一类半线性变系数抛物型方程的二阶差分格式
抛物型方程的差分格式
a umn 1 umn 1 2h
a
umn 1
2umn h2
umn 1
抛物型方程的古典显格式
整理得方程(2.38)的显式格式(2.39)
U n1 m
(1
2ra)U
n m
r
(a
1 2
ha)U
n m1
r
(a
1 2
ha)U
n m1
截断误差为 O(k h2 ).
tn x
抛物型方程的古典显格式
三、算子
Dx
x
为 x 方向偏导数算子
Tx为 x 方向位移算子
Txumn umn 1, Tx1umn umn 1
μ x 为 x 方向平均算子
xu
n m
1 2
un
m
1 2
un
m
1 2
抛物型方程的古典显格式
x 方向差分算子
边界条件为 u(0,t) 1(t) 0, 0 t 0.20 u(1,t) 2(t) 0, 0 t 0.20
取步长⊿x = h = 0.2 , ⊿t = k = 0.02 。
抛物型方程的古典显格式
解 r = k / h2 = 0.02 / 0.22 = 0.5, 古典显式格式为
n m
umn
h
h 2!
2u x2
n
m
h2 3!
3u x3
n
m
2阶差分公式大全
2阶差分公式大全摘要：一、引言二、2阶差分公式概述1.2阶差分的基本概念2.2阶差分公式的重要性三、常见2阶差分公式1.线性差分公式2.二次差分公式3.n阶差分公式4.差分方程四、2阶差分公式的应用1.信号处理2.系统分析3.数据分析五、总结正文：一、引言2阶差分公式作为数学领域中的一个重要知识点，广泛应用于信号处理、系统分析和数据分析等领域。
本文将对2阶差分公式进行全面介绍，包括其基本概念、常见公式及应用。
二、2阶差分公式概述1.2阶差分的基本概念2阶差分是指对一个序列x(n)与其后两个时刻的序列值进行相减，得到一个新的序列。
通常表示为Δx(n) = x(n+2) - 2x(n+1) + x(n)。
2.2阶差分公式的重要性2阶差分公式是研究2阶差分序列的基本工具，通过对2阶差分公式的分析，可以更好地理解差分序列的性质和特点，为实际应用提供理论支持。
三、常见2阶差分公式1.线性差分公式线性差分公式是指以线性函数为函数核的差分公式，如f(n) = a1x(n) + a2x(n-1) + a3x(n-2) + ...+ anx(n-k)。
2.二次差分公式二次差分公式是指以二次函数为函数核的差分公式，如g(n) = b1x(n) + b2x(n-1) + b3x(n-2) + ...+ bnx(n-k)。
3.n阶差分公式阶差分公式是指对序列x(n)与其后n个时刻的序列值进行相减得到的公式，如h(n) = x(n+n) - x(n)。
4.差分方程差分方程是一种特殊的方程，其未知数为差分序列，如i(n) = a1Δx(n) + a2Δx(n-1) + a3Δx(n-2) + ...+ anΔx(n-k)。
四、2阶差分公式的应用1.信号处理在信号处理领域，2阶差分公式常用于滤波器设计、信号调制与解调等。
例如，在数字信号处理中，可以通过线性差分公式设计数字滤波器，对信号进行平滑、锐化等处理。
2.系统分析在系统分析领域，2阶差分公式可用于描述和分析系统的动态性能。
一类奇异半线性抛物方程半离散解的加权L2模误差估计
与问题 （ ） ２ 相应 的半离散问题为 ： 对固定的 ｔ求 ｕ（ ｔ ∈Ｓ ， ， ） 使得 ，
ｆ Ｍ ． ）＋ （ ＾ ）＝（ （ ＾ ，＾ Ｖ ∈Ｓ （ ＾ ，＾ ０ Ｍ ，＾ Ｍ ） ） ＾ （） ３
（ ２）
【（ ０ ＝， １ ，） １（） １ ， 。
将 ， ０ （ ） 进行 拟一 致剖分 ： ＜ ＜… ＜ ＝ ０ ， ＝（ ０ ） ０＝ 。 （ ）记
∈ ，
，＝ ， ）ｈ ： 一 ， Ｓ ＝｛ ∈ ， ， １ ＝ ，≤ ≤Ⅳ （ （） ＝ ） 。（ ， 。 Ｈ （） Ｐ一 １ ， ） ０ ，
【 ，） １（） １（ ０ ＝１ ， ，
其中，： Ｓ 是 ｕ（） １ ∈ 。 的某个适当的近似。 １ ， ２ 对称有限元半离散解的加权 Ｌ 模误差估计
定理 １ 设 １和 １ 分别为 （） ３ 的解 ， １ １ ， ， ２ 和（ ） 则
一
ｕ ≤ 一。 ＋ｈ （） ＋ ｕ ＋ Ｃ “ｌ Ｃ ㈩ 。 ｆ ㈩
一
类 奇 异 半线 性 抛 物 方程 半 离 散解 的加权 ２ 模误差估计
韩 玉桃
（ 天津商业大学理学 院 ， 天津 ３ ０ ３ ） ０ １４
摘
要： 具有奇异 系数的椭 圆及抛物偏微分方程是 一类很 重要 的方程， 但是求 出其精确解是很 困难 的。本文考虑一
类奇异半线性抛物方程初 、 边值问题的有限元方法 ， 出了半 离散 解的加权 范数的误差估计。 给 关键词 ： 奇异半线性 ； 抛物方程 ； 离散 ； 半 加权模
第６ 期
韩 玉桃 ： 类奇异半 线 性抛物方 程半 离散 解 的加 权 Ｌ 一 模误 差估计
微分方程数值解法课程设计---抛物型方程问题的差分格式[9页].doc
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目录一、问题的描述 (1)二、算法设计及流程图 (1)2.1 算法设计 (1)2.2 流程图 (2)三、算法的理论依据及其推导 (2)3.1 截断误差分析 (2)3.2 稳定性分析 (3)四、数值结果及分析 (3)五、总结 (5)六、附件（源代码） (6)抛物型方程问题的差分格式一、问题的描述有限差分方法就是一种数值解法，它的基本思想是先把问题的定义域进行网格剖分，然后在网格点上，按适当的数值微分公式把定解问题中的微商换成差商，从而把原问题离散化为差分格式，进而求出数值解。
此外，还要研究差分格式的解的存在性和唯一性、解的求法、解法的数值稳定性、差分格式的解与原定解问题的真解的误差估计、差分格式的解当网格大小趋于零时是否趋于真解(即收敛性)，等等。
