空间角度、距离计算(一)
常用测量计算公式
常用测量计算公式
1、地理坐标转换：
平面直角坐标系（X,Y）转换为极坐标系（ρ,θ）的公式：ρ=√
（X²+Y²），tanθ＝Y/X
极坐标系（ρ,θ）转换为平面直角坐标系（X,Y）的公式：
X=ρcosθ，Y=ρsinθ
2、空间距离计算：
两点之间的曲线距离S的计算公式：S=∫ a b ，r′(t) ， dt；其中，r′(t)为两点间相对位置关系函数。
3、面积计算：
三角形面积计算公式：S=1/2×a×b×sinA；A、B为三角形的两个边，a、b为其边的长度，A为两边夹角。
平行四边形面积计算公式：S=a×b；a、b为对角线的长度。
多边形面积计算公式：S=1/2×∑(i=1～n)(xiyi+1-xi+1yi)；其中，(xi,yi)为多边形第i个端点的坐标。
4、体积计算：
算子体积计算公式：V=1/3×∑(i=1～n)(Ai×hi)；Ai为第i个横截
面的面积，hi为横截面至底面的高度。
圆柱体、圆台体体积计算公式：V=π×r2×h；r为圆柱体或圆台体
的底面半径，h为圆柱体或圆台体的高度。
5、角度计算：
三角函数角度计算公式：sinA=Y/ρ ,cosA=X/ρ,tanA=Y/X；A为角度，Y为三角函数sinx的值，ρ为点的极坐标长度（ρ=√（X²+Y²）），X为极坐标的横坐标。
长度与角度的计算
长度与角度的计算1.长度的计算：长度是指物体所占据的空间距离。
在几何学中，我们常常需要计算线段、弧长、周长等长度相关的内容。
1.1线段长度的计算：线段是由两个点所确定的一段直线，在计算线段长度时，我们可以利用线段的坐标或者使用勾股定理进行计算。
例如，对于坐标系中的两个点P₁(x₁,y₁)和P₂(x₂,y₂)，线段的长度可以使用以下公式进行计算：L = sqrt((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)1.2弧长的计算：弧是圆周上的一部分，弧长是弧所占据的圆周的长度。
弧长的计算涉及到圆周率π和圆的半径r。
对于半径为r的圆的弧长L，可以使用以下公式进行计算：L=2πr1.3周长的计算：周长是封闭曲线（如矩形、圆形等）的长度。
对于不同形状的封闭曲线，周长的计算方法略有不同。
例如，对于矩形的周长P，可以使用以下公式进行计算：P=2(a+b)，其中a和b分别表示矩形的两条边的长度2.角度的计算：角度是两条射线之间的夹角。
角可以用度（°）或弧度（rad）来表示。
在几何学中，我们常常需要计算角的度数，以及角度之间的关联。
2.1角的度数计算：角的度数计算常常基于一个完整的圆的圆周角为360°，即一周的角度为360°。
根据这一原则，我们可以计算出其他角度的度数。
例如，对于直角角度为90°，平角角度为180°，关于这些基本角度，我们可以使用加法和减法运算来计算其他角度的度数。
2.2角度的关联性：角度可以通过三角函数来进行计算。
三角函数（如正弦、余弦、正切等）是角度与三角比之间的关系。
我们可以使用三角函数来计算角的度数、角的正弦、余弦、正切等。
在计算中，有一些常用的角度关联公式，例如：-三角形内角的和：在一个三角形中，三个内角的和等于180°。
-角的补角：两个角的补角之和为90°。
-角的余角：两个角的余角之和为90°。
空间角度
空间角度在机械零件加工中经常可以遇到具有空间角度的斜孔、斜面，在加工这些零件或设计这些零件夹具时，常常需要进行空间角度的计算。
因此，在这里就对空间角度的计算及应用进行讨论。
一、关于双斜线的空间角度计算在机械制图中我们把和三个投影面的位置都倾斜的直线叫做一般位置直线，在这我们称一般位置直线为双斜线。
1、双斜线的空间角度某斜孔零件如图所示，立体图剖切图从图中可以看到：斜孔和三个基本投影面都是倾斜的，但斜孔倾斜的方向和角度大小完全可以由斜孔轴线来表示，而斜孔轴线可看成是一般直线及双斜线，因此倾斜孔的空间角度问题就简化为双斜线的空间角度问题。
下面我们就来讨论双斜线的角度及角度代号。
1）、方向角为便于讨论，可把空间直线和三个投影面的关系抽象成一个长方体，双斜线就作为对角线，如图。
从图中可看出红色直线的方向可以由与投影轴之间的角度来确定。
直线与X轴、Y轴、Z轴的夹角通常用α、β、γ表示，称为方向角。
α表示双斜线与X投影轴之间的夹角。
β表示双斜线与Y投影轴之间的夹角。
γ表示双斜线与Z投影轴之间的夹角。
注意在这里所讨论的夹角都是双斜线与投影轴之间所夹的正锐角。
如图如果双斜线不通过原点，可以在直线上的任意点作三条线分别平行于X、Y、Z轴，这三条线与双斜线的夹角也是方向角。
如图2）、真实倾角从双斜线和三个投影面之间的几何关系看，双斜线和三个投影面之间存在着倾角，即线和面之间的倾角。
双斜线对投影面的倾角是可用双斜线和它在该投影面上投影之间的夹角表示。
双斜线与W （yz）面、V（xz）面、H（xy）面的夹角通常用α0、β0、γ0表示，称为真实倾角。
α0表示双斜线与W（yz）面的夹角。
β0表示双斜线与V（xz）面的夹角。
γ0表示双斜线与H（xy）面的夹角。
由下图可看出方向角和真实倾角之间的关系：α+α0=90°、β+β0=90°、γ+γ0=90°3）、投影角如图所示双斜线在三个投影面上的投影与投影轴之间的夹角也可反应空间直线的方向，我们把这些夹角称为投影角。
坐标距离及方位角计算公式
坐标距离及方位角计算公式坐标距离计算公式：在平面坐标系中，可以使用勾股定理来计算两个点之间的距离。
给定两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)，它们之间的距离可以由以下公式计算：距离=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)在三维空间中，可以使用空间直角坐标系的距离计算公式。
给定两个点A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)，它们之间的距离可以由以下公式计算：距离=√((x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)²)方位角计算公式：方位角是指从一个点到另一个点的方向角度。
在二维平面坐标系中，可以使用反正切函数来计算两点之间的方位角。
给定两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)，它们之间的方位角可以由以下公式计算：方位角 = atan2(y2 - y1, x2 - x1)在三维空间中，可以使用球坐标系来计算两个点之间的方位角。
给定两个点A(r1,θ1,φ1)和B(r2,θ2,φ2)，其中r表示距离，θ表示纬度，φ表示经度，它们之间的方位角可以由以下公式计算：方位角= atan2(sin(φ2 - φ1) * cos(θ2), cos(θ1) * sin(θ2) - sin(θ1) * cos(θ2) * cos(φ2 - φ1))这些公式可以通过编程语言如Python或者使用地理信息系统软件如ArcGIS来实现。
总结：坐标距离计算公式通过平面直角坐标系或者球坐标系来计算两个点之间的距离。
方位角计算公式通过反正切函数或者球坐标系来计算从一个点到另一个点的方位角度。
这些公式对于地理和导航应用非常重要，可以帮助确定地理位置和导航方向。
空间度量算法
14
①. 两点定义的直线
《地理信息系统算法基础》
空间度量算法
1
本讲内容
1.直线和距离 2.角度量算 3.多边形面积的量算
2
1.直线和距离
关于两点间距离的定义，使用标准的欧几里得距离L2，它基
于毕达哥拉斯定理。对一个n维的矢量v=(v1，v2，…，vn)，
它的长度|v|为
2 2 1 2 2 2 n
v v v … v v
7
1.2 直线方程
隐式或显式方程定义二维中的一条直线，三维中定义了一个 平面，在n维中，它定义了一个(n-1)维的超平面。 在任意n维的空间中，参数方程是有效的并且是最通用的。 对于一个用两点P0和P1定义的并且带有方向矢量vL的直线， 其方程有以下几种写法： P(t) = P0+ tvL = P0 + t(Pl – P0) = (1-t)P0 + tP1 式中，t为实数。在这个表达中，P(0)=P0, P(1)=P1，P(t)(0<t<1)是线段P0P1上的一点， 其中t = d[P0,P(t)]/d(P0,P1)。 因此P(1/2)=(P0+P1)/2是线段的中点。进一 步看，如果t<0，那么P(t)位于线段之外， 并且是在P0 一边；如果t >1，P(t)也位于线 段之外，但在P1—边，见图6.2。
i 1
2 cos i 1
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题(课件)
二面角的大小为
.
π4或34π 解析： cos〈m，n〉＝|mm|·|nn|＝ 22，∴〈m，n〉＝π4. ∴两平面所成二面角的大小为π4或34π.
经典例题
角度1：点线距
题型一 利用空间向量求距离
用向量法求点到直线的距离时需注意以下几点： (1)不必找点在直线上的垂足以及垂线段． (2)在直线上可以任意选点，但一般选较易求得坐标的特殊点． (3)直线的方向向量可以任取，但必须保证计算正确．
则 在法向量 n 上的投影向量的长度即为异面直线 a，b 的距离，所以距离为
.
