因为f (x )在(0，＋∞)上是增函数，且f (1)＝0，画出f (x )在(0，＋∞)的简图如图，再根据f (x )是奇函数的性质得到f (x ) 在(－∞，0)的图象．由f (x )的图象可知，当且仅当x ∈(－1，0)∪(0，1)时，x 与f (x )异号． 5．C解析：由0＜x ＜2π，有sin x ＞0，cos x ＞0． f (x )＝x x x 2sin sin 8＋2cos ＋12＝x x x x cos sin 2sin 8＋cos 222＝xx sin cos ＋x x cos sin 4≥2x x x x cos sin 4sin cos· ＝4，当且仅当xx sin cos ＝x xcos sin 4，即tan x ＝21时，取“＝”． ∵ 0＜x ＜2π，∴ 存在x 使tan x ＝21，这时f (x )min ＝4．6．B解析：∵ a ＋b ＝2，故3a ＋3b ≥2b a 33⋅＝2b a +3＝6，当且仅当a ＝b ＝1时取等号．(第4题)故3a ＋3b 的最小值是6．7．A解析：不等式组表示的平面区域为如图所示阴影部分 △ABC ．由⎩⎨⎧4343＝＋＝＋y x y x 得A (1，1)，又B (0，4)，C (0，43)．由于直线y ＝k x ＋43过点C (0，43)，设它与直线 3x ＋y ＝4的交点为D ，则由S △BCD ＝21S △ABC ，知D 为AB 的中点，即x D ＝21，∴ y D ＝25， ∴ 25＝k ×21＋34，k ＝37．8．A解析：设P 点的坐标为(x 0，y 0)，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧解得⎩⎨⎧. 1＝， 5＝－00y x∴ 点P 坐标是(－5，1)． 9．B解析：当直线mx ＋y ＝z 与直线AC 平行时，线段AC 上的每个点都是最优解．∵ k AC ＝1－5522－3＝－207， ∴ －m ＝－207，即m ＝207． 10．D 解析：由x ＋1－1x ＝(x －1)＋1－1x ＋1， ∵ x ＞1，∴ x －1＞0，则有(x －1)＋1－1x ＋1≥21－11－x x )·(＋1＝3，则a ≤3．. 53＝56＋2， 0＜1－－， 0＝3＋2＋000000-y x y x yx二、填空题 11．24．解析：不等式(x －y ＋5)(x ＋y )≥0可转化为两个 二元一次不等式组． ⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⇔ 或⎪⎩⎪⎨⎧这两个不等式组所对应的区域面积之和为所求．第一个不等式组所对应的区域如图，而第二个不等式组所对应的区域不存在．图中A (3，8)，B (3，－3)，C (0，5)，阴影部分的面积为25＋113)(⨯＝24． 12．⎭⎬⎫⎩⎨⎧21 ＞a a ．解析：若z ＝ax ＋y (a ＞0)仅在点(3，0)处取得最大值，则直线z ＝ax ＋y 的倾斜角一定小于直线x ＋2y －3＝0的倾斜角，直线z ＝ax ＋y 的斜率就一定小于直线x ＋2y －3＝0的斜率，可得：－a ＜－21，即a ＞21．13．a b ≥9．解析：由于a ，b 均为正数，等式中含有ab 和a ＋b 这个特征，可以设想使用2＋ba ≥ab 构造一个不等式．∵ ab ＝a ＋b ＋3≥ab 2＋3，即a b ≥ab 2＋3(当且仅当a ＝b 时等号成立)， ∴ (ab )2－ab 2－3≥0，∴ (ab －3)(ab ＋1)≥0，∴ab ≥3，即a b ≥9(当且仅当a ＝b ＝3时等号成立)． 14．(a ＋b )2． 解析：由已知xay ，y bx 均为正数，(x －y ＋5)(x ＋y )≥0 0≤x ≤3x －y ＋5≥0 x ＋y ≥0 0≤x ≤3 x －y ＋5≤0 x ＋ y ≤0 0≤x ≤3(第11题)∴ x ＋y ＝(x ＋y )(x a＋y b )＝a ＋b ＋x ay ＋y bx ≥a ＋b ＋ybx x ay ·2 ＝a ＋b ＋2ab ， 即x ＋y ≥(a ＋b )2，当且仅当1＝＋＝yb x a y bxx ay 即 ab b y ab a x ＋＝＋＝时取等号． 15．8．解析：因为y ＝log a x 的图象恒过定点(1，0)，故函数y ＝log a (x ＋3)－1的图象恒过定点A (－2，－1)，把点A 坐标代入直线方程得m (－2)＋n (－1)＋1＝0，即2m ＋n ＝1，而由mn ＞0知mn ，n m 4均为正，∴m 1＋n2＝(2m ＋n )(m 1＋n 2)＝4＋m n ＋n m 4≥4＋n m m n 42⋅＝8，当且仅当1＝＋24＝n m n m m n 即 21＝41＝n m 时取等号． 16．221p p +． 解析：设该厂第一年的产值为a ，由题意，a (1＋p )2＝a (1＋p 1)(1＋p 2)，且1＋p 1＞0， 1＋p 2＞0，所以a (1＋p )2＝a (1＋p 1)(1＋p 2)≤a 2212＋1＋＋1⎪⎭⎫ ⎝⎛p p ＝a 2212＋＋1⎪⎭⎫ ⎝⎛p p ，解得p ≤2＋21p p ，当且仅当1＋p 1＝1＋p 2，即p 1＝p 2时取等号．所以p 的最大值是2＋21pp ． 三、解答题17．解：令x ＋1＝t ＞0，则x ＝t －1，y ＝t t t 10＋1－7＋1－2)()(＝t t t 4＋5＋2＝t ＋t4＋5≥t t 42⋅＋5＝9，当且仅当t ＝t4，即t ＝2，x ＝1时取等号，故x ＝1时，y 取最小值9．18．解：因为直线l 经过点P (3，2)且与x 轴y 轴都相交， 故其斜率必存在且小于0．设直线l 的斜率为k ， 则l 的方程可写成y －2＝k (x －3)，其中k ＜0． 令x ＝0，则y ＝2－3k ；令y ＝0，则x ＝－k2＋3． S △AOB ＝21(2－3k )(－k 2＋3)＝21⎥⎦⎤⎢⎣⎡)()(k k 4－＋9－＋12≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅)()(k k 4－9－2＋1221＝12，当且仅当(－9k )＝(－k 4)，即k ＝－32时，S △AOB 有最小值12，所求直线方程为 y －2＝－32(x －3)，即2x ＋3y －12＝0． 19．解：设生产甲产品x 吨，生产乙产品y 吨，则有关系：则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++>> 18≤3213≤ 30 0y x y x y x ，目标函数z ＝5x ＋3y作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，可知 当x ＝3，y ＝4时可获得最大利润为27万元.20．解：(1)∵ x ＜45，∴ 4x －5＜0，故5－4x ＞0． y ＝4x －1＋541x －＝－(5－4x ＋x－451)＋4．∵ 5－4x ＋x－451≥x －x －451452)(＝2，∴ y ≤－2＋4＝2， 当且仅当5－4x ＝x －451，即x ＝1或x ＝23(舍)时，等号成立， 故当x ＝1时，y max ＝2．(第18题)(第18题)..;.. (2)∵x＞0，y＞0，x1＋y9＝1，∴x＋y＝(x1＋y9)(x＋y)＝xy＋yx9＋10≥2yxxy9·＋10＝6＋10＝16．当且仅当xy＝yx9，且x1＋y9＝1，即⎩⎨⎧12＝，4＝yx时等号成立，∴当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16．(3)a2＋1b＝a⎪⎪⎭⎫⎝⎛2＋2122b＝2·a2＋212b≤22⎪⎪⎭⎫⎝⎛2＋21＋22ba＝423，当且仅当a＝2＋212b，即a＝23，b＝22时，a2＋1b有最大值423．。
高中不等式练习题及答案
高中不等式练习题及答案高中不等式练习题及答案在高中数学学习中，不等式是一个重要的概念和工具。
不等式是数学中描述数值大小关系的一种方式，它可以帮助我们解决各种实际问题。
在学习不等式的过程中，练习题是必不可少的，下面我将为大家提供一些高中不等式练习题及其答案。
1. 练习题一：解不等式：2x - 5 < 3x + 2解答：将不等式中的变量移到一边，常数移到另一边，得到：2x - 3x < 2 + 5化简得：-x < 7由于系数为负数，所以不等号方向需要翻转，得到：x > -72. 练习题二：解不等式：3(x - 2) > 2(x + 3)解答：先进行分配律的运算，得到：3x - 6 > 2x + 6将变量移到一边，常数移到另一边，得到：3x - 2x > 6 + 6化简得：x > 123. 练习题三：解不等式：4x + 5 > 3 - 2x解答：将变量移到一边，常数移到另一边，得到：4x + 2x > 3 - 5化简得：6x > -2由于系数为正数，所以不等号方向不需要翻转，得到：x > -1/34. 练习题四：解不等式：2x - 3 > 5x + 1解答：将不等式中的变量移到一边，常数移到另一边，得到：2x - 5x > 1 + 3化简得：-3x > 4由于系数为负数，所以不等号方向需要翻转，得到：x < -4/35. 练习题五：解不等式：2x + 1 < 3(x - 2)解答：先进行分配律的运算，得到：2x + 1 < 3x - 6将变量移到一边，常数移到另一边，得到：2x - 3x < -6 - 1化简得：-x < -7由于系数为负数，所以不等号方向需要翻转，得到：x > 7通过以上的练习题，我们可以看到解不等式的基本步骤。
首先，将不等式中的变量移到一边，常数移到另一边；然后，化简不等式；最后，根据系数的正负确定不等号的方向。
高中数学不等式问题练习题及其参考答案(完整版)
