1.3 导数的应用函数的极值PPT优秀课件
导数的应用:函数的极值问题 高中数学课堂教学ppT课件
练习1.函数f (x) 2x3 3x2 a的极大值为6,则a (C )
A.5
B.0
C.6
D.1
练习2.函数f (x) x3 ax2 3x 9,已知f (x)在x 3时取得极值,
则a (A)
A.5
B.0
C.6
D.1
练习3,若函数f (x) x3 ax2 3x 9无极值,则a的
(2)如果函数 y=f(x)在区间(a,x0)上是 单调递减 的,在区 间(x0,b)上是 单调递增 的,则 x0 是极小值点,f(x0)是极小值.
注:在不为单调函数的前提下,极值点是导函数的零点,即方程 的根。
如:已知函数f (x)的图象如下,则函数f (x)在区间[a, h] 上的极大值点和极小值点分别有( )个
取值范围为( C)
注:以下五点点加深对极值的理解 ,所有函数为可导函数
四、课堂小结
1.函数的极值的概念 2.会求函数的极值
答:极大值点有c,e,g 极小值点有:b,d,f
o
abc d e f
gh x
A.2,没有 C.4,0
B.(0,0), (4,0) D.(4,0), (0,0)
三、求函数的极值
注:求函数极值的步骤 (1)确定函数的定义域; (2)求方程 f′(x)=0 的根; (3)用方程 f′(x)=0 的根顺次将函数的定义域分成若干个 小开区间,并列成表格;(写出单调区间) (4)由 f′(x)在方程 f′(x)=0 的根左右的符号,来判断 f(x) 在这个根处取极值的情况.
提示:f(x)在(a,x0)上单调递增,导数大于零,在(x0,b)上单 调递减,导数小于零.
问题 4:函数 y=g(x)在(a,b)上,结论如何? 提示:与 y=f(x)在(a,b)上结论相反.
《函数的极值和导数》课件
Part
05
导数的计算方法
导数的四则运算规则
01
加法法则
$(uv)' = u'v + uv'$
02
减法法则
$(u-v)' = u'-v'$
03
乘法法则
$(uv)' = u'v + uv'$
04
除法法则
$left(frac{u}{v}right)' = frac{u'v-uv'}{v^2}$
复合函数的导数计算
最小成本问题
总结词
利用极值理论寻找最小成本
详细描述
在生产和经营活动中,也常常需要寻求最小成本。通过建立数学模型,利用函数的极值和 导数,可以找到使得成本最小的生产量、原材料采购量等决策变量。
实例
某公司需要采购原材料,每次采购的成本包括固定成本5万元和变动成本与采购量的比例 系数0.1万元/单位。求该公司的最小总成本。通过建立函数并求导,可以找到使得总成本 最小的采购量。
Part
03
极值在实际问题中的应用
最大利润问题
01
总结词
利用极值理论寻找最大利润
02 03
详细描述
在生产和经营活动中,常常需要寻求最大利润。通过建立数学模型,利 用函数的极值和导数,可以找到使得利润最大的生产量、价格等决策变 量。
实例
某公司生产一种产品,其固定成本为100万元,每生产一个单位的产品 ,成本为2万元,售价为5万元。求该公司的最大利润。通过建立函数并 求导,可以找到使得利润最大的产量。
Part
04
导数的几何意义
导数在平面上的表示
切线斜率
高中数学1.3.2函数的极值与导数优秀课件
本课结束
答案
(1)极小值点与极小值 函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都 小,f′(a)=0;而且在点x=a附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0.那么把点a 叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值. (2)极大值点与极大值 函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都 大,f′(b)=0;而且在点x=b附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0.那么把点b 叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值极.大值点 、
极小值点 统称为极值点,极大值和极小值统称为极值.
答案
知识点二 求函数y=f(x)极值的方法
解方程f′(x)=0,当f′(x0)=0时, (1)如果在x0附近的左侧f′(x) > 0,右侧f′(x) < 0,那么f(x0)是极大值. (2)如果在x0附近的左侧f′(x) < 0,右侧f′(x) > 0,那么f(x0)是极小值.
