北师大版九年级上册数学韦达其人
韦达定理详细讲解初中
韦达定理详细讲解初中1. 韦达定理的基本概念嘿，大家好！今天咱们聊聊一个有趣的数学小知识，那就是韦达定理。
你可能会问，韦达是谁呀？其实，他是个很牛的数学家，专门研究方程的。
韦达定理主要是讲关于二次方程的根和系数之间的关系。
简单来说，如果你有一个形如 (ax^2 + bx + c = 0) 的方程，韦达定理告诉我们根的和和根的积是怎么回事。
听起来有点复杂，但别担心，咱们一步一步来，保证你听得明白！1.1. 根的和与根的积首先，咱们来看看根的和。
设这个方程的两个根是 (x_1) 和 (x_2)，那么根据韦达定理，它们的和就是 (frac{b{a)。
哦，别以为这就完了！根的积也很重要，两个根的积是(frac{c{a)。
这就像你找朋友聚会，知道总共有多少人（和）和几对情侣（积），就能推算出不少事情来。
1.2. 实际例子来个实际例子，让你更容易理解。
假设我们有个方程 (2x^2 4x + 2 = 0)。
这里 (a = 2)，(b = 4)，(c = 2)。
根据韦达定理，根的和是 (frac{4{2 = 2)，根的积是 (frac{2{2 = 1)。
哇，这样一算，感觉根的关系就像你和你最好的朋友一样，彼此心知肚明呢！2. 韦达定理的应用说到这儿，可能有的小伙伴会想：“这理论有啥用呢？”别急，让我给你讲讲韦达定理在实际生活中的妙用。
其实，这个定理在解决各种实际问题时简直是个好帮手！比如说，你想找出一个水池的水位变化，或者解决一些最优化问题，韦达定理都能派上用场，帮助你理清思路。
2.1. 在几何中的应用不仅如此，韦达定理在几何学里也大显身手哦！想象一下，一个三角形的顶点坐标，你可以用韦达定理来帮助你计算出某些重要的点，简直就是数学界的瑞士军刀，功能强大到不行。
2.2. 数学竞赛中的好帮手另外，韦达定理在数学竞赛中也是一大法宝。
许多题目都能通过它轻松解出，比如求解二次方程的根，甚至能帮助你推导出一些新的数学性质。
北师大版九年级数学上册知识点总结
（1）1.菱形的性质与判定菱形的定义: 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
菱形的性质: ①菱形的四条边相等。
②菱形的对角线互相垂直。
③菱形具有平行四边形的一切性质。
（3）菱形的判定: ①有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
③四条边都相等的四边形是菱形。
2、矩形的性质与判定矩形的定义: 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
矩形的性质: ①矩形的四个角都是直角。
②矩形的对角线相等。
③矩形具有平行四边形的一切性质。
矩形的判定: ①有一个角是直角的平行四边形是矩形。
②对角线相等的平行四边形是矩形。
③有三个角是直角的四边形是矩形。
3、正方形的性质与判定正方形的定义: ①有一组邻边相等, 并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
正方形的性质: ①正方形的四个角都是直角, 四条边相等。
正方形的判定: ①有一组邻边相等, 并且有一个角是直角的平行四边形是正方形。
②对角线相等的菱形是正方形。
③对角线垂直的矩形是正方形。
④有一个叫是直角的菱形是正方形。
第二章一元二次方程1.认识一元二次方程（1）整式方程及一元二次方程的概念整式方程: 方程两边都是关于未知数的整式；一元二次方程：只含有一个未知数x的整式方程, 并且都可以化作ax2+bx+c=0(a,b,c为常数, a≠0)的形式。
（2）一元二次方程的一般式及各系数含义一般式: ax2+bx+c=0(a,b,c为常数, a≠0), 其中, a是二次项系数, b是一次项系数, c是常数项。
（3）一元二次方程解的估算：当某一x的取值使得这个方程中的ax2+bx+c的值无限接近于0时, x的值即可看做一元二次方程ax2+bx+c=0的近似解2.配方法将一元二次方程转化为(x+m)2=n的形式, 它的一边是一个完全平方式, 另一边是一个常数。
当n≥0时, 两边同时开平方, 转化为一元一次方程, 便可以求出它的根。
（1）直接开平方法的定义利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫直接开平方法。
韦达定理文档
韦达定理介绍韦达定理（Vieta’s Theorem）是代数学中一个重要的定理，由法国数学家弗朗索瓦·维耶特（François Viète）于16世纪提出。
该定理描述了一元多项式的根与系数之间的关系，是多项式理论的基础之一。
定理内容韦达定理可以简洁地表达为：对于一元多项式$$ f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \\ldots + a_1x + a_0 $$如果 $r_1, r_2, \\ldots, r_n$ 是该多项式的n个根，即满足f(r i)=0，则有以下关系成立：1.和与差的关系：$$ r_1 + r_2 + \\ldots + r_n = -\\frac{a_{n-1}}{a_n} $$$$ r_1r_2 + r_1r_3 + \\ldots + r_{n-1}r_n = \\frac{a_{n-2}}{a_n} $$$$ r_1r_2r_3 + r_1r_2r_4 + \\ldots + r_{n-2}r_{n-1}r_n = -\\frac{a_{n-3}}{a_n} $$ 以此类推，直到第n个根的系数为−a0/a n。
2.一般形式：$$ r_1^{k_1}r_2^{k_2}\\ldots r_n^{k_n} + r_1^{k_1}r_2^{k_2}\\ldots r_{n-1}^{k_{n-1}}r_n^{k_n-1} + \\ldots + r_{n-1}^{k_{n-1}}r_n^{k_n} + r_n^{k_n} = (-1)^{k-n}\\frac{a_{n-k}}{a_n} $$其中k i表示常数k i的幂，而 $k = k_1 + k_2 + \\ldots + k_n$。
证明要理解韦达定理的证明，我们需要先了解复数域和多项式的根与系数之间的关系。
首先，我们知道复数域是包含实数域的，并且复数具有形如a+bi的表示方式，其中a和b是实数，而i是虚数单位。
数学北师大版九年级上册韦达定理
