概率讲义
《概率》 讲义
《概率》讲义一、什么是概率在我们的日常生活中，经常会听到“可能”“也许”“大概”这样的词汇，这些词所表达的不确定性，在数学中就可以用概率来描述。
概率，简单来说，就是衡量某个事件发生可能性大小的一个数值。
比如抛一枚硬币，正面朝上和反面朝上的可能性各占一半，我们就说抛硬币正面朝上的概率是 05 。
概率的取值范围在 0 到 1 之间。
如果一个事件完全不可能发生，那么它的概率就是0 ；如果一个事件肯定会发生，那么它的概率就是1 。
而大部分事件发生的概率则介于 0 和 1 之间。
二、概率的计算方法计算概率有多种方法，其中最基本的就是古典概型和几何概型。
古典概型适用于试验结果有限且等可能的情况。
例如，一个盒子里有 5 个红球和 3 个白球，从中随机取出一个球，求取出红球的概率。
因为总共有 8 个球，取出每个球的可能性相等，而红球有 5 个，所以取出红球的概率就是 5÷8 ＝ 0625 。
几何概型则适用于试验结果是无限的情况。
比如在一个单位圆中随机取一点，求这个点落在圆的某个扇形区域内的概率，这时就需要通过计算扇形区域的面积与整个圆的面积之比来得到概率。
除了这两种基本的概型，还有一些更复杂的概率计算方法，比如条件概率和全概率公式。
条件概率是指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
例如，已知今天下雨，明天也下雨的概率就是一个条件概率。
全概率公式则是将一个复杂的事件分解为多个简单的互斥事件，然后通过这些简单事件的概率来计算复杂事件的概率。
三、概率在生活中的应用概率在我们的生活中有着广泛的应用，从简单的游戏到复杂的决策都离不开它。
在彩票中，虽然中奖的概率极低，但仍然吸引着很多人购买，这是因为人们总是抱着一丝侥幸心理，希望自己成为那个幸运儿。
但从概率的角度来看，购买彩票中大奖更多的是一种娱乐，而不是可靠的致富方式。
在保险行业，保险公司通过对各种风险发生的概率进行计算和评估，来确定保险的费率和赔偿金额。
高中数学必修2《概率》知识点讲义
第三章 概率一．随机事件的概率1、基本概念：⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩不可能事件确定事件事件必然事件随机事件（1）必然事件：在条件S 下，一定会发生的事件，叫相对于条件S 的必然事件；（2）不可能事件：在条件S 下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S 的不可能事件；（3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件；（4）随机事件：在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S 的随机事件；（5）事件：确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母A ，B ，C ……表示。
2、概率与频数、频率：在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数；称事件A 出现的比例f n (A)= A n n为事件A 出现的概率：对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的频率f n (A) 稳定在某个常数上，把这个常数记作P （A ），称为事件A 的概率。
频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数nA 与试验总次数n 的比值A n n ，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。
我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。
频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率。
二．概率的基本性质1、各种事件的关系：（1）并（和）事件（2）交（积）事件（3）互斥事件（4）对立事件2、概率的基本性质：（1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1；（2）P(E)=1(E 为必然事件）；（3）P(F)=0(F 为必然事件）；（4）当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A ∪B)= P(A)+ P(B)；（5）若事件A 与B 为对立事件，则A ∪B 为必然事件，所以P(A ∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)；三．古典概型（1）古典概型的使用条件：试验结果的有限性和所有结果的等可能性。
概率论讲义_带作业
例 已知某类产品的次品率为0. 2 ，现从一大批这类产品中随机抽查2 0 件. 问恰好 有 件次品的概率是多少？
3) 泊松分布
概率论的基本概念 样本空间
样本点
事件
事件的概率
练习 1. 抛一枚骰子，观察向上一面的点数；事件表示“出现偶数点”
2. 对目标进行射击，击中后便停止射击，观察射击的次数；事件表示“射击次数不超 过5 次”
事件之间的关系与运算
事件语言
集合语言
样本空间
事件
的对立事件
事件 或者
分布律：如果记离散型随机变量 所有可能的取值为
值的概率，即事件
的概率为
， 取各个可能
上式称为离散型随机变量 的分布律. 分布律也可以直观的表示成下列表格：
根据概率的性质，分布律中的 应该满足下列条件： 1． 2． 例 某系统有两台机器独立运转. 设第一台与第二台机器发生故障的概率分别是 0. 1 ，0. 2. 以 表示系统中发生故障的机器数，求 的分布律.
随机变量的例子
掷一枚色子，用 记点数；
掷三枚色子，用 记点数之和；
掷一枚硬币，记
为“出现正面”，
为“出现反面”；
变量的取值是随机的，依赖于随机试验的结果
用随机变量来表示事件
设 为一个实数集合，则用
表示一个事件 ，即
例如，某射手射击某个目标，击中计1 分，未中计0 分，则计分 表示一个随机
变量，且“击中”这个事件可以表示为
第二章 随机变量及其分布
Hale Waihona Puke 第六讲 随机变量 离散随机变量
概率论的另一个重要概念是随机变量. 随机变量的引入, 使概率论的研究由个别的 随机事件扩大为随机变量所表征的随机现象的研究.
