概率论与数理统计 第三章ppt课件
合集下载
概率论与数理统计课件第三章ppt
Y X
y1
y2
...
yj
… pi·
x1 p11 p12 … p1 … p1·
x... 2 p... 21 x... i p... i1
p· p·1
p... 22 p... i2
p·2
…j
… p2
… j...
… …
p...pi·jj
… … … …
…
p... 2· p... i ·
1
j
例1.设袋中有五个同类产品，其中有两个 是次品，每次从袋中任意抽取一个，
设(X,Y)为连续型随机变量，其联合分布函 数和联合概率密度分别为F(x,y)和 f(x,y),则
f X
(x)
d dx
FX
(x)
f (x, y)dy
fY
( y)
d dy
FY
(
y)
f
(x,
y)dx
分别称为(X,Y)关于X和Y的边缘概率密度
函数，简称边缘概率密度。
例2. 设(X,Y)的分布密度是
e(xy) , x 0, y 0
3.1
例1.甲乙掷色子,观察点数。
w1i={甲掷i点} w2j={乙掷j点}
X,Y (i, j)
i,j=(1,2,…,6)
二维随机变量的定义
对于随机试验E，Ω是其样本空间。X(w) 和 Y(w)是定义在样本空间Ω上的两个随机变量, 由它们构成的向量(X,Y)称为二维随机变量 或二维随机向量。
y
w.
Y X
y1
y2
...
yj
…
x1 p11 p12 x... 2 p... 21 p... 22
x... i p... i1 p... i2
南京工程学院《概率论与数理统计》第三章课件 盛骤
y
x1
x2
y1
x
lim F ( x , y ) lim F ( x , y ) 0;
性质4
一元右连续，即分别关于 x 、 y 是右连续的.
性质5 对任意的实数 x 1 ＜ x 2 , y 1 ＜ y 2 ，有： P { x 1＜ X ≤ x 2 , y 1 ＜ Y ≤ y 2 } =
则称随机变量 X 、Y 是相互独立的 . 2 . 离散型随机变量相互独立的充分必要条件(证) X , Y 相互独立 对所有 i , j ，都有 p i j = p i ·p ·j , 即有， P {X = x i ，Y = yj } = P{X = x i } P {Y = yj }. 注 判断两个离散随机变量不独立，只需找到某一 pi
性质3 若密度函数 f ( x ，y ) 连续，则有
2 F ( x ,y ) xy
p f ( x ,y )
性质4 二维连续随机向量概率计算公式 设 G 是平面上的任意一个区域，则
P {( X , Y ) G }
G
f ( x , y )dxdy.
其几何解释为：
P{ ( X,Y )G }的值等于以G为底，
注 联合分布函数是两个随机事件积事件的概率. 联合分布函数是否是两个随机事件概率的乘积?
分布函数的函数值的几何解释
将二维随机变量 X ,Y 看成是平面上随机点的 坐标, 那么,分布函数 F x , y 在点 x , y 处的函数值 就是随机点 X ,Y 落在下面左图所示的,以点 x , y y 为顶点而位于该点左下方的无穷矩形域内的概率 . y x, y
… … … …
例1
从1, 2, 3, 4 中随机地取一个数 X ，再从 1, … , X
x1
x2
y1
x
lim F ( x , y ) lim F ( x , y ) 0;
性质4
一元右连续，即分别关于 x 、 y 是右连续的.
性质5 对任意的实数 x 1 ＜ x 2 , y 1 ＜ y 2 ，有： P { x 1＜ X ≤ x 2 , y 1 ＜ Y ≤ y 2 } =
则称随机变量 X 、Y 是相互独立的 . 2 . 离散型随机变量相互独立的充分必要条件(证) X , Y 相互独立 对所有 i , j ，都有 p i j = p i ·p ·j , 即有， P {X = x i ，Y = yj } = P{X = x i } P {Y = yj }. 注 判断两个离散随机变量不独立，只需找到某一 pi
性质3 若密度函数 f ( x ，y ) 连续，则有
2 F ( x ,y ) xy
p f ( x ,y )
性质4 二维连续随机向量概率计算公式 设 G 是平面上的任意一个区域，则
P {( X , Y ) G }
G
f ( x , y )dxdy.
其几何解释为：
P{ ( X,Y )G }的值等于以G为底，
注 联合分布函数是两个随机事件积事件的概率. 联合分布函数是否是两个随机事件概率的乘积?
