高中数学第二章推理与证明2.2.1第2课时分析法及其应用学业分层测评新人教B版选修1_2
高中数学 第2章 推理与证明 2.2.1 综合法与分析法讲义 新人教B版选修2-2-新人教B版高二选
2.2.1 综合法与分析法学习目标核心素养1．理解综合法、分析法的意义，掌握综合法、分析法的思维特点．(重点、易混点)2．会用综合法、分析法解决问题．(重点、难点)通过学习证明数学问题的两种重要方法，提升学生的逻辑推理素养.一、综合法1．直接证明(1)直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性．(2)常用的直接证明方法有综合法与分析法．2．综合法(1)定义：综合法是从原因推导到结果的思维方法，也就是从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论．(2)符号表示：P0(已知)⇒P1⇒P2⇒…⇒P n(结论)．二、分析法1．定义：分析法是一种从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法．也就是从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实．2．符号表示：B(结论)⇐B1⇐B2⇐…⇐B n⇐A(已知)1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)综合法是执果索因的逆推证法．( )(2)分析法就是从结论推向已知．( )(3)综合法的推理过程实际上是寻找它的必要条件的过程．分析法的推理过程实际上是寻求结论成立的充分条件的过程．( )[答案](1)×(2)×(3)√2．已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c－1≥8.证明过程如下：∵a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，∴1a －1＝b ＋c a >0，1b －1＝a ＋c b >0，1c －1＝a ＋b c>0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1＝b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋b c ≥2bc ·2ac ·2ab abc＝8， 当且仅当a ＝b ＝c 时取等号，∴不等式成立． 这种证法是__________(填综合法、分析法)．[解析] 本题从已知条件出发，不断地展开思考，去探索结论，这种证法是综合法． [答案] 综合法3.6－22与5－7的大小关系是________． [解析] 假设6－22>5－7，由分析法可得， 要证6－22>5－7，只需证6＋7>5＋22， 即证13＋242>13＋410，即42>210. 因为42>40，所以6－22>5－7成立． [答案] 6－22>5－7综合法的应用__________．(2)已知方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根组成一个首项为12的等比数列，则|m －n |＝__________.(3)下面的四个不等式：①a 2＋b 2＋3≥ab ＋3(a ＋b )；②a (1－a )≤14；③b a ＋a b ≥2；④(a2＋b 2)·(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2.其中恒成立的有__________．[解析] (1)∵cos A cos B >sin A sin B ， ∴cos A cos B －sin A sin B >0，∴cos(A ＋B )>0，即cos(π－C )>0，∴cos C <0，又0<C <π，∴π2<C <π，所以△ABC 是钝角三角形．(2)设方程的四个根分别为x 1，x 2，x 3，x 4，则由题意可知，x 1＝12，x 1x 4＝x 2x 3＝2，∴x 4＝4.设公比为q ，则x 4＝x 1q 3，∴4＝12·q 3，∴q ＝2，∴x 2＝1，x 3＝2，由根与系数的关系可得，m ＝x 1＋x 4＝92，n ＝x 2＋x 3＝3，∴|m －n |＝32.(3)①a 2＋b 2＋3＝a 22＋32＋b 22＋32＋a 22＋b 22≥2a 22×b 22＋2a 22×32＋2b 22×32＝ab ＋3(a ＋b )(当且仅当a 2＝b 2＝3时，等号成立)．②a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14≤14.③当a 与b 异号时，不成立．④∵a 2d 2＋b 2c 2≥2abcd ，∴(ac ＋bd )2＝a 2c 2＋b 2d 2＋2abcd ≤a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2＝(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)，故不等式恒成立，所以①②④恒成立．[答案] (1)钝角三角形 (2)32(3)①②④1．综合法处理问题的三个步骤2．用综合法证明不等式时常用的结论(1)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )；(2)a ＋b ≥2ab (a ≥0，b ≥0)．1．综合法是( ) A ．执果索因的逆推证法 B ．由因导果的顺推证法 C ．因果分别互推的两头凑法 D ．原命题的证明方法 [答案] B分析法的应用【例2】 设a ，b 为实数，求证：a 2＋b 2≥22(a ＋b )． [思路探究] 待证不等式中含有根号，用平方法去根号是关键． [解] 当a ＋b ≤0时，∵a 2＋b 2≥0， ∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立． 当a ＋b >0时，用分析法证明如下： 要证a 2＋b 2≥22(a ＋b )， 只需证(a 2＋b 2)2≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤22(a ＋b )2，即证a 2＋b 2≥12(a 2＋b 2＋2ab )，即证a 2＋b 2≥2ab .∵a 2＋b 2≥2ab 对一切实数恒成立， ∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立． 综上所述，不等式成立．1．当已知条件简单而证明的结论比较复杂时，一般采用分析法，在叙述过程中“要证”“只需证”“即要证”这些词语必不可少，否则会出现错误．2．逆向思考是用分析法证题的主题思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件，正确把握转化方向，使问题顺利获解．2．已知a >0，1b －1a>1，求证：1＋a >11－b. [证明] 由已知1b －1a>1及a >0可知0<b <1，要证1＋a >11－b，只需证1＋a ·1－b >1， 只需证1＋a －b －ab >1， 只需证a －b －ab >0，即a －bab>1， 即1b －1a>1，这是已知条件，所以原不等式得证．综合法与分析法的综合应用1．综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？提示：综合法与分析法的推理过程是演绎推理，它们的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”．2．综合法与分析法有什么区别？提示：综合法是从已知条件出发，逐步寻找的是必要条件，即由因导果；分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因．【例3】 已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 为等差数列，且a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，求证：(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1．[思路探究] 先求出角B ，然后利用余弦定理转化为边之间的关系解决． [解] 法一：(分析法)要证(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1， 即证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c， 只需证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋cb ＋c＝3，化简，得ca ＋b ＋ab ＋c＝1，即c (b ＋c )＋(a ＋b )a ＝(a ＋b )(b ＋c )， 所以只需证c 2＋a 2＝b 2＋ac .因为△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列， 所以B ＝60°，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，即a 2＋c 2－b 2＝ac 成立．∴(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1成立． 法二：(综合法)因为△ABC 的三内角A ，B ，C 成等差数列， 所以B ＝60°. 由余弦定理，有b 2＝c 2＋a 2－2ac cos 60°. 