第二讲 集合间的基本关系
集合间的基本关系
1.1.2 集合间的基本关系一、子集，相等集合，真子集的概念1、子集：集合A 为集合B 的子集⇔ ，用数学语言表述是 ，用图形语言表述是：集合A 不为集合B 的子集⇔ ，用数学语言表述是 ，用图形语言表述是：2．集合相等A=B ⇔ ，用数学语言表述是 ，用图形语言表述是：3．真子集A 是B 的真子集⇔ ，用数学语言表述是 ，用图形语言表述是：4．子集与真子集的性质由上面的概念可以得到哪些结论：（1）任何集合是它本身的 ，即 ；（2）对于集合A 、B 、C ，如果,A B ⊆且,B C ⊆那么 ；（3）对于集合A 、B 、C ，如果A B ，且B C ，那么A C ；（4）空集∅是任何集合的 ，是任何非空集合的 。
思考1：分别写出集合{},{,}a a b 和{,,}a b c 的所有子集，并得出子集的个数.从中可得到什么结论？思考2：已知集合A={a ,a ＋b , a ＋2b }，B={a ,a c, a c 2}．若A=B ，求c 的值。
思考3：(1)下列表述正确的是（ ）A ．}0{=∅B ．}0{⊆∅C ．}0{⊇∅D ．}0{∈∅(2)已知集合A ＝{∅，{a}，{b}，{a ，b} }，则下列结论中正确的有 。
A ．∅∈AB ．a ∈AC ．{∅}∈AD ．{a} A二、典例例1、设(,)|1y x A x y y x ⎧=⎫⎧=⎨⎨⎬=+⎩⎩⎭，2(,)|21y x B x y y x ⎧=⎫⎧=⎨⎨⎬=-+⎩⎩⎭，判断集合A 与集合B 的关系。
例2、(1) 设集合P ={m |－1＜m ≤0}，Q ={m ∈R |mx 2+4mx －4＜0对任意实数x 恒成立}，则下列关系中成立的是（ ）A ．P QB ．Q ⊆PC ．P =QD ．Q P(2) 若P ={y |y=x 2, x ∈R}，Q ={(x ，y )|y=x 2 , x ∈R}，则必有（ ）A ． P QB ．P=QC ．P QD .以上都不对例3、已知集合A={x|x 2－3x －10≤0}，集合B={x|p ＋1≤x ≤2p －1}．若BA ，求实数p 的取值范围。
第二讲 集合之间的基本关系及其运算
第二讲 集合之间的基本关系及其运算一．知识盘点知识点一：集合间的基本关系注意：1.A B A B B AA B A B A B A B =⇔⊆⊆⎧⊆⎨⊂⇔⊆≠⎩且且2.涉及集合间关系时，不要忘记空集和集合本身的可能性。
3.集合间基本关系必须熟记的3个结论（1）空集是任意一个集合的子集；是任意一个非空集合的真子集，即,().A B B Φ⊆Φ⊂≠Φ(2)任何一个集合是它自身的子集，空集只有一个子集即本身 （3）含有n 个元素的集合的子集的个数是2n 个，非空子集的个数是21n - ；真子集个数是21n - ，非空真子集个数是22n -。
知识点二：集合的基本运算运算 符号语言 Venn 图 运算性质交集{}|A B x x A =∈∈且x B()(),AB A A B B ⊆⊆ (),AA A AB B A ==A B A A B =⇔⊆ A Φ=Φ并集{}|A B x x A x B =∈∈或()(),A A B B A B ⊆⊆ (),A A A A B B A ==,A B B A B A A =⇔⊆Φ=补集{}|U C A x x U x A =∈∉且,U U C U C U =ΦΦ=()(),U U U C C A A A C A U ==()U AC A =Φ()()()U U U C A B C A C B = ()()()U U U C A B C A C B =二．例题精讲Ep1.下列说法正确的是A. 高一（1）班个子比较高的同学可以组成一个集合B. 集合{}2|,x N x x ∈= 则用列举法表示是{}01，UAC. 如果{}264,2,m m ∈++2， 则实数m 组成的集合是{}-22，D. {}{}(){}222||,|x y xy y x x y y x =====解析：A.与集合的确定性不符；B.对；C.与集合的互异性不符；D 。
{}2|x y x R == ,{}{}2||0y y x y y ==≥ ，(){}2,|x y y x = 是二次函数2y x = 的点集Ep2.已知集合A={}2|1log ,kx N x ∈<< 集合A 中至少有三个元素，则A.K>8B.K ≥ 8C.K>16D.K ≥ 16解析：由题设,集A 至少含有2，3，4三个元素，所以2log 4k> ，所以k>16.Ep3.已知集合M={}{}2|,|,x y x R N x x m m M =∈==∈ ,则集合M 、N 的关系是A.M N ⊂B.N M ⊂C.R M C N ⊆D.R N C M ⊆ 解析：[]1,1M =- ，{}|01N x x =≤≤ ，故选B.Ep4.已知集合M={}0,1 ,则满足M N M = 的集合N 的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 解析：M N M =，故N M ⊆ ,故选D.Ep5已知集合{}{}2|1,|1M x x N x ax ==== ,如果N M ⊆ ,则实数a 的取值集合是{}.1A {}.1,1B - {}.0,1C {}.1,0,1D -解析：{}1,1M =- , N M ⊆,故N 的可能：{}{}{},1,1,1,1Φ-- ，故a 的取值集合{}1,0,1-Ep6.已知集合{}{}2|20180,|lg(3)A x x x B x N y x =-+≥=∈=- ，则集合A B 的子集的个数是解析：{}|02018A x x =≤≤ ，{}{}|3-x>00,1,2B x N =∈= ，故{}0,1,2A B = 故子集个数328=A.4B.7C.8D.16Ep7.已知集合{}{}2|2,|M x x x N x x a =<+=> ，如果M N ⊆ ,则实数a 的取值范围是.(,1]A -∞- .(,2]B -∞ .[2,)C +∞ .[1,)D -+∞解析：{}|12M x x =-<< ，M N ⊆，故1a ≥-Ep8.已知集合{}2|30A x N x x *=∈-< 则满足B A ⊆ 的集合B 的个数是 A.2 B.3 C.4 D.8 解析：{}{}|03=12A x N x *=∈<<， ，故选CEp9.已知集合{}{}|12,|13,M x x N x x M N =-<<=≤≤=则.(1,3]A - B.(1,2]- .[1,2)C D.(2,3]解析：选CEp10.如果集合{}{}(1)2|10,|log 0,x A x x B x -=-≤≤=≤则A B={}.|11A x x -≤< {}.|11B x x -<≤ {}.0C {}.|11D x x -≤≤ 解析：{}10||0111x B x x x x ⎧->⎫⎧==≤<⎨⎨⎬-≤⎩⎩⎭，故选D.Ep11.设集合 {}{}2|11,|,,()R A x x B y y x x A A C B =-<<==∈=则{}.|01A x x ≤< {}.|10.B x x -<< {}|01C x x =<< {}.|11D x x -<<解析：{}|01B y y =≤<，则{}|01R C B y y =<≥或y，(){}{}{}|11|01|10R AC B x x y y y x x =-<<<≥=-<<或 选B.Ep12.已知集合{}{}2|11,|20,A x x B x x x =-<<=--<则 )R C A B =（.(1,0]A - .[1,2)B - .[1,2)C .(1,2]D解析：{}|12B x x =-<< ，{}|11R C A x x x =≤-≥或 (){}|12R C A B x x =≤< ，选C.三．总结提高1.题型归类（1）2个集合之间的关系判断（2）已知2个集合之间的关系，求参数问题 （3）求子集或真子集的个数问题 （4）2个有限集之间的运算（5）1个有限集和1个无限集之间的运算 （6）2个无限集之间的运算（7）已知集合的运算结果，求参数问题 2.方法总结（1）判断集合间关系的方法a.化简集合，从表达式中寻找两个集合之间的关系b.用列举法表示集合，从元素中寻找关系c.利用数轴，在数轴上表示出两个集合（集合为数集），比较端点之间的大小关系，从而确定两个集合之间的关系。
集合间的基本关系-ppt课件
1.集合有哪两种表示方法？
列举法，描述法
2.元素与集合有哪几种关系？
属于、不属于
3.对于集合这个新的研究对象，接下来该如何研究呢？
类比法
问题
• 实数间的基本关系
关系
大小
关系
相等
关系
5<7
5>3
5=5
集 合间的 基本 关系
图示法(Venn图)
常常画一条封闭的曲线，用它的内部表示一个集合．
例如 ,
A B
B
A
人教A版（ 2019） 数学必 修第一 册1.1. 2集合 间的基 本关系 课件( 共16张P PT)
概念理解
问
通过类比实数关系中的性质 “若a b且b a, 则a b"
你能发现集合之间的关系有哪些性质？
(1)任何一个集合是它本身的子集，即 ⊆ ； 反身性
(2)对于集合，，，如果 ⊆ ，且 ⊆ ，那么 ⊆ .
1.2集合间的基本关系
一、教学目标
1.理解集合之间包含与相等的含义，理解子集、真子集的概念，在具体情
境中，了解空集的含义.
2.能识别给定集合的子集，掌握列举有限集的所有子集的方法.
3.能用符号和Venn图表示集合间的关系.
二、教学重难点
1、教学重点
集合之间包含与相等的含义.
2、教学难点
子集、真子集的关系.
图1-1表示任意一个集合A
图1-2表示集合 {1，2，3，4，5}
A
图1-1
1,2,3,4,5
图1-2
优点： 直观，体现了数形结合思想，可以作为同学
们学习集合这一章的辅助手段。
问题 类比实数之间的相等关系、大小关系，集合与集
集合间的基本关系
【对点练清】
1．[变条件]若本例条件“A＝{x|－2≤x≤5}”改为“A＝{x|－2<x<5}”，其他条 件不变，求m的取值范围．
解：①当 B＝∅时，由 m＋1>2m－1，得 m<2. ②当 B≠∅时，如图所示，
m＋1>－2， ∴2m－1<5，
m＋1≤2m－1，
m>－3， 解得m<3，
m≥2，
即 2≤m<3.综上可得，m 的取值范围是{m|m<3}．
A．M＜N
B．M∈N
C．N⊆M
D．M N
解析：∵集合M中的元素都在集合N中，但是M≠N，∴M N.故选D.
答案：D
3．设a∈R，若集合{2,9}＝{1－a,9}，则a＝________.
答案：－1
知识点二 空集
(一)教材梳理填空
定义 记法 规定
特性
[微思考]
我们把 不含任何元素 的集合叫做空集 ∅
含有3个元素：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}． 含有4个元素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}． 含有5个元素：{1,2,3,4,5}． 故 满 足 条 件 的 集 合 M ： {1,2,3} ， {1,2,4} ， {1,2,5} ， {1,2,3,4} ， {1,2,3,5} ， {1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}． [答案] B
当x＝2时，y＝2；当x＝3，y＝－3.
所以{y|y＝－x2＋6，x，y∈N}＝{2,5,6}，
共3个元素，故其真子集的个数为23－1＝7.