《概率》 讲义
《概率》讲义一、什么是概率在我们的日常生活中，经常会听到“可能”“也许”“大概”这样的词汇，而这些词所表达的不确定性，在数学中可以用“概率”来进行量化和研究。
概率，简单来说，就是用来衡量某个事件发生可能性大小的一个数值。
这个数值在 0 到 1 之间。
如果一个事件发生的概率是 0，那就意味着这个事件几乎不可能发生；如果概率是 1，那就表示这个事件肯定会发生；而如果概率在 0 和 1 之间，比如 05，那就说明这个事件有一半的可能性会发生。
举个例子，抛一枚均匀的硬币，正面朝上和反面朝上的概率都是 05。
因为硬币只有正反两面，而且在理想情况下，硬币正反面出现的机会是均等的。
再比如，从一个装有 5 个红球和 5 个白球的袋子中随机摸出一个球是红球的概率，就是 05。
二、概率的计算方法1、古典概型古典概型是一种最简单的概率模型。
在古典概型中，如果一个试验有 n 个等可能的结果，事件 A 包含其中的 m 个结果，那么事件 A 发生的概率 P(A) ＝ m ／ n 。
例如，一个盒子里有 3 个红球和 2 个白球，从中随机取出一个球是红球的概率，总共有 5 个球，其中红球有 3 个，所以取出红球的概率就是 3/5 。
2、几何概型几何概型是另一种常见的概率模型。
当试验的结果是无限个，且每个结果出现的可能性相等时，我们常常使用几何概型来计算概率。
比如说，在一个时间段内等待公交车，假设公交车在这段时间内任何时刻到达的可能性相等，那么我们计算在某一特定时间段内等到公交车的概率时，就可以使用几何概型。
3、条件概率条件概率是指在某个条件下，某个事件发生的概率。
假设事件 A 和事件 B，在事件 B 已经发生的条件下，事件 A 发生的概率，记作 P(A|B) 。
例如，已知一个家庭有两个孩子，其中一个是女孩，那么另一个孩子也是女孩的概率就是一个条件概率。
三、概率在实际生活中的应用1、保险行业保险公司在制定保险政策和计算保费时，会大量使用概率知识。
概率论通识讲义
概率论通识讲义概率论是现代科学的重要分支之一，它研究的是随机事件的规律性和概率分布，是科学研究、决策分析、风险管理等领域不可或缺的工具。
本文旨在为读者提供概率论的基础知识，包括概率的定义、性质、概率分布、随机变量等内容。
一、概率的定义和性质概率是描述随机事件发生可能性的数值，通常用0到1之间的实数表示。
概率的定义有三种形式：古典概型、几何概型和统计概型。
其中，古典概型适用于事件的样本空间有限的情况，几何概型适用于事件的样本空间为几何形状的情况，统计概型适用于事件的样本空间无限的情况。
概率具有以下几个性质：1. 非负性：对于任何事件A，其概率P(A)必须大于等于0。
2. 规范性：对于样本空间Ω中的所有事件A，它们的概率之和等于1，即P(Ω)=1。
3. 可列可加性：对于任意的可列个事件A1、A2、…，它们的并集的概率等于它们概率之和，即P(A1∪A2∪…) = P(A1) + P(A2) + …。
4. 互斥事件的加法规则：对于互斥事件A和B，它们的并集的概率等于它们概率之和，即P(A∪B) = P(A) + P(B)。
二、概率分布概率分布是用来描述随机变量的概率分布规律的函数。
随机变量是指取值不确定的变量，可以是离散的或连续的。
离散型随机变量取有限或可数个值，其概率分布函数称为概率质量函数。
连续型随机变量可以取任意实数值，其概率分布函数称为概率密度函数。
离散型随机变量的概率质量函数可以用下列公式表示：P(X=x) = f(x)，其中x为随机变量的取值，f(x)为概率质量函数。
连续型随机变量的概率密度函数可以用下列公式表示：P(a≤X≤b) = ∫ab f(x)dx，其中a和b为随机变量的取值范围，f(x)为概率密度函数。
三、随机变量随机变量是指取值不确定的变量，可以是离散的或连续的。
随机变量的期望、方差和协方差是概率论中重要的概念。
其中，期望是随机变量的平均值，方差是随机变量偏离其期望的平方的平均值，协方差是两个随机变量之间的相关性度量。
(完整版)《概率论与数理统计》讲义
第一章 随机事件和概率 第一节 基本概念1、排列组合初步（1）排列组合公式)!(!n m m P n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。
)!(!!n m n m C n m -=从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。
例1．1：方程xx x C C C 76510711=-的解是 A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1例1．2：有5个队伍参加了甲A 联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少？(2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。
(3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m ×n某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m ×n 种方法来完成。
例1．3：从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？例1．4：6张同排连号的电影票，分给3名男生和3名女生，如欲男女相间而坐，则不同的分法数为多少？例1．5：用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜色，且相邻区域的颜色必须不同，则共有不同的涂法A．120种B．140种 C．160种D．180种(4)一些常见排列①特殊排列②相邻③彼此隔开④顺序一定和不可分辨例1．6：晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？①3个舞蹈节目排在一起；②3个舞蹈节目彼此隔开；③3个舞蹈节目先后顺序一定。
例1．7：4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？例1．8：5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？①重复排列和非重复排列（有序）例1．9：5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？②对立事件例1．10：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？例1．11：15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？例1．12：有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？③ 顺序问题例1．13：3白球，2黑球，先后取2球，放回，2白的种数？（有序） 例1．14：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，2白的种数？（有序） 例1．15：3白球，2黑球，任取2球，2白的种数？（无序）2、随机试验、随机事件及其运算（1）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。
高三总复习讲义概率
高三数学总复习讲义--概率第一讲：随机事件的概率随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件。
必然事件：在一定条件必然要发生的事件。
不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件。
事件A的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总是接近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P(A)。