所以c 2＋a 2＝ac ＋b 2， 两边加ab ＋bc ，得c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )，两边同时除以(a ＋b )(b ＋c )，得ca ＋b ＋ab ＋c＝1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋b ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋c ＋1＝3， 即1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c， 所以(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1．综合法由因导果，分析法执果索因，因此在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来使用，即先利用分析法寻找解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程.3．设x ≥1，y ≥1，证明：x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy .[证明] 因为x ≥1，y ≥1，所以要证明x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy ，只需证明xy (x ＋y )＋1≤y ＋x ＋(xy )2. 将上式中的右式减左式，得 [y ＋x ＋(xy )2]－[xy (x ＋y )＋1] ＝[(xy )2－1]－[xy (x ＋y )－(x ＋y )] ＝(xy ＋1)(xy －1)－(x ＋y )(xy －1) ＝(xy －1)(xy －x －y ＋1) ＝(xy －1)(x －1)(y －1)． 因为x ≥1，y ≥1，所以(xy －1)(x －1)(y －1)≥0，从而可得不等式x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy 成立.1．下面叙述正确的是( ) A ．综合法、分析法是直接证明的方法 B ．综合法是直接证法，分析法是间接证法 C ．综合法、分析法所用语气都是肯定的 D ．综合法、分析法所用语气都是假定的 [解析] 直接证明包括综合法和分析法． [答案] A2．欲证不等式3－5＜6－8成立，只需证( ) A ．(3－5)2＜(6－8)2B ．(3－6)2＜(5－8)2C ．(3＋8)2＜(6＋5)2D ．(3－5－6)2＜(－8)2[解析] 要证3－5＜6－8成立，只需证3＋8＜6＋5成立，只需证(3＋8)2＜(6＋5)2成立．[答案] C3．将下面用分析法证明a 2＋b 22≥ab 的步骤补充完整：要证a 2＋b 22≥ab ，只需证a 2＋b 2≥2ab ，也就是证__________________，即证__________．由于__________显然成立，因此原不等式成立． [解析] 用分析法证明a 2＋b 22≥ab 的步骤为：要证a 2＋b 22≥ab 成立，只需证a 2＋b 2≥2ab ，也就是证a 2＋b 2－2ab ≥0，即证(a －b )2≥0.由于(a －b )2≥0显然成立，所以原不等式成立．[答案] a 2＋b 2－2ab ≥0 (a －b )2≥0 (a －b )2≥04．设a ＞0，b ＞0，c ＞0，若a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c的最小值为________．[解析] 因为a ＋b ＋c ＝1，且a ＞0，b ＞0，c ＞0，所以1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋a b ＋c b ＋b c ＋a c ＋c a≥3＋2b a ·ab＋2c b ·b c ＋2c a ·ac＝3＋6＝9. 当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立． [答案] 95．已知a ＞0，b ＞0，求证：a b ＋ba≥a ＋b .(要求用两种方法证明) [证明] 法一：(综合法) 因为a ＞0，b ＞0，所以a b ＋b a －a －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b －b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a －a ＝a －b b ＋b －a a＝(a －b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1a ＝(a －b )2(a ＋b )ab ≥0，所以a b ＋b a≥a ＋b . 法二：(分析法) 要证a b ＋ba≥a ＋b ，只需证a a ＋b b ≥a b ＋b a ，即证(a －b )(a －b )≥0，因为a ＞0，b ＞0，所以a －b 与a －b 符号相同，不等式(a －b )(a －b )≥0成立，所以原不等式成立．。
高中数学 第二章 推理与证明 2.1.1 合情推理学案 新人教B版选修2-2(2021年最新整理)
高中数学第二章推理与证明2.1.1 合情推理学案新人教B版选修2-2 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第二章推理与证明2.1.1 合情推理学案新人教B版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第二章推理与证明2.1.1 合情推理学案新人教B版选修2-2的全部内容。
2．1.1 合情推理1．了解推理的结构及合情推理的定义．(易混点）2．了解归纳推理的定义与特点，掌握归纳推理的一般步骤，能利用归纳推理解决问题．（重点)3．了解类比推理的定义与特点,掌握类比推理的一般步骤，能利用类比推理解决简单的问题．（重点、难点）[基础·初探］教材整理1 推理与合情推理阅读教材P53，完成下列问题．1．推理的定义根据一个或几个已知的事实(或假设)得出一个_______________________，这种思维方式叫做推理．2．推理的结构推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设），叫做__________；一部分是由已知推出的判断，叫做__________．3．推理的分类推理一般分为__________推理与__________推理．4．合情推理前提为真时，结论__________为真的推理，叫做合情推理．【答案】1。
判断2。
前提结论3。
合情演绎4．可能如图2。
1.1所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边(包括两个端点）有n(n〉1,n∈N＋）个点,每个图形总的点数记为a n，则a6＝_________________，a n＝________（n>1，n∈N）．＋图2.1。
高中数学 第二章 推理与证明本章整合 新人教B版选修22
高中数学 第二章 推理与证明本章整合 新人教B 版选修2-2知识网络专题探究专题一 合情推理与演绎推理1．归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳，然后提出猜想的推理，我们统称为合情推理．合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向．归纳推理的思维过程大致如下：实验，观察→概括，推广→猜测一般性结论 类比推理的思维过程大致如下：观察，比较→联想，类推→猜测新的结论 2．演绎推理是由一般到特殊的推理，又叫逻辑推理．其中三段论推理是演绎推理的主要形式．演绎推理具有如下特点： (1)演绎的前提是一般性原理，演绎所得的结论完全蕴涵于前提之中．(2)演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系，演绎推理是数学中严格证明的工具． (3)演绎推理是一种收敛性的思维方法，它创造性较少，但却具有条理清晰、令人佩服的论证作用，有助于科学的理论化和系统化．【例1】 证明下列各等式，并从中归纳出一个一般性的结论． 2cos π4＝2，2cos π8＝2＋2，2cos π16＝2＋2＋ 2.证明：2cos π4＝2×22＝2，2cos π8＝2×1＋cosπ42＝2×1＋222＝2＋2，2cos π16＝2×1＋cosπ82＝2×1＋122＋22＝2＋2＋ 2.……从以上各式归纳可得一般性的结论如下： 2cos π2n ＋1＝2＋2＋2＋… (n ∈N ＋，n ≥1)．【例2】 已知椭圆具有性质：若M ，N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P的位置无关的定值．试对双曲线x 2a 2－y 2b2＝1写出具有类似特性的性质，并加以证明．解：类似的性质为：若M ，N 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．证明：设点M ，P 的坐标为(m ，n )，(x ，y )， 则N (－m ，－n )．因为点M (m ，n )在已知双曲线上，所以n 2＝b 2a2m 2－b 2.同理y 2＝b 2a2x 2－b 2.因为k PM ·k PN ＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y 2－n 2x 2－m 2＝b 2a 2·x 2－m 2x 2－m 2＝b 2a 2(定值)，所以k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值． 专题二 直接证明与间接证明1．直接证明的两种基本方法是综合法与分析法． 综合法与分析法的区别与联系：分析法的特点是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的充分条件．