2018-2019年人教A版高中数学必修二同步学习：第二章点、直线、平面之间的位置关系2.2.4PPT课件

人教A版高中数学二同步学习讲义：第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1.3~2.1.4 含答案

2。

1.3空间中直线与平面之间的位置关系2.1.4平面与平面之间的位置关系学习目标 1.掌握直线与平面的三种位置关系，会判断直线与平面的位置关系.2.学会用图形语言、符号语言表示三种位置关系.3。

掌握空间中平面与平面的位置关系．知识点一直线和平面的位置关系思考如图所示,在长方体ABCD—A1B1C1D1中线段BC1所在的直线与长方体的六个面所在的平面有几种位置关系？答案三种位置关系：（1）直线在平面内；(2)直线与平面相交；（3)直线与平面平行．梳理直线l与平面α的位置关系（1）直线l在平面α内(l⊂α)．（2）直线l在平面α外l⊄α错误!知识点二两个平面的位置关系思考观察前面问题中的长方体，平面A1C1与长方体的其余各个面,两两之间有几种位置关系?答案两种位置关系：两个平面相交或两个平面平行．梳理平面α与平面β的位置关系位置关系图示表示法公共点个数两平面平行α∥β0个两平面相交α∩β＝l无数个点(共线）类型一直线与平面的位置关系例1下列四个命题中正确命题的个数是（）①如果a，b是两条直线,a∥b,那么a平行于经过b的任何一个平面；②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行;③如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，那么b∥α；④如果a与平面α上的无数条直线平行，那么直线a必平行于平面α.A．0 B．1 C．2 D．3答案B解析如图,在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′在过BB′的平面ABB′A′内，故命题①不正确；AA′∥平面BCC′B′，BC⊂平面BCC′B′，但AA′不平行于BC,故命题②不正确；③中，假设b与α相交，因为a∥b,所以a与α相交，这与a∥α矛盾，故b∥α，即③正确；④显然不正确,故答案为B。

反思与感悟空间中直线与平面只有三种位置关系:直线在平面内，直线与平面相交，直线与平面平行．本题借助几何模型判断，通过特例排除错误命题．对于正确命题,根据线、面位置关系的定义或反证法进行判断,要注意多种可能情形．跟踪训练1下列命题(其中a,b表示直线,α表示平面)：①若a∥b，b⊂α,则a∥α；②若a∥α，b∥α，则a∥b;③若a∥b,b∥α，则a∥α；④若a∥α，b⊂α,则a∥b.其中正确命题的个数是()A．0 B．1 C．2 D．3答案A解析如图所示，在长方体ABCD—A′B′C′D′中,AB∥CD，AB⊂平面ABCD，但CD⊂平面ABCD,故①错误；A′B′∥平面ABCD，B′C′∥平面ABCD，但A′B′与B′C′相交,故②错误；AB∥A′B′,A′B′∥平面ABCD，但AB⊂平面ABCD，故③错误；A′B′∥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，但A′B′与BC异面，故④错误．类型二平面与平面之间的位置关系错误!例2α、β是两个不重合的平面，下面说法中，正确的是（) A．平面α内有两条直线a、b都与平面β平行，那么α∥βB．平面α内有无数条直线平行于平面β，那么α∥βC．若直线a与平面α和平面β都平行,那么α∥βD．平面α内所有的直线都与平面β平行,那么α∥β答案D解析A、B都不能保证α、β无公共点,如图1所示；C中当a∥α,a∥β时，α与β可能相交，如图2所示;只有D说明α、β一定无公共点．反思与感悟判断线线、线面、面面的位置关系，要牢牢地抓住其特征与定义、要有画图的意识，结合空间想象能力全方位、多角度地去考虑问题，作出判断．跟踪训练2已知两平面α、β平行，且a⊂α,下列四个命题:①a与β内的所有直线平行;②a与β内无数条直线平行；③直线a与β内任何一条直线都不垂直；④a与β无公共点．其中正确命题的个数是(）A．1 B．2 C．3 D．4答案B解析①中a不能与β内的所有直线平行而是与无数条直线平行，有一些是异面；②正确;③中直线a与β内的无数条直线垂直；④根据定义a与β无公共点，正确．命题角度2两平面位置关系的作图例3（1）画出两平行平面；（2)画出两相交平面．解两个平行平面的画法：画两个平行平面时，要注意把表示平面的平行四边形画成对应边平行，如图a所示．两个相交平面的画法：第一步，先画表示平面的平行四边形的相交两边，如图b所示；第二步，再画出表示两个平面交线的线段，如图c所示;第三步，过b中线段的端点分别引线段，使它们平行且等于图c中表示交线的线段，如图d所示；第四步,画出表示平面的平行四边形的第四边(被遮住部分线段可画成虚线，也可不画),如图e 所示．引申探究在图中画出一个平面与两个平行平面相交．解跟踪训练3试画出相交于一点的三个平面．解如图所示（不唯一)．1．下列图形所表示的直线与平面的位置关系，分别用符号表示正确的一组是()A．a⊄α，a∩α＝A,a∥αB．a∉α，a∩α＝A，a∥αC．a⊂α，a∩α＝A，a∥αD．a∈α，a∩α＝A,a∥α答案C解析直线在平面内用“⊂”，故选C.2．如图所示，用符号语言可表示为(）A．α∩β＝l B．α∥β,l∈αC．l∥β，l⊄αD．α∥β,l⊂α答案D3．若直线l不平行于平面α,且l⊄α，则()A．α内的所有直线与l异面B．α内不存在与l平行的直线C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内的直线与l都相交答案B解析由题意知，直线l与平面α相交，则直线l与平面α内的直线只有相交和异面两种位置关系，因而只有选项B是正确的．4．经过平面外两点可作该平面的平行平面的个数是________．答案0或1解析若平面外两点所在直线与平面相交时，经过这两点与已知平面平行的平面不存在．若平面外两点所在直线与已知平面平行时，此时,经过这两点有且只有一个平面与已知平面平行．5．如图,在正方体ABCD－A1B1C1D1中，分别指出直线B1C，D1B 与正方体六个面所在平面的关系．解根据图形，直线B1C⊂平面B1C，直线B1C∥平面A1D，与其余四个面相交，直线D1B与正方体六个面均相交．1．弄清直线与平面各种位置关系的特征，利用其定义作出判断,要有画图意识，并借助于空间想象能力进行细致的分析．2．长方体是一个特殊的图形，当点、线、面关系比较复杂时，可以寻找长方体作为载体，将它们置于其中，立体几何的直线与平面的位置关系都可以在这个模型中得到反映．因而人们给它以“百宝箱"之称．课时作业一、选择题1．已知直线a在平面α外，则（)A．a∥αB．直线a与平面α至少有一个公共点C．a∩α＝AD．直线a与平面α至多有一个公共点答案D解析因已知直线a在平面α外，所以a与平面α的位置关系为平行或相交，因此断定a∥α或断定a与α相交都是错误的，但无论是平行还是相交,直线a与平面α至多有一个公共点是正确的，故选D。