[基础训练A 组]一、选择题（六个小题，每题5分，共30分）1．若02522>-+-x x ，则221442-++-x x x 等于（ ）A ．54-xB ．3-C ．3D ．x 45-2．函数y ＝log 1（x ＋11+x ＋1） （x > 1）的最大值是 （ ）A ．－2B ．2C ．－3D ．33．不等式xx --213≥1的解集是 ( ) A ．{x|43≤x ≤2} B ．{x|43≤x ＜2} C ．{x|x ＞2或x ≤43} D ．{x|x ＜2} 4．设a ＞1＞b ＞－1,则下列不等式中恒成立的是 ( )A ．ba 11< B ．b a 11> C ．a ＞b 2 D ．a 2＞2b 5．如果实数x,y 满足x 2＋y 2=1,则(1－xy) (1＋xy)有 ( )A ．最小值21和最大值1 B ．最大值1和最小值43 C ．最小值43而无最大值 D ．最大值1而无最小值 6．二次方程x 2＋(a 2＋1)x ＋a －2=0,有一个根比1大,另一个根比－1小,则a 的取值范围是 ( )A ．－3＜a ＜1B ．－2＜a ＜0C ．－1＜a ＜0D ．0＜a ＜2二、填空题（五个小题，每题6分，共30分） 1．不等式组⎩⎨⎧->-≥32x x 的负整数解是____________________。
2．一个两位数的个位数字比十位数字大2，若这个两位数小于30，则这个两位数为____________________。
3．不等式0212<-+xx 的解集是__________________。
4．当=x ___________时，函数)2(22x x y -=有最_______值，其值是_________。
5．若f(n)=)(21)(,1)(,122N n nn n n n g n n ∈=--=-+ϕ,用不等号 连结起来为____________.三、解答题（四个小题，每题10分，共40分）1．解log (2x – 3)(x 2－3)＞02．不等式049)1(220822<+++++-m x m mx x x 的解集为R,求实数m 的取值范围。
高二不等式练习题及答案
高二不等式练习题及答案一、简答题（每题5分，共30分）1. 什么是一次不等式？答：一次不等式是一个只含有一个未知数的不等式，可以表示成形如ax + b > 0、ax + b ≥ 0、ax + b < 0或ax + b ≤ 0的形式，其中a和b是已知实数，x是未知数。
2. 什么是不等式的解集？答：不等式的解集是使得不等式成立的实数的集合。
对于一次不等式，解集通常表示为一个区间，例如(x₁, x₂)、[x₁, x₂)、(x₁, x₂]或[x₁, x₂]。
3. 不等式-2x + 3 < 7 的解集是什么？答：将不等式-2x + 3 < 7 转化为x的形式：-2x + 3 < 7-2x < 7 - 3-2x < 4x > 4/-2x > -2因此，不等式-2x + 3 < 7 的解集为(-2, +∞)。
4. 解不等式2x - 5 ≤ 3 的解集，并把解集表示在数轴上。
答：将不等式2x - 5 ≤ 3 转化为x的形式：2x - 5 ≤ 32x ≤ 3 + 52x ≤ 8x ≤ 8/2x ≤ 4因此，不等式2x - 5 ≤ 3 的解集为(-∞, 4]。
数轴上表示为：0 1 2 3 4 5 6 7|----|----|----|----|----|----|----|x ≤ 45. 解二次不等式x^2 - 4x > -3 的解集，并把解集表示在数轴上。
答：将不等式x^2 - 4x > -3转化为标准形式，即移项：x^2 - 4x + 3 > 0然后，可以将该二次不等式转化为(x - a)(x - b) > 0的形式：(x - 1)(x - 3) > 0要使不等式成立，要么两个因式都大于0，要么两个因式都小于0。
因此，我们可以得到两个解集：(1, 3)和(-∞, 1) ∪ (3, +∞)。
数轴上表示为：0 1 2 3 4 5 6 7| |----|----| |----|----| |(-∞, 1) (1, 3) (3, +∞)6. 如何解多个不等式的组合？答：当多个不等式条件同时存在时，可以通过求它们的交集或并集来求解。
高中数学不等式证明题目训练卷及答案
高中数学不等式证明题目训练卷及答案一、选择题1、若\（a ＞ b ＞ 0\），则下列不等式中一定成立的是（）A ＼（a ＋＼frac{1}｛b} ＞ b ＋＼frac{1}｛a}＼）B ＼（＼frac{b ＋ 1}｛a ＋ 1} ＞＼frac{b}｛a}＼）C ＼（a ＼frac{1}｛b} ＞ b ＼frac{1}｛a}＼）D ＼（＼frac{2a ＋ b}｛a ＋ 2b} ＞＼frac{a}｛b}＼）答案：A解析：因为\（a ＞ b ＞ 0\），所以\（a b ＞ 0\）。
A 选项：＼（（a ＋＼frac{1}｛b}）（b ＋＼frac{1}｛a}）＝（a b) ＋（＼frac{1}｛b} ＼frac{1}｛a}）＝（a b) ＋＼frac{a b}｛ab}＞ 0\），所以\（a ＋＼frac{1}｛b} ＞ b ＋＼frac{1}｛a}＼），A 选项正确。
B 选项：＼（＼frac{b ＋ 1}｛a ＋ 1} ＼frac{b}｛a} ＝＼frac{a(b＋ 1) b(a ＋ 1)｝｛a(a ＋ 1)｝＝＼frac{a b}｛a(a ＋ 1)｝＼），因为\（a(a ＋ 1) ＞ 0\），但\（a b\）的正负不确定，所以\（＼frac{b ＋ 1}｛a ＋ 1}＼）与\（＼frac{b}｛a}＼）大小不确定，B 选项错误。
C 选项：＼（（a ＼frac{1}｛b}）（b ＼frac{1}｛a}）＝（a b) （＼frac{1}｛b} ＼frac{1}｛a}）＝（a b) ＼frac{a b}｛ab}＼），当\（ab ＞ 1\）时，＼（（a b) ＼frac{a b}｛ab} ＜ 0\），C 选项错误。
D 选项：＼（＼frac{2a ＋ b}｛a ＋ 2b} ＼frac{a}｛b} ＝＼frac{b(2a ＋ b) a(a ＋ 2b)｝｛b(a ＋ 2b)｝＝＼frac{b^2 a^2}｛b(a ＋2b)｝＼），因为\（b^2 a^2 ＜ 0\），＼（b(a ＋ 2b) ＞ 0\），所以\（＼frac{2a ＋ b}｛a ＋ 2b} ＼frac{a}｛b} ＜ 0\），D 选项错误。
完整版)高中数学不等式习题及详细答案
完整版)高中数学不等式习题及详细答案第三章不等式一、选择题1.已知 $x\geq 2$，则 $f(x)=\frac{x^2-4x+5}{2x-4}$ 的取值范围是（）。
A。
最大值为 5，最小值为 1B。
最大值为 5，最小值为 $\frac{11}{2}$C。
最大值为 1，最小值为 $\frac{11}{2}$D。
最大值为 1，最小值为 02.若 $x>0$，$y>0$，则$(x+\frac{1}{y})^2+(y+\frac{1}{x})^2$ 的最小值是（）。
A。
3B。
$\frac{7}{2}$C。
4D。
$\frac{9}{2}$3.设 $a>0$，$b>0$，则下列不等式中不成立的是（）。
A。
$a+b+\frac{1}{ab}\geq 2\sqrt{2}$B。
$(a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{2})\geq 4$C。
$\sqrt{a^2+b^2}\geq a+b-\sqrt{2ab}$D。
$\frac{2ab}{a+b}\geq \sqrt{ab}$4.已知奇函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上是增函数，且$f(1)=3$，则不等式 $f(x)-f(-x)<0$ 的解集为（）。
A。
$(-1,+\infty)$B。
$(-\infty,-1)\cup (1,+\infty)$C。
$(-\infty,-1)\cup (1,+\infty)$D。
$(-1,1)$5.当 $0<x<\frac{\pi}{2}$ 时，函数 $f(x)=\frac{1+\cos^2 x+8\sin^2 x}{2\sin^2 x}$ 的最小值为（）。
A。
2B。
$\frac{2}{3}$C。
4D。
$\frac{3}{2}$6.若实数 $a,b$ 满足 $a+b=2$，则 $3a+3b$ 的最小值是（）。
A。
18B。
高二文科数学不等式练习及答案
15.函数 的定义域是 .
16.若关于不等式 的解集是 ，则 =2.
三、解答题
17.（ ）解不等式：
（1） （2）
（3） （4）
17.解：（1）原不等式化为 ，解集为
（2）原不等式化为 ，解集为R
（3）原不等式化为 ，解集为
（4）由
得
18.（ ）关于 的方程 仅有一个实根，求实数 的值.
解：
19．（ ） 某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件.若售价降低 成（1成=10%），售出商品数量就增加 成.要求售价不低于成本价.
（1）设该商店一天的营业额为 ，试求 与 之间的函数关系式 ，并写出定义域；
（2）若再要求该商品一天的营业额至少为10260元，求 的取值范围.
当 时，由 即 ，解得
综上实数 的取Байду номын сангаас范围是
（2）不等式f(x)＜5－m可化为 在 的最小值小于
当 时， 成立；
当 时， 的图象的对称轴是 ，因而 在 是单调的
由 即 解得
所以实数 的取值范围是 。
22．已知不等式
（1）若对于所有的实数 不等式恒成立，求 的取值范围；
（2）设不等式对于满足 的一切 的值都成立，求 的取值范围
A．M<NB．M>NC．M＝ND．不确定
6.不等式 的解集是为( C)
A. B. C. D.
7.若0<a<1，则不等式 的解是（A）
A. B. C. D.
8.下列不等式的解集是空集的是( C )