自主学习
二．空间角的向量求法 空间角包括线线角、线面角、二面角，这三种角的定义确定了它
们相应的取值范围，结合它们的取值范围可以用向量法进行求解．
自主学习
角的分类
向量求法
范围
两异面直线 l1 与 l2 所成的角为 θ
设 l1 与 l2 的方向向量分别为 u，v，
经典例题
题型一 利用空间向量求距离
例 2 在三棱锥 S－ABC 中，△ABC 是边长为 4 的正三角形，平面 SAC⊥平面 ABC，
SA＝SC＝2 3，M，N 分别为 AB，SB 的中点，如图所示．求点 B 到平面 CMN 的 距离．
取 AC 的中点 O，连接 OS，OB． ∵SA＝SC，AB＝BC，∴AC⊥SO，AC⊥BO． ∵平面 SAC⊥平面 ABC，平面 SAC∩平面 ABC＝AC， ∴SO⊥平面 ABC． 又 BO⊂平面 ABC，∴SO⊥BO． 又∵△ABC 为正三角形，O 为 AC 的中点，∴AO⊥BO． 如图所示，分别以 OA，OB，OS 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴， 建立空v>|
则 cosθ＝
|u·v| ＝ |u||v|
空间几何角度计算公式
空间几何角度计算公式在空间几何中，角度是一个重要的概念，用于描述两条线、平面或多个向量之间的夹角。
计算空间几何角度的公式可以根据具体情况而变化，下面将介绍几种常见的计算公式。
1. 点和直线的夹角设直线L上有一点A，过点A引一直线与直线L相交于点B，计算点A和直线L之间的夹角，可使用以下公式：cosθ = |AB| / |OB|其中θ表示点A和直线L的夹角，|AB|表示线段AB的长度，|OB|表示向量OB的长度。
2. 直线与直线的夹角设两条直线L1和L2，如果它们的方向向量分别为a和b，计算直线L1和直线L2之间的夹角，可使用以下公式：cosθ = |a·b| / (|a| |b|)其中θ表示直线L1和直线L2的夹角，|a·b|表示向量a与向量b的点乘的绝对值，|a|和|b|表示向量a和向量b的长度。
3. 平面和平面的夹角设两个平面α和β，它们的法线向量分别为n1和n2，计算平面α和平面β之间的夹角，可使用以下公式：cosθ = |n1·n2| / (|n1| |n2|)其中θ表示平面α和平面β的夹角，|n1·n2|表示向量n1与向量n2的点乘的绝对值，|n1|和|n2|表示向量n1和向量n2的长度。
4. 空间向量的夹角设两个非零向量a和b，计算向量a和向量b之间的夹角，可使用以下公式：cosθ = (a·b) / (|a| |b|)其中θ表示向量a和向量b的夹角，a·b表示向量a与向量b的点乘，|a|和|b|表示向量a和向量b的长度。
以上就是在空间几何中常用的几种角度计算公式。
根据具体情况，选择适合的公式进行计算，可以帮助我们解决空间几何问题。
高中空间角度与坐标点公式
高中空间角度与坐标点公式空间角度是在三维空间中两条线或两个平面之间的夹角。
在高中几何学中，我们通常研究以下几种空间角度：点、线、面之间的角度。
首先，让我们来探讨点与坐标点之间的角度。
在三维空间中，我们通常使用坐标轴来表示点的位置。
三维坐标点通常由三个坐标值(x,y,z)表示，分别表示点在x轴、y轴和z轴上的位置。
当我们要计算两个点之间的角度时，我们可以利用点与原点之间的夹角来求解。
假设有点A(x1,y1,z1)和点B(x2,y2,z2)，它们与原点O(0,0,0)连成线段OA和OB。
为了计算线段OA和OB之间的夹角，我们可以利用向量的内积公式：cosθ = (OA·OB) / (，OA，·，OB，)其中，OA·OB表示向量OA和向量OB的内积，OA，和，OB，分别表示向量OA和向量OB的模长。
θ表示夹角的弧度数。
通过上述公式，我们可以计算出夹角的余弦值，并进一步求出夹角的弧度数。
接下来，我们讨论线与坐标点之间的角度。
线在三维空间中可以由两个点确定。
假设有线段AB和直线L，其中点A(x1,y1,z1)和点B(x2,y2,z2)确定线段AB，点P(x,y,z)确定直线L。
要计算线段AB与直线L之间的角度，我们可以利用线段的方向向量和直线的法向量之间的夹角来求解。
首先，我们需要计算线段的方向向量和直线的法向量。
线段AB的方向向量可以由两个点的坐标差值得到：AB=B-A=(x2-x1,y2-y1,z2-z1)直线L的法向量可以根据直线的方程得到。
例如，直线L的一般方程为Ax+By+Cz+D=0，那么直线的法向量就是(A,B,C)。
然后，我们可以利用向量的内积公式计算线段的方向向量和直线的法向量之间的夹角。
假设线段的方向向量为V，直线的法向量为N，夹角的余弦值可以计算为：cosθ = (V·N) / (，V，·，N，)其中，V·N表示向量V和向量N的内积，V，和，N，分别表示向量V 和向量N的模长。
空间平面的位置关系与角度计算
空间平面的位置关系与角度计算一、空间平面的位置关系在空间几何中，平面是一个重要的概念，而平面的位置关系以及角度计算是该领域中的基础知识。
本文将介绍空间平面的位置关系以及如何计算平面之间的角度。
1. 平行平面：当两个平面上的每一对相交直线的夹角都为垂直时，这两个平面称为平行平面。
可以用符号“∥”表示平行关系。
当两个平面平行时，它们的法线向量是相互平行的。
2. 相交平面：当两个平面上存在公共直线时，这两个平面称为相交平面。
相交平面的交线是两个平面的公共部分，可以用直线上两点的坐标表示。
3. 垂直平面：当两个平面的法线向量互相垂直时，这两个平面称为垂直平面。
可以用符号“⊥”表示垂直关系。
4. 平面与直线的关系: 平面与直线之间有三种可能的位置关系，即平面与直线相交、平面包含直线和平面平行于直线。
当平面与直线相交时，它们的交点可以通过求解平面和直线的方程得到。
二、角度计算在空间几何中，我们常常需要计算平面之间的角度。
下面介绍两种常用的计算方法：1. 垂直平面的夹角计算：当两个平面互相垂直时，它们的夹角可以通过它们的法线向量之间的夹角来计算。
假设两个平面的法线向量分别为n1和n2，它们的夹角可以通过计算n1和n2的点乘结果的余弦值得到。
公式如下所示：cos n = n1•n2 / (|n1|•|n2|)其中，n1•n2表示n1和n2的点乘结果，|n1|和|n2|表示n1和n2的模长。
2. 平面之间的夹角计算：当两个平面不垂直时，它们的夹角可以通过它们的法线向量所成的夹角来计算。
首先，我们需要计算两个平面的法线向量的点乘结果的余弦值，然后使用反余弦函数得到夹角的值。
公式如下所示：cos n = n1•n2 / (|n1|•|n2|)其中，n1•n2表示n1和n2的点乘结果，|n1|和|n2|表示n1和n2的模长。
综上所述，空间平面的位置关系与角度计算是空间几何的重要内容。
通过了解平行平面、相交平面、垂直平面以及平面与直线的关系，我们可以更好地理解空间中的几何形状。
空间几何的计算与证明
空间几何的计算与证明空间几何是研究三维空间中的物体形状、大小、位置等性质的数学学科。
在解决实际问题中，我们常常需要进行空间几何的计算与证明。
本文将介绍一些常见的空间几何计算方法和证明技巧。
一、空间几何计算1. 点到平面的距离计算对于三维空间中的一点P(x,y,z)，以及平面Ax+By+Cz+D=0，我们可以利用点P到平面的距离公式来计算二者的距离。
该公式为：d = |Ax+By+Cz+D| / √(A^2+B^2+C^2)例如，给定一个平面2x+y+3z-4=0，点P(1,2,3)到该平面的距离可以计算如下：d = |2*1+1*2+3*3-4| / √(2^2+1^2+3^2)= |2+2+9-4| / √14= 9 / √142. 直线和平面的交点计算对于直线和平面的交点计算，我们需要先求出直线的参数方程和平面的方程，然后解联立方程组即可得到交点的坐标。
例如，假设有一条直线L，其参数方程为：x = x_0 + lty = y_0 + mtz = z_0 + nt另外有一个平面P，其方程为：Ax + By + Cz + D = 0我们可以将直线的参数方程代入平面方程，得到一个关于t的一元二次方程，解该方程即可求得直线和平面的交点的坐标。
3. 多面体的表面积和体积计算对于多面体的表面积和体积计算，常用的方法是利用相应的公式进行计算。
例如，对于一个六面体，其表面积和体积的计算公式如下：六面体的表面积 S = 2(ab+ac+bc)六面体的体积 V = abc其中，a、b、c分别表示六面体的三个相邻棱长。
二、空间几何证明1. 平行线之间的角度在空间几何中，证明两条平行线之间的角度是一个重要问题。
一种常见的证明方法是利用平行线与平行线之间的交线来构造三角形，然后应用三角形的性质进行角度证明。
例如，我们希望证明两条平行直线L1和L2之间的夹角为90度。
我们可以构造一条与L1和L2都垂直的直线L3，然后证明L3与L1、L2之间的夹角都是90度，从而推出L1和L2之间的夹角也是90度。
空间角度与距离归类高二数学选择性必修第一册)(解析版)
专题01空间角度与距离归类目录热点题型归纳【题型一】线面角基础 (1)【题型二】二面角基础 (4)【题型三】异面直线所成的角 (7)【题型四】给角求角（值）1：线面角 (10)【题型五】给角求角（值）2：二面角 (12)【题型六】探索性动点型1：线面角 (15)【题型七】探索性动点型2：二面角 (17)【题型八】翻折中的角度 (20)【题型九】角度范围与最值 (22)【题型十】距离与长度（体积） (26)培优第一阶——基础过关练 (32)培优第二阶——能力提升练 (37)培优第三阶——培优拔尖练 (42)【题型一】线面角基础【典例分析】如图，在四棱锥P ABMN -中，PNM △是边长为2的正三角形，AN NP ⊥，AN BM ∥，3AN =，1BM =，AB =C ，D 分别是线段AB ，NP 的中点．(1)求证：CD ∥平面PBM ；(2)求证：平面ANMB ⊥平面NMP ；(3)求直线CD 与平面ABP 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）取MN 中点Q ，连CQ ，DQ ，由线面平行的判定定理可得DQ ∥平面BMP ，CQ ∥平面BMP ，再由面面平行的判定定理可得平面CDQ ∥平面BMP 及性质定理可得答案；（2）过B 作BE MN ∥交AN 于E ，利用222AB AE BE =+得AE BE ⊥，由线面垂直的判定定理可得AN ⊥平面NMP ，面面垂直的判定定理可得答案；（3）以D 为原点建立空间直角坐标系，求出平面ABP 的法向量，由线面角的向量求法可得答案.（1）如图，取MN 中点Q ，连CQ ，DQ ，∵DQ 为中位线，∴DQ MP ∥，又DQ ⊄平面BMP ，MP ⊂平面BMP ，∴DQ ∥平面BMP ，同理，在梯形ABMN 中，CQ MB ∥，又CQ ⊄平面BMP ，MB ⊂平面BMP ，∴CQ ∥平面BMP ，且DQ ⊂平面CDQ ，CQ ⊂平面CDQ ，DQ CQ Q ⋂=，∴平面CDQ ∥平面BMP ，又CD ⊂平面CDQ ，所以CD ∥平面BMP．（2）如上图，在四边形ABMN 中，过B 作BE MN ∥交AN 于E ，在AEB △中，得2AE =，2BE =，AB =，则222AB AE BE =+，得AE BE ⊥，∵BE MN ∥，∴AN NM ⊥，又由已知条件AN NP ⊥，NM NP N ⋂=，,⊂NM NP 平面NMP ，故AN ⊥平面NMP ，又AN ⊂平面ANMB ，∴平面ANMB ⊥平面NMP ．（3）∵PMN 为等腰三角形，∴DM NP ⊥，又因为AN ⊥平面MNP ，以D 为原点建立空间直角坐标系，如图：可得()0,0,0D ，()1,0,0P ，()1,0,0N -，()M ，()1,0,3A -，()B，122C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面ABP 的法向量为(),,n x y z =，()2AB =-，()2,0,3AP =-，根据00⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n AB n AP ，得20230⎧-=⎪⎨-=⎪⎩x z x z ，解得2n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，122DC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，设直线CD 与平面ABP 所成角为θ，则sin cos ,3142220CD n n CD n θ⋅==⋅-++=，故直线CD 与平面ABP所成角的正弦值sin θ=直线与平面所成的角（射影角，也是夹角，[0.]2πϑ∈）m n ，是平面法向量121212222222111222|x x +y +|sin |cos a |=+y +z ++y z z b x y z θ=，x 【变式训练】如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，E ，F 分别为PA ，BC 的中点，(1)证明：//EF 平面PCD .