高中数学必修2(人教A版)第二章几点、直线、平面的位置关系2.1知识点总结含同步练习及答案

描述：高中数学必修2(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第二章点、直线、平面之间的位置关系 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系一、学习任务理解空间点、线、面的位置关系，会用数学语言规范地表述空间点、线、面的位置关系；了解可以作为推理依据的公理和定理，能正确地判断空间线线、线面与面面的位置关系．二、知识清单平面的概念与基本性质点、线、面的位置关系三、知识讲解1.平面的概念与基本性质平面的概念生活中的一些物体通常呈平面形，课桌面、黑板面、海面都给我们以平面的形象．几何里所说的平面就是从这样的一些物体中抽象出来的，但是几何中的平面是没有厚度、无限延展的．平面的画法我们常常把水平的平面画成一个平行四边形，用平行四边形表示平面，平行四边形的锐角通常画为，且横边长等于其邻边长的倍．如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把被遮挡的部分用虚线画出来．平面的表示为了表示平面，常把希腊字母等等写在代表平面的平行四边形的一个角上，如平面、平面；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称，如图中的平面可以表示为平面、平面或者平面．集合符号在立体几何中的应用以点作为元素，直线和平面都是由点构成的集合．几何中许多符号的规定都是源于将图形视为点集．例如：点在平面内，记作；点不在平面内，记作．直线在平面内，记作；直线不在平面内，记作；直线与相交于点，记作；平面与平面相交于直线，记作．平面的基本性质平面的基本性质是由三条公理描述的：公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．45∘2α,β,γαβABCD AC BD A αA ∈αA αA ∉αl αl ⊂αl αl ⊄αl m A l ∩m =A αβa α∩β=a A ∈l A ∈α例题：符号语言：，，且，．公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．推论1 经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面．推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面．公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．符号语言：，且，且．空间位置关系与几何量的基础平行公理平行于同一条直线的两条直线互相平行．等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．A∈l B∈l A∈αB∈α⇒l⊂αP∈αP∈β⇒α∩β=l P∈l用符号语言表示下列语句．（1）点在平面外，点在平面内，直线经过点，；（2）与交于，与交于．解：（1），，，．（2），．AαBαl A B平面ABD平面BCD BD平面ABC平面ADC ACa∉αB∈αA∈l B∈l平面ABD∩平面BCD=BD平面ABC∩平面ADC=AC如图所示，在四面体中，、、、分别是、、、上的点，且，求证，，三点共线．ABCD E F G H AB AD BC CDEF∩GH=PB D P2.点、线、面的位置关系证明：因为，，所以，同理，，又，所以，，而，所以，即，，三点共线．E ∈ABF ∈AD EF ⊂平面 ABD GH ⊂平面 BCD EF ∩GH =P P ∈平面 ABD P ∈平面 BCD 平面 ABD ∩平面 BCD =BD P ∈直线BD B D P 已知：如图，，，．求证：直线，，在同一平面内．证法一：（同一法）因为，所以和确定一个平面．　因为，所以．又因为，所以．同理可证．又，，所以．因此，直线，，在同一个平面内．证法二：（重合法）因为，所以，确定一个平面．因为，所以，确定一个平面．又因为，，所以．又，，所以．同理可证得，，，．所以不共线的三个点，，在平面内，又在平面内．所以平面和平面重合，即直线，，在同一平面内．∩=A l 1l 2∩=B l 2l 3∩=C l 1l 3l 1l 2l 3∩=A l 1l 2l 1l 2α∩=B l 2l 3B ∈l 2⊂αl 2B ∈αC ∈αB ∈l 3C ∈l 3⊂αl 3l 1l 2l 3∩=A l 1l 2l 1l 2α∩=B l 2l 3l 2l 3βA ∈l 2⊂αl 2A ∈αA ∈l 2⊂βl 2A ∈βB ∈αB ∈βC ∈αC ∈βA B C αβαβl 1l 2l 3结合空间想象回答下列问题：（1）个平面可以分空间为______部分；（2）个平面可以分空间为______部分；（3）正方体的各个面延伸后将空间分成______部分．解：（1），；（2），，，；（3）．对于（1）：当个平面平行时，分成部分；当两个面相交时，分成部分；对于（2）：当个平面两两平行时，分成部分；当其中两个平面平行，和另外一个平面相交或者三个平面相交于一条直线时，分成部分；当个平面两两相交且交线两两平行时，分成部分；当个平面两两相交且交线相交于一点时，分成部分；对于（3）：首先，将正方体的四个侧面延伸，可知将空间分成部分，然后，将正方体的上下底面延伸可知将之前部分分成了层，每层部分，共部分．233446782723434637389393×9=27若直线、、相交于一点，则这条直线可能确定的平面有（）A．个 B．个 C．无数个 D．个或个解：D当、、三线共面时，平面只有个；当三线不共面时，任意两条可确定一个平面，共个．a b c 30113a b c 13描述：例题：点与平面的位置关系平面内有无数个点，平面可以看成点的集合．点在平面内，记作；点不在平面内，记作．直线与直线的位置关系空间直线与直线的位置关系共有以下两种：共面直线在同一平面内的两条直线．更进一步，若这两条直线有且只有一个公共点，则称它们是相交直线，若这两条直线没有公共点，则称它们是平行直线；异面直线不同在任何一个平面内的两条直线．直线垂直如果两条直线所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相垂直，记作．在空间，两条直线垂直包括两种情形：共面垂直和异面垂直．直线与平面的位置关系空间直线与平面的位置关系共有以下三种：直线在平面内直线上的所有点都在平面内；直线与平面相交直线与平面有且仅有一个公共点；直线与平面平行直线与平面没有公共点．平面与平面的位置关系空间平面与平面的位置关系共有以下两种：平行两个平面没有公共点，则称这两个平面平行；相交两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交，此时这条公共直线称为这两个平面的交线．A αA ∈αA αA ∉αa ⊥b 如果在两个平面内分别各有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系是（）A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．垂直相交解：C可根据题意作图判断，如图所示，分别为两个平面平行、相交的情况．分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是（）A．相交 B．异面 C．异面或相交 D．平行解：C如图所示，可能相交，也可能异面，若两直线平行，则此两条直线确定一个平面，且原两条异面直线均在此平面内，故矛盾．四、课后作业（查看更多本章节同步练习题，请到快乐学）若直线不平行于平面，且，则（）A．内的所有直线与异面 B．内不存在与平行的直线 C．内存在唯一的直线与平行 D．内的直线与都相交解：B依题意，设直线，如图．内的直线若经过点，则与直线相交；若不经过点，则与直线是异面直线，但不可能与平行．l αl ⊄ααl αl αl αl l ∩α=A αA l A l l 答案：解析：1. 如图，在正方体中，是底面正方形的中心，是的中点，是上的动点，则直线、的位置关系是．A ．平行B ．相交C ．异面垂直D ．异面不垂直C和点确定平面，且平面，判定与平面的位置关系，只需判定直线的位置关系即可．ABCD −A 1B 1C 1D 1O ABCD M D D 1N A 1B 1NO AM ()A 1B 1O O A 1B 1NO ⊂O A 1B 1∴MA O A 1B 1NO 、AM 答案：2. 平行六面体中，既与共面也与共面的棱的条数为 A ．B ．C ．D ．C ABCD −A 1B 1C 1D 1AB C C 1()3456答案：3. 正方体中，、、分别是、、的中点．那么，正方体的过、、的截面图形是 A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形D ABCD −A 1B 1C 1D 1P Q R AB AD B 1C 1P Q R ()4. 下列正方体或正四面体中，，，，分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是 P Q R S ()高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。

2018版人教A版高中数学必修二同步学习讲义第二章点、直线、平面之间的位置关系2.3.1 Word版含答案

直线与平面垂直的判定
学习目标.理解直线与平面垂直的定义.掌握直线与平面垂直的判定定理的内容及其应用.应用直线与平面垂直的判定定理解决问题．
知识点一直线与平面垂直的定义
思考在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面上的影子，随着时间的变化，影子的位置在移动，在各个时刻旗杆所在的直线与其影子所在的直线夹角是否发生变化，为多少？
答案不变，°.
梳理
定义如果直线与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面α互相垂直
记法⊥α
有关
直线叫做平面α的垂线，平面α叫做直线的垂面，它们唯一的公共点叫做垂足
概念
图示
画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直
知识点二直线和平面垂直的判定定理
将一块三角形纸片沿折痕折起，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(，与桌面接触)．如图，观察折痕与桌面的位置关系．
思考折痕与桌面一定垂直吗？
答案不一定．
思考当折痕满足什么条件时，与桌面垂直？
答案当⊥且⊥时，折痕与桌面垂直．
梳理
文字语言一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直符号语言 ⊥，⊥，⊂α，⊂α，∩＝⇒⊥α
图形语言
知识点三直线与平面所成的角
有关概念
对应图形斜线
与平面α相交，但不和平面α垂直，图中直线
斜足斜线和平面的交点，图中点
射影过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，图中斜
线在平面α上的射影为直线
直线与平面
所成的角定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，图中∠ 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是°；一条直线和平面平行，或。

高中数学必修2(人教A版)第二章几点、直线、平面的位置关系2.3知识点总结含同步练习及答案

描述：高中数学必修2(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第二章点、直线、平面之间的位置关系 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质一、学习任务认识和理解空间中线面垂直的有关判定定理和性质定理，能用图形语言和符号语言表述这些定理，并能证明有关性质定理；能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．二、知识清单空间的垂直关系点面距离三、知识讲解1.空间的垂直关系直线与平面垂直的判定如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直．记作．直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点叫做垂足．直线与平面垂直的判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．用符号表示：，，，，．平面与平面垂直的判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．用符号表示：，．l αl αl ⊥αl ααl P a b ⊂αa ∩b =P l ⊥a l ⊥b ⇒l ⊥αl ⊥αl ⊂β⇒α⊥β例题：直线与平面垂直的性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行．用符号表示：，．平面与平面垂直的性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．用符号来表示：，，，．a ⊥αb ⊥α⇒a ||b α⊥βα∩β=CD AB ⊂αAB ⊥CD ⇒AB ⊥β下列命题中，正确的序号是______．①若直线与平面内的无数条直线垂直，则；②若直线与平面内的一条直线垂直，则；③若直线不垂直于平面，则内没有与垂直的直线；④若直线不垂直于平面，则内也可以有无数条直线与垂直；⑤过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条．解：④⑤当直线与平面内的无数条平行直线垂直时，与不一定垂直，所以①不正确；当与内的一条直线垂直时，不能保证与平面垂直，所以②不正确；当与不垂直时，可能与内的无数条平行直线垂直，所以③不正确，④正确；过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以⑤正确．故填④⑤．l αl ⊥αl αl ⊥αl ααl l ααl l αl αl αl αl αl α如图，三棱锥中，，底面的斜边为，为上一点．求证：．证明：因为，，所以．又，，所以．又，所以．P −ABC P A ⊥平面 ABC Rt△ABC AB F P C BC ⊥AF P A ⊥平面 ABC BC ⊂平面 ABC P A ⊥BC AC ⊥BC AC ∩P A =A BC ⊥平面 P AC AF ⊂平面 P AC BC ⊥AF 如图，已知四棱锥，底面是菱形，，，，点为的中点．求证：．P −ABCD ABCD ∠DAB =60∘P D ⊥平面 ABCD P D =AD E AB 平面P ED ⊥平面 P ABAB⊂平面P AB又，所以3P C⊥AC C，求点到平面P A⊥ABCD高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。

【高考数学】2018版人教A版高中数学必修二同步学习课件：第二章点、直线、平面之间的位置关系2.3.2

题导学
知识点一
二面角
思考1
观察教室内门与墙面，当门绕着门轴旋转时，门所在的平面与墙面所形成的角的大小和形状 . 数学上，用哪个概念来描述门所在的平面与墙面所在的平面所形成的角？答案二面角.
答案
思考2
平时，我们常说“把门开大一点”，在这里指的是哪个角大一点？答案二面角的平面角.
答案
A.90° B.30° C.45° D.60°
√
解析如图，取PB的中点为M，连接AM，CM，则AM⊥PB，CM⊥PB， ∴∠AMC为二面角A－PB－C的平面角，易得AM＝CM＝ 3a，则△AMC为正三角形， ∴∠AMC＝60°.
1 2 3 4 5
解析
答案
5.如图所示，在四棱锥 S－ABCD 中，底面四边形 ABCD
PA＝AD，其他条件不变.试证明：
(1)AM⊥平面PCD；证明 ∵PA＝AD，M是PD的中点，∴AM⊥PD. ∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥DC，又由于AD⊥DC，PA∩AD＝A， ∴DC⊥平面PAD，∴DC⊥AM. 又PD∩DC＝D，∴AM⊥平面PCD.
证明
(2)平面ACM⊥平面PCD.
证明由(1)知AM⊥平面PCD，
1
2
3
4
5
解析
答案
2.从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，则这两条垂线所夹的
角与二面角的平面角的关系是
A.互为余角解析 B.相等
C.其和为周角 D.互为补角
√
画图知从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，则这两条
垂线所夹的角与二面角的平面角互为补角，所以选D.
1
2
3
4
5
解析
答案

2018-2019学年最新人教A版高中数学必修二同步学习讲义：第二章点、直线、平面之间的位置关系2.3.3~2.3.4

2.3.3直线与平面垂直的性质
2.3.4平面与平面垂直的性质
学习目标 1.掌握空间中线面、面面垂直的性质定理.2.能够运用线面、面面垂直的性质定理证明一些简单的问题.3.理解线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理之间的相互联系．
知识点一直线与平面垂直的性质定理
思考在日常生活中常见到一排排和地面垂直的电线杆．一排电线杆中的每根电线杆都与地面垂直，这些电线杆之间的位置关系是什么？
答案平行．
梳理
知识点二平面与平面垂直的性质定理
思考黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？
答案容易发现墙壁与墙壁所在平面的交线与地面垂直，因此只要在黑板上画出一条与这条交线平行的直线，则所画直线必与地面垂直．
梳理。

