2019_2020学年高中数学课时达标训练(九)等差数列的前n项和(含解析)新人教A版必修5
2019-2020学年高中数学课时跟踪检测九等差数列的前n项和苏教版必修
层级二 应试能力达标
1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S4＝40，Sn＝210，Sn－4＝130，则n＝( )
A．12B．14
C．16D．18
解析：选B 因为Sn－Sn－4＝an＋an－1＋an－2＋an－3＝80，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝40，所以4(a1＋an)＝120，a1＋an＝30，由Sn＝ ＝210，得n＝14.
2．一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为120°，公差为5°，那么这个多边形的边数n等于( )
A．12B．16
C．9D．16或9
解析：选C 设凸多边形的内角组成的等差数列为{an}，则an＝120＋5(n－1)＝5n＋115，由an<180，得n<13且n∈N*.由n边形内角和定理得，(n－2)×180＝n×120＋ ×5.解得n＝16或n＝9.∵n<13，∴n＝9.
8．在数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2＋an＝2an＋1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设Sn是数列{|an|}的前n项和，求Sn.
解：(1)由2an＋1＝an＋2＋an可得{an}是等差数列，
且公差d＝ ＝ ＝－2.
∴an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋10.
(2)令an≥0，得n≤5.
＝n2－9n＋40，
∴Sn＝
即当n≤5时，an≥0，n≥6时，an<0.
∴当n≤5时，Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋an＝－n2＋9n；
当n≥6时，Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
(完整版)等差数列的前n项和练习含答案
课时作业8 等差数列的前n 项和时间：45分钟 满分：100分课堂训练1．已知{a n }为等差数列，a 1＝35，d ＝－2，S n ＝0，则n 等于( ) A ．33 B ．34 C ．35 D ．36【答案】 D【解析】 本题考查等差数列的前n 项和公式．由S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝35n ＋n (n －1)2×(－2)＝0，可以求出n ＝36.2．等差数列{a n }中，3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24，则数列前13项的和是( )A ．13B ．26C ．52D ．156 【答案】 B【解析】 3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24⇒6a 4＋6a 10＝24⇒a 4＋a 10＝4⇒S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13(a 4＋a 10)2＝13×42＝26. 3．等差数列的前n 项和为S n ，S 10＝20，S 20＝50.则S 30＝________. 【答案】 90【解析】 等差数列的片断数列和依次成等差数列． ∴S 10，S 20－S 10，S 30－S 20也成等差数列． ∴2(S 20－S 10)＝(S 30－S 20)＋S 10，解得S 30＝90.4．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 12＝84，S 20＝460，求S 28. 【分析】 (1)应用基本量法列出关于a 1和d 的方程组，解出a 1和d ，进而求得S 28；(2)因为数列不是常数列，因此S n 是关于n 的一元二次函数且常数项为零．设S n ＝an 2＋bn ，代入条件S 12＝84，S 20＝460，可得a 、b ，则可求S 28；(3)由S n ＝d 2n 2＋n (a 1－d 2)得S n n ＝d 2n ＋(a 1－d2)，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是一个等差数列，又2×20＝12＋28，∴2×S 2020＝S 1212＋S 2828，可求得S 28.【解析】 方法一：设{a n }的公差为d ， 则S n ＝na 1＋n (n －1)2d .由已知条件得：⎩⎨⎧12a 1＋12×112d ＝84，20a 1＋20×192d ＝460，整理得⎩⎨⎧2a 1＋11d ＝14，2a 1＋19d ＝46，解得⎩⎨⎧a 1＝－15，d ＝4.所以S n ＝－15n ＋n (n －1)2×4＝2n 2－17n ， 所以S 28＝2×282－17×28＝1 092.方法二：设数列的前n 项和为S n ，则S n ＝an 2＋bn . 因为S 12＝84，S 20＝460，所以⎩⎨⎧122a ＋12b ＝84，202a ＋20b ＝460，整理得⎩⎨⎧12a ＋b ＝7，20a ＋b ＝23.解之得a ＝2，b ＝－17， 所以S n ＝2n 2－17n ，S 28＝1 092. 方法三：∵{a n }为等差数列， 所以S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，所以S n n ＝a 1－d 2＋d2n ，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列．因为12,20,28成等差数列， 所以S 1212，S 2020，S 2828成等差数列， 所以2×S 2020＝S 1212＋S 2828，解得S 28＝1 092.【规律方法】 基本量法求出a 1和d 是解决此类问题的基本方法，应熟练掌握．根据等差数列的性质探寻其他解法，可以开阔思路，有时可以简化计算．课后作业一、选择题(每小题5分，共40分)1．已知等差数列{a n }中，a 2＝7，a 4＝15，则前10项的和S 10等于( )A ．100B ．210C ．380D ．400【答案】 B【解析】 d ＝a 4－a 24－2＝15－72＝4，则a 1＝3，所以S 10＝210.2．在等差数列{a n }中，a 2＋a 5＝19，S 5＝40，则a 10＝( ) A ．27 B ．24 C ．29 D ．48【答案】 C 【解析】由已知⎩⎨⎧2a 1＋5d ＝19，5a 1＋10d ＝40.解得⎩⎨⎧a 1＝2，d ＝3.∴a 10＝2＋9×3＝29.3．数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋2n －1，则这个数列一定是( ) A ．等差数列 B ．非等差数列 C ．常数列 D ．等差数列或常数列 【答案】 B【解析】 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋2n －1－[(n －1)2＋2(n －1)－1]＝2n ＋1，当n ＝1时a 1＝S 1＝2.∴a n ＝⎩⎨⎧2，n ＝1，2n ＋1，n ≥2，这不是等差数列．4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )C ．8D ．9【答案】 A 【解析】⎩⎨⎧a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，∴⎩⎨⎧a 1＝－11，d ＝2，∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－11n ＋n 2－n ＝n 2－12n . ＝(n －6)2－36. 即n ＝6时，S n 最小．5．一个只有有限项的等差数列，它的前5项的和为34，最后5项的和为146，所有项的和为234，则它的第7项等于( )A ．22B ．21C ．19D ．18【答案】 D【解析】 ∵a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34， a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＋a n －4＝146， ∴5(a 1＋a n )＝180，a 1＋a n ＝36， S n ＝n (a 1＋a n )2＝n ×362＝234. ∴n ＝13，S 13＝13a 7＝234.∴a 7＝18.6．一个有11项的等差数列，奇数项之和为30，则它的中间项为( )A ．8B ．7【答案】 D【解析】 S 奇＝6a 1＋6×52×2d ＝30，a 1＋5d ＝5，S 偶＝5a 2＋5×42×2d ＝5(a 1＋5d )＝25，a 中＝S 奇－S 偶＝30－25＝5.7．若两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别是S n ，T n ，已知S n T n＝7n n ＋3，则a 5b 5等于( ) A ．7 B.23 C.278 D.214【答案】 D【解析】 a 5b 5＝2a 52b 5＝a 1＋a 9b 1＋b 9＝92(a 1＋a 9)92(b 1＋b 9)＝S 9T 9＝214.8．已知数列{a n }中，a 1＝－60，a n ＋1＝a n ＋3，则|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 30|等于( )A ．445B ．765C ．1 080D ．1 305 【答案】 B【解析】 a n ＋1－a n ＝3，∴{a n }为等差数列． ∴a n ＝－60＋(n －1)×3，即a n ＝3n －63.∴a n ＝0时，n ＝21，a n >0时，n >21，a n <0时，n <21. S ′30＝|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 30|＝－a 1－a 2－a 3－…－a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 30 ＝－2(a 1＋a 2＋…＋a 21)＋S 30 ＝－2S 21＋S 30 ＝765.二、填空题(每小题10分，共20分)9．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝S 3＝12，则数列的通项公式a n ＝________.【答案】 2n【解析】 设等差数列{a n }的公差d ，则⎩⎨⎧a 1＋5d ＝12a 1＋d ＝4，∴⎩⎨⎧a 1＝2d ＝2，∴a n ＝2n .10．等差数列共有2n ＋1项，所有奇数项之和为132，所有偶数项之和为120，则n 等于________．【答案】 10【解析】 ∵等差数列共有2n ＋1项，∴S 奇－S 偶＝a n ＋1＝S 2n ＋12n ＋1.即132－120＝132＋1202n ＋1，求得n ＝10.【规律方法】 利用了等差数列前n 项和的性质，比较简捷． 三、解答题(每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．在等差数列{a n }中，(1)已知a 6＝10，S 5＝5，求a 8和S 8； (2)若a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022，求d .【分析】 在等差数列中，五个重要的量，只要已知三个量，就可求出其他两个量，其中a 1和d 是两个最基本量，利用通项公式和前n 项和公式，先求出a 1和d ，然后再求前n 项和或特别的项．【解析】 (1)∵a 6＝10，S 5＝5，∴⎩⎨⎧a 1＋5d ＝10，5a 1＋10d ＝5.解方程组，得a 1＝－5，d ＝3， ∴a 8＝a 6＋2d ＝10＋2×3＝16， S 8＝8(a 1＋a 8)2＝44. (2)由S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (－512＋1)2＝－1 022， 解得n ＝4.又由a n ＝a 1＋(n －1)d ， 即－512＝1＋(4－1)d ， 解得d ＝－171.【规律方法】 一般地，等差数列的五个基本量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知道其中任意三个量可建立方程组，求出另外两个量，即“知三求二”．我们求解这类问题的通性通法，是先列方程组求出基本量a 1和d ，然后再用公式求出其他的量．12．已知等差数列{a n }，且满足a n ＝40－4n ，求前多少项的和最大，最大值为多少？【解析】 方法一：(二次函数法)∵a n ＝40－4n ，∴a 1＝40－4＝36， ∴S n ＝(a 1＋a n )n 2＝36＋40－4n2·n ＝－2n 2＋38n ＝－2[n 2－19n ＋(192)2]＋1922＝－2(n －192)2＋1922.令n －192＝0，则n ＝192＝9.5，且n ∈N ＋， ∴当n ＝9或n ＝10时，S n 最大，∴S n 的最大值为S 9＝S 10＝－2(10－192)2＋1922＝180. 方法二：(图象法)∵a n ＝40－4n ，∴a 1＝40－4＝36， a 2＝40－4×2＝32，∴d ＝32－36＝－4，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝36n ＋n (n －1)2·(－4)＝－2n 2＋38n ， 点(n ，S n )在二次函数y ＝－2x 2＋38x 的图象上，S n 有最大值，其对称轴为x ＝－382×(－2)＝192＝9.5，∴当n ＝10或9时，S n 最大．∴S n 的最大值为S 9＝S 10＝－2×102＋38×10＝180. 方法三：(通项法)∵a n ＝40－4n ，∴a 1＝40－4＝36，a 2＝40－4×2＝32，∴d ＝32－36＝－4<0，数列{a n }为递减数列．令⎩⎨⎧a n ≥0，a n ＋1≤0，有⎩⎨⎧40－4n ≥0，40－4(n ＋1)≤0，∴⎩⎨⎧n ≤10，n ≥9，即9≤n ≤10.当n ＝9或n ＝10时，S n 最大．∴S n 的最大值为S 9＝S 10＝a 1＋a 102×10＝36＋02×10＝180. 【规律方法】 对于方法一，一定要强调n ∈N ＋，也就是说用函数式求最值，不能忽略定义域，另外，三种方法中都得出n ＝9或n ＝10，需注意a m ＝0时，S m －1＝S m 同为S n 的最值．。
高中数学等差数列的前n项和训练题(有答案)
高中数学等差数列的前 n 项和训练题（有答案）1．若一个等差数列首项为0，公差为2，则这个等差数列的前 20 项之和为 ()A ．360 B．370C．380 D ．390答案： C2．已知 a1＝ 1， a8＝6，则 S8 等于 ()A ．25 B．26C．27 D ．28答案： D3．设等差数列 {an} 的前 n 项和为 Sn，若 a6＝ S3＝ 12，则{an}的通项 an＝________.分析：由已知a1＋ 5d＝ 123a1＋ 3d＝ 12a1＝ 2，d＝ 2.故 an＝2n.答案： 2n4．在等差数列 {an} 中，已知 a5＝ 14，a7＝ 20，求 S5.解： d＝a7－ a57－ 5＝ 20－ 142＝ 3，a1＝ a5－ 4d＝ 14－ 12＝ 2，因此 S5＝ 5a1＋ a52＝52＋ 142＝ 40.一、选择题1． (2019 年杭州质检 )等差数列 {an} 的前 n 项和为 Sn，若 a2＝1，a3＝ 3， S4＝()A ．12 B．10C．8 D．6分析： C.d＝ a3－a2＝ 2，a1＝－ 1，S4＝ 4a1＋ 4322＝8.2．在等差数列 {an} 中， a2＋ a5＝19， S5＝40， a10＝()A ．24 B．27C．29 D ．48分析： C.由已知 2a1＋5d＝ 19， 5a1＋ 10d＝ 40.解得 a1＝ 2， d＝ 3.a10＝2＋ 93＝ 29. X k b 1 . c o m3．在等差数列 {an} 中， S10＝ 120， a2＋ a9＝()A ．12 B．24C．36 D ．48分析： B.S10＝ 10a1＋ a102＝ 5(a2＋ a9)＝ 120.a2＋a9＝ 24. 4．已知等差数列 {an} 的公差 1，且 a1＋a2＋⋯＋ a98＋ a99＝99， a3＋ a6＋ a9＋⋯＋a96＋ a99＝ ()A ．99 B．66C．33 D ．0分析： B.由 a1＋ a2＋⋯＋ a98＋ a99＝99，得 99a1＋ 99982＝ 99.a1＝－ 48， a3＝a1＋ 2d＝－ 46.又∵ {a3n} 是以 a3 首，以 3 公差的等差数列．a3＋ a6＋ a9＋⋯＋a99＝ 33a3＋333223＝33(48－ 46)＝ 66.5．若一个等差数列的前 3 的和 34，最后 3 的和 146，且全部的和 390，个数列有 ()A ．13B． 12C．11D． 10分析： A. ∵ a1＋ a2＋ a3＝34，①an＋ an－ 1＋ an－ 2＝ 146，②又∵ a1＋ an＝ a2＋an－1＝ a3＋an－ 2，①＋②得3(a1＋ an)＝ 180， a1＋an＝ 60.③Sn＝ a1＋ann2＝390.④将③代入④中得n＝ 13.6．在数 2n＋ 1 的等差数列中，全部奇数的和165，全部偶数的和150， n 等于 ()A．9 B．10C．11 D．12分析： B.由等差数列前n 和的性知S 偶 S 奇＝ nn＋ 1，即 150165＝ nn＋ 1， n＝ 10.二、填空7．数列 {an} 的首 a1＝－ 7，且足 an＋ 1＝an＋ 2(nN*) ，a1＋ a2＋⋯＋ a17＝ ________.分析：由意得an＋1－ an＝2，{an} 是一个首a1＝－ 7，公差 d＝ 2 的等差数列．a1＋ a2＋⋯＋ a17＝ S17＝17(－7)＋ 171622＝ 153.答案： 1538．已知 {an} 是等差数列， a4＋ a6＝6，其前 5 和 S5＝10，其公差 d＝ __________.分析： a4＋ a6＝a1＋ 3d＋a1＋ 5d＝ 6.①S5＝ 5a1＋ 125(5－1)d＝10.② w由①②得a1＝ 1， d＝12.答案： 129． Sn 是等差数列 {an} 的前 n 和， a12＝－ 8， S9＝－ 9，S16＝ ________.分析：由等差数列的性知S9＝9a5＝－ 9，a5＝－ 1.又∵ a5＋ a12＝a1＋ a16＝－ 9，S16＝ 16a1＋ a162＝ 8(a1＋ a16)＝－ 72.答案：－ 72三、解答10．已知数列 {an} 的前 n 和公式Sn＝ n2－23n－ 2(nN*) ．(1)写出数列的第 3 ；(2)判断 74 能否在数列中．解： (1)a3＝ S3－ S2＝－ 18.(2)n＝ 1 ， a1＝ S1＝－ 24，n2 ， an＝Sn－ Sn－ 1＝ 2n－ 24，即 an＝－ 24， n＝ 1，2n－ 24，n2，由题设得 2n－24＝ 74(n2)，解得 n＝ 49.74在该数列中．11．(2019 年高考课标全国卷)设等差数列 {an} 知足 a3＝5，a10＝－ 9.(1)求 {an} 的通项公式；(2)求 {an} 的前 n 项和 Sn 及使得 Sn 最大的序号n 的值．解： (1)由 an＝a1＋ (n－ 1)d 及 a3＝ 5， a10＝－ 9 得a1＋ 2d＝ 5， a1＋ 9d＝－ 9，可解得a1＝9，d＝－ 2，因此数列 {an} 的通项公式为an＝ 11－2n.(2)由 (1)知， Sn＝ na1＋ nn－ 12d＝10n－ n2.由于 Sn＝－ (n－ 5)2＋ 25，因此当 n＝ 5 时， Sn 获得最大值．12．已知数列 {an} 是等差数列．(1)前四项和为21，末四项和为67，且各项和为286，求项数；(2)Sn＝ 20，S2n＝ 38，求 S3n.解： (1)由题意知 a1＋ a2＋ a3＋a4＝ 21，an－ 3＋ an－ 2＋an－1＋ an＝67，因此 a1＋ a2＋ a3＋a4＋ an－ 3＋ an－2＋ an－ 1＋ an＝88.因此 a1＋ an＝ 884＝22.由于 Sn＝ na1＋ an2＝286，因此 n＝26.(2)由于 Sn， S2n－Sn，S3n－S2n 成等差数列，其实 ,任何一门学科都离不开照本宣科,重点是记忆有技巧, “死记”以后会“活用”。
高二数学北师大必修课时作业： 等差数列的前n项和 含解析