答案：C
()
题型二 集合间关系的判断
【学透用活】
(1)在子集的定义中，集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元素，不能理 解为集合 A 是集合 B 的部分元素所组成的集合．因为集合 A 中也可以不含任何 元素；若 A＝B，则集合 A 中含有集合 B 中的所有元素，但此时也可以说集合 A 是集合 B 的子集．
《集合间的基本关系》课件
80%
补集的可分离性
若全集U中存在两个互不重叠的 子集A和B，则它们的补集A'和B' 也是互不重叠的。
补集的应用
集合的划分
通过补集可以将全集划分为若 干个互不重叠的子集，从而实 现对全集的划分。
集合的运算
在集合运算中，补集的概念可 以用于简化运算过程，例如在 集合的交、并、差等运算中， 可以通过补集来消除某些元素 。
并集的性质
01
并集具有交换律，即 A∪B=B∪A。
02
03
并集具有结合律，即 (A∪B)∪C=A∪(B∪C) 。
并集的补集律表明，如 果M是全集U，那么 A∪(M-A)=M。
04
并集的幂等律表明， A∪A=A。
并集的应用
并集在数学、逻辑和计 算机科学中都有广泛的 应用。
在集合运算中，并集用 于组合多个集合，满足 某些条件或属性的元素 。
假设A={a, b, c, d}，B={b, c, e, f}， 则A∩B={b, c}。
交集的性质
01
02
03
04
空集与任何集合的交集是空集 ：即A∩∅=∅。
空集与任何集合的交集是空集 ：即A∩∅=∅。
空集与任何集合的交集是空集 ：即A∩∅=∅。
空集与任何集合的交集是空集 ：即A∩∅=∅。
交集的应用
超集是指一个集合包含另一个集合的所有元素，即如果集合A中的 所有元素都属于集合B，则称集合B为集合A的超集。
03
集合间的相等关系
相等关系的定义
相等关系
如果两个集合A和B的元素完全相同，即A=B，则称集合A与B具有 相等关系。
相等的定义
对于任意两个集合A和B，如果A中的每一个元素都是B中的元素， 且B中的每一个元素都是A中的元素，则称A与B相等，记作A=B。
优秀教案2-集合间的基本关系
1.1.2 集合间的基本关系教材分析集合语言是现代数学的基本语言，可以简洁、准确地表达数学内容,是学习后续知识的基础.本节课是集合章节的第二课，了解集合之间包含与相等的含义,理解子集与真子集的概念,是本章中的主要内容之一.课时分配 1课时教学目标重点: 集合间的包含与相等关系，子集与其子集的概念.难点: 属于关系与包含关系的区别.知识点: 了解集合之间包含与相等的含义,理解子集、真子集的概念.能力点:分类讨论思想的运用.教育点: 能利用Venn 图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用.自主探究点:例题及变式中解题思路的获取.考试点:包含关系中含参问题的求解.易错易混点:忽视空集.拓展点:实数间可以运算,集合间是否也能运算.教具准备 教学案、三角板课堂模式一、引入新课:探究1：实数有相等、大小关系，如5=5，5＜7，5＞3等等，类比实数之间的关系，观察下面几个例子，你能发现两个集合间有什么关系吗？（1）{1,2,3},{1,2,3,4,5}A B ==；(2)设A 为枣庄三中高一年级男生的全体组成的集合，B 为枣庄三中高一年级学生的全体组成的集合；(3)设{|},{|};C x x D x x ==是两条边相等的三角形是等腰三角形【设计意图】通过几组实例，体会集合间的包含关系，引出子集、真子集、相等概念.二、探究新知1． 子集：对于两个集合A ，B,如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集, 记作：()A B B A ⊆⊇或.读作：A 包含于B(或B 包含A). 探究2：与实数中的结论“若,,a b b a a b ≥≥=且则”相类比，在集合中，你能得出什么结论?2． 集合相等：如果集合A 是集合B 的子集,且集合B 是集合A 的子集，则集合A 与集合B 中的元素是一样的，因此集合A 与集合B 相等.(即若A B B A ⊆⊆且，则A=B)如（3）中的两集合C=D .图 1 图2BC （D ）3． 真子集：若集合A B ⊆，但存在元素,x B x A ∈∉且，则称集合A 是集合B 的真子集，记作： A B. 读作：A 真包含于B （或B 真包含A ）. 如：（1）和（2）中 A B.4． 空集：不含任何元素的集合称为空集，记作：∅.用适当的符号填空：∅{}0； 0 ∉ ∅；5． 几个重要的结论：（1） 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.（2） 任何一个集合是它本身的子集；（3） 对于集合A ，B ，C ，如果A B ⊆，且B C ⊆，那么A C ⊆.三、理解新知含参数问题时，空集是学生容易忽略的问题，养成优先考虑空集的好习惯，至关重要.四、运用新知例1．写出集合{a ,b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集.解：集合{a ,b}的所有子集为{}{}{},,,,a b a b ∅，真子集为{}{},,a b ∅.【设计意图】概念运用,培养学生按照一定的规律列举问题的良好习惯.练习1完成课本第7页练习1，2,3.【设计意图】进一步巩固所学例2 已知集合A ＝{x |1<ax <2}，B ＝{x ||x |<1}，满足A ⊆B ，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝0时，A ＝∅，满足A ⊆B .(2)当a >0时，A ＝⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<a x a x 21|.∵A ⊆B ，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-≥1211a a∴a ≥2(3)当a <0时，A ＝⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<a x a x 12|.∵A ⊆B ，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≥≤1211a a∴a ≤－2.综合(1)(2)(3)知，a 的取值范围{a |a ≤－2或a ＝0或a ≥2}．【设计意图】利用分类讨论解决问题；通过实例提示学生考虑包含关系时勿忘对空集的讨论.练习2 已知A ＝{x |0652=+-x x }，B ＝{x |1=mx }，若 B A ，求实数m 所构成的集合M . 答案:⎭⎬⎫⎩⎨⎧=31,21,0M【设计意图】由学生独立完成,提高学生的独立解题能力.例3 已知集合A ＝{2，,x y }，B ＝{2x ,2，2y }且A ＝B ，求,x y 的值． 答案： ,x y 的取值为⎩⎨⎧==10y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2141y x【设计意图】通过实例,提示学生解决集合问题,勿忘集合元素互异性要求.练习3 含有三个实数的集合可表示为⎭⎬⎫⎩⎨⎧1,,a b a ，也可表示为{2a ，a ＋b ，0}，求a ，b . 答案：a ＝－1，b ＝0【设计意图】由学生独立完成,提高学生的独立解题能力.五、课堂小结 教师提问：本节课我们学习了哪些知识，涉及到哪些数学方法？学生：知识上: 1、子集、真子集、集合相等的含义. 2、空集的含义与表示.思想上: 归纳、分类讨论的数学思想教师： 我们这节课学习了集合之间的关系，这要与上节课学习的集合与元素的关系区别开来.集合与元素是“属于”“不属于”的关系，而集合与集合是“包含于”“不包含于”的关系；另外在含参问题求解中大家不要忘记对空集的讨论.六、布置作业1.阅读教材67P P -2.书面作业（1）必做题:课本12P 习题1.1 A 组 5（2）选做题:1).下列命题中正确的个数是( A )①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；A ．0B ．1C ．2D ．32).下列结论正确的是（ C ）.A.∅A B. {0}∅∈ C. {1,2}Z ⊆ D. {0}{0,1}∈3).设{}{}1,A x x B x x a =>=>，且A B ⊆，则实数a 的取值范围为（ B ）.A. 1a <B. 1a ≤C. 1a >D. 1a ≥4).若2{1,2}{|0}x x bx c =++=，则（ A ）.A. 3,2b c =-=B. 3,2b c ==-C. 2,3b c =-=D. 2,3b c ==-5).已知集合A ＝{x |a －1≤x ≤a ＋2}，B ＝{x |3<x <5}，则能使A ⊇B 成立的实数a 的取值范围是( B )A ．{a |3<a ≤4}B ．{a |3≤a ≤4}C ．{a |3<a <4}D ．∅6).在以下六个写法中：①{0}∈{0,1}；②∅={0}；③{0，－1,1}⊆{－1,0,1}；④0∈∅；⑤Z ＝{正整数}；⑥{(0,0)}＝{0}，其中错误写法的个数是( C )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个8).若B ＝{0,1,2,3,4,7,8}，C ＝{0,3,4,7,9}，则满足A ⊆B ，A ⊆C 的集合A 有___16__个．9).设M ＝{x |210x -=}，N ＝{x |01=-ax }，若N ⊆M ，则a 的值为 ±1或0． 10).已知集合{}{}25,821A x x B x m x m =-<≤=-≤<-且A B ⊆，求实数m 的取值范围. 答案：实数m 的取值范围{}36m m <≤11)．设集合A ＝{1，a ，b }，B ＝{a ，2a ，ab }，且A ＝B ，求实数b a , 的值． 答案: a ＝－1，b ＝0 12)．设集合A ＝{x |2560x x -+=}，B ＝{x |22(21)0x a x a a -+++= }，若B ⊆A ，求a 的值．答案:a ＝23.预习任务:根据下列预习提纲预习1.1.3集合间的运算.(1)．一般地，由所有属于 的元素组成的集合，称为集合A 与集合B 的并集，记作A ∪B (读作“A 并B ”)，即A ∪B ＝ ．(2)．由属于 的所有元素组成的集合，称为集合A 与B 的交集，记作A ∩B ，读作A 交B ，即A ∩B ＝(3)．A ∩A ＝____，A ∪A ＝____，A ∩∅＝ ，A ∪∅＝(4)．若A ⊆B ，则A ∩B ＝__ __，A ∪B ＝__ __.(5)．A ∩B A ，A ∩B B ，A A ∪B ，A ∩B A ∪B .【设计意图】作业1是引导学生先复习,再作业,培养学生良好的学习习惯.书面作业的必做题,是为了让学生掌握基本的知识，达成本节课的教学目标.选做题难度递进,供学有余力的同学,加深理解,提高解题的能力.预习作业的安排是为了培养学生预习的习惯,为下一节课的学习打下必备的基础. 七、教后反思1.本教案的亮点是例题覆盖全面，变式与例题衔接好，有讲有练，课后题针对例题，有助于学生掌握知识.预习提纲任务明确.2.本节课的弱项是课容量大,例2难度高，在新授课中还要降低难度，照顾绝大多数学生的发展.八、板书设计 1.1.2集合间的基本关系1.子集：2.真子集： 例1： 例3：记作： 记作:图示： 图示：2.集合的相等： 4.空集： 例2：图示： 记作：注：。
02集合间的基本关系(学生)
11.设集合 A={-1,1},集合 B={x|x2-2ax+b=0},若 B≠ ,B⊆A,求 a,b 的值.
12.已知集合 A={x|1≤x≤2},B={x|1≤x≤a,a≥1}. (1)若 A B,求 a 的取值范围. (2)若 B⊆A,求 a 的取值范围.
3
四、本小节课后练习（45 分钟）
4.空集：不含任何元素的集合为空集，记作. 例 3：判断：(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)集合{0}是空集.( ) (2)集合{x|x2+1=0,x∈R}是空集.( ) (3)空集没有子集.( )
1
二、集合间关系具有的性质
1.任何一个集合是它本身的子集，即 A⊆A. 2.对于集合 A，B，C，如果 A⊆B，且 B⊆C,那么 A⊆C. 3.空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集. 4.一般地，集合 A 含有 n 个元素，则 A 的子集共有 2n 个，A 的真子集共有 2n－1 个. 例 4：(1)写出集合{a，b}的所有子集；
02 集合间的基本关系 一、基本概念
1. 子集：一般地，对于两个集合 A、B，如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B 的元素，称集合 A 是集合 B 的子集，记作 AB 或 B⊇A。读作“A 包含于 B”或“B 包含 A”。 Venn 图表示：
例 1：A＝{1，2，3}，B＝{1，2，7}，C＝{1，2，3，4，5}则有：AC，而 B ⊄ C。
B.M={(0,1)},N={(1,0)}
C.M={(0,1)},N={(x,y)|x=0 且 y=1} D.M={π},N={3.14}
6.已知集合 A={2,9},B={m2,2}，若 A=B,则实数 m 的值为( )
A.3
B.2
第02讲 1.2集合间的基本关系(教师版)
第02讲 1.2集合间的基本关系课程标准学习目标①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集、真子集;②理解与掌握空集的含义，在解题中把握空集与非空集合、任意集合的关系。
1．能利用集合间的包含关系解决两个集合间的问题。
2． 在解决集合问题时，易漏集合的特殊形式，比如集合是空集时参数所具备的意义。
3. 能利用Venn 图表达集合间的关系。
4.判断集合之间的关系时，要从元素入手。
知识点01：venn 图（韦恩图）在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为Venn 图。
Venn 图和数轴一样，都是用来解决集合问题的直观的工具。
利用Venn 图，可以使问题简单明了地得到解决。
对Venn 图的理解(1)表示集合的Venn图的边界是封闭曲线,它可以是圆、椭圆、矩形,也可以是其他封闭曲线.(2)用Venn 图表示集合的优点是能够呈现清晰的视觉形象,即能够直观地表示集合之间的关系,缺点是集合元素的公共特征不明显.知识点02：子集1子集：一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集（1）记法与读法：记作A B ⊆(或B A ⊇)，读作“A 含于B ”(或“B 包含A ”)（2）性质：①任何一个集合是它本身的子集，即A A ⊆.②对于集合A ，B ，C ，若A B ⊆，且B C ⊆，则A C ⊆（3）venn 图表示：2集合与集合的关系与元素与集合关系的区别符号“⊆”表示集合与集合之间的包含关系,而符号“Δ表示元素与集合之间的从属关系.【即学即练1】（2024·全国·高三专题练习）写出集合{,}a b 的所有子集．【答案】{}{}{},,,,a b a b f 【详解】集合{,}a b 的所有子集有：{}{}{},,,,a b a b f 知识点03：集合相等一般地,如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素,同时集合B 的任何一个元素都是集合A 的元素,那么集合A 与集合B 相等,记作A B =.也就是说,若A B ⊆,且B A ⊆,则A B =.（1）A B =的venn 图表示（2）若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关【即学即练2】（2024秋·辽宁沈阳·高一沈阳二中校考阶段练习）下面说法中不正确的为（ ）A ．{}{}1||1x x y y x y +==+=B ．(){}{},2||2x y x y x x y +==+=C ．{|2}{|2}x x y y >=>D ．{}{}1,22,1=【答案】B【详解】对于A ，因{}1|R x x y +==，{}1|R y x y ==+，即{}{}1||1x x y y x y +==+=，A 正确；对于B ，因集合(){},2|x y x y +=的元素为有序数对，而{}2|x x y +=的元素为实数，两个集合的对象不同，B 不正确；对于C ，因集合{|2}x x >与{|2}y y >都表示大于2的数形成的集合，即{|2}{|2}x x y y >=>，C 正确；对于D ，由列举法表示集合知{}{}1,22,1=正确，D 正确.故选：B知识点04：真子集的含义如果集合A B ⊆，但存在元素x B Î，且x A ∉，我们称集合A 是集合B 的真子集;（1）记法与读法：记作A B Ü，读作“A 真包含于B ”(或“B 真包含A ”)【即学即练3】（2024·全国【答案】7【详解】由{}a {,,M a b ⊆M 中的元素个数多于{}a 中的元素个数，不多于因此M 中的元素来自于b ,c,d 即在b ,c,d 中取1元素时，M 故足条件：{}a {,,M a b ⊆故答案为：7.