用一元二次方程解决问题1仇稳稳
一元二次等式恒成立问题
一元二次等式恒成立问题
简介：
一元二次等式恒成立问题是指对于一元二次方程，是否存在特定的系数使得该方程对于任意实数x都成立。
本文将探讨该问题，并提供简单的解决策略。
问题分析：
对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为系数，我们要确定是否存在特定的a、b、c使得该方程对于任意实数x都成立。
解决策略：
简单的策略是通过观察方程的特性来判断是否恒等成立。
以下为一些常见的策略：
1. 平方差公式：
如果一元二次方程的解满足平方差公式，即存在实数α和β，使得(a-b)^2 = (x-α)(x-β)，那么该方程对于任意实数x都恒成立。
2. 完全平方：
如果一元二次方程可以表示为某个二次多项式的完全平方形式，即存在实数α，使得ax^2 + bx + c = a(x-α)^2，那么该方程对于任意
实数x都恒成立。
3. 恒等方程：
如果一元二次方程恒等于0，即a = 0，b = 0，c = 0，那么该方
程对于任意实数x都恒成立。
需要注意的是，以上策略是简单的解决方案。
对于复杂的一元
二次方程，可能需要使用更深入的数学知识和方法进行推导和证明。
结论：
一元二次等式不一定恒成立，但可以通过观察和特定的系数来
判断是否恒成立。
上述的解决策略可以作为初步的判断方法，但对
于较为复杂的方程，可能需要使用更复杂的数学方法来进行证明和
解答。
参考文献：
[1] 汤家凤, 苏新宇. 初等数学——全日制高师数学. 清华大学出版社, 2008.
[2] 高中数学论文写作指导. 数学与数学教育, 2009(4): 58-59.。
用一元二次方程解决问题
用一元二次方程解决问题
摘要：
一、一元二次方程的概述
二、一元二次方程的解法
三、一元二次方程在实际问题中的应用
四、结论
正文：
一、一元二次方程的概述
一元二次方程是指形如ax+bx+c=0 的方程，其中a、b、c 是已知数，且a≠0。
在这个方程中，我们需要求解的是x 的值。
根据二次方程的求解公式，我们可以得到方程的两个解，分别是x1 和x2。
二、一元二次方程的解法
求解一元二次方程的通用公式为：
x1,2 = (-b ± √(b-4ac)) / 2a
根据这个公式，我们可以求解出方程的两个解。
在实际应用中，我们需要根据题目所给的条件和要求，选择合适的解法。
三、一元二次方程在实际问题中的应用
1.求解增长率问题
假设一家公司年初投入100 万元，每年的增长率为x，两年后，该公司的资产总额为121 万元。
我们可以通过一元二次方程来求解增长率x。
根据题意，我们可以列出如下方程：
100(1+x) = 121
通过解这个方程，我们可以得到增长率x 的值。
2.求解利润问题
假设一家商店购进一批商品，总价为1000 元，售价为每件20 元，如果每件商品的进价为x 元，那么当售出50 件时，商店的利润为800 元。
我们可以通过一元二次方程来求解进价x。
根据题意，我们可以列出如下方程：(20-x)×50 = 800
通过解这个方程，我们可以得到进价x 的值。
四、结论
一元二次方程在实际问题中有着广泛的应用，通过熟练掌握一元二次方程的解法，我们可以有效地解决实际问题。
用一元二次方程解决实际问题(一)
用一元二次方程解决实际问题(一)用一元二次方程解决实际问题什么是一元二次方程？•一元二次方程是指只包含一个未知数的二次方程，通常形式为ax^2 + bx + c = 0。
•其中，a、b和c是已知的实数系数，而x代表未知数。
一元二次方程的应用领域一元二次方程常常用于解决实际问题，下面是几个相关问题的例子：问题1：抛物线的顶点坐标•给定一个抛物线方程y = ax^2 + bx + c，如何求出其顶点坐标？•解答：假设抛物线的顶点坐标为(x0, y0)。
通过求导，我们可以得到x0 = -b/2a。
将x0代入方程，即可求出y0 = a(x0)^2 +bx0 + c。
问题2：计算物体的运动轨迹•当一个物体在水平方向上以恒定速度v运动，同时受到一个向下的加速度g，如何确定它的运动轨迹方程？•解答：设物体在时间t后的位置为y。
根据运动学公式，可以得到y = -^2 + vt + h，其中h为物体的初始高度。
将该方程与一元二次方程的形式对比，可以得到a = -，b = v，c = h。
问题3：计算图形的面积和周长•给定一个由抛物线方程y = ax^2 + bx + c所表示的曲线段，如何计算该曲线段的面积和周长？•解答：将曲线段分成若干个短小的线段，可以近似看作一系列的小矩形。
每个小矩形的高度可以通过一元二次方程计算得到，而宽度则可以根据分割的精确程度进行调整。
将所有小矩形的面积相加，即可得到曲线段的近似面积。
同样地，将所有小矩形的边长相加，即可得到曲线段的周长。
问题4：求解最优化问题•某工厂生产一个产品的成本函数为C(x) = ax^2 + bx + c，其中x表示生产数量。
工厂希望生产的产品数量能够使成本最小化，问题在于如何确定最优的生产数量。
•解答：将成本函数转化为一元二次方程形式后，通过求导可以得到极小值点的位置，即生产数量的最优解。
同时，通过判断二次函数的开口方向，可以确定是求最小值还是最大值。
以上是一些常见问题的例子，展示了一元二次方程在实际问题中的应用。
一元二次方程中有趣的题目及解法
一元二次方程中有趣的题目及解法一元二次方程是初中数学中的重要内容之一。
下面是几个有趣的一元二次方程题目及其解法：题目1：某个数的平方减去它本身等于12，求这个数是多少？解法：设这个数为x，根据题目描述，可以列方程：x^2 - x = 12移项得：x^2 - x - 12 = 0这是一个一元二次方程，可以使用因式分解或求根公式进行求解。
因式分解法：我们尝试将方程进行因式分解，找到两个数，使得它们的乘积为-12，而它们的和为-1。