2.2等差数列的前n项和第一课时等差数列的前n项和一、非标准1.设S n是等差数列{a n}的前n项和,已知a2=3,a6=11,则S7等于()A.13B.35C.49D.63解析:S7==49.答案:C2.设S n是等差数列{a n}的前n项和,S5=10,则a3的值为()A. B.1 C.2 D.3解析:∵S5==5a3,∴a3=S5=×10=2.答案:C3.已知数列{a n}的通项公式为a n=2n-37,则S n取最小值时n的值为()A.17B.18C.19D.20解析:由≤n≤.∵n∈N+,∴n=18.∴S18最小,此时n=18.答案:B4.等差数列{a n}的前n项和为S n,已知a m-1+a m+1-=0,S2m-1=38,则m=()A.38B.20C.10D.9解析:由a m-1+a m+1-=0,得2a m-=0,解得a m=2(a m=0舍去).又因为S2m-1=(2m-1)a m,所以38=(2m-1)×2,解得m=10.答案:C5.若两个等差数列{a n},{b n}的前n项和分别为A n与B n,且满足(n∈N+),则的值是()A. B. C. D.解析:由于,所以.答案:C6.已知{a n}是等差数列,S n为其前n项和,n∈N+.若a3=16,S20=20,则S10的值为.解析:设等差数列{a n}的首项为a1,公差为d.∵a3=a1+2d=16,S20=20a1+d=20,∴解得d=-2,a1=20,∴S10=10a1+d=200-90=110.答案:1107.在等差数列{a n}中,前n项和为S n,若a9=3a5,则=.解析:S17=17a9,S9=9a5,于是×3=.答案:8.已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差等于. 解析:设公差为d,则有5d=S偶-S奇=30-15=15,于是d=3.答案:39.若数列{a n}为等差数列,S n为其前n项和,已知S7=7,S15=75,T n为数列的前n项和,求T n.解:设等差数列{a n}的公差为d,则S n=na1+n(n-1)d.由S7=7,S15=75,得即解得∴=a1+(n-1)d=-2+(n-1)=(n-5),∴(n+1-5)-(n-5)=,∴数列是首项为-2,公差为的等差数列,∴T n=-2n+n(n-1)×n2-n.10.在等差数列{a n}中,a1=-60,a17=-12,求数列{|a n|}的前n项和.解:数列{a n}的公差d==3,∴a n=a1+(n-1)d=-60+(n-1)×3=3n-63.由a n<0得3n-63<0,解得n<21.∴数列{a n}的前20项是负数,第20项以后的项都为非负数.设S n,S n'分别表示数列{a n}和{|a n|}的前n项和,当n≤20时,S n'=-S n=-=-n2+n;当n>20时,S n'=-S20+(S n-S20)=S n-2S20=-60n+×3-2×n2-n+1260.∴数列{|a n|}的前n项和S n'=。
等差数列的前n项和(精练)(解析版)
4.2.2 等差数列的前n 项和1．（2020·宜宾市叙州区第一中学校高三三模（文））已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，9445,31n S a -==，若198n S =，则n =（ ） A ．10 B ．11C ．12D ．13【答案】B【解析】945S =1955945()952a a a a ⇒=+=⇒= ,所以154()()198(531)11222n n n n n nS a a a a n -=+=+∴=+∴= ,选B.2．（2020·东北育才学校高二月考（文））已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若74328a a =+，则25S =（ ） A ．50 B ．100C ．150D ．200【答案】D【解析】设等差数列{a n }首项为1a ，公差为d,∵74328a a =+，∴3(()116)238a d a d +=++,∴1a +12d=8，即138a = 故S 25=()125252a a +=132522a ⨯=25a 13=200故选：D ． 3．（2020·四川省泸县第二中学开学考试（文））等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，23a =，且936S S =，则{}n a 的公差d =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】由等差数列性质知()()1319329353939,?654922a a a a S a S S a ++=======，则56a =.所以5213a a d -==.故选A. 4．（2020·云南高一期末）《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则小满日影长为（ ） A ．1.5尺B ．2.5尺C ．3.5尺D ．4.5尺题组一 等差数列的基本量【答案】C【解析】从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列{}n a ,冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺,前九个节气日影长之和为85.5尺,∴()()111913631.598985.52a a d a d S a d ⎧++++=⎪⎨⨯=+=⎪⎩,解得113.5a =,1d =-,∴小满日影长为1113.510(1) 3.5a =+⨯-=（尺）.故选C .5．（2020·陕西省洛南中学高二月考）在等差数列{}n a 中，已知12232,10a a a a +=+=，求通项公式n a 及前n 项和n S .【答案】45n a n =-，223n S n n =- *(1,)n n N ≥∈【解析】令等差数列{}n a 的公差为d ，则由12232,10a a a a +=+=，知：11222310a d a d +=⎧⎨+=⎩，解之得11{4a d =-=； ∴根据等差数列的通项公式及前n 项和公式，有：()()1114145n a a n d n n =+-=-+-=-，21232nn a a S n n n +=⋅=- *(1,)n n N ≥∈；1．（2020·湖北黄州·黄冈中学其他（理））已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，6353a a a +-=，则7S =（ ） A ．42 B ．21C ．7D ．3【答案】B【解析】由等差数列的性质可得6354553a a a a a a +-=+-=，()1747772732122a a a S +⨯∴===⨯=.故选：B.2．（2019·贵州六盘水·高二期末（理））在等差数列{}n a 中，358a a +=，则7S =（ ）题组二 前n 项和S n 与等差中项A ．12B ．28C ．24D ．35【答案】B【解析】等差数列{}n a 中，358a a +=，故17358a a a a +=+=，所以()7717782822S a a +⨯===.故选：B. 3．（2020·湖北荆州·高二期末）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若57942a a a ++=，则13S =（ ） A ．36 B ．72C ．91D ．182【答案】D【解析】数列{}n a 为等差数列，则5797342a a a a ++==，解得714a = 则()113137131313141822a a S a+=⨯==⨯=故选：D4．（2019·黄梅国际育才高级中学月考）若两个等差数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为A n 、B n ，且满足4255n n A n B n +=-，则513513a a b b ++的值为（ ）A ．78B ．79C ．87D ．1920【答案】A【解析】等差数列{}n a 、{}n b 前n 项和分别为n A ，n B ，由4255n n A n B n +=-， 得1131171131751717511177)2)217(4172717(51758a a a a a a Ab b b b b b B +++⨯+=====+++⨯-．故选：A . 5．（2020·赣州市赣县第三中学期中）设等差数列{}n a 前n 项和为n S ，等差数列{}n b 前n 项和为n T ，若20121n n S n T n -=-．则33a b =（ ） A ．595B ．11C ．12D ．13【答案】B【解析】因为等差数列{}n a 前n 项和为n S ，所以1()2n n n a a S +=， 当n 是奇数时，112()2n n n n a a S na ++==，所以33533555a a Sb b T ==,故选：B6．（2020·广西田阳高中高二月考（理））已知等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且521n n S n T n +=-，则76a b =（ ） A ．67B ．1211C ．1825D ．1621【答案】A【解析】因为等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且521n n S n T n +=-， 所以可设(5)n S kn n =+，(21)n T kn n =-， 所以77618a S S k =-=，66521b T T k =-=，所以7667a b =.故选：A 7．（2020·商丘市第一高级中学高一期末）等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，且7453n n S n T n +=-，则使得nna b 为整数的正整数n 的个数是( ) A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】∵等差数列{a n }、{b n }，∴121121,22n n n n a a b ba b --++== ， ∴()()121211212122n n n n n n n n n a a a na S n b b b nb T ----+===+ ,又7453n n S n T n +=- ， ∴()()7214566721324n n n a b n n -+==+--- ， 经验证,当n=1,3,5,13,35时,n n a b 为整数，则使得nna b 为整数的正整数的n 的个数是5.本题选择C 选项.1．（2020·榆林市第二中学高二月考）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若488,20S S ==,则题组三 前n 项和S n 的性质13141516a a a a +++= ( )A ．12B ．8C ．20D ．16【答案】C【解析】∵等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，488,20S S ==， 由等差数列的性质得：4841281612,,,S S S S S S S ---成等比数列 又4848,20812,S S S =-=-=∴128122012416,S S S -=-=+=16121314151616420S S a a a a -=+++=+=．故选：C ．2．（2020·重庆其他（文））等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知312S =，651S =，则9S 的值等于（ ） A ．66 B ．90C ．117D ．127【答案】C【解析】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,由题意可得63963,,S S S S S --成等差数列，故()()363962S S S S S -=+-，代入数据可得()()9251121125S -=+-，解得9117S =故选C3．（2020·江苏徐州·高二期中）已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项之和，且315S =，648S =，则9S 的值为（ ）. A ．63 B ．81C ．99D ．108【答案】C【解析】由n S 为等差数列{}n a 的前n 项之和，则3S ,639633(1),,......m m S S S S S S ---- 也成等差数列， 则3S ，6396,S S S S --成等差数列，所以633962()()S S S S S -=+-，由315S =，648S =， 得999S =，故选：C.4．（2020·昆明市官渡区第一中学高二期末（理））等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1020S =，2015S =，则30S =( ) A ．10 B ．20C ．30-D ．15-【答案】D【解析】由等差数列{}n a 的前n 项和的性质可得：10S ，1200S S -，3020S S -也成等差数列，20101030202()()S S S S S ∴-=+-，302(1520)2015S ∴⨯-=+-，解得3015S =-．故选D ．5．（2020·朔州市朔城区第一中学校期末（文））设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++=（ ） A ．63 B ．45 C ．36 D ．27【答案】B【解析】由等差数列性质知S 3、S 6﹣S 3、S 9﹣S 6成等差数列，即9，27，S 9﹣S 6成等差，∴S 9﹣S 6=45 ∴a 7+a 8+a 9=45故选B ．6．（2020·新疆二模（文））在等差数列{}n a 中，12018a =-，其前n 项和为n S ，若101221210S S -=，则2020S =（ ） A ．-4040 B ．-2020 C ．2020 D ．4040【答案】C【解析】设等差数列{}n a 的前n 项和为2+n S An Bn =，则+nS An B n=， 所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列．因为101221210S S -=，所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的公差为1，又11201811S a ==-，所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2018-为首项，1为公差的等差数列， 所以202020182019112020S =-+⨯=，所以20202020S =故选：C 8．（2020·河北路南·唐山一中）已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若12017a =-， 20142008620142008S S -=，则2017S =__________． 【答案】2017- 【解析】n S 是等差数列{}n a 的前n 项和， n S n ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭是等差数列，设其公差为d ，201420086,66,120142008S S d d -=∴==， 112017,20171S a =-∴=-，()()20172017112018,2018201720172017nS n n S n∴=-+-⨯=-+∴=-+⨯=-， 故答案为2017-．9．（2020·湖南怀化·高二期末）已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若12a =-，20202018220202018S S -=，则20192019S =________. 【答案】2016 【解析】n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，n S n ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭是等差数列，设其公差为d .20202018 220202018S S -=，22d ∴=，1d =.12a =-，1S21∴=-. 2(1)13n S n n n ∴=-+-⨯=-.2019S20162019∴=.故答案为：2016.1．（2020·安徽铜陵·）设n S 是公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，且10a >，若59S S =，则当n S 最大时，n=（ ） A ．6 B ．7C ．10D ．9【答案】B【解析】由等差数列中，59S S =，可得，故，其中，可知当时，最大．2．（2020·河北运河·沧州市一中月考）等差数列{}n a 中，10a >，201520160a a +>，201520160a a <，则使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是（ ） A ．2015 B ．2016C ．4030D ．4031【答案】C【解析】由题意知201520160,0a a ><，所以14030201520160a a a a +=+>，而14031201620a a a +=<，则有()140304*********a a S ⨯+=>，而()140314031403102a a S ⨯+=<，所以使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是4030，故选C ．3．（2020·河北路南·唐山一中期末）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且856a a -=-，9475S S -=，题组四 前n 项和S n 的最值则n S 取得最大值时n =（ ） A ．14 B ．15C ．16D ．17【答案】A【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则11369364675d a d a d =-⎧⎨+--=⎩，解得1227d a =-⎧⎨=⎩，故292n a n =-，故当114n ≤≤时，0n a >；当15n ≥时，0n a <， 所以当14n =时，n S 取最大值.故选：A.4．（2020·广西南宁三中开学考试）已知等差数列{}n a 的通项公式为29n a n =-，则使得前n 项和n S 最小的n 的值为（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】由290n a n =-≤，解得92n ≤，14n ∴≤≤时，0n a <；5n ≥时，0n a > 则使得前n 项和n S 最小的n 的值为4故选：B5．（2020·四川青羊·石室中学高一期末）在等差数列{}n a 中，其前n 项和是n S ，若90S >，100S <，则在912129,,,S S S a a a ⋯中最大的是（ ） A ．11S aB ．88S aC ．55S aD ．99S a【答案】C 【解析】由于191109510569()10()9050222a a a a S a S a a ++====+＞，（）＜ ，所以可得5600a a ＞，＜． 这样569121256900...0,0,...0S S S S S a a a a a ，，，>>><<，而125125S S S a a a ⋯⋯＜＜＜，＞＞＞>0， ， 所以在912129...S S S a a a ，，，中最大的是55S a ．故选C ．6．（2020·福建宁德·期末）公差为d 的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，110S >，120S <，下列说法正确的有（ ） A ．0d < B ．70a >C ．{}n S 中5S 最大D ．49a a <【答案】AD【解析】根据等差数列前n 项和公式得：()111111102a a S +=>，()112121202a a S +=<所以1110a a +>，1120a a +<， 由于11162a a a +=，11267a a a a +=+，所以60a >，760a a <-<，所以0d <，{}n S 中6S 最大，由于11267490a a a a a a +=+=+<，所以49a a <-，即：49a a <.故AD 正确，BC 错误.故选：AD.7．（2020·黑龙江让胡路·大庆一中高一期末）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若780a a +>，790a a +<则n S 取最大值时n 的值是（ ） A ．4 B ．5C ．6D ．7【答案】D【解析】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且780a a +>，790a a +<，12130a d ∴+>且12140a d +<，10,0,a d ∴><且780,0a a ><，所以当S n 取最大值时7n =.故选：D8．（2020·浙江其他）已知等差数列{}n a 的前n 项和n S ，且34S =，714S =，则23n n S a +-最小时，n 的值为（ ）. A ．2 B ．1或2C ．