偏微分方程边值问题的差分法是物理上的定常问题，其定解问题为各种边值问题， 即要求解在某个区域内满足微分方程，在边界上满足给定的边界条件。
常系数扩散方程的差分解法可归结为选取合理的差分网格，建立差分格式求解。
常系数扩散问题的有限差分格式求常系数扩散问题为正常数其中a ,0,,22>∈∂∂=∂∂t R x xua t u （1.1） 的近似解，其初始条件为R x x g x u ∈=),()0,(二、算法设计及流程图2.1 算法设计运用加权隐式格式求解常系数扩散问题（1.1）02)1(22111112111=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+--++-------+-+-h u u u h u u u a u u n j n j n j n j n j n j n jn j θθτ，（1.6） 10≤≤θ,h τ其中分为时间步长和空间步长。
步骤1 输入初始值，确定加权隐式格式的参数；步骤2 定义向量A ，把初边值条件离散，得到0j u ，j=0,1,…,J 的值存入向量A 步骤3 利用加权隐式差分格式由第n 层计算第n+1层，建立相应线性方程组，求解并且存入向量A;步骤4 计算到t=1，输出u2.2 流程图三、算法的理论依据及其推导3.1 截断误差分析常系数扩散问题（1.1）的加权隐式格式如下：02)1(22111112111=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+--++-------+-+-h u u u h u u u a u u n j n j n j n j n j n j n jn j θθτ，（1.6） 其中10≤≤θ，,h τ其中分为时间步长和空间步长。
(十二章)抛物型方程有限差分法
（3.3a） （3.3b）
； 其中
， LOD格式的计算步骤可以总结如下：
1） 令，。 2） 求解三对角线性方程组（3.3a）得到差分解。 3） 若，则增加1，转步骤4）。否则转4）。 4） 令。 5） 求解三对角线性方程组（3.3b）得到差分解。 6） 若，则增加1，转步骤5）。否则转7）。 7） 若，则增加1，转步骤2）。否则结束。
,
及边值条件
，
假定和在相应的区域光滑，并且于，两点满足相容条件,
则上述问题有唯一的充分光滑的解。
现在考虑边值问题（1.1），（1.3）的差分逼近
取 为空间步长，为时间步长，其中，是自然数，
,； ,
将矩形域分割成矩形网格。其中 表示网格节点；
表示网格内点（位于开矩形中的网格节点）的集合；
表示位于闭矩形中的网格节点的集合；
时我们简单地称差分格式稳定。
冯诺依曼稳定性分析估量了误差的放大或扩大。对一
种稳定的方法，必须选取步长使误差的放大因子不大于1.
前面讨论的向前差分格式（1.4）当网比时稳定，当时不稳定。这就
意味着给定空间步长以后，时间步长必须足够小，才能保证稳定。而向
后差分格式（1.6）和Grank-Nicholson格式（1.8）则对任何网比都是稳
+=+ ，==0。求出，在由取，可利用，解出，。如此下去，即可逐 层算出所有，。
如此每层必须解一个三对角线性方程组的格式称为隐格 式。并视为的近似值。
直观地说，采用显式格式进行求解既方便又省工作量。但 是，后面我们将看到，有些情况用隐式格式更为便利。
1.2.3 Grank-Nicholson法 将向前差分格式和向后差分格式做算术平均，得到的差分 格式称之为六点对称格式，也称为Grank-Nicholson格式：
一类半线性抛物型方程的Liouville型定理
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１７ ２０
西南 民族 大学 学报 ・自然 科学版
第３ ３卷
２ 基础知识
记（， ＝（ 一 Ｘ＿ ） ｘ 定义Ｒ 上伸缩如下： ，ｎ１ ∈Ｒ ） Ｒ，
定义 ２ 取 ＞０ 伸缩 ： ， Ｒ Ｒ 定义如下：
本文 内容安排如下： 在第二节引入与热算子相应的伸缩 、 距离函数；引入一个特殊的光滑函数， 结合其性质 在第三节给出定理 ｌ 的证明．
收稿 日期：２ ０ ．７０ ０ ７０ ．２ 作者简介 ：张书陶（９ ７） １７ ，女，中 汁量学院数学 系助教． 基金项 目：浙江省 自然科学基金资助（ 目编号 为 Ｙ ０ １４ 项 ６６４）
中图分类号： ７． Ｏｌ５２ ６ 文献标识￣： ｉＡ － ｑ
１ 引 言
近年来， 线陛和非线性偏微分方程的解的 Ｌｏｖｌ ｉ ｉ ｕ ｌ ｅ型定理的研究， 得到了广泛 的研究． 其中对于非线性偏 微分方程的 Ｌｏｖｌ 型定理的研究， ｉ ｉｅ ｕ ｌ 可谓层出不穷， 方法众多． ９ 、９ 年 Ｂ ｒ ｔ ｋ 、 ａｕｚ ｏ ｅ ａ Ｎｒｎｅ 【 ２ ３ ４ ｅ ｓ ｃｉ Ｃ ｐｚｏＤ ｌ ｔ 和 ｉ ｂｒ ｌ Ｊ ｅｙ ｃｔ ｅ ｇ ’ 首先采用精确估计方法， 研究欧氏空间上半线性椭
（，） ， ７ ｎ ＝（ …，Ｘ Ｙ
Ｘ） ．
ｌ １
一
引 ３关 以 的 缩 引 Ｒ上 距 函 厂，＝∑ 理 于 上 伸 ， 入 的 离 数 （， ｌ ）ｆＩ Ｉ １ 一
＼ ， ：ｌ
＋ ，则有 如下 性质 ：
，，， ， ． ．．． ．．． ．．． ．．． ．．． ．．． ．。 ．．
ｐ
１ （ ， ∈ｃ Ｒ ）＾ Ｒ ＼０ ） ）ｒｘ， ） （ ｒ Ｃ （ ｛） ； 、 ２ （ ， ０ 且厂 ， ：０当且仅当（ ， ＝（，） ）ｒｘ ， ） ， （， ） ， ００ ： ） ３ ）任取 ＞０ 则厂 （， ） ｒｘ， ． ， （ ｆ ＝ｒ （ ， ） ）
抛物型方程的有限差分法
证明 因谱半径不超过任何一 种范数
k (C )
Ck
K ,0
k
T
,0
0.
