基于Julia集分形图形在服装图案设计中的应用
基于Mandelbrot集的Julia集分形图案设计
研 究 Ｍａ ｄ ｌｒｔ ｎ ｅ ｏ 集分 形 图 的混 沌 轨道 提 供 了 可能 。 ｂ
的 工具 ， 迅 速地 渗 透 到 计 算 机 科 学 等 相 关 领 域 。在 分 形 并 几 何 中 ， 多 重要 的 分 形 是 由 迭 代 产 生 的 ， 单 的 迭 代 能 许 简
够 产 生 出精 致 复 杂 而 又 色 彩 斑 斓 的 分 型 图 案 ，Ｍａ ｄ ｌ ｎ ｅ－ ｂｏ 集 和 Ｊ ｌ ｒｔ ｕｉ 就 是 其 中 常 见 的 两 种 ， 被 广 泛 地 应 用 ａ集 并
０ 引 言
分形理论是 ２ Ｏ世 纪末 人类 在 自然 科 学 领 域 中取 得 的
重 大 突破 ， 国数 学 家 Ｍａ ｄ ｌｒｔ １ ７ 美 ｎ ｅｂ ｏ 在 ９ ５年 创 立 了分 形
较 多 次 的迭 代 到 了无 穷 附 近 。如果 在 计算 机 屏 幕 上将 迭 代
区域 内各 种 不 同点 用 不 同颜 色 表示 出来 就得 到 一 个分 形 图
合 为 Ｊ ｌ 集 ， 同 的复 数 Ｃ 应着 不 同 的 Ｊ ｌ 集 。 ｕｉ ａ 不 对 ｕｉ ａ 复解 析 映 射 － ） ｚ ４ Ｃ Ｍ 集 图像 具 有 ｍ一 １ 厂 一 （ － 的 旋
转对 称 特 性 ， 具 有 旋 转对 称性 质 的参 数 相 应 的 动 力 系 统 与
之 间 的动 力 学 特 性 保 持 旋 转对 称 特 性 ， 此 ， Ｍ 集 的 一 因 在 个 对 称 参 数 区 间上 挑 选 参 数 就 可 以 构 造 出与 该 映 射 相 应
的所 有 不 同动 力 系 统 的充 满 Ｊ ｌ ｕｉ 图案 。这 些充 满 Ｊ ｌ ａ集 ｕｉ ａ
其 中 ， 为 第 次 迭 代后 的 复数 ４ｙ ， ｚ － ｉＣ为 复 数 ：＝ ｃ
分形图形学
其实对分形的理解并没有那么神奇。可以说，虽然曼德布劳特硬是制造了分形（fractal）这个名词，是个新鲜的事情，但是，分形所反映的内容本身，其苗头确实古已有之。如前所叙述的那样，分形的重要来源，是数学上的思考，属于科学研究的产物，常常是某种离散动力系统参数分布的图示。因为表现这种参数分布须借助计算机的计算和处理；而作为处理的结果，这类图示观看起来是那么的漂亮、琢磨下去又是那么的含蓄，于是它的影响远远超出了数学的领域。分形不仅引起科学家们的注意，而且在艺术界造成了轰动。社会学家从人文的角度，分析与演绎分形的哲理；艺术大师们，以审美的观点，推崇与渲染分形的艺术特征…。
参考文献：分形理论在计算机图形学中的应用
人们谈论分形，常常有两种含义。其一，它的实际背景是什么？其二，它的确切定义是什么？数学家研究分形，是力图以数学方法，模拟自然界存在的、及科学研究中出现的那些看似无规律的各种现象。在过去的几十年里，分形在物理学、材料科学、地质勘探、乃至股价的预测等方面都得到了广泛的应用或密切的注意，并且由于分形的引入，使得一些学科焕发了新的活力。数学上所说的分形，是抽象的。而人们认为是分形的那些自然界的具体对象，并不是数学家所说的分形，而是不同层次近似。
几乎在曼德布劳特获得Barnard奖章的同时，以德国布来梅大学的数学家和计算机专家H.Peotgen与P.Richter等为代表，在当时最先进的计算机图形工作站上制作了大量的分形图案；J. Hubbard等人还完成了一部名为《混沌》的计算机动画。接着，印刷着分形的画册、挂历、明信片、甚至T恤衫纷纷出笼。80年代中期开始，首先在西方发达国家，接着在中国，分形逐渐成为脍炙人口的词汇，甚至连十几岁的儿童也迷上了计算机上的分形游戏。我国北京的北方工业大学计算机图形学小组于1992年完成了一部计算机动画电影《相似》，这部电影集中介绍了分形图形的相似性，这也是我国采用计算机数字技术完成的第一部电影，获得当年电影电视部颁发的科技进步奖。
Julia集的分形特征及可视化
Julia集的分形特征及可视化分形是一种数学概念，指在自相似的基础上具有无限细节的形态。
而Julia集则是分形中的一种形式，以其美丽而复杂的图形而著称。
本文将介绍Julia集的分形特征以及如何进行可视化。
1. Julia集的定义和数学原理Julia集是由法国数学家Gaston Julia于20世纪初提出的，它属于复变函数的一种特殊表现形式。
对于复变函数f(z) = z^2 + c，其中z是复平面上的数值，c是一个常数。
Julia集就是将平面上的每个点代入该函数后，根据函数的迭代公式进行迭代。
如果点在迭代过程中趋于无穷大，则该点不属于Julia集；如果点在迭代过程中保持有限，则该点属于Julia集。
2. Julia集的分形特征Julia集的分形特征主要体现在其图形形态上。
对于不同的常数c，Julia集呈现出各种各样的形状，常常具有分支、层次分明的特点。
具体来说，Julia集的边界是由无数个自相似的小部分组成的，即边界上的任意一小段都可能与整个边界相似。
这种无限细节的结构使得Julia 集的形态异常复杂，充满了美感。
3. Julia集的可视化方法为了更好地理解和欣赏Julia集的分形特征，我们可以通过可视化方法将其呈现出来。
以下是两种常用的Julia集可视化方法：a. 色彩填充法：通过对Julia集中的每个点进行迭代计算，根据迭代的结果来为每个点上色。
根据迭代的次数，可以确定每个点的颜色深浅，从而呈现出Julia集图像的细节。
同时可以通过调整常数c的值来观察Julia集形态的变化。
b. 迭代绘制法：从画布的左上角开始，按照一定的步长遍历整个画布，对每个点进行迭代计算并绘制。
通过较小的步长和足够的迭代次数，可以绘制出更加精细的Julia集图像。
同时可以通过调整常数c的值来观察Julia集形态的变化。
4. Julia集的应用领域Julia集作为一种迷人的分形形式，已经在多个领域得到了广泛的应用和研究。
其中，数学、物理、计算机图形学等领域是主要的应用领域。
广义Julia集在防伪设计中的应用
（ Ｓ ｃ ｈ ｏ ｏ ｌ ｏ ｆ Ｍａ ｎ ａ ｇ ｅ ｍｅ ｎ ｔ Ｅ ｎ ｇ ｉ ｎ ｅ ｅ ｒ ｉ ｎ ｇ ，Ｓ ｈ ａ ｎ ｄ ｏ ｎ ｇ Ｊ ｉ ｎｚ ａ ｈ ｕ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ， Ｊ ｉ ｎ ｎ ａ ２ ５ ０ １ ０ １ ， Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ）
第２ ８卷 第 ４期
２ ０ １ ３正
山 东 建 筑 大 学 学 报
Ｊ ＯＵＲ ＮＡＬ ＯＦ Ｓ ＨＡＮ ＤＯＮＧ Ｊ Ｉ Ａ ＮＺ ＨＵ ＵＮ Ｉ ＶＥ ＲＳ ⅡＹ
Ｖ ｏ １ ． ２ ８ Ｎｏ ． ４ Ａｕ ｇ ． ２ ０ １ ３
８月
பைடு நூலகம்
文章 编 号 ： １ ６ ７ ３— ７ ６ ４ ４（ ２ ０ １ ３ ） ０ ４—０ ３ ８ ６— ０ ４
广义 Ｊ ｕ ｌ ｉ ａ集 在 防 伪 设 计 中 的 应 用
王文 ， 刘 夏
（ 山东建筑大学 管理工程学院 ， 山东 济南 ２ ５ ０ １ ０ １ ）