A. B. C. D.
9.有一家三口的年龄之和为65岁，设父亲、母亲和小孩的年龄分别为x、y、z，则下列选项中能反映x、y、z关系的是（C）
高二数学不等式练习题及答案经典)
不等式练习题一、选择题1、若a,b 是任意实数,且a ＞b,则 ( )（A ）a 2＞b 2 （B ）a b＜1 （C ）lg(a-b)＞0 （D ）(21)a ＜(21)b2、下列不等式中成立的是 ( )（A ）lgx+log x 10≥2(x ＞1) （B ）a 1+a ≥2 (a ≠0)（C ）a 1＜b 1(a ＞b) （D ）a 21+t ≥a t (t ＞0,a ＞0,a ≠1)3、已知a >0,b >0且a +b =1, 则()11)(1122--b a 的最小值为 ( )(A )6 (B ) 7 (C ) 8 (D ) 94、已给下列不等式(1)x 3+ 3 >2x (x ∈R ); (2) a 5+b 5> a 3b 2+a 2b 3(a ,b ∈R );(3) a 2+b 2≥2(a －b －1), 其中正确的个数为 ( )(A ) 0个 (B ) 1个 (C ) 2个 (D ) 3个5、f (n ) = 12+n －n , ϕ(n )=n 21, g (n ) = n 12--n , n ∈N ,则 ( )(A ) f (n )<g (n ) <ϕ(n ) (B ) f (n )<ϕ(n )<g (n )(C ) g (n )<ϕ(n )<g (n ) (D )g (n )<f (n )<ϕ(n )6、设x 2+y 2 = 1, 则x +y ( )(A ) 有最小值1 (B ) 有最小值2(C )有最小值－1 (D ) 有最小值－27、不等式|x ＋5|＞3的解集是 ( )(A){x|－8＜x ＜8} (B){x|－2＜x ＜2}(C){x|x ＜－2或x ＞2＝ (D){x|x ＜－8或x ＞－2＝8、若a ，b ，c 为任意实数，且a ＞b ，则下列不等式恒成立的是 ( )(A)ac ＞bc (B)|a ＋c|＞|b ＋c| (C)a 2＞b 2 (D)a ＋c ＞b ＋c9、设集合M={x|13-+x x ≤0},N={x|x 2+2x-3≤0},P={x|322)21(-+x x ≥1},则有 ( )（A ）M ⊂N=P （B ）M ⊂N ⊂P （C ）M=P ⊂N （D ）M=N=P10、设a,b ∈R,且a+b=3,则2a +2b 的最小值是 ( )（A ）6 （B ）42 （C ）22 （D ）2611、若关于x 的不等式ax 2＋bx －2＞0的解集是⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⎪⎭⎫⎝⎛-∞-,3121, ，则ab 等于( )(A)－24 (B)24 (C)14 (D)－1412、如果关于x 的不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4＜0对一切实数x 恒成立，则实数a的取值范围是 ( )(A)]2,(-∞ (B))2,(--∞ (C)]2,2(- (D)(－2,2)13、设不等式f(x)≥0的解集是[1，2]，不等式g(x) ≥0的解集为Φ，则不等式0)()(>x g x f 的解集是 ( )(A) Φ (B)+∞-∞,2()1,( ) (C)[1，2] (D)R14、22+>+x x x x 的解集是 ( )(A ) (－2,0) (B ) (－2,0) (C ) R (D ) (－∞,－2)∪(0,+ ∞)15、不等式3331>--x 的解集是 ( )(A ) (－∞,1) (B ) (43,1 ) (C ) (43,1) (D ) R二、填空题1、若x 与实数列a 1,a 2,…,a n 中各数差的平方和最小,则x=________.2、不等式xx x121log 〈的解集是________.3、某工厂产量第二年增长率是p 1,第三年增长率是p 2,第四年增长率是p 3且p 1＋p 2＋p 3=m(定值),那么这三年平均增长率的最大值是________.4、a ≥0,b ≥0,a 2＋22b =1,则a 21b +的最大值是________.5、若实数x 、y 满足xy ＞0且x 2y=2,则xy ＋x 2的最小值是________.6、x ＞1时，f(x)=x ＋11612++x x x 的最小值是________，此时x=________.7、不等式log 4(8x －2x)≤x 的解集是________.8、不等式321141-〉-x x 的解集是________. 9、命题①：关于x 的不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4＜0对x ∈R 恒成立;命题②：f(x)=－(1－3a －a 2)x 是减函数.若命题①、②至少有一个为真命题,则实数a 的取值范围是________.10、设A={x|x ≥x1,x ∈R},B={x|12+x ＜3,x ∈R ＝,则D=A ∩B=________.三、解答题1、解不等式：1211922+-+-x x x x ≥7.2、解不等式：x 4－2x 3－3x 2＜0.3、解不等式：65592+--x x x ≥－2.4、解不等式：2269x x x -+-＞3.5、解不等式：232+-x x ＞x ＋5.6、若x 2＋y 2=1，求(1＋xy)(1－xy)的最大、最小值。
高中数学不等式习题及详细答案
第三章 不等式一、选择题1．已知x ≥25，则f (x )＝4－25＋4－2x x x 有( )．A ．最大值45B ．最小值45C ．最大值1D ．最小值12．若x ＞0，y ＞0，则221＋)(y x ＋221＋)(xy 的最小值是( )．A ．3B ．27 C ．4 D ．29 3．设a ＞0，b ＞0 则下列不等式中不成立的是( )． A ．a ＋b ＋ab1≥22B ．(a ＋b )(a 1＋b1)≥4 C22≥a ＋bD ．ba ab+2≥ab 4．已知奇函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，且f (1)＝0，则不等式xx f x f )()(－－＜0的解集为( )．A ．(－1，0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0，1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1，0)∪(0，1)5．当0＜x ＜2π时，函数f (x )＝x xx 2sin sin 8＋2cos ＋12的最小值为( )．A ．2B ．32C ．4D ．346．若实数a ，b 满足a ＋b ＝2，则3a ＋3b 的最小值是( )． A ．18B ．6C ．23D ．2437．若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧4≤ 34 ≥30 ≥y x y x x ＋＋，所表示的平面区域被直线y ＝k x ＋34分为面积相等的两部分，则k 的值是( )．A ．73B ．37C ．43D ．348．直线x ＋2y ＋3＝0上的点P 在x －y ＝1的上方，且P 到直线2x ＋y －6＝0的距离为35，则点P 的坐标是( )．A ．(－5，1)B ．(－1，5)C ．(－7，2)D ．(2，－7)9．已知平面区域如图所示，z ＝mx ＋y (m ＞0)在平面区域内取得最优解(最大值)有无数多个，则m 的值为( )．A ．－207B ．207 C ．21D ．不存在10．当x ＞1时，不等式x ＋11-x ≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是( )．A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[3，＋∞)D ．(－∞，3]二、填空题11．不等式组⎩⎨⎧ 所表示的平面区域的面积是 ．12．设变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧ 若目标函数z ＝ax ＋y (a ＞0)仅在点(3，0)处取得最大值，则a 的取值范围是 ．13．若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是 ． 14．设a ，b 均为正的常数且x ＞0，y ＞0，xa＋y b ＝1，则x ＋y 的最小值为 ．15．函数y ＝log a (x ＋3)－1(a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn ＞0，则m 1＋n2的最小值为 ． 16．某工厂的年产值第二年比第一年增长的百分率为p 1，第三年比第二年增长的百分率为p 2，若p 1＋p 2为定值，则年平均增长的百分率p 的最大值为 ．(x －y ＋5)(x ＋y )≥00≤x ≤3 x ＋2y －3≤0 x ＋3y －3≥0， y －1≤0(第9题)三、解答题17．求函数y ＝1＋10＋7＋2x x x (x ＞－1)的最小值．18．已知直线l 经过点P (3，2)，且与x 轴、y 轴正半轴分别交于A ，B 两点，当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程．(第18题)19．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨，B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨，B 原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，销售每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨.那么该企业可获得最大利润是多少？20．(1)已知x ＜45，求函数y ＝4x －1＋5－41x 的最大值； (2)已知x ，y ∈R ＊(正实数集)，且x 1＋y 9＝1，求x ＋y 的最小值；(3)已知a ＞0，b ＞0，且a 2＋22b ＝1，求2＋1b a 的最大值．参考答案1．D解析：由已知f (x )＝4－25＋4－2x x x ＝)()(2－21＋2－2x x ＝21⎥⎦⎤⎢⎣⎡2－1＋2－x x )(， ∵ x ≥25，x －2＞0， ∴21⎥⎦⎤⎢⎣⎡2－1＋2－x x )(≥21·2－12－2x x ⋅)(＝1， 当且仅当x －2＝2－1x ，即x ＝3时取等号． 2．C 解析：221＋)(y x ＋221＋)(xy ＝x 2＋22241＋＋＋41＋x x y y yy x ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛2241＋x x ＋⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2241＋y y ＋⎪⎪⎭⎫⎝⎛x y y x ＋． ∵ x 2＋241x ≥22241x x ⋅＝1，当且仅当x2＝241x ，x ＝22时取等号； 41＋22y y ≥22241y y ⋅＝1，当且仅当y 2＝241y ，y ＝22时取等号； x yy x ＋≥2x y y x ⋅＝2(x ＞0，y ＞0)，当且仅当y x ＝xy，y 2＝x 2时取等号． ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛2241＋x x ＋⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2241＋y y ＋⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x y y x ＋≥1＋1＋2＝4，前三个不等式的等号同时成立时，原式取最小值，故当且仅当x ＝y ＝22时原式取最小值4． 3．D 解析：方法一：特值法，如取a ＝4，b ＝1，代入各选项中的不等式，易判断只有ba ab+2≥ab 不成立．方法二：可逐项使用均值不等式判断 A ：a ＋b ＋ab1≥2ab ＋ab1≥2abab 12⋅＝22，不等式成立．B ：∵ a ＋b ≥2ab >0，a 1＋b 1≥2ab 1>0，相乘得 (a ＋b )( a 1＋b1)≥4成立．C ：∵ a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ≥(a ＋b )2－222⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a ＝222⎪⎭⎫⎝⎛+b a ，又ab ≤2b a +⇒ab1≥b a +222≥a ＋b 成立． D ：∵ a ＋b ≥2ab ⇒b a +1≤ab 21，∴b a ab +2≤ab ab 22＝ab ，即ba ab+2≥ab 不成立．4．D解析: 因为f (x )是奇函数，则f (－x )＝－f (x )，x x f x f )()(－－＜0x x f )(2⇔＜0⇔xf (x )＜0，满足x 与f (x )异号的x 的集合为所求．因为f (x )在(0，＋∞)上是增函数，且f (1)＝0，画出f (x )在(0，＋∞)的简图如图，再根据f (x )是奇函数的性质得到f (x ) 在(－∞，0)的图象．由f (x )的图象可知，当且仅当x ∈(－1，0)∪(0，1)时，x 与f (x )异号． 5．