(2)若PD ⊥平面ABCD ，120ADC =∠︒，且24PD AD ==，求直线AF 与平面DEF 所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)35【分析】（1）取PD 的中点G ，利用线面平行的判定定理即可证明；（2）建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，求出平面DEF 的法向量，再求线面角.（1）证明：取PD 的中点G ，连接CG ，EG .因为E ，F 分别为PA ，BC 的中点，所以EG AD ∥，1=2EG AD ，又底面ABCD 为菱形，所以CF AD ∥，2CF AD =1所以EG CF ∥，EG CF =，所以四边形EGCF 为平行四边形，所以EF CG ∥.又CG ⊂平面PCD ，EF ⊄平面PCD ，所以EF ∥平面PCD .（2）因为PD ⊥平面ABCD ，120ADC =∠︒，所以以D 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -.因为2,4AD PD ==，所以()0,0,0D ，)F，()0,2,0A ，()0,1,2E ，则()0,1,2DE =，)DF =，)2,0AF =-，设平面DEF 的法向量(),,m x y z =，则200y z +=⎧⎪=，令1z =，得()0,2,1m =-，设直线AF 与平面DEF 所成的角为θ，则sin m AFm AF θ⋅===【题型二】二面角基础【典例分析】如图，在四棱锥P ABCD -中，ABP △是直角三角形，90APB ∠=︒，四边形ABCD 是等腰梯形，AB CD ∥，60BAD BAP ∠=∠=︒，24AB CD ==.(1)证明：AB DP ⊥；(2)若平面ABCD ⊥平面ABP ，求平面ABP 与平面CDP 的夹角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)2.【解析】【分析】（1）取AB 中点E ，取AE 中点F ，由题可得AB DF ⊥，AB FP ⊥，进而可得AB ⊥平面DFP ，即得；（2）建立空间直角坐标系，利用面面角的向量求法即得.（1）如图，取AB 中点E ，连接DE ，EP ，取AE 中点F ，连接DF ，FP ，由题意可知，ADE 和AEP △为全等的等边三角形.因为AB DF ⊥，AB FP ⊥，且DF FP F ⋂=，所以AB ⊥平面DFP ，又因为DP ⊂平面DFP ，所以AB DP ⊥.（2）因为平面ABCD ⊥平面ABP ，且DF AB ⊥，所以DF ⊥平面ABP .以F 为坐标原点，FP ，，FD 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则)3,0,0P ，(3D ，(3C ，(3,0,3PD =-，(3,3PC =，平面ABP 的一个法向量(3FD =.设平面CDP 的一个法向量(),,n x y z =，则00n PD n PC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即3303230z y z ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩，可取()1,0,1n =，所以2cos ,2FD n FD n FD n ⋅==⋅，所以平面ABP 与平面CDP 的夹角的正弦值为22.【提分秘籍】基本规律二面角（法向量的方向角，[0.]ϑπ∈）n 是平面法向量121212222222111222|x x +y +||cos ||cos m |=+y +z ++y z z n x y z θ=，x【变式训练】如图所示，四棱锥S ABCD -中，平面SAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为2正方形，22,4SA SC ==，AC 与BD 交于点O ，点E 在线段SD 上.(1)求证：SA ⊥平面ABCD ；(2)若//OE 平面SAB ，求二面角S AC E --的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)255【分析】（1）根据面面垂直性质定理得AB ⊥平面SAD ，进而证明SA AB ⊥，再根据集合关系证明SA AC ⊥即可证明结论；（2）根据题意，E 为SD 的中点，进而以,,AB AD AS 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可；（1）证明：因为平面SAD ⊥平面ABCD 且交线为AD ，又AB Ì平面ABCD 且AB AD ⊥，所以AB ⊥平面SAD ，又SA ⊂平面SAD ，所以SA AB ⊥.因为ABCD 是边长为2正方形，所以AC =又4SA SC ==，所以222SA AC SC +=，即SA AC ⊥，又因为AB AC A ⋂=，,AB 平面ABCD ，所以SA ⊥平面ABCD .（2）解：因为OE ∥平面SAB ，OE ⊂平面SBD ，平面SBD 平面SAB SB =，所以OE SB ∥，因为O 为BD 的中点，所以E 为SD 的中点，以,,AB AD AS 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则有()()()()((0,0,0,2,0,0,2,2,0,0,2,0,,A B C D S E ，易得平面SAC 的一个法向量为()2,2,0n DB ==-，设平面EAC 的一个法向量为(),,m x y z =，则00m AE m AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩0220y x y ⎧=⎪⇒⎨+=⎪⎩，取1z =，则)m =，设平面SAC 与平面EAC 所成夹角为θ，则cos m n m n θ⋅==⋅u r r u r r SAC 与平面EAC所成夹角的余弦值为.【题型三】异面直线所成的角【典例分析】如图所示，1111ABCD A B C D -是棱长为1的正方体.(1)设11BA C △的重心为O ，求证：直线OD ⊥平面11BA C ；(2)设E ､F 分别是棱AD ､11DC 上的点，且1DE D F a ==，M 为棱AB 的中点，若异面直线DM 与EF所成的角的余弦值为10，求a 的值.【答案】(1)证明见解析；(2)4．【分析】（1）由正方体性质证明1B D ⊥平面11A BC ，1B D 与平面11A BC 的交点即为重心O ，从而证得结论成立；（2）建立空间直角坐标系，用空间向量法求异面直线所成的角，从而求得a 值．(1)设1111A C B D N =，连接1DB ，首先1DD ⊥平面1111D C B A ，11AC ⊂平面1111D C B A ，则111DD A C ⊥，又1111B D A C ⊥，1111DD B D D =，111,DD B D ⊂平面11BDD B ，所以11A C ⊥平面11BDD B ，而1B D ⊂平面11BDD B ，所以111A C B D ⊥，同理11A B B D ⊥，1111A C A B A =，111,AC A B ⊂平面11A BC ，所以1B D ⊥平面11A BC ，连接BN 交1B D 于O ，因为11DA DB DC ==，所以O 是等边11A BC V 的中心也是重心，所以DO ⊥平面11A BC ，(2)如图，以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(,0,0)E a ，1(1,,0)2M ，(0,,1)F a ，1(1,,0)2DM =，(,,1)EF a a =-，由题意22122cos ,1114a a DM EF DM EF DM EF a a -+⋅<>===+⨯++解得：24a =（负值舍去）．【提分秘籍】基本规律（1）、异面直线夹角（平移角，也是锐角和直角(0.]2πϑ∈）121212222222111222|x x +y +|cos |cos a |=+y +z ++y z z b x y z θ=，x【变式训练】如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ==90ACB ∠=︒．12AA =，D 为AB 的中点．(1)求证：1AC ∥平面1B CD ；(2)求异面直线1AC 与1B C 所成角的余弦值．【答案】(1)证明见解析；(2)23.【分析】（1）设1C B 与1B C 的交点为E ，连接DE ，由三角形中位线定理可证得1//DE AC ，从而可得1//AC 平面1CDB ；（2）由1//DE AC 可得CED ∠为1AC 与1B C 所成的角（或其补角），在CDE △中，解三角形可求得cos CED ∠，即为所求．(1)证明：设1C B 与1B C 的交点为E ，连接DE ，∵四边形11BCC B 为正方形，∴E 是1BC 的中点，又D 是AB 的中点，∴1//DE AC ．又DE ⊂平面1CDB ，1AC ⊄平面1CDB ，∴1//AC 平面1CDB ．(2)解：∵1//DE AC ，∴CED ∠为1AC 与1B C 所成的角（或其补角）．在CDE △中，111111,22222ED AC CD AB CE CB ======，∴2222221222cos 23CE DE CD CED CE DE ⎛⎫⎫+- ⎪⎪+-∠===⋅．∴异面直线1AC 与1B C 所成角的余弦值为23．【题型四】给角求角（值）1：线面角【典例分析】如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，//BC AD ，2PA AB BC ===，4=AD ，E 为棱PD 的中点，F 是线段PC 上一动点.(1)求证：平面PBC ⊥平面PAB ；(2)若直线BF 与平面ABCD时，求二面角F EA D --的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）证明出BC ⊥平面PAB ，利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设PF PC λ=，其中01λ≤≤，利用已知条件求出λ的值，然后利用空间向量法可求得二面角F EA D --的余弦值.(1)证明：因为AB AD ⊥，//BC AD ，则BC AB ⊥，PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，BC PA ∴⊥，PA AB A =，PA 、AB Ì平面PAB ，BC ∴⊥平面PAB ，BC ⊂平面PBC ，因此，平面PBC ⊥平面PAB .(2)解：因为PA ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A 、()2,0,0B 、()2,2,0C 、()0,4,0D 、()0,2,1E 、()002P ,,，设()()2,2,22,2,2PF PC λλλλλ==-=-，()22,2,22BF BP PF λλλ=+=--，其中01λ≤≤，易知平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1u =，由已知可得cos ,u BF u BF u BF⋅<>==⋅，解得12λ=，所以，F 为PC 的中点，即()1,1,1F ，设平面AEF 的法向量为(),,m x y z =，()0,2,1AE =，()1,1,1AF =，则200m AE y z m AF x y z ⎧⋅=+=⎨⋅=++=⎩，取1y =，可得()1,1,2m =-，易知平面ADE 的一个法向量为()1,0,0n =r，所以，cos ,m n m n m n⋅<>==⋅F EA D --的平面角为钝角，故二面角F EA D--的余弦值为.【变式训练】如图，PD 垂直于梯形ABCD 所在平面，90ADC BAD ∠=∠=︒，F 为PA 中点，PD =112AB AD CD ===，四边形PDCE 为矩形．