第五章 拉普拉斯变换
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第五章 连续时间系统的复频域分析
2
(s )2 2
(1)
(s 1)e3s (s 1)2 4
(2) et cos (t 1) (t 2)
三、拉普拉斯变换性质
(s 1)e3s
(1)
(s 1)2 4
e-(t-3)[cos2(t-3) -sin2(t-3)](t-3)
(s 1) (s 1) 2 (s 1)2 4 (s 1)2 22
4
f (t) (4 4et 3tet ) (t)
四、拉普拉斯变换反变换
(1)
F (s)
s2
1 5s
6
(2)
s s2 2s 5
f (t) (et cos 2t 1 et sin 2t) (t)
2
四、拉普拉斯变换反变换
留数定理
留数计算：
假设sk是F(s)的一阶极点，则其留数为：
Re sk (s sk )F(s)est ssk
一、拉普拉斯变换及收敛域
例：求下面信号的LT的收敛区间
f (t ) e2t (t ) e2t (t )
有始信号收敛域的收敛轴由最右面极点决定，收敛域在收敛轴右面
二、常用函数拉普拉斯变换
L (t) 1
L{ (t)} 1
s
Lt (t)
1 s2
Re[s] > 0
L{et (t)} 1 s
L tet (t) 1
（2）
解：
f (t) cos(t) cos(3t) (t)
三、拉普拉斯变换性质
复频域微分与积分
Lt f t d F s
ds
L
f
t
t
s
F
s
d
s
三、拉普拉斯变换性质
例1：L[tet (t)]
[理学]第五章2拉普拉斯变换的性质_OK
![[理学]第五章2拉普拉斯变换的性质_OK](https://img.taocdn.com/s3/m/356c9bfd76c66137ef061994.png)
0
2
t
解： 令
f t
f
2
t
2
则
f t 2 t 4 t 2 t
2
f
t
2
1
F
s
2
4
e
s 2
2 es
0
2
f ' t
2
2
1
2e
s 2
es
2
2
2 1
e
s 2
2
L
f
t
2
1 s2
Fs
2
1
e
2
s
. s2
2
0 2
f "
t
2
2
2
0
4
t
t
2
2
这是由于位于收敛边界的极点被抵消的缘故。
例5.2-1 求单边正弦函数 sin t t 和单边余 弦函数 cos t t 的象函数。
解：因为 sin t e jt e jt 2j
而es0t t 1
s s0
e jt e jt 2j
t
1 .
1
1.
1
2 j s j 2 j s j
s2 2
sin
t
t
s2
2
Res 0
3
同理因为
cos t e j t e j t
2
e j t e j t 2
t
s
1. 1
2 s j
1. 1
2 s j
s2
2
cos
t
t
s2
2
Res 0
sin t t
s2
2
第5章 拉普拉斯变换
F ( s ) F1 ( s ) F1 ( s )e Ts F1 ( s )e 2Ts 1 F ( s) Ts 1 1 e
结论：单边周期信号的拉普拉斯变换 等于第一周期波形的拉普拉斯变换乘以
例9 、 周期冲击序列T (t ) (t )的拉氏变换为
1 1 e Ts
jω
0
α
σ
收敛边界
收敛域
例2、反因果信号f2(t)= et(-t) ，求拉氏变换。
( s )t e t st 0 e e dt 解: F2 b ( s ) (s ) 1 [1 lim e ( ) t e j t ] t (s ) jω 0
0
F ( s ) e st0
已知，f (t ) (t ) F (s), Re[s] 0
(a,b正实常数)
与尺度变换相结合
f(at-b)(at-b)←→
1 e a
b s a
s F a
0
f1(t) 1 1 f2(t) 1 t
例6、求如图信号的单边拉氏变换。 解：f1(t) = (t) –(t-1)，f2(t) = (t+1) –(t-1) 1 s ( 1 e ) F1(s)= s F2(s)= F1(s)
s τ a
1 s dτ F a a
三、时移特性
若L f (t ) F ( s)， L f (t t0 ) (t t0 ) F ( s) e st0 ,
Re[ s] 0 , 且实常数t0 0, 则 Re[ s] 0
通常遇到的信号都有初始时刻，不妨设其初 始时刻为坐标原点。这样，t<0时，f(t)=0。从而拉 氏变换式写为
结论：单边周期信号的拉普拉斯变换 等于第一周期波形的拉普拉斯变换乘以
例9 、 周期冲击序列T (t ) (t )的拉氏变换为
1 1 e Ts
jω
0
α
σ
收敛边界
收敛域
例2、反因果信号f2(t)= et(-t) ，求拉氏变换。
( s )t e t st 0 e e dt 解: F2 b ( s ) (s ) 1 [1 lim e ( ) t e j t ] t (s ) jω 0
0
F ( s ) e st0
已知，f (t ) (t ) F (s), Re[s] 0
(a,b正实常数)
与尺度变换相结合
f(at-b)(at-b)←→
1 e a
b s a
s F a
0
f1(t) 1 1 f2(t) 1 t
例6、求如图信号的单边拉氏变换。 解：f1(t) = (t) –(t-1)，f2(t) = (t+1) –(t-1) 1 s ( 1 e ) F1(s)= s F2(s)= F1(s)
s τ a
1 s dτ F a a
三、时移特性
若L f (t ) F ( s)， L f (t t0 ) (t t0 ) F ( s) e st0 ,
Re[ s] 0 , 且实常数t0 0, 则 Re[ s] 0
通常遇到的信号都有初始时刻，不妨设其初 始时刻为坐标原点。这样，t<0时，f(t)=0。从而拉 氏变换式写为
第五章 拉普拉斯变换(1)
ROC=R 保持不变
f (t − t0 )u(t − t0 )
t0