综合法的特点是：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，实际上是寻找它的必要条件．分析法与综合法各有其特点．有些具体的问题，用分析法或综合法都可以证明出来，人们往往选择比较简单的一种．在解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使用．根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q ；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P .若由Q 可以推出P 成立，就可以证明结论成立．2．反证法是一种间接证明命题的方法，它的理论基础是互为逆否命题的两个命题为等价命题，反证法反映了“正难则反”的证明思想．用反证法证明问题时要注意以下三点：(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能的情况，缺少任何一种可能，反证都是不完全的；(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法；(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实矛盾等，推导出的矛盾必须是明显的．【例3】 设集合S ＝{x |x ∈R 且|x |＜1}，若S 中定义运算“*”，使得a *b ＝a ＋b 1＋ab.证明：(1)如果a ∈S ，b ∈S ，那么a *b ∈S ；(2)对于S 中的任何元素a ，b ，c ，都有(a *b )*c ＝a *(b *c )成立． 证明：(1)由a ∈S ，b ∈S ，则|a |＜1，|b |＜1，a *b ＝a ＋b1＋ab， 要证a *b ∈S ，即证|a *b |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋b 1＋ab ＜1，只需证|a ＋b |＜|1＋ab |， 即只需证(a ＋b )2＜(1＋ab )2， 即证(1－a 2)(1－b 2)＞0. ∵|a |＜1，|b |＜1， ∴a 2＜1，b 2＜1，∴(1－a 2)(1－b 2)＞0成立， ∴a *b ∈S . (2)(a *b )*c ＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 1＋ab *c ＝a ＋b ＋c ＋abc 1＋ab ＋ac ＋bc ，同理a *(b *c )＝a *⎝⎛⎭⎪⎫b ＋c 1＋bc ＝a ＋b ＋c ＋abc 1＋ab ＋ac ＋bc，∴(a *b )*c ＝a *(b *c )．【例4】 有10只猴子共分了56个香蕉，每只猴子至少分到1个香蕉，最多分到10个香蕉，试证：至少有两只猴子分到同样多的香蕉．证明：假设10只猴子分到的香蕉都不一样多．∵每只猴子最少分到一个香蕉，至多分到10个香蕉， ∴只能是分别分到1,2,3，…，10个香蕉．此时10只猴子共分了：1＋2＋3＋…＋10＝55(个)，这与共分了56个香蕉相矛盾， 故至少有两只猴子分得同样多的香蕉． 专题三 归纳—猜想—证明的方法探索性命题是近几年高考试题中经常出现的一种题型，此类问题未给出问题结论，需要由特殊情况入手，猜想、证明一般结论．它的解题思路是：从所给条件出发，通过观察、试验、归纳、猜想，探索出结论，然后再对归纳、猜想的结论进行证明．【例5】 若不等式1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋13n ＋1＞a24对一切正整数n 都成立，求正整数a 的最大值，并证明你的结论．解：取n ＝1，11＋1＋11＋2＋13×1＋1＝2624.令2624＞a24，得a ＜26，而a ∈N ＋， 所以取a ＝25，下面用数学归纳法证明 1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1＞2524. (1)当n ＝1时，已证结论正确． (2)假设当n ＝k (k ∈N ＋)时，结论成立， 即1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋1＞2524， 则当n ＝k ＋1时，有 1k ＋＋1＋1k ＋＋2＋…＋13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3＋1k ＋＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ＋2＋13k ＋3＋13k ＋4－1k ＋1＞2524＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤13k ＋2＋13k ＋4－2k ＋. 因为13k ＋2＋13k ＋4＝k ＋9k 2＋18k ＋8＞k ＋k 2＋2k ＋＝2k ＋，所以13k ＋2＋13k ＋4－2k ＋＞0，所以1k ＋＋1＋1k ＋＋2＋…＋1k ＋＋1＞2524， 即当n ＝k ＋1时，结论也成立． 由(1)(2)可知，对一切n ∈N ＋，都有1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1＞2524， 故a 的最大值为25.。
高中数学第二章推理与证明2.2.1综合法与分析法学业分层测评新人教B版选修2_2
2.2.1 综合法与分析法(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．在证明命题“对于任意角θ，cos 4θ－sin 4θ＝cos 2θ”的过程：“cos 4θ－sin 4θ＝(cos 2θ＋sin 2θ)(cos 2θ－sin 2θ)＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ”中应用了( )A ．分析法B ．综合法C ．分析法和综合法综合使用D ．间接证法【解析】 此证明符合综合法的证明思路．故选B. 【答案】 B2．要证a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只需证( ) A ．2ab －1－a 2b 2≤0 B ．a 2＋b 2－1－a 2＋b 22≤0C.a ＋b22－1－a 2b 2≤0D ．(a 2－1)(b 2－1)≥0【解析】 要证a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0， 只需证a 2b 2－a 2－b 2＋1≥0， 只需证(a 2－1)(b 2－1)≥0，故选D. 【答案】 D3．在集合{a ，b ，c ，d }上定义两种运算⊕和⊗如下：那么，d ⊗(a ⊕c )等于( ) A ．a B ．b C ．cD ．d【解析】 由⊕运算可知，a ⊕c ＝c ，∴d ⊗(a ⊕c )＝d ⊗c .由⊗运算可知，d ⊗c ＝a .故选A. 【答案】 A4．欲证2－3<6－7成立，只需证( ) A ．(2－3)2<(6－7)2B ．(2－6)2<(3－7)2C ．(2＋7)2<(3＋6)2D ．(2－3－6)2<(－7)2【解析】 ∵2－3<0，6－7<0，故2－3<6－7⇔2＋7<3＋6⇔(2＋7)2<(3＋6)2.故选C. 【答案】 C5．对任意的锐角α，β，下列不等式中正确的是( ) A ．sin(α＋β)>sin α＋sin β B ．sin(α＋β)>cos α＋cos β C ．cos(α＋β)>sin α＋sin β D ．cos(α＋β)<cos α＋cos β 【解析】 因为0<α<π2，0<β<π2，所以0<α＋β<π，若π2≤α＋β<π，则cos(α＋β)≤0， 因为cos α>0，cos β>0.所以cos α＋cos β>cos (α＋β)． 若0<α＋β<π2，则α＋β>α且α＋β>β，因为cos(α＋β)<cos α，cos(α＋β)<cos β， 所以cos(α＋β)<cos α＋cos β，总之，对任意的锐角α，β有cos(α＋β)<cos α＋cos β. 【答案】 D 二、填空题6．命题“函数f (x )＝x －x ln x 在区间(0,1)上是增函数”的证明过程“对函数f (x )＝x －x ln x 求导得f ′(x )＝－ln x ，当x ∈(0,1)时，f ′(x )＝－ln x >0，故函数f (x )在区间(0,1)上是增函数”应用了________的证明方法．【解析】 该证明方法是“由因导果”法．【答案】 综合法7．如果a a >b b ，则实数a ，b 应满足的条件是__________． 【解析】 要使a a >b b ， 只需使a >0，b >0，(a a )2>(b b )2， 即a >b >0. 【答案】 a >b >0 8．若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是__________.【导学号：05410046】【解析】 若对任意x >0，x x ＋3x ＋1≤a 恒成立，只需求y ＝xx ＋3x ＋1的最大值，且令a 不小于这个最大值即可．因为x >0，所以y ＝xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3≤12x ·1x＋3＝15，当且仅当x ＝1时，等号成立，所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞. 【答案】 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞三、解答题9．已知倾斜角为60°的直线L 经过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，其中O 为坐标原点．