{}{}Ì，故③正确，④错误，正确的个数为2.11,2,3故选：B题型01 判断两个集合的包含关系【详解】由题意知，，M xì=【典例1】（2024·陕西咸阳·统考三模）设集合*{|13}A x N x =Î-<£，则集合A 的真子集个数是（ ）A ．6B ．7C ．8D ．15【答案】B【详解】因为*{|13}A x N x =Î-<£，【典例1】（多选）（2024·全国·高三专题练习）已知集合{17}A xx =-££∣，{221}B x a x a =+££-∣，若使B A ⊆成立的实数a 的取值集合为M ，则M 的一个真子集可以是（ ）A ．{4}x x £∣B ．{3}xx £∣C ．{|34}x x <£D ．{|45}x x £<【答案】BC【详解】由题意集合{17}A xx =-££∣，{221}B x a x a =+££-∣，因为B A ⊆，所以当B =∅时，221a a +>-，即3a < ；当B ≠∅时，有12217a a -£+£-£ ，解得34a ££，故(,4]M =-¥,则M 的一个真子集可以是(,3]-¥或(]3,4，故选：BC.【典例2】（2024·高一课时练习）设{1,2}A =，{|}B x x A =⊆若用列举法表示，则集合B 是________.【答案】{∅，{1}，{2}，{1,2}}【详解】由题意得，A ＝{1,2}，B ＝{x |x ⊆A }，则集合B 中的元素是集合A 的子集：∅，{1}，{2}，{1,2}，所以集合B ＝{∅，{1}，{2}，{1,2}}，故答案为：{∅，{1}，{2}，{1,2}}.【变式1】（多选）（2024秋·福建宁德·高一福建省霞浦第一中学校考期末）已知集合{2,4}M =，集合M N N ⊆，是{1,2,3,4,5}的真子集，则集合N 可以是（ ）A ．{2,4}B ．{2,3,4}C ．{1,2,3,4}D ．{1,2,3,4,5}【答案】ABC【详解】集合{2,4}M =，集合M N ⊆{1,2,3,4,5}，则集合N 中至少包含2，4两个元素，又不能等于或多于{1，2，3，4，5}中的元素，所以集合N 可以是{2,4},{2,3,4},{1,2,3,4},故选：ABC题型04空集的概念集判断【典例1】（2024·河北·高三学业考试）下列集合中，结果是空集的是( )A ．2{|10}x R x Î-=B ．{|61}x x x ><或C ．22{(,)|0}x y x y +=D ．{|61}x x x ><且【答案】D【详解】A 选项：21{|10}x R x ±ÎÎ-=，不是空集；B 选项：7$Î{x |x >6或x <1}，不是空集；C 选项：(0,0)∈{(x ，y )|x 2+y 2=0}，不是空集；D 选项：不存在既大于6又小于1的数，即：{x |x >6且x <1}=∅.故选：D【典例2】（2024春·宁夏银川·高二银川一中校考期中）下列各式中：①{}{}00,1,2Î；②{}{}0,1,22,1,0⊆；③{}0,1,2∅⊆；④{}0∅=；⑤{}(){}0,10,1=；⑥{}00=.正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【详解】①集合之间只有包含、被包含关系，故错误；②两集合中元素完全相同，它们为同一集合，则{}{}0,1,22,1,0⊆，正确；③空集是任意集合的子集，故{}0,1,2∅⊆，正确；④空集没有任何元素，故{}0∅≠，错误；⑤两个集合所研究的对象不同，故{}(){}0,1,0,1为不同集合，错误；⑥元素与集合之间只有属于、不属于关系，故错误；∴②③正确.故选：B.【变式1】（2024·上海·高一专题练习）下列六个关系式：①{}{},,a b b a =；②{}{},,a b b a ⊆；③{}∅=∅；④{}0=∅；⑤{}0∅⊆；⑥{}00Î．其中正确的个数是（ ）A ．1B ．3C ．4D ．6【答案】C【详解】①正确，集合中元素具有无序性；②正确，任何集合是自身的子集；③错误，∅表示空集，而{}∅表示的是含∅这个元素的集合，所以{}∅=∅不成立.④错误，∅表示空集，而{}0表示含有一个元素0的集合，并非空集，所以{}0=∅不成立；⑤正确，空集是任何非空集合的真子集；⑥正确，由元素与集合的关系知，{}00Î．故选：C.【变式1】（多选）（2024·全国·高一校联考阶段练习）下列关系中正确的是（ ）A ．0Î∅B ．{}∅Î∅C ．{}∅⊆∅D ．{}0∅⊆【答案】BCD【详解】选项A ：空集中没有元素，故A 错误；选项B ：{}∅中只有一个元素∅，故B 正确；选项C ，D ：空集是任意集合的子集，故C ，D 正确故选：BCD题型05 空集的性质及应用【典例1】（2024·全国·高一专题练习）已知集合{|21}M x m x m =<<+，且M =∅，则实数m 的取值范围是____.【答案】m ≥1【详解】∵M ＝∅，∴2m ≥m ＋1，∴m ≥1.故答案为m ≥1【典例2】（2024·高一课时练习）不等式组10(0)0x a a ax ++>ì≠í>î的解集为∅，则实数a 的取值范围是_____________.【答案】{|1}a a £-【详解】解：∵不等式组10(0)0x a a ax ++>ì≠í>î的解集为∅，①当0a >时，由0ax >求得0x >；由10x a ++>，求得1x a >--，故不等式组10(0)0x a a ax ++>ì≠í>î的解集为{|0}x x >≠∅，故不满足条件；②当a<0时，由0ax >求得0x <；由10x a ++>，求得1x a >--，若10a --³，即1a £-时，不等式组10(0)0x a a ax ++>ì≠í>î的解集为∅，满足条件；若10a --<，即01a >>-时，不等式组10(0)0x a a ax ++>ì≠í>î的解集为{|10}x a x --<<≠∅，不满足条件，综上可得实数a 的取值范围是{|1}a a £-，故答案为：{|1}a a £-．【变式1】（2024秋·湖南永州·高一校考阶段练习）若集合{}R 2x a x Σ£ 为空集，则实数a 的取值范围是______.【典例1】（2024·全国·高三专题练习）已知集合{}20,1,A a =，{}1,0,32B a =-，若A B =，则a 等于（ ）A ．1或2B ．1-或2-C ．2D ．1【答案】C【详解】解：因为A B =，所以232a a =-，解得1a =或2a =.当1a =时，21a =，与集合元素互异性矛盾，故1a =不正确.题型08根据集合的包含关系求参数【典例1】（2024·全国·高一专题练习）给定集合{}1,2,3,4,5,6,7,8S =，对于x S Î，如果11x S x S +∉-∉,，那么x 是S 的一个“好元素”，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有_________个．【答案】6【详解】若不含好元素，则集合S 中的3个元素必须为连续的三个数，故不含好元素的集合共有{}{}{}{}1,2,3,2,3,43,4,545,6,5,6,7,6,7,8{},{},,，共有6个.故答案为：6．【典例2】（2024·高一课时练习）设A 是整数集的一个非空子集，对于k A Î，若1k A -∉且1k A +∉，则k 是A 的一个“孤立元”，给定{}1,2,3,4,5,6,7,8,9S =，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有_________个．【答案】7【详解】由集合的新定义知，没有与之相邻的元素是“孤立元”，集合S 不含“孤立元”，则集合S 中的三个数必须连在一起，所以符合题意的集合是{}1,2,3，{}2,3,4，{}3,4,5，{}4,5,6，{}5,6,7，{}6,7,8，{}7,8,9，共7个．故答案为：7.本节重点方法（数轴辅助法）【典例1】（2024·全国·高三专题练习）已知集合{|4A x x =³或}5x <-，{}|13B x a x a =+££+，若B A ⊆，则实数a 的取值范围_________．【答案】{|8a a <-或}3a ³【详解】用数轴表示两集合的位置关系，如上图所示，要使B A ⊆，只需35a +<-或14a +³，解得8a <-或3a ³．所以实数a 的取值范围{|8a a <-或}3a ³.故答案为：{|8a a <-或}3a ³ 综上，实数a 的取值范围为{4a a -或}2a >.本节数学思想方法（分类讨论法）{},|34B A A x x ⊆=-££Q ，213m \-³-且14m +£，解得：13m -≤≤，所以12m -£<,②若B 为空集，符合题意，可得：211m m -³+，解得：2m ³.综上，实数m 的取值范围是1m ³-.故答案为：[)1,-+¥.。
高考数学专项： 集合间的基本关系(讲义)解析版
1.2集合间的基本关系1.子集一般地,对于两个集合A 、B ,如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合A 为集合B 的子集，记作 A B B A 或.读作“A 含于B ”(或“B 包含A ”).2.真子集如果集合B A ,但存在元素A x B x 且,,我们称集合A 是集合B 的真子集，记作BA或A B，读作“A 真含于B 或（B 真包含A ）”3.集合相等如果集合A 是集合B 的子集 B A ,且集合B 是集合A 的子集 A B ,此时,集合A 与集合B 中的元素是一样的,因此,集合A 与集合B 相等,记作A =B .4.空集我们把不含任何元素的集合叫做空集,记为规定： 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集5.集合中元素个数与子集，真子集的关系集合中元素个数子集个数真子集个数1234n例1．已知集合 |05,A x x 且 N x ，则集合A 的子集的个数为（）A ．15B ．16C ．31D ．32【答案】D【分析】先求出集合A 中元素的个数，再利用含有n 个元素的集合的子集个数为2n ，即可求出结果.【详解】因为 |05,A x x 且 N 0,1,2,3,4x ，可知，集合A 中含有5个元素，所以集合A 的子集个数为5232 .故选：D.变式1-1．集合 1，3，7的真子集的个数是（）A ．8B ．7C ．3D ．5【答案】B【分析】根据公式，直接求真子集个数.【详解】集合 1,3,7中有3个元素，所以集合的真子集个数为3217 个.故选：B变式1-2．已知集合 0,1,2,3A ，则含有元素0的A 的子集个数是（）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】D【分析】列出含有元素0的A 的子集，求出答案.【详解】含有元素0的A 的子集有 0， 0,1， 0,2， 0,3， 0,1,2， 0,1,3， 0,2,3，0,1,2,3，故含有元素0的A 的子集个数为8.故选：D.变式1-3．设集合 |M x x A ，且}x B ，若{1,3,5,6,7}A ，{2,3,5}B ，则集合M 的非空真子集的个数为（）A ．4B ．6C ．7D ．15【答案】B【分析】求得集合M ，即可求得结果.【详解】根据题意知，集合{M xx A ∣且}{1,6,7}x B ，其非空真子集的个数为3226 .故选：B例2．符合 ,a b A ,,,a b c d 的集合的个数为（）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【答案】A【分析】根据元素个数求子集的个数，可得答案.【详解】由 ,a b A ,,,a b c d ，设 ,A a b B ，B ,c d ，故B 有3个.故选：A.变式2-1．已知集合M 满足 2,31,2,3,4,5M ，那么这样的集合M 的个数为（）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】C.【详解】因为 2,31,2,3,4,5M ，所以集合M 可以为： 2,3,1,2,3,2,3,4,2,3,5,1,2,3,5，1,2,3,4,2,3,4,5,1,2,3,4,5共8个，故选：C.变式2-2．满足条件 1,2,3,41,2,3,4,5,6M 的集合M 的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【分析】所求集合M 的个数即为{}5,6的子集个数，求解即可.【详解】因为 1,2,3,41,2,3,4,5,6M ，所以集合M 的个数即为{}5,6的子集个数.因为集合{}5,6的子集个数为224 ，所以满足条件的集合M 的个数是4.故选:D.例3．写出集合 3,5,8的所有子集和它的真子集.【答案】答案见解析.【分析】根据子集和真子集的定义进行求解即可.【详解】集合 3,5,8的所有子集为 ,3,5,8,3,5,3,8,5,8,3,5,8 ；集合 3,5,8的所有真子集为 ,3,5,8,3,5,3,8,5,8 .变式3-1．写出下列集合的所有子集：(1) 1；(2) 1,2；(3) 1,2,3．【答案】(1),{1} ；(2),{1},{2},{1,2} ；(3),{1},{2},{3},{1,2},{2,3},{1,3},{1,2,3}.【分析】（1）根据所给集合列出相应子集即可；（2）根据所给集合列出相应子集即可；（3）根据所给集合列出相应子集即可.（1）解：由题得所有子集有,{1} ..（2）解：由题得所有子集有,{1},{2},{1,2}. （3）解：由题得所有子集有,{1},{2},{3},{1,2},{2,3},{1,3},{1,2,3}. 变式3-2．设集合 N|22A x x ，列出集合A 的子集.【答案】A 的子集为 012010212012，，，，，，，，，，，， 【分析】先由条件确定集合A 的元素，再根据子集的定义写出其所有子集.【详解】由 N|22A x x 化简可得 0,1,2A ，所以A 的子集为 012010212012，，，，，，，，，，，， 变式3-3．求集合2{|20}A x x x 的子集和真子集.【答案】子集是 1212 ，，，，，真子集是12 ，，【分析】根据二次方程的解法可得 1,2A ，根据子集和真子集的定义求解即可【详解】集合2|201,2A x x x ，集合 12A ，的子集是 1212 ，，，，，共4个；集合 12A ，的真子集是 12 ，，，共3个.例4．已知集合21,21A a a a ，且2A ；(1)求实数a ；(2)写出A 的所有真子集.【答案】(1)3a (2) ，{2} ，{2}【分析】（1）利用集合与元素的关系求解即可；（2）根据真子集的定义写出A 的所有真子集即可.【详解】（1）因为2A ，所以12a 或2212a a ，当12a ，即1a 时，2212a a 不满足集合元素的互异性；当2212a a 时，解得1a （不满足集合元素互异性舍去）或3，所以当3a 时12a ，{2,2}A ，综上实数3a .（2）由（1）得{2,2}A ，所以A 的所有真子集为 ，{2} ，{2}.变式4-1．已知集合22,25A a a a ，且3A .（1）求a ；（2）写出集合A 的所有子集.【答案】（1）32a ；（2） ，72， 3 ，7,32.【解析】（1）由3A ，求得1a 或32a ，结合元素的特征，即可求解；（2）由（1）知集合7,32A，根据集合子集的概念，即可求解.【详解】（1）由题意，集合22,25A a a a ，且3A ，可得32a 或2325a a ，解得1a 或32a ，当1a 时，22325a a ，集合A 不满足互异性，所以1a 舍去；当32a 时，经检验，符合题意，故32a .（2）由（1）知集合7,32A，所以集合A 的子集是 ，72， 3 ，7,32.【点睛】本题主要考查了利用元素与集合的关系求参数，以及集合的子集的概念及应用，着重考查运算与求解能力，属于基础题.变式4-2．已知集合23,25,0A a a a ，且3A .(1)求实数a 的取值的集合M ；(2)写出（1）中集合M 的所有子集.【答案】(1)31,2M；(2), 1, 3,2 31,2【分析】（1）利用3A 可求出a ，再验证合理性，进一步确定a 值；（2）利用子集的概念作答即可【详解】（1）因为3A ，且23,25,0A a a a ，所以33a 或2253a a ，解得=0a 或1a 或32a ，当=0a 时，2250a a ，集合中出现两个0，故舍去；当1a 时，}4,,{30A ，符合题意；当32a 时，9,3,02A，符合题意；∴实数a 的取值的集合31,2M（2）因为31,2M ，所以集合M 的子集有：, 1, 3,2 31,2例5．已知 ,,1,2,3,5,0,2,4,8,A B A C B C 求A ．【答案】 2或【分析】,A B A C ，则A B C ∩，可得集合A ．【详解】 1,2,3,5,0,2,4,8B C ，则 2B C ，则 2A 或A ．变式5-1．已知集合M 满足关系 ,,,,,a b M a b c d e ，写出所有的集合M ．【答案】答案见解析【分析】根据集合的包含关系，一一列举出符合要求的集合即可【详解】满足条件的集合M 可以是以下集合： ,a b ， ,,a b c ， ,.a b d ， ,,a b e ， ,,,a b c d ，,,,a b c e ， ,,,a b d e ， ,,,,a b c d e ，共8个例6．