解析答案
类型三 函数极值的综合应用 例3 设函数f(x)=x3-6x+5,x∈R. (1)求函数f(x)的单调区间和极值; 解 f′(x)=3x2-6,令f′(x)=0, 解得 x1=- 2,x2= 2.
因为当 x> 2或 x<- 2时,f′(x)>0; 当- 2<x< 2时,f′(x)<0. 所以,f(x)的单调递增区间为(-∞,- 2)和( 2,+∞);
第一章 §1.3 导数在研究函数中的应用
函数的极值与导数
学习目标
1.了解函数极值的概念,会从几何方面直观理解函数的极值与导数的 关系,并会灵活应用. 2.掌握函数极值的判定及求法. 3.掌握函数在某一点取得极值的条件.
《函数的极值与导数》课件
应用示例
求函数的极值
通过求导和分析导数的变化,可以确定函数的极值 点和对应的极值。
求解实际问题
将实际问题转化为数学模型,并通过求导求解极值 来得到最优解。
端点的极值
函数定义域的端点如果存在极值,则称为端点描述函数在某一点处 的变化率,即函数曲线在 该点的切线斜率。
2 导数的意义
导数可以帮助我们分析函 数的变化趋势和特征,以 及确定函数的极值。
3 导数的符号表示
通常用f'(x)、dy/dx或y'来 表示函数f(x)的导数。
2
得到一些常见函数的导数表达式。
利用导数的性质,可以对复杂函数进行
四则运算的求导。
3
导数的链式法则
对复合函数求导时,可以使用链式法则 进行求导。
极值的判定
1 极值的必要条件
函数在极值点处的导数为 零或不存在。
2 极值的充分条件
当函数在极值点的导数发 生变号时,即可判断该点 为极值的充分条件。
3 极值的分类
导数与函数的关系
导数刻画函数的变化 趋势
导数的正负性可以描述函数的 单调性和变化趋势。
导数判断函数的单调 性
函数在导数大于零的区间上单 调递增,在导数小于零的区间 上单调递减。
极值与导数的关系
极值出现的地方,导数为零或 不存在。
导数的计算
1
基本导数公式
根据函数的基本性质和求导法则,可以
导数的四则运算
《函数的极值与导数》 PPT课件
欢迎来到《函数的极值与导数》PPT课件!本课程将带你深入了解函数的极值 和导数的概念,以及它们之间的关系。准备好迎接这趟知识之旅了吗?让我 们开始吧!
函数的极值与导数PPT优秀课件
(如图)过点(1,0),(2,0), 求:
(1) x 0 的值;(2)a,b,c的值;
略解:
(1)由图像可知: x0 1
(2) f(1)abc5 f/(x)3a= 2x 2b xc (a 0)
-
2
3 c
利用导数讨论函数单调的步骤:
已知:y =f(x) 的定义域 D
(1)求导数 f (x)
(2)解不等式 f('x)0且 xD
得f(x)的单调递增区间;
解不等式 f('x)0且 xD
得f(x)的单调递减区间.
(3)下结论
注、单调区间不能以“并集”出现。
3.3.2 函数的极值与导数
探究、 如图,①函数y=f(x)在A,B 等点的函数值与这些点附近的函数值 有什么关系?
案例分析
函数 f(x)x3a2xb xa2
在 x 1 时有极值10,则a,b的值为(C )
A、a3,b3或 a4,b11
B、a4,b1或 a4,b11
C、a4,b11
案例分析
函数 f(x)x3a2xb xa2
在 x 1 时有极值10,则a,b的值为( )
②y=f(x)在这些点的导数值是多少?
y=f(x)
a b
A
Hale Waihona Puke 函数极值的定义极大值点,极小值点统称为极值点.
注:①函数的极大值、极小值未必是 函数的最大值、最小值.
② 极大值不一定小于极小值
B f(b)
aa
bb f(a)
A
• 探索: x =0是否为函数 f(x)=x3的极值点?