(1)求证：//AC 平面DEF ；(2)求二面角A BC P --的大小；(3)在线段EF 上是否存在一点Q ，使得BQ 与平面BCP 所成角的大小为30°？若存在，求出FQ 的长；若不存在，说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)4π(3)存在，FQ =【分析】（1）首先以点D 为原点，建立空间直角坐标系，求平面DEF 的法向量1n ，利用0AP n ⋅=，即可证明线面垂直；（2）分别求平面BCP 和ABC 的法向量2n 和3n ，利用公式23cos ,n n <>，即可求解；（3）首先利用向量共线，设点)11222Q λλλ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭，，，利用线面角的向量公式，即可求得λ的值.(1)证明：以D 为原点，以DA ，DC ，DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，由题意得，()000D ，，，()100A ，，，()110B ，，，()020C ，，，(022E ，，(002P ，，，12022F ⎛ ⎝⎭，，，则()120AC =-，，，平面DEF 的一个法向量()1n x y z =，，，(022DE =，，，12022DF ⎛= ⎝⎭，，，由1122012022n DE y z n DF x ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取2z =，得()12222n =-，，，((112222020AC n ⋅=-⨯-+⨯-+⨯=，1AC n ∴⊥，//AC ∴平面DEF ；(2)设平面PBC 的一个法向量()2,,n x y z =，(1,1,2PB =-，()1,1,0BC =-uu u r，由22200n PB x y z n BC x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取1x =，解得(22n =设平面ABC 的一个法向量()30,0,1n =，2323232cos ,2n n n n n n ⋅∴<>==由图可知二面角A BC P --为锐二面角，二面角A BC P --的大小为4π；(3)设存在点Q 满足条件，由(022E ，，12022F ⎛ ⎝⎭，，，设()01FQ FE λλ=≤≤，1212(,,)(,2,)2222Q Q Q x y z λ-=-整理得)211222Q λλλ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭，，，)2112122BQ λλλ⎛⎫++=-- ⎪ ⎪⎝⎭，，，直线BQ 与平面BCP 所成角的大小为30°，2222511sin |cos ,|||62||||219107BQ n BQ n BQ n λπλλ-⋅∴=<>===-+，则21λ=，由01λ≤≤，得1λ=，即点和E 点重合，故在线段EF 上存在一点Q ，且19FQ EF ==【题型五】给角求角（值）2：二面角【典例分析】如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，点E 在线段PD 上.(1)若E 为PD 的中点，证明：//PB 平面AEC ；(2)若2PA =，24PD AB ==，若二面角E AC B --的大小为56π，试求:PE ED 的值.【答案】(1)证明见解析(2)2【分析】（1）连接BD 交AC 于O ，连接OE ，利用中位线的性质可得出//OE PB ，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设PE PD λ=，其中01λ≤≤，利用空间向量法可得出关于λ的等式，结合λ的取值范围可求得λ的值，即可得解.（1）证明：连接BD 交AC 于O ，连接OE ，因为四边形ABCD 为矩形，O ∴为BD 的中点，又因为E 为PD 的中点，则//OE PB ，因为OE ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，因此，//PB 平面ACE .（2）解：由题设PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，PA ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，PA AD ∴⊥，所以，AD ==，则()C 、()D 、()002P ,,、()0,0,0A ，设()()2,2PE PD λλλ==-=-，其中01λ≤≤，则(),22AE AP PE λ=+=-，()AC =，设平面ACE 的法向量为(),,m x y z =，则()20220m AC x m AE y z λ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，取1y λ=-，可得))1,m λλ=--，易知平面ABC 的一个法向量为()0,0,1n =，由题可得cos ,2m nm n m n⋅<>===⋅，因为01λ≤≤，解得23λ=，此时2PE ED=.【变式训练】如图，在四棱锥E ABCD -中，BC AD ∥，AB AD ⊥，1AB BC ==，3BE =，AE =C ，D 都在平面ABE 的上方.(1)证明：平面BCE ⊥平面ABCD ；(2)若BC BE ⊥，且平面CDE与平面ABE 所成锐二面角的余弦值为46，求四棱锥E ABCD -的体积.【答案】(1)证明见解析.(2)2【分析】(1)先证AB ⊥平面BCE ，再证明平面BCE ⊥平面ABCD .(2)设AD 长为t ，建立空间直角坐标系，计算两个待求平面的法向量，代入公式求出t 的值，然后计算四棱锥的体积.(1)//BC AD AB BC AB AD ⎫⇒⊥⎬⊥⎭，又22210AB BE AE +==所以AB BE ⊥，BC BE B =，所以AB ⊥平面BCE ，又AB Ì平面ABCD所以，平面BCE ⊥平面ABCD .(2)因为BC BE ⊥，结合(1)问易得AB BC BE 、、两两互相垂直，所以建立如图所示的坐标系设AD =t ()0t >，则：()001C ，，，()300E ，，，()01D t ，，所以()301CE =-，，，()011CD t =-，，，设平面CDE 的法向量为()n x y z =，，由00CE n CD n ⎧⋅=⎨⋅=⎩得()3010x z y t z -=⎧⎨+-=⎩令3z =则()1333n t =-，，又CB ⊥平面ABE 所以取平面ABE 的法向量为()001m =，，cos n m n m n m ⋅===，解得3t =或1t =-(舍).即3AD =，所以四边形ABCD 的面积ABCD S ，由题知BE AB BE BC ⊥⊥，，AB BC B ⋂=，BE ∴⊥平面ABCD所以BE 为四棱锥E ABCD -的高，所以四棱锥E ABCD -的体积为1123233ABCD V S BE =⋅=⨯⨯=.故四棱锥E ABCD -的体积为2.【题型六】探索性动点型1：线面角【典例分析】如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA =，E 是线段1DD 上的动点．(1)求证：AC BE ⊥；(2)是否存在点E ，使得直线AC 与平面1BC E 所成角为45°，若存在，求出DE 的长；若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)存在，74DE =.【解析】【分析】（1）利用线面垂直的性质定理进行证明.（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解.（1）如图，连接1D B ，DB ，在长方体1111ABCD A B C D -中，∵1D D ⊥底面ABCD ，AC ⊂底面ABCD ，∴1D D AC ⊥．又AC DB ⊥，1D D DB D =，∴AC ⊥平面1D DB ，又BE ⊂平面1D DB ，AC BE∴⊥（2）假设存在这样的点E ，使得直线AC 与平面1BC E 所成角为45°．设()02DE λλ=≤≤，如图，以D 为原点，直线DA ，DC ，1DD 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则()1,0,0A ，()1,1,0B ，()0,1,0C ，()10,1,2C ，()0,0,E λ．∴()1,1,0AC =-，()1,1,BE λ=--，()11,0,2BC =-．设平面1BC E 的法向量为(),,m x y z =，则120,0,m BC x z m BE x y z λ⎧⋅=-+=⎨⋅=--+=⎩令2x =，则1z =，2y λ=-．∴平面1BC E 的一个法向量为()2,2,1m λ=-．∴()2222sin 45cos ,24212m AC m AC m ACλλ⋅-+-︒====+-+⨯，解得74λ=．∴存在这样的点E ，当74DE =时，直线AC 与平面1BC E 所成角为45°．【变式训练】在四棱锥P ABCD -中，已知//AB CD ，AB AD ⊥，BC PA ⊥，222AB AD CD ===，6PA =2PC =，E 是PB 上的点．(1)求证：PC ⊥底面ABCD ；(2)是否存在点E 使得PA 与平面EAC 所成角的正弦值为23若存在，求出该点的位置；不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)存在，E 点为PB 上靠近B 点的三等分点【分析】（1）首先证明BC ⊥面PAC ，再结合线面垂直的判断定理，证明PC ⊥面ABCD ；（2）以A 为原点，建立空间直角坐标系，求平面EAC 的法向量n ，利用1sin cos ,3n AP θ=<=>，即可求得λ的值.(1)在ADC 中：1AD DC ==，90ADC ∠=︒，所以2AC =在ABC 中：2AC ，2AB =，45BAC ∠=︒，由余弦定理有：222cos452BC AB AC AB AC =+-⋅⋅︒=2222BC AB AC BC ∴=+，所以90ACB ∠=︒，所以BC AC⊥①又因为BC PA ⊥②，由①②，PA AC A =，所以BC ⊥面PAC ，所以BC PC ⊥③.在PAC △中：AC =2PC =，PA PC AC ⊥④，由③④，AC BC C =，所以PC ⊥面ABCD .(2)以A 为原点，以AD ，AB ，竖直向上分别为x 、y 、z 轴建立直角坐标系.则有()0,0,0A ，()0,2,0B ，()1,1,0C ，()1,0,0D ，()1,1,2P ，设()()1,1,2,,2BE BP λλλλλ==-=-，则(),2,2AE AB BE λλλ=+=-，()1,1,0AC =，()1,1,2AP =，设(),,n x y z =r为面EAC 的法向量，则有：00n AE n AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，解得(),,1n λλλ=--，设所求线面角为θ，则有in s ,s co AP n θ=><23AP nAP n⋅===｜｜｜｜，解得23210λλ+-=，所以13λ=.所以E 点为PB 上靠近B 点的三等分点，满足条件.【题型七】探索性动点型2：二面角【典例分析】如图，在四棱锥S ABCD -中，四边形ABCD 是矩形，SAD ∆是等边三角形，平面SAD ⊥平面ABCD ，1AB =，E 为棱SA 上一点，P 为AD 的中点，四棱锥S ABCD -的体积为3.（1）若E 为棱SA 的中点，F 是SB 的中点，求证：平面∥PEF 平面SCD ；（2）是否存在点E ，使得平面PEB 与平面SAD 所成的锐二面角的余弦值为10？若存在，确定点E 的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，点E 位于AS 的靠近A 点的三等分点.【分析】（1）根据面面平行的判定定理，即可证明结论成立；（2）假设存在点E 满足题意，根据题中条件，先求出AD 的长，再以P 为坐标原点，PA 所在直线为x 轴，过点P 与AB 平行的直线为y 轴，PS 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，得到()0,0,0P ，()1,0,0A ，()1,1,0B，(S，设(()()01AE AS λλλλ==-=-≤≤，分别表示出平面PEB 与平面SAD 的一个法向量，根据向量夹角余弦值，求出13λ=，即可得出结果.