设22}-}320-20{|{|A x x x B x x ax ，，B A ．(1)写出集合A 的所有子集；(2)若B 为非空集合，求a 的值．【答案】(1) }1212{ ，，，，；(2)3【分析】（1）求解2320x x -即可得{1,2}A ；（2）由B 为非空集合，B A 得{1}B 或{2}或{1,2}，分别将元素代入2-20x ax 解出a 即可.【详解】（1）由2320x x -解得1x 或2x ，则{1,2}A ，故集合A 的子集为： 121,2 ，，，；（2）B 为非空集合，B A 得{1}B 或{2}或{1,2}，由1x 或2x 代入2-20x ax 可得3a ，故a 的值为3.变式6-1．已知2560A x x x ， 6B x ax ，若B A ，求实数a 所构成的集合C ，并写出C 的所有非空真子集．【答案】答案见解析．【分析】求出集合A ，根据包含关系确定集合B ，再由非空真子集定义写出结论．【详解】由已知{2,3}A ，0a 时，B A ，B 时，{2}B 时，26a ，3a {3} B 时，36a ，2a ，综上{0,2,3}C ，C 的所有非空真子集有{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}．变式6-2．已知{|15},{|1},R A x x B x a x a a (1)当N x 时，写出集合A 的所有子集，共有多少个？(2)若B A ，求实数a 的取值范围．【答案】(1)答案见解析；(2)25a .【分析】（1）由集合和子集的概念求解即可；（2）由集合间的关系列出关于a 的不等式，求解即可.（1）当N x 时，{2,3,4}A =,所以集合A 的子集有,{2},{3},{4},{2,3},{2,4},{3,4},{3,4,5} ，所以共有8个子集.（2）因为B A ，所以115a a ，解得25a ，所以实数a 的取值范围为25a ．变式6-3．已知2560A x x x ，20B x x px q ，B A ，且B 不是空集，（1）求集合B 的所有可能情况；（2）求p 、q 的值.【答案】（1） 6B 或 1B 或 6,1B ；（2）1236p q 或21p q 或56p q .【解析】（1）解出集合A ，根据B A 且B 可得出所有可能的集合B ；（2）根据（1）中集合B 所有可能的情况，结合韦达定理可求得p 、q 的值.【详解】（1）25606,1A x x x ∵，B A 且B ，则 6B 或 1B 或 6,1B ；（2）若 6B ，由韦达定理可得2266p q ，解得1236p q ；若 1B ，由韦达定理可得2211p q，解得21p q ；若 6,1B ，由韦达定理可得 6161p q，解得56p q .综上所述，1236p q 或21p q 或56p q .变式6-4．已知集合 1,2,3A ．(1)若M 是A 的子集，且至少含有元素3，写出满足条件的所有集合M ；(2)若 30B x ax ，且B A ，求实数a 的取值集合．【答案】(1) 3， 1,3， 2,3， 1,2,3；(2)30,1,,32.【分析】（1）根据集合包含关系和3M 可直接得到结果；（2）分别在0a 和0a 两种情况下，根据B A 构造方程可求得结果.（1）M A ∵，3M ， M 可能的集合为： 3， 1,3， 2,3， 1,2,3；（2）当0a 时，B ，满足B A ；当0a 时，3a B；若B A ，则31a 或32a 或33a ，解得：3a 或32a或1a ；综上所述：实数a 的取值集合为30,1,,32.例7．判断下列每对集合之间的关系：(1) 2,N A x x k k ， 4,N B y y m m ；(2) 1,2,3,4C ，D ={x x 是12的约数}；(3) 32,N E x x x ， 1,2,3,4,5F .【答案】(1)B A(2)C D (3)EF【分析】（1）分析A ，B 集合中元素的关系，即得解；（2）列举法表示集合D ，即得解；（3）列举法表示集合E ，即得解(1)由题意，任取4y m B ，有2(2),2y m m N ，故y A Î且6,6A B ，故B A(2)由于D ={x x 是12的约数}{1,2,3,4,6,12} 故C D(3)由于 32,N E x x x {|5,}{1,2,3,4}x x x N 故EF 变式7-1．指出下列各组集合A 与B 之间的关系：1 1,1A ，Z B ；2 1,0,1A ，210B x x ；3 1,3,5,15A ， B x x 是15的正约数 ；4*N A ，B N ．【答案】 1A B Ü； 2B A Ü； 3A B ； 4A B Ü.【分析】根据集合与集合间的关系判断即可.【详解】解： 11B ，1B ，但集合B 中的某些元素不属于集合A .所以A B Ü.2由 210B x x ，可求得 1,1B .又由 1,0,1A ，可知B A Ü.3由集合 B x x 是15的正约数 ，可求得 1,3,5,15B ，由于 1,3,5,15A ，则A B .4因为集合A 表示正整数集，集合B 表示自然数集，所以A B Ü.变式7-2．如图，试说明集合A ，B ，C 之间有什么包含关系．【答案】A B C【分析】由图可得答案.【详解】由图可得AB C 故答案为：A B C变式7-3．已知集合 31,A x x m m Z ，集合 32,B x x m m Z ，试证明A B ．【答案】证明见解析【分析】证明A B 且B A ，即得证.【详解】证明：设a A ，则存在1m Z ，使得 1131312a m m ，因为1m Z ，所以11m Z ，因此 1312a m B ，故A B ．设b B ，则存在2m Z ，使得 2232311b m m ，因为2m Z ，所以21m Z ，因此 2311b m A ，故B A ．综上，A B ．变式7-4．指出下列各组中的两个集合A 与B 的关系．（1） 05,N A a a a ， 0123,,,,5,4B ；（2）102,A ，sin 30s90,co B ；（3）{|A x x 是等腰三角形}，{|B x x 是等边三角形}；（4） 21,Z A x x m m ， 21,Z B x x n n ．【答案】（1）A B ；（2）A B ；（3）B A ；（4）A B ．【分析】（1）求出集合A 与集合B 比较即可求解；（2）求出集合B 与集合A 比较即可求解；（3）根据包含关系的定义即可判断；（4）出集合A 与集合B 中的元素即可求解；【详解】（1）因为 05,N 0,1,2,3,4A a a a ， 0123,,,,5,4B ，所以A B ；（2）因为1,1s ,2in 30cos9002B A ，所以A B ；（3）等边三角形一定是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形，所以B 中的元素都在A 中，A 中有元素不在B 中，所以B A ；（4）因为 21,Z A x x m m ， 21,Z B x x n n ，所以集合A 与集合B 中的元素都是全体奇数，所以A B .变式7-5．已知集合{|,}2k A x x kZ ，{|,}2B x x n n Ζ.(1)分别判断元素2 ，20212与集合A ，B 的关系；(2)判断集合A 与集合B 的关系并说明理由.【答案】(1)2A ，2B ，20212A ，20212B ；(2)B A Ü，理由见解析.【分析】（1）根据集合的描述，判断是否存在,Z k n 使2 ，20212属于集合A ，B 即可.（2）法一：由（1）结论，并判断x B 是否有x A ，即知A 与B 的关系；法二：A ={x |x 是2 的整数倍}，B ={x |x 是2的奇数倍}，即知A 与B 的关系；【详解】（1）法一：令22k，得4k Z ，故2A ；令22n ，得52n Z ，故2B .同理，令202122k ，得2021k Z ，故20212A ；令202122n ，得1010n Z ，故20212B .法二：由题意得：{|,}2k A x x kZ ，(21){|,}2n B x x n Ζ又422，故2A ，2B ；20212A ，(210101)2B .（2）法一：由（1）得：2A ，2B ，故A B ；又x B ，00(21)22n x n，由0n Z ，得021k n Z ，故x A ，所以x B ，都有x A ，即B A ，又A B ，所以B A.法二：由题意得{|,}2k A x x kZ ={x |x 是2 的整数倍}，(21){|,}2n B x x n Ζ={x |x 是2的奇数倍}，因为奇数集是整数集的真子集，所以集合B 是集合A 的真子集，即B A.例8．已知集合240A x x ax ， 1,4B ，且A B ，求实数a 的取值范围．【答案】{44aa ∣或5}a 【分析】根据题意分A 和A 讨论，在A 时分集合A 为单元素集和双元素集两种讨论即可.【详解】由题意知A B ∵，若A ，则2440a ，解得44a ，若A ，2160a ，解得4a 或4 ，当4a 时，则方程为2440x x ，解得2x ，此时{2}A ，不合题意，舍去，当4a 时，则方程为2440x x ，解得2x ，{2}A ，不合题意，舍去，当0 ，即2160a ，解得4a 或4a <-，则由题意知{1,4}A ，则1,4为方程240x ax 两根，根据韦达定理得145a ，综上所述a 的范围是{44aa ∣或5}a .变式8-1．已知集合 2|260,|20M x x x N x ax ，且N M ，求实数a 的值.【答案】40,,13【分析】根据题意分0a 与0a ，结合N M ，分别讨论计算，即可得到结果.【详解】因为N M ，当0a 时，N ，符合题意；当0a 时，2N a，而 23|260,22M x x x ，所以232a 或22a ，解得43a 或1a .所以a 的取值为40,,13变式8-2．已知集合22|10,|20A x x B x x ax b ，若B ，且A B ，求实数,a b 的值．【答案】11a b 或11a b 或01a b 【分析】先求得集合A ，然后根据A B 进行分类讨论，由此求得,a b 的值.【详解】210x -=，解得1x 或=1x ，所以 1,1A ，依题意B ，且A B ，22440,a b a b .①当 1B 时，1(1)21(1)a b ，∴11a b；②当 1B 时，11211a b ，∴11a b；③当 1,1B 时，11211a b ，∴01a b．综合得11a b 或11a b 或01a b ．变式8-3．若集合 2|60A x x x ，{|10}B x mx ，且B A ，求实数m 的值.【答案】13m 或12m 或0m 【分析】分0m 和0m 两种情况讨论，结合已知即可得解.【详解】2|603,2A x x x ，当0m 时，B A ，当0m 时，1{|10}B x mx m，因为B A ，所以13m 或12m，所以13m 或12，综上所述，13m 或12m 或0m .变式8-4．已知集合 2|560A x x x ，2|50B x x x a .若B A ，求实数a 的取值范围.【答案】6a 或254a .【分析】由题意，求得 2,3A ，再根据B A ，结合韦达定理分B 和B 两种情况讨论即可求出答案．【详解】由2|560A x x x ，则 2,3A .2|50B x x x a ∵，B 为方程250x x a 的解集.①若B ，则B A ，2B 或 3B 或 2,3B ，当 2B 时250x x a 有两个相等实根，即12122,45x x x x 不合题意，同理3B ，当 2,3B 时，235,236,a 符合题意；②若,B 则Δ2540a ，即254a ，综上所述，实数a 的取值范围为6a 或25.4a变式8-5．已知222|280,|120A x x x B x x ax a .(1)若A B ，求a 的值；(2)若B A ，求实数a 的取值范围.【答案】(1)2(2)4a 或4a <-或2a .【分析】（1）先求出集合A ，再利用条件A B ，根据集合与集合间的包含关系，即可求出a 值；（2）对集合B 进行分类讨论：B 和B ，再利用集合与集合间的包含关系，即可求出a 的范围；【详解】（1）由方程228=0x x ，解得2x 或4x 所以 2,4A ，又A B ，22120B x x ax a ，所以 2,4B ，即方程22120x ax a 的两根为12x 或24x ，利用韦达定理得到：24a ，即2a ；（2）由已知得 2,4A ，又B A ，所以B 时，则224(12)0a a ，即2160a ，解得4a 或4a <-；当B 时，若B 中仅有一个元素，则224(12)0a a ，即2160a ，解得4a ，当4a 时， 2B ，满足条件；当4a 时， 2B ，不满足条件；若B 中有两个元素，则B A ，利用韦达定理得到，224(2)412a a ，解得2a ，满足条件.综上，实数a 的取值范围是4a 或4a <-或2a .变式8-6．已知m 为实数，210A x x m x m ， 10B x mx ．(1)当A B 时，求m 的取值集合；(2)当B A 时，求m 的取值集合.【答案】(1)1(2)0,1 【分析】（1）分1m 、1m 两种情况讨论，求出集合A ，根据A B 可得出关于m 的等式，即可求得实数m 的值；（2）分1m 、0m 、1m 且0m 三种情况，求出集合A 、B ，根据BA 可得出关于m的等式，即可解得实数m 的值.【详解】（1）解：因为 211x m x m x x m ，所以当1m 时， 1A ，当1m 时， 1,A m ．又A B ，所以1m ，此时 1B ，满足A B ．所以当A B 时，m 的取值集合为 1．（2）解：当1m 时， 1A B ，BA 不成立；当0m 时， 1,0A ，B ，B A 成立；当1m 且0m 时，1B m ， 1,A m ，由B A ，得1 m m，所以1m ．综上，m 的取值集合为 0,1 ．变式8-7．已知集合2320A x x x ，集合 10B x mx .(1)求A ；(2)若B A ，求实数m 的取值集合.【答案】(1)1,2A (2)10,,12【分析】（1）解A 中的一元二次方程即可；（2）分B 和B ，即分0m 和0m 讨论即可.【详解】（1）2320x x ，解得1x 或2，故 1,2A .（2）①当B 时，0m 符合；②当B 即0m 时，则1B m，由B A 可得11m 或2，解得12m 或1综上m 的取值集合为10,,12.变式8-8．设集合2{|320}A x x x ， 2{|10}B x x m x m .(1)若B 中有且只有一个元素，求实数m 的值；(2)若B A 求实数m 的值.【答案】(1)1(2)m ＝1或m ＝2【分析】（1）解法一：利用十字相乘法解方程，由题意，可得答案；解法二：根据二次方程根的判别式，结合题意，建立方程，可得答案；（2.【详解】（1）解法一：因为 210x m x m ，整理可得 10x x m ，解得=1x 或x m ，又B 中只有一个元素，故1m .解法二：B 中有且只有一个元素，所以方程 2 10x m x m 有唯一实根，从而22(1)4(1)0m m m ，所以m ＝1.（2）由2320x x ，解得=1x 或2x ，由 210x m x m ，整理可得 10x x m ，解得=1x 或x m ，B ⊆A ，当m ＝1时，B ＝{﹣1}，满足B ⊆A ，当m ＝2时，B ＝{﹣1，﹣2}同样满足B ⊆A ，故m ＝1或m ＝2.例9．已知集合 22A x x ， 21C x a x a ，若C A ，求a 的取值范围．【分析】分C 和C 两种情况讨论，当C 时，利用数轴列出不等式组即可.【详解】当C 时，21a a ，解得1a ，当C 时，因为C A ，则212212a a a a，解得11a ，综上1a .变式9-1．已知R,{|17},{|23}U A x x B x a x a ，若B A ，求满足条件的a 的取值范围．【答案】,31,2 【分析】对B 分类讨论，利用集合的包含关系列不等式组，即可求解.【详解】当B 时，满足B A ，此时，有23a a ，解得：3a ；当B 时，要使B A ，只需231237a a a a，解得：12a .所以实数a 的取值范围为 ,31,2 .变式9-2．已知集合24}|A x x｛，{|23}B x a x a .若B A ，求实数a 的取值范围.【答案】4,3【分析】利用集合间的包含关系，列出不等式即可求解.【详解】因为B A ，所以分B 和B 两种情况：①当B 时，则23a a ，解得：1a ，②当B 时，则232234a a a a ，解得：413a ，综上，实数a 的取值范围为4,3．变式9-3．设集合 116,11A x x B x m x m .(1)当x Z 时，求A 的非空真子集的个数；(2)若B A ，求m 的取值范围.(2)1,4 【分析】（1）由题得 252,1,0,1,2,3,4,5A x x 即可解决.（2）根据B A 得，1512m m 即可解决.【详解】（1）由题知， 25A x x ，当x Z 时， 252,1,0,1,2,3,4,5A x x 共8个元素，A 的非空真子集的个数为822254 个；（2）由题知， 116,11A x x B x m x m 显然11m m ，因为B A ，所以1512m m，解得14m ，所以实数m 的取值范围是 1,4 .