可以得到：(x - 4)(x + 3) = 0因此，方程的解为x = 4或x = -3。
题目2：一个矩形的长度是宽度的6倍，矩形的面积为84平方单位，求矩形的长和宽分别是多少？解法：设矩形的宽度为x，根据题目描述，可以列方程：x * 6x = 84化简得：6x^2 = 84再化简得：x^2 = 14这是一个一元二次方程，可以使用平方根法进行求解。
平方根法：将方程两边取平方根，可以得到：x = ±√14因此，矩形的宽度可以是√14，而长度为6√14。
题目3：某物体从高度为H的位置自由落下，下落t秒后的高度H(t)与时间t的关系为H(t) = 5t^2 + 2t + 10，求物体从高度H = 60米落地所需的时间。
解法：题目中给出了物体的高度与时间的关系，将物体落地时的高度设为0，即H(t) = 0，可以得到：5t^2 + 2t + 10 = 0这是一个一元二次方程，可以使用求根公式进行求解。
求根公式：根据一元二次方程的求根公式，可以得到：t = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)将方程的系数带入，可以得到两个解，但由于时间不能为负数，因此舍去负数解。
因此，物体从高度60米落地所需的时间为正根：t = (-2 + √(2^2 - 4*5*10)) / (2*5)化简得：t = (-2 + √4 - 200) / 10t = (-2 + √(-196)) / 10t = (-2 + 14i) / 10实际上，物体下落的过程中，不会达到高度为60米的位置，所以方程无实数解。
一元二次方程的实际应用知识讲解
一元二次方程的实际应用1、阅读下面解题过程,解方程x²-1x1-2＝0 解分以下两种情况：（1）当x≥0时,原方程可化为x阅读下面解题过程,解方程x²-1x1-2＝0解分以下两种情况：（1）当x≥0时,原方程可化为x²-x=0,解得x1=2 x2=-1（不和题意,舍去）（2）当x＜0时,原方程可化为x²+x-2=0,解得x1=-2 x2=1 （不合题意,舍去）∴原方程的根是x1=2 x2=-2请照此方法解方程x²-| x-1 |-1=02、已知关于x的方程x2-（k+2）x+2k=0．（1）求证：无论k取任意实数值，方程总有实数根．（2）若等腰三角形ABC的一边a=1，另两边长b、c恰是这个方程的两个根，求△ABC的周长．3、已知函数y=2/x和y=kx+1（k不等于0）.(1)若这两个函数的图像都经过（1,a）,求a和k的值(2)（2）当K取何值时,这两个函数的图像总有公共点4、已知，在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，动点M从点A出发沿边AD向点D运动．（1）如图1，当b=2a，点M运动到边AD的中点时，请证明∠BMC=90°；（2）如图2，当b＞2a时，点M在运动的过程中，是否存在∠BMC=90°，若存在，请给与证明；若不存在，请说明理由；（3）如图3，当b＜2a时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由．5、已知关于x的方程x²-(m+2)x+(2m-1)=0(1)求证：方程有两个不相等的实数根(2)若此方程的一个根是1,请求出方程的另一个根,并求出以此两根为边长的直角三角形的周长.如图，要设计一幅宽20cm、长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：2，如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，应如何设计彩条的宽度（结果保留小数点后一位）？7、已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，D、E分别是AC、AB的中点，连接DE，点P从点D出发，沿DE方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4）．解答下列问题：（1）当t为何值时，PQ⊥AB？（2）当点Q在BE之间运动时，设五边形PQBCD的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；（3）在（2）的情况下，是否存在某一时刻t，使PQ分四边形BCDE两部分的面积之比为S△PQE：S四边形P=1：29？若存在，求出此时t的值以及点E到PQ的距离h；若不存在，请说明理由．QBCD8、某商场销售一批服装，平均每天可售出20件，每件盈利40元，经市场调查发现，每件服装每降价1元，商场平均每天就可以多售出2件，在国庆期间，商场决定采取降价促销的措施，以达到减少库存、扩大销售量的目的。
初中数学教案：用一元二次方程解决实际问题的技巧
初中数学教案：用一元二次方程解决实际问题的技巧先说一下，初中学生学习一元二次方程，一般是在学习完解一元一次方程后。
一元一次方程比较简单，只有一次项和常数项，而一元二次方程则多了一次项，相对来说更难一些。
不过，一元二次方程在解决实际问题中的应用非常广泛，掌握好了，对于以后的学习和生活都将会有很大帮助。
那么，如何用一元二次方程解决实际问题呢？我们来详细地讲解一下。
一、将实际问题转化为一元二次方程要将一个实际问题转化为一元二次方程，首先要明确三个要素：1.变量的含义2.变量之间的关系3.变量对应的值例如，有这样一道题目：一家母亲带着她的两个儿子去旅游，她从出发到抵达的路程共计200千米，中途有一个景点，母亲和儿子们在那里休息了一会儿。
在出发的时候，母亲开车的速度比儿子们每个人快20千米/小时，但她为了保险起见，开的速度一直比他们慢5千米/小时。