K 0k [T ]
(C )
K
1 k
K
( T )
log K
e (T )
1 0( )
命 题 2.2（ 充 分 条C(件 )是 ）正 若规 矩(2阵 .13)，
(1.8)1
令
L(h3)ukj
ukj 1 ukj
a 2
[
uk1 j1
2ukj 1 h2
uk1 j1
ukj1
2ukj h2
ukj1 ]
将截断误差
Rkj (u) L(h3)u( xj , tk ) [Lu]kj
于(
x
j
,
t
k
1
)(t
k
1
2
2
(k
1) )展
2
开
，
则
得
Rkj (u) 0( 2 h2 ). (1.9)
(四) Richar格 dso式n， 即
ukj1ukj1
2
aukj12hu2kj
ukj1
fj
(1.10)
或ukj1 2r(ukj12ukj ukj1)ukj12fj.(1.10)
衡 量 一 个 差 分 格经式济是实否用 ， 由 多因方数面 的 决 定 ， 主 要 : 有 (1)计 算 简 单 （2） 收 敛 性 和 收 敛 速 度 。 （3） 稳 定 性 。
k1
k
u u a[u 2u u u 2u u f j
j
k1 j1
k1
k1
抛物型方程差分方法
偏微分方程数值解复习提纲一.基本内容:(1)椭圆型方程差分方法;(2)抛物型方程差分方法;(3)双曲型方程差分方法;(4)椭圆型方程的有限元方法.二.基本概念:(1)显式和隐式差分格式,网格比和加密路径;(2)差分格式的截断误差、相容性、稳定性、收敛性、逼近精度阶和收敛阶;(3)双曲型方程(组)的特征与Riemann不变量,差分格式的依赖区域和CFL条件;(4)差分格式的增长因子和增长矩阵、振幅误差与相位误差、耗散与色散、群速度；(5)双曲守恒方程的弱解与激波传播速度；(6)守恒性与守恒型差分格式、有限体积法；(7)差分格式的Fourier分析与L2稳定性、最大值原理与L∞稳定性、实用稳定性和强稳定性、网格的P`e clet数;(8)椭圆边值问题的变分形式与弱解、强制边界条件与自然边界条件；(9)Galerkin方法与Ritz方法,协调与非协调有限元方法；(10)有限元与有限元空间,有限元插值算子与插值函数,有限元方程与有限元解；(11)有限元的仿射等价与等参等价,有限元剖分的正则性和拟一致性.三.基本方法与技巧:(1)比较函数与利用最大值原理的误差分析;(2)Taylor展开、Fourier分析、最大值原理；(3)修正方程分析、能量法分析；(4)充分利用解的守恒性和特征,以及适当处理初始条件与边界条件；(5)Sobolev空间及其基本性质，如嵌入定理、迹定理,Poincar´e-Friedrichs不等式;(6)仿射等价、多项式不变算子、商空间与商范数、Sobolev空间半范数的关系;(7)Aubin-Nische技巧,bramble-Hilbert引理,双线性引理.四.基本格式:(1)二维Poisson方程的五点差分格式;(2)抛物型方程的显式差分格式、隐式差分格式、Crank-Nicolson格式和θ-方法；(3)具有热守恒性质的格式；(4)ADI格式与LOD格式；(5)双曲型方程的迎风格式、Lax-Wendroff格式、盒式格式和蛙跳格式；(6)守恒型格式、有限体积格式；(7)二阶椭圆型方程C0-类协调有限元方法.五.基本定理与结论:(1)最大值原理,比较定理;(2)Lax等价定理;(3)CFL条件、von Neumann条件、实用稳定性和强稳定性条件;(4)Lax-Milgram引理、C´e a引理、第一和第二Strang引理；(5)椭圆型方程有限元解的先验误差估计与收敛性.。
抛物型方程的计算方法
分类号：O241.82本科生毕业论文（设计）题目：一类抛物型方程的计算方法作者单位数学与信息科学学院作者姓名专业班级2011级数学与应用数学创新2班指导教师论文完成时间二〇一五年四月一类抛物型方程的数值计算方法(数学与信息科学学院数学与应用数学专业2011级创新2班）指导教师摘要: 抛物型方程数值求解常用方法有差分方法、有限元方法等。
差分方法是一种对方程直接进行离散化后得到的差分计算格式，有限元方法是基于抛物型方程的变分形式给出的数值计算格式。
本文首先给出抛物型方程的差分计算方法，并分析了相应差分格式的收敛性、稳定性等基本理论问题.然后，给出抛物型方程的有限元计算方法及理论分析。
关键词：差分方法，有限元方法，收敛性，稳定性Numerical computation methods for a parabolic equationYan qian（Class 2, Grade 2011，College of Mathematics and Information Science）Advisor: Nie huaAbstract：The common methods to solve parabolic equations include differential method，finite element method etc。