摘要 ： 随着经济的发展 ， 假 冒伪劣产 品越来越多 ， 而传统 的防伪技术 ， 如激光 全息 、 激光打标 、 电码 防伪等 ， 防伪 成本高 ， 易复制 ， 已逐渐失去 防伪效力 ， 因此 ， 防伪技术 的升级 已势在必行 。文 章 阐述 了防伪设计 的理论基 础 ； 且基于这些理论 ， 结合防伪标签 的设 计实 例 ， 对产 品防 伪设计 的新 方法 进行 了设计 研究 ； 该方 法对 传统 经典 Ｊ ｕ ｌ ｉ ａ集进 行推广 ， 改变影响 Ｊ ｕ ｌ ｉ ａ集的参数 ， 产生结构更加复杂的 、 形态更加 多样化的分形 图； 基于 Ｈｉ ｌ ｄ ｉ ｔ ｅ ｒ 算法 将Ｊ ｕ ｌ ｉ ａ位图转变为矢量 图后制作 成团花 ， 将生成的团花用于产品的防伪设计 。文 章主要探索 了用于产品防伪
平面图案设计在服装装饰中的重要性及具体表现——评《服装色彩与图案设计》
平面图案设计在服装装饰中的重要性及具体表现——评《服装色彩与图案设计》朱威（郑州经贸学院，河南郑州450000）在每个人的日常生活中，服装扮演着非常重要的角色，人们会在不同的时间、场合和年代穿着不同的服装。
不同的服装具有不同的特点和用途，主要通过服装装饰展现出来。
服装中的装饰是对服装的二次改造，通过多种多样的处理方式，让服装看上去更加美观、大方或实用，从而丰富服装的存在形式，对提升服装的内涵和价值具有不可忽视的作用。
当下，全球化市场给我国经济发展带来更多机遇的同时，也提出了全新的挑战。
我国的服装产业也应紧跟时代步伐，丰富服装中的装饰设计，通过增强服装的装饰性来提高服装的品牌价值，促进服装视觉传达的进步。
《服装色彩与图案设计》一书深入浅出地对服装色彩和服装图案的基本内容进行了阐释和分析，具有完善的教学脉络，符合各大高校教师的教学需要，也可以作为服装设计师的理论参考。
《服装色彩与图案设计》全书共分为四章。
第一章为基础篇，主要是服装色彩概论和服装图案概论，包括基本的色彩概论、色彩常识、服装设计中的色彩运用以及基本的图案概论、图案常识、服装设计中的图案设计等。
第二章为技能篇，主要阐述了当下的服装色彩技术和服装图案的设计技术，论述了色彩、图案和二者结合的基础技能训练，以及更深层次的技能提升训练，即研究色彩与图案在结合的过程中，展现出的形式之美法则，色彩与图案结合后对消费者所产生的心理效应、色彩与图案结合所产生的流行性元素等。
第三章为应用篇，主要论述服装色彩与图案设计的应用，包括休闲装色彩与图案设计、职业装色彩与图案设计、礼服色彩与图案设计和童装色彩与图案设计等。
第四章为赏析篇，主要列举了部分优秀的服装装饰案例，并对其进行细致分析，有助于读者更加深入地学习并了解服装装饰设计的相关理论知识和实际应用。
该书阐释了平面图案设计的基本理论。
平面设计也叫作视觉传达设计，是一种以视觉沟通外界并展现思想和讯息的设计方式。
分形的图像及应用
分形的图像及应用吕克林【摘要】本文首先阐述了分形的基本概念，并具体介绍了一些典型的分形曲线和分形集，加深读者对分形的理解。
重点描述如何生成分形的计算机图像，以及分形主要的应用领域，强调计算机科学与其他学科之间的紧密联系。
【期刊名称】《创新科技》【年(卷),期】2014(000)024【总页数】3页(P94-96)【关键词】分形;自相似;迭代;Mandelbrot【作者】吕克林【作者单位】河南省科学技术信息研究院，河南郑州 450003【正文语种】中文【中图分类】TP391.4随着计算机图形学的发展，最近几年，分形作为一种艺术形式已经相当流行。
对分形有一个基本的了解，能提高人们的鉴赏力，帮助人们更好地体会分形艺术的美。
分形作为一门刚刚诞生的学科，正在许多领域开展应用和探索。
很多传统的科学难题，都由于分形的引入取得了显著的进展。
1.1 分形的出现。
中国的海岸线有多长？很明显，这取决于测量所用的标度单位。
若以公里为标尺，会遗漏大量的细节，标尺越小，测出的海岸线就越长。
随着计算机的迅速发展，人们在讨论和处理一系列问题的时候，逐渐感到无法描述一些自然界普遍存在的对象，如海岸线，树木，岩石，云团，闪电等等。
同样对于星系分布，凝聚生长，湍流等复杂现象，也需要一门新的学科来描述。
1973年，B.B.Mandelbrot在法兰西学院讲课时，首次提出了分维和分形几何的设想。
Fractal一词由他所创，其原意具有不规则，支离破碎等意义。
分形几何是一门以非规则几何形状为研究对象的学科，也被称为大自然的几何学。
1.2 自相似性。
自相似性是指部分与整体具有相似的性质。
在自然界中，具有自相似性的客观对象是非常多的。
除了山形的起伏，河流的弯曲，树木的分枝结构外，生物体内也有许多例子，如血管或气管的分岔，神经网络等。
抽象的自相似例子就更多了，例如数列0112122312232334…，这是一个去掉奇数项后，仍然得到自身的数列。
下文中将提到的Cantor集是一个更好，更有故事的例子。
基于广义Julia集的印花图案设计
生成原理 以及通过参数控制广义 Ｊｌ 集 图形变化 的方法进行初 步研究 ， ｕａ ｉ 在此基础上 ， 运用计算 机图形技术 ， 助 电 借 子（ 印花手段 ， 喷） 对应用广义 Ｊｈ 集图形进行纺织印花图案设计 的方法 与途径进行探讨 ， 现借助计 算机可 视化 ｕａ 发
技 术 ， 于广 义 Ｊ ｉ 集 的 图形 生 成 原 理 进 行 图案 设计 ， 通 过 印 花将 可 视 化 信 息 展 现在 织 物上 是 可 行 的 ， 方 法 适 基 ｌ ｕａ 并 此 合 于 丝 巾等 印 花 图 案 的艺 术 设 计 与 表 现 。 关 键 词 广义 Ｊｌ 集 ； 算 机 绘 图方 法 ；印 花 图案 设 计 ； 花 实 验 ｕａ ｉ 计 印
ｃ ｍｐ ｔｒｖｓ ａｉａｉｎ ｅ ｈ ｏｏ ｙ． Ｔｈｓ ｏ ｕｅ ｉｕ ｌｚｔｏ ｔｃ ｎ ｌｇ ｉ ｍｅ ｏ ｉ ｓ ｉ ｂｅ ｏｒ ｒｉｔｃ ｅ ｉ ａ ｄ ｒ ｓｎ ａｉｎ ｏ ｒｎ ｉｇ ｈ ｔ ｄ ｓ ｕ ｔ ｌ ｆ ａｔｓｉ ｄ ｓｇ ｎ ｐ ｅ ｔｔｏ ｆ ｐ ｔ ａ ｎ ｅ ｉ ｎ
中图 分 类 号 ：Ｓ９ ． Ｔ １４ １ 文 献 标 识码 ： Ａ
Ｐ ｉ ｔ ｇ ｐ ｔ ｒ ｅ ｉｎ ｎ ａ ｅ ｎ ｇ ｎ ｒ ｌＪ ｌ ｅ ｒｎ ｉ ａ ｔ ｎ ｄ ｓｇ ｉ ｇ ｂ ｓ ｄ ｏ ｅ ｅ ａ ｕｉ ｓ ｔ ｎ ｅ ａ
Ｚ Ａ Ｇ Ｙ ， Ｈ Ａ ｉ ｅ ， Ｕ Ｙ ｅｉｇ Ｈ Ｎ ｕ Ｓ Ｕ Ｉ ｎ ｎ Ｆ ｕｙ Ｑ ｆ ｎ
基 于广 义 Ｊ ｌ ｕｉ 的 印 花 图案设 计 ａ集
张 聿 ，帅 沁 芬 ，付 岳 莹
（ 江 理 工 大学 ， 江 杭 州 浙 浙 ３０ １ ） １０ ８
摘
要
根据 纺 织 印花 图案 特 点 ， 用 非 线 性 科学 可 视 化 方 法 ， 部 分 高 次 幂 、 角 函数 形 式 的广 义 Ｊｌ 集 图 形 的 运 对 三 ｕａ ｉ
基于广义Julia集f(z,c)=(z α+c) β+C分形图的设计与实现
成算法与实现 ， 并阐述了它的应用价值．
１ 分形及 Ｊ ｌ ｕｉ ａ集