高中数学必修2(人教A版)第二章几点、直线、平面的位置关系2.2知识点总结含同步练习及答案

ABCD −
AB = 2
AD
4. 如图，正方体 ABCD − A1 B1 C1 D1 中，AB = 2，点 E 为 AD 的中点，点 F 在 CD 上，若
EF ∥ 平面 AB1 C，则线段 EF 的长度等于
．
答案： √2 高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。
例题：下列命题（其中 a，b 表示直线， α 表示平面）中，正确的个数是（
）
①若 a ∥ b，b ⊂ α，则 a ∥ α；
②若 a ∥ α，b ∥ α，则 a ∥ b；
③若 a ∥ b，b ∥ α，则 a ∥ α；
④若 a ∥ α，b ⊂ α，则 a ∥ b．
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
证明：因为四边形 EF GH 为平行四边形，所以 EF ∥ GH．又 GH ⊂ 平面BCD，EF ⊄ 平面BCD，所以 EF ∥ 平面BCD．而 EF ⊂ 平面ACD，平面ACD ∩ 平面BCD = CD，所以 EF ∥ CD．如图所示，在三棱锥 S − ABC 中，D ，E，F 分别是棱 AC，BC，SC 的中点，求证：平面DEF ∥ 平面SAB．
A．①②③
B．①④
C．①②④
D．②④
答案： C 解析：当 m, n 都在 α 内时，符合条件点的集合是一条直线；
当 m, n 分别在 α 的两侧都平行于 α ，且到 α 的距离相等时，符合条件点的集合是一个平面；当 m, n 都平行于 α ，但到 α 的距离不相等时，是空集；任何时候都不可能只有一个点满足条件．
二、知识清单
空间的平行关系
三、知识讲解
1.空间的平行关系描述：空间四边形顺次连接不共面的四个点 A、B、C、D 所构成的图形，叫做空间四边形．这四个点中的各个点叫做空间四边形的顶点；所连接的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边；连接不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线．空间四边形用表示顶点的四个字母表示．例如，图中的四边形可以表示为空间四边形 ABCD ，线段 AC，BD 是它的对角线．

2018版人教A版高中数学必修二同步学习讲义第二章点、直线、平面之间的位置关系2.3.2 Word版含答案

平面与平面垂直的判定
学习目标.理解二面角及其平面角的概念，能确认图形中的已知角是否为二面角的平面角.掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单的二面角的平面角.掌握两个平面互相垂直的概念，能用定义和定理判定面面垂直．
知识点一二面角
思考观察教室内门与墙面，当门绕着门轴旋转时，门所在的平面与墙面所形成的角的大小和形状．数学上，用哪个概念来描述门所在的平面与墙面所在的平面所形成的角？
答案二面角．
思考平时，我们常说“把门开大一点”，在这里指的是哪个角大一点？
答案二面角的平面角．
梳理二面角的概念
()定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形．
()相关概念：①这条直线叫做二面角的棱，②两个半平面叫做二面角的面．
()画法：
()记法：二面角α－－β或α－－β或－－或－－.
()二面角的平面角：若有①∈；②⊂α，⊂β；③⊥，⊥，则二面角α－－β的平面角是∠.
知识点二平面与平面垂直
思考建筑工人常在一根细线上拴一个重物，做成“铅锤”，用这种方法来检查墙与地面是否垂直．当挂铅锤的线从上面某一点垂下时，如果墙壁贴近铅锤线，则说明墙和地面什么关系？此时铅锤线与地面什么关系？
答案都是垂直．
梳理两面垂直的定义及判定
()平面与平面垂直
①定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
②画法：
③记作：α⊥β.
()判定定理
文字语言一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直
图形语言
符号语言⊥α，⊂β⇒α⊥β
类型一证明面面垂直。

2018版人教A版高中数学必修二同步学习讲义第二章点、直线、平面之间的位置关系2.2.4 Word版含答案

平面与平面平行的性质
学习目标.掌握平面与平面平行的性质，并会应用性质解决问题.知道直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的平行关系可以相互转化．
知识点平面与平面平行的性质
观察长方体－的两个面：平面及平面.
思考平面中的所有直线都平行于平面吗？
答案是的．
思考若⊂平面，⊂平面，则∥吗？
答案不一定，也可能异面．
思考过的平面交面于，与是什么关系？
答案平行．
梳理
文字语言如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
符号语言α∥β，α∩γ＝，β∩γ＝⇒∥
图形语言
类型一面面平行的性质定理的应用
例如图，平面α∥β，、∈α，、∈β，直线与交于，且＝，＝，＝，求的长．
证明设，共面γ，因为γ∩α＝，γ∩β＝，且α∥β，
所以∥，
所以△∽△，所以＝，
即＝，所以＝.
引申探究
若将本例改为：点在平面α，β之间(如图)，其他条件不变，求的长．
解设，共面γ，γ∩α＝，γ∩β＝.
因为α∥β，所以与无公共点，所以∥，
所以△∽△，所以＝.
设＝，则＝，所以＝，
即＝.。