(1)求弦AB 的长； (2)求三角形ABO 的面积．【解】 (1)由题意得，直线L 的方程为y ＝3(x －1)， 代入y 2＝4x ，得3x 2－10x ＋3＝0. 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝103.由抛物线的定义，得弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝103＋2＝163.(2)点O 到直线AB 的距离d ＝|－3|3＋1＝32，所以三角形OAB 的面积为S ＝12|AB |·d ＝433. 10．已知三角形的三边长为a ，b ，c ，其面积为S ，求证：a 2＋b 2＋c 2≥43S . 【证明】 要证a 2＋b 2＋c 2≥43S ，只要证a 2＋b 2＋(a 2＋b 2－2ab cos C )≥2 3 ab sin C ，即证a 2＋b 2≥2ab sin(C ＋30°)，因为2ab sin(C ＋30°)≤2ab ，只需证a 2＋b 2≥2ab ，显然上式成立．所以a 2＋b 2＋c 2≥43S .[能力提升]1．设a >0，b >0，若3是3a 与3b的等比中项，则1a ＋1b的最小值为( )A ．8B ．4C ．1 D.14【解析】 3是3a与3b的等比中项⇒3a·3b＝3⇒3a ＋b＝3⇒a ＋b ＝1，因为a >0，b >0，所以ab ≤a ＋b 2＝12⇒ab ≤14，所以1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥114＝4. 【答案】 B2．已知关于x 的方程x 2＋(k －3)x ＋k 2＝0的一根小于1，另一根大于1，则k 的取值范围是( )A ．(－1,2)B ．(－2,1)C ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)【解析】 令f (x )＝x 2＋(k －3)x ＋k 2. 因为其图象开口向上，由题意可知f (1)<0， 即f (1)＝1＋(k －3)＋k 2＝k 2＋k －2<0， 解得－2<k <1. 【答案】 B3．如果a a ＋b b >a b ＋b a ，则实数a ，b 应满足的条件是__________.【导学号：05410047】【解析】 a a ＋b b >a b ＋b a ⇔a a －a b >b a －b b ⇔a (a －b )>b (a －b )⇔(a －b )(a －b )>0⇔(a ＋b )(a －b )2>0，故只需a ≠b 且a ，b 都不小于零即可． 【答案】 a ≥0，b ≥0且a ≠b4．已知α，β≠k π＋π2，(k ∈Z )且sin θ＋cos θ＝2sin α，sin θcos θ＝sin 2β.求证：1－tan 2α1＋tan 2α＝1－tan 2β＋tan 2β. 【证明】 要证1－tan 2α1＋tan 2α＝1－tan 2β＋tan 2β成立，即证1－sin 2αcos 2 α1＋sin 2 αcos α＝1－sin 2βcos 2β2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin 2βcos β.即证cos 2α－sin 2α＝12(cos 2β－sin 2β)，即证1－2sin 2α＝12(1－2sin 2β)，即证4sin 2α－2sin 2β＝1， 因为sin θ＋cos θ＝2sin α， sin θcos θ＝sin 2β，所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝4sin 2α，所以1＋2sin 2β＝4sin 2α， 即4sin 2α－2sin 2β＝1. 故原结论正确.。
高中数学(人教B版,选修22)第二章 推理与证明+课件+同步测试+本章整合+综合素质检测(13份)2
由此可知：等差数列{an}之所以有等式成立的性质，关键
在于在等差数列中有性质：an＋1＋a19－n＝2a10＝0，类似地，在
等比数列{bn}中，也有性质：bn＋1·b17－n＝b
2 9
＝1，因而得到答
案：b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N*)．
解法2：因为在等差数列中有“和”的性质a1＋a2＋…＋an
比
OA′ AA′
＋
OB′ BB′
＋
OC′ CC′
＝1得出结论，再类比“面积法”用
“体积法”进行证明．
[解析] 如图，设O为四面体V－BCD内任意一点，连接 VO、BO、CO、DO并延长交对面于V′、B′、C′、D′， 类比关系为OVVV′′＋OBBB′′＋OCCC′′＋ODDD′ ′＝1.
类比平面几何中的“面积法”，可用“体积法”来证明．
学法归纳总结
1．归纳推理 (1)归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些 相同性质；②从已知的相同性质中推出一个能明确表述的一 般性命题．简称为：观察、归纳、猜想． (2)归纳推理的特点：①归纳推理是从特殊到一般，具体 到抽象的推理形式，因而，由归纳所得的结论超越了前提所 包含的范围；②归纳推理是根据已知的条件(现象)推断未知 的结论(现象)，因而结论具有猜测的性质；③归纳推理是立 足于观察、经验或实验的基础上的．
把该数列的后一项减去前一项，得一新数列 1,2,2,3,3,4,4,5，….
把原数列的第一项2添在新数列的前面，得到 2,1,2,2,3,3,4,4,5，….
于是，原数列的第n项an，就等于上面数列的前n项和， 即
a1＝2＝1＋1＝2， a2＝2＋1＝1＋(1＋1)＝3， a3＝2＋1＋2＝1＋(1＋1＋2)＝5， a4＝2＋1＋2＋2＝1＋(1＋1＋2＋2)＝7， …，
高中数学第二章推理与证明2.1.1合情推理预习导航新人教B版选修1-2
高中数学第二章推理与证明 2。
1.1 合情推理预习导航新人教B版选修1-21．合情推理前提为真时,结论可能为真的推理，叫做合情推理．归纳推理和类比推理是数学中常用的合情推理．思考1你能举出日常生活中应用合情推理的例子吗？提示：在日常生活中我们常常遇到这样一些问题：看到天空乌云密布，燕子低飞,蚂蚁搬家等现象时，我们会得出一个判断--天要下雨了;张三今天没来上课，我们会推断-—张三一定生病了；谚语说：“八月十五云遮月，正月十五雪打灯”等．特别提醒（1）合情推理的根据是已有的事实和正确的结论（包括定义、定理、公理等)、实验和实践的结果，以及个人的经验等．（2)合情推理的结论具有偶然性，既可能为真，也可能为假．（3)合情推理不能作为数学证明的工具，但它能为我们提供证明的思路方向,对于数学的创新和发现十分有用．2．归纳推理(1）概念根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理(简称归纳）．归纳是从特殊到一般的过程．(2)归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想)．特别提醒(1）归纳是依据特殊现象推断一般现象，因而,由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围．(2）归纳是依据若干已知的现象推断未知的现象,因而结论具有猜测性．(3）归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分析的基础上,提出带有规律性的结论．思考2古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：其中（1）中的数称为三角形数,(2）中的数称为正方形数，你能举出一个既是三角形数，又是正方形数的数吗？提示:可先归纳出通项公式，（1）中a n＝错误!，(2)中b m＝m2，令m2＝错误!（n＋1)，其中m,n∈N＋，可探索出m＝35，n＝49能满足，此时对应的数为 1 225，当然这样的数不唯一．3．类比推理(1）概念:根据两类不同事物之间具有某些类似（或一致）性,推测其中一类事物具有与另一类事物类似（或相同)的性质的推理，叫做类比推理（简称类比）．（2)类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或一致性;②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想)．特别提醒 (1)如果类比的两类事物的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的结论就越可靠．(2)类比的结论具有偶然性，既可能真，也可能假．思考3归纳推理和类比推理有何区别与联系？提示：类比推理和归纳推理的结论都是有待于证明的．归纳推理是由特殊到一般的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理．两种推理在探索未知数学领域都具有重要作用．尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文稿在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。
高中数学 第2章 推理与证明本章归纳总结课件 新人教B
(3)对任意的 n∈N＋， Sn＋1－4Sn＝4n＋31－1＋n＋12n＋2－4(4n－3 1＋nn2＋1) ＝－12(3n2＋n－4)≤0. 所以不等式 Sn＋1≤4Sn，对任意 n∈N＋皆成立．
专题二 综合法、分析法、反证法的应用
综合法的应用
设 a>0，b>0，a＋b＝1，求证：1a＋1b＋a1b≥8. [证明] ∵a>0，b>0，a＋b＝1， ∴1＝a＋b≥2 ab， ab≤12，ab≤14，∴a1b≥4. 又1a＋1b＝(a＋b)(1a＋1b)＝2＋ba＋ab≥4， ∴1a＋1b＋a1b≥8.