这次旅游历时5小时，求母亲和儿子们分别以什么速度行驶？这道题目中，我们可以找到三个变量：1.母亲的速度2.儿子们的速度3.母亲和儿子们在景点休息的时间由于母亲的速度比儿子们每个人快20千米/小时，而又比他们慢5千米/小时，所以我们可以设母亲的速度为 x 千米/小时，儿子们的速度为 x-20 千米/小时，景点休息的时间为 t 小时。
根据这些，我们就可以列出方程：( x + x - 20 ) × t + ( x - 20 ) × 5 = 200将上述方程化简后，即可得到一元二次方程：x² - 25x + 100 = 0方程的解即为母亲和儿子们分别行驶的速度。
二、解一元二次方程解一元二次方程，可以使用以下方法：1.因式分解法若一元二次方程可以因式分解，则解方程相对来说是比较容易的。
例如，对于方程 x² + 4x + 3 = 0，我们可以将其因式分解为 (x + 3) × (x + 1) = 0，因此，x 的取值可以为-3 或 -1。
初三数学解决含有一元二次方程的实际问题
初三数学解决含有一元二次方程的实际问题一、引言数学作为自然科学的一门基础学科，对于培养学生的逻辑思维和问题解决能力具有重要意义。
而在初中数学中，一元二次方程是一个重要的章节。
本文将围绕初三数学中如何解决含有一元二次方程的实际问题展开讨论。
二、相关概念说明首先，我们需要了解一些基本的概念。
一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c分别为常数且a ≠ 0。
解一元二次方程可以使用配方法、因式分解、求根公式等多种方法。
三、实际问题的解决方法针对实际问题，我们需要将问题抽象成一元二次方程，并通过解方程来得到问题的解答。
下面以几个典型的例子来详细说明这一过程。
1. 题目：甲、乙两人从同地出发，同时往同一目的地以相同速度行驶，甲行驶20分钟后，乙行驶10公里，甲行驶到终点还需20分钟，求甲、乙的行驶速度。
解析：设甲、乙的行驶速度分别为v km/h，那么甲行驶20分钟后，乙行驶的距离为10公里，则可得到方程：(20/60)v = 10根据题目中的信息，“甲行驶到终点还需20分钟”，即甲行驶的时间为40分钟，则可得到方程：(40/60)v = d其中d为甲的行驶距离。
综合以上两个方程，可以得到一元二次方程：(20/60)v + (40/60)v = d通过求解这个一元二次方程，可以得到甲、乙的行驶速度。
2. 题目：一个火箭沿抛物线轨迹升空到达最高点，然后直接坠落下来。
已知火箭从离地面60米的位置起飞，飞行总时间为10秒，问它最高升到多高，以及整个过程最高点到地面之间的距离是多少。
解析：假设火箭升空到达最高点的高度为h米，由于火箭沿抛物线轨迹升空到达最高点，然后直接坠落下来，可以得到一元二次方程：-5h^2 + 30h + 60 = 0通过求解这个一元二次方程，可以得到火箭最高的升空高度。
3. 题目：一个等腰三角形顶角的补角是45°，这个顶角的两腰之和等于这两腰的差的二倍，求这个等腰三角形的两个底角。
《用一元二次方程解决问题》讲义
《用一元二次方程解决问题》讲义一、一元二次方程的基本概念在我们开始探讨如何用一元二次方程解决问题之前，先来温习一下一元二次方程的基本概念。
一元二次方程的一般形式是：＄ax^2 ＋ bx ＋ c ＝ 0$（其中$a$、＄b$、＄c$是常数，且$a ＼neq 0$）。
其中，＄a$被称为二次项系数，＄b$是一次项系数，＄c$是常数项。
例如：＄x^2 3x ＋ 2 ＝ 0$，在这个方程中，＄a ＝ 1$，＄b ＝－3$，＄c ＝ 2$。
二、一元二次方程的解法接下来，我们了解一下一元二次方程常见的解法。
1、配方法配方法是通过在等式两边加上相同的常数，将方程转化为完全平方式来求解。
例如：＄x^2 ＋ 6x 7 ＝ 0$＄x^2 ＋ 6x ＝ 7$＄x^2 ＋ 6x ＋ 9 ＝ 7 ＋ 9$＄（x ＋ 3)＾2 ＝ 16$＄x ＋ 3 ＝＼pm 4$＄x ＝ 1$ 或＄x ＝－7$2、公式法对于一元二次方程$ax^2 ＋ bx ＋ c ＝ 0$，其求根公式为：＄x ＝＼frac{b ＼pm ＼sqrt{b^2 4ac}｝｛2a}＄当$b^2 4ac ＼geq 0$时，方程有实数根。
3、因式分解法将方程的左边因式分解为两个一次式的乘积，从而将方程转化为两个一元一次方程来求解。
例如：＄x^2 5x ＋ 6 ＝ 0$＄（x 2)（x 3) ＝ 0$＄x 2 ＝ 0$ 或＄x 3 ＝ 0$＄x ＝ 2$ 或＄x ＝ 3$三、用一元二次方程解决实际问题现在，让我们看看如何运用一元二次方程来解决实际生活中的问题。
1、面积问题例如，有一个矩形，它的长比宽多 3 厘米，面积是 10 平方厘米，求这个矩形的长和宽。
设矩形的宽为$x$厘米，那么长就是$x ＋ 3$厘米。
根据矩形面积公式：面积＝长×宽，可列出方程：＄x(x ＋ 3) ＝ 10$＄x^2 ＋ 3x 10 ＝ 0$＄（x ＋ 5)（x 2) ＝ 0$＄x ＝－5$（舍去）或＄x ＝ 2$所以矩形的宽是 2 厘米，长是 5 厘米。
一元二次恒成立问题三种解法
一元二次恒成立问题三种解法
一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为实数且a不等于0。
解一元二次方程的常用方法有三种，因式分解法、配方法和公式法。
首先，我们来看因式分解法。
通过将一元二次方程进行因式分解，将方程化简为两个一次方程的乘积形式，然后分别令每个因式等于0，从而得到方程的解。
其次，配方法是另一种解一元二次方程的常用方法。
通过对一元二次方程进行配方法，将方程化简为一个完全平方的形式，然后通过开平方根的方法求得方程的解。
最后，公式法是解一元二次方程的常用方法之一。
一元二次方程的解可以通过求根公式x = (-b±√(b^2-4ac))/(2a)来求得，其中±表示两个解，即正负号分别取一次。
通过代入系数a、b、c的值，就可以得到方程的解。
综上所述，一元二次方程的解可以通过因式分解法、配方法和公式法来求解。