C解析：由0＜x ＜2π，有sin x ＞0，cos x ＞0． f (x )＝x x x 2sin sin 8＋2cos ＋12＝x x x x cos sin 2sin 8＋cos 222＝xx sin cos ＋x x cos sin 4≥2x x x x cos sin 4sin cos· ＝4，当且仅当xx sin cos ＝x xcos sin 4，即tan x ＝21时，取“＝”． ∵ 0＜x ＜2π，∴ 存在x 使tan x ＝21，这时f (x )min ＝4．6．B解析：∵ a ＋b ＝2，故3a ＋3b ≥2b a 33⋅＝2b a +3＝6，当且仅当a ＝b ＝1时取等号．(第4题)故3a ＋3b 的最小值是6．7．A解析：不等式组表示的平面区域为如图所示阴影部分 △ABC ．由⎩⎨⎧4343＝＋＝＋y x y x 得A (1，1)，又B (0，4)，C (0，43)．由于直线y ＝k x ＋43过点C (0，43)，设它与直线 3x ＋y ＝4的交点为D ，则由S △BCD ＝21S △ABC ，知D 为AB 的中点，即x D ＝21，∴ y D ＝25， ∴ 25＝k ×21＋34，k ＝37．8．A解析：设P 点的坐标为(x 0，y 0)，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧解得⎩⎨⎧. 1＝， 5＝－00y x∴ 点P 坐标是(－5，1)． 9．B解析：当直线mx ＋y ＝z 与直线AC 平行时，线段AC 上的每个点都是最优解．∵ k AC ＝1－5522－3＝－207， ∴ －m ＝－207，即m ＝207． 10．D 解析：由x ＋1－1x ＝(x －1)＋1－1x ＋1， ∵ x ＞1，∴ x －1＞0，则有(x －1)＋1－1x ＋1≥21－11－x x )·(＋1＝3，则a ≤3．. 53＝56＋2， 0＜1－－， 0＝3＋2＋000000-y x y x y x二、填空题 11．24．解析：不等式(x －y ＋5)(x ＋y )≥0可转化为两个 二元一次不等式组． ⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⇔ 或⎪⎩⎪⎨⎧这两个不等式组所对应的区域面积之和为所求．第一个不等式组所对应的区域如图，而第二个不等式组所对应的区域不存在．图中A (3，8)，B (3，－3)，C (0，5)，阴影部分的面积为25＋113)(⨯＝24． 12．⎭⎬⎫⎩⎨⎧21 ＞a a ．解析：若z ＝ax ＋y (a ＞0)仅在点(3，0)处取得最大值，则直线z ＝ax ＋y 的倾斜角一定小于直线x ＋2y －3＝0的倾斜角，直线z ＝ax ＋y 的斜率就一定小于直线x ＋2y －3＝0的斜率，可得：－a ＜－21，即a ＞21．13．a b ≥9．解析：由于a ，b 均为正数，等式中含有ab 和a ＋b 这个特征，可以设想使用2＋ba ≥ab 构造一个不等式．∵ ab ＝a ＋b ＋3≥ab 2＋3，即a b ≥ab 2＋3(当且仅当a ＝b 时等号成立)， ∴ (ab )2－ab 2－3≥0，∴ (ab －3)(ab ＋1)≥0，∴ab ≥3，即a b ≥9(当且仅当a ＝b ＝3时等号成立)． 14．(a ＋b )2． 解析：由已知xay ，y bx 均为正数，(x －y ＋5)(x ＋y )≥0 0≤x ≤3x －y ＋5≥0 x ＋y ≥0 0≤x ≤3 x －y ＋5≤0 x ＋ y ≤0 0≤x ≤3(第11题)∴ x ＋y ＝(x ＋y )(x a＋y b )＝a ＋b ＋x ay ＋y bx ≥a ＋b ＋ybx x ay ·2 ＝a ＋b ＋2ab ， 即x ＋y ≥(a ＋b )2，当且仅当1＝＋ ＝yb x a y bxx ay 即 ab b y ab a x ＋＝＋＝时取等号． 15．8．解析：因为y ＝log a x 的图象恒过定点(1，0)，故函数y ＝log a (x ＋3)－1的图象恒过定点A (－2，－1)，把点A 坐标代入直线方程得m (－2)＋n (－1)＋1＝0，即2m ＋n ＝1，而由mn ＞0知mn ，n m 4均为正，∴m 1＋n2＝(2m ＋n )(m 1＋n 2)＝4＋m n ＋n m 4≥4＋n m m n 42⋅＝8，当且仅当1＝＋24＝n m n m m n 即 21＝41＝n m 时取等号． 16．221p p +． 解析：设该厂第一年的产值为a ，由题意，a (1＋p )2＝a (1＋p 1)(1＋p 2)，且1＋p 1＞0， 1＋p 2＞0，所以a (1＋p )2＝a (1＋p1)(1＋p 2)≤a 2212＋1＋＋1⎪⎭⎫ ⎝⎛p p ＝a 2212＋＋1⎪⎭⎫ ⎝⎛p p ，解得p ≤2＋21p p ，当且仅当1＋p 1＝1＋p 2，即p 1＝p 2时取等号．所以p 的最大值是2＋21pp ． 三、解答题17．解：令x ＋1＝t ＞0，则x ＝t －1，y ＝t t t 10＋1－7＋1－2)()(＝t t t 4＋5＋2＝t ＋t4＋5≥t t 42⋅＋5＝9，当且仅当t ＝t4，即t ＝2，x ＝1时取等号，故x ＝1时，y 取最小值9．18．解：因为直线l 经过点P (3，2)且与x 轴y 轴都相交， 故其斜率必存在且小于0．设直线l 的斜率为k ， 则l 的方程可写成y －2＝k (x －3)，其中k ＜0． 令x ＝0，则y ＝2－3k ；令y ＝0，则x ＝－k2＋3． S △AOB ＝21(2－3k )(－k 2＋3)＝21⎥⎦⎤⎢⎣⎡)()(k k 4－＋9－＋12≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅)()(k k 4－9－2＋1221＝12，当且仅当(－9k )＝(－k 4)，即k ＝－32时，S △AOB 有最小值12，所求直线方程为 y －2＝－32(x －3)，即2x ＋3y －12＝0． 19．解：设生产甲产品x 吨，生产乙产品y 吨，则有关系：A 原料用量B 原料用量甲产品x 吨 3x 2x 乙产品y 吨y3y则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++>> 18≤3213≤ 30 0y x y x y x ，目标函数z ＝5x ＋3y作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，可知 当x ＝3，y ＝4时可获得最大利润为27万元.20．解：(1)∵ x ＜45，∴ 4x －5＜0，故5－4x ＞0． y ＝4x －1＋541x －＝－(5－4x ＋x－451)＋4．∵ 5－4x ＋x－451≥x －x －451452)(＝2，∴ y ≤－2＋4＝2， 当且仅当5－4x ＝x －451，即x ＝1或x ＝23(舍)时，等号成立， 故当x ＝1时，y max ＝2．xOAy P (3,2)B(第18题)(第18题)第 11 页 共 11 页 (2)∵ x ＞0，y ＞0，x1＋y 9＝1， ∴ x ＋y ＝(x 1＋y 9)(x ＋y )＝x y ＋y x 9＋10≥2yx x y 9 · ＋10＝6＋10＝16． 当且仅当x y ＝y x 9，且x 1＋y 9＝1，即⎩⎨⎧12＝， 4＝y x 时等号成立， ∴ 当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16．(3)a 2＋1b ＝a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2＋2122b ＝2·a 2＋212b ≤22⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2＋21＋22b a ＝423， 当且仅当a ＝2＋212b ，即a ＝23，b ＝22时，a 2＋1b 有最大值423．。
高二数学不等式练习题及答案
一、填空题1、若x 与实数列a 1,a 2,…,a n 中各数差的平方和最小,则x=________.2、不等式xx x121log 〈的解集是________. 3、某工厂产量第二年增长率是p 1,第三年增长率是p 2,第四年增长率是p 3且p 1＋p 2＋p 3=m(定值),那么这三年平均增长率的最大值是________.4、a ≥0,b ≥0,a 2＋22b =1,则a 21b +的最大值是________. 5、若实数x 、y 满足xy ＞0且x 2y=2,则xy ＋x 2的最小值是________.6、x ＞1时，f(x)=x ＋11612++x x x 的最小值是________，此时x=________. ，7、不等式log 4(8x －2x )≤x 的解集是________.8、不等式321141-〉-x x 的解集是________. 9、命题①：关于x 的不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4＜0对x ∈R 恒成立;命题②：f(x)=－(1－3a －a 2)x 是减函数.若命题①、②至少有一个为真命题,则实数a 的取值范围是________.二、解答题1、解不等式：1211922+-+-x x x x ≥7.】2、解不等式：x 4－2x 3－3x 2＜0.3、解不等式：65592+--x x x ≥－2.、4、解不等式：2269x x x -+-＞3.5、解不等式：232+-x x ＞x ＋5.6、若x 2＋y 2=1，求(1＋xy)(1－xy)的最大、最小值。
&7、若x,y ＞0，求y x yx ++的最大值。
8、已知关于x 的方程x 2＋(m 2－1)x ＋m －2=0的一个根比－1小，另一个根比1大， 求参数m 的取值范围。
&9、解不等式：log a (x ＋1-a)>1.]10解不等式38->-x x .11.已知a ，b ，c 都是正数，且a ，b ，c 成等比数列，求证：2222)(c b a c b a +->++． ！、不等式练习答案一、1、n 1(a 1＋a 2＋…＋a n ) 2、0＜x ＜1或x ＞2 3、3m 4、423 5、3 6、8,2＋3 7、(0,251log 2+) 8、0＜x ＜log 23 9、-3＜x ≤2 10、－21≤x ＜0或1≤x ＜4 二、1、[－21,1]∪(1,34) 2、(－1,0)∪(0,3) 3、(－∞,2)∪(3,＋∞) 4、(0,3) 5、(－∞,－1323) 6、1， 43 7、2 8、－2＜m ＜0 9、解：(I)当a>1时，原不等式等价于不等式组：⎩⎨⎧>-+>-+.101a a x a x ， 解得x>2a-1.(II)当0<a<1时，原不等式等价于不等式组：⎩⎨⎧<->-+.101a a x a x ＋， 解得：a-1<x<2a-1.综上，当a>1时，不等式的解集为{x|x>2a-1}；当0<a<1时，不等式的解集为{x|a-1<x<2a-1}.10、原不等价于不等式组(1)⎪⎩⎪⎨⎧->-≥-≥-2)3(80308x x x x 或(2)⎩⎨⎧<-≥-0308x x 由(1)得22153+<≤x ， 由(2)得x ＜3，故原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧+<2215|x x。
高二数学不等式练习题及答案1
不等式练习题（一）1、若a>b ；下列不等式中一定成立的是（ ）A 、b a 11<B 、1<ab C 、22a b > D 、0lg()a b -> 2、若-1<a<b<1；则下列不等式中成立的是（ ）A 、-2<a-b<0B 、-2<a-b<-1C 、-1<a-b<0D 、-1<a-b<13、与不等式1232≥--x x 同解的不等式是（ ） A 、01≥-x B 、0232≥+-x x C 、lg （232+-x x ）>0 D 、02123≥--+-x x x x 210ax bx ++>的解集为{}21x x -<<；则,a b 的值为（ ）11221 D.122.,.,.,A a b B a b C a b a b =-=-=-=-==-== 5.方程2210()mx m x m -++=有两个不相等的实数解；则m 的取值范围是（ ）1110000444....A m B m C m m D m m >->-<<><>或或 223121(),()f x x x g x x x =-+=+-；则(),()f x g x 的大小关系是（ ）.()().()().()().A f x g x B f x g x C f x g x D >=<随x 的值变化而变化 7、不等式x x 283)31(2-->的解集是8.若 0112,,x y ≤≤-≤≤则4z x y =+的最小值为_______；最大值为_______. 240x ax ++<的解集为空集；则a 的取值范围是_______________.10、已知14x y -<+<且23x y <-<；则 23z x y =-的取值范围是__________.11.（1）已知函数231()log ()f x ax ax =-+的定义域为R ；求实数a 的取值范围；（2）已知函数231()log ()f x ax ax =-+的值域为R ；求实数a 的取值范围；12、已知不等式250ax x b -+>解集是{}32x x -<<-；求不等式250bx x a -+<的解集13.已知函数22222()()y a x a x =-+--的图象在x 轴下方；求实数a 的取值范围.14.解关于x 的不等式222ax x ax -≥-不等式练习题一 参考答案 1-6 C A D C C A 7.{}24x x -<< 8.-4；9 9. {}44a a -≤≤ 10.（3；8） 1110424.()()a a ≤<≥{}111223.x x x <->-或 13.（学案62页11题）{}02a a <≤14.0a =时；{}1x x ≤- 0a >时；{}21x x x a ≤-≥或 20a -<<时； {}21x x a≤≤- 2a =-时；{}1x x =-2a <-时；{}21x x a-≤≤。