【详解】（1）证明：因为E 、F 分别是SA 、SB 的中点，所以EF AB ∥，在矩形ABCD 中，AB CD ∥，所以EF CD ∥，又因为E 、P 分别是SA 、AD 的中点，所以∥EP SD ，又因为EF CD ∥，EF EP E ⋂=，,EF EP ⊂平面PEF ，,SD CD ⊂平面SCD ，所以平面∥PEF 平面SCD .（2）解：假设棱SA 上存在点E 满足题意.在等边三角形SAD 中，P 为AD 的中点，于是SP AD ⊥，又平面SAD ⊥平面ABCD ，平面SAD ⋂平面ABCD AD =，SP ⊂平面SAD ，所以SP ⊥平面ABCD ，所以SP 是四棱锥S ABCD -的高，设AD m =，则2SP m =，ABCD S m =矩形，所以113323S ABCD ABDD V S SP m -=⋅=⋅=矩形，所以2m =，以P 为坐标原点，PA 所在直线为x 轴，过点P 与AB 平行的直线为y 轴，PS 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则()0,0,0P ，()1,0,0A ，()1,1,0B，(S ，设(()()01AE AS λλλλ==-=-≤≤，()()1,0,0PE PA AE λ=+=+-()1λ=-，()1,1,0PB =，设平面PEB 的一个法向量为()1,,n x y z =，有()11100n PE x z n PB x y λ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令x ，则)1,,1n λ=-，易知平面SAD 的一个法向量()20,1,0n =u u r，所以121212cos ,n n n n n n ⋅==10=，因为01λ≤≤，所以13λ=，所以存在点E ，位于AS 的靠近A点的三等分点.【变式训练】如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为正方形，且正方形ABCD 边长为2，PA ⊥平面ABCD ，PA =AB ，E 为线段PB 的中点，F 为线段BC 上的动点.（1）求证：AE ⊥平面PBC ；（2）试确定点F 的位置，使平面AEF 与平面PCD 所成的锐二面角为30°.【答案】（1）证明见解析；（2）点F 为BC 中点.【分析】（1）先根据线面垂直性质与判定定理得AE ⊥BC ，再根据等腰三角形性质得AE ⊥PB ，最后根据线面垂直判定定理得结果；（2）先建立空间直角坐标系，利用F 坐标，结合空间向量数量积求二面角，再根据条件列方程解得结果.【详解】（1）∵PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥BC ，∵ABCD 为正方形，∴AB ⊥BC ，又PA ∩AB =A ，PA ，AB ⊂平面PAB ，∴BC ⊥平面PAB ，∴AE ⊂平面PAB ，∴AE ⊥BC ，∵PA =AB ，E 为线段PB 的中点，∴AE ⊥PB ，又PB ∩BC =B ，PB ，BC ⊂平面PBC ，∴AE ⊥平面PBC ；（2）以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，设正方形ABCD 的边长为2，则A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (2，2，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2)，E (1，0，1)，∴(1,0,1)AE =，(2,2,2)PC =-，(0,2,2)PD =-uu u r，设F (2，λ，0)(0≤λ≤2)，∴(2,,0)AF λ=，设平面AEF 的一个法向量为()111,,n x y z =，则00n AE n AF ⎧⋅=⎨⋅=⎩，∴1111020x z x y λ+=⎧⎨+=⎩，令y 1=2，则11x z λλ=-⎧⎨=⎩，∴(,2,)n λλ=-，设平面PCD 的一个法向量为()222,,m x y z =，则00m PC m PD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，∴2222200x y z y z +-=⎧⎨-=⎩，令y 2=1，则2201x z =⎧⎨=⎩，∴()0,1,1m =∵平面AEF 与平面PCD 所成的锐二面角为30°，∴223cos302224m n m nλλ⋅+︒===⨯+u r r u r r ，解得λ=1，∴当点F 为BC 中点时，平面AEF 与平面PCD 所成的锐二面角为30°.【题型八】翻折中的角度【典例分析】如图（一）四边形ABCD 是等腰梯形，DC AB ∥，2DC =，4AB =，60ABC ∠=︒，过D 点作DE AB ⊥，垂足为E 点，将AED 沿DE 折到A ED '位置如图（二），且A C 22'=．(1)证明：平面A ED '⊥平面EBCD ；(2)已知点P 在棱A C '上，且12A P PC '=，求二面角C EP D --的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)4214【分析】（1）根据勾股定理证明A E EC '⊥，再根据线面垂直的判定证明A E '⊥面EBCD ，进而得到平面A ED '⊥平面EBCD ；（2）以E 为坐标原点，建立空间直角坐标系E xyz -，分别求得平面CEP 和平面EPD 的法向量，根据面面角的向量求法求解即可(1)证明：在等腰梯形ABCD 中，DE AB ⊥，∴DE AE ⊥，∴A E DE '⊥2DC =，4AB =，60ABC ∠=︒，∴3BE =，2BC AD ==，3DE =在EBC 中，知7EC =，∵1A E AE '==，∵A C 22'=，∴222A E EC A C ''+=A E EC '⊥，EC ，DE ⊂面EBCD ，EC DE E =，∴A E '⊥面EBCD ∵A E '⊂面A ED '，∴面A ED '⊥面EBCD(2)由（1）知A E '⊥面EBCD ，ED EB ⊥∴以E 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系E xyz-∴()0,0,1A '，()3,0D ，()3,0C ，()2,3,1CA '=--设∵12A P PC '=，∴23CP CA ='，∴23CP CA '=，∴23233EP EC CP ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭设()1111,,x n y z =是面CEP 的法向量，∴1100n EP n EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴111112203320x y z x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，令1x =12y =-，10z =，)12,0n =-设()2222,,n x y z =是面DEP 的法向量，∴2200n EP n ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴22222200x z ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，∴20y =令21z =-，∴21x =，()21,0,1n =-，cos θ==由图知，二面角C EP D --的余弦值为锐二面角，余弦值14【变式训练】如图1，在等边ABC 中，点D ，E 分别为边AB ，AC 上的动点且满足//DE BC ，记DEBCλ=.将△ADE 沿DE 翻折到△MDE 的位置并使得平面MDE ⊥平面DECB ，连接MB ，MC 得到图2，点N 为MC的中点．(1)当EN ∥平面MBD 时，求λ的值；(2)试探究：随着λ值的变化，二面角B -MD -E 的大小是否改变？如果改变，请说明理由；如果不改变，请求出二面角B MD E --的正弦值大小．【答案】(1)12λ=(2)【分析】（1）首先取MB 的中点为P ，连接DP ，PN ，再结合线面平行的性质即可得到12λ=（2）利用空间向量法求解即可.(1)取MB 的中点为P ，连接DP ，PN ，因为MN CN =，MP BP =，所以NP ∥BC ，又DE ∥BC ，所以NP ∥DE ，即N ，E ，D ，P 四点共面，又EN ∥平面BMD ，EN ⊂平面NEDP ，平面NEDP ∩平面MBD ＝DP ，所以EN ∥PD ，即NEDP 为平行四边形，所以NP ＝DE ，则DE ＝12BC ，即λ＝12.(2)取DE 的中点O ，连接MO ，则MO ⊥DE ，因为平面MDE ⊥平面DECB ，平面MDE ∩平面DECB ＝DE ，且MO ⊥DE ，所以MO ⊥平面DECB ，如图建立空间直角坐标系，不妨设2BC =，则()M ，(),0,0D λ，)()1,0B λ-，所以(),0,MD λ=，)()11,0DB λλ=--，设平面BMD 的法向量为(),,m x y z =，则0(1))0MD m x z DB m x y λλλ⎧⋅==⎪⎨⋅=--=⎪⎩，即,x x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，令x =)1,1m =-.又平面EMD 的法向量()0,1,0n =，所以cos ,m n m n m n⋅==即随着λ值的变化，二面角B MD E --的大小不变．且25sin ,5m n ==.所以二面角B MD E --.【题型九】角度范围与最值【典例分析】在四棱锥V ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面ABCD ⊥平面VAB .(1)求证：平面VBC ⊥平面VAB ；(2)若VA VB ⊥，2AB BC =，求平面VCD 与平面VAB 所成锐二面角的余弦值的取值范围.【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）根据给定条件，利用面面垂直的性质、判定推理作答.（2）在平面VAB 内过V 作VA AB ⊥于O ，以O 为原点建立空间直角坐标系，借助空间向量求解作答.(1)在四棱锥V ABCD -中，底面ABCD 为矩形，有BC AB ⊥，因平面ABCD ⊥平面VAB ，平面ABCD 平面VAB AB =，BC ⊂平面ABCD ，则BC ⊥平面VAB ，又BC ⊂平面VBC ，所以平面VBC ⊥平面VAB .(2)在平面VAB 内过V 作VO AB ⊥于O ，而平面ABCD ⊥平面VAB ，平面ABCD 平面VAB AB =，则VO ⊥平面ABCD ，在平面ABCD 内过O 作Ox AB ⊥，有,,Ox OB OV 两两垂直，以点O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，令2AB =，则4CD =，又VA VB ⊥，设π(0)2BAV θθ∠=<<，于是有2cos VA θ=，sin sin 2VO VA θθ==，因此有(0,0,sin 2)V θ，2(4,2cos ,0)D θ-，2(4,2cos ,sin 2)DV θθ=-，而//DC OB ，直线DC的方向向量(0,1,0)a =，设平面VCD 的法向量为(,,)n x y z =，则242cos sin 200n DV x y z n a y θθ⎧⋅=-++=⎨⋅==⎩，令4z =，得(sin 2,0,4)n θ=，显然，平面VAB 的一个法向量(1,0,0)m =，设平面VCD 与平面VAB 所成锐二面角大小为α，则有||cos |cos ,|||||n m n m n m α⋅=〈〉==π02θ<<，02πθ<<，0sin 21θ<≤，则cos α=≤sin 21θ=，即π4θ=时取“=”，cos 0α>，所以平面VCD 与平面VAB所成锐二面角的余弦值的取值范围是.【变式训练】1.已知四棱锥P ABCD -的底面为正方形，侧面PAD 为等腰直角三角形，2APD π∠=，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面PCD l =．(1)求证：l ⊥平面PAD ；(2)设M 为l 上一点，求PC 与平面MAD 所成角正弦值的最小值．【答案】(1)证明见解析；(2)6【分析】（1）先由//AB CD 证得CD //平面PAB ，再由线面平行的性质得//l CD ，最后由面面垂直的性质得CD ⊥平面PAD ，即可得证；（2）建立空间直角坐标系，表示出平面MAD 的法向量，求出PC ，由线面角的向量求法结合二次函数求出最小值即可.