不同的方法适用于不同的情况，选择合适的方法可
以更快地求得方程的解。
希望以上回答能够满足你对这个问题的需求。
一元二次方程式的公式
一元二次方程式的公式好啦，今天咱们聊聊一元二次方程式的公式，听起来有点学术，对吧？不过别担心，我保证会让这件事轻松有趣，就像喝杯冰凉的饮料一样爽快。
想象一下，二次方程就像一个神秘的盒子，里面藏着一些秘密，而我们要做的就是打开这个盒子，看看它到底有什么好东西。
一元二次方程的标准形式就是ax² + bx + c = 0，哇，听起来有点复杂，不过其实没那么可怕。
我们先来看看这些字母。
a、b、c都是数字，当然你也可以把它们想象成朋友，a是大哥，b是二哥，c是小弟。
他们一起合作，帮你解决问题。
尤其是当你要找方程的根时，就像找宝藏一样刺激。
要找到这些根，我们得用到一个超级公式，叫做求根公式，没错，就是那个“x = (b ± √(b² 4ac)) / (2a)”。
听起来像外星语，但其实它就像一把万能钥匙，能打开任何一元二次方程的锁。
想象一下，b就像一位调皮的孩子，时不时就要加个负号，啊，真是让人哭笑不得。
然后是那个“±”，就像你在选择甜点时要选择巧克力还是草莓，二者兼得，心情好得飞起来。
再说说那个√(b² 4ac)，这就是判别式，听上去有点吓人，但其实它就是个简单的判断者。
如果它大于零，说明方程有两个不同的根，就像找到两个宝藏；如果等于零，那就只有一个根，真是简单得不得了；要是小于零，那可就要失望了，因为根是虚数了，像是你买了票却没赶上车，郁闷得很。
大家有没有想过，为什么要学习这些公式呢？这可是生活中的重要技能！比如你要装修房子，预算不够，得计算出最佳的花费；或者你在计划一个旅行，得算好路费。
就像种树一样，得先知道树根有多深，才能长得更茁壮。
公式就是那个让你稳稳当当地把树种下去的工具。
再来点儿轻松的！谁说数学就得严肃得跟考试一样？咱们可以想象一下，a、b、c三个兄弟在开派对。
大哥a在说：“我来负责音乐！”二哥b则在忙着倒饮料，没想到小弟c却在一旁偷偷摸摸地看着方程，生怕搞砸了这场盛会。
列一元二次方程的步骤
列一元二次方程的步骤嘿，咱今儿个就来好好唠唠列一元二次方程的那些事儿！一元二次方程，听着挺玄乎，其实啊，就像咱过日子，一步一步来，条理清楚了就不难。
首先呢，得搞清楚问题是啥。
就好比你要去一个地方，得先知道目的地在哪儿呀。
你得仔细琢磨题目里给的条件，把关键信息都给拎出来。
然后呢，根据这些条件设未知数。
这就像是给这个问题找个主角，让它在方程的舞台上好好表现。
接着呀，按照条件里的关系，把各种量用含有这个未知数的式子表示出来。
这就跟搭积木似的，一块一块往上垒，慢慢就有形状啦。
再之后呢，根据题目中的等量关系列出方程。
这可就是关键的一步啦，就像给房子盖顶，得严丝合缝才行。
举个例子吧，比如说有个长方形，长比宽多 3 厘米，面积是 28 平方厘米，那咱就设宽是 x 厘米，长不就是 x+3 厘米嘛，面积等于长乘宽，那不就能列出方程 x(x+3)=28 啦！你看看，这不就出来了嘛！咱可别小瞧了这列方程的步骤，就跟走路一样，一步一步走稳了才能走到目的地呀。
要是哪一步马虎了，那方程可就列错啦，就像走路摔了一跤，得重新来过。
而且啊，这列方程还得细心加耐心。
就像绣花一样，得一针一线慢慢来，不能着急。
有时候可能一下子列不出来，别灰心呀，多想想，多试试，说不定就找到门道啦。
你说这一元二次方程是不是挺有意思的？咱只要掌握了方法，就不怕它难。
所以啊，大家在遇到列一元二次方程的时候，可千万别犯怵，按照这步骤来，一步一步稳稳当当的，肯定能把方程列好。
加油吧，朋友们，相信自己肯定能行！这列一元二次方程啊，就是咱数学世界里的一个小挑战，只要咱勇敢面对，就能轻松战胜它！。
一元二次方程求解的方法
一元二次方程求解的方法一元二次方程？那可是数学世界里超厉害的家伙呢！求解一元二次方程有好几种方法，咱先说说配方法。
把方程变成完全平方式，就像变魔术一样！先把二次项系数化为1，然后在方程两边加上一次项系数一半的平方，这一步可得小心别加错了。
配方法就像搭积木，一块一块地把方程搭成完美的形状。
那它安全稳定不？当然啦！只要你按照步骤来，一步一步稳稳当当，绝对不会出岔子。
配方法在啥场景能用呢？比如解决几何问题的时候，那可老管用了。
就像一把万能钥匙，能打开好多难题的锁。
再说说公式法。
有个神奇的求根公式，就像个魔法棒。
只要把方程的系数代入公式，答案就呼之欲出。
用公式法的时候可得把系数搞清楚，别弄混了。
这方法安全得很，只要你计算不出错，答案准没错。
公式法啥时候用呢？各种情况都能应付，简直是数学界的超级英雄。
不管方程多复杂，它都能搞定。
还有因式分解法。
把方程分解成几个因式的乘积，就像拆礼物一样惊喜。
找到公因式，或者用十字相乘法，这可需要点眼力和技巧。
因式分解法安全稳定，就像坚固的桥梁。
它在解决实际问题的时候可好用了，比如计算面积、速度啥的。
就像一把锋利的刀，能把难题切成小块。
咱举个实际案例吧。
比如要盖一个花园，知道花园的面积和周长，就能列出一元二次方程来求解边长。
用不同的方法都能得到答案，看看哪种方法更适合。
这就像在玩游戏，找到最佳方法就是胜利。
一元二次方程的求解方法就是这么牛！配方法、公式法、因式分解法各有各的厉害之处，就看你怎么用。
它们安全稳定，应用场景广泛，优势明显。
在数学的世界里，它们是我们的得力助手，能帮我们解决好多难题。
所以，大胆地去用这些方法吧，让数学变得更有趣！。
一元二次方法解题格式
一元二次方法解题格式一、概述在数学中，一元二次方程是指形如$a x^2+b x+c=0$的方程，其中$a$、$b$和$c$是已知的实数系数，而$x$是未知数。
一元二次方程的解法被称为一元二次方法，它是解决一元二次方程的基本方法之一。
二、一元二次方程的一般解法对于一元二次方程$a x^2+b x+c=0$，我们可以通过以下步骤来求解：1.将方程移项，使得方程等号右侧为0：$ax^2+b x+c=0$。