The main idea of differential method is to construct differential schemes by discretizing differential equations directly. Finite element scheme is based on the variational method of parabolic equations。
In this article, we give some differential schemes for a parabolic equation and analyze their convergence and stability. Moreover，the finite element method and the corresponding theoretical analysis for parabolic equation are established.Key words：differential method，finite element method, convergence，stability1 绪 论1。
抛物型方程的差分方法
2) 逆风差分格式
1 un un j j
a
n un j u j 1
§5 抛物型方程的差分方法
本章內容: 1． 常系数抛物型方程的初值问题 2．初边值问题 3．对流扩散方程 4．Richardson外推法 ^^数值实验4（网格比的重要性） ^^数值实验5 (Richardson 外推的精度) 5．变系数方程 6．二维抛物型方程问题的计算
1． 常系数抛物型方程初值问题
1 2
返回本节
c. 三层显式关系 Richardson格式 n n 1 1 un un un j j j 1 2u j u j 1 a 0 h2 2 Du Fort－Frankel格式
1 1 un un j j
2
a
n 1 1 n un un j 1 (u j j ) u j 1
目标点：Jh 1, x j jh, N T , ( x j , t n )
1 n n un un un j j j 1 2u j u j 1 内部点的离散： a 0 h2
边值点的离散： u0 ( n ), u J (n )
n n
初值点的离散： u j f (x j ) f j
1 4(1 )a sin 2 1 4a sin 2 kh 2
kh 2
3
G ( , k ) 1 1 G ( , k ) 1 4a (1 2 )sin 2 2a (1 2 ) 1 kh 2 2 0 1 2
解二阶抛物型方程含参数高精度两层差分格式
解二阶抛物型方程含参数高精度两层差分格式引言在数值计算中，抛物型偏微分方程是一类重要的方程，涉及到热传导、扩散、反应扩散等许多实际问题的数值模拟。
而解二阶抛物型方程含参数的问题则更具有挑战性，建立高精度的差分格式成为研究的重点之一。
本文将详细探讨解二阶抛物型方程含参数的高精度两层差分格式。
二阶抛物型方程含参数先考虑一个边界平滑、参数依赖的二阶抛物型方程：其中，u(x,t)是未知函数，a(x)是参数函数，f(x,t)是外力项。
本文的目标是构建一个高精度的差分格式来求解这个方程。
高精度差分格式的结构由于我们要构建高精度的差分格式，自然而然地思路是采用两层差分格式的结构。
两层差分格式具有更高的精度和更好的稳定性，对于求解复杂的偏微分方程尤为有效。
一维差分格式首先，我们先介绍一维的差分格式。
对于一维问题，我们可以将区域进行离散化，将连续的问题转换为离散的问题。
一维差分格式可以表示为：这个差分格式包含三个部分，分别是时间项、空间项和外力项。
其中，时间项计算了时间导数，空间项使用中心差分方法计算了空间导数，外力项贡献了外力。
多维差分格式对于二维问题，我们可以将其推广为多维差分格式。
多维差分格式的基本思想是利用乘积形式构造更高维的差分格式。
在这里，我们只考虑二维情况：这个差分格式在时间、x方向和y方向都有相应的差分项。
同样，时间项计算了时间导数，空间项使用了中心差分方法计算了空间导数，外力项贡献了外力。
参数依赖的高精度两层差分格式在介绍了一维和多维差分格式后，我们接下来考虑含参数的高精度两层差分格式。
对于含参数的问题，我们需要在空间项中考虑该参数的影响。
高精度的两层差分格式可以表示为：其中，αi,j n是参数依赖的系数。
高精度差分格式的稳定性和收敛性分析在构建高精度差分格式时，我们不仅需要关注其精度，还需要考虑其稳定性和收敛性。
在这一部分，我们将对所构建的高精度差分格式进行稳定性和收敛性的分析。
稳定性稳定性是差分格式是否收敛的重要条件之一。
解二阶抛物型方程含参数高精度两层差分格式
解二阶抛物型方程含参数高精度两层差分格式
解二阶抛物型偏微分方程是许多领域中非常重要的问题，例如热传导、扩散、化学反应等。
然而，在实际计算中，由于参数的存在，往往需要使用高精度的差分格式来保证数值计算的准确性。
以下是一种含参数的高精度两层差分格式，可以用于解决二阶抛物型偏微分方程：
1. 先验估计
为了使用高精度两层差分格式，我们首先需要进行先验估计，以确定合适的时间步长和空间步长。