1.能说出根与系数的关系；2.会利用根与系数的关系解有关的问题.价值观 1.通过观察、实践、讨论等活动，经历发现问题，发现关系的过程，养成独立思考的习惯；2.通过交流互动，逐步养成合作的意识及严谨的治学精神.教学重难重点：一元二次方程两根之和，及两根之积与原方程系数之间的关系；难点：对根与系数这一性质进行应用.一、创设情境1．请说出解一元二次方程的四种解法.2．解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，你发现表格中两个解的和与积和原来的方程有什么联系？(1)x 2－2x ＝0；(2)x 2＋3x －4＝0；(3)x 2－5x ＋6＝0. 让学生先解出方程的正确答案，再观察两解的和、积与原方程中的系数的关系，并加以证明.二、探究归纳方程1x2x21x x +21x x ∙x 2－2x ＝0 0 2 2 0 x 2＋3x －4＝0 1-4-3-4x 2－5x ＋6＝02 3 56 可以得到；两个解的和等于一次项系数的相反数，两个解的积等于常数项.一般地，对于关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0（p ，q 为已知常数，p 2－4q 一般地，对于关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0（p ，q 为已知常数，p 2－4q ≥0），试用求根公式求出它的两个解x 1、x 2，算一算x 1＋x 2、x 1•x 2的值，你能得出什么结果？与上面发现的现象是否一致.方程 1x2x21x x +21x x ∙qqp p q p p x x pqp p q p p x x q p p x q p p x q p p aac b b x q p ac b q c p b a q px x =---∙-+-=∙-=---+-+-=+---=-+-=-±-=-±-=≥-=-====++24242424242424240441022212221222122222，，，结论：两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项，这与上面的发现是一致的.三、实践应用例 1 已知关于x 的方程x 2－px ＋q ＝0的两个根是0和－3，求p 和 q 的值.解法一：因为关于x 的方程x 2－px ＋q ＝0的两个根是0和－3，所以有．q p q p q p q p 03030)3()3(00022=-=⎩⎨⎧=-=⎪⎩⎪⎨⎧=+-⨯--=+⨯-，所以解这个方程组得解法二：由q x x p x x =∙-=+2121，，方程x 2－px ＋q ＝0的两个根是0和－3，可得．q p q p 03)3(0)3(0=-==-⨯，即得＝－－＋例2 写出下列方程的两根和与两根积：5)4(032)3(02114)2(017)1(2222=-+-=-+=-+=+-n nx xx xx x x x5)4(2321)3(2114)2(17)1(2121212*********-=∙=+=∙-=+=∙-=+=∙=+n x x nx x x x x x x x x x x x x x ，－，－，，解四、交流反思1.通过这节课的学习，掌握探索的步骤：观察——归纳——猜想——证明；2.通过本节课探索出一元二次方程的根与系数的关系.五、布置作业。
北师大版九年级上第二章一元二次方程复习课素材韦达定理
一元n次方程根与系数的关系
数学在许多人眼里是很抽象、复杂的，但在这些复杂现象的背后却往往有着
非常和谐、自然的规律，如果能更多地理解和掌握这些规律，就会对数学有更深
刻的认识。
很多迷恋数学的人就是被数学的这一特点所吸引，韦达便是其中的一
员。
韦达于1540年生于法国普瓦图地区，1560年就读于法国普瓦图大学，是大
学法律系的毕业生。
毕业后长期从事法律工作，一直到1603年去世，数学始终
是韦达的业余爱好，并且达到了酷爱的程度。
韦达研究二次方程时，已经注意到，如果一次项的系数是两个数之和的相反数，而常数项是这两个数的乘积，则这两个数就是这个方程的根。
由于时代的局限，他当时没能从理论上证明它，但他的数学思想和他的数学著作都大大充实了数学宝库。
1615年(此时，韦达已逝世12年，这些著作是由后人整理的)发表的韦达的著作《论方程的整数与修正》是一部方程论的专著，书中对一元三次方程、一元四次方程的解法做出了改进，并揭示了方程根与系数的关系。
其中不仅包括一元二次方程的根与系数的关系，还包含了一元n次方程根与系数的关系：
如果一元n次方程a
n x n+a
n-1
x n-1+…+a1x+a0=0的n个根是x
1
, x
2
, …, x
n
, 那么
人们为了纪念他，把这个关系称为“韦达定理”。
一元二次方程根与系数的关系，就是上述定理在n=2时的情况。
初中数学韦达定理
初中数学韦达定理韦达定理的介绍：中文名：韦达定理外文名：Vieta theorem提出者：弗朗索瓦·韦达提出时间：16世纪应用学科：数学代数适用范围：方程论初等数学解析几何三角韦达定理说明了一元二次方程中根和系数之间的关系。
法国数学家弗朗索瓦·韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出了这条定理。
由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，人们把这个关系称为韦达定理。
韦达定理的公式：设一元二次方程中，两根x₁、x₂有如下关系：韦达定理的证明方法：由一元二次方程求根公式知：则有：韦达定理的应用方法：韦达定理是反映一元二次方程根与系数关系的重要定理，中考(竞赛)试题涉及此定理的题目屡见不鲜，且条件隐蔽，在证(解)题时，学生往往因未看出题目中所隐含的韦达定理的条件而导致思路闭塞，或解法呆板，过程繁琐冗长，下面举例谈谈韦达定理在解题中的应用。