2.使用求根公式：$x=\f ra c{-b\p m\sqr t{b^2-4ac}}{2a}$，计算出方程的根。
三、一元二次方程解题示例1.具有两个不同实根的情况假设有一元二次方程$3x^2-4x-1=0$，我们可以按照以下步骤解决：1.转化方程：$3x^2-4x-1=0$。
2.使用求根公式，计算出两个实根：$x_1=\f ra c{4+\s qrt{(-4)^2-4\cd ot3\cd ot(-1)}}{2\c do t3}$，$x_2=\fr ac{4-\sq rt{(-4)^2-4\cd ot3\cd ot(-1)}}{2\c do t3}$。
2.具有两个相等实根的情况假设有一元二次方程$2x^2-4x+2=0$，我们可以按照以下步骤解决：1.转化方程：$2x^2-4x+2=0$。
2.使用求根公式，计算出两个相等实根：$x=\f ra c{4\pm\s q rt{(-4)^2-4\c do t2\c dot2}}{2\c do t2}$。
3.无实根的情况假设有一元二次方程$x^2+1=0$，我们可以按照以下步骤解决：1.转化方程：$x^2+1=0$。
2.由于方程中不存在实数使得平方后等于负数，所以方程无实根。
四、总结一元二次方法是解决一元二次方程的基本方法。
通过求根公式，我们可以计算出一元二次方程的根。
根据方程的判别式$b^2-4ac$的不同情况，方程可以具有两个不同实根、两个相等实根或无实根。
运用一元二次方程组例题加解题思路
运用一元二次方程组例题加解题思路一元二次方程组是由两个一元二次方程组成的方程组，其中每个方程的形式为ax^2+bx+c=0。
解一元二次方程组的方法有两种：代入法和消元法。
代入法是指将一元二次方程组的一个方程的解代入到另一个方程中，从而得到一个一元二次方程，然后解这个一元二次方程获得解。
例如，考虑以下一元二次方程组：方程1：x^2+2x+1=0方程2：x^2-4x+3=0首先，我们可以使用代入法来解这个方程组。
我们先解方程1，得到x=-1。
然后将x=-1代入到方程2中，得到(-1)^2-4(-1)+3=0，这个方程的解也是x=-1。
因此，方程组的解是x=-1。
消元法是指通过将一个方程乘以一个恰当的常数，使得两个方程的x的系数相同，然后将两个方程相减从而消除x的项，得到一个一元一次方程。
例如，考虑以下一元二次方程组：方程1：x^2+3x+2=0方程2：2x^2+5x+2=0我们可以使用消元法来解这个方程组。
首先，我们将方程1乘以2得到2x^2+6x+4=0。
然后，我们将方程2减去方程1，得到(2x^2+5x+2)-(2x^2+6x+4)=0，即-x-2=0，这个方程的解是x=-2。
因此，方程组的解是x=-2。
对于一元二次方程组的解题思路，首先要将方程组中的所有方程都写成标准形式ax^2+bx+c=0。
然后，根据解一元二次方程的方法，可以选择代入法或消元法来解决方程组。
在应用代入法或消元法时，需要注意方程组中是否存在解、解的个数以及解的形式。
有时候，方程组可能没有解，有时候可能有一个解，有时候可能有两个解，有时候可能有无穷多个解。
在解一元二次方程组时，还可以使用图解法。
将方程组表示为两个曲线，然后通过观察两个曲线的交点来确定方程组的解。
如果两个曲线有一个交点，则方程组有一个解；如果两个曲线有两个交点，则方程组有两个解；如果两个曲线重叠在一起，则方程组有无穷多个解。
为了更好地理解一元二次方程组的解题思路，我们可以举一个例子。
数学一元二次方程应用题
列一元二次方程解应用题的解题方法列一元二次方程解应用题的一般步骤：“审”、“设”、“列”、“解”、“答”五环节，其中正确找出应用题的等量关系是列一元二次议程应用题的难点所在，我认为可以采取如下方式探寻等量关系。
首先要正确熟练地作语言与式子的互化；其次充分运用题目中的所给的条件；再次要善于发现利用间接的，潜在的等量关系；最后对一般应用题，可以利用关键语句、公式、定理等方面寻找相等关系。
举例如下：一、数字问题解这类问题要能正确地用代数式表示出多位数，奇偶数，连续整数等形式。
例1，一个两数，十位数字与个位数字之和是5，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得新的两位数与原来的两位的乘积为736，求原来的两位数。
等量关系：新的两位数×原来的两位数解：由题意得：[10x+（5-x）][10（5-x）+x]=736解得：x1=2，x2=3即两位数为23或32二、几何问题这类问题要结合几何图形的、特征、定理或法则来寻找等量关系，构建方程，对结果要结合知识检验。
例2：已知一直角三角形三边长为三个连续偶数，试求这个三解形三边长及面积。
通常用勾股定理列出方程，求解。
解，设直角三角形三边为n、n+2、n+4（n为偶数），根据题意得 n2+（n +2）2=（n+4）2解得：n=6∴三边长为6、8、10，面积为24。
三、增长率问题此类问题中一般有变化前的基础（a），增长率（x），变化的次数（n），变化后的基数（b），这四者之间的关系可用公式a（1+x）n=b表示这类问题中等量关系通常由这个公式及由相关的词语“译”出。
例3：某企业去年对m产品的生产投资为2万元，预计今明两件的投资总额为12万元，求该企业这两两年在m产品投资上的平均增长率是多少？解：设这两个在m产品投资上的平均增长率为x，根据题意得2（1+x）+2（1+x）2=12解得：x1=1 x2=4（舍去）即该企业这两年在m产品上的平均增长率为100%。
四、估测型问题这类问题要结合生活经验，生产实际情况及合理运算后作出大胆的估测。
一元二次方程解法的灵活运用PPT课件
用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必需是一般形式的一元二次方程:
ax2+bx+c=0(a≠0).