具体来说，我们可以使用稳定性分析来确定时间步长和空间步长的上限值。
2. 差分格式
在确定了时间步长和空间步长之后，我们可以开始使用高精度两层差分格式来求解二阶抛物型偏微分方程。
该差分格式通常包括以下几个步骤：
（1）先用向前差分公式求解第一层，得到一个中间解。
（2）再采用Crank-Nicolson格式对第二层进行差分，同时使用前一步得到的中间解进行修正。
（3）最后，将得到的数值解反推回到未知函数的值域中，得到方程的
数值解。
需要注意的是，在使用这种高精度差分格式进行计算时，我们需要使
用高精度的算法来保证计算的准确性。
3. 参数调节
由于实际问题中经常存在参数不确定性的情况，因此，在进行数值计
算时，我们需要对参数进行调节和优化。
具体来说，我们可以通过多
次求解不同的二阶抛物型偏微分方程，来不断调节参数并逐步优化计
算结果。
以上是一个含参数的高精度两层差分格式，可以用于解决二阶抛物型
偏微分方程的计算问题。
该方法能够保证数值计算的高精度和准确性，同时也能够应对实际问题中的参数不确定性。
2.2 抛物型方程的差分解法
u ( j 1, n) 2u ( j , n) u ( j 1, n) u 2h 4 ( j , n) u ( j , n) 2 2 4 h 2 t 4! x
n
（8）
0
Lu j
n
Lh, u j R j n
式中：
2 4 2 2 h 2 Rn u ( j , n ) u ( j , n ) O ( h ) j 4 2 4! x 2 t
(backward space difference) (backward time difference)
u n j
（3）一阶中心差分（central difference）
hu
n j
un 1 un
j 2
j
1 2
h
u
n j
uj
n
1 2
uj
n
1 2
1 n 1 un u j j
n
（22）
n+1 n
j-1
j
j+1
注意：
① 泰勒展开点在格边上，不是在结点上，但在格式中未出现格边量。 ② ③
O( 2 h2 ) ——全二阶精度。 1 在 ( j, n ) 点展开时，用到了周围6个结点上的量，该格式又称为六点格式。 2 Rj
2u idea：是将微分方程中的 2 项以 u ( x, t ) x
u j n1 u j n 1 2
u j 1n 2u j n u j -1n h2
0 (23)
(24)
u j n1 2r(u j 1n - 2u j n u j 1n ) u j n1
第四章 抛物型方程的有限差分方法
2 h 称为Du Fort -Frankel格式，仍为三层显式格式．
2
a
n 1 n 1 n un ( u u ) u j 1 j j j 1
0
截断误差： T x j , tn a u x j , tn u x j , tn 2 u x j h, tn u x j , tn u x j , tn u x j h, tn h2
1 2a G , k 0
0 4a cos kh 1 2a 1 1 0 4a cos kh 1 2a 1 2a 1 2a 0 1
2
1
4a cos kh 2a 1 G , k 的特征方程： 0 1 2a 1 2a
修正 Richardson：无条件不稳定显格式
Du Fort Frankel：无条件稳定的三层显格式． 但后者的相容性是有条件的．事实上， 显格式中，无条件相容和无条件稳定是无法同时成立的．
4 三层隐式格式
先考虑
n 1 n u u 3 j j n n 1 u u 1 j j 1 n1 n1 un 2 u u j 1 j j 1
引理1.1实系数二次方程 2 b c 0的根： c 1． 模 1 b 1 c， " "设1 , 2是方程两根，且 i 1 i 1, 2 证： c b 则12 c1 2 b a a 12 c c 1 2 1 1 2 b 1 c b 1 12 1 2 1 12 1 2 1 1 1 2 0, 若 1 2 0 1 12 1 2 1 1 1 2 0, 若1 2 0 b 1 c
一类半线性抛物方程的差分格式及收敛性和稳定性
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５２ ５
工
程
数
学
学
报
第 ２ 卷 ５
（ ） ， 二阶可导，且存在常数 Ｃ ＞０ Ｋ ０ Ｈ２ （） １ 及 ，使得当ｌ Ｃ ＋ 时有 ｓ ｉ ｏ
ｉ￣ Ｉｓ，， ｓ，ｆ（Ｉ Ｃ Ｉ ｛ （ｌＩ（ Ｉｉ ｓ） １ ｉ ｆ ） ，） ） ａ
引理１ 】 设ｕ Ｗ∈ｖ ，则有 【 。 ， ｈ
ｍ — —１
一
ｈ
：
２ （ 仇） ｔ （ １ ）ＳＷ一／） 叫 ：ｈ ： ｕ一／ （ｘ ｉ１２
ｉ １ ：
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第２卷 第３ ５ 期
２ ０ 年 ０ 月 ０８ ６
工
程
数
学
学
报
Ｖ １２ ｏ ３ ｏ．５Ｎ ．
Ｊ ｎ ０ ８ ｕ ｅ２ ０