高二数学不等式试题答案及解析
高二数学不等式试题答案及解析1.不等式的解集是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】不等式可等价化为：，由数轴标根法可得故选C．【考点】简单分式不等式的解法．2.设变量满足约束条件则的取值范围为（）A．[2，8]B．[0，8]C．[4，8]D．[0，4]【答案】B【解析】由约束条件画出可行域如图所示，在出取得最大值8，最小值为0，故选B。
【考点】线性规划3.已知点（－3，－1）在直线3x－2y－a＝0的上方，则a的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设当时，点（0，0）与点（-3，-1）在直线的同侧，而g（0,0）<0,所以g（-3,-1）<0,即-9+2-a<0,解得a>-7，所以此时a>0．当a=0时，显然符合题意．当a<0时，点（0，0）与点（-3，-1）在直线的异侧，而g（0,0）>0,所以g（-3,-1）<0,即-9+2-a<0,解得，a>-7,所以此时-7<a<0．综上三种情况得，a>-7．故选A．【考点】点与直线的位置关系．4.若变量满足约束条件且的最小值为，则A．B．C．D．【答案】C【解析】当取得最小值时，即直线与的交点在可行域的顶点处，所以经过点，即，故选C．【考点】线性规划．5.若不等式对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是A．B．C．D．【答案】B【解析】不等式转化为，当时不等式恒成立，当时需满足，解不等式得，综上实数的范围是【考点】1．不等式与函数的转化；2．函数性质6.（本小题满分10分）解下列不等式（Ⅰ）（Ⅱ）【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）时，解集为，时，解集为时解集为，时解集为，时解集【解析】（Ⅰ）解一元二次不等式首先将二次项系数化为正，找到方程对应的根，结合二次函数图像求解；（Ⅱ）根据不等式特点，在求解时需分不等式为一次不等式与二次不等式两种情况讨论试题解析：（Ⅰ），所以解集为（Ⅱ）若时，解集为若时，解集为若时，若即时解集为若即时解集为若即时解集为【考点】1．一元二次不等式解法；2．分情况讨论7.（本小题8分）解关于x的不等式【答案】时，解集为{x|或}时，解集为{x|},时，解集为{x|或}【解析】解一元二次不等式时首先找到与不等式对应的方程的两个根，结合与之对应的二次函数图像可求解不等式的解集，求解时注意按两根大小分情况讨论试题解析：不等式变形为，与不等式对应的方程的两个根为，当即时，解集为{x|或}，当即时，解集为{x|或}，当即时，解集为{x|}【考点】1．一元二次不等式解法；2．分情况讨论8.已知为正数，且，则的最小值为（）A．B．3C．D．4【答案】D【解析】因为为正数，，所以当且仅当时去等号．【考点】基本不等式．9.设变量x，y满足约束条件，则目标函数的取值范围是．【答案】[－，6]【解析】不等式组表示的平面区域为三角形ABC及其内部（如图所示），且A（2，0），B （）．而目标函数可看作是直线在y轴上截距的相反数．显然当过点A时取得最大值，且最大值为6，当过点B时取得最小值，且最小值为．所以目标函数的取值范围是[－，6]．【考点】线性规划求最值．10.若三点共线，则的值等于____________．【答案】【解析】，依题意知，有，即，所以，故答案为．【考点】平面向量基本定理11.若，且，则下列不等式一定成立的是（）．A．B．C．D．【答案】D【解析】，故选D【考点】不等式性质12.若实数满足条件，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】不等式组表示的平面区域是边界及其内部，且A（1，1），B（-1，1），而目标函数z可看作是直线在y轴的截距的负2倍．显然当直线过点B时截距最大，即此时z最小，．故选A．【考点】线性规划问题求最小值，考查几何意义．13.设．【答案】【解析】，当且仅当时等号成立，取得最小值【考点】均值不等式求最值14.设，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是．【答案】【解析】，，若是的充分不必要条件，所以，实数的取值范围是【考点】1．不等式解法；2充分条件与必要条件15.若A＝（x＋3）（x＋7），B＝（x＋4）（x＋6），则A、B的大小关系为________．【答案】A<B【解析】由题意得，，，所以．【考点】作差法比较大小．16.求不等式12x2－ax>a2（a∈R）的解集．【答案】当a>0时，不等式的解集为；当a＝0时，不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；当a<0时，不等式的解集为{x|x<或x>－}．【解析】解含参数的二次不等式，通常要比较其对应方程的两根大小才能写出不等式的解集．本题对应方程两根为，比较这两个根的大小，只需讨论与零的大小关系就可以了．试题解析：原不等式可化为（3x－a）（4x＋a）>0．当a>0时，不等式的解集为；当a＝0时，不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；当a<0时，不等式的解集为{x|x<或x>－}．【考点】解含参数的一元二次方程．17.设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点，满足，则m的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】将化成，将其代入，得，即，由题意，得有解，即，解得，即m的取值范围是；故选C．【考点】不等式组与平面区域．【技巧点睛】本题考查二元一次不等式组和平面区域、不等式组的解的存在性，属于中档题；学生解决本题的常用方法是先画出可行域再思考如何处理，难度较大；本题的解题技巧在于，将平面区域内存在点使成立，利用消元法将其转化为关于的不等式组有解的问题，再利用集合间的关系进行求解．18.设函数，则不等式的解集是．【答案】【解析】因为，所以，又，所以函数是奇函数，又，所以函数在上单调递增，所以，解得．【考点】函数的单调性、奇偶性，对数函数、分式函数、解不等式．【易错点晴】本题主要考查函数的单调性、奇偶性，对数函数、分式函数等基础知识，属中档题．解题时不要忽略函数的定义域．解决有关函数问题时，要注意考查函数的单调性、奇偶性、周期性等，以便借助于这些性质优化解题．19.点在直线上，则的最小值是．【答案】8【解析】点在直线上，由得，最小值为8【考点】不等式性质20.若正数满足，则的最大值为．【答案】4【解析】，最大值为4【考点】不等式性质21.（选修4-5：不等式选讲）设函数．（1）解不等式；（2）若对任意实数满足，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）含有绝对值的不等式，可取绝对值等于零，根据这些“零点”，将函数写为分段函数，在解不等式时，可令函数值等于，从而得到解集的上界（下界）；（2），即的图象始终函数图象的下方，因为恒过点，所以的图象与函数图象最多有一个交点，结合函数图象即可求出的取值范围．试题解析：（1），与图象交点的横坐标为和，不等式的解集是（2），直线恒过点，如图点，当且仅当函数与直线有公共点时满足要求，由图象可得【考点】解绝对值不等式.【方法点睛】解含有绝对值的不等式，首先要去绝对值号，通过令绝对值部分等于零，可求得一些间断点，然后在相邻的间断点间解不等式即可求得解的范围；本题第二问中，将不等式用图象表示，就是函数的图象不可能在直线的下方；结合图象是解不等式的一种常用方法．22.解关于的不等式．【答案】详见解析【解析】解一元二次不等式时首先找到与不等式对应的方程的根，结合二次函数图像求解不等式的解集，本题中需要讨论方程的两根的大小来确定不等式的解集的范围．试题解析：当即时，此时当即时，或当即时，或综上所述：当时，当时，当时，．【考点】一元二次不等式解法．23.（2015秋•宁德校级期中）不等式的解集是．【答案】（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）【解析】不等式即即（x﹣3）（x+2）＞0，求得x的范围．解：不等式，即（x﹣3）（x+2）＞0，求得x＜﹣2，或x＞3，故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）．【考点】其他不等式的解法．24.已知且则A．B．C．D．【答案】A【解析】且，所以有成立【考点】不等式性质25.（2015•盐城三模）若x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最大值为．【答案】6【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（4，﹣2），化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z过A（4，﹣2）时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为2×4﹣2=6．故答案为：6．【考点】简单线性规划．26.（2015秋•珠海期末）若a＞b，ab≠0，则不等式恒成立的是（）A．2a＞2b B．lg（a﹣b）＞0C．D．【答案】A【解析】由a＞b，ab≠0，可得2a＞2b，lg（a﹣b）可能等于大于小于0，与的大小关系不确定，＜1或1．即可得出．解：∵a＞b，ab≠0，∴2a＞2b，lg（a﹣b）可能等于大于小于0，与的大小关系不确定，＜1或1．综上：只有A正确．故选：A．【考点】不等式的基本性质．27.（2013•安徽）已知一元二次不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜﹣1或x＞}，则f（10x）＞0的解集为（）A．{x|x＜﹣1或x＞﹣lg2}B．{x|﹣1＜x＜﹣lg2}C．{x|x＞﹣lg2}D．{x|x＜﹣lg2}【答案】D【解析】由题意可得f（10x）＞0等价于﹣1＜10x＜，由指数函数的单调性可得解集．解：由题意可知f（x）＞0的解集为{x|﹣1＜x＜}，故可得f（10x）＞0等价于﹣1＜10x＜，由指数函数的值域为（0，+∞）一定有10x＞﹣1，而10x＜可化为10x＜，即10x＜10﹣lg2，由指数函数的单调性可知：x＜﹣lg2故选：D【考点】其他不等式的解法；一元二次不等式的解法．28.已知关于的不等式．（Ⅰ）解该不等式；（Ⅱ）定义区间的长度为，若，求该不等式解集表示的区间长度的最大值．【答案】（Ⅰ）当时，原不等式的解为，当或时，原不等式的解集为，当或时，原不等式的解为（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）原不等式化为，根据1＜a＜2，a=1或a=2分类讨论，能求出原不等式的解集；（Ⅱ）当a≠1且a≠2时，，由此能求出该不等式解集表示的区间长度的最大值试题解析：（Ⅰ）原不等式可化为，当，即时，原不等式的解为；当，即或时，原不等式的解集为；当，即或时，原不等式的解为．综上所述，当时，原不等式的解为，当或时，原不等式的解集为，当或时，原不等式的解为．（Ⅱ）显然当或时，该不等式解集表示的区间长度不可能最大．当且时，，．设，，则当时，，当时，，当时，，∴当时，．【考点】一元二次不等式的解法29.（2015秋•湖北校级期末）已知命题p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的实根；q：不等式4x2+4（m﹣2）x+1＞0的解集为R；若p或q为真，p且q为假，求实数m的取值范围．【答案】m的取值范围是m＜﹣2或m≥3或1＜m≤2．【解析】利用一元二次方程有两个不相等的实根与判别式的关系即可得出p，再利用不等式4x2+4（m﹣2）x+1＞0的解集为R与判别式的关系即可得出q；由p或q为真，p且q为假，可得p与q为一真一假，进而得出答案．解：∵方程x2+mx+1=0有两个不相等的实根，∴，∴m＞2或m＜﹣2又∵不等式4x2+4（m﹣2）x+1＞0的解集为R，∴，∴1＜m＜3∵p或q为真，p且q为假，∴p与q为一真一假，（1）当p为真q为假时，，解得m＜﹣2或m≥3．（2）当p为假q为真时，综上所述得：m的取值范围是m＜﹣2或m≥3或1＜m≤2．【考点】一元二次不等式的解法；复合命题的真假．30.已知实数满足的最大值为（）A．—3B．—2C．2D．1【答案】D【解析】不等式对应的可行域为直线围成的三角形及其内部，三个顶点为，当过点时取得最大值1【考点】线性规划问题31.已知正数x、y，满足，则x+2y的最小值为．【答案】【解析】,当且仅当,即,上式等号成立.【考点】基本不等式的简单应用.【易错点晴】本题错解如下：由可得出，，得出最小值为.这种做法错误的原因是两次使用基本不等式时,等号不能同时成立.第一次成立条件是,第二次是,若同时成立,则,不符合.当多次使用基本不等式时,一定要注意每次是否能保证等号成立,并且要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错.32.不等式的解集是，那么的值是 ( )A．B．C．D．