2或3D ．3或4【答案】C【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为34S =，714S =，所以1132342767142a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=⎪⎩，解得11a =，13d =，所以2223(1)11550[1(2)]23318n n n n n n S an n +----=+⨯-++=， 因为n ∈+N ，所以当2n =或3n =时，其有最小值.选：C1．（2020·山西大同·高三其他（理））若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知129,a a Z =∈，且()5*n S S n N ≤∈，则12n a a a +++=________.【答案】2210,51050,5n n n n n n ⎧-≤⎨-+>⎩【解析】∵等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，129,a a Z =∈，且5n S S ≤，56940,950a d a d ∴=+≥=+<， 2,2a Z d ∈∴=-，2(1)9(2)102n n n S n n n -∴=+⨯-=-， ∴当5n ≤时，212..10n a a a n n ++⋯+=-；当5n >时，()()21212345210n a a a a a a a a n n++⋯⋯+=++++--()222105510n n =⨯-+-21050n n =-+，212210,5..1050,5n n n n a a a n n n ⎧-≤∴++⋯+=⎨-+>⎩.故答案为：2210,51050,5n n n n n n ⎧-≤⎨-+>⎩. 2．（2020·黑龙江香坊·哈尔滨市第六中学校高三三模（理））已知等差数列{}n a 前三项的和为3-，前三项的积为15，（1）求等差数列{}n a 的通项公式；（2）若公差0d >，求数列{}n a 的前n 项和n T .题组五 含有绝对值的求和【答案】（1）49n a n =-或74n a n =-（2）25,1{2712,2n n T n n n ==-+≥【解析】（1）设等差数列的{}n a 的公差为d 由1233a a a ++=-，得233a =-所以21a =- 又12315a a a =得1315a a =-，即1111(2)15a d a a d +=-⎧⎨+=-⎩所以154a d =-⎧⎨=⎩，或134a d =⎧⎨=-⎩即49n a n =-或74n a n =- （2）当公差0d >时，49n a n =-1）当2n ≤时，490n a n =-<，112125,6T a T a a =-==--= 设数列{}n a 的前项和为n S ，则2(549)272n n S n n n -+-=⨯=-2）当3n ≥时，490n a n =->123123n n n T a a a a a a a a =++++=--+++()()123122n a a a a a a =++++-+2222712n S S n n =-=-+当1n =时，15T =也满足212171127T ≠⨯-⨯+=， 当2n =时，26T =也满足222272126T =⨯-⨯+=，所以数列{}n a 的前n 项和25127122n n T n n n =⎧=⎨-+≥⎩ 3．（2020·全国高三（文））在等差数列{}n a 中，28a =，64a =-. （1）求n a 的通项公式； （2）求12||||||n n T a a a =+++的表达式.【答案】（1）314n a n =-+；（2）2232542232552522n n n n T n n n ⎧-+≤⎪⎪=⎨⎪-+≥⎪⎩. 【解析】（1）设公差为d ，则11854a d a d +=⎧⎨+=-⎩，解得111a =，3d =-，所以314n a n =-+.（2）由314n a n =-+0≥可得4n ≤， 所以当4n ≤时，112()(11314)22n n n n a a n n T a a a +-+=+++===232522n n -+， 当5n ≥时，12345()n n T a a a a a a =+++-++1234122()()n a a a a a a a =+++-+++114()4()222n n a a a a ++=⨯-(253)522n n -=-23255222n n =-+. 所以2232542232552522n n n n T n n n ⎧-+≤⎪⎪=⎨⎪-+≥⎪⎩. 4．（2020·石嘴山市第三中学高三其他（理））已知数列{}n a 满足：313a =-，()141,n n a a n n N -=+>∈. （1）求1a 及通项n a ；（2）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，则数列1S ，2S ，3S ，…n S …中哪一项最小？并求出这个最小值. （3）求数列{}n a 的前10项和.【答案】（1）121a =-，425n a n =-；（2）6S 最小，666S =-；（3）前10项和为：102. 【解析】（1）()142n n a a n -=+≥，∴当3n =时，324a a =+，217a =-，214a a =+，121a =-，由14n n a a --=知数列为首项是21-，公差为4的等差数列， 故425n a n =-；（2）425n a n =-，故610a =-<，730a =>，故6S 最小，()6656214662S ⨯=⨯-+⨯=-； （3）当16n ≤≤时，0n a <；当7n ≥时，0n a >，()()10121012678910……T a a a a a a a a a a ∴=+++=-+++++++()()()61061061092102142661022S S S S S ⨯=-+-=-=⨯-+⨯-⨯-=. 5．（2020·湖北武汉）已知数列{}n a 是等差数列，公差为d ，n S 为数列{}n a 的前n 项和，172a a +=-，315S =. （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）求数列{}n a 的前n 项和T n .【答案】（1）()*311n a n n N =-+∈；（2）2(193),3231960,42n n n n T n n n -⎧≤⎪⎪=⎨-+⎪≥⎪⎩. 【解析】（1）∵{}n a 是等差数列，公差为d ，且172a a +=-，315S =，∴11262323152a d a d +=-⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得18a =，3d =-， ∴()()()11813311n a a n d n n =+-=+--=-+， ∴数列{}n a 的通项公式为：()*311n a n n N=-+∈.（2）令0n a ≥，则3110n -+≥，∴311n ≤，∴233n ≤，*n N ∈. ∴3n ≤时，0n a >；4n ≥时，0n a <， ∵18a =，311n a n =-+，∴3n ≤时，12(8311)2n n n n T a a a -+=++⋅⋅⋅+=()1932n n -=， 当4n ≥时，()121234n n n T a a a a a a a a =++⋅⋅⋅+=+++--⋅⋅⋅-()()12312322n n a a a a a a S S =++-++⋅⋅⋅+=-23(199)(193)319602222n n n n ⨯---+=⨯-=.∴2(193),3231960,42n n n n T n n n -⎧≤⎪⎪=⎨-+⎪≥⎪⎩. 6．（2020·任丘市第一中学）在公差是整数的等差数列{}n a 中，17a =-，且前n 项和4n S S ≥． （1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）令n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）29n a n =-；（2）()228,4832,5n n n n T n N n n n *⎧-+≤=∈⎨-+≥⎩. 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则d Z ∈，由题意知，{}n S 的最小值为4S ，则4500a a ≤⎧⎨≥⎩，17a =-，所以370470d d -≤⎧⎨-≥⎩，解得7743d ≤≤，d Z ∈，2d ∴=，因此，()()1172129n a a n d n n =+-=-+-=-； （2）29n n b a n ==-.当4n ≤时，0n a <，则n n n b a a ==-，()272982n n n n T S n n -+-∴=-=-=-+；当5n ≥时，0n a >，则n n n b a a ==，()22428216832n n T S S n n n n ∴=-=--⨯-=-+.综上所述：()228,4832,5n n n n T n N n n n *⎧-+≤=∈⎨-+≥⎩.。
等差数列的前n项和习题(含答案)
[A 基础达标]1．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝20，S 2＝4，则公差d 为( )A ．2B ．3C ．6D ．7解析：选B.由⎩⎪⎨⎪⎧S 2＝4，S 4＝20得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝4，4a 1＋6d ＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，d ＝3.2．已知数列{a n }为等差数列，a 10＝10，数列前10项和S 10＝70，则公差d ＝( )A ．－23B ．－13 C.13 D ．23解析：选D.由S 10＝10（a 1＋a 10）2，得70＝5(a 1＋10)，解得a 1＝4，所以d ＝a 10－a 110－1＝10－49＝23，故选D. 3．在等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，则此数列前20项和等于( )A ．160B ．180C ．200D ．220解析：选B.(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 18＋a 19＋a 20)＝(－24)＋78＝54，又a 1＋a 20＝a 2＋a 19＝a 3＋a 18，则3(a 1＋a 20)＝54，所以a 1＋a 20＝18.则S 20＝20（a 1＋a 20）2＝10×18＝180. 4．已知数列{a n }的前n 项和公式是S n ＝2n 2＋3n ，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n ( ) A ．是公差为2的等差数列B ．是公差为3的等差数列C ．是公差为4的等差数列D ．不是等差数列解析：选A.因为S n ＝2n 2＋3n ，所以S n n＝2n ＋3， 当n ≥2时，S n n －S n －1n －1＝2n ＋3－2(n －1)－3＝2， 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为2的等差数列． 5．等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若a n b n ＝2n 3n ＋1，则S 21T 21的值为( ) A.1315B ．2335 C.1117 D ．49解析：选C.S 21T 21＝21（a 1＋a 21）221（b 1＋b 21）2＝a 1＋a 21b 1＋b 21＝a 11b 11＝2×113×11＋1＝1117. 6．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ，则该数列的公差为________．解析：数列{a n }的前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝An 2＋Bn －A (n －1)2－B (n －1)＝2An ＋B －A ，当n ＝1时满足，所以d ＝2A .答案：2A7．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且6S 5－5S 3＝5，则a 4＝________．解析：设等差数列的首项为a 1，公差为d ，则由6S 5－5S 3＝5知，6×(5a 1＋10d )－5(3a 1＋3d )＝5，得3(a 1＋3d )＝1，所以a 4＝13. 答案：138．若等差数列{a n }满足3a 8＝5a 13，且a 1>0，S n 为其前n 项和，则S n 最大时n ＝________．解析：因为3a 8＝5a 13，所以3(a 1＋7d )＝5(a 1＋12d )，所以d ＝－2a 139，故a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a 1－2a 139(n －1)＝a 139(41－2n )．由a 1>0可得当n ≤20时，a n >0，当n >20时，a n <0，所以S n 最大时n ＝20.答案：209．已知在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d .由a 1＝1，a 3＝－3，可得1＋2d ＝－3，解得d ＝－2.所以a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n .(2)由a 1＝1，d ＝－2，得S n ＝2n －n 2.又S k ＝－35，则2k －k 2＝－35，即k 2－2k －35＝0，解得k ＝7或k ＝－5.又k ∈N ＋，故k ＝7.10.某仓库有同一型号的圆钢600根，堆放成如图所示的形状，从第二层开始，每一层比下面一层少放一根，而第一层至少要比第二层少一根，要使堆垛的占地面积最小(即最下面一层根数最少)，则最下面一层放几根？共堆了多少层？解：设最下面一层放n 根，则最多可堆n 层，则1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2≥600， 所以n 2＋n －1 200≥0，记f (n )＝n 2＋n －1 200，因为当n ∈N ＋时，f (n )单调递增，而f (35)＝60>0，f (34)＝－10<0，所以n ≥35，因此最下面一层最少放35根．因为1＋2＋3＋…＋35＝630，所以最多可堆放630根，必须去掉上面30根，去掉顶上7层，共1＋2＋3＋…＋7＝28根，再去掉顶上第8层的2根，剩下的600根共堆了28层．[B 能力提升]11．等差数列{a n }的前四项之和为124，后四项之和为156，各项和为210，则此数列的项数为( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选B.由题意知a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝124，a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝156，所以4(a 1＋a n )＝280，所以a 1＋a n ＝70.又S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n 2×70＝210，所以n ＝6. 12．若两个等差数列的前n 项和之比是(7n ＋1)∶(4n ＋27)，则它们的第11项之比为____________．解析：设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等差数列{b n }的前n 项和为T n ，则a 11＝a 1＋a 212，b 11＝b 1＋b 212， 所以a 11b 11＝12（a 1＋a 21）12（b 1＋b 21）＝12（a 1＋a 21）·2112（b 1＋b 21）·21＝S 21T 21＝7×21＋14×21＋27＝43. 答案：4∶313．已知数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S 2n ＝a n ⎝⎛⎭⎫S n －12. (1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 为等差数列，并求S n 的表达式； (2)设b n ＝S n 2n ＋1，求{b n }的前n 项和T n . 解：(1)由题意S 2n ＝a n ⎝⎛⎭⎫S n －12，结合a n ＝S n －S n －1(n ≥2)得S 2n ＝(S n －S n －1)⎝⎛⎭⎫S n －12(n ≥2)，化简整理得1S n －1S n －1＝2(n ≥2)，知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 为公差为2的等差数列，所以1S n ＝1S 1＋(n －1)×2＝1＋(n －1)×2＝2n －1，所以S n ＝12n －1. (2)b n ＝S n 2n ＋1＝12×⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1， 所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎝⎛1－13＋13－15＋…＋12n －1－ ⎭⎫12n ＋1＝12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1.14．(选做题)已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 3·a 4＝117，a 2＋a 5＝22.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求S n 的最小值；(3)若数列{b n }是等差数列，且b n ＝S n n ＋c，求非零常数c 的值． 解：(1)因为数列{a n }为等差数列，所以a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22.又a 3·a 4＝117，所以a 3，a 4是方程x 2－22x ＋117＝0的两实根，又公差d >0，所以a 3<a 4，所以a 3＝9，a 4＝13，从而可得a 1＝1，d ＝4，所以a n ＝4n －3.(2)由(1)知a 1＝1，d ＝4，所以S n ＝na 1＋n （n －1）2·d ＝2n 2－n ＝2⎝⎛⎭⎫n －142－18，所以当n ＝1时，S n 最小，最小值为S 1＝a 1＝1.(3)由(2)知S n ＝2n 2－n ，所以b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－n n ＋c ， 所以b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c .因为数列{b n }是等差数列，所以2b 2＝b 1＋b 3，即62＋c ×2＝11＋c ＋153＋c ，得2c 2＋c ＝0，所以c ＝－12或c ＝0(舍去)，所以c ＝－12.。
等差数列前n项和公式基础训练题(含详解)
④ ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.
11．
【解析】
【分析】
根据 得到 ， ，计算得到答案.
【详解】
； ，解得
故答案为：
【点睛】
本题考查了等差数列的通项公式和前 项和，意在考查学生对于等差数列公式的灵活运用.
12．
【解析】
【分析】
利用 来求 的通项.
A．18B．36C．45D．60
7．设 为等差数列， ， 为其前n项和，若 ，则公差 （）
A． B． C．1D．2
8．等差数列 的前 项和为 ，已知 ， ，则当 取最大值时 的值是（）
A．5B．6C．7D．8
9．已知 是数列 的前 项和，且 ，则 （）．
A．72B．88C．92D．98
10．设 为等差数列 的前 项的和 ， ，则数列 的前2017项和为（ ）
所以 ，所以 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查等差数列公差的计算，难度较易.已知等差数列中的两个等量关系，可通过构造方程组求解等差数列的公差，还可以通过等差数列的下标和性质求解公差.
20．已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+3n+5，则an=______．
参考答案
1．A
【解析】
设 ,根据 是一个首项为a,公差为a的等差数列，各项分别为a,2a,3a,4a. .
2．B
【解析】
【分析】
根据等差数列的性质，求出 ，再由前n项和公式，即可求解.
【详解】
∵ ，
∴ ，∴
∴由 得 ，∴ .
故选:B.
【点睛】
本题考查等差数列性质的灵活应用，以及等差数列的前n项和公式，属于中档题.
