圆周角和圆心角的关系(2)
圆周角和圆心角的关系
A
●O
2
习题1.如图：OA、OB、OC都是⊙O的半径 ∠AOB=2∠BOC.
求证：∠ACB=2∠BAC.
分析:A⌒B所对圆周角是∠ACB, 圆心角是∠AOB. 则∠ACB=_1__∠AOB.
⌒BC所对圆周角是∠ BAC , 圆心角是∠BOC, 则∠ BAC=_1_2∠_ BOC
证明：∠ACB= 12∠AOB
• 如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样
• 2.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角
∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样 A D
老师提示:能否转化为1的情况
C
过点B作直径BD.由1可得:
●O
∠ABD
=
1∠AOD,∠CBD
2
=1
2
∠COD,
∴ ∠ABC = 1∠AOC.
2
B
一条弧所对的圆周角等于它所
你能写出这个命题吗 对的圆心角的一半.
议一议
圆周角和圆心角的关系
• 如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样
• 3.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角 ∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样 A
老师提示:能否也转化为1的情况
C
过点B作直径BD.由1可得:
●O B
∠ABD
=
∠1 AOD,∠CBD
∠ A的度数。
医学资料
• 仅供参考,用药方面谨遵医嘱
猜一猜
拓展 化心动为行动
• 1.如图(1),在⊙O中,∠BAC=50°,求∠C的大小.
A
C D
B
●O
B
D
EA ●O
●O
B
C (1)
A
C
九下第三章圆4圆周角和圆心角的关系第2课时圆周角定理的推论作业新版北师大版
【点拨】连接BD.∵四边形ABCD是矩形， ∴BD是⊙O的直径， ∵AB＝4，AD＝3，∴BD＝ ∴⊙O的半径为 ，∴⊙O的面积为 又∵矩形的面积为3×4＝12， ∴阴影部分的面积为 π－12.
14．【荣德原创题】如图，⊙O的内接四边形ABCD的两组对边的延长线分别交于点E，F. (1)若∠E＝∠F，求证：∠ADC＝∠ABC；
第三章 圆
4 圆周角和圆心角的关系
第2课时 圆周角定理的推论
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1．直径所对的圆周角是________；________3随堂练习T2变式】用直角三角尺检查半圆形的工件，下列工件合格的是( )
D
【点拨】如图，连接CO并延长，交⊙O于点E，连接AE. ∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA. ∵∠ACD＝∠CAB，∴∠DCA＝∠ACO. ∴AE＝AD＝2. ∵CE是直径，∴∠EAC＝90°. 在Rt△EAC中，AE＝2，AC＝4，
13．【2023·重庆】如图，⊙O是矩形ABCD的外接圆，若AB＝4，AD＝3，则图中阴影部分的面积为________．(结果保留π)
请利用上述两个问题的方法和结论，完成下面的综合问题： (3)如图③，⊙O的直径为 ，弦AB⊥弦CD于点E，连接AD，BC，若AD＝4，求BC的长，请写出解题过程．
解：如图③，连接AO并延长交⊙O于点F，连接BF，DF. ∵AF为直径，∴AB⊥BF，∠ADF＝90°.
∴BC＝1.
外接圆
互补
6．【2022·宜昌】如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD，BD，若∠C＝110°，则∠OBD＝( ) A．15° B．20° C．25° D．30°
3.3圆心角与圆周角的关系(2)
课题名称3.3 圆周角和圆心角的关系（2）教学目标:(一)知识目标1、掌握圆周角定理几个推论的内容．2、会熟练运用推论解决问题．(二)能力目标1、培养学生观察、分析及理解问题的能力．2、在学生自主探索推论的过程中，经历猜想、推理、验证等环节，获得正确的学习方式．(三)情感与价值观培养学生的探索精神和解决问题的能力.教学重点:圆周角定理几个推论的应用.教学难点:理解几个推论的”题设”和”结论”．教学方法:指导探索法.教学过程:一、回顾交流，拓展延伸：1、圆周角定理：_____________________________________。