变式9-4．已知集合 |4228A x k k ， |B x k x k ，(1)若A B ，求实数k 的取值范围；(2)若B A ，求实数k 的取值范围.【答案】(1)4k (2)8k 【分析】根据集合之间的包含关系，建立不等式组，解得答案.【详解】（1）因为A B ，①当A 时：4228k k ，即3k 符合题意；②当A 时，42282842k k k k k k，34k ，综上所述：4k .（2）因为B A ，①当B 时，A ，4228k k k k ，解得0 3k k，无解，②当B 时，2842k k k k k k 或2842k k k k k k，888k k k 或，，综上所述：8k .变式9-5．已知集合A ＝{x |﹣2≤x ≤5}．(1)若B ⊆A ，B ＝{x |m +1≤x ≤2m ﹣1}，求实数m 的取值范围；(2)若A ⊆B ，B ＝{x |m ﹣6≤x ≤2m ﹣1}，求实数m 的取值范围；(3)若A ＝B ，B ＝{x |m ﹣6≤x ≤2m ﹣1}，求实数m 的取值范围．【答案】(1)(,3](2)[3,4](3)m【分析】（1）根据B ⊆A 分B 或 两种情况进行解答即可；（2）借助于子集概念得到两集合端点值的关系，求解不等式得到m 的范围；（2）借助于相等集合的概念得到两集合端点值的关系，求解等式得到m 的范围．（1）集合A ＝{x |﹣2≤x ≤5}，B ＝{x |m +1≤x ≤2m ﹣1}，由B ⊆A 得21512121m m m m或B ，即21512121m m m m或m +1＞2m ﹣1，解得2≤m ≤3或m ＜2，所以实数m 的取值范围是(,3] ；（2）集合A ＝{x |﹣2≤x ≤5}，B ＝{x |m ﹣6≤x ≤2m ﹣1}，由A ⊆B 得62215621m m m m，解得3≤m ≤4，所以实数m 的取值范围是[3，4]；（3）集合A ＝{x |﹣2≤x ≤5}，B ＝{x |m ﹣6≤x ≤2m ﹣1}，由A ＝B 得62215m m ，无解，所以实数m ．变式9-6．设全集U R ，集合 |15A x x ，集合 |212B x a x a ，其中a R ．(1)若A B ，求a 的取值范围；(2)若B A ，求a 的取值范围【答案】(1) 2,a ；(2) ,1a ．【分析】（1）根据A B .（2）根据B A ，分B 与B 进行讨论，列出不等式，即可得到结果.（1）因为A B ，所以21121252a a a a a，即a 的取值范围是 2,a ；（2）因为B A ，若B ，则11223a a a ；若B ，则125212111312213a aa a aa a a，综上所述： ,1a ．。
集合2 集合间的基本关系
集合2 集合间的基本关系基本概念一、子集、真子集、集合相等已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n个子集，它有21n -个真子集，它有21n-个非空子集，它有22n-非空真子集. 三、空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 注：元素与集合的关系“∈”，集合与集合的关系“⊆” 相关练习题型一 包含关系、子集和真子集 一、选择题1. 下列四个命题：① ；②空集没有子集；③任何一个集合必有两个或两个以上的子集；④空集是任何一个集合的子集．其中正确的是 A. 个B. 个C. 个D. 个2. 有下列四个关系式：① ；② ；③ ；④ .其中正确的有A. ①②B. ①③C. ①④D. ②④3. 如果集合 ，那么：① ；② ；③ ；④ ；⑤其中正确的个数为A. B. C. D.4. 集合，，之间的关系是A. B. C. D.5. 设集合，，则A. B.C. D. 与的关系不确定6. 设，，则下列关系正确的是 ( )A. B.C. D. 与没有公共元素7. 若集合，，满足，，则与之间的关系为A. B. C. D.8. 已知集合，，若，则A. B. C. 或 D. 或9. 设集合，若，则m= ( )A. 3B. 2C. -2D. -310. 集合，，若，且，则的取值为A. B. C. 或 D. 或11. 已知集合，，若，则实数的取值范围是A. B.C. D.12. 已知集合，则能使成立的实数的范围是 ( )A. B.C. D.二、填空题13. 已知集合，集合，若则实数．14. 若集合，，若，则的值．15. 已知集合，或，若，则的取值范围为．16. 集合，．若且为非空集合，则实数的取值范围是．三、解答题17. 设，，若，求实数的取值范围．18.已知集合，，若，求实数的取值范围．19.已知集合，，且，求实数的值组成的集合．20.已知集合，，若，求实数的取值范围．21.已知，，，求的取值范围．22.设集合，，若，求实数的值．题型二集合相等、元素的个数一、选择题1. 下列选项中的与相等的是A. ，B. ，C. ，D. ，2. 下列各组两个集合和，表示同一集合的是 ( )A.B.C.D.3. 下列命题正确的个数为 ( )① ，，则；② ；③；④ ．A. B. C. D.4. 下列结论正确的个数为 ( )①集合，集合是的正因数，与是同一个集合；②集合与集合是同一个集合；③由，，，，这些数组成的集合有个元素；④集合是指第二和第四象限内的点集．A. B. C. D.5. 满足条件的集合的个数是A. B. C. D.6. 已知集合，且中至少有一个奇数，则这样的集合共有A. 个B. 个C. 个D. 个7. 若集合，且中至少含有一个奇数，则这样的集合有A. 个B. 个C. 个D. 个8. 已知集合，集合，若，则A. ，B. ，C. ，D. ，二、填空题（共4小题；共20分）9. 已知，，若，则．10. 若集合含有两个元素，，集合含有两个元素，，且，相等，则．11. 若，则，，．12. 已知，，且，则，，．题型三空集一、选择题1. 下列四个集合中，是空集的是A. B. 且C. D.2. 下列集合中，是空集的是A.B.C.D.3. 下列集合中为空集的是 ( )A. B.C. D.4. 若非空数集，，则能使成立的所有的集合是 ( )A. B.C. D.二、解答题5. 已知集合．Ⅰ若是空集，求的取值范围；Ⅱ若中只有一个元素，求的值；Ⅲ若中至多有一个元素，求的取值范围．6. 已知集合，，且，求实数的值组成的集合．题型一答案1. B2. A3. A4. C5. B6. B7. D8. C9. D 10. B 11. C 12. B13. 14. = 15. 或 16.17. 或．18. 因为，且，所以① 当时，，可得，所以；② 当时，，解得，此时符合，所以；③ 当时，，解得，此时不符合，舍去；④ 当时，由根与系数的关系得此时无解．综上，，即的取值范围为．19. ，若，；若，，由得，或．解得或，因此实数的值组成的集合是：．20. 因为，当时，即，得，满足．当时，要使，必须解得综上所述，的取值范围为．21. 当，即时，，满足，即；当，即时，，满足，即；当，即时，由得，即；所以．22. ．因为，所以或．（1）当时，即，则，是方程的两根，代入解得．（2）当时，分两种情况：① 若，则，解得；② 若，则方程有两个相等的实数根，所以，解得，此时，满足条件．综上可知，所求实数的值为或．题型二答案1. C2. C3. B4. A5. C6. D7. D8. C9. 10. 11. ；； 12. ；；题型三答案1. B2. D3. C4. B5. （1）是空集，方程无实数根，，且，解得．即的取值范围为．（2）中只有一个元素，方程只有一个实数根．若，方程为，解得，此时；若，则，即，解得．或．（3）中至多有一个元素包含中只有一个元素和是空集两种情况，由（1）（2）可知的取值范围为或．6. ，若，；若，，由得，或．解得或，因此实数的值组成的集合是：．。
1.2集合间的基本关系
1.2集合间的基本关系
集合间的基本关系包括包含关系、相等关系和互斥关系。
首先，包含关系指的是一个集合中的所有元素都属于另一个集合，这种关系通常用符号“⊆”来表示。
例如，如果集合A包含于集合B，则可以表示为A⊆B。
其次，相等关系指的是两个集合具有相同的元素，即彼此相互包含，通常用符号“=”来表示。
例如，如果集合A和集合B具有相同的元素，则可以表示为A = B。
最后，互斥关系指的是两个集合没有共同的元素，即它们之间没有交集，通常用符号“∩”来表示。
例如，如果集合A和集合B 没有共同的元素，则可以表示为A∩B = ∅。
这些基本关系在集合论中具有重要的意义，可以帮助我们理解集合之间的包含、相等和互斥关系，从而更好地进行集合运算和推理。
1.2集合间的基本关系 课件(共20张PPT)
新知探究1：子集
子集的定义： 一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任 意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包 含关系，称集合A为集合B的子集. 记作：A B (或B A ). 读作：“A包含于B” (或“B包含A”). 符号语言：任意x A，有x B, 则A B.
新知探究1：子集
人教版数学课本必修一 第一章 第二节
集合间的基本关系
复习引入
1.集合中元素的三大特性：确定性 、互异性、无序性．
2.元素与集合的关系
意义
读法 符号表示
a 是集合 A 的元素 a 属于集合 A a∈A
a 不是集合 A 的元素 a 不属于集合 A a A
3.常用数集的表示
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
表示 N
N 或N
Z
Q
R
4.集合的表示法：列举法 、描述法．
新知探究1：子集
思考1：两个实数之间有相等关系，大小关系，如5=5，5＜7，5＞3， 等等.类比两个实数之间的关系，你会想到集合之间有什么关系呢？
新知探究1：子集
观察下面三组集合，类比实数之间的相等关系、大小关系，你能 发现下面两个集合之间的关系吗？
(× ) (× ) (√ )
新知探究2：集合的相等
第三组集合
③ A={x| x是两条边相等的三角形}, B={x | x是等腰三角}. 集合A中的元素和集合B中的元素相同，集合A与集合B相等
思考2：能否仿照实数中的结论“若a ≥b,且b ≥a,则a=b ”， 用集合的语言描述集合A和集合B相等?
a ≥b
BHale Waihona Puke Ab ≥aA Ba=b
A= B
新知探究2：集合的相等
第二节 集合间的基本关系(必修1第一章)
第二节集合间的基本关系知识清单1.集合间的基本关系图2.空集（1）一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为：∅．（2）规定：空集是任何集合的子集（空集是任何非空集合的真子集）．3.子集个数问题若集合A 中含有n 个元素，则集合A 的子集个数为：n 2；真子集个数为：12-n ；非空真子集个数为：22-n ．题型训练题型一集合间的关系判断1．已知集合}01{2=-=x x A ，下列式子表示不正确的是（）A ．A∈1B ．A∈-}1{C ．A⊆∅D ．A⊆-}11{，2．若集合}1{>=x x A ，则满足A B ⊆的集合B 可以是（）A ．}32{，B ．}2{≤x x C ．}210{，，D ．}1{≥x x 3．若集合}{}{22x y y Q x y x P ====，，则P 与Q 的关系为（）A ．Q P ⊆B ．PQ ⊆C ．QP =D ．以上都不对4．若集合}214|{}412|{Z k k x x N Z k k x x M ∈+==∈+==，，则（）A ．NM =B ．NM ⊆C ．MN ⊆D ．以上都不对5．若集合}14{}12{Z n n x x B Z n n x x A ∈±==∈+==，，，，则（）A ．B A ∈B ．BA ≠⊂C ．BA =D ．AB ≠⊂6．下列六个关系式：①}{}{a b b a ，，=；②}{}{a b b a ，，⊆；③}{∅=∅；④∅=}0{；⑤}{∅⊆∅；⑥}0{0⊆．其中正确的有题型二集合的子集、真子集个数7．已知集合}321{，，=A ，则集合A 的真子集个数为（）A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个8．已知集合}6543{，，，⊆A ，且A 中至少含有一个奇数，则这样的集合A 有（）A ．10个B ．12个C ．13个D ．14个9．若}54321{}21{，，，，，⊆⊆A ，则满足条件的集合A 有（）A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个10．集合}{c b a ，，的子集的个数为，真子集的个数为，非空真子集的个数为11．已知集合}012{2=++=x ax x A 有且仅有两个子集，则=a 12．已知A 为非空集合，且}54321{，，，，⊆A ，则满足条件“若A a ∈，则A a ∈-6”的集合A 的个数为题型三由集合间的关系求参数（不等式含参）13．已知集合}21{≤≤=x x A ，}{a x x B ≥=，若B A ⊆，则a 的取值范围是（）A ．1≤a B ．1<a C ．2≤a D ．2<a 14．已知集合}52{≤≤-=x x M ，}126{-≤≤-=m x m x N ，若N M ⊆，则m 的取值范围是（）A ．43<<m B ．43≤≤m C ．32<<m D ．32≤≤m 15．集合}42{≤≤=x x A ，}4{a x a x B <<=，若B A ⊆，则a 的取值范围是16．已知非空集合}5312{-≤≤+=a x a x A ，}223{≤≤=x x B }，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是17．已知集合}121{}52{-≤≤+=≤≤-=m x m x B x x A ，，若A B ⊆，求m 的取值范围.18．已知集合}22{}91{2a x a x B x x A +<<-=<<=，，若A B ≠⊂，求a 的取值范围.题型四由集合间的关系求参数（方程含参）19．已知集合}06{2=-+=x x x A ，}01{=+=mx x B ，且A B ⊆，则=m 20．已知集合}43{，-=A ，}02{2=+-=q px x x B 且∅≠B ，若A B ⊆，求q p ，的值综合训练1．满足条件}654321{}321{，，，，，，，≠⊂≠⊂M 的集合M 的个数是（）A ．8B ．7C ．6D ．52．集合}4590{Z k k x x M ∈︒±⋅︒==，，}9045{Z k k x x N ∈︒±︒⋅==，，则（）A ．NM =B ．NM ≠⊂C ．MN ≠⊂D ．以上都不对3．已知}0158{2=+-=x x x A ，}01{=-=ax x B ，若A B ⊆，则=a （）A ．31B ．51C ．31或51D ．31或51或04．已知集合}1{}21{2a a B a A -==，，，，，若A B ⊆，则=a 5．已知}10{-=，，a A ，}11{，，ba b c B ++=，且B A =，则=a ，=b 6．已知}51{≥-≤=x x x A 或，}4{+≤≤=m x m x B ，若A B ⊆，则m 的取值范围是7．已知集合}1{}2111{2c c B b b A ，，，，，=++=，若B A =，则=c 8．设集合}321{n S n ，，，，⋅⋅⋅=，若X 是n S 的子集，我们把X 中所有元素的和称为X 的容量（规定空集的容量为0），若X 的容量为奇（偶）数，则称X 为n S 的奇（偶）子集，则4S 的奇子集有个9．集合}022{2=+-=x ax x A ，集合}023{2=+-=y y y B ，如果B A ⊆，求实数a 的取值集合．10．已知}1{}032{2a x x B x x x A <-=<--=，．（1）若B A ⊆，求实数a 的取值范围；（2）若A B ⊆，求实数a 的取值范围．第二节集合间的基本关系参考答案题型一集合间的关系判断1-5B ，A ，B ，B ，C6.①②⑤题型二集合的子集、真子集个数7-9C ，B ，D10．8、7、611．0或112．7题型三由集合间的关系求参数13-14A ，B15．21<<a 16．96≤≤a 17．3≤m 18．1≤a 题型四由集合间的关系求参数19．31210或或-=m 20．93=-=q p ，或164==q p ，或1221-==q p 综合训练1-3C ，B ，D4．0或15．21-==b a ，6．55≥-≤m m 或7．21-8．89．210≥=a a 或10．（1）2≥a （2）2≤a。
第2讲.集合间的基本关系解析版