【答案】C【解析】由一元二次不等式解法可知方程的两个根为【考点】三个二次关系33.命题“恒成立”则实数的取值范围为 ;【答案】【解析】当时，不等式恒成立；当，不等式恒成立，则，解得；因此实数的取值范围为【考点】恒成立问题；34.设满足约束条件，若目标函数的最大值为1，则的最小值为________．【答案】【解析】画出可行域如下图所示，由得，平移直线，由图象可知，当过时目标函数的最大值为，即，则，当且仅当，即时，取等号，故的最小值为．【考点】1、线性规划；2、基本不等式．【方法点晴】题目分成两个部分，每个部分用相应的知识点来解决，第一部分是线性规划，先画出可行域，将目标函数移到取得最大值为，这样就求出了的一个关系式；第二部分是基本不等式，求此类基本不等式的方法是“”的代换，也就是，展开后就可以用基本不等式求解了，最后要注意等号是否成立.35.若变量x，y满足约束条件则目标函数z＝x－2y的最大值为( )A．－9B．0C．9D．15【答案】D【解析】不等式对应的区域为直线所夹的中间区域，区域顶点为，将其代入目标函数得最大值为15【考点】线性规划问题36.已知实数满足，则的最大值是 .【答案】11【解析】线性约束条件对应的可行域为直线围成的区域，第一象限的顶点为，当过点时取得最大值11【考点】线性规划问题37.已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若，且的解集包含，求的取值范围.【答案】（1）；（2）．【解析】（1）利用零点分段讨论法进行求解；（2）先化简两个集合，再利用数集间的关系进行求解．试题解析：（1）当时，，解得不等式的解集为.（2），当时，，∴，由条件得且，即，故满足条件的的取值范围为.【考点】1.绝对值不等式；2.零点分段讨论法．38.若，则的最小值是________．【答案】【解析】由题意得，，则，则，当且仅当时等号成立，所以的最小值是．【考点】基本不等式求最值．39.若实数满足条件，则的最大值为________．【答案】4【解析】由图可得当取到：时，最大，为4【考点】线性规划中的最优解问题。
高二数学不等式试题答案及解析
高二数学不等式试题答案及解析1.（本小题满分12分）某公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？【答案】解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为分钟和分钟，总收益为元，由题意得目标函数为．………………4分二元一次不等式组等价于作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域．如图：作直线，即．平移直线，从图中可知，当直线过点时，目标函数取得最大值．………8分联立解得．点的坐标为．（元）答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元【解析】略2.如实数x,y满足，目标函数取得最小值的最优解有无穷多个，则（）A．-1B．-3C．1D．3【解析】略A3.若下列不等式成立的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】若则,,，所以选项 A、B、D均错误．故选C．【考点】比大小．4.设x,y满足约束条件,则的取值范围是___________．【答案】【解析】而表示的是区域内点与所形成的斜率的范围，结合图像可知，，故所求为【考点】简单的线性规划．【思路点睛】本题属于线性规划中的延伸题，对于可行域不要求线性目标函数的最值，而是先将目标函数利用分离常数法将其转化为而表示的是区域内点与所形成的斜率的范围，将其构成的直线的斜率问题，求出斜率的取值范围，从而求出目标函数的取值范围．5.若不等式对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是A．B．C．D．【答案】B【解析】不等式转化为，当时不等式恒成立，当时需满足，解不等式得，综上实数的范围是【考点】1．不等式与函数的转化；2．函数性质6.已知为正数，且，则的最小值为（）A．B．3C．D．4【答案】D【解析】因为为正数，，所以当且仅当时去等号．【考点】基本不等式．7.设变量x，y满足约束条件，则目标函数的取值范围是．【答案】[－，6]【解析】不等式组表示的平面区域为三角形ABC及其内部（如图所示），且A（2，0），B （）．而目标函数可看作是直线在y轴上截距的相反数．显然当过点A时取得最大值，且最大值为6，当过点B时取得最小值，且最小值为．所以目标函数的取值范围是[－，6]．【考点】线性规划求最值．8.实数满足①；②；③这三个条件，则的范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】利用题中所给的约束条件，可以判断在坐标系中，点在抛物线的上方，在圆的内部，在正方形的外部，在正方形的内部，结合图形，可知当点为斜率为的圆的切线的切点时，取得最大值，此时点的坐标为，最大值为，当点为斜率为的抛物线的切线的切点时，取得最小值，此时点的坐标为，最小值为，故选C．【考点】应用线性规划的思想解决非线性规划问题．【方法点睛】该题考查的是利用线性规划的思想解决非线性规划的问题，属于较难的题目，尤其是将题中所给的条件转化为坐标系内有关对应的区域内的点，从而利用线性规划的思想，将的取值范围求出来，从而求得其绝对值的取值范围，从而求得结果，在求解的过程中，需要注意边界值的取值都与对应的曲线的切线相联系．9.（本题满分12分）（1）当时，求的解集（2）解不等式：【答案】（1）（2）当时，解集为，当时，解集为，当时，解集为，当时，解集为R，当时，解集为【解析】（1）将代入函数式得到一元二次不等式，结合二次函数性质可得到不等式的解集；（2）中解不等式需讨论两种情况，当时不等式为一元二次不等式，分两种情况分别结合二次函数性质求解不等式的解集试题解析：（1）时不等式的解集为（2）（一）当时，不等式为解集为（二）当时，原不等式可化为即①当时，原不等式的解集为②，当时，原不等式的解集为③当时，原不等式的解集为R④当时，原不等式的解集为综上所述，当时，解集为当时，解集为当时，解集为当时，解集为R当时，解集为【考点】1．一元二次不等式解法；2．分情况讨论10.当点在直线上移动时，的最小值为________．【答案】9．【解析】因为点在直线上移动，所以．而，当且仅当等号成立．故应填9．【考点】1、基本不等式的应用．【思路点睛】本题主要考查了直线的方程和基本不等式的应用，属中档题．其解题的一般思路为：首先由点在直线上可得，，然后将式子变形为，最后运用基本不等式即可得出所求的结果，并验证等号成立的条件．其解题的关键是将所求式子正确地变形，并结合基本不等式对其进行求最值．11.设，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设，代入四个不等式验证可知正确【考点】不等式性质12.已知x>0，y>0，且＋＝1，若x＋2y>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是．【答案】－4<m<2【解析】因为，所以，解得－4<m<2．【考点】基本不等式的应用．13.如果、、满足，且，那么下列选项不恒成立的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】依题意可得，．不等式两边同乘以一个正数不等号方向不变，所以选项A正确；,,所以，故选项C正确；,所以，故选项D正确；当时，选项B错误．故选B．【考点】证明简单的不等式（或比大小）．14.已知,且，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，当且仅当时取等号，即的最小值为，选D.【考点】基本不等式求最值15.若，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，，，大小不确定，因此选C.【考点】不等式性质【名师】不等式的性质1．对称性：a>b⇔b<a；(双向性)2．传递性：a>b，b>c⇒a>c；(单向性)3．可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；(双向性)a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；(单向性)4．可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc；a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；(单向性)5．乘方法则：a>b>0⇒a n>b n(n∈N，n≥2)；(单向性)6．开方法则：a>b>0⇒>(n∈N，n≥2)；(单向性)7．倒数性质：设ab＞0，则a＜b⇔＞.(双向性)16.已知，解不等式．【答案】当时，；时，；当时，为．【解析】解含有分式的不等式，常用的方法是：移项，同分，化除为乘．经此三步之后不等式变为，求零点，令，得，因为当的取值不同时，两个零点的大小关系就会发生变化，所以需要对进行分情况讨论，求出每一种情况下的解集．试题解析：将原不等式进行移项通分后得，同号，所以，可知其零点为1，当时，，所以不等式的解为2，时，，所以不等式的解集为3，当时，原不等式为不等式解为【考点】解含有参数的分式不等式．17.设命题和是方程的两个根，不等式对任意实数恒成立；命题Q：函数有两个不同的零点．求使“P且Q”为真命题的实数的取值范围．【答案】．【解析】首先利用二次方程的韦达定理可求出，然后将不等式的恒成立转化为求函数的最值，进而可求出命题为真命题时实数的取值范围；再利用二次方程有两个不等根，其判别式大于0，进而可求出命题为真命题时实数的取值范围，最后由P且Q为真命题转化为两个命题均为真命题，进而得出所求的实数的取值范围．试题解析：由题设，∴．当时，的最小值为3．要使对任意实数恒成立，只需|，即．由已知，得的判别式得或．综上，要使“P∧Q”为真命题，只需P真Q真，即，解得实数的取值范围是．【考点】1、命题的真假判断与应用；2、二次函数的性质．18.已知关于的不等式．（Ⅰ）若不等式的解集为，求的值．（Ⅱ）求不等式的解集．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）当时，；当时，或；当时，；当时，；当时，．【解析】（Ⅰ）因为为的解集，则时，必有可求得的值，则不等式为其解为，可知；（Ⅱ）不等式可整理为，因不等式中含有参数a，故需要对其进行分类讨论，当时，不等式为一元一次不等式；当时，不等式一元二次不等式，因，所以需要对以及分别进行讨论．试题解析：（1）将代入则不等式为即不等式解集为或（2）不等式为，即当时，原不等式解集为当时，方程的根为，①当时，，或②当时，，③当时，，④当时，，【考点】本题考点为如何求不等式中的参数以及利用分类讨论法解含参数的不等式．【方法点睛】解含参数的不等式，当不等式的解集部分已知时，如题中为不等式的部分解，可将看作是方程的根，即化不等式为方程，从而求参数a，当含参数的不等式的解不知道时，因为解随着参数的变化而变化，因此要对参数进行分析讨论，方可保证求得解是正确的，在讨论时，多以含参的零点为对象，进行注意的分情况讨论．19.（2015秋•桃江县校级月考）已知a＞0且a≠1．命题P：对数loga（﹣2t2+7t﹣5）有意义，Q：关于实数t的不等式t2﹣（a+3）t+（a+2）＜0．（1）若命题P为真，求实数t的取值范围；（2）若命题P是命题Q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【答案】（1）1；（2）a，a≠1．【解析】解：（1）∵a＞0且a≠1．命题P：对数loga （﹣2t2+7t﹣5）有意义，∴2t2﹣7t+5＜0，∴P：1，∴命题P为真，实数t的取值范围：1，（2）∵命题P是命题Q的充分不必要条件，Q：关于实数t的不等式t2﹣（a+3）t+（a+2）＜0．∴Q：1＜t＜a+2，∴＜a+2，a≠1，∴a，a≠1，【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；命题的真假判断与应用．20.（2015秋•宁德校级期中）不等式x2+2x﹣3≤0的解集为（）A．[﹣1，3]B．[﹣3，﹣1]C．[﹣3，1]D．[1，3]【答案】C【解析】根据解一元二次不等式的基本步骤，进行解答即可．解：不等式x2+2x﹣3≤0可化为（x+3）（x﹣1）≤0，该不等式对应方程的两个实数根为﹣3和1，所以该不等式的解集为[﹣3，1]．故选：C．【考点】一元二次不等式的解法．21.若，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】,对不等式两边同时乘以，,故选C．【考点】不等式的性质．22.设命题实数满足,其中；命题实数满足．（1）当时，若为真，求范围；（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】先分别求解分别为真命题时，的取值范围，（1）在根据为真，求解的取值范围；（2）由是的必要不充分条件，则是的必要不充分条件，从而求解的取值范围．试题解析：（1）真，则；真，则,因为为真,则真且真,故范围为;（2）是的必要不充分条件，则是的必要不充分条件，因为真，有,所以，故．【考点】命题真假的判定与应用．23.不等式的解集为．【答案】【解析】变形为，所以解集为【考点】一元二次不等式解法24. a、b为非零实数，且a<b，则下列命题成立的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】对于A，，无法判断正负情况；对于B，，不等式成立；对于C，，无法判断正负情况；对于D，，无法判断正负情况【考点】不等式性质25.