一、直接应用韦达定理若已知条件或待证结论中含有a＋b和a·b形式的式子，可考虑直接应用韦达定理．例1在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，D是AB 边上一点，且BC＝DC，设AD＝d．求证：(1)c＋d＝2bcosA；(2)c·d＝b2－a2．分析：观察所要证明的结论，自然可联想到韦达定理，从而构造一元二次方程进行证明．证明：如图，在△ABC和△ADC中，由余弦定理，有a2＝b2＋c2－2bccosA；a2＝b2＋d2－2bdcosA(CD＝BC＝a)．∴c2－2bccosA＋b2－a2＝0，d2－2bdcosA＋b2－a2＝0．于是，c、d是方程x2－2bxcosA＋b2－a2＝0的两个根．由韦达定理，有c＋d＝2bcosA，c·d＝b2－a2．例2已知a＋a2－1＝0，b＋b2－1＝0，a≠b，求ab＋a＋b的值．分析：显然已知二式具有共同的形式：x2＋x－1＝0．于是a和b 可视为该一元二次方程的两个根．再观察待求式的结构，容易想到直接应用韦达定理求解．解：由已知可构造一个一元二次方程x2＋x－1=0，其二根为a、b．由韦达定理，得a＋b＝－1，a·b＝－1．故ab＋a＋b＝－2．二、先恒等变形，再应用韦达定理若已知条件或待证结论，经过恒等变形或换元等方法，构造出形如a＋b、a·b形式的式子，则可考虑应用韦达定理．例3若实数x、y、z满足x＝6－y，z2＝xy－9．求证：x＝y．证明：将已知二式变形为x＋y＝6，xy＝z2＋9．由韦达定理知x、y是方程u2－6u＋(z2＋9)＝0的两个根．∵x、y是实数，∴△＝36－4z2－36≥0．则z2≤0，又∵z为实数，∴z2＝0，即△＝0．于是，方程u2－6u＋(z2＋9)＝0有等根，故x＝y．由已知二式，易知x、y是t2＋3t－8＝0的两个根，由韦达定理三、已知一元二次方程两根的关系(或系数关系)求系数关系(或求两根的关系)，可考虑用韦达定理例5已知方程x2＋px＋q＝0的二根之比为1∶2，方程的判别式的值为1．求p与q之值，解此方程．解：设x2＋px＋q＝0的两根为a、2a，则由韦达定理，有a＋2a＝－P，①a·2a＝q，②P2－4q＝1．③把①、②代入③，得(－3a)2－4×2a2＝1，即9a2－8a2＝1，于是a=±1．∴方程为x2－3x＋2＝0或x2＋3x＋2＝0．解得x1＝1，x2＝2，或x1＝－1，x2＝－2．例6设方程x2＋px＋q＝0的两根之差等于方程x2＋qx＋p＝0的两根之差，求证：p＝q或p＋q＝－4．证明：设方程x2＋px＋q＝0的两根为α、β，x2＋qx＋P＝0的两根为α＇、β＇．由题意知α－β＝α＇－β＇，故有α2－2αβ＋β2＝α＇2－2α＇β＇＋β＇2．从而有(α＋β)2－4αβ＝(α＇＋β＇)2－4α＇β＇．①把②代入①，有p2－4q＝q2－4p，即p2－q2＋4p－4q＝0，即(p＋q)(p－q)＋4(p－q)＝0，即(p－q)(p＋q＋4)＝0．故p－q＝0或p＋q＋4＝0，即p＝q或p＋q＝－4．四、关于两个一元二次方程有公共根的题目，可考虑用韦达定理例7m为问值时，方程x2＋mx－3＝0与方程x2－4x－(m－1)＝0有一个公共根？并求出这个公共根．解：设公共根为α，易知，原方程x2 mx－3＝0的两根为α、－m－α；x2－4x－(m－1)＝0的两根为α、4－α．由韦达定理，得α(m＋α)＝3，①α(4－α)＝－(m－1)．②由②得m＝1－4α＋α2，③把③代入①得α3－3α2＋α－3＝0，即(α－3)(α2＋1)＝0．∵α2＋1＞0，∴α－3＝0即α＝3．把α＝3代入③，得m＝－2．故当m＝－2时，两个已知方程有一个公共根，这个公共根为3．韦达定理的补充资料：韦达定理的发展简史法国数学家弗朗索瓦·韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中改进了三、四次方程的解法，还对n=2、3的情形，建立了方程根与系数之间的关系，现代称之为韦达定理。
北师大版初三数学上册根的判别式与韦达定理
一元二次方程根与系数的关系（2）一、知识导航1．如果21x x 、是一个一元二次方程的两根，那么当方程二次项系数为1时，方程应该表示为（构造一个适合的方程） ．2．根的分布情况：如果21x x 、是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两根，则 (1)0,021>>x x 时，有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=⋅>-=+≥∆0002121a c x x a b x x (2)0,021<<x x 时，有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=⋅<-=+≥∆0002121a c x x a b x x (3)0,021<>x x 时，有021<=⋅ac x x (特别注意：利用根的分布时要注意别漏掉考虑根的判别式，只有有根才谈得上考虑根的正负)3．特殊根的表示方法：当x =1时，a+b+c=0，当x=-1时，a-b+c=0，当x =0时，c=0．二、预习反馈1．如果关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正一负根，且负根的绝对值更大，那么（ ）(A) a ，b 同号，且a ，c 同号(B) a ，b 同号，且a ，c 异号(C) a ，b 异号，且a ，c 同号(D) a ，b 异号，且a ，c 异号2．已知一元二次方程012=-+x x 的两根21x x 、 为，则(12x x +－1)(21x x ⋅+2014)= ．3．已知一元二次方程02)2(2=--+x k x 的两根互为相反数，则k 的取值范围是 ．4．写出一个一元二次方程，使它的两根分别是1,2--，方程为 ． 三、例题精析例1、已知关于x 的一元二次方程28(1)70x m x m +++-=有两个负数根，求实数m 取值范围．例2、当n ＞0时，关于x 的一元二次方程21(2)04x m n x mn --+=有两个相等的正实数根，求m n的值．四、课堂过手A 级1．二次函数352+-=x x y 的图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，则△ABC 的面积为（ ）（A ）13 （B ）213 （C ）132 （D ）2133 2．以方程3 x 2＋2x －6＝0的各根的负倒数为根的一个一元二次方程是（ ）（A ）6 x 2－2x ＋1＝0 （B ）6 x 2＋2x ＋3＝0（C ）6 x 2＋2x ＋1＝0 （D ）6 x 2＋2x －3＝03． 已知关于x 的方程02)12(22=-+++k x k x 的两实数根的平方和等于11，则k 的值为 ．4．已知21x x 、是方程)53()2(22+++--k k x k x =0的两个实数根（其中k 为实数），则2221x x +的最大值是__________．(不等式0161632≤++x x 解集为344-≤≤-x ) 5．已知一元二次方程01032=+-m x x 有两个正根，求m 的取值范围．B 级6．若a 、b 为方程012682=+++m mx x 的两实数根，且122=+b a ，求m 的值．五、能力提升当所考查的根的分布不仅仅限于正负性时，比如两个实数根都介于2与4之间（不包括2和4），或者两根中一根介于0与1之间，另一个根介于3与4之间，这时用根的判别式及韦达定理解决问题就相当复杂．那么比较朴素的方法就是直接去求出方程的根，但是这一方法有两个弊端：第一，带有参数的方程求根是个较复杂的过程，且涉及较深的不等式解法：第二，抽象数量运算较多，缺乏直观性．这时借助于二次函数图像，就比较直观且容易理解．根据分析解答下列题目:7．若方程03422=-+-a ax x 的两根均大于1，求实数a 的取值范围．。