2、观察下图，∠ABC，∠ADC，和∠AEC有什么共同特征？它们的大小有什么关系？为什么？结论：_____________________________________3、如下图，BC是⊙O的直径，它所对的圆周角是锐角、直角，还是钝角?你是如何判断的?结论：_____________________________________4、如下图，圆周角∠BAC=90°，弦BC经过圆心O吗？为什么？结论：_____________________________________二、例题讲解，知识应用：例1、如图示，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系?为什么?解：（例2题图）例2、船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁，如下图，A、B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两点的一个圆形区域内，C表示一个危险临界点，∠ACB就是“危险角”．当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时，就有可能触礁；当船与两个灯塔的夹角小于“危险角”时，就能避免触礁．(1)当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角”时，船位于哪个区域?为什么?(2)当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”时，船位于哪个区域?为什么?三、随堂练习：1、为什么有些电影院的座位排列（横排）呈圆弧形？说一说这种设计的合理性。
弦所对的圆周角和圆心角的关系
弦所对的圆周角和圆心角的关系大家好，今天咱们来聊聊一个有趣的几何问题：弦所对的圆周角和圆心角的关系。
听到这儿，不要慌，别以为这是数学的“噩梦”，其实这就是咱们在数学里碰到的那些小秘密。
想象一下，你在一个大圆圈里，有一个弦，哦，就是那种连接圆上两点的线段。
那么，这条弦所对的圆周角和圆心角之间，到底有什么秘密关系呢？让我给大家掀开这层神秘的面纱。
首先，咱们得从圆心角说起。
圆心角，顾名思义，就是从圆心出发的角度，它的顶点正好在圆心上。
这角度的意思就是从圆心看向圆上的两个点，形成的那个角度。
是不是有点像你在玩飞镖，瞄准一个靶心，然后投掷飞镖？那个角度就是你弯腰的角度，不同的角度，飞镖飞出去的轨迹就不一样，对吧？好了，咱们知道了圆心角的定义，接下来就是要谈谈圆周角了。
圆周角听起来有点像是圆心角的“小弟弟”，它的顶点不在圆心上，而是在圆周上。
简单来说，圆周角就是那些由弦所形成的角度。
想象一下，你站在圆的边缘，看看圆上的弦，然后对着这个弦产生的那个角度，这就是圆周角。
也许你会觉得，这个角度和圆心角之间好像没啥联系，但其实，它们之间有个绝对的关系，那就是圆心角是圆周角的两倍。
这就像你和你的小伙伴一起吃大餐，你吃的比他多，但他觉得也不差，因为他正好可以尝到你喜欢的那些美味，哇，这真是个绝妙的“吃货”组合。
接下来，让我们来个小实验。
假如你在一个大圆上选取两点A和B，然后画一条弦AB。
如果我们在圆心O画出两个线段OA和OB，就形成了一个圆心角，而弦AB对面的圆周角就是圆心角的一半。
这就像你把一个蛋糕切成两半，一半就是你的，一半就是你朋友的，你们分得均匀，不觉得这是个公平的交易吗？所以，你可以发现，无论圆心角多么大，圆周角永远只有圆心角的一半。
这就像你去参加生日派对，即使蛋糕有多大，你总是只能分到那一小块，别想太多。
更有趣的是，这种关系在不同的圆中都是适用的。
无论你走到哪儿，画个圆，选取一条弦，它对面的圆周角总是圆心角的一半。
圆周角与圆心角、弧的关系
(教案)圆周角与圆心角、弧的关系一、知识讲解：1．圆周角与圆心角的的概念：顶点在圆上，同时两边都和圆相交的角叫做圆周角。
2．在同圆或等圆中，假如两条弦，两条弧，两个圆心角中有一组量相等，那么它们所对应的其它各组量都分别相等。
3．一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半。
4．直径所对的圆周角是90度，90度的圆周角所对的弦是直径。
5．圆的内接四边形对角之和是180度。
6．弧的度数确实是圆心角的度数。
解题思路：1．已知圆周角，能够利用圆周角求出圆心角2．已知圆心角，能够利用圆心角求出圆周角3．已知直径和弧度，能够求出圆周角与圆心角1.圆周角与圆心角的定义顶点在圆上，同时两边都和圆相交的角叫做圆周角。
注意圆周角定义的两个差不多特点：(1)顶点在圆上；(2)两边都和圆相交。
二、教学内容【1】圆心角：顶点在圆心的角。
利用两个错误的图形来强调圆周角定义的两个差不多特点：练习：判断下列各图形中的是不是圆周角，并说明理由．【2】明白得圆周角定理的证明一条弧所对的圆周角的度数等于这条弧所对的圆心角度数的一半。
已知：⊙O中，弧BC所对的圆周角是∠BAC，圆心角是∠BOC，求证：∠BAC= 1/2∠BOC.分析：通过图形的演示指导学生进一步去查找圆心O与∠BAC的关系本题有三种情形：（1）圆心O在∠BAC的一边上 O（2）圆心O在∠BAC的内部（3）圆心O在∠BAC的外部 B D C●假如圆心O在∠BAC的边AB上,只要利用三角形内角和定理的推论和等腰三角形的性质即可证明●假如圆心O在∠BAC的内部或外部,那么只要作出直径AD,将那个角转化为上述情形的两个角的和或差即可证明:圆心O在∠BAC的一条边上 AOA=OC==>∠C=∠BAC∠BOC=∠BAC+∠C O==>∠BAC=1/2∠BOC. B C【3】圆周角与圆心角的关系（1）．在同圆或等圆中，假如两条弦，两条弧，两个圆心角中有一组量相等，那么它们所对应的其它各组量都分别相等。
3.3_圆周角和圆心角的关系(2)
C
老师期望: 你可要理 解并掌握 这个模型.
