独立性检验与回归分析

【解析】根据题目所给的数据得到如下2×2列联表:
患心脏病 患其他病 合计
秃顶
不秃顶 合计
214
451 665
175
597 772
389
1048 1437
根据表中的数据，得到:K2=
1 437 × (214 × 597 - 175 × 451)2 ≈ 16.373 > 6.635. 389 × 1 048 × 665 × 772
37.0 39.0 9 10
城市居民年收入（亿元） 38.0
39.0
42.0
43.0
44.0
44.6 46.0
48.0 51.0
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(1)画出散点图;
(2)如果散点图中的各点大致分布在一条直线附近， 求Y与x之间的回归直线方程.
(1)略
ˆ (2) y =1.447x-15.843.
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考点二
12
∑y
i =1
12
2 i
= 54 572.94,
∑x
i =1
i
yi = 182 943
r=
182943 - 12 × 205 × 72.6 (518600 - 12 × 205 )( 54572.4 - 12 × 72.6 )
2 2
≈ .999 0
查得r0.05=0.576, 因r＞r0.05,说明变量Y与x之间具有线性相关关系. 返回目录
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（1）对变量Y与x进行相关性检验； （2）如果Y与x之间具有线性相关关系，求回归直 线方程. 【分析】 求回归直线方程和相关系数， 通常用计 算器来完成.在有的较专门的计算器中，可通过直接按 键得出回归直线方程的系数和相关系数 .而如果用一般
的科学计算器进行计算 ，则要先列出相应的表格 ，有
了表格中的相关数据 ，回归方程中的系数和相关系数 都容易求出. 返回目录
【解析】（1）由题目中的数据得如下表格:
i xi yi x iy i i xi yi x iy i
1
150 56.9
2
160 58.3
3
170 61.6
4
180 64.6
5
190 68.1
6
200 71.3
8535
7 210 74.1 15561
学案5
独立性检验与
回归分析
名师伴你行

考点一 考点二
一、卡方(χ2)
y1
x1 x2 a
C a+c
y2
b d
b+d
合计
a+b
C+d
合计
a+b+c+d
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K2
n(ad- bc) 2 = . (a+ b)(c+ d)(a+ c)(b+ d)
二、三个临界值: 2.706， 3.841与6.635 经过对K2统计量分布的研究，已经得到了两个临界 值： 2.706，3.841与6.635 .当根据具体的数据算出的 K2＞2.706 时，有95%的把握说事件A与B有关;当 K2＞6.635 时，有99%的把握说事件A与B有关；当 K2≤2.706 时，认为事件A与B是无关的.
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考点一 相关与无关的判定 每立方米混凝土的水泥用量x(单位：kg)与28天后混凝土 的抗压强度Y（单位：kg/cm2）之间的关系有如下数据:
X 150
Y
56.9
160
58.3
170 180 190 200 210 220 230 240 250 260
61.6 64.6 68.1 71.3 74.1 77.4 80.2 82.6 86.4 89.7
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三、a与回归系数b的确定
(x ∑
i =1 n n i
ˆ b=
- x)(y i - y ) =
2 i - x)
x ∑y
i i =1 n
n
i
- n xy ˆ , a = y - b x.
2
(x ∑
i =1
x ∑
i
2
i
-n x
相关系数 r =
x ∑y
i =1 n 2 2
i =1 n
i
- n xy
喜欢数学 不喜欢数学 合计
男
女 合计
37
35 72
85
143 228
122
178 300
判定性别与是否喜欢数学的关系.
经计算知K2≈4.514＞3.841. ∴ 95%的把握可判定高 中生的性别与是否喜欢数学课程有关系. 返回目录
1.独立性检验可以先考虑定义，然后再考虑用K2值， 以及相关系数r的值进行判断. 2.在进行回归分析之前一定要进行相关性检验，可 以用散点图，也可以用相关系数.
回归分析
在某医院，因为患心脏病而住院的665名男性病人中， 有214人秃顶，而另外772名不是因为患心脏病而住院
的男性病人中有175人秃顶.请用独立性检验方法判断
秃顶与患心脏病是否有关系？
【分析】首先由题目中的数据画出2×2列联表，
然后根据表中的数据算出K2的值，据K2的值就可以判 断秃顶与心脏病是否有关系. 返回目录
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182943 - 12 × 205 × 72.6 (2) b = ≈ .304 0 2 518600 - 12 × 205
a=y-bx=10.28. 于是所求的线性回归方程是:
ˆ y =0.304x+10.28.
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为了进行相关性检验，通常将有关数据列成表格， 然后借助于计算器算出各个量，为求回归直线方
所以有99%的把握认为“秃顶与患心脏病有关”. 返回目录
（1）独立性检验的关键是准确地计算 K2，在计算时，要充分利用2×2列联表. （2)学习相关和无关的判定一定要结合实际问题， 从现实中寻找例子，从而增强学习数学的兴趣.
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＊对应演练＊
为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系， 在某城市的某校高中生中随机抽取了300名学生，得到 如下2×2列联表:
9328
8 220 77.4 17028
10472
9 230 80.2 18446
11628
10 240 82.6 19824
12939
11 250 86.4 21600
14260
12 260 89.7 23322
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x = 205, y = 72.6
∑x
i =1
12
2 i
= 518 600,
n 2 2
( ∑ i - n x )( ∑ i - n y ) x y
i =1 i =1
|r|≤1，并且|r|越接近1 r具有以下性质： ，线性 相关程度越强；|r|越接近0， 线性相关程度越弱 . 返回目录
四、相关检验的步骤
1.作统计假设：x与Y不具有线性相关关系. 2.根据小概率0.05与n-2在附表中查出r的一个临界值r0.05. 3.根据样本相关系数计算公式计算出r的值. 4.作统计推断.如果|r|＞r0.05，表明有95%的把握认为x与 Y之间具有线性相关关系. 如果|r|≤r0.05，我们没有理由拒绝原来的假设.这时寻求回 归直线方程是毫无意义的.
程扫清障碍.
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＊对应演练＊
在10年期间，一城市居民的年收入与某种商品的销售额 之间的关系有如下数据:
第几年 某商品销售额（万元） 第几年 某商品销售额（万元） 1 25.0 6 41.0 2 3 4 5
城市居民年收入（亿元） 32.2
31Leabharlann Baidu1
30.0 7
32.9
34.0 8
35.8 37.1