推荐学习K122018-2019学年人教A版高中数学必修二同步学习讲义：第二章点、直线、平面之间的

2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系学习目标 1.了解空间中两条直线的位置关系.2.理解异面直线的概念、画法.3.理解并掌握公理4及等角定理.4.掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能求出一些较特殊的异面直线所成的角．知识点一空间两直线的位置关系思考在同一平面内，两条直线有几种位置关系？观察下面两个图形，你能找出既不平行又不相交的两条直线吗？答案平行与相交．教室内的日光灯管所在直线与黑板的左右两侧所在的直线；六角螺母中直线AB 与CD . 梳理异面直线的概念(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线． (2)异面直线的画法(衬托平面法)如图(1)(2)所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托．(3)判断两直线为异面直线的方法 ①定义法；②两直线既不平行也不相交． (4)空间两条直线的三种位置关系 ①从是否有公共点的角度来分：⎩⎪⎨⎪⎧没有公共点⎩⎪⎨⎪⎧平行异面有且仅有一个公共点——相交②从是否共面的角度来分：⎩⎪⎨⎪⎧在同一平面内⎩⎪⎨⎪⎧平行相交不同在任何一个平面内——异面知识点二平行公理(公理4)思考在平面内，直线a ，b ，c ，若a ∥b ，b ∥c 则a ∥c .该结论在空间中是否成立？答案成立．梳理平行公理的内容(1)文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行． (2)符号表示：⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b b ∥c ⇒a ∥c . 知识点三等角定理思考观察图，在长方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，∠ADC 与∠A ′D ′C ′，∠ADC 与∠D ′A ′B ′的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？答案从图中可以看出，∠ADC ＝∠A ′D ′C ′，∠ADC ＋∠D ′A ′B ′＝180°. 梳理空间中如果两个角的两边分别对应平行，则这两个角相等或互补．知识点四异面直线所成的角思考在长方体A 1B 1C 1D 1—ABCD 中，BC 1∥AD 1，则“直线BC 1与直线BC 所成的角”与“直线AD 1与直线BC 所成的角”是否相等？答案相等．梳理类型一异面直线的判断例1如图所示，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ 与RS是异面直线的是()答案 C解析本题容易错选A或B或D.不能严格根据异面直线的定义对两直线的位置关系作出正确判断，仅凭主观臆测和对图形的模糊认识作出选择．A，B中，PQ∥RS，D中，PQ和RS 相交．故选C.反思与感悟判断两直线是否为异面直线，只需判断它们是否相交、平行．只要既不相交，也不平行，就是异面直线．跟踪训练1如图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么AB，CD，EF，GH 这四条线段所在直线是异面直线的有几对？分别是哪几对？解还原的正方体如图所示，是异面直线的共三对，分别为AB与CD，AB与GH，EF与GH.类型二公理4及等角定理的应用例2 已知E ，E ′分别是正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱AD ，A ′D ′的中点． (1)求证：四边形BB ′E ′E 为平行四边形； (2)求证：∠BEC ＝∠B ′E ′C ′.证明 (1)如图所示，因为E ，E ′分别是AD ，A ′D ′的中点，所以AE ∥A ′E ′，且AE ＝A ′E ′.所以四边形AEE ′A ′是平行四边形．所以AA ′∥EE ′，且AA ′＝EE ′. 又因为AA ′∥BB ′，且AA ′＝BB ′，所以EE ′∥BB ′，且EE ′＝BB ′. 所以四边形BEE ′B ′是平行四边形．(2)由(1)知，四边形BB ′E ′E 为平行四边形，所以BE ∥B ′E ′. 同理可证CE ∥ C ′E ′.又∠BEC 与∠B ′E ′C ′的两边方向相同，所以∠BEC ＝∠B ′E ′C ′. 引申探究本例2中取C ′D ′的中点G ′，求证四边形ACG ′E ′为梯形．证明连接A ′C ′.∵E ′，G ′分别为A ′D ′，C ′D ′的中点， ∴E ′G ′綊12A ′C ′.∵AA ′綊CC ′，∴四边形ACC ′A ′是平行四边形， ∴A ′C ′綊AC ，∴E ′G ′綊12AC ，∴四边形ACG ′E ′是梯形．反思与感悟(1)公理4的作用公理4表明了平行线的传递性，它可以作为判断两直线平行的依据，同时也给出空间两直线平行的一种证明方法．(2)剖析“等角定理”①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等．②如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且其中一组方向相同，另一组方向相反，那么这两个角互补．③如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且方向相反，那么这两个角相等．跟踪训练2如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是AB，BB1，BC的中点．求证：△EFG∽△C1DA1.证明如图，连接B1C.因为G，F分别为BC，BB1的中点，所以GF綊12B1C.又ABCD—A1B1C1D1为正方体，所以CD綊AB，A1B1綊AB，由公理4知CD綊A1B1，所以四边形A1B1CD为平行四边形，所以A1D綊B1C.又B1C∥FG，由公理4知A1D∥FG.同理可证：A1C1∥EG，DC1∥EF.又∠DA 1C 1与∠EGF ，∠A 1DC 1与∠EFG ，∠DC 1A 1与∠GEF 的两边分别对应平行且均为锐角，所以∠DA 1C 1＝∠EGF ，∠A 1DC 1＝∠EFG ，∠DC 1A 1＝∠GEF . 所以△EFG ∽△C 1DA 1. 类型三求异面直线所成的角例3 空间四边形ABCD 中，AB ＝CD ，且AB 与CD 所成锐角为30°，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，求EF 与AB 所成角的大小．解如图所示，取AC 的中点G ，连接EG ，FG ，则EG 綊12AB ，GF 綊12CD ，由AB ＝CD 知EG ＝FG ，从而可知∠GEF 为EF 与AB 所成角，∠EGF 或其补角为AB 与CD 所成角． ∵AB 与CD 所成角为30°， ∴∠EGF ＝30°或150°，由EG ＝FG 知△EFG 为等腰三角形，当∠EGF ＝30°时，∠GEF ＝75°，当∠EGF ＝150°时，∠GEF ＝15°，故EF 与AB 所成角的大小为15°或75°.反思与感悟求两条异面直线所成的角的一般步骤(1)构造角：根据异面直线的定义，通过作平行线或平移平行线，作出异面直线夹角的相关角． (2)计算角：求角度，常利用三角形．(3)确定角：若求出的角是锐角或是直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角．跟踪训练3 在空间四边形ABCD 中，两条对边AB ＝CD ＝3，E ，F 分别是另外两条对边AD ，BC 上的点，且AE ED ＝BF FC ＝12，EF ＝5，求AB 和CD 所成角的大小．解如图，连接BD ，过点E 作AB 的平行线交BD 于O ，连接OF .因为EO ∥AB ，所以BO OD ＝AE ED ＝12，EO AB ＝DE DA ＝23. 又因为AB ＝3，所以EO ＝2. 又BF FC ＝12，所以BO OD ＝BF FC，所以OF ∥DC ，所以OE 与OF 所成的角即为AB 和CD 的成的角，OF DC ＝BF BC ＝13.因为DC ＝3，所以OF ＝1.在△OEF 中，OE 2＋OF 2＝5，EF 2＝(5)2＝5，所以OE 2＋OF 2＝EF 2，∠EOF ＝90°，所以AB 和CD 所成的角为90°.1．空间两条互相平行的直线指的是( ) A ．在空间没有公共点的两条直线 B ．分别在两个平面内的两条直线C ．在两个不同的平面内且没有公共点的两条直线D ．在同一平面内且没有公共点的两条直线答案 D解析由平行直线的定义可得．2．若OA ∥O ′A ′，OB ∥O ′B ′，且∠AOB ＝130°，则∠A ′O ′B ′为( ) A ．130° B ．50° C ．130°或50° D ．不能确定答案 C解析根据定理，∠A′O′B′与∠AOB相等或互补，即∠A′O′B′＝130°或∠A′O′B′＝50°.3．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是()A．一定平行B．一定相交C．一定异面D．相交或异面答案 D解析画出图形，得到结论．如图(1)，分别与异面直线a，b平行的两条直线c和d是相交关系．如图(2)，分别与异面直线a，b平行的两条直线c和d是异面关系．综上可知，应选D.4．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________；(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________；(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________；(4)直线AB与直线B1C的位置关系是________．答案(1)平行(2)异面(3)相交(4)异面解析(1)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1D1綊BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，所以A1B∥D1C.(2)直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内．(3)直线D1D与直线D1C相交于点D1.(4)直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内．5．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中．(1)求A1C1与B1C所成角的大小；(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．解(1)如图所示，连接AC，AB1.由六面体ABCD－A1B1C1D1是正方体知，四边形AA1C1C为平行四边形，∴AC∥A1C1，从而B1C与AC所成的角就是A1C1与B1C所成的角．在△AB1C中，由AB1＝AC＝B1C，可知∠B1CA＝60°，即A1C1与B1C所成的角为60°.(2)如图所示，连接BD.由(1)知AC∥A1C1，∴AC与EF所成的角就是A1C1与EF所成的角．∵EF是△ABD的中位线，∴EF∥BD.又∵AC⊥BD，∴AC⊥EF，∴EF⊥A1C1，即A1C1与EF所成的角为90°.1．判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义．很多情况下，定义就是一种常用的判定方法．2．在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角．将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径．需要强调的是，两条异面直线所成角的范围为(0°，90°]，解题时经常结合这一点去求异面直线所成角的大小．作异面直线所成的角．可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：①直接平移法(可利用图中已有的平行线)；②中位线平移法；③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)．课时作业一、选择题1．若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是()A．异面或平行B．异面或相交C．异面D．相交、平行或异面答案 D解析异面直线不具有传递性，可以以长方体为载体加以说明，a、b异面，直线c的位置可如图所示．2．两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形()A．全等B．不相似C．仅有一个角相等D．相似答案 D解析由等角定理知，这两个三角形的三个角分别对应相等，故选D.3．已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定()A．与a，b都相交B．只能与a，b中的一条相交C．至少与a，b中的一条相交D．与a，b都平行答案 C解析若c与a，b都不相交，则c与a，b都平行，根据公理4，知a∥b，与a，b异面矛盾，故选C.4．空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是()A．空间四边形B．矩形C．菱形D．正方形答案 B解析如图，易证四边形EFGH为平行四边形．又∵E，F分别为AB，BC的中点，∴EF∥AC.又FG∥BD，∴∠EFG或其补角为AC与BD所成的角．而AC与BD所成的角为90°，∴∠EFG＝90°，故四边形EFGH为矩形．5．如图是无盖正方体纸盒的平面展开图，则直线AB，CD在原正方体中的位置关系是()A．平行B．相交且垂直C．异面D．相交成60°角答案 D解析如图，连接AC，得正三角形ABC，∴AB，CD在原正方体中相交成60°角．6.如图所示，已知在正方体ABCD—A1B1C1D1中，l⊂平面A1B1C1D1，且l与B1C1不平行，则下列一定正确的是()A．l与AD平行B．l与AB异面C．l与CD所成角为30°D．l与BD垂直答案 B解析由l与AB既不平行也不相交，故l与AB一定互为异面直线．7．下列四个结论中假命题的个数是()①垂直于同一直线的两条直线互相平行；②平行于同一直线的两直线平行；③若直线a，b，c满足a∥b，b⊥c，则a⊥c；④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线．A．1 B．2 C．3 D．4答案 B解析①④均为假命题．①可举反例，如a、b、c三线两两垂直．④如图甲，c、d与异面直线l1、l2交于四个点，此时c、d异面；当点A在直线l1上运动(其余三点不动)时，会出现点A与B重合的情形，如图乙所示，此时c、d共面相交．8．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，异面直线A1B与AD1所成的角为()A．30°B．45°C．60°D．90°答案 C解析如图，连接BC 1，A 1C 1.∵BC 1∥AD 1，∴异面直线A 1B 与AD 1所成的角即为直线A 1B 与BC 1所成的角．在△A 1BC 1中，A 1B ＝BC 1＝A 1C 1， ∴∠A 1BC 1＝60°.故异面直线A 1B 与AD 1所成的角为60°.9.如图，在三棱锥D —ABC 中，AC ＝BD ，且AC ⊥BD ，E ，F 分别是棱DC ，AB 的中点，则EF 和AC 所成的角等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°答案 B解析如图所示，取BC 的中点G ，连接FG ，EG .∵E ，F 分别是为CD ，AB 的中点， ∴FG ∥AC ，EG ∥BD ，且FG ＝12AC ，EG ＝12BD .又∵AC ＝BD ，∴FG ＝EG ，∴∠EFG 为EF 与AC 所成的角或其补角． ∵AC ⊥BD ，∴FG ⊥EG ，∴∠FGE ＝90°，∴△EFG为等腰直角三角形，∴∠EFG＝45°，即EF与AC所成的角为45°.二、填空题10．如图所示，在三棱锥P－ABC的六条棱所在的直线中，异面直线共有______对．答案 3解析P A与BC，PB与AC，PC与AB互为异面直线．∴共3对．11．如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________．答案②④解析(1)中HG∥MN，(3)中GM∥HN且GM≠HN，所以直线HG与MN必相交．12．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)AC与DD1所成的角为________；(2)AC与D1C1所成的角为________．答案(1)90°(2)45°解析(1)DD1和AC是异面直线，因为AA1∥DD1，所以∠A1AC为DD1和AC所成的角．因为AA1⊥AC，所以∠A1AC＝90°，所以DD1和AC所成的角是90°.(2)因为DC∥D1C1，所以∠ACD是AC和D1C1所成的角．又∠ACD＝45°，所以AC和D1C1所成的角是45°.三、解答题13．如图，在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，EF ＝3，求AD 与BC 所成角的大小．解如图，取BD 的中点G ，连接GE ，GF .因为BE ＝EA ，BG ＝GD ，所以GE ∥AD ，GE ＝12AD ＝1.因为DF ＝FC ，DG ＝GB ，所以GF ∥BC ，GF ＝12BC ＝1.所以∠EGF (或其补角)是异面直线AD 与BC 所成的角．在△GEF 中，GE ＝1，GF ＝1，EF ＝3(如图)，取EF 的中点O ，连接GO ，则GO ⊥EF ，EO ＝12EF ＝32.所以sin ∠EGO ＝EO EG ＝32，所以∠EGO ＝60°，所以∠EGF ＝2∠EGO ＝120°，所以异面直线AD 与BC 所成的角是180°－120°＝60°. 四、探究与拓展14．在如图所示的正方体中，M ，N 分别为棱BC 和CC 1的中点，则异面直线AC 和MN 所成的角为( )A ．30°B ．45°C ．90°D ．60° 答案 D解析连接AD 1，D 1C ，BC 1.因为M ，N 分别为BC 和CC 1的中点，所以C 1B ∥MN ，又C 1B ∥AD 1，所以AD 1∥MN ，所以∠D 1AC 即为异面直线AC 和MN 所成的角．又△D 1AC 是等边三角形，所以∠D 1AC ＝60°，即异面直线AC 和MN 所成的角为60°.15.如图所示，四边形ABEF 和ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠F AB ＝90°，BC 綊12AD ，BE綊12F A ，G 、H 分别为F A 、FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形； (2)判断C 、D 、F 、E 四点是否共面？为什么？ (1)证明由已知FG ＝GA ，FH ＝HD ，可得GH 綊12AD .又BC 綊12AD ，∴GH 綊BC ，∴四边形BCHG 为平行四边形．(2)解由BE 綊12AF ，G 为F A 的中点知，BE 綊FG ，∴四边形BEFG 为平行四边形，∴EF ∥BG . 由(1)知BG 綊CH ，∴EF ∥CH ，∴EF 与CH 共面．又D ∈FH ，∴C 、D 、F 、E 四点共面．。