●
O
B
即
1 ∠ABC = ∠AOC. 2
你能写出这个命题吗?
一条弧所对的圆周角等于 它所对的圆心角的一半.
圆周角和圆心角的关系
演示
如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样? 2.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角 ∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?
条件：圆周角与圆心角对同一条弧。 结论：圆周角是圆心角的一半。
老师提示:圆周角定理是承上启下的知识点,要予以重视.
思考与巩固
1.如图,在⊙O中,∠BOC=50°,求∠A的大小.
1 解: ∠A= ∠BOC=25°. 2
A B C
●
O
练习、在下列各图中， ∠α １＝ 150° ，∠α ２＝ 60°，
C 返回
D
B
总结：圆周角定理：
一条弧所对的圆周角等于它所对的 圆心角的一半.
推论1： 同弧或等弧所对的圆周角相等； 同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。 推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角； 90度的圆周角所对的弦是直径。
推论3： 圆内接四边形对角互补。 对角互补的四边形内接于圆。
探究：直径或半圆所对的圆周角的度数 1、探究半圆或直径所对的圆周角等于多少度？ 2、90°的圆周角所对的弦是否是直径？ 线段AB是⊙O的直径，点C是 ⊙O上任意一点（除点A、B）， 那么，∠ACB就是直径AB所对的圆 周角.想想看，∠ACB会是怎么样 的角？为什么呢？
3.3 圆周角和圆心角 的关系
圆周角和圆心角的关系PPT课件(北师大版)
4．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，点D在⊙O上， ∠ADC＝54°，则∠BAC的度数等于_______36°
5．如图，△ABC的三个顶点在⊙O上，CD是直径，∠B＝40°，则 ∠ACD的度数是_5_0_°_．
6．(202X·温州模拟)如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至 点D，使DC＝CB.延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE. (1)求证：∠B＝∠D； (2)若AB＝4，BC－AC＝2，求CE的长．
解：(1)∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°，∴AC⊥BC.∵CD＝CB， ∴AD＝AB，∴∠B＝∠D (2)设 BC＝x，则 AC＝x－2.在 Rt△ABC 中， AC2＋BC2＝AB2，∴(x－2)2＋x2＝42，解得 x1＝1＋ 7，x2＝1－ 7(舍 去)．∵∠B＝∠E，∴∠D＝∠E，∴CD＝CE.∵CD＝CB，∴CE＝CB ＝1＋ 7
︵︵ 9．如图，已知∠EAD 是圆内接四边形 ABCD 的一个外角，并且BD＝DC. 求证：AD 平分∠EAC.
解：∵四边形 ABCD 是圆内接四边形，∴∠EAD＝∠DCB.又∵B︵D＝D︵C， ∴∠DAC＝∠DCB.∴∠EAD＝∠DAC，∴AD 平分∠EAC
10．(202X·安徽模拟)如图，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的 点．在下列判断中，不正确的是( C ) A．当弦PB最长时，△APC是等腰三角形 B．当△APC是等腰三角形时，PO⊥AC C．当PO⊥AC时，∠ACP＝30° D．当∠ACP＝30°时，△BPC是直角三角形
第三章 圆
圆心角与圆周角的关系证明
圆心角与圆周角的关系证明要讨论圆心角与圆周角的关系，我们首先得了解这两个角的基本概念。
想象一下，我们站在一个圆的中心，眼前是一个大大的披萨（谁不喜欢披萨呢？），这个披萨的每一片都能代表一个圆心角。
圆心角就是从圆心出发，连接到圆的两边形成的那个角。
听起来是不是很简单？但别小看这个角，它可是有很多有趣的性质，尤其是与圆周角的关系。
接下来，我们聊聊圆周角。
圆周角就像是坐在披萨边缘的朋友，虽然离圆心远了一点，但它的工作同样重要。
简单来说，圆周角是圆周上某一段的端点与圆心之间形成的角。
这里面有个有趣的点：圆心角的度数和它对应的圆周角的度数是有关系的。
让我们用个小例子来说明吧：假设你有一个圆心角为60度的角，那么对应的圆周角就只有30度。
这是不是听起来很神奇？像是魔术一样，让人忍不住想要深入探讨。
在数学上，这种关系其实是有一定规律的。
我们可以用公式来简单地表示：圆周角= 1/2 × 圆心角。
也就是说，圆心角总是圆周角的两倍！如果你把这个关系想象成一对好朋友，那圆心角就像是个大嘴巴，总是说个不停，而圆周角则比较安静，时不时插一句。
这样的搭配，简直就是天生一对！要想彻底理解这个关系，我们可以借助几何图形来更直观地观察。
画个圆，标出圆心，接着在圆的边缘上找两个点。
