06-内力

x
hxH
1 2 FN2 ( D d 2 )πgx P 0 4 1 FN2 ( D 2 d 2 )πgx P 4
例 如图的塔的材料密度为ρ，塔中了望台总重 P，塔外径为 D， 内径为 d，求横截面上的轴力。
h
g
x P
1 A π( D 2 d 2 ) 4 0 xh 1 2 FN1 ( D d 2 )πgx 0 4 1 2 FN1 ( D d 2 )πgx 4
结论 直梁某个横截面上的弯矩，其数值等于该截 面左端（或右端）全部力偶矩以及全部作用力（包 括支反力）对该截面矩的代数和。
例 求承受均布荷载的简支梁的内力方程，并画出相应的剪力 图和弯矩图。 1 FS qL qx y 2
q M
x x qL / 2 FS L
m 0
1 2 1 qx qLx M ( x) 0 2 2 1 M ( x) qx( L x) 2
F
y
0
FS qdx ( FS dFS ) 0
dF q S dx
dFS q dx
dM FS = dx
梁的平衡微分方程 ( differential equations of equilibrium )
m 0
控制面 AB 之间只有分布荷载作用
q(x)

A B FS
dFS q dx dM FS dx
如何利用荷载、剪力和弯矩之间的关系不经建立剪力 弯矩方程而直接画出剪力弯矩图？
荷载形式、剪力图和弯矩图之间的关系
剪
FS 0 q0
力
图
弯
MC
矩
图
FS > 0 FS < 0
均布力
q
q>0
q<0
剪
力
图
弯
矩
图
向上跃变 P 集中力 P
向下跃变 P
集中力 顺时针 偶矩 m 逆时针
不 受 影 响
向上跃变 m
矩图。
6.1
内力 ( internal forces ) 定义和符号规定
内力是分布力系。
但是可以将复杂的分布力系 简化为形心上的主矢和主矩。 这种主矢和主矩对于该横截 面引起何种变形效应？
1. 内力的定义
6.1
内力 ( internal forces ) 定义和符号规定
主矢 Fx 轴力 FN ( axial force )
剪力弯矩图规律
FS F A
集中力作用处弯矩图是光滑的吗？
M
FS FS F
A
剪力图产生跃变
弯矩图产生尖角
6.3.2 梁承受集中荷载的情况
集中力 偶矩
y
F
m q m x
FS F x S
M M