等差数列的前n项和练习含答案
课时作业8 等差数列的前n 项和时间：45分钟 满分：100分课堂训练1．已知{a n }为等差数列，a 1＝35，d ＝－2，S n ＝0，则n 等于( ) A ．33 B ．34 C ．35 D ．36【答案】 D【解析】 本题考查等差数列的前n 项和公式．由S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝35n ＋n (n －1)2×(－2)＝0，可以求出n ＝36.2．等差数列{a n }中，3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24，则数列前13项的和是( )A ．13B ．26C ．52D ．156 【答案】 B【解析】 3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24⇒6a 4＋6a 10＝24⇒a 4＋a 10＝4⇒S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13(a 4＋a 10)2＝13×42＝26. 3．等差数列的前n 项和为S n ，S 10＝20，S 20＝50.则S 30＝________. 【答案】 90【解析】 等差数列的片断数列和依次成等差数列． ∴S 10，S 20－S 10，S 30－S 20也成等差数列．∴2(S 20－S 10)＝(S 30－S 20)＋S 10，解得S 30＝90.4．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 12＝84，S 20＝460，求S 28. 【分析】 (1)应用基本量法列出关于a 1和d 的方程组，解出a 1和d ，进而求得S 28；(2)因为数列不是常数列，因此S n 是关于n 的一元二次函数且常数项为零．设S n ＝an 2＋bn ，代入条件S 12＝84，S 20＝460，可得a 、b ，则可求S 28；(3)由S n ＝d 2n 2＋n (a 1－d 2)得S n n ＝d 2n ＋(a 1－d2)，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是一个等差数列，又2×20＝12＋28，∴2×S 2020＝S 1212＋S 2828，可求得S 28.【解析】 方法一：设{a n }的公差为d ， 则S n ＝na 1＋n (n －1)2d .由已知条件得：⎩⎨⎧12a 1＋12×112d ＝84，20a 1＋20×192d ＝460，整理得⎩⎨⎧2a 1＋11d ＝14，2a 1＋19d ＝46，解得⎩⎨⎧a 1＝－15，d ＝4.所以S n ＝－15n ＋n (n －1)2×4＝2n 2－17n ， 所以S 28＝2×282－17×28＝1 092.方法二：设数列的前n 项和为S n ，则S n ＝an 2＋bn . 因为S 12＝84，S 20＝460，所以⎩⎨⎧122a ＋12b ＝84，202a ＋20b ＝460，整理得⎩⎨⎧12a ＋b ＝7，20a ＋b ＝23.解之得a ＝2，b ＝－17， 所以S n ＝2n 2－17n ，S 28＝1 092. 方法三：∵{a n }为等差数列， 所以S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，所以S n n ＝a 1－d 2＋d2n ，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列．因为12,20,28成等差数列， 所以S 1212，S 2020，S 2828成等差数列， 所以2×S 2020＝S 1212＋S 2828，解得S 28＝1 092.【规律方法】 基本量法求出a 1和d 是解决此类问题的基本方法，应熟练掌握．根据等差数列的性质探寻其他解法，可以开阔思路，有时可以简化计算．课后作业一、选择题(每小题5分，共40分)1．已知等差数列{a n }中，a 2＝7，a 4＝15，则前10项的和S 10等于( )A ．100B ．210C ．380D ．400【答案】 B【解析】 d ＝a 4－a 24－2＝15－72＝4，则a 1＝3，所以S 10＝210.2．在等差数列{a n }中，a 2＋a 5＝19，S 5＝40，则a 10＝( ) A ．27 B ．24 C ．29 D ．48【答案】 C 【解析】由已知⎩⎨⎧2a 1＋5d ＝19，5a 1＋10d ＝40.解得⎩⎨⎧a 1＝2，d ＝3.∴a 10＝2＋9×3＝29.3．数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋2n －1，则这个数列一定是( ) A ．等差数列 B ．非等差数列 C ．常数列 D ．等差数列或常数列 【答案】 B【解析】 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋2n －1－[(n －1)2＋2(n －1)－1]＝2n ＋1，当n ＝1时a 1＝S 1＝2.∴a n ＝⎩⎨⎧2，n ＝1，2n ＋1，n ≥2，这不是等差数列．4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )C ．8D ．9【答案】 A 【解析】⎩⎨⎧a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，∴⎩⎨⎧a 1＝－11，d ＝2，∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－11n ＋n 2－n ＝n 2－12n . ＝(n －6)2－36. 即n ＝6时，S n 最小．5．一个只有有限项的等差数列，它的前5项的和为34，最后5项的和为146，所有项的和为234，则它的第7项等于( )A ．22B ．21C ．19D ．18【答案】 D【解析】 ∵a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34， a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＋a n －4＝146， ∴5(a 1＋a n )＝180，a 1＋a n ＝36， S n ＝n (a 1＋a n )2＝n ×362＝234. ∴n ＝13，S 13＝13a 7＝234.∴a 7＝18.6．一个有11项的等差数列，奇数项之和为30，则它的中间项为( )A ．8B ．7【答案】 D【解析】 S 奇＝6a 1＋6×52×2d ＝30，a 1＋5d ＝5，S 偶＝5a 2＋5×42×2d ＝5(a 1＋5d )＝25，a 中＝S 奇－S 偶＝30－25＝5.7．若两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别是S n ，T n ，已知S n T n＝7n n ＋3，则a 5b 5等于( ) A ．7 B.23 C.278 D.214【答案】 D【解析】 a 5b 5＝2a 52b 5＝a 1＋a 9b 1＋b 9＝92(a 1＋a 9)92(b 1＋b 9)＝S 9T 9＝214.8．已知数列{a n }中，a 1＝－60，a n ＋1＝a n ＋3，则|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 30|等于( )A ．445B ．765C ．1 080D ．1 305 【答案】 B【解析】 a n ＋1－a n ＝3，∴{a n }为等差数列． ∴a n ＝－60＋(n －1)×3，即a n ＝3n －63.∴a n ＝0时，n ＝21，a n >0时，n >21，a n <0时，n <21. S ′30＝|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 30|＝－a 1－a 2－a 3－…－a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 30 ＝－2(a 1＋a 2＋…＋a 21)＋S 30 ＝－2S 21＋S 30 ＝765.二、填空题(每小题10分，共20分)9．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝S 3＝12，则数列的通项公式a n ＝________.【答案】 2n【解析】 设等差数列{a n }的公差d ，则⎩⎨⎧a 1＋5d ＝12a 1＋d ＝4，∴⎩⎨⎧a 1＝2d ＝2，∴a n ＝2n .10．等差数列共有2n ＋1项，所有奇数项之和为132，所有偶数项之和为120，则n 等于________．【答案】 10【解析】 ∵等差数列共有2n ＋1项，∴S 奇－S 偶＝a n ＋1＝S 2n ＋12n ＋1.即132－120＝132＋1202n ＋1，求得n ＝10.【规律方法】 利用了等差数列前n 项和的性质，比较简捷． 三、解答题(每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．在等差数列{a n }中，(1)已知a 6＝10，S 5＝5，求a 8和S 8； (2)若a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022，求d .【分析】 在等差数列中，五个重要的量，只要已知三个量，就可求出其他两个量，其中a 1和d 是两个最基本量，利用通项公式和前n 项和公式，先求出a 1和d ，然后再求前n 项和或特别的项．【解析】 (1)∵a 6＝10，S 5＝5，∴⎩⎨⎧a 1＋5d ＝10，5a 1＋10d ＝5.解方程组，得a 1＝－5，d ＝3， ∴a 8＝a 6＋2d ＝10＋2×3＝16， S 8＝8(a 1＋a 8)2＝44. (2)由S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (－512＋1)2＝－1 022， 解得n ＝4.又由a n ＝a 1＋(n －1)d ， 即－512＝1＋(4－1)d ， 解得d ＝－171.【规律方法】 一般地，等差数列的五个基本量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知道其中任意三个量可建立方程组，求出另外两个量，即“知三求二”．我们求解这类问题的通性通法，是先列方程组求出基本量a 1和d ，然后再用公式求出其他的量．12．已知等差数列{a n }，且满足a n ＝40－4n ，求前多少项的和最大，最大值为多少？【解析】 方法一：(二次函数法)∵a n ＝40－4n ，∴a 1＝40－4＝36， ∴S n ＝(a 1＋a n )n 2＝36＋40－4n 2·n ＝－2n 2＋38n ＝－2[n 2－19n ＋(192)2]＋1922＝－2(n －192)2＋1922.令n －192＝0，则n ＝192＝9.5，且n ∈N ＋， ∴当n ＝9或n ＝10时，S n 最大，∴S n 的最大值为S 9＝S 10＝－2(10－192)2＋1922＝180. 方法二：(图象法)∵a n ＝40－4n ，∴a 1＝40－4＝36， a 2＝40－4×2＝32，∴d ＝32－36＝－4，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝36n ＋n (n －1)2·(－4)＝－2n 2＋38n ， 点(n ，S n )在二次函数y ＝－2x 2＋38x 的图象上，S n 有最大值，其对称轴为x ＝－382×(－2)＝192＝9.5，∴当n ＝10或9时，S n 最大．∴S n 的最大值为S 9＝S 10＝－2×102＋38×10＝180.方法三：(通项法)∵a n ＝40－4n ，∴a 1＝40－4＝36， a 2＝40－4×2＝32，∴d ＝32－36＝－4<0，数列{a n }为递减数列．令⎩⎨⎧a n ≥0，a n ＋1≤0，有⎩⎨⎧40－4n ≥0，40－4(n ＋1)≤0，∴⎩⎨⎧n ≤10，n ≥9，即9≤n ≤10.当n ＝9或n ＝10时，S n 最大．∴S n 的最大值为S 9＝S 10＝a 1＋a 102×10＝36＋02×10＝180. 【规律方法】 对于方法一，一定要强调n ∈N ＋，也就是说用函数式求最值，不能忽略定义域，另外，三种方法中都得出n ＝9或n ＝10，需注意a m ＝0时，S m －1＝S m 同为S n 的最值．。
等差数列及其前n项和(解析版)
等差数列及其前n 项和一、学习目标1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题；4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系． 二、知识讲解知识点一 等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示．数学语言表达式：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)，或a n －a n －1＝d (n ≥2，d 为常数)． 知识点二 等差数列的通项公式与前n 项和公式(1)若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝ 通项公式的推广：a n ＝ (2)等差数列的前n 项和公式 S n ＝知识点三 等差数列及前n 项和的性质(1)若a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a ，b 的等差中项，且A ＝a ＋b2．(2)若{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列． (4)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列． 知识点四 等差数列的前n 项和公式与函数的关系 S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)． 知识点五 等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值；若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值． 三、例题辨析考点一 等差数列基本量的运算【典例1】记nS 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则( )A ．25n a n =-B ．310n a n =-C ．228n S n n=- D ．2122n S n n =-【解析】由题知，41514430245d S a a a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，24n S n n =-，故选A 。
高中数学《等差数列及其前n项和》(训练)(含答案)
§6.2等差数列及其前n项和1．等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示． 2．等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d . 3．等差中项由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A 叫做a 与b 的等差中项．4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列． (6)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…构成等差数列． 5．等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2 或S n ＝na 1＋n (n －1)2d .6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系 S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)． 7．等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最大值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值．知识拓展等差数列的四种判断方法(1)定义法：a n＋1－a n＝d(d是常数)⇔{a n}是等差数列．(2)等差中项法：2a n＋1＝a n＋a n＋2 (n∈N*)⇔{a n}是等差数列．(3)通项公式：a n＝pn＋q(p，q为常数)⇔{a n}是等差数列．(4)前n项和公式：S n＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{a n}是等差数列．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．()(2)等差数列{a n}的单调性是由公差d决定的．()(3)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．()(4)已知等差数列{a n}的通项公式a n＝3－2n，则它的公差为－2.()(5)数列{a n}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2a n＋1＝a n＋a n＋2.()(6)已知数列{a n}的通项公式是a n＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{a n}一定是等差数列．()题组二教材改编2．[P46A组T2]设数列{a n}是等差数列，其前n项和为S n，若a6＝2且S5＝30，则S8等于() A．31 B．32 C．33 D．343．[P39T5]在等差数列{a n}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝________.题组三易错自纠4．一个等差数列的首项为125，从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差d的取值范围是()A．d>875B．d<325 C.875<d<325 D.875<d≤3255．若等差数列{a n}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝________时，{a n}的前n项和最大．6．一物体从1 960 m的高空降落，如果第1秒降落4.90 m，以后每秒比前一秒多降落9.80 m，那么经过________秒落到地面．题型一等差数列基本量的运算1．(2017·全国Ⅰ)记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{a n}的公差为()A．1 B．2 C．4 D．82．(2016·全国Ⅰ)已知等差数列{a n}前9项的和为27，a10＝8，则a100等于()A．100 B．99 C．98 D．97思维升华等差数列运算问题的通性通法(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解．(2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，a n，d，n，S n，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．题型二等差数列的判定与证明典例已知数列{a n}中，a1＝35，a n＝2－1a n－1(n≥2，n∈N*)，数列{b n}满足b n＝1a n－1(n∈N*)．(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由． 引申探究本例中，若将条件变为a 1＝35，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，试求数列{a n }的通项公式．思维升华 等差数列的四个判定方法(1)定义法：证明对任意正整数n 都有a n ＋1－a n 等于同一个常数． (2)等差中项法：证明对任意正整数n 都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.(3)通项公式法：得出a n ＝pn ＋q 后，再根据定义判定数列{a n }为等差数列．(4)前n 项和公式法：得出S n ＝An 2＋Bn 后，再使用定义法证明数列{a n }为等差数列． 跟踪训练 若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．题型三 等差数列性质的应用命题点1 等差数列项的性质典例 已知{a n }，{b n }都是等差数列，若a 1＋b 10＝9，a 3＋b 8＝15，则a 5＋b 6＝________. 命题点2 等差数列前n 项和的性质典例 (1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A ．63 B ．45 C ．36 D ．27(2)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 014，S 2 0142 014－S 2 0082 008＝6，则S 2 018＝________.思维升华 等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列{a n }中，m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q . (2)和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则 ①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)； ②S 2n －1＝(2n －1)a n .跟踪训练 (1)在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11等于( ) A ．58 B ．88 C ．143 D ．176(2)等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S n T n ＝3n －22n ＋1，则a 7b 7等于( )A.3727B.1914C.3929D.43等差数列的前n项和及其最值考点分析公差不为0的等差数列，求其前n项和与最值在高考中时常出现，题型有小题，也有大题，难度不大．典例1(1)在等差数列{a n}中，2(a1＋a3＋a5)＋3(a7＋a9)＝54，则此数列前10项的和S10等于()A．45 B．60 C．75 D．90(2)在等差数列{a n}中，S10＝100，S100＝10，则S110＝________.