若不等式ax2＋bx－2＞0的解集为则a，b的值分别是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由不等式的解集可知方程的根为解方程得【考点】三个二次关系26.若关于x的不等式x2+mx+m﹣1≥0恒成立，则实数m= ．【答案】2【解析】根据二次函数的性质得到△=0，解出m的值即可．解：若关于x的不等式x2+mx+m﹣1≥0恒成立，则△=m2﹣4（m﹣1）=0，解得：m=2，故答案为：2．【考点】二次函数的性质．27.已知变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为（）A．12B．11C．3D．-1【答案】B【解析】作出变量，满足约束条件所对应的可行域，如下图所示，由可行域知，当直线经过点时，的值最大，最大值是，故选B.【考点】线性规划.28.不等式对任意实数x恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【考点】绝对值不等式性质29.不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由得，即，所以，解得或，故选A．【考点】解分式不等式．30.设满足约束条件，若目标函数的最大值为1，则的最小值为________．【答案】【解析】画出可行域如下图所示，由得，平移直线，由图象可知，当过时目标函数的最大值为，即，则，当且仅当，即时，取等号，故的最小值为．【考点】1、线性规划；2、基本不等式．【方法点晴】题目分成两个部分，每个部分用相应的知识点来解决，第一部分是线性规划，先画出可行域，将目标函数移到取得最大值为，这样就求出了的一个关系式；第二部分是基本不等式，求此类基本不等式的方法是“”的代换，也就是，展开后就可以用基本不等式求解了，最后要注意等号是否成立.31.若，则函数的最小值为（）A．B．C．D．非上述情况【答案】B【解析】，当且仅当，即时等号成立，故选B．【考点】基本不等式．32.已知满足约束条件，则的最大值为．【答案】【解析】作出不等式组满足的平面区域，如图所示，由图知当目标函数经过点时取得最大值，即．【考点】简单的线性规划问题．【方法点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数列结合的思想，需要注意的是：①是准确无误地作出可行域；②画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；③一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得．33.设不等式的解集为，．（1）证明：；（2）试比较与的大小，并说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2），理由见解析.【解析】（1）分情况去绝对值，可知即为，可得集合，由绝对值三角不等式可知可求证；（2）要比较与的大小即比较与的大小，利用作差法，因式分解，进而比较出两者的大小.试题解析：（1）证明：记f(x)＝|x－1|－|x＋2|＝由－2<－2x－1<0，解得－<x<，则M＝.所以≤|a|＋|b|<.（2）由（1）得a2<，b2<.因为|1－4ab|2－4|a－b|2＝(1－8ab＋16a2b2)－4(a2－2ab＋b2)＝(4a2－1)(4b2－1)>0，所以|1－4ab|2>4|a－b|2，故|1－4ab|>2|a－b|.【考点】二次不等式.34.选修4—5：不等式选讲已知不等式．（1）若，求不等式的解集；（2）若已知不等式的解集不是空集，求的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1），转化为，或，或，由此即可求出结果；（2）设，则∴，所以由此即可求出结果．试题解析：解（1），∴，或，或，或解得，∴不等式的解集是．（2）设，则∴，∴，，即的取值范围为．【考点】绝对值不等式．【方法点睛】（1）理解绝对值的几何意义，表示的是数轴的上点到原点离．（2）对于恒成立的问题，常用到以下两个结论：（1）（2）（3）掌握一般不等式的解法：，．35.已知实数x，y满足，如果目标函数z＝x－y的最小值为－1，则实数m等于（）A．7B．5C．4D．3【答案】B【解析】画出满足的可行域如下图：可得直线与直线的交点使目标函数取得最小值，故，解得，代入得，故选B．【考点】简单的线性规划．36.已知函数,（1）当时，求不等式的解集；（2）设,且当时，，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（I）对x分类讨论，去掉绝对值符号解出即可得出．（Ⅱ）当时，f（x）=1+a，不等式f（x）≤g（x）化为1+a≤x+3，化简利用a的取值范围、函数的单调性即可得出试题解析：（1）当时，不等式化为.设函数，则其图象如图所示，从图象可知，当且仅当时，.所以原不等式的解集是.（2）当时，. 不等式化为.所以对都成立，故，即.从而的取值范围为【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法37.设不等式组表示的平面区域为，在区域内随机取一个点，则此点到点的距离大于1的概率是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由表示的平面区域为，为一个边长为1的正方形，而在内随机取一个点，则此点到点的距离大于1，可转而找出到点的距离小于等于1的点为；以为圆心，半径为1的圆，落在内的面积为，而距离大于1的面积为：，由几何概型，化为面积比得：．【考点】几何概型的算法．38.下列各式中，最小值等于的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】A中只有在值最小值为2；B中函数化为，结合对勾函数可知最小值为，C中只有在时最小值为2；D中由不等式性质可知最小值为2【考点】不等式性质39.若则下列不等式成立的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意得，因为，所以，且，有根据基本不等式可知，，所以，故选B．【考点】不等式与不等关系．40.已知，，下列选项正确的是（）A．B．C．D．不确定【答案】B【解析】，所以，故选B.【考点】比较大小41.已知，，若不等式恒成立，则的最大值为（）A．4B．3C．9D．12【答案】D【解析】因为，若不等式恒成立，所以，因为，当且仅当时取等号，所以的最大值为，故选D.【考点】基本不等式.【方法点晴】本题主要考查了参数分为的求解，其中解答中涉及到基本不等式的应用、分离参数法等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中利用分离参数，得出是解得关键，同时注意基本不等式的条件，属于中档试题.42.一元二次不等式的解集为，则的值为（）A．-6B．6C．-5D．5【答案】B【解析】由一元二次不等式的解集为，所以是方程的两根，所以，解得，所以，故选B．【考点】一元二次不等式．43.已知点满足若的最小值为3，则的值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】画出不等式所表示的平面区域，该区域是位于第一象限的△ABC（如右图）通过直线方程联解，可得A（1，0），B（3，4），C（1，2）设z=F（x，y）=ax+y，可得F（1，0）=a，F（3，4）=3a+4，F（1，2）=a+2，显然，实数a不是零，接下来讨论：①当a＞0时，z=ax+y的最小值为F（1，0）=a=3，符合题意；②当a＜0时，z=ax+y的最小值为F（1，0），F（3，4），F（1，2）中的最小值，∵F（1，0）=a为负数，说明z的最小值为负数∴找不到负数a值，使z=ax+y的最小值为3．综上所述，得a=3．【考点】简单线性规划44.若是不全相等的正数，求证：．【答案】详见解析【解析】不等式的证明可采用分析法和综合法，本题中证明时不等式性质和不等式的加法性质证明不等式试题解析：∵，∴，又上述三个不等式中等号不能同时成立．∴成立．上式两边同时取常用对数，得，∴．【考点】不等式证明45.若满足，则的最大值为（）A．0B．1C．D．2【答案】D【解析】作出不等式组表示的平面区域，当l经过点B时，目标函数z达到最大值∴z最大值=0+2×1=2【考点】线性规划问题46.设实数满足不等式组，则的最大值为（）A．13B．10.5C．10D．0【答案】A【解析】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最大值为.【考点】线性规划.47.不等式的解集为A．B．C．D．【答案】C【解析】，解集为【考点】一元一次不等式解法48.不等式的解集为，那么（）A．B．C．D．【答案】A【解析】若不等式的解集为，则结合二次函数图象可知，应满足，故选A.【考点】一元二次不等式的解法.49.设,则下列不等式中恒成立的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设代入验证可知A正确，B错误，C正确，D错误，令可知A 错误，所以C项恒成立【考点】不等式性质50.在条件下，目标函数的最大值为40，则的最小值是 .【答案】【解析】试题分析:画出不等式组表示的平面区域如图,结合图形可以看出当动直线经过点时,取最大值,即,也即,所以,故的最小值是.应填答案.【考点】线性规划的知识及基本不等式的综合运用.【易错点晴】本题考查的是线性规划的知识与数形结合的数学思想的运用问题,解答时先准确的画出画出不等式组表示的区域,再搞清的几何意义,进而得出动直线经过点时,取最大值,即,也即,然后将化为,再运用基本不等式求出的最小值是,使得问题获解.51.设变量满足约束条件则目标函数最小值为（）A．B．C．1D．2【答案】A【解析】设变量满足约束条件在坐标系中画出可行域，如图所示，平移直线经过点时，最小，最小值为，则目标函数的最小值为，故选A．【考点】简单的线性规划问题．【方法点晴】本题主要考查了简单的线性规划问题，其中解答中涉及到二元一次不等式组所表示的平面区域、简单的线性规划求最值等质知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及数形结合思想的应用，其中此类问题的解得中正确作出约束条件所表示的平面区域和利用直线的平移找到最优解是解答的关键，属于基础题．52.已知是正数，且，比较与的大小【答案】>【解析】比较两个数的大小，可先重新组合，然后分解因式，写出几个因式相乘的形式，再根据条件判断每个因式的正负，从而比较出大小.试题解析：作差比较因为，所以所以>【考点】不等式53.若实数满足不等式组则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】不等式对应的可行域为直线所夹开口区域，顶点为，当过点时对应的值最小为2【考点】线性规划问题54.已知，那么的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由，则，所以，所以，故选C.【考点】不等式的性质.55.若a>b,则下列不等式中正确的是（）A．B．a2>b2C．D．a2+b2>2ab【答案】D【解析】当，A,B,C都不成立，而，当时成立，故选D.【考点】不等式的性质56.设不等式组表示的平面区域为D.若圆C：(x＋1)2＋(y＋1)2＝r2(r>0)不经过区域D上的点，则r的取值范围是( )A．[2，2]B．[2，3]C．[3，2]D．(0，2)∪(2，＋∞)【答案】D【解析】作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△MNP及其内部，其中M（1，1），N（2，2），P（1，3）∵圆C：（x+1）2+（y+1）2=r2（r＞0），表示以C（-1，-1）为圆心，半径为r的圆∴由图可得，当半径满足r＜CM或r＞CP时，圆C不经过区域D上的点，∵∴当0＜r＜或r＞时，圆C不经过区域D上的点【考点】简单线性规划；圆的标准方程57.已知点和在直线的两侧，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意可知【考点】直线方程58.定义：分子为1且分母为正整数的分数称为单位分数，我们可以把1拆为若干个不同的单位分数之和，如：，，，依此类推，可得：，其中，设，，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】又，，，时，原式最小为，故选：D.点睛：本题借助于类比的思想，考查了数列的裂项相消求和的解题方法：如果数列的通项可以“分裂成两项差”的形式，且相邻分裂项分裂后相关联那么常选用裂项相消法求和，常见的裂项形式有：.59.若则一定有（）A．B．C．D．【答案】D【解析】选择题可用特例法.不妨令，则，故选D.【考点】不等式的性质60.（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）设，且，求证：.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）不等式可化为，即.∴由上表，原不等式的解集为.（Ⅱ）∵，∴.∵，∴由平均值不等式.∴上面三个不等式相乘得61.已知实数x,y满足，若直线x+ky=1将可行域分成面积相等的两部分，则实数k的值为（）A．B．3C．-3D．