证明： LT [ f (t − t0 )u(t − t0 )] = ∫ f (t − t0 )u(t − t0 )e dt = ∫ f (t − t0 )e− st dt
∞ − st ∞ 0 t0
令x = t − t0 , t = x + t0 LT [ f ( x)u( x)] = ∫ f ( x)e− s ( x+t0 ) dx
−1 1 1 ) F(S) = ( + S + jω S − jω 2 j
1 1 1 F(S) = ( + ) S + jω S − jω 2 S = 2 2 S +ω
ω = 2 2 S +ω
衰减余弦的拉氏变换
F 0 ( S ) = LT [cos ω t ] =
S
2
S +ω
2
f (t ) = e
e
at
cos ω 1 t
(a > 0)
u (t )e
at
−σt
e .e (σ > a ) −σt e cos ω 1t
−σ t
拉 普 拉 斯 正 变 换
因果
f1(t) = f (t)e
∞ 0
−σt
s =σ + jω
F1 (ω ) = ∫ f (t )e
∞
−(σ + jω )t
dt
F(s) = ∫ f (t)e dt
B： σ 大, e st 幅度变化快； 大，频率高。 w
C ：一对共轭复频率
σ ± jw 对应一个正弦振荡
振荡
或指数为包络线的正弦
第五部分拉普拉斯变换-资料
sT
(1e 2
)
25
f(t) F(s)11 esTs2E ((22 T T))2(1esT 2)
1 1esT
2
E(2T) s2 (2T)2
26
3.比例性（尺度变换）
设 f(t) F (s),则 f(a t) 1F (s),a 0 aa
例 已知L[f(t)]=F(s)，试求
L [ f ( a t 0 t )( a t 0 t )a ] 0 ( ,t 0 0 )
7
收敛域 lt i m f(t)et0(0)
• 有始有终信号和能量 整个平面
j
有限信号
•等幅0振荡0信或号和0 增a长信 以 0 为界
号
j
0 a
• 不收敛信号 et2, t et2 (0t)
除非 (0tT) 8
双边拉氏变换收敛域— f (t)u(t)etu(t)
f(t)e td t u (t)e td t0u ( t)e ( 1 )td
s 0
0 s0
F (s) s
33
若积分下限由 开始
t
0
t
f()d f()d f()d
0
f1(0) t f()d 0
4 ) f( t t 0 )( t t 0 ) s i n 0 ( t t 0 )( t t 0 )
L [ s in0 ( t t0 )( t t0 ) ] e s t0 L [ s in0 t] e s t0s 2 00 2
22
例 求锯齿波的拉氏变换
f (t) E
Tt
解：
fa (t)
证明:由定义
L[d(ft)] d(ft)estdt
dt
0 dt
estf(t)(s)estf(t)dt 0 0
第五章 拉普拉斯变换
5.2
典型信号的拉普拉斯变换
五、 衰减余弦信号e-atcos0t
1 1 L[e cos t ] L[ e (e e )] L[e e ] 2 2 1 1 1 sa [ ] 2 s ( a j ) s ( a j ) ( s a )
at at j 0 t - j 0 t - ( a j 0 ) t - ( a j 0 ) t 0 2 0 0
中国民航大学 CAUC
5.1
拉普拉斯变换的定义和收敛域
一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换（3） 推广到一般情况
F[ f (t )e ] f (t )e e dt
t t jt
f (t )e ( j)t dt
令s= +j
f (t )e st dt F (s)
j 0 t - j 0 t j 0 t - j 0 t 0 2 2 0 0 0
四、 正弦信号sin0t
1 L[sin t ] L[ (e 2j
0 j 0 t
1 1 1 e )] ( ) 2 j s j s j
- j0t 0 0
2
0 2 0
s
中国民航大学 CAUC
2 0
六、 衰减正弦信号e-atsin0t
1 L[e sin t ] L{ [e 2j
at 0 - ( a j 0 ) t
e
- ( a j 0 ) t
]}
0
1 1 1 [ ] 2 j s ( a j ) s ( a j ) ( s a )
f (t )e dt
st
定义： F (s)
第五章 连续系统的S域分析
5.3 拉普拉斯逆变换
直接利用定义式求反变换---复变函数积分。
比较困难
• 通常的方法: （1）查表法 （2）利用性质（3） 部分分式展开-----结合 • 若象函数F(s)是s的有理分式，可写为
若m≥n （假分式）,可用多项式除法将象函数F(s)分解 为有理多项式P(s)与有理真分式之和。
• 下面主要讨论有理真分式的情形。 • 部分分式展开法 • 若F(s)是s的实系数有理真分式（m<n)，则可
x1(t) x2 (t) X1(s) X 2 (s) ROC: 包括R1 I R2
复卷积定理
若L[ f1(t)] F1(s), L[ f2 (t)] F2 (s)
则L[
f1 (t )
f2 (t)]
1
2j
[F1(s)
F2 (s)]
8、 S域微分:（Differentiation in the s-Domain）
故i(t) L1[I (s)] 0.75 (t) 4.25e 2t (t)
6、时域积分特性（积分定理）
• 若f(t) ←→ F(s) , Re[s]>0, 则
f
(n) (t)
(
t )n
f
(x)dx
1 sn
n
F(s)
m1
1 s nm1
f
(m) (0 )
7. 卷积性质: 若 x1(t) X1(s), ROC : R1 x2 (t) X 2 (s), ROC : R2 则
x(t)es0t X (s s0), ROC : R Re[s0 ]
表明 X (s s0)的ROC是将X (s)的ROC平移了
一个Re[s0 ] 。
例3、求L[et sin t]
信号与系统第五章连续系统的s域分析V4.