由定义可知，必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0。
等可能事件的概率：一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件，通常此试验中的某一事件A由几个基本事件组成。
如果试验中可能出现的结果有n个（即此试验由n个基本事件组成，而且所有结果出现的可能性相等，那么每个基本事件的概率都是，如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率。
在一次试验中，等可能出现的n个结果组成一个集合I，这n个结果就是集合I的n个元素，从集合的角度看，事件A的概率是子集A的元素个数与集合I的元素个数的比值：（古典概型）这样就建立了事件与集合的联系，从排列组合的角度看，m,n实际上就是事件的排列数或组合数。
题型一：与排列组合综合例1.某班委会由4名男生和3名女生组成，现从中选出2人担任正副班长，其中至少有1名女生当选的概率是____________________；练习1.将7人（含甲、乙两人）分成三组，一组3人，另两组各2人，不同的分组数为________________；甲、乙分在同一组的概率P=________________。
题型二：与两个计数原理综合例2.先将一个棱长为3的正方体木块的六个面分别涂上六种颜色，再将正方体均匀切割成棱长为1的小正方体，从切好的小正方体中任选一个，所得正方体的六个面均没有涂色的概率是________________；练习2.由数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，所得数是大于20000的偶数的概率是________________；题型三：有、无放回抽样问题例3.从含有两件正品和一件次品的3件产品中每次任取一件，连续取两次，求取出的两件产品中恰有1件次品的概率。
《概率的概念》 讲义
《概率的概念》讲义在我们的日常生活中，很多事情的结果是不确定的。
比如明天是否会下雨，买彩票是否能中奖，考试是否能取得好成绩等等。
而概率，就是用来衡量这些不确定事件发生可能性大小的工具。
那到底什么是概率呢？简单来说，概率就是对随机事件发生可能性大小的一个数值度量。
如果一个事件发生的可能性越大，那么它的概率就越大；反之，如果一个事件发生的可能性越小，它的概率就越小。
为了更好地理解概率，我们先来看一个简单的例子。
假设一个盒子里有 5 个红球和 3 个白球，我们从中随机取出一个球，那么取出红球的概率是多少呢？要计算这个概率，我们首先需要知道总的可能性有多少种。
在这个例子中，从 8 个球中取出任意一个球，总共有 8 种可能性。
而取出红球的可能性有 5 种。
所以取出红球的概率就是 5÷8 ＝ 5/8。
概率的取值范围在 0 到 1 之间。
如果一个事件的概率为 0，那就意味着这个事件几乎不可能发生；如果概率为 1，就表示这个事件肯定会发生；而当概率在0 到1 之间时，说明这个事件有一定的可能性发生。
比如，太阳从西边升起这个事件的概率就是 0，因为这在我们的认知中是不可能发生的；而抛硬币正面朝上的概率是 05，因为抛硬币只有正面和反面两种可能，且出现正面和反面的可能性是相等的。
在实际生活中，概率有着广泛的应用。
比如在保险行业，保险公司会根据各种风险事件发生的概率来计算保险费用。
如果某种疾病发生的概率较高，那么针对这种疾病的保险费用就会相对较高。
在天气预报中，气象学家会根据各种气象数据和模型来预测明天降雨的概率。
如果降雨的概率较大，人们就会提前做好相应的准备，比如携带雨具。
在统计学中，概率也是非常重要的。
通过对大量数据的分析和计算概率，可以帮助我们得出一些有用的结论和决策。
再来说说概率的计算方法。
除了像前面提到的通过计算事件可能出现的结果数来计算概率外，还有一些常见的概率计算规则。
比如加法规则，如果事件 A 和事件 B 是互斥的（也就是说两个事件不能同时发生），那么事件 A 或者事件 B 发生的概率就等于事件 A发生的概率加上事件 B 发生的概率。
高中数学必修2《概率》知识点讲义
高中数学必修2《概率》知识点讲义Chapter 3 Probabilityn 1 Probability of Random Events1.Basic Concepts:Impossible eventCertain eventEvent (includes certain and impossible events)Random eventProbability (P(A)) of an event A2.Probability。
Frequency。
and Frequency :Frequency (nA) of an event A in n trials under the same nsFrequency。
(fn(A)) of an event A in n trials under the same nsProbability (P(A)) of an event A as the stable frequency。
as the number of trials increasesXXXn 2 Basic Properties of Probability1.XXX:n (sum) eventn (product) eventXXXXXX2.Basic Properties of Probability:Probability of certain event is 1.probability of impossible event is 0.and 0 ≤ P(A) ≤ 1XXX 1XXX 0XXX: P(A∪B)= P(A)+ P(B)XXX: P(A)+P(B)=1 if A and B are complementaryn 3 Classical Probability1.XXX: XXX2.XXX:XXX the total number of possible esXXX AUse formula P(A)= number of es in A/ total number of es3.XXX:XXXXXXXXXNote: The original text had formatting errors and some unclear sentences。
《概率论讲义》课件
线性回归
介绍线性回归模型的基本原理和应用案例。
多元非线性回归
探讨多元非线性回归分析的方法和实际应用。
蒙特卡罗方法
1
简介和基本概念
介绍蒙特卡罗方法的基本思想和使用领域。
2
模拟方法
说明蒙特卡罗方法的模拟过程和实际应用。
3
抽样方法
讨论蒙特卡罗方法中的抽样技术和抽样步骤。
应用案例
金融风险管理
探讨概率论在金融风险管理中的应用和重要性。
2
弱大数定律
探讨具体的弱大数定律和其适用性。
3
中心极限定理
详细解释中心极限定理及其在概率论中的重要性。
统计推断
1 点估计
介绍点估计的概念和方法，以及其在概率论中的应用。
2 区间估计
说明区间估计的原理和步骤，并讨论其实际应用。
3 假设检验
讲解假设检验的基本思想和步骤，以及其在统计学中的作用。
回归分析
《概率论讲义》PPT课件
概率论讲义PPT课件大纲
简介
介绍概率论的基本概念和应 用领域，初步了解概率论的 历史和发展。
随机变量
定义随机变量，离散型和连 续型随机变量及其概率分布。
概率分布
二项分布，泊松分布和正态 分布。
大数定律与中心极限定理
1
定义大数定律和中心极限定理
深入了解大数定律和中心极限定理的概念和应用。
人口统计学
展示概率论如何应用于人口统计学数据的分析和预测。
物理学和天文学
介绍概率论在物理学和天文学研究中的关键作用。
结论
总结所学内容，展望概率论的未来发展和应用前景。
参考文献
推荐阅读经典著作和相关文献
提供经典著作和相关文献，供学习和研究参考。
《8.1.1 条件概率》 讲义