分布函数的函数值的几何解释
将二维随机变量 X ,Y 看成是平面上随机点的 坐标, 那么,分布函数 F x , y 在点 x , y 处的函数值 就是随机点 X ,Y 落在下面左图所示的,以点 x , y y 为顶点而位于该点左下方的无穷矩形域内的概率 . y x, y
… … … …
例1
从1, 2, 3, 4 中随机地取一个数 X ，再从 1, … , X
3-1概率论与数理统计PPT课件
随机变量的分布包含两个部分： 取哪些值？ 取这些值相应的概率是多少？
3.1.2 离散随机变量及其概率分布
离散随机变量 如果一个随机变量只取有限多个或者可数无穷多个 (可列个) 可能值，这种随机变量就称为离散随机变量。
离散随机变量所有可能的取值以及相应的概率
称为它的概率分布（律），简称分布律。一般表示成：
X
x1 x2 x3 … xn …
pk
p1 p2 p3 … pn …
根据概率的定义，离散随机变量分布律
必须满足下面两个条件：
(1) pi ≥ 0 , i = 1, 2, 3, …
(2) ∑ pi = 1
看例题
3.2 重要的离散型随机变量
3.2.1 独立重复实验序列
1. 随机试验的独立性
对于一些随机试验来说，如果它们的结果互相 不影响，即每个随机试验的各种结果出现的概率不依 赖于其它随机试验出现的结果，就称这些随机试验是 相互独立的。
第3章 离散随机变量
3.1.1随机变量的概念 在涉及随机试验的实际问题中，经常遇到这样的
情况，很大一部分问题与数值发生联系，从而可以 将随机试验量化。
例1. 电话的次数 ，可能是0，1，2，… 例2 某射手对一活动靶进行射击，到击中目标为止， 所进行的射击次数，可能是1，2，…
例3 某一时间段内，车站到来的乘客数， 或在某一个区域里，野生动物的数量 ·····； 它所有可能的取值是一切非负整数。
看例9
例 (金融保险) 根据生命表知道，在某个年龄段的投保人中一年内 每个人死亡的概率是 0.005 ，现在有 10,000 人参加 保险，问未来一年中死亡人数不超过 60 人的概率。
解。 分析： 以 X 记这 10,000 人中死亡的人数，则显然有 X ~ B (104，0.005 ) ，需要计算P { X ≤ 60 } 。 P { X ≤ 60 } = ∑k6=00 [C10000k 0.005k 0.99510000 – k ] ≈ 0.9222 。
3.1.2 离散随机变量及其概率分布
离散随机变量 如果一个随机变量只取有限多个或者可数无穷多个 (可列个) 可能值，这种随机变量就称为离散随机变量。
离散随机变量所有可能的取值以及相应的概率
称为它的概率分布（律），简称分布律。一般表示成：
X
x1 x2 x3 … xn …
pk
p1 p2 p3 … pn …
根据概率的定义，离散随机变量分布律
必须满足下面两个条件：
(1) pi ≥ 0 , i = 1, 2, 3, …
(2) ∑ pi = 1
看例题
3.2 重要的离散型随机变量
3.2.1 独立重复实验序列
1. 随机试验的独立性
对于一些随机试验来说，如果它们的结果互相 不影响，即每个随机试验的各种结果出现的概率不依 赖于其它随机试验出现的结果，就称这些随机试验是 相互独立的。
第3章 离散随机变量
3.1.1随机变量的概念 在涉及随机试验的实际问题中，经常遇到这样的
情况，很大一部分问题与数值发生联系，从而可以 将随机试验量化。
例1. 电话的次数 ，可能是0，1，2，… 例2 某射手对一活动靶进行射击，到击中目标为止， 所进行的射击次数，可能是1，2，…
例3 某一时间段内，车站到来的乘客数， 或在某一个区域里，野生动物的数量 ·····； 它所有可能的取值是一切非负整数。
看例9
例 (金融保险) 根据生命表知道，在某个年龄段的投保人中一年内 每个人死亡的概率是 0.005 ，现在有 10,000 人参加 保险，问未来一年中死亡人数不超过 60 人的概率。
解。 分析： 以 X 记这 10,000 人中死亡的人数，则显然有 X ~ B (104，0.005 ) ，需要计算P { X ≤ 60 } 。 P { X ≤ 60 } = ∑k6=00 [C10000k 0.005k 0.99510000 – k ] ≈ 0.9222 。
概率论与数理统计第三章PPT
乘法公式应用举例 （波里亚罐子模型）
b个白球, r个红球
一个罐子中包含b个白球和r个红球. 随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中， 并且再加进c个与所抽出的球具有相同颜 色的球. 这种手续进行四次，试求第一、 二次取到白球且第三、四次取到红球的概 率.
随机取一个球，观看颜色后放 回罐中，并且再加进c个与所抽出 的球具有相同颜色的球. b个白球, r个红球
解: 设Wi={第i次取出是白球}, i=1,2,3,4 Rj={第j次取出是红球}， j=1,2,3,4 于是W1W2R3R4表示事件“连续取四个球，第 一、第二个是白球，第三、四个是红球. ”
用乘法公式容易求出 P(W1W2R3R4) =P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3)
用它们可计算两 个事件同时发生 的概率
(3)
注意P(AB)与P(A | B)的区别！
请看下面的例子
例 甲、乙两厂共同生产1000个零件，其中300件 是乙厂生产的. 而在这300个零件中，有189个是 标准件，现从这1000个零件中任取一个，问这个 零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？
设B={零件是乙厂生产}
P A 4 10 0.4
4 3 12 10 9 90 6 4 24 P AB P A P B | A 10 10 90 P AB P A P B | A
P16例4
P ABC P A P B | A P C | AB
二、 乘法法则 P ( AB) 由条件概率的定义： P ( A | B)
P ( B)
若已知P(B), P(A|B)时, 可以反求P(AB). 即 若P(B)>0,则P(AB)=P(B)P(A|B) (2) 将A、B的位置对调，有 (2)和(3)式都称为 乘法公式, 利 若 P(A)>0, 则P(BA)=P(A)P(B|A) 而 P(AB)=P(BA) 故 若P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(B|A)
概率论与数理统计课件第章节
4
五、二维连续型随机变量
设二维随机变量 (X,Y) 旳分布函数为 F(x,y)，假如存在非负旳
函数
f
(x,y)
使对于任意
x,y
有：
F
(
x,
y)
y
x
f (u,v)dudv
则称(X,Y ) 是连续型旳二维随机变量。
称 f (x,y) 为随机变量 (X, Y ) 旳概率密度，或称为随机变量 X 和
2
0.010 0.005
求在X=1时Y旳条件分布律.
P{X=1}=0.045 P{Y=0⃒X=1}=0.030 ⁄ 0.045
0.004 0.001
P{Y 1|X 1} 0.010 / 0.045 P{Y 2|X 1} 0.005 / 0.045.