定义ｌ 设 Ｄ是 Ｒ 的闭子集 ， 若在子集 ｃ ｏ１ ， ∈［ ，］对所有的Ｘ ｙ ， ＥＤ有 Ｉ ｚ －ｓｙ Ｉ －ｙ ， ） （ ）≤ｃｘ 则映 ｓ （ Ｉ Ｉ 射 ： —Ｄ称为Ｄ上的压缩映射． ∈Ｄ 若等式成立 ， 则 将集变换成几何相似集 ． 设 ， Ｓ…Ｓ 是压缩映射，
记为 ， 即 Ｊ — ａ ｆ ， ｓ Ｆ．
２ 构 造 广 义 分 形 图 的选 逸 时 间算 法
（）已知动 力 系统 ｛ ， ， 定视窗 Ｗ 及逃 逸半径 Ｒ 和逃逸 时 间限制 Ｎ．２ １ Ｘ ｆ）给 （）定义逃 逸 时 间函数 ：３ （） ㈤ 一
ｚ １ ｏ（＜， Ｉ） 一 Ｉ ｚ
２０ ０ ６年 ９月
基 于广 义 Ｊ ｌ ｕｉ ｆ（ ，） （口 ）＋Ｃ ａ集 ｚ 一 ＋ 分形 图 的设 计 与 实现
张 民ｈ
（ 聊城大学 计算机学院 ， ” 山东 聊城 ２ ２ ５ ； ５ ０ ９ 大连 海事大学 航海所 ， 辽宁 大连 １ ６ ２ ） １０ ６
摘
要
以广义 的Ｊ ｌ ｕｉ 为例 ， 述 了Ｊ ｌ ａ集 论 ｕｉ 分 形 图设 计 的方 法 与结 果 ， 阐述 了Ｊ ｌ ａ集 并 ｕｉ 分 形 ａ集
９ ５
用逃 逸时 间算法 用计算 机绘 制 的图
形 ： １ 复常 数 Ｃ ０ ５＋ ０ ５， 图 为 一 ． ． ｉ口
一
４ ， ＋ 时广义 Ｊ ｌ 集分 形 － ： ｕｉ ａ
图 ， 一４ 时 广义 集类 似 ． 主 Ｏ － ／ ｒ ７ 个 要 花瓣 组 成 的花 朵 ， 沌 区嵌 于稳 混 定 区之 中 ； 白色 代 表稳 定 区 ， 色 （ 黑 代 表逃逸 区 ） ．
Julia分形与Java
齐齐哈尔大学综合实践题目Julia分形及其Java编程学院理学院专业班级信科121班学生姓名指导教师成绩Julia 分形及其Java 编程由于本学期分形学老师所讲分形主要是以MATLAB 为例，所画出的分形图像效果并不理想，尤其经过几次放大后图像就会失真。
而Java 在分形的应用上效果比MATLAB 好很多，因此下文主要介绍Julia 分形图，实例是以Java 为基础。
分形是近几十年发展起来的一门新的数学分支，它涉及的领域非常之广，有物理学、数学、化学、生物学、医学、地震学、地貌学、冶金学、材料学、哲学、经济学、社会学等等.分形的出现正在改变科学家观察自然界的传统方式,目前已对当今数学乃至整个科学界产生了巨大的影响.本文主要对分形几何中的四元数进行研究，运用四元数绘制二维和三维Mandelbrot 集和Julia 集，并用Java 语言编程实现.先后介绍了分形的产生、Mandelbrot 集和Julia 集、四元数分形和用四元数绘制三维Mandelbrot 集和Julia 集的数学理论，关键词：分形，四元数，Julia 集，Java 程序设计一、Mandelbrot 集与Julia 集1、 Mandelbrot 集1980年, Mandelbrot 给世人提供了一幅无与伦比的杰作: Mandelbrot 集.其创作过程如下:令c z z f +=2)(, 其中C c z ∈,,z 是复变量，c 是复常数.对变换f 施行逃逸时间法, 得到如下迭代公式[1]:pq n n c z z +=+21 (1.1)式中)0,0(0=z ,pq c 为计算机荧屏位于),(q p 位置的象素. 于是(1.1)式成了pq pq pq pq pq n c c c c c z z ++++++=+22222201)))))((((( (1.2)给定N 为一个正整数, 比如等于255. 当象素位于),(q p 且N n =时,n z 仍然小于预设的一个阈值K , 则在),(q p 位置着色为1(蓝色), 否则当N n <时, 已有K z n ≥, 则在),(q p 位置描色为n . 如此),(q p 遍历整个荧屏后, 便画出了一幅Mandelbrot 集. 该集合的坐标如图2-1所示.图2-1 Mandelbrot 集的坐标图为什么说Mandelbrot 集是分形呢? 实在是它的层层嵌套中有很多很多的自相似部分.部分经逐级放大后, 又出现了一个Mandelbrot 湖.经典的M-集是由映射c z +2得来, 人们自然会采用更多的函数, 从而得到各种各样的M-集, 又称广义M-集.c z z n n +=+cos 1;c e z z c n n ++=+)arcsin(21; c c z z n n ++=+)cosh arctan(81.2、 Julia 集Gaston Julia(1893－1978)，法国数学家.1919年，他在第一次世界大战时受了伤，住院期间他潜心研究了迭代保角变换c z z n n +=+21. 这种复平面上的变换能生出一系列令人眼花缭乱的图形变化. 当时没有电子计算机，不能像现在那样把如此美妙绝论的图案奉献于世. 因此他的工作并不为世人重视.虽然产生Julia 集和Mandelbrot 集的变换都是3,2,1,0,21=+=+n c z z n n (1.3)但这里的常数c 却是任意复数, 变元0z 是计算机荧屏上的每个象素. 当0z 遍历象素),(q p 的所有点且对公式(1.3)运用逃逸时间法后, 便得到一幅Julia 集c J 了.令c= -0.65175; 0.41850;便得到 图2.2图2-2Julia 集(c= -0.65175; 0.41850;)由于Mandelbrot 集(有时简称其为M-集)和Julia 集都源于同一个变换, 因此它们之间必定有非常复杂的关系. 由于每一个常数 c 都对应一个c J , 而M-集上的每个点都是一个c , 所以M-集合的所有点就对应着数以万计的c J . 图2-3正显示了它们两者之间的这种关系. 看得出, 相近的c 值, 对应的c J 也就较为相似.图2-3 Mandelbrot 集和Julia 集从图2.3可以看出, 凡是M-集的边界点, 其对应的c J 就显有分枝状. 这里面有太多的奥妙.由于一幅Julia 集完全依赖于常数c , 所以我们常常把它简记为c J .图2-4 c 不同的Julia 集与M-集一样, Julia 集也有其广义集. 图2.4的四幅图分别对应于函数:1. )sin(cos sin 2z z c z =2. )cos(πz c z ⋅=3. πc z z z +⋅=cos )log(cosh4. πc z z z +⋅=cos )tanh(cos.二维Julia 集，用牛顿迭代算法方法进行图形绘制，绘制范围：5.1～5.1:-x 0.2～0.2:-yC= (0.67,0.48)绘制结果如图2-5所示：图2-5 二维Julia 集之二二、四元数分形与四元数Mandelbrot 集和Julia 集1、 四元数基本理论我们都熟悉平面上复数z , 其中bi a z +=, 而1-=i . 无疑, 十八世纪以前创立的复数是数学史上的一件大事. 那末是否有高维的复数呢? 所谓的超复数(hypercomplex 或supercomplex)是这样定义的:令ck bj ai w z +++=, 其中i 和k j ,都是虚数, 它们满足下述运算要求:11=-====-=-==-=-==ijk kk jj ii j ik i kj k ji j ki i jk k ij看得出, 它们的乘法满足交换律.