-【答案】A【解析】由题意得，作出不等式组对应平面区域如图（三角形部分），因为直线过定点，所以点在平面区域内部，要使直线将可行域分成面积相等的两部分，则直线必过线段的中点，由，解得，即，由，解得，即，所以的中点，即，将的坐标代入直线得，解得.62.设函数是从1，2，3三个数中任意取一个数，是从2，3，4，5四个数中任意取一个数，则的概率是__________．【答案】【解析】 ,当且仅当时，取“=”，于是恒成立就转化为成立.设事件“恒成立”，则基本事件总数为个，即，，；事件包含事件：；共个，由古典概型得 ,故答案为 .【方法点睛】本题主要考查不等式恒成立问题及古典概型概率公式，属于中档题.古典概型中,基本亊件的探求方法有(1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求，注意在确定基本事件时可以看成是有序的，如与不同，有时也可以看成是无序的，如与相同；(3)排列组合法：在求一些较复杂的基本亊件的个数时，可利用排列或组合的知识.本题是利用方法（1）将基本事件一一列举后求概率的.63.若变量、满足约束条件，则的最小值为( )A．0B．2C．1D．3【答案】B【解析】可行域如图阴影部分，可行域内点到坐标原点连线的斜率最小值为 ,则，选B.64.），计算，，推测当时，有__________．【答案】【解析】因为所以.【考点】归纳推理.65.选修4—5：不等式选讲已知函数.（1）若不等式的解集为，求实数的值；（2）在（1）的条件下，若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）;（2）【解析】（1）利用不等式的解集为，去掉绝对值符号，然后求实数的值；（2）在（1）的条件下，若不等式对一切实数恒成立，转化为分段函数，求其最小值，然后求实数的取值范围.试题解析：（1）由得，解得，又不等式的解集为，所以，解得；（2）当时，，设，则，所以的最小值为，故当不等式对一切实数恒成立时实数的取值范围是.66.（1）若恒成立，求常数的取值范围.（2）已知非零常数满足，求不等式的解集；【答案】（1），或；（2），当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.【解析】（1）问题转化为(−1)(−2x+1)⩾0，通过讨论的范围求出不等式的解集，从而求出的范围即可．（2）根据条件可得，进而，或，分别讨论求解即可.（1）由已知得,|x− |⩾x−1⩾0,(x−)2⩾(x−1)2∴(−1)(−2x+1)⩾0，=1时,(−1)(−2x+1)⩾0恒成立>1时,由(−1)(−2x+1)⩾0得,⩾2x−1,从而⩾3<1时,由(−1)(−2x+1)⩾0得,⩽2x−1,从而⩽1综上所述,a的取值范围为(−∞,1]∪[3,+∞)…(10分)（2），∴，∴，或，当时，，，当时，，∴，或，∴或，综上，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为点睛：解决不等式恒成立问题的常用方法分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a即可；f(x)≤a恒成立，只需f(x)max≤a即可.67.已知函数.(1)求不等式的解集(2)设,证明:.【答案】（1）（2）见解析【解析】（1）根据绝对值定义将不等式转化为三个不等式组，分别求解集，最后求并集（2）利用分析法证明不等式：，平方作差并因式分解可得结论试题解析：(1)①当时,原不等式可化为,解得;②当时,原不等式可化为,解得,此时原不等式无解;③当时,原不等式可化为,解得.综上, .（2）因为,所以,要证,只需证,即证,即证,即证,即证.因为,所以,所以成立,所以原不等式成立.68.已知点(－3，1)和(0，－2)在直线x－y－a＝0的同一侧，则实数a的取值范围是__________．【答案】(－∞，－4)∪(2，＋∞)【解析】(－3－1－a)(0＋2－a)＞0，解得a＜－4或a＞2.69.设a，b，c是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是()A．B．a2＋≥a＋C．a－b＋≥2D．|a－b|≤|a－c|＋|b－c|。
高二数学不等式试题
高二数学不等式试题1.解关于的不等式：【答案】当或时，不等式解集是：;当或时，原不等式解集是：；当时，原不等式解集是：【解析】本试题主要是考查了一元二次不等式的求解的综合运用。
由于二次方程有根，但是根的大小不定，因此要对于根的情况，对判别式进行分类讨论，然后得到不同情况下的解集。
2.实数满足，则下列不等式正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】解：因为，利指数函数的图像与性质可知，B中指数函数y=a x（0＜a＜1）为减函数，因为a＜b，所以a a＞a b，所以B错误；C中指数函数y=b x（0＜b＜1）为减函数，因为a＜b，所以b a＞b b，所以选A3.已知集合，，则=（）A．B．C．D．【答案】B【解析】主要考查集合的运算及一元二次不等式解法。
解：因为，所以==，故选B。
4.已知集合，，且，则a的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】主要考查集合的运算及一元二次不等式解法。
解：因为，，又，所以，故选A。
5.若，是方程的两根，则的最小值是（）A．B．18C．2D．不存在【答案】C【解析】主要考查一元二次方程根与系数的关系及一元二次不等式解法。
解：因为，是方程的两根，所以，且从而====，，所以时，取到最小值是2.故选C。
6.求函数的定义域．【答案】 []]【解析】主要考查函数定义域的求法及一元二次不等式解法。
解：为使函数有意义，须，即，所以函数的定义域为。
7.已知集合，，则集合=（）A．B．C．D．【答案】C【解析】主要考查集合的运算及一元二次不等式解法。
解：因为，，所以=，故选C。
8.求函数的定义域．【答案】 []]【解析】主要考查函数定义域的求法及一元二次不等式解法。
解：为使函数有意义，须，即，所以函数的定义域为。
9.若x, y是正数，且，则xy有（）A．最大值16B．最小值C．最小值16D．最大值【答案】C【解析】主要考查不等关系与基本不等式。
解：因为x, y是正数，，所以，xy16，故选C。
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不等式练习题
一、选择题
1、若a,b 是任意实数,且a ＞b,则 ( ) （A ）a 2＞b 2 （B ）
a b ＜1 （C ）lg(a-b)＞0 （D ）(21)a ＜(2
1)b 2、下列不等式中成立的是 ( ) （A ）lgx+log x 10≥2(x ＞1) （B ）a
1
+a ≥2 (a ≠0) （C ）
a 1＜b
1
(a ＞b) （D ）a 21+t ≥a t (t ＞0,a ＞0,a ≠1) 3、已知a >0,b >0且a +b =1, 则()11
)(1122--b
a 的最小值为 ( )
(A )6 (B ) 7 (C ) 8 (D ) 9
4、已给下列不等式(1)x 3+ 3 >2x (x ∈R ); (2) a 5+b 5> a 3b 2+a 2b 3(a ,b ∈R );
(3) a 2+b 2≥2(a －b －1), 其中正确的个数为 ( ) (A ) 0个 (B ) 1个 (C ) 2个 (D ) 3个 5、f (n ) =
12+n －n , ϕ(n )=
n
21
, g (n ) = n 12--n , n ∈N ,则 ( ) (A ) f (n )<g (n ) <ϕ(n ) (B ) f (n )<ϕ(n )<g (n ) (C ) g (n )<ϕ(n )<g (n ) (D )g (n )<f (n )<ϕ(n )
6、设x 2+y 2 = 1, 则x +y ( ) (A ) 有最小值1 (B ) 有最小值2 (C )有最小值－1 (D ) 有最小值－2
7、不等式|x ＋5|＞3的解集是 ( ) (A){x|－8＜x ＜8} (B){x|－2＜x ＜2}
(C){x|x ＜－2或x ＞2＝ (D){x|x ＜－8或x ＞－2＝
8、若a ，b ，c 为任意实数，且a ＞b ，则下列不等式恒成立的是 ( ) (A)ac ＞bc (B)|a ＋c|＞|b ＋c| (C)a 2＞b 2 (D)a ＋c ＞b ＋c
9、设集合M={x|13-+x x ≤0},N={x|x 2+2x-3≤0},P={x|3
22)2
1(-+x x ≥1},则有 ( )
（A ）M ⊂N=P （B ）M ⊂N ⊂P （C ）M=P ⊂N （D ）M=N=P
10、设a,b ∈R,且a+b=3,则2a +2b 的最小值是 ( ) （A ）6 （B ）42 （C ）22 （D ）26
11、若关于x 的不等式ax 2＋bx －2＞0的解集是⎪⎭
⎫
⎝⎛+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛-
∞-,3121, ，则ab 等于( ) (A)－24 (B)24 (C)14 (D)－14
12、如果关于x 的不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4＜0对一切实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是 ( ) (A)]2,(-∞ (B))2,(--∞ (C)]2,2(- (D)(－2,2) 13、设不等式f(x)≥0的解集是[1，2]，不等式g(x) ≥0的解集为Φ，则不等式
0)
()
(>x g x f 的解集是 ( ) (A) Φ (B)+∞-∞,2()1,( ) (C)[1，2] (D)R
14、
2
2+>+x x
x x 的解集是 ( ) (A ) (－2,0) (B ) (－2,0) (C ) R (D ) (－∞,－2)∪(0,+ ∞) 15、不等式3
3
3
1>
--x
的解集是 ( ) (A ) (－∞,1) (B ) (
43,1 ) (C ) (4
3
,1) (D ) R 二、填空题
1、若x 与实数列a 1,a 2,…,a n 中各数差的平方和最小,则x=________.
2、不等式x
x
x
1
2
1log 〈的解集是________. 3、某工厂产量第二年增长率是p 1,第三年增长率是p 2,第四年增长率是p 3且p 1＋p 2＋p 3=m(定值),那么这三年平均增长率的最大值是________.
4、a ≥0,b ≥0,a 2＋2
2b
=1,则a 21b +的最大值是________.
5、若实数x 、y 满足xy ＞0且x 2y=2,则xy ＋x 2的最小值是________.
6、x ＞1时，f(x)=x ＋
1
1612++x x x 的最小值是________，此时x=________.
7、不等式log 4(8x －2x )≤x 的解集是________.
8、不等式
3
21
141-〉-x
x 的解集是________. 9、命题①：关于x 的不等式(a －2)x 2
＋2(a －2)x －4＜0对x ∈R 恒成立;命题②：f(x)=－(1
－3a －a 2)x
是减函数.若命题①、②至少有一个为真命题,则实数a 的取值范围是________. 10、设A={x|x ≥x
1
,x ∈R},B={x|12+x ＜3,x ∈R ＝,则D=A ∩B=________. 三、解答题
1、解不等式：1
211
922+-+-x x x x ≥7.
2、解不等式：x 4－2x 3－3x 2＜0.
3、解不等式：
6
55
92+--x x x ≥－2.
4、解不等式：2269x x x -+-＞3.
5、解不等式：232+-x x ＞x ＋5.
6、若x 2＋y 2=1，求(1＋xy)(1－xy)的最大、最小值。
7、若x,y ＞0，求
y
x y x ++的最大值。
8、已知关于x 的方程x 2＋(m 2－1)x ＋m －2=0的一个根比－1小，另一个根比1大， 求参数m 的取值范围。
9、解不等式：log a (x ＋1-a)>1. 10解不等式38->-x x .
不等式练习答案
一、DADCB DDDAB BCBAB 二、1、
n 1(a 1＋a 2＋…＋a n ) 2、0＜x ＜1或x ＞2 3、3
m
4、423
5、3
6、8,2＋3
7、(0,2
5
1log 2+) 8、0＜x ＜log 23 9、-3＜x ≤2 10、－
2
1
≤x ＜0或1≤x ＜4 三、1、[－21,1]∪(1,3
4
) 2、(－1,0)∪(0,3) 3、(－∞,2)∪(3,＋∞) 4、(0,3)
5、(－∞,－13
23
) 6、1， 43 7、2 8、－2＜m ＜0
9、解：(I)当a>1时，原不等式等价于不等式组：⎩
⎨⎧>-+>-+.101a a x a x ，
解得x>2a-1.
(II)当0<a<1时，原不等式等价于不等式组：⎩⎨
⎧<->-+.101a a x a x ＋
，
解得：a-1<x<2a-1.
综上，当a>1时，不等式的解集为{x|x>2a-1}；
当0<a<1时，不等式的解集为{x|a-1<x<2a-1}.
10、原不等价于不等式组(1)⎪⎩
⎪
⎨⎧->-≥-≥-2
)3(8030
8x x x x 或(2)⎩⎨⎧<-≥-0308x x
由(1)得2
21
53+<
≤x ， 由(2)得x ＜3， 故原不等式的解集为⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧+<
2215|x x。