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解：(1)设点 A′(x′，y′)，由伸缩变换 φ：
2x′ y′＝＝y3x得xy′′＝＝3y2x，，
∴x′＝13×3＝1，y′＝－22＝－1. ∴点 A′的坐标为(1，－1)．
(2)设 P′(x′，y′)是直线 l′上任意一点．
由伸缩变换 φ：2xy′′＝＝3yx， ，得xy＝＝x23′y′，
解：(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线 C 上的点 (x，y)，依题意，得xy＝＝x21y，1.
由 x21＋y21＝1 得 x2＋y22＝1， 故曲线 C 的方程为 x2＋y42＝1.
(2)由2xx2＋＋y4y2－＝21＝，0，解得yx＝ ＝10，或xy＝＝02，
解：(1)因为 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
所以 C1 的极坐标方程为 ρcos θ＝－2，
C2 的极坐标方程为 ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.
(2)将
π θ＝ 4 代入
ρ2－2ρcos
θ－4ρsin
θ＋4＝0，得
ρ2－3 2ρ＋4＝0，解得 ρ1＝2 2，ρ2＝ 2.
故 ρ1－ρ2＝ 2，即|MN|＝ 2.

化简，得 ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0.
则圆 C 的直角坐标方程为 x2＋y2－2x＋2y－4＝0， 即(x－1)2＋(y＋1)2＝6，
所以圆 C 的半径为 6.
在极坐标系中，已知直线 l 的极坐标方程为

ρsinθ

＋π4
＝1，圆

C
的圆心的极坐标是
C1，π4
，圆的半径为
π 1．本题中圆 C 的圆心过极点，从而得到∠AOD＝ 4 －θ，或
π ∠AOD＝θ－ 4 ，当然如果建系不同，曲线的极坐标方程也会不同， 因此建立适当的极坐标系，可简化运算过程．
2．由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直 接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解．
(2015·课 标 全 国 Ⅱ 卷 ) 在 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 曲 线 C1 ：
2．求交点坐标，得直线方程，最后化为极坐标方程，其实质是 将 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入转化．
在平面直角坐标系中，已知伸缩变换 φ：x2′y′＝＝3xy.， (1)求点 A13，－2经过 φ 变换所得点 A′的坐标； (2)求直线 l：y＝6x 经过 φ 变换后所得直线 l′的方程．
x＝tcos y＝tsin
α α
， (t
为参数，t≠0)，其中
0≤α＜π .在以
O
为极点，x
轴
正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：ρ＝2sin θ ，C3：ρ＝2 3cos
θ.
(1)求 C2 与 C3 交点的直角坐标；
(2)若 C1 与 C2 相交于点 A，C1 与 C3 相交于点 B，求|AB|的最大

1.
(1)求圆 C 的极坐标方程；
(2)求直线 l 被圆 C 所截得的弦长．
解：(1)设 O 为极点，OD 为圆 C 的直径，A(ρ，θ)为圆 C 上的
π
π
一个动点，则∠AOD＝ 4 －θ 或∠AOD＝θ－ 4 ，
OA＝ODcosπ4 －θ或 OA＝ODcosθ－π4 ，
由于 C2 的半径为 1，所以△C2MN 的面积为21.
1．进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式： x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，ρ2＝x2＋y2，tan θ＝yx(x≠0)．
2．进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，要注意 ρ，θ的取 值范围及其影响；要善于对方程进行合理变形，并重视公式的逆向与 变形使用；要灵活运用代入法和平方法等技巧．
值．
解：(1)曲线 C2 的直角坐标方程为 x2＋y2－2y＝0，曲线 C3 的直
所以圆 C 的极坐标方程为 ρ＝2cosθ－π4 .
(2)由 ρsinθ＋π4 ＝1，得 22ρ(sin θ＋cos θ)＝1， ∴直线 l 的直角坐标方程为 x＋y－ 2＝0，
又圆心
C
的直角坐标为

22，
22满足直线
l
的方程，
∴直线 l 过圆 C 的圆心，
故直线被圆所截得的弦长为直径 2.
代入 y＝6x，得 2y′＝6·x′3 ＝2x′， ∴y′＝x′为所求直线 l′的方程．
(2015·课标全国Ⅰ卷)在直角坐标系 xOy 中，直线 C1： x＝－2，圆 C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正 半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求 C1，C2 的极坐标方程； (2)若直线 C3 的极坐标方程为 θ＝π4 (ρ∈R)，设 C2 与 C3 的交点 为 M，N，求△C2MN 的面积．
(2015·江苏卷)已知圆 C 的极坐标方程为 ρ2＋2
2ρ

sinθ

－π4

－4＝0，求圆 C 的半径．
解：以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点 O，以极轴为 x
轴的正半2＋2
2ρ

2 2 sin
θ－
2 2 cos
θ－4＝0，
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选修4－4 坐标系与参数方程
第一节 坐标系
将圆 x2＋y2＝1 上每一点的横坐标保持不变，纵坐标 变为原来的 2 倍，得曲线 C.
(1)求曲线 C 的标准方程； (2)设直线 l：2x＋y－2＝0 与 C 的交点为 P1，P2，以坐标原点为 极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段 P1P2 的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程．
不妨设 P1(1，0)，P2(0，2)，则线段 P1P2 的中点坐标为12，1，
所求直线斜率为 k＝12，
于是所求直线方程为 y－1＝12x－12，
化为极坐标方程，并整理得 2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，
故所求直线的极坐标方程为 ρ＝4sin
3 θ－2cos
θ.
1．解答该类问题应明确两点：一是根据平面直角坐标系中的伸 缩变换公式的意义与作用；二是明确变换前的 P(x，y)与变换后的点 P′(x′，y′)的坐标关系，利用方程思想求解．