初高中衔接数学解析几何初讲

DAY12 解析几何知识点
一、基本理论和基本公式 （一）
曲线和方程
1.曲线与方程：在直角坐标系中，如果曲线C 和方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系： 1） 曲线C 上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解（纯粹性）； 2） 方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C 上（完备性）。

则称方程f(x,y)=0为曲线C 的方程，曲线C 叫做方程f(x,y)=0的曲线。

2.求曲线方程的方法：.
1）直接法; 2)相关点法；3）参数法; 4）定义法；5）待定系数法.
（二）基本公式
1. 两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)的距离公式：21221221)
()(||y y x x P P -+-=.
若直线P1P2的斜率为k ，则121212||||||PP x x y y =-=-. 定比分点坐标分式。

若点P(x,y)分有向线段1212
PP PP PP λλ=所成的比为即,其中P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2).则 λ
λλλ++=++=
1,121
21y y y x x x
特例，中点坐标公式；重要结论，三角形重心坐标公式。

2. 直线的倾斜角（0°≤α＜180°）、斜率:αtan =k
3. 过两点1
2122
22111),(),,(x x y y k y x P y x P --=的直线的斜率公式：. 12()x x ≠
当2121
,y y x x ≠=（即直线和x 轴垂直）时，直线的倾斜角α
＝︒90，没有斜率
二、直线方程
（一）直线方程的几种形式：
（二）两条直线的位置关系
1.若两条直线的方程分别为 l 1： y =k 1x +b 1； l 2： y =k 2x +b 2．则 l 1|| l 2⇔k 1=k 2,且b 1≠b 2; l 1⊥l 2⇔k 1•k 2= -1 ; 当1+k 1k 2≠0时，若θ为l 1到l 2的角，则2112tan 1k k k k θ-=
+， 若α为l 1和l 2的夹角则2112
tan 1k k k k α-=+， 2.如果直线l 1、l 2的方程分别为l 1:A 1x +B 1y +C 1=0, l 2: A 2x +B 2y +C 2=0 则l 1与l 2
相交的充要条件：
01221≠-B A B A ；交点坐标：1221122112211221
(,).B C B C C A C A A B A B A B A B ----
. 平行的充要条件：l 1|| l 2⇔A 1B 2-A 2B 1=0,(B 1C 2-B 2C 1)2+(C 1A 2-C 2A 1)2≠0. 垂直的充要条件：l 1⊥ l 2⇔A 1A 2+B 1B 2=0.
重合的充要条件：l 1与l 2重合⇔A 1B 2-A 2B 1=B 1C 2-B 2C 1=C 1A 2-C 2A 1=0 (或
212121,,C C B B A A λλλ===).
若 A 1A 2+B 1B 2≠0，直线l 1到直线l 2的角是θ，则有tanθ=12211212
A B A B A A B B -+
（三）直线系方程
1. 与直线：A x +B y +C= 0平行的直线系方程是：A x +B y +m =0.( m ∊R, C ≠m ).
2. 与直线：A x +B y +C= 0垂直的直线系方程是：B x -A y +m =0.( m ∊R)
3. 过定点（x 1,y 1）的直线系方程是： A(x -x 1)+B(y -y 1)=0 (A,B 不全为0)
4. 过直线l 1、l 2交点的直线系方程：（A 1x +B 1y +C 1）+λ( A 2x +B 2y +C 2）=0 (λ∊R ） 注：该直线系不含l 2. （四）距离
1.点P(x o ,y o )到直线l ：A x +B y +C= 0的距离 0022
||.Ax By C d A B ++=+
2.两平行线l 1:Ax+By+c 1=0, l 2:Ax+By+c 2=0间的距离公式:d=2
221||B A c c +-
三、圆的方程
（一）圆的定义：平面上到一定点的距离等于定长的点的轨迹。

（二）圆的方程
1. 圆的标准方程：(x -a )2
+(y -b )2
=r 2
2.一般方程：x 2
+y 2
+Dx +Ey +F =0,(D 2
+E 2
-4F >0) 圆心坐标：（-2D ，-2E ） 半径r=F
E D 42
122-+
（3）以(x 1,y 1),(x 2,y 2)为直径两端的圆的方程：（x-x 1）(x-x 2)+(y-y 1)(y-y 2)=0 （4）圆的参数方程：⎩⎨
⎧+=+=θ
θsin cos r b y r a x （θ为参数）
（三）点与圆的位置关系
设圆C ∶(x-a)2+(y-b)2=r 2，点M(x 0，y 0)到圆心的距离为d ，则有： (1)d ＞r
点M 在圆外； (2)d=r
点M 在圆上； (3)d ＜r
点M 在圆内．
（四）直线与圆的位置关系
设圆C ：(x -a )2+(y -b )2=r 2, 直线l 的方程为Ax +By +C =0.○
1圆心(a ,b )到l 的距离为d ; ○2222
()()0
x a y b r Ax By C ⎧-+-=⎨
++=⎩消去y 得关于x 的一元二次方程判别式为△，则有： 位置关系 公共点个数
数量关系
相离 0 d>r ⊿< 0 相切
1
d=r
⊿ = 0
（五）圆与圆的位置关系
设圆C1：(x-a)2+(y-b)2=r 12和圆C2：(x-m)2+(y-n)2=r 22(r 1≥r 2)，且设两圆圆心距为d ，则有： （六）几个常用结论和方法
1.弦长的求解：弦心距d 、圆半径r 、弦长l ,则：222()2
l
d r +=（根据垂弦定理和勾股定理） 2.圆的切线方程的求法
（1）过圆上的点的圆的切线方程
①圆x 2+y 2=r 2，圆上一点为(x 0，y 0)，则此点的切线方程为x 0x+y 0y=r 2(课本命题)．
②圆(x-a)2+(y-b)2=r 2，圆上一点为(x 0，y 0)，则过此点的切线方程为(x 0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b)=r 2(课本命题的推广)．
○
3以（x 0,y 0）为切点的圆x 2
+y 2
+Dx+Ey+F=0的切线方程：分别以x o x,y o y,00
,
22
x x y y ++替换圆方程中的x 2
,y 2
,x,y.
（2）过圆外一点M （x o ,y o ），作圆(x-a)2
+(y-b)2
=r 2
的切线，可设切线方程为点斜式： y-y o =k(x-x o )，利用圆心到直线的距离等于半径或与圆的方程联立用判别式法求k 。

注意： 由圆外一点向圆引切线，应当有两条切线。

但，可能只算出一个 k 值，那么，另一条斜率不存在，即过（x 0,y 0）垂直于x 轴的直线x=x 0.
3.过两条曲线f 1(x,y)=0与f 2(x,y)=0的公共点的曲线系方程：
)(,0),(),(21R y x f y x f ∈=⋅+λλ
4. 两圆相交时的公共弦方程、两圆外切时的内公切线、两圆内切时的外公切线：两圆方程作差，消去二
次项所得的直线方程即为所求。

四.圆锥曲线
1. 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质（见后表）
2. 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程的其他形式及相应性质.
3. 等轴双曲线
4. 共轭双曲线
5. 方程y 2=ax 与x 2=ay 的焦点坐标及准线方程.
6.共渐近线的双曲线系方程.
7.点、直线与圆锥曲线的位置关系
椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质。