数学北师大版九年级上册第11课根的判别式和韦达定理
请观看视频
学生先思考2 分钟，然后 观看微视频， 看后学生独 立完善此题 的解题过程。
即时练习3 1 若n 0,关于x的方程x -（m 2n ) x mn 0 4 m 有两个相等的正实数根，求 的值。
2
n
学生思考2分 钟，组内交 流2分钟，请 某组交流解 法。
5.反思小结
学生抢答
5. 已知关于x的方程x 2 -（ 2 k 1)x k 2 2k 1 0..(1) (1)求证：对于任意实数k，方程(1)总有两个不相等的实数根。 (2)如果a是关于y的方程y2 (x 1 x 2 2k )y (x 1 k )(x 2 k ) 0 ..(2) 的根,其中x 1，x 2 是方程（1）的两个实数根， 4 a2 1 求代数式( ) 的值 a a 1 a 1 a 1
2.韦达定理
如果ax bx c 0(a 0) 的两根分别是x1和x 2 ,
2
b 那么x1x 2 = a
3.求根公式
当b 4ac 0时，x1,2
2
b
b 4ac 2a
2
例1，k为何值时，方程3x 2 -（ 2 3k 1)x 3k 2 1 0
3. 在等腰三角形ABC中，A , B , C的对边分别是a,b,c,已知 1 2 a=3,b和c是关于x的方程x +mx 2 m 0的两个实数根 2 求ABC的周长
4. 已知关于x的方程x 2 +（ 2 2-m) x 3 6m 0 (1) 求证：无论m取什么实数，方程总有实数根。 （2）如果方程的两个实数根分别为x 1，x 2，满足x 1 =3x 2 求m的值
2
解：由
九年级上册数学暑假第七节—韦达定理
一个伟大的发现—韦达定理【知识要点】1．若一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两根分别为1x , 2x ，则：1x +2x =-b/a ；1x .2x =c/a2．若1x , 2x 是某一元二次方程的两根，则该方程可以写成：x 2-(1x +2x )x+1x 2x =0.【经典例题】【例1】已知1x ,x2为方程x 2+px+q=0的两根，且1x +x 2=6, 1x 2+2x 2=20，求p 和q 的值.【例2】 已知：方程12212+=x x 的两根为1x ，2x ，不解方程求下列各式的值：(1)(x1-x2)2；(2) 321231x x x x +【例3】 已知：关于x 的方程x 2-3x+2k-1=0的两个实数根的平方和不小于这两个根的积，且1+2k>0,求满足上述条件的k 的整数值.【例4】 已知方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+--)12(0212x k y y x kx (x,y 为未知数)，有两个不同的实数解 ⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==2211,y y x x y y x x (1)求实数k 的取值范围； (2)若,3112121=++x x y y 求实数k 的值.【例5】 已知，关于x 的方程(n-1)x 2+mx+1=0①有两个相等的实数根.(1)求证：关于y 的方程m 2y 2-2my-m 2-2n 2+3=0②必有两个不相等的实数根；(2)若方程①的一根的相反数恰好是方程②的一个根，求代数式m 2n+12n 的值.【方法总结】1.利用韦达定理求一元二次方程的两根之和与两根之积.(1)容易忘记除以二次项系数；(2)求两根之和时易弄错符号.2.已知两根，求作一元二次方程时，也容易弄错一次项系数的符号.3.应用韦达定理时，注意不要忽略题中的隐含条件，比如隐含的二次方程必有实数根的条件.【经典练习】一、选择题1.下列说法中不正确的是 ( )A.方程x 2+2x-7=0的两实数根之和为2B.方程x 2-3x-5=0的两实数根之积为-5C.方程x 2-2x-7=0的两实数根的平方和为18D.方程x 2-3x-5=0的两实数根的倒数和为3/52.若x1,x2是一元二次方程2x 2-3x+1=0的两个根，则x12+x22 的值是( )A.5/4B.9/4C.11/4D.73.已知关于x 的一元二次方程X 2-mx+2m-1=0的两个实数根的平方和为7，那么m 的值是( )A.5B.-1C.5或-1D.-5或14.方程x 2-3x-6=0与方程x 2-6x+3=0的所有根的乘积为 ( )A.-18B.18C.-3D.35.若一元二次方程ax 2+bx+c=0的两根为-3和-1，则抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点横坐标为( )A.-2B.2C.3D.-16.已知：a 、b 、c 是△ABC 的三条边长，那么方程cx 2+(a+b)x+c/4=0的根的情况是 ( )A.无实数根B.有两个不相等的正实根C.有两个不等的负实根D.有两个异号的实根二、填空题1.请写出一个二次项系数为1，两实根之和为3的一元二次方程： 。
九年级数学上册 21.2 解一元二次方程 数学家韦达素材 (新版)新人教版
数学家韦达
弗朗索瓦·韦达（法语：François Viète；1540年－1603年12月13日），法国数学家，十六世纪最有影响的数学家之一，被尊称为“代数学之父”。
他是第一个引进系统的代数符号，并对方程论做了改进的数学家。
韦达
由于韦达做出了许多重要贡献，成为十六世纪法国最杰出的数学家之一。
韦达1540年生于法国的普瓦图[Poitou, 今旺代省的丰特奈 - 勒孔特 (Fontenay.-le-Comte)]。
1603年12月13日卒于巴黎。
年轻时学习法律并当过律师。
后从事政治活动，当过议会的议员。
在对西班牙的战争中，曾为政府破译敌军的密码。
韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。
韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”）。