两个超复数的乘法公式是:令 k z j y i x w h 11111+++=和k z j y i x w h 22222+++=.则+---=)(2121212121z z y y x x w w h h +--+i z y y z x w w x )(21212121 +-+-j z x y w x z w y )(21212121 kz w y x x y w z )(21212121+++其它运算法则就不再赘述.1843年, 爱尔兰数学家William R. Hamilton(哈密尔顿)发明了四元数(quaternion). 一个四元数q 的定义是这样的:zk yj xi w q +++= (2.1)其中z y x w ,,,是实数,k j i ,,是虚数, 且有1222-====ijk k j i (2.2)q 的模2222z y x w q +++=. (2.3)一个四元数Q 可以由平面上的两个复数v u ,来表示:⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=bi a di c di c bi a u v v u Q (2.4) 其中d c b a ,,,是实数.v u ,分别是复数v u ,的共轭.一个四元数也能用[]w z y x q ,,,= (2.5)来表示.一个平面上的复数由实部和虚部构成: bi a z +⋅=1, 一个四元数Q 同样也能由若干部分线性组合而成:zK yJ xI wU Q +++= (2.6)其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡≡1001U (2.7)⎥⎦⎤⎢⎣⎡-≡i i I 00 (2.8) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-≡0110J (2.9) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡≡00i i K (2.10) 于是U K J I -===222 (2.11)也就是说,K J I ,,是矩阵方程 U X -=2的解, 是负单位矩阵的平方根.一个四元数整系数基的线性组合也叫Hamilton 整数. 在4R 空间, 四元数的基是如下四个:⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=10000010001000011 (2.12) ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=0100100000010010i (2.13) ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=0001001001001000j (2.14) ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=0010000110000100k (2.15) 与超复数不同, 四元数的三个虚数之间的运算并不遵从乘法交换律, 其运算规则如下:k ji ij =-= (2.16) i kj j =-= (2.17) j ik ki =-= (2.18)看起来很象三维空间直角坐标系中三个单位向量k j i ,,的叉乘关系.设 zk yj xi w q +++=, 则其四元共轭为zk yj xi w q ---=.其加法遵从一般规律:k z z j y y i x x w w q q )()()()(2121212121+++++++=+.设],,,[],,,,[22221111z y x w q z y x w p ==, 其乘法服从)(21212121z z y y x x w w pq ---= i y z z y w x x w )(21212121-+++ j x z w y z x y w )(21212121++-+ kw z x y y x z w )(21212121+-++q 的模仍然遵从一般复数关系.)(q q q q q norm == (2.19)且等于公式(2.3).一个四元数可以写成一个数量加上一个向量).,(v w q=其中向量 [,,]v x y z =. 如此一来, 两个四元数的乘法就变得较为简单:),(),(221121v w v w q q⋅=),(2112212121v v v w v w v v w w⨯++⋅-= 四元数的除法也遵从复数关系qq qp q p p p p p ==-和1 从几何上来讲, 四元数代表着时间加三维空间. 如果固定实数w 为常数, 则这个四元数就是三维空间的一个变量.0)(lim=→qq f q2 四元数Mandelbrot 集和Julia 集记q 和c 为四元数, 按第二章中Mandelbrot 集的迭代法,2,1,0,21=+=+n c q q n n (2.20)就得到一幅3维四元数(把实数w 看作常数, 并认定其为第四维)Mandelbrot 集了.四元数Julia 集是4维空间中的Julia 集，同样使用公式,2,1,0,21=+=+n c q q n n其中),2,1,0( =n q n 和c 都是四元数. 生成四元数Julia 集的方法与普通复数情况类似，只需迭代公式(2.20), 只是c 是一个固定的四元数而已. 迭代时要观察 ||n q 的敛散情况.把第四维看作时间，可以认为我们生成的是一个三维动画片. 实际操作时,一般取第四维为常数，这样我们得到的是静止的三维图像. 程序主体结构与二维情况也类似，我们用多重循环扫描一个三维立方体内部所有的点，就知道该点是否属于Julia 集了. 做法如下: 对每一个y对每一个 x 对每一个z作迭代,2,1,0,21=+=+n c q q n n其中],,,0[n n n n z y x q =. 当M n =时, n q 仍属于集合的话就退出这一层循环我们并不计算z 轴方向上的所有点，那样速度太慢. 对于给定的一组),(y x ，只要沿z 轴方向找到第一个属于Julia 集合的点就够了, 其它的点被挡住，让看不见. 这样，就大大提高程序的运行速度. 也有广义的四元数Julia 集. 不过由于以四元数为自变量的函数计算过于困难, 目前还仅仅处理q 的多项式.结 论在分形几何中，许多重要的分形是由迭代产生的.因为迭代可以使一些看似简单的函数产生惊人的复杂性，Julia 集就是其中一种.由于迭代函数的多样性，Julia 集可以在计算机图形工具的辅助下呈现为色彩斑斓、结构优美的分形图案，因此可广泛应用于纺织印染、广告设计、服装设计、装潢设计以及计算机美术教学等领域.可见，研究Julia 集的生成算法具有重要的理论意义和实际价值.逃逸时间算法是生成Julia 集的经典算法，它具有基本原理简单、绘图精度高、占用内存少等优点附：代码。
基于JULIA集的非线性分形图像压缩算法的研究