【配套K12】2018-2019学年人教A版高中数学必修二同步学习讲义：第二章点、直线、平面之间的

2.2.3直线与平面平行的性质学习目标 1.掌握直线与平面平行的性质定理，明确由线面平行可推出线线平行.2.结合具体问题体会化归与转化的数学思想．知识点直线与平面平行的性质思考1如图，直线l∥平面α，直线a⊂平面α，直线l与直线a一定平行吗？为什么？答案不一定，因为还可能是异面直线．思考2如图，直线a∥平面α，直线a⊂平面β，平面α∩平面β＝直线b，满足以上条件的平面β有多少个？直线a，b有什么位置关系？答案无数个．a∥b.梳理线面平行的性质类型一线面平行的性质定理的应用例1如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD的平面截此四面体，求证：截面MNPQ是平行四边形．证明因为AB ∥平面MNPQ ，平面ABC ∩平面MNPQ ＝MN ，且AB ⊂平面ABC ，所以由线面平行的性质定理，知AB ∥MN . 同理AB ∥PQ ，所以MN ∥PQ .同理可得MQ ∥NP . 所以截面MNPQ 是平行四边形．引申探究1．若本例条件不变，求证：BP PD ＝AM MC. 证明由例1知：PQ ∥AB ，∴BP PD ＝AQQD .又QM ∥DC ，∴AQ QD ＝AM MC ，∴BP PD ＝AMMC.2．若本例中添加条件：AB ⊥CD ，AB ＝10，CD ＝8，且BP ∶PD ＝1∶1，求四边形MNPQ 的面积．解由例1知，四边形MNPQ 是平行四边形， ∵AB ⊥CD ，∴PQ ⊥QM ，∴四边形MNPQ 是矩形．又BP ∶PD ＝1∶1，∴PQ ＝5，QM ＝4， ∴四边形MNPQ 的面积为5×4＝20.反思与感悟 (1)利用线面平行的性质定理解题的步骤(2)运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与这个平面相交的交线，然后确定线线平行．跟踪训练1 如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上，若EF ∥平面AB 1C ，则线段FE 的长度等于________．答案2解析 ∵EF ∥平面AB 1C ，又平面ADC ∩平面AB 1C ＝AC ，EF ⊂平面ADC ，∴EF ∥AC ，∵E 是AD 的中点，∴EF ＝12AC ＝12×22＝ 2.类型二线面平行性质定理与判定定理的综合应用例2 如图所示，已知P 是▱ABCD 所在平面外一点，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，平面PBC ∩平面P AD ＝l .(1)求证：l ∥BC ；(2)MN 与平面P AD 是否平行？试证明你的结论．证明 (1)因为BC ∥AD ，BC ⊄平面P AD ，AD ⊂平面P AD ，所以BC ∥平面P AD . 又因为平面PBC ∩平面P AD ＝l ，所以BC ∥l . 解 (2)平行．证明如下：如图，取PD 的中点E ，连接AE ，NE ，可以证得NE ∥AM 且NE ＝AM ，所以四边形MNEA 是平行四边形，所以MN ∥AE . 又AE ⊂平面P AD ，MN ⊄平面P AD ，所以MN ∥平面P AD .反思与感悟判定定理与性质定理常常交替使用，即先通过线线平行推出线面平行，再通过线面平行推出线线平行，复杂的题目还可以继续推下去，我们可称它为平行链，如下：线线平行―――――→在平面内作或找一直线线面平行―――――――→经过直线作或找平面与平面的交线线线平行．跟踪训练2 如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH . 求证：GH ∥平面P AD .证明如图所示，连接AC 交BD 于点O ，连接MO .∵四边形ABCD 是平行四边形，∴O 是AC 的中点，又M 是PC 的中点，∴P A ∥MO ，而AP ⊄平面BDM ，OM ⊂平面BDM ， ∴P A ∥平面BMD ，又∵P A ⊂平面P AHG ，平面P AHG ∩平面BMD ＝GH ，∴P A ∥GH . 又P A ⊂平面P AD ，GH ⊄平面P AD ， ∴GH ∥平面P AD .1．梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊂平面α，CD ⊄平面α，则直线CD 与平面α内的直线的位置关系只能是( ) A ．平行 B ．平行或异面 C ．平行或相交 D ．异面或相交答案 B解析 ∵⎭⎬⎫AB ∥CDAB ⊂平面αCD ⊄平面α⇒CD ∥α， ∴直线CD 与平面α内的直线的位置关系是平行或异面．2．直线a ∥平面α，α内有n 条直线交于一点，则这n 条直线中与直线a 平行的直线有( ) A ．0条 B ．1条 C ．0条或1条 D ．无数条答案 C解析过直线a 与交点作平面β，设平面β与α交于直线b ，则a ∥b ，若所给n 条直线中有1条是与b 重合的，则此直线与直线a 平行，若没有与b 重合的，则与直线a 平行的直线有0条．3．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱AA 1和BB 1的中点，过EF 的平面EFGH 分别交BC 和AD 于G ，H ，则GH 与AB 的位置关系是()A ．平行B ．相交C ．异面D ．平行或异面答案 A解析由长方体性质知：EF ∥平面ABCD ，∵EF ⊂平面EFGH ，平面EFGH ∩平面ABCD ＝GH ，∴EF ∥GH . 又∵EF ∥AB ，∴GH ∥AB .4.如图所示，直线a ∥平面α，A ∉α，并且a 和A 位于平面α两侧，点B ，C ∈a ，AB ，AC 分别交平面α于点E ，F ，若BC ＝4，CF ＝5，AF ＝3，则EF ＝______.答案 32解析由于点A 不在直线a 上，则直线a 和点A 确定一个平面β，所以α∩β＝EF .因为a ∥平面α，a ⊂平面β，所以EF ∥a . 所以EF BC ＝AF AC.所以EF ＝AF ×BC AC ＝3×45＋3＝32.5.如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，P 为平面ABC 外一点，E ，F 分别是P A ，PC 的中点．记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，试判断直线l 与平面P AC 的位置关系，并加以证明．解直线l ∥平面P AC . 证明如下：因为E ，F 分别是P A ，PC 的中点，所以EF ∥AC .又EF ⊄平面ABC ，且AC ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC .而EF ⊂平面BEF ，且平面BEF ∩平面ABC ＝l ，所以EF ∥l .因为l ⊄平面P AC ，EF ⊂平面P AC ，所以l ∥平面P AC .1．在遇到线面平行时，常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质．2．要灵活应用线线平行、线面平行的相互联系、相互转化．在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化．转化思想是解决这类问题的最有效的方法．课时作业一、选择题1．如图，已知S为四边形ABCD外一点，G，H分别为SB，BD上的点，若GH∥平面SCD，则()A．GH∥SAB．GH∥SDC．GH∥SCD．以上均有可能答案 B解析因为GH∥平面SCD，GH⊂平面SBD，平面SBD∩平面SCD＝SD，所以GH∥SD，显然GH与SA，SC均不平行，故选B.2．直线a∥平面α，P∈α，过点P平行于a的直线()A．只有一条，不在平面α内B．有无数条，不一定在α内C．只有一条，且在平面α内D．有无数条，一定在α内答案 C解析由线面平行性质定理知过点P平行于a的直线只有一条，且在平面α内，故选C. 3．过平面α外的直线l作一组平面与α相交，如果所得的交线为a，b，c，…，则这些交线的位置关系为()A．都平行B．都相交但不一定交于同一点C．都相交且一定交于同一点D．都平行或都交于同一点答案 D解析分l∥α和l与α相交两种情况作答，对应的结果是都平行或都交于同一点．4．如图，四棱锥P－ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面P AD，则()A ．MN ∥PDB ．MN ∥P AC ．MN ∥AD D ．以上均有可能答案 B5．已知正方体AC 1的棱长为1，点P 是面AA 1D 1D 的中心，点Q 是面A 1B 1C 1D 1的对角线B 1D 1上一点，且PQ ∥平面AA 1B 1B ，则线段PQ 的长为( )A ．1 B. 2 C.22 D.32答案 C解析如图，连接AD 1，AB 1，∵PQ ∥平面AA 1B 1B ，平面AB 1D 1∩平面AA 1B 1B ＝AB 1， PQ ⊂平面AB 1D 1，∴PQ ∥AB 1， ∴PQ ＝12AB 1＝1212＋12＝22.6．在空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 上的点，当BD ∥平面EFGH 时，下面结论正确的是( ) A ．E ，F ，G ，H 一定是各边的中点 B ．G ，H 一定是CD ，DA 的中点C ．BE ∶EA ＝BF ∶FC ，且DH ∶HA ＝DG ∶GCD ．AE ∶EB ＝AH ∶HD ，且BF ∶FC ＝DG ∶GC 答案 D解析由于BD ∥平面EFGH ，所以有BD ∥EH ，BD ∥FG ，则AE ∶EB ＝AH ∶HD ，且BF ∶FC ＝DG ∶GC .7.如图，四棱锥S －ABCD 的所有的棱长都等于2，E 是SA 的中点，过C ，D ，E 三点的平面与SB 交于点F ，则四边形DEFC 的周长为( )A ．2＋ 3B ．3＋ 3C ．3＋2 3D ．2＋2 3答案 C解析 ∵CD ∥AB ，CD ⊄平面SAB ， ∴CD ∥平面SAB .又平面CDEF ∩平面SAB ＝EF ，∴CD ∥EF ，又CD ∥AB ，∴AB ∥EF .∵SE ＝EA ，∴EF 为△ABS 的中位线， ∴EF ＝12AB ＝1，又DE ＝CF ＝3，∴四边形DEFC 的周长为3＋2 3. 二、填空题8.如图所示，ABCD —A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M 、N 分别是下底面的棱A 1B 1、B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝a3，过P ，M ，N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ ＝________.答案223a 解析 ∵MN ∥平面AC ，平面PMN ∩平面AC ＝PQ ，∴MN ∥PQ ，易知DP ＝DQ ＝2a3，故PQ ＝PD 2＋DQ 2＝2DP ＝22a3.9.如图所示，在空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是四边上的点，它们共面，并且AC ∥平面EFGH ，BD ∥平面EFGH ，AC ＝m ，BD ＝n ，当四边形EFGH 是菱形时，AE ∶EB ＝______.答案 m ∶n解析 ∵AC ∥平面EFGH ， ∴EF ∥AC ，GH ∥AC ， ∴EF ＝HG ＝m ·BE BA ，同理EH ＝FG ＝n ·AEAB .∵四边形EFGH 是菱形， ∴m ·BE BA ＝n ·AE AB ，∴AE ∶EB ＝m ∶n .10.如图，已知A ，B ，C ，D 四点不共面，且AB ∥α，CD ∥α，AC ∩α＝E ，AD ∩α＝F ，BD ∩α＝H ，BC ∩α＝G ，则四边形EFHG 的形状是______．答案平行四边形解析 ∵AB ∥α，平面ABC ∩α＝EG ，∴EG ∥AB .同理FH ∥AB ，∴EG ∥FH .又CD ∥α，平面BCD ∩α＝GH ，∴GH ∥CD .同理EF ∥CD ，∴GH ∥EF ，∴四边形EFHG 是平行四边形． 11．如图所示的正方体的棱长为4，E ，F 分别为A 1D 1，AA 1的中点，过C 1，E ，F 的截面的周长为________．答案 45＋6 2解析由EF ∥平面BCC 1B 1可知平面BCC 1B 1与平面EFC 1的交线为BC 1，平面EFC 1与平面ABB 1A 1的交线为BF ，所以截面周长为EF ＋FB ＋BC 1＋C 1E ＝45＋6 2.三、解答题12.如图，已知E ，F 分别是菱形ABCD 中边BC ，CD 的中点，EF 与AC 交于点O ，点P 在平面ABCD 之外，M 是线段P A 上一动点，若PC ∥平面MEF ，试求PM ∶MA 的值．解如图，连接BD 交AC 于点O 1，连接OM .因为PC ∥平面MEF ，平面P AC ∩平面MEF ＝OM ，所以PC ∥OM ，所以PM P A ＝OC AC. 在菱形ABCD 中，因为E ，F 分别是边BC ，CD 的中点，所以OC O 1C ＝12. 又AO 1＝CO 1，所以PM P A ＝OC AC ＝14，故PM ∶MA ＝1∶3.13．如图所示，已知正三棱柱ABC －A ′B ′C ′中，D 是AA ′上的点，E 是B ′C ′的中点，且A ′E ∥平面DBC ′.试判断D 点在AA ′上的位置，并给出证明．解点D 为AA ′的中点．证明如下：取BC 的中点F ，连接AF ，EF ，如图．设EF 与BC ′交于点O ，易证A ′E ∥AF ，A ′E ＝AF ，易知A ′，E ，F ，A 共面于平面A ′EF A . 因为A ′E ∥平面DBC ′，A ′E ⊂平面A ′EF A ，且平面DBC ′∩平面A ′EF A ＝DO ，所以A ′E ∥DO .在平行四边形A ′EF A 中，因为O 是EF 的中点(因为EC ′∥BF ，且EC ′＝BF )，所以点D 为AA ′的中点．四、探究与拓展14.如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，在下列命题中，错误的为( )A ．AC ⊥BDB ．AC ∥截面PQMNC ．AC ＝BDD ．异面直线PM 与BD 所成的角为45°答案 C解析由题意知PQ ∥AC ，QM ∥BD ，PQ ⊥QM ，则AC ⊥BD ，故A 正确；由PQ ∥AC 可得AC ∥截面PQMN ，故B 正确；异面直线PM 与BD 所成的角等于PM 与PN 所成的角，故D 正确；C 是错误的，故选C.15．如图①所示，在直角梯形ABCP 中，AP ∥BC ，AP ⊥AB ，AB ＝BC ＝12AP ，D 为AP 的中点，E ，F ，G 分别为PC ，PD ，CB 的中点，将△PCD 沿CD 折起，得到四棱锥P －ABCD ，如图②所示．求证：在四棱锥P －ABCD 中，AP ∥平面EFG .证明在四棱锥P－ABCD中，E，F分别为PC，PD的中点，∴EF∥CD. ∵AB∥CD，∴EF∥AB.∵EF⊄平面P AB，AB⊂平面P AB，∴EF∥平面P AB.同理EG∥平面P AB.又EF∩EG＝E，∴平面EFG∥平面P AB.∵AP⊂平面P AB，∴AP∥平面EFG.。