2.b2-4ac≥0.
b b 4ac 2 x .b 4ac 0 . 2a
2
请用四种方法解下列方程:
2 4(x＋1)
=
2 (x－5)
先考虑开平方法, 再用因式分解法; 最后才用公式法和配方法;
你学过一元二次方程的哪些解法?
因式分解法 开平方法
配方法
公式法
你能说出每一种解法的特点吗?
1.用因式分解法的条件是:方程左边能够 分解,而右边等于零; 2 2 2 形如ax +bx=0 或 ax bx cx d 2.理论依据是:如果A×B=0→则A=0或B=0 因式分解法解一元二次方程的一般步骤: 一移-----方程的右边=0; 二分-----方程的左边因式分解; 三化-----方程化为两个一元一次方程; 四解-----写出方程两个解;
例1.选择适当的方法解下列方程：
①
( x 2) 9
2
②
t 4t 5
2
2 2
③
9(2m 3) 4(2m 5) 0
选择适当的方法解下列方程: 16 2 2 1 x 1 2 5x 2x 25 2 2 2 3 3x 1 4x 4 (x 2) 9x
规律：
① 一般地，当一元二次方程一次项系数为0时（ax2+c=0）， 应选用直接开平方法；若常数项为0（ ax2+bx=0），应选用因 式分解法；若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0）， 先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易， 宜选用因式分解法，不然选用公式法；不过当二次项系数是1， 且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单。 ② 公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用， 但不一定是最简单的，因此在解方程时我们首先考虑能 否应用“直接开平方法”、“因式分解法”等简单方法， 若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方法）
《用一元二次方程解决问题》word版 公开课一等奖教案 (4)
当我们在日常办公时,经常会遇到一些不太好编辑和制作的资料.这些资料因为用的比拟少,所以在全网范围内,都不易被找到.您看到的资料,制作于2021年,是根据最|新版课本编辑而成.我们集合了衡中、洋思、毛毯厂等知名学校的多位名师,进行集体创作,将日常教学中的一些珍贵资料,融合以后进行再制作,形成了本套作品.本套作品是集合了多位教学大咖的创作经验,经过创作、审核、优化、发布等环节,最|终形成了本作品.本作品为珍贵资源,如果您现在不用,请您收藏一下吧.因为下次再搜索到我的时机不多哦!用一元二次方程解决问题课堂教学教案教材第|一章第4节第 1 课时总 9 课时课题 1.4. (1 )用一元二次方程解决问题备课人教学目标【知识与技能】掌握列出一元二次方程解应用题；并能根据具体问题的实际意义 ,检验结果的合理性；【过程与方法】理解将一些实际问题抽象为方程模型的过程 ,形成良好的思维习惯 ,学会从数学的角度提出问题、理解问题 ,并能运用所学的知识解决问题 .建立一元二次方程的数学模型 ,解决如何全面地比拟几个对象的变化状况．【情感态度与价值观】培养学生观察、猜测、探究、归纳的习惯和能力 ,体验数学发现的乐趣教学重点掌握建立数学模型以解决如何全面地比拟几个对象的变化状况的问题．学会用列方程的方法解决有关形积问题教学难点如何找出形积问题中的等量关系学前准备准备一根22厘米长的铁丝、多媒体与展示台板书设计1.4. (1 )用一元二次方程解决问题例题1 例题2 两次增长后的量 =原来的量(1 +增长率)2 两次降低后的量 =原来的量(1 -增长率)2教学环节互助过程思考研讨学前准备合作一、情境引入：问题、一根长22cm的铁丝 .(1 )能否围成面积是302cm cm2的矩形 ?(2 )能否围成面积是32 2cm的矩形 ?并说明理由 .二、探究学习：探究交流讨论巩固提升1．尝试：下面数量之间的关系吗 ?如果设这根铁丝围成的矩形的长是x cm ,你能用数学式子表示矩形的宽吗 ?你能找出这个问题中的相等关系吗 ?相等关系： .2．概括总结．列方程的关系是找出相等关系 .3.典型例题：例题1、如下图(1 )小明家要建面积为150m2的养鸡场 ,鸡场一边靠墙 ,另一边用竹篱笆围成 ,竹篱笆总长为35m .假设墙的长度为18m ,鸡场的长、分别是多少 ?(2 )如果墙的长为15m ,鸡场一边靠墙 ,竹篱笆总长为45m ,可围成的鸡场最|大面积是多少平方米 ?(3) 如果墙的长为15m ,鸡场一边靠墙 ,竹篱笆总长为45m ,可围成的鸡场的面积能到达250m2吗 ?通过计算说明理由 .(4 )如果墙的长为15m ,鸡场一边靠墙 ,竹篱笆总长为45m ,可围成的鸡场的面积能到达100m2吗 ?通过计算并画草图说明 .例2、某商店6月份的利润是2500元 ,要使8月份的利润到达3600元 ,这两个月利润的月平均增长的百分率是多少 ?分析：如果设这两个月的利润平均月增长的百分率是x ,那么7月份的利润是2500 (1＋x )元 ,8月份的利润是2500 (1＋x )2元 .4.稳固练习：(1 )用长为100 cm的金属丝制作一个矩形框子 .框子各边多长时 ,框子的面积是600 cm2 ?能制成面积是800 cm2的矩形框子吗 ?