韦达从事数学研究只是出于爱好，然而他却完成了代数和三角学方面的巨著。
他的《应用于三角形的数学定律》（1579年）是韦达最早的数学专著之一，可能是西欧第一部论述6种三角形函数解平面和球面三角形方法的系统著作。
他被称为现代代数符号之父。
韦达还专门写了一篇论文"截角术"，初步讨论了正弦，余弦，正切弦的一般公式，首次把代数变换应用到三角学中。
他考虑含有倍角的方程，具体给出了将COS(nx)表示成COS(x)的函数并给出当n≤11等于任意正整数的倍角表达式了。
数学北师大版九年级上册韦达定理
1.能说出根与系数的关系；2.会利用根与系数的关系解有关的问题.价值观 1.通过观察、实践、讨论等活动，经历发现问题，发现关系的过程，养成独立思考的习惯；2.通过交流互动，逐步养成合作的意识及严谨的治学精神.教学重难重点：一元二次方程两根之和，及两根之积与原方程系数之间的关系；难点：对根与系数这一性质进行应用.一、创设情境1．请说出解一元二次方程的四种解法.2．解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，你发现表格中两个解的和与积和原来的方程有什么联系？(1)x 2－2x ＝0；(2)x 2＋3x －4＝0；(3)x 2－5x ＋6＝0. 让学生先解出方程的正确答案，再观察两解的和、积与原方程中的系数的关系，并加以证明.二、探究归纳方程1x2x21x x +21x x ∙x 2－2x ＝0 0 2 2 0 x 2＋3x －4＝0 1-4-3-4x 2－5x ＋6＝02 3 56 可以得到；两个解的和等于一次项系数的相反数，两个解的积等于常数项.一般地，对于关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0（p ，q 为已知常数，p 2－4q 一般地，对于关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0（p ，q 为已知常数，p 2－4q ≥0），试用求根公式求出它的两个解x 1、x 2，算一算x 1＋x 2、x 1•x 2的值，你能得出什么结果？与上面发现的现象是否一致.方程 1x2x21x x +21x x ∙qqp p q p p x x pqp p q p p x x q p p x q p p x q p p aac b b x q p ac b q c p b a q px x =---∙-+-=∙-=---+-+-=+---=-+-=-±-=-±-=≥-=-====++24242424242424240441022212221222122222，，，结论：两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项，这与上面的发现是一致的.三、实践应用例 1 已知关于x 的方程x 2－px ＋q ＝0的两个根是0和－3，求p 和 q 的值.解法一：因为关于x 的方程x 2－px ＋q ＝0的两个根是0和－3，所以有．q p q p q p q p 03030)3()3(00022=-=⎩⎨⎧=-=⎪⎩⎪⎨⎧=+-⨯--=+⨯-，所以解这个方程组得解法二：由q x x p x x =∙-=+2121，，方程x 2－px ＋q ＝0的两个根是0和－3，可得．q p q p 03)3(0)3(0=-==-⨯，即得＝－－＋例2 写出下列方程的两根和与两根积：5)4(032)3(02114)2(017)1(2222=-+-=-+=-+=+-n nx xx xx x x x5)4(2321)3(2114)2(17)1(2121212*********-=∙=+=∙-=+=∙-=+=∙=+n x x nx x x x x x x x x x x x x x ，－，－，，解四、交流反思1.通过这节课的学习，掌握探索的步骤：观察——归纳——猜想——证明；2.通过本节课探索出一元二次方程的根与系数的关系.五、布置作业。
伟达定义及推理公式
伟达定义及推理公式伟达定理，一般指一元二次方程根与系数的关系。
这可是中学数学里挺重要的一部分知识呢！咱们先来说说什么是伟达定理。
假设一元二次方程 ax² + bx + c = 0（a≠0）有两个根 x₁和 x₂，那么就有 x₁ + x₂ = -b/a ，x₁·x₂ = c/a 。
就拿我之前教过的一个学生小明来说吧。
有一次课堂上，我出了一道题：已知方程 x² - 5x + 6 = 0，求两根之和与两根之积。
小明一开始还有点懵，不知道从哪儿下手。
我就引导他，先根据韦达定理，我们知道两根之和是 -(-5)/1 = 5，两根之积是 6/1 = 6。
然后我让他去思考怎么通过解方程来验证这个结果。
他很认真地去解这个方程，得出 x = 2或者 x = 3 ，然后一算，2 + 3 正好是 5 ，2×3 正好是 6 ，那一瞬间，他眼睛都亮了，好像发现了新大陆一样，兴奋地跟我说：“老师，我懂啦！”那咱们再来说说韦达定理的推理公式是怎么来的。
由一元二次方程的求根公式 x = [-b ± √(b² - 4ac)] / （2a），可得 x₁ = [-b + √(b² - 4ac)] / （2a），x₂ = [-b - √(b² - 4ac)] / （2a）。
然后咱们来算 x₁ + x₂：x₁ + x₂ = [-b + √(b² - 4ac)] / （2a） + [-b - √(b² - 4ac)] / （2a）= [-b + √(b² - 4ac) - b - √(b² - 4ac)] / （2a）= -2b / （2a）= -b/a再算 x₁·x₂：x₁·x₂ = {[-b + √(b² - 4ac)] / （2a）} × {[-b - √(b² - 4ac)] / （2a）}= [(-b)² - (√(b² - 4ac))²] / （4a²）= (b² - (b² - 4ac)) / （4a²）= 4ac / （4a²）= c/a是不是感觉推导过程也没那么难？在实际解题中，韦达定理用处可大了。
韦达对数学做出的贡献
韦达对数学做出的贡献说起韦达啊，这家伙在数学界那可是响当当的人物，就像是咱们村里的老秀才，肚子里的墨水多得能淹了半条河。
他可不是那种整天埋头苦读的书呆子，韦达啊，他用他那颗聪明绝顶的脑袋，给数学界整出了不少新鲜玩意儿，让人看了直呼过瘾！你想象一下，在那个没有电脑、没有计算器，连算盘都得稀罕的年代，韦达愣是靠着几根笔杆子，几张破纸，把数学的复杂问题给捋得顺顺溜溜的。