结论：
1、对于双边拉普拉斯变换而言，F(s)和收敛域 一起，可以唯一地确定f(t)。即：
2、不同的信号可以有相同的F(s)，但他们的收敛
域不同；不同信号如果有相同的收敛域，则他们的
F(s) 必然不同！
三、单边拉普拉斯变换
通常遇到的信号都有初始时刻，不妨设其初始时
刻为0。这样，t<0时，f(t)=0。从而拉氏变换式写为:
s 1
f
(1) (0 )
f
(n) (t)
(
t )n
f
(x)dx
1 sn
F(s)
n m1
1 s nm1
f
(m) (0 )
例: t2(t) ←→?
t
0 (x) d x t (t)
t 0
2
(x) d x
t x (x) d x t 2 (t)
0
2
t 2 (t) 2
s3
教材第225页例5.2-8。
8 e 2 s 2s 2
(1 e2s 2s e2s )
2 e2s s2
(1 e2s
2s e2s )
三 时移性质（Time Shifting）:
若f(t) ←→ F(s) , Re[s]>0, 且有实常数t0>0 ,
则f(t-t0)(t-t0) ←→ e-st0F(s) , Re[s]>0
与尺度变换相结合：则：
1 1
s2 s 1
,
ROC : 1
X 2 (s)
1 , s 1
ROC : 1
而 x1(t) x2(t) t 1 ROC为整个S平面
注：当 R与1 无R2交集时，表明 不X (存s)在。
二 尺度变换（Time Scaling）
SignalsSystems_Chapter5
信号与系统天津大学电子信息工程学院第五章连续系统的复频域分析一、拉普拉斯变换（LT）（一）从傅里叶变换到拉普拉斯变换z1、从FT到双边LT信号f(t)的傅里叶变换（FT）为z许多函数不满足绝对可积条件，其F( jω)中一般都含有冲激函数。
用衰减因子e-σt乘以f(t)，适当选择σ的值，使f(t)·e-σt绝对可积，从而可求得其FT：如果令s＝σ＋jω——称为f(t)的双边LT3z根据FT-1反变换式，可得：——F(s)的双边拉普拉斯反变换z F(s)称为f(t)的象函数，f(t)称为F(s)的原函数。
z记作：F(s)＝_{f(t) }，f(t)＝_-1{F(s) }，或者简52、收敛域（ROC）使双边LT 的象函数F b (s )存在的s 平面的区域称为双边LT 的收敛域z （1）因果信号z （2）反因果信号z（3）双边函数73、单边拉普拉斯变换单边拉普拉斯变换单边拉氏逆变换4、单边LT的收敛域——F(s)存在的充分条件对于双边LT，必须认真研究收敛域问题，须由F(s)和收敛域共同确定原函数f(t)9LT的收敛域分为以下三种情况：z①收敛域是整个s平面根据收敛条件：推广：凡时宽有限且幅度有限的信号（满足绝对可11②F (s )在s 平面的部分区域收敛z 一般而言，单边LT 的收敛域是在s 平面上σ>σ0的区域。
z 收敛域的横坐标σ0（＝α）称为收敛坐标，直线σ＝σ0称为收敛轴。
③在整个平面上，F (s )都不收敛，即F (s )不存在z 如：、t t 等函数，其随t 上升而增加的速度超过指数阶函数，F (s )不存在。
2t e 如因果信号f (t )满足：（1）在有限区间a <t <b （）内可积，（2）对于某个有，则对于，拉普拉斯积分式绝对且一致收敛。
（教材P214定理）0a b ≤<<∞0σ0lim |()|0,t t f t e σσσ−→∞=>0Re()s σσ=>（二）常用函数的单边LT变换z1、复指数函数13可推出一些函数的LT：15z2、f(t)＝t n·ε(t)，n为正整数17 3、冲激函数δ(t)与冲激偶δ’(t)二、Laplace变换的性质z1、线性性质19 2、尺度变换（比例性）注：a < 0不适用于单边LT213、时移（延时）特性说明：①注意f (t －t 0)·ε(t －t 0) 与f (t －t 0)·ε(t )的区别z②注意延时性与比例性综合应用的情况例123有始周期函数的拉氏变换等于其第一周期的拉氏变换-Ts25z例2（教材P219例5.2－3）试求在t ＝0-时接入的周期性冲激序列的象函数。
第五章-连续时间系统的复频域
1 j2
K1 (s 2)(s 1 j2)
5
s1 j2
K2
(s
s2 3 2)(s 1
j 2)
1 j2 5
s 1 j 2
共轭 对称
f
t
7 5
e2t
2 et
1 5
cos2t
2 5
sin2t
ut
1, 2,取 0
sbX(Xs)( 0
s)
b X(s) 0
n
1
0
拉普拉斯反变换
由于大多信号和LTI系统的拉普拉斯变换的形式为有理分式，
因此其反变换的求解具有规律性，可利用代数方法进行求解，这
里我们主要介绍部分分式法。
部分分式法分析：
H(s)
b sm m
bs 1
b 0
a sn a s a
判断有理分式 是否为真分式
F1sF2 s
f1 tf2 t
1 2j
F1
s*
F2
s
对微分方程 进 行变换时，初 始条件被自动 计入。
便于求解LTI 系统全响应
时域微分特性
初始条件
若L f (t) F(s), 则L f (t) sF (s) f (0 )
由单边拉氏 变换引起
分部积分
e e 拉普拉斯变换
F(s)
0
f
(t )estdt
f (t)
0
t
j t
dt
j
0时，为在虚轴上拉氏变换，
即傅里叶变换；因此，傅里叶变
第五章 拉普拉斯变换
第五章 拉普拉斯变换
基本内容： 拉斯变换的定义(重点 重点)； 基本内容： 1. 拉斯变换的定义 重点 ； 2. 收敛域的概念(难点 ； 收敛域的概念 难点)； 难点 3. 零极点图； 零极点图； 4. 拉斯变换的性质 重点) ； 拉斯变换的性质(重点 重点 5. 系统函数 难点) ； 系统函数(难点 难点 6. 单边拉斯变换 重点)； 单边拉斯变换(重点 ； 重点