第2讲 集合间的基本关系你能发现下面这两个集合之间的关系么？{}1,2,3,A =，{}1,2,3,4,5B =1. 子集：一般地，对于两个集合,A B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，就称集合A 是集合B 的子集，记作A B ⊆（或B A ⊇），读作“A 包含于B ”（或“B 包含A ”）.（反面：⊆/与⊇/）我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn 图（如下图所示）:2. 集合相等：如果集合A 是集合B 的子集，且集合B 是集合A 的子集，则集合A 和集合B 中的元素是一样的，因此集合A 与集合B 相等，记作A B =.3. 真子集：若集合A B ⊆，但存在元素x B ∈，且x A ∉，就称集合A 是集合B 的真子集，记作A ⫋B （或B ⫋A ），读作“A 真包含于B ”（或“B 真包含A ”）.4. 空集：不含任何元素的集合称为空集，记作∅.规定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集.例1. 用适当的符号填空：①0 {}0,1； ②∅ {}210x R x ∈+= ； ③{}1,8- Z ； ④{}0,2 {}22x x x = ；⑤0 ∅； ⑥N + {}x x 是正数 ； ⑦∅ {}1； ⑧{}1,2 {}2,1.【答案】①∈；②=；③⊆；④=；⑤∉；⑥⊆；⑦⊆；⑧=.【解析】元素与集合间的关系分为“属于∈”与“不属于∉”两种，集合间的关系分为“包含于⊆”与“相等=”两种.例2. 下列表述正确的是（ ）A.{}0∅=B.{}0∅⊆C.{}0∅∈D.{}0∅⊇【答案】B【解析】空集是任何集合的子集，所以A 、D 错误，B 正确；集合之间不存在“属于∈”关系，C 错误.例3. 写出下列集合的所有子集：（1）{}1A =；（2）{}1,2B =；（3）{}1,2,3C =；（4）{}1,2,3,4D =.【答案】（1）{},1∅；（2）{}{}{},1,2,1,2∅；（3）{}{}{}{}{}{}{},1,2,3,1,2,1,3,2,3,1,2,3∅；（4）{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{},1,2,3,4,1,2,1,3,1,4,2,3,2,4,3,4,1,2,3,1,2,4,1,3,4,2,3,4,1,2,3,4∅结论：若一个集合包含n 个元素，则其子集数为 个，其真子集数为 个.【答案】2,21n n -.例4. 已知集合M 满足{}{}1,21,2,3,4,5M ⊆⊆，写出集合M 的所有可能情况.【答案】{}{}{}{}{}{}{}{}1,2,1,2,3,1,2,4,1,2,5,1,2,3,4,1,2,3,5,1,2,4,5,1,2,3,4,5.例5.(1) 已知集合{}1,2A =，{}B x x A =∈，试用列举法写出集合B ，并指出A 与B 的关系；(2) 已知集合{}1,2A =，{}B x x A =⊆，试用列举法写出集合B ，并指出∅与B ，A 与B 的关系.【答案】（1）{}1,2B =，A B =；（2）{}{}{}{},1,2,1,2B =∅，B ∅∈且B ∅⊆，A B ∈.【解析】（1）由于B 中的元素x 都是A 中的元素，所以{}1,2,3B =，A B =；（2）由于B 中的元素是x 且x A ⊆，所以B 中的元素是集合，并且是A 的子集，所以{}{}{}{},1,2,1,2B =∅.B ∅∈，因为∅是B 中的元素；同时B ∅⊆，因为空集是任何集合的子集.A 是B 中的元素，所以A B ∈.例6.(1) 若集合{}260A x x x =+-=，{}10B x mx =+=，B 是A 的真子集，求m 的值. （2）设集合{}240A x x x =+=，(){}222110B x x a x a =+++-=，若B A ⊆，求实数a 的取值范围.【答案】（1）11023m =-或或；（2）{}11a a a ≤-=或. 【解析】（1）{}{}2603,2A x x x =+-==-， B ⫋A ，10mx ∴+=的解为3-或2或无解.当10mx +=的解为3-时，由()310m ⋅-+=得13m =； 当10mx +=的解为2时，由210m ⋅+=得12m =-； 当10mx +=无解时，0m =. 综上所述，11023m =-或或； （2）{}{}2404,0A x x x =+==-，B A ⊆，B A ∴=或B ⫋A .当B A =，即{}4,0B =-时，则4-，0是方程()222110x a x a +++-=的两根，由韦达定理得()24021401a a ⎧-+=-+⎪⎨-⨯=-⎪⎩，解得1a =； 当B ⫋A 时，分两种情况：①若B =∅，则()()2241410a a ∆=+--<，解得1a <-； ②若B ≠∅，则方程()222110x a x a +++-=有两个相等的实数根，()()2241410a a ∴∆=+--=，解得1a =-，此时{}{}200B x x ===，满足题意. 综上所述，a 的取值范围为{}11a a a ≤-=或.例7.(1) 己知集合{}15A x x =-<≤，{}51B x m x m =-<≤+，且A B ⊆，则实数m 的取值范围为________.(2) 已知集合{}15A x x =-<≤，{}523x m x m -<≤+，且A B ⊆，则实数m 的取值范围为__________.(3) 已知集合{}15A x x =-<≤，{}523B x m x m =-<≤+，且A B ⊇，则实数m 的取值范围为__________.【答案】（1）{}4；（2）{}14m m ≤≤；（3）{}8m m ≤-.【解析】（1）由已知条件得5115m m -≤-⎧⎨+≥⎩，解得4m =，所以m 的取值范围为{}4； （2）由已知条件得51235m m -≤-⎧⎨+≥⎩，解得14m ≤≤，所以m 的取值范围为{}14m m ≤≤； （3）{}15A x x =-<≤，{}523B x m x m =-<≤+，且A B ⊇，∴当B =∅时，523m m -≥+，解得8m ≤-；当B ≠∅时，52351235m m m m -<+⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩无解； 综上所述，m 的取值范围为{}8m m ≤-.跟踪训练1. 已知集合{}12A x a x a =-≤≤+，{}35B x x =<<，则使A B ⊇成立的实数a 的取值范围为（ ） A.{}34a a <≤ B.{}34a x ≤≤ C.{}34a a << D.∅【答案】C【解析】由已知条件得1325a a -≤⎧⎨+≥⎩，解得34m ≤≤，故选C.2. 对于集合,A B ，“A B ⊆”不成立的含义是（ ）A.B 是A 的子集B.A 中的元素都不是B 的元素C.A 中最少有一个元素不属于BD.B 中至少有一个元素不属于A【答案】C 【解析】“A B ⊆”成立的含义是集合A 中的任何一个元素都是B 的元素，∴不成立的含义是A 中至少有一个元素不属于B .3. 若集合{}2320A x ax x =-+=中只有一个元素，则实数a =（ ） A.92 B.98 C.0 D.0或98【答案】D【解析】依题意方程2320ax x -+=只有一个解，当0a =时，方程为320x -+=，只有一个解23x =，满足题意； 当0a ≠时，则980a ∆=-=，98a =. 综上所述，908a =或，故选D.4. 集合{}26,,A x x y x N y N ==-+∈∈的真子集个数为__________. 【答案】7 【解析】{}{}26,,6,5,2A x x y x N y N ==-+∈∈=，所以其真子集个数为7.5. 设集合{}12A x x =≤≤，{}B x x a =≥，若A B ⊆，则实数a 的取值范围__________. 【答案】{}1a a ≤6. 设集合{}1,2,A a =，{}21,B a a =-，若B A ⊆，求实数a 的值. 【答案】1-或0【解析】依题意22a a -=或a ，当22a a -=时，解得1a =-或2；当2a a a -=时，解得0a =或2，{}1,2,A a =，1a ∴≠且2a ≠，1a ∴=-或0.7. 已知集合{}27A x x =-≤≤，{}121B x m x m =+<<-，若B A ⊆,求实数m 的取值范围. 【答案】{}4m m ≤. 【解析】{}27A x x =-≤≤，{}121B x m x m =+<<-，且B A ⊆，∴当B =∅时，121m m +≥-，解得2m ≤；当B ≠∅时，12112217m m m m +<-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，解得24m <≤， 综上所述，m 的取值范围为{}4m m ≤.8. 集合{}21,M x x a a N *==+∈，{}245,P x x a a a N *==-+∈，则下列关系中，正确的是（ ）A.M ⫋PB.P ⫋MC.P M =D.无法确定两者关系 【答案】A【解析】{}{}221,1,1M x x a a N x x a a a Z *==+∈==+≥∈且， {}(){}{}22245,21,1,1P x x a a a N x x a a N x x b b b Z **==-+∈==-+∈==+≥-∈且， 所以M ⫋P ，选A.9. 已知(){}21,A x x n n Z π==+∈，(){}41,B y y k k Z π==±∈，则下列关系中，正确的是（ ）A.A ⫋BB.A B =C.B ⫋AD.无法确定两者关系 【答案】B【解析】若x A ∈，则()21,x n n Z π=+∈，当2,n k k Z =∈时，()41x k B π=+∈；当21,x k k Z =-∈时，()41x k B π=-∈，所以A B ⊆.若x B ∈，则()41,x k k Z π=±∈，当()41x k π=+时，()21,2x n n k Z π=+=∈，所以x A ∈；当()41x k π=-时，()21,21x n n k Z π=+=-∈，所以x A ∈，所以B A ⊆.综上所述，A B =，故选B.10. 设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，若1k A -∉且1k A +∉，则k 是A 的一个“孤立元”，给定{}1,2,3,4,5,6,7,8,9S =，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 个.【答案】7【解析】依题意可知，没有与之相邻的元素是“孤立元”，S 不含“孤立元”说明S 中的三个数必须连在一起，所以符合题意的集合是{}1,2,3，{}2,3,4，{}3,4,5，{}4,5,6，{}5,6,7，{}6,7,8，{}7,8,9共7个.11. 已知集合{}1,2A =-，{}220B x x ax b =-+=.若B ≠∅且B ⫋A ，试求实数,a b 的值. 【答案】11a b =-⎧⎨=⎩或24a b =⎧⎨=⎩. 【解析】{}1,2A =-，B ≠∅且B ⫋A ，{}1B =-或{}2B =.当{}1B =-时，()()()222401210a b a b ⎧∆=--=⎪⎨--⋅-+=⎪⎩，解得11a b =-⎧⎨=⎩；当{}2B =时，()222402220a b a b ⎧∆=--=⎪⎨-⨯+=⎪⎩，解得24a b =⎧⎨=⎩. 综上所述，11a b =-⎧⎨=⎩或24a b =⎧⎨=⎩.。
1.1.2 集合间的基本关系
1．1.2 集合间的基本关系一、子集1、定义：一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含包含关系，称集合A 为集合B 的子集2、记法与读法：记作B A ⊆(或A B ⊇)，读作“A 含于B ”(或“B 包含A ”)3、结论(1)任何一个集合是它本身的子集，即A A ⊆.(2)对于集合A ，B ，C ，若A ⊆B ，且B ⊆C ，则C A ⊆4、对子集概念的理解(1)集合A 是集合B 的子集的含义是：集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，即由x ∈A 能推出x ∈B .例如{0,1}⊆{－1,0,1}，则0∈{0,1},0∈{－1,0,1}．(2)如果集合A 中存在着不是集合B 的元素，那么集合A 不包含于B ，或B 不包含A .此时记作A B 或B ⊉A .(3)注意符号“∈”与“⊆”的区别：“⊆”只用于集合与集合之间，如{0}⊆N.而不能写成{0}∈N ，“∈”只能用于元素与集合之间．如0∈N ，而不能写成0⊆N.二、集合相等1、集合相等的概念如果集合A 是集合B 的子集(A ⊆B )，且集合B 是集合A 的子集(B ⊆A )，此时，集合A 与集合B 中的元素是一样的，因此，集合A 与集合B 相等，记作B A =.2、对两集合相等的认识(1)若A ⊆B ，又B ⊆A ，则A ＝B ；反之，如果A ＝B ，则A ⊆B ，且B ⊆A .这就给出了证明两个集合相等的方法，即欲证A ＝B ，只需证A ⊆B 与B ⊆A 同时成立即可．(2)若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关.三、真子集1、定义：如果集合A ⊆B ，但存在元素A x ∈，且B x ∈，我们称集合A 是集合B 的真子集2、记法与表示：3、对真子集概念的理解(1)在真子集的定义中，A B 首先要满足A ⊆B ，其次至少有一个x ∈B ，但x ∉A .(2)若A 不是B 的子集，则A 一定不是B 的真子集.四、空集1、定义：我们把不含任何元素的集合，叫做空集2、记法：∅3、规定：空集是任何集合的子集，即∅⊆A4、特性：(1)空集只有一个子集，即它的本身，∅⊆∅(2)A ≠∅，则∅真包含A5、∅与{0}的区别(1)∅是不含任何元素的集合；(2){0}是含有一个元素的集合，∅{0}．题型一、集合间关系的判断例1、(1)下列各式中，正确的个数是( B )①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③∅⊆{0,1,2}；④∅＝{0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0} A．1B．2 C．3 D．4题型二、有限集合子集的确定例2(1)集合M＝{1,2,3}的真子集个数是()A．6 B．7 C．8 D．9(2)满足{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}的集合M有________个．[解析](1)集合M的真子集所含有的元素的个数可以有0个，1个或2个，含有0个为∅，含有1个有3个真子集{1}，{2}，{3}，含有2个元素有3个真子集{1,2}{1,3}和{2,3}，共有7个真子集，故选B.(2)由题意可得{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}，可以确定集合M必含有元素1,2，且含有元素3,4,5中的至少一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：含有三个元素：{1,2,3}{1,2,4}{1,2,5}；含有四个元素：{1,2,3,4}{1,2,3,5}{1,2,4,5}；含有五个元素：{1,2,3,4,5}．故满足题意的集合M共有7个．公式法求有限集合的子集个数(1)含n个元素的集合有2n个子集．(2)含n个元素的集合有(2n－1)个真子集．(3)含n个元素的集合有(2n－1)个非空子集．(4)含有n个元素的集合有(2n－2)个非空真子集．(5)若集合A有n(n≥1)个元素，集合C有m(m≥1)个元素，且A⊆B⊆C，则符合条件的集合B有2m－n个．[活学活用]非空集合S⊆{1,2,3,4,5}且满足“若a∈S，则6－a∈S”，则这样的集合S共有________个．解析：由“若a∈S，则6－a∈S”知和为6的两个数都是集合S中的元素，则()集合S中含有1个元素：{3}；集合S中含有2个元素：{2,4}，{1,5}；集合S中含有3个元素：{2,3,4}，{1,3,5}；集合S中含有4个元素：{1,2,4,5}；集合S中含有5个元素：{1,2,3,4,5}．故满足题意的集合S共有7个．题型三、集合间关系的应用例3、已知集合A＝{x|x<－1或x>4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B⊆A，求实数a的取值范围．[解]当B＝∅时，只需2a>a＋3，即a>3；当B ≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋3≥2a ，a ＋3<－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3≥2a ，2a >4，解得a <－4或2<a ≤3.综上可得，实数a 的取值范围为a <－4或a >2.[活学活用]1、已知集合A ＝{x |1<ax <2}，B ＝{x |－1<x <1}，求满足A ⊆B 的实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝0时，A ＝∅，满足A ⊆B .(2)当a >0时，A ＝{x |1a <x <2a}．又∵B ＝{x |－1<x <1}且A ⊆B ， 如图作出满足题意的数轴：∴⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，1a≥－1，2a ≤1，∴a ≥2. (3)当a <0时，A ＝{x |2a <x <1a } ∵A ⊆B ，如图所示， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，2a≥－1，1a ≤1，∴a ≤－2.