在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈ N＋.
(1)证明数列{an－n}是等比数列； (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn； (3)证明不等式 Sn＋1≤4Sn，对任意 n∈N＋皆成立．
[解析] (1)由题设 an＋1＝4an－3n＋1，得 an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N＋. 又 a1－1＝1，所以数列{an，－n}是首项为 1，且公比为 4 的等比数列． (2)由(1)可知 an－n＝4n－1，于是数列{an}的通项公式为 an ＝4n－1＋n. 所以数列{an}的前 n 项和 Sn＝4n－3 1＋nn2＋1.
专题三 数学思想方法 分类讨论思想
ab<1.
设函数 f(x)＝|lgx|，若 0<a<b，且 f(a)>f(b)，求证：
[证明] 当0<a<b≤1时， f(x)＝－lgx， 且满足f(a)>f(b)，得0<ab≤1； 当1≤a<b时， f(x)＝lgx， 则必有f(a)<f(b)，与已知矛盾； 当0<a<1≤b时， f(a)＝－lga，f(b)＝lgb， 由f(a)>f(b)，得－lga>lgb， ∴lga＋lgb<0， 即lgab<0，∴ab<1. 综上所述，ab<1.
高中数学 第二章 推理与证明 2.2.1 第2课时 分析法及其应用学业分层测评 新人教B版选修12
2.2.1 第2课时 分析法及其应用(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.若a ，b ∈R ，则1a 3>1b3成立的一个充分不必要条件是( )A.ab >0B.b >aC.a <b <0D.ab (a －b )<0【解析】 由a <b <0⇒a 3<b 3<0⇒1a 3>1b 3，但1a 3>1b3不能推出a <b <0.∴a <b <0是1a 3>1b3的一个充分不必要条件.【答案】 C2.求证：7－1>11－ 5. 证明：要证7－1>11－5， 只需证7＋5>11＋1，即证7＋27×5＋5>11＋211＋1，即证35>11， ∵35>11， ∴原不等式成立. 以上证明应用了( ) A.分析法 B.综合法C.分析法与综合法配合使用D.间接证法【解析】 该证明方法符合分析法的定义，故选A. 【答案】 A3.要证：a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明( )【导学号：37820023】A.2ab －1－a 2b 2≤0B.a 2＋b 2－1－a 4＋b 42≤0C.（a ＋b ）22－1－a 2b 2≤0D.(a 2－1)(b 2－1)≥0【解析】 要证a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明(a 2－1)＋b 2(1－a 2)≤0，只要证明(a 2－1)(1－b 2)≤0，即证(a 2－1)(b 2－1)≥0.【答案】 D4.在不等边三角形中，a 为最大边，要想得到∠A 为钝角的结论，三边a ，b ，c 应满足什么条件( )A.a 2<b 2＋c 2B.a 2＝b 2＋c 2C.a 2>b 2＋c 2D.a 2≤b 2＋c 2【解析】 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc<0，∴b 2＋c 2－a 2<0， 即b 2＋c 2<a 2. 【答案】 C5.分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac <3a ”，索的因应是( )A.a －b >0B.a －c >0C.(a －b )(a －c )>0D.(a －b )(a －c )<0【解析】 由题意知b 2－ac <3a ⇐b 2－ac <3a 2⇐b 2＋a (a ＋b )<3a 2⇐b 2＋a 2＋ab <3a 2⇐b 2＋ab <2a 2⇐2a 2－ab －b 2>0⇐a 2－ab ＋a 2－b 2>0⇐a (a －b )＋(a ＋b )(a －b )>0 ⇐a (a －b )－c (a －b )>0⇐(a －b )(a －c )>0，故选C. 【答案】 C 二、填空题6.设A ＝12a ＋12b ，B ＝2a ＋b(a >0，b >0)，则A ，B 的大小关系为________.【解析】 ∵A －B ＝a ＋b 2ab －2a ＋b ＝（a ＋b ）2－4ab 2ab （a ＋b ）＝（a －b ）22ab （a ＋b ）≥0，∴A ≥B .【答案】 A ≥B7.如果a a >b b ，则实数a ，b 应满足的条件是________.【解析】 要使a a >b b 成立，只需(a a )2>(b b )2，只需a 3>b 3>0，即a ，b 应满足a >b >0. 【答案】 a >b >08.如图225，四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的侧棱垂直于底面，满足________时，BD ⊥A 1C (写上一个条件即可).图225【解析】 要证BD ⊥A 1C ，只需证BD ⊥平面AA 1C .因为AA 1⊥BD ，只要再添加条件AC ⊥BD ，即可证明BD ⊥平面AA 1C ，从而有BD ⊥A 1C .【答案】 AC ⊥BD (或底面为菱形) 三、解答题9.设a ，b >0，且a ≠b ，求证：a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2. 【证明】 法一：分析法 要证a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2成立.只需证(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)>ab (a ＋b )成立， 又因a ＋b >0，只需证a 2－ab ＋b 2>ab 成立， 只需证a 2－2ab ＋b 2>0成立， 即需证(a －b )2>0成立.而依题设a ≠b ，则(a －b )2>0显然成立， 由此命题得证. 法二：综合法a ≠b ⇒a －b ≠0⇒(a －b )2>0⇒a 2－2ab ＋b 2>0⇒a 2－ab ＋b 2>ab .注意到a ，b >0，a ＋b >0，由上式即得 (a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)>ab (a ＋b ). ∴a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2.10.已知三角形的三边长为a ，b ，c ，其面积为S ，求证：a 2＋b 2＋c 2≥43S . 【证明】 要证a 2＋b 2＋c 2≥43S ，只要证a 2＋b 2＋(a 2＋b 2－2ab cos C )≥23ab sin C ， 即证a 2＋b 2≥2ab sin(C ＋30°)， 因为2ab sin(C ＋30°)≤2ab ， 只需证a 2＋b 2≥2ab ，显然上式成立.所以a 2＋b 2＋c 2≥43S .[能力提升]1.已知a ，b ，c ，d 为正实数，且a b <cd，则( )【导学号：37820024】A.a b <a ＋c b ＋d <cd B.a ＋cb ＋d <a b <cd C.a b <c d <a ＋cb ＋dD.以上均可能【解析】 先取特殊值检验，∵a b <c d， 可取a ＝1，b ＝3，c ＝1，d ＝2， 则a ＋cb ＋d ＝25，满足a b <a ＋c b ＋d <cd. ∴B ，C 不正确. 要证a b <a ＋cb ＋d，∵a ，b ，c ，d 为正实数， ∴只需证a (b ＋d )<b (a ＋c )，即证ad <bc . 只需证a b <c d .而a b <c d成立， ∴a b <a ＋cb ＋d .同理可证a ＋c b ＋d <cd.故A 正确，D 不正确. 【答案】 A2.