e
st
LTI
h (t )
∞ −∞
y (t ) = H ( s )e st
H ( s ) = ∫ h(t )e dt
定义: 定义
∞ X ( s ) = ∫−∞ x(t )e− st dt = LT {x(t )}
− st
5.1 拉普拉斯变换
一. 定义
e
st
LTI
h (t )
∞ −∞
y (t ) = H ( s )e st
−σ t ∞
f (t )e
−σ t
= FT {F (σ + jω}
−1
1 ∞ + jω t = ∫−∞ F (σ + jω )e dω 2π 1 ∞ (σ + jω t ) f (t ) = dω ∫−∞ F (σ + jω )e 2π 1 σ + j∞ st = ∫σ − j∞ F ( s )e ds 2π
5.4 复频域分析
5.4 复频域分析
5.4 复频域分析
5.4 复频域分析
5.4 复频域分析
5.4 复频域分析
5.4 复频域分析
应用举例： 应用举例： 图示电路，开关动作前已进入稳态， 例 1 ：图示电路，开关动作前已进入稳态，试 求开关打开后电感支路电流和电感两端电压。 求开关打开后电感支路电流和电感两端电压。 解： t<0，开关k闭合，电路稳定，有 ，开关 闭合 电路稳定， 闭合，
基本内容： 拉斯变换的定义(重点 重点)； 基本内容： 1. 拉斯变换的定义 重点 ； 2. 收敛域的概念(难点 ； 收敛域的概念 难点)； 难点 3. 零极点图； 零极点图； 4. 拉斯变换的性质 重点) ； 拉斯变换的性质(重点 重点 5. 系统函数 难点) ； 系统函数(难点 难点 6. 单边拉斯变换 重点)； 单边拉斯变换(重点 ； 重点
e
st
LTI
h (t )
∞ −∞
y (t ) = H ( s )e st
H ( s ) = ∫ h(t )e dt
定义: 定义
∞ X ( s ) = ∫−∞ x(t )e− st dt = LT {x(t )}
− st
5.1 拉普拉斯变换
一. 定义
e
st
LTI
h (t )
∞ −∞
y (t ) = H ( s )e st
−σ t ∞
f (t )e
−σ t
= FT {F (σ + jω}
−1
1 ∞ + jω t = ∫−∞ F (σ + jω )e dω 2π 1 ∞ (σ + jω t ) f (t ) = dω ∫−∞ F (σ + jω )e 2π 1 σ + j∞ st = ∫σ − j∞ F ( s )e ds 2π
5.4 复频域分析
5.4 复频域分析
5.4 复频域分析
5.4 复频域分析
5.4 复频域分析
5.4 复频域分析
5.4 复频域分析
应用举例： 应用举例： 图示电路，开关动作前已进入稳态， 例 1 ：图示电路，开关动作前已进入稳态，试 求开关打开后电感支路电流和电感两端电压。 求开关打开后电感支路电流和电感两端电压。 解： t<0，开关k闭合，电路稳定，有 ，开关 闭合 电路稳定， 闭合，
第五章-拉普拉斯变换
第五章：拉普拉斯变换§5.1 定义、存在性（《信号与系统》第二版（郑君里）4.2）问题的提出：信号()f t 的傅里叶变换存在要求：()[]1L ,f t ∈-∞+∞，但有些信号不绝对可积，例如()1sgn L t ∉。
当时的处理方法是乘以双边指数函数，把符号函数“拉”下来，使相乘以后的信号绝对可积。
(){}(){}||0sgn lim sgn 0t t e t σσσ-→=>F F ，。
因此，便考虑将t e σ-纳入积分核，使非绝对可积信号可以做频谱分析。
为使问题简化，仅考虑t > 0的情形，即因果信号、单边变换。
对因果信号()()()f t f t u t =，(){}()()()j -j 00d d t tttef t f t eet f t e t σωσσω+∞+∞-+--⎡⎤==⎣⎦⎰⎰F()(){}0d stf t e t f t +∞-==⎰L（5-1）定义信号()f t 的（单边）拉普拉斯变换为：()(){}()0d j st F s f t f te t s σω+∞-=+⎰，L（5-2）()()()j j 01d d 2t t t f tef t e t e σωσωωπ+∞+∞-+--∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 令j s σω=+，σ为常数，d jd s ω=()()()j j j 1d 2jt f t F s e s σσωσπ+∞+-∞=⎰()(){}()j 1j 1d 2j stf t F s F s e s σσπ+∞--∞⎰L（5-3）（4-2）式和（4-3）式是一对拉普拉斯变换式，()f t 称为原函数，()F s 称为像函数。
定义（指数阶函数）：指()f t 分段连续（存在有限个第一类间断点），且00M T ∃>>，，使()0t f t Me σ≤，对t T ∀>。
注：()()0O t f t e σ=。
()F s 存在：()F s <∞。
《信号与系统》第五章知识要点+典型例题
是双边拉氏变换收敛域的一种特殊情况。 3、 常用函数单边拉氏变换对 表 5.1 列出了最常使用函数的单边拉氏变换对。 4、单边拉氏变换的主要性质 掌握拉氏变换的性质如图掌握傅里叶变换性质一样重要，应用性质并结合常用函数的 拉氏变换对就可以简便地求复杂信号的拉氏变换，或由复杂象函数求原函数。表 5.2 列出了 最常用的单边拉氏变换的性质。
n
（5.3）
式中， s = pi 为 F ( s ) 的第 i 个单阶实极点，系数 K i 由下式确定
K i = (s - pi ) F (s )
b.