Fy 0
FS FS
集中力偶矩作用处剪力值是连续的。 小量
m0
M M FS Δ x m 0
FS ( B ) FS ( A) q( x )dx
A

B A
B

A B
M ( B ) M ( A) FS ( x )dx
FS B S

S
重要结论 直梁 B 截面上的剪力，等 截面上的弯矩，等
于 A 截面上的剪力与 AB 区间内荷载图 截面上的弯矩与 区间内剪力图
A
M
面积的代数和。
注意
2m 3.25 kN
1m
动脑又动笔
下列各截面上的弯矩为多少？
P
q
a 2
a 2
a 2
a 2
P
q L
L
分析和讨论
如何分析下列结构中主梁的剪力和弯矩？
2kN 1 kNm 0.5m
1m
1m
1m
2kN
2kN 2kNm
2kNm
1m
1m
1m
6.3
梁的平衡微分方程及其应用
如何画出如图结构的剪力图和弯矩图？
例 如图的塔的材料密度为ρ，塔中了望台总重 P，塔外径为 D， 内径为 d，求横截面上的轴力。
h
g
x h
x FN1
1 A π( D 2 d 2 ) 4 0 xh
H
P
H
FN2
1 2 FN1 ( D d 2 )πgx 0 4 1 2 FN1 ( D d 2 )πgx 4
不 受 影 响
向下跃变 m
例
y
画出梁的剪力弯矩图。
FS P x
例 如图的塔的材料密度为ρ，塔中了望台总重 P，塔外径为 D， 内径为 d，求横截面上的轴力。
h
g
h
分析 塔体的自重可简化为沿 轴向的均布荷载。了望台重量 简化为集中力。
H
P
H
建立如图的坐标系。 在用截面法分析轴力时， 可考虑取上部为分析对象，这
x
样可以避免求下端的支反力。
由于截面取在了望台上方时无须考虑力 P ，而取在下方 则应考虑力 P ，故应分段分析。
q qa2/ 2 qa
a
a
a
需要分段写出剪力方程和弯矩方程。
控制面
qa
q qa / 2
2
分布荷载的起始点和结束点
构成控制面。 集中力或集中力偶矩作用处
a FS
a
a
的左侧面和右侧面构成控制面。
两个控制面之间的荷载：
qa
x qa M x
分布荷载（包括荷载为零） 集中力 集中力偶矩
两个控制面之间的图形： 直线 曲线 跃变
H
FN2
x
hxH
1 2 FN2 ( D d 2 )πgx P 0 4 1 FN2 ( D 2 d 2 )πgx P 4
例 如图的塔的材料密度为ρ，塔中了望台总重 P，塔外径为 D， 内径为 d，求横截面上的轴力。hຫໍສະໝຸດ ghx轴力图
FN
1 ( D 2 d 2 )πgh P 4
40 150 20
作用在丝锥顶部的力偶矩
m 2 150 10 3000 N mm
作用在齿部的平均力偶矩
m B t
A
C
t 3000 20 150 N mm mm
例 使用丝锥时每手用力 10N，假定各锥
齿上受力相等，试画出丝锥的扭矩图。 分析 锥齿段外力偶矩可简化为均布力偶 矩。人加荷载简化为集中力偶矩。 计算模型如图
此处的 “面积” 位于横轴下方则为负数。
剪力弯矩图的规律
均布荷载
q
A a B A
二次抛物线 直线
FS S qa B S A B M
剪力图线穿过横轴：
FS
出现极值
M
FS B FS A qa
A
B
A
B
6.3.2 梁承受集中荷载的情况
F y
F
集中力
q
m x
M M

FS F x S
Fy 0
FS FS F
集中力 F 的作用使剪力在其作用处产生一个增量，增量 的幅度就是 F 。 小量
S

m0
1 M M F Δ x F Δx 0 2

M M
集中力作用处弯矩值是连续的。
6.3.2 梁承受集中荷载的情况
F y
F
集中力
q
m x
M M
FS FS
扭矩的正号
扭矩的负号
使微元区段表面纵线有变为右手螺旋线趋势的扭矩为正。
剪力的正号
剪力的负号
使微元区段有左上右下错动趋势的剪力为正。
弯矩的正号
弯矩的负号
使微元区段有变凹趋势的弯矩为正。
6.2 内力方程及内力图
用截面法求内力方程
依据 杆件整体平衡时，它的任何一个局部也平衡。
F
x
0, 0,
qa2/ 2
qa2
两个控制面之间的典型荷载
y
F
q
m x
分布荷载（包括荷载为零） 集中力 集中力偶矩
建立如图的坐标系
6.3.1 梁承受分布荷载的情况
q M+dM FS+dFS dx
二阶小量
FS
M
1 M dM M FSdx 0q(dx )2 0 2 dM FS dx
重要公式
40 150 T 20
扭矩图
3000
x m B t 40 60
A
C
例 求承受均布荷载的简支梁的内力方程，并画出相应的剪力 图和弯矩图。 先求支反力。
y
q
q M x
建立坐标系并取截面。
x qL qL / 2 /2
FS
F
y
0
L qL / 2
1 qL qx FS ( x) 0 2 1 FS ( x) qL qx 2
40 150 20
作用在丝锥顶部的力偶矩
m 2 150 10 3000 N mm
作用在齿部的平均力偶矩
m B t
A
C
t 3000 20 150 N mm mm
m 3000 N mm
t 150 N mm mm
在 AB 区段取截面，易得扭矩为常数 m。 C 截面处扭矩为零。 在 BC 区段内，扭矩线性地减小。
M M m
集中力偶矩 m 的作用使弯矩在其作用处产生一个增量， 增量的幅度就是 m 。
6.3.2 梁承受集中荷载的情况
集中力 偶矩
y
F
m q m x
M M
FS FS
剪力弯矩图规律
集中力偶矩作用处剪力图是光滑的吗？ M FS
m A A
M M m