【小初高学习】2018-2019学年人教A版高中数学必修二同步学习讲义：第二章点、直线、平面之间的

2.2.1直线与平面平行的判定学习目标 1.通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面平行的判定定理.2.掌握直线与平面平行的判定定理，并能初步利用定理解决问题．知识点直线与平面平行的判定定理思考1如图，一块矩形木板ABCD的一边AB在平面α内，把这块木板绕AB转动，在转动过程中，AB的对边CD(不落在α内)和平面α有何位置关系？答案平行．思考2如图，平面α外的直线a平行于平面α内的直线b.这两条直线共面吗？直线a与平面α相交吗？答案由于直线a∥b，所以两条直线共面．直线a与平面α不相交．梳理线面平行的判定定理类型一直线与平面位置关系的判定例1如果两直线a∥b，且a∥α，则b与α的位置关系是()A．相交B．b∥αC．b⊂αD．b∥α或b⊂α答案 D解析由a∥b，且a∥α，知b与α平行或b⊂α.反思与感悟用判定定理判定直线a和平面α平行时，必须具备三个条件：(1)直线a在平面α外，即a⊄α；(2)直线b在平面α内，即b⊂α；(3)两直线a、b平行，即a∥b，这三个条件缺一不可．跟踪训练1下列说法正确的是()A．若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥αB．若直线a在平面α外，则a∥αC．若直线a∩b＝∅，直线b⊂α，则a∥αD．若直线a∥b，b⊂α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线答案 D解析A错误，直线l还可以在平面α内；B错误，直线a在平面α外，包括平行和相交；C错误，a还可以与平面α相交或在平面α内．故选D.类型二直线与平面平行的证明命题角度1以锥体为背景证明线面平行例2如图，S是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，且AM SM＝DN NB.求证：MN∥平面SBC.证明连接AN 并延长交BC 于P ，连接SP .因为AD ∥BC ，所以DN NB ＝ANNP ，又因为AM SM ＝DN NB ，所以AM SM ＝ANNP ，所以MN ∥SP ，又MN ⊄平面SBC ，SP ⊂平面SBC ，所以MN ∥平面SBC . 引申探究本例中若M ，N 分别是SA ，BD 的中点，试证明，MN ∥平面SBC .证明连接AC ，由平行四边形的性质可知AC 必过BD 的中点N ，在△SAC 中，M ，N 分别为SA ，AC 的中点，所以MN ∥SC ，又因为SC ⊂平面SBC ，MN ⊄平面SBC ，所以MN ∥平面SBC .反思与感悟利用直线与平面平行的判定定理证线面平行的步骤上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：利用三角形、梯形中位线的性质；利用平行四边形的性质；利用平行线分线段成比例定理．跟踪训练2 如图，四边形ABCD 是平行四边形，P 是平面ABCD 外一点，M ，N 分别是AB ，PC 的中点．求证：MN ∥平面PAD .证明如图，取PD 的中点G ，连接GA ，GN .∵G ，N 分别是△PDC 的边PD ，PC 的中点， ∴GN ∥DC ，GN ＝12DC .∵M 为平行四边形ABCD 的边AB 的中点， ∴AM ＝12DC ，AM ∥DC ，∴AM 綊GN ，∴四边形AMNG 为平行四边形，∴MN ∥AG . 又∵MN ⊄平面PAD ，AG ⊂平面PAD ， ∴MN ∥平面PAD .命题角度2 以柱体为背景证明线面平行例3 如图所示，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 是AB 的中点，证明：BC 1∥平面A 1CD .证明如图，连接AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1的中点．又∵D 是AB 的中点，连接DF ，则BC 1∥DF .∵DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ， ∴BC 1∥平面A 1CD .反思与感悟证明以柱体为背景包装的线面平行证明题，常用线面平行的判定定理，遇到题目中含有线段中点，常利用取中点去寻找平行线．跟踪训练3 如图所示，已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1. (1)求证：BC 1∥平面AB 1D 1；(2)若E，F分别是D1C，BD的中点，求证：EF∥平面ADD1A1.证明(1)∵BC1⊄平面AB1D1，AD1⊂平面AB1D1，BC1∥AD1，∴BC1∥平面AB1D1.(2)∵点F为BD的中点，∴F为AC的中点，又∵点E为D1C的中点，∴EF∥AD1，∵EF⊄平面ADD1A1，AD1⊂平面ADD1A1，∴EF∥平面ADD1A1.1．如果直线a平行于平面α，则()A．平面α内有且只有一直线与a平行B．平面α内无数条直线与a平行C．平面α内不存在与a平行的直线D．平面α内的任意直线与直线a都平行答案 B2．如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F分别为平面ABCD和平面A′B′C′D′的中心，则正方体的六个面中与EF平行的平面有()A．1个B．2个C．3个D．4个答案 D解析由直线与平面平行的判定定理知．EF与平面AB′，平面BC′，平面CD′，平面AD′均平行．故与EF平行的平面有4个．3．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是DD1的中点，则A1C1与平面ACE的位置关系为________．答案平行解析∵A1C1∥AC，A1C1⊄平面ACE，AC⊂平面ACE，∴A1C1∥平面ACE.4．如图，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E、F分别是AB、PD的中点．求证：AF∥平面PCE.证明如图，取PC的中点M，连接ME、MF，则FM∥CD且FM＝12CD.又∵AE∥CD且AE＝12CD，∴FM綊AE，即四边形AFME是平行四边形，∴AF∥ME.又∵AF⊄平面PCE，EM⊂平面PCE，∴AF∥平面PCE.1．判断或证明线面平行的常用方法(1)定义法：证明直线与平面无公共点(不易操作)．(2)判定定理法：(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)．(3)排除法：证明直线与平面不相交，直线也不在平面内．2．证明线线平行的常用方法(1)利用三角形、梯形中位线的性质．(2)利用平行四边形的性质．(3)利用平行线分线段成比例定理．课时作业一、选择题1．已知a，b是两条相交直线，a∥α，则b与α的位置关系是()A．b∥αB．b与α相交C．b⊂αD．b∥α或b与α相交答案 D解析由题意画出图形，当a，b所在平面与平面α平行时，b与平面α平行，当a，b所在平面与平面α相交时，b与平面α相交．2．若l是平面α外的一条直线，则下列条件中可推出l∥α的是()A．l与α内的一条直线不相交B．l与α内的两条直线不相交C．l与α内的无数条直线不相交D．l与α内的任意一条直线不相交答案 D解析根据直线与平面的位置关系易判断选项D正确．3．一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是()A．l∥αB．l⊥αC．l与α相交但不垂直D．l∥α或l⊂α答案 D解析l∥α时，直线l上任意点到α的距离都相等．l⊂α时，直线l上所有的点到α的距离都是0；l⊥α时，直线l上有两个点到α的距离相等；l与α斜交时，也只能有两点到α的距离相等．4．点E，F，G，H分别是空间四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA的中点，则空间四面体的六条棱中与平面EFGH平行的条数是()A．0 B．1 C．2 D．3答案 C解析如图，由线面平行的判定定理可知BD∥平面EFGH，AC∥平面EFGH.5．已知直线a∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于直线a的直线()A．只有一条，不在平面α内B．有无数条，不一定在平面α内C．只有一条，且在平面α内D．有无数条，一定在平面α内答案 C解析由平行公理知过点P作与直线a平行的直线有且只有一条，又由线面平行的判定定理得，该直线一定在平面内．6．直线a，b为异面直线，过直线a与直线b平行的平面()A．有且只有一个B．有无数多个C．有且只有一个或不存在D．不存在答案 A解析在a上任取一点A，则过A与b平行的直线有且只有一条，设为b′，又∵a∩b′＝A，∴a与b′确定一个平面α，即为过a与b平行的平面，可知它是唯一的．7．如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，给出五个结论：①OM∥PD；②OM∥平面PCD；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA；⑤OM∥平面PBC. 其中正确的个数有()A．1 B．2 C．3 D．4答案 C解析由题意知，OM 是△BPD 的中位线，∴OM ∥PD ，故①正确；PD ⊂平面PCD ，OM ⊄平面PDC ，∴OM ∥平面PCD ，故②正确；同理可得：OM ∥平面PDA ，故③正确；OM 与平面PBA 和平面PBC 都相交，故④，⑤不正确．故共有3个结论正确． 8．如图，已知三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，E 是BC 的中点，D 是AA 1上的动点，且ADDA 1＝m ，若AE ∥平面DB 1C ，则m 的值为()A.12 B ．1 C.32 D ．2 答案 B解析如图，取CB 1的中点G ，连接GE ，DG ，当m ＝1时，AD ＝GE ＝12BB 1且AD ∥GE ，∴四边形ADGE 为平行四边形，则AE ∥DG ，可得AE ∥平面DB 1C.二、填空题9．过平面外一点，与该平面平行的直线有________条，如果直线m 平行于平面，那么在平面内有________条直线与直线m 平行．答案无数无数10．考查下列两个命题，在“________”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题(其中a 、b 为不同的直线，α、β为不重合的平面)，则此条件为________．⎭⎪⎬⎪⎫ b ⊂α① a ∥b ⇒a ∥α；⎭⎪⎬⎪⎫ a ∥b② b ∥α ⇒a ∥α. 答案 a ⊄α a ⊄α解析根据线面平行的判定定理知，①处横线上应填a ⊄α；②处横线上应填a ⊄α.11．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为DD 1的中点，则BD 1与过点A ，E ，C的平面的位置关系是________．答案平行解析如图，连接BD，与AC交于点O，连接OE.∵OE为△BDD1的中位线，∴BD1∥OE.又BD1⊄平面AEC，OE⊂平面AEC，∴BD1∥平面AEC.三、解答题12．如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M为PB的中点．求证：PD∥平面MAC.证明如图所示，连接BD交AC于点O，连接MO，则MO为△BDP的中位线，∴PD∥MO.∵PD⊄平面MAC，MO⊂平面MAC，∴PD∥平面MAC.13．如图，在三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．求证：BD∥平面FGH.证明如图，连接DG，CD，设CD∩GF＝O，连接OH.在三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE，G为AC的中点，可得DF綊GC，所以四边形DFCG为平行四边形，则O为CD的中点，又H为BC的中点，所以OH∥BD.又OH⊂平面FGH，BD⊄平面FGH，所以BD∥平面FGH.四、探究与拓展14．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的是()A．①③B．①④C．②③D．②④答案 B解析①如图(ⅰ)，连接BC，则平面ABC∥平面MNP，所以AB∥平面MNP，所以①正确．②如图(ⅱ)，连接底面正方形对角线，并取其中点O，连接ON，则ON∥AB，所以AB与平面PMN相交，不平行，所以②不满足题意．③AB与平面PMN相交，不平行，所以③不满足题意．④因为AB∥NP，所以AB∥平面MNP.所以④正确．故答案为①④.15．如图，四边形ABCD为正方形，△ABE为等腰直角三角形，AB＝AE，P是线段CD的中点，在直线AE上是否存在一点M，使得PM∥平面BCE.若存在，指出点M的位置，并证明你的结论．解如图，存在点M，当点M是线段AE的中点时，PM∥平面BCE.取BE的中点N，连接CN，MN，则MN綊12AB綊PC，所以四边形MNCP为平行四边形，所以PM∥CN.因为PM⊄平面BCE，CN⊂平面BCE，所以PM∥平面BCE.。

