N-S方程推导培训课件

模拟flunte软件模拟T型血管内的血流动力学1.模型的建立2.1 N-S方程N-S方程的最初形式1.作用在单元体上的力作用力有两类，即质量力和表面力。

1.1 质量力质量力是作用在每一个流体质点上，大小与流体的质量成正比。

工程流体力学中，会遇到两种质量力：重力和惯性力。

惯性力是一个很特殊的称谓，原来中学教程中认为惯性力并不是力，但是实际上，在出现加速度的时候，惯性力的作用同普通力完全一样的，只是惯性力会随着加速度的消失而消失。

如果认为惯性力是一种力，那么牛顿第二定律（1）也可以认为是力的平衡。

式的右端就是惯性力，左端就是其他的常规力。

其实观察一下重力，mgG ，同惯性力的ma本质上是一致的，g本身就是重力加速度。

假设单位质量流体上的质量力在各个坐标轴的分量分别为X ，Y ，Z 。

图1流体单元体的质量为：dxdydz ρ。

则作用在流体单元体上的质量力在坐标轴的分量分别为：dxdydz X ρ、dxdydz Y ρ、dxdydz Z ρ。

1.2 表面力作用在隔离流体（也就是所取的研究流体单元）的表面，和作用的面积成正比的力。

分为垂直于作用面的压力和眼沿作用面方向的切力。

表面力可以使作用于流体界面的压力、切力。

单位作用面的压应力、切应力即为图1中的σ、τ（第一个下标表示作用面的法线方向，第二个下标表示力的方向）。

以X 方向为例，流体单元受到的力：dxdydz z dz z dxdz dy y dy y dydzdx x dx x zx zx zx zx yx yx yx yx xx xx xx xx x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂--⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂--⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=222222G ττττστττσσσσ(2)即:dxdydz z y G zx yx x xx X ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=ττσ (3)y ，z 方向同理可获得。

dxdydz z y x G zy yy xy x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=τστ （4）dxdydz z y x G zz yz xz x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=σττ （5）2.单元体的加速度和重量加速度和质量的乘积（（1）式右侧）在三个方向上的分量分别为： d x d y d z dtdu ma xx ρ=（6）d x d y d z dtdu ma y y ρ=（7） d x d y d z dtdu ma zx ρ=（8） 将（3） （6）式代入（1）式，X 方向有：dt du dxdydz Xdxdydz dxdydz z y x x zx yx xx ρρττσ=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂ （9） 即：X z y x dt du zx yx xx x ρτσσρ+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂= （10） 同样：Y z y x dt du xy yy xy yρτστρ+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂= (11) Z z y x dt du zz yz xz z ρσττρ+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂= (12) 二、应力形式化简 1、切应力与应变的关系⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂==x u y u y x yx xy μττ （13）⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂==x u zuz x zx xz μττ （14)⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂==y u z u z y zy yz μττ (15)2、法向应力与应变的关系u x u p x xx ∇-∂∂+-=μμσ322 （16） u y u p yyy ∇-∂∂+-=μμσ322 （17） u z u p z zz ∇-∂∂+-=μμσ322 （18） 将（13）、（16）代入（10），()()u xx u x p u xx u x x p u x u p x x x x x xx ∇∂∂-∂∂+∂∂-=∇∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂-=⎪⎭⎫⎝⎛∇-∂∂+-∂∂=∂∂μμμμμμσ32232232222 （19）yx u y u x u y y u y x u y u y y y xy x y x yx∂∂∂+∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂∂=∂∂222μμμμμτ （20）z x u z u x u z z u z x u z u z z z x z x z x zx ∂∂∂+∂∂=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂∂=∂∂222μμμμμτ （21）即：()()()()()()Xu xu x p Xu x u x u x p X u xz u y u x u x u x p X u x z x u y x u x u z u y u x u x p xyx u z u y x u u x x u x P X z y x dt du x x z y x x z y x x x x x y x zx yx xx x ρμμρμμμρμμμρμμμρμμμμμρττσρ+∇∂∂+∇+∂∂-=+∇∂∂-∇∂∂+∇+∂∂-=+∇∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∇+∂∂-=+∇∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂+∂∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-=+∂∂∂+∂∂+∂∂∂+∇∂∂-∂∂+∂∂-=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=3132323232222222222222222222222 （22） 同理：()X u x u x p dt du x x ρμμρ+∇∂∂+∇+∂∂-=312 (23) ()Y u yu y p dtdu y y ρμμρ+∇∂∂+∇+∂∂-=312 （24） ()Z u zu z p dt du x z ρμμρ+∇∂∂+∇+∂∂-=312 (25) 矢量形式：()F u u p dt u d ρμμρ+∇∇+∇+-∇=312 (26) 三、不可压缩流体的N-S 方程连续性方程的基本推导原理就是，单元体流出、流入质量差等于该时间段内质量的变化。