《8.1.1 条件概率》讲义《811 条件概率》讲义一、引入在我们的日常生活和各种决策中，常常会遇到需要考虑在某个特定条件下事件发生的概率。
比如，在已知今天下雨的情况下，明天晴天的概率是多少？在已经抽到一张红桃牌的情况下，再抽到一张红桃牌的概率是多少？这就引出了我们要讨论的“条件概率”。
二、条件概率的定义条件概率是指事件 A 在事件 B 已经发生的条件下发生的概率，记作 P(A|B)。
用数学公式来表示，如果P(B)＞0，那么P(A|B) ＝P(AB) ／P(B) 。
这里的 P(AB) 表示事件 A 和事件 B 同时发生的概率。
为了更好地理解这个定义，我们来看一个简单的例子。
假设有一个盒子，里面装有 5 个红球和 3 个白球。
从盒子中随机抽取一个球，记事件A 为“抽到红球”，事件B 为“抽到的球是第一个球”。
那么 P(A) ＝ 5/8 ，因为总共有 8 个球，其中红球有 5 个。
而 P(A|B) ＝ 5/8 ，因为在第一个球抽取的情况下，抽到红球的概率就是红球在总球数中的比例。
三、条件概率的性质1、非负性：0 ≤ P(A|B) ≤ 1 。
2、规范性：如果 B 是必然事件，那么 P(A|B) ＝ P(A) 。
四、计算条件概率的方法1、利用定义计算如前面提到的例子，先计算P(AB) 和P(B)，然后相除得到P(A|B) 。
2、利用缩小样本空间法还是以盒子抽球为例，如果已知事件 B 发生了，那么我们可以把 B 当作新的样本空间，然后计算在这个新样本空间中事件A 发生的概率。
比如已知第一个球抽到的是红球，那么在剩下的 7 个球中，再计算抽到红球的概率。
五、条件概率的应用1、在医疗诊断中的应用假设某种疾病在人群中的发病率为 01% ，而某种检测方法对患有该疾病的人检测结果为阳性的概率为 99% ，对未患该疾病的人检测结果为阳性的概率为 1% 。
现在有一个人的检测结果为阳性，那么他真正患有该疾病的概率是多少？设事件 A 为“患有疾病”，事件 B 为“检测结果为阳性”。
概率论基础讲义全
概率论基础知识第一章随机事件及其概率随机事件§几个概念1、随机实验:满足下列三个条件的试验称为随机试验|;（1）试验可在相同条件下重复进行；（2）试验的可能结果不止一个，且所有可能结果是已知的；（3）每次试验哪个结果出现是未知的；随机试验以后简称为试验，并常记为E。
例如：曰：掷一骰子，观察出现的总数；E2：上抛硬币两次，观察正反面出现的情况；E3:观察某电话交换台在某段时间内接到的呼唤次数2、随机事件：在试验中可能出现也可能不出现的事情称为随机事件:常记为A，B, C例如，在E i中，A表示掷出2点”，B表示掷出偶数点”均为随机事件3、必然事件与不可能事件：每次试验必发生的事情称为必然事件，记为Q。
每次试验都不可能发生的事情称为不可能事件，记为①。
例如，在E i中，掷出不大于6点”的事件便是必然事件，而掷出大于6点”的事件便是不可能事件，以后，随机事件，必然事件和不可能事件统称为事件4、基本事件：试验中直接观察到的最简单的结果称为基本事件。
例如，在曰中，掷出1点”，掷出2点”，……，掷'出6点”均为此试验的基本事件由基本事件构成的事件称为复,例如，在E i中掷出偶数点”便是复合事件5、样本空间：从集合观点看，称构成基本事件的元素为样本点,常记为e.例如，在E i中，用数字1, 2,......,6表示掷出的点数，而由它们分别构成的单点集{1}, {2}, (6)便是E i中的基本事件。
在E2中，用H表示正面，T表示反面，此试验的样本点有(H , H),( H , T),( T, H ),( T, T),其基本事件便是{ ( H, H) }, { ( H , T) }, { (T, H ) }, { (T, T) }显然，任何事件均为某些样本点构成的集合。
例如，在E i中掷出偶数点”的事件便可表为{2, 4, 6}。
试验中所有样本点构成的集合称为样本空间。
记为Qo例如，在E i 中，Q={1 , 2, 3, 4, 5, 6}在E2 中，Q={ ( H , H),( H , T),( T, H),( T, T) }在E s 中，Q={0 , 1, 2,……}例1, 一条新建铁路共10个车站，从它们所有车票中任取一张，观察取得车票的票种此试验样本空间所有样本点的个数为N Q=P 210=90.（排列：和顺序有关，如北京至天津、天津至北京）若观察的是取得车票的票价，则该试验样本空间中所有样本点的个数为10）=452（组合）例2 .随机地将15名新生平均分配到三个班级中去，观察15名新生分配的情况。
王式安考研概率讲义
概率统计第一讲随机事件和概率考试要求：数学一、三、四要求一致。
了解：样本空间的概念理解：随机事件，概率，条件概率，事件独立性，独立重复试验掌握：事件的关系与运算，概率的基本性质，五大公式（加法、减法、乘法、全概率、贝叶斯），独立性计算，独立重复试验就算会计古典概率和几何型概率。
算：§ 1 随机事件与样本空间一、随机试验：E（1）可重复（2）知道所有可能结果（3）无法预知二、样本空间试验的每一可能结果——样本点所有样本点全体——样本空间三、随机事件样本空间的子集——随机事件A B C 样本点——基本事件，随机事件由基本事件组成。
如果一次试验结果，某一基本事件出现——发生，出现如果组成事件A的基本事件出现一一A发生，A出现——必然事件——不可能事件§2 事件间的关系与运算．事件间关系包含，相等，互斥，对立，完全事件组，独立•事件间的运算:并，交，差运算规律：交换律，结合律，分配律，对偶律概率定义，集合定义，记号，称法，图三•事件的文字叙述与符号表示例2从一批产品中每次一件抽取三次，用A(i 1,2,3)表示事件: “第i次抽取到的是正品”试用文字叙述下列事件:(1) AA2U A2A3U A1A3 ；(3)人肽血；再用A,A2,A表示下列事件:(5)都取到正品；(7)只有一件次品；(2) A i A2 A3 ；(4)A A2AL AX^U；(6)至少有一件次品；(8)取到次品不多于一件。
§ 3概率、条件概率、事件独立性、五大公式一. 公理化定义，A,P(1)P(A) 0(2)P( ) 1⑶ P(A 少2 U…P(A) P(A2)…P(A n)・’・A i A j ,i j二. 性质(1)P( ) 0(2)P(A J A U…U AnU…)P(A) P(A2)…P(A n)…AA j ,i j(3)P(A) 1 P(A)(4)A B, P(A) P(B)(5)0 P(A) 1三. 条件概率与事件独立性(1) P(A) 0,P(B A) ¥(譽，事件A发生条件下事件B发生的条件概率；(2) P(AB) P(A)P(B),事件A,B 独立，A, B独立寸A,B独立寸A,B独立寸A,B独立；P(A) 0 时，A,B 独立卫P(B A) P(B)；⑶ P (A ，A i 2, |||A k)P(A i 1)P(A 2)|||P(A k)1 i 1i2 ||| i k n相互独立两两独立。
概率讲义(树状图和列表法)