2018-2019学年最新人教A版高中数学必修二同步学习讲义：第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1.1

2.1.1平面
学习目标 1.掌握平面的表示法，点、直线与平面的位置关系.2.掌握有关平面的三个公理.3.会用符号表示图形中点、直线、平面之间的位置关系．
知识点一平面
思考几何里的“平面”有边界吗？用什么图形表示平面？
答案没有．平行四边形．
梳理(1)平面的概念
①平面是一个不加定义，只需理解的原始概念．
②立体几何里的平面是从呈平面形的物体中抽象出来的．如课桌面、黑板面、平静的水面等
都给我们平面的局部形象．
(2)平面的画法
常常把水平的平面画成一个平行四边形，并且其锐角画成45°，且横
边长等于邻边长的2倍.
一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感，被遮挡部分用虚线
画出来.
(3)平面的表示方法
①用希腊字母表示，如平面α，平面β，平面γ.
②用表示平面的平行四边形的四个顶点的大写字母表示，如平面ABCD.
③用表示平面的平行四边形的相对的两个顶点表示，如平面AC，平面BD.
知识点二点、直线、平面之间的关系
思考直线和平面都是由点组成的，联系集合的观点，点和直线、平面的位置关系，如何用
符号来表示？直线和平面呢？。

2018-2019学年人教A版高中数学必修二同步学习讲义：第二章点、直线、平面之间的位置关系章末复习课

学习目标 1.整合知识结构，梳理各知识网络，进一步巩固、深化所学知识.2.提高综合运用知识的能力和空间想象能力，在空间实现平行关系、垂直关系、垂直与平行关系之间的转化．1.四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 2．直线与直线的位置关系⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧平行相交异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点3．平行的判定与性质(1)直线与平面平行的判定与性质(2)面面平行的判定与性质(3)空间中的平行关系的内在联系4．垂直的判定与性质(1)直线与平面垂直的判定与性质(2)平面与平面垂直的判定与性质定理(3)空间中的垂直关系的内在联系5．空间角(1)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a ，b 所成的角(或夹角)． ②范围：设两异面直线所成角为θ，则0°<θ≤90°. (2)直线和平面所成的角①平面的一条斜线与它在平面内的射影所成的锐角叫做这条直线与这个平面所成的角． ②当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时，规定直线和平面所成的角分别为90°和0°. (3)二面角的有关概念①二面角：从一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角． ②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．类型一几何中共点、共线、共面问题例1 如图所示，空间四边形ABCD 中，E ，F 分别为AB ，AD 的中点，G ，H 分别在BC ，CD 上，且BG ∶GC ＝DH ∶HC ＝1∶2.求证：(1)E 、F 、G 、H 四点共面； (2)GE 与HF 的交点在直线AC 上．证明 (1)∵BG ∶GC ＝DH ∶HC ， ∴GH ∥BD ，又EF ∥BD ，∴EF ∥GH ， ∴E 、F 、G 、H 四点共面．(2)∵G 、H 不是BC 、CD 的中点，∴EF ≠GH . 又EF ∥GH ，∴EG 与FH 不平行，则必相交，设交点为M .⎭⎪⎬⎪⎫EG ⊂面ABC HF ⊂面ACD ⇒M ∈面ABC 且M ∈面ACD⇒M 在面ABC 与面ACD 的交线上，又面ABC ∩面ACD ＝AC ⇒M ∈AC . ∴GE 与HF 的交点在直线AC 上．反思与感悟 (1)证明共面问题证明共面问题，一般有两种证法：一是由某些元素确定一个平面，再证明其余元素在这个平面内；二是分别由不同元素确定若干个平面，再证明这些平面重合． (2)证明三点共线问题证明空间三点共线问题，通常证明这些点都在两个面的交线上，即先确定出某两点在某两个平面的交线上，再证明第三个点是两个平面的公共点，当然必在两个平面的交线上． (3)证明三线共点问题证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上的问题．跟踪训练1 如图，O 是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1上底面ABCD 的中心，M 是正方体对角线AC 1和截面A 1BD 的交点．求证：O 、M 、A 1三点共线．证明 ∵O ∈AC ，AC ⊂平面ACC 1A 1， ∴O ∈平面ACC 1A 1.∵M∈AC1，AC1⊂平面ACC1A1，∴M∈平面ACC1A1.又已知A1∈平面ACC1A1，即有O、M、A1三点都在平面ACC1A1上，又O、M、A1三点都在平面A1BD上，所以O、M、A1三点都在平面ACC1A1与平面A1BD的交线上，所以O、M、A1三点共线．类型二平行、垂直关系例2如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；(2)直线A1F∥平面ADE.证明(1)因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.又AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD.又因为AD⊥DE，CC1，DE⊂平面BCC1B1，CC1∩DE＝E，所以AD⊥平面BCC1B1.又AD⊂平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1.(2)因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，所以A1F⊥B1C1.因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F⊂平面A1B1C1，。

2018版人教A版高中数学必修二同步学习讲义第二章点、直线、平面之间的位置关系2.2.2 Word版含答案

平面与平面平行的判定学习目标.通过直观感知、操作确认，归纳出平面与平面平行的判定定理.掌握平面与平面平行的判定定理，并能初步利用定理解决问题．知识点平面与平面平行的判定定理思考三角板的一条边所在平面与平面α平行，这个三角板所在平面与平面α平行吗？答案不一定．思考三角板的两条边所在直线分别与平面α平行，这个三角板所在平面与平面α平行吗？答案平行．思考如图，平面内有多少条直线与平面平行？这两个平面平行吗？答案无数条．不平行．梳理面面平行的判定定理表示定理图形文字符号平面与平面平行的判定定理一个平面内的两相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 ⇒β∥α类型一面面平行的判定定理例下列四个命题：()若平面α内的两条直线分别与平面β平行，则平面α与平面β平行；()若平面α内有无数条直线分别与平面β平行，则平面α与平面β平行；()平行于同一直线的两个平面平行；()两个平面分别经过两条平行直线，这两个平面平行．其中正确的个数是．答案反思与感悟在判定两平面是否平行时，一定要强调一个平面内的“两条相交直线”这个条件，线不在多，相交就行．跟踪训练设直线, , 平面α，β，下列条件能得出α∥β的有()①⊂α，⊂α，且∥β，∥β；②⊂α，⊂α，且∥，∥β，∥β；③∥α，∥β，且∥；④∩＝, ⊂α，⊂α，且∥β，∥β.．个．个．个．个答案解析①错误，因为, 不一定相交；②错误，一个平面内有两条平行直线平行于另一个平面，这两个平面可能相交；③错误，两个平面可能相交；④正确．类型二平面与平面平行的证明例如图所示，在正方体中，，，分别是棱，，的中点，求证：平面∥平面.。