(1)由题意知//AB CD ，因为AB Ì平面PAB ，CD ⊄平面PAB ，所以CD //平面PAB ．因为平面PAB ⋂平面PCD l =，CD ⊂平面PCD ，所以//l CD ；因为CD AD ⊥，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥平面PAD ．又//l CD ，所以l ⊥平面PAD ；(2)取AD 中点O ，连接PO ，由△PAD 为等腰直角三角形知PO AD ⊥．又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，PO ⊂平面PAD ．所以PO ⊥平面ABCD ．以O 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则有()()()()0,1,0,0,1,0,0,0,1,2,1,0A D P C -，设PM t =，则(),0,1M t ，则有(),1,1AM t =，()0,2,0AD =，设平面MAD 的一个法向量(),,n x y z =，则有00n AM n AD ⎧⋅=⎨⋅=⎩．即020tx y z y ++=⎧⎨=⎩，令1x =有()1,0,n t =-，()2,1,1PC =-，设PC 与平面MAD 所成角为α，则sin cos ,n PC n PC n PCα⋅=<>=⋅令2t m +=，2t m =-，则sin α=当52m =即12t =时，sin α有最小值6，即PC 与平面MAD2.已知直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为正方形，2AB BC ==，E ，F 分别为AC 和1CC 的中点，D 为棱11A B 上的点，11BF A B ⊥.(1)证明：BF DE ⊥；(2)求当面11BB C C 与面DFE 所成的二面角的正弦值最小时，三棱锥1E BDB -的体积.【答案】(1)证明见解析；(2)16.【分析】（1）根据直三棱柱的性质，结合线面垂直的判定定理、性质建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积坐标表示公式进行运算证明即可；（2）利用空间向量夹角公式，结合三棱锥的体积公式进行求解即可.(1)因为三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，所以1BB ⊥底面ABC ，AB Ì底面ABC ，所以1BB AB ⊥，因为1111,A B AB BF A B ⊥∥，所以BF AB ⊥，又1BB BF B ⋂=，1BB BF ⊂，平面11BCC B ，所以AB ⊥平面11BCC B .所以1,,BA BC BB 两两垂直.以B 为坐标原点，分别以1,,BA BC BB 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图.所以111(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(2,0,2),(0,2,2),(1,1,0),(0,2,1)B A C B A C E F .由题设(,0,2)(02)D a a ≤≤.（1）因为(0,2,1),(1,1,2)BF DE a ==--，所以0(1)211(2)0BF DE a ⋅=⨯-+⨯+⨯-=，所以BF DE ⊥；(2)设平面DFE 的法向量为(,,)m x y z =，因为(1,1,1),(1,1,2)EF DE a =-=--，所以m EF m DE ⎧⊥⎨⊥⎩，即0(1)20x y z a x y z -++=⎧⎨-+-=⎩.令2z a =-，则(3,1,2)m a a =+-.因为平面11BCC B 的法向量为(2,0,0)BA =，设平面11BCC B 与平面DEF 的二面角的平面角为θ，则22||63|cos |||||222142214m BA m BA a a a a θ⋅===⋅⨯-+-+.当12a =时，22214a a -+取最小值为272，此时cos θ=所以min (sin )θ==112B D =，三棱锥1E BDB -的体积1111213226V ⎛⎫=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭.【题型十】距离与长度（体积）【典例分析】在矩形ABCD中，2==AD AB 点E 是线段AD 的中点，将△ABE 沿BE 折起到△PBE 位置（如图），点F 是线段CP 的中点．(1)求证：DF ∥平面PBE ：(2)若二面角P BE C --的大小为2π，求点A 到平面PCD 的距离．【答案】(1)证明见解析；.【分析】（1）利用线面平行的判定定理即得；（2）由题建立空间直角坐标系，利用点到平面的距离的向量求法即得.(1)设PB 的中点为G 点，连接GF 和GE ，因为点G 、点F 分别为PB 和PC 的中点，所以GF BC ∥且12GF BC =，又DE BC ∥且12DE BC =，所以GF DE ∥且GF DE =，所以四边形GFDE 为平行四边形，所以DF GE ∥，又GE ⊂平面PBE ，DF ⊄平面PBE ，所以DF ∥平面PBE ；(2)由二面角P BE C --的大小为2π可知，平面PBE ⊥平面ABCD ，取BE 得中点O ，连接PO ，则PO BE ⊥，PO ⊥平面ABCD ，如图建立空间直角坐标系，则()0,0,0O ，()()()()0,1,0,0,0,1,1,2,0,2,1,0A P C D ---，所以()()1,2,1211PC PD =--=--，，，，设平面PCD 的法向量为(),,n x y z =r，则2020PC n x y z PD n x y z ⎧⋅=-+-=⎨⋅=-+-=⎩，令1x =则()1,1,3n =--，又()2,2,0AD =-，所以点A 到平面PCD 的距离为AD n d n⋅==.【提分秘籍】向量计算点到距离公式（棱锥等的高）方法一：直接法（直接做出高）方法二：等体积转化法方法三：建系向量计算法121212|x x +y +|d=||sin |||cos PA n |=|n|y z z PA PA θ=∙，规律【变式训练】1.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC ==，23BAC π∠=，D ，1D 分别是BC ，11B C 的中点，23AG AD =，过点G 作EF BC ∥，分别交AB ，AC 于点E ，F .(1)证明1A G EF ⊥；(2)若二面角1A A E F --的大小是3π，求三棱柱111ABC A B C -的体积.【答案】(1)证明见解析；6【分析】（1）先由1AA EF ⊥及AD EF ⊥证得EF ⊥平面11AA D D ，即可证明1A G EF ⊥；（2）建立空间直角坐标系，设1AA h =，分别求出平面1A AE 和1A EF 的法向量，由二面角1A A E F --的大小是3π解出h ，再计算体积即可.(1)由已知得1AA ⊥平面ABC ，EF ⊂平面ABC ，所以1AA EF ⊥，又AB =AC ，D 是BC 的中点，得AD BC ⊥，又EF BC ∥，故AD EF ⊥.因为1AA ，AD 是平面11AA D D 内的两条相交直线，所以EF ⊥平面11AA D D ，又1AG ⊂平面11AA D D ，所以1A G EF ⊥；(2)依题意23AG AD =，又EF BC ∥，所以22,33AE AB AF AC ==.由直棱柱性质和题设，11111,,D A D B D D 两两互相垂直，建立如图所示的空间直角坐标系.设1AA h =，则111331313,0,0,,0,,,0,,,,2266A A h B h C h E h F h ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，设(,,)m x y z =是平面1A AE 的法向量，()11130,0,,,33A A h A E h ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭，11013033A A m zh A E m x y zh ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取3x =(3,1,0)m =.设111(,,)n x y z =是平面1A EF 法向量，123130,,3EF A E h ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，111110103EF n y A E m x y z h ⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩，取13x =，则1(3,0,n h =，因为二面角1A A E F --的大小是3π，所以1cos ,2m n ==，解得h =所以三核柱111ABC A B C -的体积111122624ABC V S CC =⋅=⨯⨯⨯⨯=.2.ABCDE 中，已知AC BC ⊥，ED AC ∥，且22AC BC AE ED ====，DC DB =(1)求证：平面BCD ⊥平面ABC ；(2)线段BC 上是否存在点F ，使得二面角B AE F --的余弦值为3，若存在，求CF 的长度；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)存在，65CF =【分析】（1）证面面垂直，先证其中一个平面内的直线AC 垂直另一个平面BCD ；（2）由第一问结论，建立合适的坐标系，用空间向量求解即可.(1)取AC 中点G ，连接EG，因为ED AC ∥，12CG AC ED ==，所以EG CD ∥，所以四边形EDCG 为平行四边形，所以EG DC ==又因为112AG AC ==，2AE =，所以222AG EG AE +=，所以AG EG ⊥，又因为CD EG ∥，所以AC CD ⊥.因为AC BC ⊥，BC ，CD 是平面BCD 内的两条相交直线，所以AC ⊥平面BCD ，因为AC ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面BCD .(2)解法一：在平面BCD 内过点C 作BC 的垂线l ，因为AC ⊥平面BCD，所以l ､CA ，CB 两两相互垂直，故以C 为坐标原点.如图所示，建立空间直角坐标系，则()2,0,0A ，()0,2,0B ，(D ，(E ，设在线段BC 上存在点()()0,,002F t t ≤≤，使二面角B AE F --22则(2AE =-，()2,2,0AB =-，()2,,0AF t =-设平面AEF 的法向量()1111,,n x y z =.则1100AE n AF n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111112020x y z x ty ⎧-++=⎪⎨-+=⎪⎩，不妨令12y =，则1x t =，)1222t z -=，所以)1222t n t ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭.设平面ABE 的一个法向量为()2222,,n x y z =，则222222220220AE n x y AB n x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，即2222220220x y z x y ⎧-++=⎪⎨-+=⎪⎩不妨令21x =，21y =，20z =，所以()21,1,0n =所以()121221222222cos ,32222n n t n n n n t t ⋅+===⋅-⋅++.化简得：21568600t t -+=，解得65t =或103（舍去），故60,,05F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以65CF =.所以存在点F ，当65CF =时，二面角B AE F --的余弦值为23.解法二：取BC ､AB的中点O ､H ，连接OD ，OH ，因为DB DC =，O 是BC 中点，所以DO BC ⊥，又因为DO ⊂平面BCD ，平面ABC ⊥平面BCD 且交于BC ，所以DO ⊥平面ABC ，因为H 是AB 中点，即OH AC ∥，所以OH BC ⊥，故DO ，OH ，BC 两两互相垂直，则以O 为坐标原点，OH ，OB ，OD uuu r为x ，y ，z 轴，如图建立空间直角坐标系，则()2,1,0A -，()0,1,0B，(D，(E .