他的贡献，就像是在茫茫大海中点亮了一盏明灯，让后来的人们在探索数学的道路上少走了不少弯路。
韦达最出名的，莫过于他那套“韦达定理”了。
这玩意儿听起来高深莫测，其实说白了，就是解方程的时候，能帮咱们快速找到那两个藏在方程背后的“小秘密”——方程的根。
以前啊，人们解方程就像是瞎子摸象，全凭感觉和经验，韦达一来，嘿，直接给出了个公式，就像是给了咱们一把钥匙，轻轻一转，方程的大门就“咔嚓”一声打开了，那俩根儿就乖乖地躺在那儿了。
而且啊，韦达这家伙还特别爱琢磨，他不仅仅满足于解决眼前的问题，还总想着怎么把这些知识串起来，形成一套完整的体系。
这就像咱们做菜一样，不光要味道好，还得摆盘漂亮，色香味俱全才行。
韦达就做到了这一点，他把数学里那些零零散散的知识点给整合了起来，让它们之间有了联系，有了规律，这样一来，学数学就变得容易多了。
韦达的这种精神啊，真是值得我们每个人学习。
他不怕困难，勇于探索未知的世界；他勤于思考，总能在复杂的问题中找到简单的规律；他乐于分享，把自己的成果毫无保留地奉献给了全人类。
这种精神啊，就像是咱们常说的“金子总会发光”，韦达用他的才华和努力，在数学史上留下了浓墨重彩的一笔。
当然啦，韦达的贡献远不止于此。
他还研究了很多其他的东西，比如代数、几何等等。
他的每一个发现，都像是一颗璀璨的明珠，照亮了数学的天空。
虽然我们现在可能已经无法亲身体验韦达当年的那种激动和喜悦了，但是当我们在学习数学的时候，每当遇到难题想要放弃的时候，都可以想想韦达的故事，想想他那种坚持不懈、勇于探索的精神，这样我们就会有动力继续前行了。
北师大版初中九年级上册数学：韦达定理
求：(1) x13x2 x1x23 (2) x1 x2
(3) 1 1 x1 x2
方法： 配方，展开，通分，平方（根号），因式分解 ......
目的： 把所给代数式转化成 x1 x2 和 x1x2 的形式。
5、已知两根符号求字母系数的取值范围 一正根，一负根 两个正根 两个负根
{△＞0 X1X2＜0
{ { △≥0 X1X2＞0
△≥0 X1X2＞0
X1+X2＞0
X1+X2＜0
5、已知两跟符号求字母系数的取值范围
关于x的一元二次方程 mx 2 2mx m 1 0(m 0)
有一个正根，一个负根，求m的取值范围。
解:由已知,
{ △= 4m2 4m(m 1) 0 m 1 x1x2 m 0
x1x2=0
x1x2=
-
4 3
（3、已知方程一根，求另一根。）
例1：已知方程5x²+kx-6=0的一根是2，求
它的另一根及k的值。
解： ∵ 2是方
的根
∴
∴
∴
（4、可以求其它有关式子的值：）
例2：x1, x2 是方程2x²+4x-5=0的两根
则 x12+x2 =
2
(x1+1)(x2+1) =____
拓展、已知关于X的方程mx2-(2m-1)x+m-2=0(m﹥0)
(1)此方程有实数根吗？ （2）如果这个方程的两个实数根分别为x1，x2，且
（x1-3)(x2-3)=５m，求m的值。
思考题：已知关于x的方程x2+(2m-1)x+m2=0 有两个实数根x1、x2. （1）求实数m的取值范围；
2019秋北师大版九年级数学上册课件：2.5 一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理) (2)
解
链接二次函数 • （01年广西）已知关于X的二次函数
的图象与X轴有两个交点，且函数 与X轴的两个交点的横坐标的倒数 和等于－4，求m的值.
解
…………………２分
课堂小检测及作业
1、对韦达定理的重新认识
2、利用韦达定理解决有关一元二次方程 根与系数问题时，注意两个隐含条件：
一元二次方程根与系数关系
韦达定理
教学目标：
1、复习一元二次方程根与系 数关系。
2、探究在解中考题中如何运 用一元二次方程根与系数关 系。
一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的求根公式：
+＝ ＝
一元二次方程的根与系数的关系：
（韦达定理） 如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的 两个根是X1 , X2 ,
4、（07丽水）已知一元二次 方程x2-2（m-2）x+m=0的两 实根的平方和为56 , 求m的 值。
解：设方程的两个根为 x1 则
x1 + x2 = 2(m - 2), x1 x2 = m2 L 2分
解得：
链接三角形
5、（2001，宁波）已知 Rt△ABC的斜边长a= ，两 条直角边长b和c是关于x的方 程
（1）二次项系数a≠0 （2）根的判别式△ ≥0
３、探究在解中考题中如何运用一元二次方 程根与系数关系
那么X1+x2=
x , X1 2=
注：能用韦达定理的前提条件为△≥0
求下列各方程的两根之和与两根之积：
① x2 - 2x - 1=0 x1+x2=2 x1x2=-1
② 2x2 - 3x + =0 x1+x2=
北师大数学九年级上册第二章一元二次方程的根与系数的关系
2.5一元二次方程的根与系数的关系知识精讲韦达定理（1）如果20(0)ax bx c a++=≠的两根是1x，2x，则12bx xa+=-，12cx xa=（隐含条件：0∆≥）（2）当二次项系数为1时，20x bx c++=的两个根，则12x x b+=-，12x x c⋅=()221244+=2=b b ac b b acx xaba------＋＋221244=22=b b ac b b acx xa aca----⋅⋅＋－应用（1）已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值；若方程240x x c-+=的一个根为23+，则根据韦达定理，124x x+=，∴()2423=23x=-－＋12x x c⋅=，∴c=1（2）已知方程，求方程的两根；2320x x+=－123x x+=，122x x⋅=1212x x==（3）公式的变形例：x1，x2是一元二次方程x2＋2x＋2m＝0的两个根，且x12＋x22＝8，求m的值x1＋x2＝-2，x1 x2＝2mx12＋x22＝（x1＋x2）2－2x1x2＝4－4m＝8，∴m＝-1，当m＝-1时，△＞0，∴成立，m＝-1（4）已知方程的两根，求作方程；例：已知一元二次方程的两根为1+212、－，求该方程121+2122bx xa+===-+－()()121+212-1cx xa⋅=⋅==－2c a b a∴=-=-令a=1，则方程为2210x x--=（5）结合根的判别式，讨论根的符号特征；若0ca<，0ba-≥，则12x x≥若0ca<，ba-<，则12x x<若0ca>，0ba->，则12x x≥>若0c a >，0ba-<，则210x x ≤< （6）逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把代数式看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理（a + b ）+（c +d ）=8（a + b ）（c +d ）=16运用韦达定理可得a + b =4， c +d =4易错点：在使用韦达定理的时候没有提前检验0∆≥是否成立三点剖析一．