典例2在等差数列{a n}中，已知a1＝20，前n项和为S n，且S10＝S15，求当n取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值．规范解答1．(2018·济南质检)在等差数列{a n}中，若a2＝4，a4＝2，则a6等于()A．－1 B．0 C．1 D．62．(2018·日照模拟)由公差为d的等差数列a1，a2，a3，…组成的新数列a1＋a4，a2＋a5，a3＋a6，…是()A．公差为d的等差数列B．公差为2d的等差数列C．公差为3d的等差数列D．非等差数列3．(2018·宁德一模)若数列{a n}为等差数列，S n为其前n项和，且a2＝3a4－6，则S9等于() A．54 B．50 C．27 D．254．(2019·河南百校联盟模拟)等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，a 1＝－9，S 99－S 77＝2，则S 10等于( )A ．0B ．－9C ．10D ．－105．(2019·唐山统考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 11＝22，则a 3＋a 7＋a 8等于( ) A ．18 B ．12 C ．9 D ．66．(2017·湖南省湘中名校联考)若{a n }是等差数列，首项a 1>0，a 2 016＋a 2 017>0，a 2 016·a 2 017<0，则使前n 项和S n >0成立的最大正整数n 是( ) A ．2 016 B ．2 017 C ．4 032 D ．4 0337．(2019·安徽省安师大附中、马鞍山二中阶段性测试)若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 2＋S 3＝4，a 3＋S 5＝12，则a 4＋S 7的值是________．8．等差数列{a n }中的a 4，a 2 016是3x 2－12x ＋4＝0的两根，则14log a 1 010＝________.9．(2018·郑州模拟)《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为今有女子善织布，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布．若第一天织5尺布，现在一个月(按30天计)共织390尺布，则该女最后一天织________尺布．10．设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________. 11．(2016·全国Ⅱ)等差数列{a n }中，a 3＋a 4＝4，a 5＋a 7＝6. (1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝[a n ]，求数列{b n }的前10项和，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.12．(2018·贵州质检)已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且满足2S n ＝a 2n＋n －4(n ∈N *)．(1)求证：数列{a n }为等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．13．(2017·郑州一模)设数列{a n }满足：a 1＝1，a 2＝3，且2na n ＝(n －1)a n －1＋(n ＋1)a n ＋1，则a 20的值是______．14．已知数列{a n }中，a 1＝1且1a n ＋1＝1a n ＋13(n ∈N *)，则a 10＝________.15．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝________. 16．(2017·保定一模)设等差数列{a n }满足a 1＝1，a n >0(n ∈N *)，其前n 项和为S n ，若数列{S n }也为等差数列，则S n ＋10a 2n 的最大值是________．§6.2等差数列及其前n项和（答案解析）题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(×)(2)等差数列{a n}的单调性是由公差d决定的．(√)(3)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．(×)(4)已知等差数列{a n}的通项公式a n＝3－2n，则它的公差为－2.(√)(5)数列{a n}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2a n＋1＝a n＋a n＋2.(√)(6)已知数列{a n}的通项公式是a n＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{a n}一定是等差数列．(√)题组二教材改编2．[P46A组T2]设数列{a n}是等差数列，其前n项和为S n，若a6＝2且S5＝30，则S8等于() A．31 B．32 C．33 D．34答案 B解析 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝2，5a 1＋10d ＝30，解得⎩⎨⎧a 1＝263，d ＝－43，∴S 8＝8a 1＋8×72d ＝32.3．[P39T5]在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8＝________. 答案 180解析 由等差数列的性质，得a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝450，∴a 5＝90，∴a 2＋a 8＝2a 5＝180. 题组三 易错自纠4．一个等差数列的首项为125，从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差d 的取值范围是( )A ．d >875B ．d <325 C.875<d <325 D.875<d ≤325答案 D解析 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 10>1，a 9≤1，即⎩⎨⎧125＋9d >1，125＋8d ≤1，所以875<d ≤325.故选D.5．若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大． 答案 8解析 因为数列{a n }是等差数列，且a 7＋a 8＋a 9＝3a 8＞0，所以a 8＞0.又a 7＋a 10＝a 8＋a 9＜0，所以a 9＜0.故当n ＝8时，其前n 项和最大．6．一物体从1 960 m 的高空降落，如果第1秒降落4.90 m ，以后每秒比前一秒多降落9.80 m ，那么经过________秒落到地面． 答案 20解析 设物体经过t 秒降落到地面．物体在降落过程中，每一秒降落的距离构成首项为4.90，公差为9.80的等差数列． 所以4.90t ＋12t (t －1)×9.80＝1 960，即4.90t 2＝1 960，解得t ＝20.题型一 等差数列基本量的运算1．(2017·全国Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．8 答案 C解析 设{a n }的公差为d ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 5＝24，S 6＝48，得⎩⎪⎨⎪⎧(a 1＋3d )＋(a 1＋4d )＝24，6a 1＋6×52d ＝48，解得d ＝4.故选C.2．(2016·全国Ⅰ)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100等于( ) A ．100 B ．99 C ．98 D ．97 答案 C解析 由等差数列性质，知S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9×2a 52＝9a 5＝27，得a 5＝3，而a 10＝8，因此公差d ＝a 10－a 510－5＝1，∴a 100＝a 10＋90d ＝98，故选C.思维升华 等差数列运算问题的通性通法(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公差d ，然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．(2)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．题型二 等差数列的判定与证明典例 已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由． (1)证明 因为a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，b n ＝1a n －1(n ∈N *)，所以b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1－1a n －1＝1⎝⎛⎭⎫2－1a n －1－1a n －1＝a n a n －1－1a n －1＝1. 又b 1＝1a 1－1＝－52.所以数列{b n }是以－52为首项，1为公差的等差数列．(2)解 由(1)知b n ＝n －72，则a n ＝1＋1b n ＝1＋22n －7.设f (x )＝1＋22x －7，则f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－∞，72和⎝⎛⎭⎫72，＋∞上为减函数． 所以当n ＝3时，a n 取得最小值－1，当n ＝4时，a n 取得最大值3. 引申探究本例中，若将条件变为a 1＝35，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，试求数列{a n }的通项公式．解 由已知可得a n ＋1n ＋1＝a n n ＋1，即a n ＋1n ＋1－a n n＝1，又a 1＝35，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝35为首项，1为公差的等差数列，∴a n n ＝35＋(n －1)·1＝n －25，∴a n ＝n 2－25n . 思维升华 等差数列的四个判定方法(1)定义法：证明对任意正整数n 都有a n ＋1－a n 等于同一个常数． (2)等差中项法：证明对任意正整数n 都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.(3)通项公式法：得出a n ＝pn ＋q 后，再根据定义判定数列{a n }为等差数列．(4)前n 项和公式法：得出S n ＝An 2＋Bn 后，再使用定义法证明数列{a n }为等差数列． 跟踪训练 若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．(1)证明 当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0， 得S n －S n －1＝－2S n S n －1，∴1S n －1S n －1＝2，又1S 1＝1a 1＝2， 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为2，公差为2的等差数列． (2)解 由(1)可得1S n ＝2n ，∴S n ＝12n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12(n －1)＝n －1－n 2n (n －1)＝－12n (n －1).当n ＝1时，a 1＝12不适合上式．故a n＝⎩⎨⎧12，n ＝1，－12n (n －1)，n ≥2.题型三 等差数列性质的应用命题点1 等差数列项的性质典例 已知{a n }，{b n }都是等差数列，若a 1＋b 10＝9，a 3＋b 8＝15，则a 5＋b 6＝________. 答案 21解析 因为{a n }，{b n }都是等差数列，所以2a 3＝a 1＋a 5，2b 8＝b 10＋b 6，所以2(a 3＋b 8)＝(a 1＋b 10)＋(a 5＋b 6)，即2×15＝9＋(a 5＋b 6)，解得a 5＋b 6＝21. 命题点2 等差数列前n 项和的性质典例 (1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A ．63 B ．45 C ．36 D ．27 答案 B解析 由{a n }是等差数列，得S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列，即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)， 得到S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝45，故选B.(2)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 014，S 2 0142 014－S 2 0082 008＝6，则S 2 018＝________.答案 6 054解析 由等差数列的性质可得⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列．设其公差为d ，则S 2 0142 014－S 2 0082 008＝6d ＝6，∴d ＝1.故S 2 0182 018＝S 11＋2 017d ＝－2 014＋2 017＝3， ∴S 2 018＝3×2 018＝6 054. 思维升华 等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列{a n }中，m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q . (2)和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则 ①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)； ②S 2n －1＝(2n －1)a n .跟踪训练 (1)在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11等于( ) A ．58 B ．88 C ．143 D ．176 答案 B解析 S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11(a 4＋a 8)2＝11×162＝88. (2)等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S n T n ＝3n －22n ＋1，则a 7b 7等于( )A.3727B.1914C.3929D.43 答案 A解析 a 7b 7＝2a 72b 7＝a 1＋a 13b 1＋b 13＝a 1＋a 132×13b 1＋b 132×13＝S 13T 13＝3×13－22×13＋1＝3727.等差数列的前n 项和及其最值考点分析 公差不为0的等差数列，求其前n 项和与最值在高考中时常出现，题型有小题，也有大题，难度不大．典例1 (1)在等差数列{a n }中，2(a 1＋a 3＋a 5)＋3(a 7＋a 9)＝54，则此数列前10项的和S 10等于( )A ．45B ．60C ．75D ．90(2)在等差数列{a n }中，S 10＝100，S 100＝10，则S 110＝________. 解析 (1)由题意得a 3＋a 8＝9，所以S 10＝10(a 1＋a 10)2＝10(a 3＋a 8)2＝10×92＝45.(2)方法一 设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 则⎩⎨⎧10a 1＋10×92d ＝100，100a 1＋100×992d ＝10，解得⎩⎨⎧a 1＝1 099100，d ＝－1150.所以S 110＝110a 1＋110×1092d ＝－110.方法二 因为S 100－S 10＝(a 11＋a 100)×902＝－90，所以a 11＋a 100＝－2， 所以S 110＝(a 1＋a 110)×1102＝(a 11＋a 100)×1102＝－110.答案 (1)A (2)－110典例2 在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n取得最大值，并求出它的最大值． 规范解答解 ∵a 1＝20，S 10＝S 15，∴10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ，∴d ＝－53.方法一 由a n ＝20＋(n －1)×⎝⎛⎭⎫－53＝－53n ＋653， 得a 13＝0.即当n ≤12时，a n ＞0，当n ≥14时，a n ＜0. ∴当n ＝12或n ＝13时，S n 取得最大值，且最大值为S 12＝S 13＝12×20＋12×112×⎝⎛⎭⎫－53＝130.方法二 S n ＝20n ＋n (n －1)2·⎝⎛⎭⎫－53＝－56n 2＋1256n ＝－56⎝⎛⎭⎫n －2522＋3 12524. ∵n ∈N *，∴当n ＝12或n ＝13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130. 方法三 由S 10＝S 15，得a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0. ∴5a 13＝0，即a 13＝0.∴当n ＝12或n ＝13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130.1．(2018·济南质检)在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．6 答案 B解析 因为数列是等差数列，a 2＝4,2a 4＝a 2＋a 6＝4，所以a 6＝0，故选B.2．(2018·日照模拟)由公差为d 的等差数列a 1，a 2，a 3，…组成的新数列a 1＋a 4，a 2＋a 5，a 3＋a 6，…是( )A ．公差为d 的等差数列B ．公差为2d 的等差数列C ．公差为3d 的等差数列D ．非等差数列 答案 B解析 设新数列a 1＋a 4，a 2＋a 5，a 3＋a 6，…的第n 项是b n ，则b n ＝a n ＋a n ＋3＝2a 1＋(n －1)d ＋(n ＋2)d ＝2a 1＋(2n ＋1)d ，∴b n ＋1－b n ＝2d ，∴新数列是以2d 为公差的等差数列，故选B. 3．(2019宁德一模)若数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，且a 2＝3a 4－6，则S 9等于( ) A ．54 B ．50 C ．27 D ．25 答案 C解析 数列{a n }为等差数列，设公差为d ，则a 4＝a 2＋2d ，∴a 2＝3(a 2＋2d )－6，∴2a 2＋6d －6＝0，∴a 2＋3d ＝3，即a 5＝3，则S 9＝(a 1＋a 9)×92＝9×a 5＝27.故选C.4．(2019·河南百校联盟模拟)等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，a 1＝－9，S 99－S 77＝2，则S 10等于( )A ．0B ．－9C ．10D ．－10 答案 A解析 设公差为d ，∵S 99－S 77＝2，∴9－12d －7－12d ＝2，∴d ＝2，∵a 1＝－9，∴S 10＝10×(－9)＋10×92×2＝0，故选A.5．(2019·唐山统考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 11＝22，则a 3＋a 7＋a 8等于( ) A ．18 B ．12 C ．9 D ．6 答案 D解析 由题意得S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11(2a 1＋10d )2＝22，即a 1＋5d ＝2，所以a 3＋a 7＋a 8＝a 1＋2d ＋a 1＋6d ＋a 1＋7d ＝3(a 1＋5d )＝6，故选D.6．(2019·湖南省湘中名校联考)若{a n }是等差数列，首项a 1>0，a 2 016＋a 2 017>0，a 2 016·a 2 017<0，则使前n 项和S n >0成立的最大正整数n 是( ) A ．2 016 B ．2 017 C ．4 032 D ．4 033 答案 C解析 因为a 1>0，a 2 016＋a 2 017>0，a 2 016·a 2 017<0，所以d <0，a 2 016>0，a 2 017<0，所以S 4 032＝4 032(a 1＋a 4 032)2＝4 032(a 2 016＋a 2 017)2>0，S 4 033＝4 033(a 1＋a 4 033)2＝4 033a 2 017<0，所以使前n项和S n >0成立的最大正整数n 是4 032，故选C.7．(2019·安徽省安师大附中、马鞍山二中阶段性测试)若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 2＋S 3＝4，a 3＋S 5＝12，则a 4＋S 7的值是________． 答案 24解析 由a 2＋S 3＝4及a 3＋S 5＝12，得⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋4d ＝4，6a 1＋12d ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝0，d ＝1，∴a 4＋S 7＝8a 1＋24d ＝24.8．等差数列{a n }中的a 4，a 2 016是3x 2－12x ＋4＝0的两根，则14log a 1 010＝________.答案 －12解析 因为a 4和a 2 016是3x 2－12x ＋4＝0的两根，所以a 4＋a 2 016＝4.又a 4，a 1 010，a 2 016成等差数列，所以2a 1 010＝a 4＋a 2 016，即a 1 010＝2，所以14log a 1 010＝－12.9．(2017·郑州模拟)《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为今有女子善织布，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布．若第一天织5尺布，现在一个月(按30天计)共织390尺布，则该女最后一天织________尺布． 答案 21解析 由题意得，织女每天所织的布的尺数依次排列形成一个等差数列，设为{a n }，其中a 1＝5，前30项和为390，于是有30(5＋a 30)2＝390，解得a 30＝21，即该织女最后一天织21尺布．10．