ＣＨＩ ＮＥＳＥ Ｊ ＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＥＮＧＩ ＮＥＥＲＩ ＮＧ ＡＴＨＥＭ ＡＴＩ Ｍ ＣＳ
造 了一个计算 简便 的线性 化二层格 式，证明了该差分格式解 的存在唯一性、收敛 性、和 无条件
稳定 性，并给出 了在离散 模和 。 ｏ模意义下 收敛 阶数为Ｏ（ ＋丁 ） ｈ 。最后给 出了数值例子验
证 了分 析 结 果 。
由非线性抛物型方程理论［知道 ，当， ｕ ， （） 】 （） 及边界函数满足适 当条件 时，（） ３存在唯 １一 ） （
这 里 ｄ＞ ０ 为常 数 ，Ｑ Ｔ＝ ｆ，１ ０Ｔ１ ０ １ ×ｆ， 。
该模型在化学反应和扩 散、神经 网络传 导、生物竞争 ［３ １】 － 等方面有许 多应用 。研究该 问题 的
抛物型方程有限差分法
抛物型方程有限差分法1. 简单差分法考虑一维模型热传导方程(1.1) )(22x f xua t u +∂∂=∂∂，T t ≤<0 其中a 为常数。
)(x f 是给定的连续函数。
（1.1）的定解问题分两类：第一，初值问题（Cauchy 问题）：求足够光滑的函数()t x u ,，满足方程（1.1）和初始条件：（1.2） ()()x x u ϕ=0,, ∞<<∞-x第二，初边值问题（也称混合问题）：求足够光滑的函数()t x u ,，满足方程（1.1）和初始条件：()13.1 ()()x x u ϕ=0,,l x l <<-及边值条件()23.1 ()()0,,0==t l u t u ，T t ≤≤0假定()x f 和()x ϕ在相应的区域光滑，并且于()0,0，()0,l 两点满足相容条件,则上述问题有唯一的充分光滑的解。
现在考虑边值问题（1.1），（1.3）的差分逼近 取 N l h =为空间步长，MT=τ为时间步长，其中N ，M 是自然数， jh x x j ==, ()N j ,,1,0Λ=； τk y y k ==, ()M k ,,1,0Λ=将矩形域G {}T t l x ≤≤≤≤=0;0分割成矩形网格。
其中 ()j i y x ,表示网格节点；h G 表示网格内点（位于开矩形G 中的网格节点）的集合； h G 表示位于闭矩形G 中的网格节点的集合；h Γ表示h G -h G 网格边界点的集合。
k j u 表示定义在网点()k i t x ,处的待求近似解，N j ≤≤0，M k ≤≤0。
注意到在节点()k i t x ,处的微商和差商之间的下列关系（(,)kj k ju u x t t t ∂∂⎛⎫≡ ⎪∂∂⎝⎭）：可得到以下几种最简差分格式 （一） 向前差分格式()24.1 ()j j j x u ϕϕ==0， k u 0=kN u =0其中1,,1,0-=N j Λ，1,,1,0-=M k Λ。
抛物型方程的差分方法
tn nk xm mh
n
0,1,2,
,
N;
N
T k
m 0,1,2,
在 t 0上的结点称为边界结点，属于 内的结点 称为内部结点。
对于初边值问题，设 (x,t) | 0 x 1,0 t T
，则网格是
tn nk xm mh
n
0,1,2,
,
N;
N
T k
m 0,1,2, , M ; Mh 1
u(0,t) 1(t),u(1,t) 2 (t) 0 t T (2.4)
2.1 差分格式建立的基础
为了构造微分方程(2.1)的有限差分逼近，首 先将求解区域用二组平行于t 轴和 x轴的直线构 成的网格覆盖，网格边长在方向 t为 t k，在 x 方向为x h (如图2.1所示)。h,k分别称为空间方向 和时间方向的步长，网格线的交点称为网格的结 点。对初值问题来说，网格是
4x
umn
2 x
3 x
11 12
3x
umn
2 x
1 12
4 x
1 90
6 x
umn
(2.19.1)
(2.19.2)
(2.19.3)
返回 返回 35 42
对于三阶、四阶偏导数的差分表达式为
h3
(
3u x3
)nm
3x 3x
3 2
4x
3 2
4 x
7 4 7 4
5x
5 x
umn umn
(2.20.1) (2.20.2)
)U
n m
代入
2 x
的表达式，则得差分方程
(2.28)
古典显式差分格式
U
n1 m
rU
3-抛物型方程的差分方法
，则退化为古典隐式格式；
(3)取 1/ 2 ，则退化为Crank-Nicholson六点格式
为了提高对时间的截断误差，可用中心差分
u
n 1 j
u
n 1 j
2
a
u
n j 1
2u u h
n j 2
n j 1
0
Richardson格式，它是二阶精度的三层显式格式。 通过将其化为等价的二层差分格式，可给出其增 长矩阵为
n u1n u1n 1 au0 n n 1 u2 0 u2 n n 1 u u 0 3 3 n n 1 a u N 2 u N 2 u n u n 1 au n 1 2a N 1 N 1 N
u 2u 0 x 1, t 0 t a x 2 , u ( x, 0) ( x), 0 x 1 u / x u t0 x0 g1 (t ), t0 u / x u x 1 g 2 (t ),
古典显式格式
u