考点：韦达定理二．重难点：韦达定理的应用1．已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； 2．已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； 3．已知方程的两根，求作方程；4．结合根的判别式，讨论根的符号特征；5．逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理．三．易错点：在使用韦达定理的时候没有提前检验0∆≥是否成立韦达定理例题1、 若方程240x x c -+=的一个根为23+，则方程的另一个根为______，c =______． 【答案】 231c =【解析】 根据韦达定理，124x x +=，因为123x =+223x =-(1223231c x x =⋅== 例题2、 设1x 、2x 是方程()222120x k x k -+++=的两个不同的实根，且()()12118x x ++=，则k 的值是 ． 【答案】 1k =【解析】 由根与系数的关系得 ()1221x x k +=+，2122x x k ⋅=+．且有()()224142840k k k ∆=+-+=->，即12k >． 所以()()12118x x ++=． 从而2230k k +-=， 解之得3k =-或1k =．又12k >，所以1k =．例题3、 如果a ，b 都是质数，且2130a a m -+=，2130b b m -+=，求b aa b+的值． 【答案】 当a b =时，2b a a b +=；当a b ≠时，12522b a a b +=【解析】 当a b =时，2b aa b+=；当a b ≠时，a 、b 为方程2130x x m -+=的两个根，所以 13a b +=，则2a =，11b =或2b =，11a =． 所以21112511222b a a b +=+=．例题4、 已知关于x 的一元二次方程x 2﹣4x+m=0． （1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；（2）若方程两实数根为x 1，x 2，且满足5x 1+2x 2=2，求实数m 的值． 【答案】 （1）m≤4 （2）﹣12【解析】 （1）∵方程有实数根， ∴△=（﹣4）2﹣4m=16﹣4m≥0， ∴m≤4；（2）∵x 1+x 2=4，∴5x 1+2x 2=2（x 1+x 2）+3x 1=2×4+3x 1=2， ∴x 1=﹣2，把x 1=﹣2代入x 2﹣4x+m=0得：（﹣2）2﹣4×（﹣2）+m=0， 得：m=﹣12．例题5、 已知关于x 的方程211300x x a -++=的两根都大于5，求a 的取值范围．【答案】 104a <≤【解析】 设1x ，2x 是方程的两根，1212121212(5)(5)5()250301112141200x x x x x x x x a x x a --=-++>⎧⎪=+⎪⎨+=⎪⎪∆=--⎩≥，解得104a <≤．随练1、 已知m ，n 是有理数，并且方程20x mx n ++=2-，那么m n +=_______．【答案】 3【解析】 由于m ，n 是有理数，并且方程20x mx n ++=2-，所以方程的另一个根是2-．由韦达定理知：(2)2)m -=-+-，(2)2)n =-⨯-∴4m =，1n =-，∴4mn =-，3m n +=．随练2、 已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2﹣5x+a=0的两个实数根，且x 12﹣x 22=10，则a=_____．【答案】 214【解析】 由两根关系，得根x 1+x 2=5，x 1•x 2=a ， 由x 12﹣x 22=10得（x 1+x 2）（x 1﹣x 2）=10， 若x 1+x 2=5，即x 1﹣x 2=2，∴（x 1﹣x 2）2=（x 1+x 2）2﹣4x 1•x 2=25﹣4a=4，∴a=214．随练3、 如果实数,a b 分别满足222a a +=，222b b +=，求11a b+的值【答案】 当a b ≠时，111a b +=；当a b =时，当1a b ==-+时，111a b +，当1a b ==--时，111a b+=【解析】 由题意知：,a b 为方程2220x x +-=的两个根，且0,0a b ≠≠，解方程2220x x +-=得：113x =-+213x =--⑴当a b ≠时，有2a b +=-，2ab =-，11212a b a b ab +-∴+===-；⑵当a b =时，方程的根为113x =-+213x =--当13a b ==-+1123131a b a ∴+==-；当13a b ==-1121331a b a ∴+===---随练4、 已知关于x 的方程222(2)50x m x m +++-=有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求m 的值． 【答案】 -1【解析】 有实数根，则△≥0，且22121216x x x x +=+，联立解得m 的值．依题意有：12212221212222(2)5164(2)4(5)0x x m x x m x x x x m m +=-+⎧⎪=-⎪⎨+=+⎪⎪∆=+--≥⎩由①②③解得：1m =-或15m =-，又由④可知m ≥94-∴15m =-舍去，故1m =-随练5、 已知关于x 的方程24280x x m --+=的一个根大于1，另一个根小于1，求m 的取值范围．【答案】 52m >【解析】 设1x ，2x 是方程的两根，且11x >，21x <，即110x ->，210x -<， 因此1212121212(1)(1)()10284164(28)0x x x x x x x x m x x m --=-++<⎧⎪=-+⎪⎨+=⎪⎪∆=+->⎩，解得52m >．