下列不等式不成立的是( ) A.a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca B.a ＋b >a ＋b (a >0，b >0) C.a －a －1<a －2－a －3(a ≥3) D.2＋10>2 6【解析】 对于A ，∵a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，a 2＋c 2≥2ac ，∴a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ；对于B ，∵(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ，(a ＋b )2＝a ＋b ，∴a ＋b >a ＋b ； 对于C ，要证a －a －1<a －2－a －3(a ≥3)成立，只需证明a ＋a －3<a －2＋a －1，两边平方得2a －3＋2a （a －3）<2a －3＋2（a －2）（a －1），即a （a －3）<（a －2）（a －1），两边平方得a 2－3a <a 2－3a ＋2，即0<2.因为0<2显然成立，所以原不等式成立；对于D ，(2＋10)2－(26)2＝12＋45－24＝4(5－3)<0，∴2＋10<26，故D 错误.【答案】 D3.使不等式3＋22>1＋p 成立的正整数p 的最大值是________. 【解析】 由3＋22>1＋p ，得p <3＋22－1， 即p <(3＋22－1)2， 所以p <12＋46－42－23，由于12＋46－42－23≈12.7，因此使不等式成立的正整数p 的最大值是12. 【答案】 124.已知a ，b ，c 是不全相等的正数，且0<x <1，求证：log x a ＋b2＋log xb ＋c2＋log xa ＋c2<log x a ＋log x b ＋log x c .【证明】 要证明log x a ＋b2＋log xb ＋c2＋log xa ＋c2<log x a ＋log x b ＋log x c ，只需要证明log x ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2<log x(abc )，而已知0<x <1，故只需证明a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2>abc .∵a ，b ，c 是不全相等的正数， ∴a ＋b2≥ab >0，b ＋c2≥bc >0，a ＋c2≥ac >0，∴a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2>a 2b 2c 2＝abc . 即a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2>abc 成立. ∴log x a ＋b2＋log xb ＋c 2＋log xa ＋c2<log x a ＋log x b ＋log x c 成立.。
高中数学 第二章 推理与证明 2.2.1 第2课时 分析法及其应用学案 新人教A版选修1-2(20
2017-2018版高中数学第二章推理与证明2.2.1 第2课时分析法及其应用学案新人教A版选修1-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017-2018版高中数学第二章推理与证明2.2.1 第2课时分析法及其应用学案新人教A版选修1-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2017-2018版高中数学第二章推理与证明2.2.1 第2课时分析法及其应用学案新人教A 版选修1-2的全部内容。
2。
2.1 第2课时分析法及其应用1．了解分析法证明数学问题的格式、步骤．(重点）2．理解分析法的思考过程、特点，会用分析法证明较复杂的数学问题．（难点、易混点)［基础·初探］教材整理分析法阅读教材P38～P39“例4"以上内容,完成下列问题．1．分析法的定义从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等），这种证明方法叫做分析法．2．分析法的框图表示错误!→错误!→错误!→…→错误!判断（正确的打“√”，错误的打“×”)（1)分析法就是从结论推向已知．（)（2）分析法的推理过程要比综合法优越．( )(3)并不是所有证明的题目都可使用分析法证明．（)【解析】(1）错误．分析法又叫逆推证法，但不是从结论推向已知,而是寻找使结论成立的充分条件的过程．（2）错误．分析法和综合法各有优缺点．(3)正确．一般用综合法证明的题目均可用分析法证明，但并不是所有的证明题都可使用分析法证明．【答案】（1）×(2）×(3)√[小组合作型］应用分析法证明不等式已知a>b〉0，求证：错误!<错误!－错误!<错误!.【精彩点拨】本题用综合法不易解决,由于变形后均为平方式，因此要先将式子两边同时开方，再找出使式子成立的充分条件．【自主解答】要证错误!〈错误!－错误!〈错误!，只需证错误!〈错误!<错误!。
高中数学 第2章 推理与证明 2.1.2 演绎推理 新人教B版2新人教B版数学教案
2.1.2 演绎推理1．定义根据概念的定义或一些真命题，依照一定的逻辑规则得到正确结论的过程，叫做演绎推理．2．特征当前提为真时，结论必然为真．二、三段论1．三段论推理(1)三段论推理是演绎推理的一般模式．(2)三段论的构成：①大前提：提供一般性原理；②小前提：指出一个特殊的对象；③结论：结合大前提和小前提，得出一般性原理和特殊对象之间的内在联系．(3)“三段论”的常用格式大前提：M是P；小前提：S是M；结论：S是P.2．演绎推理的常见模式(1)三段论推理(2)传递性关系推理用符号表示推理规则是“如果aRb，bRc，则aRc”，其中“R”表示具有传递性的关系．(3)完全归纳推理把所有情况都考虑在内的演绎推理规则叫做完全归纳推理．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“三段论”就是演绎推理．(2)演绎推理的结论是一定正确的．( )(3)演绎推理是由特殊到一般再到特殊的推理．( )[答案](1)×(2)×(3)×2．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理中“三段论”中的__________是错误的．[解析]f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，故小前提错误．[答案]小前提3．下列几种推理过程是演绎推理的是______(填序号)．①两条平行直线与第三条直线相交，内错角相等，如果∠A和∠B是两条平行直线的内错角，则∠A＝∠B；②金导电，银导电，铜导电，铁导电，所以一切金属都导电；③由圆的性质推测球的性质；④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇．[解析]①是演绎推理；②是归纳推理；③④是类比推理．[答案]①把演绎推理写成三段论的形式(1)一切奇数都不能被2整除，75不能被2整除，所以75是奇数；(2)三角形的内角和为180°，Rt△ABC的内角和为180°；(3)通项公式为a n＝3n＋2(n≥2)的数列{a n}为等差数列．[解](1)一切奇数都不能被2整除．(大前提)75不能被2整除．(小前提)75是奇数．(结论)(2)三角形的内角和为180°.(大前提)Rt△ABC是三角形．(小前提)Rt△ABC的内角和为180°.(结论)(3)数列{a n}中，如果当n≥2时，a n－a n－1为常数，则{a n}为等差数列．(大前提)通项公式a n＝3n＋2，n≥2时，a n－a n－1＝3n＋2－[3(n－1)＋2]＝3(常数)．(小前提)通项公式为a n＝3n＋2(n≥2)的数列{a n}为等差数列．(结论)把演绎推理写成“三段论”的一般方法1．用“三段论”写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中大前提提供了一个一般性原理，小前提提供了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示一般性原理与特殊情况的内在联系．2．在寻找大前提时，要保证推理的正确性，可以寻找一个使结论成立的充分条件作为大前提．