设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________. 答案 130解析 由a n ＝2n －10(n ∈N *)知{a n }是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由a n ＝2n －10≥0，得n ≥5，∴当n ≤5时，a n ≤0，当n ＞5时，a n ＞0，∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋…＋a 15)＝20＋110＝130.11．(2016·全国Ⅱ)等差数列{a n }中，a 3＋a 4＝4，a 5＋a 7＝6. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝[a n ]，求数列{b n }的前10项和，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.解 (1)设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋5d ＝4，a 1＋5d ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝25.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋35. (2)由(1)知，b n ＝⎣⎡⎦⎤2n ＋35.当n ＝1,2,3时，1≤2n ＋35<2，b n ＝1；当n ＝4,5时，2≤2n ＋35<3，b n ＝2；当n ＝6,7,8时，3≤2n ＋35<4，b n ＝3；当n ＝9,10时，4≤2n ＋35<5，b n ＝4.所以数列{b n }的前10项和为 1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.12．(2018·贵州质检)已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且满足2S n ＝a 2n＋n －4(n ∈N *)．(1)求证：数列{a n }为等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．(1)证明 当n ＝1时，有2a 1＝a 21＋1－4， 即a 21－2a 1－3＝0， 解得a 1＝3(a 1＝－1舍去)． 当n ≥2时，有2S n －1＝a 2n －1＋n －5， 又2S n ＝a 2n ＋n －4，两式相减得2a n ＝a 2n －a 2n －1＋1，即a 2n －2a n ＋1＝a 2n －1，也即(a n －1)2＝a 2n －1，因此a n －1＝a n －1或a n －1＝－a n －1.若a n －1＝－a n －1，则a n ＋a n －1＝1.而a 1＝3， 所以a 2＝－2，这与数列{a n }的各项均为正数相矛盾， 所以a n －1＝a n －1，即a n －a n －1＝1，因此数列{a n }是首项为3，公差为1的等差数列． (2)解 由(1)知a 1＝3，d ＝1，所以数列{a n }的通项公式a n ＝3＋(n －1)×1＝n ＋2， 即a n ＝n ＋2.13．(2017·郑州一模)设数列{a n }满足：a 1＝1，a 2＝3，且2na n ＝(n －1)a n －1＋(n ＋1)a n ＋1，则a 20的值是______．答案 245解析 ∵2na n ＝(n －1)a n －1＋(n ＋1)a n ＋1，∴数列{na n }是以a 1＝1为首项，2a 2－a 1＝5为公差的等差数列，∴20a 20＝1＋5×19＝96，解得a 20＝9620＝245. 14．已知数列{a n }中，a 1＝1且1a n ＋1＝1a n ＋13(n ∈N *)，则a 10＝________. 答案 14解析 ∵1a n ＋1＝1a n ＋13，∴1a n ＋1－1a n ＝13， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1＝1为首项，13为公差的等差数列， ∴1a 10＝1a 1＋(10－1)×13＝1＋3＝4， 故a 10＝14.15．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝________. 答案 5解析 ∵数列{a n }为等差数列，且前n 项和为S n ，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列． ∴S m －1m －1＋S m ＋1m ＋1＝2S m m ，即－2m －1＋3m ＋1＝0， 解得m ＝5，经检验符合题意．16．(2017·保定一模)设等差数列{a n }满足a 1＝1，a n >0(n ∈N *)，其前n 项和为S n ，若数列{S n }也为等差数列，则S n ＋10a 2n的最大值是________． 答案 121解析 设数列{a n }的公差为d ，由题意得2S 2＝S 1＋S 3，因为a 1＝1，所以22a 1＋d ＝a 1＋3a 1＋3d ， 化简可得d ＝2a 1＝2，所以a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，S n ＝n ＋n (n －1)2×2＝n 2， 所以S n ＋10a 2n ＝(n ＋10)2(2n －1)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋102n －12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12(2n －1)＋2122n －12＝14⎝⎛⎭⎫1＋212n －12. 又⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝⎛⎭⎫1＋212n －12为单调递减数列， 所以S n ＋10a 2n ≤S 11a 21＝112＝121.。
高中数学课时达标训练(九)等差数列的前n项和(含解析)新人教A版必修5
高中数学课时达标训练（九）等差数列的前n 项和（含解析）新人教A 版必修5课时达标训练(九) 等差数列的前n 项和[即时达标对点练]题组1 等差数列前n 项和的有关计算1．设S n 是等差数列{}a n 的前n 项和，已知a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于( ) A ．13 B ．35 C ．49 D ．63解析：选C S 7＝7（a 1＋a 7）2＝7（a 2＋a 6）2＝7（3＋11）2＝49，或由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝a 1＋d ＝3，a 6＝a 1＋5d ＝11，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2. 即S 7＝7a 1＋7×62d ＝49.故选C.2．在等差数列{}a n 中，a 6＝a 3＋a 8，则S 9等于( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．－1或1解析：选A 因为a 6＝a 3＋a 8，故a 5＋d ＝a 2＋d ＋a 8，得a 5＝2a 5，即a 5＝0.又a 1＋a 9＝2a 5＝0，S 9＝9（a 1＋a 9）2＝9a 5＝0，故选A.3．(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( )A ．－12B ．－10C ．10D ．12解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d ，由3S 3＝S 2＋S 4，得3(3a 1＋3d )＝2a 1＋d ＋4a 1＋6d ，即3a 1＋2d ＝0.将a 1＝2代入上式，解得d ＝－3，故a 5＝a 1＋(5－1)d ＝2＋4×(－3)＝－10.4．已知等差数列{}a n 中，a 1＝1，a 3＝－3. (1)求数列{}a n 的通项公式；(2)若数列{}a n 的前k 项和S k ＝－35，求k 的值． 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d .由a 1＝1，a 3＝－3可得1＋2d ＝－3.解得d ＝－2. 从而，a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n . (2)由(1)可知a n ＝3－2n ， 所以S n ＝n [1＋（3－2n ）]2＝2n －n 2.进而由S k ＝－35可得2k －k 2＝－35， 即k 2－2k －35＝0，解得k ＝7或k ＝－5. 又k ∈N *，故k ＝7为所求结果． 题组2 已知S n 求通项公式a n5．若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－10n (n ＝1，2，3，…)，则此数列的通项公式为a n ＝________．解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝1－10＝－9；当n >1时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－10n －[(n －1)2－10(n －1)]＝2n －11.又2×1－11＝－9＝a 1，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －11. 答案：2n －116．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且lg(S n ＋1)＝n ＋1，求通项公式． 解：因为lg(S n ＋1)＝n ＋1，所以S n ＋1＝10n ＋1，即S n ＝10n ＋1－1.当n ＝1时，a 1＝S 1＝102－1＝99，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(10n ＋1－1)－(10n －1)＝9×10n ，从而，数列{a n }的通项公式为：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧99（n ＝1），9×10n（n ≥2）. 题组3 等差数列前n 项和的性质7．设S n 是等差数列{}a n 的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12等于( )A.310 B.13 C.18 D.19解析：选A 设S 3＝m ，∵S 3S 6＝13，∴S 6＝3m ，∴S 6－S 3＝2m ，由等差数列依次每k 项之和仍为等差数列，得S 3＝m ，S 6－S 3＝2m ，S 9－S 6＝3m ，S 12－S 9＝4m ，∴S 6＝3m ，S 12＝10m .∴S 6S 12＝310，故选A. 8．已知等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，且S n T n ＝2n 3n ＋1，则a 5b 5＝( )A.23B.79C.2031D.914解析：选D ∵等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，S n T n ＝2n 3n ＋1，∴a 5b 5＝9a 59b 5＝S 9T 9＝1828＝914.故选D.题组4 等差数列前n 项和的最值9．已知{a n }是等差数列，a 1＝－26，a 8＋a 13＝5，当{a n }的前n 项和S n 取最小值时，n 等于( )A ．8B ．9C ．10D ．11 解析：选B ∵{a n }是等差数列，a 1＝－26，a 8＋a 13＝5， ∴－26＋7d －26＋12d ＝5，解得d ＝3， ∴S n ＝－26n ＋n n －12×3＝32n 2－552n ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫n －5562－3 02524，∴{a n }的前n 项和S n 取最小值时，n ＝9.故选B.10．设等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，且S 12＞0，S 13＜0. (1)求公差d 的范围；(2)问前几项的和最大，并说明理由． 解：(1)∵a 3＝12，∴a 1＝12－2d ， ∵S 12＞0，S 13＜0，∴⎩⎪⎨⎪⎧12a 1＋66d ＞0，13a 1＋78d ＜0， 即⎩⎪⎨⎪⎧24＋7d ＞0，3＋d ＜0， ∴－247＜d ＜－3.故d 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－247，－3. (2)∵S 12＞0，S 13＜0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 12＞0，a 1＋a 13＜0.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 6＋a 7＞0，a 7＜0.∴a 6＞0， 又由(1)知d ＜0.∴数列前6项为正，从第7项起为负． ∴数列前6项和最大．[能力提升综合练]1．在等差数列{}a n 中，若a 2＋a 8＝4，则其前9项的和S 9等于( ) A ．18 B ．27 C ．36 D ．9 解析：选A ∵数列{}a n 是等差数列， ∴a 1＋a 9＝a 2＋a 8＝a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝2a 5.∴S 9＝92(a 2＋a 8)＝18.故选A.2．一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为120°，公差为5°，那么这个多边形的边数n 等于( )A ．12B ．16C ．9D ．16或9解析：选C 设凸多边形的内角组成的等差数列为{a n }，则a n ＝120＋5(n －1)＝5n ＋115，由a n <180，得n <13且n ∈N *.由n 边形内角和定理得，(n －2)×180＝n ×120＋n n －12×5.解得n ＝16或n ＝9.∵n <13，∴n ＝9.3．在等差数列{}a n 中，7a 5＋5a 9＝0，且a 9＞a 5，则使数列前n 项和S n 取得最小值的n 等于( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选B ∵a 9＞a 5，∴公差d ＞0.由7a 5＋5a 9＝0，得7(a 1＋4d )＋5(a 1＋8d )＝0，∴d ＝－317a 1.由a n ＝a 1＋(n －1)d ≤0，解得n ≤203，即使S n取得最小值的n 等于6.4．已知数列{}a n ，{}b n 都是公差为1的等差数列，其首项分别为a 1，b 1，且a 1＋b 1＝5，a 1＞b 1.a 1，b 1，n ∈N *，则数列{}a bn 的前10项和等于( )A ．55B ．70C ．85D ．100解析：选 C a n ＝a 1＋n －1，b n ＝b 1＋n －1.ab n ＝a 1＋b n －1＝a 1＋(b 1＋n －1)－1＝a 1＋b 1＋n －2＝5＋n －2＝n ＋3，因此数列{}a bn 也是等差数列，并且前10项和等于10（4＋13）2＝85.5．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 2 017>0，S 2 018<0.若对任意的正整数n ，都有S n ≤S k ，则k 的值为________．解析：∵等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 2 017>0，S 2 018<0，∴2 017a 1＋a 2 0172＝2 017a 1 009>0，2 018a 1＋a 2 0182＝1 009(a 1 009＋a 1 010)<0，∴a 1 009>0，a 1 010<0，∴在前n项和S n 中，S 1 009最大，∴对任意正整数n ，S n ≤S 1 009，则k ＝1 009.答案：1 0096．已知等差数列{}a n 的前三项为a －1，4，2a ，记前n 项和为S n . (1)设S k ＝2 550，求a 和k 的值；(2)设b n ＝S n n，求b 3＋b 7＋b 11＋…＋b 4n －1的值．解：(1)由已知得a 1＝a －1，a 2＝4，a 3＝2a ， 又a 1＋a 3＝2a 2，∴(a －1)＋2a ＝8，即a ＝3. ∴a 1＝2，公差d ＝a 2－a 1＝2. 由S k ＝ka 1＋k （k －1）2d ，得2k ＋k （k －1）2×2＝2 550，即k 2＋k －2 550＝0，解得k ＝50或k ＝－51(舍去)． ∴a ＝3，k ＝50. (2)由S n ＝na 1＋n （n －1）2d ，得S n ＝2n ＋n （n －1）2×2＝n 2＋n .∴b n ＝S n n＝n ＋1，∴{}b n 是等差数列．则b 3＋b 7＋b 11＋…＋b 4n －1＝(3＋1)＋(7＋1)＋(11＋1)＋…＋(4n －1＋1)＝2n 2＋2n . 7．(选做题)在等差数列{}a n 中，a 10＝23，a 25＝－22， (1)该数列第几项开始为负？ (2)前多少项和最大？(3)求数列{}|a n |的前n 项和． 解：设等差数列{a n }中，公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 25－a 10＝15d ＝－45，23＝a 1＋（10－1）×d ，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝50，d ＝－3.(1)设第n 项开始为负，a n ＝50－3(n －1)＝53－3n ＜0，n ＞533，所以从第18项开始为负．(2)法一：设前n 项和为S n ，则S n ＝50n ＋n （n －1）2(－3)＝－32n 2＋1032n ＝－32⎝⎛⎭⎪⎫n －10362＋32×⎝ ⎛⎭⎪⎫10362， 所以当n ＝17时，S n 最大．即前17项和最大．法二：⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0，则⎩⎪⎨⎪⎧53－3n ≥0，50－3n ≤0，503≤n ≤533，所以n ＝17.即前17项和最大．(3)|a n |＝|53－3n |＝⎩⎪⎨⎪⎧53－3n （0＜n ≤17），3n －53（n ＞17）.∴S ′n ＝|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 17－(a 18＋a 19＋…＋a n )，当n ≤17时，S n ′＝－32n 2＋1032n ；当n ＞17时，S n ′＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32n 2＋1032n ＋2S 17＝32n 2－1032n ＋884，所以S n′＝⎩⎪⎨⎪⎧－32n 2＋1032n ，n ≤17，32n 2－1032n ＋884，n ＞17.。
2020学年高中数学课时训练(九)等差数列的前n项和新人教A版必修5(最新整理)
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课时跟踪检测（九) 等差数列的前n项和A级——学考水平达标1．已知数列{a n｝的通项公式为a n＝2－3n，则{a n｝的前n项和S n等于（) A．－错误!n2＋错误!B．－错误!n2－错误!C。
错误!n2＋错误!D。
错误!n2－错误!解析：选A ∵a n＝2－3n，∴a1＝2－3＝－1，∴S n＝错误!＝－错误!n2＋错误!. 2．等差数列{a n}的前n项和为S n，若a7>0，a8<0，则下列结论正确的是( ) A．S7〈S8B．S15<S16C．S13>0 D．S15>0解析：选 C 由等差数列的性质及求和公式得，S13＝13a1＋a132＝13a7>0，S15＝错误!＝15a8〈0，故选C。
3．设等差数列{a n｝的前n项和为S n，若S3＝9，S6＝36,则a7＋a8＋a9等于（)A．63 B．45C．36 D．27解析：选B ∵a7＋a8＋a9＝S9－S6,而由等差数列的性质可知,S3，S6－S3，S9－S6构成等差数列，所以S3＋（S9－S6)＝2(S6－S3），即a7＋a8＋a9＝S9－S6＝2S6－3S3＝2×36－3×9＝45.4．已知等差数列{a n}的前n项和为S n,7a5＋5a9＝0，且a9>a5，则S n取得最小值时n的值为（)A．5 B．6C．7 D．8解析：选B 由7a5＋5a9＝0，得a1d＝－错误!.又a9〉a5，所以d>0,a1<0.因为函数y＝错误!x2＋错误!x的图象的对称轴为x＝错误!－错误!＝错误!＋错误!＝错误!，取最接近的整数6,故S n取得最小值时n的值为6。
2019-2020年苏教版数学必修五课时分层作业9 等差数列前n项和的综合应用+Word版含解析