用表格形式表达为:
k
0
1
2
P{Y=k|X=1} 6/9 2/9 1/9
分布函数，也称为 X 和 Y 的联合分布函数.y
(x, y)
分布函数 F(x,y) 在 (x,y)处旳函数值就是: 随机
点 (X,Y ) 落在以点 (x,y) 为顶点且位于该点左下
x
方旳无穷矩形域内旳概率。如图所示.
2
下面利用分布函数来计 算 P{x1 X x2 , y1 Y y2 }
P{x1 X x2 , y1 Y y2 } F(x2 , y2 ) F(x1, y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1 , y1 )
FX (x) P{ X x} P{ X x,Y } F(x, )
同理有： FY ( y) F (, y)
二、离散型 ( X ,Y ) 的边缘分布律
FX (x) F(x, )
pij, 又 FX ( x) P{ X xi }
五、二维连续型随机变量
设二维随机变量 (X,Y) 旳分布函数为 F(x,y)，假如存在非负旳
函数
f
(x,y)
使对于任意
x,y
有：
F
(
x,
y)
y
x
f (u,v)dudv
则称(X,Y ) 是连续型旳二维随机变量。
称 f (x,y) 为随机变量 (X, Y ) 旳概率密度，或称为随机变量 X 和
2
0.010 0.005
求在X=1时Y旳条件分布律.
P{X=1}=0.045 P{Y=0⃒X=1}=0.030 ⁄ 0.045
0.004 0.001
P{Y 1|X 1} 0.010 / 0.045 P{Y 2|X 1} 0.005 / 0.045.
用表格形式表达为:
k
0
1
2
P{Y=k|X=1} 6/9 2/9 1/9
分布函数，也称为 X 和 Y 的联合分布函数.y
(x, y)
分布函数 F(x,y) 在 (x,y)处旳函数值就是: 随机
点 (X,Y ) 落在以点 (x,y) 为顶点且位于该点左下
x
方旳无穷矩形域内旳概率。如图所示.
2
下面利用分布函数来计 算 P{x1 X x2 , y1 Y y2 }
P{x1 X x2 , y1 Y y2 } F(x2 , y2 ) F(x1, y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1 , y1 )
FX (x) P{ X x} P{ X x,Y } F(x, )
同理有： FY ( y) F (, y)
二、离散型 ( X ,Y ) 的边缘分布律
FX (x) F(x, )
pij, 又 FX ( x) P{ X xi }
概率论与数理统计课件第三章
f
(x,
y)
1
21 2
1
2
exp
1
2(1 2 )
(x
1)2
2 1
2
(x
1)( y 1 2
2 )
(y
2)2
2 2
其中1、2、1、 2、都是常数，且1 0， 2 0，1 1.
则称（X,Y）服从参数为1、2、1、的二2、维 正态分布，
记为
(X
,Y)
~
N (1,
2
,
2 1
,
2 2
2F(x, y) f (x, y) xy
(5)若(X,Y)为二维连续型随机向量,联合概率密度为f(x,y),则
F(x,y) P{X x,Y y}
返回
X
18
第
页
例5 设二维随机变量（X,Y）的概率密度为
Ae2(x y) , x 0, y 0
f (x, y)
0, 其他
（1）确定常数A；
分别为(X,Y)关于X和Y的边缘分布函数.
返回
X
25
第
页
例1 设二维随机向量（X,Y）的联合分布函数为
(1 e2x )(1 e3y ), x 0, y 0,
F(x, y)
0, 其他.
求边缘分布 FX (x), FY ( y)
当x
0时，FX
(x)
lim (1
y
e2 x
)(1
e3 y
)
1
e2 x
返回
X
14
第
例3 设随机变量Y~N(0，1),令
0, X 1 1,
| Y | 1
0,
|Y
|
概率论与数理统计(浙大版)第三章PPT参考课件
X,Y的边缘分布律为：
记为
P(Y y j ) P( X ，Y y j ) pij == pgj j 1, 2,L
i 1
记为
P( X xi ) P( X xi，Y ) pij == pig i 1, 2,L
j 1
注意：
X Y y1
(1) 0 pij 1
(2) pij 1
ij
2020/2/15
(2)表格法
X Y y1 y2 y3
x1 p11 p12 p13 x2 p21 p22 p23
(X,Y)的概率分布表：描述(X,Y)的取值规律
P((X ,Y ) G)
pij
( xi , yj )G
1 2
4 x(1
2x)dx
1
1
1
0
23 6
2020/2/15
21
§2 边缘分布
二维随机变量(X,Y)作为整体，有分布函数
其中X和Y都是随机变量，它们的分布函数
记为：
称为边缘分布函数。
FX (x)，FY ( y)，
F(x, y),
FX (x) F(x, )
事实上，
FY ( y) F(, y)
i 1,2, , m, ; j 1,2, , n,
中心问题：(X,Y)取这些可能值的概率分别为多少？
2020/2/15
二维（X，Y）的联合分布律:
(1)公式法
p( xi , yj ) P( X xi ,Y yj ) pij
pij的 性 质 ：
(i, j 1,2, )
p2 p2 j
概率论与数理统计第四版第三章PPT课件
例2 设二维连续型随机变量( X , Y )具有概率密
度为：
ke(2x3y) x0,y0
f(x,y) 0
其它
1. 求常数 k ;
2. 求 F( x , y ) ;
3. 求 P{ X < Y }
休息 结束
解： 1. 求常数 k ;
y
ke(2x3y) x0,y0
f(x,y)
0
其它
x
Q f(u ,v)du dvF ( , )1
3) P{(X,Y)G} f (u,v)dudv G y
(X,Y)
G
x
休息 结束
4) 若 f ( x , y ) 在 ( x , y ) 处连续，则有：
2F( x, y) f( x, y)
xy
以上关于二维随机变量的讨论，可以 容易地推广到 n ( n > 2 )维随机变量的情 况。
休息 结束
第三章 多维随机变量及其分布
休息 结束
§3.1 二维随机变量
到现在为止，我们只讨论了一维随机变量 及其分布。 但有些随机现象用一个随机变量 来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述。
休息 结束
在射箭时,命中点的位
置是由一对坐标( X, Y )来
确定的。
飞机的重心在空中的位置是
由三个随机变量( X，Y，Z ）来
休息 结束
F(x2,y2)F(x1,y2)(F (x2,y1)F (x1,y1))
P{(X,Y)D} 0
y
( x1 , y2 ) ( x2 , y2 )
D
( x1 , y1 )
( x2 , y1 )
x
休息 结束
二维离散型随机变量的联合分布列 设二维离散型随机变量( X , Y )所有可
概率论与数理统计课件 第三章2
(2) 设连续型随机变量( X ,Y )的联合概率密度为 p( x, y), 边缘概率密度分别为 pX ( x), pY ( y),则有
X 和 Y 相互独立 p( x, y) pX ( x) pY ( y).