原理是很简单的。

没有流入流出质量就不会变化，流入流出有了差值，说明单元体的质量变化了。

仍以x 方向为例。

左侧质量流速（一般的流速是体积流速，m/s,为了推到质量的变化需要引入质量流速，质量流速的定义就是单位时间内通过单位横截面的流体质量）为x u ρ，质量流速是位置的函数，因此在右侧面流出的质量流速为()dx xu u x x ∂∂+ρρ。

时间段dt 内流出、流入单元体的质量差为：()[]()dxdydzdt x u dydzdt u dydzdt dx x u u x x x x ∂∂=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+ρρρρ （27） 同理，改时间段dt 内y 方向，z 方向的流出流入质量差为：()dxdydzdt yu y ∂∂ρ （28）()dxdydzdt zu z ∂∂ρ （29） 因此，时间段dt 内单元体六面流出、流入的质量差为：()()()()()()dxdydzdtz u y u x u dxdydt z u dxdzdt y u dxdydt x u z y x z y x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂ρρρρρρ （30）该时间段dt 内单元体质量的变化体现在密度随时间的变化上，开始时间密度为ρ，dt 时间末密度为dt t∂∂ρ。

质量的变化为：dxdydzdt tdxdydz dt t dxdydz ∂∂-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+-ρρρρ （31） 根据质量守恒，（30）式等于（31）式，即()()()dxdydzdt t dxdydzdt z u y u x u z y x ∂∂-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂ρρρρ （32） 化简:()()()0=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂tz u y u x u z y x ρρρρ (33) ()0=∂∂+∇tu ρρ (34) 如果不可压缩流体，密度=0,tan =∂∂tt cons ρ，密度项可以提取出来，散度为： 0=∇u （34）将（34)式代入（26）式，不可压缩流体的N-S 方程为：F u p dtud ρμρ+∇+-∇=2 (35) 四、加速度项dtud 的处理 流动中，不仅不同位置的点具有不同的速度，就是在同一点，不同时刻速度也可能不同。

速度即时位置的函数也是时间的函数。

因此，加速度有两部分组成，迁移加速度和当地加速度。

以x 方向为例，加速度的表达式为：()dtdzz u dt y y u dt dx x u t u dt t z y x du a x x x x x x ∂∂+∂∂∂+∂∂+∂∂==,,, (36)式中，单位时间内，x(或y,或z ）方向的增量既是x 方向的加速度， 即：z y x u dtdzu dt dy u dt dx ===,, （37） 代入（36)式，y 方向，z 方向同理，得到不同方向的加速度为：z u u y u u x u u t u a z u u y u u x u u t u a z uu y u u x u u t u a zz z y z x z z yzy y y x y y x z x y x x x x ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=（38）矢量形式为:()u u tu dt u d a ∇+∂∂==(39) 将（39）式代入（26）式，可得最常见的N-S 方程形式：()F u p u u t uρμρ+∇+-∇=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∇+∂∂2 (40)或可写为：()u u t u F u p ∇+∂∂=+∇+∇-21ρμρ（41）这篇论文主要研究在微血管的分叉处几何结构的血流动力学。

微血管又称毛细血管（capillary)是最细的血管、平均约为6-9m μ，分布最广，它是连接微动脉和微静脉的血管。

它们分支并相互吻合成网。

关闭薄，通透性强。

其功能是利用血液与组织之间进行物质交换。

血液是一种具有相当粘性的流体。

在正常情况下，血液的粘度系数是水的3-4倍。

由于血液是一种复杂的流体，既有液相(血浆)又有固相(血细胞等)，影响血液粘性的因素比较多。

在多数情况下，血液的粘度主要决定于血液中红细胞数。

每毫升血液中红细胞数愈多则粘度愈大。

贫血时红细胞减少，则血液粘度降低，而红细胞增多症的患者，血液粘度增加，血液在血管内流动，对血流的阻力是来自血液内部摩擦，即血液的粘度。

在整个心动周期中，主动脉中血流平均速度只有临界速度的一半，但在心缩开始时射血期内速度会超过临界速度。

剧烈运动时，心输出量增加4-5倍，心缩期间有较长的时期主动脉血流速度超过临界速度，出现湍流。