课时分层作业(九) 等差数列前n 项和的综合应用(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．数列{a n }为等差数列，它的前n 项和为S n ，若S n ＝(n ＋1)2＋λ，则λ的值是( )A ．－2B ．－1C ．0D ．1B [等差数列前n 项和S n 的形式为S n ＝an 2＋bn ，∴λ＝－1.]2．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 6>S 7>S 5，有下列四个命题：①d <0；②S 11>0；③S 12<0；④数列{S n }中的最大项为S 11，其中正确命题的序号是( )A ．②③B ．①②C ．①③D ．①④B [∵S 6>S 7，∴a 7<0，∵S 7>S 5，∴a 6＋a 7>0，∴a 6>0，∴d <0，①正确；又S 11＝112(a 1＋a 11)＝11a 6>0，②正确；S 12＝122(a 1＋a 12)＝6(a 6＋a 7)>0，③不正确；{S n }中最大项为S 6，④不正确．故正确的是①②.]3．若数列{a n }的前n 项和是S n ＝n 2－4n ＋2，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|等于( )A ．15B ．35C ．66D ．100 C [易得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，2n －5，n ≥2.|a 1|＝1，|a 2|＝1，|a 3|＝1，令a n >0，则2n －5>0，∴n ≥3.∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝1＋1＋a 3＋…＋a 10＝2＋(S 10－S 2)＝2＋[(102－4×10＋2)－(22－4×2＋2)]＝66.]4．设数列{a n }是等差数列，若a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使S n 达到最大值的n 是( )A ．18B ．19C ．20D ．21C [a 1＋a 3＋a 5＝105＝3a 3，∴a 3＝35，a 2＋a 4＋a 6＝99＝3a 4，∴a 4＝33，∴d ＝a 4－a 34－3＝－2，∴a n ＝a 3＋(n －3)d ＝41－2n ，令a n >0，∴41－2n >0，∴n <412，∴n ≤20.]5.11×3＋12×4＋13×5＋14×6＋…＋1n (n ＋2)等于( )A.1n (n ＋2)B.12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋2C.12⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1n ＋1－1n ＋2 D.12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1 C [通项a n ＝1n (n ＋2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2， ∴原式＝12⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋ ⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋⎝⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1n ＋1－1n ＋2.] 二、填空题6．已知等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，已知S 3＝9，a 4＋a 5＋a 6＝7，则S 9－S 6＝________.5 [∵S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等差数列，而S 3＝9，S 6－S 3＝a 4＋a 5＋a 6＝7，∴S 9－S 6＝5.]7．已知等差数列{a n }中，|a 5|＝|a 9|，公差d >0，则使得前n 项和S n 取得最小值的正整数n 的值是________．6或7 [由|a 5|＝|a 9|且d >0得a 5<0，a 9>0，且a 5＋a 9＝0⇒2a 1＋12d ＝0⇒a 1＋6d ＝0，即a 7＝0，故S 6＝S 7且最小．]8．首项为正数的等差数列的前n 项和为S n ，且S 3＝S 8，当n ＝________时，S n 取到最大值．5或6 [∵S 3＝S 8，∴S 8－S 3＝a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝5a 6＝0，∴a 6＝0，∵a 1>0， ∴a 1>a 2>a 3>a 4>a 5>a 6＝0，a 7<0.故当n ＝5或6时，S n 最大．]三、解答题9．已知等差数列{a n }中，a 1＝9，a 4＋a 7＝0.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)当n 为何值时，数列{a n }的前n 项和取得最大值？[解] (1)由a 1＝9，a 4＋a 7＝0，得a 1＋3d ＋a 1＋6d ＝0，解得d ＝－2，∴a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝11－2n .(2)法一：a 1＝9，d ＝－2，S n ＝9n ＋n (n －1)2·(－2)＝－n 2＋10n＝－(n －5)2＋25，∴当n ＝5时，S n 取得最大值．法二：由(1)知a 1＝9，d ＝－2<0，∴{a n }是递减数列．令a n ≥0，则11－2n ≥0，解得n ≤112.∵n ∈N *，∴n ≤5时，a n >0，n ≥6时，a n <0.∴当n ＝5时，S n 取得最大值．10．若等差数列{a n }的首项a 1＝13，d ＝－4，记T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求T n .[解] ∵a 1＝13，d ＝－4，∴a n ＝17－4n .当n ≤4时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n＝na 1＋n (n －1)2d ＝13n ＋n (n －1)2×(－4)＝15n －2n 2；当n ≥5时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)－(a 5＋a 6＋…＋a n )＝S 4－(S n －S 4)＝2S 4－S n＝2×(13＋1)×42－(15n －2n 2) ＝2n 2－15n ＋56.∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧15n －2n 2(n ≤4)，2n 2－15n ＋56(n ≥5). [能力提升练]1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4＝40，S n ＝210，S n －4＝130，则n ＝( )A ．12B ．14C ．16D ．18B [S n －S n －4＝a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝80，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝40，所以4(a 1＋a n )＝120，a 1＋a n ＝30，由S n ＝n (a 1＋a n )2＝210，得n ＝14.] 2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m 等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6C [a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3，所以公差d ＝a m ＋1－a m ＝1，由S m ＝m (a 1＋a m )2＝0，得a 1＝－2，所以a m ＝－2＋(m －1)·1＝2，解得m ＝5，故选C.]3．已知数列：1，11＋2，11＋2＋3，…，11＋2＋…＋n，…，则其前n 项和等于________．2n n ＋1 [通项a n ＝11＋2＋…＋n ＝2n (n ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， ∴所求的和为2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1.] 4．设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是________，项数是________．11 7 [设等差数列{a n }的项数为2n ＋1，S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1＝(n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)2＝(n ＋1)a n ＋1， S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝n (a 2＋a 2n )2＝na n ＋1， 所以S 奇S 偶＝n ＋1n ＝4433，解得n ＝3，所以项数2n ＋1＝7， S 奇－S 偶＝a n ＋1，即a 4＝44－33＝11为所求中间项．]5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{a n }为等差数列，a 1＝12，d ＝－2.(1)求S n ，并画出{S n }(1≤n ≤13)的图象；(2)分别求{S n }单调递增、单调递减的n 的取值范围，并求{S n }的最大(或最小)的项；(3){S n }有多少项大于零？[解] (1)S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝12n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋13n .图象如图．(2)S n ＝－n 2＋13n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1322＋1694，n ∈N *， ∴当n ＝6或7时，S n 最大；当1≤n ≤6时，{S n }单调递增；当n ≥7时，{S n }单调递减．{S n }有最大值，最大项是S 6，S 7，S 6＝S 7＝42.(3)由图象得{S n }中有12项大于零．。
高中数学等差数列的前n项和(有答案)
2.3.1 等差数列的前n项和(1)一、解答题。
1. 如果等差数列{a n}中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+⋯+a7=（）A.14B.21C.28D.352. 在等差数列{a n}中，S10=120，则a2+a9=（）A.12B.24C.36D.483. 在等差数列{a n}中，a1+a2+a3=3，a18+a19+a20=87，则此数列前20项的和等于（）A.290B.300C.580D.6004. 设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=−11，a4+a6=−6，则当S n取得最小值时，n值为________.5. 已知等差数列{a n}的公差为1，且a1+a2+⋯+a98+a99=99，则a3+a6+a9+⋯+a96+a99=（）A.99B.66C.33D.06. 自然数按照下表的规律排列，则上起第2013行，左起第2014列的数为（）A.2013×2014+3B.2013×2014+2C.2013×2014+1D.2013×20147. 设数列{a n}，{b n}都是等差数列，若a1+b1=7，a3+b3=21，则a5+b5=________ ．8. 等差数列{a n}的前n项和为S n．已知a m−1+a m+1−a m2=0．且S2m−1=38，则m=________.9. 等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n、T n，若S nT n =2n3n+1，则a11b11=________．10. 若一个等差数列的前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有多少项．11. 等差数列{a n}的前n项的和S n=6n−n2，求数列{|a n|}的前10项之和．12. 设等差数列{a n}的前n项和为S n．已知a3=12，S12>0，S13<0．求公差d的取值范围．指出S1，S2，…，S12中，哪一个最大，并说明理由．参考答案与试题解析2.3.1 等差数列的前n项和(1)一、解答题。
高中数学同步练习 等差数列的前n项和跟踪训练含解析
第一章 数 列§2 等差数列2.2 等差数列的前n 项和第1课时 等差数列的前n 项和[A 组 学业达标]1．等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 2＝4,S 4＝20,则数列{a n }的公差d 等于( )A ．2B ．3C ．6D ．7解析：由题意⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝4，4a 1＋6d ＝20，∴d＝3.故选B.答案：B2．等差数列{a n }中,a 1＋a 4＋a 7＝39,a 3＋a 6＋a 9＝27,则数列{a n }前9项的和S 9等于() A ．66 B ．99C ．144D ．297解析：∵a 1＋a 7＝2a 4,a 3＋a 9＝2a 6,∴3a 4＝39,3a 6＝27,∴a 4＝13,a 6＝9,∴S 9＝9（a 1＋a 9）2＝9（a 4＋a 6）2＝99.故选B.答案：B3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S m －1＝－2,S m ＝0,S m ＋1＝3,则m ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：∵{a n }是等差数列,S m －1＝－2,S m ＝0,∴a m ＝S m －S m －1＝2.∵S m ＋1＝3,∴a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3,∴d＝a m ＋1－a m ＝1.又S m ＝m （a 1＋a m ）2＝m （a 1＋2）2＝0,∴a 1＝－2,∴a m ＝－2＋(m －1)·1＝2,∴m＝5.故选C.答案：C4．数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －49,当该数列的前n 项和S n 取得最小值时,n 等于() A ．24 B ．25C ．26D ．27解析：要使前n 项的和取得最小值,则⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝2n －49≤0，a n ＋1＝2（n ＋1）－49≥0. 解得472≤n≤492.因n∈N ＋,所以n ＝24. 答案：A5．(2019·遵义市模拟)张邱建,北魏人,约公元5世纪,古代著名数学家,一生从事数学研究,造诣很深,其代表作《张邱建算经》采用问答式,条理精密,文词古雅,是世界数学资料库中的一份异常．其卷上第22题有一个“女子织布”问题：今有女善织,日益功疾,初日织五尺,今一月日织九匹三丈．问日益几何．翻译过来的意思是某女子善于织布,一天比一天织得快,而且每天增加的数量相同．已知第一天织布5尺,30天共织布390尺,则该女子织布每天增加( )尺．( )A.1629B.815C.1631D.916 解析：由题意易知该女子每天织的布(单位：尺)成等差数列,设公差为d,由题意可得首项为5,前30项和为390,∴30×5＋30×292d ＝390,解得d ＝1629.故选A. 答案：A6．在等差数列{a n }中,已知a 4＋a 8＝16,则该数列前11项的和S 11等于________．解析：由条件结合等差数列的性质知a 4＋a 8＝a 1＋a 11＝16,∴S 11＝11（a 1＋a 11）2＝11×8＝88. 答案：887．已知数列{a n }是以－15为首项,2为公差的等差数列,S n 是其前n 项和,则数列{S n }的最小项为第________项．解析：S n ＝(－15)n ＋n （n －1）2×2＝n 2－16n ＝(n －8)2－64,所以n ＝8时,S n 最小． 答案：88．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若S 3＝3,S 6＝24,则a 9＝________．解析：记首项为a 1,公差为d,则有⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3×22d ＝3，6a 1＋6×52d ＝24⇒a 1＝－1,d ＝2. 则a 9＝a 1＋(9－1)d ＝－1＋8×2＝15.答案：159．已知等差数列{a n },解答下列问题：(1)已知a 1＝5,a 10＝95,求S 10；(2)已知a 1＝100,d ＝－2,求S 50；(3)已知a 1＝20,a n ＝54,S n ＝999,求n,d ；(4)已知d ＝2,S 100＝10 000,求a 1与a n .解析：(1)S 10＝10（a 1＋a 10）2＝10×（5＋95）2＝500. (2)S 50＝50×100＋50×492×(－2)＝2 550. (3)S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n （20＋54）2＝999, ∴n＝27,d ＝a n －a 1n －1＝54－2027－1＝1713. (4)∵S 100＝100a 1＋100×992×2＝10 000,∴a 1＝1, ∴a n ＝a 1＋(n －1)·d＝2n －1.10．一支军队有15辆车,某天依次出发执行任务．第1辆车于下午2时出发,第2辆车于下午2时10分出发,第3辆车于下午2时20分出发,依此类推．假设所有的司机都连续开车,并且都在下午6时停下休息．(1)到下午6时,最后一辆车行驶了多长时间？(2)如果每辆车的行驶速度都是60 km/h,这支车队当天一共行驶了多少路程？解析：由题意,知第1辆车休息时行驶了240 min,各辆车行驶的时间构成一个等差数列{a n },其中a 1＝240,公差d ＝－10,则a n ＝240－10(n －1)＝－10n ＋250.(1)因为a 15＝－10×15＋250＝100,所以到下午6时,最后一辆车行驶了100 min.(2)这支车队所有车辆行驶的总时间为240＋1002×15＝2 550 min ＝852h,所以这支车队当天一共行驶的路程为852×60＝2 550(km)． [B 组 能力提升]11．(2019·湛江市模拟)设等差数列{a n }前n 项和为S n ,若a 1＝1,公差d ＝2,S k ＋2＝28＋S k ,则k ＝( )A ．8B ．7C ．6D ．5解析：∵等差数列{a n }前n 项和为S n ,a 1＝1,公差d ＝2,S k ＋2＝28＋S k ,∴(k＋2)×1＋（k ＋2）（k ＋1）2×2＝28＋k×1＋k （k －1）2×2,解得k ＝6.故选C. 答案：C12．(2019·岳麓区模拟)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末一尺,重二斤,问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖,长5尺,一头粗,一头细,在粗的一端截下1尺,重4斤；在细的一端截下1尺,重2斤,问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的,其重量为M,现将该金杖截成长度相等的10段,记第i 段的重量为a i (i ＝1,2,…,10),且a 1＜a 2＜…＜a 10,若48a i ＝5 M,则i ＝( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：由题意知由细到粗每段的重量成等差数列,记为{a n },设公差为d,则⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝22a 1＋17d ＝4,解得a 1＝1516,d ＝18, ∴该金杖的总重量M ＝10×1516＋10×92×18＝15. ∵48a i ＝5 M,∴48⎣⎢⎡⎦⎥⎤1516＋（i －1）×18＝75, 即39＋6i ＝75,解得i ＝6.故选C.答案：C13．(2019·孝感市模拟)《孙子算经》是我国古代的数学名著,书中有如下问题：“今有五等诸侯,共分橘子六十颗,人别加三颗．问：五人各得几何？”其意思为“有5个人分60个橘子,他们分得的橘子数成公差为3的等差数列,问5人各得多少橘子．”这个问题中,得到橘子最多的人所得的橘子个数是________．解析：设第一个人分到的橘子个数为a 1,由题意得S 5＝5a 1＋5×42×3＝60, 解得a 1＝6,则a 5＝a 1＋(5－1)×3＝6＋12＝18,∴得到橘子最多的人所得的橘子个数是18.答案：1814．(2019·商丘市模拟)若数列{a n }是等差数列,首项a 1＜0,a 2 017＋a 2 018＞0,a 2 017·a 2 018＜0,则使前n 项和S n ＜0的最大自然数n 是________．解析：∵数列{a n }是等差数列,首项a 1＜0,a 2 017＋a 2 018＞0,a 2 017·a 2 018＜0,∴a 2 017＜0,a 2 018＞0,公差d ＞0,∴S 4 034＝4 034（a 1＋a 4 034）2＝2 017(a 2 017＋a 2 018)＞0, S 4 033＝4 0332(a 1＋a 4 033)＝4 033a 2 017＜0, ∴使前n 项和S n ＜0的最大自然数n 是4 033.答案：4 03315．等差数列{a n }中,a 3＝12,S 12＞0,S 13＜0.(1)求公差d 的取值范围．(2)指出S 1,S 2,…,S n 中哪一个值最大,并说明理由．解析：(1)由题意⎩⎪⎨⎪⎧S12＝12a 1＋12×112d ＞0，S 13＝13a 1＋13×122d ＜0， 即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋11d ＞0，a 1＋6d ＜0.因为a 3＝12,所以a 1＝12－2d. 从而有⎩⎪⎨⎪⎧24＋7d ＞03＋d ＜0,故－247＜d ＜－3. (2)法一：S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n(12－2d)＋n （n －1）2d ＝d 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －12⎝ ⎛⎭⎪⎫5－24d 2－d 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎪⎫5－24d 2. 因为对称轴n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫5－24d ,而由(1)知－247＜d ＜－3,所以6＜12⎝⎛⎭⎪⎫5－24d ＜6.5. 又d ＜0,所以n ＝6时,S n 最大．16．已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a 3·a 4＝117,a 2＋a 5＝22.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求S n 的最小值；(3)若数列{b n }是等差数列,且b n ＝S n n ＋c,求非零常数c 的值． 解析：(1)因为数列{a n }为等差数列,所以a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22.又a 3·a 4＝117, 所以a 3,a 4是方程x 2－22x ＋117＝0的两实根,又公差d ＞0,所以a 3＜a 4, 所以a 3＝9,a 4＝13,从而可得a 1＝1,d ＝4,所以a n ＝4n －3.(2)由(1)知a 1＝1,d ＝4,所以S n ＝na 1＋n （n －1）2·d ＝2n 2－n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫n －142－18, 所以当n ＝1时,S n 最小,最小值为S 1＝a 1＝1.(3)由(2)知S n ＝2n 2－n,所以b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－n n ＋c , 所以b 1＝11＋c ,b 2＝62＋c ,b 3＝153＋c . 因为数列{b n }是等差数列,所以2b 2＝b 1＋b 3, 即62＋c ×2＝11＋c ＋153＋c, 得2c 2＋c ＝0,所以c ＝－12或c ＝0(舍去), 所以c ＝－12.。