用直线连接这两个点到圆心，再在这两个点之间的圆周上找一个点，看看你能形成什么样的角。
这时，你会发现无论你如何移动这些点，圆心角的度数永远是圆周角的两倍。
就像那句老话，“不怕慢，就怕站”，只要我们不停地探索，就总能找到答案。
当然，实际生活中，这个关系也会有很多应用，比如在建筑设计、机械工程等等领域。
想象一下，如果没有这个关系，建筑师们的设计图纸可能会变得乱七八糟，大家都搞不清楚哪个角应该怎么测量，最后建出来的房子可能会歪歪扭扭的，那可就闹笑话了。
可见，圆心角和圆周角的和谐关系在生活中是多么的重要！所以，朋友们，记住这段关系吧。
圆心角和圆周角就像是数学世界里的好搭档，无论走到哪里，它们都携手并进。
圆周角和圆心角的关系ppt课件
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3.4 圆周角和圆心角的关系
解析：如解析图，连接 AB，DE，则∠ABE=∠ADE. ∵ 所对的圆心角的度数为 50°，∴∠ABE= ∠ADE =25°. ∵ 点 A，B，C，D 在 ⊙O 上 ，∴四边形 ABCD 是圆内接四边形， ∴∠ABC+∠ADC=180°， ∴∠ABE+∠EBC+∠ADC=180°， ∴∠EBC+∠ADC=180°-∠ABE=180°-25°=155°． 答案：155° 题型解法：本题考查了圆周角定理和圆内接四边形的 性质，作出辅助线构建圆内接四边形是解题的关键．
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3.4 圆周角和圆心角的关系
■考点四 圆内接四边形
定义
四边形的四个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个 圆叫做四边形的外接圆
推论 圆内接四边形的对角互补
拓展 圆内接四边形的任何外角等于内对角
注意 并不是所有的四边形都存在外接圆，只有对角互补的四边形才存在外接圆
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3.4 圆周角和圆心角的关系
A． 20° B． 40°
C． 50° D． 70°
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3.4 圆周角和圆心角的关系
3. 如图，已知△ABC 的三个顶点都在同一圆上，且 AC=6，BC=8，AB=10， 则该圆的半径长是 ________.
（第 3 题图）
（第 4 题图）
4. 如图，AB=BC，∠ABC =120°，AD 为 ⊙O 的直径 ，AD=6，那么 AB 的
值为 ______.
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3.4 圆周角和圆心角的关系
5. 如图，AB=AC，AB 是直径，求证：BC=2DE． （第 5 题图）
圆心角与圆周角的关系(2)
解：连接 OA，OB，作 OE⊥AB 于点 E. ∵OA ＝OB，∴AE ＝BE. 在 Rt △AOE 中，OA＝2，AE＝ 3 ， 3 ∴sin∠AOE＝ . 2 ∴∠AOE＝60°，∠AOB＝2∠AOE＝120° . ∴∠ADB＝60°. 又∵四边形 ADBC 为圆内接四边形， ∴∠ACB＋∠ADB＝180°. ∴∠ACB＝180°－∠ADB＝120°.
第2课时 圆周角定理的推论
►
知识点二
圆内接四边形及四边形的外接圆
如果一个四边形的四个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫 做这个四边形的外接圆．
第2课时 圆周角定理的推论
►
知识点三
圆内接四边形的性质
圆内接四边形的对角互补． [拓展] 若圆内接四边形的对角相等时，此时的四边形就变成矩形了．
第2课时 圆周角定理的推论
探பைடு நூலகம்问题二
圆内接四边形性质的应用
例 2 如图 3－4－23 ， 已知⊙O 的半径为 2 ， 弦 AB 的长为 2 3 ， 点 C 与点 D 分别是劣弧 AB 与优弧 ADB 上的任一点(点 C， D 均不与 A，B 重合)．求∠ACB 的度数．
图 3－ 4－23
第2课时 圆周角定理的推论
B
O 图②
C
3、观察图③，圆周角∠BAC=90° ，弦BC经 过圆心吗？为什么？
A
B C
结论：
2、直径所对的圆周角是直角； 3、90°的圆周角所对的弦是直径.
O
图③
小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形。 根据下图，你能判断哪个是半圆形？为什么？
1、如图,⊙O的直径AB=10 cm，C为⊙O 上的一点， ∠ABC=30° ，求AC的长.
圆周角和圆心角的关系(第2课时)同步课件
（1）如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，AC为⊙O的直径，
请问∠BAD与∠BCD之间有什么关系？为什么？
A
解：∠BAD与∠BCD互补.
D
∵AC为直径，
∴∠ABC=90°，∠ADC=90°.
∵∠ABC+∠BCD+∠ADC+∠BAD=360°，
B
∴∠BAD+∠BCD=180°.