导数及其应用利用导数研究函数的极值最值课件
导数及其应用 利用导数研究函数的极值最值 课件 理 ppt xx年xx月xx日contents •导数及其应用•利用导数研究函数的极值最值•课件制作技巧•案例分析•导数的进一步学习与拓展目录01导数及其应用1导数的定义23导数是函数在某一点的变化率,它描述了函数在某一点的斜率。
导数的定义导数的几何意义是函数在某一点的切线斜率。
导数的几何意义导数的物理意义是速度的变化率,即物体运动的速度在某一时刻的变化率。
导数的物理意义导数的计算根据导数的定义,通过求极限来计算导数。
定义法公式法表格法图像法利用导数的运算法则和公式来计算导数。
利用导数表来计算导数。
利用函数图像来估计导数。
最优问题导数可以帮助我们找到最优解,例如在经济学、工程学等领域中,利用导数可以找到最优的成本、价格、利润等。
导数在实际问题中的应用运动问题导数可以描述物体的运动状态,例如速度、加速度等,利用导数可以解决运动问题,例如计算轨迹、碰撞时间等。
物理问题导数可以描述物理现象的变化规律,例如温度、压力、电流等,利用导数可以解决物理问题,例如计算热传导、弹性力学等。
02利用导数研究函数的极值最值极值的定义:设函数$f(x)$在点$x_{0}$的附近有定义。
若在$x_{0}$的左侧$f(x)$单调递增。
在$x_{0}$的右侧$f(x)$单调递减定义法:判断导数由正变负的点,这些点为可能极值点,再检验这些点两侧的导数值,确定是否为极值点。
表格法:通过列表计算函数在各点的导数值,并判断其正负,从而得到极值点。
极值的判定方法极值的概念及判定方法最值的定义及求法最值的定义:函数在某区间内取得最大(小)值的点称为最值点。
对于连续函数,还可以利用介值定理求解最值。
最值的求法利用定义法或表格法求极值点,然后比较极值与端点函数值的大小关系,从而得到最值。
1导数在极值最值问题中的综合应用23导数在极值最值问题中的应用非常广泛,例如在经济、物理、工程等领域都有应用。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
五、极值应用
1、利用极值判断或讨论方程根的个数
x •(…,b) •b •(b,
f ’(x) • + •0 •…) -
f (x)
•f(
b)
(4)结论
x •(…,a) •a •(a,
f ’(x) • - •0 •…) +
f (x)
•f(
a)
表格法 注意:表格要体现定义域
例1:书P28例题4
练习:书P29 2
求函 f(x)数 1x34x4的极 . 值
b
x
口诀:左负右正为极小,左正右负为极大。
练习:书P29练习1,P32 习题4 类似:《智力报》P6 1.3.2及时练 3
《智力报》P37
(1) 求导函数f `(x)及定义域;
(2) 求解方程f `(x)=0;
(3) 检查f `(x)在方程f `(x)=0的根的左右 的符号,并根据符号确定极大值与极小值.
由x0,x1,x2,将定义域分成四个 , 区间
f '(x),f (x)的变化情况如 : 表
x (-∞, 0)
0 (0,1) 1 (1,2)
2 (2,+∞)
f’(x)
-
f(x)
↘
不存在 +
0
- 不存在
+
极小值0 ↗ 极大值1 ↘ 极小值0
↗
当 x 0 或 x 2 时 ,f( x ) 极 小 0 ;当 x 值 1 时 f( x ) 极 大 1 值
4、某区间上的单调的函数没有极值. 有极值就不单调
5、极大值与极小值没有必然的大小关系, 即极大值不一定比极小值大,极小值不 一定比极大值小.
6、函数的极大值、极小值未必是函数的最大值、
最小值.
7、函数f(x)在某区间内有极值,它的极值点的分布是 有规律的,相邻两个极大值点之间必有一个极小值 点,同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点. 一般地,当函数f(x)在某区间上可导且有有限极值 点时,函数f(x)在该区间内的极大值点与极小值点 是交替出现的.