等差数列的前n项和-高中数学知识点讲解(含答案)
等差数列的前n 项和（北京习题集）（教师版）一．选择题（共7小题）1．（2020•密云区一模）设数列{}n a 是等差数列，1356a a a ++=，76a =．则这个数列的前7项和等于( ) A ．12B ．21C ．24D ．362．（2019秋•丰台区期末）已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，首项124a =-．若当且仅当4n =时，n S 取得最小值，则d 的取值可能是( ) A ．5B ．6C ．7D ．83．（2020•门头沟区一模）若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且130S =，3421a a +=，则7S 的值为( ) A ．21B ．63C ．13D ．844．（2020•北京模拟）等差数列{}n a 中，若1476a a a ++=，n S 为{}n a 的前n 项和，则7(S = ) A ．28B ．21C ．14D ．75．（2020•西城区一模）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若32a =，145a a +=，则6(S = ) A ．10B ．9C ．8D ．76．（2019•北京模拟）已知数列{}n a 满足12(*)n n a a n N +=-∈，且14a =，那么{}n a 的前4项和为( ) A ．0B ．1C ．2D ．47．（2019秋•西城区校级期中）已知等差数列{}n a 中，11a =-，公差2d =，则{}n a 的前5项和等于( ) A ．15-B ．17-C ．15D ．17二．填空题（共8小题）8．（2020•海淀区校级模拟）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，236n n S S +-=，则n = ． 9．（2019•朝阳区一模）天坛公园是明清两代皇帝“祭天”“祈谷”的场所天坛公园中的圜丘台共有三层（如图1所示），上层坛的中心是一块呈圆形的大理石板，从中心向外围以扇面形石铺成（如图2所示）．上层坛从第一环至第九环共有九环，中层坛从第十环至第十八环共有九环，下层坛从第十九环至第二十七环共有九环；第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，则第二十七环的扇面形石块数是 ；上、中、下三层坛所有的扇面形石块数是 ．10．（2019•西城区校级模拟）若等差数列{}n a 满足1461,52a a a =+=，则2019a =11．（2018秋•朝阳区期末）已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项的和．若136a a +=，47a =，则5S = ． 12．（2019秋•海淀区校级期中）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知70S <，80S >，则n = 时，n S 取得最小值． 13．（2019秋•通州区期中）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1122S =，71a =，则数列{}n a 的公差等于 ． 14．（2019•西城区校级模拟）已知{}n a 是等差数列，n S 为其前n 项和，若16a =，464a a +=，则5S = ． 15．（2019•房山区二模）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，14a =，6812a a +=，则7S = ．等差数列的前n 项和（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）1．（2020•密云区一模）设数列{}n a 是等差数列，1356a a a ++=，76a =．则这个数列的前7项和等于( ) A ．12B ．21C ．24D ．36【分析】利用等差数列的通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出数列的前7项和． 【解答】解：数列{}n a 是等差数列，1356a a a ++=，76a =． ∴111124666a a d a d a d ++++=⎧⎨+=⎩，解得10a =，1d =，∴这个数列的前7项和为：776701212S ⨯=⨯+⨯=． 故选：B ．【点评】本题考查等差数列的前7项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．（2019秋•丰台区期末）已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，首项124a =-．若当且仅当4n =时，n S 取得最小值，则d 的取值可能是( ) A ．5B ．6C ．7D ．8【分析】结合已知可得，4524302440a d a d =-+<⎧⎨=-+>⎩，解不等式可求公差的范围，可求．【解答】解：等差数列{}n a 的公差为d ，124a =-．当且仅当4n =时，n S 取得最小值， 则4524302440a d a d =-+<⎧⎨=-+>⎩，解可得68d <<， 结合选项可知，C 符合． 故选：C ．【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式的简单应用，属于基础试题．3．（2020•门头沟区一模）若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且130S =，3421a a +=，则7S 的值为( ) A ．21B ．63C ．13D ．84【分析】由已知结合等差数列的通项公式及求和公式可求d ，1a ，然后结合等差数列的求和公式即可求解． 【解答】解：因为130S =，3421a a +=，所以111313602521a d a d +⨯=⎧⎨+=⎩，解可得，3d =-，118a =，则7171876(3)632S =⨯+⨯⨯⨯-=．故选：B ．【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题．4．（2020•北京模拟）等差数列{}n a 中，若1476a a a ++=，n S 为{}n a 的前n 项和，则7(S = ) A ．28B ．21C ．14D ．7【分析】结合等差数列的性质可求4a ，然后结合等差数列的求和公式即可求解． 【解答】解：由等差数列的性质可知，147436a a a a ++==， 42a ∴=，则17747()7142a a S a +=== 故选：C ．【点评】本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的前n 项和，是基础题．5．（2020•西城区一模）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若32a =，145a a +=，则6(S = ) A ．10B ．9C ．8D ．7【分析】先求出公差，再根据求和公式即可求出．【解答】解：等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若32a =，145a a +=， 3325a d a d ∴-++=，45d ∴-=，解得1d =-，1224a ∴=+=，615451a a d =+=-=-，1666()6(41)922a a S +⨯-∴===， 故选：B ．【点评】本题考查了等差数列的通项公式和求和公式，属于基础题．6．（2019•北京模拟）已知数列{}n a 满足12(*)n n a a n N +=-∈，且14a =，那么{}n a 的前4项和为( )A ．0B ．1C ．2D ．4【分析】根据条件便可求出数列{}n a 的前4项，从而求出前4项的和． 【解答】解：12n n a a +=-，14a =； 22a ∴=，30a =，42a =-； 12344a a a a ∴+++=．故选：D ．【点评】考查数列的定义，以及数列的递归公式，前n 项和的定义．7．（2019秋•西城区校级期中）已知等差数列{}n a 中，11a =-，公差2d =，则{}n a 的前5项和等于( ) A ．15-B ．17-C ．15D ．17【分析】等差数列{}n a 中，由11a =-，公差2d =，能求出{}n a 的前5项和． 【解答】解：等差数列{}n a 中，11a =-，公差2d =， {}n a ∴的前5项和为：5545(1)2152S ⨯=⨯-+⨯=． 故选：C ．【点评】本题考查等差数列的前5项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 二．填空题（共8小题）8．（2020•海淀区校级模拟）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，236n n S S +-=，则n = 8 ． 【分析】由题意求出等差数列的前n 项和，代入236n n S S +-=求得n 的值． 【解答】解：等差数列{}n a 的首项11a =，公差2d =， 则22(1)2n n n S n n -=+=， 22(2)n S n +=+， 由236n n S S +-=，得22(2)2(22)36n n n +-=+=，解得：8n =． 故答案为：8．【点评】本题考查了等差数列的前n 项和，是基础的计算题．9．（2019•朝阳区一模）天坛公园是明清两代皇帝“祭天”“祈谷”的场所天坛公园中的圜丘台共有三层（如图1所示），上层坛的中心是一块呈圆形的大理石板，从中心向外围以扇面形石铺成（如图2所示）．上层坛从第一环至第九环共有九环，中层坛从第十环至第十八环共有九环，下层坛从第十九环至第二十七环共有九环；第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，则第二十七环的扇面形石块数是 243 ；上、中、下三层坛所有的扇面形石块数是 ．【分析】根据条件知每环石块数构成等差数列，首项19a =，9d =，利用等差数列的通项公式以及前n 项和公式进行计算即可．【解答】解：由题意知每环石块数构成等差数列，首项19a =，9d =， 则271269269243a a d =+=+⨯=，上、中、下三层坛所有的扇面形石块数为前27项和， 即1272727()27(9243)272523402222a a S +⨯+⨯====， 故答案为：243，3402【点评】本题主要考查等差数列的应用，结合等差数列的通项公式是解决本题的关键． 10．（2019•西城区校级模拟）若等差数列{}n a 满足1461,52a a a =+=，则2019a = 20192【分析】利用等差数列的通项公式求出公差12d =，由此能求出2019a 的值． 【解答】解：等差数列{}n a 满足112a =，465a a +=， ∴1135522d d +++=， 解得12d =， 20191120192018222a ∴=+⨯=． 故答案为：20192． 【点评】本题考查等差数列的第2019项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 11．（2018秋•朝阳区期末）已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项的和．若136a a +=，47a =，则5S = 25 ．【分析】运用等差数列的前n 项和公式可解决此问题． 【解答】解：根据题意得，226a =， 23a ∴= 又47a =，2734d ∴=-=， 2d ∴=，11a =，51545520252S a d ⨯∴=+⨯=+=， 故答案为：25．【点评】本题考查等差数列的前n 项和公式的应用．12．（2019秋•海淀区校级期中）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知70S <，80S >，则n = 4 时，n S 取得最小值．【分析】由等差数列的性质，得40a <，50a >，再得出结论．【解答】解：等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，由7470S a =<，得40a <， 188458()4()02a a S a a +==+>，故50a >， 所以前4项和最小， 故答案为：4．【点评】考查等差数列前n 项和为n S 及其性质，基础题．13．（2019秋•通州区期中）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1122S =，71a =，则数列{}n a 的公差等于 1- ． 【分析】根据等差数列的前n 项和公式及等差中项的性质，利用1122S =，可以求出6a ，再结合71a =，即可求出公差．【解答】解：依题意，等差数列{}n a 的前11项和为1111162211112a a S a +==⨯=⨯， 所以62a =， 又71a =，设等差数列{}n a 的公差为d ， 所以76121d a a =-=-=-， 故答案为：1-．【点评】本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的前n 项和，考查了分析解决问题的能力和计算能力，属于基础题．14．（2019•西城区校级模拟）已知{}n a 是等差数列，n S 为其前n 项和，若16a =，464a a +=，则5S = 20 ． 【分析】设{}n a 是等差数列的公差为d ，由16a =，464a a +=，可得2684d ⨯+=，解得d ，再利用求和公式即可得出．【解答】解：设{}n a 是等差数列的公差为d ，16a =，464a a +=， 2684d ∴⨯+=，解得1d =-．则55465202S ⨯=⨯-=． 故答案为：20．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 15．（2019•房山区二模）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，14a =，6812a a +=，则7S = 35 ． 【分析】14a =，6812a a +=，所以13d =，将1a 和d 代入前n 项和公式即可得到7S ．【解答】解：数列{}n a 是等差数列，因为14a =，68121212a a a d +=+=，所以124d =，即13d =， 所以7761743523S ⨯=⨯+⨯=． 故填：35，【点评】本题考查了等差数列的通项公式，前n 项和公式，考查计算能力，属于基础题．。
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课时达标训练(九) 等差数列的前n 项和
[即时达标对点练]
题组1 等差数列前n 项和的有关计算
1．设S n 是等差数列{}a n 的前n 项和，已知a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于( )
A ．13
B ．35
C ．49
D ．63
解析：选C S 7＝7（a 1＋a 7）2＝7（a 2＋a 6）2＝7（3＋11）2
＝49， 或由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝a 1＋d ＝3，a 6＝a 1＋5d ＝11，解得⎩
⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2. 即S 7＝7a 1＋7×62
d ＝49.故选C. 2．在等差数列{}a n 中，a 6＝a 3＋a 8，则S 9等于( )
A ．0
B ．1
C ．－1
D ．－1或1
解析：选A 因为a 6＝a 3＋a 8，故a 5＋d ＝a 2＋d ＋a 8，得a 5＝2a 5，即a 5＝0.又a 1＋a 9＝2a 5
＝0，S 9＝9（a 1＋a 9）2
＝9a 5＝0，故选A. 3．(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( )
A ．－12
B ．－10
C ．10
D ．12
解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d ，由3S 3＝S 2＋S 4，得3(3a 1＋3d )＝2a 1＋d ＋4a 1＋6d ，即3a 1＋2d ＝0.将a 1＝2代入上式，解得d ＝－3，故a 5＝a 1＋(5－1)d ＝2＋4×(－3)＝－10.
4．已知等差数列{}a n 中，a 1＝1，a 3＝－3.
(1)求数列{}a n 的通项公式；
(2)若数列{}a n 的前k 项和S k ＝－35，求k 的值．
解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，
则a n ＝a 1＋(n －1)d .由a 1＝1，a 3＝－3可得1＋2d ＝－3.解得d ＝－2.
从而，a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n .
(2)由(1)可知a n ＝3－2n ，
所以S n ＝n [1＋（3－2n ）]2＝2n －n 2.
进而由S k ＝－35可得2k －k 2＝－35，
即k 2
－2k －35＝0，解得k ＝7或k ＝－5.
又k ∈N *，故k ＝7为所求结果．
题组2 已知S n 求通项公式a n
5．若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－10n (n ＝1，2，3，…)，则此数列的通项公式为a n ＝________．
解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝1－10＝－9；
当n >1时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－10n －[(n －1)2－10(n －1)]＝2n －11.又2×1－11＝－9＝a 1，
所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －11.
答案：2n －11
6．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且lg(S n ＋1)＝n ＋1，求通项公式．
解：因为lg(S n ＋1)＝n ＋1，所以S n ＋1＝10
n ＋1，即S n ＝10n ＋1－1.当n ＝1时，a 1＝S 1＝
102－1＝99，
当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝(10n ＋1－1)－(10n －1)＝9×10n ，
从而，数列{a n }的通项公式为：a n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧99（n ＝1），9×10n （n ≥2）. 题组3 等差数列前n 项和的性质
7．设S n 是等差数列{}a n 的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12
等于( ) A.310 B.13 C.18 D.19
解析：选A 设S 3＝m ，∵S 3S 6＝13
，∴S 6＝3m ，∴S 6－S 3＝2m ，由等差数列依次每k 项之和仍为等差数列，得S 3＝m ，S 6－S 3＝2m ，S 9－S 6＝3m ，S 12－S 9＝4m ，
∴S 6＝3m ，S 12＝10m .∴S 6S 12＝310
，故选A. 8．已知等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，且S n T n ＝2n 3n ＋1，则a 5b 5
＝( ) A.23 B.79 C.2031 D.914
解析：选D ∵等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，S n T n ＝2n 3n ＋1，∴a 5b 5＝9a 59b 5
＝S 9T 9＝1828＝914
.故选D. 题组4 等差数列前n 项和的最值
9．已知{a n }是等差数列，a 1＝－26，a 8＋a 13＝5，当{a n }的前n 项和S n 取最小值时，n 等于( )
A ．8
B ．9
C ．10
D ．11
解析：选B ∵{a n }是等差数列，a 1＝－26，a 8＋a 13＝5，
∴－26＋7d －26＋12d ＝5，解得d ＝3，
∴S n ＝－26n ＋n n －2×3＝32n 2－552n ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫n －5562－3 02524
， ∴{a n }的前n 项和S n 取最小值时，n ＝9.故选B.
10．设等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，且S 12＞0，S 13＜0.
(1)求公差d 的范围；
(2)问前几项的和最大，并说明理由．
解：(1)∵a 3＝12，∴a 1＝12－2d ，
∵S 12＞0，S 13＜0，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧12a 1＋66d ＞0，13a 1＋78d ＜0， 即⎩
⎪⎨⎪⎧24＋7d ＞0，3＋d ＜0， ∴－247
＜d ＜－3. 故d 的取值范围为⎝ ⎛⎭
⎪⎫－247，－3. (2)∵S 12＞0，S 13＜0，
∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 12＞0，
a 1＋a 13＜0.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 6＋a 7＞0，a 7＜0.
∴a 6＞0，
又由(1)知d ＜0.
∴数列前6项为正，从第7项起为负．
∴数列前6项和最大．
[能力提升综合练]
1．在等差数列{}a n 中，若a 2＋a 8＝4，则其前9项的和S 9等于( )
A ．18
B ．27
C ．36
D ．9
解析：选A ∵数列{}a n 是等差数列，
∴a 1＋a 9＝a 2＋a 8＝a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝2a 5.
∴S 9＝92
(a 2＋a 8)＝18.故选A. 2．一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为120°，公差为5°，那么这个多边形的边数n 等于( )。