设在线段BC 上存在点()()0,,011F t t -≤≤，使二面角B AE F --的余弦值为3，则(AE =-，()2,2,0AB =-，()2,1,0AF t =-+.设平面AEF 的一个法向量为()1111,,n x y z =，则1100AE n AF n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即()111110210x y x t y ⎧-+=⎪⎨-++=⎪⎩，不妨令12y =，则11x t =+，)112t z -=，所以)112t n t ⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭.又因为12ED AC ∥，12OH AC ∥，所以OH DE ∥，所以四边形DEHO 为平行四边形，即EH DO ∥，因为DO ⊥平面ABC ，所以EH ⊥平面ABC ，因为CH ⊂平面ABC ，所以EH CH ⊥，又因为AC BC =，H 是AB 中点，所以CH AB ⊥，因为EH ，AB 为平面ABE 内的两条相交直线，所以CH ⊥平面ABE ，故CH 是平面ABE 的一个法向量，因为()1,1,0CH =，所以111cos ,3||CH CH CH n n n ⋅==⋅.化简得：2153870t t -+=，解得15t =或73（舍去），故10,,05F ⎛⎫⎪⎝⎭，所以16155CF =+=，所以存在点F ，当65CF =时，二面角B AE F --的余弦值为3.解法三：取BC､AB 的中点O ､H ，连接OD ，OH ，因为DB DC =，所以DO BC ⊥，又因为DO ⊂平面BCD ，平面ABC ⊥平面BCD 且交于BC ，所以DO ⊥平面ABC .因为12ED AC ∥，12OH AC ∥，所以OH DE ∥，所以四边形DEHO 为平行四边形，即EH DO ∥，因为DO ⊥平面ABC ，所以EH ⊥平面ABC ，因为CH ⊂平面ABC ，所以EH CH ⊥，又因为AC BC =，H 是AB 中点，所以CH AB ⊥，因为EH ，AB 为平面ABE 内的两条相交直线，所以CH ⊥平面ABE ，假设在线段BC 上存在点F，使二面角B AE F --的余弦值为3，过F 作FM AB ⊥于点M ，则FM ⊥平面ABE ，过M 作MN AE ⊥于点N ，连接NF ，则FNM ∠为二面角B AE F --的平面角.设()201FB x t =<≤，则FM BM ==，AM =，所以2NM x =-，在Rt FMN 中，NF ==所以cos 3MN FNM NF ∠===.化简得215440x x +-=，解得5x =或23-（舍去），即45FB =，所以625CF FB =-=，所以存在点F ，当65CF =时，二面角B AE F --的余弦值为3培优第一阶——基础过关练1.如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为菱形，E ，F 分别为PA ，BC 的中点．(1)证明：EF ∥平面PCD(2)若PD ⊥平面ABCD ，120ADC ∠=，且24PD AD ==，求直线AF 与平面DEF 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)35【分析】（1）取PD 的中点G ，连接CG ，EG ，则由三角形中位线定理可得1//,2EG AD EG AD =，再结合底面四边形为菱形，可得四边形EGCF 为平行四边形，从而得//.EF CG 然后由线面平行的判定定理可证得结论，（2）由已知可得,,DF DA DP 两两垂直，所以以D 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系D —xyz ，然后利用空间向量求解即可(1)证明：取PD 的中点G ，连接CG ，EG ，因为E ，F 分别为PA ，BC 的中点，所以1//,2EG AD EG AD =，。
空间几何中的角度与距离计算
空间几何中的角度与距离计算在空间几何中，角度与距离的计算是非常重要的。
通过正确计算角度和距离，我们能够准确描述和分析物体的位置、运动以及相互关系。
本文将介绍空间几何中常用的角度计算方法和距离计算方法。
一、角度计算在空间几何中，角度是表示物体之间相对方向关系的重要指标。
常见的角度计算方法有以下几种：1. 余弦定理余弦定理是计算三角形内角的常用方法之一。
在空间几何中，如果已知三点的坐标，可以通过余弦定理计算出这三个点所形成的夹角。
余弦定理的公式如下：cos A = (b² + c² - a²) / (2bc)其中，A为夹角的大小，a、b、c为夹角对应的边长。
2. 矢量法矢量法是一种基于向量运算的角度计算方法。
通过将空间中的两个向量进行运算，可以得到它们之间的夹角。
常见的向量法角度计算包括点乘法和叉乘法。
（1）点乘法：两个向量的点乘结果等于它们的模长相乘再乘以它们之间的夹角的余弦值。
可以通过点乘法计算向量之间的夹角。
（2）叉乘法：两个向量的叉乘结果等于它们的模长相乘再乘以它们之间的夹角的正弦值。
可以通过叉乘法计算向量之间的夹角。
3. 三角函数在空间几何中，三角函数也是用于角度计算的常用方法之一。
通过正弦、余弦和正切等三角函数的运算，可以计算出角度的大小。
三角函数的计算方法需要先将坐标系进行转换，然后根据坐标的数值，利用相应的三角函数公式进行计算。
二、距离计算在空间几何中，距离是表示物体之间远近程度的重要指标。
常见的距离计算方法有以下几种：1. 欧几里得距离欧几里得距离是空间几何中最常用的距离计算方法。
对于二维或三维空间中的两个点，欧几里得距离可以通过计算它们在各坐标轴上的差值的平方和再开方的方式得到。
欧几里得距离的公式如下：d = √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)² + (z₂-z₁)²]其中，d为距离，(x₁, y₁, z₁)和(x₂, y₂, z₂)分别为两个点的坐标。
计算两星角距离的公式
计算两星角距离的公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：计算两颗星球之间的距离是宇宙学研究中非常重要的课题。
在宇宙空间中，星球之间的距离可以通过各种方法来计算，其中最常用的方法之一就是基于角距离的计算。
角距离是指两个天体之间的角度，通过观测这个角度我们可以推算出它们之间的实际距离。
本文将介绍计算两颗星球之间距离的公式以及相关原理。
我们来讨论角距离的概念。
在天文学中，角度通常是以度（°）来表示的，一个弧度约等于57.3°。
在天球上，我们可以把星球看做是点，通过测量两颗星球之间的角度，我们就可以得到它们之间的距离。
假设两个星球的角距离分别为α和β，它们的距离为d，那么两个星球之间的距离可以通过以下公式计算出来：d = R * √(α² + β² - 2 * α * β * cos(γ))R为星球的半径，γ为α和β之间的夹角。
这个公式基于余弦定理，通过已知两个角度和它们之间的夹角，我们可以通过这个公式来计算出它们之间的距离。
除了这个简单的公式外，我们还可以通过更复杂的方法来计算星球之间的距离。
在天文观测中，有一种称为视差测量的方法可以通过观测同一个天体在不同时间的位置来计算出其距离。
这种方法需要对天体的运动轨迹进行精确测量，因此需要用到精密的测量仪器和技术。
我们还可以通过星际测量来计算星球之间的距离。
这种方法是通过测量星际物质对光的折射来计算出星球之间的距离，这种方法需要考虑到星球之间的引力场对光的影响，并且需要进行大量的实验验证。
无论采用何种方法，计算两颗星球之间的距离都是一项复杂而重要的工作。
在宇宙空间中，星球之间的距离是理解宇宙结构和研究宇宙演化的基础，只有通过精确的测量和计算才能更深入地了解宇宙的奥秘。
计算两颗星球之间的距离是一项重要而复杂的工作，我们可以通过角度计算、视差测量和星际测量等方法来推算星球之间的距禿这些方法都需要依赖于精密的测量仪器和技术，并且需要对宇宙空间的各种影响因素进行考虑。
立体几何中的向量方法(距离、角度)专题选择性必修第一册
类型一 用空间向量求距离 【典例】已知四边形ABCD是边长为4的正方形,E,F分别是边AB,AD的中 点,CG垂直于正方形ABCD所在的平面,且CG=2,求: (1)点B到直线FG的距离; (2)点B到平面EFG的距离.
05 平面与平面所成角
两个平面的法向量所成角是这两个平面的夹角吗？
, 的夹角为，cos | u v|
| u || v |
例题 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=CB=2，AA1=3， ∠ACB=90°，P为BC中点，点Q,R分别在棱AA1,BB1上，A1Q=2AQ， BR=2RB1，求平面PQR与平面A1B1C1夹角的余弦值 z
D1 F
C1
N
A1
E
M B1
D
Cy
A
B
x
AB n
d
n
1.4.2 立体几何中的向量方法 ——角度问题
03 异面直线所成角
l
l
m
m
l, m的夹角为，cos | a b|
| a || b |
(0, ]
2
类型二 向量法求异面直线所成的角(数学运算，直观想象) 【典例】如图，在直三棱柱 A1B1C1-ABC 中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4， 点 D 是 BC 的中点．求异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值．
(1)证明:DC1⊥BC.
(2)求平面A1B1BD与平面C1BD的夹角的大小.
在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，
用空间向量研究距离夹角问题
用空间向量研究距离夹角问题空间向量是数学中一个重要的概念，可以用于描述三维空间中点的坐标。
在空间向量的基础上，我们可以研究距离和角度等问题。
下面是一些用空间向量研究距离和角度问题的方法:1. 空间向量的计算空间向量可以通过点积、叉积等方式进行计算。
点积和叉积都是空间向量运算的一种方法，可以用来计算两个向量之间的距离和角度。
例如，假设我们有两个向量 $v_1$ 和 $v_2$,它们的点积可以表示为:$$v_1 times v_2 = begin{vmatrix} v_1 v_2 end{vmatrix} = v_1^T v_2$$ 其中，$begin{vmatrix} v_1 v_2 end{vmatrix}$ 表示 $v_1$ 和 $v_2$ 的内积，$v_1^T v_2$ 表示 $v_1$ 和 $v_2$ 的外积。
2. 空间向量在几何中的应用空间向量在几何中有着广泛的应用。
例如，我们可以使用空间向量来计算两个点之间的距离。
另外，空间向量还可以用于计算两个平面之间的夹角。
例如，假设我们有两个点 $P$ 和 $Q$,它们之间的距离可以用空间向量 $P - Q$ 来计算:$$d = |P - Q| = sqrt{(P_x - Q_x)^2 + (P_y - Q_y)^2 + (P_z - Q_z)^2}$$ 其中，$(P_x - Q_x)^2 + (P_y - Q_y)^2 + (P_z - Q_z)^2$ 表示点 $P$ 和点 $Q$ 的内积。
另外，空间向量还可以用于计算两个平面之间的夹角。
假设我们有两个平面$P_1$ 和 $P_2$,它们之间的夹角可以用空间向量 $P_1 - P_2$ 来计算:$$theta = frac{angle(P_1 - P_2)}{|P_1 - P_2|}$$其中，$angle(P_1 - P_2)$ 表示 $P_1$ 和 $P_2$ 之间的夹角，$|P_1 - P_2|$ 表示 $P_1$ 和 $P_2$ 之间的距离。
测量坐标计算公式大全图表
测量坐标计算公式大全图表在工程测量和地理测量领域，测量坐标计算公式是非常重要的工具。
通过这些公式，测量人员可以准确地计算出各个测点的坐标，从而为工程建设和地理研究提供基础数据。
本文将介绍一些常用的测量坐标计算公式，帮助读者更好地理解和应用这些公式。
1. 坐标系的选择在进行测量坐标计算之前，首先需要选择适当的坐标系。
常用的坐标系有直角坐标系、极坐标系和空间直角坐标系。
直角坐标系是最常用的坐标系，它使用x、y、z三个坐标轴来描述一个点的位置。
极坐标系则使用极径和极角来描述点的位置，适用于圆形或圆柱形区域的测量。