综上所述，a 的取值范围是{a |a ＝0或a ≥2或a ≤－2}．2、已知集合A ＝{x |x 2＋4x ＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，a ∈R}，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．解：A ＝{x |x 2＋4x ＝0}＝{0，－4}，∵B ⊆A ，∴B ＝∅或B ＝{0}或B ＝{－4}或B ＝{0，－4}．(1)当B ＝∅时，方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0无实根，则Δ<0，即4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0.∴a <－1.(2)当B ＝{0}时，有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝0，a 2－1＝0，∴a ＝－1.(3)当B ＝{－4}时，有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝0，a 2－8a ＋7＝0，无解． (4)当B ＝{0，－4}时，由韦达定理得a ＝1.综上所述，a ＝1或a ≤－1.课堂练习1．给出下列四个判断：①∅＝{0}；②空集没有子集；③任何一个集合必有两个或两个以上的子集；④空集是任何一个集合的子集．其中，正确的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：由空集的性质可知，只有④正确，①②③均不正确．答案：B2．已知A ＝{x |x 是菱形}，B ＝{x |x 是正方形}，C ＝{x |x 是平行四边形}，那么A ，B ，C 之间的关系是 ( B )A ．A ⊆B ⊆C B ．B ⊆A ⊆C C ．A B ⊆CD ．A ＝B ⊆C3．已知集合A ＝{－1,3，m}，B ＝{3,4}，若B ⊆A ，则实数m ＝________.解析 ：∵B ⊆A ，B ＝{3,4}，A ＝{－1,3，m}∴m ∈A ，∴m ＝4.答案：44．集合A ＝{x|0≤x<3且x ∈N}的真子集的个数为________．解析：由题意得A ＝{0,1,2}，故集合A 有7个真子集．答案：75．已知集合A ＝{x|1≤x ≤2}，B ＝{x|1≤x ≤a}．(1)若A 是B 的真子集，求a 的取值范围；(2)若B 是A 的子集，求a 的取值范围；(3)若A ＝B ，求a 的取值范围．解：(1)若A 是B 的真子集，即A B ，故a>2.(2)若B 是A 的子集，即B ⊆A ，则a ≤2.(3)若A ＝B ，则必有a ＝2.课时跟踪检测(三) 集合间的基本关系一、选择题1．已知集合A ＝{x |x ＝3k ，k ∈Z }，B ＝{x |x ＝6k ，k ∈Z }，则A 与B 之间最适合的关系是( )A ．A ⊆BB ．A ⊇BC ．A BD ．A B2．已知集合M ＝{x |－5<x <3，x ∈Z }，则下列集合是集合M 的子集的为( )A．P＝{－3,0,1}B．Q＝{－1,0,1,2}C．R＝{y|－π<y<－1，y∈Z}D．S＝{x||x|≤3，x∈N}3．已知集合P＝{x|x2＝1}，Q＝{x|ax＝1}，若Q⊆P，则a的值是( ) A．1 B．－1C．1或－1 D．0,1或－14．已知集合A⊆{0,1,2}，且集合A中至少含有一个偶数，则这样的集合A的个数为( ) A．6 B．5C．4 D．35．已知集合M＝{(x，y)|x＋y<0，xy>0}和P＝{(x，y)|x<0，y<0}，那么( ) A．P M B．M PC．M＝P D．M P二、填空题6．已知M＝{y|y＝x2－2x－1，x∈R}，N＝{x|－2≤x≤4}，则集合M与N之间的关系是________．7．图中反映的是“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”这四个文学概念之间的关系，请作适当的选择填入下面的空格：A为________；B为________；C为________；D为________．8．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值构成的集合为________．三、解答题9．已知A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，且B⊆A，求实数a组成的集合C.10．设集合A＝{x|－1≤x＋1≤6}，B＝{x|m－1<x<2m＋1}．(1)当x∈Z时，求A的非空真子集的个数；(2)若A⊇B，求m的取值范围．答 案课时跟踪检测(三)1．选D 显然B 是A 的真子集，因为A 中元素是3的整数倍，而B 的元素是3的偶数倍．2．选D 先用列举法表示集合，再观察元素与集合的关系．集合M ＝{－2，－1,0,1}，集合R ＝{－3，－2}，集合S ＝{0,1}，不难发现集合P 中的元素－3∉M ，集合Q 中的元素2∉M ，集合R 中的元素－3∉M ，而集合S ＝{0,1}中的任意一个元素都在集合M 中，所以S ⊆M ，且S M .故选D.3．选D 由题意，当Q 为空集时，a ＝0；当Q 不是空集时，由Q ⊆P ，a ＝1或a ＝－1.4．选A 集合{0,1,2}的子集为：∅，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，其中含有偶数的集合有6个．故选A.5．选C ∵⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y <0，xy >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x <0，y <0. ∴M ＝P .6．解析：∵y ＝(x －1)2－2≥－2，∴M ＝{y |y ≥－2}．∴N M .答案：N M7．解析：由Venn 图可得AB ，CD B ，A 与D 之间无包含关系，A 与C 之间无包含关系．由“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”四个文学概念之间的关系，可得A 为小说，B 为文学作品，C 为叙事散文，D 为散文．答案：小说 文学作品 叙事散文 散文8．解析：因为集合A 有且仅有2个子集，所以A 仅有一个元素，即方程ax 2＋2x ＋a ＝0(a ∈R )仅有一个根．当a ＝0时，方程化为2x ＝0，∴x ＝0，此时A ＝{0}，符合题意．当a ≠0时，Δ＝22－4·a ·a ＝0，即a 2＝1，∴a ＝±1.此时A ＝{－1}，或A ＝{1}，符合题意．∴a ＝0或a ＝±1.答案：{0,1，－1}9．解：由x 2－3x ＋2＝0，得x ＝1，或x ＝2.∴A ＝{1,2}．∵B ⊆A ，∴对B 分类讨论如下：(1)若B ＝∅，即方程ax －2＝0无解，此时a ＝0.(2)若B ≠∅，则B ＝{1}或B ＝{2}．当B ＝{1}时，有a －2＝0，即a ＝2；当B ＝{2}时，有2a －2＝0，即a ＝1.综上可知，符合题意的实数a 所组成的集合C ＝{0,1,2}．10．解：化简集合A 得A ＝{x |－2≤x ≤5}．(1)∵x ∈Z ，∴A ＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，即A 中含有8个元素，∴A 的非空真子集数为28－2＝254(个)．(2)①当m ≤－2时，B ＝∅⊆A ；②当m >－2时，B ＝{x |m －1<x <2m ＋1}，因此，要B ⊆A ，则只要⎩⎪⎨⎪⎧ m －1≥－22m ＋1≤5⇒－1≤m ≤2.综上所述，知m 的取值范围是：{m |－1≤m ≤2或m ≤－2}．。
集合的基本关系
戴氏教育第二讲 集合的基本关系第一部分：【知识回顾】知识点一 子集1. 子集的定义一般地，对于两个集合A,B,如果集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，即若A a ∈，则B a ∈，我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合A ，记作)(A B B A ⊇⊆或，读作“A 包含B 于”,“B 包含A ”，这时我们就说集合A 是集合B 的子集。
2. 子集的性质（1） 任何一个集合都是它本身的子集：对于任何一个集合A,它的任意一个元素都属于集合A 本身，故有A A ⊆。
（2） 自子集具有传递性：对于集合A,B,C,若C B B A ⊆⊆,,则C A ⊆.如集合A={0,1,2}，B={0,1,2,3}，C={-1,0,1,2,3,4}，易知,,C B B A ⊆⊆同时.C A ⊆（3） 规定：空集是任何集合的子集，即对于任何一个集合A,都有.A ⊆φ3. B A ⊆（或A B ⊇）如果集合A 中存在着不是集合B 的元素，那么集合A 不包含于集合B,或集合B 不包含集合A ，分别记作B A ⊆（或A B ⊇），读作“A 不包含于B ”，或“B 不包含A ”。
如：A={0,1,2,}，B={1,2,4}，集合A 中的元素0不属于集合B ，说明集合A 不是集合B 的子集，即集合A 不包含于集合B 。
知识剖析：（1）“A 是B 的子集”的含义：集合A 任何一个元素都是集合B 中的元素，即由任意A x ∈,能推出B x ∈.（2）在子集的定义中，不能理解为子集A 是由集合B 中的“部分元素”构成的集合。
反例：若φ=A ,则A 中不含有任何元素；若A=B ，则A 中含有B 中的所有元素。
这两种情况都是说集合A 是集合B 的子集，但均不符合“子集A 是由集合B 中的‘部分元素’构成的集合”这一说法。
（3）区分“∈”与“⊆”：“ ∈”表示元素与集合之间的从属关系；“⊆”表示集合与集合之间的包含关系。
知识点二 集合相等对于两个集合A 与B ，如果集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，同时集合B 中的任何一个元素都是集合A 中的元素，这时，我们就说集合A 与集合B 相等，记作A=B 。
集合间的基本关系
2021-2022学年高一上数学必修一1．2集合间的基本关系学习目标 1.理解子集、真子集、集合相等、空集的概念.2.能用符号和V enn图表达集合间的关系.3.掌握列举有限集的所有子集的方法．知识点一子集、真子集、集合相等1．子集、真子集、集合相等定义符号表示图形表示子集如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A是集合B的子集A⊆B(或B⊇A)真子集如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集A B(或B A)集合相等如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等A＝B2.Venn图用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．3．子集的性质(1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A.(2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C.知识点二空集1．定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.2．规定：空集是任何集合的子集．思考{0}与∅相等吗？答案不相等．{0}表示一个集合，且集合中有且仅有一个元素0；而∅表示空集，其不含有任何元素，故{0}≠∅.1．空集中不含任何元素，所以∅不是集合．(×)2．任何一个集合都有子集．(√)3．若A＝B，则A⊆B且B⊆A.(√)4．空集是任何集合的真子集．(×)一、集合间关系的判断例1(1)下列各式中，正确的个数是()①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③∅⊆{0,1,2}；④∅{0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0}．A．1 B．2 C．3 D．4答案 C解析对于①，是集合与集合的关系，应为{0}{0,1,2}；对于②，实际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集；对于③，空集是任何集合的子集；对于④，{0}是含有单元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以∅{0}；对于⑤，{0,1}是含有两个元素0与1的集合，而{(0,1)}是以有序实数对(0,1)为元素的单点集，所以{0,1}与{(0,1)}不相等；对于⑥，0与{0}是“属于与否”的关系，所以0∈{0}．故②③④是正确的．(2)指出下列各组集合之间的关系：①A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；②M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．解①集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．②方法一两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故N M.方法二由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，所以N M.反思感悟判断集合间关系的方法(1)用定义判断①任意x∈A时，x∈B，则A⊆B.②当A⊆B时，存在x∈B，且x∉A，则A B.③若既有A⊆B，又有B⊆A，则A＝B.(2)数形结合判断对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍．跟踪训练1能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是()答案 B解析 x 2－x ＝0得x ＝1或x ＝0，故N ＝{0,1}， 易得NM ，其对应的V enn 图如选项B 所示．二、子集、真子集的个数问题例2 已知集合M 满足{1,2}M ⊆{1,2,3,4,5}，写出集合M 所有的可能情况．解 由题意可以确定集合M 必含有元素1,2，且至少含有元素3,4,5中的一个，因此依据集合M 的元素个数分类如下：含有3个元素：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}； 含有4个元素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}； 含有5个元素：{1,2,3,4,5}．故满足条件的集合M 为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}． 反思感悟 公式法求有限集合的子集个数 (1)含n 个元素的集合有2n 个子集． (2)含n 个元素的集合有(2n －1)个真子集． (3)含n 个元素的集合有(2n －1)个非空子集． (4)含n 个元素的集合有(2n －2)个非空真子集．跟踪训练2 已知集合A ＝{x |0≤x <5，且x ∈N }，则集合A 的子集的个数为( ) A ．15 B ．16 C ．31 D ．32 答案 D解析 A ＝{0,1,2,3,4}，含有5个元素的集合的子集的个数为25＝32. 三、集合间关系的应用例3 已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B A ，求实数m 的取值范围.解 (1)当B ≠∅时，如图所示．∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1<5，2m －1≥m ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1>－2，2m －1≤5，2m －1≥m ＋1，解这两个不等式组，得2≤m ≤3.(2)当B ＝∅时，由m ＋1>2m －1，得m <2.综上可得，m 的取值范围是{m |m ≤3}． 延伸探究1．若本例条件“A ＝{x |－2≤x ≤5}”改为“A ＝{x |－2<x <5}”，其他条件不变，求m 的取值范围．解 (1)当B ＝∅时，由m ＋1>2m －1，得m <2. (2)当B ≠∅时，如图所示．∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1>－2，2m －1<5，m ＋1≤2m －1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m >－3，m <3，m ≥2，即2≤m <3，综上可得，m 的取值范围是{m |m <3}．2．若本例条件“B A ”改为“A ⊆B ”，其他条件不变，求m 的取值范围． 解 当A ⊆B 时，如图所示，此时B ≠∅.∴⎩⎪⎨⎪⎧2m －1>m ＋1，m ＋1≤－2，2m －1≥5，即⎩⎪⎨⎪⎧m >2，m ≤－3，m ≥3，∴m 不存在．即不存在实数m 使A ⊆B .