Ａｂ ｔ ａ ｔ ｎ ｅ ｔ ｄ ｔ ｎ ｌｆ ｃａ ｇ ｏ ｒ ｓｉｎ ａｇ ｒ ｈ ｉ ｂ ｓ ｄ Ｏｌｓ ｌ —ｓｍｉ ｒ ｙ ｏ ａ ｍａ ｅ ｓｒ ｃ １ ｉ ｏ ａ ａ ｔ ｉ ｅ ｃ ｍｐ ｅ ｓ ｌｏｉ ｍ ｓ ａｅ ｉ ｅｆ ｉ ｌ ｉ ｆｌ ｌ ｉ ｇ ．Ａ ｎ ｖ ｌ ａｇ ６ ｈ ｉ ｄ － ａ ｒ ｉ ｉ ｌ ｍａ ｏ ｔ ａｔ ｃ ｏ ｏ ｅ ｌ ｏ ｔｍ ｓ ｅ ｓ ｎ ｄ ｉ ｉ ａｔ ｌ ：ｆ ｓ ，ｉ ｕ ｅ ｓ ａ ｅ ｔ ｌｏ ｔ ｍ ｒａｅ４×４ Ｊ ｎ ｏ ｅ ｔ ｎ ｅ ｏ ｄ ｔ ｓ ｓｍｅ ｓ ｒｍｅ ｔｒｌ ａ ｕ ｅ４ ｉ ｅ ｔ ｓ ｒ ｃｅ ｉ ｔ ｔ ｓ ｓｅ ｃ ｐ ｉ ａｇ ｒ ｈ ｔ ｃｅ ｔ ｇ ｎｈ ｉ ｒ ｍｅ ｉ ｏ ＵＩ ｃ ｌ ｃ ｏ ．Ｓ ｃ ｎ ，ｉ ｕ ｅ ａ ｕ ｅ ｎ ｕｅ ｔ ｍｅ ｓ ｒ ｉ ｏ
Ｋｅ ｒ ｓ Ｊ 『 Ａ ｃｌ ｔ ｎ，ｆａｔ ，ｃｎｅｖｔ ｎｍａｐｎ ，ｐａｅ ｓａ ｄ ｔ ｙｗｏ ｄ １ Ｊ ｏ ｅ ｉ Ｉ ｃ ｏ ｒｃａ ｏ ｓｒａｉ ｐ ｉｇ ］ ，ｅｃｐ ｉ ｌ ｏ ｎ ｅ ｍｅ
Ｃｌｓ ｕ ｅ １Ｐ １ ａ ｓ ｎ ｍｂ ｒ ］ ７ ３
Ｊｃ ｉ实现了 自 ａｕ ｑｎ 动图像压缩算法…。 传统的分形 图像压缩算法ｌ首先将所要处理 ２ ｊ
的图像进行无重叠分割 ， 记做 Ｒ块 。然后在该 图 像 中取出更大的图像块 ， 记做 Ｄ块 （ 以和 Ｒ块和 可 重叠 ） 。设定 块为定义域块 ， 压缩公式如下 ： ｛ （ Ｄ） ｝ ａ 盯・ ＋△ （） １
“Julia曲线”集合与分形图像的压缩编码
的 ‘ （ 个 灰度 ） ． 值 整个 １８ ２ 索的正方形 按 ２ ×１８象
上述方 法处 理 后 ， 对 应 一 个 ８×８象 素 的正 方 就
形， 本文 称 这个 ８×８象 素的正 方形 为一个量 化的 “ｕｉ ｊｌ ａ曲线” 对“ｕｉ Ｊｌ ａ曲线 ” 一 种 方 式量 化 还 不 能 满 足 接 图像压 缩编 码 的要求 ， 因此 ， 当选 取多个适 当 的 应 整数 ， 对每 个分 割后 的 １ ×１ 素的小 正方形 的 ６ ６象 量化灰度 值 求 和后 除 以选 取 的多个 适 当的 整数 ， 这样 ， 条 “ｕａ曲线 ” 得 到 了多 种 量化 形 式 ． 一 Ｊｌ ｉ 就 另 外 ． 图像 进 行压 缩 编码 时再 附 加上 相应 的 区 对
它作为 ８ ×８象 素正方 形 矩 阵 （ 称 为 图像 块 ） 或 上
逃逸 点集 合所构 成 的 ． ｃ充分大 时 ， 当 可以证 明平 面上 的所 有 点都 是 逃 逸 的 点 因 此， ｃ充 分 大 当 时 ，Ｊｌ “ｕｉ ａ曲线” 一 个 空集 合 ． 据 这个 结 论 ． 是 根 为 了用 “ｕｉ Ｊｌ ａ曲线” 匹配要 编 码的 图 像 ， 去 仅需 要 考
平面 直角 坐标 系 的原 点 为 中 点， 两组 对边 分别 平 行于 坐标 轴 、 长 为 ４的正方 形 中 的 点就 完全 可 连 以了 ， 又根 据 Ｍａｄｌｒｔ ｎ ｅ ｏ 集与 “ｕｉ ｂ Ｊｌ ａ曲线 ” 间的 之 关 系， 所要考 虑 的复 数 ｃ的范 围还 可 以进 一 步地 缩小， 以减少可 能要 搜索 的 匹配范 围 ．
初始化 每个 象 索 点 的值 为 ０ 如 果该 点 是 逃 ．
利用Julia集进行纺织图案设计初探
令 ｚ＝ ＝ ＝Ｘ＋ ｉ， ｙ Ｃ— ａ４ ｂ Ｘ ，Βιβλιοθήκη ，ｂ －ｉ， ，Ｙ ａ ∈Ｒ， 由
ｆｚ 一 ｚ ＋ Ｃ 得 （） 可
Ｊ ｌ 集 完全 依赖 于 复 常 数 ｃ 图 １是 不 同的 Ｃ值 所 ｕｉ ａ ，
对 应 Ｊ ｌ 图 案 ｕｉ ａ
２ Ｊｌ ｕｉ 的 可 视 化 ａ集
在 Ｊｌ ｕｉ ａ集迭 代过 程 中 ， 按某 种规 则对 复平 面 内
从 图案设计 的角度 ， 以发现 Ｊ ｌ 可 ｕｉ ａ图案具 有 以
算 ｋ —ｋ＋ １ ；
（ ）计算 ｒ＝ －ｙ 。若 ｒ Ｍ 则 选择颜 色 ３ ＝ ４ ＝ｘ ＞ ｋ 转 至 第 （ ） ； ｋ — Ｋ 则 选 择 颜 色 ０ 转 至 第 ， ４步 若 ，
（ ） ； ｒ≤ Ｍ 且 ｋ ４步 若 ＜Ｋ 则转 至第 （ ） ； ２步 （ ）对 点 ｎ ，ｎ 显 示颜 色 ｋ 并 转 至第 （ ） ４ ， １ 步计 算 下一 点 。
△ｘ ＝ — Ｘ ｍ
—
－
ａｘ
— —
Ｘ ｍｉ ｎ
—
；
Ａｙ 一
；
１ Ｊ ｌ 集 的定 义 ｕｉ ａ
对所 有 的点 （ ｎ ） １ 一 ０ １ …… ，ｗ一１ ｎ ， ，． ３ ， ， 及
Ｊ ｌ 集 是 由法 国数 学 家 Ｊ ｌ ｕｉ ａ ｕｉ ａ和 Ｆ ｔｎ在 发展 ａｏ
图 １ 不同 ｃ 对应的 Ｊｌ 值 ｕｉ 案 ａ图
（ ）丰 富 的 自相 似结 构＿ ３ ４ ］ 局部与整体相似 。实际上这种 自相似结构是无 穷 无尽的 ， 分形数学证明 Ｊｌ 集具有无限精细的结构 。 ｕｉ ａ （ ）超现 实主义 的平面 和色 彩构成 ４ 大多数 Ｊ ｌ ｕｉ 案超 出 了一 般 设 计 人 员 的想 象 ａ图 范围， 能给 人们 带来 强烈 的视 觉冲 击力 。 对 称性 使 得 Ｊ ｌ ｕｉ 案 非 常 适 合 用 于 纺 织 品 。 ａ图
分形理论发展历史及其应用
、分形理论1.1、引言欧氏几何、三角学、微积分学使我们能够用直线、圆、抛物线等其他简单曲线来建立现实世界中的形状模型。
比如，零维的点、一维的线、二维的面、三维的立体乃至四维的时空等，它们所描述的几何对象是规则和光滑的。
而在自然界中存在着大量的复杂事物：变幻莫测的云彩、雄浑壮阔的地貌、回转曲折的海岸线、动物的神经网络、不断分叉的树枝、纵横交流的血管烧结过程中形成的各种尺寸的聚积团等等。
面对这些事物和现象，传统科学显得束手无策。
因为目前还没有哪一种几何学能更好地描述自然形态，象山、云、火这类的自然形态尚缺少必要的数学模型。
近30 年来，科学家们朦胧地“感觉” 到了另一个几何世界，即关于自然形态的几何学，或者说分形几何学。
这种几何学把自然形态看作是具有无限嵌套层次的逻辑结构，并且在不同尺度之下保持某种相似的属性，例如，一块磁铁中的每一部分都像整体一样具有南北两极，不断分割下去，每一部分都具有和整体磁铁相同的磁场。
这种自相似的层次结构，适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构不变。
于是在变换与迭代的过程中得到描述自然形态的有效方法(其中L系统和IFS方法便是典型的代表)。
分形理论是非线性科学的一个重要分支，主要研究的就是自然界和非线性系统中出现的不光滑和不规则的具有自相似性且没有特征长度的形状和现象。
1.2、分形理论的起源与发展1967年美籍数学家曼德布罗特(B.B.Mandelbort)在美国权威的《科学》杂志上发表了题为《英国的海岸线有多长?》的著名论文。
海岸线作为曲线，其特征是极不规则、极不光滑的，呈现极其蜿蜒复杂的变化。
我们不能从形状和结构上区分这部分海岸与那部分海岸有什么本质的不同，这种几乎同样程度的不规则性和复杂性，说明海岸线在形貌上是自相似的，也就是局部形态和整体态的相似。
在没有建筑物或其他东西作为参照物时，在空中拍摄的 1 00公里长的海岸线与放大了的10 公里长海岸线的两张照片，看上去会十分相似。