空间直角坐标系适用于三维空间的测量，使用x、y、z三个坐标轴来描述一个点的位置。
2. 距离的计算在测量中，常常需要计算两个点之间的距离。
根据勾股定理，可以得到如下的直角坐标系下的距离计算公式：水平距离：d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)斜距离：d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2)其中，(x1, y1, z1)和(x2, y2, z2)是两个点的坐标。
3. 方位角的计算方位角是指从一个点指向另一个点时，与正北方向的夹角。
在直角坐标系中，可以使用以下公式计算方位角：方位角：α = atan2((y2 - y1), (x2 - x1))其中，(x1, y1)和(x2, y2)是两个点的坐标。
4. 坐标旋转的计算当出现坐标系变换时，需要对坐标进行旋转。
旋转后的坐标可以通过以下公式计算得到：旋转后的x坐标：x’ = x * cos(θ) - y * sin(θ)旋转后的y坐标：y’ = x * sin(θ) + y * cos(θ)其中，(x, y)是原始坐标，(x’, y’)是旋转后的坐标，θ是旋转的角度。
5. 坐标平移的计算坐标平移是指将坐标系沿着x或y轴方向移动一定的距离，计算平移后的坐标可以使用以下公式：平移后的x坐标：x’ = x + Δx平移后的y坐标：y’ = y + Δy其中，(x, y)是原始坐标，(x’, y’)是平移后的坐标，Δx和Δy是在x和y方向上的平移距离。
空间中的角度计算与应用
空间中的角度计算与应用角度是空间中一种重要的几何概念，可以用来描述物体之间的相对位置和方向关系。
在工程、物理、建筑、航天等领域中，角度计算和应用都扮演着重要的角色。
本文将介绍空间中角度的计算方法和几个相关应用。
一、空间中的角度计算方法在二维平面中，我们可以使用直尺和量角器等工具来测量角度。
但在空间中，由于有长度、高度和深度三个方向的变化，所以需要使用更高级的工具和方法来计算角度。
1. 三维空间中的角度计算方法在三维空间中，我们通常使用向量来表示方向和位置。
一个向量可以用起点和终点来表示，这两个点在三维坐标系中分别有三个坐标值。
设两个向量A和B，它们的坐标分别为(Ax, Ay, Az)和(Bx, By, Bz)。
我们可以使用向量的点积和模长计算它们之间的夹角θ。
点积的计算公式为：A·B = Ax·Bx + Ay·By + Az·Bz向量的模长计算公式为：|A| = √(Ax^2 + Ay^2 + Az^2)两个向量的夹角θ的余弦值可表示为：cosθ = (A·B) / (|A|·|B|)通过反余弦函数可求得夹角θ的值，即θ = arccos(cosθ)2. 四元数计算法四元数是一种用于表示旋转的数学工具，它可以用一个实部和三个虚部来表示。
四元数既可以描述物体的姿态和旋转角度，也可以用来计算两个物体之间的旋转或夹角。
具体计算步骤如下：1）定义两个四元数q1和q2，分别表示两个物体的姿态；2）求解它们的乘积p = q1 * q2的实部，得到一个新的四元数；3）通过arccos函数计算p的实部的绝对值，得到两个物体之间的夹角。
二、空间中角度的应用在物理和工程领域，空间中的角度计算和应用非常广泛，下面介绍几个常见的应用场景。
1. 机械设计与运动控制在机械设计和运动控制领域，角度的计算和控制是非常重要的。
例如，在机器人运动控制中，需要根据机器人末端执行器的位置和姿态，计算出各个关节的角度，以实现期望的运动轨迹。
空间几何中的角度与距离计算(续续)
空间几何中的角度与距离计算（续续）在空间几何的研究中，角度与距离的计算是非常重要的一部分。
通过精确计算角度和距离，我们可以解决许多实际问题，包括建筑设计、航空导航、地理测量等领域。
本文将继续介绍一些常见的角度与距离计算方法和应用案例。
四、角度计算方法1. 三角函数法在空间几何中，我们可以通过三角函数来计算角度。
以直角坐标系为例，假设点A（x1, y1, z1）、点O（0, 0, 0）和点B（x2, y2, z2）构成的三个点，我们可以用向量的内积公式来计算它们之间的夹角θ：cosθ = （x1x2 + y1y2 + z1z2）/（√（x1^2 + y1^2 + z1^2）× √（x2^2 + y2^2 + z2^2））通过上述计算公式，我们可以得到点A、O和B之间的夹角θ。
2. 坐标差法如果我们只需计算平面内的角度，可以使用坐标差法进行计算。
假设有两条线段AB和AC，我们可以通过向量差的夹角来计算它们之间的角度。
首先，计算向量AB和向量AC的坐标差，分别为（x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1）和（x3 - x1, y3 - y1, z3 - z1）。
然后，我们可以利用向量的内积公式计算这两个向量之间的夹角，方法与三角函数法类似。
五、距离计算方法1. 欧式距离法在空间几何中，我们常用欧式距离来计算两个点之间的距离。
对于点A（x1, y1, z1）和点B（x2, y2, z2），它们之间的欧式距离d可以通过以下公式计算：d = √（（x2 - x1）^2 + （y2 - y1）^2 + （z2 - z1）^2）欧式距离法也可以用于计算线段的长度，只需将线段的两个端点坐标代入上述公式即可。
2. 曼哈顿距离法曼哈顿距离也称为城市街区距离，在计算两个点之间的距离时，它不考虑直线距离，而是通过在每个坐标轴上的差值之和来计算距离。
对于点A（x1, y1, z1）和点B（x2, y2, z2），它们之间的曼哈顿距离d可以通过以下公式计算：d = |x2 - x1| + |y2 - y1| + |z2 - z1|曼哈顿距离法常用于城市导航、物流路径规划等领域，因为它更加符合实际路径的特征。
点到线的距离公式空间
点到线的距离公式空间
点到线的距离公式是空间几何学里常用的公式，它通过将由点和线定义的方程系统，转化为一个简单的评估点到线的距离的公式。
距离公式的本质是解决从空间几何位置角度，从点到线的距离的最佳拟合公式。
这种公式的最强大之处在于，它可以让我们大大缩减求解时间和空间，可以更加高效准确的能确定点到线的距离。
一般来说，点到线的距离公式是这样的：d = (|A*x + B*y + C|)
/sqrt(A²+B²)，其中A,B,C为任意定义的系数，x,y分别为点的横纵坐标值，d为点到线的距离。
距离公式的应用范围非常广泛，它可以帮助我们用较少的计算成本快速准确的计算出俩个物体的距离关系，这在航空航天、导航寻优以及工业控制等领域都有广泛的应用，可以大大提高工作效率。
除了实用的功能外，这种公式本身也是一种代表哲学思维的一种语言，在逻辑推理方面也是非常重要的，许多学术研究都证明，如果要让学习者快速掌握几何学相关的知识，掌握许多距离公式对其将是非常有帮助的，因为掌握这些距离公式有助于深刻理解几何学的规律性。
总的来说，点到线的距离公式是广泛应用的一种公式，它可以帮助我们更加精准的衡量俩个物体的距离，也可以有助于加深对几何学知识的了解，也为许多领域的研究提供方便。
空间直角坐标系角度
空间直角坐标系角度空间直角坐标系是解析几何的基础，是物理学、工程学等学科中不可缺少的基本工具。
而空间直角坐标系的角度，则是在三维平面中确定两个向量之间的角度，被广泛应用于求解物体的速度、加速度、动量等问题。
本文将分步骤阐述空间直角坐标系角度的基本概念、计算方法及应用。
一、基本概念空间直角坐标系角度是指在三维坐标系中，求两个向量之间的夹角。
假设有两个向量u和v，它们的坐标分别为(u1,u2,u3)和(v1,v2,v3)。
那么，它们之间的夹角的余弦值可用如下公式计算：cosθ=(u·v)/(|u||v|)其中，u·v是向量u和v的数量积，|u|和|v|是向量u和v的模。
上式中cosθ是两个向量间的夹角的余弦值，而θ是夹角的度数。
当cosθ>0时，表示两个向量的方向相同；当cosθ<0时，表示两个向量的方向相反；当cosθ=0时，表示两个向量正交。
二、计算方法计算两个向量间的夹角通常可以使用向量的点积和模的概念。
1.点积计算两个向量之间的夹角，只和它们的点积有关，点积计算公式如下：u·v=u1v1+u2v2+u3v3其中，u和v是两个向量，(u1,u2,u3)和(v1,v2,v3)是它们的坐标。
2.模的计算向量的模是用来衡量一个向量大小的指标，其计算公式为：|u|=√(u1^2+u2^2+u3^2)其中，u是一个向量，(u1,u2,u3)是它的坐标。
3.角度计算已知两个向量的坐标，可以通过点积和模的计算公式，求得它们的夹角的余弦值，再通过反余弦函数acos计算夹角的度数，即：cosθ=(u·v)/(|u||v|)θ=acos(cosθ)三、应用领域空间直角坐标系角度广泛应用于物理学、工程学等领域。
以下两个应用例子，简单说明其中应用。
1.速度和加速度的求解当物体在经过一段时间后，在空间中的位置发生了变化，可以通过空间直角坐标系角度，求得物体的速度和加速度。
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Q
B
C
P
A
D
O
图1-1
空间中角的计算问题
一、 空间三种角的概念
二、解题思想：解决空间角的问题涉及的数学思想主要是化归与转化，即把空间的角转化为平面的角，进而转化为三角形的内角，然后通过解三角形求得. 三、例题分析；
题型一 求异面直线所成角
例1. 在直三棱柱111ABC A B C -中，90BCA ∠=，点11,D F 分别为1111,A B AC 的中点，若
1AC BC C C ==，求1BD 1与AF 所成的角余弦值。
例 2.已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，求异面直线AE SD ， 所成的角。
例3．如图1-1, 已知两个正四棱锥
ABCD Q ABCD P --与的高分别为1和2,
4=AB ， 求异面直线AQ 与PB 所成的角;
题型二 求直线与平面所成角
例4．在棱长2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1BC 的中点.求：（1）直线DE 与平面ABCD 所成角的大小 （2）直线DE 与平面11B BCC 所成角的大小
B S
C
D
A
B
E
A D P N M 例5．在如图3-1所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，
DB ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，且2AC BC BD AE ===，M 是AB 的中点．求CM 与平面CDE 所成的角．
例6．棱锥P-ABCD 中，底面为直角梯形,AD ∥BC,∠BAD=90°,PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝AD=AB=2BC,M 、N 分别为PC 、PB 的中点. 求CD 与平面ADMN 所成的角。
题型三、求二面角的大小
例7，正方体1111D C B A ABCD -中，E 为棱1CC 的中点，那么截面BD A 1和截面EBD 所成的二面角大小为______________
例8．棱长为a 的正方体1111D C B A ABCD -中，M 是棱1CC 的中点，N 是BC 的中点，求截面1ANMD 和底面ABCD 所成的角。
（改成面M AD 1与面ABCD 所成的角呢？）
E
D1
B1
C1
A1 D C
B
A E
D
C M A
图3-1
B
例9在ABC ∆中，ABC ,平面⊥⊥SA BC AB ,DE 垂直平分SC ,且分别交SC AC ,于
E D ,，又BC SB AB SA ==,,求二面角C BD E --的大小。
四、课堂练习：
1如图所示，已知四面体S ABC -的棱长都为a ， E 为SC 中点，F 为AB 中点 ⑴求BE 与SF 所成角
⑵求BE 与面ABC 所成角.
2．（2010全国卷2文数）图2已知三棱锥S ABC -角形，SA 垂直于底面ABC ，SA =3，那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为（ D ）
（A ）
4 (B) 4 （C) 4 (D) 3
4
3．已知A 是BCD ∆所在平面外一点，连接AD AC AB ,,后，
⊥=∠===∠AC ABC BD AD ADB ,30,2,9000平面BDC ，求二面角C AB D --的
余弦值。
)3
3
( D C
B
A
S
E
D
C
B
A
B
C
S
图2。