∴∠BAD与∠BCD互补.
O
C
探究新知
自主合作，探究新知
（2）若C点的位置产生了变化，∠BAD与∠BCD之间的关系
还成立吗？为什么？
解：∠BAD与∠BCD的关系仍然成立.
D
A
如图8，连接OB，OD.
∵ ∠2=2∠BAD，∠1=2∠BCD，
C
1
O 2
（圆周角的度数等于它所对弧上圆心角的一半），
∵∠1+∠2=360°，
解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
E
∴∠ADC+∠CBA=180°（圆内接四边形的对角互补）.
∵∠EDC+∠ADC=180°，
D
∠EBF+∠ABE=180°，
∴∠EDC+∠EBF=180°.
C
O
∵∠EDC=∠F+∠A，∠EBF=∠E+∠A，
∴∠F+∠A+∠E+∠A=180°.
∴∠A=40°.
A
B
F
圆内接四边形的对角互补.
D
D
A
A
C
O
O
B
C
B
几何语言：
∵四边形ABCD为圆内接四边形，
北师大版九年级下册数学《圆周角和圆心角的关系》圆PPT课件教学课件(第2课时)
北京师范大学出版社 九年级 | 下册
北京师范大学出版社 九年级 | 下册
课时小结：
1．本节课我们探索了圆的对称性． 2．利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理． 3．垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决弦长、半径、 弦心距等计算问题．
北京师范大学出版社 九年级 | 下册
课后作业：
(一)课本习题3．2，1、2．试一试１. (二) 预习课本：P94～97内容
新课讲解
知识点2 直角所对的弦是直径
在如图中，圆周角∠A＝90°，弦BC是直径吗？为什么？
新课讲解
90°的圆周角所对的弦是直径.
新课讲解
典例分析
例 如图，已知经过原点的⊙P与x轴、y轴分别交于A，B 两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB等于( B ) A．80° B．90° C．100° D．无法确定
拓展与延伸
已知在半径为4的⊙O中，弦AB＝4 3 ，点P在圆上，则 ∠APB＝_6_0_°__或__1_2_0_°_．
第3单元 · 圆
圆的对称性
北京师范大学出版社 九年级 | 下册
问题： 前面我们已探讨过轴对称图形，哪位同学能叙述一下轴对称图形的定义?
我们是用什么方法研究轴对称图形的?
北京师范大学出版社 九年级 | 下册
交点，即垂足． 4．将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如图.
问题：（1）右图是轴对称图形吗？ 如果是，其对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些等量关系？ 说一说你的理由。
北京师范大学出版社 九年级 | 下册
总结得出垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的 弧。 推理格式：如图所示 ∵CD⊥AB，CD为⊙O的直径 ∴AM=BM，AD BD, AC BC .
圆周角与圆心角的关系
圆周角与圆心角的关系(1、2)一、弧与圆心角的关系当∠AOB= 1o 时， 则 1o= 360（） ，而此时AB的度数=360（）∴二、圆心角与圆周角的关系 1、圆周角的定义一个角的顶点在 ，角的两边 ，叫圆周角 练习：判断下列图形是否是圆周角2、圆周角与圆心角的关系圆周角与圆心角的关系：圆周角与弧的度数的关系：在等圆或同圆中，弧、圆周角、圆心角的关系：1、等弧所对的圆周角、圆心角 ；2、同弧所对的圆心角直径所对的圆周角是 ，90o 圆周角所对的弦是 1、已知圆中一条弧所对圆周角为75°，则这条弧的度数是 ________ 2、圆周角是24°，则它所对的弧是___________． 三、练习：1、在下列图形中找出相等的角D2、如图，已知圆心角∠BOC=100°,则圆周角∠BAC 的度数是2题 3题 4题3、如图，AB 是⊙O 的直径， BC=BD ，∠A=25°，则∠BOD= 。
4、如图，点A 、B 、C 、D 是圆O 上四点，且点D 是弧AB 的中点，CD 交OB 于E ，∠AOB=100°，∠OBC=55°，则∠OEC=__________度.5、如图,等边三角形ABC 的三个顶点都在⊙O 上,D 是 AC 上任一点(不与A 、C 重合),则∠ADC 的度数是________.5题7题8题6、在⊙O 中，∠AOB=72°则弦AB 所对的圆周角是 。