基于广义Julia集分形图与其参数关系分析
［］ １ 张静． 于 实数 分形的 图案设计［ ． 息技 术与信 息化 ，２ １ ， ２． 基 Ｊ信 ］ ０ ０ １） （
［】 ２惠红梅． 分形—— 艺术之 美［ ． Ｊ 科技信息 ，２ １ ， ） ］ ０ ０（ ． ９
［】 ３李常． 一种基于广义 Ｍ— Ｉ 集的安 全底 纹设计 方法［ ＿ Ｊ 计算机 应用与软件 ，２ １， １ ］ ０ １ １） （ ．
［】 ］ ． 派特根 ，Ｈ． 希特 ． ９［ Ｈ 一 德 Ｏ． Ｐ 里 ． 分形一 美的科 学［ ． Ｍ］ 北京 ：科 学出版社 ，１９ ， １ ９４（ ） １．
（ 上接 １６ 原点） 页） ３ 所运动的周数也恰好为 厂 ｚ （） 绕原 点（ 复平面 ＿的原 点） 厂 ， 所运动 的周数．
引理知 ： 复平 面 上 的 《 （， 间的环形 区域 在 二，） 之 ）
内必有一点ｚ 使当ｚ ｏ 位于Ｚ时， ＿（） 。 ， Ｚ在复平面 ＾ 上的相应位置ｆ（。 恰好为此处的原点，即 ｚ） ｆ（０ ＝０，也就是方程（至少有一个复根Ｚ ， ｚ） ２ ） ｏ
亦即方程 （ 至少有一个复根 ｚ ． １ ）
乎全为逃逸点 ，当Ｉｌ１ ，其负偶数 的 Ｊ ｌ ｍ＞ ４时 ｕｉ 图像 皆为吸引区域包 围逃逸 区域 ，中间的主星型逃逸 区 ａ集 域为拟椭 圆 ，有 个较为清 晰的星型结构 的逃逸 区域均匀 的分布在主星型逃逸区域的 四周。 ３ Ｔ为奇数时 ，无论正负 ，其图像 皆为逃 逸区域处于吸引区域的包 围之中并且有 ｍ个 主瓣均匀分布 ．Ｉ Ｉ
［】 ４唐颖． 分型在数 字喷墨 印花 图案设计 中的应 用［ ． Ｊ 纺织导报 ，２ ０ ， ） ］ ０ ９ ６． （ ［］ ５邰光 玉． 分形 图案在 艺术设计 中的应 用［ ． Ｊ 艺术与设计 ，２ ０ ， ） ］ ０ ９ １． （ 【］ 以文， 杰． 几何 原理及其应 用［ ． 州 ：浙江大学 出版社 ，１９ ， １ ６金 鲁世 分形 Ｍ］ 杭 ９ ８（ ） １． ［】 ７王兴元． 一个非解析复映射的广义 Ｍａｄ ｌ ｏ 集［ ’ 理工大学学报 ，２ ０ ， ） ｎ ｅ ｒｔ Ｊ 大连 ｂ ］ ０ ９（ ． １
数学与艺术的创造性结合
数学与艺术的创造性结合将促进跨学科研究的发展，开拓新的研究领域和思路。
随着科技的不断进步，数学与艺术的创造性结合将为跨学科研究提供更多的可能性，例如数 字艺术、数据可视化等。
未来，数学与艺术的创造性结合将进一步推动跨学科研究的发展，促进不同领域之间的交流 与合作。
跨学科研究的可能性将带来更多的创新和突破，为人类文明的发展做出更大的贡献。
几何图形与色彩的结合：几何图形可以通过色彩的变化来表达画面的情感和主题，增强画面的 表现力。
分形艺术的起源：混沌 理论、数学家曼德布罗 特和计算机科学家法尔 科内等人的贡献
分形艺术的发展：从简 单的二维分形到复杂的 三维分形，以及在音乐、 诗歌和其他艺术形式中 的应用
分形艺术的影响：对现 代艺术、设计和科学领 域的影响，以及在教育、 娱乐和商业领域的应用
跨学科合作：未来 将有更多的跨学科 合作，数学家、艺 术家和工程师等不 同领域的专家将共 同探索新的艺术形 式和创作方式。
数字化艺术：随着 数字化技术的不断 发展，数学与艺术 的创造性结合将更 加广泛地应用于数 字艺术领域，如动 态图像设计、虚拟 现实和增强现实等。
创新教育：未来将 有更多的教育机构 和课程将数学与艺 术创造性结合作为 教育内容，培养更 多具有创新思维和 实践能力的人才。
汇 报 人 ：XX
数学与艺术的 关系
艺术对数学发 展的影响
数学在艺术创 作中的表现
数学与艺术创造 性结合的未来展 望
PART ONE
分形艺术：分形理论在艺术创作中的应用，如Mandelbrot集和Julia集等。
数学与音乐：数学结构在音乐理论中的应用，如音阶和和声等。
数学与建筑设计：几何学和拓扑学在建筑设计中的应用，如巴塞罗那的米拉之家和罗马 的圣心教堂等。
数学与艺术：结合数学与艺术创作,培养学生创造力与美感
个人、学校和社会的责任和作用
个人：积极探索数学与艺术的新领域，培养自己的创造力和美感
社会：支持数学与艺术的跨界合作，推广相关文化活动，提高公众对数学与艺术的认识和欣赏水平
学校：提供多样化的数学与艺术课程，鼓励学生参与相关活动，培养他们的兴趣和才能
汇报人：XX
感谢观看
创造力与美感的关系
创造力是艺术的核心，美感是艺术的本质
创造力与美感相互促进，共同发展
通过数学教育培养学生的逻辑思维能力，有助于提高其创造力和美感
创造力和美感在个人和社会发展中具有重要价值
创造力与美感在数学与艺术中的体现
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艺术中的色彩搭配和构图技巧可以培养学生的美感。
数学结构：通过数学结构培养学生的空间感和美感
数学与音乐：将数学与音乐结合，培养学生的节奏感和创造力
艺术课程中的数学元素
数学在艺术构图中的应用，如黄金分割、对称等
数学在色彩搭配中的应用，如色彩的对比、调和等
数学在立体造型中的应用，如几何形体、透视等
数学在动态变化中的应用，如节奏、韵律等
数学与艺术结合的创作活动
案例的启示与借鉴意义
数学与艺术结合有助于培养学生的创造力和美感，提高综合素质。
案例中的实践方式可以借鉴到其他学科教育中，促进跨学科融合。
教育工作者应该关注学生的创造力和美感发展，提供多样化的教育方式。
案例的启示是教育应该注重学生的全面发展，培养学生的创新思维和实践能力。
案例的局限性及改进方向
案例选择有限：目前的数学与艺术结合的实践案例数量较少，需要进一步挖掘和拓展。
数学与艺术的相互影响
数学对艺术的影响：数学中的比例、对称、几何图形等元素常被用于艺术创作，为艺术家提供灵感和指导。
光学分形实验报告
分形图形学实验报告指导实验报告要求1. 实验名称2. 实验目的、要求3. 实验主要内容（某某算法的实现）4. 实验过程（程序流程图、源代码）5. 实验结果（附上打印的图形）6. 实验小结实验报告一一般分形图形生成实验目的1. koch曲线、sierpinski三角形、cantor集的计算机实现2. 掌握用迭代、递归生成分形实验内容及步骤1、 koch曲线函数：plot(x1,y1) –(x2,y2) （画直线函数）sin( ) （正弦函数）cos( ) （余弦函数）arctan( ) （反正切函数）12、 sierpinski三角形函数： plot(x1,y1) –(x2,y2) （画直线函数）sin( ) （正弦函数）cos( ) （余弦函数）23、 cantor集3实验报告二 l系统语言生成分形图形实验目的1. 掌握用l系统语言生成分形2. koch曲线、sierpinski三角形、cantor集的l系统实现4实验内容及步骤1. 编写程序用l系统语言生成分形图形1) 编写程序生成koch曲线:初始图形是一条线段，生成过程是将线段中间1/3向外折起。
程序伪码如下：kochcurve { ；柯赫曲线angle 6 ；角度增量是60°axiom f ；初始图形是一单位线段f=f+f--f+f ；产生式是将线段中间1/3折起} ；结束2) 用l系统再次生成sierpinski三角。