截断误差是 增长因子是
n 1 j
u
n j
a
u
n j 1
2u u h
n j 2
n j 1
0
T O( h2 )
kh G( , k ) 1 4a sin 2 其中网格比 / h2
2
稳定性条件是
1 a 2
古典隐式格式
n 1 un u j j
0
a 0 0
a 0
如用Crank-Nicholson六点格式 n n n n 1 n 1 n 1 n 1 1 1 1 a u (1 a ) u a u u a ( u 2 u u j 1 j j 1 j j 1 j j 1 ) 2 2 2 可得如下代数方程组
抛物型方程差分格式的特性研究
抛物型方程差分格式的特性实验一、研究对象一维热传导方程是一种简单的双曲方程，我们研究如下奇次方程：22,01,0;(,0)sin ,01;(0,)(1,)0;0u ux t t xu x x x u t u t t π∂∂=<<>∂∂=<<==> 该定解问题的精确为：2(,)sin tu x t ex ππ-=二、研究方法 1 向前差分格式差分方程：11122n n n n nj jj j j u u u u u h τ++---+=⑴边界处理：由问题可知：110max |0,|0n n j u u ++==； C 程序实现：1 第0层时间步的值sin();j u jh π= (j=0、1…jmax) 2 当n=0、1…nmax-1时，令2/h λτ=①11max 0,0n n j u u ++==； ②()1112;n n n n njj j j j u u u u u λ++-=-++ (j=1、2…jmax-1)2 向后差分格式差分方程11111122n n n n n j jj j j u u u u u h τ+++++---+=(2)边界处理：由问题可知：110max |0,|0n n j u u ++==； C 程序实现：1 第0层时间步的值0sin();j u jh π= (j=0、1…jmax) 2令2/h λτ=， a=-λ，b=2λ+1，c=-λ 1;v b =1/,*;j j j j l a v v b c l -==- (j=2、3…jmax-1)3当n=0、1…nmax-1时，①110max |0,|0n n j u u ++==； ③1110;n n y u u λ+=+1*;nj j j j y u l y -=- (j=2、3…jmax-2)1m a x 1m a x 1m a x m a x 1m a x 2*;n n j j j j jy u u l y+----=+-11max 11/;n jamx j jamx u y v +---=111(*)/;n n j j j j u y c u v +++=- (j=jmax-2、jamx-3…1)3 Crank-Nicolson差分方程1111111122221[]2n n n n n n n nj jj j j j j j u u u u u u u u h hτ+++++-+---+-+=+ (3) 边界处理：由问题可知：110max |0,|0n n j u u ++==；C 程序实现：1 第0层时间步的值0sin();j u jh π= (j=0、1…jmax) 2令2/(2)h λτ=， a=-λ，b=2λ+1，c=-λ 1;v b =1/,*;j j j j l a v v b c l -==- (j=2、3…jmax-1)3当n=0、1…nmax-1时， ①110max |0,|0n n j u u ++==；③110120(12);n n n n y u u u u λλλλ+=+-++111(12)*;n n nj j j j j j y u u u l y λλλ-+-=+-+-(j=2、3…jmax-2) 1m a x 1m a x 2m a x 1m a x m a x m a x 1m a x 2(12)*;n n nnj j j jjjjy u u u u l yλλλλ+-----=+-++-11max 11/;n jamx j jamx u y v +---=111(*)/;n n j j j j u y c u v +++=- (j=jmax-2、jamx-3…1)4 Du Fort-Frankel差分方程1111112()n n n n n nj jj j j j u u u u u u h τ+-+-+---++=(4)边界处理：由问题可知：110max |0,|0n n j u u ++==；C 程序实现：1 第0层时间步的值sin();j u jh π= (j=0、1…jmax)2 利用Crank-Nicolson 计算出第一层时间步的值。
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２ ｕ ） ）二 阶可导 ， 且存在 常数 Ｃ ，＞０及 Ｋ ＞０ 使 得 当 ｌ Ｃ ， ｌ ＋Ｋ时 ， ｍ ｘ｛ ｓ ，ｌ ｓ ， Ｓ 有 ａ Ｉ ）Ｉ 厂（）Ｉ