[推荐学习]2018-2019学年人教A版高中数学必修二同步学习讲义：第二章点、直线、平面之间的位

2.2.1直线与平面平行的判定学习目标 1.通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面平行的判定定理.2.掌握直线与平面平行的判定定理，并能初步利用定理解决问题．知识点直线与平面平行的判定定理思考1如图，一块矩形木板ABCD的一边AB在平面α内，把这块木板绕AB转动，在转动过程中，AB的对边CD(不落在α内)和平面α有何位置关系？答案平行．思考2如图，平面α外的直线a平行于平面α内的直线b.这两条直线共面吗？直线a与平面α相交吗？答案由于直线a∥b，所以两条直线共面．直线a与平面α不相交．梳理线面平行的判定定理类型一直线与平面位置关系的判定例1如果两直线a∥b，且a∥α，则b与α的位置关系是()A．相交B．b∥αC．b⊂αD．b∥α或b⊂α答案 D解析由a∥b，且a∥α，知b与α平行或b⊂α.反思与感悟用判定定理判定直线a和平面α平行时，必须具备三个条件：(1)直线a在平面α外，即a⊄α；(2)直线b在平面α内，即b⊂α；(3)两直线a、b平行，即a∥b，这三个条件缺一不可．跟踪训练1下列说法正确的是()A．若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥αB．若直线a在平面α外，则a∥αC．若直线a∩b＝∅，直线b⊂α，则a∥αD．若直线a∥b，b⊂α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线答案 D解析A错误，直线l还可以在平面α内；B错误，直线a在平面α外，包括平行和相交；C错误，a还可以与平面α相交或在平面α内．故选D.类型二直线与平面平行的证明命题角度1以锥体为背景证明线面平行例2如图，S是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，且AM SM＝DN NB.求证：MN∥平面SBC.证明连接AN 并延长交BC 于P ，连接SP .因为AD ∥BC ，所以DN NB ＝ANNP ，又因为AM SM ＝DN NB ，所以AM SM ＝ANNP ，所以MN ∥SP ，又MN ⊄平面SBC ，SP ⊂平面SBC ，所以MN ∥平面SBC . 引申探究本例中若M ，N 分别是SA ，BD 的中点，试证明，MN ∥平面SBC .证明连接AC ，由平行四边形的性质可知AC 必过BD 的中点N ，在△SAC 中，M ，N 分别为SA ，AC 的中点，所以MN ∥SC ，又因为SC ⊂平面SBC ，MN ⊄平面SBC ，所以MN ∥平面SBC .反思与感悟利用直线与平面平行的判定定理证线面平行的步骤上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：利用三角形、梯形中位线的性质；利用平行四边形的性质；利用平行线分线段成比例定理．跟踪训练2 如图，四边形ABCD 是平行四边形，P 是平面ABCD 外一点，M ，N 分别是AB ，PC 的中点．求证：MN ∥平面PAD .证明如图，取PD 的中点G ，连接GA ，GN .∵G ，N 分别是△PDC 的边PD ，PC 的中点， ∴GN ∥DC ，GN ＝12DC .∵M 为平行四边形ABCD 的边AB 的中点， ∴AM ＝12DC ，AM ∥DC ，∴AM 綊GN ，∴四边形AMNG 为平行四边形，∴MN ∥AG . 又∵MN ⊄平面PAD ，AG ⊂平面PAD ， ∴MN ∥平面PAD .命题角度2 以柱体为背景证明线面平行例3 如图所示，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 是AB 的中点，证明：BC 1∥平面A 1CD .证明如图，连接AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1的中点．又∵D 是AB 的中点，连接DF ，则BC 1∥DF .∵DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ， ∴BC 1∥平面A 1CD .反思与感悟证明以柱体为背景包装的线面平行证明题，常用线面平行的判定定理，遇到题目中含有线段中点，常利用取中点去寻找平行线．跟踪训练3 如图所示，已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1. (1)求证：BC 1∥平面AB 1D 1；(2)若E，F分别是D1C，BD的中点，求证：EF∥平面ADD1A1.证明(1)∵BC1⊄平面AB1D1，AD1⊂平面AB1D1，BC1∥AD1，∴BC1∥平面AB1D1.(2)∵点F为BD的中点，∴F为AC的中点，又∵点E为D1C的中点，∴EF∥AD1，∵EF⊄平面ADD1A1，AD1⊂平面ADD1A1，∴EF∥平面ADD1A1.1．如果直线a平行于平面α，则()A．平面α内有且只有一直线与a平行B．平面α内无数条直线与a平行C．平面α内不存在与a平行的直线D．平面α内的任意直线与直线a都平行答案 B2．如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F分别为平面ABCD和平面A′B′C′D′的中心，则正方体的六个面中与EF平行的平面有()A．1个B．2个C．3个D．4个答案 D解析由直线与平面平行的判定定理知．EF与平面AB′，平面BC′，平面CD′，平面AD′均平行．故与EF平行的平面有4个．3．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是DD1的中点，则A1C1与平面ACE的位置关系为________．答案平行解析∵A1C1∥AC，A1C1⊄平面ACE，AC⊂平面ACE，∴A1C1∥平面ACE.4．如图，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E、F分别是AB、PD的中点．求证：AF∥平面PCE.证明如图，取PC的中点M，连接ME、MF，则FM∥CD且FM＝12CD.又∵AE∥CD且AE＝12CD，∴FM綊AE，即四边形AFME是平行四边形，∴AF∥ME.又∵AF⊄平面PCE，EM⊂平面PCE，∴AF∥平面PCE.1．判断或证明线面平行的常用方法(1)定义法：证明直线与平面无公共点(不易操作)．(2)判定定理法：(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)．(3)排除法：证明直线与平面不相交，直线也不在平面内．2．证明线线平行的常用方法(1)利用三角形、梯形中位线的性质．(2)利用平行四边形的性质．(3)利用平行线分线段成比例定理．课时作业一、选择题1．已知a，b是两条相交直线，a∥α，则b与α的位置关系是()A．b∥αB．b与α相交C．b⊂αD．b∥α或b与α相交答案 D解析由题意画出图形，当a，b所在平面与平面α平行时，b与平面α平行，当a，b所在平面与平面α相交时，b与平面α相交．2．若l是平面α外的一条直线，则下列条件中可推出l∥α的是()A．l与α内的一条直线不相交B．l与α内的两条直线不相交C．l与α内的无数条直线不相交D．l与α内的任意一条直线不相交答案 D解析根据直线与平面的位置关系易判断选项D正确．3．一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是()A．l∥αB．l⊥αC．l与α相交但不垂直D．l∥α或l⊂α答案 D解析l∥α时，直线l上任意点到α的距离都相等．l⊂α时，直线l上所有的点到α的距离都是0；l⊥α时，直线l上有两个点到α的距离相等；l与α斜交时，也只能有两点到α的距离相等．4．点E，F，G，H分别是空间四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA的中点，则空间四面体的六条棱中与平面EFGH平行的条数是()A．0 B．1 C．2 D．3答案 C解析如图，由线面平行的判定定理可知BD∥平面EFGH，AC∥平面EFGH.5．已知直线a∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于直线a的直线()A．只有一条，不在平面α内B．有无数条，不一定在平面α内C．只有一条，且在平面α内D．有无数条，一定在平面α内答案 C解析由平行公理知过点P作与直线a平行的直线有且只有一条，又由线面平行的判定定理得，该直线一定在平面内．6．直线a，b为异面直线，过直线a与直线b平行的平面()A．有且只有一个B．有无数多个C．有且只有一个或不存在D．不存在答案 A解析在a上任取一点A，则过A与b平行的直线有且只有一条，设为b′，又∵a∩b′＝A，∴a与b′确定一个平面α，即为过a与b平行的平面，可知它是唯一的．7．如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，给出五个结论：①OM∥PD；②OM∥平面PCD；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA；⑤OM∥平面PBC. 其中正确的个数有()A．1 B．2 C．3 D．4答案 C解析由题意知，OM 是△BPD 的中位线，∴OM ∥PD ，故①正确；PD ⊂平面PCD ，OM ⊄平面PDC ，∴OM ∥平面PCD ，故②正确；同理可得：OM ∥平面PDA ，故③正确；OM 与平面PBA 和平面PBC 都相交，故④，⑤不正确．故共有3个结论正确． 8．如图，已知三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，E 是BC 的中点，D 是AA 1上的动点，且ADDA 1＝m ，若AE ∥平面DB 1C ，则m 的值为()A.12 B ．1 C.32 D ．2 答案 B解析如图，取CB 1的中点G ，连接GE ，DG ，当m ＝1时，AD ＝GE ＝12BB 1且AD ∥GE ，∴四边形ADGE 为平行四边形，则AE ∥DG ，可得AE ∥平面DB 1C.二、填空题9．过平面外一点，与该平面平行的直线有________条，如果直线m 平行于平面，那么在平面内有________条直线与直线m 平行．答案无数无数10．考查下列两个命题，在“________”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题(其中a 、b 为不同的直线，α、β为不重合的平面)，则此条件为________．⎭⎪⎬⎪⎫ b ⊂α① a ∥b ⇒a ∥α；⎭⎪⎬⎪⎫ a ∥b② b ∥α ⇒a ∥α. 答案 a ⊄α a ⊄α解析根据线面平行的判定定理知，①处横线上应填a ⊄α；②处横线上应填a ⊄α.11．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为DD 1的中点，则BD 1与过点A ，E ，C的平面的位置关系是________．答案平行解析如图，连接BD，与AC交于点O，连接OE.∵OE为△BDD1的中位线，∴BD1∥OE.又BD1⊄平面AEC，OE⊂平面AEC，∴BD1∥平面AEC.三、解答题12．如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M为PB的中点．求证：PD∥平面MAC.证明如图所示，连接BD交AC于点O，连接MO，则MO为△BDP的中位线，∴PD∥MO.∵PD⊄平面MAC，MO⊂平面MAC，∴PD∥平面MAC.13．如图，在三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．求证：BD∥平面FGH.证明如图，连接DG，CD，设CD∩GF＝O，连接OH.在三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE，G为AC的中点，可得DF綊GC，所以四边形DFCG为平行四边形，则O为CD的中点，又H为BC的中点，所以OH∥BD.又OH⊂平面FGH，BD⊄平面FGH，所以BD∥平面FGH.四、探究与拓展14．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的是()A．①③B．①④C．②③D．②④答案 B解析①如图(ⅰ)，连接BC，则平面ABC∥平面MNP，所以AB∥平面MNP，所以①正确．②如图(ⅱ)，连接底面正方形对角线，并取其中点O，连接ON，则ON∥AB，所以AB与平面PMN相交，不平行，所以②不满足题意．③AB与平面PMN相交，不平行，所以③不满足题意．④因为AB∥NP，所以AB∥平面MNP.所以④正确．故答案为①④.15．如图，四边形ABCD为正方形，△ABE为等腰直角三角形，AB＝AE，P是线段CD的中点，在直线AE上是否存在一点M，使得PM∥平面BCE.若存在，指出点M的位置，并证明你的结论．解如图，存在点M，当点M是线段AE的中点时，PM∥平面BCE.取BE的中点N，连接CN，MN，则MN綊12AB綊PC，所以四边形MNCP为平行四边形，所以PM∥CN.因为PM⊄平面BCE，CN⊂平面BCE，所以PM∥平面BCE.。

2018-2019年人教A版高中数学必修二同步学习：第二章 点、直线、平面之间的位置关系2.2.4PPT课件

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