概率知识点1 树状图（或列表法）的使用对于简单的概率类题型我们可以通过列举法，计算事件发生的频率的分析来估计事件发生的概率，但是对于可能情况较多的事件，我们可以通过用树状图或列表法来解决树状图法：①分层.分清事件发生的层次，哪些情况是第一层（第一次）发生的，哪些是第二层（第二次）发生的；②根据分层用树状图把每一层（每一次）表示出来，然后计算事件发生的概率；列表法：将前后两次发生的事件在表格中全部表达出来，在其中计算事件发生的次数，进而计算频率.例1.一只蚂蚁在如图所示的矩形地砖上爬行，蚂蚁停在阴影部分的概率为例2.在某电视台的一档选秀节目中，有三位评委，每位评委在选手完成才艺表演后，出示“通过”(用√表示)或“淘汰”(用×表示)的评定结果.节目组规定：每位选手至少获得两位评委的“通过”才能晋级.(1)请用树形图列举出选手A 获得三位评委评定的各种可能的结果；(2)求选手A 晋级的概率.21=63【解析】（1）树状图如图所示，选手一共有8种等可能的结果，分别为(√,√,√)、(√,√,×)、(√,×,√)、(√,×,×)、(×,√,√)、(×,√,×)、(×,×,√)、(×,×,×). 开始（2）由（1）得选手A 的结果共有8种等可能情况，其中晋级的情况有4种，故其概率为41=82例 3.在一个不透明的盒子中放有三张卡片，每张卡片上写有一个实数，分别为3，，．（卡片除了实数不同外，其余均相同）（1）从盒子中随机抽取一张卡片，请直接写出卡片上的实数是无理数的概率；（2）先从盒子中随机抽取一张卡片，将卡片上的实数作为被减数；卡片不放回，再随机抽取一张卡片，将卡片上的实数作为减数，请你用列表法或树状图的方法列出所有等可能的结果，并求出两次好抽取的卡片上的实数之差为有理数的概率．【解析】（1）∵在一个不透明的盒子中放有三张卡片,每张卡片上写有一个实数,分别为3，，∴从盒子中随机抽取一张卡片,卡片上的实数是无理数的概率是：23（2）画树状图得：∵共有6种等可能的结果，两次好抽取的卡片上的实数之差为有理数的有2种情况， ∴两次好抽取的卡片上的实数之差为有理数的概率为： 例4.将五张分别画有等边三角形、平行四边形、矩形、等腰梯形、正六边形的卡片任意摆放，将有图形的一面朝下，从中任意翻开一张卡片，图形一定是中心对称图形的概率是（ ）A ．15B ．25C ．35D ．45例5.如图，管中放置着三根同样的绳子AA 1,BB 1,CC 1;(1)小明从这三根绳子中随机选一根，恰好选中绳子AA 1的概率是多少？(2)小明先从左端A 、B 、C 三个绳头中随机选两个打一个结，再从右端A 1、B 1、C 1三个绳头中随机选两个打一个结，求这三根绳子能连结成一根长绳的概率．例6.如图，转盘中8个扇形的面积都相等．任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向大于6的数的概率为 ．例7.在一个不透明的口袋里装有四个分别标有1、2、3、4的小球，它们的形状、大小等完全相同.小明先从口袋里随机不放回地取出一个小球，记下数字为x ；小红在剩下有三个小球中随机取出一个小球，记下数字y.（1）计算由x 、y 确定的点（x ，y ）在函数6y x =-+图象上的概率；（2）小明、小红约定做一个游戏，其规则是：若x 、y 满足xy>6，则小明胜；若x 、y 满足xy<6,则小红胜.这个游戏规则公平吗?说明理由;若不公平,怎样修改游戏规则才对双方公平?例8.如图，有一个可以自由转动的转盘被平均分成3个扇形，分别标有1、2、3三个数字，小王和小李各转动一次转盘为一次游戏，当每次转盘停止后，指针所指扇形内的数为各自所得的数，一次游戏结束得到一组数（若指针指在分界线时重转）．（1）请你用树状图或列表的方法表示出每次游戏可能出现的所有结果；（2）求每次游戏结束得到的一组数恰好是方程x 2-3x+2=0的解的概率．。
王式安概率论辅导讲义概率论辅导讲义
王式安概率论辅导讲义概率论辅导讲义王式安概率论辅导讲义：扩展深度与广度的概率论学习【导言】概率论作为数学中的一个重要分支，是研究随机现象及其规律性的学科，广泛应用于金融、物理学、统计学等领域。
为了帮助学习者更好地理解和掌握概率论，王式安教授精心编写了一份概率论辅导讲义。
本文将对这份讲义进行全面评估，并从深度和广度两方面探讨概率论的重要概念和应用。
【第一部分：深度探究概率论的基本概念】1. 概率的概念和性质在王式安教授的讲义中，从最基础的概率的定义开始，详细介绍了概率的基本性质和常见概率公式。
通过理论推导和实际案例分析，讲义清晰地展示了概率的计算和应用方法，使学习者能够准确理解和运用概率概念。
2. 条件概率和独立性王式安教授在讲义中特别强调了条件概率和独立性的重要性，并提供了详尽的讲解和实例分析。
通过深入剖析这两个概念的数学定义和逻辑关系，学习者能够更好地理解概率事件之间的相互关系，并且能够准确应用于实际问题的解决中。
【第二部分：广度拓展概率论的应用领域】3. 统计学中的概率王式安教授将概率论与统计学巧妙结合，详细介绍了概率在统计学中的应用。
讲义中涵盖了概率分布、假设检验、置信区间等统计学搭建于概率论基础上的重要概念和方法。
通过具体案例的分析，学习者能够更灵活地运用概率与统计学相结合的方法解决实际问题。
4. 金融中的概率随着金融行业的飞速发展，概率在金融领域的应用也日益重要。
王式安教授的讲义中对金融中的概率运用进行了详细介绍，特别是在金融风险评估和衍生品定价方面。
学习者通过讲义的学习，能够深入了解金融市场中的概率模型和定价方法，从而更好地进行金融决策。
【结语】王式安概率论辅导讲义以其扩展了概率论学习的深度和广度。
讲义从基本概念出发，逐步展开，不仅帮助学习者掌握概率论的核心概念，而且通过实际案例的分析和拓展，将概率论应用于统计学和金融学等领域，使学习者能够更加全面地理解和应用概率论。
个人而言，概率论不仅是一种数学工具，更是思维方式和决策方法的拓展。
概率讲义
概率讲义一、基础知识1、概率的意义一般地，在大量重复试验中，如果事件A 发生的频率mn 会稳定在某个常数p 附近，那么这个常数p 就叫做事件A 的概率。
2、事件和概率的表示方法如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A 包含其中的m 中结果，那么事件A 发生的概率为P （A ）=n m 3、确定事件和随机事件（1）确定事件必然发生的事件：在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件。
不可能发生的事件：有的事件在每次试验中都不会发生，这样的事件叫做不可能的事件。
（2）随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不放声的事件，称为随机事件（3）如果用P 表示一个事件A 发生的概率，则0≤P （A ）≤1；P （必然事件）=1； P （不可能事件）=0；4、列表法求概率（1）列表法用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。
（2）列表法的应用场合当一次试验要设计两个因素， 并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。
5、树状图法求概率（1） 树状图法就是通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法。
（2）运用树状图法求概率的条件当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率。
6、频率估计概率在随机事件中，一个随机事件发生与否事先无法确定，当我们做大量重复试验后，这个事件发生的频率呈现稳定性，可以用事件发生的频率作为这个事件发生的概率。
二、经典例题【例一】布袋中装有1个红球，2个白球，3个黑球，它们除颜色外完全相同，从袋中任意摸出一个球，摸出的球是白球的概率是【例二】若100个产品中有95个正品，5个次品，从中随机抽取一个，恰好是次品的概率是【例三】一个袋中有4个珠子，其中2个红色，2个蓝色，除颜色外其余特征均相同，若从这个袋中任取2个珠子，都是蓝色的概率是( ) A.12 B.13 C.14 D.16【例四】甲、乙两袋均有红、黄色球各一个，分别从两袋中任意取出一球， 那么所取出的两球是同色球的概率为（ ）A ．B ．C ．D ． 【例五】汶川大地震时，航空兵空投救灾物质到指定的区域（圆A ）如图所示，若要使空投物质落在中心区域（圆B ）的概率为12，则B ⊙与A ⊙的半径之比为 ．【例六】下面是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成了三个相等的扇形，小明和小亮用它们做配紫色（红色与蓝色能配成紫色）游戏，你认为配成紫色与配不成紫色的概率相同吗?【例七】桌面上放有4张卡片，正面分别标有数字1，2，3，4，这些卡片除数23121316字外完全相同，把这些卡片反面朝上洗匀后放在桌面上，甲从中任意抽出一张，记下卡片上的数字后仍放反面朝上放回洗匀，乙从中任意抽出一张，记下卡片上的数字，然后将这两数相加；（1）请用列表或画树状图的方法求两数和为5的概率；（6分）（2）若甲与乙按上述方式作游戏，当两数之和为5时，甲胜；反之则乙胜；若甲胜一次得12分，那么乙胜一次得多少分，这个游戏对双方公平吗？