1．将下列演绎推理写成三段论的形式．(1)平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分；(2)等腰三角形的两底角相等，∠A，∠B是等腰三角形的两底角，则∠A＝∠B.[解](1)平行四边形的对角线互相平分，大前提菱形是平行四边形，小前提菱形的对角线互相平分．结论(2)等腰三角形的两底角相等，大前提∠A，∠B是等腰三角形的两底角，小前提∠A＝∠B.结论演绎推理的综合应用【例2】如图所示，D，E，F分别是BC，CA，AB边上的点，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求证：DE＝AF.写出“三段论”形式的演绎推理．[思路探究]用三段论的模式依次证明：(1)DF∥A E，(2)四边形A E DF为平行四边形，(3)DE＝AF.[解](1)同位角相等，两直线平行，(大前提)∠BFD和∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，(小前提)所以DF∥A E.(结论)(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形，(大前提)DE∥BA且DF∥E A，(小前提)所以四边形AFDE为平行四边形．(结论)(3)平行四边形的对边相等，(大前提)DE和AF为平行四边形的对边，(小前提)所以DE＝AF.(结论)1．用“三段论”证明命题的步骤(1)理清证明命题的一般思路；(2)找出每一个结论得出的原因；(3)把每个结论的推出过程用“三段论”表示出来．2．几何证明问题中，每一步都包含着一般性原理，都可以分析出大前提和小前提，将一般性原理应用于特殊情况，就能得出相应结论．2．证明：如果梯形的两腰和一底相等，那么它的对角线必平分另一底上的两个角．[证明]已知在梯形ABCD中(如图所示)，AB＝DC＝AD，AC和BD是它的对角线，求证：CA平分∠BCD，BD平分∠CBA.证明：①等腰三角形的两底角相等，大前提△DAC是等腰三角形，DC＝DA，小前提∠1＝∠2.结论②两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，大前提∠1和∠3是平行线AD，BC被AC所截的内错角，小前提∠1＝∠3.结论③等于同一个量的两个量相等，大前提∠2，∠3都等于∠1，小前提∠2和∠3相等．结论即CA平分∠BCD.④同理BD平分∠CBA.利用完全归纳推理证明问题1．演绎推理的结论一定正确吗？提示：演绎推理的结论不会超出前提所界定的范围，所以在演绎推理中，只要前提和推理形式正确，其结论一定正确．2．利用完全归纳推理证明方程ax2＋2x－a＝0有实根，a的值应分哪几种情况？提示：分a＝0和a≠0两种情况．【例3】试证明函数f(x)＝ln(x＋x2＋1)的定义域为R，并判断其奇偶性．[思路探究]只须对x>0，x＝0，x<0分别说明对数的真数均大于0即可．[解]当x>0时，x＋x2＋1>0显然成立；当x＝0时，x＋x2＋1＝1>0成立；当x<0时，x2＋1>x2＝|x|＝－x，所以x＋x2＋1>x＋(－x)＝0.因此对x∈R，都有x＋x2＋1>0，即函数的定义域为R.又因为f(－x)＝ln(－x＋－x2＋1)＝ln(x2＋1－x)＝ln x2＋1－x x2＋1＋xx2＋1＋x＝ln1x2＋1＋x＝－ln(x2＋1＋x)＝－f(x)．故f(x)是奇函数．1．完全归纳推理不同于归纳推理，后者仅仅说明了几种特殊情况，它不能说明结论的正确性，但完全归纳推理则把所有情况都作了证明，因此结论一定是正确的．2．在利用完全归纳推理证明问题时，要对证明的对象进行合理的分类，且必须把所有情况都考虑在内．3．求证：n∈N，当1≤n≤4时，f(n)＝(2n＋7)·3n＋9能被36整除．[证明]当n＝1时，f(1)＝(2＋7)·3＋9＝36，能被36整除；当n＝2时，f(2)＝(2×2＋7)·32＋9＝108＝36×3，能被36整除；当n＝3时，f(3)＝(2×3＋7)·33＋9＝360＝36×10，能被36整除；当n＝4时，f(4)＝(2×4＋7)·34＋9＝1 224＝36×34，能被36整除．综上，当1≤n≤4时，f(n)＝(2n＋7)·3n＋9能被36整除.1．下面几种推理过程是演绎推理的是( )A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝πB．某校高三(1)班有55人，(2)班有54人，(3)班有52人，由此得出高三所有班级的人数都超过50人C．由平面三角形的性质，推测出空间四面体的性质D．在数列{a n}中，a1＝1，a n＝12⎝⎛⎭⎪⎫a n－1－1a n－1(n≥2)，通过计算a2，a3，a4猜想出a n的通项公式[解析]A是演绎推理，B，D是归纳推理，C是类比推理．[答案]A2．用三段论证明命题：“任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a2＞0”，你认为这个推理( )A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．是正确的[解析]这个三段论推理的大前提是“任何实数的平方大于0”，小前提是“a是实数”，结论是“a2＞0”，显然结论错误，原因是大前提错误．[答案]A3．函数y＝2x＋5的图象是一条直线，用三段论表示为：大前提：___________________________________________；小前提：___________________________________________；结论：_____________________________________________.[答案]一次函数的图象是一条直线函数y＝2x＋5是一次函数函数y＝2x＋5的图象是一条直线4．如图所示，因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB＝CD，BC＝AD.又因为△ABC和△CDA的三边对应相等，所以△ABC≌△CDA.上述推理的两个步骤中分别省略了 ________、________.[答案]大前提大前提5．用三段论的形式写出下列演绎推理．(1)矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以正方形的对角线相等；(2)y＝x2(x∈R)是偶函数．[解](1)因为矩形的对角线相等，大前提而正方形是矩形，小前提所以正方形的对角线相等．结论(2)因为x∈R，函数f(x)有f(－x)＝f(x)，则f(x)是偶函数，大前提而y＝x2满足x∈R，f(－x)＝f(x)，小前提∴y＝x2(x∈R)是偶函数．结论。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2.2.1 第2课时 分析法及其应用(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.若a ，b ∈R ，则1a 3>1b3成立的一个充分不必要条件是( )A.ab >0B.b >aC.a <b <0D.ab (a －b )<0【解析】 由a <b <0⇒a 3<b 3<0⇒1a >1b ，但1a >1b不能推出a <b <0.∴a <b <0是1a 3>1b3的一个充分不必要条件.【答案】 C2.求证：7－1>11－ 5. 证明：要证7－1>11－5， 只需证7＋5>11＋1，即证7＋27×5＋5>11＋211＋1，即证35>11， ∵35>11， ∴原不等式成立. 以上证明应用了( ) A.分析法 B.综合法C.分析法与综合法配合使用D.间接证法【解析】 该证明方法符合分析法的定义，故选A. 【答案】 A3.要证：a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明( )【导学号：37820023】A.2ab －1－a 2b 2≤0B.a 2＋b 2－1－a 4＋b 42≤0C.（a ＋b ）22－1－a 2b 2≤0D.