(2 )如图 ,有长为24米的篱笆 ,一面利用墙 (墙的最|大可用长度为a 为15米 ) ,围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃 .①如果要围成面积为45平方米的花圃 ,AB的长是多少米 ?②能围成面课堂小结积比45平方米更大的花圃吗 ?如果能 ,请求出最|大面积 ,并说明围法；如果不能 ,请说明理由 .(3 )、把一根长为80cm的绳子剪成两段 ,并把每一段绳子围成一个正方形 .①要使这两个正方形的面积之和等于200cm2, 该怎么剪 ?②这两个正方形面积之和可能等于488cm2吗 ?(4 )某蔬菜交易市场2月份的蔬菜交易量是5000t ,4月份到达7200t ,平均每月增长的百分率是多少 ?(5 )某种服装原价为每件80元,经两次降价,现售价为每件51.2元,求平均每次降价的百分率.三、归纳总结：1、通常用一元二次方程解决实际问题要经历怎样的过程 ?2、用一元二次方程解决实际问题的关键是什么 ?作业布置课堂作业：P99习题4.3 6. 7 课后作业：补充习题P10 -11 下节课预习内容：P25 -27本课教学反思本节课主要采用过程教案法训练学生的听说读写.过程教案法的理论根底是交际理论,认为写作的过程实质上是一种群体间的交际活动,而不是写作者的个人行为.它包括写前阶段,写作阶段和写后修改编辑阶段.在此过程中,教师是教练,及时给予学生指导,更正其错误,帮助学生完成写作各阶段任务.课堂是写作车间, 学生与教师, 学生与学生彼此交流, 提出反应或修改意见, 学生不断进行写作, 修改和再写作.在应用过程教案法对学生进行写作训练时, 学生从没有想法到有想法, 从不会构思到会构思, 从不会修改到会修改, 这一过程有利于培养学生的写作能力和自主学习能力.学生由于能得到教师的及时帮助和指导,所以,即使是英语根底薄弱的同学,也能在这样的环境下,写出较好的作文来,从而提高了学生写作兴趣,增强了写作的自信心.这个话题很容易引起学生的共鸣,比拟贴近生活,能激发学生的兴趣, 在教授知识的同时,应注意将本单元情感目标融入其中,即保持乐观积极的生活态度,同时要珍惜生活的点点滴滴.在教授语法时,应注重通过例句的讲解让语法概念深入人心,因直接引语和间接引语的概念相当于一个简单的定语从句,一个清晰的脉络能为后续学习打下根底.此教案设计为一个课时,主要将安妮的处境以及她的精神做一个简要概括,下一个课时那么对语法知识进行讲解.在此教案过程中,应注重培养学生的自学能力,通过辅导学生掌握一套科学的学习方法,才能使学生的学习积极性进一步提高.再者,培养学生的学习兴趣,增强教案效果,才能防止在以后的学习中产生两极分化.在教案中任然存在的问题是,学生在"说〞英语这个环节还有待提高,大局部学生都不愿意开口朗读课文,所以复述课文便尚有难度,对于这一局部学生的学习成绩的提高还有待研究.。
一元二次方程综合应用教案：如何解决复杂问题？
一元二次方程综合应用教案：如何解决复杂问题？。
一、一元二次方程的基础知识一元二次方程的一般形式为ax² + bx + c = 0（其中a、b、c为实数且a不等于0）。
这里我们简单回顾一下如何求解一元二次方程。
其基本思想是利用怎样才能让一个式子等于0的思想进行解答。
具体步骤如下：1.将方程标准化，即将方程移到等号一边，同时把项按幂次降序排列。
这一步做完之后，方程应该具有形如ax² + bx + c = 0的形式。
2.判断方程的顶点位置，顶点记为（h，k），其中h = -b/(2a)，k = f(h)，f(x)代表方程的函数式。
如果a > 0，那么顶点向下；如果a < 0，那么顶点向上。
3.计算方程的判别式delta，delta = b² - 4ac。
根据delta的取值情况，判断方程有几组根、根的类型以及根的表达式。
4.根据求解步骤，完成方程解答。
二、一元二次方程的综合应用在现实生活中，一元二次方程除了用于学术研究外，还有很多广泛的应用。
下面我们将列举其中的一些情况。
1.高空掉落问题高空掉落是我们生活中常见的恐怖经历之一。
如果有一个人从高空自由落体下落，他从下落开始经历的时间、下落的速度、所受重力等都可以用一元二次方程来描述。
为了说明问题，我们将解释一个例子。
一个人从高处下落，他从下落开始经过 t 秒的时候下落了 h 米高度，下落过程中受到的重力为 g 米每秒平方，那么他从高处开始落到地面所需要的时间t能够用如下一元二次方程来表示：1/2gt² + vt + h = 0其中v表示下落的初始速度。
此时，方程的判别式可以表示为delta = v² - 2gh如果delta大于0，那么此时方程会有两个实数根，这两个值分别代表碰地的时间和弹起的时间。
如果delta等于0，方程有唯一一个实数根，表示碰地和弹起的时间是恰好相等的。
如果delta小于0，则代表此时方程没有实数根，意味着这个人永远不会碰地。
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• 3、如图，在长40m,宽22m的矩形地面内， 修筑两条同样宽且互相垂直的道路，余下 的铺上草坪，要使草坪的面积达到760m2, 道路的宽应为多少？
个性展示
4 如图所示要建一个面积为150m2的长方形养鸡场， 为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一条墙，墙长为 am，另三边用竹篱笆围成，已知篱笆总长为35m． （1）求鸡场的长与宽各为多少米？ （2）题中的墙长度am对题目的解起着怎样的作用？
. .