生成sierpinski三角的伪码如下：hilbert{ ；sierpinski三角，1996-12 angle 4 axiom y ；初始串为任意字母y x=-yf+xfx+fy- ；第一个生成规则y=+xf-yfy-fx+ ；第二个生成规则，由以上规则不断代换 } 3) 模拟草本植物。
注意这里出现了“括号”——可以方便地表示树枝，伪码如下：herbplant { ；生成植物，本程序使用了括号angle 14axiom zz=zfx［+z］［-z］x=x［-fff］［+fff］fx}5篇二：光学实验报告建筑物理——光学实验报告实验一：材料的光反射比、透射比测量实验二：采光系数测量实验三：室内照明实测实验小组成员：指导老师：日期：2013年12月3日星期二实验一、材料的光反射比和光透射比测量一、实验目的与要求室内表面的反射性能和采光口中窗玻璃的透光性能都会直接或间接的影响室内光环境的好坏，因此，在试验现场采光实测时，有必要对室内各表面材料的光反射比，采光口中透光材料的过透射比进行实测。
分形图形中的茹利亚(julia)集
分形图形中茹利亚集（2013-7-17）牛顿分形：在区域[ –2，2]2内确定40000个规则点（初值点），横坐标为实部，纵坐标为虚部，构造40000个复数。
分别以这些复数做迭代初始值，用牛顿迭代法求解方程：。
将收敛到三个根的初值点分别做三种色，称为牛顿分形图；将不收敛的初值点的集合称为Julia 集。
013=−z图1牛顿迭代法收敛域 图2 牛顿迭代法不收敛域在计算过程中使用向量化编程，将这40000个复数做为200阶的复方阵进行数据块迭代。
MATLAB 程序如下(文件名:newtonlab3)r1=1;r2=-(1+i*sqrt(3))/2;r3=conj(r2); %给出方程z 3– 1 = 0的三个根t=linspace(-2,2,200);[x,y]=meshgrid(t); %确定40000个网格点坐标Z=x+i*y;A0=ones(size(x)); %设置迭代初值及不收敛域矩阵A1=zeros(size(x));A2=A1;A3=A1; %设置收敛域矩阵for n=1:8Z=Z-(Z.^3-1)./(3*Z.^2+eps); %实现牛顿迭代endII=find(abs(Z-r1)<=.05);A1(II)=ones(size(Z(II))); %给第一收敛域矩阵赋值 II=find(abs(Z-r2)<=.05);A2(II)=ones(size(Z(II))); %给第二收敛域矩阵赋值 II=find(abs(Z-r3)<=.05);A3(II)=ones(size(Z(II))); %给第三收敛域矩阵赋值 A0=A0-A1-A2-A3;A=A0+2*A1+3*A2+4*A3; %给不收敛域矩阵赋值 figure(1),pcolor(x,y,A0),shading interp %绘Julia 图figure(2),pcolor(x,y,A),shading interp %绘收敛域图另两个图形是与混沌相关的分形图，一是Julia 图，二是Mandelbrot 图图3 Julia 图 图4 Mandelbrot 图 Julia 图的出现是为了研究计算格式的迭代行为，其中，。
[分形学] Julia Set (茱莉亚集) VC 源代码
![[分形学] Julia Set (茱莉亚集) VC 源代码](https://img.taocdn.com/s3/m/f67e92f5f705cc17552709bc.png)
关于Julia Set (茱莉亚集) 的介绍什么的我就不多说了，网上一大堆。
执行效果如图：关于Julia Set，可以通过设置复数c 的初值，显示出不同的图案，比如，大家可以试试以下几组：c.re = 0.45, c.im = -0.1428;c.re = 0.285, c.im = 0.01;c.re = 0.285, c.im = 0;c.re = -0.8, c.im = 0.156;c.re = -0.835, c.im = -0.2321;c.re = -0.70176, c.im = -0.3842;随便用哪行替换掉源程序中的“c.re = -0.75, c.im = 0;”就可以看到不同的图案了。
循环变量k 是迭代次数，在某些参数下需要高一些会更精细。
为了美观，还需要修改一下颜色部分，目前代码中的颜色是这样的：HSLtoRGB((float)((k<<5) % 360), 1.0, 0.5)这行代码中的k 的取值范围是0~180，将其映射到HSL 颜色空间中的色相上(360 度)。
全部代码如下：// 程序名称：分形学 - Julia Set (茱莉亚集)// 编译环境：Visual C++ 6.0，EasyX 2011惊蛰版// 最后更新：2010-9-9//#include <graphics.h>#include <conio.h>/////////////////////////////////////////////////// 定义复数及乘、加运算/////////////////////////////////////////////////// 定义复数struct COMPLEX{double re;double im;};// 定义复数“乘”运算COMPLEX operator * (COMPLEX a, COMPLEX b){COMPLEX c;c.re = a.re * b.re - a.im * b.im;c.im = a.im * b.re + a.re * b.im;return c;}// 定义复数“加”运算COMPLEX operator + (COMPLEX a, COMPLEX b){COMPLEX c;c.re = a.re + b.re;c.im = a.im + b.im;return c;}/////////////////////////////////////////////////// 主函数/////////////////////////////////////////////////void main(){// 初始化绘图窗口initgraph(640, 480);/////////////////////////////////////////////////// 绘制 Julia Set (茱莉亚集)/////////////////////////////////////////////////COMPLEX z, c;c.re = -0.75, c.im = 0; // 设置迭代初值int x, y, k; // 定义循环变量for(x = 0; x < 640; x++){for(y = 0; y < 480; y++){z.re = -1.6 + 3.2 * (x / 640.0);z.im = -1.2 + 2.4 * (y / 480.0);for(k = 0; k < 180; k++){if ( z.re * z.re + z.im * z.im > 4.0 ) break;z = z * z + c;}putpixel(x, y, (k >= 180) ? 0 : HSLtoRGB((float)((k << 5) % 360), 1.0, 0.5));}}// 按任意键退出getch();closegraph();}+1。