s =p i
（5.4）
F ( s ) 有单阶共轭极点
设 s = -a ± jb 为 F ( s ) 的一对共轭极点。 求逆变换时把 F ( s ) 首先凑成类似余弦函数
2
掌握拉氏变换的重要性质，也应从性质的基本形式、应用该性质的基本思路及应用中 应注意的问题这样三个方面来掌握。许多性质的应用思路及注意的问题都类同傅里叶变换， 这里不再赘述。 表 5.1 编号 1 2 3 4 5 时域函数 f (t ) 常用信号的单边拉氏变换对 （t ³0 ） 象函数 F ( s ) 1
s
¥ s
f ( )d
F ( s ) 为真分式
f ( ) lim sF ( s ),
s0
s 0 在sF ( s )的收敛域内
5、常用的拉氏逆变换的求解方法 逆变换积分公式并不常用于求解拉氏逆变换，而经常使用的有以下几种。 （1） 查表法 若提供拉氏变换对表，可“对号入座” ，一一查找。但应试时，一不提供表， 二不准翻书查看。我们需要记住一些常用信号的拉氏变换对，结合拉氏变换的重要性质，加 以套用，求得拉氏逆变换。 （2） 部分分式展开法 该方法要求 F ( s ) 为有理真分式。若 F ( s ) 为假分式，应先利用多项式相除， 把 F ( s ) 表示成一个多项式加真分式的形式。对于多项式部分，对应的逆变换是非常容易求 得的，它们是冲激函数 (t ) 及其各阶导数项之和。例如
计算机控制课件 第五章 拉普拉斯变换
表照对换变氏拉、三
)t(f �数函像为称又 )s(F 。]) t ( f[L=) s (F 作记 �换变斯拉普拉的)t(f 为)s(F 称
td ) t( f
ts � � 0
。面平复到射映)t(f 把换变氏拉�量变复是 �j � � � s 。数函原为称
在存且�0= ) t ( f 时 0<t 当�) t ( f 数函间时设
8 例——程方数代成换转程方分微把于用�理定分微、2
。
有就�来起合结者两
则�
� 。数常—— 中式 则�
设
性加迭�2�
设
性次齐�1�
。性加迭和性次齐的数函性线从服换变氏拉� �质性性线�理定加迭、1 。化简算运数函的般一使以可则�理定的下以用利
换变斯拉普拉 章五第
页 31 共 页 6 第
义定的换变反氏拉、一 换变反氏拉 节三第
m
) nP � s (�) 2P � s() 1P � s ( � )s( F b� s 1�mb � � � 1�m s 1b � m s 0b
有则�解分式因母分的 )s ( F 将先首�式分分部成写 )s ( F 将了为
m n 1� n 1 0 a � s a � � s a � s a � s A ) ( n 1� n � � )s ( F b� s 1�mb � � � 1�m s 1b � m s 0b )s(B
2� � s
得即
5 � 4
2� � s � )2 � s()3 � s (s � �)2 � s( �� 2 � s � 2s � �
�)2 � s()s( F� � 1A
51 � 8
3� s � � ) 2 ( ) 3 ( s s s � � � �� ) 3 ( s � 2 � s � 2s � �
化工数学-第5章-拉普拉斯变换
t³ 0
证明：
+?
ò L[u(t)] =
u(t)e- ptdt
0
+?
ò =
e- pt dt
0
+?
= - 1 e- pt p
0
=1 p
8
2019/9/9
化工数学-第五章-拉普拉斯变换
②
1 L[t] = p2
ò 证明： L[t] =
+?
te- ptdt
0
ò =
+?
(-
1 )td (e- pt )
所以 L[m!] = L[ f (m) (t)] = pmL[ f (t)]- pm- 1 f '(0) - - f (m- 1) (0)
即
L[m!] = pmL[t m ]
而
L[m!] = m!L[1] = m! p
所以
L[tm ] = m! p m+ 1
2019/9/9
化工数学-第五章-拉普拉斯变换
0
ò 令 u = pt + ? un e- u 1 du
0 pn
p
ò 1
= pn+1
+?
une- udu
0
G(n + 1) = pn+1
n! = pn+1
10
2019/9/9
化工数学-第五章-拉普拉斯变换
④ L[eat ] = 1 p- a
证明：
+?