6.1已知⊙O 中的弦AB 长等于半径，求弦AB 所对的圆周角和圆心角的度数．7、如图AB 为直径，∠BED ＝40°则∠ACD ＝______．8、如图OA 、OB 是⊙O 的半径，∠AOB ＝40°，∠OBC ＝50°， 则∠ACB ＝______∠OAC ＝______． 9、如图,A 、B 、C 、D 四点都在⊙O 上,AD 是⊙O 的直径,且AD=6cm,若∠ABC= ∠CAD,求弦AC10、如图,AB 为半圆O 的直径,弦AD 、BC 相交于点P ,若CD=3,AB=4,求tan ∠BPD 的值.C11、如图，⊙C 过原点，且与两坐标轴分别交于点A 、点B ，点A 的坐标为（0，3），M 是第三象限内上一点，∠BMO=120°，则⊙C 的半径长为12、如图，已知AB 为⊙O 的直径，∠CAB=30°，则∠D 的度数为13、如图，直径为10的⊙A 经过点C （0，5）和点O （0，0），B 是y 轴右侧⊙A 优弧上一点，则∠OBC 的余弦值为13、1如图，O 为原点，点A 的坐标为（3，0），点B 的坐标为（0，4），⊙D 过A 、B 、O 三点，点C 为上一点（不与O 、A 两点重合），则cosC 的值为14、如图，已知⊙O 的半径为1，锐角△ABC 内接于⊙O ，BD ⊥AC 于点D ，OM ⊥AB 于点M ，则sin ∠CBD 的值等于OBABO。
圆心角和圆周角关系证明
圆心角和圆周角关系证明
圆心角和圆周角是极坐标系统中的两个重要概念，它们之间有着密切的关系。
圆心角是以圆心为原点，沿着圆的方向沿圆周方向指向任意点的有向角；而圆周角是从圆心到圆上任意点的半径矢量沿圆周方向旋转到另一个半径矢量的角度。
从图像上可以看出，圆心角和圆周角之间存在着一种紧密的关系。
圆心角的角度值等于圆周角的角度值，也就是说，任意点的圆心角和圆周角的角度值都是相同的。
可以用数学的方法来证明这一结论。
设圆的半径为R，圆上任意点的坐标为（x，y），则圆心角α和圆周角β的关系可以表示为：α＝arctan（y/x）β＝arctan（x/R）由此可以得出，
圆心角α和圆周角β之间是有关系的，其关系可以表示为：α
＝β由此可以看出，圆心角和圆周角之间是相等的，也就是说，任意点的圆心角和圆周角的角度值都是相同的。
证明结束。
从以上可以看出，圆心角和圆周角之间有着密切的关系，它们的角度值都是相等的。
圆心角的概念是以圆心为原点，沿着圆的方向沿圆周方向指向任意点的有向角；而圆周角是从圆心到圆上任意点的半径矢量沿圆周方向旋转到另一个半径矢量的角度。
圆心角和圆周角是极坐标系中的两个重要概念，它们之间的关系不仅体现在它们的角度值是相等的，还体现在它们可以用来描述圆心到任意点的位置关系，使圆的描述更加准确。
总之，圆心角和圆周角之间有着密切的关系，它们的角度值相等，可以帮助我们更准确地描述圆的位置关系，从而使得极坐标系统的应用变得更加方便。
圆周角和圆心角的关系证明
圆周角和圆心角的关系证明某个物体绕某个圆周运动，便形成了一种运动角圆周角。
圆心角就是该物体在圆心起点绕圆周转过的角度大小，是相对于圆心处于一定角度之上的状态。
因此可以概括为：圆周角和圆心角具有某种关系。
首先，我们可以比较圆形的圆周角和圆心角的向量。
两个向量的长度可以相等，但其方向不同。
圆心角的方向与圆心起点的笛卡尔坐标轴正向重合，而圆周角的方向与与笛卡尔坐标轴的正向垂直。
其次，圆周角和圆心角之间的关系也可以用数学证明。
把夹角圆心角α和圆周角β，以及笛卡尔坐标系中相对应的半径r表示出来，建立圆形方程式：x2 + y2 = r2，其中：x = r cosα，y = r sen α。
将公式项展开：r2cos2α + r2sen2α = r2从而得出cos2α + sen2α = 1，记为：cos2α = 1 - sen2α。
它表明：圆心角α和圆周角β之间有一定的关系，即：cos2α = 1 - sen2β同时，将圆周角β和圆心角α之间的关系用另一种表示方式表示出来，即：cosβ = cosα - sinα从上面的公式可以看出，圆心角α和圆周角β之间存在一定的关系，可用cos2α = 1 - sen2β及cosβ = cosα - sinα来表示，经过数学的推理可得出圆心角α和圆周角β之间的关系，即：cos2α = 1 - sen2βcosβ = cosα - sinα从而得出，圆周角和圆心角之间存在一定的关系。
再次，我们可以通过几何图形来证明圆周角和圆心角之间的关系。
在一个平面上，以圆心O为原点，以半径r为长度的圆形上，可以建立一个等边三角形AOP，其中A为圆周上的一点，O为圆心，P为圆上的一点，半径为r，以O为起点，走过一个圆心角α后，必定会到达P点。
同时，从圆弧AP上可以看出这个圆心角α和圆周上的夹角β之间是相等的。
因此，根据等边三角形的各种性质，可以推出：圆心角α和圆周角β是相等的。
以上就是圆周角和圆心角之间关系的数学、向量和几何图形证明。