2019/4/3
第三章 多维随机变量及其分布
14
例1 设两个独立的随机变量 X 与Y 的分布律为
因此 ( X ,Y ) 的联合分布律为
Y X
2
4
1 0.18 0.12
3 0.42 0.28
2019/4/3
第三章 多维随机变量及其分布
16
例2 已知 ( X ,Y ) 的分布律为
( X ,Y ) (1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2)
111 1
pij
6
9 18
3
(1) 求 与 应满足的条件;
2019/4/3
第三章 多维随机变量及其分布
11
例2 设数 X 在区间 (0,1) 上随机地取值,当观察到 X x (0 x 1) 时,数 Y 在区间 (0, x) 上随机地取 值.求 Y 的概率密度 fY ( y).
2019/4/3
第三章 多维随机变量及其分布
12
三、随机变量的独立性
1.定义
3
2.二维正态分布
若二维随机变量 ( X,Y ) 具有概率密度
p( x, y)
1
e 1 2(1 ρ2
)
(
x
μ1 σ12
)2
2
ρ(
x
μ1 )( σ1σ2
y
μ2
)
(
y
μ2 σ22
)2
2πσ1σ2 1 ρ2
其中μ1, μ2 , σ1, σ2 , ρ 均为常数,且σ1 0, σ2 0, 1 ρ 1.
X 和 Y 相互独立 p( x, y) pX ( x) pY ( y).
2019/4/3
第三章 多维随机变量及其分布
14
例1 设两个独立的随机变量 X 与Y 的分布律为
因此 ( X ,Y ) 的联合分布律为
Y X
2
4
1 0.18 0.12
3 0.42 0.28
2019/4/3
第三章 多维随机变量及其分布
16
例2 已知 ( X ,Y ) 的分布律为
( X ,Y ) (1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2)
111 1
pij
6
9 18
3
(1) 求 与 应满足的条件;
2019/4/3
第三章 多维随机变量及其分布
11
例2 设数 X 在区间 (0,1) 上随机地取值,当观察到 X x (0 x 1) 时,数 Y 在区间 (0, x) 上随机地取 值.求 Y 的概率密度 fY ( y).
2019/4/3
第三章 多维随机变量及其分布
12
三、随机变量的独立性
1.定义
3
2.二维正态分布
若二维随机变量 ( X,Y ) 具有概率密度
p( x, y)
1
e 1 2(1 ρ2
)
(
x
μ1 σ12
)2
2
ρ(
x
μ1 )( σ1σ2
y
μ2
)
(
y
μ2 σ22
)2
2πσ1σ2 1 ρ2
其中μ1, μ2 , σ1, σ2 , ρ 均为常数,且σ1 0, σ2 0, 1 ρ 1.
茆诗松概率论与数理统计教程第三章 (4)PPT课件
§4 多维随机变量的特征数
这一节里, 我们考察跟多维随机变量相关的有关特 征数的计算.
这里面, 除了我们熟知的各个分量的数学期望和方 差外, 我们将介绍刻画两个变量之间相关关系的 特征数: 协方差以及.我们还简要介绍多维随机 变量作为一个整体(即向量)时的数学期望及协方 差矩阵.
1
整体概述
概述一
点击此处输入
－ x p (x ,y )d d y x － y p (x ,y )d d xy
－ xX p (x)d xyY p (y)dy
EX EY
8
性2质 :若 X,Y相 互 独E立 (XY )， E则 X •EY
一 般 ,若 地 X1,X2, ,Xn相 互,则 独有 立 E(X1X2 Xn)E(X1)E(X2) E(Xn)
E (X 1X 2 X n)E (X 1)E (X 2) E (X n)
注意: 对于这些性质的证明, 我们仅给出连续型情 形的证明, 离散型情形大家可仿而证之.
7
证明： X,Y)的 设联 （合 p(x密 ,y),X 度 ,Y的 为 边际 为 pX(x),pY(y).
E (XY) (xy)p(x,y)dxdy
本节例E (二 X i)已 p,V求 (a X ir )出 p(1p).