三、中考真题1、（2013，陕西）甲、乙两人用手指玩游戏，规则如下：ⅰ）每次游戏时，两人同时随机地各伸出一根手指；ⅱ）两人伸出的手指中，大拇指只胜食指、食指只胜中指、中指只胜无名指、无名指只胜小拇指、小拇指只胜大拇指，否则不分胜负.依据上述规则，当甲、乙两人同时随机的各伸出一根手指时，（1）求甲伸出小拇指取胜的概率；（2）求乙胜出的概率.2、（2012，陕西）小峰和小轩用两枚质地均匀的骰子做游戏，规则如下：每人随机掷两枚骰子一次（若掷出的两枚骰子摞在一起，则重掷），点数和大的获胜；点数和相同为平局．依据上述规则，解答下列问题：（1）随机掷两枚骰子一次，用列表法求点数和为2的概率；（2）小峰先随机掷两枚骰子一次，点数和是7，求小轩随机掷两枚骰子一次，胜小峰的概率．（骰子：六个面分别刻有1、2、3、4、5、6个小圆点的立方块．点数和：两枚骰子朝上的点数之和．）3、(2013，临沂)如图，在平面直角坐标系中,点A1 ，A2在x轴上，点B1，B2在y轴上，其坐标分别为A1(1，0),A2(2,0),B1(0,1)，B2（0,2），分别以A1A2B1B2其中的任意两点与点．．O．为顶点作三角形，所作三角形是等腰三角形的概率是（A） 34. (B)13.(C) 23. (D)12.4、(2013，武汉)袋子中装有4个黑球和2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出三个球．下列事件是必然事件的是（）A．摸出的三个球中至少有一个球是黑球．B．摸出的三个球中至少有一个球是白球．C．摸出的三个球中至少有两个球是黑球．D．摸出的三个球中至少有两个球是白球．5、（2013聊城）下列事件：①在足球赛中，弱队战胜强队．②抛掷1枚硬币，硬币落地时正面朝上．③任取两个正整数，其和大于1④长为3cm，5cm，9cm的三条线段能围成一个三角形．其中确定事件有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6、（2013•恩施州）如图所示，在平行四边形纸片上作随机扎针实验，针头扎在阴影区域内的概率为（）A．B．C．D．7、（2013，菏泽）某小区为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余、可回收和其他三类，分别记为a，b，c，并且设置了相应的垃圾箱，“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱和“其他垃圾”箱，分别记为A，B，C．（1）若将三类垃圾随机投入三类垃圾箱，请用画树状图的方法求垃圾投放正确的概率；（2）为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该小区三类垃圾箱中总1 000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：8、（2013，温州）一个不透明的袋中装有5个黄球，13个黑球和22个红球，它们除颜色外都相同．（1）求从袋中摸出一个球是黄球的概率；（2）现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀后使从袋中摸出一个是黄球的概率不小于，问至少取出了多少个黑球？四、练习题1、在一个不透明的布袋中装有3个白球和5个红球，它们除了颜色不同外，其余均相同．从中随机摸出一个球，摸到红球的概率是（）2、在一个不透明的盒子里，装有4个黑球和若干个白球，它们除颜色外没有任何其他区别，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复，共摸球40次，其中10次摸到黑球，则估计盒子中大约有白球（）A．12个B．16个C．20个D．30个3、下列叙述正确的是（）A．“如果a，b是实数，那么a+b=b+a”是不确定事件B．某种彩票的中奖概率为，是指买7张彩票一定有一张中奖C．为了了解一批炮弹的杀伤力，采用普查的调查方式比较合适D．“某班50位同学中恰有2位同学生日是同一天”是随机事件4、一项“过关游戏”规定：在过第n关时要将一颗质地均匀的骰子（六个面上分别刻有1到6的点数）抛掷n次，若n次抛掷所出现的点数之和大于n2，则算过关；否则不算过关，则能过第二关的概率是（）A．1318B．518C．14D．195、从1到9这九个自然数中任取一个，是偶数的概率是（）A．B．C．D．6、如图，正方形ABCD是一块绿化带，其中阴影部分EOFB，GHMN都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为（）A．B．12C．D．7、有三张正面分别标有数字：﹣1，1，2的卡片，它们除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中抽出一张记下数字，放回洗匀后再从中随机抽出一张记下数字．（1）请用列表或画树形图的方法（只选其中一种），表示两次抽出卡片上的数字的所有结果；（2）将第一次抽出的数字作为点的横坐标x，第二次抽出的数字作为点的纵坐标y，求点（x，y）落在双曲线上y=上的概率．8、某班有50位学生，每位学生都有一个序号，将50张编有学生序号（从1号到50号）的卡片（除序号不同外其它均相同打乱顺序重新排列，从中任意抽取1张卡片（1）在序号中，是20的倍数的有：20，40，能整除20的有：1，2，4，5，10（为了不重复计数，20只计一次），求取到的卡片上序号是20的倍数或能整除20的概率；（2）若规定：取到的卡片上序号是k（k是满足1≤k≤50的整数），则序号是k 的倍数或能整除k（不重复计数）的学生能参加某项活动，这一规定是否公平？请说明理由；（3）请你设计一个规定，能公平地选出10位学生参加某项活动，并说明你的规定是符合要求的．。
概率问题公考讲义
概率问题公考讲义概率是数学中的一个重要分支，也是公共考试中常见的考点之一。
掌握概率问题的解题方法，不仅在数学考试中有着重要作用，也能帮助我们在生活中做出正确的决策。
本讲义将为大家介绍概率问题的基本概念、常见的解题方法以及一些实际应用的案例，帮助大家更好地应对概率问题题目。
一、概率基础知识1.1 概率的定义概率是描述一个事件发生可能性大小的数值，通常用0到1之间的实数表示。
在事件发生的范围中，数值越大表示事件发生的可能性越大。
1.2 事件与样本空间在概率问题中，事件是指一次试验中我们感兴趣的某个结果，样本空间是指一次试验中所有可能结果的集合。
事件发生的概率就是该事件在样本空间中出现的可能性大小。
1.3 古典概率和几何概率古典概率是指在每次试验中所有结果都是等可能发生的情况下，根据事件的个数来计算概率。
几何概率是指利用几何图形的面积或者长度比来计算概率。
二、概率计算方法2.1 事件的相互关系与概率计算当事件之间有相互关系时，我们需要根据这些关系来计算概率。
常见的关系有并、交和补等。
- 并事件的概率计算：若事件A和事件B是相互独立的，则它们的并事件A∪B的概率等于事件A的概率加上事件B的概率减去事件A和事件B同时发生的概率，即P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。
- 交事件的概率计算：若事件A和事件B是相互独立的，则它们的交事件A∩B的概率等于事件A的概率乘以事件B的概率，即P(A∩B) = P(A) × P(B)。
- 补事件的概率计算：若事件A是事件B的补事件，即事件A发生的概率等于事件B不发生的概率，即P(A) = 1 - P(B)。
2.2 条件概率的计算条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
条件概率的计算公式为P(A|B) = P(A∩B) / P(B)，其中P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
