2017-2018学年上海市奉贤区高二下学期期末统考调研测试数学试题(含答案)

2017学年奉贤区调研测试
第Ⅰ卷（共60分）
一、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
1.已知集合{}{}1,A x x B y y a =≤=≤，且
A B ⋂=∅，则实数a 的取值范围是 ． 2.若圆柱的侧面展开图是一个正方形，则它的母线长和底面半径的比值是 ．
3.抛物线2x y =上一点M 到焦点的距离为1，则点M 的横坐标为 ．
4.若22018182018x P C =，则x = ．
5.已知变量,x y 满足约束条件242300
x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则目标函数z x y =+的最小值为 ． 6.关于x 的方程()210x px p R -+=∈的两个根12,x x ，若121x x -=，则实数p = ．
7.若一个直六棱柱的三视图如图所示，则这个直六棱柱的体积为 ．
8.颜色不同的4个小球全部放入3个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的方法有 ．（用数值回答）
9.设复数)1233,3,332z i z i z i θθ=-==+
+，则12z z z z -+-的最小值为 ．
10.小明和小刚去上海迪士尼游玩，他们约定游玩飞越地平线、雷鸣山漂流、创极連光轮等n 个游戏，并且各自独立地从m 个游戏中任选()n n m ≤个进行游玩，每个游戏需要1小时，则最后1小时他们同在一个游戏游玩的概率是 ．
11.设()()()()()()2345660123456222222a a mx a mx a mx a mx a mx a mx x ++++++++++++=，其中实数0m >，则3a = ．
12.从双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左焦点F 引圆222x y a +=的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于P 点，若M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则MO MT -= ．
二、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
13.若0a b <<，则下列结论中不恒成立的是（ ）
A ．a b >
B ．11a b >
C ．222a b ab +>
D ．2
2222a b a b ++⎛⎫> ⎪⎝⎭ 14.给定空间中的直线l 及平面α，条件“直线l 上有两个不同的点到平面α的距离相等”是“直线l 与平面α平行”的（ ）
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．既非充分又非必要条件
15.已知曲线C 的参数方程为：[]2cos ,0,1sin x y θθπθ
=+⎧∈⎨
=+⎩，且点(),P x y 在曲线C 上，则1y x x +-的取值范围是（ ）
A ．⎡⎢⎣⎦
B ．1,1⎡+⎢⎣⎦
C ．1,1⎡⎢⎣
⎦ D ．41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 16.已知椭圆22
214
x y a +=，对于任意实数k ，椭圆被下列直线所截得的弦长与被直线:1l y kx =+所截得的弦长不可能相等的是（ ）
A ．0kx y k ++=
B ．10kx y --=
C. 0kx y k +-= D ．20kx y +-=
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知z C ∈，且满足()
252z z z i i ++=+.
（1）求z ；
（2）若m R ∈，w zi m =+，求w 的取值范围. 18. 已知集合112A x x ⎧⎫=≤-⎨⎬-⎩⎭
，设a A ∈，判别2292417b a a =-+元素与A 的关系.
19.如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r ，短半轴长为r ，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB 是半椭圆的短轴，上底CD 的端点在椭圆上，梯形面积为S .
（1）当1r =，32CD =时，求梯形ABCD 的周长(精确到0.001)； （2）记CD x =，求面积S 以x 为自变量的函数解析式()S f x =，并写出其定义域.
20. 如图所示，球O 的表面积为16π，球心O 为空间直角坐标系O xyz -的原点，且球O 分别与,,x y z 轴的正交半轴交于,,A B C 三点，已知球面上一点()()0,3,0D t
t ->.
（1）求,D C 两点在球O 上的球面距离；
（2）过点A 作平面DCB 的垂线，垂足H ，求H 的坐标，并计算四面体A BCD -的体积；
（3）求平面ADC 与平面AOB 所成锐二面角的大小.
21.双曲线()22:10,0C ax by a b -=>>的虚轴长为1，两条渐近线方程为3y x =±.
（1）求双曲线C 的方程；
（2）双曲线C 上有两个点D E 、，直线OD 和OE 的斜率之积为1，判别2211
OE OD
+u u u r u u u r 是否为定值，； （3）经过点(),0a P t t ⎛
> ⎝⎭
的直线m 且与双曲线C 有两个交点,M N ，直线m 的倾斜角是
2,,,2
33πππθθ⎧⎫∉⎨⎬⎩⎭，是否存在直线00:l x x =（其中0a x a <）使得M N PM d d PN
=恒成立？（其中,M N d d 分别是点,M N 到0l 的距离）若存在，求出0x 的值，若不存在，请说明理由.
试卷答案
一、填空题
1.1a <-
2.2π
3.0 5.7
3 6.
7.4 8.36 9.2+ 10.1
m 11.6160
m - 12.b a -
二、选择题
13.D 14.B 15.C 16.D
三、解答题
17.（1）12a i =±；（2）1w ≥.
18.[)1,2A =， 当5
13a ≤≤，且4
3a ≠时，b A ∈；当43a =或5
23a <<时，b A ∉.
19.（1）以下底AB 所在直线为x 轴，等腰梯形所在的对称轴为y 轴，建立直角坐标系， 可得椭圆方程为22
2214y x r r +=，
1r =，3
2CD =，
∴34c x =代入椭圆方程得2c y =，
∴CB ==，
所以梯形ABCD 6.193≈；
（2）得c x x =，
∴2c y =
()(122222S r x r x =+=+
定义域()0,x r ∈.
20.（1）2R =，
2OD =1t =， ∴2CD =
∴CD OD OC == ∴3COD π
∠=
,D C 两点在球O 上的球面距离23π；
（2
）()(),0,2,2DC BC ==-u u u r u u u r AH ⊥u u u r 面BDC ，(),,AH m n t =u u u r ，
20t n t +=-+=⎪⎩，
∴()0,1,0,0n t AH ===u u u r ∴2AC AH AH d AH ⋅===u
u u r
u u u r
u u u r u u u r
∴AH 与AO 重合，
∴()0,0,0H =，
DBC ∆
的面积1
2sin10512⨯⨯︒=，
计算四面体A BCD -
的体积23+.
（3）设平面DAC 的法向量()1,,n x y z =u r
，
1100n DC n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u r u r u u u r
得
0220
z x z +=-+=⎪⎩
得1n =-u r
平面AOB 的法向量()20,0,1n =u u r
，
设两法向量夹角θ
，1212cos 7
n n n n θ⋅==u
r u u r
u r u u r
所以所成锐二面角的大小为arccos 7.
21.（1）双曲线22:1241C x y -=；
（2）设直线OD 的斜率k
，显然3k ≠±，
联立221241x y y kx ⎧-=⎨=⎩得221
124D x k =-， ()2
22
2211124D k OD OD k x k +==+=-u u u r ，
22222
1
111124124k k OE k k ++==--u u u r ，
22
222211124124811k k k k OD OE --+=+=++u u u r u u u r ；
（3）设直线方程(
),y m x t m =-≠ 联立()221241x y y m x t ⎧-=⎪⎨=
-⎪⎩，
()()222221248410m x m tx m t -+-+=（*）
∵t >，方程总有两个解
设()()112212,,,,M x y N x y x t x << ()222121222418,124124m t m t x x x x m m -+-+==-- 根据M N PM d d PN =得10
1
202x x t x x x x t
--=-- 整理得22
22222
841
21
1241248122124m t m t t m m x m t t t m -+⋅+⨯--==+-
∵12t >，
∴
0112x t a =<=。