所以根据方差的性质有
E ( X ) E ( X 1 ) E ( X 2 ) E ( X n ) np
V (X a ) V r(X a 1 X r 2 X n )
V (X a 1 ) V r(X a 2 ) r V (X a n )r p ( 1 p ) p ( 1 p ) p ( 1 p )
相关文本内容
概述二
点击此处输入
相关文本内容
概述三
这一节里, 我们考察跟多维随机变量相关的有关特 征数的计算.
这里面, 除了我们熟知的各个分量的数学期望和方 差外, 我们将介绍刻画两个变量之间相关关系的 特征数: 协方差以及.我们还简要介绍多维随机 变量作为一个整体(即向量)时的数学期望及协方 差矩阵.
1
整体概述
概述一
点击此处输入
－ x p (x ,y )d d y x － y p (x ,y )d d xy
－ xX p (x)d xyY p (y)dy
EX EY
8
性2质 :若 X,Y相 互 独E立 (XY )， E则 X •EY
一 般 ,若 地 X1,X2, ,Xn相 互,则 独有 立 E(X1X2 Xn)E(X1)E(X2) E(Xn)
E (X 1X 2 X n)E (X 1)E (X 2) E (X n)
注意: 对于这些性质的证明, 我们仅给出连续型情 形的证明, 离散型情形大家可仿而证之.
7
证明： X,Y)的 设联 （合 p(x密 ,y),X 度 ,Y的 为 边际 为 pX(x),pY(y).
E (XY) (xy)p(x,y)dxdy
本节例E (二 X i)已 p,V求 (a X ir )出 p(1p).
所以根据方差的性质有
E ( X ) E ( X 1 ) E ( X 2 ) E ( X n ) np
V (X a ) V r(X a 1 X r 2 X n )
V (X a 1 ) V r(X a 2 ) r V (X a n )r p ( 1 p ) p ( 1 p ) p ( 1 p )
相关文本内容
概述二
点击此处输入
相关文本内容
概述三
东华大学《概率论与数理统计》课件 第三章 二维随机变量
Y
X
y1
y2
yn
x1
p11
p12
p1 n
x2
p21
p22
p2n
n
pi• =
pij
j =1
p1•
p2•
xm
pm1
pm2
pmn
m
p• j =
pij
p•1
p•2
p• n
i =1
其中， pij = P( X = xi ,Y = y j ) ，
pm•
n
m
p• j = pi• = 1
j −1
( x,
y)
=
1 s
,
0,
(x, y) S (x, y) S
3.体积为v的空间区域V上
(
x,
y,
z)
=
1 v
,
0,
(x, y, z) V (x, y, z) V
基本概念：随机向量、联合分布函数。 离散型随机变量：联合概率分布、阶梯型分布函
数。 连续型随机变量：概率密度函数、连续型分布函
数。
即
FY
(
y)
=
F
(+,
y)
=
lim
x→+
F
(
x,
y)
F ( x) = F ( x,+)
1 = F(+,+)
0 = F(−, y) O
二维随机变量 (X ,Y) 的分布函数： F(x, y) = P(X x,Y y)
y
y
(x,y)
0
x
x
二维分布函数 F(x,y) 的性质： (1)（非降性） F(x, y) 是 x 或 y 的单调非降函数.
概率论与数理统计 第三章课件
Y X
x1 x2 … xi …
y1 y2 … yj …
p11 p12 … p1j … p21 p22 … p2j … … … ……… pi1 pi2 … pi j … … … ………
概率论与数理统计 第三章
联合分布列的基本性质 (1) pij 0, i, j = 1, 2,… (非负性)
(2) pij = 1. (正则性)
xy
F(x,y)= p(u,v)dvdu --
则称 (X, Y) 为二维连续型随机变量。 称p(x, y) 为联合密度函数。
概率论与数理统计 第三章
联合密度函数的基本性质
(1) p(x, y) 0. (非负性)
(2)
p(x,y)dxdy1
(正则性)
- -
注意： P(X,Y) D p(x,y)dxdy
若X, Y是两个定义在同一个样本空间上的 随机变量，则称(X, Y) 是两维随机变量.
➢ 同理可定义 n 维随机变量 (随机向量).
概率论与数理统计 第三章
3.1.2 联合分布函数
定义3.1.2 (以下仅讨论两维随机变量)
任对实数 x 和 y, 称 F(x, y) = P( X x, Y y)
设随机变量 X 在 1，2，3 ， 4 四个整数中等可 能地取值，另一个随机变量 Y 在 1到X 中等可能 地取一整数值。试求（X, Y）的联合分布列.