青 岛农业大学学报 （ 自然科学版 ） ２ （ ） ２ ２～ ５ ， １ ７ ３ ： ５ ２ ４２ ０ ０ Ｊｕ ｔｆＱｎｄ Ａ ｒｕｔｒｌ ｎ ｅ ｉ （ ａｕａ Ｓｉ ｃ） ｏｍａ ∞ ｇｉ ｌ ａ ｉ ｒ ｔ Ｎ ｔｒｌ ｃ ｎｅ ｏ ｇ ｃ ｕ Ｕ ｖ ｓｙ ｅ 文章编号 ： ６４—１８ （ ００ ０ ０ ５ ｏ １７ ４ Ｘ ２ １ ）３— ２ ２一 ３
关键词 ： 半线性 变系数抛物型方程 ； 有限差分格式 ；收敛性 ； 稳定性
中图 分 类 号 ：０ ４ ．２ ２ １８ 文 献 标识 码 ： Ａ Ｄ Ｉ １ ．９９ ＪＩＳ ．６ ４—１８ ２ １．３ ０９ Ｏ ： ０ ３６ ／ ．ＳＮ １７ ４ Ｘ．００ ０ ． １
Ａ ｅ ｏ ｄ—ｏ ｄ ｒ Ｄｉ ｅ ｅ ｃ ｃ ｅ ｅ ｆ ｒ Ｓ ｍｅ Ｓ ｍｉ ｉ ｅ ｒ Ｐａ ａ ｏｉ Ｓ ｃｎ ｒ ｅ ｆ ｒ ｎ ｅ Ｓ ｈ ｍ ｏ ｏ ｅ —ｌ ａ ｒ ｂ ｌ ｆ ｎ ｃ
Ｋｅ ｒ ｓ ｅ —ｌ ｅ ｒ ｐ ｒ ｏｉ ｙ ｔ ｍｓ ｉ ｉ ｉ ｅ ｅ ｃ ｃ ｅ ；ｃ ｎ ｅ ｇ ｎ ｅ ｔ ｉ ｔ ｙ ｗｏ ｄ ：ｓ ｍｉ ｉ ａ ａ ａ ｌ ｓ ｓ ｎ ｂ ｃ ｅ ；ｆ ｔ ｄ ｆ ｒ ｎ ｅ ｓ ｈ ｍｅ ｏ ｖ ｒ ｅ ｃ ；ｓ ｌ ｙ ｎ ｅ ｆ ｂ ａ ｉ
１ 弓 言 Ｉ
考虑 下 面的半线性 变系数抛 物型 方程初边 值问题 ：
ｒ ｔ“ 一ｄ ＝ （ ） ｕ ， ） ，）∈ｆｔ ，（ ｉ （． ） １ １
“ ， ）＝ （ ， ∈ （ ， ） （ ０ ） ０ １ ｕｏ￡ （ ，）＝Ｏ（） （ ， ＝ （） ｔ∈ （ ， ｔ ，“ １ ｔ ￡ ， ） ０ ）
Ｓ ｓｅ ｓｗｉｈ ｒａ ｌ ｅ ｃｅ ｔ ｙ ｔｍ ｔ Ｖａ ｉ ｂ ｅ Ｃｏ ｆ ｉｎ ｓ ｉ
ＬＩＦｕ ｌ ＹＡＮＧ ｅ －ｅ． Ｘｕ （ ｏｅｅｏ ｃｅｃ ｎ ｎｏｍａｏ ， Ａ Ｑｎｄｏ２ ６０ Ｃ ｉａ Ｃ ｌ ｇ ｆ ｉ ｅａｄＩｆｒ ｔ ｎ Ｑ Ｕ， ｉｇａ ６ １９，ｈｎ ） ｌ Ｓ ｎ ｉ
一
类半 线 性 变 系数抛 物 型方 程 的二 阶差分 格 式
李 福乐 ， 杨 雪
（ 青岛农业大学 理学与信息科学学院 ，山东 青岛 ２６ ０ ） ６ １９
摘要 ： 本文对一类半线性变系数抛物型方程初边值 问题建立 了一个二阶差 分格式 ， 明了差分格式解 的存在 唯一 证 性、 关于初值的无条件稳定性和在 Ｌ 范数下阶数为 ０ ｒ （ ＋ｈ ）的收敛性 ，最后 给出的数值算例验证了理论结果。
没有理论分析。 文献［ ］ ２ 构造了一个并行交替迭代格式 ， 文献［ ］ ３ 构造 了基于变分的非线性格式 ， 文献［ ］ ４、 ［ ］ ［ ］给 出了两 层二 阶差分格 式 以及 紧差分 格式 ， ５ 和 ６ 并用 能量分 析方法 进行 了理论 分析 。 献 ［ ］考虑 了 文 ７ 当 （． ）中右端项 ， ｕ １１ （ ）为 ）时所得变 系数线性 抛物 方程初 边值 问题 ， 并建立 了一个 紧差分格 式 。 文对 本 （． ）～（． ） １１ １３ 建立了一个两层差分格式， 证明了差分格式解的存在唯一性 、 关于初值的无条件稳定性和在 范数下 阶数 为 ０ ＋ｈ）的收敛性 ， （ 最后 给 出的数值算 例验证 了理论 结果 。
（． ） １２ （．） １３
其中 ｄ ＞０为常数 ，
＝［ １ ０，］×［ ， ］ ｒｘ ｔ ０ Ｔ ， （ ，）∈ Ｃ ） ｒｘｔ ，＞０ （ 且 （， ）２ Ｃ 。
该 模型在 化学反应 和扩 散 、 神经 网络传 导 、 物竞争 等方 面有许多应 用 ， 生 该模 型 的数 值 求解 问题也 引起 了许多 作者 的注意 。 献 ［ ］一 ［ ］ 文 １ ５ 考虑 了当 ｒ ＝１时的情形 ， 献 ［ ］建立 了一个 三层差分 格式 ， （ ） ， 文 １ 但
Ａｂ ｔ ａ ｔ ｎ ｔ ｉ ａ ｒ ｓ ｒ ｃ ：Ｉ ｈ ｓｐ ｐｅ ，ｗｅ ｃ ｎ ｔｕ ｔａ ｆ ｉｅ ｄ ｆｅｅ ｃ ｃ ｅ ｏ ｏ ｅ ｏ ｓｒ ｃ ｉ ｔ ｉ ｒ ｎ ｅ ｓ ｈ ｍｅ ｆｒ ｓ ｍｅ ｓ ｍｉ—ｌｎ ａ ａ ａ ｌｃ ｓ ｓｅ ．Ｔｈ — ｎ ｆ ｉ ｅ ｒｐ ｒｂｏｉ ｙ ｔ ｍｓ ｅ Ｕ ｎｉｕ ｏｖ ｂｉ ｔ ｑ ｅ ｓ ｌａ ｌ ｙ，ｕ ｃ ｎ ｉｉｎ ｌｓａ ｉｉ ｎ ｏ ｖ ｒ ｅ ｃ ｆｔ ｅ ｄ ｆｅｅ ｃ ｃ ｍｅａ ｅｐ ｏ ｅ ｉ ｎ ｏ ｄ ｔｏ ａ ｔｂ ｌｔ ａ ｄ ｃ ｎ ｅ ｇ ｎ ｅｏ ｈ ｉ ｒ ｎ ｅｓ ｈｅ ｒ ｒ ｖ ｄ，ｔ ｅ ｃ ｎ ｅ ｇ ｎ ｅｏ — ｙ ｆ ｈ ｏ ｖ ｒ ｅ ｃ ｒ ｄ ｒｉ ｘ ｍｌ ｆ ｌｌ ｉ ｆｏ ｄ ｒｔ ｎ ｂ ｔ ｐ ｃ ｎ ｉ ．Ａ ｕ ｒｃ ｌｅ ａ ｌ ｓｐ ｅ ｅ ｔｄ ｔ ｅ ｎ ｔａｅ ｔ ｅ ｎ ｍａ ｉ ｌ ｌ Ｔ ｓｏ ｒ ｅ ｗｏ ｉ ｏｈ ｓ ａ ｅ ａ ｄ ｔｍｅ ｍ ｏ ｌ ｎ ｍｅ ｉａ ｘ ｍｐ ｅ ｉ ｒ ｓ ｎｅ ｏ ｄ ｍｏ ｓｒ ｔ ｈｅ ｔ ｅ ｒ ｔ ａ ｅ ｕ ￣． ｈ ｏ ｅ ｉ ｌｒ ｓ ｌ ｃ