ò L[eat ] =
eate- pt dt
+?
f (t)e- ptdt
0
0
= pL[ f (t)]- f (0)
证明：
+?
ò L[u(t)] =
u(t)e- ptdt
0
+?
ò =
e- pt dt
0
+?
= - 1 e- pt p
0
=1 p
8
2019/9/9
化工数学-第五章-拉普拉斯变换
②
1 L[t] = p2
ò 证明： L[t] =
+?
te- ptdt
0
ò =
+?
(-
1 )td (e- pt )
所以 L[m!] = L[ f (m) (t)] = pmL[ f (t)]- pm- 1 f '(0) - - f (m- 1) (0)
即
L[m!] = pmL[t m ]
而
L[m!] = m!L[1] = m! p
所以
L[tm ] = m! p m+ 1
2019/9/9
化工数学-第五章-拉普拉斯变换
0
ò 令 u = pt + ? un e- u 1 du
0 pn
p
ò 1
= pn+1
+?
une- udu
0
G(n + 1) = pn+1
n! = pn+1
10
2019/9/9
化工数学-第五章-拉普拉斯变换
④ L[eat ] = 1 p- a
证明：
+?
ò L[eat ] =
eate- pt dt
+?
f (t)e- ptdt
0
0
= pL[ f (t)]- f (0)
第五章 拉普拉斯变换
解： (s) e u(t )e dt es t e( j )t dt F 0
s0t st
0
e
0
( 0 ) t j ( 0 ) t
e
dt
当 0时
F ( s)
1 所以，e u(t ) s s 0
s0t
1 s s0
其中，由于s 2 的极点被 s 2零点所抵消 ， 所以 F ( s)的ROC扩大为 3
L 2. 时移特性: 如果 f (t ) F (s), ROC: R
则 f (t t0 ) e st0 F (s), ROC: Rc R
L
(5.3.2)
例 5.3.3 求 f (t ) u(t kT ) 的拉普拉斯变换。
T
2T
3T
t
图5.3.1 例5.3.3信号波形
3.s域移位特性:
若 f (t ) F (s), ROC: R ，且 s0 0 j0
L
L 则 es t f (t ) F (s s0 ), ROC : Rc R 0
0
(5.3.8)
例5.3.4 求信号 cos(0t )u(t )及sin(0t )u(t ) 的拉普拉斯变 换。 解：
1.拉普拉斯变换的收敛域 积分 F (s)
f (t )e st dt 有界时，
称信号 f (t ) 的拉普拉斯变换收敛
f (t )e t 的傅氏变换的收敛
将上式成立（即拉氏变换收敛）的 的取值范围， 称为拉普拉斯变换的收敛域(region of convergence)， 记为ROC。
1 L u (t ) , 0 s
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2
w p
2
e
- pt
co s w t
0
w p
+
ò
sin w te
0
- pt
dt
=
-
w p
2 2
L [sin w t ] w
L [sin w t ] =
p + w
2
2
•
⑥
L [co s w t ] =
p p + w
2 2
• 证明：
轾 iw t 1 L [co s w t ] = L 犏 ( e + e 犏 2 臌 1 轾 + ? iwt = 犏 蝌 e e 2 犏0 臌
5.1.定义和性质.
• 5.1.1 定义
• 定义：设函数f(t),当t>0时有定义，而且积分 •
+ - pt
ò
f (t )e
0
dt
（其中p是复参量）
• 在p的某一域内收敛，积分所得为p的函数，记为
+
•
F ( p) =
ò
f (t ) e
0
- pt
dt
（定义式） （5-1）
• 则称式（5-1）为函数 f (t ) 的拉普拉斯变换式（简称拉氏 变换），积分式可记为 •
L [ f '( t )] = p F ( p ) f (0 )
• 则有
（5-16）
• 证明：由定义
t?
L [ f '( t ) =
蝌
0
f '( t ) e
- pt + 0
- pt
dt =
0 +
e
- pt
d [ f ( t )] dt
= f (t ) e
+ pò
f (t ) e
0
- pt
= p L [ f ( t )] - f (0 ) = p F ( p ) - f (0 )
= 1
1 p- a
e
- ( p- a )t 0
=
p- a
• ⑤ • 证明：
L [sin w t ] =
w p + w
2 2
+
L [sin w t ] =
ò
1 p
sin w te
0 - pt
- pt
dt w
+
+
= -
e
sin w t
0
+
+
ò p
-
co s w te
0 2 2
- pt
dt
= 0w p \
- 1 - 1 - 1
(5 - 1 4 )
L [ B1 F1 ( p ) + B 2 F 2 ( p )] = B1 L [ F1 ( p )] + B 2 L [ F 2 ( p )]
(5 - 1 5)
• [习题5-1（3）] 求 cos( w t + q ) 的拉氏变换
• 解：
L [co s( w t + q )] = L [co s w t co s q - sin w t sin q ] = co s q L [co s w t ] - sin q L [sin w t ] = co s q p p + w =
致收敛，F(p)为Re(p)＞c上的解析函数。
• 证明：由条件(2)知， 一定存在一个相当大的的正数 T使得
当t＞T时， f ( t ) £ M e
+?