优弧的圆周角和圆心角
优弧的圆周角和圆心角
圆周角与圆心角的关系是同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。
优弧和劣弧与圆心角关系是优弧所对圆周角等于劣弧所对圆周角的补角，也就是圆心角的一半的补角。
圆周角是指顶点在圆上且角的两边是圆的弦，圆心角是指顶点是圆心，角的两边是这个圆的半径的角。
圆心角定义：
1、等弧对等圆心角。
2、把顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份的圆心角是1°的角。
3、因为在同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份，这时，把每一份这样得到的弧叫做1°的弧。
4、圆心角的度数和它们对的弧的度数相等。
九年级数学圆周角与圆心角的关系
理解圆周角和圆心角的定义 及性质。
掌握圆周角与圆心角之间的 定理及其证明。
能够运用圆周角与圆心角的 关系解决实际问题。
学习目标
ONE
2
圆周角与圆心角的基本概念
圆周角的定义
圆周角等于它所夹弧 所对的圆心角的一半。 顶点在圆上，两边都 和圆相交的角叫做圆 周角。
圆心角的定义
顶点在圆心上，两边 都和圆相交的角叫做 圆心角。 圆心角等于它所夹弧 所对的圆周角的四倍。
3、题目
03
若圆心角为 π/4 的扇形的面积是 (1/2)，则该圆心角所对的弧长为 _______．
思考题
在半径为5cm的圆中，圆心 角所对的弧长为 π cm，则 此圆心角的大小为 _______． 1、题目 已知扇形的圆心角为 π/3， 弧长为 l，扇形的面积为 S， 则 l + S = _______． 2、题目
证明过程还可以通过其他方法，如利用相 似三角形来证明。
定理的应用示例
证明两个圆周角相等。如果两个圆周角所对的弧相等，那么这两个圆 周角相等，这是圆周角定理的一个直接应用。 应用示例1 计算圆心角的大小。已知一个圆周角的大小，可以利用圆周角定理计 算出它所对的圆心角的大小。 应用示例2 解决实际问题。在几何图形中，常常需要利用圆周角定理来解决实际 问题，如计算角度、比较大小等。 应用示例3
确定点在圆上的位置 利用圆周角定理，可以确 定一个点在圆上的位置。
绘制圆的切线 利用圆周角定理，可以绘
制出圆的切线。 计算圆的半径
通过圆周角定理，可以计 算出圆的半径。
在数学竞赛中的应用
在数学竞赛中，利用圆周角定 理可以证明一些几何命题。 解决几何证明题 通过圆周角定理，可以解决一 些几何计算题，例如计算角度 或长度。 解决几何计算题 在数学竞赛中，利用圆周角定 理可以解决一些几何作图题。 解决几何作图题
圆周角等于圆心角的一半 或者一半的补角
圆周角等于圆心角的一半或者一半的补角圆周角和圆心角是圆内的两个角度，它们有着一定的关系。
在一个圆内，圆周角等于圆心角的一半，或者说圆心角的一半是圆周角的补角。
具体来说，圆周角是指圆上任意两点间的夹角，即圆弧所对应的角度。
而圆心角则是指以圆心为顶点的角度，即圆弧所对应的中心角度。
这两个角度之间的关系可以通过以下公式来表达：
圆周角 = 圆心角的一半
或者
圆心角的一半 = 圆周角的补角
其中，“补角”是指与一角的和为90度的角度。
因此，如果一个圆周角为60度，则它所对应的圆心角度数为120度；而它的补角则为30度。
这个关系在圆的几何学中是非常重要的，可以用于解决一些与圆有关的问题，如圆的弧长、面积等计算。
同时，它也是许多三角函数中的一个重要概念，如正弦、余弦等函数都是以圆心角为基础来定义的。
- 1 -。
圆心角与圆周角的计算和几何性质
圆心角与圆周角的计算和几何性质圆是我们生活中常见的一种几何图形，它具有独特的性质和特点。
在圆的研究中，圆心角和圆周角是两个重要的概念。
本文将介绍圆心角和圆周角的计算方法以及它们的几何性质。
一、圆心角的计算和性质在圆上任意取一点作为圆心，以该点为顶点，连接圆上另一点，则所形成的角称为圆心角。
圆心角的大小可以通过测量圆心到两个点所形成的弧长，然后利用弧度制进行计算。
根据圆的性质，一个圆心角所对应的弧长是它所在的圆所对应的圆周角所对应的弧长的两倍。
也就是说，圆周角是圆心角的一半。
例如，我们取圆上两个点A、B，以O为圆心，连接OA和OB，并称角AOB为圆心角θ。
如果我们测得AOB所对应的弧长为s，那么根据圆的性质，θ所对应的弧长就是2s。
同时，圆心角还具有一个重要的性质，即圆心角的度数等于它所对应的弧长所对应的圆周角的度数。
二、圆周角的计算和性质圆周角是任意一段圆上弧所对应的角。
计算圆周角的方法是将所对应的弧长除以圆的半径，然后再用180°乘以这个商。
例如，对于圆上的弧AB，如果我们测得其弧长为s，半径为r，那么弧AB所对应的圆周角的度数就是（s/r）× 180°。