分形几何在实际生活中的应用
课程名称：分形几何在实际生活中的应用英文名称：Fractal Geometry and itsApplications课题组成员名单：李蕴白（组长）、俞梦倩、杨婷怡、成祖泓、楼琪伟、杨德峻选用教材或参考书：教材：《分形几何---数学基础与应用》参考书：K.J.Falconer, The Geometry of fractal sets, Cambridge Univ. Press※课题背景人们常说，数学是一门古老的学科，无论是历史悠久的《九章算术》，还是让欧几里德全球闻名的不朽名著《几何原本》，都在古代起就对数学这门学科的发展起到极其重要的作用。
但是也有一些新问题是在二十世纪中后期才被发现的，分形几何就是其中最具有代表性的。
分形几何被誉为大自然的几何学，它又是现代数学的一个崭新分支。
它的发现填补了数学领域上实际应用较少的空白，但是它的本质却是一种新的世界观和方法论。
它的发现是人类打开了一个完全崭新、令人兴奋中带着些惊讶的几何学大门。
但人熟知分形几何时，他们会有不可思议的发现——原来分形几何无处不在，而且正因为在地球上有了分形几何之一学科，世界才会变得更加精彩，分形几何这一新兴的数学领域触及到我们生活中许多学科方面的知识，比如天文学、地理学、经济学、气象学、生物学、电影摄像学，以及另外的一些自然科学等等。
也许有人说，分形几何和代数、方程一样，在一般的实际生活中几乎没有应用和实例。
其实不然。
在生活、学习、工业、农业、饮食、文化、娱乐、气象、交通等等各个领域中都有着许许多多的应用与实例，只要做个有心人，仔细观察身边的事物就能找到它们了。
由此我们可以看出分形几何的应用十分广泛。
但是，它的应用究竟有多广泛呢？因此我们将围绕“分形几何在生活中的应用的广泛程度”为课题作进一步的探究。
研究目的：对分形几何的知识有初步的了解，在生活中找实例来研究分形几何的实用性，一边去拓宽思维及更好的应用。
研究方法：研究方法是理论与实际相结合，大约能分成六个阶段。
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基于 Ｊ ｌ ｕｉ ａ集分 形 图形在 服 装 图案 设 计 中的应 用
蔡 燕 燕 ，宋 晓 霞
（ 海工程技术大学 服装学院 ， 海 ２１２） 上 上 ０ ６ ０
摘 要 ：对 Ｊ ｌ ｕｉ 分形 图形 的生 成方 法进 行 了研 究． 用 可视 化技 术分 析二 次及 高 ； ｕｉ集 的 分 ａ集 应 ￣Ｊ ｌ ａ
形 图形 的生成 方 法 ， 总结 了不 同参 数 下 生成 分 形 图形 的 变化 规律 ， 并将 迭 代 函数 改 变 生 成 Ｊ ｌ ｕｉ ａ 集 的分形 图形 ． 结果表 明 ， 经过 Ｘ ａ ｅ 软 件 无 缝 拼 接 得 到 的 图形 与服 装 设 计 软件 Ｐ ｉ Ｖｉ ｏ Ｆ ｄｒ ｒ ｍａ ｓ ｎ ｉ
种变 异方 法 ， 包括 修改 参数 、 常数 、 放值 和颜 色参 缩 数等 ， 而达 到生 成 各 种 花 型 图 案 的 目的． 宝珠 从 谢 等［ 运用 可视 化 技术 和 图像 处 理 手段 研 究 了 基 于 ３ Ｊｌ ｕｉ 的分 形 图 形 的 丝 绸 面 料 肌 理 效 果 ， 提 出 ａ集 并
第 ２ ５卷 第 ２期
２１ ０ １年 ６月
上
海
工
程 ２ ． ． ５ ＮＯ ２
Ｊ ＯＵＲＮＡＬＯＦＳ ＨＡＮＧＨＡＩ ＵＮＩ Ｒ Ｉ Ｙ ＮＧＩ Ｅ ＮＧ Ｓ Ｉ Ｃ ＶＥ Ｓ Ｔ ＯＦＥ ＮＥ ＲＩ Ｃ ＥＮ Ｅ
Ｊ ｎ ２ １ ｕ． ０１
文 章 编 号 ：１ ０ ０ ９—４ ４ ２ １ ） ２—０ ７ —０ ４ Ｘ（ ０ １ ０ １１ ４
Ｔｈ ｅ ｕｔｓ ｏ ｈ ｔｔ ｅｃ ｍｂｎ ｔ ｎ ｏ ｕｉ ｇ ａ ｈｃ ｆ ｒｓａ ｅ ｓｓ ｌ ｉｇ ｏ ｅｒ ｓ ｌ ｈ ｗｓｔ ａ ｈ ｏ ｉａｉ ｆＪ ｌ ｒｐ ｉｓａｔ ｅ ｍｌｓ ｐｉ ｎ ｆＸＦａ ｅ ｔ ｒｍａ ｓｏ ｏ ａ ｅ ｃ ｄ ｒｗｉ Ｐ ｉ Ｖｉｉｎ ｈ
ｆ ｓ ｏ ｄｅ ｉ ｎ ｓ ｆｗａ ｅ ｃ ｎ ｄ ｓ ｌ ｙ ｏ ｅ ａｌｄ ｓｇ ｆｅ ｔｍ ｏ ｅ ｉ ｔ ｉｉ ｅｙ ａ ｈｉｎ ｓｇ ｏ ｔ ｒ ａ ｉｐ ａ ｖ ｒ ｌ ｅ ｉｎ ｅ ｆ ｃ ｒ ｎ ｕ ｔｖ ｌ ．
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Ｄｅ ｉ ｎ Ｂａ ｅ ｎ Ｊ ｌ ｅ ｓｇ ｓ ｄ ｏ ｕ ｉ Ｓ ｔ ａ
ＣＡＩ Ｙａ ｙ ｎ，ＳＯＮＧ ａ — ａ ｎ— ａ Ｘｉｏ ｘｉ
（ ｌｅ ｅ ｏ ａ ｈｉ ｎ，Ｓｈ ｎ ａ ｎ ｖ ｒ ｉ ｆＥｎ ｉ ｅ ｒｎ ｃ ｅ ｃ ，Ｓ ａ ｇ ａ ０１ ２０，Ｃｈ ｎ ） Ｃｏ ｌｇ ｆ Ｆ ｓ ｏ ａ ｇｈ ｉＵ ｉ ｅ ｓ ｔ ｏ ｇ ｎ ｅ ｉ ｇ Ｓ ｉ ｎ ｅ ｙ ｈ ｎ ｈ ｉ２ ６ ｉ ａ
Ｊ ｌ 集 是 复动力 系 统 中一 个 相 当重 要 的分 形 ｕｉ ａ 集 ， 生 成 的分形 图形 色 彩绚 丽 、 构精 细 复杂 ． 其 结 近年 来 ，ｕｉ 集 在纺织 服 装 领域 的应 用 ， 内已 有 Ｊｌ ａ 国
一
了基 于 Ｊ ｌ ｕｉ ａ集分 形 图形 的丝绸 面料 肌 理效果 的设 计 方法 ． 关 于具 体 的 Ｊ ｌ 但 ｕｉ 生 成 的分 形 图 形 在 ａ集
服 装 图案设 计 中应用 的研 究还 不太 多． 本文研 究 了
些 研究 ． 马燕 等 研 究 了 Ｊ ｌ ｕｉ 分 形 图形 的各 ａ集
Ｊ ｌ 集 分形 图形 的生 成 方 法及 图 形 的规 律 ， 采 ｕｉ ａ 并 用 迭代 函数 改 变 得 到 分 形 图 形 ， 服 装 设 计 软 件 与 Ｐ ｉ Ｖｉ ｏ ｒ ｍａ ｓ ｎ相 结合 ， 正 将 分 形 图 形应 用 到服 装 ｉ 真 图 案 的设 计 中．
收 稿 日期 ： ０ １ ３ ４ ２ １ —０ —２
作 者简 介 ： 燕 燕 （９ ６一） 女 ， 读 硕 士 ， 究 方 向 为 数 字 化 服 装 技 术 ． — ｉ：ａｙｎ ａ ２ ＠ １ ３ ｃｒ 蔡 １８ ， 在 研 Ｅ ｍａ ｃｉａｙ ｎ ７ ６ ．ｏ ｌ ｎ 指 导 教 师 ：宋 晓 霞 （ ９ ２ ， ， 教 授 ， 士 ， 士 生 导 师 ， 究 方 向 为 服装 压 力舒 适 性 、 字 化 服装 技 术 １ ７ 一） 女 副 博 硕 研 数
相 结合 ， 以更 直观地展 示整体设 计 效果 ． 可
关键 词 ： ｕｉ ；分形 图形 ； 装 图案 ；图案设 计 Ｊｌ ａ集 服 中 图分类 号 ： ４ ＴＳ９ １ 文献标 志码 ： Ａ
Ａｐ ｉ ａ ｉ ｎ ｏ ａ ｔ ｌＧｒ ｐ ｃ ｎ Ｃｌ ｔ ｎｇ Ｐａ ｔ ｒ ｐｌｃ ｔｏ ｆＦｒ ｃ ａ ａ ｈｉ ｓ ｉ ｏ ｈｉ ｔｅ ｎ