ct
，而
T
蝌
0
f (t )e
- pt
dt =
0
f (t )e
- pt
dt +
T
f (t )e
- pt
dt
• 等式右端的第一项是定积分肯定收敛，第二项
n
( n = 1, 2, )
(5 - 16 b )
• [例5-1] 求函数 f ( t ) = sin w t
• 解：因为 f (0) = 0
2
的拉氏变换
f "( t ) = - w sin w t
2
f '(0) = w
2
L [ f "( t )] = L [- w sin w t ] = - w L [sin w t ]
• 所以
1 1 轾 t L 犏 f (t )d t = L [ f ( t )] = F ( p) ò0 犏 p p 臌
• 证毕
• 重复应用式（5－18）就得到重积分的拉氏变换形式：
轾 t L 犏 dt 蝌 犏0 臌
t
t
•
dt
0 0
f ( t )d t =
1 p
n
F ( p)
（5-19）
• ②拉氏变换式对参数p的积分 • 若 • 则
• 类似可求得
L [co s w t ] =
2
p p + w
2
• •
[例5-2]求函数 解：由于
f (t ) = t
m
的拉氏变换（其中m为正整数）。
( m - 1)
f (0) = f '(0) = = f
(0) = 0 ，而 f
(m )
(t ) = m !
•
• • •
所以
即 而 所以
L [ m !] = L [ f
• 拉氏变换的存在定理—— • 若函数f(t) 满足下列条件： • （1）在t≥0的任一有限区域上分段连续。 • （2）在t充分大后，满足不等式 f ( t ) £ M e （其中M，c都
ct
是实常数）。 • 则 f (t ) 的拉氏变换
t¥
F ( p) =
ò
f (t )e
0
- pt
dt
• 在半平面Re(p)＞c上一定存在（Re(p)是p的实部）且绝对一
2 2
]=
p - w
2
2
2 2
(p + w )
2
• 同理可得
•
L [ t sin w t ] = - L [( - t ) sin w t ] = d dp [ w p + w
2 2
]=
2 pw (p + w )
2 2 2
• 性质3
(积分性质)
• ①函数积分的拉氏变换
• 若
L [ f ( t )] = F ( p )
2 0
p
sin te
- pt
dt
=
1+ e
2
p + 1
+ +
ò
\
3e
p
- pt
dt = -
3 p
e
- pt p
=
3 p
e
- pp
L [ f ( t )] =
1+ e
2
- pp
+
3 p
e
- pp
p + 1
• 性质2
(微分性质)：
• ①函数导数的拉氏变换 • 若
L [ f ( t )] = F ( p )
• 又
L [ f "( t )] = p L [ f ( t )] - pf (0) - f '(0) = p L [sin w t ] - w
2
2
• 两式相等得 - w 2 L [sin w t ] = p 2 L [sin w t ] - w
• 所以
L [sin w t ] = w p + w
2 2
则
d
n n
L [ f ( t )] = F
(n)
( p ) = L [( - t ) f ( t )]
n
dp
（5-17）
• 证明：用归纳法证明。 • 首先看n=1时
F '( p ) =
蝌 dp
0 +
d
+?
f (t ) e
- pt
dt =
0
d dp
[ f (t ) e
- pt
]d t
=
ò
- t ? f (t ) e
• 几个常用函数的拉氏变换：
•
①
L [ u ( t )] =
í0 ï u (t ) = ï ì ï1 ï î
1 p
t< 0 t³ 0
• 式中
称为单位函数。
• 证明：
+
L [ u ( t )] = =
ò ò
u (t )e
0 +
- pt
dt
e
0
- pt
dt
+
= 1 p
1 p
e
- pt 0
=
• ②
L[t ] =
• 推论 •
L[ f
(n)
( t )] = P F ( p ) - p
n
n- 1
f (0) - p
n- 2
f '(0) - - f
( n - 1)
(0)
(5 - 16 a )
• 当
f (0 ) = f '(0 ) = = f
( n - 1)
(0 ) = 0
• 上式变为
L[ f
(n)
( t )] = p F ( p )
证明：
L [ f ( t )] = F ( p )
¥
且
lim
t® 0
f (t ) t
存在
ò
p
轾 (t ) f F (S )dS = L 犏 犏t 臌
w p
2
e
- pt
co s w t
0
w p
+
ò
sin w te
0
- pt
dt
=
-
w p
2 2
L [sin w t ] w
L [sin w t ] =
p + w
2
2
•
⑥
L [co s w t ] =
p p + w
2 2
• 证明：
轾 iw t 1 L [co s w t ] = L 犏 ( e + e 犏 2 臌 1 轾 + ? iwt = 犏 蝌 e e 2 犏0 臌
5.1.定义和性质.
• 5.1.1 定义
• 定义：设函数f(t),当t>0时有定义，而且积分 •
+ - pt
ò
f (t )e
0
dt
（其中p是复参量）
• 在p的某一域内收敛，积分所得为p的函数，记为
+
•
F ( p) =
ò
f (t ) e
0
- pt
dt
（定义式） （5-1）
• 则称式（5-1）为函数 f (t ) 的拉普拉斯变换式（简称拉氏 变换），积分式可记为 •
L [ f '( t )] = p F ( p ) f (0 )
• 则有
（5-16）
• 证明：由定义
t?