2.3 独立事件的概率计算事件A和事件B是相互独立的，指的是事件A的发生与事件B的发生没有任何关系。
2024年余丙森概率论辅导讲义
2024年余丙森概率论辅导讲义第一节：概率论基础1.1 概率论的起源和发展概率论是研究随机现象的数学分支，起源于古代赌博和游戏。
随着时间的推移，概率论逐渐发展成为一门独立的学科，并在各个领域中得到广泛应用。
1.2 概率的定义和性质概率是描述某个事件发生可能性的数值，通常用0到1之间的一个实数表示。
概率具有可加性、非负性、规范性等基本性质。
1.3 随机变量与概率分布随机变量是概率论中的重要概念，它是对随机现象的数学建模。
概率分布描述了随机变量的取值及其对应的概率。
1.4 条件概率与独立性条件概率是指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
独立性是指两个事件的发生与否互不影响。
1.5 期望与方差期望是随机变量取值的加权平均值，反映了随机变量的平均水平。
方差是随机变量偏离其期望值的程度的度量。
第二节：概率分布2.1 离散型随机变量与概率分布离散型随机变量只能取有限或可数个数值，其概率分布由概率质量函数表示，例如伯努利分布、二项分布、泊松分布等。
2.2 连续型随机变量与概率密度函数连续型随机变量可以取任意实数值，其概率分布由概率密度函数表示，例如均匀分布、正态分布、指数分布等。
2.3 两个重要的分布：正态分布和泊松分布正态分布是概率论中最重要的分布之一，具有对称性和稳定性，广泛应用于自然科学和社会科学领域。
泊松分布用于描述单位时间或单位面积内随机事件发生的次数。
第三节：随机变量的特征函数和大数定律3.1 随机变量的特征函数特征函数是随机变量的一个重要特征，通过特征函数可以唯一确定随机变量的分布。
3.2 大数定律大数定律是概率论中的重要定理，描述了随机事件重复进行时，频率逐渐趋近于概率的现象。
第四节：中心极限定理与统计推断4.1 中心极限定理中心极限定理是概率论中的核心定理之一，描述了大量独立随机变量的和的分布近似于正态分布的现象。
4.2 统计推断统计推断是利用样本信息对总体进行推断和决策的方法，包括参数估计和假设检验两个方面。
概率统计复习讲义
第一讲 随机事件一 随机事件，事件间的关系及运算 1.样本空间和随机事件样本点，样本空间，随机事件，必然事件，不可能事件,基本事件. 2.事件关系和运算 ⑴事件的关系 ⑵事件的运算⑶运算律:交换律,结合律,分配律；对偶律: B A B A ⋂=⋃，B A B A ⋃=⋂；差事件的运算律例题 P5之例3、4；P6之5；练习册：第一章：选择题1，3， 二 概率的定义和性质 1.公理化定义(P8)2.概率的性质(P8.五个)⑴)(1)(A P A P -=； ⑵)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃； (3）)()()()(B A P AB P A P B A P =-=-例题 P9之例2；P10之2、4；练习册：第一章：填1，2，选：2 三 古典概型和几何概型 1．nk P A P kz i z ==∑=1})({)(ω=中样本点总数中包含的样本点数ΩA2．)()()(Ω=σσA A P 例题 P11例1、3、4，P13之例7；P17之4、6、7、8；练习册：填3，计1，2 四 常用的计算概率的公式 1．条件概率 )()()|(A P AB P A B P =2.乘法公式 )()()()()(B A P B P A B P A P AB P ==3.全概率公式和贝叶斯公式(P20)例题 P17之例2、4、5，6—9；P 23之3、4、5、6；练习册：计3，4，5 五 事件的独立性1.定义及定理2:A 和B 相互独立⇔)()()(B P A P AB P ⋅= 例题 P26之例3、4；P29之1、2；练习册：填4，选42.贝努利试验 在n 重贝努利试验中，事件=k A {A 恰好发生k 次})0(n k ≤≤的概率为：k n nk n k p p C A P --=)1()(例题 P28之例7、8；P29之7；练习册：填5，第二讲 随机变量及其概率分布一 随机变量及离散型随机变量 1.随机变量 2.分布律3.常用的离散型分布⑴10-分布:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-p pX 110~ ⑵二项分布:k n kk n p p C k X P --==)1()(),,2,1,0(n k =(3)泊松分布:),2,1,0(!)( ===-k e k k X P kλλ例题 P32之例1、3、5；P37之6，B 组1；练习册：填1、2、4，计1二 分布函数1.分布函数 )()(x X P x F ≤=)(+∞<<-∞x2.分布函数的性质(P38.四个)⑴0)(lim =-∞→x F x ；1)(lim =+∞→x F x ；(常用来确定分布函数中的未知参数)⑵)()()(a F b F b X a P -=≤<(常用来求概率) ⑶)(1)(a F a X P -=>例题 P38之例1、2；练习册：填3，选1三 连续型随机变量1.密度函数 ⎰∞-=xdt t f x F )()(2.密度函数的性质(P42.四个)⑴1)(=⎰+∞∞-dx x f ；（常用来确定密度函数中的参数）⑵⎰=≤<badx x f b X a P )()(；（计算概率的重要公式）⑶对R x ∈∀，有0)(==c X P (换言之,概率为0的事件不一定是不可能事件).3.常用连续型分布⑴均匀分布:⎪⎩⎪⎨⎧<<-=other bx a a b x f ,0,1)(⑵指数分布:⎩⎨⎧>=-other x e x f x ,00,)(λλ⑶正态分布:)0,(21)(222)(>=--σσμσπσμ都是常数，x ex f 标准正态分布)1,0(N :2221)(x ex f -=π标准化：设),(~2σμN X ，则σμ-=*X X )1,0(~N 。
概率论看王式安的讲义
概率论看王式安的讲义
王式安的讲义是概率论的经典教材之一，被广泛应用于概率论的教学和研究中。
王式安的讲义系统地介绍了概率论的基本概念、原理和方法，并通过大量的例题和习题帮助读者深入理解和应用概率论的知识。
以下是该讲义主要内容的概述：
1. 概率的基本概念：介绍了实验、样本空间、事件等基本概念，以及求解概率的静态和动态方法。
2. 条件概率与独立性：讲述了条件概率和独立性的定义、性质和应用，以及乘法定理和全概率公式的推导和运用。
3. 随机变量及其分布：介绍了随机变量的概念、离散随机变量和连续随机变量的性质及其分布函数和密度函数的求解方法。
4. 数学期望与方差：讲述了随机变量的数学期望和方差的定义及其性质，以及求解离散随机变量和连续随机变量的数学期望和方差的方法。
5. 多维随机变量及其分布：介绍了多维随机变量的概念和联合分布、边缘分布、条件分布等性质，以及相关系数和协方差的定义和性质。
6. 大数定律与中心极限定理：讲述了大数定律和中心极限定理的几种形式，以及辛钦大数定律的证明和应用。
7. 随机过程：简要介绍了随机过程的基本概念和性质，包括马
尔可夫性、平稳性、泊松过程等。
王式安的讲义以其系统的结构、深入浅出的讲解和丰富的例题和习题而闻名，在学习概率论时具有很高的参考价值。
无论是初学者还是深入研究概率论的专业人士，都可以通过阅读这份讲义来加深对概率论的理解。
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概 率
1.一个总体分为A ，B 两层，其个体数之比为4：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本，已知B 层中甲、乙都被抽到的概率为
128，则总体中的个数为 2.三张卡片上分别写上字母E 、E 、B ，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE 的概率为