反思感悟 (1)利用数轴处理不等式表示的集合间的关系问题时，可化抽象为直观，要注意端点值的取舍，“含”用实心点表示，“不含”用空心点表示．(2)涉及到“A ⊆B ”或“A B 且B ≠∅”的问题，一定要分A ＝∅和A ≠∅两种情况讨论，不要忽视空集的情况．跟踪训练3 若集合A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x >a }，满足A B ，则实数a 的取值范围是( ) A ．{a |a ≥2} B ．{a |a ≤1} C ．{a |a ≥1} D ．{a |a ≤2}答案 B解析 如图所示，A B ，所以a≤1.1．下列四个集合中，是空集的是()A．{0} B．{x|x>8，且x<5}C．{x∈N|x2－1＝0} D．{x|x>4}答案 B解析选项A，C，D都含有元素，而选项B中无元素，故选B.2．已知集合A＝{x|－1－x<0}，则下列各式正确的是()A．0⊆A B．{0}∈A C．∅∈A D．{0}⊆A答案 D解析集合A＝{x|－1－x<0}＝{x|x>－1}，所以0∈A，{0}⊆A，∅⊆A，D正确．3．已知A＝{x|x是菱形}，B＝{x|x是正方形}，C＝{x|x是平行四边形}，那么A，B，C之间的关系是()A．A⊆B⊆C B．B⊆A⊆CC．A B⊆C D．A＝B⊆C答案 B解析集合A，B，C关系如图．4．已知集合A＝{－1,3，m}，B＝{3,4}，若B⊆A，则实数m＝________.答案 4解析∵B⊆A，∴元素3,4必为A中元素，∴m＝4.5．已知集合A＝{x|x≥1或x≤－2}，B＝{x|x≥a}，若B A，则实数a的取值范围是________．答案a≥1解析∵B A，∴a≥1.1．知识清单：(1)子集、真子集、空集、集合相等的概念及集合间关系的判断．(2)求子集、真子集的个数问题．(3)由集合间的关系求参数的值或范围．2．方法归纳：数形结合、分类讨论．3．常见误区：忽略对集合是否为空集的讨论，忽视是否能够取到端点．1．已知集合A＝{0,1}，则下列式子错误的是()A．0∈A B．{1}∈AC．∅⊆A D．{0,1}⊆A答案 B解析∵{1}⊆A，∴{1}∈A错误，其余均正确．2．集合{1,2}的子集有()A．4个B．3个C．2个D．1个答案 A解析集合{1,2}的子集有∅，{1}，{2}，{1,2}共4个．3．下列表述正确的有()①空集没有子集；②任何集合都有至少两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若∅A，则A≠∅.A．0个B．1个C．2个D．3个答案 B解析∅⊆∅，故①错；∅只有一个子集，即它本身．所以②错；空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，所以③错；而④正确，故选B.4．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为()A．1 B．2 C．3 D．4答案 D解析由题意知：A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}．又A⊆C⊆B，则集合C可能为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．5．设集合A＝{x，y}，B＝{0，x2}，若A＝B，则2x＋y等于()A．0 B．1 C．2 D．－1答案 C解析由A＝B，得x＝0或y＝0.当x＝0时，x2＝0，此时B＝{0,0}，不满足集合中元素的互异性，舍去；当y＝0时，x＝x2，则x＝0或x＝1.由上知x＝0不合适，故y＝0，x＝1，经验证，符合题意，则2x＋y＝2.6．集合∅和{0}的关系表示正确的有________．(把正确的序号都填上)①{0}＝∅；②{0}∈∅；③{0}⊆∅；④∅{0}．答案④解析∅没有任何元素，而{0}中有一个元素，显然∅≠{0}，又∅是任何非空集合的真子集，故有∅{0}，所以④正确，①②③不正确．7．集合A＝{x|1<x<6}，B＝{x|x<a}，若A⊆B，则a的取值范围为________．答案{a|a≥6}解析∵A＝{x|1<x<6}，B＝{x|x<a}，由A⊆B，结合数轴可知a≥6.8．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值构成的集合为________．答案{0,1，－1}解析因为集合A有且仅有2个子集，所以A中仅有一个元素，当a＝0时，方程化为2x＝0，方程只有一个根x＝0，符合题意．当a≠0时，方程ax2＋2x＋a＝0有两个相等的实数根，Δ＝22－4·a·a＝0，即a2＝1，∴a＝±1.此时A＝{－1}或A＝{1}，符合题意．∴a＝0或a＝±1.9．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集．解因为A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}．所以A＝{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．所以A的子集有：∅，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}，{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．10．已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}．(1)若A B，求a的取值范围；(2)若B⊆A，求a的取值范围．解(1)若A B，由图可知，a>2.故实数a 的取值范围为{a |a >2}． (2)若B ⊆A ，由图可知，1≤a ≤2.故实数a 的取值范围为{a |1≤a ≤2}．11．若集合A ＝{x |x ＝2k ＋1，k ∈Z }，B ＝{x |x ＝2k －1，k ∈Z }，C ＝{x |x ＝4k －1，k ∈Z }，则A ，B ，C 的关系是( ) A ．C A ＝B B ．A ⊆C ⊆B C ．A ＝B C D ．B ⊆A ⊆C答案 A解析 ∵A ＝{x |x ＝2(k ＋1)－1，k ∈Z }，B ＝{x |x ＝2k －1，k ∈Z }，C ＝{x |x ＝2·2k －1，k ∈Z }，∴C A ＝B ，故选A.12．设集合M ＝{(x ，y )|x ＋y <0，xy >0}和P ＝{(x ，y )|x <0，y <0}，那么M 与P 的关系为________． 答案 M ＝P解析 因为xy >0，所以x ，y 同号，又x ＋y <0，所以x <0，y <0，即集合M 表示第三象限内的点，而集合P 表示第三象限内的点，故M ＝P .13．已知集合P ＝{x |x 2＝1}，集合Q ＝{x |ax ＝1}，若Q ⊆P ，那么实数a 的值是________． 答案 0，±1解析 由题意得P ＝{－1,1}， 又因为Q ⊆P ，若Q ＝∅，则a ＝0，此时满足Q ⊆P ，若Q ≠∅，则Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝1a ，由题意知，1a ＝1或1a ＝－1，解得a ＝±1.综上可知，实数a 的值是0，±1.14．已知集合A ＝{x ∈R |x 2＋x ＝0}，则集合A ＝______.若集合B 满足{0}B ⊆A ，则集合B ＝________.答案 {－1,0} {－1,0}解析 ∵解方程x 2＋x ＝0，得x ＝－1或x ＝0, ∴集合A ＝{x ∈R |x 2＋x ＝0}＝{－1,0}, ∵集合B 满足{0}B ⊆A, ∴集合B ＝{－1,0}．15．设集合A ＝{－1,1}，集合B ＝{x |x 2－2ax ＋1＝0}，若B ≠∅，B ⊆A ，则a 等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．±1 答案 D解析 当B ＝{－1}时，x 2－2ax ＋1＝0有两相等的实根－1，即a ＝－1； 当B ＝{1}时，x 2－2ax ＋1＝0有两相等的实根1，即a ＝1； 当B ＝{－1,1}时，不成立． 故a ＝±1.16．已知集合A ＝{x ||x －a |＝4}，集合B ＝{1,2，b }．(1)是否存在实数a ，使得对于任意实数b 都有A ⊆B ？若存在，求出对应的a 值；若不存在，说明理由；(2)若A ⊆B 成立，求出对应的实数对(a ，b )．解 (1)对于任意实数b 都有A ⊆B ，当且仅当集合A 中的元素为1,2. ∵A ＝{a －4，a ＋4}，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －4＝1，a ＋4＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧ a －4＝2，a ＋4＝1， 解方程组可知无解．∴不存在实数a ，使得对于任意实数b 都有A ⊆B . (2)由(1)易知，若A ⊆B ，则⎩⎪⎨⎪⎧a －4＝1，a ＋4＝b 或⎩⎪⎨⎪⎧a －4＝2，a ＋4＝b 或⎩⎪⎨⎪⎧ a －4＝b ，a ＋4＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a －4＝b ，a ＋4＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝5，b ＝9或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝10 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－7或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－6.则所求实数对为(5,9)或(6,10)或(－3，－7)或(－2，－6)．。
集合间的基本关系
文字 叙述
如果集合A的_任__何__一个元素都是集合B的元素，同时集合B的 _任__何__一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等．
符号 表示
若_A__⊆_B__且__B_⊆_A__，则A＝B
Venn图 表示
4.真子集
文字 叙述
如果集合A⊆B，但存在元素x_∈__B，且x__∉A，称集合A是 集合B的真子集
【解析】(1)方法一：集合 B 中的元素都在集合 A 中，但集合 A 中有些元素(比如 0， －0.5)不在集合 B 中，故 B A. 方法二：利用数轴表示集合 A，B，如图所示，由图可知 B A.
(2)因为集合 A 是偶数集，集合 B 是 4 的倍数集， 所以 B A.
(3)A＝{x|x2－x＝0}＝{0，1}．在集合 B 中，
符号 表示
记作：_A____B_或_B____A_
Venn图 表示
两个集合之间常见的关系
若集合 M，N 是两个至少含有一个元素的集合，则这两个集合之间有以下常见的关
系：
1
2
3
4
5
5.空集
(1)定义：___不__含__任__何__元__素_______的集合叫做空集，记为∅. (2)规定：__空__集_____是任何集合的子集．
当 a≠b 时，(a，b)与(b，a)是两个不同的点，所以 B 错误；
任取(x0，y0)∈{(x，y)|x2－y2＝1}，则 x20
－y02
＝1，于是x20
－y20
2＝1，所以(x0，y0)
∈{(x，y)|(x2－y2)2＝1}，
另外，存在(x1，y1)∈{(x，y)|(x2－y2)2＝1}， 满足 x12 －y21 ＝－1， 故(x1，y1)∉{(x，y)|x2－y2＝1}，所以 C 正确； {x∈R|x2－2＝0}＝{－ 2 ， 2 }，故 D 错误．
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第二讲 集合间的基本关系
【知识点】
1、子集的概念：一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中________元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作______(或______)，读作“__________”(或“__________”)．
2
B A 3(3)规定：空集是任何集合的______．
4、重要的结论：
（1）含n 个元素的集合有2n 个子集；（2）含n 个元素的集合有（21n
-）个真子集； （3）含n 个元素的集合有（21n -）个非空子集；（4）含n 个元素的集合有（22n
-）个非空真子集。
【例题讲解】
例1、下列各式中，正确的个数是（ ）
（1）{}{}2,1,00∈；（2）{}{}0,1,22,1,0⊆；（3）{}0,1,2∅⊆；（4）{}0∅=；
（5）{}(){}1,01,0=；（6）{}00=.
A 、1
B 、2
C 、3
D 、4 例2、判断下列集合A 与B 的关系： (1){}{}81|,50|<<-=<<=x x B x x A ；(2){}{}A (,)|0,(,)|0,0x y xy B x y x y =>=>>；
(3){}{}
2|0,|x 0A a a B a x a =≥=+-=方程有实根.
例3、已知集合{}{}
22|1,,|45,M x x a a N P x x a a a N **==+∈==-+∈，试判断M 与P 的关系。
【考点专练】
1、已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}2,3,4P =，{}1,2Q =，则右图阴影部分所示的集合（ ）
A 、∅
B 、{}1
C 、{}2
D 、{}1,2
2、已知集合{}1,2,3,4A =，那么A 的真子集的个数是（ ）
A 、15
B 、16
C 、3
D 、4
3、设R b a ∈、，集合{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+b a b a b a ,,
0,,1，则=-a b （ ） A 、1 B 、1- C 、2 D 、2-
4、已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈±==⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=
=Z k k x x B Z k k x x A ,9194|,),12(91|，则集合A 、B 之间的关系为（ ）
A 、A
B B 、B
A C 、
B A = D 、B A ≠
5、已知{}M ⊆2,1{}5,4,3,2,1，则这样的集合M 有 个。
6、设集合{}A 1,3,a =，{}
21,1B a a =-+，且A B ⊇，求a 的值。
7、已知集合{},,A x xy x y =-，集合{}0,,B x y =，若A B =，求实数,x y 的值。
8、已知集合{}|25A x x =-≤≤，{}|121B x m x m =+≤≤-，若B A ⊆，求实数m 的取值范围。
9、已知{}
2|560A x x x =-+=，{}|1B x mx ==。
若B A ⊆，求实数m 所构成的集合M 。
【高考真题】
1、集合{}1,0,1-共有 个子集。
2、已知{}
|8A x N x *=∈≤，{}|2,,05B x x k k N k ==∈<<且，那么集合A 与B 的关系为 。
3、已知{}
2|26,A y y x x x R ==--∈，{}|475B x x =->，那么集合A 与B 的关系为 。
4、已知集合A B ⊆，1|,42k B x x k Z ⎧⎫==
+∈⎨⎬⎩⎭，1|,84k C x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭
，那么集合A 与C 的关系为 。
5、已知集合{A =，{}1,B m =，若B A ⊆，则m=( )
A 、0或3
B 、0或3
C 、1或3
D 、1或3 6、已知集合{}R x x x x A ∈=+-=,023|2，{}N x x x B ∈<<=,50|，则满足条件B C A ⊆⊆的集合C 的个数为（ ）
A 、1
B 、2
C 、3
D 、4
7、集合{}5,4,3,2,1,0=S ，A 是S 的一个子集，当A x ∈时，若A x ∉-1且A x ∉+1，则称x 为A 的一个“孤立元素”，那么S 中无“孤立元素”的含有4个元素的子集个数是（ ）
A 、4
B 、5
C 、6
D 、7
8、令集合{}恰有一个成立且三条件y x z x z y z y x X z y x z y x S <<<<<<∈=,,,,,|),,(，设整数4≥n ，集合{}n X ,,3,2,1 =.若(),,x y z 和(),,z w x 都在S 中，则下列选项正确的是（ ）
A 、()(),,,,,y z w S x y w S ∈∉
B 、()(),,,,,y z w S x y w S ∈∈
C 、()(),,,,,y z w S x y w S ∉∈
D 、()(),,,,,y z w S x y w S ∉∉
9、已知{}2|280A x R x x =∈--=，{}
22|120B x R x ax a =∈++-=，B A ⊆，求实数a 的取值范围。