作业:(1)书 P 32 5(4)
(2) 求函 f(x)数 x2ex的极 . 值
(3)
求函数
a2 f(x)x
(a0)
的极值.
x
(4): 已知函数 f(x)满足条件:①当x>2时, f(x)0
②当 x<2时, f(x ) 0③ f(2 ) 0
求证:函数 y f (x2) 在 x 2 处有极小值.
y’
+ 不存在 — 0
+
y
↗
↘
↗
而,当x=
2 5
时有极小值,并且,y极小值=
.
四、0导数点与极值点的关系?
例题3: 求函y数 3x55x3的极值
解: y 1x4 5 1x2 5 1x2 5 (x 1 )x ( 1 )
令 y 0 ,解得 x1=-1, x2=0,x3=1. xR 当x变化时, y ,y的变化情况如下表:
导数的应用—函数的极值
一、函数极值的定义:
一般函数y=f(x)在a,b,d,e,f,g,h,i等点的 函数值与这些点附近的函数值有什么关系?
y=f(x) y y=f(x)
a b
cd e f o g h i j x
【函数极值的定义】
设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义, (1)如果在x=x0处的函数值比它附近所有各点的函数值 都大,即f(x)<f(x0),则称 f(x0)是函数 y=f(x)的一个极大值.记作:y极大值=f(x0)
(2)如果在x=x0处的函数值比它附近所有各点的函数值 都小,即f(x)>f(x0),则称 f(x0)是函数 y=f(x)的一个极小值.记作:y极小值=f(x0)
极大值与极小值统称为极值,x0叫做函数的极值点.
说明
1、极大值与极小值统称为极值. 2、极值点是自变量,极值是函数值
3、极值点是区间内部的点而不会是端点.
例题2:求函 y数 (x1)3x2的极 . 值
解:y
2
x332(x1)31x
5(x2)
5 33x
令 y 0 ,解得 x 2
开区间极值 唯一,则该 极值则为最
xR
当x变化时,
y
5 ,y的变化情况如下表:
值
x
,0
0
0 , 2 5
2 5
2 , 5
右侧f /(x0)<0, 那么f(x0)是极大值
y
f(x0)0
f(x)0 f(x)0
oa
X00
b
x
(2)如果f /(x0)=0, 并且在x0附近的左侧 f /(x0)<0
右侧f /(x0)>0, 那么f(x0)是极小值
y
f(x)0
f(x)0
f(x0)0
左右导 数异号
oa
X0
3
解: yx24(x2 )x (2 ).
f (x)
令 y 0,解得x1=-2,x2=2.
-2
2
xR 当x变化时, y ,y的变化情况如下表:
x (-∞,-2) y’ + y↗
-2 0 极大值
(-2,2) — ↘
2 0 极小值
(2,+∞) + ↗
因此,当x=-2时有极大值,并且,y极大值=28/3; 而,当x=2时有极小值,并且,y极小值=- 4/3.
x (-∞,-1) -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 (1,+∞)
y’ + 0 — 0 — 0 +
y↗
↘
↘
↗
因此,当x= -1时有极大值,并且,y极大值= 2 ; 而,当x= 1 时有极小值,并且,y极小值= -2 .
结论
1、可导函数的极值点 导数为0
2**、不可导点也可能是极值点,主要按定义判断 (即左右导数异号)
拓展 例 .求 函 数 f(x ) 3(2 x x 2 )2 的 极 值 (答案见下页)
知识拓展
例 .求 函 数 f(x ) 3(2 x x 2 )2 的 极 值
解 :f(x )的 定 义 域 为 ( , ) f
'(x) 4(1x) 33 x(2x)
令f'(x)0,解x得 1当 x0及 x2时 ,f'(x)不存 . 在
二、极值点左右的导数符号变化情况
h oa
h’(t)=0
单调递增 h’(t)>0
单调递减 h’(t)<0
t
函数y=f(x)在极值点的导数值为多少?在极值点左 右附近的导数符号有什么规律?
y
f (x3)
f (x4 )
f (x1 )
f (x2)
O a x1
x2
x3 x4 b
x
结论:
(1)如果f /(x0)=0, 并且在x0附近的左侧f /(x0)>0