概率论与数理统计 第三章
3.1.4 联合密度函数
设二维随机变量(X, Y) 的分布函数为 F(x, y)，若存在 非负可积函数 p(x, y)，使得
F(, y) = F(x, ) =0， F(+, +) = 1. (3) F(x, y) 关于 x 和 y 分别右连续. (右连续性) (4) 当a<b, c<d 时，有 (非负性)
东华大学《概率论与数理统计》课件-第3章概率论基础
重复排列：从n个不同元素中取r个(可重复)，考 虑先后顺序共有nr=n n …. n种不同结果。
3.5 等可能样本空间
例7 琼斯先生有10本书要放在书架上，其中有 4本数学书，3本化学书，2本历史书，还有1本 语言书。琼斯想把同一种类的书放在一起，共 有几种不同的可能结果？如果是随意放置，恰 好同一种类的书放在一起的概率多大？
分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成几 个步骤，每一步的完成有多种不同的方法，则 完成这件事的不同方法总数是各步骤不同方法 数的乘积。
例：网上预订行程，从郑州到上海共有12种不 同选择，从上海到香港共有4种不同的选择，那 么从郑州经上海到香港共有4×12=48种不同的 选择。
3.5 等可能样本空间
解法一：宿舍是无编号的，
解法二：宿舍是有编号的，
3.5 等可能样本空间
例11 如果一个房间里有n个人，没有两个人的 生日是同一天的概率是多大？如果希望概率小 于0.5，需要多少人？
习题
P53 ex18, ex20
引例： （1）假设某人投掷一对骰子，两个骰子点数之
和为8概率多大？
（2）如果已知第一个骰子最终朝上的数字为3， 那么两个骰子点数之和为8的概率为多少？
3.3文图和事件的代数表示
3.3文图和事件的代数表示
德·摩根律
例2
掷骰子一次，A=“掷出奇数点”，B=“点数不超 过3”，C=“点数大于2”，D=“掷出5点”。求
A B, B C, AB, BD, Ac , AcC
3.4 概率论公理
集函数P(E)称为事件E的概率，如果它满足下 列三条公理
3.5 等可能样本空间
例8 概率论课程上有6个男生，4个女生。对学 生进行考试，按照成绩排名。假定没有两个学 生的成绩是一样的，
3.5 等可能样本空间
例7 琼斯先生有10本书要放在书架上，其中有 4本数学书，3本化学书，2本历史书，还有1本 语言书。琼斯想把同一种类的书放在一起，共 有几种不同的可能结果？如果是随意放置，恰 好同一种类的书放在一起的概率多大？
分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成几 个步骤，每一步的完成有多种不同的方法，则 完成这件事的不同方法总数是各步骤不同方法 数的乘积。
例：网上预订行程，从郑州到上海共有12种不 同选择，从上海到香港共有4种不同的选择，那 么从郑州经上海到香港共有4×12=48种不同的 选择。
3.5 等可能样本空间
解法一：宿舍是无编号的，
解法二：宿舍是有编号的，
3.5 等可能样本空间
例11 如果一个房间里有n个人，没有两个人的 生日是同一天的概率是多大？如果希望概率小 于0.5，需要多少人？
习题
P53 ex18, ex20
引例： （1）假设某人投掷一对骰子，两个骰子点数之
和为8概率多大？
（2）如果已知第一个骰子最终朝上的数字为3， 那么两个骰子点数之和为8的概率为多少？
3.3文图和事件的代数表示
3.3文图和事件的代数表示
德·摩根律
例2
掷骰子一次，A=“掷出奇数点”，B=“点数不超 过3”，C=“点数大于2”，D=“掷出5点”。求
A B, B C, AB, BD, Ac , AcC
3.4 概率论公理
集函数P(E)称为事件E的概率，如果它满足下 列三条公理
3.5 等可能样本空间
例8 概率论课程上有6个男生，4个女生。对学 生进行考试，按照成绩排名。假定没有两个学 生的成绩是一样的，
概率论与数理统计第三章
F(x, y) P(X x,Y y)
称为二维随机变量(X，Y)的联合分布函数， 简称为(X，Y)的分布函数。
几何意义：F(x,y)表示随机点 落入以(x,y)为顶点而位于 该点左下方的无穷矩形区 域D内的概率。（如图阴 影部分）
随机点(X,Y) 落在矩形区域：x1 x x2, y1 y y2 内的概率为
设二维随机变量 (X,Y) 的分布函数为 F(x,y)，分别记关 于 X 和 Y 的边缘分布函数为 Fx(x)和 Fy(y)，由于 Fx(x)=P(X≤x,Y<+∞ )=F(x,+∞ ), 同理，有 Fy(y)=F(+∞ ,y). 由此看出，边缘分布函数Fx(x)，Fy(y)完全由联合分布 函数 F(x,y) 来确定。
y)
1/ 0
A ,
,
(x, y)G 其他
则称( X, Y )服从区域G上的均匀分布
与第2章中服从区间[a, b]上的均匀分布类似，服从区域 G 上的均 匀分布 (X, Y) 落在 G 中任一区域 D的概率只与的 D 面积成正比，
而与 D 的位置和形状无关。 P(X ,Y ) D m(D)
m(G)
第三章 多维随机变量及其分布
我们开始学习——多维随机变量 它是第二章内容的推广. 一维随机变量及其分布
多维随机变量及其分布 由于从二维推广到多维一般无实质性的 困难，我们重点讨论二维随机变量 .
到现在为止，我们只讨论了一维r.v及其分布. 但 有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需 要用几个随机变量来描述.
y
.
（1）求(X, Y)的分布函数 F(x, y)； （2）求 P(0<X≤3，0<Y≤4)。
解 （1）F (x, y)
称为二维随机变量(X，Y)的联合分布函数， 简称为(X，Y)的分布函数。
几何意义：F(x,y)表示随机点 落入以(x,y)为顶点而位于 该点左下方的无穷矩形区 域D内的概率。（如图阴 影部分）
随机点(X,Y) 落在矩形区域：x1 x x2, y1 y y2 内的概率为
设二维随机变量 (X,Y) 的分布函数为 F(x,y)，分别记关 于 X 和 Y 的边缘分布函数为 Fx(x)和 Fy(y)，由于 Fx(x)=P(X≤x,Y<+∞ )=F(x,+∞ ), 同理，有 Fy(y)=F(+∞ ,y). 由此看出，边缘分布函数Fx(x)，Fy(y)完全由联合分布 函数 F(x,y) 来确定。
y)
1/ 0
A ,
,
(x, y)G 其他
则称( X, Y )服从区域G上的均匀分布
与第2章中服从区间[a, b]上的均匀分布类似，服从区域 G 上的均 匀分布 (X, Y) 落在 G 中任一区域 D的概率只与的 D 面积成正比，
而与 D 的位置和形状无关。 P(X ,Y ) D m(D)
m(G)
第三章 多维随机变量及其分布
我们开始学习——多维随机变量 它是第二章内容的推广. 一维随机变量及其分布
多维随机变量及其分布 由于从二维推广到多维一般无实质性的 困难，我们重点讨论二维随机变量 .