随练6、 关于x 的一元二次方程x 2＋2x ＋2m ＝0有两个不相等的实数根． （1）求m 的取值范围；（2）若x 1，x 2是一元二次方程x 2＋2x ＋2m ＝0的两个根，且x 12＋x 22＝8，求m 的值．【答案】 （1）12m ＜（2）－1【解析】 （1）∵一元二次方程x2＋2x ＋2m ＝0有两个不相等的实数根， ∴△＝b 2－4ac ＝4－8m ＞0，解得：12m ＜∴m 的取值范围为12m ＜．（2）根据根与系数关系得： x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝2mx 12＋x 22＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2＝4－4m ＝8， ∴m ＝－1，当m ＝－1时，△＞0， ∴m 的值为－1．课后练习1、 已知方程22240x mx m -+-=的一个解为1，则另一个解为__________，m =__________．【答案】 0；2【解析】212mx +=，212x m ⋅=-，解得20x =，2m =． 2、 已知方程2230x mx -+=的两根的平方和为5，则m=__________．【答案】 ±【解析】 设2230x mx -+= 的两根分别为12,x x ，则12,2m x x +=123.2x x =而22222121212()23,35,44m m x x x x x x +=+-=-∴-=即232,m m =∴=±3、 已知关于x 的一元二次方程x 2＋2（m ＋1）x ＋m 2－1＝0． （1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；（2）若方程两实数根分别为x 1，x 2，且满足（x 1－x 2）2＝16－x 1x 2，求实数m 的值． 【答案】 （1）m≥－1（2）1【解析】 （1）由题意得△＝[2（m ＋1）]2－4（m 2－1）≥0， 整理得8m ＋8≥0， 解得m≥－1，∴实数m 的取值范围是m≥－1；（2）由两根关系，得x1＋x2＝－（2m ＋1），x 1•x 2＝m 2－1， （x 1－x 2）2＝16－x 1x 2（x 1＋x 2）2－3x 1x 2－16＝0，∴[－2（m ＋1）]2－3（m 2－1）－16＝0， ∴m 2＋8m －9＝0， 解得m ＝－9或m ＝1 ∵m≥1 ∴m ＝1．4、 已知关于x 的一元二次方程x 2﹣4x+m=0． （1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；（2）若方程两实数根为x 1，x 2，且满足5x 1+2x 2=2，求实数m 的值． 【答案】 （1）m ≤4（2）m=﹣12 【解析】 （1）∵方程有实数根， ∴△=（﹣4）2﹣4m=16﹣4m ≥0， ∴m ≤4；（2）∵x 1+x 2=4，∴5x 1+2x 2=2（x 1+x 2）+3x 1=2×4+3x 1=2， ∴x 1=﹣2，把x 1=﹣2代入x 2﹣4x+m=0得：（﹣2）2﹣4×（﹣2）+m=0， 解得：m=﹣12．5、 实数k 为何值时，关于x 的一元二次方程2(23)(24)0x k x k --+-=．（1）有两个正根？（2）两根异号，且正根的绝对值较大？ （3）一根大于3，一根小于3？【答案】 （1）2k >（2）322k <<（3）72k >【解析】 []2(23)(24)0(1)(24)0x k x k x x k --+-=⇒---=，故1x =或24x k =- （1）若两根均为正，则240k ->，故2k >；（2）若两根异号，且正根的绝对值较大，则0421k <-<，故322k <<； （3）由13<可知，72432k k ->⇒>．6、 阅读材料：设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根是1x 、2x ，则根与系数关系为：12b x x a +=-，12cx x a =．已知210p p --=，210q q --=，且1pq ≠，求1pq q +的值． 【答案】 1【解析】 由210p p --=，210q q --=有0p ≠，0q ≠，又1pq ≠，所以1p q≠则210q q --=可变形为211()10q q --=．由210p p --=及1p q ≠，可知p 与1q是方程210x x --=的根，因此111pq p q q+=+=．。
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韦达其人
一元二次方程的根与系数的关系，常常也称作韦达定理，这是因为该定理一般被认为是16世纪法国最杰出的数学家韦达发现的。
韦达1540年出生在法国东部的普瓦图的韦特奈。
他早年学习法律，曾以律师身份在法国议会里工作，韦达不是专职数学爱，但他非常喜欢在政治生涯的间隙和工作余暇研究数学，并做出了很多重要贡献，成为那个时代最伟大的数学家。
韦达是第一个有意识地和系统地使用字母表示数的人，并且对数学符号进行了很多改进。
他在1591年所写的《分析术引论》是最早的符号代数著作。
是他确定了符号代数的原理与方法，使当时的代数学系统化并且把代数学作为解析的方法使用。
因此，他获得了“代数学之父”之称。
他还写下了《数学典则》（1579年）、《应用于三角形的数学定律》（1579年）等不少数学论著。
韦达的著作，以独特形式包含了文艺复兴时期的全部数学内容。
只可惜韦达著作的文字比较晦涩难懂，在当时不能得到广泛传播。
在他逝世后，才由别人汇集整理并编成《韦达文集》于1646年出版。
韦达1603年卒于巴黎，享年63岁。
下面是关于韦达的两则趣事：
一、与罗门的较量
比利时的数学家罗门曾提出一个45次方程的问题向各国数学家挑战。
法国国王便把该问题交给了韦达，韦达当时就得出一解，回家后一鼓作气，很快又得出了22解。
答案公布，震惊了数学界。
韦达又回敬了罗门一个问题。
罗门苦思冥想数日方才解出，而韦达却轻而易举地作了出来，为祖国争得了荣誉，他的数学造诣由此可见一斑。
二、韦达的“魔法”
在法国和西班牙的战争中，法国人对于西班牙的军事动态总是了如指掌，在军事上总能先发制人，因而不到两年功夫就打败了西班牙。
可怜西班牙的国王对法国人在战争中的“未卜先知”十分脑火又无法理解，认为是法国人使用了“魔法”。
原来，是韦达利用自己精湛的数学方法，成功地破译了西班牙的军事密码，为他的祖国赢得了战争的主动权。
另外，韦达还设计并改进了历法。
所有这些都体现了韦达作为大数学家的深厚功底。