(3)设围成的矩形一边长为xcm，那么另一边长 为（11-x)cm, 矩形的面积为：
x (1 1 x ) x 2 1 1x ( x 2 1 1x ) 11 2 11 2 2 x 1 1x ( ) ( ) 2 2 11 2 121 ( x ) 2 4 11 2 ( x ) 0 即最大值为0 2 121 x (1 1 x )的最大值为 4 121 2 答：用这根铁丝围成的矩形最大面积是 4 cm
检测反馈
2.某种服装原价为每件80元,经两次降价,现售价为每件 51.2元,求平均每次降价的百分率. 3.有2头猪患了流感，经过两轮传染后共有242头猪患了流 感． （1）求每轮传染中平均一头猪传染了几头猪？ （2）如果不及时控制，第三轮将又有多少头猪被传染？
a(1 x) b
2
4.注意： (1) 1与x的位置不要调换 （2）指数2在括号的外面 (3) 解这类问题用 直接开平方法
整合提升
1,某企业成立3年来，累计向国家上缴利税280万元
，其中第一年上缴40万元，求后两年上缴利税的
年平均增长的百分率。
本节课你有哪些收获？
1.用一元二次方程解应用题的一般步骤 2.用一元二次方程解决两类问题
4.1一元二次方程
一生最爱棉花糖
解一元一次方程应用题的一般步骤？ 课前准备：
第一步：审题：弄清题意和题目中的已知量、 未知量； 第二步：设出未知量为x，用x的代数式表示 出相关联的量（直接设和间接设） 第三步：找出能够表示应用题全部含义的相 等关系； 第四步：根据这些相等关系列出方程； 第五步：解这个方程，求出未知数的值； 第六步：检验所求的解是否是 原方程的解， 且是否符合应用题的实际意义后； 第七步：写出答案（及单位名称）。
检测反馈
1.将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的 长度为周长做成一个正方形. （1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这 段铁丝剪成两段后的长度分别是多少? （2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗? 若能， 求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由. （3）两个正方形的面积之和有最小值吗? 若有，请求最 小值；若没有，请说明理由.
2500(1+x)2=3600
解: 设平均每个月增长的百分率是x.根据题意得:
2500(1+x)2 =3600
整理,得: (1+x)2= 1.44 解这个方程,得: x1=0.2=20％ x2=-2.2 (不合题意,舍去)
答:平均每个月增长的百分率是20％.
小结
1.两次增长后的量=原来的量(1+增长率)2 若原来为a,平均增长率是x,增长后的量为b 则 第1次增长后的量是 a(1+x) =b 第2次增长后的量是 a(1+x)2=b … 第n次增长后的量是 a(1+x)n=b 2.反之，若为两次降低，则 a(1-x)2=b 平均降低率公式为 3.平均增长(降低两次率)公式
(2) 根据题意得
x(11 x) 32
整理得
x 11x 32 0
2
因为 b 2 4ac (11) 2 4 1 32 121 128 7 2的矩形.
合作探究
讨论：1用这根铁丝围成的矩形最大面积是多少？
点击中考
• （2014•新疆，第19题10分）如图，要利用 一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的 围栏围成总面积为400平方米的三个大小相 同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为 多少米？
• 解：设AB的长度为x，则BC的长度为（100﹣4x） 米． • 根据题意得 （100﹣4x）x=400， • 解得 x1=20，x2=5． • 则100﹣4x=20或100﹣4x=80． • ∵80＞25， • ∴x2=5舍去． • 即AB=20，BC=20． • 答：羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米．
解：设这根铁丝围成的矩形的长是xcm，则矩 形的宽是（11-x）cm
(1) 根据题意的
整理得 解得 当 当
x(11 x) 30 x 11x 30 0
2
x2 6
x1 5, x2 6 x1 5, 时，11 x 6;
时，
11 x 5;
答：长22cm的铁丝能围成面积是30cm2的矩 形。
• 2如何列一元二次方程解决实际问题？ • 应注意什么？
自主展示
• 1、一块长方形菜地的面积是150cm2，如果 它的长减少5cm，那么他就变成正方形。求 这个长方形菜地的长和宽。
• 2在长70m,宽50m的矩形绿地的四周有一条 宽度相等的人行道，这条人行道的面积是 1300m2，则这条人行道的宽度是多少米？
合作探究
问题3 某商店6月份的利润是2500元，要使7月份的利 润达到3600元，每月增长的百分率是多少？ 问题4 某商店6月份的利润是2500元，要使8月份的利润 达到3600元，平均每月增长的百分率是多少？ 分析: 如果设平均每个月增长的百分率为x 则6月份利润是________ 2500 元. 7月份的利润是 _____________________ 2500+2500x=2500(1+x) 元 8月份的利润是 2500(1+x)+2500(1+x)x=2500(1+x) ____________________________ 2元 8月份的利润达到3600
合作探究
• 1、阅读课本P24问题1，回答下列问题： 矩形的长×矩形的宽 =矩形的面积 • （1）问题1中的等量关系是____________ __________ • • (2)设长为xcm，则宽为 _________ （ 11-x）cm , X(11-x) • 面积可表示为____________________; （3）假设能围成面积是30cm2的矩形. X(11-x)=30 • 可得方程__________________ • （4）假设能围成面积是30cm2的矩形. X(11-x)=32 • 可得方程__________________