到现在为止，我们只讨论了一维r.v及其分布. 但 有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需 要用几个随机变量来描述.
y
.
（1）求(X, Y)的分布函数 F(x, y)； （2）求 P(0<X≤3，0<Y≤4)。
解 （1）F (x, y)
概率论与数理统计图文课件最新版-第3章-多维随机变量及其分布
比如:
概率统计
比如：
1 x y 0
F( x, y) 0 x y 0
对这二元函数来验证第4条性质。
现找 4 个点如下：
( x2 , y2 ) (1, 1); ( x1, y2 ) (1, 1)
( x2 , y1 ) (1, 1); ( x1, y1 ) (1, 1)
F(1,1) F(1,1) F(1, 1) F(1, 1)
0
x 0, y 0 其它
求: (1) 分布函数 F( x, y)
(2) ( X ,Y )落在G内的概率
其中 G: x y 1 及 x 轴、y 轴所围区域
解: (1) Q
x
F(x, y)
y
f ( x, y)dxdy
当 x 0, y 0 时
xy
F( x, y)
0 dx 0
2,4,8,10,14,16,20这7个 数不能被3整除,但能
被2整除
6,12,18这3个数能被2 整除,又能被3整除
不难验证:
1 1
7473
pi j 0, 0 0 pi j 21 21 21 21 1
概率统计
故 得： (X,Y) 的 联合分布 律为:
XY
0 1
01
7
4
21 21
7
P( x1 X x2 , y1 Y y2 )
F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1, y1 ) F ( x1, y2 )
如图:
y
y2 L
y1 L M
M
x
0 x1
x2
概率统计
2. 二维随机变量分布函数 F(x,y) 的性质
性质1 F(x,y) 分别对 x 和 y 单调非减, 即:
《概率论与数理统计》三
称F(x,y)为二维随机变量(X,Y)的分布函数,或称为随机变量X 和Y 的联合分布函数。
y (x,y)
y y2
y1
O
x
O x1
x2
x
P{x1 X x2, y1 Y y2} F(x2, y2 ) F(x1, y2 ) F(x2, y1) F(x1, y1)
➢ 分布函数F(x,y)的性质
设(X,Y)的所有可能取值:(xi, yj), i,j=1,2…,
P{X xi ,Y y j } ˆ pij ,( i, j 1,2,)
性
1 0 pij 1,
质
2
pij 1.
j1 i1
分
布
函 F ( x, y) pij
数
xi x yjy
Y X
x1 x2 xi
y1
p1 1 p21
记为
(X
,Y)
~
N (1,
2
,
2 1
,
22,
)
四、多维随机变量
(1)设E是一随机试验， 是其样本空间，X1,X2,...Xn 是定义在上的n个随机变量，则称n维向量(X1,X2,...Xn ) 为定义在 上的n维随机向量或n维随机变量．
(2)对n个任意实数，令
F(x1, x2 ,, xn ) P{X1 x1, X2 x2 ,Xn xn}
标 (X,Y)表示, 也就是 中每一元素都可用一对数来
表示, 把X, Y看成变量, X 与Y 都是随机变量, (X,Y) 共同刻化试验的结果, 这就是二维随机变量.
例2 考察某地一天的天气情况, 即同时考虑最高气温、 最低气温、气压、风力、降雨量，这就需要5个变量 来表示可能的试验结果，这就是五维随机变量.
y (x,y)
y y2
y1
O
x
O x1
x2
x
P{x1 X x2, y1 Y y2} F(x2, y2 ) F(x1, y2 ) F(x2, y1) F(x1, y1)
➢ 分布函数F(x,y)的性质
设(X,Y)的所有可能取值:(xi, yj), i,j=1,2…,
P{X xi ,Y y j } ˆ pij ,( i, j 1,2,)
性
1 0 pij 1,
质
2
pij 1.
j1 i1
分
布
函 F ( x, y) pij
数
xi x yjy
Y X
x1 x2 xi
y1
p1 1 p21
记为
(X
,Y)
~
N (1,
2
,
2 1
,
22,
)
四、多维随机变量
(1)设E是一随机试验， 是其样本空间，X1,X2,...Xn 是定义在上的n个随机变量，则称n维向量(X1,X2,...Xn ) 为定义在 上的n维随机向量或n维随机变量．
(2)对n个任意实数，令
F(x1, x2 ,, xn ) P{X1 x1, X2 x2 ,Xn xn}
标 (X,Y)表示, 也就是 中每一元素都可用一对数来
表示, 把X, Y看成变量, X 与Y 都是随机变量, (X,Y) 共同刻化试验的结果, 这就是二维随机变量.
例2 考察某地一天的天气情况, 即同时考虑最高气温、 最低气温、气压、风力、降雨量，这就需要5个变量 来表示可能的试验结果，这就是五维随机变量.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
4/22/2020
华东师范大学
第三章 多维随机变量及其分布
第10页
例3.1.1 将一枚均匀的硬币抛掷4次，X表示正面向上
的次数，Y表示反面朝上次数。求 (X, Y) 的联合分布列.