3.电子钟一天显示的时间是从00:00到23:59的每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻的四个数字之和为23的概率为
4.在五个数字12345，，，，中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是
5.在平面直角坐标系中，从六个点：A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)、 F(3,3)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是
6.一个坛子里有编号为1，2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其 余的是黑球，若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概 率是
7.一袋中装有大小相同，编号分别为12345678，，，，，，，的八个球，从中有放回．．．
地每次取一个球， 共取2次，则取得两个球的编号和不小于．．．15的概率为
8.一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注数字外完 全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是
9.连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量()m n ，a =与向量(11)=-，b 的夹角为 θ，则0θπ⎛⎤∈ ⎥2⎝⎦
，的概率是
10.甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙从该正方形四个顶点中任意选择 两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是
11.从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a ，从{1,2,3}中随机选取一个数为b ，则b>a 的概率 是
12.盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的 概率是_ __.
13.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A,“骰子向上的 点数是3”为事件B,则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是
14.从数字这五个数字中任取两个组成两位数,这个两位数是奇数的概率是
15.在区间上随机取一个数x ，则的概率为 16.在区间[-1，1]上随机取一个数x ，cos 2x
π的值介于0到2
1之间的概率为 17.点A 为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧AB 的长 度小于1的概率为
18.在平面直角坐标系xoy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2 的点
构成的区域， E是到原点的距离不大于1 的点构成的区域，向D 中随机投一点，则落入E 中的概率．
19.ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的
点到O的距离大于1的概率为
20.为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行出样检查，测得
身高情况的统计图如下：
（）估计该校男生的人数；
（）估计该校学生身高在170~185cm之间的概率；
（）从样本中身高在180~190cm之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185~190cm 之间的概率。
21.为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A,B,C的相关人员中，抽取若干人组
成研究小组、有关数据见下表（单位：人）
（I）求x,y ;
（II）若从高校B、C抽取的人中选2人作专题发言，求这二人都来自高校C的概率。
22.为了了解一个小水库中养殖的鱼有关情况，从这个水库中多个不同位置捕捞出100条鱼，称得每条鱼的质量（单位：千克），并将所得数据分组，做出频率分布表（如图所示）
（Ⅰ）；估计数据落在（1.15,1.30）中的概率为多少；
（Ⅲ）将上面捕捞的100条鱼分别作一记号后再放回水库，几天后再从水库的多处不同位置捕捞出120条鱼，其中带有记号的鱼有6条，请根据这一情况来估计该水库中鱼的总条数。
23.一汽车厂生产A,B,C 三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下表(单位:辆):
按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中有A 类轿车10辆.
（1） 求z 的值.
（2） 用分层抽样的方法在C 类轿车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体,
从中任取2辆,求至少有1辆舒适型轿车的概率;
（3） 用随机抽样的方法从B 类舒适型轿车中抽取8辆,经检测它们的得分如下:9.4, 8.6,
9.2, 9.6, 8.7, 9.3, 9.0, 8.2.把这8辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.
24. 一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4.
（Ⅰ）从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；
（Ⅱ）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取 一个球，该球的编号为n ，求2n m <+的概率.
25.在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安
排在一起. 若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1,2，……，6）求：
（Ⅰ）甲、乙两单位的演出序号均为偶数的概率；
（Ⅱ）甲、乙两单位的演出序号不相邻的概率.
26.为了了解某工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从A ，B,C 三个区中抽取7个工厂进行调查，已知A,B ，C 区中分别有18，27，18个工厂
（Ⅰ）求从A,B,C 区中分别抽取的工厂个数；
（Ⅱ）若从抽取的7个工厂中随机抽取2个进行调查结果的对比，用列举法计算这2个工厂中至少有1个来自A 区的概率。
27.袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，现一次有放回地随机摸取3次，每次摸 取一个球
（I ）试问：一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果；
（Ⅱ）若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，求3次摸球所得总分为5的概率。
28.设有关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=．
（Ⅰ）若a 是从0123，，，四个数中任取的一个数，b 是从012，，三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
（Ⅱ）若a 是从区间[03]，任取的一个数，b 是从区间[02]，任取的一个数，求上述方程有实根的概率．。