圆周角具有以下重要的性质：1. 同样的圆周角所对应的弧长和面积是相等的。
2. 在同一个圆中，圆周角相等的两个弧所对应的弧长也是相等的。
3. 圆周角相等的两个弧所对应的面积也是相等的。
三、圆心角与圆周角的关系在同一个圆中，圆心角和圆周角之间有着密切的关系。
如前所述，圆周角是圆心角的一半。
利用这个关系，我们可以通过求解圆周角的度数来得到圆心角的度数。
例如，如果我们已知一个圆周角的度数为α°，那么它所对应的圆心角的度数就是2α°。
同样地，我们也可以通过求解圆心角的度数来得到圆周角的度数。
如果我们已知一个圆心角的度数为β°，那么它所对应的圆周角的度数就是β°的一半。
通过圆心角和圆周角的关系，我们可以在解决问题时灵活运用这两个概念，从而更好地理解和运用圆的性质。
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定理
推 论
直径所对的圆周角是直角; 90°的圆周角所对的弦是直径．
C2 C1 C3
A
·
O
B
【例1】如图，AB为⊙O直径，BD是⊙O的弦， 延长BD到C，使AC=AB。BD与CD的大小有什么 关系？为什么？
4、如图，∠ BCD=100°，则∠BOD=___, ∠BAD=___,
四边形ABCD叫圆内接四边形。
【例 2】如图，△ABC中，D为AB中点，CD等于 推论：如果三角形一边上的中线等于这边的 AB 的一半，求证：△ABC为Rt△ 一半，那么这个三角形是直角三角形。
D
A
定
理
C O
在同圆或等圆中:同弧或等弧所 对的圆周角相等，都等于这条弧所 对的圆心角的一半．
推 论
A C1
·
B
E
C2 C3
直径所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径．
定
理
5、如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
圆内接四边形的对角互补。 求证：∠ A+∠C=180°
一条弦所对的圆心角有_______个. 一条弦所对的圆周角有_______个. ⊙O的半径为6，弦AB长为6。求弦AB所对 圆心角的度数为 ，所对圆周角度 数为 。
6、弦AB所对的圆心角∠AOB=100°，求 弦AB所对的圆周角的度数？
一条弧所对的圆心角有 1 个. 一条弧所对的圆周角有 无数 个.
定 理
同弧或等弧所对的圆周角相等，都等 于这条弧所对的圆心角的一半．
D A C
O
·
B
E
1、说出图中相等的圆周角。
2、如图，已知△ABC内接⊙O，∠A=30°， BC=2.8cm，求⊙O直径长。
3、如图，AB为⊙O直径，∠ACB为多少度？
C2 C1 C3
A
·
O
B
【4】如图,OA是⊙O的半径,以OA为直径的⊙C
与⊙O 的弦AB 相交于点D.
求证:D 是AB的中点.
【5】如图，AD是△ABC 的高，AE 是△ABC 的外接圆直径，求证：∠BAE=∠DAC.
【6】AB是⊙O的直径,点C在圆上,∠BAC 的平分 线交圆于点E,OE交BC于点H,已知AC=6,AB=10,
D A C O
·
B
E
【1】如图：求∠A +∠ B+∠ C+∠D+ ∠E=
.
【2】如图，P是△ABC的外接圆上的一点 ∠APC=∠CPB=60°。 求证：△ABC是等边三角形
【3】如图,∠A是⊙O的圆周角。 若∠B=250,∠C=200,求∠BOC的度数。
A O
B
C
定理
推 论
半圆（或直径）所对的圆周角是直角; 90°的圆周角所对的弦是直径．
求HE的长.
BC AB AC 10 6 8
∵CD平分∠ACB，
O
·
. AD BD
∴AD=BD. 又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，
D
2 2 AD BD AB 10 5 2(cm) 2 2
定
理
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的 圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角 的一半．
O
·
B
定
理
圆内接四边形 的对角互补。
定
理
C
如果三角形一边上的中线等 于这边的一半，那么这个三角形 是直角三角形．
A O
B
例3 如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分 线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长． 解：∵AB是直径， C ∴ ∠ACB= ∠ADB=90°． 8 6 在Rt△ABC中， 10 A B 2 2 2 2