(a 2－1)(b 2－1)≥0【解析】 要证a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明(a 2－1)＋b 2(1－a 2)≤0，只要证明(a 2－1)(1－b 2)≤0，即证(a 2－1)(b 2－1)≥0.【答案】 D4.在不等边三角形中，a 为最大边，要想得到∠A 为钝角的结论，三边a ，b ，c 应满足什么条件( )A.a 2<b 2＋c 2B.a 2＝b 2＋c 2C.a 2>b 2＋c 2D.a 2≤b 2＋c 2【解析】 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc<0，∴b 2＋c 2－a 2<0， 即b 2＋c 2<a 2. 【答案】 C5.分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac <3a ”，索的因应是( )A.a －b >0B.a －c >0C.(a －b )(a －c )>0D.(a －b )(a －c )<0【解析】 由题意知b 2－ac <3a ⇐b 2－ac <3a 2⇐b 2＋a (a ＋b )<3a 2⇐b 2＋a 2＋ab <3a 2⇐b 2＋ab <2a 2⇐2a 2－ab －b 2>0⇐a 2－ab ＋a 2－b 2>0⇐a (a －b )＋(a ＋b )(a －b )>0 ⇐a (a －b )－c (a －b )>0⇐(a －b )(a －c )>0，故选C. 【答案】 C 二、填空题6.设A ＝12a ＋12b ，B ＝2a ＋b(a >0，b >0)，则A ，B 的大小关系为________.【解析】 ∵A －B ＝a ＋b 2ab －2a ＋b ＝（a ＋b ）2－4ab 2ab （a ＋b ）＝（a －b ）22ab （a ＋b ）≥0，∴A ≥B .【答案】 A ≥B7.如果a a >b b ，则实数a ，b 应满足的条件是________.【解析】 要使a a >b b 成立，只需(a a )2>(b b )2，只需a 3>b 3>0，即a ，b 应满足a >b >0. 【答案】 a >b >08.如图225，四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的侧棱垂直于底面，满足________时，BD ⊥A 1C (写上一个条件即可).图225【解析】 要证BD ⊥A 1C ，只需证BD ⊥平面AA 1C .因为AA 1⊥BD ，只要再添加条件AC ⊥BD ，即可证明BD ⊥平面AA 1C ，从而有BD ⊥A 1C .【答案】 AC ⊥BD (或底面为菱形) 三、解答题9.设a ，b >0，且a ≠b ，求证：a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2. 【证明】 法一：分析法 要证a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2成立.只需证(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)>ab (a ＋b )成立， 又因a ＋b >0，只需证a 2－ab ＋b 2>ab 成立， 只需证a 2－2ab ＋b 2>0成立， 即需证(a －b )2>0成立.而依题设a ≠b ，则(a －b )2>0显然成立， 由此命题得证. 法二：综合法a ≠b ⇒a －b ≠0⇒(a －b )2>0⇒a 2－2ab ＋b 2>0⇒a 2－ab ＋b 2>ab .注意到a ，b >0，a ＋b >0，由上式即得 (a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)>ab (a ＋b ). ∴a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2.10.已知三角形的三边长为a ，b ，c ，其面积为S ，求证：a 2＋b 2＋c 2≥43S . 【证明】 要证a 2＋b 2＋c 2≥43S ，只要证a 2＋b 2＋(a 2＋b 2－2ab cos C )≥23ab sin C ， 即证a 2＋b 2≥2ab sin(C ＋30°)， 因为2ab sin(C ＋30°)≤2ab ， 只需证a 2＋b 2≥2ab ，显然上式成立.所以a 2＋b 2＋c 2≥43S .[能力提升]1.已知a ，b ，c ，d 为正实数，且a b <cd，则( )【导学号：37820024】A.a b <a ＋c b ＋d <cd B.a ＋cb ＋d <a b <cd C.a b <c d <a ＋cb ＋dD.以上均可能【解析】 先取特殊值检验，∵a b <c d， 可取a ＝1，b ＝3，c ＝1，d ＝2， 则a ＋cb ＋d ＝25，满足a b <a ＋c b ＋d <cd. ∴B ，C 不正确. 要证a b <a ＋cb ＋d，∵a ，b ，c ，d 为正实数， ∴只需证a (b ＋d )<b (a ＋c )，即证ad <bc . 只需证a b <c d .而a b <c d成立， ∴a b <a ＋cb ＋d .同理可证a ＋c b ＋d <cd.故A 正确，D 不正确. 【答案】 A2.下列不等式不成立的是( ) A.a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca B.a ＋b >a ＋b (a >0，b >0) C.a －a －1<a －2－a －3(a ≥3) D.2＋10>2 6【解析】 对于A ，∵a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，a 2＋c 2≥2ac ，∴a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ；对于B ，∵(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ，(a ＋b )2＝a ＋b ，∴a ＋b >a ＋b ； 对于C ，要证a －a －1<a －2－a －3(a ≥3)成立，只需证明a ＋a －3<a －2＋a －1，两边平方得2a －3＋2a （a －3）<2a －3＋2（a －2）（a －1），即a （a －3）<（a －2）（a －1），两边平方得a 2－3a <a 2－3a ＋2，即0<2.因为0<2显然成立，所以原不等式成立；对于D ，(2＋10)2－(26)2＝12＋45－24＝4(5－3)<0，∴2＋10<26，故D 错误.【答案】 D3.使不等式3＋22>1＋p 成立的正整数p 的最大值是________. 【解析】 由3＋22>1＋p ，得p <3＋22－1， 即p <(3＋22－1)2， 所以p <12＋46－42－23，由于12＋46－42－23≈12.7，因此使不等式成立的正整数p 的最大值是12. 【答案】 124.已知a ，b ，c 是不全相等的正数，且0<x <1，求证：log x a ＋b2＋log xb ＋c2＋log xa ＋c2<log x a ＋log x b ＋log x c .【证明】 要证明log x a ＋b2＋log xb ＋c2＋log xa ＋c2<log x a ＋log x b ＋log x c ，只需要证明log x ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2<log x(abc )，而已知0<x <1，故只需证明a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2>abc .∵a ，b ，c 是不全相等的正数， ∴a ＋b2≥ab >0，b ＋c2≥bc >0，a ＋c2≥ac >0，∴a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2>a 2b 2c 2＝abc . 即a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2>abc 成立. ∴log x a ＋b2＋log xb ＋c 2＋log xa ＋c2<log x a ＋log x b ＋log x c 成立.。