解：概率非零的(X,Y) 可能取值对为:
XY 04 13 22 31 40
其对应的概率分别为：
P(X=0, Y=4)= 0.54=1/16 P(X=1, Y=3)= C410.50.53 =1/4 P(X=2, Y=2)= C420.520.52 =6/16
第三章 多维随机变量及其分布
第1页
第三章 多维随机变量及其分布
§3.1 多维随机变量及其联合分布 §3.2 边际分布与随机变量的独立性 §3.3 多维随机变量函数的分布 §3.4 多维随机变量的特征数 §3.5 条件分布与条件期望
4/22/2020
华东师范大学
第三章 多维随机变量及其分布
第2页
§3.1 多维随机变量及其联合分布
3.3.1 多维随机变量
➢ 定义3.1.1
若X, Y是两个定义在同一个样本空间上的 随机变量，则称(X, Y) 是两维随机变量.
➢ 同理可定义 n 维随机变量 (随机向量).
4/22/2020
华东师范大学
第三章 多维随机变量及其分布
第3页
3.1.2 联合分布函数
定义3.1.2 (以下仅讨论两维随机变量)
4/22/2020
华东师范大学
第三章 多维随机变量及其分布
第7页
二维离散分布的联合分布列
称 pij = P(X=xi, Y=yj)， i, j=1, 2, ..., 为(X,Y) 的联合分布列，其表格形式如下:
Y X
x1 x2 … xi …
4/22/2020
y1 y2 … yj …
p11 p12 … p1j … p21 p22 … p2j … … … ……… pi1 pi2 … pi j … … … ………
4/22/2020
华东师范大学
第三章 多维随机变量及其分布
列表为：
X1 X2 0 1
0
0.0455 0
1
0.2719 0.6826
第13页
4/22/2020
华东师范大学
第三章 多维随机变量及其分布
课堂练习
第14页
设随机变量 X 在 1，2，3 ， 4 四个整数中等可 能地取值，另一个随机变量 Y 在 1到X 中等可能 地取一整数值。试求（X, Y）的联合分布列.
任对实数 x 和 y, 称 F(x, y) = P( X x, Y y)
为(X, Y) 的联合分布函数.
注意：
F(x, y)为(X, Y)落在点(x, y)的左下区域的概率.
4/22/2020
华东师范大学
第三章 多维随机变量及其分布
X2 x2
第4页
(x1, x2)
x1
X1
4/22/2020
华东师范大学
4/22/2020
华东师范大学
第三章 多维随机变量及其分布
第15页
3.1.4 联合密度函数
设二维随机变量(X, Y) 的分布函数为 F(x, y)，若存在 非负可积函数 p(x, y)，使得
xy
F(x,y)= p(u,v)dvdu --
则称 (X, Y) 为二维连续型随机变量。 称p(x, y) 为联合密度函数。
4/22/2020
华东师范大学
第三章 多维随机变量及其分布
第16页
联合密度函数的基本性质
(1) p(x, y) 0. (非负性)
(2)
p(x,y)dxdy1
(正则性)
- -
注意： P(X,Y) D p(x,y)dxdy
D
4/22/2020
华东师范大学
第三章 多维随机变量及其分布
第17页
3.1.5 常用多维分布
F(b, d) F(b, c) F(a, d) + F(a, c) 0. 注意：上式左边 = P(a<Xb, c<Y d).
4/22/2020
华东师范大学
第三章 多维随机变量及其分布
第6页
3.1.3 联合分布列
二维离散随机变量
若(X, Y) 的可能取值为有限对、或可列对， 则称(X, Y)为二维离散随机变量.
一、多项分布
若每次试验有r 种结果：A1, A2, ……, Ar
记 P(Ai) = pi ,
i = 1, 2, ……, r
华东师范大学
第三章 多维随机变量及其分布
第8页
联合分布列的基本性质
(1) pij 0, i, j = 1, 2,… (非负性)
(2) pij = 1. (正则性)
4/22/2020
华东师范大学
第三章 多维随机变量及其分布
第9页
确定合分布列的方法
(1) 确定随机变量 (X, Y) 的所有取值数对. (2) 计算取每个数值对的概率. (3) 列出表格.
第三章 多维随机变量及其分布
第5页
联合分布函数的基本性质
(1) F(x, y) 关于 x 和 y 分别单调增. (单调性)
(2) 0 F(x, y) 1，且 (有界性) F(, y) = F(x, ) =0， F(+, +) = 1.
(3) F(x, y) 关于 x 和 y 分别右连续. (右连续性) (4) 当a<b, c<d 时，有 (非负性)
P(X=3, Y=1)= C430.530.51 =1/4
P(X=4, Y=0)= 0.54 =1/16
4/22/2020
华东师范大学
第三章 多维随机变量及其分布
列表为：
XY 0 1 2 3 4
0
0 0 0 0 1/16
1
0 0 0 1/4 0
2
0 0 6/16 0 0
3
0 1/4 0 0 0
4 1/16 0 0 0 0
P(X1=0, X2=1) = P(|Y|≥1, |Y|<2) = P(1≤|Y|<2) = 2[Φ(2) Φ(1)] = 0.2719
P(X1=1, X2=0) = P(|Y|<1, |Y|≥2) = 0
P(X1=1, X2=1) = P(|Y|<1, |Y|<2) = P(|Y|<1) = 0.6826
第11页
4/22/2020
华东师范大学
第三章 多维随机变量及其分布
第12页
例3.1.2 设随机变量 Y ~ N(0, 1),
求
X1 1 0,,
|Y|1, |Y|1
X2 1 0,, ||Y Y|| 2 2的联合分布列.
解: (X1, X2) 的可能取值数对及相应的概率如下：
P(X1=0, X2=0) = P(|Y|≥1, |Y|≥2) = P(|Y|≥2) = 2 2Φ(2) = 0.0455