L [ f '( t ) =
蝌
0
f '( t ) e
- pt + 0
- pt
dt =
0 +
e
- pt
d [ f ( t )] dt
= f (t ) e
+ pò
f (t ) e
0
- pt
= p L [ f ( t )] - f (0 ) = p F ( p ) - f (0 )
= 1
1 p- a
e
- ( p- a )t 0
=
p- a
• ⑤ • 证明：
L [sin w t ] =
w p + w
2 2
+
L [sin w t ] =
ò
1 p
sin w te
0 - pt
- pt
dt w
+
+
= -
e
sin w t
0
+
+
ò p
-
co s w te
0 2 2
- pt
dt
= 0w p \
- 1 - 1 - 1
(5 - 1 4 )
L [ B1 F1 ( p ) + B 2 F 2 ( p )] = B1 L [ F1 ( p )] + B 2 L [ F 2 ( p )]
(5 - 1 5)
• [习题5-1（3）] 求 cos( w t + q ) 的拉氏变换
• 解：
L [co s( w t + q )] = L [co s w t co s q - sin w t sin q ] = co s q L [co s w t ] - sin q L [sin w t ] = co s q p p + w =
致收敛，F(p)为Re(p)＞c上的解析函数。
• 证明：由条件(2)知， 一定存在一个相当大的的正数 T使得
当t＞T时， f ( t ) £ M e
+?
ct
，而
T
蝌
0
f (t )e
- pt
dt =
0
f (t )e
- pt
dt +
T
f (t )e
- pt
dt
• 等式右端的第一项是定积分肯定收敛，第二项
n
( n = 1, 2, )
(5 - 16 b )
• [例5-1] 求函数 f ( t ) = sin w t
• 解：因为 f (0) = 0
2
的拉氏变换
f "( t ) = - w sin w t
2
f '(0) = w
2
L [ f "( t )] = L [- w sin w t ] = - w L [sin w t ]
• 所以
1 1 轾 t L 犏 f (t )d t = L [ f ( t )] = F ( p) ò0 犏 p p 臌
• 证毕
• 重复应用式（5－18）就得到重积分的拉氏变换形式：
轾 t L 犏 dt 蝌 犏0 臌
t
t
•
dt
0 0
f ( t )d t =
1 p
n
F ( p)
（5-19）
• ②拉氏变换式对参数p的积分 • 若 • 则
• 类似可求得
L [co s w t ] =
2
p p + w
2
• •
[例5-2]求函数 解：由于
f (t ) = t
m
的拉氏变换（其中m为正整数）。
( m - 1)
f (0) = f '(0) = = f
(0) = 0 ，而 f
(m )
(t ) = m !
•
• • •
所以
即 而 所以
L [ m !] = L [ f
• 拉氏变换的存在定理—— • 若函数f(t) 满足下列条件： • （1）在t≥0的任一有限区域上分段连续。 • （2）在t充分大后，满足不等式 f ( t ) £ M e （其中M，c都
ct
是实常数）。 • 则 f (t ) 的拉氏变换
t¥
F ( p) =
ò
f (t )e
0
- pt
dt
• 在半平面Re(p)＞c上一定存在（Re(p)是p的实部）且绝对一
2 2
]=
p - w
2
2
2 2
(p + w )
2
• 同理可得
•
L [ t sin w t ] = - L [( - t ) sin w t ] = d dp [ w p + w
2 2
]=
2 pw (p + w )
2 2 2
• 性质3
(积分性质)
• ①函数积分的拉氏变换
• 若
L [ f ( t )] = F ( p )
2 0
p
sin te
- pt
dt
=
1+ e
2
p + 1
+ +
ò
\
3e
p
- pt
dt = -
3 p
e
- pt p
=
3 p
e
- pp
L [ f ( t )] =
1+ e
2
- pp
+
3 p
e
- pp
p + 1
• 性质2
(微分性质)：
• ①函数导数的拉氏变换 • 若
L [ f ( t )] = F ( p )
• 又
L [ f "( t )] = p L [ f ( t )] - pf (0) - f '(0) = p L [sin w t ] - w
2
2
• 两式相等得 - w 2 L [sin w t ] = p 2 L [sin w t ] - w
• 所以
L [sin w t ] = w p + w
2 2
则
d
n n
L [ f ( t )] = F
(n)
( p ) = L [( - t ) f ( t )]
n
dp
（5-17）
• 证明：用归纳法证明。 • 首先看n=1时
F '( p ) =
蝌 dp
0 +
d
+?
f (t ) e
- pt
dt =
0
d dp
[ f (t ) e
- pt
]d t
=
ò
- t ? f (t ) e
• 几个常用函数的拉氏变换：
•
①
L [ u ( t )] =
í0 ï u (t ) = ï ì ï1 ï î
1 p
t< 0 t³ 0
• 式中
称为单位函数。
• 证明：
+
L [ u ( t )] = =
ò ò
u (t )e
0 +
- pt
dt
e
0
- pt
dt
+
= 1 p
1 p
e
- pt 0
=
• ②
L[t ] =
• 推论 •
L[ f
(n)
( t )] = P F ( p ) - p
n
n- 1
f (0) - p
n- 2
f '(0) - - f
( n - 1)
(0)
(5 - 16 a )
• 当
f (0 ) = f '(0 ) = = f
( n - 1)
(0 ) = 0
• 上式变为
L[ f
(n)
( t )] = p F ( p )
证明：
L [ f ( t )] = F ( p )
¥
且
lim
t® 0
f (t ) t
存在
ò
p
轾 (t ) f F (S )dS = L 犏 犏t 臌